UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CURSO:
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I DOCENTE:
ING. OSCAR PORRO AÑI INTEGRANTES:
Baldera Velásquez, Ricardo Antonio (105513 - I) Llatas Cancino, Dahlberg De Tournefort (101950-E) Paredes Vásquez, Claudia (102107-J) Vásquez Ordoñez, Ana Rosa (102360-G) GRUPO HORARIO:
16-B
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.16
Un tubo de aluminio de 250 mm de longitud (E=70 GPa), de 36 mm de diámetro exterior y 28 mm de diámetro interior, debe ser cerrado en los dos extremos por medio de cubiertas roscadas de 1.5 mm de paso. Con una cubierta atornillada, se coloca dentro del tubo una barra de latón (E=105 GPa) de 25 mm de diámetro y luego se atornilla la segunda tapa. Como la barra es ligeramente más larga que el tubo, se observa que la tapa debe ser forzada contra la barra rotando un cuarto de vuelta para poder ajustarla. Determine: a) El esfuerzo normal medio en el tubo y en la barra b) La deformación del tubo y de la barra.
SOLUCION:
)(
(
|
)
|
Tenemos: | ( (
) (
) (
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| (
)
(
)
) (
)
)
1
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I a)
(
)
(
)
b) (
)(
(
)
)(
)
2.17 Resuelva el problema 2.6 si el tubo es de latón ( ( ).
) y la barra de aluminio
SOLUCIÓN |
|
( )
Ahora tenemos: ( (
) (
a)
(
)
(
( )
) (
)
)
)
( b)
) (
(
) )(
(
)(
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)
⁄ )
⁄
2
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.18 Un cilindro de poliestireno con un espesor de de pulg. (E=
) y una placa
rigida circular (se muestra parcialmente) se utilizan para apoyar una barra de acero AB (E= ), de 10 pulg de longitud y
de pulg de diámetro. Si se aplica una
carga P de 800 lb en B, halle: (a) el alargamiento de AB; (b) la deflexión de B, (c) el esfuerzo normal medido en la barra AB.
SOLUCION: En el cilindro: ( (
)(
)
(
( ) )
)
En la barra: ( (
)( ) (
) )
(a) Alargamiento de la barra:
(b)
(c)
|
|
|
(
|
)
2.19 Para la barra compuesta del problema 2.9, halle la mayor carga admisible P; si los valores absolutos del alargamiento total de la barra y del máximo esfuerzo normal no deben pasar de 0.2 mm y 75 MPa, respectivamente.
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3
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I SOLUCIÓN: Deformación A =
(
( ) (
)
+
)
= 0.04in
( (
)(
)
) (
)
= 0.04 in
Multiplicar a ambos miembros 106 y sacar factor común P: P[
+
(
)
-
(
) (
)
= 40 *
2.2682P – 53.333 *103 = 125.664*103 P=78.92*103 lb
P=78.9 kips
Comprobamos en AB Y BC: AB = BC =
(
= 25.1 ksi <26 ksi
)
(
) (
= 2.67<26 ksi
)
La mayor carga admisible es:
O.K O.K
P=78.9 kips
2.20 Para la barra compuesta del problema 2.10 halle la mayor carga admisible P, si los valores absolutos del alargamiento total de la barra y del máximo esfuerzo normal no deben pasar de 0.2 mm y 75 MPa, respectivamente. SOLUCION: Deformación: ∑
Comprobando la tensión en AB y BC: ( (
) )
(
)
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4
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Mayor carga permitida
2.21 Para la probeta del problema 2.14 halle la mayor carga admisible P, si la deformación de la porción AB y la deformación total de la probeta no deben pasar de 0.2 mm y 1 mm, respectivamente. SOLUCIÓN Deformación de la parte AB: (
)
(
)(
)
Deformación de la parte AD: ∑
∑
(
(
)
)
2.22 Para la barra y soporte del problema 2.18 halle la mayor carga admisible P, si las deflexiones de los puntos A y B no deben pasar de y , respectivamente. SOLUCIÓN Deflexión en A: (
| | (
) (
( ) ) (
) )
Deflexión en B: |
|
| |
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|
⁄
| 5
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I (
(
)
)
) (
(
)
(
)
Mayor Carga Permisible
2.23 Para la cercha de acero (E = 29*106 psi) y las cargas mostradas, determine las deformaciones de os elementos BD y DE, sabiendo que las áreas de sus secciones transversales son de 2pulg2 y 3pulg2, respectivamente.
