2 74
Capítulo 13
Elasticidad
(a) Dureza
(b) Ductilidad
(c) Maleabilidad
Figura 13 .8 Ejemplos de las propiedades de trabajo trabajo de los metales: metales: (a) un metal duro resiste la penetración, penetración, (b) un metal dúctil puede estirarse en forma de alambre, y (c) un metal maleable puede laminarse en hojas.
y el cobre son sumamen te dúctiles. dúctiles. La maleabilidad es la propied ad que nos permite martillar o doblar los metales para darles la forma deseada o para laminarlos en forma de hojas. La mayoría de los metales son maleables y el oro es el más maleable de todos. La conductividad se se refiere a la capacidad de los metales para permitir que fluya la electricidad a través de ellos. Los mejores conductores son la plata, el cobre, el oro y el aluminio, en ese orden. Se examinará con mayor detalle esta propiedad en capítulos posteriores.
esumen y repaso El módulo de Young Y permite calcular deformaciones longitudinales:
Resumen En la industria se deben utilizar los materiales e n forma eficaz, y para las situaciones apropiadas. Si no es así, habrá fallas en los metales que darán lug ar a daños costosos o lesiones graves entre los empleados. En este capítulo hemos expuesto las pro piedades elásticas de la materia y algunas de las fórmulas que se emplean para prede cir los efectos del esfuerzo sobre ciertos sólidos. Los siguientes puntos resum en este capítulo: • Según la ley de Hooke, un cuerpo elástico se deforma o se alarga en una cantidad 5 cuando se le aplica una fuerza F. La constante de proporcionalidad k es la constante de
El esfuerzo cortante se presenta cuando se produce una deformación angular :
elasticidad: F = ks
k = — s
Ley de Hooke
El esfuerzo es la relación entre una fuerza aplicada y el área sobre la cual actúa. La deformación es el cambio relativo de dimensiones resu ltante del esfuerzo. Por ejemplo, Esfuerzo longitudinal = Deformación longitudinal =
F
Módulo de corte
Siempre que la aplicación de un esfuerzo provoca un cambio de volumen AV, es necesario aplicar el módulo volumétrico B, el cual se calcula con la expresión
A A[
B = -
l
El módulo de elasticidad es la relación constante entre el esfuerzo y la deformación: Módulo de elasticidad =
F/A S = ~ ~ d/l
F/A
Ay/y
Módulo volumétrico
El recíproco del módulo volumétrico se conoce como compresibilidad.
esfuerzo deformación
Con ceptos clave cohesión 273 constante elástica 266 cuerpo elástico 266 deformación 266 ductilidad 273 dureza 273 elasticidad 266
esfuerzo 266 esfuerzo cortante 267 esfuerzo de compresión 267 esfuerzo de tensión 267 ley de Hooke 266 límite elástico 267 maleabilidad 273
módulo de corte 271 módulo de elasticidad 268 módulo de rigidez 271 módulo de Young 269 módulo volumétrico 272 resistencia límite 267
Preguntas de repaso 13.1. Explique con claridad la relación entre esfuerzo y deformación. 13.2. Dos alambres tienen la misma longitud y área en sección transversal, pero no son del mismo material. Ambos alambres cuelgan del techo y tienen
atado un peso de 2000 Ib cada uno. El alambre de la izquierda se estira dos veces más que el de la derecha, ¿cuál de ellos tiene mayor módulo de Young? 13.3. ¿El módulo de Young depende de la longitud y del área de la sección transversal? Explique su respuesta. 27 5
1 3.4. Dos alambres. A y B, son del mismo material y están sometidos a las mismas cargas. Comente cuáles serán sus alargamientos relativos cuando: (a) el alambre A tiene el doble de longitud y de diámetro que el alambre B, y (b) el alambre A tiene el doble de longitud que el alambre B y su diámetro es igual a la mitad del diámetro del alambre B. 13.5. Después de estudiar las diversas constantes elásticas que se presentan en las tablas 13.1 y 13.2, ¿qué diría usted que es más fácil: estirar un material o cortarlo? Explique su respuesta. 13.6. Una masa de 200 kg está sostenida de manera uniforme por tres alambres, uno de cobre, uno de alu-
13.7. 13.8. 13.9.
