EJEMPLO D..

GUÍA PARA EL CÁLCULO CINEMÁTICO Y DISEÑO DE TRANSMISIONES POR CORREAS, POR CADENAS Y POR RUEDAS DENTADAS

LIBAR DO VANEGAS USECHE Prof esor Asociado

FACULT FACU LTA AD DE DE ING INGEN ENIIER A MEC MEC NI NICA CA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA


Libardo Vicente Vanegas Useche Profesor Asociado FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Febrero de 2009

TABLA DE CONTENIDO Página

INTRODUCCIÓN

1

1.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 1.1 Planteamiento del problema 1.2 Determinación de los escalones de la transmisión y su disposición

2 2 3

2.

SELECCIÓN DEL MOTOR ELÉCTRICO Y CÁLCULO CINEMÁTICO 2.1 Cálculo de la potencia del motor 2.2 Cálculo de la frecuencia de giro giro del motor y distribución de la relación de transmisión 2.3 Motor eléctrico 2.4 Cálculo de las velocidades de los árboles 2.5 Resumen de los datos más importantes

5 5 6 7 8 8

3.

CÁLCULO DE LOS PARES DE TORSIÓN Y DIÁMETROS PREVIOS DE LOS ÁRBOLES 3.1 Cálculo de los pares de torsión de los árboles 3.2 Cálculo de los diámetros previos de los árboles

10 10 10

4.

CÁLCULO DE LA TRANSMISIÓN POR CORREA 4.1 Cálculo de la potencia de diseño 4.2 Selección del tipo de correa 4.3 Diámetros primitivos de las poleas 4.4 Velocidad periférica de la correa 4.5 Cálculo aproximado de la distancia entre centros 4.6 Longitud de la correa 4.7 Cálculo de la distancia entre centros 4.8 Potencia nominal por correa 4.9 Potencia nominal corregida por correa 4.10 Número de correas 4.11 Selección de poleas y manguitos de montaje 4.12 Ángulos de contacto de las poleas 4.13 Fuerzas en el lado flojo y tirante y fuerza sobre el árbol 4.14 Resumen

14 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 18 18 19

5.

CÁLCULO DE LA TRANSMISIÓN POR CADENA 5.1 Números de dientes de las estrellas 5.2 Velocidad, fuerza periférica y fuerza equivalente por hilera en función del paso de la cadena 5.3 Selección del paso de la cadena 5.4 Distancia entre centros 5.5 Selección de las estrellas 5.6 Fuerzas en el lado tenso, en el lado flojo y sobre el árbol 5.7 Medidas principales de la cadena y diámetros primitivos de las estrellas 5.8 Resumen

20 20 21 21 23 24 24 24 25

DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN POR ENGRANES HELICOIDALES 6.1 Selección previa de los materiales de las ruedas 6.2 Esfuerzos admisibles AGMA

26 26 26

6.

6.3 Determinación de la distancia entre centros preliminar 6.4 Elección del módulo normal 6.5 Elección del ángulo de inclinación de los dientes 6.6 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas 6.7 Precisión de la distancia entre centros y el ángulo de la hélice 6.8 Diámetros primitivos de los engranes 6.9 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes 6.10 Determinación del ancho de cada engrane 6.11 Cálculo de la fuerza tangencial 6.12 Cálculo de las razones de contacto 6.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial 6.14 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión 6.15 Parámetros de las ruedas dentadas helicoidales

27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 30 32 33

7.

DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN POR ENGRANES DE DIENTES RECTOS 7.1 Selección previa de los materiales de las ruedas 7.2 Esfuerzos admisibles AGMA 7.3 Determinación de la distancia entre centros preliminar 7.4 Elección del módulo 7.5 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas 7.6 Precisión de la distancia entre centros 7.7 Diámetros primitivos de los engranes 7.8 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes 7.9 Determinación del ancho de cada engrane 7.10 Cálculo de la fuerza tangencial 7.11 Cálculo de la razón de contacto 7.12 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial 7.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión 7.14 Parámetros de las ruedas dentadas de dientes rectos 7.15 Comentarios sobre los cálculos de las secciones 6 y 7

34 34 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36 36 38 39 40

8.

COMENTARIOS FINALES

41

REFERENCIAS

42

ANEXO 1 DATOS DEL MOTOR ELÉCTRICO Datos generales del motor Curva par velocidad Cargas axiales admitidas en los rodamientos Cargas radiales admitidas en los rodamientos Dimensiones Forma constructiva Conexiones (incompletas)

43 44 46 48 49 50 51 52

ANEXO 2 TABLAS DE SELECCIÓN Y DATOS DE LAS POLEAS Y MANGUITOS Medidas y datos de los manguitos de fijación Tabla de selección de las poleas y sus manguitos Datos y medidas de las poleas

53 54 58 59

ANEXO 3 TABLAS DE SELECCIÓN Y DATOS DE LAS ESTRELLAS Tabla de selección de las estrellas Datos y medidas de las estrellas Medidas de la cadena

60 61 62 63


1

INTRODUCCIÓN El diseño de transmisiones mecánicas es un proceso largo e iterativo, en el cual se deben tener en cuenta una serie de ecuaciones, recomendaciones, normas internacionales, costos y productos disponibles en el mercado, con el fin de obtener un diseño ‘óptimo’. Los elementos de los accionamientos mecánicos, t ales como motores eléctricos, ruedas dentadas, correas, poleas, estrellas, cadenas, acoples, rodamientos y árboles, deben calcularse o seleccionarse teniendo en cuenta consideraciones de resistencia, rigidez, durabilidad y confiabilidad. El diseñador debe, entonces, conocer lo más ampliamente posible lo relacionado con las transmisiones mecánicas, con el fin de llevar a cabo un buen diseño. Este trabajo tiene el objetivo de servir de ayuda para los estudiantes del curso de Diseño de elementos de máquinas II del programa de Ingeniería Mecánica de la Universidad Tecnológica de Pereira. Esta guía presenta un ejemplo de cálculo de transmisiones por correas, por cadenas y por ruedas dentadas y es un complemento de la teoría que se dicta en el curso mencionado. Los procedimientos van acompañados de numerosas explicaciones con el fin de facilitar su entendimiento. Se espera que el estudiante esté motivado no sólo a aplicar los procedimientos a su problema determinado, sino a entender la filosofía y los conceptos que yacen bajo dichos procedimientos de cálculo y, ojalá, a aplicar de una manera mejorada lo descrito en este documento. Agradezco de antemano a las personas que formulen correcciones, observaciones o sugerencias para mejorar este trabajo ([email protected]).


2

1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 1.1 Planteamiento del problema En una industria azucarera se requiere transportar azúcar desde la salida de las centrífugas (máquinas que separan la miel de los cristales de azúcar) hasta la secadora, para su posterior empaque. Debido a la disposición de estos equipos, se ha diseñado un transportador de banda que lleva el azúcar que sale de las centrífugas a un elevador de cangilones, el cual lo sube y arroja a la entrada de la secadora (que lo transporta a la tolva de empaque), tal como se ilustra en la figura 1.1. A

B

Secadora Elevador de cangilones Centrífugas

Azúcar

Transportador de banda

Figura 1.1 Esquema de un sistema de transporte de azúcar

Se requiere diseñar el accionamiento del elevador de cangilones y de la secadora utilizando un solo motor eléctrico. La potencia debe entregarse a las máquinas mediante acoples flexibles que se conectan en los árboles mostrados A y B (figura 1.1), los cuales deben estar separados entre 80 cm y 140 cm. Se prevé que los transportadores trabajarán tres turnos diarios de 8 horas (24 horas al día), 6 días a la semana y 9 meses al año, con una carga relativamente constante. La producción de azúcar será constante durante toda la vida útil de la transmisión, lo cual implica que los pares de torsión en los árboles A y B serán constantes, tal como se muestra en la gráfica de carga de la figura 1.2 (el tiempo, t , está expresado en años calendario). Las potencias y velocidades de giro requeridas por las máquinas son: Potencia de la secadora: P A = 10 hp Potencia del elevador de cangilones: P B = 8 hp Frecuencia de giro del árbol de mando de la secadora: n A = 20 r/min Frecuencia de giro del árbol de mando del elevador de cangilones: n B = 45 r/min


3

T / T nom 1

0

4

8

12

16

20

t (años)

Figura 1.2 Gráfica de carga de los transportadores de azúcar

El ingenio se encuentra ubicado en un sitio a 1000 m sobre el nivel del mar, con una temperatura máxima de 32°C. Debido al calor generado por las máquinas, incluyendo los accionamientos, se prevé que la temperatura del aire puede llegar a un valor máximo de 35°C. El motor eléctrico se conectará a una red con voltaje de 440 V y 60 Hz, los cuales son relativamente estables.

1.2 Determinación de los escalones de la transmisión y su disposición Los motores más adecuados para este tipo de aplicación son los trifásicos de inducción con rotor de jaula de ardilla (por su bajo costo, robustez, etc.). Éstos tienen velocidades de rotación (a potencia nominal) entre un poco menos de 600 r/min (de 12 polos) hasta un poco menos de 3600 r/min (de 2 polos). Aunque entre menor sea la velocidad de rotación del motor (mayor número de polos), menor será el costo de la transmisión, ya que se requerirán menos escalones, los motores con velocidades muy bajas (900 r/min ó menos) tienden a ser más escasos y muy costosos. Los motores con velocidad sincrónica de 1200 ó 1800 r/min podrían ser los que generen los menores costos. Para determinar el número de escalones de la transmisión supondremos inicialmente para el motor una velocidad sincrónica de 1800 r/min (la velocidad nominal será un poco menor). De acuerdo con la tabla 7.5 de Ocampo[1], las relaciones de transmisión promedio de escalones simples (una transmisión por correa, una transmisión por cadena o un par de engranajes) varían entre 2 y 5; tomaremos 3 y 4 para estimar el número de escalones requeridos: La relación de transmisión general del elevador de cangilones sería de (1800 r/min)/(45 r/min) = 40 La relación de transmisión general de la secadora sería de (1800 r/min)/(20 r/min) = 90 Con un escalón se tendría una relación de transmisión de 3 a 4 Dos escalones: 32 a 42 = 9 a 16 Tres escalones: 33 a 43 = 27 a 64 Cuatro escalones: 34 a 44 = 81 a 256 De acuerdo con esto, el elevador de cangilones requiere unos 3 escalones (27 < 40 < 64), mientras que la secadora requiere unos 4 escalones (81 < 90 < 256). Escogemos: (a) Una transmisión por correa en V, que se colocará justo después del motor (donde es más económica) (b) Una transmisión por engranes cilíndricos helicoidales Reductor cilíndrico de dos escalones (c) Una transmisión por engranes cilíndricos de dientes rectos (d) Una transmisión por cadena, la cual sólo tendrá el objeto de mover la secadora La disposición de los escalones se muestra en la figura 1.3.


A

Secadora

B

Elevador de cangilones

4

6

g e 2

3 b

d

4

a h

1

5 c

f

Figura 1.3 Esquema del accionamiento mecánico

Otros elementos de la transmisión son: (e), (f) y (g) Acoples flexibles (h) Motor eléctrico 1a6 Árboles En la práctica podría ser mejor seleccionar directamente un moto-reductor del catálogo de un fabricante, y utilizar una transmisión por cadena para mover la secadora (ya que la distancia entre los árboles de las máquinas a mover es bastante grande). La selección de los diferentes escalones se ha hecho con el objetivo de suministrar al estudiante los ejemplos de cálculo de los cuatro tipos de transmisiones seleccionadas.


5

2. SELECCIÓN DEL MOTOR ELÉCTRICO Y CÁLCULO CINEMÁTICO 2.1 Cálculo de la potencia del motor La potencia del motor, P M , de un accionamiento es igual a la de la máquina a mover, P, dividida por la eficiencia de la transmisión,  gral: P M 

P

 gral

(2.1)

.

Utilizando esta ecuación para cada máquina movida, con el principio de superposición, tenemos: P M 

P A

 gralA



P B

 gralB

,

con

P A  10 hp

y

PB  8 hp.

