El enigma de las restricciones no holonómicas M. R. Flannerya School of Physics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia 30332 (Received 16 February 2004; accepted 8 October 2004)
RESUMEN
Se discuten los problemas asociados con la modificación del principio de Hamilton para cubrir limitaciones no holonómica por la aplicación del teorema de multiplicador del cálculo variacional. La razón de los problemas es sutil y se discute, junto con la razón por la cual las limitaciones no holonómica está fuera del ámbito de aplicación de principio variacional de Hamilton. Sin embargo, las limitaciones de velocidad lineal permanecen dentro del ámbito de aplicación de principio de D'Alembert. Un análisis cuidadoso e integral facilita la resolución de los aspectos desconcertantes de restricciones no holonómica.
INTRODUCCION La integral de acción; ̇
∫
desempeña un papel central en la dinámica de los sistemas físicos descritos por la función de Lagrange L. el principio de Hamilton establece que la trayectoria real q(t) de una partícula es el camino que hace de la acción S un mínimo. Es bien sabido que el principio de Hamilton, ̇
∫
Cuando se aplica a problemas que implican restricciones c-holonómicas con la forma geométrica,
conduce a las ecuaciones de Lagrange del movimiento cuya solución proporciona la dependencia del tiempo de las (n - c) coordenadas generalizadas para los grados de libertad sin restricciones. Para los problemas que requieren cálculo adicional de las fuerzas
de apremio
holonómica, el principio de Hamilton puede ser generalizado para producir resultados correctos simplemente reemplazando L de la ec. 2 por: ̇
∑
donde son los multiplicadores de Lagrange. La ec. 2 por lo tanto, se sustituye por el principio generalizado de Hamilton, ∫
̇
desde el cual las ecuaciones de Euler-Lagrange ( ̇
)
puede ser derivada a través de variaciones libres del conjunto extendido { } de las variables (n+c) que participan en la ec. 5 Debido a que son independientes de la velocidad generalizada ̇ , las primeras necuaciones del conjunto de Euler-Lagrange (6), proporcionan las ecuaciones correctas de estado. Debido a que (4) es independiente de ̇ , las últimas c ecuaciones del conjunto de Euler-Lagrange (6) para solo puede reproducir las ecuaciones (3) de restricción holonómica.
Un tema recurrente es si el principio de Hamilton (2) puede ser igualmente generalizado a fin de tratar las limitaciones no holonómicas, ̇ que dependen de las velocidades generalizadas ̇ , simplemente mediante la sustitución de ̇
∑ para L en la ec. 2.
Un teorema en el cálculo de variaciones parece, a primera vista, hecho a medida para tal conjetura. El teorema establece que la ruta de q(t) que hace que la integral de acción de la ecuación (1) tiene un extremo por debajo de las condiciones laterales (7) es la misma que el camino que hace del funcional modificado,
∫
̇
, un valor extremo, sin
ningún tipo de condiciones impuestas secundarias. Sobre la base de esta regla multiplicador, la conjetura, la sustitución de la ecuación (8) en la ecuación (2), fue simplemente adoptada sin reservas para el caso general (7) y las ecuaciones de estado se publicaron. Esta conjetura se convierte en un problema, sobre todo porque la regla multiplicador no produce las ecuaciones estándar de Estado como se obtiene del principio de D'Alembert más básico de los sistemas con limitaciones no holonómica menos generales, ̇
∑
̇
que ahora sólo son lineales en las velocidades ̇ . Sin embargo, la misma regla multiplicador funciona para las restricciones holonómicas en Eq. 3. La cuestión de si el uso de Eq. 8 en la ecuación 2 es una generalización viable de principio de Hamilton es de interés aquí, porque aboga por su uso y cita las ecuaciones de estado derivado de ello. Sin embargo, esta generalización ya había sido reconocida por ser incorrecta, ya que no reproducen las ecuaciones correctas de estado para sistemas con restricciones lineales de la ecuación. 9. Algunos libros de texto han indicado también la falacia de utilizar la ecuación. 8 en la ecuación 2. Sin embargo, la razón fundamental de su fracaso ha permanecido en la oscuridad. La regla multiplicador es de hecho correcta, como se indica, por lo que el hecho de que funciona para restricciones holonómicas (3), pero no para las restricciones no holonómica (7) plantea un dilema. Muchos ejemplos se pueden dar que ilustran explícitamente porque la ec. (8) no proporciona los resultados correctos como se obtiene de la mecánica newtoniana. En este trabajo, buscamos la razón por la cual el procedimiento falla y, al hacerlo, también explica por qué el registro adecuado de las restricciones no holonómica dadas por las ecuaciones 7 y 9 se encuentra fuera del ámbito de aplicación del principio de Hamilton, a pesar de las
restricciones lineales de la ecuación. (9) queda dentro del ámbito de aplicación de principio D'Alembert. Vamos a encontrar las condiciones que debe satisfacer la ec. (8) para la sustitución válida en la ec. (2). También indicaremos qué las restricciones holonómica generales de la ec. (7) se encuentran fuera del ámbito de aplicación de un principio basado en desplazamientos virtuales. En lugar de a partir de la ec. (2) y que muestra, como se ha hecho, de que una aplicación que implica la ecuación 7 o 9 conduce a resultados erróneos, una visión más clara se puede obtener mediante el trazado de las diversas etapas de desarrollo del principio variacional, la ec. 2, desde el principio fundamental de D'Alembert. La razón esencial se pondrá de manifiesto a continuación. Debido a que teoremas y métodos variacionales son herramientas esenciales de la dinámica analítica moderna y porque varias falacias que subyacen a su uso son sutiles y no son por lo general bien apreciadas, se espera que el siguiente relato ayude a iluminar su ámbito de aplicación.
