EJERCICIOS 22-34 En este problema no se tendrá en cuenta la fricción en los álabes. El inector de una turbina !eltón suministra un c"orro de #$m%s con un caudal de &'$$ l%min( ) &*$+( el c"orro es des,iado por las cuc"aras &#$+( u*$.'
del rodete es 3$ ,eces maor ue el diámetro del c"orro. Calcular a/ 0iám 0iámetr etro o del del rode rodete te.. b/ Rpm c/ !otenci !otencia a desarrol desarrollad lada a por la turbina turbina 1!a/. 1!a/. 2 d/ Ener Enera a del c"orro c"orro no no apro,ec apro,ec"ad "ada a 1 C 2 /2g/
Resol,iendo a/
El primer dato que arroja el problema es la velocidad del chorro C1=70m/s (velocidad del chorro) A cotiuaci! cotiuaci! debemos debemos llevar llevar 1"00 lts/mi a
1
=1000 lts# 1mi=$0seg Q= Q =0,025 QUOTE
Aplicado la siguiete ecuaci! del caudal Q =V (
π 4
dch
2
)
lts ∗m3 min ∗1 min 1000 lts 60 seg
. El diámetro
%ode& '= caudal dch= dimetro del chorro *= velocidad %espejado el dimetro del chorro obteemos& dch =
+abi +abie edo do que que *=
√
4∗V
π ∗V
, sust sustit itu, u,e edo do e la ecua ecuaci ci! ! ate ateri rior or&&
dch =
+ustit titu,e u,edo ahor hora '=0# =0#02" 02"
√
4∗V 1 π ∗C 1
,
=70 =70m/s m/s e la ecuaci! ci! del dime imettro del chorro orro
dch =
√
se obtiee4 ∗0,025
π ∗70
dch =, 02133 m
El euciado euciado os dice que dimetro dimetro del rodete es .0 .0 veces ma,or al dimetro del del chorro etoces& d =30 ( , 02133) d =.64 m
d= .0dch d= .0 (0#021..) d*$.4m
%ode& '= caudal dch= dimetro del chorro *= velocidad %espejado el dimetro del chorro obteemos& dch =
+abi +abie edo do que que *=
√
4∗V
π ∗V
, sust sustit itu, u,e edo do e la ecua ecuaci ci! ! ate ateri rior or&&
dch =
+ustit titu,e u,edo ahor hora '=0# =0#02" 02"
√
4∗V 1 π ∗C 1
,
=70 =70m/s m/s e la ecuaci! ci! del dime imettro del chorro orro
dch =
√
se obtiee4 ∗0,025
π ∗70
dch =, 02133 m
El euciado euciado os dice que dimetro dimetro del rodete es .0 .0 veces ma,or al dimetro del del chorro etoces& d =30 ( , 02133) d =.64 m
d= .0dch d= .0 (0#021..) d*$.4m
Resol,iendo b/
rocedemos rocedemos a calcular las rpm (revolucioes (revolucioes por miuto) de la turbia mediate la siguiete siguiete ecuaci!# π ∗d∗ N u= 60
(Ecuaci! 1) %ode& u= velocidad peririca o velocidad absoluta del labe d= dimetro del rodete = rpm %espejado (rpm) se obtiee que#
N =
u∗60 π ∗d
ara poder cotiuar debemos calcular u (velocidad peririca)# el euciado os dice que& u=.5 √ 2 gh
(Ecuaci! 2) +e tiee que# por teor3a que la velocidad absoluta del luido a la etrada es apro4imadamete
C 1= √ 2 gh
%ode& C 1 =velocidad absoluta del luido (a la etrada) g=uer5a de gravedad 6=altura eta %espejamos 6 , sustituimos el valor de
C 1
=70m/s e la ecuaci! resultate#
2
C 1 H = 2g
2
H =
70
2 ( 9.81 )
H =249.83 m
+ustitu,edo este valor e la ecuaci! 2 teemos que# u=.5 √ 2 (9.81 )( 249.83 ) u=35 m / s
El valor de u=."m/s , el d=0$m debe ser sustituidos e la ecuaci! 1# N =
35 ( 60 )
π ( .64 )
N =1044,89 rpm
Resol,iendo c/
Ahora procedemos a calcular la potecia desarrollada por la turbia mediate la ecuaci!& Pa=Q∗γ ∗ H ∗ nt
%ode& a= otecia 8til# potecia restituida# potecia al reo# potecia del eje '= Caudal
γ
= eso espec3ico del agua
t= 9edimieto total ! redimieto global 9ecordemos que teemos los siguietes datos'=002"
γ
=:;10
6=2:;.m El problema o arroja ig8 dato reerete al redimieto de la turbia# por lo que se asume u redimieto total del 100<# es decir# t=1 a=(002")(:;10)(2:;.)(1) !a*&&2' 56 * &&2' $$$ 6 Resol,iendo d/
