Ejercicios resueltos de Tippens Momento rotacional PREGUNTAS 4-1 Defínanse los siguientes términos: a) Línea de acción.La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones. b) Eje de rotación.Es una línea imaginaria que corta en forma perpendicular al plano sobre las que descansa la línea de acción de la fuerza c) Brazo de palanca.El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular que hay de la línea de acc ión de la fuerza al eje de rotación. d) Momento de torsión.El momento de torsión con respecto an eje determinado se define como el producto de la magnitud de una fuerza por su brazo de palanca: Momento de torsión = fuerza x brazo de palanca e) Equilibrio rotacional.Un cuerpo está en equilibrio rotacional si no tiene ningún momento de torsión actuando sobre él. En tales casos, la suma de todos los momentos de torsión respecto a cualquier eje debe ser igual a cero.
0
La suma de todos los momentos de torsión respecto a cualquier punto es cero
f) Centro de gravedad.El centro de gravedad de un cuerpo es el punto a través del cual actúa el peso y es independiente de cómo esté orientado el cuerpo. 4-2 Levántese una maleta pesada pesada con la mano derecha. Descríbase y explíquese explíquese la posición del cuerpo La maleta está en el piso en equilibrio, para levantar la maleta el brazo se pone en horizontal el antebrazo y vertical el brazo, mientras se inclina un poco el cuerpo. 4-3 Un truco consiste en pedir a una persona persona que se coloque de pie contra una pared con los pies juntos, de manera que la parte lateral de su pie derecho se apoye contra la pared. A continuación se le pide que levante su pie izquierdo, ¿Por qué no es posible hacerlo sin caer? Porque no hay el equilibrio suficiente para levantar el pie izquierdo ya que la parte lateral del derecho no alcanza para tener equilibrio porque se sale del mismo. 4-4 Por qué una minivan tiene más probabilidades probabilidades de volcarse que un corvett corvett u otros autos deportivo Porque el centro de masa de una combi está mucho más alto que en un corvett, por lo tanto en las curvas, el centro de gravedad se desplaza mucho más en una combi que en un corvett.
4-5 Si se sabe que el peso de un ladrillo es de 6 lb, explique cómo podría usar una regla graduada y un punto de apoyo o pivote para determinar el peso de una pelota de béisbol? Se coloca el ladrillo en un extremo de la regla graduada y la pelota en el otro extremo, luego se ajusta el pivote en el recorrido de la regla hasta que se equilibra, luego con la r elación entre la distancia entre el pivote y el ladrillo, y el pivote y la pelota, multiplicado todo eso por el peso del ladrillo, obtienes el peso de la pelota de la siguiente manera (6 lb).(distancia del ladrillo al pivote medido) = (peso de la pelota). (distancia de la pelota al pivote)
4-6 Descríbase y explíquense los movimiento de los brazos y las piernas de un equilibrista que mantiene su equilibrio en el alambre. Los movimientos oscilantes de brazos y de bamboleo de piernas los hace para mantener su centro de gravedad perpendicular a la cuerda. 4-7 Explíquese como se usa el principio del momento de torsión en los siguientes siguientes objetos: a) destornillador, b) llave inglesa, c) pinzas, d) carretilla, e) cascanueces y f) barreta. a) Al destornillador se le aplica un torque en su extremo para que gire y saque los tornillos. b) La llave inglesa: Se le aplica un torque desde su extremo haciendo que rote hacia un lado o el otro para que apriete o saque pernos. c) Pinzas: Al aplicar una fuerzas en un lado esta se multiplicará del lado de las pinzas ya que su brazo es más corto con lo que se rompe algún material duro d) Carretilla: Se aplica un torque en los brazos y como la carga se encuentra más cerca del eje su brazo es menor y entonces el efecto de la fuerza en los brazos es multiplicada y se logra levantar grandes pesos. e) barreta: El pivote que sirve de apoyo está siempre más cerca del cuerpo que se quiere mover y entonces el efecto de la fuerza aplicada en el otro extremo se ve multiplicada. PROBLEMAS: 4-1 Una correa de cuero se enrolla alrededor de una polea de 12 pulg de diámetro. Una fuerza de 6 lb se aplica a la correa. ¿Cuál es el momento de torsión en el centro del eje? Datos: D= 12 pulg= 1 ft
r= D/2 = 1 ft / 2 = 0,5 ft
F= 6 lb F l
(6 lb) ((0 0,5ft ,5ft)
3lb ft
4-2 La barra de la figura 4-4 tiene 20 in in de longitud. longitud. Calcúlese el momento de torsión en libras-pie alrededor del eje en a si el ángulo es de a) 90°, b) 60°, c) 30°, d) 0° Datos: Longitud de la barra= 20 in = (20/12) ft = 1,67 ft Fórmula:
F l (20 (200lb) (1 (1,67 ft) sen sen ,67 ft) sen90 334lb 4lb ft = a) (200 lb) (1,67 ,67 ft) sen60 289,2lb ,2lb ft b) (200 lb) (1,67 ,67 ft) sen30 167lb 7lb ft c) (200 lb) (1,67
d)
(200 lb) (1,67 ft) sen0 0
4-3 Determínese el momento de torsión producido para cada uno de los ángulos del problema 4-2. No se tome en consideración el peso de la barra. (es lo mismo del problema anterior) a)
(200lb) (1, 67 ft ) sen 90 334 lb ft =
A b)
60 cm
200 N
(200 lb) (1,67 ft) sen60 289,2lb ft
c)
(200 lb) (1,67 ft) sen30 167lb ft
d)
(200 lb) (1,67 ft) sen0 0
r
4-4) En la figura 4-12 ¿cuál es el momento de torsión resultante a) respecto al punto A, y b) respecto al punto izquierdo de la viga de madera? No se tome en cuenta el peso de la viga Datos: Los datos se obtienen de la figura Fórmula:
R
a)
A
R
R
b)
R
30 N 6 m
15 N 2 m
20 N 3 m
90 N m en sentido contrario de las manecillas del reloj
R
15 N 4 m
20 N 9 m
120 N m a favor de las manecillas del reloj
4-5 Determine el momento de torsión resultante respecto al punto A y respecto al punto C en la figura 4-13. Datos: Los datos se obtienen de la figura Fórmula:
R A a) = - (20 lb)(4/12 ft)+(40 lb) (6/12 ft) sen40° = 6,19 lb.ft b) = -(20 lb) (4/12 ft)= -6,67 lb.ft
4-6 Una correa se enrolla en torno a una polea de 16 in de diámetro. Si se requiere un momento de torsión resultante de 4 lb.ft,.¿qué fuerza debe aplicarse a lo largo de la correa?
