EJERCICIOS 1. Al estudiar si conviene tener o no una sucursal en la ciudad de Trujillo, Trujillo, la gerencia de una gran tienda comercial de Lima, establece el siguiente criterio para tomar una decisión: Abrir la sucursal sólo si e l ingreso promedio familiar mensual en dicha ciudad es no menos de $ 500 y no abrirla en caso contrario. c ontrario. Si una muestra aleatoria de 100 ingresos familiares de esa ciudad ha dado una media de $ 480. ¿Cuál es la decisión a tomar al nivel de significancia del5%?, Se sabe que la distribución de los ingresos tiene una desviación estándar poblacional poblacional es igual a $ 80. 2. El gerente de ventas de una compañía afirma que sus vendedores venden semanalmente en promedio promedio $ 1500. Al nivel de significación significación del 1% pruebe la hipótesis del gerente versus la hipótesis del presidente de los vendedores que afirma que el promedio de las ventas v entas semanales es mayor, si una muestra de 36 vendedores ha dado una media igual a $ 1510. se sabe que la varianza semanal es de $ 900.
3. En un estudio de control de calidad de automóviles, automóviles, se considera un parámetro de evaluación si arranca en menos de 3 minutos. Para lo cual se ha tomado 10 autos de la misma marca para estudiar el tiempo de arranque encontrándose encontrándose los siguientes resultados resultados (en segundos): 2.84, 2.86, 3.06, 2.94, 2.94, 2.82, 3.02, 3.14 ,3.42, 3.16. Probar si los automóviles cumplen con este parámetro de calidad. Verificar Verificar Ho: μ = 3 frente a H1: μ < 3, utilizando α =0.05
¿A qué conclusión llegaría llegaría usted? 4. Según Roper Starch, el 62% de las Mujeres en el grupo de 40 a 49 años de edad ahorra en una cuenta individual para el retiro. Si quisiéramos poner a prueba si este porcentaje es igual para las mujeres de este grupo de edad que viven en Nueva York y seleccionáramos una muestra aleatoria de 300 neoyorquinas con estas condiciones y 195 de ellas ahorra en una cuenta individual, ¿Cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? ¿La prueba seria de z o t? ¿Por qué? 5. Se ha dicho que no más de 5% de las unidades que salen de una línea de montaje están defectuosas, Formule una hipótesis nula y una alternativa para
esta situación. ¿La prueba será de una o dos colas? ¿Por qué?. Si la prueba es de una cola, c ola, ¿Sera de cola izquierda o de cola derecha? ¿Por qué? 6. Una encuesta realizada por Bancomer a 35 clientes indicó que un poco más del 74 por ciento tenían un ingreso familiar de más de $200,000 al año. Si esto es cierto, el banco desarrollará un paquete especial de servicios para este grupo. La administración quiere determinar si el porcentaje verdadero es mayor del 60 por ciento antes de desarrollar e introducir este nuevo paquete de servicios. Los resultados mostraron que 74.29 por ciento de los clientes encuestados reportaron ingresos ingresos de $200,000 o más al año. 7. Un muestreo aleatorio de 24 artículos en un supermercado presenta una diferencia diferencia entre el valor marcado del artículo y el valor real de éste. La media y la desviación estándar de las diferencias entre el precio marcado y el real en los 24 artículos artículos son $37.14 y $6.42 respectivamente. Con un nivel de significancia significancia de 0.05 0.05 pruebe pruebe que la diferencia media entre el valor marcado y el real por artículo en ese supermercado no es mayor de $40.0. 8. Un fabricante de cereales afirma que el peso promedio de cada caja de cereal es de 500 gramos. ¿Los datos que a continuación se le dan apoyan la afirmación del fabricante? Pruebe con
= .10.
506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496 9. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas inversionistas tomó una muestra de n =10 de esta clase de valores. v alores. La media y desviación estándar es tándar resultaron: X = 8.71% y S = 2.1%. ¿Existe evidencia para decir que el verdadero verdade ro rendimiento anual promedio es igual o mayor 8.5%? con
=0.10.
10. El presidente del PRI en 1988, basado en su experiencia, sostiene que un 95% de los votos para las elecciones presidenciales han sido a favor de su partido. Los partidos de oposición levantaron una muestra de 1100 electores y encontraron que un 87% de ellos votaría por el PRI. El presidente del PRI quiere probar la hipótesis, con un nivel de significación de 0.05, que el 95% de los votos son para su partido.
