Universidad Nacional de Cajamarca
TEMA EJERCICIOS DE ANÁLISIS DE VARIANZA
ASIGNATURA ASIGNATURA
PROFESOR
ALUMNA
: ESTADISTÍSTICA APLICADA
: JORGE PONCE
: CHUGDEN TOLEDO, EDITH
Cajamarca, octubre del 2011
Ejercicios: Análisis de varianza EJERCICIO 1
Una egresada de contaduría tiene ofertas de trabajo de cuatro empresas. Para examinar un poco más las propuestas, solicitó a una muestra de personas de nuevo ingreso, decirle cuántos meses trabajaron cada una para su compañia, antes de recibir un aumento de sueldo. La información muestral es:
Número de meses antes del primer aumento de sueldo CPA, Inc
AB Intl
12
14
10 14 12
Acct Ltd
Pfisters
18
12
12
14
16
16
12 10 10
Al nivel de significancia de 0,05; existe a lguna diferencia entre las cuatro empresas, en el número medio de meses antes de recibir un aumento de sueldo?
EJERCICIO 2
La ciudad de Maumee está dividida en cuatro distritos. El jefe de policia quiere determinar si hay alguna diferencia en el número promedio de crímenes cometidos en cada distrito. Registró el número de crímenes reportados en cada distrito en una muestra de seis días. Al nivel de significancia 0,05; puede el funcionario concluir que hay diferencia en el número promedio de crímenes?
EJERCICIOS 1. 2. 3.
IDENTIFIQUE LOS MODELOS EN CADA CASO PLANTEEE LAS HIPOTESIS QUE CONTESTAN CUALES EFECTOS SON SIGNIFICATIVOS Y PORQUE
Análisis de la varianza
Variable
N
R²
R² Aj CV
Retbiotot
18
0.47
0.09 35.37
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC
Modelo bl
gl
12849338.89 7 1307448.08 2
CM 1835619.84
653724.04
0.44
F
p-valor
1.24
0.3644
0.6542
especie
2917379.47
2
1458689.74
0.99
0.4059
per
1624708.78
1
1624708.78
1.10
0.3189
especie*per
6999802.55 2
3499901.28 2.37
0.1437
Error
14763636.00 10
1476363.60
Total
27612974.89 17
Variable
N
R²
R² Aj CV
Hojatotret
18
0.53
0.21 16.04
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC gl
Modelo
2218355.03
bl
481010.40
2
CM 7
F 316907.86
240505.20
1.24
p-valor 1.63
0.2330
0.3310
especie
731038.47
2
365519.23
1.88
0.2027
per
177356.93
1
177356.93
0.91
0.3620
especie*per
828949.24
2
414474.62
2.13
0.1693
Error
1943845.67
10
194384.57
Total
4162200.70 17
Análisis de la varianza
Variable
N
R²
R² Aj CV
Retbiotot
18
0.77
0.36 29.68
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC
Modelo bl
gl
21375293.27 11 1307448.08 2
CM
F
p-valor (Error)
1943208.48 1.87
653724.04
0.63
0.2285
0.5650
especie
2917379.47
2
1458689.74
0.68
0.5551 (bl*especie)
bl*especie
8525954.38 4
2131488.60
2.05
0.2061
per
1624708.78
1
1624708.78
1.56
0.2578
especie*per
6999802.55
2
3499901.28
3.37
0.1046
Error
6237681.62
6
1039613.60
Total
27612974.89 17
Variable
N
R²
R² Aj CV
Hojatotret
18
0.84
0.55 12.13
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC gl
Modelo bl
CM
3495220.73 11 481010.40
2
F 317747.34
240505.20
2.16
p-valor (Error) 2.86
0.1044
0.1961
especie
731038.47
2
365519.23
1.15
0.4044
bl*especie
1276865.70
4
319216.42
2.87
0.1200
per
177356.93
1
177356.93
1.60
0.2534
especie*per
828949.24
2
414474.62
3.73
0.0886
Error
666979.97
6
111163.33
Total
