Ejercicios en Solver

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes EJERCICIOS EN SOLVER 1. El señor señor Martí Martínez nez tiene tiene un pequeño pequeño camión camión con capacida capacidad d inter interior ior de 20m3 en el cual transporta transporta mercancía. mercancía. Una reconocida reconocida empresa de la ciudad le ha contratado para hacer acarreos de esta mercancía, desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta. CAJA

TAMAÑO

TIPO 1 TIPO 2 TIPO 3

1 m3 1.2 m3 0.8 m3

PAGO X CAJA TRANSPORTADA TRANSPORTADA $ 1.000 $ 1.120 $ 900

¿Cómo debe llenar el señor Martínez su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si tiene que transportar transportar como mínimo mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cada viaje?

Definición de Variables. X1: Número de cajas tipo 1 transportados en cada viaje

[caja/viaje]

X2: Número de cajas tipo 2 transportados en cada viaje

[caja/viaje]

X3: Número Número de cajas cajas tipo 3 transpor transportados tados en cada viaje viaje

[caja/vi [caja/viaje] aje]

Función Objetivo Z: Ganancia total (pesos) por el transporte de los 3 tipos de cajas en cada viaje. Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3 [$/caja] * [ caja/viaje]=[$/ caja/viaje]=[$/ viaje] Restricciones funcionales R1: R1: Capacidad del camión (recurso) 1X1+ 1.2X2+ 0.8 X3≤ 20

[m3/ caja] * [caja/viaje]= [caja/viaje ]= [m3 /viaje]

R2: Mínimo de cajas tipo 1 (requerimiento) X1≥ 8

[caja/viaje]

R3: Mínimo de cajas tipo 3 (requerimiento)

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes X3 ≥ 5

[caja/viaje] [caja/viaje ]

Restricción de no negatividad X1, X2, X3 ≥ 0 Modelo completo. Max Z = 1000X1+ 1120X2 + 900X3 Sujeto a 1X1+ 1.2X2+ 0.8 X3≤ 20 X1

≥8

X3

≥5

X1, X2, X3

≥0

Planteamiento en Excel y solución por medio de solver

Datos suministrados por el ejercicio Valor de las celdas cambiantes (arrojado por solver)

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes (Datos arrojados por solver) Máximo valor función objetivo y recursos utilizados Interpretación Interpretación informes de solver INFORME DE RESPUESTAS El info inform rme e de Re Resp spue uest stas as pres presen enta ta un resu resume men n de los los resu result ltad ados os de la optimización: Valor de la función objetivo: Situación de cada restricción, en particular si la restricción es limitante (obligatorio) o no limitante (opcional) y finalmente el valor de la divergencia (Slack) o holgura. 1

De acuerdo con el informe el máximo ingreso que se puede obtener por el hecho de asignar los recursos al transporte de 8 cajas tipo 1 y 15 cajas tipos 3

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes es de $21.500. No es posible organizar los recursos de otra manera, distinta a la indicada por el Solver, de tal forma que se pueda generar un ingreso superior a $21.500.

Celdas de variables (Variables de decisión) Esta Esta sec secció ción n del inform informe e indica indica que activi actividad dades es entra entraron ron en el plan plan final final (solución óptima). El plan final manda a transportar 8 cajas tipo 1 y 15 cajas tipos 3, a fin de obtener el máximo ingreso. El Solver indica con un cero las actividades que no entran en la solución óptima, tal es el caso de la actividad de transportar cajas de tipo 2. Datos que se reflejan en las celdas correspondientes a B7 a la D7. Restricciones Solver nos muestra en la columna valor de la celda el valor del recurso utilizado para cada una de las restricciones planteadas en el ejercicio, y en la respectiva fórmula fórmula aplicada a cada una de de estas restricciones. restricciones. En la columna de estado solver nos indica que las restricciones de capacidad de camión fue utilizada en su totalidad convirtiéndose en un recurso limitante, la restricción mínimo de cajas tipo 1, fueron utilizada en su mínimo por lo cual se convierte en un recurso limitante, mientras que la restricción de mínimo de cajas tipo 3, se muestra como un recurso no limitante ya que se usó más de lo que la restricción daba, se deben transportar 15 cajas de este tipo para nuestra máxima ganancia. Las variables Slack o de holgura indican las cantidades de los recursos no utilizados en el plan óptimo. Por lo tanto podemos decir que los recursos que limitaron la producción fueron la capacidad del camión y el mínimo de cajas tipo tipo 1, resp respec ecti tiva vame ment nte, e, mien mientr tras as que que el míni mínimo mo de ca caja jass tipo tipo 3 fue fue no limitante.

