Aplicación del cable colgante
EL CABLE COLGANTE INTRODUCCIÓN El cable es un elemento flexible que sumado a su flexibilidad, versatilidad y economía, se ha convertido en un elemento indispensable en muchas obras de ingeniería como puentes tanto grandes como pequeños, así como también en conexiones eléctricas etc. Se dice que un cable es perfectamente flexible cuando no ofrece ninguna resistencia a la flexión. Un cable flexible no puede transmitir una fuerza más que a lo largo de su eje; esto es la tensión en un punto cualquiera y es tangente a la curva asumida por el cable. Aunque los cables y las cuerdas que se encuentran en la práctica no son perfectamente flexibles, la resistencia que ofrecen a encorvarse es tan pequeña que puede despreciarse sin cometer un grave error. En el estudio de los cables supondremos que estos son perfectamente flexibles e inextensibles. Como decíamos si un cable está sometido únicamente a su propio peso y es sostenido de sus extremos, adopta la forma de una catenaria. Ahora bien, si suponemos que un cable no tiene masa y colgamos de él una carga uniformemente repartida, el cable describe una parábola de segundo grado. En un puente colgante se solapan ambas figuras porque los cables han de soportar su peso propio y el tablero o superficie de paso. Es importante destacar que los cables, al carecer de rigidez a flexión, adquieren por sí mismos la figura geométrica que le hace estar en equilibrio, Los cables (denominados principales, sustentadores o portantes), son la característica fundamental de los puentes colgantes. El que la estructura sustentante principal (los cables portantes) esté sometida a tracción supone un ahorro de material enorme. Baste dar el típico ejemplo de un bastón de madera: si te apoyas con fuerza sobre la empuñadura, comprimiéndolo, llega un momento en que se comba, se pandea, pudiendo llegar a la rotura si persistimos; en cambio, si de ese mismo bastón colgáramos una masa, fraccionándolo, resistiría varias veces nuestro peso sin problemas. Y es que los materiales no se comportan igual si los comprimes que si lo traccionas.
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MARCO TEORICO En los puente colgantes, la estructura resistente básica está formada por los cables principales, que se fijan en los extremos del vano a salvar, y tienen la flecha necesaria para soportar mediante un mecanismo de tracción pura, las cargas que actúan sobre él. Estructura: es un conjunto de elementos capaces de soportar fuerzas y trasmitirlas a los puntos donde se apoya con el fin de ser resistente y estable. Estas fuerzas que actúan sobre una estructura se llaman cargas. Ejemplo de estructura de un puente colgante Las CARGAS pueden ser
El propio peso de la estructura El peso de los elementos que se colocan sobre ella. El viento que la empuja, la nieve que se posa sobre ella.
TIPOS DE ESFUERZOS Cuando una estructura está sometida a fuerzas, llamadas cargas, cada uno de sus elementos está sometido a esfuerzos. ESFUERZOS: Son las fuerzas que aparecen en los elementos de una estructura cuando está sometida a otras fuerzas o cargas
LA FUERZA DE TRACCIÓN Es el esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo. En un puente colgante la fuerza de tracción se localiza en los cables principales. Un cuerpo sometido a un esfuerzo de tracción sufre deformaciones positivas (estiramientos) en ciertas direcciones por efecto de la tracción. La fuerza de tracción es la que intenta estirar un objeto (tira de sus extremos fuerza que soportan cables de acero en puentes colgantes, etc.)
