III. ONDAS ELECTROMAGNETICAS Ecuaciones de Maxwell relacionan los E y B con sus fuentes: las cargas eléctricas, las corrientes y los campos variables. Las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de las ondas electromagnéticas. En el vacío o en un dieléctrico, los vectores de campo satisfacen una ecuación de onda simple, pero en un medio conductor hay un daño pronunciado o atenuación. En una onda electromagnética plana E y B yacen en un plano perpendicular a la dirección de propagación. Las ondas electromagnéticas, en contraste con las ondas elásticas son totalmente transversales. Se estudian las propiedades de polarización asociadas con su propagación. Ecuaciones de Maxwell
En forma integral
Ley de Gauss para E I.
En forma diferencial
∫∫ ε ∫∫∫ρ ∫∫ = ∂ ⋅ =− ∫ ∫∫ ∂ ⋅ ∂ ⎞ ⋅ = μ ⎛ ⎜ + ε ⎟⋅ ∫ ∫∫ ⎝ ∂ ⎠ E.d S =
1
dV
1.
∇⋅E = ρ ε
2.
∇⋅B = 0
3.
∇×E = −
4.
∂E ⎞ ∇ × B = μ⎛ ⎜J + ε ⎟ ∂t ⎠ ⎝
V
A
Ley de Gauss para B II.
B.d S
0
A
Ley de Faraday-Henry III.
B
E d l
t
A
l
Ley de Amprere-Maxwell Amprere-Maxwell
B d l
IV.
d S
J
B t
d S
A
l
∂B ∂t
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son muy útiles para deducir los aspectos ondulatorios del campo electromagnético. electromagnético. La transición de la forma integral a la forma diferencial se logra haciendo uso de dos teoremas del cálculo vectorial: Teorema de la divergencia de Gauss
∫∫ ∫∫∫ ∫ ⋅ = ∫∫ ∇ × E.d S =
∇ ⋅ FdV
V
A
Teorema de Stokes
F d l
l
F ⋅ d S
A
El teorema de la divergencia de Gauss aplicado a la intensidad de l campo eléctrico E y usando (I) se obtiene (1); en la misma forma, el teorema de la divergencia aplicado al campo B y combinado con (II) da (2). El teorema de Stokes aplicado a la intensidad del campo eléctrico E y al compararla con (III) se obtiene (3). Una aplicación similar a B del teorema de Stokes, usando (IV) da (4).
Ecuación electromagnética de onda en forma general Se debe considerar la presencia de un medio. P (vector de polarización) es una medida del comportamiento general del medio, es el momento dipolar eléctrico resultante por unidad de volumen. El desplazamiento D = ε 0 E + P . Para un dieléctrico isotrópico, lineal, homogéneo, D = εE (5) La respuesta de los medios ópticos a los campos B es sólo ligeramente diferente de la del vacío. El material queda polarizado y se define M (vector de magnetización) como el momento dipolar magnético por unidad de volumen. La intensidad del campo magnético
H = μ 0−1 B − M Para un medio isotrópico lineal (no ferromagnético) y homogéneo, H = μ-1B (6) Junto con las ecuaciones (5) y (6) y la ley de Ohm J = σE (7), que es válida para conductores a temperaturas bajas ( σ es la conductividad del medio), forman las ecuaciones constitutivas de un medio. En un medio isotrópico, homogéneo, lineal (no ferro-eléctrico ni ferromagnético), el cual esta físicamente en reposo. Las ecuaciones de Maxwell quedan:
∇⋅E = ρ ε ∇⋅B = 0 ∂B ∇×E = − ∂t ∂E ∇ × B = μσE + με ∂t
(8) (9) (10) (11)
Tomando el rotacional de (11), simplificando el triple producto vectorial, sustituyendo (9) y sustituyendo (10) en la parte derecha se obtiene:
∂ 2B ∂B ∇ B − με 2 − μσ = 0 ∂t ∂t 2
(12)
Una ecuación similar se satisface para la intensidad del campo eléctrico. Tomando el rotacional de (10), simplificando, sustituyendo (8) y eliminando B sustituyendo (11) en la parte derecha se llega a
∂ 2E ∂E ∇ E − με 2 − μσ = ∇(ρ ε ) ∂t ∂t r
2
Para un medio no cargado ( ρ=0) u
∂ 2E ∂E ∇ E − με 2 − μσ = 0 ∂t ∂t 2
(13)
las ecuaciones (12) y (13) se conocen como ecuaciones telegráficas. Las derivadas de primer orden respecto del tiempo aparecen por la conducción de corriente y llevan a la disipación o amortiguamiento. En medios no conductores σ=0 y estas ecuaciones quedan:
∂ 2B ∇ B = με 2 ∂t ∂ 2E 2 ∇ E = με 2 ∂t 2
(14)
(15)
En el vacío ρ=0, σ=0, K e=1, K m=1, estas ecuaciones quedan simplemente
∂ 2B ∇ B = μ 0ε0 2 ∂t ∂ 2E 2 ∇ E = μ0ε0 2 ∂t 2
(14)
(15)
Ambas expresiones describen campos dependientes del acoplamiento espacio-tiempo y ambas tienen la forma de la ecuación diferencial de onda.
