Ed Sol Dinámica IV

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS SOBRE CINETICA DE CUERPOS RIGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

___________________________________________________________________ PROBLEMAS SOBRE CINETICA DE CUERPOS RIGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO 4-1.- Una caja de 400 lb cuy cen!" de #a$a e$!% en C& $e encuen!"a a'yada $b"e una $u'e"()c)e $)n (")cc)*n AB+ El e,!"e# D e$!% $b"e una $u'e"()c)e "u-$a calcule. a/ la #%,)#a acele"ac)*n 'e"#)$)ble del ca#)*n 'a"a e)!a" 1ue la caja -)"e y b/ el #2n)# ce()c)en!e de (")cc)*n 'a"a e)!a" 1ue en la cnd)c)*n de la 'a"!e a/ el e,!"e# D de$l)ce+

ℑ

Solución 3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P43a/.

P43

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$ 5cue"' "2-)d en #)#)en! de !"a$lac)*n/. a/+ S).

∑M ∑M

D

=ρ DC x ma i = ( i + 8 j ) x ma i

D

= −8ma k

53/

Ta#b)7n.

∑M

D

k

= −mg 9 3 k + N

6

r k

56/

53/ : 56/.

a

g 8

=

−

N6r

58/

8m

P43a

Cuand el -)" e$ )n#)nen!e N 6 : 0& lue- la acele"ac)*n e$ #%,)#& en 58/.

a #a,

= 30+;8

')e<$e-6

b/+ S).

∑F

Y

=0 →

N3 − mg

=0

N3

= 400

lb

c/+ S).

Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE>


___________________________________________________________________

∑F

X

= ma →

f

=µ

µ

= 0+888

N3

− N 6 = ma &

f

= ma → µ =

5$)& N6 : 0/

400 86+6 9 400

930+;8

4-2+ La ba""a ABCD cn ("#a de T e$ -u)ada '" d$ 'a$ad"e$& 1ue "e$balan l)b"e#en!e en "anu"a$ cu"a$ cn "ad) de ;+? 'l-& la ba""a 'e$a @ lb y $u cen!" de #a$a $e lcal)a en el 'un! G+ S) en la '$)c)*n 1ue $e

)nd)ca la c#'nen!e e"!)cal de la elc)dad de D e$ de 4 ')e$<$e- ac)a a"")ba y la c#'nen!e e"!)cal de la acele"ac)*n de D e$ ce"& de!e"#2ne$e el #dul de la (ue"a P+

ℑ P46

Solución

NA

NB

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P46a/.

G

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$ 5cue"' "2-)d en #)#)en! de !"a$lac)*n/ 5e" ()-u"a P46b/.

c$ @0° =

VVD

→

V

=

an

=

;+? 36

=

')e<$e-

0+?

V

V6

4

P46a

= 306+4

')e<$e-

4 ')e<$e-

0

et

a

= X i + Y

a

) @0° j + a)n − c$ @0°i − sen@0° j = at ( − sen@0°i +( c$

j

I-ualand c#'nen!e$ y 'e"and.

0 = 0 +? a t  X

− +@ →

at

en

= 3;;+8@

= −0+C@@ at − ?3+6 = −604+C

')e<$e-6 P46b

')e<$e-6



___________________________________________________________________ 8/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

∑F

= mX

X

0 + ?( N A lb N A

+ NB ) = −

@ 9 604 + 86 +6

+ N B = −;@+86

∑F

Y

53/

0+@@( N A

=0 →

+ NB ) + P − w = 0

Ree#'laand 53/ y l$ al"e$ c""e$'nd)en!e$.

P

= @ + ;@+86 9 0+@@

P

= ;6+0D

lb

4-3+ Med)a $ecc) *n de !ub de 'e$  : 600 lb $e !)"a c# $e )nd)ca+ S) l$ ce()c)en!e$ de (")cc)*n e$!%!)c y c)n7!)c en A y B& $n "e$'ec!)a #en!e. µ $ : 0+? y µ F : 0+4& de!e"#2ne$e. a/ l$ al"e$ de θ y P 'a"a l$ cuale$ e$ )n#)nen!e !an! el de$l)a#)en! c# la lcadu"a& b/ la acele"ac)*n del !ub $) $e )nc"e#en!a lee#en!e P y c/ el al" de la c#'nen!e n"#al de la "eacc)*n en A& 'a"a b/+ Solución

ℑ P48

3/+ Pa"a el ca$ en 1ue el #)#)en! e$ )n#)nen!e 5e(ec!$ de !"a$lac)*n y "!ac)*n $n nul$/. a/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P48a/. Pa"a el #)#)en! )n#)nen!e.

NA

=

fA

=0

y

fB



= µs N

b/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

∑F

 X

P c$θ

=0

− µs N = 0 →

P48a

P c$θ

= µs N

53/



___________________________________________________________________

∑F

=0

Psenθ

+N −w=0 →

∑M

=0

Y

B

Psenθ

= w− N

wr − Psenθ r (3 + senθ ) − P c$θ r c$θ

=0

56/

H w − Psenθ

− P ( sen 6θ + c$ 6 θ = 0

De 53/ y 56/.

µ N w−w+ N

− c$s θ = 0 →

c$θ

= µ s = 0+?

Lue-.

θ

= @0°

En 56/ "ee#'laand 53/.

