Elementos Básicos de Un Modelo Matemático

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Programa de Ingenieria de

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JESUS ALFREDO ANDRADE VAZQUEZ ING. ENERGETICA Elementos básicos de un modelo matemático

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Un mode modelo lo mate matemát mátic ico o e !"od# !"od#ct cto o de la a$t a$t"a "acc cci% i%n n de #n it item ema a "eal "eal&& eliminando eliminando la com!le'idad com!le'idade e ( )aciendo )aciendo #!oicione #!oicione !e"tinente* !e"tinente* e a!lica a!lica #na  Documents t+cnica matemática ( e o$tiene #na "e!"eentaci%n im$%lica del mimo. Un modelo matemático conta al meno de t"e elemento o condicione $áica, La Va"ia$le de decii%n& la F#nci%n O$'eti-o ( la Ret"iccione.

Variables de decisión y parámetros

La -a"ia$le de decii%n on inc%nita /#e de$en e" dete"minada a !a"ti" de la ol#ci ol#ci%n %n del modelo modelo.. Lo !a"áme !a"ámet"o t"o "e!"een "e!"eentan tan lo -alo"e -alo"e conoci conocido do del itema itema o /#e e !#eden cont"ola". cont"ola". La -a"ia$le -a"ia$le de decii%n e "e!"eentan "e!"eentan !o", 01& 02& 03&4& 0n % 0i& i 5 1& 2& 3&4& n.

Función Objetivo

La 6#nci%n o$'eti-o e #na "elaci%n matemática ent"e la -a"ia$le de decii%n& !a"ámet"o !a"ámet"o ( #na manit#d /#e "e!"eenta el o$'eti-o o$'eti-o o !"od#cto !"od#cto del itema. itema. E la medici%n de la e6ecti-idad del 7odelo 6o"m#lado en 6#nci%n de la -a"ia$le. Dete"mina lo /#e e -a o!timi8a" 97a:imi8a" o 7inimi8a";. La ol#ci%n <=TI7A e o$tiene c#ando el -alo" de la F#nci%n O$'eti-o e %!timo %!timo 9-alo" má:imo o m>nimo;& !a"a #n con'#nto de -alo"e 6acti$le de la -a"ia$le. E deci"& )a( /#e "eem!la8a" la -a"ia$le o$tenida 01& 02& 03&4& 0n* en la F#nci%n O$'eti-o Z 5 6 9C101& C202& C303&4& Cn0n; #'eto a la "et"iccione del modelo matemático. =o" e'em!lo& i el o$'eti-o e minimi8a" lo coto de o!e"aci%n& la 6#nci%n o$'eti-o de$e e:!"ea" la "elaci%n ent"e el coto ( la -a"ia$le de decii%n& iendo el "e#ltado el meno" coto de la ol#cione 6acti$le o$tenida.

Restricciones

La "et"iccione on "elacione ent"e la -a"ia$le de decii%n ( lo "ec#"o di!oni$le. La "et"iccione del modelo limitan el -alo" de la -a"ia$le de

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JESUS ALFREDO ANDRADE VAZQUEZ ING. ENERGETICA i #na de la -a"ia$le e la cantidad de mea a 6a$"ica"& # -alo" olamente !od"á e" i#al a ce"o % ma(o" /#e ce"o& o ea !oiti-o* e">a a$#"do o$tene" como "e#ltado /#e e -a a 6a$"ica"  B mea. La !"o"amaci%n lineal e la inte""elaci%n de lo com!onente de #n itema& en t+"mino matemático& (a ea en 6o"ma de ec#acione o inec#acione lineale llamado 7odelo de ="o"amaci%n Lineal. E #na t+cnica #tili8ada !a"a dea""olla" modelo matemático& dieada !a"a o!timi8a" el #o de lo "ec#"o limitado en #na em!"ea # o"ani8aci%n. El 7odelo de ="o"amaci%n Lineal& e #na "e!"eentaci%n im$%lica de la "ealidad /#e e et#dia& o del !"o$lema /#e e -a a ol#ciona". Se 6o"ma con e:!"eione de l%ica matemática& conteniendo t+"mino /#e ini6ican cont"i$#cione, a la #tilidad 9con má:imo; o al coto 9con m>nimo; en la F#nci%n O$'eti-o del modelo.  al con#mo de "ec#"o di!oni$le 9con dei#aldade 5 % 5 e i#aldade en la "et"iccione. En el !"eente te:to dea""olla"emo 7odelo 7atemático de ="o"amaci%n Lineal de, 7a:imi8aci%n ( 7inimi8aci%n& lo c#ale eta"án indicado en la F#nci%n O$'eti-o del 7odelo. ="o$lema de a!licaci%n !a"a 6o"m#la" #n modelo 1;. ="oceo de !"od#cci%n. Una 6á$"ica !"od#ce do ti!o de !"od#cto, 7 ( N& lo coto de !"od#cci%n de am$o !"od#cto on 3 !a"a el !"od#cto 7 (  !a"a el !"od#cto N. El tiem!o total de !"od#cci%n etá "et"inido a ?? )o"a* ( lo tiem!o de !"od#cci%n on de H )o"a#nidad !a"a el !"od#cto 7 ( de B )o"a#nidad !a"a el !"od#cto N. Fo"m#le el 7odelo matemático /#e !e"mita dete"mina" la cantidad de !"od#cto 7 ( N a !"od#ci"& ( /#e o!timice el Coto total de !"od#cci%n de lo do !"od#cto.

