SISTEMAS EN POR UNIDAD 1. Dos generadores conectados en paralelo a la misma barra, tienen reactancias subtransitorias de X”=10%. El generador 1 es de 2500 kVA, 2.4 kV y el 2, de 5000 kVA, 2.4 kV. Determinar la reactancia por unidad de cada generador, tomando como valores base 15 MVA y 2.4 kV. Determinar la reactancia por unidad, de un generador único equivalente a los dos en paralelo sobre base de 15000 kVA, 2.4 kV. Solución: Diagrama unifilar:
Reactancia por unidad de cada generador:
15 𝑀𝑉𝐴 2.5 𝑀𝑉𝐴
2.4 𝑘𝑉 2.4 𝑘𝑉
2
15 𝑀𝑉𝐴 = 0.1 5 𝑀𝑉𝐴
2.4 𝑘𝑉 2.4 𝑘𝑉
2
𝑋"# %& = 0.1
= 𝑗0.6 𝑝𝑢
𝑋"2 %&
= 𝑗0.3 𝑝𝑢
Reactancia por unidad de un generador único equivalente:
𝑋"89& %& = 0.6// 0.3 =
0.6 ∗ 0.3 = 𝑗0.2 𝑝𝑢 0.6 + 0.3
2. Tres motores de tensión nominal 6.9 kV están conectados a la misma barra. Los motores tienen las características siguientes: Motor 1: 5000 CV. f. de p. = 0.8; motor síncrono, X”= 17% Motor 2: 3000 CV. f. de p. = 1.0; motor síncrono, X”= 15% Motor 3: 3500 CV.; motor de inducción, X”= 20% Expresar las reactancias subtransitorias de estos motores por unidad, respecto a una base de 10 MVA, 6.6 kV. Solución:
Motor 1: 1.1 x 5000 CV = 5500 KVA Motor 2: 0.85 x 3000 CV = 2550 KVA Motor 3: 3500 CV = 3500 KVA Diagrama unifilar:
Reactancias subtransitorias de los motores
10 𝑀𝑉𝐴 5.5 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.6 𝐾𝑉
2
10 𝑀𝑉𝐴 = 0.15 2.55 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.6 𝐾𝑉
2
𝑋=# %& = 0.17 𝑋=2 %&
𝑋=B %& = 0.20
10 𝑀𝑉𝐴 3.5 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.6 𝑘𝑉
= 𝑗0.3378 𝑝
= 𝑗0.6429 𝑝𝑢 2
= 𝑗0.6245 𝑝𝑢
3. Un transformador trifásico de 5000 kVA con valores nominales de 66-13.2 kV con sus terminales de alta y baja tensión conectados en Y, alimenta una carga resistiva de 4000 kW a 13.2 kV. ¿Cuál es la resistencia de carga en ohmios tal como se mide de línea a neutro sobre el lado de alta tensión del transformador? Solución: Diagrama unifilar:
𝑆DEF8 GEHIE B∅ = 4000 𝑘𝑉𝐴 𝑉DEF8 GEHIE B∅ = 13.2 𝑘𝑉
Resistencia en ohmios (línea-neutro) en alta tensión
𝑆DEF8 GEHIE KL =
4000 𝑘𝑉𝐴 = 1333.3 𝑘𝑉𝐴 3
𝑉DEF8 GEHIE KL =
𝑍DEF8 GEHIE KL =
13.2 𝑘𝑉 3
= 7.621 𝑘𝑉
7.621 𝑘𝑉 2 = 43.56 Ω 1333.3 𝑘𝑉𝐴
Referido a Alta Tensión:
𝑍DEF8 GEHIE OP =
66𝑘𝑉 13.2 𝑘𝑉
2
43.56 Ω = 1089 Ω
4. Resuelva el problema 3 si los devanados del transformador trifásico se conectan en ∆ sobre el lado de baja tensión, con el mismo voltaje de alta tensión y las mismas resistencias de carga.
𝑆DEF8 GEHIE B∅ = 4000 𝑘𝑉𝐴 𝑉DEF8 GEHIE B∅ = 13.2 𝑘𝑉 Resistencia en ohmios (línea-neutro) en alta tensión
𝑆DEF8 GEHIE KL =
4000 𝑘𝑉𝐴 = 1333.3 𝑘𝑉𝐴 3
𝑉DEF8 GEHIE KL =
𝑍DEF8 GEHIE KL =
13.2 𝑘𝑉 3
= 7.621 𝑘𝑉
7.621 𝑘𝑉 2 = 43.56 Ω 1333.3 𝑘𝑉𝐴
Referido a Alta Tensión:
𝑍DEF8 GEHIE OP =
66𝑘𝑉
13.2 ∗ 3 𝑘𝑉
2
43.56 Ω = 563 Ω
5. Un banco trifásico ∆-Y de transformadores monofásicos conecta tres resistencias de 12Ω en ∆ a una línea de potencia de 120 kV. Cada transformador se especifica como 15 MVA, 13.2-66 kV. Para una base de 120 kV, 50 MVA, determine el valor por unidad de las resistencias de carga para el diagrama de impedancias.
Solución:
Transformador trifásico = 45 MVA; 66 × 3 𝑘𝑉 Bases = 120 Kv, 50 MVA Vbase línea=120 Kv
VDEF8 GEHIE = 120𝐾𝑣 ∗ 𝑍DEF8 GEHIE = 𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 =
66 × 3 𝑘𝑉 = 1039 𝐾𝑉 13.2 𝑘𝑉
1039 𝑘𝑉 2 = 21.5 𝐾Ω 50 𝑀𝑉𝐴
12Ω = 5.58 ×10XY 𝑝𝑢 21.5𝐾Ω
6. Una carga se especifica como 15 MVA a 13.2 kV con factor de potencia 0.8 en atraso. La carga se conecta a una línea de potencia a través de un transformador especificado como 18 MVA, 13.8∆-120Y kV. Determine (a) los valores nominales de cada uno de los transformadores monofásicos, que cuando se conectan adecuadamente son equivalentes al transformador trifásico y (b) la impedancia compleja de la carga en por unidad e el diagrama de impedancias si la base en la línea de potencia es 120 kV, 20 MVA. Solución:
a)
Valores nominales de los tres transformadores monofásicos.
𝑆3∅ = 18 𝑀𝑉𝐴 𝑆1∅ =
18 𝑀𝑉𝐴 = 6 𝑀𝑉𝐴 3
13.8∆ −
120 3
𝑌 𝐾𝑣 = 13.8∆ − 69.28 𝑌 𝐾𝑣
b)
Bases = 120 Kv, 20 MV
VDEF8 GEHIE = 120𝑘𝑉 VDEF8 GEHIE = 120𝐾𝑣 ∗ 𝑍DEF8 GEHIE =
13.8 𝑘𝑉 = 13.8 𝐾𝑉 120𝑘𝑉 120 𝑘𝑉 2 = 720 20 𝑀𝑉𝐴
𝑆𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 15 𝑀𝑉𝐴 𝑉𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 13.2 𝐾𝑉 𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 =
13.2 𝐾𝑉 2 = 11.61 Ω 15 𝑀𝑉𝐴
𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑢 =
11.61 = 0.016 𝑝𝑢 720
7. Un generador de 25000 kVA, 13.8 kV tiene X”= 0.20 por unidad y está conectado a una línea de potencia a través de un transformador con valores nominales de 30000 kVA, 13.8∆-230Y kV con X=0.08 por unidad. Si la base a usarse en los cálculos es 100 MVA, 220 kV para la línea de potencia, qué valores por unidad deben usarse para la reactancia del transformador y generador. Solución: Diagrama unifilar:
𝑆DEF8 D = 100 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8D = 220 𝑘𝑉 Bases en la zona A
𝑆DEF8 O = 100 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8 O = 220 𝑘𝑉 ∗ Reactancias en pu del transformador y el generador:
13.8 𝑘𝑉 = 13.2 𝑘𝑉 230 𝑘𝑉
100 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
230 𝑘𝑉 220 𝑘𝑉
2
𝑋P# %& = 0.08
100 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 13.2 𝑘𝑉
2
𝑋P# %& = 0.08 𝑋"# %& = 0.2
100 𝑀𝑉𝐴 25 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 13.2 𝑘𝑉
= 𝑗0.291 𝑝𝑢
= 𝑗0.291 𝑝𝑢 2
= 𝑗0.874 𝑝𝑢
8. Un generador especificado como 1000 MVA, 13.2 kV con X”= 20% está conectado a través de un transformador ∆-Y a una línea de potencia serie que es de 40Ω. La base elegida para los cálculos es de 200 MVA, 115 kV en la línea de potencia. Determine las reactancias del generador y transformador en por unidad para el diagrama de reactancias (a) si el transformador es una unidad trifásica especificada como 13.8∆-120Y kV, 100 MVA con X= 8% y (b) si e transformador está compuesto de tres unidades monofásicas, cada una especificada como 13.8-69 kV, 35000 kVA. También determine la reactancia por unidad de la línea de potencia sobre la base escogida. Solución: a)
Reactancias del generador, transformador y de la línea con un transformador trifásico
Diagrama unifilar:
𝑆DEF8 D = 200 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8 D = 115 𝑘𝑉 𝑆DEF8 O = 200 𝑀𝑉 𝑉DEF8 O = 115 𝑘𝑉 ∗
13.8 𝑘𝑉 = 13.225 𝑘𝑉 120 𝑘𝑉
Reactancias: 2
𝑋"# %& = 0.2
200 𝑀𝑉𝐴 100 𝑀𝑉𝐴
13.2 𝑘𝑉 13.225 𝑘𝑉
𝑋P# %& = 0.08
200 𝑀𝑉𝐴 100 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 13.225 𝑘𝑉
𝑋P# %& = 0.08
200 𝑀𝑉𝐴 100 𝑀𝑉𝐴
120 𝑘𝑉 115 𝑘𝑉
= 𝑗0.3984 𝑝𝑢 2
= 𝑗0.1742 𝑝𝑢
2
= 𝑗0.1742 𝑝𝑢
𝑍DEF8D =
115 𝑘𝑉 2 = 66.125 Ω 220 𝑀𝑉𝐴
𝑋K_`8E %& = b)
40 Ω = 𝑗 0.604 𝑝𝑢 66.125 Ω
Reactancias del generador, transformador y de la línea con un transformador compuesto por tres unidades monofásicas
Diagrama unifilar:
𝑆DEF8 D = 200 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8 D = 115 𝑘𝑉 𝑆DEF8 O = 200 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8 O = 115 𝑘𝑉 ∗
13.8 𝑘𝑉 = 13.28 𝑘𝑉 119.5 𝑘𝑉
Reactancias:
200 𝑀𝑉𝐴 100 𝑀𝑉𝐴
13.2 𝑘𝑉 13.28 𝑘𝑉
200 𝑀𝑉𝐴 100 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 13.28 𝑘𝑉
2
𝑋P# %& = 0.08
200 𝑀𝑉𝐴 100 𝑀𝑉𝐴
119.5 𝑘𝑉 115 𝑘𝑉
2
𝑋P# %& = 0.08
𝑍DEF8D =
= 𝑗0.3952 𝑝𝑢
= 𝑗0.1645 𝑝𝑢
= 𝑗0.1645 𝑝𝑢
115 𝑘𝑉 2 = 66.125 Ω 220 𝑀𝑉𝐴
𝑋K_`8E %& =
2
𝑋"# %& = 0.2
40 Ω = 𝑗 0.604 𝑝𝑢 66.125 Ω
9. Una estación de transformación está formada por tres transformadores monofásicos que alimentan a una carga trifásica, formada por tres resistencias idénticas de10 ohmios. Cada uno de los transformadores monofásicos tiene como valores nominales 10 MVA, 38.1-3.81 kV, con una reactancia de dispersión del 10%. La resistencia puede despreciarse. La carga está conectada al lado de baja tensión del banco. El primer símbolo en la designación de la conexión en la
columna 1 de la tabla siguiente, indica la conexión del lado de alta tensión de los transformadores. Rellenar la tabla para una base de 30MVA. La impedancia que se podría en un diagrama de impedancias es el valor óhmico o por unidad de la impedancia de una fase del circuito equivalente conectado en estrella.
Tabla para el problema 9. Conexión del transformador
Conexión de la carga
(1)
(2)
Y-Y
Z base
Tensión base de la línea kV. B.T.
A.T.
Z total lado A.T.
Ω B.T.
A.T.
Z de carga por unidad
Ω (8)
Z vista desde el circuito de A.T. p.u (9)
(7)
(3)
(4)
(5)
(6)
Y
6.6
66
1.452
145.2
1000 + j14.5
6.887
6.887 + j 0.1
Y-Y
∆
6.6
66
1.452
145.2
333.3 + j14.5
2.295
2.295 + j 0.1
Y-∆
Y
3.81
66
0.484
145.2
3000 + j14.5
20.661
20.661 + j 0.1
Y-∆
∆
3.81
66
0.484
145.2
1000 + j14.5
6.886
6.886 + j 0.1
∆-Y
Y
6.6
38.1
1.452
48.39
333.3 + j4.8
6.886
6.886 + j 0.1
∆-Y
∆
6.6
38.1
1.452
48.39
111.1 + j148
2.295
2.295 + j 0.1
Nota: La columna7 se refiere a la impedancia del transformador más la carga vista desde el lado de alta tensión del transformador. La columna 8 se refiere a al impedancia por unidad de la carga calculada respecto a la base para el circuito de carga. La columna 9 se refiere a la impedancia del transformador y de la carga, vista desde el lado de alta tensión del transformador, expresada por unidad, respecto a la base para el circuito de alta tensión. Solución: Diagrama Unifilar:
𝑆DEF8 = 30 𝑀𝑉𝐴 1.
Conexión transformador Y-Y Cargar conectada en Y Tensión en la base de la línea
BT = 3.81 kV ∗ 3 = 6.6 kV AT = 38.1 kV ∗ 3 = 66 Kv Impedancia Base
𝑍DEF8D P = Impedancia total lado AT
6.6 𝑘𝑉 2 = 1.452 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP
66 𝑘𝑉 = 10Ω ∗ 6.6 𝑘𝑉
2
= 1000 Ω
𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 0,1 ∗ 145.2 Ω = 𝑗14.52 Ω 𝑍ijiEm = 𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP + 𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 1000 + 𝑗14.52 Ω Impedancia de carga por unidad
𝑍GEHIE %.& =
1000 Ω = 6.887 𝑝. 𝑢 145.2 Ω
Impedancia vista desde el circuito de AT en p.u
𝑍8` OP = 2.