c=
1
μ0ε0
electromagnéticas en el vacío ≈ 3 ×10 8 m/s velocidad de todas las ondas electromagnéticas
En el espacio libre la onda electromagnética plana es transversal. E y B están en fase en todos los puntos en el espacio. Además E y B son mutuamente perpendiculares y su producto ExB apunta en la dirección de propagación.
Figura 1. Configuración de campo en u na OEM armónica plana
Figura 2. Campos armónicos E y B
3
III. Ondas Electromagnéticas Las ondas planas no son las únicas soluciones de las ecuaciones de Maxwell, la ecuación diferencial de onda permite muchas soluciones, entre las cuales están ondas esféricas y cilíndricas.
Figura 3. Porción de un frente de onda esférico lejos de la fuente
En óptica es de especial interés la respuesta de los materiales dieléctricos o no conductores a los campos electromagnéticos. La velocidad de fase en el medio es
v=
1
με
El índice de refracción absoluto n esta dado por
n=
c v
=
K e K m
La gran mayoría de las sustancias (excepto los ferromagnéticos), son muy débilmente magnéticas, entonces K m≈1 y resulta la conocida como la relación de Maxwell, o sea n =
K e .
En general K e y n son en realidad dependientes de la frecuencia. La dependencia de n con la longitud de onda (o color) es un efecto muy conocido llamado dispersión, por ejemplo un prisma dispersa la luz blanca en sus colores constitutivos. =0). 1. Ondas electromagnéticas planas en el espacio vacío ( Q=0, I =0). Maxwell demostró que las ondas electromagnéticas son una consecuencia natural de las leyes del electromagnetismo expresadas por:
1. ley de Gaus 2. ley de Gauss del magnetismo 3. ley de Faraday-Henry 4.
ley de Ampere-Maxwell
∫ E dA = 0 ∫ B dA = 0 d E l d B dA ⋅ = − ∫ ∫ dt S
S
n
n
C
∫
C
S
B ⋅ d l = μ 0 ε 0
d
n
∫
dt
E n dA
S
4
III. Ondas Electromagnéticas
∫
De la figura (a)
E ⋅ d l =E′(RS)-E(PQ ) = (E′-E)dy
PQRS
d E Sustituyendo en 3:
De la figura (b)
=
∫
dx
B ⋅ d l
PQRS
=−
d E dx
dxdy
−
d B dx
∫
B dA = Bdxdy
n PQRS
d B dt
(5)
= −B′(RS) + B(PQ ) = −( B′-B)dz = −
Sustituyendo en 4:
y
= ε 0μ 0
d B dx
dxdz
y
∫
E dA = Edxdy
n PQRS
d E dt
(6)
Derivando (5) con respecto a x y (6) con respecto a t (ó (ó al contrario)
d 2 E dx
2
=−
2
d E dx
2
d 2 B
= ε 0μ 0
−
,
dxdt 2
d E 2
dt
,
E=
d 2 B dx
2
= ε 0μ 0
d 2 E se obtiene:
dxdt
d 2 B d 2 B = ε 0 μ 0 2 donde c ( x 2− ct ) = E0 sen Edx dt k ( x − ct )
=
1
ε 0yμ 0
= 3x10 m s B = B( x − ct ) = 8
Onda plana linealmente polarizada. El plano de polarización es el plano en el que oscila E, en este caso XY .