11. Se afirma que, de todas las familias que salen de Cumana por lo menos el 30 % se mudan a Maracaibo. Si una muestra de 600 mudanzas tomada al azar de los registros de la Alcaldía de Cumana revela que de los permisos de mudanza autorizados 153 fueron para Maracaibo, pruebe la hipótesis nula p = 0.30 contra la hipótesis alternativa p < 30 con un nivel de significancia del 1 %. 12. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en el sistema eléctrico de vehículos. El cliente requiere que la proporción de controladores defectuosos no sea mayor de 0.05, y que el fabricante demuestre estas características del proceso de fabricación con este nivel de calidad, con un nivel de significancia del 5 %. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que 4 de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad exigida? Saque sus conclusiones. 13. Se sabe que el 10 % de los fumadores prefieren la marca de cigarrillo Malboro. Después de una campaña publicitaria del cigarrillo Malboro, se entrevistaron a 200 fumadores para determinar la eficiencia de la campaña publicitaria. El resultado de la muestra realizada detecto un total de 26 personas que fumaban Malboro. ¿Pueden considerarse que esos datos presentan evidencia suficiente para indicar que hubo un aumento en la aceptación del cigarrillo Malboro. Obtenga las conclusiones del planteamiento desarrollando un contraste de hipótesis con un nivel de significancia del 5 %. 14. 15. Probemos la hipótesis de que el porcentaje de microempresas cuyos patrones son hombres captado por la ENAMIN es distinto de 88%. SEXO DEL PATRON
Valid
Hombre Mujer Total
Frequency 1634 314 1948
Percent 83.9 16.1 100.0
Valid Percent 83.9 16.1 100.0
Cumulative Percent 83.9 100.0
16. La administración de las tiendas Oxxo cree, sobre la base de una investigación, que el porcentaje de hombres que visitan sus tiendas 9 o más
veces al mes (clientes frecuentes) es mayor que el porcentaje de mujeres que hacen lo mismo. La información proporcionada es:
n H P H P H
n M
0.58 P M
P M
45
0.58
71 0.42
0.42
0.16
17. Un fabricante está por decidir entre continuar con el método actual o usar un nuevo método de montaje de un producto. Cambiará el método actual si, hay prueba que evidencia que el nuevo método usa menos tiempo. A fin de tomar una decisión, se seleccionó una muestra aleatoria de 10 operarios expertos y se registro el tiempo de montajes, en minutos, que utilizó cada operario con ambos métodos. Los datos se resumen en la s iguientes tabla: Operador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
M. Actual
7
8
10
12
13
13
14
14
15
16
M. Nuevo
6
9
7
11
10
11
15
12
13
12
Diferencia
1
-1
3
1
3
2
-1
2
2
4
¿Con los resultados de esta muestra y al 5% de significancia. ¿Cree usted que el fabricante cambiará el método de montaje del producto?? 18. El inversionista desea comparar los riesgos asociados con dos diferentes mercados, A y B. El riesgo de un mercado dado se mide por la variación en los cambios diarios de precios. El inversionista piensa que el riesgo asociado con el mercado B es mayor que el del mercado A. Se obtienen muestras aleatorias de 31 cambios de precio diario de A y de 36 para el mercado B. Se obtienen los siguientes resultados. Medidas Estadísticas
Mercado A
Mercado B
Promedio muestral
0.3
0.4
Desviación muestral
0.25
0.45
a) Si se supone que las muestras provienen de dos poblaciones normales e independientes a un nivel de significancia del 5% ¿encuentre apoyo la creencia del inversionista? b) Si la varianza de A es la dada ¿cuál es el máximo valor de la varianza muestral de B con base en que no llevará el rechazo de la hipótesis nula del primer inciso? 19. Yahoo Internet Life patrocinó encuestas en varias áreas metropolitanas para estimar la proporción de adultos que usan internet en el trabajo (USA Today, 7 de Mayo 2007). En los resultados se encontró que 40% de los adultos de Washington, utilizan internet en el trabajo, en tanto que el 32 % de los adultos de San Francisco utilizan internet en el trabajo. Si las muestras son de 240 y 250, respectivamente, ¿los resultados muestrales indican que la proporción de adultos que usan internet en el trabajo en Washington es mayor que la proporción de San Francisco? Con α=0,05.
20. Un supervisor de calidad va a comparar las cantidades de artículos defectuosos que procesan dos líneas de producción A y B. El escogió dos muestras aleatorias independientes, una de 50 de A y la otra de 60 de B, observando 8 y 6 artículos defectuosos respectivamente. ¿Existe alguna evidencia que indique que una de las líneas produce una mayor proporción de artículos defectuosos?
En Ciencias de la Salud 1. El doctor Jeffrey M. Barrett de Lakeland, en el estado de Florida, Estados Unidos, reportó los datos correspondientes a 8 casos de prolapso del cordón umbilical Las edades de las madres eran de 25, 28, 17, 26, 27, 22, 25 y 30 años. Se pretende saber si es posible concluir que la media de la población de la que se supone fue extraída la muestra es mayor a 20 años. Sea α=01.