Psen θ

P

= w−

= 30;+6

P c$ θ µs

H Pµ s sen θ

+ P c$ θ = µ s w

H

P=

µs w

( µ s senθ + c$θ )

=

300 0+D88

lb

6/+ Pa"a el ca$ en dnde θ : @0& P : 30;+6 lb y ab"% $l #)#)en! de !"a$lac)*n 5n ay )nc"e#en! de θ/. a/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P48b/. b/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

∑F

X

P c$θ

= mX − µ K N A − µ K N B = mX

− 0+4( N A + N B ) = mX − ?8+@

∑F

Y

NA

=0 →

NA

+ N B − w + Psenθ = 0

+ N B = 30;+3@6

53/ H

P48b

) ( θ =) − N A + N B − ( w − P sen 56/



___________________________________________________________________

∑M

= rBG

B

 i x mX

− 6 N A r + wr − Psen θ r (3 + senθ ) − P c$ θ

r c$ θ

= − 6r mX π

− 6 N A + ( w − Psenθ ) − P (c$ θ + sen θ ) = − 6 mX π 6

NB

6

− N A = 30;+6 − 8+D?4 X 58/

56/ en 53/.

− 0+4 9 30;+3@6 =

600

 X

− ?8+@ →

X

= 3+;6

')e<$e-6

86+6

56/ J 58/.

NA

+ N B = 30;+3@6

NA

− N B = −(30;+6 − @+C8) NA

= 8+4

ℑ

lb

4-4+ Una 'laca $e#)c)"cula" un)("#e de  F- de #a$a $e $$!)ene #ed)an!e d$ e$labne$ AB y DE& de ln-)!ud de 6?0 ## cada un y $e #uee baj $u '"') 'e$+ De$'"ec)and la #a$a de l$ e$labne $ y $ab)end 1ue la '$)c)*n #$!"ada la elc)dad de la 'laca e$ de 3+6 #<$e-& de!e"#2ne$e la (ue"a en cada e$lab*n+

P44 Solución

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a$ P44a/.

K

P44a 5 a/ 5 b/ 5c/ 6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$ 5el cue"' 'laca !)ene #)#)en! de !"a$lac)*n y l$ e$labne$ $n de #a$a de$'"ec)able/.



___________________________________________________________________ a/+ En 5a/ y 5b/.

∑M ∑M

A

=0 →

Bt

=0 →

Bt

=0

E

=0 →

Dt

=0 →

Dt

=0

b/+ En 5c/.

∑F

n

6

= mV

ρc 6

− B n − D n −  9 D+3 c$ 80° =  9 30++66? Bn

+ Dn = −334+04@

∑M

G

53/

=0

S) l$ b"a$ de 'alanca cn "e$'ec! al cen!" de #a$a G $n 5e" ()-u"a P44b/.

≅ 0+3;6

bGB

0+3;6 B n

bGD

# y

= 0+0;8

− 0+0;8 Dn = 0 →

#

= 3+D; B n

Dn

En 53/.

6+D; B n

P404b

= −334 +04@ →

Bn

= −8 +4

N

⇒

Dn

= −;?+@?

N

Lue-.

RB

= 8C+4

N



= ;? +@?

80 y R D

N



80 5a#ba$ cn una l2nea e"!)cal a $u de"eca/

c/+ En 5a/ y 5b/.

∑F ∑F

n 5a/

=0 →

An

t 5a /

=0 →

At

∑F = 0 → E = D = 0 & ∑F = 0 → E = D

= Bn

= Bt

&

n 5b /

n

t 5b /

t

= 8C+4 N  80 y R E = ;?+@? N 5A#ba$ cn una l2nea e"!)cal a $u de"eca/

t

=0 ℑ

Lue-.

RA

n



80



___________________________________________________________________ 4-+ La )-ue!a del-ada de 600 F- e$!% $u$'end)da de un cable en $u e,!"e# c# $e )nd)ca+ S) el #b"e e#'uja $b"e $u !" e,!"e# cn una (ue"a ")n!al P : 80 N& de!e"#)ne la acele"ac)*n )n)c)a l de $u cen!" de #a$a G& la acele"ac)*n an-ula" de la )-ue!a y la !en$)*n en el cable AB+

ℑ

P4? Solución

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P4?a/.

P4?a

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$ 5el cue"' 'a"!e del "e'$& $u cen!" )n$!an!%nea de acele"ac)*n nula e$ B y $l !end"% acele"ac)*n !an-enc)al& 1ue e$ ")n!al/.

∑F aG

= 0+3?

∑F

Y

∑M α

= m aG →

X

#<$e-6

=0 → G



= mg →

= ! Gα →

= 0+66?

80 = 600 a G



= 3D@6

N

80 9 6 = 3 9 600 9 4 6 α 36

"ad<$e-6

4-!.- El d)$c de @ F- $e encuen!"a en "e'$ cuand e$ 'ue$! en cn!ac!  cn una banda !"an$'"! ad"a 1ue $e #uee cn una elc)dad cn$!an!e+ El e$lab*n AB 1ue une el cen!" del d)$c cn el $'"!e B e$ de 'e$ de$'"ec)able+ S) $abe#$ 1ue el ce()c)en!e de "a#)en! c)n7!)c en!"e el d)$c y la banda e$ de 0+80& b!7n-a$e 'a"a cada una de la$ d)$!")buc)ne$ )nd)cada$ en la$ ()-u"a$ P40@& la acele"ac)*n an-ula" del d)$c #)en!"a$ 7$!e de$l)a+

ℑ



___________________________________________________________________

ℑ ℑ

ℑ

P4@

Solución 3/+ D+C+L+ 5$/+ De l$ d)$c$ y de la$ ba""a$ 5e" ()-u"a$ P4@a/.

5 a/

P4@a 5b/ L$ d$ d)$c$ !)enen #)#)en!$ al"eded" de un eje ()j& 1ue 'a$a '" A 6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$ en el '")#e" ca$.