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes INFORME DE SENSIBILIDAD

La columna Valor Final hace referencia al Valor final que toman las variables de decisi decisión ón o celda celdass cambia cambiante ntess en la soluc solución ión óptima óptima.. En nuest nuestro ro eje ejerc rcici icio o tran transp spor orta tarr 8 ca caja jass tipo tipo 1 y 15 ca caja jass tipo tiposs 3. Vea Vea ce celd ldas as D10 D10 y D12, D12, respectivamente. La columna Costo Reducido nos informa en cuanto debería modificarse el coeficiente objetivo asociado a una variable en la función objetiva ( Z ) para que la misma permanezca en la solución. Es nuestro ejercicio el transportar cajas del tipo 2 no entro en el plan final, es decir en nuestra solución óptima, por lo cual presenta un costo reducido de -230, esto significa que si por alguna razón razón el señor señor Martínez Martínez decidiera decidiera transpo transportar rtar cajas cajas del tipo 2, el valor de la solución óptima se reduciría en $230 pasaría de $21.500 a $21.270 • Las variables que entran en la solución óptima tienen un Costo reducido igual a cero. Se les denomina variables básicas. • Las Las variab variables les que que no entra entran n en la sol soluc ución ión óptim óptima a tiene tienen n cos costo to reduc reducido ido negativo (< 0). Se les denomina variables no básicas. Las dos última últimass colum columnas nas Aumen Aumento to permis permisib ible le y Dism Disminu inució ción n perm permisi isible ble muestran el rango en el cual pueden variar los coeficientes de la función objetiva (precio neto de cada actividad) sin que cambie la solución óptima. Rango de optimalidad del coeficiente objetivo de la caja tipo 1