Conexión transformador Y-Y Cargar conectada en 𝛥 Tensión en la base de la línea
1000 Ω + 𝑗14.52 = 6.887 + 𝑗0.1 𝑝. 𝑢 145.2 Ω
BT = 3.81 kV ∗ 3 = 6.6 kV AT = 38.1 kV ∗ 3 = 66 kV Impedancia Base
𝑍DEF8D P =
6.6 𝑘𝑉 2 = 1.452 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
𝑍DEF8D P =
66 𝑘𝑉 2 = 145.2 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
Impedancia total lado AT
𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP
10Ω 66 𝑘𝑉 = ∗ 3 6.6 𝑘𝑉
2
= 333.3 Ω
𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP
= 0,1 ∗ 145.2 Ω = 𝑗14.52 Ω
𝑍ijiEmo 𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP + 𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 333.3 + 𝑗14.52 Ω Impedancia de carga por unidad
𝑍GEHIE %.& =
333.3 Ω = 2.295 𝑝. 𝑢 145.2 Ω
Impedancia vista desde el circuito de AT en p.u
𝑍8` OP =
3.
333.3 Ω + 𝑗14.52 = 2.295 + 𝑗0.1 𝑝. 𝑢 145.2 Ω
Conexión transformador Y-Δ Cargar conectada en 𝑌 Tensión en la base de la línea
BT = 3.81 kV AT = 38.1 kV ∗ 3 = 66 kV Impedancia Base
𝑍DEF8D P =
3.81 𝑘𝑉 2 = 0.484 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
𝑍DEF8D P =
66 𝑘𝑉 2 = 145.2 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
Impedancia total lado AT
𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP = 10Ω ∗
66 𝑘𝑉 3.81 𝑘𝑉
2
= 3000 Ω
𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 0,1 ∗ 145.2 Ω = 𝑗14.52 Ω 𝑍ijiEmo 𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP + 𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 3000 + 𝑗14.52 Ω Impedancia de carga por unidad
𝑍GEHIE %.& =
3000 Ω = 20.66 𝑝. 𝑢 145.2 Ω
Impedancia vista desde el circuito de AT en p.u
𝑍8` OP =
333.3 Ω + 𝑗14.52 = 20.66 + 𝑗0.1 𝑝. 𝑢 145.2 Ω
4.
Conexión transformador Y-Δ Cargar conectada en 𝛥 Tensión en la base de la línea BT = 3.81 kV AT = 38.1 kV ∗ 3 = 66 kV Impedancia Base
𝑍DEF8D P =
3.81 𝑘𝑉 2 = 0.484 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
𝑍DEF8D P =
66 𝑘𝑉 2 = 145.2 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
Impedancia total lado AT
𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP =
10Ω 66 𝑘𝑉 ∗ 3 3.81 𝑘𝑉
2
= 1000Ω
𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 0,1 ∗ 145.2 Ω = 𝑗14.52 Ω 𝑍ijiEmo 𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP + 𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 1000 + 𝑗14.52 Ω Impedancia de carga por unidad
𝑍GEHIE %.& =
1000 Ω
145.2 Ω
= 6.886 𝑝. 𝑢
Impedancia vista desde el circuito de AT en p.u
𝑍8` OP =
1000 Ω + 𝑗14.52 = 6.886 + 𝑗0.1 𝑝. 𝑢 145.2 Ω
5.
Conexión transformador Δ-Y Cargar conectada en 𝑌 Tensión en la base de la línea BT = 3.81 kV ∗ 3 = 6.6 AT = 38.1 kV Impedancia Base
𝑍DEF8D P
6.6 𝑘𝑉 2 = = 1.452 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
𝑍DEF8D P =
38.1 𝑘𝑉 2 = 48.39 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
Impedancia total lado AT
𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP = 10Ω ∗
38.1 𝑘𝑉 6.6 𝑘𝑉
2
= 333.3 Ω
𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 0,1 ∗ 48.39 Ω = 𝑗4.8 Ω 𝑍ijiEmo 𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP + 𝑋 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 OP = 333.3 + 𝑗4.8 Ω Impedancia de carga por unidad
𝑍GEHIE %.& =
333.3 Ω = 6.88 𝑝. 𝑢 48.39 Ω
Impedancia vista desde el circuito de AT en p.u
𝑍8` OP =
333.3 Ω + 𝑗4.8 = 6.88 + 𝑗0.1 𝑝. 𝑢 48.39 Ω
6.
Conexión transformador Δ-Y Cargar conectada en 𝑌 Tensión en la base de la línea BT = 3.81 kV ∗ 3 = 6.6 AT = 38.1 kV Impedancia Base
𝑍DEF8D P =
6.6 𝑘𝑉 2 = 1.452 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
𝑍DEF8D P =
38.1 𝑘𝑉 2 = 48.39 Ω 30 𝑀𝑉𝐴
Impedancia total lado AT
𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP
10Ω 38.1 𝑘𝑉 = ∗ 3 6.6 𝑘𝑉
2
= 111.1 Ω
𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 0,1 ∗ 48.39 Ω = 𝑗4.8 Ω 𝑍ijiEmo 𝑍GEHIE H8g8H_hE E OP + 𝑋 iHEF`gjHkEhjH OP = 111.1 + 𝑗4.8 Ω
Impedancia de carga por unidad
𝑍GEHIE %.& =
111.1 Ω = 2.295 𝑝. 𝑢 48.39 Ω
Impedancia vista desde el circuito de AT en p.u
𝑍8` OP =
111.1 Ω + 𝑗4.8 = 2.295 + 𝑗0.1 𝑝. 𝑢 48.39 Ω
10. Un generador trifásico de 15000 kVA y 8.5 kV tiene una reactancia subtransitoria del 20%. Está conectado por un transformador, ∆-Y, a una línea de transporte que tiene una reactancia e serie total de 70Ω. En el extremo de la línea correspondiente a la carga, hay un transformador reductor, Y-Y. Ambos transformadores están formados por transformadores monofásicos conectados para un funcionamiento trifásico. Cada uno de los tres transformadores de cada banco tiene los valores nominales 6.667 kVA, 10-100 kV, con una reactancia del 10%. La carga, representada, como impedancia, toma 10000 kVA a 12.5 kV, con 80% de factor de potencia en retardo. Dibujar el diagrama de impedancia de secuencia positiva, poniendo todas las impedancias por unidad. Tomar una base de 10000 kVA, 12.5 kV en el circuito de carga. Determinar la tensión en los terminales del generador. Solución: Diagrama unifilar
𝑆DEF8 w = 10000 𝐾𝑉 𝑉DEF8w = 12.5𝑘𝑉 𝑆DEF8 D = 10000 𝐾𝑉𝐴 𝑉DEF8D = 12.5 𝑘𝑉
173.2𝑘𝑉 = 125 𝑘𝑉 17.32 𝑘𝑉
𝑆DEF8 O = 10000 𝐾𝑉𝐴 𝑉DEF8O = 12.5 𝑘𝑉
110 𝑀𝑉𝐴 = 7.21 𝑘𝑉 173.2 𝑀𝑉𝐴
10 𝑀𝑉𝐴 15 𝑀𝑉𝐴
8.5 𝑘𝑉 7.21 𝑘𝑉
2
10 𝑀𝑉𝐴 = 0.1 20 𝑀𝑉𝐴
10 𝑘𝑉 7.21 𝑘𝑉
2
10 𝑀𝑉𝐴 20 𝑀𝑉𝐴
173.2 𝑘𝑉 125 𝑘𝑉
𝑋"# %& = 0.20 𝑋P# %&
𝑋P# %& = 0.1
𝑍DEF8D =
= 𝑗0.096 𝑝. 𝑢 2
= 𝑗0.096 𝑝. 𝑢
125 𝑘𝑉 2 = 1562.5 Ω 10000 𝑘𝑉𝐴
𝑋K_`8E %& =
= 𝑗0.1853 𝑝. 𝑢
70 Ω = 𝑗 0.048 𝑝. 𝑢 1562.2 Ω
11. En la figura se ha representado el diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia sin carga. Las reactancias de las dos secciones de la línea de transporte figuran en el diagrama. Las características de los generadores y de los transformadores son las siguientes: Generador 1: 20 MVA; 6.9 kV; X”=0.15 por unidad Generador 2: 10 MVA; 6.9 kV; X”=0.15 por unidad Generador 3: 30 MVA; 13.8 kV; X”=0.15 por unidad Transformador T1: 25 MVA; 6.9∆-115Y kV; X”=10% Transformador T2: 12 MVA; 6.9∆-115Y kV; X”=10% Transformador T3: unidades monofásicas a 10 MVA; 7.5-75 kV; X”=10%
Dibujar el diagrama de impedancias, poniendo todas las reactancias por unidad y con letras para indicar los puntos correspondientes al diagrama unifilar. Elegir una base de 30 MVA y 6.9kV en el circuito del generador 1. Solución:
𝑆DEF8 O = 30 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8 O = 6.9 𝑘𝑉
𝑆DEF8 D = 30 𝑀𝑉𝐴 115 𝑘𝑉 𝑉DEF8 D = 6.9 𝑘𝑉 ∗ = 115 𝑘𝑉 6.9 𝑘𝑉
𝑆DEF8 w = 30 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8 w = 𝑉DEF8 D = 115 𝑘𝑉
𝑆DEF8 x = 30 𝑀𝑉𝐴 6.9 𝑘𝑉 𝑉DEF8 x = 115 𝑘𝑉 ∗ = 6.9 𝑘𝑉 115 𝑘𝑉
𝑆DEF8 y = 30 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8 y = 𝑉DEF8 w = 115 𝑘𝑉
𝑆DEF8 z = 30 𝑀𝑉𝐴 12.99 𝑘𝑉 𝑉DEF8 z = 115 𝑘𝑉 ∗ = 11.5 𝑘𝑉 129.9 𝑘𝑉
Reactancias:
2
𝑋"# %& = 0.15
30 𝑀𝑉𝐴 20 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.9 𝑘𝑉
30 𝑀𝑉𝐴 10 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.9 𝑘𝑉
2
𝑋"2 %& = 0.15
2
= 𝑗0.225 𝑝𝑢
= 𝑗0.45 𝑝𝑢
𝑋"B %& = 0.15
30 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 11.5 𝑘𝑉
30 𝑀𝑉𝐴 25 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.9 𝑘𝑉
2
𝑋P# %& = 0.1
30 𝑀𝑉𝐴 25 𝑀𝑉𝐴
115 𝑘𝑉 115 𝑘𝑉
2
𝑋P# %& = 0.1
30 𝑀𝑉𝐴 12 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.9 𝑘𝑉
2
𝑋P2 %& = 0.1
30 𝑀𝑉𝐴 12 𝑀𝑉𝐴
115 𝑘𝑉 115 𝑘𝑉
2
𝑋P2 %& = 0.1
= 𝑗0.216 𝑝𝑢 = 𝑗0.12 𝑝𝑢
= 𝑗0.12 𝑝𝑢
= 𝑗0.25 𝑝𝑢
= 𝑗0.25𝑝𝑢
𝑋PB %& = 0.1
30 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
12.99 𝑘𝑉 11.5 𝑘𝑉
2
= 𝑗0.1275 𝑝𝑢
𝑋PB %& = 0.1 𝑍DEF8D =
30 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
129.9 𝑘𝑉 115 𝑘𝑉
2
= 𝑗0.1275 𝑝𝑢
6.9 𝑘𝑉 2 = 440.83 Ω = 𝑍DEF8w = 𝑍DEF8y 30 𝑀𝑉𝐴
𝑋K_`8E #{{ Ω = 𝑋K_`8E |{Ω =
100 Ω = 𝑗 0.226 𝑝𝑢 440.83 Ω
80 Ω = 𝑗 0.181 𝑝𝑢 440.83 Ω
Diagrama de impedancias
12. Dibujar el diagrama de impedancias para el sistema representado en la figura, poner las impedancias por unidad. Despreciar la resistencia y utilizar como base 50MVA y 138 kV en la línea de 40 ohmios. Las características de los generadores de los motores y de los transformadores son: Generador 1: 20 MVA; 13.2 kV; X”=15 % Generador 2: 20 MVA; 13.2 kV; X”=15 % Motor síncrono 3: 30MVA; 6.9 kV; X”=20 % Transformadores trifásicos Y-Y: 20MVA; 13.8Y-138Y kV; X”=10% Transformadores trifásicos Y-∆: 15 MVA; 6.9∆-138Y kV; X”=10%
Todos los transformadores están conectados de forma que eleven la tensión de los generadores a la tensión de la línea de transporte.