4162200.70 17
Coeficientes de correlación Correlacion de Pearson: coeficientes\probabilidades
(bl*especie)
Retbiotot
Hojatotret
x
n
Retbiotot
1.00 5.6E-04
0.03
0.32
Hojatotret
0.73
0.87
0.48
x
0.52
-0.04
1.00
0.28
n
0.25
0.18
0.27
1.00
1.00
Análisis de la varianza
Variable
N
R²
R² Aj CV
Retbiotot
18
0.52
0.09 35.47
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC
Modelo bl
gl
14254291.79 8 431663.85
2
CM 1781786.47
215831.92
0.15
F
p-valor
Coef
1.20
0.3928
0.8667
especie
363370.33
2
181685.16
0.12
0.8862
per
139461.74
1
139461.74
0.09
0.7662
especie*per
5286570.81
2
2643285.41
1.78
0.2230
x
1404952.90
1
1404952.90
Error
13358683.10 9
Total
27612974.89 17
Variable
N
R²
R² Aj CV
Hojatotret
18
0.53
0.12 16.88
0.95
0.3560
8.93
1484298.12
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC gl
Modelo
2225042.86
bl
115742.94
2
CM 8
F 278130.36
57871.47
0.27
p-valor 1.29
Coef 0.3533
0.7702
especie
563241.32
2
281620.66
1.31
0.3171
per
154306.97
1
154306.97
0.72
0.4191
especie*per
827726.42
2
413863.21
1.92
0.2017
x
6687.83
1
6687.83
Error
1937157.84
9
Total
4162200.70 17
0.03
215239.76
0.8640
-0.62
Análisis de regresión lineal
Variable
N
R²
R² Aj
ECMP
Retbiotot
18
0.06 3.5E-03
AIC
BIC
2177405.10
312.31 314.98
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef
Est.
E.E. LI(95%)
const 2905.18 n
9.35 9.09
LS(95%)
595.91 1641.90
T
p-valorCpMallows
4168.46
-9.91 28.62 1.03
0.3187
4.88
0.0002
2.06
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC
Modelo n
gl 1714490.28
1714490.28
1
CM 1
F 1714490.28
1714490.28
Error 25898484.61 16
p-valor 1.06
1.06
0.3187
0.3187
1618655.29
Total 27612974.89 17 Variable
N
R²
R² Aj
ECMP
AIC
Hojatotret
18
0.03
0.00 329112.41
BIC
278.83 281.50
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef
Est.
E.E. LI(95%)
const 2602.22 n
2.58 3.59
LS(95%)
235.12 2103.78
T
3100.66
-5.02 10.18 0.72
p-valorCpMallows 11.07 <0.0001
0.4823
1.55
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC
Modelo n
gl
CM
130369.78 130369.78
1
Error 4031830.92 16
F 1
p-valor
130369.78
130369.78
0.52
0.52
0.4823
0.4823
251989.43
Total 4162200.70 17
Análisis de regresión lineal
Variable
N
R²
R² Aj
ECMP
Retbiotot
18
0.11
0.00 2370777.16
AIC
BIC
313.45 317.02
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef
Est.
E.E. LI(95%)
const 3892.69 n
1302.27
LS(95%)
T
1116.96
6668.42
-36.10 53.96 -151.12 78.92 -0.67 0.5136
n^2
0.37
0.43 -0.55 1.29 0.85
p-valorCpMallows 2.99
0.0092
2.48
0.4061
2.75
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo I)
F.V.
SC
Modelo
gl 2917379.47
CM 2
F 1458689.74
p-valor 0.89
0.4328
n
1714490.28
1
1714490.28
1.04
0.3237
n^2
1202889.19
1
1202889.19
0.73
0.4061
Error 24695595.41 15
1646373.03
Total 27612974.89 17 Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC
Modelo n
gl 2917379.47
2917379.47
CM 2
F 1458689.74
2
1458689.74
Error 24695595.41 15
1646373.03
p-valor 0.89
0.89
0.4328
0.4328
Total 27612974.89 17 Variable
N
R²
R² Aj
ECMP
AIC
Hojatotret
18
0.18
0.07 329391.57
BIC
277.93 281.49
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef
Est.
