Ejercicios Ing. Agricola 2011-2

PRIMERA ENTREGA DE EJERCICIOS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS BÁSICAS (código de la asignatura) PARA EL PROGRAMA DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

Realizados por:

Cristhian Camilo Cardenas Delgado 273290 José Jorge Sierra Molina 153305

Revisados por:

Nombre profesor o estudiante

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Segundo semestre de 2011


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1. TEMA: Algebra- Elementos de Máquinas Objetivos: 



Aplicar los conceptos básicos del algebra para conocer valores de variables desconocidas Conocer la aplicación de las matemáticas básicas en algunos temas del análisis de Elementos de máquinas, tales como: uniones (soldadura), potencia y torque en una turbina y ejes de transmisión

Aplicación o contextualización contextualización para el programa programa curricular:

Las máquinas agrícolas se diseñan teniendo en cuenta muchos factores tales como la resistencia de los materiales, la durabilidad, y la funcionalidad entre otras. Es por esto que antes de estudiar las máquinas agrícolas es necesario conocer los elementos principales que las componen y su comportamiento con base en análisis matemáticos. Por ejemplo, un tema tratado en la asignatura Elementos de Máquinas es el de Uniones. Las uniones que se hacen entre diferentes elementos de máquinas pueden ser de diferente tipo, como uniones soldadas y uniones con pernos o tornillos. Para el diseño de las uniones existen ecuaciones que permiten calcular los tamaños y los materiales de las uniones con base en los esfuerzos a los cuales estarán sometidos. Otros temas relacionados con Elementos de Maquinas son el diseño y análisis de ejes, rodamientos, tornillos y transmisiones de potencia. El conocimiento de estos temas es la base para entrar a estudiar las máquinas agrícolas. a. Fuerza que soporta una unión soldada

Determinar cuál es la fuerza por pulgada de soldadura en torsión que soporta una soldadura si se conocen los siguientes s iguientes datos:

        

Explicación del problema

Las uniones soldadas están sometidas a diferentes tipos de cargas como fuerzas por torsión, fuerzas por flexión y fuerzas por cortante. Para determinar el ancho del cordón de la soldadura es necesario conocer dichas fuerzas. Una ecuación que permite conocer la fuerza resultante a la que está sometida una soldadura es la siguiente:

Donde:

 

     

es la fuerza resultante que soporta la soldadura es la fuerza por torsión que soporta la soldadura es la fuerza por flexión que soporta la soldadura

   

es la fuerza por cortante que soporta la soldadura

Solución

Para conocer la fuerza por torsión por pulgada de soldadura simplemente se despeja esta variable de la ecuación anterior:

                               

Finalmente se reemplazan valores

b. Torque en una turbina

Una turbina hidráulica tiene una potencia de 1200 hp y gira a una velocidad de 60 revoluciones por minuto (rpm). Determinar el torque (T) que desarrolla dicha turbina Explicación del problema

La relación entre la potencia y el torque en una turbina hidráulica está dada por:

  

La ecuación anterior se aplica para unidades inglesas T: torque en lb.pie N: velocidad en revoluciones por minuto (rpm) Solución

Se despeja el torque de la ecuación anterior y se reemplazan valores:

           

c. Diseño de ejes

Determinar cuál es el torque que soporta un eje que tiene las siguientes características: d= 1.237pulg n= 1.6 Sy= 84000 psi M=1000 lb*in Se=16000 psi Explicación del problema

Existen varias ecuaciones que se utilizan para diseñar ejes. Estas ecuaciones involucran varias variables que el ingeniero tiene que determinar. La siguiente ecuación se aplica en ejes que están sometidos a torque constante:

    {         }

   

Donde: d= Diámetro del eje (pulg) n= Factor de diseño (adimensional) Sy=limite elástico de fluencia superior para acero (psi) T= Torque que soporta el eje (lb*in) M=Momento torsor sobre el eje (lb*in) Se=Límite de fatiga de la pieza (psi) Solución

Primero se despeja algebraicamente el torque T que es la variable que se quiere encontrar:

    {         }

   

                                                                    Finalmente se reemplazan los términos para determinar el torque que soporta el eje:

               

2. TEMA: Relaciones y Funciones Objetivos:  



Entender el concepto de relación y función. Resolver problemas que impliquen modelación en términos de funciones de ciertos parámetros en problemas aplicados a la ingeniería agrícola. Determinar el dominio y el rango de funciones.

Aplicación o contextualización para el programa curricular:

Las relaciones y funciones son un tema fundamental y básico para toda la carrera de Ingeniería Agrícola. Las relaciones y funciones establecen correspondencias entre diversos tipos de fenómenos. Un Ingeniero Agrícola puede emplear una fórmula (o correspondencia) para pronosticar cuánta agua puede bombear una bomba con base en la presión que en esta se genere. a. Relación especificada por medio de una tabla y una gráfica

Mediante un experimento se encontraron los valores de caudal aportados por un gotero en función de la presión en el mismo. La siguiente tabla muestra los resultados: Presión (psi) Caudal (L/hr) 8 3.57 13 4.45 20 5.49 25 5.89 32 6.6 1. Realice el grafico de dicha tabla y establezca si se trata de una función o de una relación. 2. Calcule nuevamente los valores de caudal con base en la ecuación del gotero:

 

Donde Q= caudal (L/hr) K d,x son constantes que dependen de cada gotero. Asuma: K d=1.427 X=0.4433 h= presión del gotero (psis) Explicación del problema

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado dominio, con un segundo conjunto, llamado rango, de manera que a cada elemento del dominio le corresponden uno o más elementos del recorrido. Una función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del dominio le corresponde uno y solo un valor del recorrido. Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Solución

1. Gráfico:

Se trata de una función ya que a cada elemento del dominio le corresponde solo un elemento del rango.

2. Recalcular los caudales con base en la función:

 

Los valores obtenidos con la función se muestran en la siguiente tabla: Presión (psi) Caudal (L/hr) 8 3.58 13 4.45 20 5.38 25 5.94 32 6.63 b. Dominio y rango de la función de infiltración

La siguiente función:

  

Se conoce como la función de infiltración de Kostiakov, esta determina la cantidad de agua que se infiltra en el suelo en función del tiempo. c’ y α son parámetros positivos

i es la infiltración y se mide en cm 1. Determinar el dominio y rango de la función de infiltración 2. Si se mide la infiltración durante 4 horas y los valores de los parámetros son: c’=0.0587 y α=0.7119, grafique la función y

determine el dominio y rango de esta. Solución

1. Puesto que el tiempo es siempre positivo, no se está fijando límite para este y el exponente α de t es siempre positivo (los cual permite

incluir al cero en el dominio).

   

     

A medida que el tiempo crece,

crece puesto que α>0 y como c’>0 entonces i(t) siempre está aumentando .

2.

Dom i= [0,240] porque se considera t=0 el momento en el que se empieza a medir la infiltración y el periodo de medición es de 240 minutos (4 horas). Observando la grafica notamos que a medida que t aumenta i(t) también aumenta, entonces el rango viene dado por el intervalo determinado entre i(0) e i(240).