2. Se hizo un estudio de una muestra de 25 expedientes de enfermos crónicos atendidos como pacientes externos. El número medio de consultas por paciente fue de 4.8 y la desviación estándar de la muestra fue de 2. ¿Es posible concluir a partir de estos datos que la media de la población es mayor que cuatro visitas por paciente? Suponga que la probabilidad de cometer un error de tipo I es de .05. ¿Cuáles son los supuestos que se deben cumplir? 3. En una muestra de 49 adolescentes que se prestaron como sujetos para un estudio inmunológico, una variable de interés fue la prueba del' diámetro de reacción de la piel a un antígeno. La media de la muestra y la desviación estándar poblacional fueron eritema de 21 y 11 mm, respectivamente. ¿Es posible concluir a partir de estos datos que la media de la población es menor que 30? Sea α =0.05.
4. Nueve animales de laboratorio fueron infectados con cierta bacteria y luego inmunosuprimidos. El número medio de organismos aislados posteriormente de los tejidos de dichos animales fue de 6.5 (datos codificados) con una desviación estándar de 0.6 ¿Es posible concluir a partir de estos datos que la media de la población es mayor que 6? Sea α = 0.05. ¿Qué supuestos se
deben cumplir? 5. Se desea saber si es posible concluir que el consumo medio diario de calorías de la población rural de un país en desarrollo es de menos de 2000. Una muestra de 500 individuos produjo un consumo medio de 1985. Se sabe que la desviación estándar poblacional es de 210. Sea α = 0.05.
6. Una encuesta de 100 hospitales de tamaño similar reveló un censo medio diario en el servicio de pediatría de 27 con una desviación estándar de 6.5. ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia para indicar que la media de la población es mayor que 25? Sea α =0.05.
7. Una muestra aleatoria de 20 profesores universitarios aparentemente sanos proporcionó los siguientes valores de capacidad respiratoria máxima. ¿Es posible concluir que la media máxima de respiración no es de 110 litros por minuto? 132, 33, 91, 108, 67, 169, 54, 203, 190, 133, 96,30, 187, 21,63, 166,84, 110, 157, 138
Sea α = 0.01. ¿Qué supuestos se deben cumplir?
8. En un estudio diseñado para comparar un nuevo tratamiento para la migraña con el tratamiento estándar, 78 de los 100 individuos que recibieron el tratamiento estándar, respondieron favorablemente; de los 100 individuos que recibieron el nuevo tratamiento, 90 de ellos respondieron satisfactoriamente. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique que el nuevo tratamiento es más efectivo que el estándar?
9. Para analizar la obesidad se obtuvieron los siguientes resultados a partir de una muestra de hombres y otra de mujeres, entre las edades de 20 a 75 años: SEXO N Personas con sobrepeso MASCULINO 150 21 FEMENINO 200 48 ¿Es posible concluir a partir de estos datos que en las poblaciones muestreadas existe diferencia en las proporciones de individuos con sobrepeso?
10. Un investigador de enfermería desea saber si los graduados de los programas de enfermería a nivel bachillerato y los graduados de programas asociados de enfermería difieren en cuanto a las calificaciones medias obtenidas en un estudio de personalidad. Una muestra de 50 graduados de programas asociados (grupo A) y uña maestra de 60 graduados de bachillerato (grupo B) proporcionaron las siguientes medias y desviaciones estándar: Muestra
Media
S
A
52.5
10.5
B
49.6
11.2
Con base en estos datos, ¿qué puede concluir e! investigador? Sea
α
= .05.
11. Una prueba diseñada para medir las actitudes de las madres en cuánto al trabajo de parto y el periodo de expulsión se aplicó a dos grupos de madres primerizas. La muestra 1 (asistentes) acudieron a clases de instrucción prenatal impartidas en el departamento de salud. La muestra 2 (ausentes) no asistieron a clases. El tamaño de las muestras, medias y desviaciones estándar de las calificaciones para las pruebas son las siguientes: Muestra
n
Media
1
15
4.75
s 1.0
1.5 2 22 3.00 ¿Proporcionan estos datos la evidencia suficiente para indicar que las asistentes, en promedio, tienen calificaciones más que las ausentes? Sea α= .05.
