Ejercitación del tema Sistemas axiomáticos y ciencias formales, para la cátedra Miguel de Introducción al Pensamiento Científico (IPC) del Ciclo Básic...
Los términ términos os primiti primitivos vos se defin definen en sin vagu vagueda edad; d; No se utilizan utilizan razonami razonamient entos os deduc deductivo tivos; s; Las leyes leyes fundamen fundamentale tales s se eligen conve convencio ncionalm nalmente ente;; Ningu Ninguna na de de las las ante anterio riores res..
Dado el siguiente sistema aiomático: !": #odo f es g y !$: Ning%n f es & a) b) c) d)
Es ind indep epen endi dien ente te;; #iene #iene como teorema teorema:: '!lg%n '!lg%n g es &'; #iene #iene como como teorema teorema la nega negaci(n ci(n del del enunciad enunciado o anterior; anterior; El sist sistema ema no es es compl completo eto..
En las ciencias formales: a) b) c) d)
Los términ términos os primiti primitivos vos no tiene tienen n vagued vaguedad; ad; Los teorem teoremas as son acept aceptado ados s convenci convencional onalment mente; e; Los aiomas aiomas son aceptados aceptados pues se verifican verifican sus consecuencias consecuencias observacion observacionales; ales; Ningu Ninguna na de de las las ante anterio riores res..
Dado el siguiente sistema aiomático: !": #odo los p se relacionan con $ s eactamente; !$: Eiste Eiste un s ue ue se relaciona relaciona con un r; !*: !*: #o #odos los p se relacionan relacionan con más más de " s. s. a) El sistema es inconsistente; inconsistente; b) #iene #iene como teorema: 'Eiste un p ue se relaciona con un s'; c) El sistema es independiente; d) Ninguna de las anteriores. #ome el siguiente sistema aiomático: !": #odo p incide con más de $; !$: Eiste un p ue incide con más de *; !*: Eiste un p ue incide con + eactamente. a) b) c) d)
El siste sistema ma es cont contrad radict ictori orio; o; El sist sistema ema es dep depen endie diente nte;; El sist sistema ema es ind indep epen endie diente nte;; El sist sistema ema es es incon inconsis sisten tente. te.
#ome el mismo sistema aiomático usado en la pregunta anterior y considere los enunciados: E": #odo p incide con más de un ; E$: No eiste un p ue incida con menos de ,. a) b) c) d)
E" y E$ E$ son son teo teore rema mas; s; Ninguno Ninguno de de estos estos enunci enunciados ados es teorem teorema; a; E" es es teore teorema ma y E$ E$ no es es teore teorema; ma; E$ es teore teorema ma y E" no es es teorem teorema. a.
En las ciencias formales a) b) c) d)
La verdad verdad de los enunciados enunciados depende depende del resultado resultado de una contradicci(n; contradicci(n; Los término términos s primitivo primitivos s no tienen tienen correla correlato to fáctico fáctico;; -e uiere uiere descr describir ibir alg%n alg%n aspec aspecto to de la reali realidad dad;; Ninguna Ninguna de de las anteri anteriores ores opcio opciones nes es correcta. correcta.
n enunciado matemático es falso a) -i no no se correspo corresponde nde con los &ec&o &ec&os; s;
b) /ndependientemente de cualuier convenci(n; c) /ndependientemente de los &ec&os; d) -eg%n reglas convencionales. 0onsidere el sistema aiomático cuyos aiomas son los siguientes: !" #odo ! es 1; !$ !lg%n 0 es 1; !* !lg%n ! es 1. a) b) c) d)
El sistema es independiente; -i agregamos el aioma 2alg%n ! no es 13 el sistema se vuelve inconsistente; 2!lg%n ! es 13 es un teorema del sistema; El sistema es inconsistente.