Figura P2.23 SOLUCIÓN: FBD = +48.0kips BD = DE =
FDE = +60.0 kips = =
(
)( (
)(
(
)(
(
) )
)(
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) )
= +79.4 *
in
= +124.1 *
in
6
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.24
Los elementos AB y BE de la cercha mostrada son barras de acero de 25mm de diámetro (E=200 GPa). Para la carga mostrada halle el alargamiento a) De la barra AB b) De la barra BE
a)
( (
b)
)( ) (
( (
) )
)( ) (
) )
2.25 Cada uno de los cuatro conectores verticales que unen los dos elementos horizontales está hecho de aluminio ( ) y tiene una sección uniforme de 10 x 40 mm. Para la carga mostrada, halle los desplazamientos (a) del punto , (b) del punto , (c) del punto .
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7
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I SOLUCIÓN Recordamos:
(
a)
(
b)
(
)
)( )(
(
) )
)( )(
)
c) De los triángulos semejantes:
|
|
|
| (
|
| )
| (
|
)(
)
2.26 Cada uno de los conectores AB y CD es de acero (E= sección transversal uniforme de
) y tiene una
. Halle la mayor carga que pueda
suspenderse de E si la deflexión de E no debe pasar de 0.01 pulg.
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8
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
SOLUCION: Denotando por P la carga suspendida de E, recordamos las relaciones obtenidos en solución de problema. 1,15 ( ) ( (
)(
)
)( (
(
( ) ) )(
)
)(
)
Por semejanza entre los triángulos BCC” y BEE”:
|
| |
|
|
|
| |
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|
|
9
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Así: (
)
(
)
Sabemos que:
2.27 Un cable homogéneo de longitud L y sección constante es suspendido por un extremo; (a) siendo la densidad (masa por unidad de volumen) del cable y E sus modulo de elasticidad, halle el alargamiento del cable debido a su propio peso; (b) muestre que se obtendría el mismo alargamiento si el cable fuera horizontal y se le aplicara una fuerza igual a la mitad de su peso en cada extremo. SOLUCIÓN: (a)Para la longitud dy: P=carga de abajo =ℓga(L-y) d = =∫
= (L-y)dy
(L-y)dy = [Ly - y2 =
L2/E
(b) para P = W = ℓGal =
(
=
)
= (1/2) ℓgL2/E
2.28 Halle la deflexión del vértice A de un paraboloide de revolución homogéneo, de altura h, densidad ρ y módulo de elasticidad E, debido a su propio peso.
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10
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I SOLUCION:
Considerar losa de espesor dy
(
) (
)
(
)
∫
2.29 Halle la deflexión del vértice A de un cono circular homogéneo de altura densidad ρ y módulo de elasticidad . Debida a su propio peso.
,
Figura P2.29
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11
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I SOLUCIÓN Considerar losa de espero
( (
) ) (
)
∫ ⁄ 2.30 Se aplica una carga vertical P en el centro A de la sección superior del tronco homogéneo de un cono circular de altura h, radio mínimo y máximo . (a) Si E es el m{odulo de elasticidad del material, desprecie el peso propio para hallar la deflexión de A. (b) Muestre que se obtiene igual resultado si la carga P se aplica en el centro A de la sección superior de un cilindro homogéneo de altura h y sección elíptica con semiejes menor y mayor .