12. Varios investigadores desean saber si es posible concluir que dos poblaciones de niños difieren respecto a la edad promedio en la cual pueden caminar por sí solos. Los investigadores Obtuvieron los siguientes datos (edades en meses). Muestra de la población A: 9.5, 10.5, 9.0,-9:75,10.0, 13.0, 10.0, 13.5, 10.0, 9.5, 10.0, 9.75 Muestra de la población B: 12.5, 9.5, 13.5, 13.75, 12.0, 13.75, 12.5, 9.5, 12.0, 13.5, 12.0, 12.0 13. Babaian y Camps afirman que el antígeno específico prostático (A£P), encontrado en las células, ductales epiteliales de la próstata, es específico para el tejido prostático y es detectable en el suero de hombres con próstata normal y en hombres con enfermedades benignas ó malignas de esta glándula. Los investigadores determinaron los valores de AEP en una muestra de 124 hombres que se sometieron á una biopsia de la próstata. Sesenta y siete hombres tenían concentraciones elevadas de AEP (>4 ng/ml); de estos, a 46 se les diagnosticó cáncer. Diez de los 57 hombres con valores de AEP ≤
4 ng/ml tenían cáncer. Con base en estos datos, ¿es posible concluir que, en general, los hombres con valores elevados de AEP tienen mayor probabilidad de tener cáncer de prósta ta? Sea α =0.01. 14. La mayoría de las personas que dejan de filmar, se quejan de que al hacerlo suben de peso. Hall y otros investigadores diseñaron una nueva técnica para
prevenir que la gente suba de peso, la cual compararon contra otras condiciones que incluían una condición control de tratamiento estándar ideada para representar la atención estándar del sobrepeso inducido por dejar de fumar. Una de las hipótesis de los investigadores era que las tasas de abstinencia de tabaco serían mayores con la nueva técnica que las registradas en las otras dos condiciones. De 53 individuos asignados a la nueva condición, 11 dejaron de fumar al final de 52 semanas; diecinueve de los 54 individuos asignados a la condición de control se abstuvieron hasta el final del mismo periodo. ¿Ofrecen estos datos suficiente evidencia para apoyar, con un nivel de significación de 0.05, la hipótesis de los investigadores? 15. En un estudio para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142 libras, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas de sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. ¿El promedio de los pesos de los niños será más grande que el de las niñas?
En Ingeniería 1. Se sabe que la duración en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duración promedio de
x
= 1014 horas.
¿Se tiene evidencia estadística para decir que la duración promedio de todos los focos de 75 watts es de 51 horas? Pruebe con un nivel de significancia de 0.05. 2. Un ingeniero civil analiza la resistencia a la comprensión del concreto. La resistencia esta distribuida aproximadamente de manera normal, con una varianza = 1000(psi)2. Al tomar una muestra aleatoria de 12 especímenes, se tiene que
x
Pruebe Ho
= 3250 psi.
3. Después del mantenimiento y la calibración, una máquina para extrusión produce tubos de aluminio con una media de diámetro exterior de 2.500 pulgadas y una desviación estándar de 0.027 pulgadas. Cuando la máquina funciona durante un gran número de tumos de trabajo . La desviación estándar no se altera, pero la combinación de desechos acumulados y el desgaste mecánico provoca que la media del diámetro "se aleje" de las 2.500 pulgadas deseadas. En una muestra aleatoria reciente de 34 tubos, la media del diámetro fue de 2.509 pulgadas. Con un nivel de significancia de 0.01, ¿La máquina parece requerir de mantenimiento y calibración? Determine e interprete el valor de p para la prueba. 4. Un fabricante de equipos electrónicos encontró que
media del tiempo que
necesitan los novatos para armar su nuevo probador de circuitos es de 3 horas, con una desviación estándar de 0.20 horas. Un
cons ultor desarrolló
un
nuevo instructivo con el fin de reducir el tiempo que necesita un armador inexperto para montar el dispositivo. En una prueba sobre la eficacia del nuevo instructivo, 15 novatos requirieron una media de 2.90 horas para completar el trabajo. Suponiendo que la población de tiempos tiene una distribución normal, y utilizando un nivel de significancia de 0.05. ¿debemos concluir que el nuevo folleto es eficaz? Determine e interprete el valor de p para la prueba. 5. En un estudio hecho para determinar el tiempo medio necesario para el montaje de cierta pieza de una maquina, 40 trabajadores hicieron un promedio de 42.5 minutos con una desviación típica de 3.8 minutos: ¿Los datos arrojan evidencia para decir que el tiempo promedio de montaje de cierta pieza es mayor de 44 minutos? Utilice
= .02.
6. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que la concentración promedio de zinc es menor de 2.9 gramos por mililitro? Utilice
= .05.
7. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Suponga que la desviación estándar de la población es
0.3. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que la concentración promedio de zinc es menor de 2.9 gramos por mililitro? Utilice
=
.02.
