1RA PRÁCTICA CALIFICADA (CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA Y CUERPO RÍGIDO) DINÁMICA (IC 244) –
ALUMNOS
:
CARITAS BARRIENTOS, Ronald ROBLES ROCHA, Hamilton TORRES PÉREZ, Walter A. TORO VELARDE, William
PROBLEMA 1.2 (CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA) Dos part ícu las inic ian s im ult áneam ente su m ov im iento recti líneo part iend o del mism o origen. Los diagramas velocidad – tiempo respectiva mente una recta y un – tiempo son respectivamente cu adrante de circu nferencia. Calcular: a) La aceleración de la 2d a part ícu la en f un ción d el tiem po . b) La ac eleración d e la 1ra partícu la sab iend o q ue al can za a la 2da 2da c uan do esta queda en repo re po so. c) El tiempo transc urrid o h asta qu e ambas p artícu las tengan ig ual velocid ad.
SOLUCIÓN:
Datos: a) 2do móvil : Cuya diagrama es el cuarto de circunferencia (
…………………………. (1)
)
(1)
b) De la gráfica, se tiene que :
Despejando “
”
c) Igualando las ecuaciones (2) con (3)
√ PROBLEMA 1.6 (CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA) Las co m po nentes in tríns ecas de la aceleración del m ovim iento de u na p artícu la es tán dad as p o r las exp resi on es:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(m / )
(m / )
Si en el ins tante en q ue se c om enzó a estud iar el mo vim iento de la partícu la, esta pasaba po r la pos ición p(-5,2,1) co n u na veloc idad d e 10 m/s. Determinar: a) La velocidad referida al origen de coo rdenadas. b) La aceleración to tal. c) El espacio reco rrido y el radio d e curvatura de la trayectoria y la po sición d el móvil para el instan te: t=4 seg. d) La velocidad circu lar para t=2 seg.
SOLUCIÓN:
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ∫ ∫ ∫ ∫ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a
=(4t + 4)
(aceleración total)
Luego sabemos que:
,
V
=(2
También:
,
r=
Del dato sabemos: ǀ +
+
ǀ = 10
= 100 ……………………………………….(1)
Ahora calculamos “t” para cuando r = (0,0,0)
0=
=
………………………………………..(2)
=
………………………………………………………(3)
=
………………………………………………………(4)
Resolviendo (1), (2), (3) y (4): t = 0.47 ,
= -3.30 ,
1.41
Luego V = (2 r=
Luego tendremos
m/s
m/s2
PROBLEMA 1.12 (CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA) Demo strar qu e el radio de curv atura de la trayectoria de un p roy ectil alcanza un valo r m ínim o en el pu nt o m ás alto de la trayec tor ia. b) Si
es el angulo q ue forma la trayectoria con la horizontal en el punto B.
Demostrar qu e el radio d e curvatura de la trayectoria en B es:
=
SOLUCIÓN:
En el tramo de ascendencia X= Y=
Y=
Entonces
=
-
x
,
=
a) Luego sabemos que :
=
=
.
. 2
x =0
X=
es mínimo
Luego cuando
= 0 =
X
=
-
x Y es máximo
Por lo tanto cuando Y es máximo es minimo Además
=
b)
=
( )
= tanα
=
.(
Por lo tanto
=
=
=0
PROBLEMA 1.14 (CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA) La b arra OA está girand o en el plano XY de tal form a qu e en cu alquier instante φ = t 3/2 rad . Al m is m o tiem p o el c ol larín B est ádes lizánd os e h acia 2 afuera a lo largo de OA d e mod o q ue r=100t (mm ). Si en ambo s caso s t se m ide en seg un do s. Determin ar la velo cid ad y la aceleración del c oll arín cu ando t=1s.
SOLUCIÓN: Datos: φ = t3/2 rad r=100t 2 (mm) Como podemos apreciar el problema está girando en el plano xy, tiene un ángulo y una distancia. Empleamos coordenadas polares:
̇ ̈ =200
̇ ̈
Para t=1s
̇ ̈ =200
̇ ̈
Velocidades La velocidad de “B”:
aceleración de “B”:
⃗ ̇ ( ̇) ⃗
⃗(̈ ̇ ) ( ̈ ̇ ̇) ⃗
Reemplazando:
reemplazando:
PROBLEMA 1.20 (CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA) Una p artícu la p se m uev e co n u na aceleración relativa constante aₒ dentro de un tubo recto inclinado mientras que el tub o está girand o c on un a velocidad angular con stante w alrededor de un eje vertical. En el instante considerado la partícula se mueve con una velocidad vₒ co n resp ecto al tu bo cu ando el tubo estáen el plano y -z, determin ar la velocidad y la aceler ación d e la partícu la en la p os ici ón indicada.