          

Por lo tanto el rango de la función es:

Bibliografía

[1] FORERO S.J.A. Parámetros Hidrodinámicos para riego. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá. 2000. [2]MOTT, ROBERT L. Diseño de Elementos de Máquinas. Editorial Prentice Hall Hispanoamérica. México. 1995.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA CALCULO DIFERENCIAL (código de la asignatura) PARA EL PROGRAMA DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

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3. TEMA: Gradiente de Temperatura Objetivos: 



Aplicar el concepto de derivada para conocer la variación de la temperatura en un cuerpo. A partir de la determinación del gradiente hidráulico determinar la ley de Fourier para la conducción de calor en cuerpos.


El concepto de gradiente hidráulico se aplica para determinar la conducción de calor en diferentes cuerpos, tales como placas planas, cilindros, y otras formas geométricas. Al relacionar estas formas geométricas con algunos productos agrícolas (frutas, granos y hortalizas), se puede determinar la transferencia de calor que ocurre en estos productos. La transferencia de calor es la base fundamental para entender el comportamiento de los productos agrícolas luego de la cosecha, es decir, es fundamental para el campo de la poscosecha de granos, frutas y hortalizas. a. Encontrar el gradiente de temperatura para la función dada:

Determine el valor del gradiente (o cambio) de temperatura en una placa rectangular para la posición x=5 cm La función de temperatura es:



La temperatura es máxima en el centro de la sección transversal de la placa La placa rectangular es de la siguiente forma:


Lo que nos pide el problema es determinar el valor del cambio de la temperatura para la posición x=5 cm de la placa. El cambio de temperatura se considera que solo ocurre a través de la sección transversal de la placa (es decir a lo largo de los 10 cm). Solución

Primero que todo se considera que la temperatura es máxima en el centro de la sección transversal de la placa, por lo tanto, un diagrama de la función de temperatura a través de la sección transversal de la placa es el siguiente:

Para determinar el gradiente primero que todo es necesario derivar la función de temperatura respecto a x:

       

Finalmente se evalua la derivada para el valor de 5 cm:

El valor negativo significa que la pendiente en ese punto es negativa, lo que quiere decir que la temperatura disminuye en ese punto. b. Gradiente de temperatura- Ley de Fourier

Encontrar la transferencia de calor por conducción en una placa rectangular si se conoce lo siguiente: i. Área de la sección transversal (A): 5 m2 ii. Conductividad térmica (k): 0.8 iii. Función de temperatura:



  

Determinarla para el punto x=3 m Explicación del problema

La ley de Fourier para la transferencia de calor por conducción establece lo siguiente:

Donde:

  

qk = Transferencia de calor por conducción (W) k= Conductividad térmica -depende del material ( A=Área de la sección transversal (m2) = Gradiente de temperatura





)

Solución

Primero se procede a determinar el gradiente de temperatura con base en la función y el punto en consideración:

               

Ahora se aplica la ley de Fourier para determinar la transferencia de calor por conducción a través de la placa:

           

El valor positivo significa que la transferencia de calor ocurre desde el centro del cuerpo hacia afuera, es decir, la parte central es más caliente que los extremos.

4. TEMA: Infiltración de agua en el suelo Objetivos: 



Determinar la velocidad de infiltración mediante la derivación de la función acumulada de infiltración. Aplicar algunos conceptos del cálculo diferencial para resolver problemas relacionados con el contenido de agua en el suelo.


Especifique aquí el campo de aplicación del tema tratado dentro del campo profesional correspondiente, puede citar ejemplos. En qué otras asignaturas utilizará este contenido La infiltración de agua en el suelo es uno de los parámetros hidrodinámicos de gran importancia para lograr un manejo adecuado del agua. Al conocer la tasa de entrada de agua en un suelo, se puede definir el tiempo de aplicación del agua para permitir que una cantidad determinada de agua sea almacenada en la zona de raíces de un cultivo. Para el Ingeniero Agrícola es de gran importancia, ya que con base en el comportamiento de la infiltración en un suelo determinado, se realizan los diseños de sistemas de riego. Cuando se aplica agua en un suelo relativamente seco, se registran potenciales matriciales próximos a cero en la superficie por el contacto con el agua y negativos decrecientes con la profundidad. La velocidad de entrada de agua al suelo es elevada en un principio debido al estrés de humedad, expresado este en términos de potencial matricial. Entre menor sea el potencial matricial, mayor es la velocidad de infiltración de agua en el suelo; a medida que el suelo se va humedeciendo va aumentando el potencial matricial y a disminuyendo también la velocidad de entrada de agua al suelo. Existen muchos modelos matemáticos de infiltración que intentan simular de manera muy aproximada el comportamiento de la infiltración en los suelos. Un modelo muy utilizado por su sencillez y efectividad es el de Kostiakiov.

El modelo de Kostiakiov es un modelo empírico y establece lo siguiente:

 

Donde i es la infiltración de agua acumulada en el suelo (cm) c’ y son parámetros adimensionales t es el tiempo (minutos)



a. Velocidad de infiltración de agua en el suelo

Se realizó un experimento para determinar la función de velocidad de infiltración de Kostiakiov. En campo se tomaron dos mediciones de infiltración; los datos son los siguientes: Ensayo 1 2

Tiempo (min) Lamina infiltrada i (cm) 45 1.55 200 2.98

Determinar la función de velocidad de infiltración (I) de Kostiakiov Explicación del problema

La función velocidad de infiltración I de Kostiakiov se determina derivando la función de infiltración acumulada con respecto al tiempo.

           

La velocidad de infiltración se expresa en cm/hr. La ecuación anterior está en cm/min, por lo que toca multiplicarla por 60.

Si

La función de velocidad de infiltración es finalmente:

Solución

                               

Para determinar los parámetros c’ y

aplicando logaritmo:



primero se linealiza la ecuación

Tomando la pendiente de la recta se puede determinar el parámetro :

Ahora se determina el parámetro c’:

La función infiltración acumulada de agua es:

Ahora se procede a derivar:

Donde I es la velocidad de infiltración en cm/hr y t es el tiempo en minutos. b. Velocidad básica de infiltración

Determine la velocidad básica de infiltración con base en la función obtenida en el ejercicio (a)


La velocidad básica de infiltración es aquella velocidad que se alcanza cuando el suelo está saturado y la velocidad comienza a permanecer casi constante. Según el servicio de conservación de suelos de los Estados Unidos, la velocidad básica se puede encontrar con base en la siguiente ecuación:

 

El signo negativo obedece al sentido descendente de la pendiente de la velocidad de infiltración. Solución

Se tiene que encontrar la función para hallar el tiempo básico en el cual ocurre la velocidad básica de infiltración. Se parte de la ecuación:

Entonces

Finalmente

                                             

Al reemplazar los términos se obtiene:

c. Límite de la velocidad de infiltración

Que pasa con la velocidad de infiltración cuando el tiempo tiende a infinito? Solución

    

Esto significa que cuando el tiempo de infiltración de agua en el suelo es muy prolongado la velocidad de infiltración se acerca a cero. A medida que un suelo posee más cantidad de agua la velocidad de infiltración disminuye.