∑M

∑F

Y

=0 →

B

=0 →

AY  = 0

N

→

AY

=0

=w

S).

f

= µ K N = 0+8mg

∑M

A

= ! Aα →

5ay "e$bala#)en!/

f r

=

3 6

mr 6α

→

0+8mg

=

3 6

mrα



___________________________________________________________________ α

=

0+@ 9 D+C3 0+3?

= 8D+64



"ad<$e-6

8/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$ 'a"a el $e-und ca$.

∑ M = 0 → 0+@ A + 0+3? A = 0 → A ∑ F = 0 → f + A = 0 → f = 4A ∑F = 0 → N − w+ A = 0 → N = w− A B

Y

X

X

X

= −4 AY

53/ 56/

Y

Y

S). f

X

Y

58/

Y

= 0+8 N & 58/ en 56/

0+8w − 0+8 AY

= 4 AY →

AY

= 4+3 Ne!n

Lue-.

f

= 3@ +4

∑

MA

3@+4

α

=

Ne!n

= ! Aα → 3 6

f r

= 3 mr 6α 6

9 @ 9 0+3?α

= 8@+44



ℑ

"ad<$e-6

ℑ

4-"+ Una ba""a del-ada ℜ de @4+4 lb de 'e$ e$!% un)da '" cable$ $)n #a$a$ a un ')!e ()j A& c# $e #ue$!"a en la ()-u"a+ El $)$!e#a $c)la al"eded" de A c# $) (ue"a un '7ndul+ En θ : 0& la elc)dad an-ula" e$ de 6 "ad<$e- en $en!)d an!)"a")& cuand el cable AD $e "#'e+ Encuen!"e la !en$)*n en el cable AB en e$!7 )n$!an!e+

Solución

P4; 3/+ D+C+L+& 'a"a el )n$!an!e 1ue $e "#'e el cable AD 5e" ()-u"a P4;a/. 6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$.

aG

= a t et + a n e n

aG

= at et + ω 6 rAG

en

= at et + 4 9 36 en



___________________________________________________________________ aG

= at et + 4 en

5')e<$e-6/

8/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

∑F

n

= m an

 AB sen @;+8C° − mg

=

 AB

m ( g + 4C) sen @;+8C°

P4;a

= man

= 3;8+;;

lb

4-#+ La "ueda A 'e$a 3? lb& !)ene un "ad) cen!"al de -)" de @ 'l- y "ueda $b"e la $u'e"()c)e ")n!al+ Cada una de la$ ba""a$ un)(" #e$ AB y BC !)enen 60 'l- de ln-)!ud y 'e$an  lb cada un+ S) el 'un! A $e #uee l)-e"a#en!e ac)a a la )1u)e"da y $e $uel!a& b!7n-a$e la elc)dad de d)c 'un! cuand la ba""a BC 'a$a '" la '$)c)*n ")n!al+ Solución

La$ n)ca$ (ue"a$ 1ue '"ducen !"abaj $n l$ 'e$$ y e$!$ $n (ue"a$ cn$e"a!)a$& lue- la ene"-2a #ec%n)ca $e cn$e"a+ 3/+ C%lcul de la$ ene"-2a$ en la '$)c)*n )n)c)al y ()nal 5e" ()-u"a P8a/.

"3

 30 30 sen80° ) = ( + +  9 30

"3

= 3@+@;

36

E K3

P4

 G3



80

30

36

80

lb')e

=0 P4a

30 "6 = 9 36 EK6

ℑ

=

+  9 30 sen80° = 30 lb')e 36

3 m DV A66 6

6

V + 3 ! A  A 6  + 3 m bV D66 + 3 ! G ω A6 6 D 6 + 3 ! C ω B6 6 C 6  r  6 6 6

53/



___________________________________________________________________ 6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$.

VB 6

= VA + ω A

− VB

6

6

6B6

k x rA 6 B 6

= −V A i + ω A

j

6

6B6

k x

(3;+86 i + 30 j )

I-ualand c#'nen!e$ y 'e"and.

0 = −V A6

− 30ω A6 B 6

→

ω A6 B 6

− V B 6 = 3;+86 ω A 6 B 6 → VD 6

= −V A i −

V A6

6

6

VD 6

=

k x

V A6 30

= 3+;86 V A6

(C+@@ i + ? j ) = −0+? V A i − 0+C@@ V A 6

6

j

6

V A6

VB 6 rCB 6

=

ω B 6C

30

VB 6

=−

=

3+;86 V A 6 60

= 0+0@@ V A 6

8/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca. En 53/.

E

K6

EK 6

=

3 6 6  m DV A 6

6

+m V b

A6

V A66 3 6 b + 36 m 60 9 300

3

6

+ 8 mb 60

6

6



9 0+0@@ V A 6 

= 0+08 V A66 + 3+3@; V A66 = 3+3D; V A66

S). E M 3

3@ +@;

∴

V A66 + m @ 9 @4 6

D

= EM

6

= 30 + 3+3D; V A66

VA6

= 6+8@ ')e<$e-

5 /

4-$+ El ca""e!e y el ala#b"e en"edad al"eded" de $u eje !)enen una #a$a de 60 Fy un "ad) de -)" cen!") dal Q G : 6?0 ##+

ℑ Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE>

P4


___________________________________________________________________ S) el ce()c)en!e de (")cc)*n en el $uel e$ µB : 0+3+ De!e"#)ne la acele"ac)*n an-ula" del ca""e!e cuand $e a'l)ca un 'a" de M : 80 N#+ Solución

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P4a/.