13.10.
minio y uno de acero. Si los alambres tienen las mismas dimensiones, ¿a cuál de ellos corresponde el mayor esfuerzo y a cuál el menor? ¿Cuál de ellos sufre la mayor deformación y cuál la menor? Comente los diversos esfuerzos que se presentan cuando un tornillo de máquina se aprieta. Mencione varios ejemplos prácticos de esfuerzos longitudinales, cortantes y volumétricos. Para un metal dado, ¿esperaría usted que hubiera alguna relación entre su módulo de elasticidad y su coeficiente de restitución? Comente el tema. ¿Qué tiene mayor compresibilidad, el acero o el agua?
Problemas Sección 13.1 Propiedades elásticas de la materia 13.1. Cuando una masa de 500 g cuelga de un resorte, éste se alarga 3 cm. ¿Cuál es la constante elástica? Resp. 163 N/m 13.2. ¿Cuál es el incremento del alargamiento en el resorte del problema 13.1 si se cuelga una masa adicional de 500 g debajo de la primera? 13.3. La constante elástica de un resorte resultó ser de 3000 N/m. ¿Qué fuerza se requiere para comprimir el resorte hasta una distancia de 5 cm? Resp. 150 N 13.4. En un extremo de un resorte de 6 in se ha colgado un peso de 4 Ib, por lo cual la nueva longitud del resorte es de 6.5 in. ¿Cuál es la constante elástica? ¿Cuál es la deformación? 13.5. Un resorte en espiral de 12 cm de largo se usa para sostener una masa de 1.8 kg que produce una deformación de 0.10. ¿Cuánto se alargó el resorte? ¿Cuál es la constante elástica? R esp. 1.2 cm, 1470 N /m 13.6. En el caso del resorte del problema 13.5, ¿qué masa total se deberá colgar de él si se desea provocar un alargamiento de 4 cm?
13.11 . Una masa de 500 kg se ha colgado del extremo de un alambre de metal cuya longitud es de 2 m, y tiene 1 mm de diámetro. Si el alambre se estira 1.40 cm, ¿cuáles han sido el esfuerzo y la deformación? ¿Cuál es el módulo de Young en el caso de este metal? Resp. 6.24 X 109 Pa, 7.00 X 103, 8.91 X 1011 Pa 13.12. Una viga maestra de acero de 16 ft con área de sección transversal de 10 in2sostiene una carga de com presión de 20 toneladas. ¿Cuál es la disminución resultante en la longitud de la viga? 13.13 . ¿En qué medida se alarga un trozo de alambre de bronce, de 60 cm de longitud y 1.2 mm de diámetro, cuando se cuelga una masa de 3 kg de uno de sus extremos? Resp. 0.1 74 mm 13.1 4. Un alambre cuya sección transversal es de 4 mm2 se alarga 0.1 mm cuando está sometido a un peso determinado. ¿En qué medida se alargará un trozo de alam bre del mismo material y longitud si su área de sección transversal es de 8 mm2y se le somete al mismo peso? 13.15. El esfuerzo de compresión del hueso de un muslo humano de la figura 13.9 se parece al ejercido en la
Sección 13.2 Módulo de Young 13.7. Un peso de 60 kg está suspendido de un cable cuyo diámetro es de 9 mm. ¿Cuál es el esfuerzo en este caso? Resp. 9.24 Mpa 13.8. Un trozo de alambre de 50 cm de longitud se estira hasta alcanzar la longitud de 50.01 cm. ¿Cuál es la deformación? 13.9. Una varilla de 12 m está sometida a un esfuerzo de compresión de —0.0004. ¿Cuál es la nueva longitud de la varilla? Resp. 11.995 m 13.10. El módulo de Young de una varilla es de 4 X 1011 Pa. ¿Qué deformación resultará con un esfuerzo de tensión de 420 Mpa? 27 6
Cap ítulo 13
Resumen y repaso
i?j = 12.5 mm R . = 6.2 mm
Fig ura 13 .9 Esfuerzo de compresión en el hueso del muslo (fémur). (Figura po r Hemera, Inc.)
