Ejercicios-resueltos de Expo y LogaMB

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS MATEMÁTICA BÁSICA INGENIERÍA Profesor: Elías Mejía Delgado

1.

Un almacén de aparatos electrodomésticos liquida mercancía de exhibición con ligeros deterioros, mediante el sistema de reducir cada año 35% el precio de esta mercancía que va quedando almacenada. Si compras un refrigerador almacenado tres años, con un precio inicial de $12455. ¿Cuánto pagarás por él después de tres años de almacenamiento? SOLUCIÓN: vt   12445  1  0.35t vt   12445  0.65t v3  12445  0.653 v3  $3417.70

2.

En enero del 2000 adquiriste un auto en $100000. Si cada año disminuye 13% su valor inicial (del año anterior). a) Determine la ecuación exponencial. b) ¿Cuánto valdrá en el año 2009, 2004? c) Determine el grafico de la depreciación. SOLUCIÓN: Por teoría se tienen V (t )  C 0  (100%  13%) t  C 0  (87%) t v t   100000  0.87 t v 4   100000  0.87 

vt   100000  0.87 t

4

v9   100000  0.87 9

v 4   5728.97

3.

v9   $2855.44

En un centro comercial las ventas es modelado por una ecuación exponencial que depende del tiempo de atención al público. Si las ventas al inicio fue de 100 productos y se duplica las ventas cada tres días, la cantidad de las vetas después de t días es: N  f t 

a) b)

t  100  2 3

Determine las ventas después de 6 días. ¿cuándo habrán vendido 50000 soles?

SOLUCIÓN: 6

Ventas  f 3  100  2 3  400

t 50000  100  2 3 t ln 50000  ln 100  2 3 t ln 2 3  ln 50000  ln 100  t  3  ln 2   t  26.897 hrs. ln 50000  ln 100 

4.

Publicidad de un nuevo producto). En una ciudad del departamento de Cajamarca, de 9000 habitantes se espera que conozcan un nuevo producto, el cual se verá incrementado según la publicidad de mismo, de modo que cada semana se duplica la cantidad de personas que conocen el nuevo producto si al inicio conocen dos personas. a) Determine la ecuación exponencial. b) ¿Cuántas personas conocerán el nuevo producto al cabo de sexta y doceava de semanas? SOLUCIÓN: N t   2 t N t   2 6 N t   64

N t   212  4096 personas 9000  2 t entonces

por teoría

log 9000  log 2 t

log 9000 t log 2 t  13.13 Semanas

5.

Si inviertes $1500 en una cuenta bancaria que proporciona 23% de interés anual a plazo fijo de 5 años. ¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito? SOLUCIÓN:

Por teoría se tiene que monto capitalizable es.

C (t )  C0  (1  r %) t

C t   1500(1  i ) t C 5  15001.235 C 5  $4222.96

6.

Monto Capitalizable. Si depositas $100000 en una cuenta bancaria que te produce intereses compuestos a 15% anual en forma continua. a) Calcula el saldo en tu cuenta al cabo de tres años, si los intereses se capitalizan 0.15 t  continuamente según M t   100000  e . b) Sombrear la región que representa el interés ganado. SOLUCIÓN: M t   100000  e

0.15 t 

M 3  100000  e

0.15 3 

M 3  $156831.22

7.

Monto capitalizable. ¿Cuánto tiempo debes dejar $25000 en una cuenta que capitaliza continuamente intereses a 18% anual, para obtener $50000? SOLUCIÓN: Por teoría se tiene que monto capitalizable continuamente es: M (t )  C0  e k t Del problema se tiene k=18%, C0  2500 entones M (t )  25000  e 0.18 t 50000  25000  e 0.18t ln 50000  ln 25000  e 0.18t ln 50000  ln 25000  ln e 0.18t ln 50000  ln 25000  0.18t ln e ln 50000  ln 25000 0.18 t  3.85 años ¿Cuál es el nivel de sensación sonora en decibelios correspondiente a una onda de intensidad 10-10 W×m-2? ¿ y de intensidad 10-2 W×m-2? (Intensidad umbral 10-12 W×m-2). SOLUCIÓN:  I  Definición de la sensación sonora S  10 log   db.  I0  t

8.

 10 10  S1  10 log  12   10 log 10 2  20db.  10     2  10  S 2  10 log  12   10 log 1010  100db.  10    9.

Demostrar que si se duplica la intensidad de un sonido, el nivel de sensación sonora aumenta en 3,0 decibelios. SOLUCIÓN: Tomando como I0 la intensidad inicial, la sensación sonora S0 correspondiente a dicha intensidad I0 es: I  S 0  10 log  0   0 db.  I0  y la correspondiente a una intensidad doble: 2I  S  10 log  0   10 log( 2)  3,0 db.  I0   I  S1  10 log    I0   500 I   S 2  10 log   I0 

10.

Una profesora de física cuando da clase produce un sonido con una intensidad de 500 veces mayor que cuando susurra. ¿Cuál es la diferencia de niveles en decibelios? SOLUCIÓN:

 500 I   I    10 log   S 2  S1  10 log   I0   I0   10 log( 500 I )  10 log( I 0 )  10 log( I )  10 log( I 0 )  10 log( 500 I )  10 log( I 0 )  10 log( I )  10 log( I 0 )  500 I   10 log( 500 I )  10 log( I )  10 log    10 log( 500)  27 db.  I  11.

La intensidad debido a un número de fuentes de sonido independiente de la suma de las intensidades individuales ¿Cuántos decibeles mayor es el nivel de intensidad? Cuando cuatro niños lloran que cuando llora uno? SOLUCIÓN:  I   4I  S1  10 log   y S 2  10 log    I0   I0  la diferencia entre los niveles es:

S 2  S1  10 log( 4 I )  10 log( I 0 )  10 log( I )  10 log( I 0 )  10 log( 4 I )  10 log( I 0 )  10 log( I )  10 log( I 0 )  4I   10 log( 4 I )  10 log( I )  10 log    10 log( 4)  6 db  I  Fuente: http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/ondas/problemas/sonido.ht m#%C3%8DNDICE