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes [(1000+125) ; (1000-1E+30)]= (1000-1E+30)]= [1125; ∞] en este intervalo podemos ver que que es perm permis isib ible le que que el co coef efic icie ient nte e de x1 aume aument nte e hast hasta a 1125 1125 pero pero su disminución contiene un numero sin limite. Cualquier modificación dentro de este rango, no modifica la naturaleza factible de la solución óptima, si se asume que todos los otros parámetros del modelo permanecen constantes. Fuera de este Rango de valores, se requiere reoptimizar, o sea resolver el problema para determinar el nuevo valor de la función objetivo. Rango de optimalizad del coeficiente objetivo de la caja tipo 3 [(900+1E+30) [(900+1E+30) ; (900-100)]= (900-100)]= [∞; 800] 800] en este intervalo intervalo podemos podemos ver que es permisible que el coeficiente de x1 disminuya hasta 800, pero su aumento es una cifra sin límite entonces un incremento de la disponibilidad de ese recurso no tendrá ningún efecto. La columna Precio de Sombra dice en cuando se incrementaría o disminuiría el valor valor de la funció función n objeti objetiva va si se increm increment entar ara a o dismin disminuye uyera ra el recurs recurso o disponible (RHS) en una unidad. Así por ejemplo, si el límite de la primera restricción (capacidad (capacidad del camión) se incrementara de 20m3 a 21m3, entonces la función objetiva se incrementaría incrementaría en $1.125. Por otra parte, si el límite de la restricción mínimo cajas tipo 1 se incrementara incrementara de 8 a 9 cajas a transportas, entonces la función objetiva experimentaría un decremento de $-125, éste indica cuanto estaría dispuesto a pagar el señor Martín Martínez ez por una unida unidad d adicio adicional nal del recurs recurso o limita limitante nte.. Pero Pero si el señor señor Martínez decidiera disminuir en 1 unidad este tipo de cajas el valor de la función objetivo aumentaría en $125. Las columnas Aumento permisible y Disminución permisible de una restricción indican el rango en el cual se puede variar el recurso disponible sin que se modifique la solución óptima. Así por ejemplo, los rangos de factibilidad de los recu recurs rsos os limi limita tant ntes es (Cap (Capac acid idad ad de ca cami mión ón y mínim ínimo o ca caja jass tipo tipo3) 3) son son respectivamente respectivamente los siguientes: Rango de factibilidad de la capacidad del camión [(20+1E+30) ; (20-8)]= [∞: 12] Rango de factibilidad de la mínimo cajas tipo 3 [(5+10) ; (5-1E+30)]= [15 ;∞] Cualquier cambio dentro de este rango de los recursos disponibles no modifica la naturaleza factible de la solución óptima. Con esto podemos decir que si queremos aumentar nuestros ingresos se debe cambiar el camión para aumentar su capacidad interior, de lo contrario si el seño señorr Mart Martín ínez ez deci decide de aume aument ntar ar el tran transp spor orte te de ca caja jass tipo tipo 1 se verá verán n afectadas sus ganancias ya que por cada unidad comenzara a disminuir en $125. INFORME DE LÍMITES

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes

LIMITES VARIABLE X 1 (CAJAS TIPO 1) Valor del límite inferior de la variable Caja Tipo 1: 8 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 3: 15 Cajas Función objetivo bajo estas condiciones: condiciones: 1000*8+900*15 = 21500 • Límite superior. Es el mayor valor que puede tomar la variable (suponiendo que las demás mantienen constante el valor óptimo encontrado) • Resultado Resultado objetivo. objetivo. Es el valor que toma la función función objetivo si la variable variable considerada toma el valor del límite superior y las demás mantienen el valor óptimo encontrado Valor del límite superior de la variable Caja Tipo 1: 8 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 3: 15 Cajas Función objetivo bajo estas condiciones: condiciones: 1000*8+900*15 = 21500 LIMITES VARIABLE X 2 (CAJAS TIPO 2) Valor del límite inferior de la variable Caja Tipo 2: 0 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 1: 8 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 3: 15 Cajas Función objetivo bajo estas condiciones: condiciones: 1000*8+900*15 = 21500


Valor del límite superior de la variable Caja Tipo 2: 0 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 1: 8 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 3: 15 Cajas Función objetivo bajo estas condiciones: condiciones: 1000*8+900*15 = 21500 LIMITES VARIABLE X 3 (CAJAS TIPO 3) Valor del límite inferior de la variable Caja Tipo 3: 5 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 1: 8 Cajas Función objetivo bajo estas condiciones: 1000*8+900*5 = 12500 Valor del límite superior de la variable Caja Tipo 3: 15 Cajas Valor Óptimo de la variable Caja Tipo 1: 8 Cajas Función objetivo bajo estas condiciones: condiciones: 1000*8+900*15 = 21500 Con esto podemos confirmar que para la variable X 3 el límite inferior es de 12500 menor valor que puede tomar esta variable.

2. La señora señora María Eugenia, Eugenia, dietista dietista del Hospital Hospital General, General, es la responsabl responsable e de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. En la actualidad examina el caso de un paciente, a quien se le ha form formul ulad ado o una una diet dieta a espe especi cial al que que co cons nsta ta de 2 fuen fuente tess alimenticias. alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de alimentos que pued puede e co cons nsum umir ir;; sin em emba barg rgo, o, debe deben n sati satisf sfac acer erse se cier cierto toss requerimientos nutricionales mínimos por día .

