Elementos de Dibujo Técnico
Lección Lecció n 33 Lecci ón 33. Intersecció n Plano - Sóli Sóli do, Métod Método o del Filo y Plano Cortante En el campo de la Ingeniería y en el de la arquitectura se hace uso de la Geometría Descriptiva para descifrar la relación real entre los elementos que intervienen en el diseño de tuberías, ductos, cubiertas, columnas y vigas, entre otros. Las relaciones existentes entre éstos elementos debe descifrarse en el diseño y establecerse a plenitud, para que en el momento de su ejecución no haya campo de error, lo cual pueda perjudicar el adecuado funcionamiento de los elementos, y también intervenir en la fidelidad de las cantidades de obra y la compra de materiales, y con ello afectar el resultado del diseño, poner en riesgo vidas humanas y como consecuencia de éstos errores también se comprenderían las pérdidas económicas. La intersección de elementos en un diseño debe asumirse con responsabilidad, y a través de la técnica establecer las relaciones geométricas reales entre los mismos, definiendo con exactitud los ángulos, la sección de intersección, las longitudes y magnitudes reales de los objetos que están involucrados en el diseño. En el proceso que se definirá en las figuras mostradas a continuación se estará señalando la sección de contacto de los dos elementos que intervienen en la relación geométrica y la cual puede ser obtenida a través del método del Filo ó el método de los Planos Cortantes. En las primeras figuras se realizará paso a paso el proceso del Método del Filo, para obtener la sección entre un prisma rectangular y un plano triangular. Figura SEQ Figura \* ARABIC 12. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Filo. Paso 1.
Se presenta un prisma rectangular con aristas paralelas identificadas como: 1-1', 2-2', 3-3' y 4-4'; el plano triangular se identifica con las letras a, b, c. Para obtener la sección de la intersección por el método de Perfil, se debe llevar al plano a filo, por lo tanto se realizará una proyección Auxiliar perpendicular a una de las líneas contenidas en el plano (a, b, c) en Verdadera Longitud, si s i ésta no existiera se trazaría una línea auxiliar de forma paralela a la Línea de Referencia, ubicada en cualquiera de las dos proyecciones (H ó F), en este caso cas o se toma como paso inicial la proyección Horizontal y es en ésta donde se traza la línea auxiliar paralela a la Línea de Referencia, luego se trasladan los puntos a la siguiente proyección (F) con la ayuda de las líneas de proyección, las cuales deben trazarse de forma perpendicular a la Línea de Referencia que atravesarán. Figura SEQ Figura \* ARABIC 13. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Filo. Paso 2.
En la proyección Frontal se encuentra la línea auxiliar a, e, en Verdadera Longitud y con relación a ésta se debe trazar una proyección Auxiliar perpendicular (J) en la cual se visualizará el plano a, b, c, como filo. La idea de llevar el plano a, b, c, a filo es identificar con claridad los puntos por los que el plano atraviesa ó tiene contacto con el sólido, señalando el punto de contacto del filo con las aristas del prisma rectangular. En esta figura, se muestra en la proyección auxiliar el plano como filo y el sólido sin visibilidad, debido a que la visibilidad es identificada en este momento, en donde el estudiante debe revisar la proyección anterior (F) ubicado desde la proyección Auxiliar (J) y verificar por cercanía ó por líneas que se cruzan (método de mayor seguridad) las líneas que serían visibles en la proyección Auxiliar. Figura SEQ Figura \* ARABIC 14. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 3.
En esta figura se define la visibilidad del prisma rectangular en la proyección Auxiliar (J), determinado por medio del método de las líneas que se cruzan, entonces como en la proyección "J" se están cruzando las aristas 3,3' con la 2',1' se revisa la proyección anterior "F" y se obtiene que la arista anterior es la 3,3' y que la arista 2',1' se encuentra en la zona posterior, por lo tanto es la que se localiza más lejos del observador, por esta razón la arista 3, 3' va a ser visible en la proyección Auxiliar y la arista 2', 1' será invisible; con el resto de las visibilidades de procede de las misma forma, sabiendo que el contorno siempre va a ser visible, por lo tanto las aristas 2, 1, 4, 4', 3', 2' van a ser visibles por estar localizadas en el contorno de esta proyección. Se localizan los puntos de contacto entre el prisma rectangular y el plano de filo, puntos localizados de la siguiente manera: punto p en la arista 4, 4'; punto m localizado sobre la arista 1, 1'; punto n sobre la arista 3, 3' y por último el punto u encontrado en la arista 2, 2'. De esta manera se devolverán los puntos a las proyecciones anteriores, siguiendo los criterios de localización ya enunciados. SEQ Figura \* ARABIC Figura 15. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 4.
