DE LA CALIDAD DE TUS INTEGRADORES SERÁN TUS RESULTADOS RESU LTADOS EN E L EXAMEN
Deben estar completos
Tú los debes hacer
Consulta tus notas Hazlos a tiempo
Limpieza
Reflexiona en lo que escribes
INSTRUCCIONES:
Es muy importante que resuelvas cada ejercicio con atención y observando cada detalle para que los resuelvas sin errores. Tú puedes hacer un buen trabajo. 1.
Halle las coordenadas coor denadas del punto: a)
El punto está siete unidades delante del plano yz, dos a la izquierda del plano xz y una por debajo del plano xy.
b)
El punto está en el plano yz, tres unidades a derecha del plano xz y dos por encima del plano xy.
c)
¿Cuál es la coordenada coor denada z de cualquier punto del plano xy?
d)
¿Cuál es la coordenada coor denada x en cualquier punto del plano yz?
2.
De los puntos P 6,0,4 ?
(-3,2,15), (0,-10,0), (-6,5,3) y (-4,2,7), ¿Cuál está más cerca de
3.
Demuestre que los puntos fórmula de la distancia. d istancia.
4.
Un segmento tiene como extremo el punto P(4,6,-3) y como punto medio el Q(2,1,6). Encuentre el otro extremo.
(-3,2,4), (6,1,2) y (-12,3,6) son colineales empleando la
63
5.
6.
7.
8.
9.
Halle la ecuación de la esfera que satisface las condiciones dadas: a)
Radio cinco centrada en el origen.
b)
Centro en (2,4,-4) y que pasa por el origen.
c)
El segmento de recta que une (0,4,2) y (6,0,2) es un diámetro.
d)
Centro en (0,2,-1) y radio tres
Halle el centro y el radio de la esfera cuya ecuación es: 2
9 y2 9 z2 6 x 18 y 1 0
a)
9x
b)
Halle el centro y el radio si 16 x2 16 y2 16 z2 16 x 8 y 32 z 16 0
c)
Halle el centro y el radio si
d)
Los puntos Grafique.
a)
Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (5,6,-3)
b)
Obtenga ecuaciones en forma simétrica de la recta que pasa por (7,9,2)
c)
Halle ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por (3,-2,4) y es paralela a 3,2, 1 Grafique.
d)
Calcule las ecuaciones paramétricas y simétricas para la recta que pasa por 0, 1, 2 y es paralela al vector a 6i 3j 2k .
2
4x
4 y2 4 z2 4 x 32 y 8 z 33 0
(-5,6,-2) y (9,-4,0)
son los extremos de uno de sus diámetros.
(2,-1,8) y
(4,10,-6) y
Trace las gráficas de las ecuaciones: (en el espacio) z 2
y4
a)
x 3
a)
Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 0, 1), (1, -1, 3) y (3, 0, -1)
b)
¿Cuáles de los puntos (1, -1, 3), (1, 0, 2) y (3, 0, -1) satisfacen la ecuación del inciso anterior?
c)
b)
y 1
c)
y
Halle la ecuación del plano que contiene al punto (1, 2, 3) con vector normal 4, 5, 6
64
10.
d)
Escriba una ecuación del plano que pasa por (1, 0, 2) y tiene como vector normal n 3i 2 j+k .
e)
Halle el plano que contiene los tres puntos (1, 2, 2), (2, -1, 4), (3, 5, -2).
Identifique y dibuje la superficie cuádrica: 4 x2 9 y2 36 z2
a) c)
11.
12.
4 x2
2
y
4
2
z
d)
36
2
b)
z 4 x
2
z 2
y
4 x2
2
y
4 x2 y2 z2
e)
4
Halle y dibuje el dominio de cada función. a)
f x, y
c)
f x, y ln 1 2 x
e)
f x, y 9 x2
g)
f x, y xy x2 y
i)
f x, y 2 x y 1
xy
b)
2
f x, y
4 y
d)
f x, y
4 y2
f)
f x, y
h)
f x, y
2
x
y
x2 x 2 y 2 xy 5
2 y x 2 2
x
4 y2 100
Encuentre el límite, si es que existe: i)
iii)
Lím
x , y 0, ln 2
Lím
x , y 1, 1
e
x y
xy y 2 x 2 x 1
ii)
iv)
Lím
x , y 1, 1
Lím
x , y 2, 4
x2 2 xy y2 x y y 4 x2 y xy 4 x2 4 x
65
v)
vii)
ix)
xi)
xiii) 13.