8. En un experimento de laboratorio 50 estudiantes de ingeniería midieron por separado el calor especifico del aluminio, obteniendo una media de 0.2210 calorías por grados centígrado y por gramo y una desviación estándar de .0240 ¿Los datos arrojan evidencia suficiente para decir H o :
= .2300? .Utilice un
nivel de significancia de 0.05. 9. Una muestra aleatoria simple de 50 artículos originó una media de muestra de 32 y una desviación estándar muestral de 6. Con un nivel de significancia 0.10 Podemos decir que la media de la población es 34?. 10. Una compañía controla su proceso de producción en tal forma, que se pone en bolsitas un promedio de 20 grs. de un producto químico. El proceso se detendrá cuando el promedio no es de 20 grs. Se tomó una -muestra; aleatoria de 16 observaciones y el promedio muestra! resultó ser 19 grs. ¿Debe pararse el proceso y ajustarse? La desviación estándar poblacional es dé 2 grs. Y el nivel de significancia escogido es de 5%. 11. Un fabricante requiere fibra de algodón con una resistencia, media a la tensión de 6,50 onzas y o = 0.25. Investigó un nuevo lote de fibras mediante una muestra de 16 piezas y encontró x = 6,65 onzas. Existe evidencia de que este lote es de resistencia mayor a la requerida? 12. Las cajas de avena llenadas por un proceso automático deben -tener un contenido de 160 gramos en promedio. Si no es así debe detenerse la producción para regular la máquina. Para el control se obtuvo el peso en gramos Xi de 10 cajas seleccionadas al azar de esa producción y resultaron las siguientes sumas: Ʃxi = 1580, Ʃxi2 = 249658; al nivel de significancia de 0.01 ¿es razonable detener la producción? 13. Una compañía afirma que la resistencia a la rotura de sus maletas plásticas es de un promedio mayor a las 300 lluras. Se toma una muestra aleatoria de 9 maletines se encuentra que el promedio de resistencia a la-rotura es: 280, 290, 292, 300,305, 295, 290, 310, 305. Verificar la afirmación de la compañía. Suponga que sus resistencias a la rotur a están normalmente distribuidas α=0.05
14. La empresa productora de cereales embasados para consumo directo " ENERGÍA" a lanzado al mercado su nuevo producto "CRECIENDO FUERTE el cual tiene como especificaciones un peso promedio neto de 1 kilogramo. Si un agente del gobierno toma una muestra representativa de 8 unidades y los pesos netos fueron los siguientes: 0.995, 0.974, 0.966, 0.9.35, 0.999, 1.06, 1.01 y 0.983 kilogramos. Con una significación del 5% ¿Podría el agente ordenar se multe a la empresa productora? 15. El productor de cierta marca de baterías para .cámara, fotográfica dice que su producción tiene vida media de más de 750. minutos. Se- prueban 20 baterías elegidas al azar y sé suministraron los siguientes resultados: 720, 759, 723, 740, 754, 725, 790, 719, 775, 700, 745, 750, 753, 730, 780, 710, 775, 728, 702, 752 Suponiendo normalidad, con estos datos podríamos contrastar lo que dice el productor, con un nivel de confianza, del 99%? 16. Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil en la c iudad de Bogotá indica que los automóviles recorren anualmente en promedio 25 000 kilómetros con una desviación estándar de 4000 kilómetros. ¿Los datos arrojan evidencia suficiente para decir que el verdadero recorrido promedio anual es mayor de 27000 kilómetros? ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que la concentración promedio de zinc es menor de 2.9 gramos por mililitro? 17. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03 centímetros. Con un nivel de significancia de .01. ¿Pruebe la hipótesis de que el diámetro promedio de piezas de esta máquina es de 1.009? 18. Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular es de 2.4 miligramos? Con
= .05.
19. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la dureza Rockwell de la cabeza de las agujas. Se realizan las mediciones de la dureza para cada una de las 12 piezas, de lo que se obtiene un valor promedio 48.50 con una desviación estándar de 1.5. Suponiendo que las mediciones están normalmente distribuidas, pruebe la hipótesis de que la dureza Rockwell promedio es menor 48.705. Con
= .05.
16. Un contratista ha construido un gran número de casas aproximadamente del mismo tamaño y del mismo precio. El contratista afirma que el valor promedio de estas casas no excede de $35,000 dólares. Un corredor de bienes raíces selecciona aleatoriamente 5 de las casas construidas recientemente por el contratista y averigua los precios que resultan ser: $34,500, $37,000, $36,000, $35,000 y $35,500. ¿Contradicen estas cinco observaciones la afirmación del contratista acerca del valor promedio de sus casas?. Use
=0.05 20. Según los datos obtenidos en una encuesta del CIS sobre política internacional, realizada en febrero de 2002, el 52% de los 1202 hombres entrevistados, manifestaba prestar “bastante” atención a las noticias sobre
cuestiones y acontecimientos sucedidos en otros países, mientras que entre las 1285 mujeres entrevistadas, ese porcentaje era del 50% . ¿Puede decirse, con un nivel de confianza del 95% , que existen diferencias significativas entre las proporciones de hombres y mujeres “bastante” atentos a ese tipo de
noticias? ¿Y si contrastamos la hipótesis aplicando un nivel de significación de 0,01? 21. Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y para fijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de cuerdo con su estrategia de campaña. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra aleatoria simple de 1600 electores registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra pueda produc ir una proporción de 45% más dado que la verdadera proporción es del 40%? 22. Sea X1 la duración de un filamento de wolframio en espiral simple, y X2 la duración usando espiral doble.Se toma una muestra de tamaño 200 de ambos tipos de filamentos teniéndose unas duraciones medi as de x1 = 1100 horas,
y ¯ x2 = 1108 horas. Las varianzas de las duraciones de cada tipo de filamento son σ2(1) = (20 horas)2 y σ2(2) = (23 horas). ¿Hay diferencias significativas entre ambos tipos de filamento?