(2.2)

La eficiencia general de la transmisión para la secadora (máquina A) es el producto de las eficiencias de los diferentes pares cinemáticos (escalones) y de los pares de rodamientos:  gralA   a   b   c   d   r , 5

(2.3)

donde las letras a, b, c y d corresponden a los 4 escalones de la transmisión (figura 1.3) y  r es la eficiencia de cada par de rodamientos, la cual se ha elevado a la quinta potencia, ya que la energía que llega a la secadora pasa por 5 pares de rodamientos (ubicados en los árboles 2, 3, 4, 5 y 6). De acuerdo con Ocampo[1] (página 338), 0.99 <  r < 0.995 para un par de rodamientos de bolas o de rodillos; tomamos  r = 0.99. Para las eficiencias de los 4 escalones, tomamos los valores mínimos de los rangos dados en la tabla 7.4 de Ocampo[1]: -  a = 0.95 (Transmisión por correas) -  b =  c = 0.95 (Transmisión por ruedas dentadas cilíndricas, en baño de aceite) -  d = 0.95 (Transmisión por cadenas, en baño de aceite) Reemplazando estos valores en la ecuación 2.3 obtenemos:  gralA  (0.95)(0.95)(0.95)(0.95)(0.99)5 ;

entonces  gralA  0.77.

La eficiencia general de la transmisión para el elevador de cangilones (máquina B) está dada por:  gralB   a   b   c   r . 4

(2.4)

Se ha omitido la eficiencia de la transmisión por cadena y el par de rodamientos del árbol 6, ya que la energía que llega a B no pasa por allí. Tomando los mismos valores de eficiencia tenemos:  gralB  (0.95)(0.95)(0.95)(0.99)4 ;

entonces  gralB  0.82.

6


La potencia del motor es, entonces: P M 

10 hp 0.77



8 hp 0.82

 22.7 hp.

2.2 Cálculo de la frecuencia de giro del motor y distribución de la relación de transmisión La relación de transmisión general, igral, de un accionamiento es igual a la relación entre la velocidad del motor, n M , y la de la máquina movida, n, entonces: n M  n  igral.

(2.5)

Aplicando esto a las máquinas A y B, se obtiene: n M  n A  i gralA

y

n M  n B  igralB,

donde

n A  20 r/min y nB  45 r/min .

(2.6)

La relación de transmisión para cada máquina es el producto de las relaciones de transmisión de los escalones que llevan la potencia a la respectiva máquina: i gralA  ia  ib  ic  id

e

i gralB  ia  ib  ic .

(2.7)

Reemplazando éstas en las ecuaciones 2.6 obtenemos: n M  n A  ia  ib  ic  id  n B  ia  ib  ic ,

de donde

n A  id  n B ,

(2.8)

entonces: id 

n B n A



45 r/min 20 r/min

 2.25.

Esta relación de transmisión es la que debe tener en la transmisión por cadenas y está en el rango promedio recomendado (2 a 4) en la tabla 7.5 de Ocampo[1]. De acuerdo con lo expresado arriba (ecuaciones 2.6 y 2.7): i gralB 

n M n B

,

entonces

n M  (45 r/min)  ia  ib  ic .

(2.9)

Acerca de los reductores cilíndricos de dos escalones, Ocampo[1] (página 159) plantea que éstos tienen una relación de transmisión que varía entre 8 y 30, con un valor máximo de 50 , y que generalmente en esos reductores el escalón rápido (el de las ruedas cuyos dientes tienen mayor velocidad) tiene ruedas helicoidales, mientras que el escalón lento tiene ruedas de dientes rectos o bihelicoidales. En la sección 1.2 se seleccionaron ruedas helicoidales para el escalón rápido y ruedas de dientes rectos para el lento. De la tabla 7.5 de Ocampo[1], tomamos los valores promedio de las relaciones de transmisión siguientes: - ic = 3 a 4 (Engranajes cilíndricos de dientes rectos (transmisión cerrada)) - ib = 3 a 5 (Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales (transmisión cerrada)) - ia = 2 a 4 (Transmisión por correa en V) Para la transmisión por correa tomamos ia = 3; entonces, para determinar la relación de transmisión del reductor debemos tener en cuenta la velocidad de giro del motor a seleccionar. De acuerdo con los datos de arriba, tendríamos que la relación de transmisión del reductor de dos escalones i R = ibic = (3 a 5)(3 a 4) = 9 a


7

20; comparando este rango con el dado arriba (8 a 30, con un máximo de 50), lo seleccionamos por ser más estrecho (está de acuerdo con ambas recomendaciones). El valor exacto se encontrará cuando se seleccionen las revoluciones por minuto del motor. Reemplazando estos valores en la ecuación 2.9, tenemos que: n M  (45 r/min)(3)i R ,

entonces (45 r/min)(3)(9)  nM  (45 r/min)(3)(20),

(2.10)

entonces: (2.11)

1215 r/min  nM  2700 r/min.

De acuerdo con esto, podemos seleccionar un motor de 4 polos, cuya velocidad es un poco menor de 1800 r/min (que cae dentro del rango), ya que los motores de 2 y 6 polos tienen velocidades un poco menores de 3600 r/min y 1200 r/min respectivamente, que se salen del rango. Buscando en un catálogo de la SIEMENS ®[2], el motor adecuado es 1LA3 166-4YB70, cuya potencia nominal es de 24 hp (un poco mayor de la requerida) y cuya velocidad nominal es de1760 r/min (que pertenece al rango dado arriba); entonces: n M  1760 r/min.

Con este dato podemos calcular la relación de transmisión del reductor. Reemplazando n M en la ecuación 2.10 y despejando i R se obtiene: 1760r/min  (45 r/min)(3)i R ,

entonces iR  13.04.

Esta relación de transmisión es igual al producto de las relaciones de transmisión de los escalones b y c. Para calcular éstas utilizamos la siguiente ecuación (página 340 de Ocampo [1]), la cual es recomendada para que las ruedas conducidas de los reductores cilíndricos horizontales de dos escalones tengan la misma profundización en el baño de aceite (aunque, realmente, no es condición necesaria y suficiente): irápido  3 (0.7)i R  a  6, 2

donde

(0.01)i R  a  (0.02)i R ,

e

ilento  i R irápido,

(2.12)

donde i R es la relación de transmisión del reductor, irápido e ilento son las relaciones de transmisión de los escalones rápido y lento respectivamente. Tomamos a = (0.015)i R = (0.015)(13.04) = 0.1956, y reemplazamos para hallar las relaciones de transmisión de los engranajes: irápido  3 (0.7)(13.04)2  (0.1956)  4.72  6

e

ilento  (13.04) (4.72)  2.76

Comparando estos resultados con los rangos promedios dados en la tabla 7.5 de Ocampo [1], vemos que ilento se sale del rango promedio (3 a 4); sin embargo, es conveniente que la mayor reducción de velocidad ocurra en el primer escalón donde las fuerzas tienden a ser menores (ya que el par de torsión es menor).

2.3 Motor eléctrico Datos del motor eléctrico

El motor eléctrico ya ha sido seleccionado; las características son (ver, además, anexo 1): Motor trifásico de inducción con rotor de jaula de ardilla marca SIEMENS ® de ejecución básica y fabricación nacional: Designación: 1LA3 166-4YB70 (No. De depósito 836 424)


8

Potencia nominal: P M = 24.0 hp = 17.90 kW Frecuencia de giro a potencia nominal: n M = 1760 r/min Forma constructiva: B3 440 V  para arranque directo o en Y En el catálogo SIEMENS®[2] (página 7) se suministran dos tablas para encontrar la potencia real que puede entregar el motor, bajo las condiciones de altitud y temperatura del lugar. Al multiplicar la potencia nominal del motor, 24 hp, por el factor de corrección por altitud (1000 m SNM), 1, y por el factor de corrección por temperatura del lugar (35°C), 1.04, se obtiene que el motor podría entregar hasta 25 hp; Pcorregida  Pnominal  1  1.04  24  1.04  25 hp .

Se propone al estudiante investigar lo relacionado con la selección de todos los elementos que deben ir desde el tablero de conexiones eléctricas hasta la caja de bornes del motor; es decir, investigar: Selección del arrancador (si se requiere)    

Cálculo del breaker, contactor y relé térmico Selección del calibre de los cables y del conduit Esquema claro y completo de las conexiones

2.4 Cálculo de las velocidades de los árboles Partiendo de la velocidad del motor, se calcula la velocidad de cada árbol dividiendo la velocidad del árbol anterior entre la relación de transmisión correspondiente, excepto para el árbol 3 cuya velocidad es igual a la del 2 ya que están acoplados directamente: n1  1760 r/min n2 

n1 ia



(Árbol del motor)

1760 r/min 3

 587 r/min

n3  n2  587 r/min n4 

n3

n5 

n4

n6 

n5

ib

ic

id



587 r/min



124 r/min



45 r/min

4.72

2.76

2.25

(Árbol polea conducida) (Árbol de entrada del reductor)

 124 r/min

(Árbol intermedio del reductor)

 45 r/min

(Árbol de salida del reductor)

 20 r/min

(Árbol estrella conducida)

2.5 Resumen de los datos más importantes Datos del motor eléctrico

Motor trifásico de inducción con rotor de jaula de ardilla marca SIEMENS ® de ejecución básica y fabricación nacional: 1LA3 166-4YB70 (No. De depósito 836 424) Potencia nominal: P M = 24.0 hp = 17.90 kW Frecuencia de giro a potencia nominal: n M = 1760 r/min Forma constructiva: B3


440 V  para arranque directo o en Y Relaciones de transmisión

-

ia = 3 ib = 4.72 ic = 2.76 id = 2.25

(Transmisión por correas) (Transmisión por ruedas dentadas cilíndricas helicoidales) (Transmisión por ruedas dentadas cilíndricas de dientes rectos) (Transmisión por cadenas)

Velocidades de los árboles

-

n1 = 1760 r/min n2 = 587 r/min n3 = 587 r/min n4 = 124 r/min n5 = 45 r/min n6 = 20 r/min

(Árbol del motor) (Árbol polea conducida) (Árbol de entrada del reductor) (Árbol intermedio del reductor) (Árbol de salida del reductor) (Árbol estrella conducida)

9


10

3. CÁLCULO DE LOS PARES DE TORSIÓN Y DIÁMETROS PREVIOS DE LOS ÁRBOLES 3.1 Cálculo de los pares de torsión de los árboles La potencia en cada árbol es igual al producto entre el par de torsión que soporta y su velocidad angular: P  T   T (2 n),

de donde

T 

P

2 n

.