Solución:
𝑆DEF8 x = 50 𝑀𝑉𝐴 𝑉DEF8 x = 138 𝑘𝑉
𝑆DEF8 O = 50 𝑀𝑉𝐴 13.8 𝑘𝑉 𝑉DEF8 O = 138 𝑘𝑉 ∗ = 13.8 𝑘𝑉 138 𝑘𝑉
𝑆DEF8 D = 50 𝑀𝑉𝐴 13.8 𝑘𝑉 𝑉DEF8 D = 138 𝑘𝑉 ∗ = 13.8 𝑘𝑉 138 𝑘𝑉
𝑆DEF8 y = 50 𝑀𝑉𝐴 138 𝑘𝑉 𝑉DEF8 y = 13.8 𝑘𝑉 ∗ = 138 𝑘𝑉 13.8 𝑘𝑉
𝑆DEF8 z = 50 𝑀𝑉𝐴 138 𝑘𝑉 𝑉DEF8 z = 13.8 𝑘𝑉 ∗ = 138 𝑘𝑉 13.8 𝑘𝑉
Reactancias:
𝑆DEF8 w = 50 𝑀𝑉𝐴 6.9 𝑘𝑉 𝑉DEF8 w = 138 𝑘𝑉 ∗ = 6.9 𝑘𝑉 138 𝑘𝑉 50 𝑀𝑉𝐴 20 𝑀𝑉𝐴
13.2 𝑘𝑉 13.8 𝑘𝑉
2
𝑋"# %& = 0.15
30 𝑀𝑉𝐴 20 𝑀𝑉𝐴
13.2 𝑘𝑉 13.8 𝑘𝑉
2
𝑋"2 %& = 0.15 𝑋"B %& = 0.2
50 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.9 𝑘𝑉
50 𝑀𝑉𝐴 = 0.1 20 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 13.8 𝑘𝑉
2
50 𝑀𝑉𝐴 20 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 13.8 𝑘𝑉
2
𝑋P# %&
𝑋P2 %& = 0.1
= 𝑗0.343 𝑝𝑢
= 𝑗0.343 𝑝𝑢 2
= 𝑗0.33 𝑝𝑢
= 𝑗0.25 𝑝𝑢
= 𝑗0.25 𝑝𝑢
50 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 13.8 𝑘𝑉
2
𝑋PB %& = 0.1
50 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
13.8 𝑘𝑉 13.8 𝑘𝑉
2
𝑋PY %& = 0.1
50 𝑀𝑉𝐴 = 0.1 30 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.9 𝑘𝑉
2
50 𝑀𝑉𝐴 30 𝑀𝑉𝐴
6.9 𝑘𝑉 6.9 𝑘𝑉
2
𝑋P} %&
𝑋P~ %& = 0.1
= 𝑗0.25 𝑝𝑢
= 𝑗0.33 𝑝𝑢
= 𝑗0.33 𝑝𝑢
𝑍DEF8x =
138 𝑘𝑉 2 = 380.88 Ω 50 𝑀𝑉𝐴
𝑍DEF8y =
138 𝑘𝑉 2 = 380.88 Ω 50 𝑀𝑉𝐴
𝑍DEF8z =
138 𝑘𝑉 2 = 380.88 Ω 50 𝑀𝑉𝐴
= 𝑗0.25 𝑝𝑢
𝑋K_`8E Y{ Ω =
40 Ω = 𝑗 0.105 𝑝𝑢 380.88 Ω
𝑋K_`8Ey 2{Ω =
20 Ω = 𝑗 0.052 𝑝𝑢 380.88 Ω
𝑋K_`8Ez 2{Ω =
20 Ω = 𝑗 0.052 𝑝𝑢 380.88 Ω
Diagrama de impedancias:
13. Si la tensión de la barra C en el problema 12 es de 6.6kV, cuando el motor toma 24 MVA con 0.8 de factor de potencia en adelanto, calcular las tensiones en las barras A y B. Suponer que los dos generadores contribuyen el igualmente a la carga. Dar el resultado en voltios y por unidad según la base adoptada en el problema 12. Determinar la tensión en A y B si el interruptor del circuito que une el generador 1 a la barra A esta abierto, mientras el motor está tomando 12 MW a 6.6kV con 0.8 de factor de potencia en adelanto. Todos los demás interruptores permanecen cerrados. Solución: Corriente en el Motor:
𝐼𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟(24 𝑀𝑊) =
24𝑀𝑉𝐴 < cos X# (0.8) = 3.63 < 36.86° 𝑘𝐴 6.6𝑘𝑉
Corriente entre A-C y B-C
𝐼𝑥 =
3.63 < 36.86° = 1.815 < 36.86° 2
b) 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝐼 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (12 𝑀𝑊) =
50𝑀𝑉𝐴 = 724.63 6.9𝐾𝑉
12𝑀𝑤 = 2272 < 36.86°𝐴 6.6𝑘𝑣 ∗ 0.8
𝐼𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 12 𝑀𝑊 𝑝. 𝑢 =
2272 < 36.86 = 3.16 < 36.86 724
𝑋𝑙1 = 1.1; 𝑋𝑙2 = 1.7 𝐼𝑙1 =
1.7𝑗 ∗ 3.16 < 36.86 = 1.91 < 36.86° 2.8𝑗 𝐼𝑙2 = 𝐼𝑙4 − 𝐼𝑙1 = 1.25 < 36.86
𝑉𝐵(𝑝𝑢) = 𝐼𝑙1 ∗ 𝑋𝑙1 + 𝐼𝑙2 ∗ 𝑋𝑙2 = 1.16 < 53° 𝑉𝐵 = 16.8 < 53°𝐾𝑉 14. Calcular la regulación de tensión en la barra C de la figura 6.17 para que las dos condiciones del problema 13. Suponer que la tensión se mantiene constante en las barras A y B, si la carga de 24 MW se elimina cuando los dos generadores están conectados, y que la tensión es constante en la barra B cuando se elimina la carga de 12 MW estando solo conectado el generador 2.
Si el voltaje en la barra B es =16.2 kV y la corriente Ix es 1.18 < 36.86° 16.2 𝑘𝑉 = 1.18 < 36.86° 𝐽0.602 + 𝑉𝑐 𝑉𝑐 = 16.6 < −1.95 𝑅𝑒𝑔𝑉 =
16.2 − 16.6 𝑥100% = 2.4 % 16.6
15. Los arrollamientos de un transformador de tres devanados tienen las características siguientes: Primario: conectado en Y; 6.6 kV, 15000 kVA Secundario: conectado en Y; 3.3 kV, 10000 kVA Terciario: conectado en ∆; 2.2 kV, 7500 kVA Despreciando la resistencia, se calculan las siguientes impedancias de perdida a partir de los ensayos de cortocircuito: Medidas desde el lado del primario Zps = j0.232 Ω Zpt = j0.290 Ω Medidas desde el lado del secundario Zst = j0.232 Ω Determinar las impedancias del circuito equivalente en estrella, con una base en el circuito primario de 15000 kVA y 6.6 kV.
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 =
33𝐾𝑣 2 = 72.6 15𝑀𝑉𝐴 2.2𝐾𝑣 2 = 0.32 15𝑀𝑉𝐴
𝑍𝑝𝑠 =
0.232 = 0.08 𝑝𝑢 2.90
𝑍𝑝𝑡 =
0.290 = 0.1 𝑝𝑢 2.90
𝑍𝑠𝑡 =
8.70 = 0.11 𝑝𝑢 72.6
𝑍𝑝𝑠 = 0.08 ∗ 𝑍𝑝𝑡 = 0.1 ∗
6.6𝐾𝑣 2 = 2.90 15𝑀𝑉𝐴
2
15𝑀𝑉𝐴 6.6𝐾𝑣 ∗ 15 𝑀𝑉𝐴 6.6𝐾𝑣 15𝑀𝑉𝐴 33𝐾𝑣 ∗ 10 𝑀𝑉𝐴 6.6𝐾𝑣
= 0.08 𝑝𝑢 2
15𝑀𝑉𝐴 2.2 3𝐾𝑣 𝑍𝑝𝑠 = 0.11 ∗ ∗ 7.5 𝑀𝑉𝐴 6.6𝐾𝑣
= 3.75 𝑝𝑢 2
= 0.066 𝑝𝑢
𝑍𝑝 =
1 0.08 + 3.75 + 0.066 = 𝑗1.94 𝑝𝑢 2
𝑍𝑠 =
1 0.0 + 0.066 − 3.75 = −𝑗1.80 𝑝𝑢 2
𝑍𝑡 =
1 3.75 + 0.066 − 0.08 = 𝑗1.80 𝑝𝑢 2
16. ¿Cómo se modifica el diagrama dibujado para el problema 8.6 si los dos generadores se conectan a un sistema de potencia en lugar de a un motor síncrono? Suponer que las líneas de 20 Ω se conectan directamente a la barra de alta tensión del sistema. La tensión nominal del sistema es de 132kV y los MVA de cortocircuito del sistema en la barra son 2000. El problema no se puede solucionar por mal planteamiento ya que al ver el problema 8.6, muestran la figura de un circuito de solo generadores más no de un motor síncrono. 17. En una barra de 230 kV de un sistema de potencia los MVA de corto circuito son 500. Se desea efectuar los cálculos para una planta industrial que se alimente de esta barra. Si la base de voltaje para los cálculos sobre el lado de alta tensión del transformador que conecta la barra a la planta es de 220 kV, 20 MVA, ¿Cuáles son los valores por unidad de la reactancia en serie y la tensión del generador del equivalente thevenin del sistema de potencia? Solución:
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 = 220 𝐾𝑣
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 20 𝑀𝑉𝐴
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 =
(220𝐾𝑣)2 = 2420 20 𝑀𝑉𝐴
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 =
220𝐾𝑣 = 90.9𝐴 2420Ω
𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 230 𝐾𝑣 𝑆𝑠𝑐 = 500 𝑀𝑉𝐴 𝐼𝑠𝑐 =
500 MVA = 2173.9 𝐴 230kV
𝐼=
90.9 = 0.0418 𝑝𝑢 2173.9
18. En cierto sistema eléctrico de potencia la base es de 110 kV y 250 MVA. El sistema se ha representado en un cuadro de cálculo, con una base de 50 V y 1000 Ω. Si en una unidad que representa en el cuadro una línea de transporte circulan 40 mA, ¿Cuántos amperios circulan por la línea correspondiente en las condiciones simuladas en el cuadro? Solución: §
§
Bases viejas: Vbase= 110Kv Sbase= 250 MVA Bases Nuevas:
Vbase= 50v Zbase= 1000 Ω I= 1 pu = 40 mA 𝑖𝑐. 𝑐
}{ ’ #{{{Ω
= 0.05𝐴
I c.c pu=1.24 pu
19. Un cuadro de cálculo c.c está preparado para estudiar un cortocircuito trifásico en una de las barras de un sistema que tiene una barra de 5000 kVA y 2300V. En el cuadro de cálculo el 100% de impedancias, 3,000 Ω. Si se intercala un miliamperímetro en serie con una de las unidades de resistencia del cuadro de cálculo se leen 10 mA. Determinar la corriente de fallo en la rama correspondiente del sistema. Solución:
§
Cortocircuito 3 ∅ Ssc= 5000 KVA Vsc= 2300V Cuadro de cálculo Vpu= 100% = 1 pu Zpu= 100% = 1 pu V= 18 V = 1 pu Z= 3000 Ω = 1 pu
𝐼 =
18 𝑣 3000 Ω
= 6 ×10−3 𝐴
20. Dibujar el diagrama y poner sobre el los valores de todas las resistencias a conectar en un cuadro de cálculo c.c, para estudiar el sistema del problema 12 el cuadro tiene una tensión de 50 voltios al 100% y una impedancia al 100% de 10000 Ω ¿Qué tensión ha de aplicarse entre las barras positivas y negativas, si hay que estudiar un fallo cuando la línea trabaja a 132kV? Solución: Vpu= 100% = 1 pu Zpu= 100% = 1 pu Vbase= 50 V = 1 pu Zbase= 10000 Ω= 1 pu
𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 =
50 𝑣 = 5 ×10XB 𝐴 10000 Ω
Las reactancias para pasarlas al c.c como resistencias se multiplican por el valor de la Zbase §
§
§
§
§
§
Barraje A Z= (0.343 *10000) = 3430 Barraje B Z= (0.343 *10000) = 3430 Barraje C Z= (0.3 *10000) = 3000 Barraje A- B Z= (0.25 *10000) + (0.105 * 10000) + (0.25 * 10000) = 6050 Barraje A – C Z= (0.25 *10000) + (0.052 * 10000) + (0.3 * 10000) = 6020 Barraje B – C
Z= (0.25 *10000) + (0.052 * 10000) + (0.3 * 10000) = 6020
EJEMPLOS 1. Para la siguiente configuración, dibujar el diagrama de impedancias tomando como bases en A: 13.8kV y 10MVA.
𝑉DO“y D = 115𝑘𝑉 𝑉DO“y w =
115 ∗ 34,5𝑘𝑉 = 36.07𝑘𝑉 110
𝑋# L”y•O = 0.10 ( 𝑋2 L”y•O = 0.08 ( 𝑍DO“y w = 𝑍w —.˜. =
115 2 10 ) ∗ = 0.1–.”. 115 10
115 2 10 ) ∗ = 0.061–.”. 110 12
36.072 = 130.10Ω 10
300Ω = 2.306–.”. 130.10Ω
Diagrama de reactancias en P.U.
2. Hallar el circuito equivalente del sistema, expresando los parámetros en por unidad, seleccionando las bases que quiera.
Bases:
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 50𝑀𝑉𝐴 𝑉DO“y O = 220𝑘𝑉 𝑉DO“y D = 110𝑘𝑉 𝑉DO“y w =
34.5kV ∗ 110𝑘𝑉 = 33𝑘𝑉 115kV
Calculo de impedancias:
𝑍›# = 0.10 ( 𝑍›2 = 0.12 ( 𝑅–.”. =
110 2 50 ) ∗ = 0.1–.”. 110 50
34.5 2 50 ) ∗ = 0.22–.”. 33 30 300 ∗ 50 = 13.77 332
Diagrama de reactancias en P.U.
3. Dibujar el diagrama de reactancias en por unidad para un estudio de corto circuito.
Bases del generador:
𝑉O = 12.7𝑘𝑉 𝑀𝑉𝐴DO“y = 60𝑀𝑉𝐴 𝑋›# = 0.08 (
13.8 2 60 ) ∗ = 0.0755–.”. 12.7 75
𝑋K =
10Ω 𝑍DO“y
𝑉D = 12.7
69 kV = 63.5kV 13.8
𝑍DO“y K =
63.52 = 67.204Ω 60
𝑋K =
10Ω = 0.1488–.”. 67.204Ω
𝑋›2 = 0.08 (
69 2 60 ) ∗ = 0.0755–.”. 63.5 75
Diagrama de reactancias en P.U.
4. Hallar el diagrama de reactancias para un estudio de corto circuito indicando todos los valores en por unidad.
Bases:
𝑉O = 4.16𝑘𝑉 𝑀𝑉𝐴DO“y = 7.5𝑀𝑉𝐴 𝑉D = 4.16 𝑋›# = 0.1 (
0.6 2.4 3
kV = 0.6kV
600 2 7.5 ) ∗ = 0.1–.”. 600 7.5
Para el motor: 𝑀𝑉𝐴= =
4.476 = 6.25𝑀𝑉𝐴 0.8 ∗ 0.895
𝑋′′= = 0.2(
600 2 7.5 ) ∗ = 0.24–.”. 600 6.25
Diagrama de reactancias en P.U.
5. Encontrar el diagrama de reactancias en por unidad para el sistema mostrado en la figura. Escoger como bases: 220Kv en línea y 100MVA.
Bases:
𝑉O = 220𝑘𝑉 𝑉D = 220
13.2 132 3
𝑉w = 220
= 12.7𝑘𝑉
15.8 = 15.11𝑘𝑉 230
Impedancias en por unidad: 𝑍DO“y K = 𝑋• =
(220)2 = 484 100
32 = 0.0661–.”. 484
𝑌 = 150𝑥10X~ ∗ 484 = 0.0726–.”. 2 𝑋›# = 0.1 ( 𝑋›2 = 0.1 (
13.2 2 100 ) ∗ = 0.0655–.”. 12.7 165
15.8 2 100 ) ∗ = 0.0874–.”. 15.11 125
𝑋′′"# = 0.2(
13.8 2 100 ) ∗ = 0.1476–.”. 12.7 144/9
𝑋′′"2 = 0.25(
16.5 2 100 ) ∗ = 0.2384–.”. 15.1 125
𝑍žŸ = 0.15 (
220 2 100 ) ∗ = 0.05–.”. 220 300
𝑍–P = 0.20( 𝑍“P = 0.05(
220 2 100 ) ∗ = 0.20–.”. 220 100
100 2 100 ) ∗ = 0.05–.”. 100 100
1 𝑍ž = (0.05 + 0.20 − 0.05) = 0.05–.”. 2 1 𝑍Ÿ = (0.05 + 0.05 − 0.20) = −0.05–.”. 2 1 𝑍› = (0.20 + 0.05 − 0.05) = 0.1–.”. 2 𝑍wO
"O yOK =
𝑍wO
"O DO“y
𝑍K –.”. = 1 (
1102 = 54.45Ω 200/0.9 =
1102 = 121Ω 100
110 2 100 ) ∗ = 0.45–.”. 110 222.2
Diagrama de reactancias en P.U.