23. Se quiere elegir entre dos tipos de material textil para construir sistemas de amarre. Para ello se mide la tensión de rotura de varias cintas de prueba utilizando dos tipos de material. Se toman 24 datos usando el material M1, obteniéndose ¯ x1 = 87 (kg/mm2) y ˆ s1 = 2. Se toman además 30 datos
usando el material M2, obteniéndose ¯ x2 = 75 y ˆ s2 = 2.3. Se sabe que las tensiones de rotura se distribuyen como una Normal. Se supondrá, además, que las varianzas de ambas poblaciones son iguales. Contrasta, con un nivel de significación del 1%, que el mate rial M1 tiene mayor resistencia media que
el M2. 21. Un nuevo programa de cómputo que se ha desarrollado para ayudar a los analistas de sistemas a reducir el tiempo requerido para diseñar, desarrollar e implementar un sistema de información. Para evaluar las ventajas del nuevo programa se selecciona una muestra aleatoria de 24 analistas de sistemas. A cada analista se le proporcionan especificaciones para un sistema hipotético de información, y a los 12 de ellos se les pide producir el sistema usando la tecnología (los programas) actual. A los otros 12 se les capacita primero en el uso del nuevo paquete y, a continuación, se les pide usarlo para producir el sistema de información. Tiempos de terminación y estadísticos del Estudio de Prueba del Programa. Resultados. Diciembre 2008. Tecnología Nuevo Actual Programa de Cómputo 300 276 280 222 344 310 385 338 372 200 360 302 288 317 321 260 376 320 290 312 301 334 283 265 12 12 325 288 40 44
Fuente: Escuela de Informática de UNMSM.
En Ciencias Sociales 1.
Una muestra aleatoria de 12 alumnas graduadas de una escuela secretarial mecanografió un promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviación estándar de 7.8 palabras por minuto. ¿Se tiene evidencia estadística para decir que el número promedio de palabras mecanografiadas por todas las graduadas de esa escuela es menor de 80 con
2.
=0.01.
Los siguientes datos corresponden a los pesos en Kg de 15 hombres escogidos al azar: 72, 68, 63, 75, 84, 91, 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70, 69. Pruebe la Ho
3.
74 con un nivel de significancia de .05.
Se obtiene una muestra de 16 estudiantes con una
X
68
y una varianza
de S2 = 9 en un examen de estadística. Hay evidencia suficiente que apoye que la media poblacional de las calificaciones de estadística es mayor de 70 con 4.
= 0.02.
Un distribuidor de libros plantea la hipótesis de que las ventas por mes promedian S/.12, 000. Diez meses seleccionados como muestra reportan una media de S/. 11,277 y una desviación estándar de S/. 3,772. Sí se utiliza un valor del 5%. ¿Qué puede concluir acerca de la impresión que tiene el distribuidor sobre las condiciones del negocio? ¿Cuál es el supuesto que se debe cumplir?
5.
Una encuesta a 64 empleados profesionales de una institución correccional reveló que el tiempo promedio de empleo en el campo correccional era de 5 años: Se sabe que la desviación estándar de la población es de 4 años. ¿Sirven estos datos de soporte a la hipótesis de que el tiempo promedio de empleo de todos los empleados de este tipo está por debajo de los 6 años? Usar α = 0.05
6.
Se considera que el peso promedio de los profesores de un centro educativo se distribuye normalmente con una media de 160 libras y la desviación estándar de 20 libras. En una muestra aleatoria de 55 profesores, la media
resulto ser de 150 libras. Probar la hipótesis nula contra la hipótesis alternativa de que el peso promedio de los profesores más recientes del centro educativo es diferente de 160 libras para α = 0.02. 7.
La estatura media de 50 estudiantes de un colegio que tomaban parte en las pruebas atléticas fue de 68.2 pulgadas con desviación estándar de 2.5 pulgadas, mientras que 50 estudiantes que no mostraban interés en tal participación tenían una estatura media de 67.5 pulgadas con desviación estándar de 2.8 pulgadas. Ensayar la hipótesis de que los estudiantes que participan en las pruebas atléticas son más altos que los otros. Ensaye la hipótesis al 5%.