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. El #)#)en! $e da cn "e$bala#)en! en B& y n a$2 en A& lue-.

VA

=0

aA t

y

=0

P" l 1ue.

aG

= aA + α

aG

= −0+6ω

aG

= 0+6α

k x rAG 6

−ω

6

rAG

P4a

j + α k x ( − 0+)6 j ( − ω)

6

− 0+6 j

i

53/


∑F

= mYG = 0 →

Y

N

= mg = 60 9 D+C3 = 3D@+6

Ne!n

S). f

=µ

∑F

N

= 0+3 9 3D@+6 = 3D+@6

= mX G = 4α − 3D +@6 +  = 4α → X

∑M 80

Ne!n

G



= 3D +@6 + 4α

56/

= ! Gα

− 0+6  − 0+4 93D+@6 = 60 9 0+6?

6

α

58/

56 / en 58/ . 3C+686

− 0+C α = 3+6? α



___________________________________________________________________ α

= +D4

"ad<$e-6

4-1%+ Una ba""a BC un)("#e de 4 F- de #a$a& e$!% un)da a un clla"2n en A '" #ed) de la cue"da AB de 0+6? #+ De$'"ec)and la #a$a del clla"2n& #a$a de la cue"da& y la$ (")cc)ne$ de!e"#2ne$e. a/ la acele"ac)*n cn$!an!e a A #2n)#a a la cua l la cue"da y la ba""a ("#an una l2nea "ec!a y b/ la !en$)*n c""e$'nd)en!e en la cue"da+

ℑ

P430 Solución

3/+ D+C+L+& cuand la ba""a y la cue"da ("#an una l2nea 5e" ()-u"a P430a/.

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$. MCk

− mg

0+4 6

9

0+6? 0+@?

k

= ! Cα

k

= ! Cα

k

+ ρ CG xa C

∑

P430a

+ ( 0+0;; i + 0+ 3C4@ j )

x maC

53/

Pa"a 1ue a A $ea #2n)#a la ba""a debe !ene" un #)#)en! de !"a$lac)*n& lue-.

aC

= a A = a Ai

# α

=0

En 53/.

− 0+0;; mg = −0+34@ m a A → aA

= 4+0D6

0+0;; 9 0+D3 = 0+34@ a A

#<$e-6



___________________________________________________________________

∑F

= ma A

X

0+6?  0+@?

= 4 9 4+0D6

= 3@+8@C

0+8C?



→

= 46+?3

Ne!n

4-11+ Una #uje" e$!% $en!ada en una '$)c)*n "2-)da $b"e una #eced"a cn$e"and $u$ ')e$ $b"e l$ !"ae$a$ del (nd en B+ En el )n$!an!e )nd)cad ella a lle-ad a una '$)c)*n e,!"e#a ac)a a!"%$ y !)ene una elc)dad an-ula" ce"+ De!e"#)ne $u acele"ac)*n

an-ula" ac)a a!"%$ y la (ue"a de (")cc)*n en A nece$a") 'a"a )#'ed)" 1ue la #eced"a $e de$l)ce+ La #uje" y la #eced"a !)enen un 'e$ c#b)nad  de 30 lb y un "ad) de -)" de QG : 6+6 ')e$+

ℑ

Solución 3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P433a/.

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!) ca$. La acele"ac)*n del cen!" )n$!an!%ne de elc)dad nula 5en !d$ l$ ca$$/& de'ende $l de la$ elc)dade$ an-ula"e$& '" l 1ue& en el )n$!an!e 'ed)d V A = a A = 0 & lue-.

P433



0

aG

= a A + α k x rAG

aG

=α

k x ( − 0+? i

+) 8(

j

= −) α

8i

+ 0+?

j

53/ 8/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

∑M

0

A

0+?m /g

α

k

= ! $$A α k + ρ AG x ma A

= m/ ( K G6 +) ( % 6 α =

= 3+34

∑F

X

)

6+6

6

P433a

+ 0+?6 + 8 6 α = 34+0D α

"ad<$e-6

= mX G

→

f

= mX G

56/

53/ en 56/ .



___________________________________________________________________ 30 ( − 8 9 3+34 ) 86 +6

f

=

f

= 3D+36

= −3D+36

lb

lb 5/

4-12+ Una ba""a AB de  F- e$!% un)da '" 'a$ad"e$ $)n (")cc)*n a d$ d)$c$ un)("#e$ de @ F- c# $e )nd)ca+ El cnjun! "ueda $)n de$l)a" $b"e una $u'e"()c)e ")n!al+ S) el cnjun! $e $uel!a del "e'$ cuand θ : @0& de!e"#2 ne$e. a/ la elc)dad an-ula" de l$ d)$c$ cuand θ : 30 y b/ la (ue"a eje"c)da '" la $u'e"()c)e $b"e cada d)$c en e$e )n$!an!e+ Solución

ℑ

P436

3/+ D+C+L+5$/ 5e" ()-u"a P436a/.

P436a

5 a/ 5 b/ 5c/ 6/+ La$ n)ca$ (ue"a$ en el $)$!e#a 1ue '"ducen !"abaj $n cn$e"a!)a$& '" 1ue ay cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca& ade#%$ la ba""a !)ene $)e#'"e #)#)en! de !"a$lac)*n.

EM 3

= EM

6

a/+ D)a-"a#a de la$ '$)c)ne$ )n)c)al y ()nal 5e" ()-u"a 36b/.

A3 C6 L+R

A6

C3 G6

@0

G3 D6 B6

B3 D3



___________________________________________________________________

P436b b/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca.

