Lista No. 1 de problemas de Topolog´ opolog´ıa I
Semestre 2014-1 1. Sea X = {a,b,c,d,e,f }. Dete Determ rmin inee cu´ cuales a´les de las siguientes colecciones de subconjuntos de X son una topolog´ top olog´ıa ıa sobre X (Justifique sus respuestas): (a)
}}; T 1 = { X, ∅, {a}, {a, f }, {b, f }, {a,b,f }}
(b)
}}; T 2 = { X, ∅, {a,b,f }, {a,b,d}, {a,b,d,f }}
(c)
T 3 = { X, ∅, {f }, {e, f }, {a, f }}.
(d)
T 4 = { X, ∅, {c}, {b,d,e}, {b,c,d,e}, {b}};
(e)
T 5 = { X, ∅, {a}, {b,d,e}, {a,b,d}, {a,b,d,e}};
(f) (f )
}}. T 6 = { X, ∅, {b}, {a,b,c}, {d,e,f }, {b,d,e,f }}
2. Sea (X, T ) un espacio topol´ ogico ogico cualquiera. cualquiera. Verifique erifique que la interintersecci´ on on de cualquier n´ umero finito de miembros de T es un miembro umero de T . (Sugerencia: Use inducci´on on matem´ atica.) atica.) 3. Demuestr Demuestree que cada una de las siguientes siguientes colecciones colecciones de subconjunto subconjuntoss de R es una topolog topo log´´ıa sobre R: (i)
a T 1 est´
formada por R, ∅ y todo intervalo (−n, n) con n ∈ N;
(ii)
a T 2 est´
formada por R, ∅ y todo intervalo [−n, n] con n ∈ N;
(iii)
a T 3 est´
formada por R, ∅ y todo intervalo [n, ∞) con n ∈ N.
4. Demuestr Demuestree que cada una de las siguientes siguientes colecciones colecciones de subconjunto subconjuntoss de N es una topolog topo log´´ıa sobre N: (i) T 1 est´ a formada por N, ∅ y todo conjunto {1, 2,...,n} con n ∈ N. ´ (Esta es llamada la l a topolog top olog´´ıa de los segmentos iniciales de N .) (ii) T 2 est´ a formada por N , ∅ y todo conjunto { n, n + 1,...} con n ∈ N. ´ (Esta es llamada la topolog´ topolog´ıa de los segmentos finales.) 5. Liste todas las topolog top olog´´ıas posibles p osibles sobre los conjuntos siguientes: (i) X = {a, b}; (ii) Y = {a,b,c}. 1
6. Sea X = {0, 1} y sea τ = {∅, X, {0}}. Entonces τ es una topolog´ıa sobre X y al espacio (X, τ ) se le conoce como espacio de Sierpi´nski. 7. Sea X un conjunto no vac´ıo. ¿Es la familia τ ∞
:= {∅} ∪ {U ⊆ X : |X \ U | ≥ ℵ0}
una topolog´ıa sobre X ? 8. Sea X un conjunto infinito y T una topolog´ıa sobre X . Si cada subconjunto infinito de X pertenece a T , demuestre que T es la topolog´ıa discreta. 9. Exactamente, tres de las siguientes diez colecciones de subconjuntos de R son topolog´ıas sobre R . Identif´ıquelas y justifique sus respuestas: (i) T 1 est´ a formada por R, ∅ y todo intervalo (a, b) con a, b ∈ R y a < b. (ii)
a T 2 est´
formada por R, ∅ y todo intervalo (−r, r) con r > 0.
(iii) T 3 est´ a formada por R, ∅ y todo intervalo (−r, r) con r ∈ Q positivo. (iv) T 4 est´ a formada por R, ∅ y todo intervalo [−r, r] con r ∈ Q positivo. (v) T 5 est´ a formada por R, ∅ y todo intervalo (−r, r) con r ∈ R \ Q positivo. (vi) T 6 est´ a formada por R, ∅ y todo intervalo [−r, r] con r ∈ R \ Q positivo. (vii)
a T 7 est´
formada por R, ∅ y todo intervalo [−r, r) con r > 0.
(viii)
a T 8 est´
formada por R, ∅ y todo intervalo (−r, r] con r > 0.