(3.1)

Si, por ejemplo, n está en revoluciones por segundo (1 r/s = 60 r/min) y P en W, T estará en N-m. La potencia trasmitida por el árbol 6 es la de la máquina A (10 hp = 7460 W); mientras que para el cálculo de los pares de torsión de los otros árboles se usará la potencia del motor (24 hp = 17900 W), por lo tanto, no se tendrán en cuenta las pérdidas en los diferentes escalones. T 1 

T 2 

PM

2 n1 PM

2 n2





17900 W (2 )(1760 / 60 s) 17900 W ( 2 )(587 / 60 s)

 97.12 N - m

(Árbol del motor)

 291.2 N - m

(Árbol polea conducida)

T 3  T 2  291.2 N - m T 4  T 5  T 6 

PM

2 n4 PM

2 n5 PA

2 n6

  

(Árbol de entrada del reductor)

17900W (2 )(124 / 60 s) 17900W (2 )(45 / 60 s) 7460 W (2 )(20 / 60 s)

 1378 N - m

(Árbol intermedio del reductor)

 3798 N - m

(Árbol de salida del reductor)

 3562 N - m

(Árbol estrella conducida)

3.2 Cálculo de los diámetros previos de los árboles Para el cálculo de los diámetros previos de los árboles se tendrá en cuenta sólo el par de torsión, ya que no se conocen las fuerzas y momentos flectores. Se usará un esfuerzo admisible suficientemente pequeño, ya que no se incluyen los pares flectores, el carácter variable (fatiga) y dinámico (en el arranque) de las cargas. El esfuerzo cortante máximo en un árbol de sección circular sometido a torsión está dado por: Ss 

16T 3

 d

  adm 

S ys N

;

(3.2)

entonces d  3

16T  adm

;

25 MPa   adm  70 MPa.

(3.3)


11

El rango de esfuerzo admisible es aproximadamente el recomendado por Ocampo [1], cuando se asigna el valor del diámetro encontrado a un extremo del árbol, incrementando 5 mm (ó de 2 a 10 mm, dependiendo del diámetro del árbol) al diámetro donde van los rodamientos, y otros 5 mm (ó de 2 a 10 mm) al diámetro donde van los engranajes, poleas, estrellas, etc.. Teniendo en cuenta otra fuente (Romero et al.[3]), los valores de esfuerzo admisible podrían tomarse en un rango más estrecho: 25 MPa adm 55 MPa. Al efectuar un análisis sobre los diagramas de momentos flectores de los diferentes árboles, se puede determinar cómo es la relación entre el momento flector máximo y el par de torsión máximo en un árbol determinado, comparada con la de otros árboles. Para los árboles en los cuales se prevean mayores relaciones entre los pares flector y de torsión, se deben utilizar esfuerzos admisibles más bajos, ya que sólo se está teniendo en cuenta el efecto de torsión. Después de hacer un análisis preliminar (no mostrado), se concluye que el árbol 4 (árbol intermedio del reductor) podría tener la mayor relación momento flector máximo – par de torsión, mientras que los árboles 2 y 6 (donde van montadas ruedas conducidas) podrían tener las menores relaciones entre el momento flector máximo y el par de torsión (claro está que las medidas reales de las poleas, engranajes, etc. influyen en las longitudes de los árboles y, por lo tanto, en las magnitudes de los momentos flectores). Tomamos:  adm  25 MPa,

para el árbol 4 (cuya relación M max /T parece mayor)

 adm  40 MPa,

para los árboles 3 y 5

 adm  55 MPa,

para los árboles 2 y 6 (cuya relación M max /T parece menor)

Entonces: d 2  3

d 3  3

d 4  3

d 5  3

d 6  3

16T 2  adm2 16T 3

 adm3 16T 4

 adm4 16T 5

 adm5 16T 6

 adm6

3

3

3

3

3

(16)(291.2)  (55  106 ) (16)(291.2)

 (40  10 6 ) (16)(1378)

 (25  10 6 ) (16)(3798)

 (40  10 6 ) (16)(3562)

 (55  106 )

 0.030 m.

 0.033 m.

 0.065 m.

 0.078 m.

 0.069 m.

Cada uno de estos valores es el punto de partida para la selección previa de los diámetros de los diferentes escalones del respectivo árbol. Estos valores deben normalizarse, teniendo en cuenta lo siguiente: 



De acuerdo con Ocampo[1], las medidas deben redondearse a los siguientes valores estándar, en mm: 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 60, 63, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 220, 240, 260, 280, 300. Se ha adoptado internacionalmente que cualquier dimensión sea elegida preferentemente dentro de las series Renard o números normales (con ciertas variantes), las cuales son términos de progresiones geométricas, cuya razón es una raíz de 10. La tabla siguiente muestra la parte de las dimensiones


12

normales (preferidas) que van desde 10 hasta 105, las cuales siguen sensiblemente las series de números normales (todos estos regulados por normas ISO). De esta tabla son más preferidos los datos de la primera columna, luego los de la segunda, etc.. [4]

Tabla 3.1 Dimensiones normales Orden de preferencia en la elección 1º 2º 3º 4º 5º 10

16

25

10 12

40 13 15

16

16 18

17

20

20

32 

10 11 12 14

25

Orden de preferencia en la elección 1º 2º 3º 4º 5º

22 25 28 32

19 21 24

40 50

63

23

36 40 45 50 56

63

63

80

70 80

38 42 48 52 60 68 75 85

26 30 34

100

100

90 100

95 105

35 44 46 55 58 62 65 72 78 82 88 92 98

Las medidas de los diámetros interiores de las pistas internas de los rodamientos FAG®[5] (equivalente al diámetro del eje o árbol) son1:

Rodamientos rígidos de bolas con una hilera : 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 17, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500, 530, 560, 600, 670, 750, 850. Rodamientos de rodillos cilíndricos con una hilera : 15, 17, 20, 22.1, 25, 26.5, 30, 31.5, 35, 37.5, 40, 42, 44, 45, 47, 49.5, 50, 52.5, 54.5, 55, 57.5, 59.5, 60, 64.5, 65, 66, 69.5, 70, 72, 74.5, 75, 78.5, 80, 83.5, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500, 560, 630, 670, 710, 800. Ver además tablas 8.1 y 8.3 de Ocampo[1] sobre dimensiones estandarizadas para rodamientos. De acuerdo con esta información se asignan los diámetros previos a los escalones de los árboles del accionamiento; las medidas están en milímetros: Puesto de rodamiento

35

40

35

Puesto de acople

Figura 3.1 Diámetros previos del árbol 2

1

Para seleccionar otro tipo de rodamiento debe recurrirse al catálogo respectivo.

30


13

El diámetro hallado para el árbol 2, 30 mm, es un valor estándar, y fue asignado al extremo derecho del árbol, donde se ubicará el acople. El diámetro donde se apoyan los rodamientos fue hallado sumando 5 mm al diámetro anterior, es decir, (30 + 5) mm = 35 mm, el cual es un valor estandarizado para diámetros interiores de rodamientos. Finalmente, el diámetro de 40 mm fue hallado sumando 5 mm al diámetro del escalón anterior, y allí se ubicará la polea conducida de la transmisión por correas en V. Un procedimiento similar se siguió con los demás árboles. Puesto de rodamiento

34

40

45

50

40

Puesto de acople

Figura 3.2 Diámetros previos del árbol 3 Puesto de rodamiento

75

70

80

75

70


En el árbol 4 no hay extremo saliente del árbol, por lo tanto, el valor hallado de 65 mm no se asigna a ningún escalón; se suma 5 mm para el sitio donde se ubican los rodamientos, 10 mm para el sitio donde se ubican los engranajes y 15 mm para el tramo que sirve de apoyo al par de ruedas dentadas. Puesto de rodamiento

85

95

Puesto de acople

90

85

80

75

Puesto de estrella


En el árbol 5, el valor obtenido de 78 mm se estandarizó a 80 mm y se le asignó al escalón donde se ubica la estrella, y a partir de éste se sumó o restó 5 mm para obtener los diámetros restantes. No se le asignó al menor diámetro para evitar sobrediseñar el árbol. Puesto de rodamiento

35

80

75

Puesto de acople


70


14

4. CÁLCULO DE LA TRANSMISIÓN POR CORREA La transmisión por correa corresponde al escalón (a) del accionamiento; la polea conductora está acoplada directamente al árbol del motor (árbol 1), siempre y cuando las exigencias de carga lo permitan, y la polea conducida está montada sobre un árbol simplemente apoyado que transmite la potencia al reductor mediante un acople flexible. Los datos iniciales para el cálculo de la transmisión por correa son: - Transmisión horizontal con una relación de ia = 3 (sección 2.5) - Motor eléctrico con rotor de jaula de ardilla; P M = 24 hp, n M = n1 = 1760 r/min (sección 2.5) - Las máquinas accionadas son un elevador de cangilones y una secadora transportadora de azúcar - El servicio de la transmisión es de 24 horas al día

4.1 Cálculo de la potencia de diseño La potencia de diseño, Pd , es igual al producto de la del motor, P M , y el coeficiente de servicio, K s: Pd  P M K s .

(4.1)

El coeficiente de servicio es un factor que ‘corrige’ la potencia a transmitir debido a las variaciones en la

carga (impactos, sobrecargas, arranques, etc.) y depende del tipo de motor, del tipo de máquina accionada y de ciertas características adicionales. De la tabla 2.13 de Ocampo[1] tomamos el valor de K s , sabiendo que: 1) El motor es con rotor de jaula de ardilla 2) Las máquinas accionadas son un transportador de cangilones y una secadora 3) El servicio es por más de 16 horas por día. Con las dos primeras condiciones se escoge un coeficiente de servicio de 1.4, el cual se corrige, debido a la tercera condición, sumándole 0.2, entonces, K s = 1.6. La potencia del motor es de 24 hp, por lo tanto: Pd  (24 hp)(1.6)  38.4 hp.

4.2 Selección del tipo de correa Usamos una correa convencional. El tamaño se selecciona de la figura 2.16 de Ocampo[1], conociendo Pd y sabiendo que la frecuencia de giro de la polea pequeña, n1, es igual a la del motor, n M = 1760 r/min. n 1 A 1760 r/min B C E

D 38.4 hp

P d

Figura 4.1 Diagrama potencia de diseño – velocidad de la polea pequeña


15

Como el punto de intersección ( Pd , n1) cae en la línea divisoria entre los tamaños B y C, trabajamos con ambos y seleccionamos más adelante el que más convenga.

4.3 Diámetros primitivos de las poleas Los tamaños de las poleas afectan el desempeño de la transmisión. Los esfuerzos en las poleas pequeñas, así como aquellos de las correas, tienden a ser relativamente grandes, mientras que en poleas muy grandes el costo, el peso y el espacio ocupado por la transmisión tienden a ser elevados. La tabla 2.8 de Ocampo[1] recomienda diámetros mínimos de poleas para correas en V. Para una potencia de 25 hp (valor más cercano en la tabla a la potencia del motor) y 1750 r/min (valor más cercano a las [1]

revoluciones del motor), el diámetro mínimo recomendado es de 4 ¼”. De la tabla 2.7 de Ocampo tomamos el diámetro primitivo normalizado (para poleas) que más se aproxime a 4 ¼”. Para correas t ipo B tomamos el diámetro de 4.6” (un valor mayor incrementaría innecesariamente los costos), y para correas tipo C tomamos 7” (que es el menor diámetro normalizado para este tipo de correa).

El diámetro de la polea mayor, D2, se calcula con la relación de transmisión, ia, y el coeficiente de deslizamiento de la correa, K , que oscila entre 0.01 y 0.02 [1]: ia 

n1 n2



D2 D1 (1  K )

,

de donde

D2  ia D1 (1  K ).

(4.2)

Tomamos K = 0.015; entonces, si la correa es tipo B D2  (3)(4.6)(1  0.015)  13.6 in,

y, si la correa es tipo C

D2  (3)(7)(1  0.015)  20.7 in.

De la tabla 2.7[1] tomamos los valores normalizados. Para correas tipo B, D2 = 12.4” o 15.4”, mientras que para correas tipo C, D2 = 20”. Escogemos la correa tipo C que nos da una relación de transmisión más cercana a tres; entonces D1 = 7” y D2 = 20”2. De la ecuación 4.2, la relación de transmisión es ia 

20 7(1  0.015)

 2.9.

Las dimensiones de la correa se muestran en la figura 4.2. 7/8”

17/32”

Figura 4.2 Dimensiones de la correa convencional tipo C

4.4 Velocidad periférica de la correa La velocidad periférica de la correa es igual a la de la polea conductora: 2

Se aclara que un criterio más importante es el costo de la transmisión, el cual depende del número de correas, del tipo d e sección de la correa y del tamaño de las poleas.


V   1  ( D1 / 2)   D1n1   (7  0.0254 m)(1760 / 60 s)  16.38 m/s .

16 (4.3)

Esta velocidad equivale a 3224 ft/min, la cual está en el rango recomendado para transmisiones por correas en V: 2500 ft/min  V  7000 ft/min.

4.5 Cálculo aproximado de la distancia entre centros Ocampo[1] recomienda que la distancia entre centros se calcule de la siguiente manera:  D  D2   7  20  A  max 1  D1 ; D2   max  7; 20  max20.5; 20  20.5 in  52.07cm. 2  2   

(4.4)

4.6 Longitud de la correa La siguiente ecuación da un valor suficientemente exacto de la longitud de la correa: L  2 A 



L  ( 2)(20.5) 



2

( D1  D2 ) 

entonces: 2

(7  20) 

( D2  D1 ) 2 4 A

( 20  7) 2 (4)(20.5)

,

(4.5)

 85.47 in ,

Ésta es la longitud primitiva de la correa, pero se debe buscar una correa comercial (normalizada) que tenga una longitud similar. Las correas convencionales se especifican con un número que representa la longitud interior; en una correa tipo C, la longitud primitiva es igual a la interior más la constante 2.9” (Ver Ocampo[1], página 28). Buscamos en la tabla 2.5 [1] una correa con longitud interior cercana a 85.47 – 2.9 = 82.57”; la correa C85, que tiene una longitud interior de 85”, es la que más se aproxima, entonces escogemos esta correa.