sección transversal de un cilindro hueco. Si el esfuerzo máxim o que puede sostenerse es 172 MPa, ¿cuál es la fuerza requerida para rom per el hueso en su parte más estrecha? Use las dimensiones que se proporcionan en la figura. Resp. 63 .66 kN
5m
Sección 13.3 Módulo de corte
13.16. Una fuerza de corte de 40 000 N se aplica a la parte superior de un cubo cuyo lado mide 30 cm. ¿Cuál es el esfuerzo cortante en este caso? 13.17. Si el cubo del problema 13.16 es de cobre, ¿cuál será el desplazamiento lateral de la superficie superior del cubo? Resp. 3.15 ¡im 13.18. Una fuerza de corte de 26 000 N se distribuye de manera uniforme sobre la sección transversal de un alfiler de 1.3 cm de diámetro. ¿Cuál es el esfuerzo cortante? 13.19. Una varilla de aluminio cuyo diámetro es 20 mm sobresale 4.0 cm de la pared. El extremo de la varilla está sujeto a una fuerza de corte de 48 000 N. Calcule la flexión hacia abajo. Resp. 0.2 58 mm 13.20 . Una varilla de acero sobresale 1.0 in por encima del piso y tiene 0.5 in de diámetro. La fuerza de corte F aplicada es de 6000 Ib y el módulo de corte es 11.6 X 106 lb/in2. ¿Cuáles son los valores del esfuerzo cortante y la flexión horizontal? 13.21. Una carga de 1500 kg está sostenida por un extremo de una viga de aluminio de 5 m, como se aprecia en la figura 13.10. El área de la sección transversal de la viga es de 26 cm2y el módulo de corte es 23 700 MPa. ¿Cuáles son el esfuerzo cortante y la flexión hacia aba jo de la viga? Resp . 5.6 5 X 106 Pa, 1.19 m m 13.22. Una placa de acero de 0.5 in de espesor tiene una resistencia límite de corte de 50 000 lb/in2. ¿Qué fuerza se tendrá que aplicar para hacer un orificio de 1/4 in que atraviese toda la placa?
Lñ
1500 kg
Figura 13.10 Sección 13.4 Elasticidad de volumen; Módulo volumétrico 13.23. Una presión de 3 X 108 Pa se aplica a un bloque cuyo volumen es 0.500 m3. Si el volumen disminuye en 0.004 m3, ¿cuál es el módulo volumétrico? ¿Cuál es la compresibilidad? Resp. 37 500 MPa, 2.67 X 10" m3/P a 1 13.24. El módulo volumétrico para un determinado tipo de aceite es de 2.8 X 1010 Pa. ¿Cuánta presión se requiere para que su volumen disminuya de acuerdo con un factor de 1.2 por ciento? 13.25. Una esfera de latón macizo (B = 35 000 MPa) cuyo volumen es 0.8 m3 se deja caer en el océano hasta una profundida d en la cual la presión hidrostática es 20 Mpa mayor que en la superficie. ¿Qué cambio se registrará en el volumen de la esfera? Resp. —4.5 7 X 10~4 m3 13.26. Un fluido en particular se comprime 0.40 por ciento bajo una presión de 6 MPa. ¿Cuál es la compresibilidad de ese fluido? 13.27. ¿Cuál es el decremento fraccional del volumen del agua cuando está sometida a una presión de 15 MPa? Resp. 0 . 0 0 7 1 4
Problemas adicionales 13.28. Un alambre de acero de 10 m y 2.5 mm de diámetro se estira una distancia de 0.56 mm cuando se coloca cierta carga en su extremo. ¿Cuál es la masa de esa carga? 13.29. Una fuerza de corte de 3 000 N se aplica en la superficie superior de un cubo de cobre cuyo lado mide 40 mm. Supong a que S = 4.2 X 1010Pa. ¿Cuál es el Resp. 4.46 X 105 rad ángulo de corte? 13.30. Una columna sólida cilindrica de acero mide 6 m de longitud y 8 cm de diámetro. ¿Cuál es la disminución de la longitud cuando la columna soporta una carga de 90 000 kg? 13.31. Un pistón de 8 cm de diámetro ejerce una fuerza de 2000 N sobre 1 litro de benceno. ¿Cuánto disminuye el volumen del benceno? Resp. —3.79 X 107 m3
13.32. ¿Cuánto se estirará un trozo de alambre de cobre de 600 mm de longitud y 1.2 mm de diámetro cuando se cuelga una masa de 4 kg de uno de sus extremos? 13.33. Una columna cilindrica sólida de acero mide 12 ft de altura y 6 in de diámetro. ¿Qué carga debe soportar para que su longitud disminuya —0.0255 in? Resp. 1.50 X 105 Ib 13.34. Calcule la contracción del volumen de mercurio si un volumen original de 1 600 cm3de este elemento se somete a una presión de 400 000 Pa. 13.35. ¿Cuál es el diámetro mínimo de una varilla de bronce si tiene que soportar una tensión de 400 N sin que se exceda el límite elástico? Resp. 1.16 m m Cap ítulo 13
Resumen y repaso
277
13.36. Un bloque cúbico de metal con lados de 40 cm so porta una fuerza de corte de 400 000 N en su borde superior. ¿Cuál es el módulo de corte para este me tal si el borde superior se flexiona hasta una distan cia de 0.0143 mm?