6. Encontrar el diagrama de reactancias en por unidad para el sistema mostrado a continuación:
Selección de bases:
𝑉O DO“y = 220𝑘𝑉 𝑀𝑉𝐴DO“y = 180𝑀𝑉𝐴 Calculo voltajes base:
𝑉D DO“y = 200 𝑉w DO“y = 200
500 kV = 500Kv 220
13.2 kV = 12.62kV 230
𝑉x DO“y = 44kV 𝑉y DO“y = 110kV Calculo de impedancias: 𝑀𝑉𝐴"# = 𝑋′′¡# = 0.25 (
125𝑀𝑊 = 138.88 0.9
13.8 2 180 ) ∗ = 0.3874–.”. 12.62 138.88
𝑋›# = 0.1 (
13.2 2 180 ) ∗ = 0.04–.”. 12.62 450
𝑋›2 = 0.12–.”.
𝑋›B = 0.12–.”. 𝑍žŸ = 0.18–.”. 𝑍–P = 0.28( 𝑍“P = 0.16(
220 2 180 ) ∗ = 0.315–.”. 220 160
110 2 180 ) ∗ = 0.288–.”. 110 100
1 𝑍ž = (0.18 + 0.315 − 0.288) = 0.1035–.”. 2 1 𝑍Ÿ = 0.18 + 0.288 − 0.315 = 0.0765 2 1 𝑍› = (0.315 + 0.288 − 0.18) = 0.2115–.”. 2 Para la carga: 𝑍w =
𝑍w –.”. =
𝑉2 1102 = 𝑃 − 𝑗𝑄 60 − 𝑗37.18
1102 180 ∗ = 2.16 + 𝑗1.343 60 − 𝑗37.18 1102
Para L1: 𝑅 –.”. =
8
500
𝑋 –.”. =
2
∗ 180 = 5.76𝑥10XB –.”.
90
500
2
∗ 180 = 0.0648–.”.
𝑌 = 𝑊𝐶 = 3.393𝑥10XY 𝑌 = 1.696𝑥10XY 2 𝑌 5002 = 1.696𝑥10XY Ω ∗ = 0.2356–.”. 2 –.”. 180 Para L2: 𝑅 –.”. = 𝑋 –.”. =
8
2202 100
2202
∗ 180 = 0.037–.”. ∗ 180 = 0.372–.”.
𝑌 = 𝑊𝐶 = 3.01𝑥10XY
𝑌 = 1.5𝑥10XY 2 𝑌 2202 = 1.5𝑥10XY Ω ∗ = 0.04–.”. 2 –.”. 180 Diagrama de reactancias en P.U.
7. Encuentre el diagrama de reactancias para el circuito mostrado en la figura. Elija la especificación del generador como base del circuito. 𝑉O DO“y = 13.8𝑘𝑉 𝑀𝑉𝐴DO“y = 300𝑀𝑉𝐴
Valores T2:
𝑀𝑉𝐴 P2 = 3 ∗ 10𝑀𝑉𝐴 = 30𝑀𝑉𝐴 𝑉P2 = 3 ∗ 67/12.5kV = 116/12.5kV Selección de bases:
𝑀𝑉𝐴DO“y = 30𝑀𝑉𝐴 𝑉O DO“y = 13.8𝑘𝑉 𝑉D DO“y = 13.8
115 kV = 120.2Kv 13.2
𝑉w DO“y = 120
12.5 kV = 12.93kV 116
Calculo de impedancias: 𝑋′′¡ = 0.15–.”. 𝑋›# = 0.1 ( 𝑋›2 = 0.1 ( 𝑋• =
8.
13.2 2 30 ) ∗ = 0.094–.”. 13.8 35
116 2 30 ) ∗ = 0.0935–.”. 120 30 80
1202
∗ 30 = 0.16–.”.
𝑋¤# = 0.2 (
12.5 2 30 ) ∗ = 0.3–.”. 12.5 20
𝑋¤2 = 0.2 (
12.5 2 30 ) ∗ = 0.6–.”. 12.5 10
Selección de bases:
𝑀𝑉𝐴DO“y = 30𝑀𝑉𝐴 𝑉O DO“y = 6.6𝑘𝑉 𝑉D DO“y = 6.6
38.1 kV = 66Kv 3.81
𝑉w DO“y = 6.6
38.1 kV = 66Kv 3.81
Calculo de impedancias:
30 ∗ 0.655 = 0.45–.”. 6.62
𝑋¡# =
30 ∗ 1.31 = 0.9–.”. 6.62
𝑋¡2 = 𝑋¡B =
30 ∗ 0.1452 = 0.1–.”. 6.62
𝑋›# =
30 ∗ 14.52 = 0.1–.”. 6.62
𝑋›2 =
30 ∗ 14.52 = 0.1–.”. 6.62
𝑋• =
30 ∗ 17.4 = 0.12–.”. 6.62
Carga A:
𝑀𝑉𝐴 =
𝑃 150 = = 166.67𝑀𝑉𝐴 𝑛 ∗ 𝑓𝑝 0.9 𝜃 = 25.84°
𝑄 = 𝑃 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 80.71 𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑍O Ω = 𝑍O –.”. =
𝑉2 = 0.261 𝑃 − 𝑗𝑄
30 ∗ 0.261 = 0.17–.”. 6.62
Carga B:
𝑀𝑉𝐴 =
𝑃 30 = = 33.3𝑀𝑉𝐴 𝑛 ∗ 𝑓𝑝 0.9 𝜃 = 25.84°
𝑄 = 𝑃 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 16.14 𝑀𝑉𝐴𝑅
𝑍D Ω = 𝑍D –.”. =
𝑉2 = 0.435 𝑃 − 𝑗𝑄
30 ∗ 0.435 = 0.89–.”. 3.812
9. En el circuito de la figura, la tensión en el nodo degeneración es de 13.2 kV y las características de placa de los transformadores son las indicadas en la tabla.
Sabiendo que la impedancia de línea es 𝑧m = 10 + 𝐽100 Ω, y la de carga 𝑧w = 300 Ω, determinar las intensidades en toda la red, la tensión en la carga y la potencia consumida por esta. Bases nuevas 𝑉DEF8 K_`8Eo 138 𝑘𝑉 𝑆DEF8 K_`8Eo 10 𝑀𝑉𝐴 Refiriendo todos los voltajes a las bases nuevas
𝑉DEF8 `&8’j "o#B.2∗#B|o#B.| §• #B2
𝑉DEF8 `&8’j wo ~¨ ∗#B|o~¨ §• #B|
Impedancias bases
𝑍D" =
13.82 = 19.044Ω 10
1382 = 1904.4Ω 10 692 = = 476.1Ω 10
𝑍DK = 𝑍Dw Intensidades bases
10
𝐼D" =
3 ∗ 13.8
= 0.418𝑘𝐴
10
𝐼DK =
3 ∗ 138
= 0.042𝑘𝐴
10
𝐼DG =
3 ∗ 69
= 0.084𝑘𝐴
Valores en P.U
𝑍K =
#{©ª#{{ #¨{Y.YΩ
= 0.005251 + 𝑗0.5251 p.u
𝑍w =
B{{
= 0.63 p.u
Y«~.#Ω
𝑋P# = 0.1
#{ }
*
#B.2 2 #B.|
= 𝑗0.183𝑝. 𝑢
𝑋P2 = 0.08
#{ #{
~¨ 2
*
~¨
= 𝑗0.08𝑝. 𝑢
Tensión en la barra 1
13.2 = 0.957 13.8 V# = 𝑋P# + 𝑍K + 𝑋P2 + 𝑍w ∗ 𝐼 0.957 < 0 = 0.635 + 𝐽0.315 ∗ 𝐼 𝐼 = 1.348 < −26.4 𝐴 𝑉# =
Con la corriente se deduce la potencia y la tensión de la carga.
VY = 𝑍w ∗ 𝐼 VY = 0.63 p. u ∗ 1.348 < −26.4 𝐴 SY = VY 𝐼 ∗ SY = 1.146 En valores reales: § Corriente por el generador I= 1.348 ∗ 𝐼D" = 0.564 𝑘𝐴 § Corriente por la línea I=1.348 ∗ 𝐼DK = 0.056 𝑘𝐴 § Corriente por la carga I=1.348 ∗ 𝐼DG = 0.113 𝑘𝐴
§ §
Tensión en la carga 𝑉Y = 0.85𝑉Dw = 58.625𝑘𝑉 Potencia en la carga 𝑃Y = 1.146𝑆D = 11.456𝑀𝑊
10. Obtener el diagrama en p.u del circuito de la figura, tomando las líneas una potencia y tensión base de valor 100MVA y 220kV respectivamente. Las características y valores nominales para cada uno de los elementos de la red se indican en la tabla. Además, se sabe que en el nodo 4 se consumen 50 MVAR y 0 MW, y en el nodo 6 se consumen 0 MVAR y 50 MW.
Si la tensión en la barra 2 es de 23.1 kV, determinar la potencia activa que cede el generador y las tensiones en las cargas. Con una potencia base en común: 𝑆D = 100𝑀𝑉𝐴 𝑉DK = 220𝑘𝑉 𝑉D" = 220 ∗
25 = 23.91𝑘 230
𝑉Dw# = 220 ∗
132 = 132𝑘𝑉 220
𝑉Dw2 = 220 ∗ 𝑍DK =
66 = 66𝑘𝑉 220
2202 = 484Ω 100
23.912 𝑍D" = = 5.718Ω 100 1322 𝑍Dw# = = 174.24Ω 100 2 66 𝑍Dw2 = = 43.56Ω 100 Los datos de la red en p.u son: § Impedancias de la línea 𝑍2B =
10 + 𝐽60 = 0.021 + 𝐽0.124 484Ω 𝑍2} =
Potencias en las cargas:
𝐽50 = 0.021 484Ω
242 𝑋" = 1 ∗ 200 = 0.504𝑝. 𝑢 5.718 252 200 𝑋P# = 0.1 ∗ = 0.055𝑝. 𝑢 5.718 2202 𝑋P2 = 0.1 ∗ 150 = 0.067𝑝. 𝑢 484 662 𝑋PB = 0.08 ∗ 75 = 0.107𝑝. 𝑢 43.56
𝑆w# =
𝐽50 = 𝐽0.5𝑝. 𝑢 𝑆D
𝑆w2 =
50 = 0.5𝑝. 𝑢 𝑆D
Tomando como origen de ángulos la tensión en el nodo 4, y conocida la tensión en el nodo 2 𝑉2 = 230𝑘𝑉 𝑉2 =
230 = 1.04 𝑝. 𝑢 220
𝑉2 = 𝑍2B + 𝐽𝑋P2 𝐼G# + 𝑉Y 𝑉2 = 0.021 + 𝐽0.124 + 0.067 𝐼G# + 𝑉Y 𝐼G# =
𝐽0.5 ∗ 𝑉Y
105𝑉Y cos 𝜃2 = 𝑉Y 2 + 0.095 105𝑉Y sin(𝜃2 ) = −0.0103
Combinando las dos ecuaciones anteriores el resultado final es: 𝑉Y = 0.95 < 0 𝑉2 = 1.05 < −0.594 𝑃~ = 0.5 =
𝑄~ = 0 =
1.05𝑉~ sin 𝜃2~ (𝑋2} + 𝑋PB )
1.05𝑉~ 𝑉~ 2 cos 𝜃2~ − (𝑋2} + 𝑋PB ) 𝑋2} + 𝑋PB
De estas ecuaciones resulta que 𝑉~ = 1.048 < −3.55 Potencia en el generador 𝑃" = 𝑃G2 + 𝑅2B 𝐼G# 2 = 𝑃G2 + 𝑅2B
0.52 𝑉Y 2
= 0.505𝑝. 𝑢 = 50.573 𝑀𝑊
11. En la red de la figura se desea mantener 66 kV en el nodo 5. Con el resto de los datos de la red indicados en la tabla y cargas en el nodo 2 𝑆# = 150 + 𝐽60 𝑆2 = 120 + 𝐽60
𝑍𝑜𝑛𝑎K# 𝑍DK# 𝑍𝑜𝑛𝑎K2
𝑉DK# = 230𝑘𝑉 2302 = = 176.33 Ω 300
𝑉DK# = 66𝑘𝑉
𝑍DK# = 𝑍𝑜𝑛𝑎"
662 = 14.52 Ω 300
𝑉DK# = 21𝑘𝑉
𝑍DK# =
212 = 1.47 Ω 300
Definidas las magnitudes base, los datos de la red en p.u son:
60 = 0.34 𝑝. 𝑢 176.33Ω 60 𝑋Y} = = 4.13 𝑝. 𝑢 14.52Ω 212 150 𝑋P# = 0.1 ∗ = 0.2 𝑝. 𝑢 1.47Ω 𝑋P# = 𝑋P2 2302 𝑋PB = 0.1 ∗ 150 = 0.2 𝑝. 𝑢 176.33Ω 𝑋2B =
𝑋PY
662 = 0.1 ∗ 150 = 0.2 𝑝. 𝑢 14.52Ω
Potencias en las cargas:
𝑆w# =
150 + 𝐽60 = 0.5 + 𝐽0.2 300
𝑆w2 =
120 + 𝐽60 = 0.4 + 𝐽0.2 300 𝑉} =
66 = 1 𝑝. 𝑢 66
𝑆w2 =
120 + 𝐽60 = 0.4 + 𝐽0.2 300
𝐼w2 =
0.4 − 𝐽0.2 = 0.4 − 𝐽0.2 1
Entre los nodos 2 y 5 existen dos caminos paralelos existen dos caminos paralelos de impedancias
𝑍89& = 𝑍89& =
𝑋K# + 𝑋PY 𝑋K2 + 𝑋PB
0.34 + 0.2 = 𝐽0.48 4.13 + 0.2
𝑉2 = 𝑍𝐼G2 + 𝑉} 𝑉2 = 𝐽0.48 0.4 − 𝐽0.2 + 1 < 0 = 1.096 + 𝐽0.192 Determinada la tensión en 2 se calcula la intensidad por la carga C1: 𝐼w# =
0.5 − 𝐽0.2 = 0.474 − 𝐽0.099 1.096 − 𝐽0.192
𝑉# = 𝑉# =
𝑋P# 𝑋P2 𝐼 + 𝐼w2 + 𝑉2 𝑋P# +𝑋P2 w#
0.2 ∗ 0.2 0.474 − 𝐽0.099 + 0.4 − 𝐽0.2 0.2 + 0.2 𝑉# = 1.16 < 13.94
La tensión en bornes del generador ha de ser de 24.36 kV para mantener 66kV en el nodo 5. 12. Un transformador trifásico de tres devanados tiene las siguientes características: § § §
Primario: 131kV, 30 MVA Secundario:27kV,30 MVA Terciario: 10.5kV, 10 MVA
Tensiones de cortocircuito referidas a 30 MVA
§ § §
Primario-Secundario 𝐸GG = 10% Primario-Terciario 𝐸GG = 13% Secundario-Terciario 𝐸GG = 15%