SOLUCION: (a) Considerar la losa de espesor
:
Pero ( )
Remplazo:
(
)
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12
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I ∫
[ ]
( (
)
(
)
)
Pero, a partir de (1):
(
)
(
)
(b) Para el cilindro de sección elíptica: A= (
)
2.31 El volumen de una probeta de tensión es prácticamente constante mientras ocurre deformación plástica. Si el diámetro inicial es d1 muestre que cuando el diámetro sea d, la verdadera deformación será єt = 2ln(d1/d). SOLUCIÓN: Si el volumen de la probeta es constante: d2L = d12L0 =
=(
)2
Et = ln( ) = ln( )2 =2ln( ) 2.32 Si ϵ es la “deformación ingenieril” en una probeta de tensión, muestre que la deformación verdadera es ϵt=ln(1+ϵ) SOLUCION:
Pero:
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13
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Por lo tanto: (
)
2.33 Un poste de concreto de 4 pies esta reforzado con 4 barras de acero de ⁄ de diámetro. Si y , halle los esfuerzos normales en el acero y en el concreto se aplica al poste un carga axial de
Figura P2.33 SOLUCIÓN [ ( (
) ]
) (
(
) )(
( (
) )
)(
)
( ) También:
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( )
14
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Sustituyendo
De (1):
de (1) en (2):
(
)
2.34 Una barra de 250 con sección de consta de dos capas de aluminio de 5 , unidas a una central de latón del mismo espesor. Si se le somete a una carga axial P=30kN y sabiendo que y , halle el esfuerzo normal (a) en el aluminio, (b) en el latón.
Para cada capa: A=5x30 mm2=150 x10-6m2
( ) Pero: ( )
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15
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Sustituyendo
de (1) en (2):
( ) Remplazamos (3) en (2): (
)
( ) Sabemos que P=30 KN (a) Remplazamos los valores en la ecuación (3): (
)
(b) Remplazamos los valores en la ecuación (4): (
)
2.35 Halle el alargamiento de la barra compuesta del problema 2.34 si la fuerza axial P es de 45 KN. SOLUCIÓN: Usar la solución del problema 2.34 Pa = (45Kn) = 12.857kn, =
=- (
(
Pb = (45) = 19.286KN
)(
)
)(
=-0.306mm
)
Con capa de latón, comprobamos que se obtiene la misma respuesta =
=- (
(
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)( )(
) )
= -0.306 mm 16
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.36
Se aplican fuerzas de compresión de 40 kips, axiales, a ambos extremos del conjunto mostrado, por medio de platinas rígidas terminales. Sabiendo que Es=29x106 psi y Ea=10x106 psi, halle: a) Los esfuerzos normales en el núcleo del acero y la cubierta de aluminio b) La deformación del conjunto.
SOLUCION: (
)
(
) (
(
) )(
( (
) )
)(
)
Donde:
Pero:
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17
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Entonces:
a)
b) ( (
)( )(
) )
Comprobando: ( (
)( )(
) )
2.37 Una barra de plástico que consta de dos partes cilíndricas AB y BC está restringida en ambos extremos y soporta cargas de 6 kips como las mostradas. Sabiendo que , halle (a) las reacciones en A y C, (b) el esfuerzo normal en cada porción de la barra.
Figura P2.37
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18
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I SOLUCION: a) El alargamiento de barra es cero:
Sustituimos y multiplicamos:
(
)
(
) ( ) ( )
Del diagrama F.B: Sustituyendo
De (1):
b)
en (1) y (2) :
(
)
(
)
(
)
2.38 Dos barras cilíndricas, una de acero y la otra de latón, están unidas en C y tiene soportes rígidos en A y E. dada la carga mostrada y sabiendo que y , halle: (a) las reacciones en A y en B, (b) la deflexión del punto C.
