Ejercicios sobre Estructuras Algebraicas

Ejemplo 1: 1: Sea R el conjunto de los números reales, se define la siguiente operación entre elementos de R:

Comprobar que

tiene estructura de grupo conmutativo .

Demostración: Se trata de comprobar el cumplimiento de cada cada una de las cinco propiedades del grupo conmutativo: 1)

cumple la propiedad asociativa. Para Para ello llo haga hagam mos en prim primer er luga lugarr a (b c): c):

Ahora veamos (a

b)

c:

Son iguales, por tanto la operación es asociativa. 3) En R existe elemento neutro para

:

el elemento neutro para esta operación es el 0. 4) Todo elemento x de R tiene su inverso:

5) Finalmente

es conmutativa, pues es obvio que: a

b=b

a

Ejemplo 2: 2: Sea el conjunto de los números enteros, Z, y las dos siguientes operaciones:

Decir si (Z, , *) tiene estructura de anillo conmutativo. Solución:: Debemos comprobar cada una de las propiedades del anillo Solución conmutativo. 1. (Z, ) Es un Grupo Abeliano 2. (Z, *) Es un Semigrupo conmutativo 3. Si * se distribuye sobre 1. Es (Z, ) un Grupo Abeliano? 1.1) Comprobemos 1.1)  Comprobemos la asociatividad de : a

(b

c)

(a

b)

c =

En efecto,

=a

( b + c - 8) = a + (b + c - 8) - 8 =

( a + b - 8)

c =

( a + b - 8) + c - 8 =

a+b+c-

16.

a+b+c-

16.

es asociativa.

1.2) Veamos si en Z hay elemento neutro para :  x

>  x + e - 8 = x -  > e = 8 (el 8 es el elemento neutro) e = x -  neutro)

1.3) Todo elemento de A ... ¿tiene su inverso para

?:

En efecto, el elemento inverso del a es: 16 - a. 1.4) ¿ Es conmutativa a

b

?: =a+b-8

;

b

a = b + a

-8

Sí lo es, pues las dos expresiones son iguales. 2. Es (Z, *) un Semigrupo conmutativo? 2.1) Comprobemos 2.1)  Comprobemos si * es asociativa : a

* (b * c) = a * ( b + c - b c ) = a + (b + c - bc ) - a.(b + c - bc) = = a + b + c - bc - ab - ac - abc.

(a * b) * c = ( a + b - ab) * c = ( a + b - ab) + c - ( a + b - ab ).c = = a + b + c - bc - ab - ac - abc.

Las dos expresiones son iguales, por lo tanto sí es asociativa. 2.2) Comprobemos 2.2)  Comprobemos si * es conmutativa: a * b = a + b - a.b

;

b * a = a + b - b.a

que son obviamente iguales, por tanto la operación sí es conmutativa. 3. Se cumple la propiedad distributiva? 3.1) Finalmente comprobemos si la segunda operación, *, es distributiva respecto de la primera, , es decir, si se cumple: a * (b a * (b

c)

c)

= (a * b)

(a * c) ?

= a * (b + c - 8) = a + (b + c - 8) - a(b + c - 8) = = a + b + c - 8 - ab - ac + 8a = =

(a * b)

9a + b + c - 8 - ab - ac

(a * c) = (a + b - ab)

(a + c - ac) = (a + b - ab) + (a + c - ac) 8= = 2a + b + c - 8 - ab - ac

Los resultados son diferentes, por lo tanto no tiene estructura de anillo, falla la propiedad distributiva. distributiva.