La longitud primitiva de esta correa es, entonces, L = 85 + 2.9 = 87.9” = 223.27 cm.

4.7 Cálculo de la distancia entre centros La distancia entre centros, A, se recalcula para la longitud de la correa seleccionada. Despejamos A de la ecuación 4.5: A 

4 L  2 ( D1  D2 )  (4 L  2 ( D1  D2 ))2  32( D2  D1 ) 2

(4.6)

16

Reemplazando L = 87.9”, D1 = 7” y D2 = 20”, se obtiene que A = 21.77” = 55.31 cm .

4.8 Potencia nominal por correa La potencia nominal por correa está dada por: 2   10 3  0.09 b  V   V    P NC  a   c 3  . K d D1   V  10   10 3   

(4.7)

Los coeficientes a, b y c se toman de la tabla 2.14[1]. Para P NC en hp, V en m/min, D1 en cm y correa tipo C, tenemos: a = 26.200, b = 327.244, c = 1.4859.


17

El coeficiente de corrección del diámetro de la polea pequeña, K d, se toma de la tabla 2.15 [1] para 1.815 < D2 / D1 < 2.948; K d = 1.13. D1 = (7)(2.54) cm = 17.78 cm; V = (16.38 m)/((1/60) min) = 982.8 m/min; entonces: 0.09 2   103  327.244 982.8   982.8     P NC  (26.2)  1.4859  8.37 hp. 3  3  982 . 8 ( 1 . 13 )( 17 . 78 ) 10 10        

4.9 Potencia nominal corregida por correa La potencia por correa dada por la ecuación 4.7 es adecuada para un ángulo de contacto de la polea pequeña de 180°; para ángulos menores debe corregirse dicha potencia (para tener una duración aceptable de la correa). Como la longitud de la correa afecta su vida útil, también debe aplicarse un factor de corrección por longitud: P NCC  P NC K L K  ,

(4.8)

donde: P NC = 8.37 hp [1] K L = 0.90, de la tabla 2.17 de Ocampo , para una longitud interior de correa de 85” [1] K  = 0.91, de la tabla 2.16 de Ocampo , para correas en V y ( D2 – D1)/ A = 0.597 La potencia corregida por correa es, entonces: P NCC  (8.37 hp)(0.90)(0.91)  6.855 hp.

4.10 Número de correas El número de correas requerido es igual a la relación entre la potencia de diseño y la potencia que cada correa puede transmitir para una duración satisfactoria: Número de correas

Pd P NCC



38.4 hp 6.855 hp

 5.6 correas.

(4.9)

Se toman 6 correas.

4.11 Selección de poleas y manguitos de montaje Para la selección de las poleas y sus manguitos de fijación se utiliza el catálogo Browning [6]; se requiere un par de poleas con 6 ranuras para correas tipo C y diám etros primitivos de 7” y 20”. En la tabla 1 de la página A-17 del catálogo[6] (anexo 2, página 58) se encuentran dos opciones: - Poleas 6TC70 (Q2) y 6TC200 (Q2), con 7” y 20” de diámetros primitivos respectivamente - Poleas 6C70SF y 6C200F , con 7” y 20” de di ámetros primitivos respectivamente Un criterio importante en la escogencia de una de las dos alternativas es el costo; sin embargo, aquí se selecciona la segunda alternativa ya que para la primera los manguitos no están disponibles en medidas métricas estándar (ver anexo 2, páginas 54 a 57). En la página A-63 del catálogo[6] (anexo 2, página 59) están las dimensiones de las poleas y los tipos de manguitos a utilizar: SF para la polea pequeña y F para la otra. En la página 57 (anexo 2) están las medidas disponibles de los agujeros de los manguitos; se selecciona un manguito SF de 42 mm de agujero para la polea pequeña, ya que éste es el diámetro del árbol del motor (ver anexo 1, página 50). Como el diámetro previo del árbol 2 en el sitio donde se ubicará el manguito es de 40 mm, y la mínima dimensión de agujero de manguito en mm es de 45, se selecciona el tipo F de 45 mm


18

para la polea conducida, con lo cual todos los diámetros previos de los escalones del árbol 2 se incrementan en 5 mm.

4.12 Ángulos de contacto de las poleas El ángulo de contacto de la polea menor está dado aproximadamente por:

entonces

 D  D1   1     2 ;  A 

(4.10)

 20  7    2.545 rad  145.8.  21.77 

 1    

El ángulo de contacto de la polea mayor es igual a: entonces

 2  360   1;

(4.11)

 2  360  145.8  214.2.

4.13 Fuerzas en el lado flojo y tirante y fuerza sobre el árbol La fórmula de Euler F 1 F 2

 e f 

(4.12)

nos da, aproximadamente, la máxima relación entre las fuerzas en el lado tenso, F 1, y en el lado flojo, F 2, para evitar resbalamiento entre la correa y las poleas. Para asegurar una adecuada transmisión de potencia, esta relación debe ser menor que la dada por dicha ecuación (lo que implica mayor tensión inicial). Asumiendo que la superficie de la correa es de tejido de algodón, el coeficiente de fricción, f , es de 0.22 (tabla 2.9 de Ocampo[1]). Para correas en V debe calcularse un coeficiente de fricción reducido: f  

f

sin( / 2)

 3 f  0.66,

(4.13)

donde  es el ángulo de la ranura de la polea (34° a 38°, dependiendo del tamaño de la polea, tabla 2.6 [1]). Reemplazando f’ en la ecuación 4.12, para la polea pequeña (que es la más crítica en cuanto al riesgo de deslizamiento) se obtiene: F 1 F 2

 e(0.66)(2.545)  5.36.

Como se dijo, ésta relación debe ser menor que el valor obtenido con la ecuación de Euler. La tabla 2.18[1] recomienda que, para  = 145°, F1 / F2 = 3.66. Sabemos que el par de torsión en una transmisión por correas es producido por la diferencia de las fuerzas en el lado tenso y en el lado flojo, multiplicada por el radio primitivo de la polea, entonces: T 1  ( F 1  F 2 )( D1 / 2).

De la sección 2.1, T 1 = 97.12 N-m, y D1 = 7”. Despejando F 1 – F 2 de la ecuación 4.14 se obtiene:

(4.14)


19

F 1  F 2  1092.5 N.

Con ésta se completa un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para el cual: F 1 = 1503 N

y

F 2 = 411 N

Las fuerzas sobre los árboles que soportan las poleas están dadas por la suma vectorial de las fuerzas F 1, F 2 y el peso de la polea. De la tabla 2 de la página 59 (anexo 2) se obtienen los pesos de las poleas: 26 lbf = 115.65 N (polea conductora) y 112 lbf = 498.20 N (polea conducida); y de la tabla 1 de la página 56 (anexo 2) se obtienen los pesos aproximados de los manguitos: 3.5 lbf = 16 N (de la polea pequeña) y 14 lbf = 62 N (de la polea grande). Las fuerzas sobre los árboles están dadas aproximadamente por: F E  ( F 1  F 2 ) 2  W 2 . 2 2 F E  (1503  411)  (116  16)  1919 N,

(4.15)

sobre el árbol del motor,

2 2 F E  (1503  411)  (498  62)  1994 N,

y

sobre el árbol 2.

A pesar de que la polea conducida y su manguito tienen un peso relativamente grande, la fuerza resultante sobre el árbol no difiere significativamente de la suma escalar de las fuerzas F 1 y F 2.

4.14 Resumen Tabla 4.1 Algunos de los parámetros principales de la transmisión por correa Parámetro Relación de transmisión Tipo de correa Número de correas Longitud interior Longitud primitiva Diámetros primitivos de las poleas Velocidad periférica Distancia entre centros Ángulos de contacto Fuerzas en la correa Fuerza periférica Fuerzas sobre los árboles Referencias de las poleas Referencias de los manguitos

Valor i = 2.9 C85 (convencional) 6 85” L = 87.9” = 223.27 cm D1 = 7” y D2= 20”

V = 16.38 m/s = 3224 ft/min A = 21.77” = 55.31 cm  1 = 145.8° y  2 = 214.2° F 1 = 1503 N y F 2 = 411 N F = F 1 – F 2 = 1092.5 N F E 1 = 1919 N y F E 2 = 1994 N

6C70SF y 6C200F SF (42 mm) y F (45 mm)

Las dimensiones de la sección de la correa se muestran en la figura 4.2 (página 15) y las medidas de las poleas y de los manguitos están en el anexo 2 (páginas 56, 57 y 59).


20

5. CÁLCULO DE LA TRANSMISIÓN POR CADENA La transmisión por cadena es la encargada de llevar la potencia a la secadora. De la sección 2 tenemos que: - P = P A = 10 hp = 7.46 kW (potencia a transmitir). - n1 = 45 r/min (velocidad de la estrella conductora, la cual está montada sobre el árbol 5) (sección 2.5). - id = 2.25 (relación de transmisión) (sección 2.5). - La máquina accionada es una secadora (aunque el elevador de cangilones puede afectar en cierta medida la transmisión por cadena). Puede asumirse que los elementos soportan choques moderados. - El trabajo de la transmisión es de 24 horas al día. - Por las características de trabajo en el ingenio (bagacillo en el ambiente), se asume una condición crítica respecto a la lubricación (periódica). En caso de que en la instalación se proteja la transmisión del ambiente contaminado y se lubrique con mejores condiciones, se esperará una mayor duración de la cadena. - Debido a la baja velocidad de esta transmisión, la cadena de rodillos trabajará bien (no se requiere una cadena silenciosa) y tendrá menores costos.

5.1 Números de dientes de las estrellas El número de dientes de la estrella pequeña debe ser lo suficientemente grande para evitar un exceso de oscilación de la velocidad de la cadena, lo que conllevaría a mayores impactos, ruido y desgaste, y menor eficiencia y vida útil. Por otro lado, una estrella con excesivo número de dientes sería más costosa, ya que las estrellas serían de mayor tamaño. La tabla 3.6 de Ocampo[1] recomienda el número de dientes para la estrella pequeña, con base en la relación de transmisión y el tipo de cadena. Para cadena de rodillos y relación de transmisión 2 < i = 2.25 < 3, se recomienda que Z 1 esté entre 25 y 27 dientes. Escogemos Z1 = 26 dientes. La relación de transmisión está dada por: id 

n1 n2



Z 2 Z 1

,

de donde

Z 2  id Z 1  ( 2.25)(26)  58.5.

(5.1)

Seleccionamos un número de dientes para la estrella conducida de Z2 = 60 dientes3. La nueva relación de transmisión es, entonces, igual a: id 

Z 2 Z 1



60 26

 2.31.

Al analizar la tabla 3.7 de Ocampo[1] vemos que cualquier cadena (de cualquier paso) trabajará bien con respecto al límite de velocidad permitido, ya que esta transmisión opera a muy baja velocidad.

3

Para distribuir mejor el desgaste de la cadena y de las estrellas, Ocampo [1] recomienda que los números de dientes de estas últimas sean impares cuando la cadena tenga un número par de eslabones (esto último es conveniente para evitar el uso de eslabones especiales). El cálculo mostrado en esta sección corresponde a una segunda iteración, en la cual se tuvieron en cuenta los números de dientes disponibles de estrellas Browing [6].


21

5.2 Velocidad, fuerza periférica y fuerza equivalente por hilera en función del paso de la cadena La velocidad media de la cadena está dada por: V  Z 1n1 p,

(5.2)

entonces V  (26)(45 / 60 s) p  (19.5 s -1 ) p.

La fuerza periférica se obtiene con la potencia y la velocidad de la cadena: F 

P V



7460 W -1



(19.5 s ) p

382.6 N - m p



382.6  10 3 N - mm p



39011kgf - mm p

.