Bibliografía

[1] FORERO S.J.A. Parámetros Hidrodinámicos para riego. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá. 2000. [2]HOLMAN, J.P. Transferencia de Calor. Compañía Editorial Continental S.A. México. [3]PARRA, A. y HERNANDEZ, J.E. (1992). Fisiología Poscosecha de Frutas y Hortalizas. Publicación Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ingeniería. Bogotá D.C.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA ALGEBRA LINEAL (código de la asignatura) PARA EL PROGRAMA DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

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Cristhian Cardenas Delgado 273290 José Jorge Sierra Molina 153305 Revisados por:



1. TEMA: Algebra Lineal Objetivos: 

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.


Cualquier ciencia oingeniería necesita en algún punto optimizar ganancias, recursos, etc. y este es el caso de la ingeniería Agrícola. Ejercicio 1

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. a. Optimizar ganancias

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? Solución

Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = n. problemas algebra lineal aplicaciones número de chaquetas

2. Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón 1 1,5 750 poliéster 2 1 1000 x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500 2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 b. Hallar el conjunto de soluciones factibles Solución

Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos

un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 2•0 + 3•0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se enc uentra en el semiplano

donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2•0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

c. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles Solución

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

d. Calcular el valor de la función objetivo Solución

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50•0 + 40•500 = 20000 € f(500, 0) = 50•500 + 40•0 = 25000 € f(375, 250) = 50•375 + 40•250 = 28750 €

Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

La solución no siempre es única, también podemos encontrarnos con una solución múltiple. .

SEGUNDA ENTREGA DE EJERCICIOS


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b. TEMA: Ingeniería de Riegos y Drenajes de tierras y cultivos En esta rama se diseñan y construyen sistemas de riego, drenaje, acueducto y alcantarillado para cultivos y zonas rurales, así como también selección de materiales (tuberías, aditivos, bombas, mangueras, materiales de construcción, etc), y el diseño e implementación de modelos matemáticos para la evaluación de diversos casos que suelen presentarse en cuencas, ríos, canales, reservorios y demás fuentes hídricas, basados a los principios de Hidráulica, Hidrología, Meteorología, Estadística y demás ciencias básicas. Problema: Se pretende instalar una tubería de fibrocemento de 2.800 m de longitud para alimentar desde un grupo de bombeo a un depósito de regulación de una población. El caudal a suministrar es 28,80 m 3/h(metros cúbicos por hora), y la diferencia de cotas entre el depósito y el grupo de bombeo es de 70 m. El perfil de la tubería esquematizado es el siguiente:

a. Determinar el diámetro de la tubería y las pérdidas de carga (Despreciar las pérdidas de carga en puntos singulares. Solución:

b. Calcular la sobrepresión producida por el golpe de ariete. Representarla gráficamente en el mismo perfil.

Solución:

c. Disponer las válvulas de retención necesarias para proteger la tubería frente al golpe de ariete. Solución: Vemos gráficamente la solución.

d. Timbrar la tubería, una vez dispuestas las correspondientes válvulas de retención. Solución: Al igual que el anterior inciso obtenemos:

Bibliografía

[1] Cálculo diferencial con aplicaciones Francisco mejía [2] CÁLCULO DIFERENCIAL, Manuel Pizano


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c. TEMA: Relación entre Momento en una Viga.

Carga,

Esfuerzo

Cortante

y

Objetivos: 





Conocer la relación entre carga, esfuerzo cortante y momento en una viga sometida a flexión. Aplicar el concepto de derivada para determinar el esfuerzo cortante a partir del momento flector aplicado. Realizar los diagramas de cortante y momento en una viga sometida a diferentes tipos de cargas.


Las construcciones rurales es uno de los campos principales de la Ingeniería Agrícola. Su estudio requiere de amplios conocimientos físicos y matemáticos. Las vigas son elementos que están presentes en casi todas las construcciones, y su estudio es de vital importancia para diseñar diferentes estructuras, tales como cerchas, muros de contención y bodegas de almacenamiento de productos agrícolas entre otros. Una viga es un elemento estructural que está diseñado para soportar cargas que están aplicadas en uno o varios puntos a lo largo del mismo.

Las vigas son barras prismáticas rectas y largas. El diseño de una viga para soportar de manera más efectiva las cargas aplicadas es un procedimiento que involucra dos partes: 1. Determinar las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos por las cargas. (estática) 2. Seleccionar la sección transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes y a los momentos flectores. (Mecánica de sólidos).

a. Ecuaciones y diagramas de momento, cortante y carga de

una viga.

Considere una viga apoyada AB que tiene una longitud L y que soporta una carga distribuida de manera uniforma q .

Si se sabe que la ecuación del momento flector (M) para esta viga es:

   

Donde L es la longitud e la viga (constante). q es la carga uniforma (constante). x es la distancia medida desde uno de los extremos de la viga hasta cualquier otro punto de la misma. - Determinar la ecuación del esfuerzo cortante (V) y de la carga (q). - Realizar los diagramas de q , V y M . Explicación del problema

La relación existente entre momento flector, esfuerzo cortante y carga de una viga sometida a cualquier tipo de carga está dada por:

   

Los diagramas se pueden realizar en un plano asumiendo el eje longitudinal de la viga como el eje x . El momento (M), cortante (V) y carga (q) se dibujan en el eje y .

Solución

- Determinar la ecuación del esfuerzo cortante (V) y de la carga (q). Lo primero que se hace es determinar la ecuación del esfuerzo cortante derivando la ecuación del momento flector.

                      

Ahora se deriva la ecuación del esfuerzo cortante para conocer la carga: De la ecuación original se tiene:

Al derivar V se obtiene:

     

(Se considera positiva una carga aplicada haca abajo)

- Realizar los diagramas de q , V y M . Diagrama de carga q : La magnitud de la carga para este caso siempre es constante, por lo que se trata de una carga uniforme:

Diagrama de esfuerzo cortante V :

  

Observando la ecuación anterior se puede decir que se trata de una ecuación de una recta. Para graficarla se puede evaluar el valor del cortante para x=0 y x=L.

Para x=L/2 se tiene:

           

Por lo tanto el diagrama de esfuerzo cortante es:

Diagrama de Momento

                     

La ecuación indica que se trata de una parábola. Al igual que con el cortante se evaua para x=0, x=L y x=L/2

b. Magnitud y posición de Momento máximo en la viga

Si la ecuación del momento flector en una viga es:

         

Determine cuál es la magnitud de momento flector máximo y en qué punto de la viga ocurre. Explicación del problema

Para determinar el valor del momento flector máximo se puede derivar la ecuación de momento e igualarla a 0. Luego se despeja el valor de x y ese valor de x se evalúa en la función original de M.

Solución

Primero se deriva M y luego se iguala a 0:

                         √  

Ahora se despeja el valor de x

Significa que en

 √ 

la función M tiene un valor máximo.