13.37. Una cuerda de acero para piano tiene una resistencia límite de 35 000 lb/in2 aproximadamente. ¿Cuál es la mayor carga que puede soportar una cuerda de acero de 0.5 in de diámetro sin romperse? Resp. 6868.75 Ib
Preguntas para la reflexión crítica 13.38. Un alambre de metal se alarga 2 mm cuando está sometido a una fuerza de tensión. ¿Qué alargamiento se puede esperar con esa misma fuerza si el diámetro del alambre se reduce a la mitad de su valor inicial? Suponga que el alambre de metal conserva su mismo diámetro, pero que su longitud se duplica. ¿Qué alargamiento se podría esperar entonces con la misma carga? Resp. 0.500 mm, 4 mm 13.39. Un cilindro de 4 cm de diámetro está lleno de aceite. ¿Qué fuerza habrá que ejercer en total sobre el aceite para obtener una disminución de 0.8 por ciento en el volumen? Compare las fuerzas necesarias si el aceite se sustituye por agua y si se sustituye por mercurio. *13.40. Una bola de 15 kg está unida al extremo de un alam bre de acero de 6 m de largo y 1.0 mm de diámetro. El otro extremo del alambre está sujeto a un techo elevado y el conjunto constituye un péndulo. Si pasamos por alto el pequeño cambio de longitud, ¿cuál es la rapidez máxima con la cual puede pasar la bola por su punto más bajo sin que se exceda el límite elástico? ¿Cuál será el incremento de longitud del alambre bajo el esfuerzo limitador? ¿Qué efecto tendrá este cambio sobre la velocidad máxima? Resp. 4.38 m/s, 7.19 mm, un ligero aumento en la velocidad máxima 13.41. En un cilindro de 10 in de diámetro se vierte gliceri na hasta una altura de 6 in. Un pistón del mismo diámetro empuja hacia abajo el líquido con una fuerza de 800 Ib. La compresibilidad de la glicerina es 1.50 X 10~6in2/lb. ¿Cuál es el esfuerzo sobre la glicerina? ¿Hasta qué distancia desciende el pistón? *13.42. La torsión de un eje cilindrico (figura 13.11) hasta un ángulo 9 es un ejemplo de deformación por esfuerzo cortante. Un análisis de la situación muestra que el ángulo de torsión en radianes se calcula mediante 2 9
~
Ti
SR4
77
donde r = momento de torsión aplicado / = longitud del cilindro R = radio del cilindro S = módulo de corte 27 8
Cap ítulo 13
Resumen y repaso
Figura 13 .11 Un momento de torsión r aplicado en un extremo de un cilindro sólido hace que éste se tuerza hasta un ángulo 9.
Si un momento de torsión de 100 Ib • ft se aplica al extremo de un eje cilindrico de acero de 10 ft de longitud y 2 in de diámetro, ¿cuál será el ángulo de torsión en radianes? Resp. 0.00764 rad *13.43. Un eje de aluminio de 1 cm de diámetro y 16 cm de alto está sometido a un esfuerzo cortante de torsión como se explicó en el problema anterior. ¿Qué momento de torsión ocasionará un retorcimiento de Io según se describe en la figura 13.11? *13.44. Dos láminas de aluminio que forman parte del ala de un avión están unidas entre sí con remaches de aluminio cuya sección transversal tiene un área de 0.25 in2. El esfuerzo cortante sobre cada remache no debe ser mayor de la décima parte del límite elástico del aluminio. ¿Cuántos remaches se necesitan si cada uno de ellos soporta la misma fracción de una fuerza de corte total de 25 000 Ib? Resp. 53 remaches
Movimiento armónico simple
Un trampolín ejerce una fuerza de restauración sobre la persona que salta directamente proporcio nal a la fuerza media necesaria para desplazar la colchoneta. El movimiento hacia adelante y atrás debido a las fuerzas de restitución suministra la energía necesaria para el movimiento armónico simple. (Fotografía de Ma rk Tippen s.)