Teniendo los puntos sobre las aristas correspondientes en todas las proyecciones, se deben unir con orden lógico, lo que quiere decir que un punto localizado sobre la arista 2, 2' se podrá unir con otro que se encuentre en un plano adyacente, por ejemplo: 1, 1' ó 3, 3', pero no podrá unirse a otro que se localice en una cara que no tenga relación directa con ésta, como por ejemplo un punto que situado en la arista 4, 4'. Por lo tanto, se unirán los puntos y se definirá simultáneamente la visibilidad de los mismos con ayuda de la lógica, pues si los puntos conforman una línea sobre una cara invisible, no podrán los puntos de la sección ser visibles. En la proyección Frontal, el punto p, localizado en la arista 4, 4' se unirá a los puntos que se encuentren en las aristas 3, 3' y 1, 1', por lo tanto se unirá con los puntos n y m, simultáneamente; éstos puntos se unirán a través de líneas visibles, ya que se localizan sobre caras visibles, pues la cara conformada por los puntos 1, 4, 4', 1' es visible y sobre ésta se encuentra la línea p, m; ahora, la cara en la cual se localiza la línea p, n es la conformada por los puntos 4, 3, 4', 3', la cual también es visible, según lo evidencian las líneas que conforman las caras, ya que son continuas, señalando por lo tanto que son caras visibles. El punto "u" se establece en la arista 2, 2' y en proyección Frontal ésta arista es invisible, por lo tanto, toda línea que se origine de ésta arista va a ser invisible por localizarse en una cara invisible, pues al abstraer mentalmente el prisma, se podrá ver con c laridad que las caras ocultas son las 2, 2', 3, 3' y 2, 2', 1, 1', por lo tanto las líneas de la sección que se localicen sobre estas caras también estarán ocultas, lo que quiere decir que la recta m, u y n, u, serán invisibles. Se debe proceder de la misma forma en la proyección Horizontal, uniendo puntos adyacentes a través de líneas y definiendo la visibilidad en éstas a través de la lógica de las caras. Entonces en la proyección Horizontal se establecerá la sección con las rectas u, m, p siendo visibles y p, n, u quedarán ocultas. SEQ Figura \* ARABIC Figura 16. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 5.
El paso 5 consiste en definir la visibilidad de los elementos que se relacionan, pues ya está definida la sección de la intersección, pero ahora es necesario hacer lógica la intersección, por lo tanto, entenderla. Se inicia el proceso de visibilidad desde el filo hacia la Frontal. El observador se localiza en la proyección Frontal, ya que es a ésta vista a la cual se le debe definir la visibilidad; el observador mirará hacia la proyección auxiliar (J) y definirá qué sección del filo es la visible y qué sección del sólido no está interferida por el plano de filo, esto lo que quiere decir en otras palabras, es que al trazar las líneas de proyección hacia la Frontal desde la Auxiliar, las líneas de proyección que no sean interrumpidas por otra arista, serán visibles, por ejemplo, la línea de proyección que sale del punto c, del punto p, del punto 4' y del punto a, no están obstruidas por ninguna arista, lo que las hace visibles, a diferencia de las líneas de proyección que se originan en los puntos 2', b, u, los cuales son interrumpidos por aristas como 3, 3', 4, 4', las cuales impedirán su visibilidad. Entonces, el segmento 4', p del sólido es visible completamente y el segmento c, a hasta el punto p será visible. Con estas dos definiciones de visibilidad se puede obtener el resto de las visibilidades. Si 4', p es visible, estará indicando que todo el segmento del prisma localizado en la zona posterior de la sección de intersección será visible (las caras visibles) y la sección del plano a, b, c, que pasen por este segmento de visibilidad del prisma serán invisibles. Por lo tanto: 4', p - m, 1' - n, 3' - 1', 4', 3', serán visibles, por localizarse en el segmento en el cual el prisma queda sobre el plano, situación manifiesta en la proyección auxiliar con la localización del segmento 4', p totalmente visible, lo que define que el segmento del prisma posterior a la sección es visible. Ahora, como a, c, también se identificó plenamente como visible en la proyección Auxiliar, entonces en la Frontal ésta quedará sobre el prisma y será visible completamente, ocultando los segmentos del prisma que se localicen en los límites del plano a, b, c, antes de la sección de intersección. Para la definición de la Visibilidad de la Horizontal se realizará con ayuda del método de las líneas que se cruzan, por lo tanto el observador situado en la proyección Horizontal establece dos líneas que se crucen para definir su visibilidad mirando la posición de las dos líneas en la proyección anterior, en este caso en la Frontal. Se deben tener varias opciones de líneas que se crucen, ya que algunas no se muestran con tanta claridad y se deberá verificar con