(ix) T 9 est´ a formada por R, ∅, todo intervalo [−r, r] y todo intervalo (−r, r) con r > 0. (x) T 10 est´ a formada por R, ∅, todo intervalo [−n, n] y todo intervalo (−r, r) con n ∈ N y r > 0. 10. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico y A ⊆ X . Demuestre que si para cada x ∈ A existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A , entonces A ∈ τ . 2
11. Sea B una colecc´ıon de subconjuntos de un conjunto X tal que ∅, X ∈ B y B es cerrado ba jo uniones finitas e intersecciones arbitrarias. Demuestre que la colecci´on τ
= {X \ C : C ∈ B }
es una topolog´ıa sobre X . 12. Sea E un subconjunto de X . Corrobore la exactitud de la afirmaci´on “la colecci´ on T (E ) = { ∅} ∪ {A ⊆ X : E ⊆ A } es una topolog´ıa en X ”. ¿C´ omo es T (E ) si E = ∅ (respectivamente, si E = X )? 13. Sea X un conjunto m´ as que numerable y T = {∅} ∪ {E ⊆ X : | X \ E | 6 ℵ0 }. Demuestre que T es una topolog´ıa en X que llamaremos topolog´ıa as generalmente, sea κ un n´ umero cardinal infinito y conumerable . M´ sea T = {∅} ∪ {E ⊆ X : | X \ E | < κ}. La colecci´ on T es una topolog´ıa en X , es igual a la topolog´ıa discreta si |X | < κ, es la topolog´ıa cofinita si κ = ℵ 0 , y es igual a la topolog´ıa conumerable si κ = ℵ 1 . κ
κ
14. (Extensiones unipuntuales Lindel¨of-κ) Sea κ un n´ umero cardinal infinito. Para un conjunto X y un conjunto E 0 que no intersecta a X consideramos el conjunto Y = X ∪ E 0 . Verifique que la colecci´ on T E 0 , = {E : E ⊆ X } ∪ { E ⊆ Y : E 0 ⊆ E y |Y \ E | < κ} es una topolog´ıa en Y . Cuando E 0 est´ a formado por un solo punto p , escribimos T p, en vez de T { p}, . Cuando |X | > κ y E 0 = { p}, al espacio (Y, T p, + ) le llamamos extensi´on unipuntual Lindel¨of-κ de X . κ
κ
κ
κ
on de Alexandro ff del espacio discreto de cardinalidad 15. (Compactaci´ τ ) En el caso en que |X | = τ > ℵ 0 y κ = ℵ0 , el espacio (Y, T p,ℵ0 ) on por definido en el ejercicio anterior recibe el nombre de compactaci´ un punto del espacio discreto X de cardinalidad τ o compactaci´ on de Alexandro ff de X , indistintamente, y se le denota como A (X ) o A (τ ). Pruebe que si C es una colecci´on de abiertos de A(τ ) cuya uni´ o n es igual a todo el espacio, entonces existe una subcolecci´ on finita de C cuya uni´on es todo el espacio.
16. (a) Si {τ : α ∈ I }\ es una familia de topolog´ıas sobre un conjunto no vac´ıo X , entonces τ es una topolog´ ıa sobre X . Demuestre tambi´en α
α
∈I
α
que no es necesariamente cierto que
[
∈I
α
3
τ α
es una topolog´ıa.
(b) Si {τ : α ∈ I } es una familia de topolog´ıas sobre un conjunto no vac´ıo X , entonces hay una ´unica topolog´ıa ⊆-m´ınima (es decir, es la m´ınima respecto a la contenci´ on) que contiene a cada τ para α ∈ I . α
α
17. Observe que si (X, T ) es un espacio discreto o indiscreto, entonces cada conjunto abierto es tambi´ en un conjunto cerrado. Encuentre una topolog´ıa sobre el conjunto X = {a,b,c,d}, que no sea discreta o indiscreta, pero que tenga la propiedad de que cada conjunto abierto tambi´en sea cerrado. 18. Sea X un conjunto infinito. Si T es una topolog´ıa sobre X tal que cada subconjunto infinito de X es cerrado, demuestre que T es la topolog´ıa discreta. 19. Sea X un conjunto infinito. Si T es una topolog´ıa sobre X con la propiedad de que el ´unico subconjunto infinito de X que es abierto es el propio X . ¿Es (X, T ) necesariamente un espacio indiscreto? 20. (i) Sea T una topolog´ıa sobre un conjunto X tal que T consta precisamente de cuatro conjuntos, esto es, T = { X, ∅, A , B } donde A y B son subconjuntos propios no vac´ıos de X . Demuestre que necesariamente A y B tienen que satisfacer exactamente una de las siguientes tres condiciones: (a) B = X \ A;
(b) A ⊆ B ;
(c) B ⊆ A .
(Sugerencia: Muestre primero que A y B satisfacen al menos una de las tres condiciones, y luego muestre que no pueden satisfacer m´as de una de ellas simult´ aneamente.) (ii) Usando (i) liste todas las topolog´ıas sobre X = {1, 2, 3, 4} que constan exactamente de cuatro conjuntos. 21. Si τ es la topologia cofinita sobre un conjunto X y si X tiene tres subconjuntos distintos que son a la vez abiertos y cerrados, demuestre que entonces X es finito. 22. Para cualquier a, b ∈ Z con b > 0 definamos N a,b := { a + nb : n ∈ Z }. Ahora, decimos que un conjunto O ⊆ Z es abierto si O = ∅ o bien si para cada a ∈ O existe b > 0 tal que N a,b ⊆ O . (a) Verifique que efectivamente los abiertos definidos as´ı forman una topolog´ıa en Z. 4
(b) Demuestre que cualquier conjunto abierto no vac´ıo es infinito. (c) Demuestre que el conjunto N a,b es cerrado para cualesquiera a, b ∈ Z con b > 0. (d) Demuestre que si P es el conjunto de los n´ umeros primos, entonces
{1, −1} = Z \
[
N 0,p
p∈P
(e) Finalmente, con ayuda de todo lo anterior, concluya que el conjunto de los n´ umeros primos es infinito.
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