⃗ √ ⃗ ⃗ √ ⃗
= hw -
= -vₒw -
vₒ + vₒ
aₒ + (
aₒ + h
)
SOLUCIÓN:
√ ⃗
µ=-
-
En el instante mostrado
√ ⃗ √ √ r=
+
=-
vₒ -
=-
aₒ -
W=W
⃗ ⃗
Luego V=
+ w . r
⃗ √ ⃗ ⃗
√ √ V=- V=-
vₒ vₒ
También a=
a =a =-
-
+ W x(
+
+
)
….. Respuesta
⃗ ⃗ ⃗ √ ⃗
+ W x (W x r) + 2W x
√ √
aₒ -
+ W x (
aₒ -
-
a = - W vₒ -
aₒ – (
)+2W
x (-
√
⃗
vₒ -
- W vₒ
….. Respuesta
PROBLEMA 1.26 (CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA)
Una p artícu la se m uev e co n u na velo cid ad relativ a a lo largo de la periferia de un tubo circular de radio “R”, mientras que el tubo está girando con una velocidad angular Ω y una aceleración angular α alrededor de un diám etro d el tub o. Com o s e ind ica en la fig . Dado qu e la aumenta uniform emente a razon de po r un idad de tiempo. Determin ar la velocidad y la aceleración d e la part ícu la en la p os ición i nd icad a.
SOLUCIÓN: Datos:
|⃗ ̇ | ⃗|| ⃗ ̇ Aceleración de la partícula=
Hallamos el vector posición en coordenadas x, y:
̂̂ ⃗ ̇ ̂̂
Hallamos un vector unitario en la dirección de la velocidad relativa:
̂ ̂ ⃗ √ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ̇ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂̂ ̂̂̂ ⃗ ̂̂ ⃗ ̂ ̂ =
Tenemos:
Reemplazando los valores:
De donde operando obtenemos la velocidad:
Hallando la aceleración:
̈ ⃗ ̇⃗ ⃗ ⃗ ̇ ⃗ ̂ ⃗ ̇ ̂ ̂̂ ̇ ̂ ̂ ̈ ̂ ̂
Reemplazando en (1):
̈ ⃗ ̇⃗ ⃗ ⃗ ̇ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂() ̂ ̂ ̂ ̂ Agrupando:
⃗ ̂ ̂
PROBLEMA 3.4 (CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO) La rued a tiene
y el bloqu e desliza co n una aceleración 8 m /s 2 hacia
la derecha de OE = r = 20 cm , ED esta ho rizontal; utilizando los c entros ins tant áneo s, calcu lar tod as las velo cid ades.
SOLUCION:
⃗ ⁄ ⁄ Luego tenemos que:
Donde:
Entonces:
Además:
Donde:
Entonces:
Luego:
Donde:
Entonces:
Donde:
PROBLEMA 3.8 (CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO) Un c able está enrollado en el c ub o in terior d e una ru eda y s e tira hacia la derecha con una velocidad cons tante de 0.5m/s Si la rueda no d esliza, Determinar la velocidad y la aceleración d el pun to A . h aci a do nd e rod ara la rued a. Exp lic ar ¿Por q ué ?:
SOLUCIÓN:
Datos
:
⃗ ̂ ⃗ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ *+ ̂ Donde:
Reemplazando (2) en (1).
…….Respuesta
Hallando
su aceleración; en este caso su
:
…..Respuesta
Su
aceleración tangencial será igual a cero en el punto A.
PROBLEMA 3.9 (CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO) La rueda gira con una velocidad angular =20 rad/s y que está disminuyendo a razón de 5 rad/s2, en la posición mostrada DC es horizontal y CB es vertical. Determinar las velocidades angulares absolutas de estos dos eslabones.
SOLUCIÓN: Datos:
̇
=20 rad/s = 5 rad/s2
Solución: Para el punto “B” respecto de “A”
⃗ ̂ ̂ Reemplazando:
Para el punto “C” respecto de “B”
⃗ ̂̂ ̂̂ Reemplazando:
…………(1)
Para el punto “C” respecto de “D”
⃗ ̂ ̂ Reemplazando:
………….. (2)
Igualando (1) y (2) tenemos:
⃗ ⃗
PROBLEMA 3.13 (CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO)
̅ ̅
Un cubo rígido de arista “a” gira alrededor de un eje perpendicular a dos de sus caras p or el centro, con velocidad angu lar constante w. Determinar de la diago nal A B d e una d e las caras, cons iderada co m o u na línea.
SOLUCION: Sabemos que:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ Entonces:
Luego, ya que B y B’ pertenecen a una misma arista vertical entonces:
,
Para la ecuación de movimiento relativo:
⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Tenemos:
….. Respuesta
Luego:
Por la ecuación de movimiento relativo:
Tenemos;
̂ ̂ ̂ ̂ (̂ ̂ )(̂ ) ( ̂) ( ̂) (̂ )
̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂)̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂
PROBLEMA 3.16 (CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO) El volante rueda sin deslizar so bre una circ un ferencia de radio R y realiza una revolución completa alrededor del eje vertical “y” con velocidad constante en un tiem po . Determin ar la aceleración angular del volante y representar los con os d el cuerpo y del espacio.
̅
SOLUCION:
Entonces;
Luego sabemos que la variación de un ángulo cuando gira con una velocidad angular “w”, es:
̇
̂ ̂ Gráfico: