5) Neptuno y la tierra describen orbitas en torno al sol, siendo el radio de la primera 30 veces mayor que el de la segunda. ¿Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su orbita? Solución: Aplicando la tercera ley de Kepler:
6) ---------------------
(()) (()) (1(ñ)) (30()) (1(ñ)) (30()) 27000 164.32 ñ
7)
8)
9)
10) De acuerdo con la tercera ley de Kepler, ¿para cual de estos tres planetas hay algún error en los datos? Radio orbital (m)
Periodo (s)
Venus
1.08x1011
1.94x107
Tierra
1.49x1011
3.96x107
Martes
2.28x1011
5.94x107
Solución:
Venus
Tierra
Marte
(()) (()) 2.98x10− ()() (1.(1.098x10 4x10)) 31..726x10 6x10 ()() (3.(1.499x10 6x10)) 12.1.242x10 9x10 5.18x10− ()() (5.(2.298x10 4x10)) 11.35.825x10 8x10 2.98x10−
Rpta: Hay error en los datos de la tierra 11)
12) Un satélite de 300 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura igual al radio terrestre Calcular a) la rapidez orbital del satélite, b) su período de revolución, c) la fuerza gravitacional sobre el satélite, d) comparar su peso en la órbita con su peso en la superficie de la Tierra.
Solución:
a) El satélite de masa , se mantiene en órbita por la acción de la fuerza gravitacional, que actúa como fuerza centrípeta, es decir , entonces se igualan las expresiones de ambas fuerzas:
Como
Datos:
2
, reemplazando
→ 4 2 → 2 − 6.67× 10 , 6 × 10, 6.37× 10 − ⁄ ( ) ( 6. 7 ×10 ) × 6×10 √ 5600⁄ 2× 6.37 ×10 ∆∆ 2∆ → ∆ 2 2(2 ) 4 × 6. 3 7× 10 ∆ 5600⁄ 14294 → ∆ 3.97 ℎ − ( ) ⁄ ( ) 6. 7 × 10 × 6× 10 × 300 (2× 6.37 ×10) 740 300 × 9.8 2940 == 2740940 → = 0.25=
b) El satélite completa una vuelta en torno a la Tierra a la altura de 2 anterior, entonces:
moviéndose con la rapidez
c) La fuerza gravitacional en la órbita corresponde al peso del satélite en ese lugar, se calcula como sigue:
d) Para hacer esta comparación, calculamos su peso en tierra.
13) Un satélite meteorológico de 100 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 9630 km. Calcular: a) su rapidez tangencial en la órbita, b) el trabajo necesario para ponerlo en esa órbita. R: a) 5000 m/s, b) 3.75x109 J. Se parece mucho a este ejercicio
14) Un satélite de 300 kg describe una órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 3 radios terrestres. Calcular: a) su rapidez tangencial, b) el trabajo para ponerlo en órbita, c) la aceleración de gravedad a la altura del satélite. R: a) 3963 m/s, b) 1.4x1010 J, c) 0.61 m/s2 . 15) La Tierra tarda un año en describir su órbita en torno al Sol. Esta órbita es, aproximadamente, circular, con radio R = 1.49x10 11m. Calcula la masa del Sol.
6.1099× 10
3.88× 10/
16) Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al sol es de y su velocidad orbital , siendo su distancia al Sol en el perihelio de
4.60 ×
1. Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio. 2. Calcule las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio. 3. Calcule el módulo de su momento lineal y su momento angular en el perihelio. 4. De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales en el afelio.
Datos:
Masa de mercurio:
Masa del Sol
Cte. de Gravitación Universal
, , .
Solución Apartado 1.
En primer lugar debemos hacernos un esquema de la situación dinámica del planeta. Sobre él se ejerce solamente una fuerza, la fuerza gravitatoria que actúa, además, como fuerza centrípeta, por tanto, y al ser ésta una fuerza central podemos aplicar el Principio de Conservación del momento angular
Por tanto, y desarrollando
De donde concluimos que
Apartado 2.
Sean y Entonces
las energías cinética y potencial respectivamente y
la energía mecánica.
Apartado 3.
El módulo del momento lineal
El módulo del momento angular
referido al perihelio es
en la misma posición es
Apartado 4.
Son constantes, únicamente, el momento angular y la energía mecánica. 17) 18) 19) 20) En los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de altura, se encuentran tres masas puntuales de 200,400 y 200 kg, respectivamente. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en el baricentro del triángulo.
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