2 x y 2
Lím
2 x y 4
x , y 2, 0
8 x2 y 2
Lím
x3 y 3
Lím
Lím
cos xy , 1
x , y 0, 0
x)
x 2 y 2
x , y 1, 1
Lím
viii)
x 4 y 4
x , y 0, 0
x , y
vi)
xii)
y 2 1
Lím
x , y 2,
Lím
Lím
3
x4 y 2
x2 y 2
x, y 0, 0
x , y 0, 0
xy
2 x2 y
x, y 0, 0
Lím
x 2 xy cos sen
x 4 y 4
x 2 y x 4 y 2
xy x3 y 2
Demuestre si la función es o no continua:
a)
c)
f x, y
f x, y
2
xy x
2
y
2
xy x2 y2
x2 y 2
b)
f x, y
d)
f x, y
x y
2
x 2 y 4 xy x 2 y 2
INSTRUCCIONES:
Recuerde que el objetivo de los integradores es prepararse para hacer buen papel en el parcial. Eso implica que usted debe resolverlos con atención y la calma requerida, no de prisa un día antes de la fecha indicada para su entrega. Por los anterior , es necesario que resuelva a tiempo sus ejercicios para que tenga oportunidad de corregir lo que no haya salido bien.
1.
Calcule las derivadas parciales de las funciones dadas a)
f x, y x2 ysec xy
b)
f x, y e x sen x y
66
c)
2.
f s, t
s s
2
t 2
Demuestre que las funciones
U x, y
x x
y
z x y
d)
2
y
V x, y
,
2
x
y 2 x y 2
verifican
U x x, y Vy x, y y U y x, y Vx x, y
3.
Halle las pendientes de la superficie
f x, y 1 x1
2
y 2
2
en el punto (1,2,1),
en las direcciones x e y.
4.
Halle la diferencial total: a)
5.
uv st
z ln
we
yz
b)
cos xz
Resuelva los siguientes problemas. a)
Calcule el incremento aproximado del volumen de un cilindro circular recto si su altura aumenta de 10 a 10.5 cm. Y su radio aumenta de 5 a 5.3 cm. ¿Cuál es el nuevo volumen aproximado?
b)
Si la longitud, la altura y la anchura de una caja rectangular cerrada se incrementan en 2%, 5% y 8%, respectivamente, ¿Cuál es el porcentaje aproximado de incremento en el volumen?
c)
El radio y la altura de un cilindro circular recto miden 3 y 8 pulgadas, respectivamente, con un error posible en la medición de ±0.05 pulg. Usar diferenciales para estimar el error máximo que se comete al calcular el volumen del cilindro.
d)
Una lata cilíndrica de hojalata, sin tapa, tiene un diámetro de 3 pulg y una altura de 4 pulg. Use diferenciales para calcular aproximadamente la cantidad de material que hay en la lata si ésta tiene un grosor de 0.015 pulg.
e)
La temperatura T en el punto P( x, y, z ) en un sistema de coordenadas rectangulares está dada por
T
8 2x 4 y 9z 2
2
2
1
2
.
Use diferenciales para
calcular aproximadamente la diferencia de temperaturas entre los puntos (6, 3, 2) y (6.1, 3.3, 1.98) f)
Los lados (en cm) de un paralelepípedo rectangular cambian de 9, 6, y 4 a 9.02, 5.97 y 4.01, respectivamente. Use diferenciales para calcular aproximadamente el cambio del volumen. ¿Cuál es la variación exacta del volumen?
67
6.
7.
Obtenga la derivada indicada. a)
u
b)
z ln x y
c)
z 2 x
x
2
y2 z2
3 y
2
; x 1 t , y 1
; x s2 t , y st2 ;
z
x2 y2
10.
dz dt
z s
senxz
yecos 3
xyz
b) ze 2 xe 4 e yz
c)
9.
t ;
dt
Derive implícitamente a)
8.
du
; x tan t , y cos t , z sen t ; 0 t 12 ;
xz
xz 5
3
xy
Encuentre una ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado a)
z sen xcos y ; (0, , 0)
b)
c)
z e x sen y 1 ; (0, 2 , 0)
d)
z
x2 y2
h( x, y) ln
; (3, 4, 5) x2 y 2 ; (3, 4, ln 5)
Calcule el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada direccional en el punto que se especifica. a)
h( x, y) x tan y ; P(2, 4 )
c)
w
a)
1 1 x
2
2
y
2
; (0, 0, 0)
b)
g ( x, y) ln 3 x2 y2 ; P(1, 2)
d) f ( x, y, z)
x2 y2 z2 ;
z
Obtenga un vector que indique la dirección en la cual la función
f x, y tan x2 y2 disminuye más rápidamente en el punto
b)
P(1, 4, 2)
6
,
6
Encuentre la razón de cambio mínima.