Datos: D= 16 in
R = ½(16 in.) = 8 in. R = (8/12 ft) = 0.667 ft
Fórmula:
F.l
F (0.667 ft) = 4 lb ft;
F =
4 lb ft
0,667 ft
6 lb
4-7 Determínense las fuerzas desconocidas para el arreglo de la figura 4-14. Suponga que el equilibrio existe y que el peso de la barra es despreciable en cada caso a) Aplicando la fórmula del equilibrio rotacional en el eje A:
0 = (80 lb)(40/12 ft) – F (30/12 ft) = 0; 266,67 lb.ft= F . 2,5 ft F=
266,67 lb ft 2,5 ft
F = 106,67 lb Aplicando equilibrio en el eje Y
Fy = F – A – 80 lb = 0; A = 106,67 N – 80 N = 26,67 N A= 26,67 lb b) Aplicando el equilibrio en el eje de F1 tenemos:
= (90 lb)(5 ft) – F2 (4 ft) – (20 lb)(5 ft) = 0 lb.ft – 100 lb.ft = F2 (4 ft) F2 =
350 lb 4 ft
ft
= 87,5 lb
Aplicando equilibrio en el eje Y tenemos:
Fy = F1 – F2 – 20 lb – 90 lb = 0 F1 = F2 +110 lb = 87.5 lb + 110 lb F1 = 198 lb c) Aplicando equilibrio rotacional en el eje A
= B (11 m) – (60 N)(3 m) – (40 N)( 9 m) = 0; B = 49.1 N Aplicando equilibrio en el eje Y tenemos:
Fy = A + B – 40 N – 60 N = 0 A = 100 N – B = 100 N – 49.1 N B = 50.9 N 4-8 Un puente de 20m de largo está soportado en cada extremo. Considérese el peso del puente de 4500N. Encuéntrese las fuerzas ejercidas en cada extremo cuando una podadora de 1600N se encuentra localizada a 8 m del extremo izquierdo del puente Aplicando equilibrio rotacional en el eje A:
= B (20 m) – (1600 N)(8 m) – (4500 N)( 10 m) = 0 B = 2890 N Aplicando equilibrio en el eje Y tenemos:
Fy = A + B – 1600 N – 4500 N = 0 A = 6100 N – B = 6100 N – 2890 N;
B = 3210 N
4-9 ¿Cuál es el momento de torsión resultante respecto al pivote de la figura 4-15? Datos: L1= 60 cm= 60/100 m= 0,6 m L2= 40 cm= 40/100 m = 0,4 m
F1= 80 N F2= 200N
90 40
Aplicando momento rotacional en el pivote central:
= (80 N)(0.6 m)
sen
90 – (200
N)(0.4 m) sin 400
= 48.0 N m – 51.4 N m
= – 3.42 N m 4-10 ¿Cuál es la fuerza horizontal aplicada al extremo izquierdo de la barra curva de la figura 4-15 que producirá equilibrio rotacional? Del problema anterior se debe agregar un torque de +3,42 N.m Para que exista equilibrio rotacional. Por tanto:
F (0.6 m) cos 400 = +3.42 N m; F = 7.44 N 4-11 Sobre un tablero que descansa en dos soportes se colocan pesos de 100, 200 y 500 lb como se muestra en la figura 4-16. Despreciando el peso del tablero, ¿Cuáles son las fuerzas ejercidas en los soportes? Aplicando equilibrio rotacional en el eje A tenemos:
= (100 lb)(4 ft) + B(16 ft) – (200 lb)(6 ft) – (500 lb)(12 ft) = 0 B = 425 lb Aplicando equilibrio en el eje Y tenemos:
Fy = A + B – 100 lb – 200 lb – 500 lb = 0 A = 800 lb – B = 800 lb – 425 lb;
A = 375 lb
Las fuerzas ejercidas sobre los soportes son:
A = 375 N and B = 425 N
4-12 Una barra uniforme de 8m de largo que pesa 2400 N es apoyada por un pivote que dista 3m del extremo derecho. Si se coloca una pesa de 9000N sobre el extremo derecho, ¿qué fuerza ascendente deberá ser ejercida en el extremo izquierdo a fin de nivelar el sistema? Aplicando equilibrio rotacional en el pivote:
= A (5 m) + (2400 N)(1 m) – (9000 N)( 3 m) = 0 A = 4920 N
Fy = A + B – 2400 N – 9000 N = 0 B = 11,400 N – A = 11,400 N – 4920 N B = 6480 N 4-13 Una caja de 30 lb y otra de 50 lb se colocan en los extremos opuestos de un tablero de 16 ft. El tablero se apoya solamente en su punto medio. ¿Dónde debe colocarse una tercera caja que pese 40 lb para equilibrar el sistema? Aplicando equilibrio rotacional en el pivote
= (30 lb)(8 ft) + (40 lb)(x) – (50 lb)(8 ft) = 0 (40 lb) x = 400 lb.ft - 240 lb.ft X=