Requerimientos Minino (En unidades) Nutriente A 1000 Nutriente B 2000 Nutriente C 1500 Costo de alimento ($/libra)

Contenido por onza Contenido por onza Alimento1 (En Alimento 2 (En unidades) unidades) 100

200

400

250

200 6

200 8


La señora María Eugenia, desea determinar la combinación de fuentes alimen imenti ticcias ias que arr arroje el meno enor costo y satis atisfa faga ga todo todoss los los requerimientos nutritivos. 1 Libra= 16 onzas Definición de variables : Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 1 diariamente consumirse diariamente : Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 2 diariamente consumirse diariamente Función Objetivo Costos de suministrarle los 2 tipos de alimentos al paciente

Restricciones Funcionales •

Consumo mínimo del nutriente A:

100 +200

•

Consumo mínimo del nutriente B:

400 +250

•

Consumo mínimo del nutriente C:

200 +200

Restricciones de no negatividad Modelo Completo: •

Sujeto a: 100 +200 400 +250 200 +200

Planteamiento y Solución en SOLVER


Datos suministrados por el ejercicio Valor de las celdas cambiantes (arrojado por solver) Solución Optima Solver

INFORMES DE SOLVER Informe de Respuestas

Análisis:

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes De acuerdo con el informe el costo mínimo que se puede tener, garantizando la combinación combinación de las dos fuentes alimenticias alimenticias de manera que que se satisfaga todos los requerimientos nutritivos nutritivos es de $3.125. En cuanto a las variables vemos que el valor que conlleva a la solución óptima es la combinación de 5 onzas de la fuente alimenticia 1, y 2.5 de la fuente alimenticia 2. Las palabra obligatorio para este caso indican que el consumo de nutrientes C y B se realizo totalmente, totalmente, mientras mientras la palabra opcional nos nos está indicando indicando que el nutriente B no se uso todo y hay un excedente de dicho recurso de 625 onzas.

Informe de Límites

Análisis En este caso como se trata de minimizar un costo, buscando mantener una especificación solver nos muestra que el valor que toman las variables se mantiene dentro de un límite inferior en el que no se puede evaluar un límite superior de una de las variables mientras la otra mantiene el valor óptimo encontrado.

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes Informe de Sensibilidad

Análisis Para este problema solver nos muestra que las dos variables definidas son variables básicas es decir que entran en la solución, afirmación que podemos hacer a partir del valor 0 que se muestra en la columna de Gradiente reducido. En el aumento permisible nos muestra el rango e en el cual pueden variar los coeficientes de la función objetiva (Onzas de fuentes alimenticias) sin que cambie la solución óptima. En este caso las variables pueden cambiar en un rango de: : [0.5; 0.25] : [0.75; 0.375] La columna Precio cuando se se disminui disminuiría ría el valor valor de la Precio de Sombra Sombra dice en cuando función objetiva si se disminuyera disminuyera el recurso disponible disponible en una unidad. Así por ejemplo, si el límite límite de la Primera restricción restricción (Consumo (Consumo mínimo mínimo del nutriente nutriente A) se dismi disminuy nuyera era de 1000 a 999 onzas onzas,, entonc entonces es la funci función ón objetiv objetiva a se reduciría en $0.00125. En cambio cambio el nutriente B no disminuirá disminuirá nada debido debido a que no se utilizo utilizo completamente. completamente. Para este caso disminuir cualquiera de los dos componentes que entran en la solución optima me ayudarían a disminuir el costo en la misma proporción, así que la decisión en cuál de los dos componente varias seria en la facilidad de adquisición.