68
11.
a)
Suponga que V ( x, y, z) volts es el potencial eléctrico en cualquier punto ( x, y, z) del espacio tridimensional y que 1 V (x , y , z ) x2 y2 z2 1) Calcule la tasa de variación de V en el punto (2, 2, -1) en la dirección del vector 2i 3j 6k 2) Determine la dirección de la máxima tasa de variación de V en (2, 2, -1)
b)
La temperatura en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano xy es T ( x, y) , donde T ( x, y) 3 x2 2 xy . La distancia se mide en metros. (1) Calcule la máxima tasa de variación de la temperatura en el punto (3, -6) de la placa. (2) Determine la dirección para la cual ocurre esta tasa de variación máxima en (3, -6)
c)
En cualquier punto del plano xy el potencial eléctrico es V ( x, y) , y
V ( x, y) e 2 cos 2 y . La distancia se mide en pies. (1) Calcule la tasa de variación x
del potencial en el punto
(0, 4 )
en la dirección del vector unitario
cos 16 i sen 16 j (2) determine la dirección de la máxima tasa de variación de V en (0, 4 )
d)
Suponga que sobre una cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dado por V ( x, y, z) 5 x2 3 xy xyz . 1) Determine la razón de cambio del potencial en P(3,4,5) en la dirección del vector v = i + j - k 2) ¿En que dirección cambia con mayor velocidad V en P? 3) ¿Cuál es la razón máxima de cambio en P?
12.
Evalúe la integral iterada indicada: ln3
a)
1
9
d)
1
x
0
6e x 2 y dy dx
1
x
0
x
2
y2
3
b)
e)
x 1
0
dy dx
2 x 1
2
0 cos y
1
y x
dydx
e x sen y dx dy
4
c)
0
2
f)
y
2
0
1
9 y dxdy
x
1 x
2
x ydydx
69
g)
4
6
cos x 0
y
e sen x dy dx
4
h)
y 2
1
e
j)
13.
a)
y
y
1
Evaluar la integral doble
x
y
y
x
1
e
x 3 y
2
dxdy
i)
1
0 0 x y
2
dx dy
dxdy
dA en la región limitada por las gráficas de
R
y 1, y 2, y x, y 5 x
d)
Calcule el área de la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones
2 x 3 y 0,
x y 5,
y 0
INSTRUCCIONES: Recuerde que los integradores tienen por objetivo hacer un repaso de todo lo visto en el cuatrimestre. Es muy importante que vaya resolviendo poco a poco sus ejercicios. No deje el trabajo para el día anterior al examen. Si quiere hacer buen papel en su examen empiece desde ahora.
1.
Halle la ecuación de la esfera en la que el segmento de recta que une es un diámetro.
2.
Halle el centro y el radio de la esfera cuya ecuación es: 2 2 2 16 x 16 y 16 z 16 x 8 y 32 z 16 0
3.
a)
Obtenga las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por (5,3,1) y (2,1,1)
b)
Halle ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por (1,8,-2) y es paralela a 7, 8,0 Grafique.
a)
Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 0, -1), (3, 1, 4) y (2, -2, 0)
4.
(0,2,4) y (4,0,1)
70
b)
5.
Halle y dibuje el dominio de cada función. a)
6.
Halle la ecuación del plano que contiene al punto (-1, 1, 0) con vector normal 1, 1, 1
f x, y
y2 y x
2 x2 xy x y
Lím
x , y 1, 1
2
c)
f x, y x
2
2
y
4 y
x y
Lím
y2
x , y 1, 1
2
d)
x 4 5 y 4
x , y 0,0
xy x y 1
Lím
b)
2
x
y2
2 x 2 y 2
2 x2 y
Lím
x, y 0, 0
x4 y 2
Calcule las derivadas parciales de las funciones dadas
a)
f x, y
4 x 3 y 2 1
b)
f x, y
xy
x
2
y
2
2
c)
w
cos(u 2 v) t 3
w u 2 s 2t 2 v 2
8.