= 6 m D g 9 0+6 + mb g ( 0+6 + 0+3? c$ @0 ° )

"3

E K3

H

"6

= 0+4mD g + 4+43?

= 6 9 3 m DVC6 + 6 9 3 ω D6 ! C + 3 mbV A66

EK 6

EK 6

= 0+4m D g + 64+6

=0 = 0+4m D g + mb g ( 0+6 − 0+3? )

"6

"3

H

6

6

= )( 0+6ω

6

@+

6

6

@ 9 0 +6 ( ω) 6 6

+ 3 9D 6

0+0?ω

6

H

EK 6

H

ω

= 0+8;ω 6

Lue-.

0+4m D g

+ 64+6 = 0+4m D g + 4+43? + 08;ω 6

= ;+86;

"ad<$e-

8/+ C%lcul de la (ue"a 5n"#al/ eje"c)da '" la $u'e"()c)e del ')$ en el )n$!an!e 'ed)d. a/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$& 'a"a" la ba""a AB 5en #)#)en! de !"a$lac)*n/& en cual1u)e"a de l$ d)$c$. 6

aA

= aD + α

k x rDA

aA

= −0+0?α i + C+0?

−ω

6

rDA

H

aA

= 0+6ω

6

j +α k x

0+0?

j − 0+0?ω j

j

b/+ Pa"a el $)$!e#a.

∑F

Y

0

0

= m D YC + m D YD + mb YG

6N

− 6 w D − wb = mb YG

6N

= 60@+03 + D 9 +0?

N

= 38D+68

Ne!n



___________________________________________________________________ 4-13+ La ba""a un)("#e AB !)ene una #a$a de 60 F- y e$!% a"!)culada en A+ S) $e 1u)!a el a'y en B 5 θ : 0/& de!e"#)ne la elc)dad del bl1ue C de ? F-& en el )n$!an!e en 1ue la ba""a -)"a ac)a abaj a θ : 3?0+ De$'"ec)e la #a$a y el !a#a de la 'lea en D+

P438

Solución

La$ n)ca$ (ue"a$ 1ue '"ducen !"abaj cn$e"a!)a$& la ene"-2a #ec%n)ca $e cn$e"a+

3/+ D)a-" a#a de la$ '$) c)ne$ )n) c)al y ()nal& c%lcul$ ele#en!ale$.

& 6



= 3 + 3 + 3 +? = 8 +?

$n

y

#

= 3+@@ 6 + 0+? 6 →



= 3+86

#

(3+? − X ) + 3 + 3+86 = 8+? → X = 0+86

#

P438a 6/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca.

EM 3

"3

= EM

6

= 3+? 9 60 9 D+3 = 6D4 +8

ule

E K3 = 0 " 6 = 3+0@; 9 60 9 D+3 + 0+D86 9 ? 9 D+3 H " 6 EK 6

= 3 ! Aω 6 + 3 mC VC66

EK 6

= 4+3@; VC

6

6

6

H EK 6

=

3 6

9

3 8

= 6?? +0@ 6

9 60 9 3

   

ule 6

6

VC

6 93

 3  + 9 ? VC  6 

6

ule

Lue-.



___________________________________________________________________ 6D4+8

= 6??+0@ + 4+3@; VC

6

= 8+0;

VC

#<$e-

4-14+ La ba""a AB de 30 F- e$!% a"!)cu lada en A y $uje!a a la acc)*n de un 'a" M : 3? N#+ S) la ba""a $e $uel!a de$de el "e'$ cuand el "e$"!e !)en e $u ln-)!ud l)b"e& en θ : 80& de!e"#)ne la elc)dad an-ula" de la ba""a en el )n$!an!e en 1ue θ : @0& cn("#e -)"a la ba""a el "e$"!e $)e#'"e $e cn$e"a ")n!al& deb)d al a'y del "d)ll C+

ℑ

Solución

P" el '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca+ 3/+ D)a-"a#a de la$ '$)c)ne$ )n)c)al y ()nal.

:

P434

6/+ T"abaj y ene"-2a c)n7!)ca de 53/ a 56/. P434a

'3− 6

= ∆E K

'3− 6 g

+ '3−6 M + '3−6e = E K 6 − E K 3

0

mg



6

( sen@0° − sen) (80°) + M

D +3 9

ω

θ6

− θ 3 − 3 K δ 6 = 3 ! Aω 6

0+;? ( 0+@@@ − 0+?) + 3? π 6 8

= 4+?D

6

6

− π  − 9 40 9 0+6;4? 6 = @ 6 3

3 3 9 30 9 0+;? 6 ω 6 6 8

"ad<$e-

4-1+ El !a#b" de ?0 F-& 1ue !)ene un "ad) de -)" de Q0 : 30 ##& "ueda a l la"- de un 'lan )ncl)nad 'a"a el cual el ce()c)en!e de (")cc)*n e$ µ : 0+6+ S) el !a#b" $e $uel!a de$de el "e'$& de!e"#)na"



___________________________________________________________________ el %n-ul θ del 'lan )ncl)n ad de #ane"a 1ue "uede $)n de$l)a" en A+ P43? Solución



3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P43?a/.

 6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

∑M

P43?a

mg senθ r

∑F f

X

= m ( K (6 + r 6 ) α

= mX G

→

f

− mg

=

H α

senθ

0

A

k

= ! Aα k + ρ AG xma A

g senθ r K (6 + r 6

= − mα

53/

r

 g senθ r 6  = m g senθ − 6 6  K( + r  

∑F

Y

=0 →

N

56/

58/

= mg c$θ

8/+ La cnd)c)*n e,!"e#a 5la "ueda e$!% a 'un! de de$l)a"/& $e da cuand.

f =µ N Ree#'laand 56/ y 58/ en 54/.