(5.3)

Ésta es la fuerza periférica total que soporta la cadena; sin embargo, si la cadena es de más de una hilera de rodillos, la fuerza se distribuye en el número de hileras correspondiente. Teniendo en cuenta que la potencia que puede transmitir una cadena de varias hileras no es directamente proporcional al número de éstas, sino que es igual a un a fracción, calculamos la fuerza equivalente por hilera dividiendo la fuerza periférica entre el coeficiente K 4: - K 4 = 1, para h = 1 (una hilera) - K 4 = 1.7, para h = 2 - K 4 = 2.5, para h = 3 - K 4 = 3.3, para h = 4 De acuerdo con estos valores, por ejemplo, la potencia a transmitir por una cadena de 4 hileras es igual a 3.3 veces la potencia que puede transmitir una cadena de iguales especificaciones, pero de una hilera. La fuerza equivalente por hilera, F eh, está dada por: F eh 

-

Para una cadena de una hilera: Para dos hileras: Para tres hileras: Para cuatro hileras:

F K 4

,

(5.4)

entonces:

F eh = F /1 = (39011 kgf-mm)/ p. F eh = F /1.7 = (22948 kgf-mm)/ p. F eh = F /2.5 = (15604 kgf-mm)/ p. F eh = F /3.3 = (11822 kgf-mm)/ p.

5.3 Selección del paso de la cadena La ecuación siguiente es una variante de la recomendada por Ocampo [1] para hallar un paso tentativo de la cadena: p[mm]  280  3

P[kW]K Z 1n1[r/min][ p ][kgf/mm2 ]K 4

,

(5.5)

donde: - P = 7.46 kW - Z 1 = 26 - n1 = 45 r/min 2 [1] [ p ]  4.6 kgf/mm (tabla 3.8 , aumentada en 30%) - K = K 1K 2K 3; tomamos K 1 = 1.3 (carga con choque moderado) K 2 = 1.5 (lubricación periódica) K 3 = 1.45 (3 jornadas de trabajo) Entonces K = 2.83 - Para K 4 tomamos 1, 1.7 y 2.5, que corresponden a 1, 2 y 3 hileras respectivamente. Reemplazando estos datos en la ecuación 5.5 tenemos:

22


p = 44 mm, para h = 1 p = 37 mm, para h = 2 p = 33 mm, para h = 3

Teniendo en cuenta esto, escogemos las siguientes cadenas ANSI para su análisis: 100- h ( p = 31.75 mm), 120-h ( p = 38.10 mm), 140-h ( p = 44.45 mm), 160-h ( p = 50.80 mm). La letra h corresponde al número de hileras; cada una de estas cadenas se analizará con 1, 2 y 3 hileras. La tabla 5.1 muestra los resultados de los cálculos requeridos para hacer la comprobación de cada cadena.

Tabla 5.1 Datos para la selección del paso de la cadena Paso de la cadena, p (mm) 31.75 38.10 44.45 50.80

Variable

h

Ecuación/Tabla

Área nominal de trabajo 2 Ar (mm )

-

Tabla 3.1[1]

258

390

468

639

1 2 3 1 2 3

F eh = (39011 kgf-mm)/ p F eh = (22948 kgf-mm)/ p F eh = (15604 kgf-mm)/ p

1229 723 491 13.48 7.93 5.39

1024 602 410 7.43 4.37 2.98

878 516 351 5.31 3.12 2.12

768 452 307 3.40 2.00 1.36

-

Tabla 3.8[1] (aumentando 30%)

4.6

4.6

4.6

4.6

-

Tabla 3.1[1]

Fuerza equivalente por hilera F eh (kgf) Presión específica 2 p (kgf/mm ) Presión específica permisible [ p ] (kgf/mm2) Carga media de rotura Q (kgf) Coeficiente de seguridad N

Coef. de seguridad permisible [ N ] Distancia entre centros A (mm) Número de eslabones L p

Número de golpes por segundo -1 U (s ) Número de golpes permisible [U ] (s-1)

1 2 3

p  K

N 

F eh Ar

 (2.83)

Q K 1 F eh



Q

(1.3) F eh

Tabla 3.10[1]

-

A = 30 p

-

A Z 1  Z 2 p



2

Ar

10890 15420 20870

-

L p  2

F eh

4



( Z 2  Z 1 ) 2 2

4 ( A / p )

26310

6.8 11.6 17.1

11.6 19.7 28.9

18.3 31.1 45.7

26.4 44.8 65.9

7

7

7

7

953

1143

1334

1524

104.98, entonces L p = 105

5

-

U = (n1[r/min])( Z 1)/(15 L p)

0.74

0.74

0.74

0.74

-

Tabla 3.9[1]

25

20

15

15

No sirve

SIRVEN No con sirve p  [ p] 2 o 3 hileras A>1.4 m Las celdas sombreadas en la tabla 5.1 corresponden a los valores que cumplen los respectivos requisitos: - p  [ p] - U  [U ] 4

Lo óptimo podría ser A = 40 p, pero se tomó el menor valor del rango recomendado (30 p < A < 50 p), ya que la distancia disponible es pequeña (80 cm < A < 140 cm). 5 Se seleccionó impar ya que los números de dientes de las estrellas son pares; esto puede contribuir a u n desgaste más parejo.


-

23

N  [ N ] 80 cm < A < 140 cm

Se observa que el paso de 31.75 mm no cumple el requisito de la presión específica, mientras que el de 50.80 mm no cumple el de la distancia entre centros. Los pasos 38.10 mm y 44.45 mm cumplen todas las condiciones si se eligen 2 o 3 hileras de rodillos. La decisión puede tomarse después de hacer un análisis de costos. Probablemente la opción más económica es la cadena ANSI 120-2 ( p = 38.10 mm y 2 hileras), ya que combina el menor paso y el menor número de hileras. De la tabla 5.1 se concluye que el criterio que predomina en la selección de la cadena es la presión específica (4.37 kgf/mm2), ya que está muy cerca del valor permisible (4.6 kgf/mm 2); mientras que el factor de seguridad y el número de golpes por segundo están muy alejados de los respectivos valores permisibles.

5.4 Distancia entre centros La distancia entre centros, expresada en pasos, está dada por: L p 

Z 1  Z 2

2

A p 

2

2  Z  Z 2  2   1  L p   2  Z 2  Z 1   2   4

,

(5.6)

entonces 105  A p 

26  60 2

2

2  26  60  2    105  2 60  26  2   4

 30.52.

La distancia (teórica) entre centros es, por lo tanto: A  A p p  (30.52)(38.10 mm)  1162.8mm.

(5.7)

Para calcular la distancia entre centros real, debe tenerse en cuenta el pandeo de la cadena en el lado flojo (figura 5.1). De acuerdo con Ocampo[1], la deflexión de la cadena y la distancia entre centros corregida pueden tomarse como: y  0.02 A, para   45,

y

Acorregida  A  0.5 y,

donde  es el ángulo entre la línea que une los ejes y la horizontal. Como  = 0, tenemos que: y  (0.02)(1162.8 mm)  23 mm,

Estrella conductora

y

Acorregida  1162.8 mm  (0.5)(23 mm)  1151mm. Estrella conducida

Cadena

Acorregida

y

Figura 5.1 Deflexión y distancia entre centros en una transmisión por cadena

(5.8)


24

5.5 Selección de las estrellas De la página F-9 del catálogo Browning[6] (anexo 3, página 61) se seleccionan las estrellas para cadena ANSI 120-2: - D120B26 con 26 dientes para la estrella conductora - D120C60 con 60 dientes para la estrella conducida En la página F-49[6] (anexo 3, página 62) están las dimensiones y datos principales de las estrellas. De allí se puede verificar que las estrellas pueden ser perforadas hasta alcanzar las medidas de los diámetros previos correspondientes de los árboles 5 y 6 (ver figuras 3.4 y 3.5). Pueden leerse, además, los pesos de las estrellas; sin embargo, éstos pueden ser despreciados para el cálculo de la fuerza sobre el árbol, ya que son pequeños comparados con las fuerzas en la cadena. Se sugiere al estudiante calcular la fuerza sobre el árbol considerando el peso de la estrella respectiva, y compararla con la obtenida en la sección 5.6.

5.6 Fuerzas en el lado tenso, en el lado flojo y sobre el árbol Las fuerzas en el lado tenso, F 1, en el lado flojo, F 2, y sobre el árbol, F E , están dadas por[1]: F 1  F  F p ;

F 2  F p  F c ;

F E  F 1  F 2,

(5.9)

donde F c es la fuerza centrífuga y F p es la fuerza de pandeo, las cuales están dadas por: F c 

qhV 2

F p 

y

g

qhA2

8 y

.

(5.10)

Sabemos que: - F = 1024 kgf (de la tabla 5.1 o de la ecuación 5.3) - q = 5.54 kgf/m (peso lineal de la cadena, tomado de la tabla 3.1 de Ocampo[1]) - V = (19.5 s – 1)(0.0381 m) = 0.743 m/s (de la ecuación 5.2) - A = 1.151 m, y = 0.023 m, h = 2 y g  9.8 m/s2. Reemplazando estos datos en las ecuaciones 5.9 y 5.10 se obtiene que: entonces

F c = 0.6 kgf F 1 = 1104 kgf,

y

F p = 80 kgf,

F 2 = 81 kgf

y

F E = 1185 kgf.

5.7 Medidas principales de la cadena y diámetros primitivos de las estrellas La figura 5.2 muestra las dimensiones principales de una cadena ANSI 120-2 (tomadas de la tabla 3.1 de Ocampo[1] y del catálogo Browning[6] (anexo 3, página 63)), donde: p = 38.10 mm Paso de la cadena: Diámetro del rodillo: D = 22.23 mm Distancia entre placas: C = 25.4 mm

Los diámetros primitivos de las estrellas están dados por (ver además anexo 3, página 62): Do 

entonces

p

sen(180 / Z )

;

(5.11)


Do1 

38.10 mm sen(180 / 26)

 316.1 mm

p = 38.10 mm

y

Do1 

38.10 mm sen(180 / 60)

25

 728.0 mm.

D = 22.23 mm

24.89 mm C = 25.4 mm

45.49 mm

29.21 mm

Figura 5.2 Dimensiones principales de la cadena de rodillos ANSI 120 -2

5.8 Resumen Tabla 5.2 Algunos de los parámetros principales de la transmisión por cadena Parámetro Relación de transmisión Números de dientes Tipo de cadena Paso de la cadena Número de hileras Diámetros primitivos Velocidad periférica Distancia entre centros Fuerzas en la cadena Fuerza periférica Fuerza sobre el árbol Referencias de las estrellas

Valor i = 2.31 Z 1 = 26 Z 2 = 60 ANSI 120-2 p = 38.1 mm 2 Do1 = 316.1 mm Do2 = 728.0 mm V = 0.743 m/s A = 1151 mm F 1 = 1104 kgf F 2 = 81 kgf F = 1024 kgf F E = 1185 kgf D120B26 y D120C60

Las principales dimensiones de la cadena se muestran en la figura 5.2 (sección 5.7), y las de las estrellas en el anexo 3 (página 62).


6. DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN ENGRANES HELICOIDALES

26

POR

Datos iniciales de la transmisión por ruedas dentadas (reductor de velocidades)

Antes de comenzar el cálculo de las ruedas helicoidales, se presentan aquí algunos datos iniciales para el diseño del reductor de velocidades de dos escalones. La transmisión por ruedas dentadas recibe la potencia de la transmisión por correa y la entrega al acople ‘f’ y a la transmisión por cadena (ver figura 1.3). Aunque la velocidad de giro del árbol de entrada del reductor es relativamente baja, se utilizarán ruedas dentadas helicoidales para el primer escalón. Para el segundo escalón se usarán ruedas dentadas cilíndricas de dientes rectos. De las secciones 2 y 4 tenemos que: - P = 24 hp = 17.90 kW (potencia del motor, sección 2.5). - Después de diseñar la transmisión por correa, se obtuvo que ia = 2.9 (ver sección 4.3 o 4.14), entonces, n2 = (n M )/(2.9) = (1760 r/min)/(2.9) = 607 r/min, el cual es un poco diferente al valor inicial calculado en la sección 2.4. - Las relaciones de transmisión de los escalones rápido y lento del reductor son ib = 4.72 e ic = 2.76 respectivamente (sección 2.5). - La potencia que pasa por el reductor es conducida a ambas máquinas, la secadora y el elevador de cangilones. Se asume que los elementos soportan choques moderados. - El trabajo de la transmisión es de 24 horas al día, 6 días a la semana, 9 meses al año, durante 20 años. - Para el cálculo del reductor es necesario tener en cuenta la gráfica de carga (ver figura 1.2). El cálculo de las ruedas dentadas se hará siguiendo un conjunto de pasos que combina ecuaciones y procedimientos recomendados por AGMA (resumidos en Norton[7]) y por Ocampo[1].