ara calcular la eerg3a del chorro o aprovechada (
velocidad absoluta del luido (
debemos coseguir la
+iedo el gulo de desviaci! del chorro 170# , observado la siguiete igura es cil ver que
=10
+i o se toma e cueta la ricci! e los labes& >1 = >2
%el trigulo de etrada deducimos c1 = >1 ? u1 >1= c1 @ u1 >1= (70@ .") m/s >1 = >2 = ." m/s u2
c2u
>2u
or relaci! de trigulos c2m
Triangulo de salida
c2
>2
c1 Triangulo de entrada
>1
= +e
=+e10 ." =$#0777m/s=
u1
=.#$; m/s
E las turbias elto =
?
=
@
=0#".2m/s
ialmete&
=$#100:m/s
+ustituimos e la ecuaci! de la eerg3a del chorro o aprovechada&
22-3' 7na turbina !elton ira a 3#' R!8 su altura neta es de $m( desarrolla una potencia en el e9e de &$$56( u*$.4'
( c &*$.:#
. El rendimiento total
de la turbina es ;$<. =a ,elocidad a la entrada de la turbina es &(' m%s. Calcular a/ 0iámetro del rodete. b/ Caudal. 1en litros%se/ c/ 0iámetro del c"orro. d/ =ectura en bar del manómetro situado a la entrada del inector.
%atos =.7"9B 6=$0m a=100D t=;0< u=0#"
=0#:7
=
=..#2;1m/s
eemos la altura eta (6) podemos calcular rpidamete u , u=0#"
=1"#m/s
=0#:7
=..#2;1m/s
%espejamos el dimetro de la ecuaci! u=
d=
%ode& u= velocidad peririca o velocidad absoluta del labe d= dimetro del rodete = rpm
eemos los siguietes datos=.7"9B u=1"#m/s d=
d*$(#;m
Ahora calculamos el caudal despejado de la ecuaci!&
%ode& a= potecia 8til# potecia restituida# potecia al reo# potecia del eje '= caudal = peso espec3ico del agua t= redimieto total ! redimieto global
'=
odos los datos ,a so coocidos# solo sustituimos& a=100 D=100000 D 6= $0m t=;0< =:;10 / '
'=0212
/s
Flevamos de
/seg a lts/seg como lo pide el euciado& '=0#212
> * 2&2(4 lts%s
Aplicado la siguiete ecuaci! del caudal '=*
%ode& '= caudal dch= dimetro del chorro *= velocidad %espejamos el dimetro del chorro obteemos& dch=
+abiedo que *=
, sustitu,edo e la ecuaci! aterior& dch=
+ustitu,edo ahora '=0#212
,
=..#2;1 m/s e la ecuaci! del dimetro del
chorro se obtieedch=
dch=00:0m Aplicado Geroulli desde la salida del i,ector hasta las cucharas podemos calcular lectura del ma!metro situado a la etrada del i,ector
ara este plateamieto la presi! de salida es la presi! atmosrica ,a que las turbias elto o tiee carcasa# por ser la presi! atmosrica uestro puto de reerecia la presi! de salida ser cero#
Fa velocidad de salida tambi ser cero ,a que el alisis se hace e el puto de choque etre el chorro de agua , loas cucharas de la turbia (e este puto ha, u cambio de direcci! del chorro)
El chorro sale del i,ector a ua cota igual a la que impacta cotra las cucharas de la turbia# etoces He@Hs=0 6=
os queda la siguiete ecuaci!# despejado e teemos que# e=
%ode& e=presi! de etrada *e= velocidad de etrada 6= altura eta = desidad del agua g= uer5a de gravedad Ahora sustituimos 6=$0m , *e=c 1=..#2;1m/s# e=
e=";77" a # covertimos de a a bar e=";77" a = ";7bar
22-3 7n peue?o motor "idráulico ue funciona con aua absorbe un caudal de &'$$ lts%min. @ntes del motor en la tubera de admisión la presión relati,a es de bar despuAs del motor en la tubera de descara( en un punto ue se encuentra 'm por
deba9o del punto de coneBión del manómetro de entrada( la presión relati,a es de 3bar. Se despreciarán las pArdidas. Calcular. Calcular la potencia desarrollada por el motor.