 K(  K( + r 6

mg senθ 

tgθ

=

6

6

54/

  = mg c$θ µ 

( K + r ) µ = 0+3C + 0+8;? 6 (

K

6

6 (

6

0+3C

6

6

9 0+6 = 3+0@C



___________________________________________________________________ Lue-.

θ

= 4@+° ≅ 4@+D°

4-1!+ La ba""a ℜ3 e$!% a"!)culada $)n (")cc)*n en el $'"!e A& a$2 c# en el 'un! B al cue"' ℜ6 5e" ()-u"a/+ El e,!"e# C "e$bala $b"e una $u'e"()c)e l)$a ")n!al+ S) C 'a"!e del "e'$ en θ : θ0+ De!e"#)ne la$ elc)dade$ an-ula"e$ de la$ ba""a$ ju$! an!e$ de 1ue a#ba$ alcancen la '$)c)*n ")n!al+ S) la #a$a de cada ba""a e$ m+

Solución

ℑ

La$ n)ca$ (ue"a$ 1ue '"ducen !"abaj en el $)$!e#a $n l$ 'e$$ y e$!$ $n cn$e"a!)$& lue- la ene"-2a #ec%n)ca $e cn$e"a"%.

ℑ

P43@ 

B3 3/+ D)a-"a#a de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal 5e" ()-u"a P43@a/.



D3

G3

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. A

C6

G6 B6

D6

a/+ Velc)dad de C en 56/.

L+R

C3

P43@a

VC

= VC i = VB + ω

6

k x &i

= −ω

3

k x &i

+ω

6

k x&i

= −( ω − ω ) & 3

6

j

I-ualand c#'nen!e$.

0 = ω3 − ω 6

→ ω3 = ω 6

b/+ Velc)dad de G en 56/.

VG 6

= VB + ω6 k

x rBG 6

= −ω3 & j + ω 6 k

x

& i 6

ω = − &  ω3 − 6  6  

j



___________________________________________________________________ ω = − &  ω3 − 3  j = − & ω3 6  6 

VG 6

j

8/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca.

"3

= 6mg & senθ ( = mg

"6

=0

6

EK 6

y

=

& senθ ( y E K 3

3 ! Aω 36 6

+ 3 mVG66 + 3 ! G 6ω 66 6

6

EK 6

= 3 9 3 m&6ω36 + 3 m & 6

8

6

=0

4

6

ω36

+ 39

3 m&6ω36 6 36

ω3

=

= 3 m&6ω36 8

Lue-.

EM 3

= EM

&mg senθ (

ω ℜ3

=−

ωℜ 6

=

6

=

3 8

m&6ω36

→

8g senθ (

&

8 g senθ ( k 5"ad<$e-/ & 8 g senθ (

&

k

5"ad<$e-/

4-1"+ Una $e#)e$(e"a de 'e$ W y "ad) " $e $uel!a de$de el "e'$ en el '$)c)*n )nd)cada+ De!e"#2ne$e a/ el #2n)# al" de µ $ 'a"a el cual la $e#)e$(e"a e#')ea a "da" $)n de$l)a#)en! y b/ la acele"ac)*n del 'un! B+

Solución

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P43;a/.

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$& 'a"a un #)#)en! de "dadu"a.

ℑ P43;



___________________________________________________________________

= a( + α

aG

x r(G

− 8α

aG

=α

aA

= ω 6r j = 0

ri



=α

ri

−α

k x

8 ri 

3/8r B

r j 5Un)d+ de acele"ac)*n/


FX

= maGX

→ − f = mα r

∑ ∑F

= maGY

→

Y

∑M

N

= w−

8 C

53/

mα r

W

56/

A f

0

A

G

O

= ! Aα + mr a A

N

P43;a

∑M

A

=−

8 w 6 r w = − r6  g ?

+ 3α 

H

α

= 3?

g ?@ r

58/

58/ en 53/ y 56/ .

w 3?g 9 g ?@r

=−

N

 8 3 3? g  = w 3 − 9 9 9 r  = 0+ D w  C

9r

=−

3?

f

g

?@



?@

w 5/

r



4/+ Pa"a "da#)en!$& $e debe cu#'l)".

f

≤ µ) N

→

3? ?@

w ≤ 0+D wµ )

H µ)

= 0+6DC

5al" l)#)!e/

?/+ C%lcul de la acele"ac)*n de B. S).

a(

= 3? g i

aB

= a( − α

?@

k xr j

=

3? gi ?@

+

3? gi ?@

=

80 gi ?@



___________________________________________________________________ aB

= 0+?8@ g i

5Un)dade$ de acele"ac)*n/

4-1#+ D$ 'anele$ $e#)c)"cula"e$ de "ad)X"X cada un& $e une #ed)an!e b)$a-"a$ a la 'laca cuad"ada c# a1u2 $e #ue$!"a+ La 'laca y l$ 'anele$ $n del #)$# #a!e")al y e$'e$"+ S) $e $abe 1ue cuand l$ 'anele $ e$!%n en '$)c)*n e"!)cal el cnjun! -)"a cn elc)dad an-ula" ω & de!e"#2ne$e la elc)dad an-ula" ()nal del cnjun! de$'u7$ 1ue l$ 'anele$ alcanan el "e'$ en una '$)c)*n ")n!al& "e$'ec! a la 'laca cuad"ada+

ℑ

Y

Y0

WO

P43 Solución

W W

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P43a/. Oy o Oz

G Ox

6/+ C# X

∑M

(

= 0&

la can!)dad de

#)#)en! an-ula" $e cn$e"a.