E.E. LI(95%)
const 3300.05 n
LS(95%)
485.41 2265.41
-29.54 20.11 -72.42 13.33 -1.47
n^2
0.26 0.16
-0.08 0.60 1.62
T
4334.69
p-valorCpMallows 6.80 <0.0001
0.1626
4.08
0.1260
4.52
1. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
V a r i a n z a
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
V a r i a n z a
2. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
Niños
9
1
10
4
11
9
12
16
13
11
14
8
15
1
C a l c u l a r l a v a r i a n z a .
xi
f i
Ni
x i · f i
x ² i · f i
9
1
1
9
81
10
4
5
40
400
11
9
14
99
1089
12
16
30
192
2304
13
11
41
143
1859
14
8
49
112
1568
15
1
50
15
225
610
7526
50
Media aritmética
V a r i a n z a
3. E l r e s u l t a d o d e l a n z a r d o s d a d o s 1 2 0 v e c e s v i e n e d a d o p o r l a t a b l a :
Sumas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
V e c e s
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4
1. Calcular desviación típica.
xi
f i
x i · f i
x i 2 · f i
2
3
6
12
3
8
24
72
4
9
36
144
5
11
55
275
6
20
120
720
7
19
133
931
8
16
128
1024
9
13
117
1053
10
11
110
1100
11
6
66
726
12
4
48
576
120
843
6633
4. C a l c u l a r l a v a r i a n z a d e u n a d i s t r i b u c i ó n e s t a d í s t i c a q u e v i e n e d a d a p o r la siguiente tabla:
[10,
[15,
[20,
[25,
[30,
15)
20)
25)
30)
35)
3
5
7
4
2
f i
xi
f i
x i · f i
x i 2 · f i
12.5
3
37.5
468.75
17.5
5
87.5
1537.3
22.5
7
1 5 7 .5
3543.8
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 27.5
4
110
3025
32.5
2
65
2112.5
21
457.5
10681.25
30)
[30, 35)
Media
V a r i a n z a
5.Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi
f i
x i · f i
x i 2 · f i
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
6. L a s a l t u r a s d e l o s j u g a d o r e s d e u n e q u i p o d e b a l o n c e s t o v i e n e n d a d a s p o r la tabla:
[170,
[175,
[180,
[185,
[190,
[195,
175)
180)
185)
190)
195)
2.00)
1
3
4
8
5
2
A l t u r a
Nº de j u g a d o r e s
Calcula la varianza.
xi
f i
Fi
x i · f i
x i 2 · f i
[1.70, 1.75)
1.725
1
1
1.725
2.976
[1.75, 1.80)
1.775
3
4
5.325
9.453
[1.80, 1.85)
1.825
4
8
7.3
13.324
[1.85, 1.90)
1.875
8
16
15
28.128
[1.90, 1.95)
1.925
5
21
9.625
18.53
[1.95, 2.00)
1.975
2
23
3.95
7.802
42.925
80.213
23
Media
V a r i a n z a
7.Dada la distribución estadística:
f i
[0,
[5,
[10,
[15,
[20,
[25,
5)
10)
15)
20)
25)
∞)
3
5
7
8
2
6
C a l c u l a r l a v a r i a n z a .
xi
f i
Fi
[0, 5)
2.5
3
3
[5, 10)
7.5
5
8
[10, 15)
12.5
7
15
[15, 20)
17.5
8
23
[20, 25)
22.5
2
25
6
31
[25, ∞)
31
Media
No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de
clase del último intervalo.
V a r i a n z a
S i n o h a y m e d i a n o e s p o s i b l e h a l l a r l a v a r i a n z a .
8. Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide: 1 . C a l c u l a r s u m e d i a y s u v a r i a n z a . 2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, s e r á l a n u e v a m e d i a y v a r i a n z a .
cuál
xi
xi2
2
4
3
9
4
16
6
36
8
64
10
100
33
229
1
2
Ejercicios de Análisis de la Varianza con R 1. Introducción En este documento se resuelven algunos de los problemas del libro Problemas de Probabilidades y Estadística vol. 2 de C.M. Cuadras [2] con el programa estad¶³stico R. Los enunciados de los problemas se encuentran en dicho libro. Para profundizar en la teoría subyacente al Análisis de la Varianza se puede consultar, entre otros, el libro de Modelos lineales[1]. Si se quiere aprender R desde el principio o practicar su utilización en la Estadística elemental un buen libro es el de J. Verzani [5]. Para estudiar modelos lineales avanzados con R se puede leer el libro de J.J. Faraway [3].