A cotiuaci! debemos llevar 1"00 lts/mi a 1
=1000 lts# 1mi=$0seg
'=1"00
'=0#02" 1=$bar 2=$bar lateamos la ecuaci! de Geroulli desde el puto ubicado a "m por debajo del puto de coe4i! del ma!metro (este puto represeta ahora uestro puto de etrada) uestros datos serrelat=e=.bar=.00000a He="m Fa seguda e4presi! de la altura eta os idica que& = =0
=0
Etoces la ecuaci! de Geroulli que plateada de la siguiete maera&
+ustitu,edo He= "m , e=.00000a os queda&
%espejamos la altura eta (6)&
6=
6=."#";1m +olo os queda ecotrar la potecia desarrollada por el motor ()& =' 6
%ode& =otecia te!rica (potecia absorbida o potecia eta=potecia hidrulica puesta disposici! de la turbia) '= caudal = peso espec3ico del agua 6= altura eta +ustitu,edo 6=."";1m '=002" m . /seg
=:;10 /m .
=(."#";1)(0#02")(:;10) !*;(#256* ;#26
a
22-3# 7na turbina "idráulica fue ensaada en un laboratorio ba9o un salto neto de 2$m. !ara una cierta apertura del distribuidor se midió una caudal de '$lts%s 1$($'
a 2#' rpm con un rendimiento de #'<
Calcular. a/ =a potencia al freno 1!a/. b/ =a potencia suministrada a la turbina 1!/. 0atos 6=20m '=0#0"
=27"9B t=7"< 9pidamete aplicamos la ecuaci! de potecia al reo (a) debido a que coocemos todos sus elemetos& a='IJI6It '=00" # 6=20m# t=7"<# =:;10 /m . a=(0#0")(:;10)( 20)(0#7") a=7#."7D 9ecordemos que#
=
%ode& = otecia eta a= otecia 8til potecia restituida# potecia al reo# potecia e el eje t= redimieto total o global +ustituimos a= 7#."7D , t=7"< =
= :;10D
22-3; 7na turbina rancis tiene las siuientes caractersticas(
cm( )2*:$+( D*&$$ rpm(
*&' m%s(
* & m%s(
Calcular. a/ El caudal de la turbina. b/ El par "idráulico comunicado al rodete. %atos=20cm=2#m
=.00cm=.m =1"m/s =1$m/s
*
*24$cm(
* 3$$ mm.