Las amplitudes y los valores instantáneos de E y de B se relacionan por:
E0
= cB
0
o
B0
=
1 c
E0
y
E = cB
o
B
=
1 c
E
Luego
B0
sen k ( x − ct )
5
III. Ondas Electromagnéticas
Z
Los vectores E y B y la dirección de propagación u forman una triada ortogonal ordenada. El vector ExB apunta en la dirección de propagación u.
E = cu × B
o
B=
1 c
E×u
Las ondas electromagnéticas planas son transversales, con E y B perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación u.
Onda electromagnética polarizada circularmente hacia la derecha o dextrógira . Los campos E y B giran alrededor de la dirección de propagación pero sus magnitudes no cambian. Superposición de dos ondas armónicas perpendiculares con una diferencia de fase δ.
Superposición de dos MAS con direcciones perpendiculares de la misma frecuencia
x
δ
A cos wt ; y B cos wt
Ecuación de la Trayectoria:
x 2
y 2
2 xy
A 2
B 2
AB
cos δ
sen 2 δ
La superposición de dos m.a.s. perpendiculares de la misma frecuencia produce en general un movimiento elíptico. Levógiro o dextrogiro. Cuando A = B se tiene un movimiento circular. Si la diferencia de fase es 0 o π la superposición resultante da un m.a.s.
2. Energía y momentum de una onda electromagnética Las energías del campo eléctrico y del campo magnético son:
E e
= 12 ε ∫ E2 dV
y
Bm
=
1 2μ
∫
B
2
dV
la densidad de energía asociadas con E y B de una onda electromagnética en el vacío:
6
III. Ondas Electromagnéticas
Ε e,vol = ε 0 E 1 2
2
Ε m,vol =
y
1
B
2μ 0
Ε vol = Ε e,vol + Ε m,vol = ε 0 E2
2
1
la densidad de energía media
Ε vol,med = ε 0 E02 2
La intensidad de la onda electromagnética electromagnética
I = cΕ vol
= cε 0 E2
es el valor de la magnitud del vector S, el cual tiene
la dirección de propagación de la OEM . El vector de Poyting S se define por:
1
S=
El flujo de energía o potencia requerida para mantener la OEM es:
Si la intensidad es constante en toda la superficie
μ0
E× B
⎛ dE ⎞ = S ⋅ d A = IdA ⎜ ⎟ ∫sup ∫ ⎝ dt ⎠
⎛ dE ⎞ = IA = Ε v ⎜ ⎟ vol ⎝ dt ⎠
La energía y el momentum se pueden relacionar por: p=vE /c2. Como v = c se obtiene:
el momentum por unidad de volumen
pvol
=
Ε vol c
o en forma vectorial
p vol
=
Ε vol c
uˆ .
Una onda electromagnética porta momentum y momentum angular así como energía. 3. Presión de radiación Se ejerce presión sobre una superficie cuando una onda electromagnética incide sobre ella. Si la superficie es perfectamente absorbente, el momentum de la radiación por unidad de tiempo que llega es pvolcA. Si la radiación es absorbida por completo, la presión debida a la radiación es:
Incidencia normal
Prad = cpvol = Εvol =ε0E Superficie absorbente perfecto 2 Prad = 2cpvol = 2Εvol =2ε0E Superficie reflector perfecto perfecto 2
Incidencia oblicua
Prad = 2cpvolcos θ = 2Εvol cos θ =2ε0E cos θ 2
2
2
2
Superficie reflector perfecto perfecto
7
III. Ondas Electromagnéticas Si la radiación se propaga en todas direcciones
Εvol 1 1 Prad = 3 cpvol = 3 Εvol Prad = 23 cpvol =
2 3
Superficie reflector perfecto perfecto Superficie absorbente perfecto
4. Radiación de dipolos oscilantes. Producción de OEM por medio de una antena Las fuentes que producen las ondas electromagnéticas son las mismas que producen los campo electromagnéticos, electromagnéticos, esto es, cargas en movimiento. Las ecuaciones de Maxwell predicen que las cargas aceleradas emiten ondas electromagnéticas. i) Radiación de dipolo eléctrico . Se produce cuando el movimiento relativo de cargas positivas y negativas se pueden describir de manera colectiva mediante un dipolo eléctrico ccuyo momento cambia con el tiempo de acuerdo con P=P0senwt . Por ejemplo, un electrón en un átomo cuyo movimiento normal es perturbado, o el de una corriente oscilatoria en una antena lineal de una estación de radio. A grandes distancias del dipolo eléctrico oscilante la solución de la ecuación de onda muestra que los campos eléctrico y magnético están orientados como se muestra en la figura, de manera que E y B sean perpendiculares. La dirección de ExB da la dirección del flujo de momentun y energía es hacia fuera. La amplitud y la dirección de los campos E y B dependen del ángulo θ que r forme con el eje del dipolo. Las ondas están polarizadas linealmente, con el campo eléctrico oscilando en el plano meridional. En la figura se muestran las líneas de fuerza eléctricas en un plano meridiano en un instante dado.