2. Diseño de un factor Problema 10.1 Se trata de una comparación entre tres poblaciones. En primer lugar procedemos a leer los datos > Iris.setosa <- c(5.1, 4.9, 4.7, 4.6, 5, 5.4, 4.6, 5, 4.4, 4.9, + 5.4, 4.8, 4.8, 4.3, 5.8) > Iris.versicolor <- c(7, 6.4, 6.9, 5.5, 6.5, 5.7, 6.3, 4.9, 6.6, + 5.2, 5, 5.9, 6, 6.1, 5.6) > Iris.virginica <- c(6.3, 5.8, 7.1, 6.3, 6.5, 7.6, 4.9, 7.3, 6.7, + 7.2, 6.5, 6.4, 6.8, 5.7, 5.8)
Pero esta no es la forma adecuada para trabajar con un programa estadístico. Mejor ponemos los datos en un único vector y añadimos una variable cualitativa o factor que nos indique la población de cada dato. > Longitud <- c(Iris.setosa, Iris.versicolor, Iris.virginica) > Especie <- rep(1:3, each = 15) > Especie <- factor(especie, labels = c("Iris setosa", "Iris versicolor", + "Iris virginica"))
En R es imprescindible definir el vector especie como un factor, ya que en caso contrario se podría confundir con un vector numérico. Una única instrucción realiza los dos pasos > Especie <- gl(3, 15, labels = c("Iris setosa", "Iris versicolor", + "Iris virginica"))
Con la instrucción split podemos separar los datos > split(longitud, especie)
Ahora podemos realizar un resumen de los datos y el grafico que puede verse en la ¯gura 1. > tapply (longitud, especie, summary) > plot (longitud ~ especie)
Asumiendo que la variable longitud sigue una distribución normal con varianza común para las tres poblaciones. ANÀLISIS DE VARIANZA 1. Introducción
El análisis de la varianza (o Anova: Analysis of variance) es un método para comparar dos o más medias, que es necesario porque cuando se quiere comparar más de dos medias es incorrecto utilizar repetidamente el contraste basado en la t de Student. Por dos motivos:
En primer lugar, y como se realizarían simultánea e independientemente varios contrastes de hipótesis, la probabilidad de encontrar alguno significativo por azar aumentaría. En cada contraste se rechaza la H0 si la t supera el nivel crítico, para lo que, en la hipó tesis . Si se realizan m contrastes independientes, la nula, hay una probabilidad probabilidad de que, en la hipótesis nula, ningún estadístico supere el valor ) m, por lo tanto, la probabilidad de que alguno lo supere es 1 crítico es (1 - )m, que para- (1 - valores m. Una primera solución, próximos a 0 es aproximadamente igual a de , usando en sudenominada método de Bonferroni, consiste en bajar el valor de /m, aunque resulta un método muy conservador.lugar Por otro lado, en cada comparación la hipótesis nula es que las dos muestras provienen de la misma población, por lo tanto, cuando se hayan realizado todas las comparaciones, la hipótesis nula es que todas las muestras provienen de la misma población y, sin embargo, para cada comparación, la estimación de la varianza necesaria para el contraste es distinta, pues se ha hecho en base a muestras distintas.
