ejrcicios dnamica

CINEMATICA DE LA PARTICULA

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico De Ingeniería Civil Tema: DEMOSTRACION DE LA ACELERACION Alumno: REINA MORI WUILVER Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor:

Obtención de la formula de la aceleración con coordenadas cilíndricas:

Ejercicio

Nota:

Clave: 8.3 Grupo Horario:

Código: 16 A

075601-B Nº de página:

Nº de ejercicio:

Solución: Coordenadas cilíndricas:

=

̇

̇

+

̇ ̇)

( ̈

̈

̇ ̇ ̈

Del grafico podemos ver como resulta obtenerse “ ” y derivando el mismo obtenemos v; y derivando “v” obtenemos “a” de la siguiente manera: ̇ Pero: ̇

̈

̇̇

̇ ̇ ̇

̈

̇ ̇ ̇

;

̈

̇ ̇ ̇

;

Reemplazando y factorizando tenemos: ( ̈

̇) ̈

̇ ̇ ̈

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico De Ingeniería Civil

1.

 



Tema:

Ejercicio

Alumno:

Clave:

REINA MORI WUILVER Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

8.3 Grupo Horario:

Un punto que se mueve a lo largo del semieje positivo “x” con una velocidad inicial de 12 m/s esta sometido a una fuerza retardadora que le comunica una aceleración negativa. Si la aceleración varia linealmente con el tiempo desde cero hasta -3m/s2 durante los cuatro primeros segundos de aplicación de la fuerza, y permanece constante durante los 5 segundos siguientes, según se indica determinar 1.-La velocidad en el instante t=4s 2.-La distancia recorrida mas allá de su posición en t=0 hasta el punto donde interviene el sentido de su movimiento 3.-La velocidad y la posición de la partícula cuando t= 9

Nota:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


Solución:

Para tramo A

Calculamos velocidad para cualquier punto en el tramo A ∫

∫

Reemplazando calculamos v1

Calculamos la distancia para t = 6 xt=x1+ xt=40+6 xt=46m calculamos la posición de la particula para t=9 x2= xt x2=32.5m Nota: se utiliza el grafico v-t para calcular el desplazamiento. Respuestas: a) b)

xt=46m

c)

x2=32.5m

Para tramo B Calculamos velocidad para cualquier punto del tramo B ∫

∫

Reemplazando calculamos v2

Graficamos el movimiento de la partícula:

Viendo la gráfica vemos que interviene el sentido del movimiento cuando v = 0; calculamos “t”

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico De Ingeniería Civil Tema:

Ejercicio

Clave: REINA MORI WUILVER 8.3 Curso: Fecha: Grupo Horario: DINAMICA 16 A Texto: Autor: Nº de ejercicio: J.L.Meriam Dinámica edicion Solución:

Nota:

Alumno:

La bola es lanzada desde la torre con una velocidad de 20pies/s como se muestra. Determine las coordenadas x e y del punto en que la bola toca la pendiente. Determine también la rapidez con que la bola toca el suelo.

Código: 075601-B Nº de página:

Asumiendo para la bola en la pendiente:

Ecuación de la pendiente:

Asi:

Escogiendo la raíz positiva:

Como es valido


Ejercicio

Alumno: ACOSTA AGURTO MARCO ANTONIO Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

Clave:

Nota:

8.1 Grupo Horario:

Código: 16 A

071906-C Nº de página: 65

Nº de ejercicio: 2/68

El piloto de un avión que transporta un paquete de correo a un lugar remoto desea soltarlo en el momento justo para que alcance el punto A. ¿Qué ángulo θ con la horizontal deberá formar la visual al blanco en el instante del lanzamiento? El avión vuela horizontalmente a una altura de 152m con una velocidad de 193km/h.

Solución:

∫

∫

∫

∫

Cuando y=0, entonces t=? ……………….(1) En “x”: d=53.61t d=53.61(5.57) d=298.61m………en (1) calculando “θ”:

……………RPTA


Ejercicio


Clave:

Las coordenadas de un punto material que se mueven en el plano x-y vienen dadas por x=2t2+3t, y=t3/3-8 donde x e y están en metros y t es segundos. Determinar las velocidad v y la aceleración a, y los ángulos que forman los vectores con el eje x cuando t=3.

Nota:

8.1 Grupo Horario:

Código: 16 A



Solución:

Derivando por primera vez para obtener la velocidad: Para t=3: Entonces la velocidad es: √

………….RPTA

Derivando por segunda vez para obtener la aceleración: Para t=3: Entonces la aceleración es: √

………..RPTA

El ángulo de la velocidad con el eje “x” es: ………….RPTA El ángulo de la aceleración con el eje “x” es: …………RPTA


Ejercicio

CINEMATICA DE LA PARTICULA Alumno: MUÑOZ TELLO LELIS ELMER Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion Los carros de las instalaciones de un parque de atracciones estan sujetos a unos brazos de longitud R, los cuales estan articulados en un plato central giratorio que arrastra al conjunto en torno al eje vertical, con una velocidad ̇ . Los los constante carros suben y bajan por la pista siguiendo la relacon ( ) . Hallar las expresiones R, de la velocidad en cada carro cuando este pasa por la posicion

Nota:


Código: 16 A

071926-D Nº de página: 75


Solución: ⃗

 ̂

como vemos: ̂ ̂



Del grafico: ̂

⃗ Pero:

( )

√



̂ …………………………….I ̂

√

……………..1

…………………………………………………….2

reemplazando 1y 2 en I

⃗

√

̂

√

̂ ̂

Derivando la ecuación tenemos: ⃗⃗̇

⃗

(

)̂

√

(

)̂

√

̂ ̇

̇

Pero para

entonces tenemos:

√

⃗⃗̇ (

√

Pero ⃗

√

̂ ) ̂

̂

̂ √

(

̂

)

̂ :

Como R es constante:

; ̂

Pero para ⃗ ̂

(

√ √

√

̂

) ̂

√

(

̂ , además: √ √

) ̂

̂ .[

√

̂

√

̂]

√ √

√ √

Luego sabemos que: Pero: √ (

√ √

√ )

(

√

√

√

√

√

√

√

√

; luego:

)


Ejercicio

Alumno: MUÑOZ TELLO LELIS ELMER Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

Clave:

Un punto material que se mueve a lo largo de una línea recta tiene una velocidad en centímetros por segundo dada por donde esta expresada en segundos. Calcular la distancia total D recorrida durante el intervalo desde Hasta y hallar el desplazamiento s del punto material durante el mismo intervalo.

Nota:

8.4 Grupo Horario:

Código: 16 A



Solución: Si

∫ Para

Cuando Donde

| |

se produce el cambio de dirección del movimiento. | |

∫

Luego trabajamos en :

∫

Entonces

=23cm

Luego para encontrar s tenemos: ∫


Ejercicio

Alumno: COLCHADO UGALDEZ GUILLERMO F. Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

Clave:

Calcular la velocidad inicial mínima necesaria u; para que un proyectil disparado en A alcance un blanco B situado en el mismo plano horizontal y a una distancia de 10 Km.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A


Nº de ejercicio:

Solución: En el grafico: = =u = =u Ahora como a=-g =-g =∫

∫

=

- gt

Si = = ∫

=∫

–

Y=

–

Entonces si y=o para un 0=

– gt

⁄

–

=

Se sabe que la = =u θ

10000 = θ

θ

=

u=√

θ

Ahora para que u sea mínimo el radical tiene que ser mínimo donde a su vez para que se mínimo el denominador tendrá que ser máximo; luego como el denominador es la razón seno este es máximo cuando es 1; osea cuando el ángulo es 90º en este caso ⁄ ; entonces el u mínimo será u = √