Líneas de E de un dipolo eléctrico oscilante en un instante.
Dependencia angular de la intensidad de la radicación.
ii) Radiación de dipolo magnético. Un dipolo magnético es una carga eléctrica que describe una pequeña trayectoria cerrada o una pequeña espira con corriente. Si la corriente varia de acuerdo con I = I 0senwt , constituye un dipolo magnético oscilante con un momento dipolar magnético M=M0senwt . El campo de radiación de un dipolo magnético oscilante es el inverso de los campos eléctrico y magnético de un dipolo eléctrico oscilante. A grandes distancias del dipolo el campo magnético está en el plano meridional, mientras que el campo eléctrico está en una dirección transversal, de modo que las líneas eléctricas de fuerza son círculos concéntricos con el eje Z y y paralelos al plano XY .
III. Ondas Electromagnéticas 5. Espectro de la radiación electromagnética
(i) Ondas de radiofrecuencia. Generadas por dispositivos electrónicos, principalmente circuitos oscilantes. Se utilizan en televisión y radio y en técnicas como la creación de imágenes mediante RMN. (ii) Microondas Generadas mediante dispositivos electrónicos se conocen también como UHF .Se utilizan en sistemas de radar y otros sistemas de comunicaciones, así como en el análisis de detalles muy finos de la estructura atómica y molecular.. iii) Espectro infrarrojo. Producidas por moléculas y cuerpos calientes cuyos átomos son excitados térmicamente. Aplicación en la industria, la medicina, la astronomía, etcétera. (iv) Luz o espectro visible. Banda estrecha de longitudes de onda a las cuales es sensible nuestra retina. Producida por átomos y moléculas como resultado de ajustes internos en el movimiento de sus componentes, principalmente de los electrones. La óptica. estudia los fenómenos luminosos, la visión y el diseño de instrumentos ópticos. Las diferentes sensaciones que produce la luz en el ojo, llamadas colores, dependen de la frecuencia (o de la longitud de onda) de la OEM, van del violeta (400nm) al rojo (700 nm). (y) Rayos ultravioleta. Producidos por átomos y moléculas excitados, así como por descargas eléctricas. Su energía es del orden de magnitud de la implicada en la ionización de átomos y la disociación molecular. El Sol es una fuente muy potente de radiación ultravioleta. La radiación ultravioleta del Sol actúa sobre los átomos de las capas superiores de la atmósfera, produciendo gran cantidad de iones: Ionosfera. Los rayos ultravioleta se utilizan en algunas aplicaciones médicas y en procesos de esterilización. esterilización. (vi) Rayos X. Descubiertos en 1895 por W.Rüntgen cuando estudiaba los rayos catódicos, son producidos por los electrones internos (los fuertemente ligados) de los átomos. Otra fuente de rayos X es el bremsstrahlung ó radiación de desaceleración de partículas.