Una institución financiera se encuentra formulando su política de préstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $12 millones. La tabla siguiente señala los tipos de préstamos. La tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad posibilidad de que los clientes no cubran sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por experiencia:

Tipo de Préstamo

Tasas de Interés

PERSONAL AUTOMOVIL VIVIENDA AGRICOLA COMERCIAL

0,14 0,13 0,12 0,125 0,10

Probabilidad de Incobrables 0,10 0,07 0,03 0,05 0,02

Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto, no producen ingresos por concepto de intereses. La competencia con otras entidades requiere que el banco asigne cuando menos el 40% de los los fondos totales a préstamos agrícolas agrícolas y comerciales. comerciales. Los présta préstamo moss para para vivien vivienda da deben deben ser igual iguales es cuando cuando menos menos al 50% de los prés présta tamo moss pers person onal ales es,, para para auto automó móvi vill y para para vivi vivien enda da.. El banc banco o tien tiene e asimismo asimismo una política política establecida establecida que especifi especifica ca que la relación relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0,04. Definiciones de Variables: X1= Inversión en bonos X2= Inversión de préstamos hipotecarios X3= Prestamos para compra de auto X4=Préstamo personal Función en objetivo: Maximizar ingreso estimando estimando las cantidades presupuestadas presupuestadas para para cada tipo de présta préstamo mos, s, tenien teniendo do en cuenta cuenta las tasas tasas de interé interéss y la proba probabil bilida idad d de incobrables de cada tipo. Max= X1 (0,9)*0,14+ X2 (0,93)*(0,13)+ X3 (0,97)*0,12 + X4 (0,95)*0,125 + X5 (0,98)*0,10-(0,1 X1+0,07 X2 +0,03 X3+0,05 X4 +0,02 X5


Restricciones Funcionales: 1. 2. 3. 4.

X1+ X2+ X3+ X4+ X5 X4+ X5 4800000 X3 X1+ X2+ X3 X3 0,5(X1+ X2 )

12000000

5.

PLANTEAMIENTO EN EXCEL Y SOLUCIÓN EL SOLVER

Datos suministrados por el ejercicio Valor de las celdas cambiantes (arrojado por solver) (Datos arrojados por solver) Máximo valor función objetivo y recursos utilizados


Interpretación informes de solver

INFORME DE RESPUESTAS

El informe de respuestas proporciona el valor inicial y final optimo de la celda objetivo y de las celdas de las variables de decisión (también llamadas celdas ajustables), un listado de cada restricción y su estado clasificado y opcional para las no activas, el termino divergencia se utiliza para describir tanto las variables de holgura como las de beneficio. Para este informe tres de las variables se hacen cero lo que implica que no hacen parte de la solución óptima. De acuerdo a este informe la máxima rentabilidad distribuyendo los recursos es de $996400 al asignar estos recursos. Quizás Quizás otro software software optimiza optimizador dor encuentr encuentre e una solución solución más óptima sin embarg embargo o con la solución solución arrojad arrojada a en este ejercici ejercicio o requie requiere re que asign asignen en recursos solo a préstamos de tipo vivienda y comercial.

Presentado por: Yuli Carolina Orozco, Mayra Alexandra Ruiz, Luz Dary Cortes En este caso las celdas B13, B14 y B16 no hacen parte de la solución óptima.

INFORME DE SENSIBILIDAD

De los informes de solver se observa que el valor de las celdas cambiantes en tres oportunidades es cero, en los préstamos personales, en los de automóvil, en los prestamos agrícolas, teniendo en cuenta que en la restricción que para el fin de reformular reformular la política de préstamos lo más rentables para la institución financiera en mención seria eliminar los prestamos de tipo personal, automóvil y agrícola y concentrarse en los de vivienda y comerciales. Para que se maximice el rendimiento tendremos que asignar $7’200.000 al los prestamos de vivienda y $4’800.000 a los prestamos comerciales.


INFORME DE LÍMITES Este informe da los límites superior e inferior de cada celda ajustable (cada una de las celdas que contienen a la función objetivo y a las variables de decisión manteniendo al resto de las celdas ajustables en su valor actual y cumpliendo las restricciones.

Ejercicios en Solver

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