El método que resuelve ambos problemas es el anova, aunque es algo más que esto: es un método que permite comparar varias medias en diversas situaciones; muy ligado, por tanto, al diseño de experimentos y, de alguna manera, es la base del análisis multivariante. 2. Bases del análisis de la varianza
Supónganse k muestras aleatorias independientes, de tamaño n, extraídas de una única población normal. A partir de ellas existen dos maneras independientes 2: de estimar la varianza de la población 1) Una llamada varianza dentro de los grupos (ya que sólo contribuye a ella la varianza dentro de las muestras), o varianza de error, o cuadrados medios del error, y habitualmente representada por MSE (Mean Square Error) o MSW (Mean Square Within) que se calcula como la media de las k varianzas muestrales (cada 2 y la media de k estimadores varianza muestral es un estimador centrado de centrados es también un estimador centrado y más eficiente que todos ellos). MSE es un cociente: al numerador se le llama suma de cuadrados del error y se representa por SSE y al denominador grados de libertad por ser los términos independientes de la suma de cuadrados. 2) Otra llamada varianza entre grupos (sólo contribuye a ella la varianza entre las distintas muestras), o varianza de los tratamientos, o cuadrados medios de los tratamientos y representada por MSA o MSB (Mean Square Between). Se calcula a partir de la varianza de las medias muestrales y es también un cociente; al numerador se le llama suma de
cuadrados de los tratamientos (se le representa por SSA) y al denominador (k-1) grados de libertad. MSA y MSE, estiman la varianza poblacional en la hipótesis de que las k muestras provengan de la misma población. La distribución muestral del cociente de dos estimaciones independientes de la varianza de una población normal es una F con los grados de libertad correspondientes al numerador y denominador respectivamente, por lo tanto se puede contrastar dicha hipótesis usando esa distribución. Si en base a este contraste se rechaza la hipótesis de que MSE y MSA estimen la misma varianza, se puede rechazar la hipótesis de que las k medias provengan de una misma población. Aceptando que las muestras provengan de poblaciones con la misma varianza, este rechazo implica que las medias poblacionales son distintas, de modo que con un único contraste se contrasta la igualdad de k medias. Existe una tercera manera de estimar la varianza de la población, aunque no es independiente de las anteriores. Si se consideran las kn observaciones como una única muestra, su varianza muestral también es un estimador centrado de s 2:
Se suele representar por MST, se le denomina varianza total o cuadrados medios totales, es también un cociente y al numerador se le llama suma de cuadrados total y se representa por SST, y el denominador (kn -1) grados de libertad. Los resultados de un anova se suelen representar en una tabla como la siguiente: Fuente de variación G.L.
SS
MS
F
Entre grupos Tratamientos
k-1
SSA
SSA/(k-1)
MSA/MSE
Dentro Error
(n-1)k
SSE
SSE/k(n-1)
Total
kn-1
SST
Y el cociente F se usa para realizar el contraste de la hipótesis de medias iguales. La región crítica para dicho contraste es F > (k-1,(n-1)k)F Algunas propiedades Es fácil ver en la tabla anterior que GLerror+ GLtrata = (n - 1) k + k - 1 = nk - k + k - 1 = nk - 1 = GLtotal No es tan inmediato, pero las sumas de cuadrados cumplen la misma propiedad, llamada identidad o propiedad aditiva de la suma de cuadrados:
SST = SSA + SSE El análisis de la varianza se puede realizar con tamaños muestrales iguales o distintos, sin embargo es recomendable iguales tamaños por dos motivos: La F es insensible a pequeñas variaciones en la asunción de igual varianza, si el tamaño es igual. Igual tamaño minimiza la probabilidad de error tipo II. 3. Modelos de análisis de la varianza
El anova permite distinguir dos modelos para la hipótesis alternativa: Modelo I o de efectos fijos en el que la H1 supone que las k muestras son muestras de k poblaciones distintas y fijas. Modelo II o de efectos aleatorios en el que se supone que las k muestras, se han seleccionado aleatoriamente de un conjunto de m>k poblaciones. Un ejemplo de modelo I de anova es que se asume que existen cinco poblaciones (sin tratamiento, con poca sal, sin sal, etc.) fijas, de las que se han extraído las muestras.
Un ejemplo de modelo II sería: un investigador está interesado en determinar el contenido, y sus variaciones, de grasas en las células hepáticas de cobayas; toma del animalario 5 cobayas al azar y les realiza, a cada una, 3 biopsias hepáticas. La manera más sencilla de distinguir entre ambos modelos es pensar que, si se repitiera el estudio un tiempo después, en un modelo I las muestras serían iguales (no los individuos que las forman) es decir corresponderían a la misma situación, mientras que en un modelo II las muestras serían distintas. Aunque las asunciones iniciales y los propósitos de ambos modelos son diferentes, los cálculos y las pruebas de significación son los mismos y sólo difieren en la interpretación y en algunas pruebas de hipótesis suplementarias. Análisis de la varianza de dos factores Es un diseño de anova que permite estudiar simultáneamente los efectos de dos fuentes de variación. En cualquier caso, el investigador puede estar interesado en estudiar si hay, o no, diferencia en la evolución según el sexo. En un anova de dos vías se clasifica a los individuos de acuerdo a dos factores (o vías) para estudiar simultáneamente sus efectos. En este ejemplo se harían cinco grupos de tratamiento para los hombres y otros cinco para las mujeres, en total diez grupos; en general, si el primer factor tiene a niveles y el segundo tiene b, se tendrán ab muestras o unidades experimentales, cada una con n individuos o repeticiones. Una observación individual se representa como: El primer subíndice indica el nivel del primer factor, el segundo el nivel del segundo factor y el tercero la observación dentro de la muestra. Los factores pueden ser ambos de efectos
fijos (se habla entonces de modelo I), de efectos aleatorios (modelo II) o uno de efectos fijos y el otro de efectos aleatorios (modelo mixto). El modelo matemático de este análisis es: modelo I modelo II modelo mixto jdonde m es la media global, a i o Ai el efecto del nivel i del 11 factor, ijk las desviaciones aleatoriaso Bj el efecto del nivel j del 2º factor y alrededor de las medias, que también se asume que están normalmente distribuidas, son independientes y tienen media 0 y varianza s 2. A las condiciones de muestreo aleatorio, normalidad e independencia, este modelo añade la de aditividad de los efectos de los factores. A los términos (a b )ij, (AB)ij, (a B)ij, se les denomina interacción entre ambos factores y representan el hecho de que el efecto de un determinado nivel de un factor sea diferente para cada nivel del otro factor.