Los rayos X actúan sobre los átomos y moléculas de las sustancias por las que se propagan, produciendo disociación e ionización. Se utilizan en diagnosis médica debido a que huesos y tejidos tienen diferente absorción de rayos X, y esto permite obtener un contraste claramente definido sobre una placa fotográfica. Como resultado de los procesos moleculares que inducen, ocasionan graves daños a organismos y tejidos tejidos vivientes. Se utilizan en el tratamiento tratamiento contra el cáncer, para destruir el tejido enfermo. Una pequeña cantidad de este tipo de radiación puede destruir también tejidos sanos; exposiciones a grandes dosis de rayos X puede ocasionar la muerte. (vii) Rayos . Son de origen nuclear. La energía de estas ondas electromagnéticas es del mismo orden de magnitud que la de las energías implicadas en los procesos nucleares y, por consiguiente, la absorción de rayos γ puede producir algunos cambios nucleares. La radiación γ se produce en muchas sustancias radiactivas ( 60Co y 137Cs), se encuentra en grandes cantidades en los reactores nucleares y en la radiación cósmica. No es absorbida fácilmente por la mayoría de las sustancias, pero cuando un organismo viviente la absorbe, produce en él graves efectos. Aun así, los rayos γ se utilizan para tratar algunas formas de cáncer.
8
9
III. Ondas Electromagnéticas 6. Polarización de ondas electromagnéticas
Polarización mediante absorción selectiva
Land descubrió en 1938 el Polaroid, polariza la luz a través de absorción selectiva por moléculas orientadas en láminas delgadas de hidrocarburos de cadena larga. En un polarizador ideal, toda la luz con E paralelo al eje de transmisión se transmite y con E perpendicular al eje se absorbe. Polarización por reflexión
Si
θ r + θ′r = π 2 ⇒ sen θ r = cos θ′r = cos θ i ,luego de la ley de Snell:
θ B = tg −1 (n21 ) ángulo de polarización
ley de Brewster
Al correspondiente ángulo de incidencia θi = θB se le llama ángulo de polarización . Polarización por refracciones sucesivas
La onda refractada nunca se puede polarizar completamente. Sin embargo, si una onda electromagnética se transmite por un conjunto de placas paralelas adyacentes con un ángulo de incidencia igual al de polarización, la componente perpendicular tiende a irse con la onda reflejada cada vez que cruza de una placa a la siguiente. siguiente. La onda transmitida está siempre en fase con la incidente pero la onda reflejada puede estar en fase ó tener un desfase de π con respecto a ella.
10
III. Ondas Electromagnéticas Polarización por dispersión Cuando incide luz sobre cualquier material, los electrones de este pueden absorber y re-rradiar parte de la luz. La luz solar llega a la tierra parcialmente polariza-da. El efecto efecto se llama dispersión. Cuando luz incide sobre una molécula de gas de diámetro d << λ, la intensidad relativa de la luz dispersada varía como 1/λ4 explica porque el cielo se ve azul y los tonos rojizos al amanecer y al anochecer. La neblina en muchas ciudades industriales se debe a la dispersión de la luz por las partículas de aire.
Reflexión y refracción en superficies metálicas o en gases ionizados La onda electromagnética que penetra en conductores se atenúa rápidamente, debido a la disipación de la energía de la onda. Esto explica la opacidad y la gran reflectancia de los conductores.
Polarización por doble refracción o birrefringencia
Cuando una onda transversal se propaga en un medio anisótropo, la velocidad de propagación de la onda depende de las direcciones de polarización y de propagación de la onda. Los cristales pueden ser isótropos (amorfos) o anisótropos. En cristales uniaxiales se definen dos ondas: la onda ordinaria y la onda extraordinaria.
Actividad óptica
Una sustancia es activa ópticamente si gira el plano de polarización de la luz transmitida. El ángulo de giro depende del espesor de la muestra y de la concentración (si la sustancia es una solución). Un material es activo ópticamente debido a la asimetría de sus moléculas. Otros materiales como el vidrio y el plástico se vuelven activos ópticamente cuando se tensan.
Inteferencia
1
REFLEXIÓN, REFRACCIÓN
Reflexión y Refracción : ocurre cuando una onda encuentra la superficie que separa dos medios diferentes. Onda reflejada: onda que regresa por el medio a través del cual se propagó la onda incidente. Onda refractada: es la que se transmite al segundo medio. Principio de Huygens: Una superficie de onda o un frente de onda es una superficie que pasa por todos los puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio al mismo instante. El principio de Huygens fue publicado en 1690 y establece que cada punto en un frente de onda primario sirve como fuente de onditas esféricas secundarias tales que el frente de onda primario un momento más tarde es la envolvente de estas onditas.
