EL PISTON
¿Qué es un pistón? El pistón es una pieza del motor de un automóvil, cuyo movi miento lineal produce produc e un movimiento circular cuando se acopla a un sistema de biela-manivela. Es posible modelar el movimiento generado como un movimiento armónico simple (MAS). Este principio se utilizó desde 1712 en máquinas de vapor a baja presión para extraer carbón; su construcción se atribuye a Thomas Newcomen. Después se utilizó en buques y barcos de vapor, poco después, en locomotoras y más adelante en motores de combustión interna.
La frecuencia del pistón. ¿Cómo reconocer parámetros? Del modelo que estudiaste para la velocidad del resorte y = A sen (Bt + C) + D, la amplitud A corresponde a la mitad de la longitud total d que recorre el émbolo dentro del pistón. Piensa en la
función
de
velocidad
del
movimiento
de
la
biela.
La frecuencia corresponde corres ponde al número de veces que gira la rueda conectada a la biela por unidad de tiempo expresada en rad/s, o bien, expresada en términos de la velocidad angular:
ω = 2π fr = 2π/T. La longitud de la onda senoidal corresponde al punto donde la rueda llega al mismo punto de referencia, como en el caso de la llanta. Esto implica que B = Aω. Existe una C cuando empiezas a contar el tiempo t = 0 en un momento en que la velocidad inicial
no
El parámetro
D del
es
cero.
pistón de la locomotora se refiere a un cambio en el sistema de referencia,
es decir que si fueras en el tren y pudieras observar el movimiento del pistón, verías un MAS, pero si te encontraras en el suelo viendo cómo se mueve la locomotora, entonces a la velocidad del pistón le adicionarías la velocidad del tren, representada por la letra más que la velocidad
V T a
D,
que no es otra cosa
la que va corriendo el tren. v = - B sen ωt + V T
Como la velocidad V T es constante, la aceleración es cero y el parámetro
D es
cero en la
ecuación de la aceleración.
Existen varios fenómenos que se pueden modelar a través de un función senoidal o periódica. Ahora es momento de que pongas a prueba tus conocimientos para modelar el funcionamiento de un pistón. Con este modelaje realizarás algunas predicciones; también analizarás algunos de sus alcances y limitaciones.
Construye la función matemática que describe el movimiento del pistón. 1.Cálculos pertinentes y construcción del modelo algebraico. Ajuste de los parámetros Si la distanciad que recorre el émbolo dentro del pistón es de 1 m, la amplitud de la onda que describe el movimiento senoidal es 0.5 m. Por otro parte, la frecuencia (fr ) con la que se mueve la rueda que da movimiento a la biela es de 30 Hz. Con estos datos puedes calcular la frecuencia angular
ω = 2π fr= 2π*30 Hz = 188.50 rad/s y B = Aω = A2πfr = 0.5*2π*30 Hz = 94.25 rad/s. Si la
velocidad del tren fuese deV T= 30 km/h = 8.33 m/s, el modelo algebraico sería el siguiente:
v = -B sen ( ωt) = -94.25 sen (188.50 t) + 8.33 m/s 2.Interpretación de gráficas Construye la gráfica de velocidad con la función obtenida, parat desde 0 hasta 0.2 s, de 0.001 en 0.001 s y guárdala con el nombre depistón.xls. 3.Modificación de parámetros Supón que ahora tomas los siguientes valores:
Parámetros
Valores
A (m)
1.4
fr (Hz)
22
VT1 (m/s)
14
Escribe la nueva función y realiza la gráfica en la hoja 2 de tu archivo. Compara tu nueva gráfica con la anterior. ¿Qué diferencia notas entre ellas? ¿Qué significa este valor de frecuencia comparado con el del modelo anterior? 4.Predicciones Con estos cálculos realizados, predice lo que sucederá si mantienes los valores del punto 3 y modificas:
Parámetros VT2 (m/s)
Valores 18
Escribe la función, grafícala en la hoja 3 de tu archivo y contesta ahí mismo. 5.Alcances y limitación del modelo Para este modelo se considera constante la velocidad del pistón y de la locomotora. Supón que no hay desgaste del émbolo dentro del pistón (no hay fricción). Si tomas como ejemplo un motor de gasolina, el número de vueltas será mucho mayor y la velocidad, tanto del pistón como del auto, podría ser mayor.
6.Desafío final Qué pasaría si variaras la frecuencia en tu modelo de pistón del punto 3 del problema. ¿Cómo esperarías que se modificara la gráfica? Realiza los cálculos pertinentes, escribe la función resultante y grafícala en la hoja 4. Parámetros Valores fr (Hz) 34 Guarda tu archivo con el nombre Pistón.lxls