Obtener el modelo equivalente del transformador y determinar la potencia total consumida por el transformador en el primario, y las tensiones en el secundario y en el terciario cuando el transformador se alimenta a 131 kV y suministra 20 MW y 8 MVAR en el secundario, 8MW y 2MVAR en el terciario. 𝑋% = 0.5 0.1 + 0.13 − 0.15 = 0.04𝑝. 𝑢 𝑋F = 0.5 0.1 + 0.15 − 0.13 = 0.06𝑝. 𝑢 𝑋i = 0.5 0.15 + 0.13 − 0.1 = 0.09𝑝. 𝑢 Las condiciones de funcionamiento del transformador en carga, expresadas en p.u son las siguientes: Tensión en el primario 𝑉%o 1 < 0° Potencia en el secundario 𝑆F = 0.66 + 𝐽0.266 = 0.718 < 21.80° Potencia en el Terciario 𝑆i = 0.266 + 𝐽0.0667 = 0.275 < 14.04° Introduciendo como incógnitas las tensiones en el secundario y en el terciario, y la propia intensidad del primario, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones a resolver: Como: 𝑆F = 𝑉F 𝐼F ∗ 𝑆P = 𝑉i 𝐼i ∗ Caídas de tensión: 𝑉F = 𝑉% − 𝐽𝑋% 𝐼% − 𝐽𝑋F 𝐼F 𝑉i = 𝑉% − 𝐽𝑋% 𝐼% − 𝐽𝑋i 𝐼i Balance de intensidades 𝐼% = 𝐼F + 𝐼i Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene las siguientes soluciones: 𝐼% = 0.933 − 𝐽0.415 = 1.022 < −23.99° 𝐼F = 0.655 − 𝐽0.330 = 0.743 < −26.39° 𝐼i = 0.268 − 𝐽0.085 = 0.281 < −17.64° 𝑉F = 0.964 − 𝐽0.077 = 0.967 < −4.58° 𝑉i = 0.976 − 𝐽0.061 = 0.978 < −3.60° La potencia consumida en el primario: 𝑆% = 𝑉% 𝐼% ∗ = 0.93 + 𝐽0.415 𝑆% = 1.022 < 23.09°
13. transformador tridevanados Datos por devanado D1= 300MVA; 13.8KV D2= 300MVA; 199.2KV D3= 50MVA; 19.92KV Reactancias de dispersión 𝑋#2 = 0.10 𝑒𝑛 𝐷1 𝑋#B = 0.16 𝑒𝑛 𝐷3 𝑋2B = 0.14 𝑒𝑛 𝐷3 Las bases del circuito son los datos del devanad primero los cuales son 300MVA y 13.8KV. Para realizar la solución del circuito es necesario saber cuáles son las bases a corregir del problema como la reactancia X 12 esta medida sobre las bases pedidas a esta no se le realizara ninguna corrección a las demás que se encuentran en las bases del devanado 3 si será necesario realizar dicha corrección:
𝑋#B = 𝑋jmh ∗
𝑆`8³ 300 = 0.16 ∗ = 0.96 𝑝. 𝑢. 𝑆jmh 50
𝑋2B = 𝑋jmh ∗
𝑆`8³ 300 = 0.14 ∗ = 0.84 𝑝. 𝑢. 𝑆jmh 50
Luego utilizando la ecuación se halla las reactancias referidas a las bases del devanado del primario de cada una de las ramas de la siguiente manera:
1 1 𝑋# = 𝑋#2 + 𝑋#B − 𝑋2B = 0.1 + 0.96 − 0.84 = 0.11 𝑝. 𝑢. 2 2 1 1 𝑋2 = (𝑋#2 − 𝑋#B + 𝑋2B ) = (0.1 − 0.96 + 0.84) = 0.01 𝑝. 𝑢. 2 2 1 1 𝑋B = (−𝑋#2 + 𝑋#B + 𝑋2B ) = (−0.1 + 0.96 + 0.84) = 0.85 𝑝. 𝑢. 2 2
14. Un transformador de potencia con las siguientes características 200MVA; 345KV D y 34,5KV Y reactancia de dispersión del 8%, si se desprecian los datos del desfasamiento por las conexiones y las pérdidas de magnetización como de calentamiento de los devanados y tomando los datos en p.u. como bases los datos nominales del transformador calcule a) la corriente que pasa por el transformador en condiciones nominales de carga con fp 0.8 y b) si sucede una falla en el devanado contrario del generador cual es la corriente de falla en p.u. suponiendo una falla de las 3 fases a tierra: Lo primero que se debe tener en cuenta es que como no existe carga en este esquema la corriente para que el transformador funcione a sus características nominales es de 1 en por unidad es decir toda la corriente que soporte cada devanado de forma individual: Como los datos nos piden las respuestas en p.u. no tendremos en cuenta las corrientes de bases
Lo que sabemos es que la tensión que entregara el sistema a la carga será definido por: 𝑉iH = 𝐼%.&. ∗ 𝑋P = 1 < −36.87 ∗ 𝑗0.08 = 0.08 < 53.13 El voltaje del generador es de: 𝑉I8` = 𝑉%.&. − 𝑉iH = 1 < 0 − 0.08 < 53.13 = 0.9541 < −3.84 En los ejercicios de falla simétrica a tierra se toma por simplicidad que la tensión de pre falla es de 1 en por unidad, esto se hace debido a que está realmente puede variar entre varios rangos de tensión y este sería uno de los casos más comunes para este caso se tendrá entonces que: 𝑉%.&.%H8 1 < 0 𝐼zEmmE = = = 12.5 < −90 𝐴 𝑋P 𝑗0.08
15. Un generador trifasico de 30000 kVA y 13.8 kV tiene una resistencia subtransitoria del 15%. El generador alimenta a dos motores a traves de una linea de transporte, con transformadores en ambos costados, tal como se presenta en el diagrama unifilar de la figura 9. Los motores tienen como entradas nominales 20000 y 10000 kVA, ambos a 12.5 kV, con x’’= 20%. El transformador trifasico T1 tiene como valores nominales 35000 kVA, 13,2 ∆ - 115 Y kV, con reactancia de dispersion del 10%. El transformador T2 esta compuesto de tres transformadores monofasicos, cada uno especificado como 10000 kVA 12.5 – 67 kV con reactancia de dispersion del 10%. La reactancia en seie de la linea de transmision es de 80 Ω. Dibuje el diagrama de reactancia con todas las reactancia indicadas po unidad. Elija la especificacion del generador como base en el circuito del generador
Bases S=30000 kVA V=13.8 kVA Bases en K S=30000 kVA V=13.8 kVA Bases en L
Bases en m
S=30000 kVA 115𝑘𝑉 𝑉 = 13.8𝑘𝑉 ∗ = 120227.27 13.2𝑘𝑉 S=30000kVA V=120227.27
Bases en n S= 30000 kVA El transformador T2 trabaja con 67 Y kV (voltaje de fase) en el lado primario y 12.5 ∆ kV en el secundario, entonces:
𝑉 = 120227.27
12.5 𝑘𝑉
= 12950.23 𝑘𝑉 3 ∗ 67 𝑘𝑉 𝑋𝑔 = 0.15 𝑝𝑢 30000𝑘𝑉𝐴 13.2𝑘𝑉 2 𝑋𝑇1 = 0.1 = 0.078𝑝𝑢 35000𝑘𝑉𝐴 13.8𝑘𝑉 2 30000𝑘𝑉𝐴 3 ∗ 67𝑘𝑉 𝑋𝑇2 = 0.1 = 0.093𝑝𝑢 30000𝑘𝑉𝐴 120227.27 30000𝑘𝑉𝐴 10000𝑘𝑉𝐴
12.5 𝑘𝑉 12950.2
2
𝑋𝑀1 = 0.2
30000𝑘𝑉𝐴 20000𝑘𝑉𝐴
12.5 𝑘𝑉 12950.2
2
𝑋𝑀1 = 0.2
𝑋𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 = 𝑋𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎%&
= 0.55𝑝𝑢
= 0.28𝑝𝑢
120227.272 = 481.81 30000 𝑘𝑉𝐴 80 = = 0.16𝑝𝑢 481.81
16. Si los motores del anterior ejercicio tienen entradas 6000 y 18000 kW, respectivamente, a 12.5 kV y ambos operan con un motor de potencia unitario, encuentre el voltaje en los terminales del generador. Solución Ambos motores toman 24000 kW 24000 = 0.8𝑝𝑢 30000 Por tanto |V| e |I| para los motores por unidad: 𝑉 ∗ 𝐼 = 0.8𝑝𝑢 12.5 𝑉= < 0° = 0.969 < 0° 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 12950.23 0.8 𝐼= < 0° = 0.826 < 0° 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 0.969 En el generador 𝑉 = 0.969 + 0.826 ∗ (𝑗0.0784 + 𝑗0.167 + 𝑗0.094) = 0.969 + 𝑗0.280 = 1.009 < 16.1 𝑝𝑢 El voltaje en el terminal del es 1.009 ∗ 13.8 = 12.92𝑘𝑉
17. Las tres partes de un sistema eléctrico monofásico, designadas por A, B, C, están interconectadas por medio de transformadores en la forma representada en figura 3. Los transformadores tienen las siguientes características: A-B 10000 kVA 13.9-138 kV; reactancia de dispersión, 10% B-C 10000 kVA; 138-69 kV reactancia e dispersión, 8% Si en el circuito B se toman como base 10000kVA y 138 kV, determinar la impedancia por unidad de una carga óhmica pura 300 ohmios en el circuito C, referido a los circuitos C, B y A. Dibujar el diagrama de impedancias despreciando la corriente magnetizante, las resistencias de los transformadores y las impedancias de línea. Determinar la regulación de tensión si la tensión en la carga es de 66kV, con la hipótesis de que la tensión de entrada al circuito A permanece constante.
Bases en B
Bases en C
S=10000 KVA V=138 kV Bases en A 𝑆 = 10000𝑘𝑉𝐴 13.9𝑘𝑉 𝑉 = 138𝑘𝑉 ∗ = 13.9𝑘𝑉 138𝑘𝑉 𝑆 = 10000𝑘𝑉𝐴
𝑉 = 138𝑘𝑉 ∗ 𝑋𝐴𝐵 = 0.1 ∗ 𝑋𝐵𝐶 = 0.08 ∗
69𝑘𝑉 = 69𝑘𝑉 138𝑘𝑉
10000𝑘𝑉𝐴 10000𝑘𝑉𝐴
13.9 13.9
2
10000𝑘𝑉𝐴 138𝑘𝑉 ∗ 10000 𝑘𝑉𝐴 138𝑘𝑉
𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒𝐶 =
300 = 0.63𝑝𝑢 476.1
𝑉𝑝𝑢 =
66𝑘𝑉 = 0.95𝑝𝑢 69𝑘𝑉
𝐼𝑝𝑢 =
2
= 0.08𝑝𝑢
69𝑘𝑉 2 = 476.1 10000𝑘𝑉𝐴
𝑍𝑝𝑢 = Tensión en la carga
= 0.1𝑝𝑢
0.95𝑝𝑢 = 1.51𝑝𝑢 0.63𝑝𝑢
𝑉𝐴 = 0.95 + 1.51 ∗ 𝑗0.1 + 𝑗0.08 = 0.988𝑝𝑢 𝑅% =
0.998 − 0.95 = 4.8% 0.95
18. Una fuente de tensión que se encuentra en estrella balanceada de E: 480<0 Voltios se conecta a una carga que en delta que tiene las siguientes características Zd 30<40 ohmios la impedancia de la línea es de 1<85 para cada línea usando S base: 10KVA y V línea: 480V Impedancia de base
𝑍¶ = Impedancias al sistema en p.u.
𝑉 2 mm ¶ 480 2 = = 23.04 Ω 𝑆B∅ ¶ 10000
𝑍m_` 1 < 85 = = 0.0434 < 85 𝑝. 𝑢. 𝑍¶ 23.04 30 < 40 𝑍GEH 3 = = = 0.43402 < 40 𝑝. 𝑢. 𝑍¶ 23.04
𝑍m_` %.& = 𝑍GEH %.&
𝐸 %.& =
𝐸 277 < 30 = = 1 < 30 𝑝. 𝑢. 𝑉mm ¶ 480 3 3
La corriente en por unidad es la siguiente 𝐸 %.& 1 < 30 𝐼 %.& = = = 2.147 < −73.78 𝑝. 𝑢. 𝑍m_` %.& + 𝑍GEH %.& 0.0434 < 85 + 0.43402 < 40
𝐼 D DO“y = La corriente del sistema seria para la fase A
𝑆 B¸ ¶ 3 ∗ 𝑉mm ¶
𝐼 O = 𝐼 ¶ ∗ 𝐼 %.& = 19.