FUERZA DE CORTANTE. La tensión cortante o tensión de corte es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele representar con la letra griega tau En piezas prismáticas, las tensiones cortantes aparecen en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torso. En piezas alargadas, como vigas y FCNM-FISICA
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Aplicación del cable colgante pilares, el plano de referencia suele ser un paralelo a la sección transversal (i. e., uno perpendicular al eje longitudinal). A diferencia del esfuerzo normal, es más difícil de apreciar en las vigas ya que su efecto es menos evidente. Ejemplo de fuerzas cortantes: Pensemos en el puente hecho con un tronco de árbol. Cuando te paras a la mitad de este puente, el tronco no se estira ni se comprime pero la fuerza de tu peso tiende a fracturarlo en su centro. La fuerza de tu peso y las que se generan en los dos puntos de apoyo del árbol sobre el suelo no están alineadas. A este tipo de fuerzas que actúan en los extremos del tronco y a la fuerza que se imprime en su parte central, se les llama cortantes, y la mayoría de los materiales son poco resistentes a ellas
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FUNDAMENTO TEORICO De la Tercera Ley de Newton: Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud, sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta. Mira en un puente colgante deberá soportar el peso, a través de los cables, y habrá una tensión y deberá ser mayor del otro extremo, al del peso del puente en los anclajes (contraria sino el puente se va para abajo). El viento también se toma en cuenta. Actualmente los puentes colgantes se utilizan casi exclusivamente para grandes luces; por ello, salvo raras excepciones, todos tienen tablero metálico. El puente colgante es, igual que el arco, una estructura que resiste gracias a su forma; en este caso salva una determinada luz mediante un mecanismo resistente que funciona exclusivamente a tracción, evitando gracias a su flexibilidad, que aparezcan flexiones en él. El cable es un elemento flexible, lo que quiere decir que no tiene rigidez y por tanto resiste flexiones.
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OBJETIBOS OBJETIVOS GENERALES
Dar a entender al mundo entero la importancia de los puentes colgantes en la vida para poder comunicar ciudades separadas por algún rio, brazo de mar, precipicios, etc. Entender y comprender como es funcionamiento interno de las fuerzas sobre la estructura de puente colgante, principalmente en los cables y las bases que los sostienen.
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DESARROLLO Considere un cable o una cuerda que cuelga de dos puntos A y B no necesariamente al mismo nivel. Suponiendo que el cable es flexible de modo que debido a fuerzas externas actuantes, o a una combinación de éstas) toma la forma como en la figura. Siendo “P” la posición más baja del cable, escogiendo los ejes x e y como en la figura, donde el eje y pasa por P.
C
Considere aquella parte del cable entre el punto más bajo y cualquier punto P en el cable con coordenadas (x, y). Esta parte estará en equilibrio debido a la tensión T en P , la fuerza horizontal T 1 en C , y la carga vertical total en el segmento CP del cable denotada por W(x), la cual asumimos que actúa en algún punto Q, no necesariamente en el centro del arco CP. Para el equilibrio, la suma algebraica de las fuerzas en la dirección x (u horizontal) debe ser igual a cero, y la suma algebraica de fuerzas en el eje y (o vertical) debe ser igual a cero. Otra forma de indicar lo mismo es que la suma de fuerzas hacia la derecha debe ser igual a la suma de las fuerzas hacia la izquierda, y la suma de fuerzas hacia arriba debe ser igual a la suma de fuerzas hacia abajo. Descomponemos la tensión T 2 en dos componentes, la componente horizontal con magnitud T 2cos Ɵ, y la componente vertical con magnitud T 2sen Ɵ. Las fuerzas en la dirección x son T 1 hacia la izquierda y T 2cos Ɵ hacia la derecha, mientras que las fuerzas en la dirección y son W hacia abajo y T 2sen Ɵ hacia arriba. De donde, haciendo equilibrio de acciones o fuerzas en las direcciones de los ejes tenemos: T 2sen Ɵ = W, T 2cos Ɵ = T 1
Dividiendo, y usando el hecho de que la tangente = dy/dx = pendiente en P, tenemos
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Aplicación del cable colgante En esta ecuación, T 1 es una constante, puesto que es la tensión en el punto más bajo, pero W puede depender de x . Derivando esta última ecuación con respecto a x , tenemos:
Ejemplo aclaratorio: Un cable de un puente colgante tiene sus soportes en el mismo nivel, separados a una distancia de L pies. Los soportes están a a pies por encima del punto mínimo del cable. Si el peso del cable es despreciable pero el puente tiene un peso uniforme de w libras por unidad de longitud. Solución: Colocamos el eje X coincidiendo con el tablero del puente y el eje Y pasando por el punto más bajo del cable
Cable flexible de peso despreciable, soporta un puente uniforme,
Peso
por unidad de longitud del puente es constante (en la dirección al eje x).
W(x): Función del peso del puente, w: peso por unidad de longitud del puente
Es una ecuación diferencial de 2º orden La cual puede ser resuelta mediante el método de Euler hacia adelante, la cual hemos digitado en fortran obteniendo un programa que al introduciendo los datos de manera correcta nos arrojaría todos los valores de de las flechas (cables verticales) y a qué distancia deben estar de la plataforma sin la necesidad de realizar los cálculos.
