Ejem: Calcular el estado límite último una losa esviajada de 5 m de luz en su eje y con un ángulo de esviaje de 30º, para el paso de camiones M18.Considerar M18.Considerar que el hormigón a los 28 días debe alcanzar a su resistencia característica de Fc = 250 Kg/cm2 o 25 Mpa. Losa de 20 cm de altura. a) Determinación de la luz de cálculo. cuando el ángulo de esviaje esta entre 20º y 50º Lc = L cosβ Donde: L = Luz del puente β = ángulo de esviaje Lc = 5 m cos 30º Lc = 4.33 m b) determinación de las cargas actuantes en l a losa. Carga Muerta: Permanente Peso específico del HºAº γh= 2500 Kg/m3 Peso específico de la carpeta de rodadura γr = 2200 Kg/m3 Altura de la losa t = 20 cm Altura de capa de rodadura a = 5 cm Carga por peso propio: Pp = γh * t * t Carga por rodadura Pr = γr*a Remplazando: Pp = 2500 Kg/m3 * 0.20 0.20 m = 500 Kg/m2 Pp = 5.5 kN/m2 Pr = 2200 Kg/m3 * 0.05 = 110 Kg/m2 Pr = 1.1 kN/m2 Peso Total g = Pp + Pr g = 5.5 + 1.1 = 6.1 kN/m2 c) Calculo del momento por carga muerta en la losa Mcm = g * Lc² / 8 Mc = 6.1 kN/m2 * 4.33² / 8 Mcm = 14.30 Kn-m d) Análisis con la carga viva: Ancho de distribución: se utiliza la fórmula que determina el caso A de la armadura principal paralela al tráfico: E = 1.22 + 0.06 * Lc E = 1.22 + 0.06*4.3 0.06*4.33 3 m E = 1.48 m Camión Tipo M18 : cargas puntuales analizar la situación más crítica o desfavorable de la posición del camión en el puente
La carga actuante en el ancho de distribución en la losa es: ga = P/E ga = 72/1.48 ga = 48.65 Kn-m Momento por carga de camión tipo: El momento en la losa debido a la carga del camión de diseño por carga puntual es: Mcvp = ga * Lc / 4 Mcvp = 48.65*4.33/4 Mcv p= 52.66 Kn-m/m Carga viva equivalente equivalente:: para el camión tipo M18 se distribuye entre 2E para que el efecto sea comparable con el de una fila de ruedas Distribución de la Carga puntual de la equivalente: Cp / 2E 80 / (2* 1.48 ) = 27.03 Kn/m Distribución de la Carga distribuida de la equivalente equivalente:: Cd = q/2E 9.35/2*1.348 = 3.16 Kn/m2
Momento por carga equivalente: el momento se calcula sumando los momentos obtenidos por la puntual y la distribuida de la carga equivalente: Mcve =DCp*L4/4 + Cd*Lc²/8 Mcve = 27.03*4.33/4 + 3.16*4.33²/8 Mcve = 36.67 Kn-m/m Comparación de momentos por carga viva Se debe analizar y comparar los momentos obtenidos de carga viva utilizando la carga puntual del camión tipo y la carga equivalente: Mcvp = 56.66 Kn-m/m Mcve = 36.67 Kn-m/m Determinando que Mcvp > Mcve e) Determinación del Impacto: El Impacto se utiliza y en el mayor momento obtenido de carga viva de acuerdo a lo siguiente: I = 30% Mcv+i = I*Mcvp Mcv+i = 1.3*52.66 Mcv+i = 68.46 Kn-m/m f) Calculo del estado límite último. combinaciones para un diseño de estado de límite último, por consiguiente se utiliza la segunda parte de la tabla, Mu (I) = µ(βdD+βi(L+I)+βcCF+βeE+βbB+βsSF) Donde: µ = 1.3 (de la tabla) βd = 1 por que se calcula por momento último (de tablas) D = Carga Muerta = 14.30Kn-m/m L+I = Carga Viva + Impacto = 68.46 Kn m/m βi = 1.67 por que se calcula por momento último (de tablas) CF = Fuerza Centrifug = no hay esta fuerza por que no hay curva E = Empuje = no se considera esta fuerza B = Subpresión = no se considera esta fuerza. SF = Presión de la corriente = no se considera por que se analiza como losa simplemente apoyada en estribos Utilizando los coeficientes y las combinaciones a utilizar para el diseño del puente en estado de límite último, la fórmula queda como: Mu (I) = µ(βdD+βi(L+I) Reemplazando se tiene: Mu (I) = 1.3 * (1* 14.03 + 1.67 * 68.46) Mu = 167.22 kN-m/m