6.1 Selección previa de los materiales de las ruedas Los materiales más usados en engranajes son los aceros, el hierro fundido, bronces y materiales termoplásticos. Los bronces se usan principalmente en transmisiones de tornillo sinfín, al igual que el hierro fundido, el cual se usa también para fabricar ruedas dentadas de gran tamaño; los materiales termoplásticos se usan mucho en transmisiones de muy baja potencia. Los aceros son los más utilizados en reductores de velocidades. La selección de los aceros y de sus durezas depende de las velocidades de las ruedas. Para velocidades bajas se requieren durezas del orden de 350 HB o menores, mientras que para velocidades altas se prefieren durezas mayores de 350 HB, ya que se requiere mayor resistencia superficial. De acuerdo con esto, para el piñón, se escoge un acero clasificado como AGMA grado 2, endurecido a 250 HB. Ocampo[1] recomienda que la dureza de la rueda sea menor que la del piñón, entre 20 y 40 HB, con el fin de procurar un desgaste más uniforme (la rueda opera menos ciclos durante su vida útil, por girar más lentamente y por tener menores esfuerzos superficiales). Para la rueda se escoge un acero AGMA grado 2, endurecido a 220 HB.

6.2 Esfuerzos admisibles AGMA De las figuras 11.25 y 11.27 de Norton [7], se obtienen los esfuerzos admisibles AGMA, a flexión y fatiga superficial respectivamente:


-

S fb1’ = 42 ksi = 290 MPa S fc1’ = 118 ksi = 814 MPa S fb2’ = 38.4 ksi = 265 MPa S fc2’ = 107.5 ksi = 740 MPa

27

Piñón Rueda

6.3 Determinación de la distancia entre centros preliminar Cuando se diseñan engranajes debe verificarse la resistencia a la fatiga superficial y a la fatiga por flexión; se prefiere que los factores de seguridad por flexión sean mayores que los de fatiga superficial, ya que la falla por flexión inhabilita generalmente la transmisión, mientras que la falla por fatiga superficial permite un tiempo posterior de funcionamiento durante el cual el ruido y vibración aumentados ‘avisan’ de la falla. Es

por esto que el criterio fundamental de falla debe ser el de fatiga superficial; como el esfuerzo por contacto depende de la fuerza tangencial, que a su vez depende de los diámetros primitivos y, por lo tanto, de la distancia entre centros (entre otras variables), se estima la distancia entre centros, A, con base en el esfuerzo permisible por contacto. Usamos la ecuación 6.54 de Ocampo[1] (página 263), válida para un ángulo de presión de 20°: 2

  1 K P[kW] 340000  , A[cm]  (i  1) 3   ( S fc 2 '[kgf/cm2 ])i   A C nR [r/min]  

(6.1)

donde i = 4.72 es la relación de transmisión; S fc2’ = 740 MPa = 7546 kgf/cm2 es el esfuerzo admisible por fatiga superficial de la rueda; K es un factor que depende de las cargas dinámicas y de la concentración de esfuerzos, el cual se asume como K = 1.75 (el procedimiento para calcular este valor se encuentra en Ocampo[1]);  A = B R / A es el coeficiente de anchura de la rueda, el cual se toma entre 0.2 y 0.6 para ruedas helicoidales6[1]; tomamos7  A = 0.2; C es un coeficiente que tiene en cuenta el mayor rendimiento de las ruedas helicoidales y oscila entre 1.15 y 1.35 para éstas; tomamos C = 1.25; P es la potencia en kW, P = 17.9 kW; y n R = (607 r/min)/(4.72) = 128.6 r/min es la frecuencia de giro de la rueda conducida. Reemplazando estos datos en la ecuación 6.1 se obtiene que A = 25.52 cm.

6.4 Elección del módulo normal De acuerdo con Ocampo[1] el valor del módulo normal, mn, se escoge con base en el siguiente rango: 0.01 A  mn  0.02 A.

(6.2)

Tomamos mn = 0.015 A = (0.015)(255.2 mm) = 3.83 mm. De la tabla 4.3 de Ocampo[1] se escoge un módulo normalizado: m n = 4 mm.

6.5 Elección del ángulo de inclinación de los dientes El ángulo de inclinación de los dientes,  , para dientes helicoidales está entre 7° y 35°, según Ocampo [1] (página 124), ó entre 10° y 45°, según Norton[7]. Tomamos = 20°.

6.6 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas Sabemos que: 6

Este rango no es muy estricto, algunos autores dan otros rangos que consideran valores de  A de hasta 1.6. Las ruedas conducidas del reductor (horizontal) deben tener iguales diámetros para que tengan la misma profundización en el baño de aceite. Como el escalón rápido soporta menores fuerzas que el lento, se elige un coeficiente de anchura de la rueda pequeño. 7


i

Z 2 Z 1

2 A cos 

Z 1  Z 2 

y

mn

,

28

(6.3)

de donde se obtiene que: 4.72 

Z 2 Z 1

y

Z 1  Z 2 

(2)(255.2 mm) cos 20 4 mm

 119.9,

De este sistema se obtiene que Z 1 = 21.0 y Z 2 = 98.9. Seleccionamos Z1 = 21 y Z2 = 99, con los cuales la relación de transmisión es i = 99/21 = 4.71. Aunque el número de dientes del piñón es suficientemente grande, ilustraremos la forma de verificar que no exista interferencia. El número de dientes equivalente Z E del piñón es: Z E 

Z

cos 3 



21 cos 3 20

 25.3.

(6.4)

Escogemos un ángulo de presión de 20° para todas las ruedas . Para  = 20° e i = 4.71 se obtiene, de la tabla 4.2 de Ocampo[1], que para evitar interferencia Z E debe ser mayor o igual a 16, entonces, nuestro piñón cumple con este requisito.

6.7 Precisión de la distancia entre centros y el ángulo de la hélice Después de escoger valores enteros para los números de dientes, se debe recalcular ya sea el ángulo de inclinación de los dientes o la distancia entre centros, de acuerdo con: A 

Z 1  Z 2

mn

2

cos 

(6.5)

,

Dejando  = 20°: A 

21  99 4 mm 2

cos 20

 255.4 mm.

6.8 Diámetros primitivos de los engranes Los diámetros primitivos son: D1 

mn Z 1

cos 



(4 mm)(21) cos20

 89.39 mm.

D2 

mn Z 2

cos 



(4 mm)(99) cos20

 421.41 mm.

(6.6)

6.9 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes La velocidad periférica de los engranajes está dada por: V   D2 n2   D1n1   (0.08939m)

607 60 s

 2.84 m/s.

(6.7)

La precisión de los dientes de los engranes se escoge de la tabla 11.7 de Norton [7]. Para la velocidad de 2.84 m/s se escoge un número de calidad AGMA de 7 , que se consigue con un método tallado de desbaste (no se requiere utilizar un método de acabado).


29

6.10 Determinación del ancho de cada engrane En la sección 6.3 se escogió el coeficiente de anchura de la rueda  A = B R / A = 0.2. Norton[7] plantea un rango para el ancho del diente que depende del módulo; recomienda que 8 m < B R < 16m, entonces: (8)(4 mm)  32 mm  BR  (16)(4 mm)  64 mm. B R   A A  (0.2)(255.4 mm)  51.1 mm,

se toma

BR  52 mm.

De acuerdo con Ocampo[1], el ancho del piñón se toma entre 3 y 5 mm mayor que el de la rueda. Tomamos B P = 55 mm.

6.11 Cálculo de la fuerza tangencial La fuerza tangencial, Qt , es igual a: Qt 

2T 2 D2



2T 1 D1

2

1

P

2 n1 D1

2

17.9 kW

1

2 (607 /60 s) 0.08939m

 6.30 kN.

(6.8)

6.12 Cálculo de las razones de contacto La razón de contacto está dada por: 2

r c 

2

2

2

Re 2  Rb 2  Re1  Rb1  Asen pc cos 

(6.9)

,

donde: -  = 20° (ángulo de presión) - A = 255.4 mm (distancia entre centros) mn

pc 

-

Re1 = ( D1 + 2mn)/2 = (89.39 mm + (2)(4 mm))/2 = 48.70 mm Re2 = ( D2 + 2mn)/2 = (421.41 mm + (2)(4 mm))/2 = 214.71 mm Rb1 = ( D1cos )/2 = (89.39 mm)(cos 20°)/(2) = 42.00 mm Rb2 = ( D2cos )/2 = (421.41 mm)(cos 20°)/(2) = 198.00 mm

cos 



(4 mm)

-

cos 20

 13.37 mm.

Con estos datos se obtiene que r c = 1.62, la cual es satisfactoria (Norton[7] recomienda que sea  1.4). La razón de contacto axial, r ca, para la rueda, está dada por: r ca 

B R p a



B R tan  m



B R tan 

(mn / cos  )



(52 mm) tan 20 ( 4 mm/cos20)

el cual es satisfactorio (Norton[7] recomienda que r ca  1.15). De la ecuación anterior se obtiene el paso axial: pa 

B R r ca



52 mm 1.42

 36.74 mm.

 1.42,

(6.10)


30

6.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial El esfuerzo de compresión por contacto (AGMA) está dado por: S c  C p

Qt C a C m BID C v

(6.11)

C s C f ,

donde: - Qt = 6.30 kN (fuerza tangencial) - B = 52 mm (ancho de la rueda) - D1 = 89.39 mm y D2 = 421.41 mm (diámetros primitivos) - C a = 1.25 (factor de aplicación, de la tabla 11.17 de Norton [7], para máquina impulsada con impactos moderados y motor eléctrico) - C m = 1.6 (factor de distribución de carga, de la tabla 11.16 de Norton[7], para un ancho de cara de 52 mm) - C v = 0.80 (factor dinámico, tomado de la figura 11.22 de Norton[7] con Qv = 7 y V = 2.84 m/s) - C s = 1 (factor de tamaño) - C p = 191 (MPa)0.5 (coeficiente elástico, de la tabla 11.18 de Norton [7], para ambos engranes de acero) - C f = 1 (factor de acabado superficial; el acabado es obtenido por un método de tallado convencional) El factor de geometría superficial , I , se calcula mediante el siguiente procedimiento: El ángulo de presión normal,  n, está dado por:  n  tan1 (tan cos  )  tan1 (tan20 cos 20)  18.88.

(6.12)

El ángulo de base de la hélice,  b, está dado por:  

 b  cos 1  cos 

cos18.88     cos 1  cos 20   18.88. cos  cos 20  

cos n 

(6.13)

nr = 0.62 (parte fraccionaria de la razón de contacto (transversal), r c) na = 0.42 (parte fraccionaria de la razón de contacto axial , r ca)

Como (na = 0.42) > (1 – nr = 0.38), entonces la longitud mínima de las líneas de contacto es: Lmin 

r c B  (1  na )(1  nr ) p a

cos  b

(1.62)(52 mm)  (1  0.42)(1  0.62)(36.74 mm)



cos18.88

 80.47 mm. (6.14)

La razón de distribución de carga, m N , es: m N 

B Lmin



52 mm 80.47 mm

 0.646.

(6.15)

Los radios de curvatura de los perfiles son:  p 

entonces

0.5 R

p

 h1 p    A  Rg  h1g 2  ( R p cos ) 2 ,

(6.16)

 g  A sen   p ,

(6.17)

2

2   89.39   421.41    89.39   p  0.5  4    255.4   4     cos 20   15.29 mm, 2      2    2

y


31

 g  (255.4 mm) sen20  15.29 mm  72.06 mm.

Con D p = 89.39 mm, el factor de geometría superficial es: I 

cos

 1 1   D m    p  g  p N  



cos 20 1 1     (89.39 mm)(0.646)  15.29 mm 72.06 mm 

 0.205.