= 313.209 m/s

RESPUESTA: El u mínimo necesario para que el proyectil alcance una distancia horizontal de 10Km es de 313.209 m/s


Ejercicio


Clave:

La velocidad de salida de la bala para un determinado fusil es de 450 m/s. Si el fusil de dispara hacia arriba apuntando en dirección vertical a bordo de un automóvil que se mueve horizontalmente con velocidad de 96 Km/h determinar el radio de curvatura de ρ de la trayectoria de la bala en el punto de altura máxima. Desprecie la resistencia del aire.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


Solución: 𝑣𝑦 =450 m/s 𝑣𝑥 = 96 K ⁄h =26.67

⁄

⁄ =

=26.67

=∫ X= 26.67t

∫

a=-g =-g ∫

=∫ = 450 - gt

En el punto más alto =0 → t = 45.92 seg. Ahora en el punto más alto solo tendrá componente horizontal por lo tanto su velocidad será V= 26.67 →

=

⁄ρ

Entonces: 9.81 =

⁄ρ

→ ρ = 72.58 m

Respuesta: El radio de curvatura en el punto más alto de la trayectoria será ρ = 72.58 m

CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.2 Grupo Horario:

La coordenada tiene una velocidad horizontal constante VB hacia la izquierda; cuando la varilla AB pasa por la posición vertical y la AO por la horizontal. Para ese instante determinar la aceleración angular de AO.

Nota:

Código: 16 A


Nº de ejercicio:

Solución:

Para la velocidad tenemos que: ̇

̇ ̇ ̇

También: ̇

̇

̇

; pero

̇

Igualando:

Concluimos que: ̈

̈

)

̈

)

̈ ̈

̈

̈


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.3 Grupo Horario:

El bloque se mueve hacia la izquierda con velocidad constante vo. Determine la velocidad angular y la aceleración angular de la barra en función de .

Nota:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


Solución:

Tenemos que:

Derivando miembro a miembro:

Derivando respecto al tiempo tenemos que:

Pero:

=


Ejercicio

Nota:

CUERPO RIGIDO Alumno: ACOSTA AGURTO MARCO ANTONIO Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion


Código: 16 A



Solución: El extremo B de la barra de 46 cm tiene una velocidad constante VB = 2 m/s hacia la izquierda. Calcular la aceleración del centro de masa G de la barra para la posición θ = 45º.

rA = rB + W * rBA rA = -2 i + W k * (-0.325 i + 0.325 j) rA j = (-2-0.325W) i - 0.325 j -2 – 0.325W = 0 W = -6.154 rad/s rA = 2 m/s rB = rA + α * rAB + W * (W * rAB) 0 = 0 – αK * (0.325 i -0.325 j) - 6.15 k [-6.154 k * (0.325 i -0.325 j)] 0 = -0.325α j + 0.325α i – 12.308 i +12.308 j 0 = (0.325α -12.308) i + (-0.325α + 12.308) j α = 37.87 rad/s2 rQ = rB + α * rBQ + W* (W * rBQ) rQ = 37.87 k (-0.163 i + 0.163 j) + (-6.154 k)[-6.154 k *(-0.163 i +0.163 j)] rQ = -6.173 j – 6.173 i +6.173 i -6.173 j rQ = -12.346 j rQ = -12.346 m/s2 ----RPTA


Ejercicio


Clave:

El vástago del pistón del cilindro hidráulico se mueve con celeridad constante de 0.2 m/s en la dirección indicada. Calcular la aceleración de B en el instante en el que el vástago AB alcanza la posición vertical con θ = 45º.

Nota:

8.1 Grupo Horario:

Código: 16 A



Solución: Como el vástago tiene una velocidad de 0.2 m/s entonces el punto A también la tendrá: rA = 0.2m/s rB = rA + W *rAB -rB j = 0.14 i + 0.14 j + W k * (-0.38 j) -rB j = (0.14 +0.38W) i +0.14 j 0.14 +0.38W = 0 W = -0.368 rad/s rB = rA + α * rAB + W * (W * rAB) rB j = α k* (-0.318 j) + (-0.368 k) * (-0.368 k * -0.38 j) rB j = 0.38α i + 0.051 j rB = 0.051 m/s2 => rB = 5.1 cm/s2 -----RPTA.


Ejercicio


Clave:

La oscilación vertical del pistón F se controla mediante un cambio periódico en la presión del cilindro hidráulico vertical E, Determinar para la posición θ= 60º; la velocidad angular de AD y la celeridad lineal del rodillo A en su guía horizontal para una velocidad hacia debajo de 3m/s del pistón F.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A

075601-B Nº de página: 280


Solución:

-3 ̂ = x ̂ + -3 ̂ = x ̂ + (0.3

̂

̂

j: -3 = 0.3 cos

;

=60º

i: x = -0.3 x= -0.3

;

=60º

(-20)

x= 5.19 m/s La velocidad angular de la barra AD será en sentido contrario a las agujas del reloj; y la velocidad lineal del rodillo en A será 5.19 m/s en sentido del eje X positivo.


Ejercicio


Clave:

Los collares A y C deslizan a lo largo de las varillas verticales y B de la horizontal. Si C tiene una velocidad hacia debajo de 0.2 m/s cuando alcanza para θ =45º; = 30º determinar la correspondiente velocidad angular AB.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A



Solución:

i)

+

ii)

+

x

-0.20 ̂ = x ̂ + -0.20 ̂ = x ̂ + 0.25 + 0.25

̂ ̂

j: -0.2 = 0.25 ; √ ⁄ = - 1.13 = i: 0 = x +0.25 x= 0.2 Ahora: i)

+ x 0.2 ̂ = -y ̂ + 0.2 ̂ = - y ̂ +( -0.25 0.25 ̂

̂) +

̂ = 0.92 rad/s Sentido contrario a las manecillas del reloj. La velocidad angular de la barra AB es de = 0.92 rad/s en sentido contrario a las manecillas del reloj.


Ejercicio


Clave:

Nota:

8.4 Grupo Horario:

Código: 16 A



Primero encontraremos los valores de θ, ɸ, β, ɣ, Ψ.

La varilla de presión P tiene una velocidad constante v= 1.2m/s durante un intervalo corto de su movimiento. Determinar la velocidad angular ω y la aceleración angular α de AB en el instante x=10 cm.

θ= ɣ= Ψ- θ Ψ= Ψ=71.79 ɸ= Ψ-(90- θ) ɸ=18.66. luego:

p

20cm

Ψ X=10cm

̇ ̂ ̂

̂ + ̂ (20cos34.92

Tambien: ̇ ̇ ̇ ̇ ̂ ̇ ̇

20cm

7.5cm θ

̇ ̇

B

A

̇ ̇ ̇

Y

V=1.2m/s

̇

X

̂ + ̂ (18.66

̂ ) ̂ ………………..I

̂ ) ̂

…………………………. II

Luego igualando I y II 6.4 =16.4 …………………………………….III Reemplazando III en la ecuación de igualdad. -20cos18.66*2.563 =-3.23rad/s ; Luego encontraremos la aceleración angular para AB. ̈

̈

ω

̂

̈ ̈

̂

ω ̂

̂

̂ ̂

̂

̈

̂ … ̂ ……………………1 ̈ ̈

̂

̈ 1299.18+6.4

ω

̂

ω ̂ ̂ -8.28 ̂ ̂+() … ̂ ……………………….2

Igualando 1y2 -119.45+16.4

Luego: -438.77-

=-1299.18+6.4

̂

̂


Ejercicio


Clave:

Uno de los mecanismos más frecuentes es el de corredera-bielacigüeñal. Expresar la velocidad angular ω y aceleración angular α de la biela en función del ángulo θ, siendo la velocidad angular constante del cigüeñal. Tómese para α y ω en sentido opuesto a las agujas del reloj como positivos.