g) Calculo del acero de refuerzo. Calculo de la fatiga del hormigón. Se utiliza la siguiente fórmula: δ = 0.85 fc / ε Donde: δ = Fatiga del hormigon fc = Fatiga característica del hormigón a los 28 días ε = Coeficiente de seguridad del hormigón 1.15 δ = 0.85 250 Kg/cm2 / 1.15 = 184.8 Kg/cm2 δ = 0.85 250 Kg/cm2 / 1.15 = 18.48 Mpa Determinación del coeficiente límite para el acero. Este parámetro nos permite determinar si la losa en base al momento último requiere que sea armado en doble armadura. µ > 0.392 no require doble armadura µ = Mu / δ * b * d² Donde: µ = Coeficiente límite para el acero δ = Fatiga del hormigón b = Base de la sección transversal de la losa = 1 m. por que se analiza por metro de losa
d = Altura de la sección transversal losa = 0.20 m µ = 0.167222 (Mpa) / 18.48 * 1 * 0.2² µ = 0.23 0.23 < 0.392 no requiere doble armadura Acero requerido es: El área de acero que requiere la losa para soportar el momento último es: A1 = Mu / Fe Donde: Mu = Momento último de diseño en Kg cm/m Fe = Fluencia del acero Kg/cm2 A1 = 1672.2 / 420 A1 = 27.75 cm2/m h) Proyección de la armadura Al ser un puente esviajado la armadura calculada debe ser proyectada paralela a la dirección del tráfico de acuerdo a la siguiente fórmula: A = A1 / cos²β Donde: A = armadura proyectada real de la losa β = ángulo de esviaje del puente. A = 27.751 / cos²30 A = 37 cm2/m i) Acero adoptado Con el área calculada se adopta la siguiente armadura: Ø 20 mm c/12 cm + Ø 16 mm c/12 cm El área total real será: en un metro Ø20c/12 cm = 26.16 cm2 Ø16 c/12 cm = 16.78 cm2 At = 42.94 cm2/m j) Armadura de Distribución La armadura de distribución se calcula como: D = 0.552 / Raiz (Lc) * A Donde: Lc = longitud de cálculo D = armadura de distribución D = 0.552 / raíz (4.33) < 0.50 D = 0.27 < 0.50 OK D = 0.27 * 37 cm2/m D = 9.82 cm2/m Se adopta: Ø 12 mm c/11 cm que es (10.28 cm2/m) OK j) Verificación de la armadura y el espesor de la losa: La ACI indica que la armadura calculada debe cubrir un momento último mayor al aplicado para el cálculo de la armadura, este momento se calcula por: Mu = Ω*(A*Fe* (d-a/2)) Donde: Ω = coeficiente de 0.9 para flexión A = área de acero adoptado A = As*cos²3β Fe = 420 Mpa (fluencia del acero) D= 0.20 altura losa a = A*fe / 0.85 Fc *b Donde: fc = resistencia del hormigón b = ancho de la losa = 1 m Si comparamos este momento con el aplicado y calculado, se tiene Mu = 207.73 > 167.22 cumple Ok
Estimaciones de prediseño para la superestructura en puentes de HºAº. Puente losa: V = 5.95*L-19 L<10 m. Puente Losa y Viga V=3.40*L-10 L<30m Donde: V= Volumen de Hº L = Luz de cálculo en metros Diseño de un puente isostático de tres vigas principales y servirá para un camión tipo MS18 definir la sección transversal del puente a) Distribución transversal de las cargas del camión tipo MS18