Objetivos Cuando termine de estudiar este capítulo el alumno: 1.
Definirá el movimiento armónico simple y describirá y aplicará la ley de Hooke y la segunda ley de Newton para determinar la aceleración en función del desplazamiento.
2 . Ap licará los principio s de conservac ión de la energía mecá nica para una masa que se desplaza con movimiento armónico simple. 3.
Usará el círculo de referencia para descr ibir la variación de la ma gnitud y dirección del desplazamiento, la velocidad y la aceleración para el movimiento armónico simple.
4.
Escribirá y aplicará fórmulas para determ inar el des plaza m iento x, la veloc idad v o la acelerac ión en términos del tiempo, la frecuencia y la amplitud.
5.
Escribirá y aplicará la relación entre la frecuencia del m ovimiento y la masa de un objeto que vibra, cuando se conoce la constante del resorte. 27 9
28 0
Capítulo 14
Movimiento armónico simple
6 . Calculará la frecuencia o el periodo en el movimiento armónico simple cuando se conocen la posición y la aceleración.
7.
Describirá el movim iento de un pénd ulo simple y calculará la longitu d neces aria para producir una determinada frecuencia.
Hasta ahora hemos estudiado el movimiento de objetos que reciben la influencia de una fuerza constante e invariable. Describimos ese tipo de movimiento calculando la posición y velocidad en función del tiempo. Sin embargo, en el mundo real existen fuerzas variables. Ejemplos muy conocidos de ello son los péndulos oscilantes, las ruedas de compensación o balance de los relojes, los diapason es, una m asa que vib ra en el extrem o de un resorte en es pira l y las colu mnas de aire en v ibración de los in strum entos mu sicales. En estos y en much os otros casos se precisa una descripción más completa del movimiento causado por una fuerza resultante que varía de forma predecible.
Movimiento periódico Siempre que se deforma un objeto, aparece en él una fuerza elástica de restitución proporcional a la deformación. Cuando la fuerza deja de actuar, el objeto vibra de un lado a otro respecto de su posición de equilibrio. Por ejemplo, después de que un clavadista salta del trampolín (figura 14.1), éste continúa vibrando de arriba abajo de su posición normal durante cierto tiempo. Se dice que este tipo de movim iento es pe rió di co porque la posición y la velocidad de las partículas en movimiento se repiten en función del tiempo. Puesto que la fuerza de restitución disminuye después de cada vibración, tarde o temprano el trampolín volverá al estado de reposo. _ Figura 14.1. Vibración periód ica de u n tramp olín.
El movimiento periódico es aquel en el que otro, sobre una trayectoria fija, y regresa a de un intervalo de tiempo definido.
_ _ _ un _cuerpo se _ _ posición cada _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ +A _ _ _ _ _ _ I _ l _ ~ _ ~ _
mueve de un lado a y velocidad después
Una mesa de aire es un aparato de laboratorio sobre el que los objetos se deslizan con muy poca fricción. Suponga que fijamos un extremo de un resorte ligero a la pared y el otro a un disco circular libre para deslizarse sobre esa mesa, como se muestra en la figura 14.2. Denotaremos su posición inicial de equilibrio con x = 0, y luego estiraremos el resorte a la derecha una distancia x = A. Al soltarlo, se observa que el disco oscila de un lado a otro por la posición de equilibrio con fricción despreciable. De acuerdo con la ley de Hooke (véase el capítulo anterior), la fuerza de restitución F es directamente proporcional al desplazamiento a Mesa de aire
I I I
. .]
r
F = -kx i i
k
Presión del aire
I I I
---------X
Figura 14.2. Un disco unido a un resorte oscila a un lado y otro sobre una mesa de aire, lo que ejemplifica
el movimiento arm ónico simple.