160 lb. ft 40 lb
X= 4 ft 4-14 Se cuelgan unas pesas de 2, 5. 8 y 10 N de una barra de 10m de longitud a distancias de 2, 4, 6 y 8m del extremo izquierdo. ¿Cuál es la magnitud y localización de una fuerza dirigida hacia arriba que equilibre el sistema? F
Aplicando equilibrio rotacional en el pivote tenemos:
= F-(10 m) - (10 N)(8m) - (8N)(6m) – (5N)(4m) –(2 N)(2 m)= 0 2m
F.(10m) - 80 N.m – 48 N.m -20 N.m 4 N.m = 0
2m
2N
F = 15,2 N
2m
5N
2m
8N
10 N
4-15 Una barra horizontal uniforme tiene 800mm de longitud y es de peso despreciable. Una pesa de 40 N se cuelga del extremo izquierdo de ella y una pesa de 84 N es colgada del extremo derecho. Dónde deberá ser colocada un soporte ascendente a fin de equilibrar el sistema F
Aplicando equilibrio rotacional en el pivote tenemos:
= (40 N)(800 mm - x) - (84 N)x = 0
800 mm x
x
32000 N.mm – (40 N) x (84 N) x = 0 40 N
(124 N) x = 32000 N.mm 32000 N .mm
X=
124 N
258 mm
desde el extremo derecho o 542 mm desde el extremo izquierdo
4-16 Encuéntrese las fuerzas F1, F2 y F3 de la figura 4-17, de tal manera que el sistema esté en equilibrio Debemos tener en cuenta las fuerzas de acción y reacción R y R’ En la barra horizontal superior tenemos: Aplicando equilibrio rotacional en en el eje de R:
R = (300 lb)(6 ft) – (50 lb)(2 ft) – F1(8 ft) = 0 F1 = 213 lb
Fy = 0
213 lb + R –300 lb – 50 lb = 0
84 N
R = 138 lb = R’
Aplicando equilibrio rotacional en la barra horizontal inferior y tomando R’ = 138 lb en dirección hacia abajo tenemos:
F = (138 lb)(3 ft) + F3(7 ft) – (200 lb)(5 ft) = 0 F3= 83,9 lb
Fy = 0 = F2 + 83.9 lb – 138 lb – 200 lb F2= -254 lb Por tanto las tres fuerzas son: F1= 213 lb , F2= -254 lb, F3 = 83,9 lb 4-17 Encuéntrese un momento de torsión resultante respecto a A en la figura 4-18 ¿Cuál es el momento de torsión resultante si el eje de rotación está en el punto B? Aplicando momento de torsión en el eje A tenemos
= (70 N)(0.05 m) sin 50 0 – (50 N)(0.16 m) sin 550 = 2.68 N m – 6.55 N m = –3.87 N m = –3.87 N m Aplicando momento de torsión en el eje B tenemos:
= (70 N)(0) – (50 N)(a + b) Primero debemos encontrar a y b a = (0.05 m) cos 500 = 0.0231 m b = (0.16 m) sin 550 = 0.131 m
= – (50 N)(0.0231 m + 0.131 m) = –8.16 N m = –8.16 N m 4-18 Una plataforma de 10 ft se coloca a través de dos escaleras, una a cada extremo. La plataforma pesa 40 lb y un pintor está sobre ella a 4 ft del extremo derecho y pesa 130 lb. ¿Cuáles son las fuerzas ejercidas por cada una de las escaleras Aplicando equilibrio rotacional en el eje A tenemos
= B(10 ft) – (40 lb)(5 ft) – (130 lb)( 6 ft) = 0 B = 98 lb
Fy = A + B – 40 lb – 130 lb = 0 A = 170 lb – B = 170 lb – 98 lb;
A = 72.0 lb
4-19 Considérese el arreglo de la figura 4-19. La vigueta pesa 400N y tiene 6m de largo. Al cable AC está atado a la vigueta a una distancia de 4,5m de la pared. Si el peso W es de 1200N, ¿cuál es la tensión en el cable? ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote en la vigueta? ¿Cuál es la magnitud y dirección de esta fuerza?
= 900 – 370 = 530; Ty = T sin 53 0
Aplicando equilibrio rotacional en el eje B tenemos:
= (T sin 53 0)(4.5 m) – (400 N)(3 m) – (1200 N)(6 m) = 0; 3.59 T = 1200 N + 7200 N T = 2340 N
Fx = H – Tx = 0; H – T cos 53 0 = 0;
H = (2340 N) cos 530;
H = 1408 N
Fy = V + T sin 53 0 – 400 N – 1200 N = 0; V = 1600 N – (2340 N) sin 530 = -269 N Por tanto las components horizontal y vertical son:
H = 1408 N and V = -269 N.