Ahora se evalúa x en la función M:

       √   √   √       √  √   √     √  √ 

Este es el valor máximo que toma el Momento

d. TEMA: Variación de la cantidad de agua almacenada en el suelo Objetivos:  

Determinar la tasa de perdida de agua en un suelo Aplicar el concepto de derivadas para encontrar razones de cambio


El almacenamiento de agua en el suelo es un tema muy importante para el ingeniero agrícola ya que con base a este parámetro el ingeniero puede llevar a cabo muchas operaciones, como por ejemplo diseñar el sistema de riego y drenaje en un suelo. Es por esto que la velocidad a la cual el suelo pierde agua es un parámetro muy importante en muchos estudios. La hidrología, el drenaje y el riego entre otras, son materias en las que se aplica ampliamente el almacenamiento de agua en el suelo a. Disminución en la cantidad de agua almacenada en un suelo

Qué tan rápido disminuye la cantidad de agua almacenada en un suelo, si este está perdiendo agua a través de los canales de drenaje a una rezón de 300 L/min? Considere la forma del suelo como un prisma de base rectangular.


Las consideraciones a tener en cuenta son: - El suelo se considera como un prisma de base rectangular, por lo tanto el volumen de agua que está almacenado en el suelo es (ver figura):

     

- Ya que el agua almacenada en el suelo esta saliendo por medio de los drenajes, el valor del cambio del volumen respecto al tiempo se considera negativo.

Lo que se quiere encontrar es la velocidad a la cual se pierde la lámina de agua a través del suelo, es decir:

Solución

     

Ya que a y b se consideran constantes y h es la lámina que varía con el tiempo, entonces la derivada de la ecuación anterior es:

ya que

         

entonces

Se está drenando agua en el suelo a una razón de

 

b. ¿Qué tan rápido se pierde agua en el suelo si el área del

terreno es grande o si el área del terreno es pequeña?

Determine la rapidez a la que se pierde el agua en el suelo si el área es de 100 m2 y de 10000 m2. Solución

1. Si A=100 m2

             

2. Si A=10000 m2

Con base en los anteriores resultados se puede observar que entre mayor sea el área del suelo la velocidad a la cual se pierde el agua es menor, y viceversa, si el área del suelo es pequeña la velocidad de perdida de agua es mayor.

e. TEMA: Optimización de costos para tubería de riego Objetivos:  

Determinar los costos más bajos de una tubería para riego. Aplicar derivadas para conocer el valor optimo (más bajo) de costos de tuberías.


La optimización se aplica en muchos problemas de ingeniería. En el siguiente ejercicio se desea determinar el costo más bajo de una serie de tuberías para riego. Este ejercicio se aplica en riegos, drenajes, y otras asignaturas en las que se necesite encontrar el valor óptimo de una variable a. El costo más bajo de tuberías

Se desea suministrar agua a dos predios desde un reservorio de agua que se encuentra a 120 m de distancia horizontal a uno de los predios. La conducción del agua desde el reservorio hasta los predios se va a hacer por medio de tuberías de 2 pulg. Y 1 pulg. con las siguientes condiciones: i. ii.

Eltramo 1 que comprende desde el reservorio al predio I (ver figura) debe hacerse con tubería de 2 pulg. ya que en este trayecto se transporta el total de agua para los predios. En el segundo tramo desde el predio I hasta el predio II se utilizará tubería de 1 pulg. ya que en el predio I se gasta una parte del agua total, por lo que en el tramo 2 se transporta una cantidad de agua menor.

iii.

Precios por metro de tubería: Tubería 1 pulg. 2 pulg.

Precio por metro de tubería 3000 5000

Determinar la combinación de tubería de 1 pulg. y 2 pulg. más económica, si la entrega del agua al predio 1 se puede hacer en cualquier punto a lo largo de su longitud (100 m). Explicación del problema

Para analizar el problema adoptamos las siguientes variables: x= longitud de la tubería de 2 pulg. y= longitud de la tubería de 1 pulg.

Se debe encontrar una ecuación del costo que involucre la longitud de las tuberías de 1 pulg. y la longitud de las tuberías de 2 pulg. Luego se debe derivar esta ecuación para encontrar el costo más bajo. Solución

Por Pitágoras se tiene la siguiente relación de las longitudes (ver figura anterior)

  

                                                                       

El costo total (c) de la tubería es:

Al sustituir (1) en (2) se obtiene:

Ahora se desea encontrar el valor minimo de y en el intervalo Por lo tanto se procede a deriar con respecto a y .

Ahora se iguala

y se despeja y :

.

            √ √       

Y 2 es el valor que se encuentra en el intervalo deseado. Ahora se evalúa el costo para el valor de y2 y para los casos extremos: y=0, y=100.

        

Como se observa el costo más económico de tubería se da cuando la tubería de 1 pulg tiene una longitud de 17.68 m. Finalmente la configuración más económica para transportar el agua es:

Bibliografía

[1] BEER P. FERDINAND, JOHNSTON RUSSELL, EINSBERG ELLIOT. Mecánica Vectorial para Ingenieros- Estática. McGraw Hill. Séptima edición. México.


Realizados por:

CristhianCardenas Delgado 273290 José Jorge Sierra Molina 153305

Revisados por:



f. TEMA: Vectores de velocidades absoluta y relativa en bombas Objetivos:   

Realizar el análisis vectorial de impulsores en bombas Determinar los vectores de velocidades absoluta y relativa en bombas Dar solución a problemas mediante la aplicación del algebra vectorial

Aplicación o contextualización para el programa curricular: En gran parte de los sistemas de riego, en especial los sistemas de riego a presión (aspersión y goteo), es necesaria la utilización de bombas hidráulicas (generalmente bombas centrifugas) que garanticen el transporte del agua a todas las plantas del cultivo. La correcta selección de una bomba hidráulica con finalidades de riego es fundamental para garantizar el correcto funcionamiento del sistema. La bomba debe suplir las necesidades de caudal y presión requeridos por el sistema de riego específico. Una bomba hidráulica es una máquina que transforma la energía con la que es accionada (generalmente energía mecánica), en energía hidráulica del fluido incompresible que mueve (para riegos es agua). Al incrementar la energía del fluido se aumenta su presión, su velocidad o su altura. En general, una bomba se utiliza para incrementar la presión de un líquido añadiendo energía al sistema hidráulico, para mover el fluido de una zona de menor presión o altitud a otra de mayor presión o altitud. El análisis vectorial de maquinas hidráulicas (bombas o turbinas) es importante para determinar las velocidades absolutas y relativas que se generan en estas. Con estas velocidades se pueden conocer los momentos de torsión y los requerimientos de potencia de las bombas.

a. Magnitud y dirección de la velocidad absoluta del impulsor

de una bomba Una bomba gira con una velocidad angular w=10 rad/seg, el radio exterior del

 

impulsor es de r=1.22m. El alabe tiene un ángulo β=140°. Si el flujo del fluido relativo al alabe es velocidad absoluta.

determinar la magnitud y dirección de la

Explicación del problema Para el análisis vectorial de la velocidad en bombas se asumen dos velocidades diferentes en el eje de la bomba dependiendo de la posición del observador. Un observador que se encuentre sobre un alabe verá una velocidad que no cambia con el tiempo (u=velocidad del alabe), mientras que un observador que se encuentre en frente de la bomba observara que la velocidad presenta cambios en el tiempo (v=velocidad relativa).