b) Calculo de la fracción de carga Para las vigas Interiores: fi = 0.547 s Donde: s = separación promedio entre ejes de vigas longitudinales fi = fracción de carga para vigas longitudinales para dos o mas fajas de tráfico Para las vigas exteriores: La ecuación para la fracción de carga de las vigas exteriores es: fe = D/s Donde: s = la distancia de las llantas que actúan de la viga exterior a la interior D = suma de las distancias parcial de cada llanta a la viga interior Para la primera llanta = 3.4 a la viga interior Para la segunda llanta = 1.6 a la viga interior Para la tercera llanta = 0.4 a la viga interior fe = (3.4+1.6+0.4)/s = 5.4/s Igualando fracciones de carga: 0.547s = 5.4/s la distancia a se calcula de la siguiente forma: L = 2*a +2*s
La distancia o la separación de ejes de las vigas deben ser analizadas y comparada con la tabla de factores de distribución: Como s=3.15 que es mayor a 3.05 como indica la tabla, se aplica la nota 1 de fracción de carga c) Predimensionamiento de las vigas La altura se determina por las siguientes expresiones:
H = L/16 O con la expresión H = un décimo de la luz Con la primer expresión h = 16/16 = 1 m Con la segunda expresión h = 16/10 = 1.6 m Se opta por la crítica h = 1.6 m La base de la viga se calcula con la siguiente expresión: b = h/3.5
d) Predimensionamiento de la losa Determinación de la luz de cálculo: Lc = S’ S’= 3.15 -0.45 para el cálculo del espesor de la losa se utiliza la expresión: t = (1.20(s+3.05)) / 30
e) Carpeta de rodadura Para fines práct, se considera una carpeta de rodadura de 5 cm LOSA INTERIOR f) Solicitaciones del Puente y Calculo de Momentos Característica de los materiales: - Resistencia del Concreto = 250 Kg/cm2 – 25 Mpa - Acero = 4200 Kg/cm2 = 420 Mpa - Peso específico del Hormigón = 2500 Kg/m3 = 25 kN/m2 - Peso esp de la carpeta de rodadura = 2200 Kg/m3 = 22 Kn/m2 Carga Viva : Camin MS18 = 72 Impacto 30% Calculo del Peso Propio o Carga Muerta. ´ Peso Propio losa = 0.23*25 = 5.75 Kn/m2 Peso propio rodadura = 0.05*2 = 1.10 kN/m2 TOTAL = 6.85 Kn/M2 Calculo del momento por carga muerta Mcm = g * s’²/8 Calculo del Momento por carga viva. Mcv = (0.8* (Lc+0.61)/9.75) * P Calculo del Impacto Mi = 0.3 * Mcv Mcv+i = Mi + Mcv g) Momento último – Diseño de estado de limite ultimo Mu = µ ((βdD+βi(L+I)) Donde: µ = 1.3 βd = 1 βi = 1.67 D = Mcm = 4.99 Kn-m/m L+I = Mcv+I = 25.42 Kn-m/m h) Cálculo del acero de refuerzo de la losa
Calculo de la fatiga del hormigón:
δ = 0.85 fc / ε
Donde: δ = Fatiga del hormigon fc = Fatiga característica del hormigón a los 28 días ε = Coeficiente de seguridad del hormigón 1.15 Acero requerido: La fórmula de cálculo del acero es la siguiente: A = Mu/β*t*fy Donde: Mu = Momento último β = coeficiente que define el brazo del momento de equilibrio t = ancho de la losa asumido fy = fluencia del acero β = 1-0.4*α Donde: α = coeficiente que define la profundidad del eje neutro α = (1- Raiz(1-2*μ))/0.8 Donde: μ = coeficiente límite del acero < 0.392 μ = Mu/b*t²*δ Donde: b = ancho de losa asumido = 1 m t = espesor asumido 0.23 m δ = fatiga del hormigón Armadura de distribución Para la armadura de distribución se utiliza la fórmula: D = 1.22/raíz(Lc) D = 1.22/raíz(2.70) < 67% D = 74.4% se utiliza 67% Ad = 0.67*6.6 cm2/m i) Verificación del momento último mayor al aplicado Mu = Ω*(A*Fe* (d-a/2)) Donde: Ω = coeficiente de 0.9 para flexión A = área de acero adoptado Fe = 420 Mpa (fluencia del acero) D= 0.20 altura losa a = A*fe/0.85Fcb * 10^-4 Mu = 55.75 Kn/m < al Mu =61.67 por lo tanto no cumple Como no cumple