Ejercicios propuestos Fase 2 – Jhon_Barbosa.docx

EJERCICIOS FACE 2 DE INTEGRALES INDEFINIDAS E INMEDIATAS

JHON ALEXANDER BARBOSA CARDENAS CÓDIGO: 4084085

Tutor: EDWIN ENRIQUE BUCHELY

UNIVERCIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA INGENIERIA DE SISTEMAS CALCULO INTEGRAL 2018-03-09

EJERCICIOSPROPUESTOS FASE 2

Primera parte (punto 1 al 4) Encuentre la antiderivada más general de l as siguientes funciones (compruebe su respuesta mediante la derivación)

 () =

1 1  +  4 √ 

Solución:  f  ( x) 

1  x

 f  ( x)   x



1



4

 x

4



x

1 4



1 4

Hallando la Antiderivada general  F ( x) 

 1   4    x   x 4 dx      



 F ( x)   x

4



dx   x

 14

dx

 1 1

 x 41

 x 4  F ( x)    C   4 1  1 1 4 3

 x 3

 x 4   C   F ( x)   3 3 4  F ( x )

 

 F ( x )

 

1

 x



3

3 1 3 x

3





4

 x

3

4

3

44

 x

3

3

 C 

 C 

Probando la función mediante la derivación

 F ' ( x)  F ( x )



 f  ( x)

 

1 3

 x



3



4 3

 x

3

4

 C 

1 4  3   F ' ( x )   (3) x 31    x 3 / 41  0 3 3  4 

3

 F ' ( x)



 F ' ( x)



 F ' ( x)



 F ' ( x)



 x

12

4





3  x

4



1  x

x

4

 x



4

1/ 4



12 1/ 4



1



1  x



x

1 4

1 4

 x

Segunda parte (punto 5 al 8) El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫ () = () + , siendo C la constante de integración. Resuelva paso a paso las siguientes integrales y aplique las propiedades básicas de la integración.

7.



 x

3

 5 x  2 x  8 dx  x  6 x  8 2

2

Solución: Realizando la división de los polinomios para obtener una expresión más simple



 x 3  5 x 2  2 x  8 dx  ( x  1)dx 2  x  6 x  8



 x 3  5 x 2  2 x  8 dx   xdx  1dx 2  x  6 x  8



 x 3  5 x 2  2 x  8  x11 dx    x  C  2 11  x  6 x  8









 x



 x

3

 x  5 x  2 x  8 dx    x  C  2  x  6 x  8 2

2

2

3

 5 x  2 x  8 dx   x  6 x  8 2

1

2

 x

  x  C 

2

2

Tercera parte (punto 9 al 12)

Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión. El valor promedio de una función f(x) integrable en [a, b] y sabiendo que la suma de Riemman tiene límite, se expresa de la siguiente manera:

 f   x    Lim n

1

n

1

b

 f   x  x   f   x dx   ba ba i

i 1

a

11.Utilice el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar la

derivada de la función: g ( x ) 

 x 2 1

t   1

2 x

t   1



dt 

Solución: El primer teorema del cálculo está definido de la siguiente manera:  f  ( x )  d    h(t )dt   h[ f  ( x)] *  f  ' ( x) dx  a 



 g ( x) 

 x 2 1

t   1

2 x

t   1



dt 

Derivando a ambos lados de la ecuación:

d   g ( x)   dx dx  d 

d   g ( x)   dx dx  d 

 x 2 1



t   1

2 x

 t   1 

0

t   1

2 x

t   1



d   g ( x)   dx dx  d 

dt  

2 x

t   1

0

t   1

2 x

t   1



d   g ( x)    dx dx  d 

dt 



0

 x 2 1



0

dt  

t   1

 t   1 

 x 2 1



0

dt 

t   1

 t   1  dt 

 d    x 1 t   1  dt   dt  t   1  dx  0 t   1  2

 Aplicando el primer teorema del cálculo: dG dx



dG dx

 

dG dx

dG dx

 



2 x  1 d  2 x  1 dx

2 x  1 2 x  1 2 x  1 2 x  1

2 x 

2 

2 

4 x  2 2 x  1

 x

2



 x  x

2

2

 x

2

2

2

 2x2  4

 1  1 d  x  1  1 1 dx 2

2

2



 x

 x

2 x

2



2 x  2

0