B



Si trabajamos con OB ̇ ̇ * ̂ ̇ ̂ ̂ ̇ ̂ ̂ …………………….I Por consiguiente en BA ̇ ̇ * ̂ √ ̇ ̂ ̂ ̂ ̂ √ ̇ ̂ ̂ ̂ ̂ √ ̇ ̂ ̂ ̂ ̂

̂

en sentido de las agujas del reloj

Luego en: ̈ ̈ ̂ ̈ ̈

*

̂ ̂ ̂

̂ ̂

Luego en AB

θ X o

Código: 16 A

√

r.senθ A

8.4 Grupo Horario:

Y

r

I

Nota:

̈

̈

*

̈ ̂

̂

̂ ̂

( √

)̂ )] ̈ ̂

̂

̂

√

̂

̂ *( √

√

̂

̂

√ ̂ ̂

√ ̈ ̂

√ √

Para ̂ la aclaración en A es cero √

̂)

̂ ̂

̂ ̂

CINETICA DE LA PARTICULA: segunda ley de Newton


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.2 Grupo Horario:

El carro deportivo, que tiene masa de 1700 kg, esta viajando horizontalmente por una pista con 20º de inclinación lateral que es circular y tiene radio de curvatura ρ=100 m. Si el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y el camino es µ=0.2, determine la rapidez constante máxima a la que el carro puede viajar sin resbalar hacia arriba por la pendiente, desprecie el tamaño del carro. Determine la rapidez mínima a la que el carro puede viajar alrededor del camino sin resbalar hacia abajo por la pendiente.

Nota:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


Solución: Para la velocidad máxima tenemos que:

∑

………..I Pero: ∑ ……………..II Sabemos que:

y θ=20º

Reemplazando e Igualando en I y II:

Para la velocidad máxima tenemos que: ∑

…………..I Pero: ∑ ……………..II Sabemos que:

y θ=20º

Reemplazando e Igualando en I y II:


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.2 Grupo Horario:

La partícula tiene una masa de 0.5kg y esta obligada a moverse a lo largo de la ranura lisa horizontal debido a la rotación del brazo OA. Determine la fuerza de la barra sobre la partícula y la fuerza normal de la ranura sobre la partícula cuando θ=30º. La barra está girando con velocidad angular constante ̇ suponga que la partícula está en contacto con solo un lado de la ranura en cualquier instante.

Nota:

Código: 16 A


Nº de ejercicio:

Solución:

1.- Del D.C.L podemos ver que: …………………….I ∑ ……...II De I: Relacionamos “r”: ̇ ̇ ̈

̇

[

De los datos: Hallamos:

̇

̈ ̈

̇ ̈

̇ ̈ Sabemos que:

̈

̇ ̇

Reemplazando en II obtenemos:

]


Ejercicio

Nota:

SEGUNDA LEY Alumno:

Clave:

ACOSTA AGURTO MARCO ANTONIO. Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

8.1 Grupo Horario: 16 A Nº de ejercicio:

Código: 071906-C Nº de página:

El bloque A de 100 kg mostrado es liberado del reposo. Si se desprecian las masas de poleas y cuerdas, determine la rapidez del bloque B de 20 kg en 2 segundos.

Solución Σ Fy = m ay

T =327N

981 – 2T = 100*ay

aA = 3.27 m/s2

Σ Fy = m* ay

aB = -6.54 m/s2

196.2 – T =20*ay

V = VO + aB* t

2*SA + SB = L 2*aA = -aB

= 0 + (-6.54) *(2) = -13.1 m/s ----RPTA


Ejercicio

Nota:

SEGUNDA LEY Alumno:

Clave:

ACOSTA AGURTO MARCO ANTONIO. Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

8.1 Grupo Horario: 16 A Nº de ejercicio: 3/41

El miembro OA gira alrededor de un eje horizontal que pasa por O, en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj, con velocidad angular constante w=3 rad/s. cuando pasa por la posición θ=0º, se le coloca encima un pequeño peso P a una distancia r=45cm. Si se observa que el peso empieza a deslizar cuando θ=45º, determinar el coeficiente de rozamiento μ entre el peso y el miembro OA.

Solución

6.937-6.937μ=4.05 μ=0.42……………….RPTA.

Código: 071906C Nº de página: 158


Ejercicio


Clave:

Se abandona libremente en A; partiendo del reposo, objetos pequeños que caen deslizándose sobre la superficie lisa circular de radio R hasta una correa sin fin B, Determinar en función la expresión de la fuerza normal de contacto N que se ejerce entre la guía y cada objeto y especificar la velocidad angular w que ha de tener la polea de radio r de la correa sin fin para evitar cualquier deslizamiento sobre la correa sal ser transferidos a esta los objetos.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


Solución:

=m mg

=m

Si vdv = ∫

ds =∫ 2gR sen

=m N – mgsen

=m

N= 3mg sen La polea sin fricción debe girar con velocidad v=rw para = Por lo que:

W=

√

La fuerza normal de contacto es 3mgsen la velocidad angular será W=

√

;y


Ejercicio


Clave:

Un pequeño objeto se suelta en A a partir del reposo y desliza hacia abajo por la guía circular que presenta rozamiento. Si el coeficiente de rozamiento es 1/5 determinar la velocidad de objeto cuando pasa por B (sugerencia: escríbanse las ecuaciones de movimiento correspondientes a las direcciones n y t, elimínese N y sustitúyase vdv = r d realizando primero el cambio de variable u= de forma que du= 2 r d . La ecuación que resulta es una ecuación diferencial ⁄ lineal no homogénea del tipo + f(x)y = g(x) cuya solución es conocida)

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


solución:

U = 1/5 Las ecuaciones de movimiento del pequeño serán: =m

N – p sen

=m De (1)

-

N= p sen De (3) en (2) -

+ p cos

+

-

+ p cos

… (2)

=m ̇ + cos )

du = 2vdv

pero vdv= dv (w.r) =

Rd =

du = 2 Rd ̇ = 2 ̇R ̇ = Reemplazando en (4) = p(-

̇ + u( ) = 2Rg (Ecuación diferencial Homogénea

=m ̇

= p(-

hacemos u =

+

… (1)

…(3)

m ̇ +

̇

=

Rd

̇

+ cos ) + cos )

Resolviendo la ecuación diferencial: u= c)

=

∫

(∫

∫

2Rg(-

+ cos )

+

Integrando y operando resulta: V= √

(

)

Hallaremos c utilizando la condicon a= 0 v=0 C= Luego: V= √

⁄

(

)

Como: = V( = 5.57

⁄

La velocidad del objeto cuando pasa por el punto B es 5.57 ⁄ .

⁄


Ejercicio

Alumno:

Clave:

MUÑOZ TELLO LELIS ELMER Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

8.4 Grupo Horario:

Un trecho de autopista incluye una sección de crestas y valles igualmente espaciados, cuyo contorno puede ser representado por la función ( ). ¿Cuál es la celeridad máxima a la que puede ir el automóvil A por una cresta permaneciendo en contacto con el suelo? Si el coche mantiene esta celeridad crítica, ¿Cuánto vale la reacción total N que actúa sobre sus ruedas en el fondo de uno de sus valles? La masa del automóvil es m.

Nota:

Código: 16 A



A b

y

x L

Para encontrar la velocidad máxima, se debe trabajar ̅

̂ ̅

̂ ̅

̅

̅.