otras que sean contundentes. Por ejemplo, a, b se cruza con 1, 1', quién es visible?, se supone que "a" es el punto más cercano al observador, entonces a, b, sería visible, pero no es tan claro, por lo tanto es mejor comprobar con otros puntos que se muestren con mayor claridad, caso de las líneas c, b, con 1, 1', al revisar la proyección anterior (F) la línea 1, 1' está en una posición anterior, con respecto al observador, que la línea c, b, la cual se encuentra lejos del observador, lo que quiere decir que 1, 1' va a ser visible y c, b, será invisible en la proyección Horizontal, teniendo en cuenta que 1, 1' cambiará su visibilidad después de la sección de intersección, por lo tanto la línea visible es 1', m. A partir de la definición de dos líneas contundentes como 1, 1' y c, b, se puede obtener por lógica la visibilidad del resto de los elementos, teniendo claro que la visibilidad de un elemento cambia antes y después de la sección de intersección. En la siguiente figura se muestra de forma más clara la intersección de los dos elementos y se puede verificar la visibilidad. En la proyección Horizontal, antes a la sección el prisma es visible y después de la sección el visible es el plano. En la proyección Frontal antes de la sección es visible el prisma y después de la sección es el plano. SEQ Figura \* ARABIC Figura 17. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 6.
Para obtener la sección de la intersección del prisma y el plano a, b, c, por medio del Método del Plano cortante se debe proceder de la siguiente forma: se toma uno de los elementos que intervienen en la intersección, puede ser el plano ó el prisma, en el caso del ejercicio se toma el prisma, debido a que todas sus aristas son paralelas y de esta manera es más fácil de identificar los puntos de contacto. Se identifican las aristas del sólido que entran en contacto con el plano, en este caso todas las aristas se cruzan con el plano, pero si el plano triangular tuviese su vértice b antes que la arista 2, 2', no sería necesario tomar en cuenta esta arista, ya que no tendría objeto alguno señalar un Plano cortante sobre ésta si ésta no se relaciona con el plano. Ahora, como todas las aristas del sólido se cruzan con el plano a, b, c, se deben señalar Planos cortantes sobre cada una de éstas aristas, definiendo los planos con líneas tipo K que se prolongan con la misma dirección de las aristas
sobre las que se posan e identificando cada Plano Cortante con un nombre determinado y un orden lógico. En el caso del ejemplo se señalan los planos por medio de colores para dar mayor claridad y con nombres: el Plano Cortante 1 (PC-1) se establece sobre la arista 1, 1'; el PC-2 sobre la arista 2, 2'; el PC-3 en la arista 3, 3' y el PC-4 sobre la 4, 4'. También los planos Cortantes pueden ser determinados por el orden de consecución de las aristas, por ejemplo, la arista 2, 2' es la que se encuentra en la zona superior de la representación, entonces ésta puede ser el PC-1, el PC-2 podría ser la arista 3, 3' que consecutivamente se localiza, éste también puede ser un orden lógico. Figura SEQ Figura \* ARABIC 18. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 1.
Luego de definir los Planos Cortantes deben señalarse los puntos de contacto entre cada Plano Cortante y el plano a, b, c. El Plano Cortante 2 traspasa al plano a, b, c, en las aristas a, b, en el punto "m" y en la arista c, b, en el punto "n". Éstos puntos se intersección se trasladarán a la proyección siguiente (F) y se establecerán sobre las aristas correspondientes. Entonces, el punto "m" se pasa con ayuda de una línea de proyección perpendicular a la Línea de Referencia (color gris) y se localiza en la intersección de ésta con la arista que corta el plano cortante, lo que quiere decir que el punto "m" se pasa a la proyección Frontal y en donde corte la línea de proyección con la arista a, b, allí se colocará el punto "m". Para localizar el punto "n" se debe proceder de la misma forma, por lo tanto, en la proyección Frontal, el punto "n" se localizará sobre la arista c, b. Como los puntos m y n pertenecen al mismo plano Cortante, se unirán a través de una línea punteada (tipo F). SEQ Figura \* ARABIC Figura 19. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 2.
Para los siguientes planos se debe proceder de la misma forma, encontrando los puntos de contacto del plano Cortante con las aristas del plano a, b, c. SEQ Figura \* ARABIC Figura 20. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3 y 4.