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19
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I SOLUCION: Según el diagrama de fuerzas entre AE:
∑ ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(a) Expresamos que la elongación de la varilla es cero ∑ ( (
)
(
)( (
) )(
(
(
)
)(
)( )(
( )
(
(
)( )(
) ) ) )
)
(
) (
)
( )
Remplazo en (1):
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20
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
(b) (
)(
)
)
((
(
)(
)
)( )
2.39 Resuelve el problema 2.38 suponiendo que la barra AC es de latón y la barra CE es de acero. SOLUCIÓN: Usar la solución del problema 2.38 =
( (
)
(
)(
)
)
)(
(
)(
(
)
)(
(
( )
)(
)
)(
(
)(
) )
=0
= (1.36423+0.90948+0.70731+0.70731)10-9RA – (54.569+42.439+70.731)10-6=0 RA = +45.45*103N
RA = 45.45*103N
De la ecuación (1) del problema 2.38 RE = 100KN- RA =100-45.45 (b) c =
+
=
(
)( (
) (
RE = 54.5KN )
)(
c=48.8*10-6m
(
)
)
c=48.8m
2.40 Un tubo de latón de 12 pulg de largo, 11 pulg de diámetro exterior y 1/8 pulg de espesor, se coloca en una prensa, ajustada de manera que sus quijadas toquen apenas los extremos del tubo sin presionarlos. Luego se aplican dos fuerzas P y Q de magnitudes P=42 kips y Q=36 kips, como se muestra. Sabiendo que E=15x106 psi, halle: a) Las fuerzas ejercidas sobre el tubo por la prensa en A y D b) El alargamiento de la porción BC del tubo ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
21
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
SOLUCION:
Expresamos el alargamiento de la barra: ∑
(
)
Donde:
(
) (
)
Con los datos dados:
(
)
Tenemos: (
)(
) (
(
) )
a)
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22
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I ∑
b) (
)
(
) (
( ) )
2.41 Resuelva el problema 2.40 suponiendo que después de aplicar las fuerzas P y Q, se ajusta la prensa aumentando la distancia entre las quijadas en 0.01 pulg. SOLUCIÓN ( )
a)
(
)
Del diagrama de la barra FB (Véase solución del Prob. 2.40): ∑
(
b)
)
(
)
( )
(
)
2.42 Resuelva el problema 2.40 suponiendo que después de aplicar las fuerzas P y Q, se ajusta la prensa disminuyendo la distancia entre quijadas en 0.01 pulg. SOLUCIÓN ( )
a)
(
)
Del diagrama de la barra FB (Véase solución del Prob. 2.40): ∑ ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
23
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
(
b)
)
(
)
( )
(
)
2.43 Dos barras cilíndricas, una de acero (Es = 200GPa) y la otra del latón (EB = 105 GPa), están unidas en C. El extremo A de la barra compuesta así obtenida esta fijo, mientras que exista una separación de 0.12 mm entre el extremo E y el muro vertical. Se aplica entonces en B una fuerza de 60KN y otra en 40KN en D, ambas horizontales y de izquierda a derecha (véase la figura P2.38). Determine: (a) las reacciones en A y en E, (b) la deflexión del punto C. SOLUCIÓN: =0.12mm =120*10-6 =(3.8882*10-9)RA -244.21*10-6 = 120*10-6 RA =+93.67*103N
RA =93.67*103 RA+ RE = 100KN
RE=100KN-93.67KN C = (
RE=6.33 +
)(
) (
(
(
= ) )(
)
( )
)
= +83.16*10-6m
C = 83.2m 2.44 Resuelva el problema 2.43 suponiendo que AC es de latón y CE es de acero. SOLUCION:
(
)
a)
Pero:
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24
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I ( (
)(
)
(
(
) )
)(
) (
)
2.45 La barra rígida AD está apoyada, como se muestra, por dos hilos de acero de de diámetro (
) y un pasador en D. Si los hilos estaban
inicialmente tensos, halle: (a) la tensión adicional en cada hilo cuando una carga P de 120 lb se aplica en B, (b) la deflexión correspondiente del punto B. SOLUCIÓN ( )
Por geometría tenemos: Pero (
)(
) (
)(
) (
Sustituyendo en (1): ( )
)
( ) a) Cuerpo libre de la barra AD: (
∑
)
( ) Sustituyendo (2) en (3): Sustituyendo (2) en (3): (
(
De (2):
b)
(
)
)
)( )
( (
)( ) ) (
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)
25
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.46
Una barra rígida esta suspendida de una platina fijada por medio de cuatro alambres, como se muestra. Los alambres unidos a las clavijas B y C son de acero ( ) y tien un diámetro de 2 . Los unidos a las clavijas A y D son de aluminio ( ) y con diámetro de 2.5 . Si todos los alambres están tensos inicialmente, halle: (a) la tensión adicional e cada alambre cuando se aplica una fuerza de 2 kN en el centro de la barra, (b) el alargamiento correspondiente de los alambres.