El módulo de la reacción R en el pivote será: R
H
tan
2
V
269
2
1434 N
1408
10,8
360 10,8 349, 2
4-20 En la figura 4-19 la vigueta pesa 80 lb y tiene 12 ft de largo, y el cable está atado en un punto a 10 ft de la pared. La resistencia a la ruptura del cable es de 800 lb. ¿Cuál es el peso máximo W que puede colgarse en el extremo derecho?
T y
800lb (sen53) 638,9lb
= (638,9 lb)(10 lb) – (80 lb)(6 lb) – W (12 ft) = 0 W = 492,4 lb 4-21 Si el peso del puntal de la figura 4-20 se desprecia y el peso W es de 2000 lb, a) ¿cuál es la tensión en el cable horizontal? b) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre el puntal en su extremo inferior? 4 ft T
Aplicando equilibrio rotacional en el eje C V
6 ft
B
W
c = T (6 ft) sen 30° – (2000 lb)(10 ft) cos 30° = 0
2000lb
30
T = 5773,5 lb
C
Fx
lb= 0 ;
H = 5773,5 lb
Fy V W
V -2000 lb = 0 ;
V = 2000 lb
H
4-22 Si el peso del puntal de la figura 4-20 se desprecia, a) ¿qué peso W se requiere para producir una tensión en el cable de 400 lb? b) ¿Cuál sería entonces la magnitud y la dirección de la fuerza ejercida sobre el puntal en su extremo inferior? T
400lb
4 ft
Aplicando equilibrio rotacional en el eje C V
6 ft
c = (400 lb) (6 ft) sen 30° – W (10 ft) cos 30° = 0 30
W = 138,56 lb
C
F
lb= 0 ; H = 400 lb
Fy V W
V -138,56 lb = 0 ;
H
V = 138,56 lb
B
W
R
H 2 V 2
tan
138,56 400
400 138, 56 423, 3N 2
19,1
2
4-23 Calcúlese la posición del centro de gravedad de un hacha, si la cabeza de metal pesa 12 lb y el mango de madera de 32 in pesa 2 lb. Supóngase que el mango es uniforme en peso y construcción
Fy = F – 2 lb – 12 lb = 0;
F = 14 lb
Aplicando equilibrio rotacional en el eje izquierdo:
F. x – (12 lb)(0) – (2 lb)(16 in.) = 0; (14 lb) x = 32 lb in.;
Fx = 32 lb in.
x = 2.29 in. desde la cabeza a la izquierda.
4-24 Encuéntrese el centro de gravedad de dos esferas conectadas por un rodillo como en la figura 4-10. En este ejemplo, supóngase que el rodillo es de 20 mm y que tiene peso despreciable. La esfera de la izquierda pesa 40N y la de la derecha pesa 12N.
Fy = F – 40 N – 12 N = 0;
F
F = 52 N x
d
Aplicando equilibrio rotacional en el eje izquierdo:
F. x – (40 N)(0) – (12 N)(20 mm) = 0; (52 N) x = 240 N.mm.;
20mm
Fx = 240 N.mm.
x = 4,6 mm. desde el lado izquierdo 40 N
4-25 Supóngase que la vigueta de la figura 4-20 pesa 80 lb y que el peso suspendido W es de 200 lb ¿A qué distancia del pivote soportante C debe atarse un peso de 100 lb para producir una tensión en el cable de 900 lb?
4 ft
900lb
Aplicando equilibrio rotacional en el eje C 6 ft
c = (900 lb) (6 ft) sen 30° – (80 lb) (5 ft) cos 30° 30
(100 lb) X Cos 30° - (200 lb) (10ft)cos 30°=0
B
W
80 lb
C
F
X = 7,18 ft
100lb
200lb
12 N
Segunda ley de Newton PREGUNTAS 7-1 Defínanse los siguientes términos: a) Segunda ley de Newton.La fórmula matemática que expresa la segunda ley de Newton sobre el movimiento puede escribirse así: Fuerza = masa x aceleración b) Masa.La masa es una constante universal igual a la relación del peso de un cuerpo con la aceleración gravitacional debida a su peso c) Peso.El peso es la fuerza de atracción gravitacional y varía dependiendo de la aceleración de la gravedad. d) Slug Una masa de un slug es aquella a la que una fuerza resultante de 1 Ib le imparte una aceleración de 1 ft /s 2. Fuerza (Ib) = masa (slug) . aceleracion (ft/s2) 7-2 En un experimento de laboratorio, se mide la aceleración de un pequeño carrito por medio de la separación entre las marcas quemadas a intervalos regulares sobre una cinta recubierta de parafina. Cada vez se pasan más pesos del carrito a un soporte de pesas, atado al otro extremo de la cinta parafinada y que pasa sobre una pequeña polea sin fricción. De esta manera la masa de todo el sistema se mantiene constante. Dado que el carrito se mueve sobre una pista de aire horizontal con fricción despreciable, la fuerza resultante es igual al peso del soporte en el extremo de la cinta. Se toman los siguientes datos: Peso, W Aceleración, m/s2
2
4
6
8
10
12
1,4
2,8
4,2
5,6
7,0
8,4
Dibújese una gráfica de peso contra aceleración. ¿Qué significado tiene la pendiente de la W ( kg ) curva? 12 10 8
6
4 2
1,4
2,8
4, 2 5,6
7, 0
8,4
a
(m / s 2 )
Como el peso tira la cinta con toda la masa del sistema entonces: W
m a
por tanto la pendiente es la masa del sistema