=
10000 3 ∗ 480
10000 3 ∗ 480
= 12.028 𝐴
= 12.028 𝐴
En el anterior circuito con transformadores monofásicos obtenga la corriente en cada una de las zonas del circuito, hallando en primera instancia la corriente en por unidad tomando las bases de 30KVA y 240V para la zona # 1: Datos para la zona 1
𝑉F %.&. =
𝑉F
𝑉 ¶ ¹#
𝑍¶ ¹# =
=
220 < 0 = 0.91666 < 0 𝑉 240 < 0
𝑉¶ ¹# 2 (240𝑉)2 = = 1.92 Ω 𝑆¶ 30𝐾𝑉𝐴
𝐼¶ ¹# =
𝑆¶ 30𝐾𝑉𝐴 = = 125 𝐴 𝑉¶ ¹# 240𝑉
Como el voltaje que esta dado es base para la zona #1 es necesario encontrar la tensión de la zona 2 mediante la relación de transformación:
𝑉¶ ¹2 =
𝑉¹2 480 ∗𝑉 = ∗ 240 = 480 𝑉 𝑉¹# ¶ ¹# 240
Entonces para la zona # 2 la potencia base es de 30KVA y la tensión base es de 480 V zona 2
𝑍¶ ¹2 = 𝑍m_ %.&. =
𝑉¶ ¹2 2 (480𝑉)2 = = 7.68 Ω 𝑆¶ 30𝐾𝑉𝐴
𝑍m_ 𝑗2 = = 𝑗0.26041 𝑝. 𝑢. 𝑍¶ ¹2 7.68
𝐼¶ ¹2 =
𝑆¶ 30𝐾𝑉𝐴 = = 62.5 𝐴 𝑉¶ ¹2 480𝑉
Como el transformador en la zona 2 no tiene la misma tensión de base que se tomo es necesario realizar corrección de base para la reactancia que se encuentra calculada en las bases anteriores esto se realiza de la siguiente manera:
𝑋`8³ = 𝑋jmh
𝑉jmh 2
𝑉`8³
2
∗
𝑉¶ ¹B =
𝑆`8³ 4602 30𝐾 = 𝑗0.1 ∗ = 𝑗0.1377604 𝑝. 𝑢. 2 𝑆jmh 480 20𝐾
𝑉¹B 115 ∗ 𝑉¶ ¹2 = ∗ 480 = 120 𝑉 𝑉¹2 460
𝑍¶ ¹B =
𝑉¶ ¹B 2 (120𝑉)2 = = 0.48 Ω 𝑆¶ 30𝐾𝑉𝐴
𝐼¶ ¹B = 𝑍GEH %.&. =
𝑆¶ 30𝐾𝑉𝐴 = = 250 𝐴 𝑉¶ ¹B 120𝑉
𝑍GEH 0.9 + 𝑗0.2 = = 1.875 + 𝑗0.41666 𝑝. 𝑢. 𝑍¶ ¹B 0.48
Una vez se han obtenido todos los datos del circuito expresado en por unidad se procede a realizar el cálculo de la corriente que se da a partir del siguiente diagrama:
La ecuación para la corriente entonces nos de la siguiente expresa de la siguiente manera:
𝐼P %.&. =
𝑉F %.&. 0.91667 < 0 = 𝑗𝑋P# + 𝑗𝑋m_` + 𝑗𝑋P2 + 𝑍GEH 𝑗0.1 + 𝑗0.2604 + 𝑗0.1378 + 1.875 + 𝑗0.4167 𝐼P %.&. = 0.4394 < 26.009 𝑝. 𝑢
Esto nos da la corriente en este sistema por lo tanto para hallar la corriente en cada uno de los sectores se tendrán las bases anteriores multiplicadas por este factor:
𝐼¹# = 𝐼¶ ¹# ∗ 𝐼P %.&. = 125 ∗ 0.4394 < 26.009 = 54.925 < 26.009 𝐼¹2 = 𝐼¶ ¹2 ∗ 𝐼P %.&. = 62.5 ∗ 0.4394 < 26.009 = 27.4625 < 26.009 𝐼¹B = 𝐼¶ ¹B ∗ 𝐼P %.&. = 250 ∗ 0.4394 < 26.009 = 109.85 < 26.009
20. Los valores nominales trifásicos e un transformador de tres devanados son: Primario conectado en estrella, 66kV, 15MVA Secundario: conectado en estrella 13.2kVA, 10 MVA Terciario: conectado en triangulo, 2.3 kV, 5 MVA Despreciando la resistencia, las impedancias de perdida valen: Zps= 7%, sobre base de 15 MVA, 66kV Zpt= 9%, sobre base de 15 MVA, 66kV Zst=8%, sobre base de 10 MVA, 13.2kV Determinar las impedancias por unidad del circuito equivalente, conectado en estrella, para una base de 15MVA y 66kV en el circuito primario. Bases nuevas S=15MVA , V=66kV Bases primario S=15MVA
V=66kV Bases Secundario 𝑆 = 15𝑀𝑉𝐴 𝑉 = 66𝑘𝑉
13.2𝑘𝑉 = 13.2𝑘𝑉 66𝑘𝑉
Bases Terciario S = 15MVA V = 66kV
2.3kV = 2.3𝑘𝑉 66kV
15𝑀𝑉𝐴 15𝑀𝑉𝐴
66𝑘𝑉 66𝑘𝑉
2
𝑍𝑝𝑠 = 0.07
15𝑀𝑉𝐴 15𝑀𝑉𝐴
66𝑘𝑉 66𝑘𝑉
2
𝑍𝑝𝑡 = 0.09
𝑍𝑠𝑡 = 0.08
15𝑀𝑉𝐴 10𝑀𝑉𝐴
= 0.07𝑝𝑢
13.2𝑘𝑉 13.2𝑘𝑉
= 0.09𝑝𝑢 2
= 0.07𝑝𝑢
En por unidad, respecto a la base especificada, 1 𝑍𝑝 = 𝑗0.07 + 𝑗0.09 − 𝑗0.12 = 𝑗0.02 𝑝𝑢 2 𝑍𝑠 =
1 𝑗0.09 + 𝑗0.12 − 𝑗0.09 = 𝑗0.05𝑝𝑢 2
𝑍𝑡 =
1 𝑗0.09 + 𝑗0.12 − 𝑗0.07 = 𝑗0.07 2
1. En la figura se muestra se ha representados el diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia operando en vacío, sin carga. Las reactancias de las dos secciones de línea de transmisión son mostradas en el diagrama. Las características de los generadores y transformadores son las siguientes: Descripción
Voltaje (kV)
Potencia (MVA)
Reactancia (%)
G1
6.9
20
15
G2
6.9
10
15
G3
13.8
30
15
T1 3Φ
6.9/115
25
10
T2 3*1Φ
7.5/75
10
10
T3 3Φ
6.9/115
12
10
Dibujar el diagrama de impedancias, en el sistema por unidad y con las letras para indicar los puntos correspondientes al diagrama unificar. Tomar como bases 30 MVA y 6.9 kV en el circuito del generador 1.
𝑉O DO“y = 6.9𝑘𝑉 𝑉D DO“y = 6.9 ∗
115 = 115𝑘𝑉 6.9
𝑉w DO“y = 115Kv 𝑉x DO“y = 115 ∗
7.5 = 6.63𝑘𝑉 129.9
𝑉y DO“y = 115Kv 𝑉z DO“y = 115(
6.9 ) = 6.9𝑘𝑉 115
Calculo de impedancias:
𝑋¡# = 0.15 𝑋›# = 0.1(
30 = 0.225–.”. 20
115 2 30 ) = 0.12–.”. 115 25
𝑍 DO“y =
1152 = 440.83Ω 30
𝑋•› ºX» =
100 = 0.22–.”. 440.83
𝑋•› »X¼ =
80 = 0.18–.”. 440.83
𝑋›2 = 0.1(
7.5 2 30 ) = 0.1279–.”. 6.63 30
𝑋¡2 = 0.15(
7.5 2 30 ) = 0.169–.”. 6.68 30
𝑋›B = 0.1(
6.9 2 30 ) = 0.25–.”. 6.9 12
𝑋¡B = 0.15(
13.8 2 30 ) = 0.6–.”. 6.9 30
2. Dibujar el diagrama de impedancias para el sistema de potencia mostrado en el siguiente diagrama unifilar. Expresar todas las impedancias en por unidad. Despreciar la resistencia y utilizar como base 50 MVA y 138 kV en la línea de 40 Ohmios. Las características de los generadores, de los motores y transformadores son: Todos los transformadores están conectados en forma que elevan voltaje desde los generadores al voltaje del sistema de transmisión.
Descripción
Voltaje (kV)
Potencia (MVA)
Reactancia (%)
G1
13.2
20
15
G2
13.2
20
15
Motor Sincrónico 3
6.9
30
20
T1 , T2 , T3 y T4 3Φ
13.8/138
20
10
T5 y T6 3Φ
6.9/138
10
10
𝑉# ½ 2 DO“y = 138𝑘𝑉 𝑉O DO“y 𝑦 𝑉D DO“y = 138 ∗ 𝑉B,},Y ½ ~ DO“y = 13.8 ∗ 𝑍 DO“y =
13.8 = 13.8𝑘𝑉 138
138 = 276𝑘𝑉 6.9
1382 = 380.88Ω 50
𝑉w DO“y = 138 ∗
6.9 = 6.9𝑘𝑉 138
Calculo de impedancias:
𝑍 K #X2 =
40Ω = 0.105–.”. 380.88Ω
𝑋›#,›2,›B ¿ ›Y = 0.1( 𝑋¡# ¿ ¡2 = 0.15( 𝑍 K BXY =
13.8 2 50 ) = 0.25–.”. 13.8 20
13.2 2 50 ) = 0.3431–.”. 13.8 20
20Ω = 0.052–.”. 380.88Ω
𝑋›} ¿ ›~ = 0.1( 𝑋¤ = 0.2(
138 2 50 ) = 0.125–.”. 276 10
6.9 2 50 ) = 0.3–.”. 6.9 30
3. Un generador trifásico de 100MVA y 13.2Kv, el cual tiene una reactancia en secuencia positiva de 1.2 por unidad sobre la base del propio generador, esta conectado a un transformador elevador de 110MVA, 13.2 en delta/115 en estrella Kv, con una impedancia en serie de (0.005+j0.1) por unidad sobre su propia base. a) calcule la reactancia por unidad del generador sobre la base del transformador. b) La carga en las terminales del transformador es de 80MW con un factor de potencia igual a 1 y a 115kV. Eligiendo el lado de alta tensión como el fasor de referencia, encuentre la tensión del lado de baja del transformador y la tensión
interna en el generador detrás de su reactancia. Calcule también la potencia de salida del generador y el factor de potencia. a. 110 𝑋¡ ž.À. = 1.2 = 1.32–.”. 100 b. 𝐼KOxÁ OKPO =
80 (115 3)(1.0)
𝐼 DO“y KOxÁ OKPO = 𝐼KOxÁ OKPO –.”. =
110 115 3
= 0.4016 < 0°
= 0.5522𝑘𝑉
0.4010 = 0.7261–.”. 0.5522
𝑉KOxÁ DOªO = 1.0 + 0.005 + 𝑗0.10 0.7261 = 1.0062 < 4.13 𝑉KOxÁ DOªO = 1.0062 ∗ 1.32 = 13.2𝑘𝑉 𝑉 " = 1.0 + 0.005 + 𝑗1.42 0.7261 = 1.4402 < 51.74° 𝑉 " = 1.4402 ∓ 1.32 = 19.01𝑘𝑉 𝑃Ã + 𝑗𝑄Ã = 1.0062 < 4.145° 0.7261 = 0.7318 < 4.145–.”. 𝑃Ã + 𝑗𝑄Ã = 0.7318 < 4.145–.”. ∗ 110 = 80.5 < 4.145=•O 𝑃Ã + 𝑗𝑄Ã = 80.29𝑀𝑊 + 𝑗5.818𝑀𝑉𝐴𝑅
𝑓𝑝 = cos 4.415 = 0.997 𝑒𝑛 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 4. Las capacidades nominales de un transformador trifásico de tres devanados son: § § §
Primario: Y,66 kV 20 MVA Secundario: Y,13.2kV,15 MVA Terciario: ∆, 2.3kV, 5 MVA
Despreciando las resistencias en los devanados y la corriente excitadora, las reactancias de dispersión por unidad son: 𝑍%F : 0.08 sobre una base de 20 MVA, 66 kV 𝑍%i : 0.10 sobre una base de 20 MVA, 66 kV 𝑍Fi : 0.09 sobre una base de 15 MVA, 13.2 kV Determine las reactancias por unidad Zp, Zs, Zt del circuito equivalente sobre una base de 20 MVA, 66kV en las terminales primarias
a.
A los lados secundarios y terciarios del trafo se conectan cargas puramente resistivas de 12 MW, a 13.2 kV y de 5mW a 2.3 kV respectivamente, dibuje el diagrama de impedancias por unidad mostrando estas impedancias sobre una base de 20 MVA, 66 kV, a las terminales primarias
Solución: a.
𝑍%F y 𝑍%i no hay que cambiarles de base 𝑍Fi = 0.09
20 15
13.2 13.2
2
= 0.12𝑝. 𝑢 𝑍% = 0.08 + 0.1 − 0.12 = 0.03𝑝. 𝑢 𝑍F = 0.12 + 0.08 − 0.1 = 0.05𝑝. 𝑢 𝑍i = 0.1 + 0.12 − 0.08 = 0.07𝑝. 𝑢
b.
𝑃B∅ =
3𝑉 2 𝑅
𝑅2 =
13.22 = 14.52Ω 12
𝑅B =
2.32 = 1.058Ω 5
𝑍DEF8 2 =
13.22 = 8.712Ω 20
𝑍DEF8 B = 𝑅2 =
2.32 = 0.26Ω 20
14.52 = 1.66 𝑝. 𝑢 8.71
𝑅B =
1.058 = 4𝑝. 𝑢 0.2645
5. Un bus infinito. El cual es una fuente constante de tensión, está conectado al primario del transformador de tres devanados del problema 3.38. Se conecta un motor síncrono de 7.5MVA, 13.2Kv, con una reactancia subtransitoria de 0.2 por unidad, a secundario del transformador. Se conecta una carga resistiva trifásica de
5MW, 2.3kV al terciario. Eligiendo una base de 66kV y 15MVA en el primario, dibuje el diagrama de impedancias del sistema, mostrando las impedancias por unidad. Desprecie la corriente excitadora del transformador, los desfasamientos y todas las resistencias, excepto la carga resistiva. 15 𝑅K L”y•O –.”, = 1.0 ∗ = 3.0–.”. 5 𝑅= L”y•O –.”, = 0.2 ∗
15 = 0.4–.”. 7.5
6. Un transformador monofásico de distribución de 100kV, 2400/240V, 60 Hz, tiene una reactancia equivalente de dispersión de 2Ω y una reactancia magnetizadora de 600Ω, referidos al lado de alta tensión. Si se aplica la tensión nominal al devanado de alta tensión, calcule la tensión de circuito abierto en el secundario.
𝑆 DO“y = 50𝑘𝑉𝐴 𝑉DO“y # = 2400𝑉 𝑉DO“y 2 = 24𝑉 𝑍 DO“y # =
24002 = 115.2Ω 50000
𝑍 DO“y 2 =
2402 = 1.152Ω 50000
𝑋 # ½ 2 =
0.01 = 8.680x10XB –.”. 1.152
𝑋 = = 𝑉2 –.”. = 1.0
600 = 52.083–.”. 115.2
𝑗52.083 𝑗 52.083 + 8.68𝑥10XB
= 0.9998 < 0° –.”.