SOLUCION: Todos los cables tienen el mismo alargamiento (a)
( (
) ) (
( )
(
Resolvemos (1), despejando
) (
) )
( )
: ( (
)( ) ( ) )( ) ( ) ( )
Ya que
y
: ( )
Sustituimos (2) en (3)
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26
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I (
)
Ahora remplazo en (2), el valor obtenido anteriormente: (
)
(b) Remplazamos en la ecuación (1) ( (
)
) (
)
2.47 Resuelva el problema 2.46 suponiendo que los alambres unidos a las clavijas A y D son de acero (Es = 200GPa) y tienen un diámetro de 2.5 mm, mientras que los conectados B y C son de aluminio con Ea = 70GPa y tienen un diámetro de 2 mm. SOLUCIÓN: =(
( )(
) )(
Resolviendo ΔTB = (
) ( ) (
)(
=(
)
……………….(1)
)(
)
)
)(
ΔTB = 0.41067
( )(
)
………………(2)
= =100N…………….(3) ( ) Para (2):
( ):
(1+0.41067)
=100N
= 708.88N
=0.41067(708.88)=291.12N =
=
; =(
= ( )(
=291N )( ) (
) )
= 0.1986 mm
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27
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.48
Los conectores BC y DE son de acero (E=29x106 psi) y tienen ½ pulg de ancho y ¼ pulg de espesor. Halle: a) La fuerza en cada conector cuando se aplica una fuerza P de 600 lb al elemento rígido AF, como se muestra b) La deflexión correspondiente del punto A
SOLUCION: Por la geometría: |
|
Pero: (
)
(
)
Sustituyendo en (1) y resolviendo | | |
|
|
|
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28
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I a) Cuerpo libre: Miembro MF ( )
∑
(
|
( )
(
)
)
|
(
)
b) (
( )(
)( )(
) )
2.49 Cada una de las barras AD y CE ( ) tiene un diámetro de 8 mm y rosca simple en su extremo superior con paso de 2 mm. Sabiendo que después de haber ajustado la tuerca en A, se aprieta dos vueltas completas, determine: (a) la tensión en cada barra, (b) la deflexión del punto A del elemento rígido ABC.
Figura P2.49 SOLUCIÓN La tuerca A se mueve a lo largo de AD (
)( (
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) )
(
)
( ) 29
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
Por geometría: ( )
Sustituyendo (1) en (2) y multiplicando por AE: (
) ( )
Cuerpo libre de la parte ABC: ∑ ( ) Sustituyendo (4) en (3):
(
De (4):
(
) (
) (
)
)
b) De Ecu. (1): ( (
)( ) (
) )
2.50 Resuelva el problema 2.49 suponiendo que las dos vueltas se le dan a la tuerca en C, en lugar de A, en condiciones análogas. SOLUCIÓN La tuerca C se mueve a lo largo de CE (
)(
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) 30
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
(
) (
)
( )
Por geometría: ( ) Sustituyendo (1) en (2) y multiplicando por AE: (
) ( )
Cuerpo libre de la parte ABC: ∑ ( ) Sustituyendo (4) en (3):
(
De (4):
(
) (
) (
)
)
b) De Ecu. (1): ( ( (
)( ) (
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)
) )
31
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.51
La barra rígida ABCD cuelga de tres alambres idénticos, como se muestra. Si a=b, halle la tensión causada en cada alambre por la fuerza P aplicada en C.