Construcción de Huygens para una onda progresiva
La onda en P se puede calcular si se conoce la onda en los puntos de la superficie cerrada
El principio de Huygens resulta razonable al aplicarse a ondas mecánicas que se propagan em la materia, pero Kirchhoff a fines del siglo XIX, realizó un tratamiento matemático al saberse de la existencia de las OEM. En forma sencilla se puede presentar como: Se puede obtener la perturbación en un punto P en el tiempo t si se conocen los valores de la perturbación en cada elemento de superficie dS sobre una superficie S y se supone que los elementos de superficie actúan como fuentes de ondas secundarias. El movimiento ondulatorio en cualquier punto se obtiene sumando los movimientos ondulatorios debidos a estas fuentes secundarias. Se concluye que: cada elemento de superficie superficie dS de la superficie superficie cerrada S actúa como una fuente secundaria de ondas. Principio de Huygens.
Reflexión y refracción de ondas planas
Ondas y rayos incidentes, reflejados y refractados Leyes: i)
ii)
Las direcciones de incidencia, refracción y reflexión se encuentran en un mismo plano, normal a la superficie de separación luego, contiene a la normal N a la superficie. El ángulo de incidencia es igual al de la reflexión. Esto es,
θ i = θ ′r iii)
El cociente del seno del ángulo de incidencia entre el seno del ángulo de refracción es constante e igual índice de refracción del medio (2) respecto al medio (1) (ley de Snell) . Esto es
senθ i senθ r
= n 21 =
n2 n1
donde n es el índice de refracción n =
c v
Profesora: María del Carmen Lasprilla A.
Inteferencia
2
INTERFERENCIA
Cuando dos o mas ondas coinciden en el espacio y el tiempo existe una interferencia. La interferencia interferencia se da, por ejemplo , en la región en que las ondas reflejadas e incidentes coinciden. Cuando se confina el movimiento a una región limitada del espacio, la interferencia produce ondas estacionarias.
1. Interferencia producida por dos fuentes sincronizadas Consideremos dos fuentes puntuales S 1 y S2 , que oscilan en fase con la misma frecuencia angular ω y amplitudes A 1 y A2. Sus respectivas ondas esféricas son: ξ1 = A1 sen(wt − kr 1 ) y ξ 2 = A2 sen(wt − kr 2 )
Condición de fase
2π (r − r ) λ 1 2 A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos δ . Si A1 = A2 ⇒ ξ = ξ1 + ξ 2 = 2 A0 cos 12 δ sen(wt + 12 δ) y
δ = kr 1 − kr 2 =
I = 4 I 1 cos 2
1 2
δ
interferencia constructiva, m = 0,±1,±2,±3,.. 2mπ = (2m + 1)π interferencia destructiva interferencia constructiva mλ r 1 − r 2 = cons tan te = λ (2m + 1) 2 interferencia destructiva
δ
Coherencia. En cada punto del espacio, el movimiento ondulatorio resultante tiene una amplitud característica característica A, de modo que ξ = A sen(ωt -
α).. Así, el resultado de la interferencia no tiene la apariencia de una onda progresiva, sino de una situación estacionaria en la que, en cada punto del espacio, el movimiento oscilatorio tiene amplitud y fase fijas. La razón de esto es que las dos fuentes oscilan con la misma frecuencia y mantienen una diferencia de fase constante; por tanto, se dice que son coherentes. Si la diferencia de fase de las fuentes cambia erráticamente con el tiempo, incluso si las fuentes tienen la misma frecuencia, se observa un patrón de interferencia no estacionario y se dice que las fuentes son incoherentes. Esto es lo que sucede con las fuentes de luz compuestas por un gran número de átomos de la misma clase, que emiten luz de la misma frecuencia. Como existen muchos átomos implicados implicados en cada fuente y no oscilan en fase, no se observa un patrón de interferencia definido. Por esa razón no observamos interferencia de dos bombillas. Una forma efectiva, de producir dos haces coherentes de luz es dividiendo un haz luminoso en dos y recombinando los haces en un cierto punto. Una manera de dividir un haz de luz es mediante un biprisma de Fresnel, que está compuesto por dos prismas unidos por su base (ver fig.). La luz que proviene de la fuente S es refractada en cada prisma y separada en dos haces coherentes que parecen provenir de dos fuentes coherentes S 1 y S2. Éstas son las imágenes de S producidas por cada prisma. La coherencia se asegura, en este caso, porque los haces provienen de la misma fuente luminosa. Los haces interfieren en la región sombreada. Para diferencias de fase grandes, la coherencia se destruye, debido a que los haces que interfieren son producidos por la fuente en tiempos muy separados, de modo que, microscópicamente, microscópicamente, la fuente no es la misma en ambos instantes y las diferencias de fase no son constantes. Un aparato aún más sencillo es el que usó Thomas Young (1773-1829), quien con sus primeros experimentos sobre interferencia de luz demostró concluyentemente que la luz es un fenómeno ondulatorio. Su dispositivo (Fig) consistía en dos pequeños orificios o ranuras S 1 y S 2 separadas por una distancia muy corta en una pantalla, y una fuente Profesora: María del Carmen Lasprilla A.