(6.18)

Reemplazando todos estos datos en la ecuación (6.11) se obtiene S c  191(MPa0.5 )

0.0063MN

(1.25)(1.6)

(0.052 m)(0.205) D

0.8

(1)(1) ,

donde, al reemplazar el diámetro primitivo de la respectiva rueda (en metros), se obtiene que S c1 = 776.5 MPa, S c2 = 357.6 MPa. De la sección 6.2 tenemos que S fc1’ = 814 MPa y S fc2’ = 740 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos están dados por: S fc 

C L C H C T C R

(6.19)

S fc ' ,

donde: - C T = 1 (factor de temperatura, asumiendo que la temperatura de los engranes es menor de 250° F) - C R = 1 (factor de confiabilidad, trabajando con una confiabilidad del 99%) - Para hallar el factor de vida superficial, C L, se calcula el número de ciclos que soportará cada rueda: Ciclos del piñón = (607 r/min)(60 min/h)(24 h/día)(6 días/semana)(4.35 semanas/mes)(9 meses/año) (20 años) = 4.1109; durante los 20 años, la rueda girará un número de ciclos igual a: (4.1 109)/(4.71) = 8.7108, donde 4.71 es la relación de transmisión. De la figura 11.26 de Norton[7], se obtiene C L1 = 0.87 y C L2 = 0.90 - C H 1 = 1 (factor de razón de dureza del piñón, el cual no se endurece por trabajo) - C H 2 = 1 (factor de razón de dureza de la rueda, es igual a 1 ya que HB1 /HB2 < 1.2) Entonces, S fc1 = 708 MPa y S fc2 = 666 MPa. Como el piñón tiene un esfuerzo de contacto mayor al admisible (776.5 > 708), se decide aumentar las durezas de los aceros:

Piñón: acero AGMA grado 2, endurecido a 350 HB Rueda: acero AGMA grado 2, endurecido a 300 HB De las figuras 11.25 y 11.27 de Norton [7], se obtienen los esfuerzos admisibles AGMA, a flexión y fatiga superficial respectivamente, para estos nuevos materiales: - S fb1’ = 51.7 ksi = 356 MPa Piñón - S fc1’ = 154 ksi = 1065 MPa - S fb2’ = 47.1 ksi = 325 MPa Rueda - S fc2’ = 136 ksi = 939 MPa Los esfuerzos admisibles corregidos son, entonces, S fc1 = 10650.87 = 926 MPa y S fc2 = 9390.9 = 845 MPa, para los cuales se obtienen los siguientes factores de seguridad: 2

2

 S fc1  926     N c1      1.4,  S 776 . 5    c1 

2

2

 S fc2  845     y N c 2      5.6.  S 357 . 6    c 2 

(6.20)


32

Estos factores de seguridad son satisfactorios.

6.14 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión El esfuerzo a flexión máximo (AGMA) está dado por: Sb 

Qt K a K m BmJ K v

(6.21)

K s K B K I ,

donde: - Qt = 6.30 kN (fuerza tangencial) - B1 = 55 mm y B2 = 52 mm (anchos de los engranes) - m = mn /cos  = (4 mm)/cos20° = 4.257 mm (módulo) - K a = C a = 1.25 - K m = C m = 1.60 - K v = C v = 0.80 - K s = C s = 1 - K B = 1 (engranes macizos) - K I = 1 (engranes no locos) El factor geométrico de resistencia a flexión, J , se obtiene de la tabla 12-2 de Norton [7]. Para Z 1 = 21, Z 2 = 99,  = 20°,  = 20°, y asumiendo (por seguridad) ‘carga en la punta’, se obtiene que J 1 = 0.50 y J 2 = 0.57, mediante interpolación rectilínea. Reemplazando estos datos en la ecuación para el esfuerzo a flexión AGMA se obtiene Sb 

6.3  10 3 N

(1.25)(1.6)

B( 4.257 mm) J

0.8

(1)(1)(1),

donde, al reemplazar el ancho B (en mm) y el factor geométrico J de la respectiva rueda, se obtiene que S b1 = 134.5 MPa, S b2 = 124.8 MPa. De la sección anterior tenemos que S fb1’ = 356 MPa y S fb2’ = 325 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos están dados por: S fb 

K L K T K R

(6.22)

S fb ' ,

donde: - K T = C T = 1 - K R = C R = 1 - El factor de vida, K L, se obtiene de la figura 11.24 de Norton [7], con los números de ciclos: del piñón 4.1109 y de la rueda 8.7108. Se obtiene K L1 = 0.91 y K L2 = 0.94 Entonces, S fb1 = (0.91)(356 MPa) = 324 MPa y S fb2 = (0.94)(325 MPa) = 306 MPa, los cuales son mayores a los esfuerzos máximos. Los factores de seguridad son: N b1 

los cuales son satisfactorios.

S fb1 S b1



324 134.5

 2.4,

y

N b 2 

S fb 2 Sb2



306 124.8

 2.5,

(6.23)


6.15 Parámetros de las ruedas dentadas helicoidales Tabla 6.1 Algunos de los parámetros principales de los engranes helicoidales (escalón rápido) Parámetro

Valor

Relación de transmisión

i = 4.71

Números de dientes

Z 1 = 21 y Z 2 = 99

Ángulo de inclinación Módulo normal Módulo circunferencial Ángulo de presión Paso normal Paso circunferencial Paso axial Paso básico (normal)

 = 20°

Diámetros primitivos Diámetros básicos Altura de cabeza (adendo) Altura de raíz (dedendo) Altura total del diente Huelgo radial Diámetros exteriores Diámetros interiores Espesor del diente sobre la circunferencia primitiva en una sección normal Espesor del diente sobre la circunferencia primitiva Velocidad periférica Anchos de los engranes

mn = 4 mm

Fórmula i

Z 2



Z 1

D2 D1

Se calculan con la relación de transmisión y la distancia entre centros (ecuaciones 6.3) 7    35

(se estandariza, tabla 4.3[1])

0.01 A  mn  0.02 A

m = 4.26 mm

m  mn / cos 

 = 20°

20°, 22.5° o 25°

pn = 12.57 mm

pn  mn

pc = 13.37 mm

pc  pn / cos   mn / cos 

pa = 36.74 mm

pa  pc / tan   mn / sen 

pb = 11.81 mm

pb  mn cos 

D1 = 89.39 mm D2 = 421.41 mm Db1 = 84.00 mm Db2 = 396.00 mm

D  mZ  mn Z / cos  Db  D cos 

h1 = 4 mm

h1  mn

h2 = 5 mm

h2  1.25mn

h = 9 mm

h  h1  h2  2.25mn

c = 1 mm

c  h2  h1  0.25mn

De1 = 97.40 mm De2= 429.42 mm Di1= 79.39 mm Di2= 411.41 mm

De  D  2mn  mn ( Z / cos   2) Di  D  2.5mn  mn ( Z / cos   2.5) Sn 

Sn = 6.28 mm

S

S = 6.69 mm V = 2.84 m/s B1 = 55 mm B2 = 52 mm

Distancia entre centros

A = 255.4 mm

Razón de contacto

r c = 1.62

Razón de contacto axial

r ca = 1.42

pn



2

pc

2



mn

2 mn

2 cos 

V   Dn B2 = (0.2 a 0.6) A, A  2

r c 

B1 = B2 + (3 a 5) mm

D1  D2

2

Z 1  Z 2

m

2

2

2

2

Re 2  Rb 2  Re1  Rb1  Asen pc cos  r ca 

B p a



Bsen  mn

33


7. DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN ENGRANES DE DIENTES RECTOS

34

POR

7.1 Selección previa de los materiales de las ruedas El segundo escalón del reductor opera a una velocidad bastante baja; por lo tanto, no se requieren altas durezas para la resistencia a la fatiga superficial, pero si se requieren altas resistencias a la flexión (debido a las mayores fuerzas en los dientes). Se toman los mismos materiales que los de las ruedas helicoidales, acero AGMA grado 2, endurecido a 350 HB , para el piñón y acero AGMA grado 2, endurecido a 300 HB , para la rueda.

7.2 Esfuerzos admisibles AGMA Los esfuerzos admisibles AGMA, a flexión y fatiga superficial, se obtienen de las figuras 11.25 y 11.27 de Norton[7] respectivamente: - S fb1’ = 51.7 ksi = 356 MPa Piñón - S fc1’ = 154 ksi = 1065 MPa - S fb2’ = 47.1 ksi = 32 5 MPa Rueda - S fc2’ = 136 ksi = 939 MPa

7.3 Determinación de la distancia entre centros preliminar Para las ruedas de dientes rectos se puede estimar también una distancia entre centros, A, adecuada con base en el esfuerzo permisible por contacto, usando la ecuación 6.54 de Ocampo[1] (página 263) (válida para un ángulo de presión de 20°): 2

  1 K P[kW] 340000  A[cm]  (i  1)3  ,  ( S fc 2 '[kgf/cm2 ])i   A C nR [r/min]  

(7.1)

donde: - i = 2.76 (relación de transmisión) - S fc2’ = 939 MPa = 9575 kgf/cm 2 (esfuerzo admisible por fatiga superficial de la rueda) - K = 1.75 (se asume igual al K usado para la estimación de A de las ruedas helicoidales) -  A = B R / A = 0.6 (coeficiente de anchura de la rueda; se toma mayor que el de las ruedas del primer escalón debido a las mayores fuerzas involucradas) - C = 1, para ruedas cilíndricas de dientes rectos - P = 17.9 kW - n R = (607 r/min)/(4.73)/(2.76) = 46.5 r/min (frecuencia de giro de la rueda conducida) Reemplazando estos datos en la ecuación 7.1 se obtiene que A = 21.46 cm. Es conveniente que las ruedas conducidas del reductor horizontal tengan los mismos diámetros, con el fin de darles igual profundización en el baño de aceite; si se utiliza este criterio, la distancia entre centros debe ser: A 

D1  D2

2



( D2 / 2.76)  D2 2



(421.41 mm) /(2.76)  (421.41 mm) 2

 287.05 mm.

(7.2)


35

Tomamos A = 287 mm como dato previo.

7.4 Elección del módulo El módulo, m, se escoge del siguiente rango [1]: 0.01 A  m  0.02 A.

(7.3)

Tomamos m = 0.015 A = (0.015)(287 mm) = 4.31 mm. De la tabla 4.3 de Ocampo[1] se escoge un módulo normalizado: m = 5 mm.

7.5 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas Tenemos que: i

Z 2

y

Z 1

Z 1  Z 2 

2 A m

(7.4)

,

de donde se obtiene que: 2.76 

Z 2

y

Z 1

Z 1  Z 2 

( 2)(287 mm) 5 mm

 114.8.

De este sistema se obtiene que Z 1 = 30.5 y Z 2 = 84.3. Seleccionamos Z1 = 30 y Z2 = 85, con los cuales la relación de transmisión es i = 85/30 = 2.83. Para un ángulo de presión de 20° e i = 2.83 se obtiene, de la tabla 4.2 de Ocampo[1], que para evitar interferencia Z 1 debe ser mayor o igual a 15, entonces, nuestro piñón cumple con este requisito.

7.6 Precisión de la distancia entre centros Se debe recalcular la distancia entre centros: A 

m( Z 1  Z 2 )

2



(5 mm)(30  85) 2

 287.50 mm.

(7.5)

7.7 Diámetros primitivos de los engranes Los diámetros primitivos son: D1  mZ 1  (5 mm)(30)  150 mm.

D2  mZ 2  (5 mm)(85)  425 mm.

(7.6)

7.8 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes La velocidad periférica de los engranajes está dada por: V   D2 n2   D1n1   (0.150 m)

(607 / 4.73) 60 s

 1.008 m/s.

(7.7)

Note que la velocidad de la rueda conductora se calculó como (607 r/min)/(4.73) = 128.3 r/min, que son la velocidad del árbol de entrada del reductor y la relación de transmisión del escalón rápido. Para esta velocidad, escogemos de la tabla 11.7 de Norton [7] un número de calidad AGMA de 7, que se consigue con un método tallado de desbaste (no se requiere acabado).