𝑉2 = 𝑉2 –.”. ∗ 𝑉DO“y 2 = 0.9998 (240) = 239.95𝑉
7. Un generador trifásico de 15 MVA y 8.5 kV, tiene una reactancia subtransitoria del 20%. Está conectado por medio de un transformador de conexión delta-estrella a una línea de transmisión en serie cuya reactancia total es de 70 Ohmios. En el extremo receptor de la línea de transmisión correspondiente a carga, hay conectado un banco trifásico de transformador reductor en conexión estrella-estrella. Ambos transformadores están conformados por transformadores monofásicos conectados en forma de banco trifásico. Cada uno de los tres transformadores de cada banco posee valores nominales de 6666 kVA, 10/100 kV, con una reactancia de dispersión de 10%. La carga representa da como impedancia toma 10000 kVA a 12.5 kV con 80% de factor de potencia en retardo. Dibujar el diagrama de impedancias de secuencia positiva, poniendo todas las impedancias en por unidad. Tomar como base 10 MVA, 12.5 kV en el circuito de carga. Determinar el voltaje en por unidad en terminales del generador.
𝑉DEF8 `&8’j = 12.5𝑘𝑉 𝑆DEF8 `&8’j = 10 𝑀𝑉𝐴 Voltajes nuevos en la zona 1 y zona 2 referidos a las bases nuevas 𝑉DEF8 2 = 12.5
𝑉DEF8 # = 125
100 3 10 3 10
100 3
= 125𝑘𝑉
= 7.21𝑘𝑉
Refiriendo las impedancias a las nuevas bases 𝑋" = 0.2
10 15
8.5 7.21
2
= 0.18𝑝. 𝑢
𝑋P# = 0.1
10 3𝑋6.6
𝑍¶EF8 m_`8E = 𝑍 m_`8E =
𝑋P2
𝑍GEHIE =
10 7.21
2
= 0.096𝑝. 𝑢
1252 = 1562.5Ω 10
70 = 0.0448𝑝. 𝑢 1562.5
10 = 0.1 3𝑋6.6
10 3 12.5
2
= 0.096𝑝. 𝑢
12.5𝑘𝑉 2 = 15.62 < 36° = 12.50 + 𝐽9.37Ω 10𝑀𝑉𝐴 < − cos X# (0.8) 𝑍¶EF8 B = 𝑍GEHIE =
12.52 = 15.62Ω 10
#2.}{©ª¨.B«Ω #}.~2Ω
= 0.8 + J0.6 p. u
Para el cálculo del voltaje en terminales del generador, se supone conocido el voltaje en terminales de la carga 𝑉GEHIE = 12.5𝑘𝑉, el cual es llevado al valor por unidad. 12.5 𝑉GEHIE 𝑝. 𝑢 = 𝑉Yo = 1 𝑝. 𝑢 12.5
𝐸" = 𝐽0.1849 + 𝐽0.096 + 𝐽0.0448 + 𝐽0.096 𝐼 + 𝑉Y 𝐼 [𝑝. 𝑢] =
𝑆GEHIE 1 < −36.86 𝑝. 𝑢 = = 1 < −36.86 𝑝. 𝑢 𝑉GEHIE 1
Finalmente sustituyendo en la ecuación de malla, se tiene: 𝐸" = 𝐽0.1849 + 𝐽0.096 + 𝐽0.0448 + 𝐽0.096 ∗ (1 < −36.86 𝑝. 𝑢) + 1 < 0 𝐸" = 1.297 < 15.068°𝑝. 𝑢
8. En la figura se muestra el diagrama unifilar de un sistema trifásico de potencia. Seleccionado una base común de 100 MVA y 22 kV en el lado del generador, dibuje un diagrama de impedancias en el que se muestren todas las impedancias, incluyendo la de la carga por unidad. Los datos se dan como siguen:
§ § § § § §
Generador 90 MVA 22kV X=0.18 p.u Trafo 1 50 MVA 22/220kV X=0.10 p.u Trafo 2 40 MVA 220/11kV X=0.06 p.u Trafo 3 40 MVA 22/110kV X=0.064 p.u Trafo 4 40 MVA 110/11kV X=0.08 p.u Motor 66.5 MVA 10.45/11kV X=0.185 p.u
Las líneas 1 y 2 tienen reactancias serie de 48.4 y 65.3Ω, respectivamente. En el bus 4, la carga trifásica absorbe 57 MVA a 10.45kV y 0.6 de F.p (-)
Solución: Bases nuevas 100 MVA y 22 kV 𝑉# : 22 kV
𝑉2 = 22 ∗
220 = 220𝑘𝑉 22
𝑉B = 220𝑣 11 𝑉Y = 220 ∗ = 11𝑘𝑉 220
110 = 110𝑘𝑉 22 𝑉~ = 110𝑣 11 𝑉Y = 110 ∗ = 11𝑘𝑉 110
𝑉} = 22 ∗
Refiriendo las impedancias a las nuevas bases
𝑋" = 0.18 𝑋P# = 0.1
100 90 100 50
22 22 22 22
2
= 0.2𝑝. 𝑢 2
= 0.15𝑝. 𝑢
2
𝑋P2 = 0.06
100 40
11 11
100 40
22 22
2
𝑋PB = 0.064
100 40
11 11
2
𝑋PY = 0.08 𝑋=jijH = 0.185
100 66.5
10.45 11
𝑍¶EF8 m_`8E # = 𝑍 m_`8E # =
= 0.16𝑝. 𝑢
= 0.2𝑝. 𝑢 2
= 0.25𝑝. 𝑢
2202 = 484Ω 100
48.4 = 0.1𝑝. 𝑢 484
𝑍¶EF8 m_`8E 2 = 𝑍 m_`8E 2 =
= 0.15𝑝. 𝑢
1102 = 121Ω 100
65.43 = 0.54𝑝. 𝑢 121
Con un factor de potencia de 0.6 en atraso
𝑠KB∅ = 57 < −53.13° 𝑀𝑉𝐴 𝑍K =
10.452 57 < −53.13°
𝑍K = 1.14 + 𝐽1.532 𝑍¶EF8 GEHIE = 𝑍 m_`8E 2 =
112 = 1.21Ω 100
1.14 + 𝐽1.532 = 0.95 + 𝐽1.26𝑝. 𝑢 1.21
9. Las capacidades nominales de un transformador trifásico de tres devanados son § § §
Primario: Y,66 kV , 15 MVA Secundario: Y,13.2kV,10 MVA Terciario: ∆, 2.3kV, 5 MVA
Despreciando las resistencias en los devanados y la corriente excitadora, las reactancias de dispersión por unidad son: 𝑍%F : 0.07 sobre una base de 15 MVA, 66 kV 𝑍%i : 0.09 sobre una base de 15 MVA, 66 kV 𝑍Fi : 0.08 sobre una base de 10 MVA, 13.2 Kv Determine las reactancias por unidad del circuito equivalente por fase, usando una base de 15 MVA, 66kV para el primario 𝑍%F y 𝑍%i no hay que cambiarles de base 𝑍Fi = 0.08
15 10
13.2 13.2
2
= 0.12𝑝. 𝑢 𝑍% = 0.07 + 0.09 − 0.12 = 0.02𝑝. 𝑢 𝑍F = 0.07 + 0.12 − 0.09 = 0.05𝑝. 𝑢 𝑍i = 0.09 + 0.12 − 0.07 = 0.07𝑝. 𝑢
10. En la figura se muestra un diagrama unifilar de un sistema en el que la capacidad nominal del generador trifásico es de 300 MVA, 20 kV con una reactancia subtransitoria de 0.2 p.u y con su neutro conectado a tierra a través de un reactor de 0.4 ohm. La línea de transmisión tiene 64km de largo con una reactancia en serie de o.5 ohm sobre km. la capacidad nominal del transformador trifásico T1 es de 350 MVA, 230/20 kV, con una reactancia de dispersión de 0.1 p.u. el transformador T2 está compuesto de tres transformadores monofásicos cada uno con capacidad nominal de 100 MVA, 127/13.2 kV, con una reactancia de dispersión de 0.1 p.u. dos motores M1 y M2, de 13.2kV, con una reactancia subtransitoria de 0.2 p.u para cada motor , representa la carga. M1 tiene una entrada nominal de 200 MVA, con su neutro conectado a tierra a través de un reactor limitador de corriente de 0.4 ohm, M2 tiene una entrada nominal de 100 MVA con su neutro no conectado atierra. Desprecie los desfasamientos asociados con los trafos elija la capacidad nominal del generador como base en el circuito del mismo y dibuje el diagrama de reactancias. Mostrando todas las reactancias por unidad.
Solución: Bases nuevas 300 MVA y 20 kV
𝑉I8` : 20 kV 230 𝑉m_`8E = 20 ∗ = 230𝑘𝑉 20 13.2 𝑉w = 230 ∗ = 13.8𝑘𝑉 219.97 Refiriendo las impedancias a las nuevas bases
𝑋P# = 0.1
300 350
20 20
2
= 0.0857𝑝. 𝑢
𝑋P2 = 0.1
300 300
13.2 13.8
𝑍¶EF8 m_`8E = 𝑍 m_`8E # =
2
= 0.0915𝑝. 𝑢
2302 = 176.3Ω 300
0.5𝑥64 = 0.1815𝑝. 𝑢 176.3
𝑋=jijH # = 0.2
300 200
13.2 13.8
𝑋=jijH 2 = 0.2
300 100
13.2 13.8
2
= 0.2745𝑝. 𝑢 2
= 0.495𝑝. 𝑢
11. Los motores M1 y M2 del ejercicio anterior tienen entradas de 120 y 60 MW, respectivamente a 13.2 kV, y los dos operan con un factor de potencia igual a 1.Determine la tensión en las terminales del generador y la regulación de tensión en la línea. Desprecie los desfasamientos de los transformadores. M1+ M2= 180 MW 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑃𝑈 = V== 𝐼=
#B.2 #B.|
180 𝑀𝑊 = 0.6 𝑝. 𝑢 300 𝑀𝑊
= 0.95 < 0° 𝑝. 𝑢
0.6 = 0.6273 < 0° 𝑝. 𝑢 0.9565
𝑉𝑚 = 0.956 + 0.6273 𝐽0.0915 = 0.958 < 3.43° 𝑝. 𝑢 𝑉𝑙 = 0.9565 + 0.6273 𝐽0.0915 + 𝐽0.1815 = 0.9717 < 10.154° 𝑝. 𝑢 𝑉𝑔 = 0.9565 + 0.6273 𝐽0.0915 + 𝐽0.1815 + 𝐽0.0857 = 0.9826 < 13.23° 𝑝. 𝑢 𝑉𝑟𝑒𝑔 =
0.9826 − 0.9582 𝑥100% = 2.55% 0.9582
12. Considere el diagrama unifilar del sistema de potencia que se muestra en la figura 1 las capacidades nominales del equipo son: Generador 1: Generador 2:
750MVA, 18kV, X’’=0.2 p.u 750MVA, 18kV, X’’=0.2 p.u
Motor síncrono 3: 1500MVA, 20kV, X’’=0.2 p.u Transformadores trifásicos ∆-Y T1, T2, T3, T4: 750MVA, 500kV en estrella / 20kV en delta, X=0.1 Transformador trifásico estrella-estrella la línea T5: 1500MVA, 500kV estrella / 20 kV en estrella, X=0.1 Despreciando la resistencia, el desfasamiento de los transformadores y la reactancia magnetizadora, dibuje el diagrama de reactancias equivalentes. Utilice una base de 100MVA y 500 kV para la línea de 40 ohmios. Determine las reactancias por unidad. Bases A S=100MVA V=500kV Bases B S=100MVA 20𝑘𝑉 𝑉 = 500𝑘𝑉 = 20𝑘𝑉 500𝑘𝑉 Bases C S=100MVA 500𝑘𝑉 𝑉 = 20𝑘𝑉 = 500𝑘𝑉 20𝑘𝑉 Bases D S=100MVA 20𝑘𝑉 𝑉 = 500𝑘𝑉 = 20𝑘𝑉 500𝑘𝑉 Bases E S=100MVA 20𝑘𝑉 𝑉 = 500𝑘𝑉 = 20𝑘𝑉 500𝑘𝑉 100𝑀𝑉𝐴 𝑋𝑇1 = 𝑋𝑇2 = 𝑋𝑇3 = 𝑋𝑇4 = 0.1 = 𝑗0.013 𝑝𝑢 750𝑀𝑉𝐴 100𝑀𝑉𝐴 𝑋𝑇5 = 0.1 = 𝑗0.0066 1500𝑀𝑉𝐴 100𝑀𝑉𝐴 18𝑘𝑉 2 𝑋𝑔1 = 0.2 = 𝑗0.0216𝑝𝑢 750𝑀𝑉𝐴 20𝑘𝑉 100𝑀𝑉𝐴 18𝑘𝑉 2 𝑋𝑔2 = 0.2 = 𝑗0.0216𝑝𝑢 750𝑀𝑉𝐴 20𝑘𝑉 500𝑘𝑉 2 𝑋𝐿1𝑏𝑎𝑠𝑒 = = 2500 100𝑀𝑉𝐴 𝑗40 𝑋𝐿1𝑝𝑢 = = 𝑗0.016𝑝𝑢 2500 500𝑘𝑉 2 𝑋𝐿2𝑏𝑎𝑠𝑒 = = 2500 100𝑀𝑉𝐴 𝑗25 𝑋𝐿2𝑝𝑢 = 𝑋𝐿3𝑝𝑢 = = 𝑗0.01𝑝𝑢 2500
13. En la figura se muestra el diagrama unifilar de un Sistema Eléctrico de Potencia, y las características de los generadores, transformadores y líneas. Dibuje el diagrama de impedancias para el sistema colocando los valores de los parámetros en valores por unidad (p.u), utilizando como base de referencia 30MVA y 6,9KV en el circuito del generador 1. Si el motor trabaja a su potencia nominal, con un FP de 0,8 a 6,6 KV, determine la corriente por el motor.