*3$$
=
=.00cm=0#.m
Guscamos el caudal por la ecuaci!& '=Kd1b1c1m Fa 8ica ic!gita es c 1m# debemos trabajar co los trigulos de velocidad# comecemos por buscar u 1# u1=
u1=
u1=1"#70;m/s u2=
u2=12"$$m/s =>2u eemos >2 =1$m/s or itgoras ecotramos c 2m&
c2m=
c2m=
c2m=c2 =>2m=:#:0m/s Como '1='2 etoces# Kd1b1c1m= Kd2b2c2m %espejamos c 1m# c1m=
%ode& = Compoete meridioal de la velocidad absoluta del luido (a la etrada)
= dimetro a la salida del rodete = acho del rodete = acho del rodete = dimetro a la etrada del rodete = Compoete meridioal de la velocidad absoluta del luido (a la salida)
c1m=
c1m=7#:2.m/s Co este valor de c 1m= 7:2.m/s ,a podemos calcular el caudal pero ates termiaremos de calcular los elemetos restates de los trigulos de velocidad >1=
>1u=
>1u =127.7m/s E el trigulo de etrada se observa que u 1=c1u?>1u# despejamos c 1u& c1u=u1@>1u c1u =1"70;@127.7 c1u =2:71m/s c1=
c1=
c1=;$2m/s rocedemos a calcular el caudal# '=Kd1b1c1m '=caudal = dimetro a la etrada del rodete
= acho del rodete = Compoete meridioal de la velocidad absoluta del luido = rea 8til a la etrada del rodete (ejemplo- los labes ocupa u ;< del rea 8til a la etrada del rodete# de ser as3# L es igual a 100<@;<# es decir# L= :2<) '= K(.) (0#.) (7#:2.) '=22#0.m ./s Ahora vamos a calcular el par hidrulico comuicado al rodete a travs de la ecuaci! = ' 6
%ode& =otecia te!rica (potecia absorbida o potecia eta=potecia hidrulica puesta disposici! de la turbia) '= caudal = peso espec3ico del agua
a
6= altura eta o teemos el valor de la altura eta(6) pero podemos calcularlo por la siguiete ecuaci!# Mh=
Fa ic!gita ecesaria para calcular 6 es 6u# que podemos coseguirla aprovechado que ,a calculamos todos los compoetes de los trigulos de velocidad 6u=
%ode& 6u= Altura te!rica = *elocidad peririca ! velocidad absoluta del labe (a la etrada)
= Compoete peririca de la velocidad absoluta del luido (a la etrada) = *elocidad peririca ! velocidad absoluta del labe (a la etrada) = Compoete peririca de la velocidad absoluta del luido (a la etrada) g= uer5a de gravedad 6u=
6u=
6u=#77m Asumimos u Mh=100<# es decir# Mh= 1# debido a esto la altura eta es igual a la altura te!rica =N 6=6u
Ahora si podemos proceder a calcular el par hidrulico comuicado al rodete# = ' 6 = (22#0.) (:;10) (#7) =1#0$D = 10$D
22-3: Se pre,A una central "idroelActrica apro,ec"ando un salto de ;$m con un caudal medio de '
% s.
Calcular. a/ =a potencia neta en esta central 1!/.
%atos'="
/ s
6=;0m Coseguimos la potecia eta a travs de la ecuaci!# ='J6 %ode& =otecia te!rica (potecia absorbida o potecia eta=potecia hidrulica puesta disposici! de la turbia) '= caudal = peso espec3ico del agua 6= altura eta =(") (:;10) (;0) !*3:2456
a
22-4$ 7na turbina rancis tiene las siuientes caractersticas(
*$$mm( )&*:$( c2u*$( *3$m( u &*
*&2$$mm(
( cm iual a la entrada a la salida
1c&m*c2m/. Calcular Rpm F2
%atosd1=1200mm=1#2m d2=$00mm=0#$m O1=:0 c2u=0 (esto implica que c 2=c2m=>2m esto observa e el trigulo de velocidad de salida) El primer paso ser calcular u 1# u1=0#7
u1=1$#:;m/s Bediate la siguiete ecuaci! podemos despejar # u=
%ode& u= velocidad peririca o velocidad absoluta del labe d= dimetro del rodete = rpm %espejamos # =