W W Z

P43a a/+ C%lcul de la can!)dad de #)#)en! an-ula"& 'a"a el )n$!an!e )n)c)al del $)$!e#a.

* 03P

= 6∫℘ ( X i + Y

j

+$

k x ω ( jx ( X i

+Y

j

+$

k

%m

ijk

∫

*03P = 6ω( X Y $ %m ℘

$ 0 −X Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE>


___________________________________________________________________ * 03 P

= 6ω( i ∫℘ − XY

* 03P

( ( ( = 6ω ( ! XY i + 6ω ( ! YY j + 6ω ( ! $Y

%m + j

∫ ($ ℘

0

* 03P+

6

+ X 6 ) %m + k ∫℘ − Y$

0

= ! YY ω ( j =

3 m P+ ( 4 r 6 36

k

= 6ω( ! YY( =

+ 4r 6 )ω ( j =

3 6

%m

mr 6ω ( j

6 m P+ r 6ω ( j 8

53/ 56/

b/+ C%lcul de la can!)dad de #)#)en! an-ula"& 'a"a el )n$!an!e ()nal en el $)$!e#a. 0

=

* 06 P

= 6m

* 06 P+

( ! XY ωi

=

6 8

0

0

* 06P

+ ! $Y( ω k

r6 ω j 6

0

( ωi + ! YY( ω j + ! XY

= mr 6ω

+ ! $Y( + ! YY( ω

j

j

58/

mP+ r 6ω j

54/

S). 5Z e$ la #a$a '" un)dad de %"ea/

* 03

=*

3 mr 6ω ( 6

06

+ 6 m P+ r 6ω ( = mr 6ω + 6 m P+ r 6ω 8

8

3 ρ ω(  9 π r 6 r 6 6 6

+

6 8

 

ρπ 6

ρ 9 4r 6 r 6  = ω 

r 6r 6

+

6 8

 

ρ 9 4r 6 r 6 

 8π + 86  = ω  8π + 3@   36   @ 

ω(  ω

= 0+C3?ω (

5Un)dade$ de elc)dad an-ula"/

4-1$+ Una 'la!a("#a ")n!al !)ene un 'e$ de 800 lb y un "ad) de -)" cn "e$'ec! al eje >& 1ue 'a$a '" $u cen!" O de Q > :  ')e$+ La 'la!a("#a e$!% l)b"e 'a"a -)"a" al"eded" del eje > e )n)c)al#en!e en "e'$+ Un #b"e& 1ue !)ene un 'e$ de 3?0 lb& e#')ea a c""e" a l la"- del b"de en una !"ayec!")a c)"cula" de 30 ')e$ de "ad)+ S) 7l !)ene una "a')de de 4 ')e<$e- y #an!)ene e$!% "a')de "ela!)a a la



___________________________________________________________________ 'la!a("#a& calcule la elc)dad an-ula" de la 'la!a("#a+ Solución

P43

C# n ay (ue"a$ e,!e"na$& 1ue '"ducen ##en!$ cn "e$'ec! al eje >& lue- $e cn$e"a la can!)dad de #)#)en! an-ula" cn "e$'ec! a e$e eje+ 3/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$+ C%lcul de la elc)dad del #b"e cn "e$'ec! al #a"c #*)l& 'a"a un !)e#' cual1u)e"a.

→

a/+ M)#)en! del #a"c #*)l 'la!a("#a. ω

=ω

→

k

→

b/+ M)#)en! del #b"e "e$'ec! a la 'la!a("#a.

ρ

=ri

ρ

&

= V,

P43a

j P

c/+ M)#)en! del #b"e "e$'ec! al #a"c )ne"c)al !)e""a.

V

=ω

xρ

+ ρ = ω k

xri

+ V,

j P

=  ω r + V,  P  

j

6/+ P" cn$e"ac)*n del ##en!u# an-ula".

*( i $

=0

*(

= * ($ P+ + * ($ , = m , ( XY − YX ) = m , rV

f $

* ($ ,

* ($ P+

=

! 0ω

Lue-.

! (ω

+ m, r  ω r + V,  = 0  P 

800 3?0 9 6 ω + 9 30 (30ω + 4 ) 86+6 86 +6

=0



___________________________________________________________________ ω

"ad<$e-

0+3;? k

= −

4-2%+ Cada una de la$ ba""a AB y BC !)ene una ln-)!ud L : 3? 'l- y 'e$an 4 lb cada un + S) $e a'l)ca una (ue"a ")n!al P de #dul 8+? lb c# $e #ue$!"a en la ()-u" a+ De!e"#2ne$e la acele"ac)*n an-ula" de cada ba""a+

By Y

B

Y B

By

X

Y

Bx

Bx

B

X →

→

G2 →

G2

W

→

X

W P

C

G2

→ W

→

W

W P

C

P

C

P460 Solución 3/+ D+C+L+5$/ 5e" ()-u"a$ P460a/.

5 a/

5 b/ P460a 6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$.

aG3  X G3

=

 i X G3

=

;+? 36

+ YG

3

j

=α

=0

aG 6

=

aG 6

= 3? α 3 i + ;+? α 6

 X G6

= 3? α 3 + ;+? α 6

36

36

k x rAG3

=α

3

k x

3? 64

(− j)

α 3 5')e<$e-6/

 Y G3

X G 6 i

3

+ YG 6 j = a B + α 6 k

36

x rBG 6

= α 3k

x

3? ( −) j 36

+ α 6 k ( x) 3? − 64

j

i

36



___________________________________________________________________  Y G6

=0

8/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$. En 5a/.