Halle la diferencial total de
9.
Resuelva los siguientes problemas.
10.
c)
Encuentre el límite, si es que existe: a)
7.
f x, y ln y x 1
b)
2
a)
El radio y la altura de un cilindro circular recto miden 3 y 8 pulgadas, respectivamente, con un error posible en la medición de ±0.05 pulg. Usar diferenciales para estimar el error máximo que se comete al calcular el volumen del cilindro.
b)
Una lata cilíndrica de hojalata, sin tapa, tiene un diámetro de 3 pulg y una altura de 4 pulg. Use diferenciales para calcular aproximadamente la cantidad de material que hay en la lata si ésta tiene un grosor de 0.015 pulg.
Obtenga la derivada parcial indicada. a)
2 2 3 3 3 z u cos 4 v ; u x y , v x y ;
b)
z ln u
2
v2
; u t2 , v t 2 ;
z y
dz dt
71
11.
Resuelva los siguientes problemas:
I.
La temperatura en cada uno de los puntos de una placa cuadrada viene determinada por la función T x, y x 1 y 2 . 3
2
a) Cuál es la tasa de variación en el punto 0,0 en la dirección que forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las x’s. b) Determine las direcciones de máximo y mínimo crecimiento de la temperatura en el punto 0,0 c) Determine el valor máximo de crecimiento de la temperatura desde el punto 0,0
II.
Denotemos por z
2
2e x e 3 y
2
la altura de una montaña en la posición x, y .
¿En qué dirección, partiendo desde 1,0 deberíamos caminar para escalar la montaña lo más rápidamente posible?
12.
Encuentre el plano tangente a la superficie S : 2 x ln y z 2 y 2
a)
13.
P1,1,0
b)
en el punto P. xz
S: x
2
y
2
2
P1,1,1
2
Evalúe: a)
14.
1
S
1
2
0
0
( x y) dy dx
b)
1 y
1
0
0
2
( x y) dx dy
c)
1
x
0
0
2 1 x dy dx
Evalúe las siguientes integrales a)
x R
b)
y 2
y 2
dA siendo R el rectángulo determinado por y
x
; y 2 x ; x 2
dA siendo R el sector del círculo en el primer cuadrante limitado por R
x 2
y 2 25
; 3 x 4 y 0 ; y 0
72
ln 4
4
f ( x, y) dy dx
15.
Cambie el orden de integración de:
16.
Escriba en coordenadas polares las siguientes integrales 8 y 2
2 2
a)
c)
0
2
x
y
e (
x
2
y2 )
0
x
e
2
b)
y dx dy
2 x x2
2
0
0
x 2 y 2
dA siendo R la región determinada por
xy dy dx
x 0, y 0
4;
R
17.
Evalúe las integrales b) y c) del ejercicio anterior
18.
Halle el área de la siguiente región r = 6cos
6
19.
Calcule las siguientes integrales triples 1
20.
x
a)
0
0
xy
0
2
2
2
4
1
x
1
0
0
b)
x y z dxdydz
2
2 ze x dy dxdz
Encuentre el volumen de: a) La región sólida acotada por el plano x + 3y + 6z = 1 y los y x 2 tres planos coordenados. 2 2 b) La región sólida acotada por arriba por el paraboloide circular z 4 x y , por
abajo por el plano z 2 , y a los lados por la hoja parabólica
y x 2
y el plano
y x
21.
Escriba las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas y esfér icas. Primero grafique las superficies. a)
2
2
4 x2 2 4 x
4 2
x
x
2
y
e
2
y2
dz dy dx
b)
0
3
9 y2 9 y
2
2
2
x y
0
x2 y2 z2
3
dz dx dy
73
c)
22.
2
25.
2
y2 2
2
x
0
2
d)
y dz dy dx
3
3
9 x
2 2
9 x
9 2
x
2
y
x2 y2 dz dy dx
y2 1
e inferiormente
y2
e inferiormente
x 2 y 2
El volumen del sólido que corta el cono
y2
y el plano xy
Halle el volumen del sólido limitado superiormente por z 4 x 2 por z
24.
4 x
2
x
Halle el volumen del sólido limitado superiormente por z 4 x 2 por x 2
23.
4 x2
2
4
en la esfera
2.
x2 y2 dV , donde E es el sólido limitado por debajo por el plano xy, a los lados por
E
el cilindro x 2 y 2
4
y arriba por la esfera
74