̂ ̅

(

)

̂

̂ (

)

Luego analizamos en el punto B más alto de la autopista. Luego como ̅ es constante, ̅̅̅

̂

̅̅̅ ∑

Pero para v=Max; √

√

=0

√

Para calcular N en el valle: ∑ ( ; luego

)

̂

̂


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.4 Grupo Horario:

La corredera P pesa 8 Kg y se mueve con rozamiento despreciable a lo largo de la ranura radial que pasa por O. el movimiento radial de la corredera está controlado por una cuerda ligera que desliza, a través de un pequeño agujero en el eje O con celeridad constante ̇ . Determinar la fuerza horizontal F ejercido por eje ranurado sobre la corredera cuando , si en ese instante y disminuye a razón de cada segundo. ¿Presiona la corredera sobre el lado A o B de la ranura? Determinar también la tención T de la cuerda en el instante descrito.

Nota:

Código: 16 A


Solución: ̇

Peso=8Kg

Masa= Solución Luego : ∑ Como F es horizontal en ese punto, el peso del cuerpo no actúa sobre la corredera. ( ̇ ̇

̈)

K

Entonces la corredera presiona sobre A

A r

∑ 8kg

o

̇ ̈

K

w


(

)

CINETICA DE LA PARTICULA: trabajo y energía


Ejercicio

Alumno:

Clave:

REINA MORI WUILVER Curso: Fecha: DINAMICA

8.2 Grupo Horario:

Texto: Dinámica

edicion

Nota:

Código: 16

A Nº de ejercicio:

Autor: J.L.Meriam


La bola de 0.5kg de tamaño insignificante es disparada hacia arriba por la vía vertical circular usando el embolo del resorte. El embolo mantiene comprimido al resorte 0.08m cuando s=0. Determine que tan lejos s, debe ser jalado hacia atrás el embolo y liberado de manera que la bola empiece a dejar la vía cuando .

∑

Aplicando principio del trabajo y la energía:

∑

∑

∑

{(

) }

De donde resulta que:


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.2 Grupo Horario:

El collar de 2 kg esta unido a un resorte que tiene longitud de 3m. si el collar es jalado al punto B y liberado del reposo, determine su rapidez cuando llega al punto A.

Nota:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


Solución: Energía potencial: La

energía

potencial

inicial

y

final

son

respectivamente: (√

)

La energía potencial gravitatoria es la misma ya que la elevación del collar no cambia cuando se mueve de A hacia B Aplicando principio de conservación de la energía


Ejercicio


Clave:

Nota:

8.1 Grupo Horario: 16 A Nº de ejercicio: 3/94

Código: 071906-C Nº de página: 186

Un peso de 1kg se abandona partiendo del reposo contra un resorte espiral que ha sido comprimido 45cm a partir de su posición sin comprimir. Si la constante del resorte es 60N/m, calcular la máxima altura h alcanzada por el peso por encima de su posición inicial.

Solución Conservación de la energía mecánica:

h=0.62m……….RPTA.


Ejercicio


Clave:

Aplicando una fuerza de 125 N es posible comprimir 2.5 cm de un resorte ideal: contra el resorte se coloca un objeto de 1.5 kg de masa aquel se comprime 10 cm y luego se suelta. De esa manera el objeto el objeto se proyecta a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento que termina en plano inclinado sin fricción y que forma un ángulo de 37º con la horizontal. Evaluar la velocidad del cuerpo mientras recorre la superficie horizontal. Calcular su velocidad del cuerpo mientras después de ascender 2 metros por el plano inclinado e indicar la distancia que alcanzara sobre el plano antes de llegar al reposo.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


Solución:

Hallemos la constante del resorte: K=

=

= 5000 N/m

Hallemos la energía almacenada por el resorte (energía total) =½K

= ½ (5000)

Conservación de la Energía = + 25= ½ m + mg(0) = 5.77 m/s Se halla Z1=: = sen 37º = 1.20 Conservación de la energía en el punto 1: = + ½ (1.5) + 1.5(9.81)(1.20) = 25 = 3.13 Conservación de la energía en el punto 2: = + ½ (1.5) (0)+ 1.5(9.81) ) = 25 = 1.70 m En el plano:

sen 37º =

;

d = 2.83 m


Ejercicio


Clave:

El vástago del pistón vertical de 2.3 kg ocupa la posición rayada cuando permanece en equilibrio bajo la acción del muelle de constante elástica k= 17.5 N/cm los extremos del muelle están soldados el superior del pistón y el inferior a la placa base. Se levanta el pistón 3.8 cm sobre su posición de equilibrio y se suelta partiendo del reposo calcular su velocidad v cuando golpea el botón A. El rozamiento es despreciable.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A


Nº de ejercicio:

Solución:

EM = 0 Em2 - Em 1 = 0 En A: =½m

+ ½k

Donde: m= 2.3 Kg cm

; K=17.5 N/cm ; x= 0.6

En B: = mgh + ½ k Donde m= 2.3 kg x= 3.8 cm

h=4.4 cm k= 17.5 N/cm

Reemplazando: Em2 - Em 1 = 0 ½ (2.3) ½ (17.5)(

+ ½ (17.5)(

Resolviendo se obtiene: = 1.39 m/s

= (2.3)(9.81)(4.4)+


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.4 Grupo Horario:

Se suelta, partiendo del reposo en A, un cursor que pesa 200g y desliza a lo largo del alambre liso y rígido. Determinar la fuerza N entre el alambre y el cursor cuando este pasa por el punto B.

Nota:

Código: 16 A



Solución: Aplicando la segunda ley de Newton en B ∑ ̇

; pero

⋀

A

̇

60cm N

Como no existe fuerzas no conservativas, hay conservación de energía mecánica B

mg

45º

15cm

Reemplazando II en I


Ejercicio

Alumno: MUÑOZ TELLO LELIS ELMER. Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

Clave:

El anillo A pesa 6.8 Kg y desliza con rozamiento despreciable por la barra vertical. Cuando el anillo parte del reposo de la posición más baja, señalada en la figura, se mueve hacia arriba, bajo la acción de una fuerza constante F=222.4N aplicada mediante el cable. Calcular la constante K del resorte para que la compresión del resorte quede limitada únicamente a 7.6 cm se conoce la posición de la pequeña polea en B.

Nota:

8.4 Grupo Horario:

Código: 16 A


Solución: 

Analizando el tramo 1-2



Donde fuerza.

es la distancia recorrida en dirección de la

√ √

25.4cm

3 2

d2 F d1 

50.8cm

1


Luego en el tramo 2-3

7.6cm

Pero:

√


Ejercicio


Clave:

Nota:

8.1 Grupo Horario:

Código: 16 A



Un esquiador parte del reposo en A y desliza con poco rozamiento hasta la posición horizontal de despegue en B. Aterriza en la ladera de 45º a una distancia s de la base del trampolín. Calcular el valor máximo posible de s que se podría alcanzar si el rozamiento del esquí y la resistencia del aire fuesen nulos.

Solución:

∫

∫

∫

∫

si y=0, entonces: √ ………(*) En “x”: ……….(1) Luego (*) en (1): ………………………RPTA

CANTIDAD DE MOVIMIENTO


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.2 Grupo Horario:

Nota:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


El bloque de 10 kg es mantenido en reposo sobre el plano inclinado liso por medio del tope colocado en A. si la bala de 10 g esta viajando a 300 m/s cuando se incruste en el bloque de 10 kg, determine la distancia que el bloque se deslizara hacia arriba del plano antes de detenerse momentáneamente:

Solución:

Conservación del momentum lineal: Si consideramos el bloque y la bala como un sistema; el impulso de la fuerza F causado por el impacto esta interno en el sistema. Por lo tanto esto cancelara hacia fuera, también el peso de la bala y el bloque son fuerzas no impulsivas como resultado el momentum lineal es conservado a lo largo del eje X.

5 Conservación de la energía: Luego:


Ejercicio


Clave:

Nota:

8.1 Grupo Horario:

Código: 16 A



Se dispara un proyectil que pesa 170g con la velocidad de 550m/s en el centro de un disco de 907g que se halla en reposo sobre un soporte liso. Si el proyectil pasa a través del disco y emerge con la velocidad de 275m/s, determinar la velocidad v’ del disco inmediatamente después que el proyectil pasa a través de el.

Solución La cantidad de movimiento del sistema se conserva:

V’=51.5m/s…………………RPTA.


Ejercicio


Clave:

Un objeto se masa igual a 12 Kg que inicialmente va hacia el este a 8 m/s choca con otro cuerpo cuya masa es de 20 Kg y cuya velocidad inicial es de 12 m/s hacia el norte. La colisión es elástica. Después del impacto del primer objeto se desvía hacia el noroeste y su vector velocidad forma un ángulo de 45º con el eje X positivo que se supone que apunta hacia el este. Determinar la magnitud y la dirección de ambos vectores velocidad después de la colisión.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A


Nº de ejercicio:

Solución: i)

La conservación de la cantidad de movimiento requiere que : + = + … (I) + = + … (II)

ii)

Como la colisión es elástica debe conservarse la energía = + = + ...(III) Reemplazando valores en I y II (Si =12Kg ; =20Kg; =8 m/s ; =0 ; =0 ; =12 m/s En (I) : + + En (III) =

=96 = 240

+

)+

(

… (IV) … (V)

= +

Donde: 6 +6 =1824 …(VI)

(

+

) + 10

+10

√

Ahora: .) si: = = ..) Se resta V – VI : = +7.2 …) Despejando en IV : =8⁄ Reemplazando estos valores en VI 53.33 -176 -537.6=0 -3.3 -10.08=0 =-1.92 m/s = 5.28 m/s = =11.2 m/s entonces = 15.8 m/s =√ = 5.61 m/s =

=

=


Ejercicio

Nota:

CHOQUES Alumno: ACOSTA AGURTO MARCO ANTONIO Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion Las dos esferas idénticas de acero se mueven con las velocidades iniciales V1 y V2 tal como se indica en la figura y chocan de modo que la línea que une sus centros tiene la dirección de V2. Por experimentos anteriores se sabe que el coeficiente de percusión es 0.60. Determinar la velocidad de cada bola inmediatamente después del impacto y hallar el tanto por ciento de energía que se pierde.


Código: 16 A



Solución Conservación de la cantidad de mov. En el eje “x”: m1v1x+m2v2x= m1v’1x+m2v’2x -m(1.585)+m(1.22)=mv’1x+mv’2x v’1x+v’2x=-0.365………………(1) v’2x-v’1x=e(v2x-v1x) v’2x-v’1x=0.60(-1.585-1.22) v’2x-v’1x=-1.683.................(2) sumamos (1) y (2), tenemos: 2 v’2x=-2.048 v’2x=-1.024m/s v’1x=0.659m/s como Vt se conserva, entonces tenemos: v’2t=0m/s v’1t=0.915m/s por lo tanto: v’1=√ v’1=1.13m/s y v’2=1.024 La energía que se pierde es: Ec1= Ec2=

}

Ec=2.419m

E’c1=

}

E’c=1.162m E’c2= Energía perdida: Ep=2.419m-1.162m Ep=1.257m El tanto por ciento de la energía perdida es: %Ep= %Ep=52%...................RPTA


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.4 Grupo Horario:

Dos bolas de acero de igual diámetro están unidas mediante una barra rígida de peso despreciable según se ve en la figura, y se dejan caer en posición horizontal desde una altura de 15.2cm sobre unos soportes pesados de plancha de acero y de latón. Si el coeficiente de restitución para la bola y la base de acero es 0.6 y para la otra bola y la lata de latón es 0.4, determinar la velocidad angular de la barra inmediatamente después del rebote. Suponer que los dos impactos son simultáneos.

Nota:

Código: 16 A


Nº de ejercicio: 3/133 Solución:

 En primer lugar analizaremos la velocidad con la que se produce el choque

∫

∫ √

 Luego la razón del impulso de restitución al impulso de restauración se llama coeficiente de restitución: …………………I  De la misma manera para B y D.

Y

Luego para A y C tenemos: 61cm A

; B

;

Reemplazando en I

15.2cm Latón

C

Acero

X

D Luego para B y D tenemos: ;

;

 Analizamos A y B como movimiento del solido rígido.

̂

̂

̂ ̂


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.2 Grupo Horario:

Nota:

Código: 16 A


Nº de ejercicio:

La esfera de masa m cae y golpea el bloque triangular con velocidad vertical v. si el bloque descansa sobre una superficie lisa y tiene masa de 3m, determine su velocidad justo después de la colisión. El coeficiente de restitución es e.

Conservación del momentum en “X”

√ Coeficiente de restitución en y’

√ Conservación del momentum en “X”

√

(

√

√

) …………Rpta

√

VIBRACIONES


Ejercicio

Nota:

Alumno:

Clave:

REINA MORI WUILVER. Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:


La barra uniforme tiene masa m y esta soportada mediante el pasador O. si a la barra se le imprime un pequeño desplazamiento y luego es liberada, determine el periodo natural de vibración. Los resortes no están estirados cuando la barra se encuentra en la posición mostrada.

Solución:

∑ ̈ ( ) ̈

√

√

̈


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8.2 Grupo Horario:

La viga uniforme esta soportada en sus extremos mediante dos resortes A y B, cada uno con la misma rigidez k, cuando la viga no tiene carga, presenta un periodo de vibración vertical de 0.83 s. si se le coloca una masa de 50kg en su centro, el periodo de vibración vertical es de 1.52 s. calcule la rigidez de cada resorte y la masa de la viga.

Nota:

Código: 16 A


Nº de ejercicio:

Solución:

Tenemos: √

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2


Ejercicio

Nota:

MOVIMIENTO VIBRATORIO Alumno: ACOSTA AGURTO MARCO ANTONIO Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edición Una masa m ligada a un resorte elástico de constante K presenta un amortiguamiento critico. Definir la expresión del desplazamiento x1 respecto a la posición de equilibrio t1 segundos después de liberarla con el desplazamiento x0. X


Código: 16 A



Solución: Como el movimiento es critico amortiguado, entonces: Donde:

√ Igualando, tenemos:

√ Aplicando la segunda ley de newton: ̇ ̈

X1 (

̈

̇

)

√

0

√

0

t1

T

√ )

(√

√ √ √

√

Cuando Derivando: ̇

√

√

√

√

√

Para √

√

Reemplazando: √

√

√


Ejercicio

Nota:

MOVIMIENTO VIBRATORIO Alumno: MUÑOZ TELLO LELIS ELMER Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion Un sistema formado por una masa asociado a un resorte sin amortiguamiento, esta inicialmente en reposo en su pocicion de equilibrio en el instante . Si la masa m esta sometida a una fuerza aplicada en la direccion del desplazamiento x de m, determinar la relacion entre x y t que nos describe el movimiento subsiguuiente. La constante b es una medida de la velocidad de decresimiento de F con el tiempo t.


Código: 16 A



Kx



Realizando sumatoria de fuerzas en el bloque. K ̈. ̈ K ̈ Hacemos (



)x

La solución de la ecuación está dada por: ; donde:

Y se encuentra de la siguiente manera: Para

√ √

√

Para (

)x=

= √

√

Cuando

Cuando ̇ ̇

√

√

√

√ ; además

√ √ reemplazando:


Ejercicio


Clave:

Determinar la respuesta x=f(t) de un oscilador armónico no amortiguado de 0.73 Kg sometido a la fuerza F que varía linealmente con el tiempo durante los primeros ¾ s tal como indica la figura. Para t=0 el oscilador está en reposo la constante recuperadora del soporte elástico es k= 100 N/m.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A



Solución:

Hallemos la ecuación de la fuerza según el tiempo: F(t) =t tg F(t) =

⁄ ⁄

t

F(t) = Como la fuerza es positiva entonces la ecuación de la segunda ley de newton se reduce a: - Kx =0.73 ̈ 0.73 ̈ +100x = (0.73 +100)x = Como la ecuación diferencial es de tipo no homogénea entonces la solución de X depende de dos respuesta la complementaria y la particular X= + La ecuación complementaria se dará ; convirtiendo a la ecuación diferencial en una homogénea (0.73 +100)x = 0 Efectuemos nuestra ecuación característica de dicha ecuación: 0.73 +100 = 0 D = ±√

i

D = ± 11.7 i =

+

: (0.73 +100)x = Apliquemos los métodos abreviados para obtener la solución particular de esta ecuación diferencial =(

Se procede a realizar la división hasta llegar a un cociente que sea de igual grado que el denominador donde el resultado será: =(

-

(

)

= X=

+

+

t=0 ; x=0 =0 ̇ = +11.7 t=0 ; ̇ =0 0=

-11.7

+11.7 =-

Una vez hallada las constantes X en función de t será: X=

(t-

)

Respuesta: X=

(t-

)


Ejercicio


Clave:

Estudiar el amortiguamiento de coulomb en el caso del bloque de la figura siendo f el coeficiente de rozamiento y ⁄ la constante de uno y otro resorte. El bloque se separa de su posición de equilibrio una distancia y luego se suelta. Determinar la ecuación diferencial del movimiento.

Nota:

8.2 Grupo Horario:

Código: 16 A



Solución: N m fmg mg

=ma

)=m. ̈ donde la ecuación diferencial será: -fmg – 2(

m. ̈ + 2( (

) = fmg

+ )x =fg

Ecuación diferencial no homogénea X= X= + :

( + )x =0 Ecuación característica: +

=0 D= √ i

=

√

+

√

: ( + )x = fg Apliquemos los métodos abreviados para obtener la solución particular de esta ecuación diferencial

=( Se procede a realizar la división hasta llegar a un cociente que sea de igual grado que el denominador donde el resultado será: =( =Entonces: X=

√

√

+

+-

t=0 ; x= = ̇ =√

-√

√

√

En t=0 ; ̇ =0 =0 Entonces: X= (

-

)

√

+-

X= (

-

)

√

Respuesta: +-

PRACTICAS DIRIGIDAS


Ejercicio

CINEMATICA DE LA PARTICULA Alumno: GRUPO Nº8 Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion Una partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria curvilínea indicada pasa por el punto O con una celeridad de 3.6 m/s y va frenando a 1.8 m/s cuando pasa por A, punto que dista 5.4 m del punto O medido sobre la curva con una desaceleración proporcional a la distancia al punto O. Si la aceleración total al pasar por A es 3m/ , determinar el radio de la curvatura ρ de la trayectoria en el punto A.

Nota:

Clave: Grupo Horario: 16 A Nº de ejercicio:

Código: Nº de página:

Solución: Si:

=1.8 m/s = ̇ ̇

Luego : ̈̅ = ̈ ̂ + ……….(I) ρ

Para el punto A ̈̅ / = 3m/ ……(1) ̇ =1.8 m/s………(2) a=k s =∫ ∫ = k. Si s=5.4 ; v=1.8 = k. ( K= Luego :

-

=-

V=√

√ Pero

=V √

Si V=1.8 S= 5.4 ……….(3) ̈

Pero

Reemplazando 1,2,3 en I ̈̅ = ̈

ρ

ρ =1.35m

̇ ρ


Ejercicio

CINEMATICA DE LA PARTICULA Alumno: GRUPO Nº8 Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion Un camarógrafo sigue un movimiento de carreras de B que recorre una pista curva con una rapidez constante de 30m/s determinar la rapidez angular a la que el hombre debe girar para mantener la cámara en dirección del auto en el instante θ=300, use coordenadas polares.

Nota:



Solución:

̇̅ = ̇ ̂ | ̇̅ | = ̇

̅

̇̂ ( ̇ ) ……I

Pero: | ̇ ̅ |=30m/s …….1 ; derivando

Pero

= ̇

̇ =-40senθ. ̇ …….2 Reemplazando 1 , 2 en I

θ ̇)

(

(

Pero para θ=30, tenemos

( ̇)

̇

( rad/s ̇ =0.75rad/s

)

( ̇)

θ ̇)


Ejercicio

Nota:

SEGUNDA LEY Alumno:

Clave:

GRUPO Nº8 Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion

Grupo Horario: 16 A Nº de ejercicio:

Para el entrenamiento de un astronauta, se usa un avión mostrado el cual vuela a lo largo de una trayectoria tal que su aceleración en el eje “Y” es la de la gravedad; si su velocidad en t=0 es calcular las componentes ̂; tangenciales y normal para la aceleración en cualquier tiempo ”t”, determinar ̂ y ̂ en coordenadas cartesianas.

⃗

̂+

Nº de página:

̂

Para ⃗ ̂

ax =0 vx= vo

,

⃗⃗

y ̂

⃗ ̂

̂

ay =-g vy=-gt

,

luego:

Código:

⃗ √

√ Pero:

| ⃗|

√ Luego: ⃗ ̂

̂

̂

̂ ⃗

̂

̂

̂ ̂

̂

( √

√

̂

√

√

̂

√

̂

)

) ̂

(

̂ ̂

̂ √

̂

√

̂

√

̂

√

̂


Ejercicio

CINEMATICA DE LA PARTICULA Alumno: GRUPO Nº8 Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion Determinar ̂ ̂ de la aceleración de una particula en función del tiempo t y para t=2seg, si su desplazamiento en coordenadas cartesianas esta dada por la ecuación 2ti + 3t2 asimismo determinar el vector unitario ̂ ̂

Nota:



Solución:

⃗⃗ ̂

̂

̂

̂

̂ ̂

̂

̂

√ √

̂ √

√ √

√

√

Para t=2 5.92

√

√

Ahora: r= √ ̂

̂

√

̂

Para t=2 ̂

̂

̂

√

̂

+

Para

̂ . ̂ =0 ̂

+

Los vectores unitarios de ̂

̂

̂

̂

̂ son:

√

̂

̂

√

̂


Ejercicio

Nota:

CUERPO RIGIDO Alumno:

Clave:



El sistema mostrado parte del reposo en t=0 y acelera uniformemente. Sabiendo que la aceleración angular de la rueda dentada A es y el numero de ⁄ revoluciones realizadas por la rueda dentada A es 30.6 revoluciones durante un intervalo de 4 segundos. Determinar la velocidad de la carga en t=4 segundos y el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo.


Solución: 1. Halla el ángulo recorrido por la rueda dentada a:

2. Ruedas A y C unidas tangencialmente

3. Ruedas B y C (Concéntricas):

4. A y C:

5. B y C:

unidas

por

su

centro


Ejercicio

Nota:

CUERPO RIGIDO Alumno:

Clave:




La varilla AB puede deslizarse a loa lardo del piso y el plano inclinado, en el instante que se muestra la velocidad del extremo A es 1.4 m/s hacia la izquierda. Determine: a.- la velocidad angular de la varilla b.- la velocidad del extremo B de la varilla

Solución:

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗


Ejercicio

Nota:

SEGUNDA LEY Alumno:

Clave:


Grupo Horario: 16 A Nº de ejercicio: 3/20

El pequeño peso W y el hilo que le soporta constituyen un péndulo simple al cortar el cordón horizontal. Determinar la razón “n” de la tención T del hilo inmediatamente después de cortar el cordón a la existente antes de cortar dicho cordón.