+ustituimos u 1=1:#:;m/s , d 1=1#2m =
=2702rpm Bediate la siguiete relaci! de diametros podemos hacer ua relaci! de velocidades periricas (u)
9ecordemos que- d 1=1#2m , d2=0#$m d1=2d2 u1=2u2 despejamos u 2& u2= = ;#:m/s
Pbservamos el trigulo de velocidad de etrada# teemos O 1# teemos el cateto ad,acete (u1) , buscamos el cateto opuesto (c 1m) aO1=
a:0=
c1m=1$#:;a:0 c1m=#""m/s 9ecordemos que c 1m=c2m=#""m/s %el trigulo de velocidad deducimos que& aQ2=
%espejamos Q 2 Q2= ta@1
Q2= ta@1
Q2=2;#1;
c2m=#""m/s , u 2=;#:m/s
22-4& 7na turbina absorbe un caudal de 'm 3 %s. =a lectura del manómetro a la entrada de la turbina(8e*&$ m.c.a la del manómetro a la salida de la turbina(8s* -4m.c.a. El rendimiento de la turbina( ue se supondrá limitada por las secciones E S( es #'<( Ge - Gs* 2m. 0iámetro de la tubera de entrada &m( diámetro del tubo de aspiración en la seción donde está conectado el manómetro 8s*&'$cm. Calcular. a/ Calcular la potencia desarrollada por la turbina 1!a/
%atos'="m./s Be=10 mca(10 metros de columa de agua) Bs=@mca (@metros de columa de agua) t=7"< He@Hs=2m d1=1m d2=1"0cm=1#"m Calcularemos la potecia desarrollada por la turbia mediate la ecuaci!#
%ode& a= potecia 8til# potecia restituida# potecia al reo# potecia del eje '= caudal = peso espec3ico del agua t= redimieto total ! redimieto global
Fa 8ica ic!gita es la altura eta (6) Fo primero que haremos ser coseguir las velocidades de etrada , salida aprovechado que teemos los dimetros , el caudal (recordemos que el caudal a la etrada , a la salida siempre es el mismo) '=*IA %ode& '= caudal *= velocidad A= rea %espejamos la velocidad& *=
+ustituimos el valor del rea A=
%ode& A= rea d=dimetro del rodete
*=
Co
=1m
*1=
*1=
*1=$#.$$2 m/s %e esta maera obeteemos la primera velocidad# de la misma maera calculamos la seguda#
*2=
*2=
Co
=1#" m
*2= 2#;2: m/s Ra teiedo las velocidades de etrada , salida podemos trabajar co la ecuaci! de Geroulli para coseguir la altura eta(6)& +ustituimos las velocidades calculadas&
asamos el trmio Hs al otro lado de la igualdad
He@Hs= 2m
+olo os queda sustituir las presioes , despejar 6# !tese que las presioes est e uidades mca (metros de columa de agua)# esto quiere decir que el valor de Be=10mca sustituir al trmio (e/Sg) al igual que Bs=@mca a (s/Sg)
6=17#$$ m rocedemos a calcular la potecia desarrollada por la turbia a='J6t %ode& a= potecia 8til# potecia restituida# potecia al reo# potecia del eje
'= caudal = peso espec3ico del agua t= redimieto total ! redimieto global t=7"< '="m./s 6=17$$m a=(")(:;10)(17#$$)(0#7") !a*4:(#56 * 4:# 6
22-42 7na turbina de reacción tiene las siuientes caractersticas d &* $(#'( d 2*$(3( D*4$$rpm( )&*&'+( c&* &4m%s( c2m* 'm%s( c 2u*$( relación anc"o%diámetro*$(&'H rendimiento "idráulico*$(;H la entrada en la turbina se encuentra 4m por encima del ni,el superior del aua en el canal de salida( la ,elocidad del aua en la tubera de entrada es de 2m%s( se pierden por roamiento mecánico 3(# 56. Suponase *&( Cs*$( n,*&. Calcular. &. =os triánulos de ,elocidad a la entrada a la salida. 2. =a altura Ktil 1u/ 3. El salto neto 1/
4. El caudal. '. !otencia Ktil suministrada por la turbina 1!a/. . =a presión relati,a a la entrada de la turbina en bar.