Definición de Variables

Se deea 6o"m#la" #n modelo matemático !a"a dete"mina" la cantidad /#e de$e !"od#ci"e !o" cada !"od#cto 97 ( N;& !o" lo tanto tend"emo do -a"ia$le& "e!"eentado !o", :1 & :2. Siendo, :1 5 Cantidad a !"od#ci"e del !"od#cto 7&

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JESUS ALFREDO ANDRADE VAZQUEZ ING. ENERGETICA

El Método Simple

E #n m+todo anal>tico de ol#ci%n de !"o$lema de !"o"amaci%n lineal ca!a8 de "eol-e" modelo má com!le'o /#e lo "e#elto mediante el m+todo "á6ico in "et"icci%n en el n@me"o de -a"ia$le. El 7+todo Sim!le: e #n m+todo ite"ati-o /#e !e"mite i" me'o"ando la ol#ci%n en cada !ao. La "a8%n matemática de eta me'o"a "adica en /#e el m+todo conite en camina" del -+"tice de #n !olied"o a #n -+"tice -ecino de mane"a /#e a#mente o dimin#(a 9e@n el conte:to de la 6#nci%n o$'eti-o& ea ma:imi8a" o minimi8a";& dado /#e el n@me"o de -+"tice /#e !"eenta #n !olied"o ol#ci%n e 6inito iem!"e e )alla"á ol#ci%n. La mat"i8 id+ntica o identidad e #na mat"i8 c#ad"ada 9/#e !oee el mimo n@me"o tanto de col#mna como de 6ila; de o"den n /#e tiene todo lo elemento diaonale i#ale a #no 91; ( todo lo demá com!onente i#ale a ce"o 9?;& e denomina mat"i8 id+ntica o identidad de o"den n& ( e denota !o", 7at"i8 identidad La im!o"tancia de la teo">a de mat"ice en el 7+todo Sim!le: e 6#ndamental& dado /#e el alo"itmo e $aa en dic)a teo">a !a"a la "eol#ci%n de # !"o$lema.

Solución !ráfica

El análii "á6ico e #na alte"nati-a e6iciente !a"a en6"enta" la "eol#ci%n de modelo de ="o"amaci%n Lineal en 2 -a"ia$le& donde el dominio de !#nto 6acti$le 9en cao de e:iti"; e encont"a"á en el !"ime" c#ad"ante& como !"od#cto de la inte"ecci%n de la ditinta "et"iccione del !"o$lema lineal. Una de la !"o!iedade $áica de #n modelo de ="o"amaci%n Lineal /#e admite ol#ci%n& e /#e +ta e encont"a"á en el -+"tice o 6"onte"a 9t"amo; del dominio de !#nto 6acti$le. E deci"& i l#eo de "á6ica" el dominio ( e-al#a" lo ditinto -+"tice de modo de elei" el me'o" candidato e@n ea n#et"o cao 9el -alo" de la 6#nci%n o$'eti-o e"á la /#e no !e"miti"á dic"imina" c#al e el me'o" candidato de!endiendo i etamo ma:imi8ando o minimi8ando;.

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JESUS ALFREDO ANDRADE VAZQUEZ ING. ENERGETICA má ene"al& lo má:imo ( m>nimo de #n con'#nto 9como e de6ine en teo">a de con'#nto; on lo elemento ma(o" ( meno" en el con'#nto& c#ando e:iten. El locali8a" -alo"e e:t"emo e el o$'eti-o $áico de la o!timi8aci%n matemática. Máimos

Si 6 ( 6K on de"i-a$le en a& a e #n má:imo "elati-o o local i e c#m!le, 1. 6K9a; 5 ? 2. 6KK9a;  ? M"nimos

Si 6 ( 6K on de"i-a$le en a& a e #n m>nimo "elati-o o local i e c#m!le, 1. 6K9a; 5 ? 2. 6KK9a; M ?

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