0onsidere el sistema aiomático: !": #odo # se relaciona con más de dos 4; !$: Eiste un # ue se relaciona con tres 4 eactamente; !*: #odo # se relaciona con menos de cinco 4. a) El sistema es inconsistente porue ninguno de los aiomas se deduce de los otros; b) El sistema es incompleto porue 2Eiste un # ue se relaciona con cuatro 4 eactamente3 es teorema; c) El sistema es incompleto porue 2Eiste un # ue se relaciona con cuatro 4 eactamente3 no es teorema; d) El sistema es inconsistente porue toda interpretaci(n es modelo del mismo. 0onsidere el sistema aiomático: !": Eiste un 5 ue es #; !$: #odo # se relaciona con menos de tres -; !*: #odo # se relaciona con eactamente dos -. a) b) c) d)
El sistema es dependiente porue !$ se deduce de !*; El sistema es consistente porue !$ se deduce de !*; El sistema es no completo porue !$ se deduce de !*; El sistema es independiente porue !" no se deduce de ning%n otro aioma.
Dado un sistema aiomático consistente: a) b) c) d)
-i -i -i -i
es completo6 toda f(rmula bien formada pertenece al sistema; es completo6 algunas f(rmulas bien formadas no pertenecen al sistema; es independiente6 toda f(rmula bien formada pertenece al sistema; es independiente6 algunas f(rmulas bien formadas no pertenecen al sistema.
0onsidere el sistema aiomático: !": Eiste un 5 ue es #; !$: #odo # se relaciona con menos de tres -; !*: #odo # se relaciona con eactamente dos -; 7 sea E": Eiste un 5 ue se relaciona con eactamente un -. El sistema es completo porue E" es teorema. El sistema es no completo porue E" no es teorema. El sistema es independiente porue E" es teorema. El sistema es no independiente porue E" no es teorema. -i un sistema aiomático admite un modelo fáctico Es consistente6 pero puede ser incompleto. 5uede ser inconsistente6 pero entonces será incompleto. -iempre ue sea consistente será completo. Ninguna de las anteriores es correcta.
Las reglas de transformaci(n de un sistema aiomático formal determinan a) b) c) d)
4ué razonamientos garantizan la verdad de los aiomas; 4ué razonamientos permiten dar una interpretaci(n a los aiomas; 4ué razonamientos permiten obtener teoremas a partir de los aiomas; Ninguna es correcta.
0onsidere el siguiente sistema aiomático: !": #odo 5 es 4; !$: #odo 4 incide sobre menos de seis 8; !*: Ning%n 4 incide sobre más de diez 8; !,: Eiste un 4 ue incide sobre eactamente dos 8. En este sistema6 por ser consistente6 a) b) c) d)
#oda f(rmula bien formada es teorema o negaci(n de un teorema; #oda f(rmula bien formada es aioma o teorema; #odas las interpretaciones son modelo del sistema; No &ay f(rmulas bien formadas contradictorias ue sean teoremas.
Es9-on teoremas del sistema anterior a) b) c) d)
Eiste un 4 ue incide sobre cinco 8; La negaci(n del enunciado anterior; #odo 5 incide sobre menos de siete 8; La negaci(n del enunciado anterior.
El lenguae de un sistema aiomático formal contiene a) b) c) d)
Los términos ue se aceptan sin definici(n dentro del sistema; Los términos ue se aceptan sin demostraci(n dentro del sistema; Las reglas ue determinan cuáles términos son verdaderos dentro del sistema; Las reglas ue determinan cuáles f(rmulas están bien formadas.
0onsidere el siguiente sistema aiomático: !": #odo 5 es 4; !$: #odo 4 incide sobre menos de seis 8; !*: Ning%n 4 incide sobre más de diez 8; !,: Eiste un 4 ue incide sobre eactamente dos 8. Este sistema es incompleto. a) 5orue algunas f(rmulas bien formadas no son teoremas; b) 5orue algunas f(rmulas bien formadas no son teoremas pero s lo son sus negaciones; c) 5orue algunas f(rmulas bien formadas son teoremas pero no lo son sus negaciones; d) 5orue todas las f(rmulas bien formadas son la negaci(n de alg%n teorema. Es9-on teoremas del sistema anterior a) b) c) d)
Ning%n 4 incide sobre más de cinco 8; #odo 5 incide sobre menos de once 8; La negaci(n del enunciado anterior; Eiste un 5 ue incide sobre eactamente dos 8.