Se obtienen todos los puntos de intersección, dos puntos por cada plano cortante: El PC-2 tiene los puntos m y n, donde m se localiza sobre la arista a, b y n sobre la arista c, b; el PC-3 señala los puntos de contacto q y r, q sobre la arista a, b y r sobre c, b; PC-1 corta en los puntos f y s, donde f se localiza sobre la arista a, b y s sobre la arista c, b; el PC-4 identifica dos puntos "x" y "y", donde "x" corta a la arista a, b, y "y" a la c, b. Se trasladan los puntos a la vista Frontal y se unen los que pertenecen al mismo plano Cortante.
El paso 5 consiste en definir un solo punto de intersección por Plano Cortante, lo cual se consigue de la siguiente forma: la recta conformada por los puntos m, n pertenecen al PC-2, el cual se posa sobre la arista 2, 2', por tal razón, la recta m, n debe interceptar la arista 2, 2' y es allí en donde se localiza la intersección real; éste punto de intersección, identificado como 2f, debe devolverse a la proyección anterior (H) y situarse sobre la arista correspondiente, arista 2, 2'. SEQ Figura \* ARABIC Figura 21. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 5.
La recta q, r pertenece al PC-3 (color cián) por lo tanto debe interceptar la arista que contiene este Plano Cortante, arista 3, 3', el punto de contacto será la intersección real y se trasladará a la anterior proyección (H) donde se ubicará sobre la arista 3, 3', arista que contiene el Plano Cortante correspondiente a los puntos q, r. Posterior a ello se deben unir los puntos de intersección real, analizando qué puntos pueden unirse: 2 con 3, 2 con 1, 3 con 4, 4 con 1. SEQ Figura \* ARABIC Figura 22. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 6 y 7.
Siguiendo este proceso se determinan todos los puntos de intersección real, por lo tanto cada recta conformada por los puntos de corte del Plano Cortante con el plano a, b, c, señalará un punto de intersección real, el cual estará ubicado sobre la arista en la cual se posa el Plano Cortante determinado, posterior a ello se trasladará el punto de intersección real a la proyección anterior y se unirán definiendo los puntos que son adyacentes y pueden tener relación directa, por lo tanto los puntos se unirán así: 1 con 2, 2 con 3, 3 con 4 y 4 con 1, de esta forma se cierra la sección de intersección, la cual es completa, ya que el plano y el sólido se están atravesando plenamente, ya que si fuera parcial, la intersección no formarían una sección rectangular, sino que se conformaría una sección en forma de U. También es importante definir la visibilidad simultáneamente al trazo de las líneas de la sección, para evitar borrar después de haberlas dibujado, por lo tanto se debe analizar la cara sobre la cual va a quedar definida una línea y dependiendo de si la cara es visible ó por el contrario está oculta, las líneas como consecuencia también adoptarán sus características de visibilidad. Las caras visibles son las conformadas por los puntos 2, 2', 1', 1, también la cara 1, 1', 4', 4, por lo tanto las líneas que se localicen sobre estas caras serán visibles, pero las trazadas sobre las caras 2, 2', 3', 3 y 3, 3', 4', 4, serán ocultas debido a que estas caras no son visibles, por lo tanto las líneas trazadas sobre éstas serán dibujadas con líneas segmentadas. SEQ Figura \* ARABIC Figura 23. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 8.
El paso 9 consiste en la definición de la visibilidad de los elementos que intervienen en la intersección. SEQ Figura \* ARABIC Figura 24. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 9.
El proceso de visibilidad se hará por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección Horizontal c, b se cruza con 1, 1' y al revisar la proyección Frontal c, b, se encuentra después de la recta 1, 1', por lo tanto c, b va a estar oculta en el cruce de estas dos rectas y 1, 1' será visible en el cruce de las dos rectas, hasta que llegue a la sección de intersección, en la cual se cambiará la visibilidad del objeto. Para la proyección Frontal se revisan dos líneas que se crucen y se verifica en la proyección anterior (H) analizando la posición de la misma con respecto al observador: la recta a, c se cruza con la línea 1, 1', al revisar en la proyección Horizontal, la línea a, c se localiza
antes que la línea a, 1, 1', por lo tanto en la proyección Frontal la recta a, c será visible y ocultará a la recta 1, 1' hasta la sección de intersección, luego de la sección cambiará la visibilidad. De esta forma se define la relación real de los objetos que intervienen en un diseño y a través de la Geometría Descriptiva es posible determinar la relación que puedan tener los objetos representados en un determinado diseño. « Anterior | Siguiente »