8.
Se ha afirmado que por lo menos el 60 % de los alumnos de primero y segundo semestre de un Tecnológico prefieren estudiar a partir de las dos de la madrugada. Si 4 de una muestra de alumnos de primero y segundo semestre de n =14 tomadas al azar, afirman estudiar a partir de las dos de la madrugada, pruebe con un nivel de significancia del 5 % si se debe aceptar la hipótesis nula p≥0.60 contra la hipótesis alternativa p<0.60.
9.
Una muestra aleatoria de 10 estudiantes se someten a una prueba de cálculo, y reciben las calificaciones (X). Después se efectúa una sesión de repaso de álgebra y se repite el mismo examen (Y). A un nivel de significancia de 0.05 ¿las calificaciones son mejores en el segundo examen?
Estudiantes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Examen 1 (X) 80 50 78 90 75 70 62 90 95 68
Examen 2 (Y) 84 56 81 92 76 75 72 87 93 72
10.
Una muestra aleatoria de 8 estudiantes se someten a una prueba de estadística, y reciben las calificaciones (X). Después se efectúa una sesión de repaso de Estadística y se repite el mismo examen (Y). A un nivel de significancia de 0.01 ¿las calificaciones son menores en el segundo examen?
Estudiantes 1 2 3 4 5 6 7 8
11.
(X) 90 85 75 78 95 95 60 83
(Y) 82 95 79 81 88 91 50 81
Un epidemiólogo desea comparar dos vacunas. Las personas que previamente había recibido dichas vacunas se dividieron en dos grupos. El grupo una recibió una dosis de refuerzo de la vacuna tipo 2. Las respuestas de los anticuerpos se registraron dos semanas después. Las medias, desviaciones estándar y tamaño de las muestras para los dos grupos fueron los siguientes:
Grupo
Muestra
Media
1 2
30 49
4.5 2.5
D. Estándar 2.5 2.0
Ho: µ1 = µ2 Ha: µ1 µ2 El nivel de significancia es de = 0.01
12.
Elegimos aleatoriamente 23 alumnos de Psicología y 25 de Pedagogía de la Universidad de Sevilla, con el fin de comparar el rendimiento alcanzado en la asignatura Análisis de Datos. Las medias de ambos grupos son 74 y 79 respectivamente, y sabemos que las varianzas valen 2.9 para la población de alumnos de Psicología y 4.2 para la población de alumnos de Pedagogía. ¿Podemos afirmar que existen diferencias entre las medias alcanzadas por
ambos grupos? Realiza el proceso completo de decisión estadística tomando un nivel de significación igual a 0.05 (alfa). 13.
Se aplica un examen a dos grupos de estudiantes de 144 niños cada uno. El grupo A que está cerca de una fábrica tuvo una puntuación promedio de 88 con una varianza de 27 puntos, el grupo B que está lejos de la fábrica tuvo una puntuación de 90 con una varianza de 24 puntos ¿Hay diferencia significativa en el rendimiento promedio de los dos grupos a un nivel de significancia del 5%?.
14.
Como parte de un estudio para evaluar las diferencias en los niveles educativos en 2 centros de capacitación, se aplicó un examen común que personas que asisten a cada centro. Las calificaciones del examen son uno de los factores principales para evaluar diferencias de calidad entre los centros. Resultados de las Calificaciones en el examen en los Centros de adiestramiento. Marzo 2009. Centro de Adiestramiento A
Centro de Adiestramiento B
n1 = 30
n2 = 40
̅ = 82,5
̅ = 78
= 8
= 10
Fuente: Resumen Estadístico de los Centros de adiestramiento. A la luz de estos resultados: a) ¿Cuál de los centros de adiestramiento brinda un mejor nivel educativo? Use un nivel de significancia del 1%. b) Si los tamaños de muestra reales hubieran sido de 10 y 15 para los centros de adiestramiento A y B, respectivamente, realice la prueba de hipótesis adecuada. c) ¿Los resultados obtenidos en la parte (b) son similares a los de la parte (a)?
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Daniel Wayne; 1987, Bioestadística – Base para el Análisis de las Ciencias de la Salud, Edit Limusa S.A. – México; (Págs. 155 a 159).
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Freund J. y Manning R.; 1989, Estadística 4ta edición, Edit. Prentice Hall Hispamericana S.A. – México ;(Págs. 342 a 363).
3.
Miller I. y Freund J.; 1992, Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Edit. Prentice – Hall Hispanoamericana S.A. – México (Págs. 220 a 232).
4.
Mills Richard; 1990, Estadística para Economía y Administración, Edit. Mc Graw Hill – Bogotá, Colombia (Págs. 221 a 247).