esta premisa, es necesario rediseñar la losa, aumentando acero de refuerzo, Espesor de la losa en 18 cm, con esto el área de acero nos da: i) Calculo del area de acero con el nuevo espesor δ = 18.48 Mpa μ = 0.103 <0.392 OK α = 0.1363 β = 0.9454 A = 0.06167*10^4/71.47 = 8.7 cm2 Asumido fierro de 12 cada 10 m = 11.31 cm2 a = A*fe/0.85Fcb * 10^-4 Mu = 72.2 Kn/m > al Mu =61.67 por lo tanto cumple LOSA EXTERIOR considerando que el bordillo y acera son parte de la misma, es necesario determinar los pesos y cargas de cada componente P1 = acera P2 = Bordillo P3 = Losa exterior + capa de rodadura Calculo de Carga Muertas. Peso Acera. P1 = 0.6*0.1*25 = 1.50 Kn/m
Peso Bordillo P2 = 0.2*0.38*25 = 1.90 kN/m P3 = 0.65*0.18*25 = 2.93 Kn/m Peso Losa Rodadura P4 = 0.65*0.05*22 = 0.72 Kn/m Calculo de Momentos. Por tratarse de una losa monolítica con su viga, se calculara el momento con relación al punto M en coincidencia con el eje de la losa,
Momento por carga Muerta respecto al punto M que queda en el eje de la losa Mcm = 7.8 Kn-m/m Momento por choque Mch = 2.93 Kn-m/m Ancho de distribución E = 0.35* X +0.98 Momento Mcv= P*X/E Momento por Impacto Mi = 0.3* Mcv Calculo del momento o estado de límite último es: Mu = µ ((βdD+βi(L+I+CH)) Cálculo del acero µ = 0.125 < 0.392 α = 0.167 β = 0.933 Cálculo del acero A = 10.52 cm2 Asumimos una armadura de fierro de 12 cada 10 cm Predisenos de la viga: La altura se determina por las siguientes expresiones: H = L/16 H = un décimo de la luz h = 1.10(0.15+L/18) Con la primer expresión h = 16/16 = 1 m Con la segunda expresión h = 16/10 = 1.6 m Con la tercer expresión h = 1.2 Adoptamos h = 1.6 m La base de la viga se calcula con la siguiente expresión: b = h/3.5 DISENO DE LAS VIGAS b) Especificaciones técnicas de diseño básicas: Resistencia del Concreto = 250 Kg/cm2 – 25 Mpa Acero = 4200 Kg/cm2 = 420 Mpa Peso específico del Hormigón = 2500 Kg/m3 = 25 kN/m2 Peso específico carpeta de rodadura = 2200 Kg/m3 = 22 Kn/m2 Camión de diseño = MS18 c) Calculo de las solicitaciones en vigas. CARGA MUERTA
Las cargas muertas constituidas por postes, pasamanos, aceras, bordillos, rodadura y losa, se las tienen que distribuir entre la totalidad de las vigas, que en este caso son 3. Losa: (8 * 0.18 * 25)/3 = 12 Kn/m Rodadura: (8*0.05*22)/3 = 2.93 Kn/m Viga: (0.4*(1.6-0.18))*25 = 15.98 Kn/m 1 Bordillo en c/lado:(2*(0.2*0.33*1)*25)/3= 1.1 Kn/m 1 Poste/pasamanos c/lado: (2*(0.15*0.8*1)*25)/3=2 Kn/m Aceras c/lado: (2*(0.7*0.1*1)*25)/3 = 1.17 Kn/m TOTAL CARGA MUERTA (g) 35.18 Kn/m Es importante puntualizar, que el cálculo de la carga muerta de los bordillos, aceras y pasamanos se considera para ambos lados del puente, es decir dos lados.
Calculo de momento por carga muerta para vigas Mcm = q*L²/8 Las cargas vivas actuantes en el puente para el diseño de vigas son: C. Diseño MS18 (P camión)=36 Kn144Kn 144Kn (P. rueda) = 18 Kn 72 Kn 72 Kn (P. Imp. 30%) = 23.4 Kn 93.6Kn 93.6Kn Factor de Distribución por rueda
En consecuencia, el factor de distribución de cargas es: f = 0.05+0.62+1+0.43 = 2.1 Teorema de Barré para la carga viva en vigas. La posición del tren de cargas que produce el máximo momento es aquella en la cual la carga más pesada y la resultante de todas las cargas aplicadas equidistan del centro de la luz
Cálculo del máximo momento flector por carga viva.