7-3 En el experimento que se describe en la pregunta 7-2, el estudiante coloca un peso constante de 4N en el extremo de la cinta. Se realizan varias mediciones añadiendo cada vez más peso al carrito para aumentar su masa. ¿Qué le ocurre a la aceleración a medida que la masa del sistema aumenta? ¿Cuál debe ser el valor del producto de la masa del sistema por su aceleración en cada ocasión? Como la fuerza que tira del carrito es constante F= 4N entonces F=m.a por tanto a
4 N
F
m
m
como la masa está aumentando entonces la aceleración estará disminuyendo
Por otro lado en cada medición de la aceleración, al aumentar la masa, el producto de la masa por la aceleración debe ser constante e igual a 4N. 7-4 Hágase una clara distinción entre los términos masa y Peso. La masa es la cantidad de materia que posee un objeto. Mientras que el peso se refiere a la medida de la fuerza de gravedad sobre un objeto. 7-5 ¿Cuál es la masa en la Tierra de una persona de 160 lb? ¿Cuál es su masa en la Luna? En este problema las 160lb se refieren al peso (libras de fuerza) pero en forma implícita este mismo valor es la masa. En la Luna esta masa sería la misma es decir 160lb de masa 7-6 Una pieza redonda de bronce se encuentra en un laboratorio y se descubre que está marcada 500g. ¿Es este su peso o su masa? ¿Cómo se podría estar seguro? Si lo tomamos como masa entonces lo verificaríamos en una balanza. Si lo tomamos como una fuerza entonces usaríamos un dinamómetro numerados en kilogramos (el dinamómetro en realidad marca kilogramos de fuerza). 7-7 Se puede obtener un estado de equilibrio en una mesa de fuerzas al colgar masas de pequeñas poleas que se fijan sobre el borde circular de la mesa. Al calcular la equilibrante, algunas veces usamos gramos en lugar de newtons. ¿Se justifica que hagamos esto? Si todas las fuerzas están en gramos entonces estas se tomarían como gramos fuerzas y la resultante también se expresaría en gramos fuerza. 7-8 ¿Qué es lo que realmente mide una balanza analítica, peso o masa? Explíquese Una balanza analítica compara la masa conocida de unos pesos certificados con una masa desconocida. Por tanto lo que una balanza analítica mide es la masa de un cuerpo. 7-9 Dos monos cuelgan de los extremos de una soga que pasa por una polea ligera y sin fricción. Los monos tienen igual masa e igual altura. El mono de la izquierda está amarrado de manera tal, que no puede trepar. ¿Qué le pasará al mono de la izquierda si el mono de la derecha trepa por la soga? ¿Si desciende por la soga? ¿si suelta la soga? Por cada intento del mono para subir la longitud de la cuerda que va desde la pesa al mono disminuirá, momentáneamente el sistema dejará de estar en equilibrio, por lo que la pesa subirá, luego al volver al equilibrio será el mono el que suba (la mitad de lo que bajó la pesa) y la pesa bajará la mitad de lo que subió. Así sucesivamente hasta que el mono y la pesa lleguen a la polea. 7-10 Supóngase que ambos monos del problema anterior pueden trepar libremente. El mono de la derecha tira dos veces más soga por unidad de tiempo que el mono de la izquierda. ¿Qué mono llegará arriba primero a ambos llegarán al mismo tiempo? Los dos mono llegarán al mismo tiempo
PROBLEMAS 7-1 Una masa de 2 kg recibe la acción de una fuerza de a) 8N y b) 4 lb. Encuéntrese la aceleración en cada caso en unidades métricas a) m
2kg
F
F
m a
F
8N
F
ma
a
m 2kg
b)
F m
4
2kg
1 lb
a
8N
4,445 N
4 lb
F
m s2
17,78N
17,78N
m
2kg
8,89
m s2
7-2 Una fuerza resultante de 200 lb produce una aceleración de 5ft/s2 ¿Cuál es la masa del objeto que se acelera? ¿Cuál es su peso? Las 200 lb son en realidad 200 libras fuerza por tanto convirtiendo a poundals tenemos: 32,2 pound
200 lb
m
1lb
F
5152 poundal
5152 pundal
a
5 ft
1030,4 lb (libras masa)
Su Peso será:
W
m g
1034, 4 lb 32, 2
ft s
33307, 68 poundal o también W= 1034,4 lb (libras fuerza)
7-3 Encuéntrese la masa de un cuerpo si una fuerza de 16N le provoca una aceleración de 5m/s2 m
16 N
F
m
5
m s
3, 2
m s
2
2
7-4 ¿Qué fuerza resultante debe actual- sobre un martillo de 4 kg para impartirle una aceleración de 6 m/s2? F = ma = (4 kg)(6 m/s2);
F = 24 N
7-5 Encuéntrese el peso de un cuerpo cuya masa es a) 5 slugs, b) 8 kg, y c) 0,25 kg a) W= m . g = 5 slugs . 32,2 m/s2 = 161 lb (libras fuerza) b) W= m . g = 8 kg . 9,8 m/s2 = 78,4 N c) W= m . g = 0,25 kg . 9,8 m/s2 = 2,45 N 7-6 Encuéntrese la masa de un cuerpo cuyo peso es a) 600 lb, b) 40N, y c) 0,80 lb a) m
b) m
W g
W g
600lb ft 32,2 2 s 40 N m 9,8 2 s
18,63 slug
4,08kg
o 600 lb (libras masa)
W
c) m
0,80lb
g
32,2
ft
0,0248 slug
o 0,80 lb (libras masa)
s 2
7-7) Un automóvil de 2500 lb corre a 55 mi/h ¿Qué fuerza retardataria se requiere para detener el automóvil en 200 ft en un camino nivelado?