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Mason, , Robert y col., 2000; Estadística para Administración y Economía, Editorial Alfaomega – México (Págs. 358 a 359)
6.
Moya R. y Saravia G.; 1983, Teoría de Probabilidades e Inferencia Estadística, Edit. San Marcos – Lima – Perú; (Págs. 637 a 662 y 682 a 692).
7.
Ostle Bernard; 1985, Estadística Aplicada, Edit. Limusa – Wiley S.A. – México, (Págs. 131 a 138 y 140 a 142).
Sesión 14 Prueba de hipótesis sobre relación entre variables cualitativas: Chi-Cuadrado
CAPACIDADES
1. Aplicar la prueba Chi Cuadrada en los trabajos de aplicación de su especialidad 2. Realizar una prueba de hipótesis que compare un conjunto observado de
frecuencias versus una distribución esperada 3. Realizar una prueba de hipótesis para determinar si hay alguna relación de
dependencia o independencia entre dos criterios de clasificación
1. Valora el uso de la Chi cuadrada para probar independencia de criterios 2. Valora el uso de la Chi cuadrada como una prueba para ajustar un conjunto de
datos a una distribución estadística
CONTENIDO
Uso de la Ji Cuadrado. Prueba de bondad de ajuste. Prueba de independencia.
INTRODUCCION
En numerosas ocasiones, se necesita analizar la relación de dependencia o independencia entre dos variables de tipo cualitativo o categórico.
A estas variables también se les denomina factores, mientras que a las distintas categorías de la variable se les suele denominar niveles.
Existen diferentes pruebas para medir la dependencia entre dos variables cualitativas, entre ellas la prueba ji-cuadrado en sus diferentes versiones.
2 ) P R U E B A J I -C U A D R A D O ( X
La prueba χ² de Pearson es considerada como una prueba no paramétrica que mide la
discrepancia entre una distribución observada y otra teórica ( bondad de ajuste), indicando en qué medida las diferencias existentes entre ambas se deben al azar en la prueba de hipótesis. También se utiliza para probar la independencia de dos variables entre sí, en una tabla de contingencia. La fórmula que da el estadístico es la siguiente:
Cuanto mayor sea el valor de χ2, menos verosímil es que la hipótesis sea correcta. De la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones. Los grados de libertad gl vienen dados por : gl= (r -1)(k -1). Donde r es el número de filas y k el de columnas.
La prueba ji-cuadrado de Pearson (X 2) es una de las pruebas más utilizadas.
También podremos encontrarla bajo el nombre de “chi -cuadrado”, siendo su origen la traducción al castellano del término inglés “chi -squared”.
Se aplica principalmente para estudiar la asociación entre dos variables categóricas o cualitativas y para comparar proporciones o porcentajes.
Esta prueba no mide el grado o la fuerza de la asociación entre dos variables categóricas, para ello ya existen medidas como la odds ratio o el riesgo relativo, adecuadas para estos fines.
Su uso no está restringido únicamente para variables dicotómicas. Si alguna de las dos variables es de naturaleza ordinal, se debe aplicar la prueba jicuadrado de tendencia lineal como veremos más adelante.
La prueba X2 puede aplicarse con una sola variable para comparar valores observados respecto a esperados, aunque su uso más frecuente es para comparar dos proporciones.
Una de sus limitaciones es que requiere un tamaño muestral suficientemente grande y aunque su cálculo es sencillo, no lo es tanto el entender su procedencia y su interpretación.
Simplemente diremos que los valores que toma el estadístico ji-cuadrado con un grado de libertad corresponden a los obtenidos a una distribución normal estandar elevados al cuadrado, y que por tanto la prueba ji-cuadrado solo tiene una cola tomando únicamente valores positivos.
Ejemplo Supongamos que realizamos un estudio en 45 pacientes en el que deseamos estudiar la relación entre el hábito tabáquico y EPOC diagnosticado mediante espirometría obteniendo los resultados de la Tabla I. Podemos ver que 15 pacientes de 25 (60%) tenían EPOC dentro del grupo de fumadores, mientras que tan solo 5 de 20 (25%) presentaron EPOC en el grupo de no fumadores. Desde un punto de vista clínico las diferencias son importantes, pero ¿lo serán desde un punto de vista estadístico? Fumador
Tabla I.
EPOC
No
Sí
Total
No
15 (75%)
10 (40%) 25 (55,6%)
Sí
5 (25%)
15 (60%) 20 (44,4%)
Total
20 (100%)
25 (100%) 45 (100%)
Relación entre EPOC y hábito tabáquico. Frecuencias observadas y porcentajes de columna.
Hipótesis Nula (Ho): La proporción de pacientes con EPOC es la misma en el grupo de fumadores que en el de no fumadores. Hipótesis alternativa (Ha): Las proporciones son distintas.