Código: Nº de página: 150

Solución: Si

donde

y

Antes: ∑ ∑ …………..I

θ

Después:

Hilo

∑ T ………..1 Cordón

∑ Wsenθ W

Wcosθ

……………………..2 Igualando 1y2 : haciendo cambio de variable

; aplicando el método de ecuaciones diferenciales ; ∫

(

∫

∫

)

(∫

; entonces Por lo tanto

(

∫

)

)


Ejercicio

Nota:

SEGUNDA LEY Alumno:

Clave:




Un vehículo movido por cohetes cuyo peso total es de 90.7 kg. Parte del reposo en A y se mueve con rozamiento despreciable a lo largo de la pista como se muestra en la figura. Si el cohete impulsor ejerce una fuerza constante de 136 kg sobre el vehículo entre los puntos A y B cesando en este ultimo punto. Determinar VB y la distancia que rodara el vehículo hacia arriba en el plano antes de detenerse. Desprecie el peso y rozamiento de las poleas, use coordenadas polares.

Solución: Σ Fr = m (r – rθ2) -mg* cos30º = m (-7.6 *θ2) θ2 = 1.057 rad /s V = θ *R V = (1.057)* (7.6) V = 8.035 m/s -----RPTA

ΣF = ma -mg *sen30º = m *a ∫ =∫ =∫ ∫ -8.035 = -4.905t t= 1.64 s ∫ =∫ S = -4.905 t2/2 + 8.035 t S = 6.58 m -----RPTA


Ejercicio

Nota:

SEGUNDA LEY Alumno:

Clave:



Sabiendo que el coeficiente de rozamiento en cada paquete y la cinta es 0.50. Calcular el ángulo θ que determina el punto B en el momento que el paquete abandona la cinta.


0.5N



V …………………………..I

θ

 Pero

N 

mg

………………………….II Reemplazando I en II (

)

1m/s

θ

30cm



Para resolver esta ecuación diferencial multiplicamos por 2V



Hacemos un cambio de variable



Resolviendo la ecuación diferencial no homogénea

;

Factor de integración FI= ∫ ; ; ∫ ………………..III ∫  Resolviendo la integral por partes ∫ ∫ Nuevamente





∫ …………………………………….IV Reemplazando IV en III Luego cuando .

…………………………….V reemplazamos en V



……………………………………………………….VI Cuando reemplazando en I



…………………………VII Reemplazando VI y VII en V. ; como r=0.3m y

g=9.81m/s2



Resolviendo por métodos matemáticos tenemos


Ejercicio

Nota:

TRABAJO Y ENERGIA Alumno:

Clave:



Aplicando una fuerza de 125 N es posible comprimir 2.5 cm de un resorte ideal: contra el resorte se coloca un objeto de 1.5 kg de masa aquel se comprime 10 cm y luego se suelta. De esa manera el objeto el objeto se proyecta a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento que termina en plano inclinado sin fricción y que forma un ángulo de 37º con la horizontal. Evaluar la velocidad del cuerpo mientras recorre la superficie horizontal. Calcular su velocidad del cuerpo mientras después de ascender 2 metros por el plano inclinado e indicar la distancia que alcanzara sobre el plano antes de llegar al reposo.


Solución: Hallemos la constante del resorte: K=

=

= 5000 N/m

Hallemos la energía almacenada por el resorte (energía total) =½K

= ½ (5000)

Conservación de la Energía = + 25= ½ m + mg(0) = 5.77 m/s Se halla Z1=: = sen 37º = 1.20 Conservación de la energía en el punto 1: = + ½ (1.5) + 1.5(9.81)(1.20) = 25 = 3.13 Conservación de la energía en el punto 2: = + ½ (1.5) (0)+ 1.5(9.81) ) = 25 = 1.70 m En el plano:

sen 37º =

;

d = 2.83 m


Ejercicio

Nota:

TRABAJO Y ENERGIA Alumno:

Clave:



El collar de 5 lb. Es liberado del reposo en A y viaja a lo largo de la guía lisa. Determine su rapidez cuando su centro alcanza el punto C y la fuerza normal que ejerce sobre la barra en este punto. El resorte tiene longitud no alargada de 12 pulg. Y el punto C está localizado justo antes del extremo de la porción curva de la barra.


Solución:

Setiene : W  5lb L  12 pu lg h  10 pu lg lb pu lg pies g  32.2 2 s 1 ft  12 pu lg k2

Solucion : TA  VA  TC  VC 0  WL 

 kg  2 gL    W  pies vC  12.556 s vC 

NC  k





L2  h 2  L







 L2  h 2  L  

W  vC2    g  L  N C  18.919lb NC 

 2 1  vC  k 2 

1 2 1 W kh   2 2 g



L2  h 2  L 2

 W  vC2     L2  h 2  g  L  L



 L2  h 2  L  

  L h  kL

2

2



2


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8 Grupo Horario:

El ciclista viaja al punto A pedaleando hasta que alcanza una rapidez de 8m/s luego viaja libremente hacia arriba por la superficie curva. Determine la fuerza normal que ejerce sobre la superficie cuando llega al punto B. la masa total de la bicicleta y el ciclista es de 75Kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta.

Nota:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:

Nº de página:

Solución: Si: x=0; y=4 ;además si x=y tenemos que x=1 

Luego aplicando conservación de energía en A y B EMA= EMB



Luego aplicando segunda ley de newton en B

Y

1/2

1/2

X +Y =a

∑

1/2

………………….I

C mg



N

4

B

(1,1)

Luego para encontrar tenemos: ⃗ ̂ ̂ ̇⃗ ̂ ̂ ⃗̈ ̂ Además: | ⃗̇|

X 4

√ ̇

√ ̇

A

̈

(

Luego: ̇ ⃗̈

)

̈

̂ ( Para x=1 ̂

)

√

√

√

……………………II

Luego reemplazando II en I

√

𝑁

𝐾𝑔 𝑚 𝑠


Ejercicio

Alumno:

Clave:


8 Grupo Horario:

En la figura que se muestra, el torno T se encuentra devanando cable a la razón constante de 1.5m/s. si el bloque C sobre el que esta montado el torno, tiene una celeridad de 03m/s, la cual aumenta a razón de 15cm/s2. Determinar la velocidad del bloque A, determinar también la velocidad de A relativa a C y la aceleración de A relativa a C.

Nota:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:

Nº de página:

Solución: L= longitud de la cuerda. Derivando: ̇

̇ ⁄

̇

Reemplazando: ̇ ……….RPTA Derivando por segunda vez: ̈ ̈ ̈ ̈ ̈ ̈

̈

a la derecha

Luego:

También:

…………RPTA


Ejercicio

Nota:

MOVIMIENTO VIBRATORIO Alumno: MUÑOZ TELLO LELIS ELMER

Clave:

Curso:

Grupo Horario:

Fecha:

8.4

DINAMICA Texto: Dinámica

Código: 16 A

Autor: edicion

071926-D


Nº de página: 488

J.L.Meriam Un resorte elástico de constante K que esta conectado directamente a un amortiguador viscoso, se libera a partir del reposo con un desplazamiento X0 respecto a la posición de fuerza nula. Despréciese la masa del sistema y calcúlese el desplazamiento X en función del tiempo t transcurrido desde que se suelta.

x c



K

Realizando sumatoria de fuerzas en el bloque. ̇

K ̇

̈ ̈

̈. K

̇ ̈

̇

Hacemos

y reemplazamos

√



La solución de la ecuación está dada por: √ √ ………..I Por condiciones del problema tenemos que: ; reemplazando: ……………………….II Derivando la ecuación I y dando a

̇

√

√

Pero para ̇

√

√

;

√ √

√ √

√ √

√ √

√

√ √

√


Ejercicio

Nota:

MOVIMIENTO VIBRATORIO Alumno: ACOSTA AGURTO MARCO ANTONIO

Clave:

Curso:

Grupo Horario:

Fecha:

8.1 Código:

DINAMICA Texto: Dinámica

edicion

16 A Autor: J.L.Meriam

El sistema de bloque, resorte y amortiguador, de 10kg, es amortiguado continuamente. Si el bloque es desplazado a x=50mm y liberado del reposo, determine el tiempo requerido para que regrese a la posición x=2mm.