V o
mi 5280 ft
55
1h
1mi
h
3600s
80,67
ft s
V f 2 Vo 2 2 a d 2
ft 0 80, 67 2 a 200 ft s a 16,27
ft s 2
F m a 2500 lb 16, 27 40675 poundal
ft
40675 poundal
s 2
1lb 32,2 poundal
1263 lb
7-8 ¿Qué empuje horizontal se requiere para tirar de un trineo de 60kg con una aceleración de 4m/s2? Considérese que una fuerza horizontal de fricción de 20N se opone al movimiento
F
f
ma
F
f
ma
20 N
60kg 4 m /
s2
260 N
7-9 Una fuerza horizontal de 100N arrastra un bloque de 8kg horizontalmente a lo largo del suelo. Si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el suelo es de 0,2, encuéntrese la aceleración del bloque
F F = k N = k mg = 0.2(8 kg)(9.8 m/s 100 N – F = ma;
100 N – 15.7 N = (8 kg) a;
a = 10.5 m/s2 7-10 La velocidad de un automóvil aumenta de 30 a 60 mi/h en 5s bajo la acción de una fuerza resultante de 1150 lb. ¿Cuál es la masa del automóvil? ¿Cuál es su peso?
V o V f
a m
mi
30
5280 ft
60
h mi
1mi
5280 ft 1mi
V o
a
1h
88
ft
s 5s
1150 lb 8,8
ft
s
2
44
88
3600s
t F
3600s
h
V f
1h
44
ft s ft s
ft s
8,8
130,68 slug
ft s2
m 130,68slug
32, 2lb 1slug
4208lb
(libras masa)
W
m g
130,68slug 32, 2 ft / s
2
4208 lb (libras fuerza)
7-11 Un tractor de 5 ton tira de un camión de carga de 10 ton en una carretera nivelada y le imprime una aceleración de 6 ft/s2, Si este tractor ejerce la misma fuerza en un camión de carga de 8tn, ¿Qué aceleración resultará
F
m1 a1
F
m2 a2
a2
15 ton 6 ft / s
13 ton a2
90 ton ft / s
2
90 ton ft / s
90 ton ft / s
2
2
2
13 ton
6, 92 ft / s
2
7-12 Una fuerza neta de 200N da a un vagón una aceleración de 6m/s2. ¿Cuáles son la masa y el peso del vagón?. Supóngase que una carga de 10kg se agrega al vagón. ¿Qué fuerza resultante se requiere para darle la misma aceleración?
F1 m1
m1 a
F1 a
200N
6m / s
2
33,33kg
El peso del vagón será:
W
m1 g
33,33kg 9,8
m
s 2
326,6N
Cuando se agrega una masa m2=10kg la fuerza F2 será:
F2
(m1 m2 ) a
(33,33kg 10kg ) 6
m s 2
260 N
7-13 Una carga de 64 lb cuelga del extremo de una cuerda. Encuéntrese su aceleración si la tensión de la cuerda es de a) 64 lb, b) 40 lb, y c) 96 lb
m= 64 lb = 2 slug a) T=64 lb
T
T – W = m.a 64 lb – 64 lb = 2 slug . a 0 = 2 slug . a;
a=0
W
b) T= 40 lb W – T = m.a 64 lb – 40 lb = 2 slug . a 24 lb = 2 slug . a;
a= 24 lb/ 2 slug = 12 ft/s2
hacia abajo
a= 32 lb/ 2 slug = 16 ft/s2
hacia arriba
c) T = 96 lb T – W = m . a 96 lb – 64 lb = 2 slug . a 32 lb = 2 slug . a;
7-14 Una masa de 10 kg se levanta mediante un cable ligero. ¿Cuál es la tensión en el cable si la aceleración es a) cero, b) 6 m/s2 hacia arriba, y c) 6m/s2 hacia abajo?
W = m.g= 10 kg . 9,8 m/s 2 T
W = 98 N a) a= 0
?
a
T – W = m.a = 0
W
m.g
T = W = 98 N b) a= 6 m/s2 hacia arriba T – W = m.a T – 98N = 10 kg . 6 m/s2 T = 98 N + 60 N = 158 N c) a= 6 m/s2 hacia abajo W – T = m . a 98 N – T = 10 kg . 6 m/s2 T = 98N - 60 N = 38 N 7-15 Un ascensor de 800kg es levantado verticalmente mediante un cable. Encuéntrese la aceleración del ascensor si la tensión en el cable es a) 9000N, b) 7840N, y c) 2000N.
T
Por la segunda ley de Newton tenemos que:
a
m
T – m . g = m . a (arriba positivo)
(a) 9000 N – (800 kg)(9.8 m/s2) = (800 kg)a ;
a = 1.45 m/s2 hacia arriba W=mg
(a) 7840 N – (800 kg)(9.8 m/s2) = (800 kg)a ;
a=0
(a) 2000 N – (800 kg)(9.8 m/s2) = (800 kg)a ;
a = -7.30 m/s2 hacia abajo
7-16 Un bloque de 18 lb se acelera hacia arriba por medio de un cable cuya resistencia a la ruptura es de 20 lb. Encuéntrese la máxima aceleración que puede dársele al bloque sin que el cable se rompa Por la segunda ley de Newton tenemos que:
T
20lb
T – m . g = m . a 20 lb – 18 lb = (0,5625slug) a a = 2 lb/0,5625slug
m= 18 lb=0,5625slug
a
?