Figura P2.51 SOLUCIÓN: Para el triangulo A’ B’’ B’ y A’ D’’ D’: = o = D + A = 3(B + A) 2A - 3B +D =0 La tensión es proporcional al desplazamiento: 2TA -3TB +TD =0
(1)
MD =0 ;
3TA +2TB = P (2)
FY =0 ;
TA + TB +TD =P (3)
TA -4TB =-P
(4)
(1)-(3): 2*2 +4 : 7TA =P
TA =P/7
(2)…. 2TB =P-3(P/7) = 4P/7
TB =2P/7
(3)…..TD = P-TA –TB = P-P/7 – 2P/7
TD =4P/7
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32
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.52
La barra rígida ABCD está colgada de tres alambres idénticos, como se muestra. Sabiendo que a=2b, halle la tensión causada en cada hilo por la carga P en C. SOLUCION: Los puntos A’ B’ D’ deben estar en una línea recta:
De los triángulos A’B’’B’ y A’D’’D’:
(
)
Ya que la tensión es proporcional al desplazamiento:
( ) Cuerpo libre: barra ABCD ∑ ∑
( ) ( )
(3)-(1)
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33
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I (2) ( )
(3)
2.53 Un riel de acero para ferrocarril ( ) fue tendido a 30° F. Halle el esfuerzo normal en el riel cuando la temperatura sube a 125° F, suponiendo que los rieles (a) fueron soldados para formar una vía continua, (b) tienen 39 pies de largo con separaciones de de pulg entre ellos. SOLUCION: a) Fueron soldados para formar una via continua
(
)
Desde
(
)(
)
b) Ahora tenemos
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34
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
(
)( )(
( (
)(
) ) )
2.54 El conjunto mostrado consta de una cubierta de aluminio ( ) totalmente adherida a un núcleo de acero ( ) y no tiene esfuerzos cuando la temperatura es 20 °C. Considerando sólo deformaciones auxiliares, halle el esfuerzo en la cubierta de aluminio cuando la temperatura sube a 180°C.
SOLUCION: La cubierta de aluminio y el núcleo de acero, no están unidos y se expandirán a través de:
(
)
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(
) 35
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Por lo tanto la cubierta seria más larga: (
)
(
)
(
)
( )
Con: ,
Remplazamos en (1) (
)
(
)
(
)
(
) ( )
(
) (
)
Remplazamos en la ecuación (2):
( (
) )(
( )
(
) )(
)
La cubierta y el núcleo al final tendrán la misma longitud; por ello:
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36
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
2.55 Resuelve el problema 2.54 suponiendo que el núcleo esta hecho de latón (EB = 105GPa, B =20.9 * 10-6 /C) , en ves de acero. SOLUCIÓN: Ver solución del prob 2.54 T = (T)A - (T)C = (s -c)ΔTL (1) A = a = 23.6*10-6 , c = b =20.9*10-6 ΔT =160ºC
L=0.2m
T =(23.6 – 20.9)10-6(160)(0.2m)=86.40*10-6m T =
+
(2)
AS =1.6493*10-3 m2 , ES =Ea = 70*109 Pa , AC = 0.31416 * 10-3 EC = EB =105*109 Pa (
p =
)
+
(
)
p = 1.7323*10-9 P + 7.7953*10-9 P p = T
7.7953*10-9 P = 86.40*10-6 ACERO =
=
P= 11.084 KN
= - 6.720*106 Pa
ACERO=-6.72 MPa
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37
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.56
Un poste de concreto de 4 pies esta reforzado con 4 varillas de acero, de ¾ pulg de diámetro. Sabiendo que Ea=29x106 psi, αs=6.5x10-6/ºF y EC=3.6x106 psi, αC=5.5x10-6/ºF, halle los esfuerzos normales inducidos en el acero y en el concreto por un aumento de temperatura de 80ºF.
SOLUCION: (
)
(
)(
)(
)
(
)
(
)(
)(
)
La banda entre el acero y el concreto es responsable de la fuerza P de tracción sobre el hormigón y de una fuerza –P sobre el acero. (
)
(
)
Pero: ( )( (
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)
)
38
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I (
)
( (
(
)
( (
) ) ) )
La deformación total del acero y hormigón son: (
)
(
)
(
)
(
)
Nosotros tenemos:
2.57 Una barra que consta de dos partes cilíndricas AB y BC está restringida en ambos extremos. La barra AB es de latón ( ) y la parte BC es de acero ( ). Sabiendo que no hay esfuerzos iniciales, determine: (a) los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de 90° F, (b) la deflexión correspondiente del punto B.