%ebemos calcular los compoetes de los trigulos de velocidad come5ado por u 1& u1=
d1=0#7" =00rpm u1=
u1=1"71m/s Coocemos O 1=1" , c 1=1m/s %el trigulo de velocidad deducimos que# CosO1=
c1u=
Cos1"
c1u=1."2m/s +eO1=
c1m=
+eO1
c1m=1+e1" c1m=.$.m/s u1=>1u?c1u >1u= u1@ c1u >1u=1"#71@1.#"2 >1u =21:m/s >1=
>1=2.m/s
CosQ1=
Q1=Cos@1
Q1=Cos@1
Q1=";;2 Ra teemos todos los elemetos del trigulo de etrada# calcularemos ahora los compoetes del trigulo de salida& u2=
u2=
u2=1.20m/s c2m="m/s >2=
>2=
>2=1#12m/s CosQ2=
Q2=Cos@1
Q2=207: c2u=0 6u=
%ode& 6u= Altura te!rica = *elocidad peririca ! velocidad absoluta del labe (a la etrada) = Compoete peririca de la velocidad absoluta del luido (a la etrada) = *elocidad peririca ! velocidad absoluta del labe (a la etrada) = Compoete peririca de la velocidad absoluta del luido (a la etrada) g= uer5a de gravedad
6u=
6u=
6u=21#$"m Guscamos 6 por la siguiete ecuaci! sabiedo que h=;0< Mh=
%ode& Mh= redimieto hidruljco 6=altura eta =altura te!rica
6=
6=270$m ara calcular el caudal usamos la ecuaci!& '=LIKI I I m '=caudal
= dimetro a la etrada del rodete = acho del rodete = Compoete meridioal de la velocidad absoluta del luido = rea 8til a la etrada del rodete (ejemplo- los labes ocupa u ;< del rea 8til a la etrada del rodete# de ser as3# L es igual a 100<@;<# es decir# L= :2<) El euciado os da ua relaci! acho/dimetro=01"
b1=d1 (0#1") b1= (0#7")(0#1") b1= 0#112"m Ra teemos todos los elemetos ecesarios para calcular el caudal solo alta sustituir e la ecuaci!& '=LIKI I I m 9ecordemos que el ejercicio o dice que L 1=1 '=(1)K(0#7")
'=0:$22
/s
Ahora calculamos la potecia 8til sumiistrada por la turbia (a) a='J6t %ode& a= potecia 8til# potecia restituida# potecia al reo# potecia del eje '= caudal = peso espec3ico del agua 6= altura eta t= redimieto total ! redimieto global a=(0#:$22)(:;10)(27#0$)t
t=hmv %ode& t=redimieto totoal o golbal h=redimieto 6idrulico m=redimieto mecico v=redimieto volumtrico h=0#; m=1 v=1 t=(0#;)(1)(1) t=0#; a=(0#:$22)(:;10)(27#0$)(0#;) a=200.1;D Cosiderado la perdida por ro5amieto mecico=.7D a=(20#01;7 T .#700)D a=200.1;D=200.1;D ara el calculo de la presi! relativa a la etrada de la turbia e bar(e) trabajaremos co la ecuaci! de Geroulli (basdoos e la seguda e4presi! de la altura eta) s=0 (porque la presi! de salida es la presi! atmosrica) Hs=0 (porque es uestra cota o ivel de reerecia) *s=0
%espejamos e& e=
e=
e=2221;#$a e=2221;#$a
e=22bar
2.43.- 7na turbina de reacción tiene las siuientes caractersticas( d &*;$mm( b&*&'$mm( d2*'$$mm( b2*2$$mm( *2$m( c &m*3m%s( )&*&2+( C27*$ Calcular. a/ !otencia en el e9e 1!a/. b/ Rpm. c/ @nulo de los álabes a la salida del rodete 1 /.
%atosd1=$;0mm=0#$;m b1=1"0mm=0#1"m d2="00mm=0#"m b2=200mm=0#2m 6=20m c1m=.m/s O1=12 rabajamos co u redimieto total (t) igual al 100< etoces a= or esta ra5! podemos calcular la potecia e el eje por la siguiete ecuaci! ='IJIgI6 ara ello ecesitamos el caudal '= '=caudal = dimetro a la etrada del rodete = acho del rodete = Compoete meridioal de la velocidad absoluta del luido = rea 8til a la etrada del rodete (ejemplo- los labes ocupa u ;< del rea 8til a la etrada del rodete# de ser as3# L es igual a 100<@;<# es decir# L= :2<) '=
=1 '= '=0#:$1. +ustituimos el valor de caudal , de la altura eta(20m) ='J6 =(0#:$1.)(:;10)(20) =1;;#$D=1;;$00D Guscamos (rpm) por la ecuaci!# =
Ates debemos calcular u1& aO1
c1u=c 1m taO1 c1u=(.) a12 c1u=111m/s C 2U=0 6u=
%ode& 6u= Altura te!rica = *elocidad peririca ! velocidad absoluta del labe (a la etrada) = Compoete peririca de la velocidad absoluta del luido (a la etrada) = *elocidad peririca ! velocidad absoluta del labe (a la etrada) = Compoete peririca de la velocidad absoluta del luido (a la etrada) g= uer5a de gravedad