W=mg
a = 3,55 ft/s2 7-17 Un ascensor de 2000 lb es subido con una aceleración de 8 ft/s2. Encuéntrese la resistencia mínima a la ruptura que debe tener el cable que lo soporta. Un hombre de 200 lb en pie sobre una báscula, observará una lectura de su peso diferente en el ascensor en movimiento. ¿Cuál es el peso que le marca la báscula?
?
T
Por la segunda ley de Newton tenemos que:
T – m . g = m . a
m= 2000 lb= 62,5slug
a
?
8 ft /
s
2
T – 2000 lb = (62,5 slug) (8 ft/s2) W=mg
T= 2000 lb + 500 lb = 2500 lb Para determinar el peso aparente de la persona:
a
N – W = m . a
8 ft /
s2
m= 200 lb= 6,25slug
N – 200 lb = (6,25 slug) (8 ft/s2) N = 200 lb + 50 lb = 250 lb 7-18 Una carga de cemento de 9kg es levantada con un cable cuya Resistencia a la ruptura es de 200N. ¿Cuál es la máxima aceleración hacia arriba sin que el cable se rompa? Por la segunda ley de Newton tenemos que
T – m . g = m . a m= 9kg
T
200 N
a
?
200N – (9kg)(9,8 m/s2) = (9kg) a W=mg
a= 12,42 m/s2
7-19 Si el coeficiente de fricción entre las llantas y el pavimento es de 0,7 ¿Cuál será la distancia mínima que se requerirá para que un automóvil de 1600 kg se detenga si lleva una velocidad de 60km/h al iniciar el frenado? vo
Por la segunda ley de Newton tenemos que:
f k
h
16,67
m
v f
s
a
k
m.a
0,7(1600kg )(9,8m / s 2 ) a
km
0
?
f k
m.a
k .m.g
60
0,7
d
?
(1600kg).a
6,86m / s 2
Para determinar la distancia mínima tenemos:
V f d
2
Vo
2
2.a.d
(16,67 m / s) 2
2 6,86m / s 2
20,2m
7-20 Una caja de 20kg descansa sobre la plataforma de un camión. El coeficiente de fricción estático es de 0,4 y el de fricción dinámico es de 0,3. Encuéntrese la magnitud y dirección de la fuerza de fricción que actúa sobre la caja y la aceleración de la caja relativa al piso cuando a) el camión está acelerando a razón de 8m/s2 y b) el camión está frenando a razón de 2m/s2 Por la segunda ley de Newton tenemos que: Fc
a) Fc f k m.a
m.ac k .m.g m.a ac k .g a a 8m / s 2 0,3 9,8m / s2 5,06m / s2 La fricción quedó:
m.ac
a ? f k
k .m.g
f k
k .m.g
0,3 20kg 9,8m / s
2
58,8 N
b) Al calcular la fuerza que aplica el camión tenemos:
Fc
m ac
2
20kg 2m / s
40N
Al calcular la fricción estática máxima tenemos:
f s max
s m g
0, 4 20kg 9,8m / s
2
78, 4 N
Por tanto la caja no se mueve (a=0) y la fricción estática será igual a la fuerza del camión
f s
F c
f s
Fc
0
m ac
20kg 2m / s
2
40 N
7-21 Un cordel ligero que pasa por una polea sin fricción está atado en sus extremos a dos masas m1 y m2 como se ilustra en la figura 7-7. ¿Cuáles serán la aceleración del sistema y la tensión en el cordel si a) m1 = 12kg y m2 = 10kg; b) m1 = 20 g y m2 = 50g a) La fuerza resultante = masa total del sistema por aceleración del sistema
m1 g
m2 g
(m1 m2 )a
a
m1 g
m2 g
m1
m2
0, 89m / s 2
(12kg )(9,8m / s 2 ) (10kg )(9.8m / s 2 )
a
12kg 10kg
Analizando solo m 1 y aplicando la segunda ley de Newton tenemos:
m1 g
T
m1 a
(12kg )(9,8m / s 2 ) T
T
(12 kg )(0,89 m / s 2 )
106,9 N
b) a
(50 g )(9,8m / s 2 ) (20kg )(9.8m / s 2 ) 20kg 50kg
4, 2m / s 2
Analizando solo m 2 y aplicando la segunda ley de Newton tenemos:
m2 g T m2 a (0, 050 g )(9,8 m / s 2 ) T (0, 050 g)(4, 2 m / s 2) T 0,28 N 7-22 Supóngase que las masas del problema 7-21 se reemplazan por los pesos W1= 24 lb y W2= 16 lb. ¿Cuáles serán la aceleración resultante y la tensión en el cordel? La fuerza resultante = masa total del sistema por aceleración del sistema
m1 g m2 g
a
(m1 m2 )a
24lb 16lb 0,75 slug 0,5slug
a
m1 g m2 g m1 m2
6,4 ft / s 2
Analizando solo m 1 y aplicando la segunda ley de Newton tenemos:
m1 g
T
24lb T
T
m1 a
(0,75slug )(6, 4 ft / s 2 )
19,5lb
7-23 Una masa de 30kg descansa sobre un plano inclinado de 37°. El coeficiente de fricción cinético es 0,3. Se aplica un empuje P paralelo al plano y dirigido hacia arriba para hacer que la masa se acelere a 3m/s2. a) ¿Cuál es la fuerza normal? b) ¿Cuál es la fuerza de fricción?, c) ¿cuál es la fuerza resultante hacia arriba del plano?, d) ¿Cuál es la magnitud del empuje P? N
Aplicando la segunda ley de Newton a) N
c)
d)
a
?