El vector de velocidad absoluta

Donde



= velocidad absoluta



se puede determinar cómo:

 ̅

 ̅

= velocidad del alabe (perpendicular al radio del impulsor)

= velocidad relativa (perpendicular al alabe)

Al descomponer la velocidad absoluta se obtiene:

           Solución

La velocidad del alabe se puede determinar de la siguiente manera: Primero se determina el número de revoluciones por segundo (N):

Donde S= 10 rad/seg

 

Entonces

                                             

El ángulo entre el vector de velocidad del alabe y el vector de velocidad absoluta es:

g. TEMA: Método matricial para el análisis de est ructuras Objetivos:

Conocer el método matricial para analizar diferentes estructuras. Resolver algunos ejercicios mediante la aplicación del algebra lineal

 

Aplicación o contextualización para el programa curricular: Las estructuras agrícolas son diseñadas para soportar diferentes tipos de cargas, como cargas por animales (pecuarias) y cargas en el almacenamiento de productos agrícolas como granos. Por ejemplo, un silo debe ser diseñado teniendo en cuenta la carga que va a generar el grano que va a ser almacenado, por lo tanto, la estructura debe ser capaz de soportar dicha carga. Existen diferentes métodos para el análisis de estructuras, uno de ellos es el método matricial. GOLSARIO

-

Cercha: Estructura cuyos elementos funcionan solo a tensión o compresión. Los nudos son articulados.

-

Elemento: Porción de estructura entre nudos

-

Nudo: Punto donde hay apoyo, hay cambio en la dirección de los elementos o es un punto de interés.

a. Matriz de rigidez de un resorte elástico

Con base en la siguiente figura determinar la matriz de rigidez de un resorte elástico.

  y

representan los desplazamientos de los nudos en la dirección de dichas fuerzas

y la k es la constante del resorte.

Explicación del problema Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. Al igual que en los métodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de manera un poco arbitraria por el analista. A continuación se calculan las propiedades elásticas de cada elemento mediante la teoría de un medio elástico continuo, se efectúa el ensamblaje de las propiedades estructurales del conjunto y se procede entonces a resolver la estructura. Naturalmente, al disminuir el tamaño de los elementos se incrementa la convergencia entre el comportamiento del modelo y el de la estructura continua original. El proceso de análisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas principales: 1. Acción sobre la estructura 2. Acción sobre los elementos 3. Respuesta de los elementos 4. Respuesta de la estructura Por acción se puede entender una fuerza o un desplazamiento impuestos sobre la estructura.

A

su

vez,

ésta

responde

con

desplazamientos

o

fuerzas

respectivamente. El primes caso se puede entender con el análisis de la cercha de la figura 1 sometida a las cargas P 1 y P2, que constituyen la acción sobre ella (figura a). Como resultado de dicha acción sobre la estructura los elementos se ven sometidos a fuerzas axiales (S ij) de tensión o compresión (figura b). La respuesta de cada uno de los elementos a las fuerzas axiales anteriores es un alargamiento o acortamiento como los S1-4 y S2-4 mostrados en la figura c. Como todos los elementos están conectados e integran un conjunto, el resultado final será un desplazamiento de los nudos libres de la estructura, δ 1x , δ1y y δ2 , que

constituye su respuesta (figura d).

Figura 1

La

relación

existente

entre

acción

y

respuesta

matricialmente en la forma

   

o

Donde



se

puede

representar

 

recibe el nombre de matriz de flexibilidad de la estructura y

 

el de

matriz de rigidez de la misma. La ecuación (1) corresponde al método de las

fuerzas, mientras que la (2) al método de los desplazamientos.

            

Al escribir todas las ecuaciones de deflexión de los nudos de la estructura y agruparlas en forma matricial, se obtiene la matriz de flexibilidad

Donde



o sea:

representa la deflexión en el nudo i, en la dirección de la carga aplicada

en i, producida por una carga aplicada en el nudo j.



La matriz de flexibilidad es muy útil en el estudio de la respuesta dinámica de la estructura; de ahí su importancia. Despejando el vector de fuerzas ecuación (1) se obtiene:

  

en la

Si se compara esta ecuación con la ecuación (2) se obtiene:

  

Y por consiguiente:

                       

O sea que la matriz de rigidez es el inverso de la matriz de flexibilidad y viceversa. Al expandir la ecuación (2) se obtiene:

 

Suponiendo que se obliga a la estructura a adquirir un posición deformada tal que mientras que

, resulta:

O sea que la primera columna representa las fuerzas necesarias para producir una deflexión unitaria en el nudo 1, sin que se muevan los otros nudos. Simultáneamente la columna 2 representa las fuerzas necesarias para que el nudo 2 tenga una deflexión unitaria y todos los demás permanezcan en su sitio y así sucesivamente. Como en cada caso la estructura debe permanecer en equilibrio, es de esperar que la suma de los términos de cada columna sea igual a cero, condición útil para verificar la formulación de la matriz de rigidez.

Un propiedad importante surge al considerar el Teorema del reciproco, ya que al igualar el trabajo producido en una estructura elástica lineal por una fuerza F i al recorrer el desplazamiento producido por otra fuerza F j con el producido por esta ultima al recorrer el desplazamiento causado por la primera, se obtiene:

()()  

Y al simplificar queda:



De donde se concluye que la matriz de flexibilidad matriz de rigidez simétrica.



es simétrica, y como la

es igual a su inverso, se deduce que ésta también es

Solución Como se mencionó anteriormente la matriz de rigidez cumple la siguiente expresión.

           

Para encontrar los valores de los diferentes términos de la matriz de rigidez procede de la siguiente forma:



se

Caso a:

Para

    y

se obtiene:

Por física se sabe que:

           

Ya que en la matriz de rigidez la sumatoria de cada columna debe ser igual a cero entonces:

Entonces

            

Caso b:

Para obtener la segunda columna de obtiene:

se hace

y

. Entonces se

Por física se sabe que:

                  

Ya que en la matriz de rigidez la sumatoria de cada columna debe ser igual a cero entonces:

Entonces

Por lo tanto la matriz de rigidez es finalmente:

b. Desplazamiento en nudos

       

Teniendo en cuenta la figura determine los desplazamientos en los nudos 1 y 2 sabiendo que la matriz de flexibilidad

es:

Explicación del problema (la misma que en el literal a) Solución

               

Lo que significa que cada nudo se desplaza media unidad hacia la derecha.

h. TEMA: Producto cruz y producto punto Objetivos: 

Aplicar el producto cruz y el producto punto en la solución de algunos problemas de estática.




El Ingeniero Agrícola utiliza la estática para la solución de muchos problemas de la ingeniería, como por ejemplo conocer las fuerzas a las que están sometidos algunos elementos de máquinas agrícolas. El análisis vectorial es una herramienta muy útil para entender y dar solución a muchos problemas de estática. Por su parte, la estática se aplica en el análisis de máquinas agrícolas y elementos de máquinas, entre otros. a. Momento de una fuerza con respecto a un punto

Un tractor está arrastrando una rastra a través del suelo. Con base en el dibujo determine el momento que genera la fuerza aplicada en el punto R de la rastra, en la barra de tiro del tractor (punto T).

 ̅    ̅              

Las componentes del vector

y el vector son las siguientes:


Por física se sabe que el momento de una fuerza se halla como la multiplicación de la fuerza por el brazo de palanca.