Estas dos son f(rmulas bien formadas en el lenguae de un sistema aiomático. E": #odo < es 8; E$: Eiste un < ue no es 8. a) -i E" es teorema del sistema y E$ no lo es6 el sistema es consistente; b) -i E" es teorema del sistema y E$ no lo es6 el sistema es incompleto; c) -i ni E" ni E$ son teoremas del sistema6 el sistema es independiente;
d) -i ni E" ni E$ son teoremas del sistema6 el sistema es incompleto. 0onsidere el siguiente sistema aiomático: !": #odo 8 es 5; !$: Eiste un 5 ue tiene más de cinco 4; !*: Eiste un 5 ue tiene eactamente oc&o 4. a) b) c) d)
2Eiste un 8 ue tiene eactamente seis 43 es teorema del sistema; 2Eiste un 5 ue tiene menos de diez 43 es teorema del sistema; El sistema no es completo ni independiente; #odas las interpretaciones son modelo del sistema porue es consistente.
Las ciencias formales a) =erifican sus aiomas; b) Describen alg%n aspecto del mundo; c) >ustifican sus afirmaciones eperimentalmente; d) !ceptan algunos enunciados por convenci(n. /ndicar cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: a) n sistema aiomático consistente es siempre independiente; b) n sistema aiomático completo siempre es inconsistente; c) n sistema aiomático no &ace referencia al mundo a menos ue sea interpretado; d) En un modelo de un sistema aiomático los aiomas son proposiciones corroboradas. Dado el siguiente sistema aiomático: !": #odo 5 es 8; !$: #odo - es 5; !*: Eisten ue no son 8. a) El sistema es consistente; b) El sistema es inconsistente; c) El sistema admite alg%n modelo; d) Ninguna de las anteriores es correcta. La verdad de los enunciados de una ciencia formal como la matemática. a) Es siempre independiente de lo ue ocurra en los &ec&os; b) Depende de lo ue ocurra en los &ec&os;
c) Es independiente de cualuier convenci(n; d) Depende de convenciones aceptadas. 0onsidere el sistema aiomático. !": #odo ! es 1; !$: !lg%n 0 es !. a) El sistema es independiente; b) El sistema no puede tener ning%n modelo; c) '!lg%n 0 es 1' es un teorema del sistema. d) -i agregáramos el aioma '!lg%n 1 no es 0'6 el sistema se &ara inconsistente. Dado el siguiente sistema aiomático: !": 5ara cada ? ue accede con más de dos @6 también accede con alg%n #; !$: #odo @ ue accede con alg%n # es >; !*: Eiste un ? ue accede con A @ a) El sistema es independiente; b) El sistema es dependiente; c) El sistema es inconsistente; d) El sistema es consistente. 5ara el sistema anterior considere los siguientes enunciados: E": Eiste un ? ue accede con alg%n #; E$: Eiste un ? ue accede con A @ a) E" es teorema pero E$ no lo es; b) E" y E$ son teoremas; c) E$ es teorema pero E" no lo es; d) Ninguno de los dos es teorema. 0onsidere el siguiente sistema aiomático. !": #odo 5 incide con menos de seis 4; !$: Eiste un 5 ue incide con eactamente cuatro 4; !*: #odo 5 es 8. Este sistema es consistente. a) 5orue ninguno de los aiomas se deduce de otros; b) 5orue todos las interpretaciones son modelo del sistema; c) 5orue todas las f(rmulas bien formadas son teoremas;
d) 5orue algunas f(rmulas bien formadas no son teoremas. Es9-on teoremas del sistema anterior a) 2Eiste un 4 ue incide con eactamente dos 83; b) La negaci(n del enunciado anterior; c) 2Eiste un 5 ue incide con más de dos 43; d) La negaci(n del enunciado anterior.