3m /
s
2
W cos37 (30kg)(9,8m / s 2 )cos37 234,8N P
b) fk
k .N
0, 3 234,8N
?
70, 44N
F m.a (30kg )(3m / s
2
) 90 N
f k
?
37 W
P Wsen37 f k m.a P (30kg)(9,8m / s 2 ) sen37 70,44 N 90 N
337,37 N
7-24 Un trineo de 400 lb baja por una colina con inclinación de 60° respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción cinética es de 0,2. a) ¿cuál es la fuerza normal? b) ¿Cuál es la fuerza de fricción? c) ¿Cuál es la fuerza resultante hacia debajo de la colina? d) ¿cuál es su aceleración a)
W
N
b) fk c)
d)
cos37 (400lb)cos60 200 N
k .N
0, 2 200N
N
100N
F Wsen60 f k (400lb )sen60 100lb 246, 4lb
F m.a F a m
246,4lb
f k
19,71 ft / s
a
?
?
?
2
12,5slug
W
7-25 Considérese el sistema mostrado en la figura 7-10. Si m1 = 16kg y m2 = 10kg, ¿Cuál es la fuerza resultante del sistema? ¿Cuál es la aceleración del sistema? ¿Cuál es la tensión en el cable? No se tome en cuenta la fricción La fuerza resultante = masa total del sistema por aceleración del sistema
Determinemos primero la aceleración m2 .g a
( m1 m2 ).a
m2 .g m1 m2
(10kg )(9,8m / s2 ) 10kg 16 kg
3, 77m / s
2
Determinemos la sumatoria de fuerzas en el cuerpo m 1 y m2 2 F m1 m1.a=(16kg).(3,77m/s )=60,32N
Fm 2 m2 .a (10kg )(3, 77m / s
2
) 37, 7N
7-26 Si el peso de m1 en la figura 7-10 es de 200 lb y si
k
0,3 ¿cuál será el peso de m 2 si
el sistema va a tener una aceleración de 6ft/s 2? Aplicando la segunda ley de Newton al cuerpo m 2 N
m1. g
f k
k . N
f k
k .m1. g
T
f k m1.a
T
f k m1.a 0,3(200lb ) (6, 25slug )(6 ft / s2 ) 97,5 lb
Aplicando la segunda ley de Newton al cuerpo m 2 m2 .g
T
m2 .a
m2 .(32 ft / s 2 ) m2
Wm 2
97,5 lb
m2 .(6ft/ s 2 )
3,75 slug
m2 .g
(3,75slug )(32 ft / s 2 )
120 lb
7-27 Si m1 = m10kg, m2 = 8kg y m3 = 6kg en la figura 7-11, ¿cuál es la aceleración del sistema? No se tome en cuenta la aceleración Total de masa del sistema = (10 + 8 + 6) = 24kg Aplicando la segunda ley de Newton: La fuerza resultante = masa total del sistema por aceleración del sistema m1.g m3 . g
( m1 m2
m3 ).a
(10kg )(9,8m / s 2 ) (6kg )(9,8m / s 2 )
a 1, 63 m / s
(10 kg
8kg
6 kg ).a
2
7-28 ¿Cuál debe ser el peso WB de la figura 7-12 para que el bloque de 64 lb WA, se mueva con una aceleración de 6ft/s2 a) hacia arriba del plano y b) hacia abajo del plano? Desprecie la fricción Del gráfico, y de la ecuación La fuerza resultante = masa total del sistema por aceleración del sistema
W B W A .sen60 (mA mB ).a
64 lb
W B (64 lb)(0,866)
2
.6 ft / s 2 2 32 ft / s W B
32 ft / s W B 55, 424 lb 12 lb 0,1875 WB 0, 8125 W B 67, 424 lb W B 82,98 lb
7-29 Si la masa de WA en la figura 7-12 es de 6 kg y la masa de WB es de 10 kg, ¿cuál es la aceleración del sistema y la tensión en el cordón? Desprecie la fricción Del gráfico anterior, y de la ecuación La fuerza resultante = masa total del sistema por aceleración del sistema tenemos:
W B
WA .sen60
(mA mB ).a
(10kg )(9,8m / s 2 ) (6 kg )(9,8 m/ s2 )(0,866) 6kg 98 N
50,92 N
a 2, 94m / s 2
(16kg ).a
10kg
.a
Aplicando la segunda ley a WB tenemos:
W B
T
mB .a
T
98 N
T
68,6 N
(10kg )(2,94m / s 2 )
7-30 Suponiendo que W B es de 64 lb y que el coeficiente de fricción cinética es de 0,4 en la figura 7-12, ¿qué peso WA se requiere para hacer que el bloque se mueva hacia arriba del plano con una aceleración de 6m/s2?
a 6m / s
2
19,7
2 ft / s ;
fk
k .N
k .WA .cos 60 0, 2WA
Aplicando la segunda ley de Newton al peso W B W B T
T
W B
mB .a
mB .a
f k
Aplicando la segunda ley de Newton al peso WA
T
W B
W A sen60 f k
mA .a
mB .a WA sen60 0, 2WA
64 lb 39, 4 lb 0,866 W A
W A
14,63
lb
m A.a
WA
0, 2
0, 6156WA