Para entender mejor este concepto de interacción veamos un ejemplo sencillo sobre un anova de dos factores, cada uno con dos niveles: supóngase un estudio para analizar el efecto de un somnífero teniendo en cuenta el sexo de los sujetos. Se eligen al azar dos grupos de hombres y otros dos de mujeres. A un grupo de hombres y otro de mujeres se les suministra un placebo y a los otros grupos el somnífero. Se mide el efecto por el tiempo que los sujetos tardan en dormirse desde el suministro de la píldora. Se trata de un anova de dos factores (sexo y fármaco) fijos, cada uno con dos niveles (hombre y mujer para el sexo y somnífero y placebo para el fármaco). Los dos tipos de resultados posibles se esquematizan en la figura
A B
A se observa que las mujeres tardan más en dormirse, tanto en el grupo tratado como en el grupo placebo (hay un En la figura efecto del sexo) y que los tratados con placebo tardan más en dormirse que los tratados con somnífero en ambos sexos (hay un efecto del tratamiento). Ambos efectos son fácilmente observables.
Sin embargo en la figura B es difícil cuantificar el efecto del somnífero pues es distinto en ambos sexos y, simétricamente, es difícil cuantificar el efecto del sexo pues es distinto en ambos grupos de tratamiento. En este caso, se dice que existe interacción. Podría, incluso, darse el caso de que se invirtieran los efectos de un factor para los distintos niveles del otro, es decir, que las mujeres se durmieran antes con el somnífero y los hombres antes con el placebo. La interacción indica, por tanto, que los efectos de ambos factores no son aditivos: cuando se dan juntos, su efecto no es la suma de los efectos que tienen cuando están por separado, por lo que, si en un determinado estudio se encuentra interacción entre dos factores, no tiene sentido estimar los efectos de los factores por separado. A la interacción positiva, es decir, cuando el efecto de los factores actuando juntos es mayor que la suma de efectos actuando por separado, en Biología se le denomina sinergia o potenciación y a la interacción negativa inhibición. En el ejemplo de la figura B, se diría que el ser mujer inhibe el efecto del somnífero, o que el ser hombre lo potencia (según el sexo que se tome como referencia). 4. Contrates de hipótesis en un análisis de la varianza de dos factores
Del mismo modo que se hizo en el anova de una vía, para plantear los contrastes de hipótesis habrá que calcular los valores esperados de los distintos cuadrados medios. Los resultados son: Modelo I MS
Valor esperado
MSA
MSB
MSAB
MSE
Por lo tanto, los estadísticos MSAB/MSE, MSA/MSE y MSB/MSE se distribuyen como una F con los grados de libertad correspondientes y permiten contrastar, respectivamente, las hipótesis: no existe interacción (MSAB/MSE)
no existe efecto del primer factor, es decir, diferencias entre niveles del primer factor (MSA/MSE)
no existe efecto del segundo factor (MSB/MSE)
Si se rechaza la primera hipótesis de no interacción, no tiene sentido contrastar las siguientes. En este caso lo que está indicado es realizar un análisis de una vía entre las ab combinaciones de tratamientos para encontrar la mejor combinación de los mismos.