En primer lugar es necesario ubicar sobre la longitud de la viga, la posición del camión de diseño para la aplicación de. Barr Con el teorema de barre se encuentra la posición de la resultante d equidistante con la carga P. La resultante se encuentra en función a la ecuación R = 9/4 P o determinado a partir de sumatorias de fuerza donde: ∑V = 0 0 = 72+72+18+R R = 162 Kn para cualquier expresión
Cálculo del máximo momento flector por carga viva. Con la posición graficada se puede determinar que el máximo momento producido es en el punto b de la carga P, obteniendo que el momento es igual a: Mcv = 459.94 Kn o cuando la carga P esta esta en los 6.38 m de el punto A Mcv = 6.38 P A este momento se le debe aplicar la fracción de carga para que el momento se aplique a todas la vigas por igual: Mcvt = Mcv * f Mcvt = 459.94*2.1 Mcvt = 965.87 Kn-m Calculo del Momento por Impacto I = 15/(L+38) Mcvi = 0.278*965.87 Calculo del Momento en estado de límite último Utilizando la ecuación de combinación de cargas, se tiene: Mu = µ ((βdD+βi(L+I)) d) Calculo del acero de refuerzo para momentos Altura de la viga: La altura adoptada para la viga es de 1.6 desde la base hasta la losa, por lo que el diseño y cálculo del acero se ajusta al descuento del recubrimiento de 0.075 m h` = 16 - 0.075 Acero de refuerzo δ = 0.85 fc / ε µ = Mu / δ * b * d² α = (1- Raiz(1-2*μ))/0.8 β = 1-0.4*α A = Mu/β*t*fy A = 73.68 cm2 Se utiliza 16 fierros de 25 mm = 78.54 cm2 e) Calculo del esfuerzo cortante Esfuerzo cortante por carga muerta Vcm = (g x L) / 2 Esfuerzo cortante por carga viva se determina ubicando el camión tipo en la posición más desfavorable para corte
La cortante en el apoyo A es igual a: ∑MB = 0 RA*16-72*16-72*11.7*f-18*4.3*f=0 RA = Vcv = (72*16+72*11.7*2.1+18*7.4*2.1)/16 Vcv = (1152+1769.04+279.74)/16 Vcv = 200.04 Kn calculo del Impacto en el esfuerzo cortante Vi = I*Vcv Estado de límite último en el esfuerzo cortante Vu = µ ((βdD+βi(L+I)) Definición del diámetro y la separación de estribos La porción de viga junto a los apoyos será reforzada con estribos de acuerdo a lo siguiente: δ = Vu/A Conocida la fatiga del Hormigón, comenzamos a definir la relación de área y separación con la siguiente expresión: At / (bo*St) = (δ-0.5)/(0.8*Fe) Primero calculamos la expresión; (δ-0.5)/(0.8*Fe) δ-0.5)/(0.8*Fe) = (1.342-0.5)/(0.8*420) = 0.842/336 Igualamos este dato con la expresión: At / (bo*St) 0.0025 = At / (bo*St) La segunda expresión está en función del área de acero con el área de la viga por lo tanto si asumimos una separación de estribos cada st = 0.15 m y un bo = 0.45, el área de acero necesario será: At / (0.45*0.15) = 0.0025 At / (0.0675) = 0.0025 x 10˄4 At = 1.70 cm2 Esta área representa, la siguiente armadura: 4 fierros o estribos de 8 mm
TEOREMA DE BARRE Donde: P = carga del camión diseño para HS18 = 72 Kn b = distancia entre ejes variable entre 4.3 a 9.0 m para HS18 = 4.30 m a= distancia entre ejes mínima para HS18 = 4.30 m R = resultante = 9/4 P = 2.25 P Utilizando el momento estático para los ejes de carga tenemos respecto a la resultante: R*x = P*b + p/4 * (b+a) R*x = p*b +p*b/4 +p*a/4 R*x = P/4 (5*b+a) 9/4 P*x = P/4 (5b+a) x = (5b+a)/9 b = x+2*d b= (5b+a)/9 +2d b = 5/9b +a/9 +2d b -5/9b -a/9 = 2d (4b-a)/18 = d Para nuestro caso particular en que b = 4.3, y a= 4.3 la distancia equidistante d:
d = (4*4.3-4.3)/18
d= 0.715