36

7.9 Determinación del ancho de cada engrane En la sección 7.3 se escogió el coeficiente de anchura de la rueda  A = B R / A = 0.6, entonces: B R   A A  (0.6)(287.5 mm)  172.5 mm,

se toma

BR  175 mm.

El ancho del piñón se toma entre 3 y 5 mm mayor que el de la rueda [1]. Tomamos B P = 180 mm.

7.10 Cálculo de la fuerza tangencial La fuerza tangencial, Qt , es igual a: Qt 

2T 2 D2



2T 1 D1

2

P

1

2 n1 D1

2

17.9 kW

1

2 (128.3 /60 s) 0.150m

 17.76 kN.

(7.8)

7.11 Cálculo de la razón de contacto La razón de contacto está dada por: 2

r c 

2

2

2


,

(7.9)

donde: -  = 20° (ángulo de presión) - A = 287.5 mm (distancia entre centros) - pc  m  (5 mm)  15.71 mm. - Re1 = ( D1 + 2m)/2 = (150 mm + (2)(5 mm))/2 = 80.00 mm - Re2 = ( D2 + 2m)/2 = (425 mm + (2)(5 mm))/2 = 217.50 mm - Rb1 = ( D1cos )/2 = (150 mm)(cos 20°)/(2) = 70.48 mm - Rb2 = ( D2cos )/2 = (425 mm)(cos 20°)/(2) = 199.68 mm Con estos datos se obtiene que r c = 1.74, la cual es satisfactoria (r c  1.4)

7.12 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial El esfuerzo de compresión por contacto (AGMA) está dado por: S c  C p

Qt C a C m BID

C v

C s C f ,

(7.10)

donde: - Qt = 17.76 kN (fuerza tangencial) - B = 175 mm (ancho de la rueda) - D1 = 150 mm y D2 = 425 mm (diámetros primitivos) - C a = 1.25 (factor de aplicación, de la tabla 11.17 de Norton [7], para máquina impulsada con impactos moderados y motor eléctrico) - C m = 1.725 (factor de distribución de carga, de la tabla 11.16 de Norton [7], para un ancho de cara de 175 mm) - C v = 0.87 (factor dinámico, tomado de la figura 11.22 de Norton[7] con Qv = 7 y V = 1.008 m/s) - C s = 1 (factor de tamaño)


-

37

= 191 (MPa)0.5 (coeficiente elástico, tomado de la tabla 11.18 de Norton [7], para ambos engranes de acero) C f = 1 (factor de acabado superficial; el acabado es obtenido por un método de tallado convencional) C p

El factor de geometría superficial AGMA para ruedas cilíndricas de dientes rectos está dado por: I 

cos 

 1 1   D    p  g  p  

(7.11)

,

donde  es el ángulo de presión, D p es el diámetro primitivo del piñón y  p y  g son los radios de curvatura de los dientes del piñón y la rueda respectivamente, dados por:  p 

 R

p

 (1  x p )m2  ( R p cos ) 2   m cos ,  g  A sen   p ,

(7.12) (7.13)

donde - m = 5,  = 20°, A = 287.5 mm - R p = (150 mm)/2 = 75 mm (radio primitivo del piñón) - x p se denomina coeficiente de cabeza del piñón y es igual a cero para dientes estándar (de profundidad completa) Calculando se obtiene  p = 23.09 mm,  g = 75.24 mm e I = 0.111. Reemplazando todos los datos en la ecuación AGMA para el esfuerzo de contacto, tenemos: S c  191( MPa0.5 )

0.01776MN

(1.25)(1.725)

(0.175 m)(0.111) D

0.87

(1)(1) ,

donde, al reemplazar el diámetro primitivo de la respectiva rueda (en metros), se obtiene que S c1 = 742 MPa, S c2 = 441 MPa. De la sección 7.2 tenemos que S fc1’ = 1065 MPa y S fc2’ = 939 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos están dados por: S fc 

C L C H C T C R

S fc ' ,

(7.14)

donde: - C T = 1 (factor de temperatura, asumiendo que la temperatura de los engranes es menor de 250° F) - C R = 1 (factor de confiabilidad, trabajando con una confiabilidad del 99%) - Para hallar el factor de vida superficial, C L, se calcula el número de ciclos que soportará cada rueda: Número de ciclos del piñón = (128.3 r/min)(60 min/h)(24 h/día)(6 días/semana)(4.35 semanas/mes) (9 meses/año)(20 años) = 8.7 108 (igual al de la rueda helicoidal); durante los 20 años, la rueda girará: (8.7108)/(2.83) = 3.1108. De la figura 11.26 de Norton[7], se obtiene C L1 = 0.90 y C L2 = 0.92 - C H 1 = 1 (factor de razón de dureza del piñón, el cual no se endurece por trabajo) - C H 2 = 1 (factor de razón de dureza de la rueda, ya que HB1 /HB2 < 1.2) Los esfuerzos permisibles corregidos son, entonces, S fc1 = 958.5 MPa y S fc2 = 864 MPa.


38

Los factores de seguridad son: 2

2  S fc1  958.5    N c1    S    742   1.7,  c1 

2

2  S fc 2  864     y N c 2     3.8.  S 441    c 2 

(7.15)

Estos factores de seguridad son satisfactorios.

7.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión El esfuerzo a flexión máximo (AGMA) está dado: Sb 

Qt K a K m BmJ K v

K s K B K I ,

(7.16)

donde: - Qt = 17.76 kN (fuerza tangencial) - B1 = 180 mm y B2 = 175 mm (anchos de los engranes) - m = 5 mm - K a = C a = 1.25 - K m = C m = 1.725 - K v = C v = 0.87 - K s = C s = 1 - K B = 1 (engranes macizos) - K I = 1 (engranes no locos) El factor geométrico de resistencia a flexión, J , se obtiene de la tabla 11-8 de Norton [7]. Para Z 1 = 30, Z 2 = 85,  = 20°, diente estándar y asumiendo (por seguridad) ‘carga en la punta’, se obtiene que J 1 = 0.254 y J 2 = 0.284. Reemplazando estos datos en la ecuación para el esfuerzo a flexión AGMA se obtiene Sb 

17.76  10 3 N (1.25)(1.725) B(5 mm) J

0.87

(1)(1)(1),

donde, al reemplazar el ancho B (en mm) y el factor geométrico J de la respectiva rueda, se obtiene que S b1 = 192.6 MPa, S b2 = 177 MPa. De la sección 7.2 tenemos que S fb1’ = 356 MPa y S fb2’ = 325 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos están dados por: S fb 

K L K T K R

S fb ' ,

(7.17)

donde: - K T = C T = 1 - K R = C R = 1 - El factor de vida, K L, se obtiene de la figura 11.24 de Norton [7], con los números de ciclos: del piñón 8.7108 y la rueda 3.1108. Se obtiene K L1 = 0.94 y K L2 = 0.96 Entonces, S fb1 = 335 MPa y S fb2 = 312 MPa.


39

Los factores de seguridad son: N b1 

S fb1 S b1



335 192.6

 1.7,

y

N b 2 

S fb 2 S b2



312

 1.8,

177

(7.18)

los cuales son satisfactorios.

7.14 Parámetros de las ruedas dentadas de dientes rectos Tabla 7.1 Algunos de los parámetros principales de los engranes de dientes rectos (escalón lento) Parámetro

Valor

Relación de transmisión

i = 2.83

Números de dientes Módulo Ángulo de presión Paso circunferencial Paso básico Diámetros primitivos Diámetros básicos Altura de cabeza (adendo) Altura de raíz (dedendo) Altura total del diente Huelgo radial Diámetros exteriores Diámetros interiores Espesor del diente sobre la circunferencia primitiva Velocidad periférica Anchos de los dientes Distancia entre centros

Fórmula i

Z 1



D2 D1

Z 1 = 30 Z 2 = 85 m = 5 mm  = 20°

Se calculan con la relación de transmisión y la distancia entre centros (ecuaciones 7.4) [1] 0.01 A  m  0.02 A (se estandariza, tabla 4.3 ) 20°, 22.5° o 25°

pc = 15.71 mm

pc  m

pb = 14.76 mm

pb  m cos 

D1 = 150 mm D2 = 425 mm Db1 = 140.95 mm Db2 = 399.37 mm

D  mZ Db  D cos 

h1 = 5 mm

h1  m

h2 = 6.25 mm

h2  1.25m

h = 11.25 mm

h  h1  h2  2.25m

c = 1.25 mm De1 = 160 mm De2 = 435 mm Di1 = 137.5 mm Di2 = 412.5 mm

c  h2  h1  0.25m De  D  2m  m( Z  2) Di  D  2.5m  m(Z  2.5) S

S = 7.85 mm V = 1.008 m/s B1 = 180 mm B2 = 175 mm

B2  1.2 A, A 

A = 287.5 mm r c = 1.74

p c

2



m

2

V   Dn

2

Razón de contacto

Z 2

r c 

B1 = B2 + (3 a 5) mm

D1  D2

2 2

Z 1  Z 2

m

2

2 2



40

7.15 Comentarios sobre los cálculos de las secciones 6 y 7 El diseño de engranajes es un proceso iterativo. Los cálculos presentados aquí no fueron la primera iteración sino una posterior, ya que los parámetros seleccionados en las primeras no satisfacían las vidas útiles requeridas. Algunas de las principales variables a modificar durante las iteraciones son (i) las durezas de los dientes, las cuales tienen más efecto sobre la resistencia a la fatiga superficial que a la fatiga por flexión; (ii) los anchos de las ruedas, los cuales tienen más efecto sobre los esfuerzos por flexión que sobre los de compresión por contacto; (iii) la distancia entre centros, la cual tiene una gran incidencia para los esfuerzos por flexión y los de contacto; y ( iv) el módulo de los dientes, que no tiene un gran efecto sobre los esfuerzos para diámetros primitivos dados. El autor considera que cuando en una iteración los factores de seguridad estén por debajo, pero muy cerca, de valores satisfactorios, se puede pensar en aumentar durezas o anchos de las ruedas; cuando estén muy por debajo de valores adecuados y las durezas y anchos tomados sean suficientemente altos, lo mejor podría ser aumentar la distancia entre centros (y simultáneamente el módulo), lo cual conlleva a reducir las fuerzas del acoplamiento. Finalmente, las ruedas dentadas que se han diseñado pueden no ser las óptimas; hay muchas opciones que satisfarían los requerimientos de nuestro problema. El diseñador experimentado debería encontrar la opción que satisfaga las necesidades y que al mismo tiempo tenga los menores costos, menores espacios ocupados, etcétera.


41

8. COMENTARIOS FINALES 



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Esta guía ha presentado ejemplos de diseño de una transmisión por correa en V, una transmisión por cadena de rodillos y un reductor horizontal de velocidades que consta de un par de ruedas cilíndricas helicoidales y otro par de ruedas cilíndricas de dientes rectos. Estas tres transmisiones pertenecen a un mismo accionamiento mecánico, para el cual se ha presentado también el cálculo cinemático, el cálculo para la selección del motor eléctrico, el cálculo de los pares de torsión de los árboles y la determinación de los diámetros previos de los árboles. El diseño de un accionamiento es un proceso largo y complejo; además de los cálculos presentados en este documento, el diseño completo comprende, además, otros aspectos tales como el diseño de los árboles (chequeo de la resistencia a la fatiga y a las cargas dinámicas, y chequeo de las frecuencias naturales), la selección de acoples y rodamientos, el cálculo de chavetas y la elaboración de los planos necesarios. En la práctica del diseño de transmisiones mecánicas, se hace un gran uso de catálogos de los fabricantes de elementos para dichas transmisiones. En este trabajo se han utilizado catálogos con el fin de que el estudiante se familiarice con ellos, pero también se han utilizado procedimientos y recomendaciones ‘generales’, con el fin de evitar que se particularice demasiado. Se recomiend a que el estudiante consulte, aunque sea brevemente, catálogos como los referidos en este trabajo, para obtener una mayor información acerca de los elementos comerciales y los procedimientos particulares de cálculo. Se espera que esta guía constituya un aporte importante en el aprendizaje del curso de Diseño de elementos de máquinas II y en la elaboración del proyecto del curso.

EJEMPLO D..

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