Figura P2.57 ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
39
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I SOLUCIÓN Primero se expande libremente la varilla: (
)
(
(
)
(
)(
)(
)
)
(
(
)
)(
)(
)
Ahora aplicamos la carga P en la longitud original Ms: (
)
(
)
( ( ) (
Alargamiento
(
)
( ) (
) )
)
(
(
(
debe ser cero:
a)
b)
)
)
(
)
) (
)(
)
2.58 Una barra consta de dos porciones cilíndricas AB y BC, y esta restringida en ambos extremos. La parte AB es de acero ( ) y la BC es de latón ( ). Si la barra no esta esforzada inicialmente, halle: (a) los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de 50 °C, (b) la deflexión correspondiente del punto B.
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40
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
SOLUCIÓN Primero se expande libremente la varilla: (
)
(
(
)(
)
( )(
)
)
(
(
) )(
)(
)
Ahora aplicamos la carga P en la longitud original Ms: (
)
(
)
(
)
( ) (
Alargamiento
(
(
) (
)
)
( (
)
)
debe ser cero:
a)
b)
(
)
(
) ) (
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)(
)
41
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.59
Resuelve el problema 2.58 suponiendo que la parte AB de la barra compuesta es de latón y la parte BC es de acero. SOLUCIÓN: T = (T)AB + (T)BC = b ΔT(AB) + SΔT(BC) T =(20.9*10-6)(50)(0.25) + (11.7*10-6)(50)0.3) =261.25*10-6 + 175.50*10-6 =436.75*10-6 P =
(
)
(
+
)
=(
( )(
)
) (
)
+(
( )(
)
) (
)
=3.3684*10-9 P +0.76394*10-9 P = 4.1323*10-9 P = T + P = 436.75*10-6 +4.1323*10-9 P =0 P=-105.69KN (a) AB = Bc =
= =
( )(
( )(
AB = -149.5MPa
)
BC = -53.8MPa
)
(b) B = (T)AB + (P)AB B =261.25*10-6 + 3.3684*10-9P B =261.25*10-6 + (3.3684*10-9)(-105.69*103) B =261.25*10-6 -356.01*10-6 B =-94.76*10-6 B =94.8m 2.60 Resuelva el problema 2.57 suponiendo que la parte Ab de la barra compuesta de acero y BC de latón. SOLUCION: Lo primero que se expande libremente es la varilla: (
)
(
)
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(
)
(
)
42
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I (
)(
)
)(
(
)(
)(
)
Ahora aplicamos la fuerza P para que vuelva a su estado original: (
)
(
)
(
)
(
( ) (
)
)
( ) (
)
La deformación total:
a)
(
)
(
)
b) (
)
(
)
(
)
2.61 Una barra de aluminio ( ) y el conector de acero ( ) tiene las dimensiones mostradas, a 20° C. El conector de acero se calienta hasta que la barra de aluminio quepa libremente en él. La temperatura del conjunto se eleva entonces a 150° C. Halle el esfuerzo final (a) en la barra, (b) en el conector.