Cuando una fuerza esta aplicada en el espacio (3 dimensiones), el momento que genera esta fuerza con respecto a un punto se halla como:

̅ ̅



Es decir, el momento es el producto cruz entre el vector fuerza ( y el vector que va desde el punto donde se genera el momento hasta el punto de aplicación de la fuerza ( ).

 ̅

Si las componentes de y son:

    ̅  

Entonces el producto cruz de estos dos vectores es:

   ̅    

Solución

Los vectores de fuerza y de posición son:

̅               

El producto cruz de ambos es:

   ̅    ̅              

El resultado anterior es el momento que genera la fuerza sobre el punto T.

b. Proyección de una fuerza sobre un eje

Un tractor agrícola está arrastrando un arado de cincel con una fuerza de tiro T. Con base en la figura determine cuál es la proyección de la fuerza de tiro T sobre el eje x.

 ̅  ̅   El vector

y son:

En coordenadas cartesianas son: T(3,2) x(5,0)


La proyección de un vector C sobre un vector D ( determina de la siguiente manera:

  || 



) se

Solución

La proyección de la fuerza de tiro T sobre el vector x es:

  ||               

Por lo que el vector proyección de T sobre x es:

Bibliografía

[1]

Mataix Plana Claudio. Mecánica de fluidos y Máquinas Hidráulicas. Editorial CIE Dossat.

México. 660 p. 2000.

[2]

Uribe, Jairo. Análisis de estructuras. Segunda edición. Escuela Colombiana de Ingeniería

Bogotá. 2000

TERCERA ENTREGA DE EJERCICIOS


Realizados por:

Cristian Camilo Cardenas Delgado 273290 José Jorge Sierra Molina 153305

Revisados por:



i. Funciones y ecuaciones Objetivos: 



Resolver problemas que impliquen modelación en términos de funciones de ciertos parámetros Aplicar ejercicios de matemáticas básicas a la Ingeniería Agrícola


Las funciones y su entendimiento son fundamentales para cualquier área o materia de la ingeniería agrícola, ya que con ellas se realizan análisis, se modelan ciertas situaciones y se toman decisiones de diferente índole. a. Sección de un canal

La siguiente figura representa un canal de sección transversal circular.

Donde y= Profundidad hidráulica d0= Diámetro de la sección circular. T= Ancho superficial Si d0 y y son constantes, determine el ancho superficial en función de θ Explicación del problema

El triángulo determinado en la figura es isósceles, puesto que dos de sus lados miden d0 /2 (radio de la circunferencia), y el ángulo determinado por esos dos lados mide 2π- θ.

Solución

Usando el teorema del coseno se tiene que:

                           

b. Profundidad Hidráulica



Con base en el ejercicio anterior, determine la profundidad hidráulica en función de . Solución

A partir del teorema de Pitágoras se puede deducir que:

                                                             

c. Abrevadero

     

Un abrevadero que está lleno de agua tiene 2m de largo y sus extremos tienen forma de triángulos equiláteros invertidos de 60 cm (como se muestra en la figura). Si al abrevadero se le abre un orificio en el fondo y el agua se escapa a una razón dada, exprese el volumen en un instante posterior dado en función de la base del triángulo. Explicación del problema

La configuración del abrevadero es la siguiente:

Solución

Con base en la figura anterior los siguientes triángulos son semejantes:

Entonces:

Por otro lado, sea:

√    √     √  

V= Volumen del abrevadero, entonces: V=(área del triángulo)(longitud del abrevadero)

Finalmente:

    √  √ 

d. Volumen como una función de la altura del triángulo

Con base en el ejercicio anterior, determine el volumen como una función de la altura del triángulo. Solución

Ya que Entonces

 √    √  

De donde se concluye que:

Bibliografía

 √   

[1] THOMAS, GEORGE. CÁLCULO una variable. Undécima edición. México: Pearson Education, 2005.


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1. Optimización en ingeniería de riegos y drenaje Objetivos:

Ingeniería de Riegos y Drenajes de tierras y cultivos: Se diseñan y construyen sistemas de riego, drenaje, acueducto y alcantarillado para cultivos y zonas rurales, así como también maximizar un terreno , y el diseño e implementación de modelos matemáticos para la evaluación de diversos casos que suelen presentarse en cuencas, ríos, canales, reservorios y demás fuentes hídricas, basados a los principios de Hidráulica, Hidrología, Meteorología, Estadística y demás ciencias básicas. Con el siguiente problema vamos ver como plantear un problema de optimización(primero vemos los pasos para plantear, y por último aplicaciones a la ecomía) de tierra frecuente en ingeniería agrícola visto de una manera un poco más divertida con figuras geométricas conocidas. Aplicación o contextualización para el programa curricular:

Hidráulica, Hidrología, Meteorología, Estadística y demás ciencias básicas.

1. Pasos para la solución de problemas de optimización

1. COMPRENDA EL PROBLEMA: El primer paso, es leer el problema con cuidado hasta que se entienda con claridad. Hágase preguntas como: Cual es la incógnita?, ¿Cuáles son las cantidades dadas?, ¿Cuáles son las condiciones dadas?. 2. DIBUJE UN DIAGRAMA DEL PROBLEMA: En la mayor parte de los problemas, resulta útil dibujar un diagrama e identificar en el las cantidades dadas requeridas. 3. INTRODUZCA NOTACION: Asigne un símbolo a la cantidad que se va a maximizar o minimizar. Por ejemplo V = volumen, h = altura, b = base etc. 4. Escriba una fórmula para la función objetivo Q que se maximizará o minimizará, en términos de las variables. 5. Utilice las condiciones del problema para eliminar todas, excepto una de estas variables, y por consiguiente expresar Q como una función de una sola variable. 6. DERIVAR 7. IGUALAR LA DERIVADA: A cero para encontrar los puntos criticos. 8. SEGUNDA DERIVADA: Deducir con la prueba de la segunda derivada si

los puntos críticos son máximos ó mínimos.

9. DAR LA SOLUCION: Recuerda dar una solución clara de su problema en notación Ingenieril. Otra Forma de verlo 1. . Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar. 2. . Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable. 3. .Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable. 4. . Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales. 5. . Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

2. Optimización de terreno en base a figuras geométricas conocidas. Calcule el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 7cm, si dos lados del rectángulo coinciden con los catetos.

Sabemos que si introducimos un rectángulo adentro del triángulo rectángulo, una de las esquinas del rectángulo (superior derecha) se topa con un punto de la hipotenusa del triángulo. Si llevamos nuestro triangulo a un plano cartesiano, nuestro eje en "Y" la coordenada (0,5) corresponde a la parte superior del triángulo y en el eje "X" la coordenada (7,0) corresponde a la parte inferior del triángulo; Al trazar una recta entre estos dos puntos se formara la hipotenusa del Triángulo. Dejaremos indicado el rectángulo como altura "y" y base "b", un punto del rectángulo (esquina superior derecha) toca un punto en la hipotenusa que denominaremos (x,y). Realización del problema. La función objetiva del problema sería el área de un rectángulo que está dada de la siguiente forma:

Nuestra restricción seria la ecuación de pendiente intersección, ya que la hipotenusa del triángulo en el plano cartesiano la podemos ver como una recta con

una pendiente, y esa recta tiene un inicio o punto intersección en 5. Por lo tanto nuestra restricción seria

Para poder lograr dejar nuestra función objetiva en función de una sola variable cambiamos la y de la restricción para la de la función objetiva, quedaría de la siguiente manera:

Ahora derivamos la función

Igualamos a 0, y despejamos x

Ahora sustituimos x en nuestra restricción para poder encontrar el valor de y.