071906-C


Nº de página: 489

Realizando sumatoria de fuerzas en el bloque. ̇

K ̇

̈ ̈

̈. K

̇ ̈

̇

Hacemos

y reemplazamos

√ Reemplazando los valores, tenemos: D=±√ Por lo tanto: √

√

Para x=0.05 entonces v=0 y t=0 0.005=C1+C2 Ahora derivamos: ̇ ̇ Para ̇ =0 entonces t=0 0=-0.84C1-7.16C2 Entonces tenemos que: C1=0.057 y C2=-0.07 Reemplazando tenemos: X=0.057 0.002=0.057 t=3.99s……………….RPTA.


Ejercicio CINETICA DEL SOLIDO RIGIDO

Nota: 6/164



Código: 16 A



SOLUCION: E l cilindro macizo de radio r se encuentra en reposo sobre la cinta plana horizontal cuando a ella se le aplica una fuerza P. Si P es suficiente para que haya deslizamiento entre la cinta y el cilindro en cualquier instante, determinar el tiempo requerido para que el cilindro alcance la posición señalada por trazos. Calcular también la velocidad angular ω del cilindro en la misma posición. El coeficiente de rozamiento entre la cinta y cilindro es f.

𝐼𝜔 mv

𝐼𝜔 +

=

wt

m𝑉 Ft

Nt

Principio de Cantidad de Impulso y Movimiento: Mv -

t = mv fmgt =mv V= fgt

…(β)

Momentos alrededor del centro : -

– Ftr = – Ftr = = =

S= 2S = vt… ( I )

…. ( λ )

Reemplazando en ( λ ) =

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝛽 𝑒𝑛 𝐼 S

= =fgt =4

(

t=√

= 8gfs r = 2√ =

√

)


Ejercicio

Nota:

CINETICA DEL SOLIDO RIGIDO

6/164


El cilindro macizo se suelta partiendo del reposo, sobre el plano inclinado de 60º. Calcular la velocidad angular ω y la velocidad lineal ѵ de su centro G después de descender 3 m por el plano inclinado. El coeficiente de rozamiento es f = 0.30


Código: 16 A



𝐼𝜔 mv

𝐼𝜔 +

=

mgsen(60)

m𝑉 Ft Nt

Principio de Cantidad de Impulso y Movimiento: Mv + mgtsen(60) - t = mv mgtsen(60) -0.3tmgcos(60) =mv V= gt(sen(60) -0.3 cos(60) ) V= 7.02 t … ( I )

+ t (0.15) = 0.3mgtcos(0.15) = = 2gt

…. ( II )

Ahora se sabe que S= 3(2) = vt 6 = vt … ( III ) Reemplazando III en I = 7.02 t t = 0.92 v = 7.02t v = (7.02)(0.92)

= 2gt = 2(9.81)(0.92)

v= 6.49 ⁄

= 18.13

⁄

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico De Ingeniería Civil Tema: CINETICA DEL SOLIDO RIGIDO Alumno: ACOSTA AGURTO MARCO ANTONIO Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion Una esfera uniforme de masa m y radio r se proyecta a lo largo de una superficie horizontal rugosa con velocidad lineal V1 y sin velocidad angular. Denotando mediante uk el coeficiente de fricción cinética entre la esfera y la superficie, determine: a) El tiempo t2 en el cual la esfera empezara a rodar sin deslizarse. b) Las velocidades lineal y angular de la esfera en el tiempo t2.

Ejercicio

Nota:


Código: 16 A

071906-C Nº de página:

Nº de ejercicio:

Solución:

Principio del impulso y la cantidad de movimiento: Cant. Mov. 1 + Imp. Ext. (1-2) = cant. Mov. 2 Component “y”:

Nt – Wt = 0 ……………(1)

Component “x”:

mv1 – Ft = mv2 ………(2)

Momentos en “G”: Ft*r = Iw2 ……………..(3) De (1) se obtiene: Sabemos que:

N = W = mg

F = uk*N ................. en (2)

mv1 – uk*mgt = mv2

v2 = v1 - ukgt

Al sustituir F en (3): ukmgt*r = mr2w2 w2 = ukgt ………(5) Como v2 = 0, entonces: V2 = rw2 v1 – ukgt = r( ukgt) t = (v1/ukg) ……………..en (5) w2 =

v1

...………..RPTA V2 = v1 ……………..RPTA

EJERCICIOS DE EXPOSICIONES

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico De Ingeniería Civil Tema: VIBRACIONES AMORTIGUADAS (SUB CRITICO) Alumno: GRUPO Nº8 Curso: Fecha: DINAMICA Texto: Autor: J.L.Meriam Dinámica edicion Una masa de 10 Kg se desliza por una superficie horizontalmente sin rozamiento como se indica. En t=0 la masa pasa por su posición de equilibrio con una velocidad de 2.5 m/s dirigida hacia la derecha. K ⁄ y c= ⁄ . Si k= Determinar la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa cuando este alcanza su máximo alargamiento X

K mc

Ejercicio

Nota:

Clave: 8 Grupo Horario:

Código: 16 A

Nº de ejercicio:

Nº de página:

Solución: Kx m c𝑥̇ mg

Realizamos nuestra ecuación del movimiento de la masa =m.a ̇ ̈ ̈ ̇ Obtenemos nuestra ecuación diferencial; no sin antes dividiendo entre ¨m¨ la expresión anterior

C

̇ ̈

Ahora como: n= ⁄

=

= ⁄ =

⁄

=120 y

=9

⁄

Entonces: √

<0

Al observar que se cumple la desigualdad anterior entonces se deduce que estamos en un movimiento libre sub amortiguado Seguidamente resolvemos la ecuación diferencial: ̈

̇

Mediante el cambio de variable convertimos nuestra ecuación diferencial en una ecuación algebraica ̇

̈

Quedando:

Donde las raíces de λ serán: √ Ahora la solución general según el caso de un movimiento sub amortiguado será: Ahora cuando

X= X

(

sen√ =0

+

cos√

)

La solución general se reduce a: X=

sen√

Derivando: ̇= sen√ +√ Ahora cuando t=0; ̇ =2.5 2.5=√ → =0.4

cos√

Entonces la solución general del sistema será: X= sen√ La fuerza que ejerce el resorte cuando su desplazamiento es máximo se da cuando ̇ = 0 ̇ = sen√ + √ 0 = 0.4 (-9 sen√ +√ = 9 sen√ √ cos√ √

=

cos√

cos√ )

√

Donde t = 5.565 s Ahora si t = 5.565 s. Entonces X= X= 4.0228*

sen√ m

Por lo tanto la fuerza del resorte será: =Kx = ( 4.0228* m) =4.827*

N

ejrcicios dnamica

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