Inteferencia
3
luminosa S colocada detrás de la pantalla. Las ranuras se comportan como un par de fuentes coherentes cuyas ondas interfieren delante de la pantalla. En el caso de la luz, el patrón de interferencia es observado en una segunda pantalla colocada paralelamente a las fuentes S1 y S2. En esta pantalla aparece una serie de franjas oscuras y brillantes alternadas (Fig.), debidas a la intersección de la pantalla con las superficies ventrales y nodales.
Biprisma de Fresnel
Experimento de Young
2π (r 1 − r 2 ) λ 2π = a sen θ λ mλ sen θ =
δ=
a
x =
mD a
λ
2. Interferencia de varias fuentes sincronizadas Se considera ahora el caso de varias ( N ) fuentes sincronizadas e idénticas, distribuidas linealmente según la Fig. Se supone que el movimiento ondulatorio resultante se observa a una distancia muy grande comparada con la separación de las fuentes de modo que los rayos que interfieren son, efectivamente paralelos. Entre rayos paralelos existe una diferencia de fase constante δ
=
2π λ
asenθ
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Inteferencia
4
Cinco fuentes coherentes igualmente espaciadas.
La
máxima
sen θ =
mλ
amplitud
ocurre
cuando
Amplitud resultante cuando la diferencia de fase es cero. La amplitud resultante es A = NA1 y la intensidad máxima es I = = N 2 I 1
(máximos principales).
a
La intensidad es cero cuando N δ=2m' π ⇒ sen θ =
′ m λ Na
, donde m' ≠ N , 2 N , 3 N ,... ,...
Entre cada dos máximos principales existen ( N N - 1) ceros , además ( N N - 2) máximos secundarios.
α/2
La amplitud resultante en un punto arbitrario es: sen N δ 2 A = A1 sen (δ 2 ) y su intensidad es:
(
2 ) sen (δ 2 )
sen N δ
I = I 1
2
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ONDAS Y PARTÍCULAS
5
Distribución angular de la intensidad en el patrón de interferencia de las ondas generadas g eneradas por cuatro fuentes lineales coherentes espaciadas media longitud de onda. Intensidad del patrón de interferencia normalizado, para N = = 2, 4, 8 y muchas fuentes cada una de intensidad I 0.
Interferencia por reflexión o refracción en películas delgadas
2an cos θ r = 12 (2m + 1)λ (maxima reflexion, minima transmision) 2an cos θ r = mλ , m = 0 ,1 ,2 ,... (maxima transmision, minima reflexion) Si la luz incidente no es monocromática, las ecuaciones anteriores dan valores diferentes de θr , y por tanto también de θi, para cada longitud de onda λ. En el caso de luz monocromática, se produce una sucesión de bandas brillantes y oscuras, y en el caso de luz blanca da como resultado una sucesión de bandas de colores. Esto explica los colores que se observan en películas delgadas de aceite que flotan en el agua.
DIFRACCION En general. la difracción ocurre cuando las ondas pasan a través de pequeñas aberturas, alrededor de obstáculos o por bordes afilados. Cuando luz pasa por una pequeña abertura se observa un patrón de interferencia en lugar de un punto definido de luz, lo que muestra que la luz se dispersa más allá de la abertura en las regiones donde se esperaría una sombra si la luz viajara en línea recta. Otras ondas, como la sonoras y las que se producen en el agua, también tienen esta propiedad dc ser capaces de rodear esquinas. Este fenómeno, característico del movimiento ondulatorio y conocido como difracción, puede considerarse como interferencia de un gran número de fuentes de onda coherentes. El efecto es más notorio cuando las dimensiones de las ranuras u obstáculos se aproximan a las longitudes de onda de las ondas.