El valor de y es:

Para averiguar si es un máximo o un mínimo realizamos el criterio de la segunda derivada.

Ya que la segunda segunda derivada quedo menor a 0 es un máximo relativo relativo Por lo tanto las dimensiones del rectángulo más grande que cabe dentro de d e este triángulo son x=3.5 y=2.5 y el Área total seria

3. Aplicaciones en la economía

Si es la función del costo , es lo mismo a decir que es el costo de producir unidades de cierto producto, por lo tanto el costo marginal es la relación que existe existe entre el cambio de C respecto de la la variable variable . Para Para que se entienda de una manera mejor podemos decir que la función del costo marginales la derivada de la función del costo. Viéndolo desde el punto de vista del mercadeo, mercadeo, digamos que es le precio por unidad que la empresa o compañía carga si se venden unidades. En este caso p se llama función de demanda o función precio y cabe esperar que sea una función decreciente decreciente con respecto respecto a . Si se venden x unidades y el precio por unidad es . El ingreso total es:

.

Si llamamos a función de ingreso o función de ventas . La derivada de la función de ingreso se denomina función de ingreso marginal , y esta se conoce como la relación de cambio del ingreso con respecto al número de unidades vendidas. Si se venden

unidades, después la utilidad total es:

.

Si llamamos a la función utilidad . La función de utilidad marginal es la derivada de la función utilidad.

,

Para poder realizar los ejercicios donde se le pide que aplique dicha teoría descrita con anterioridad, debe de aplicar las funciones del costo marginal, el ingreso, y la de utilidad para minimizar costos o bien para maximizar los lo s ingresos y la utilidad.

Bibliografía

[1] Organización de d e la producción, Martínez Torres Torres [2] Sistemas de planificación y control de la fabricación, Whybark [3] Administración de la producción y las operaciones, Adam-Ebert


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1. TEMA: Sistemas de ecuaciones lineales Objetivos:   

Aplicar soluciones matriciales a problemas de redes Dar solución a sistemas de ecuaciones lineales. Determinar los flujos de agua que se presentan en cada tubo en un sistema de riego.


Los sistemas de ecuaciones lineales son de gran utilidad en muchos campos de la ingeniería y determinar la solución de estos sistemas es de gran importancia. Los sistemas de riego conducen el agua a diferentes lugares en un predio. Para conocer las condiciones de operación de dichos sistemas es necesario que el Ingeniero Agrícola conozca los flujos de agua que se presentan en cada tubo de la red de riego. El diseño y operación de los sistemas de riego requiere que se conozcan, entre otros parámetros, los flujos de agua que ocurren en cada tubo del sistema. En la administración de maquinaria agrícola muchas veces se involucran gran cantidad de factores que el ingeniero debe conocer para dar soluciones óptimas y eficientes. a. Flujo de agua a través de una red de tuberías

En el diagrama adjunto se muestra una red de tubos por los que fluye agua. El flujo de agua en el punto A es de 500 L/s. De los puntos B y C salen 400 L/s y 100 L/s respectivamente. Encontrar los caudales que fluyen por cada tubo.


El fluido total que entra en cada uno de los nodos debe ser igual al fluido que sale. Se supone que el caudal de agua a través de los tubos es f1, f2, f3, f4, f5 y f6 L/s en las direcciones mostradas. Solución

Igualando el flujo que entra con el flujo que sale en cada intersección o nodo se obtiene: Nodo A Nodo B Nodo C Nodo D

500=f1+f2+f3 f1+f4+f6=400 f3+f5=f6+100 f2=f4+f5

Se tienen así cuatro ecuaciones con seis incógnitas f1, f2, f3, f4, f5 y f6. F1+f2+f3 =500 F1 +f4 +f6=400 f3 +f5 -f6=100 f2 - f4- f5 =0 La representación del sistema anterior en una matriz ampliada es:

                             

Al resolver el sistema anterior se obtiene la siguiente matriz solución:

De aquí se deduce que, cuando se utilizan f4, f5 y f6 como parámetros, la solución general es: F1=400-f4-f6 F2=f4+f5 F3=100-f5+f6 Esto conduce a todas las posibles soluciones del sistema y por lo tanto a todos los posibles flujos.

b. Red de canales de riego

En el siguiente diagrama se describe una red de canales de riego. Cuando la demanda es máxima, los flujos en las intersecciones A, B, C y D (en L/s) son como los mostrados.

Encuentre los posibles caudales en cada canal de riego. Explicación del problema

El fluido total que entra en cada uno de los nodos debe ser igual al fluido que sale. Se supone que el caudal de agua a través de los canales es f1, f2, f3, f4 y f5 L/s en las direcciones mostradas. Solución

Realizando el balance de masas en cada nodo se obtienen las siguientes ecuaciones: Nodo A 550=f1+f4 Nodo B 200=f1-f3-f2 Nodo C 150=f3+f5 Nodo D 200=f2+f4-f5 Se tienen así cuatro ecuaciones con cinco incógnitas f1, f2, f3, f4 y f5. F1 +f4 =550 F1- f2- f3 =200 f3 +f5=150 f2 +f4- f5 =200 La representación del sistema anterior en una matriz ampliada es:

                       

Al resolver el sistema anterior se obtiene la siguiente matriz solución:

De aquí se deduce que, cuando se utilizan f4 y f5 como parámetros, la solución general es: F1=550-f4 F2=200-f4+f5 F3=150-f5 Esto conduce a todas las posibles soluciones del sistema y por lo tanto a todos los posibles flujos. c. Flota de tractores

Un Ingeniero Agrícola tiene a su cargo una flota de 20 tractores de diferente tipo: x, y, z . El ingeniero planea utilizar el tractor x para que are 4 ha/día, el tractor y para 6 ha/día y el tractor z para 8 ha/día. Cuando trabajan los 20 tractores al tiempo se aran 108 ha en un día. Si solo se utilizan la mitad de los tractores x , la mitad de los tractores y , y un cuarto de los tractores z , entonces solo se aran 46 ha. Determinar el número de tractores de cada tipo: x, y, z Explicación del problema

Se trata de un ejercicio que involucra 3 variables y hay que encontrar las relaciones existentes entre ellas para formar un conjunto de ecuaciones lineales. Solución

Se tienen los siguientes tipos de tractores: x: 4 ha/día y: 6 ha/día z: 8 ha/día Las ecuaciones que se deducen del enunciado del problema son:

  

El sistema anterior representado matricialmente es:

       

La solución del sistema anterior hasta su reducción final es:

Entonces:

      

x=10 y=6 z=4 Por lo que se tienen 10 tractores de 4 ha/día, 6 tractores de 6 ha/día y 4 tractores de 8 ha/día

2. Regresión por mínimos cuadrados Objetivos: 



Aplicar conceptos de algebra lineal para determinar los parámetros de una regresión mediante mínimos cuadrados Predecir el comportamiento de ciertas variables climatológicas mediante la regresión por mínimos cuadrados.