RESULTADOS Y CONCLUSIONES En este trabajo se ha presentado la razón básica por la cual el principio variacional de Hamilton y el principio más básico de D'Alembert no pueden generalizarse al sustituir el lagrangiano aumentado ̇
∑
ya sea en la ecuación que define el principio de Hamilton (2) o el principio de D’ Alembert (9) para cubrir las limitaciones holonómicas generales, como la regla de multiplicador en el cálculo de variaciones podría sugerir.
∫
*
( ̇
)
̇
+
La regla multiplicador requiere que las condiciones laterales deben satisfacerse en todos los caminos variados, por lo tanto deben ser geométricamente posibles; los desplazamientos en sistemas no holonómicos violan esta regla, ya que causa cambios distintos de cero en las condiciones de restricción y los caminos desplazados no son geométricamente posibles. La restricción se satisface sólo por la ruta de acceso física real q(t) en el espacio de configuración. La regla multiplicador por lo tanto, no puede ser utilizado para generalizar el principio de Hamilton o el principio de D'Alembert para cubrir las limitaciones no holonómica. No obstante, se puede aplicar a todas las restricciones lineales exactas holonómicas y semiholonomicas que tienen la propiedad de que todos los caminos son desplazados geométricamente de acuerdo con la regla de multiplicador. Hemos trazado el desarrollo de diversos principios generalizados del principio básico D'Alembert, de tal modo que se haga transparente su ámbito de aplicación; obteniendo las siguientes conclusiones:
El principio básico de D'Alembert, (9) de todos los principios que aquí se consideran.
es
el
más
fundamental
El principio básico de D'Alembert (9) y el principio variacional de Hamilton (2), están bien diseñadas para los sistemas holonómicos. La ecuación (10) es la ecuación de estado.
(
(
+
) ̇
Las ecuaciones correctas de Estado (12) de limitaciones holonómica lineales generales están definidas sólo por el principio básico de D'Alembert (9), o su versión integrada de tiempo, el principio integral de Hamilton (13). ( ̇
)
∫
)
Cuando se buscan las fuerzas de restricción en los sistemas holonómicos, El principio generalizado de D'Alembert, la ecuación (11) y principio generalizado de Hamilton, la ecuación (5), son apropiados, ya que la variedad de caminos con restricciones holonómicas son geométricamente posibles. La ecuación (6) es la ecuación de estado.
*
̇
∫
[
∫ [
]
]
Los principios generalizados, (14) y (15), son válidas para los sistemas semiholonomicos. En estos principios generalizados, las restricciones se incluyen de forma automática y los desplazamientos son libres. La ecuación (16) de estado de los sistemas semiholonomos, es decir, aquellos que satisfacen las condiciones para la exactitud y por lo tanto geométricamente posibles.
*
(
̇
∫
̇
∫ [
( ̇
+
) ̇
)
]
Principios generalizados no son apropiados para las restricciones holonómica lineales, debido a que las ecuaciones de restricción no son exactos y cambian en un variado camino de variada trayectoria. La regla multiplicador subyacente entonces pierde validez.
La teoría de restricciones no holonómica con una dependencia general de velocidad permanece fuera del alcance del principio más fundamental, la ec. (14) de D'Alembert. Es imposible de extraer de las ecuaciones de limitaciones no holonómica generales la relación lineal entre la es requerida para la aplicación del principio de D'Alembert a menos que las restricciones sean bien lineales en velocidad o holonómica. Las restricciones no holonómicas están por lo tanto fuera del alcance de cualquiera de los principios basados en el principio de D'Alembert. Las conclusiones anteriores reflejan el mérito intrínseco de reconstruir el principio de variación (Ec. 2), desde el más fundamental principio de D'Alembert (Ec.14) a través de la ecuación (17), de modo que exista validez de las diversas etapas implicadas. Los errores pueden ocurrir fácilmente arbitrariamente invocando la regla multiplicador para hacer valer los principios generales como la ecuación 14 y 15, sin antes conocer el estado crítico, pero oculta que las variadas rutas de acceso deben ser geométricamente posibles. Hemos demostrado aquí que la condición se cumple sólo para los sistemas holonómicos y semiholonomicos. [
]
Las restricciones no holonómicas generales, ̇ pueden ser analizados por otros principios que implican, por ejemplo, los desplazamientos de velocidad virtuales (Jourdain), construidos mediante el mantenimiento de tanto la configuración de q y t de tiempo fijados, en contraste con desplazamientos virtuales que mantener sólo fijado t.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POSGRADO Sección de posgrado en ciencias físicas y matemáticas
MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS
Tema de investigación
El enigma de las restricciones no holonómicas
Alumno Agreda Delgado, Jhenry
Docente Dr. Ely Miguel
Curso Tópicos de mecánica clásica
Ciclo: I
Trujillo _ Perú 2013