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43
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I
Figura P2.61 SOLUCIÓN De longitud entre los eslabones de acero y alums de la varilla:
Alargamiento del alumbre sin restricciones, varilla a 150° C: (
)
(
)(
)(
)
)(
)
Alargamiento libre de los eslabones a 150° C: (
)
(
)(
Ahora aplicamos fuerzas iguales y opuestas P a la barra y al enlace para llevarlo a la misma longitud final: (
(
(
)
)
(
(
)
) (
( ) (
)
) )
La longitud final de la varilla es: (
)
(
)
La longitud final del enlace es: (
)
(
)
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PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Igualando las dos longitudes, tenemos:
a) Barra:
(
b) Enlace:
)
(
)
2.62
La temperatura de la barra compuesta del problema 2.43 se eleva en 80°C. Sabiendo que , y que no hay fuerza aplicada en B ni en D, halle: (a) los esfuerzos normales en AC y CE, (b) la deformación de AC. SOLUCION: Primero se expande libremente la varilla: (
)
(
(
)(
)
( )(
)
)
(
(
) )(
)(
)
Ahora aplicamos la carga P en la longitud original: (
)
(
)
( (
Alargamiento total
a)
) ) (
( )
(
) (
) )
debe ser igual a
(
)
(
)
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PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I (
b)
)
(
) (
)(
)
2.63 La barra AB es de latón (Eb = 15 * 106 psi, b =11.6* 10-6 /F) y la barra CD, de aluminio (E = 10.1 * 106 psi, =13.1* 10-6 /F). Sabiendo que a 60 F existe una separación de 0.02pulg entre los extremos de las barras, halle: (a)el esfuerzo normal en cada barra después de que la temperatura se ha elevado a 180 F, (b)la deformación de la barra AB en ese momento.
Figura P2.63 SOLUCIÓN: T = (T)AB + (T)CD = bΔT(AB) +aΔT(CD) T = (11.6*10-6)(180-60)(12) + (13.1*10-6)(180-60)(10) =16.704*10-3 + 15.72*10-3 =32.424*10-3 in P =
(
)
(
+
)
=(
( )(
)
) (
)
+(
( )(
)
) (
)
=254.65*10-9P + 140.07*10-9P = 394.72*10-9P La Deformación Total es = T + P y la 0 = 0.02 in = T + P =0 : 32.424*10-3 + 394.72*10-9 P =20*10-3 394.72*10-9P = -12.424*10-3 (a)
AB =
=
CD =
=
( )(
)
AB = -10.02ksi
( )(
)
AB = -4.45ksi
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P=-31.476kips
46
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I AB = (T)AB + (P)AB =16.704*10-3 + 254.65*10-9P
(b)
= 16.704*10-3 + (254.65*10-9)(-31.476*103) =16.704*10-3 – 8.015*10-3 =+8.689*10-3 in AB = +8.69*10-3 in 2.64 Para las barras del problema 2.63, determine a) La temperatura a la cual el esfuerzo en AB será de -20 ksi b) La correspondiente deformación de la barra AB. SOLUCION: En primer lugar las barras se expanden libremente por la variación de temperatura: (
)
(
(
)
)(
( )
)(
)
(
(
)(
) )(
)
Ahora aplicamos la fuerza de comprensión P, produciendo una deformación (
)
(
)
( (
)
(
) (
)
( ) (
) )
Pero conocemos que: (
) ( (
) )
La deformación total:
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PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I a)
b) ( (
)
(
)
)
(
)
2.65 Para las barras del problema 2.49, se supone que después de haber ajustado suavemente las tuercas A y C, se aflojan media vuelta. Luego se baja a 60° C la temperatura de ambas barras. Si ( ), halle el esfuerzo final en (a) la barra AD, (b) en la CE. SOLUCION: (
Desplazamiento de la tuerca A: Donde
)
(
)
cargar para aflojar )(
( (
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)( ( ) (
(
)(
)
) ) ( )
Así: (
Desplazamiento de la tuerca C: (
)
( (
)
)
( (
)
)( )
Así:
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(
)(
(
) )
) ( )
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PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I Por geometría, y observamos que
y
tienen sentidos opuestos:
( ) Sustituyendo (1) en (2) y (3): ( ) Cuerpo libre de la parte ABC:
} ∑ ( ) Sustituyendo
en (4) y simplificando:
( De (5): a) b)
) (
) (
)
(
)
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49
PRIMER TRABAJO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES I 2.66
En una prueba de tensión se somete una barra de aluminio de 20 de diámetro a una fuerza de tensión P=30kN. Sabiendo que E= 70 GPa, y v=0.35, determine: (a) el alargamiento de la barra en una longitud de 150 , (b) el cambio en el diámetro de la barra.
SOLUCION: (a) ( (
)( ) (
) )
(b)
(
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)
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