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El programa es el siguiente:
PROGRAM EULER_ADELANTE REAL(4)A,B,H,X(1000),Z(1000),Y(1000) 10 WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)' SOLUCION DE EDO METODO DE EULER HACIA ADELANTE' WRITE (*,*)'-----------------------------------------------' WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)'INGRESO DE DATOS' WRITE (*,*)'----------------' WRITE (*,*)' INGRESE EL NUMERO DE PUNTOS (N)' READ (*,*)N WRITE (*,*)' INGRESE LOS LIMITES DE OPERACION [A, B]' READ (*,*) A, B WRITE (*,*)'INGRESE LAS CONDICIONES INICIALES (X0, Y0, Z0)' READ (*,* )X(1),Y(1),Z(1) H=(B-A)/N DO I=1,N+1 X(I+1)=X(I)+H Z(I+1)=Z(I)+H*F(X(I),Y(I),Z(I)) Y(I+1)=Y(I)+H*Z(I) END DO WRITE (*,*)' RESULTADOS’ WRITE (*,*)'_____________' WRITE (*,*)'=============' WRITE (*,*)' X Y(X) Z(X)’ WRITE (*,*)'==============' DO J=1,N+1 WRITE (*,20)X(J),Y(J+1),Z(J) END DO 20 FORMAT (2X,F10.6,4X,F10.6,4X,F10.6) WRITE (*,*)'===============' END FUNCTION F(X,Y) F= (la función que dependerá de las condiciones dadas) RETURN END
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Veamos un ejemplo para poner en práctica este método: Los puntos A y B del puente colgante representado en la figura distan 100 metros la flecha en su centro es de 4 m, los cables tienen una tensión de 2083 KN en el punto más bajo. Determine tolas las longitudes de las flechas si estos están separados 2.5m cada uno y el peso total que soportan es de 5000 KN.
Datos: T=2083KN L= 100m; x = L/2=50 m
y0 = 4m
Para introducir estos datos al programa tendremos en cuenta el análisis solo para un tramo ya que al ser simétrico lo mismo ocurrirá tanto para el lado izquierdo como para el lado derecho tomando como referencia el punto más bajo del cable. N: numero de separaciones 20
Relación:
Utilizando la ecuación (ω)
Entonces en el programa tendríamos que introducir los datos: Número de puntos N=20 Limites de operación [A,B]=[0,50] (el margen de variación de x) Condiciones iniciales: X0=0, Y0=4, Z0=0 Y la función: 0.0*X+0.0*Z-0.0*Y+0.024
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Una vez digitado los datos obtenemos los resultados
Con esto tenemos las medidas de las flechas con sus respectivas distancias a colocarse.
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Aplicación del cable colgante Introduciendo estos datos en una tabla, realizando el grafico respectivo para obtener la forma aproximada del cable que estamos estudiando.
Grafica que muestra la longitud de las flechas “Y” en función de la distancia del centro hacia el pilar “X”.
X(m)
Y(m)
0
4
2.5
4.15
5
4.45
7.5
4.91
10
5.53
12.5
6.25
15
7.15
17.5
8.29
20
9.51
22.5
10.89
25
12.43
27.5
14.11
30
15.95
32.5
17.95
35
20.09
37.5
22.39
40
24.85
42.5
27.45
45
30.21
47.5
33.12
50
36.19
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CONCLUSIONES
Bien aplicando la Tercera Ley de Newton: por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud, sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta.
La fuerza se tracción se aplica entre dos fuerzas con direcciones opuestas que en el caso de los puentes se suelen localizar en los cables principales y producen el estiramiento.
Contrario a la fuerza de tracción la fuerza de compresión es la que se encarga de comprimir y apretar a los objetos en los que es aplicado.
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BIBLIOGRAFIA
Longman de México editores .Ecuaciones diferenciales. Isabel Carmona Jover pag.312
V. Jiménez, Ecuaciones diferenciales, Universidad de Murcia (1999). http://iesvillalbahervastecnologia.files.wordpress.com/2010/11/trabajoinvestigacion-estructuras-soluciones.pdf
http://www.unicauca.edu.co/matematicas/cats_ing/archivos/Cables_MURRA Y_%20P115%20B2.pdf
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