§ § § § § § §
Generador 1: 30 MVA; 6.9 kV; X= 0.5 p.u Generador 2: 20 MVA; 13.8 kV; X=0.4 p.u Motor síncrono : 20 MVA; 6.9 kV; x= 0.25 p.u Transformador 1: 25 MVA; Y/∆; 6.9/115 kV; X= 10% Transformador 2: 30 MVA; ∆/𝒀; 115-713.2 kV; X= 8% Transformador 3: 20 MVA; Y/∆; 6.9/115 kV; X= 10% Línea 1: Z=(25+J80)Ω ; línea 2: Z=(20+J60)Ω; Línea 3: Z=(10+J30)Ω
Bases en 1 S=30MVA V=6.9kV Bases en 4,5,6,7
Bases en 3
Bases en 2
𝑆 = 30MVA 115𝑘𝑉 𝑉 = 6.9𝑘𝑉 = 115𝑘𝑉 6.9𝑘𝑉 𝑆 = 30MVA 13.2𝑘𝑉 𝑉 = 115𝑘𝑉 = 13.2𝑘𝑉 115𝑘𝑉
𝑆 = 30MVA 13.2𝑘𝑉 𝑉 = 115𝑘𝑉 = 13.2𝑘𝑉 115𝑘𝑉
𝑋𝑔1 = 0.5 𝑋𝑔2 = 0.4 𝑋𝑀 = 0.25
30𝑀𝑉𝐴 30𝑀𝑉𝐴 30𝑀𝑉𝐴 20𝑀𝑉𝐴 30𝑀𝑉𝐴 20𝑀𝑉𝐴
2
13.8𝑘𝑉 13.2𝑘𝑉
2
6.9𝑘𝑉 13.2𝑘𝑉
= 0.5𝑝𝑢
= 0.65𝑝𝑢 2
= 0.1𝑝𝑢
𝑋𝐿1𝑏𝑎𝑠𝑒 =
115𝑘𝑉 2 = 440.8 30𝑀𝑉𝐴
𝑋𝐿2𝑏𝑎𝑠𝑒 =
115𝑘𝑉 2 = 440.8 30𝑀𝑉𝐴
6.9𝑘𝑉 6.9𝑘𝑉
115𝑘𝑉 2 = 440.8 30𝑀𝑉𝐴 25 + 𝑗80 𝑋𝐿1𝑝𝑢 = = 0.057 + 𝑗0.18 𝑝𝑢 440.8 𝑋𝐿3𝑏𝑎𝑠𝑒 =
𝑋𝐿2𝑝𝑢 =
20 + 𝑗60 = 0.045 + 𝑗0.14 𝑝𝑢 440.8
𝑋𝐿3𝑝𝑢 =
10 + 𝑗30 = 0.022 + 𝑗0.06 𝑝𝑢 440.8
𝐼=
20𝑀𝑉𝐴 3 ∗ 6.9𝑘𝑉
= 1673.48 < −36.86 𝐴
14. Considere el diagrama unilineal que se muestra en la Figura 4, con los siguientes datos, donde las Cantidades expresadas en % están en base propia: Generador: 130 MVA; 13,2 kV; X=16 % Transformador 1: 135 MVA; 13,8/132 kV; X=10% Transformador 2: 130 MVA; 132/11 kV; X=12% Línea: Z= (4+j12) Ω Carga: (88+j27) MVA. Tomando como bases los valores nominales del generador, determine el circuito equivalente en pu, identificando cada uno de los elementos en el diagrama.
Bases nuevas 130 MVA y 13.2 kV 𝑉# : 13.2 kV
Figura 4.
𝑉2 = 13.2 ∗
132 = 126.26𝑘𝑉 13.8
𝑉B = 126.26𝑣 11 𝑉Y = 126.26 ∗ = 10.52𝑘𝑉 132
Refiriendo las impedancias a las nuevas bases
130 13.2 2 = 0.096𝑝. 𝑢 135 13.2 2 130 11 = 0.12 = 0.1312𝑝. 𝑢 130 10.52
𝑋P# = 0.1 𝑋P2
𝑍¶EF8 m_`8E =
1322 = 134.03Ω 130
4 + j12 = 0.094 < 71.56𝑝. 𝑢 = 0.029 + 𝐽0.089 134.03 10.522 𝑍GEHIE = = 1.202 < −17.05Ω 88 + j27
𝑍 m_`8E =
15. Se aplica una fuente de tensión balanceada en estrella de E=277<0 a una carga balanceada en estrella en paralelo con un carga balanceada delta donde Z Y= 30 + j10, Z D= 45 - j25 la carga en estrella está sólidamente conectada a tierra usando los valores de Sb 1 fase=5 KVA Vln=277V calcule la corriente de la fuente en p.u. Tomaremos los valores base para realizar el cálculo de la impedancia 𝑉mm 2 (𝑉m` ∗ 3)2 (277 ∗ 3)2 𝑍¶ = = = = 15.3458 Ω 𝑆B¸ 𝑆#¸ ∗ 3 5K ∗ 3 𝑍Ì 30 + 𝑗10 𝑍Ì %.&. = = = 1.9549 + 𝑗0.6516 𝑝. 𝑢. 𝑍¶ 15.3458 La segunda carga se pasara a Y, luego se resolverá el circuito 𝑍x 45 − 𝑗25 𝑍x %.&. = 3 = = 0.9774 − 𝑗0.54303 𝑝. 𝑢. 𝑍¶ 15.3458 ∗ 3 Ya que ambas cargas se encuentran en y se puede trabajar como si fuese un equivalente monofásico en la fase A en donde ambas cargas son en y se reducen en una sola (la carga de Z d ya es un equivalente Y pero para distinguirlo se seguirá la notación) 𝑍Ì ∗ 𝑍x 1.9549 + 𝑗0.6516 ∗ 0.9774 − 𝑗0.54303 𝑍y %.&. = = 𝑍Ì + 𝑍x 1.9549 + 𝑗0.6516 + 0.9774 − 𝑗0.54303 = 0.7659 − 0.1732𝑝. 𝑢.
16. Se usa un transformador monofásico de distribución de 50KVA 2400/240 V como un transformador reductor en el extremo de carga hay un alimentador de 2400 V cuya reactancia en serie es de 1+j2 ohmios la carga equivalente en serie del transformador es de 1+j2.5 ohmios referidos a alta tensión el transformador está entregando la carga nominal con un f.p de 0.8 las bases son las capacidades nominales del transformador. A) Determine la tensión en el terminal del primario del transformador B) La tensión del alimentador C) Las potencias entregadas por el alimentador
𝑍¶ OP = 𝑋P %.&. =
𝑋P 1 + j2.5 = = 0.00868 + 𝑗0.0217𝑝. 𝑢 𝑍¶ OP 115.2
𝑋I %.&. =
𝑋I 1 + j2 = = 0.00868 + 𝑗0.01736 𝑝. 𝑢 𝑍¶ OP 115.2
𝐼¶ %.&. =
𝑉¶ OP 2 24002 = = 115.2 Ω 𝑆#∅ 50 𝐾
𝑆#∅ 50 𝐾𝑉𝐴 = = 20.8333 𝑝. 𝑢 𝑉¶ OP 2400 𝑉
𝑉P OP %.&. = 𝐼GEH ∗ 𝑋P + 𝑉G = 1 < −36.8698 ∗ 0.00868 + 𝑗0.0217 + 1 < 0 = 1.02 < 0.6825 𝑉P OP = 𝑉P OP %.&. ∗ 𝑉¶ OP = 1.02 < 0.6825 ∗ 2400 = 2448 < 0.6825 𝑉 𝑉Om %.&. = 𝐼GEH ∗ 𝑋I + 𝑉P OP %.&. = 1 < −36.8698 ∗ 0.00868 + 𝑗0.01736 + 1.02 < 0.6825 𝑉Om %.&. = 1.0375 < 1.1504 𝑉Om = 𝑉Om %.&. ∗ 𝑉¶ OP = 1.0375 < 1.1504 ∗ 2400 = 2490 < 1.1504 𝑉 La potencia entregada por el alimentador se calculara por las siguientes ecuaciones 𝑆 = 𝑉 ∗ 𝐼 ∗ = 1.0375 < 1.1504 ∗ (1 < −36.8698)∗ = 1.0375 < 38.02 𝑃 = 𝑆 ∗ cos 𝜃 = 1.0375 ∗ cos 38.02 = 0.817733 𝑄 = 𝑆 ∗ sin 𝜃 = 1.0375 ∗ sin 38.02 0 = 0.639 Que expresados en las base de potencia será
S = 1.0375 ∗ 50 KVA = 51.875 KVA P = 0.817733 ∗ 50 KVA = 40.8866 KW Q = 0.639 ∗ 50 KVA = 31.95 KVAR
17. Un generador trifásico de 15 MVA y 8.5 kV, tiene una reactancia subtransitoria del 20%. Está conectado por medio de un transformador de conexión delta-estrella a una línea de transmisión en serie cuya reactancia total es de 70 Ohmios. En el extremo receptor de la línea de transmisión correspondiente a carga, hay conectado un banco trifásico de transformador reductor en conexión estrella-estrella. Ambos transformadores están conformados por transformadores
monofásicos conectados en forma de banco trifásico. Cada uno de los tres transformadores de cada banco posee valores nominales de 6666 kVA, 10/100 kV, con una reactancia de dispersión de 10%. La carga representada como impedancia toma 10000 kVA a 12.5 kV con 80% de factor de potencia en retardo. Dibujar el diagrama de impedancias, poniendo todas las impedancias en por unidad. Tomar como base 10 MVA, 12.5 kV en el circuito de carga. Determinar el voltaje en por unidad en terminales del generador.
𝑉Y DO“y = 12.5𝑘𝑉 𝑉BX2 DO“y = 12.5
173.2 = 125.14𝑘𝑉 17.3
𝑉# DO“y = 125.14 𝑍ºÑŸÒ =
10 = 7.22𝑘𝑉 173.2
12.52 = 15.62Ω 10
Calculo de impedancias:
𝑋¡# = 0.20( 𝑋›# = 0.1(
8.5 2 10 ) = 0.184–.”. 7.22 15
173.2 2 10 ) = 0.096–.”. 125.14 19.8
𝑍 DO“y =
125.142 = 1566.001Ω 10
𝑍 K –.”. =
70 = 0.044–.”. 1566.001
𝑋›2 = 0.1( 𝑍»ÑÓ¡Ñ =
173.2 2 10 ) = 0.096–.”. 125.14 19.8
12.52 = 15.62 < 36.86°Ω 10 < − cos X# 0.8
𝑍»ÑÓ¡Ñ ž.À. =
15.62 < 36.86°Ω = 0.8 + j0.6–.”. 15.62Ω
18.
Un transformador monofásico de distribución de 100kV, 2400/240V, 60 Hz, tiene una reactancia equivalente de dispersión de 2Ω y una reactancia magnetizadora de 600Ω, referidos al lado de alta tensión. Si se aplica la tensión nominal al devanado de alta tensión, calcule la tensión de circuito abierto en el secundario. 𝑆 DO“y = 50𝑘𝑉𝐴 𝑉DO“y # = 2400𝑉 𝑉DO“y 2 = 24𝑉 24002 𝑍 DO“y # = = 115.2Ω 50000 2402 𝑍 DO“y 2 = = 1.152Ω 50000 0.01 𝑋 # ½ 2 = = 8.680x10XB –.”. 1.152 600 𝑋 = = = 52.083–.”. 115.2 𝑗52.083 𝑉2 –.”. = 1.0 = 0.9998 < 0° –.”. 𝑗 52.083 + 8.68𝑥10XB 𝑉2 = 𝑉2 –.”. ∗ 𝑉DO“y 2 = 0.9998 (240) = 239.95𝑉
19. En el sistema eléctrico de potencia siguiente, seleccionar como base 2 MVA y 11KV. Construir el diagrama de impedancias respectivo, expresado en valores por unidad:
Bases Nuevas S=2MVA V=11kV Bases 2 S=2MVA
33𝑘𝑉 = 33𝑘𝑉 11𝑘𝑉
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 2 = 11𝑘𝑉 Bases 3 S=2MVA
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 3 = 33𝑘𝑉 Bases 4 S=2MVA 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 4 = 33𝑘𝑉
11𝑘𝑉 = 11𝑘𝑉 33𝑘𝑉
𝑉𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 11𝑘𝑉
5𝑘𝑉 = 5𝑘𝑉 11𝑘𝑉
Bases motor
𝑋¡# = 0.15
10𝑘𝑉 11𝑘𝑉
𝑋¡2 = 0.05
10𝑘𝑉 11𝑘𝑉
𝑋¡B = 0.1
10𝑘𝑉 11𝑘𝑉
𝑋ÔÕÖÕ× = 0.05
2
2
5𝑘𝑉 5𝑘𝑉
2𝑀𝑉𝐴 = 0.24–.”. 1𝑀𝑉𝐴 2𝑀𝑉𝐴 = 0.041–.”. 2𝑀𝑉𝐴
2
2
2
2𝑀𝑉𝐴 = 0.1–.”. 2𝑀𝑉𝐴 2𝑀𝑉𝐴 = 0.1–.”. 0.5𝑀𝑉𝐴
𝑋›# = 0.15
11𝑘𝑉 11𝑘𝑉
2𝑀𝑉𝐴 = 0.15–.”. 2𝑀𝑉𝐴
33𝑘𝑉 33𝑘𝑉
2
𝑋›2 = 0.15
2𝑀𝑉𝐴 = 0.1–.”. 3𝑀𝑉𝐴
11𝑘𝑉 11𝑘𝑉
2
𝑋›B = 0.15
2𝑀𝑉𝐴 = 0.1–.”. 2𝑀𝑉𝐴
𝑍 DO“y = 𝑍 K –.”. =
10 + 𝐽20Ω = 0.183 + J0.0367–.”. 544.5Ω
𝑍»ÑÓ¡Ñ ž.À. =
15.62 < 36.86°Ω = 0.8 + j0.6–.”. 15.62Ω
𝑋𝑇5 = 0.1
100𝑀𝑉𝐴 = 𝑗0.0066 1500𝑀𝑉𝐴
100𝑀𝑉𝐴 750𝑀𝑉𝐴
18𝑘𝑉 20𝑘𝑉
2
𝑋𝑔1 = 0.2
100𝑀𝑉𝐴 750𝑀𝑉𝐴
18𝑘𝑉 20𝑘𝑉
2
𝑋𝑔2 = 0.2
332 = 544.5Ω 2
𝑋𝐿1𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑋𝐿1𝑝𝑢 = 𝑋𝐿2𝑏𝑎𝑠𝑒 =
= 𝑗0.0216𝑝𝑢
= 𝑗0.0216𝑝𝑢
500𝑘𝑉 2 = 2500 100𝑀𝑉𝐴 𝑗40 = 𝑗0.016𝑝𝑢 2500 500𝑘𝑉 2 = 2500 100𝑀𝑉𝐴
𝑗25 = 𝑗0.01𝑝𝑢 2500
𝑋𝐿2𝑝𝑢 = 𝑋𝐿3𝑝𝑢 =