Las regresiones son muy importantes en muchos estudios en ingeniería, por ejemplo, para predecir los caudales que se pueden presentar en un rio con base en mediciones de caudal realizadas previamente. En hidrología las regresiones son de gran importancia ya que sirven para relacionar y predecir variables. Por ejemplo, se puede predecir el caudal de un rio con base en las características fisiográficas de la cuenca mediante una regresión lineal múltiple. Un método para determinar los parámetros de las regresiones es el de mínimos cuadrados. a. Serie de caudales anuales máximos

Los siguientes datos de caudales anuales máximos fueron tomados en una sección del rio Mira. Se asume que la profundidad del rio es función del caudal. Profundidad del río (m)

Caudal (m3/s)

11 12 14 15 16 18

2 3 5 7 8 11

Realice una regresión por mínimos cuadrados y determine los parámetros del modelo.


Lo que se pretende determinar es un modelo que prediga las profundidades que se podrían presentar con base en el caudal del rio. Para esto se puede utilizar el método de mínimos cuadrados, el cual arroja los parámetros del modelo. El método de mínimos cuadrados es el siguiente: Supóngase que se dan n pares de datos (x1,y1) , (x1,y2), ….(xn,yn), donde al

menos dos de los x1, x2, ..xn son distintos. Sean las matrices:

        

Entonces la recta de aproximación por mínimos cuadrados (regresión) para estos puntos tiene como ecuación:

a0 y a1 son los parámetros del modelo.

 

Donde normales:

se halla por eliminación de Gauss en las siguientes ecuaciones

  

La condición de que al menos dos de los x1, x2, ..xn sean distintos aseguran que MTM sea una matriz invertible, y por lo tanto A es única. Solución

En este caso se tiene:

               

Ahora:

Por lo que la ecuación

Queda:

                           

Al resolver por Gauss se obtiene:

Finalmente el modelo de regresión lineal es:

b. Regresión cuadrática por mínimos cuadrados

Con base en el ejercicio (a) y con los mismos datos de la tabla, realice una regresión cuadrática por mínimos cuadrados. Profundidad del río (m)

Caudal (m3/s)

11 12 14 15 16 18

2 3 5 7 8 11


Para realizar la regresión y determinar los parámetros de una función de grado dos, se procede de igual forma que una función lineal. La ecuación resultante es del tipo:

Sean las matrices:

Donde

   

          [  ]

se determina por eliminación de Gauss en las ecuaciones:

  

Solución

En este caso se tiene:

Ahora:

              [  ]                                                                                  

Por lo que la ecuación

Queda:

Al resolver por Gauss se obtiene:

Finalmente el modelo de regresión cuadrático es:

  

Bibliografía

[1] NICHOLSON, Keith. ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Cuarta Edición. España: McGraw- Hill. 2003.

CUARTA ENTREGA DE EJERCICIOS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA EL PROGRAMA DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

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j. TEMA Objetivos: 





Aplicar algunos conceptos básicos de algebra y la solución de sistemas de ecuaciones múltiples a problemas de hidráulica Determinar la potencia que debe tener una bomba para aportar los caudales requeridos en un proyecto. Determinar la ecuación de la curva de operación de una bomba


La hidráulica es una rama de la ciencia física que se ocupa del estudio de las propiedades mecánicas de los fluidos. Sus aplicaciones se orientan al diseño de obras y estructuras hidráulicas. Para el Ingeniero Agrícola es fundamental su estudio, ya que con ella puede diseñar y operar adecuadamente sistemas de riego, canales, tuberías y otras obras hidráulicas. a. Cálculo de la potencia de una bomba

En un sistema de riego por goteo para un cultivo de cítricos se requiere mover un caudal de agua de 42 L/s desde el sitio de toma a la planta de fertirrigación. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de 970 metros, estando la planta 16 m por encima de la toma. Si existe una tubería de PVC de 150 mm de diámetro, y las pérdidas menores y por fricción son 2.7 m y 26.9 m respectivamente, ¿Cuál es la altura y la potencia que debe ser suministrada por la bomba en el sitio de toma? Solución

El área transversal de la tubería de PVC es:

Ya que Q=VA

                       

La altura total que debe suministrar la bomba para transportar dicho caudal debe superar la diferencia de nivel entre la toma y la estación de fertirrigación (z), las perdidas menores (hm) y las perdidas por fricción (hf), es decir:

  

Para calcular la potencia que debe tener la bomba se utiliza la siguiente ecuación:

Donde



es la densidad del agua=999.1 kg/m 3 Q es el caudal G es la gravedad H es la altura que debe suministrar la bomba Por lo tanto:

              b. Determinación de la curva de una bomba

Los datos suministrados por el fabricante de una bomba son los siguientes: Caudal (l/s)

40 100 180

Altura (m)

83.26 63.58 11.07


La curva que describe la operación de una bomba es del tipo:

 

donde los coeficientes A,B,C pueden ser calculados al tomar tres puntos (Hm,Q) de la curva del fabricante. Solución

Con los puntos dados se plantean las 3 ecuaciones siguientes: (con unidades congruentes)

                         

Restando (b) de (a) se obtiene:

Restando (c) de (b) se obtiene:

Multiplicando (e) por -075 se obtiene:

Finalmente, sumando (d) más (f):

Entonces: A=-2345 B=0.375 C=87 La ecuación de la bomba es:

 

Esta última es la ecuación para la boma que debe ser suministrada por el fabricante, aclarando que el caudal debe estar en m 3 /s y la altura piezométria en m.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA CÁLCULO DIFERENCIAL PARA EL PROGRAMA DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

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José Jorge Sierra Molina 153305 Cristhian Camilo Cardenas Delgado 273290

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1. TEMA Objetivos: 

El objetivo de los siguientes ejercicios de máximos y mínimos básicamente es ver cómo estos conceptos son utilizados dentro de la ingeniería agrícola.


Ingeniería de Postcosecha de productos agrícolas en la cual se estudian, diseñan, construyen, optimizan mecanismos y sistemas para el tratamiento posterior a la cosecha de frutas, hortalizas, granos, semillas y flores, etc. Ingeniería de Riegos y Drenajes de tierras y cultivos, etc.

a)

b)

c)

d)

e) Sección transversal óptima de un canal

Para un canal de sección transversal trapezoidal determine cuál es la altura (y) que hace máximo el caudal que pasa por dicho canal.

Solución

Para un canal se sabe que el caudal es directamente proporcional al cubo del área (A) e inversamente proporcional al perímetro mojado (P), es decir:

   

Donde k es una constante que involucra otras características del canal. Se sabe que el área y el perímetro mojado son funciones de (y), es decir: A=f(y), P=f(y) Para un canal de sección transversal trapezoidal se tiene:

        

Para encontrar el caudal máximo de dicha sección se deriva la ecuación de caudal con respecto a (y) y se iguala a cero:

Ejercicios Ing. Agricola 2011-2

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