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ONDAS Y PARTÍCULAS
6
Patrón de difracción de Fresnel
Difracción de fresnel de una ranura rectangular
Difracción de un borde recto recto y distribución de intensidades intensidades
Difracción de Fresnel. Los rayos se originan en una fuente puntual o/y se observan los rayos difractados cerca de la abertura u obstáculo. Difracción de Fraunhofer. Cuando las ondas incidentes son planas, de manera que los rayos son paralelos al llegar a una abertura u obstáculo; se observa el patrón a una distancia bastante grande (infinita), o en el plano focal de una lente convergente, colocada después del obstáculo. 1. Difracción de Fraunhofer producida por una ranura rectangular, muy angosta y larga.
• Se
presentan
ceros de intensidad para b sen θ = mλ , m ≠ 0 .En m = 0 se tiene un máximo pronunciado. • Entre cada dos ceros de intensidad existe un máximo que disminuye gradualmente. • El ancho angular del máximo central es el doble que el de los demás. Los primeros ceros de intensidad a cualquier lado del máximo central corresponden a:
θ ≈ senθ = ± Para r 1 − r 2 = entero impar x ( 12 λ ) hay interferencia constructiva.
λ b
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Difracción
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La diferencia de fase total es: α = 2π bsen θ . A cierto ángulo θ la amplitud de la onda en P, es igual a la longitud de la λ sen β 2 y cuerda en la figura: Aθ = 2 Rsen(α ). Y la longitud del arco es: A0 = α R. Se obtiene: Aθ = A0 2 β 2 2
sen(πbsenθ ) sen(α ) λ 2 = I 0 I θ = I 0 πbsenθ α 2 λ
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Poder resolvente o separador de una ranura. Criterio de Rayleigh.
El poder resolvente de una ranura, es el mínimo ángulo subtendido por dos ondas incidentes que provienen de dos fuentes puntuales distantes, cuyos respectivos patrones de difracción se pueden separar. Para que esto ocurra θ = λ . b
Difracción de Fraunhofer producida por una abertura circular El ángulo correspondiente al primer anillo oscuro está dado por:
θ ≅ sen θ = 1.22
λ λ = 1.22 D 2 R
Profesora: Maria del Carmen Lasprilla A.
Difracción
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Poder resolvente de una abertura circular
Interferencia-difracción de dos rendijas La distribución de intensidad resultante es: I = = I 0 (factor de difraccion de una ranura ) x (factor de interferencia de las ondas difractadas ) 2
2 sen(πbsenθ ) sen(α ) 2 δ λ cos 2 (πasenθ ) 2 I = I 0 cos ( 2 ) = I 0 λ πbsenθ α λ 2
Se tiene una combinación de difracción e interferencia. senθ
=
senθ
=
mλ a m′λ b
(maximos de interferencia) (ceros de difraccion)
3. Redes de difracción El patrón esta formado por una serie de franjas brillantes correspondientes a los máximos principales del patrón de interferencia que para incidencia normal son:
sen θ =
mλ a
donde m = 0,±1,±2,...
moduladas por el patrón de difracción cuyos ceros son:
sen θ =
m′λ b
donde m′ = ±1,±2,...
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Difracción
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Los máximos principales se clasifican como primer, segundo, ectcétera orden de difracción. Cuando sobre una red o rejilla incide luz de varias longitudes de onda, las diferentes longitudes de onda producen máximos de difracción a diferentes ángulos, excepto en el orden cero que es común a todas. El conjunto de máximos de un cierto orden para todas las longitudes longitudes de onda constituye constituye un espectro, de tal forma que se tienen espextros de primer orden, segundo, terceto, etc. Y cuandto mayor sea la longitud de onda, mayor sera la desviación para cualquier orden del espectro. Por tanto el rojo se dewvia mas que el violeta.
Poder separador de una rejilla: R =
λ = Nm , donde N es el número de líneas de la rejilla y ∆λ
m el orden del
espectro.
Espectroscopio de red
Profesora: Maria del Carmen Lasprilla A.