∑F

= mX G3 →

∑F

=0 →

X

Y

AY

;+? − B X = m α 3   36 

AX

53/

− BY − w = 0

56/

6

∑

MA

3? B X = m 3? 6 α 3 = − 36 8 9 36

→

BX

mα 3 = − 83? 936

58/

En 5b/.

∑F

X

∑F

Y

∑M

= mX G 6 =0

P − BX

→

=−

G6

→

=

BY

3? 36 9 6

3? ;+? + P = m α3 + α 6  36  36 

BX

54/

=w

+

BX

5?/

3? 6 936

P=m

3? 6 36 9 36 6

α6

3? mα 6 @ 9 36

5@/

Ree#'laand 58/ en 54/ y 5@/.

4 93? α 8+? = 36 9 86+6  83

α

+ α3 +



8+? =

4 3?  9  − α3 86+6 8@ 

+

6

6

α6  6

 



α 4 66+?4 = 8 α 3 + 66

→

→

@;+@6 = −α 3 +

α6 6

5;/

5/

5/  5;/.

− 4?+0C =

; 8

⇒

α3

α3

= 3D+86

"ad<$e-6 5/

En 5/.

@;+@6 = 3D+86 +

α6 6

⇒ α 6 = D@+@

"ad<$e-6 5/



___________________________________________________________________ 4-21+ Un $e#)e$(e"a de #a$a m y "ad) " $e $uel!a del "e'$ en la '$)c)*n )nd)cada en la ()-u"a+ Su'n)end 1ue la $e#)e$(e"a "ueda $)n de$l)a"& de!e"#2ne$e a/ $u elc)dad an-ula" de$'u7$ de -)"a" 0 y b/ la "eacc)*n n"#al de la $u'e"()c)e en el #)$# )n$!an!e Solución La n)ca (ue"a 1ue '"duce !"abaj e$ el 'e$& lue- la ene"-2a #ec%n)ca $e cn$e"a.

P463

3/+ D)a-"a#a de la$ '$)c)ne$ )n)c)al y ()nal. 3/8r

Y

X

O2 O1

G1

3/8r W G2

r 5/8r D

L. R.

P463

f

Ci

N


"3

= mg r =0 ? = mg  r   

E K3 "6

EK 6

=

3 ! C i ω 66 6

EK 6

=

m 6 r ( 0+@?)ω 66 6

S). E M 3

H

EK 6

=

6 6  8  ?    ! ( − m r  + m r   ω 66 6 C   C   

3

= EM 6



___________________________________________________________________

= 0+86? mr 6ω 66 + ? mg r

mg r



g

3+3?4

=

ω6

5Un)dade$ de elc)dad an-ula"/

r

8/+ C%lcul de la "eacc)*n n"#al de la $u'e"()c)e. S).

∑F

= mYG

Y

53/

6

Ta#b)7n

aG 6

= aD − α

aG 6

=

? α ri 

k x rDG 6

− ω 66

rDG 6

= ω 66 r j − α

? ? + ω 66  r − r  j = α    

ri

?  ?  k x  r j  − ω 66  r j     

+ 0+488 g

j

En 53/.

N

− w = 0+488mg

N

= 3+488 mg

⇒

N

= mg (3 + 0+488)

5Un)dade$ de (ue"a/

4-22+ La ba""a un)("#e en la ()-u"a 5#a$a : ? Slu-& ln-)!ud L : 30 ')e$/ $e l)be"a de$de el "e'$ en la '$)c)*n #$!"ada+ De$'"ec)and la (")cc)*n& encuen!"e la (ue"a 1ue el ')$ eje"ce $b"e el e,!"e# )n(e")" de la ba""a& cuand el e,!"e# $u'e")" e$!% a @ ')e$ a"")ba del $uel+ )-gerencia. "se 0rimer1 -n %iagrama %e+ c-er01 +ibre # +as ec-aci1nes %e m12imient13 0ara %e%-cir +a tra#ect1ria %e+ centr1 %e masa4

Solución 3/+ D+C+L+ 5'a"a un )n$!an!e cual1u)e"a/ 5e" ()-u"a P466a/.

L

ℑ

P466 Y


∑

ω FX

= mX G →

y $) X G

 0 = mX G

⇒

X G

→

α

cte L

=0 ⇒

XG

→

G

cte

W

θ Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE> A

O

N

X


___________________________________________________________________ Lue- $) X G en el eje [X+

∑F

Y

∑M α

=

= 0 & la !"ayec!")a $e encn!"a"a

= mYG G

→

= ! Gα →

@ N c$ θ

m

=

N

− w = mYG

& − N c$θ 6

@ N c$ θ

53/

= − ! Gα =

3

P466a 6

36

m&α

= 0+36 N c$ θ

? 9 30

56/

8/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$ 5'a"a un )n$!an!e cual1u)e"a/.

(

+ senθ j )

VG

= VA − ω

= −V A i − ω k

x

VG

= ( − V A + ?ω senθ ) i − ?ω c$θ

j

aG

= aA − α

aG

= − a Ai − α

aG

= ( − a A + ?α senθ (− ?ω) 6 c$θ )i − ?α c$θ + ?ω 6 senθ

k x rAG

? c$ θ

i

   0   

k x rAG

−ω

6

58/

rAG

k x ?( c$ θ i

+ sen )( θ

j

− ?ω)

6

c$ θ i

+ senθ

j

      0     

54/

j

4/+ C# la n)ca (ue"a 1ue '"duce !"abaj e$ el 'e$& la ene"-2a #ec%n)ca $e cn$e"a. a/+ D)a-"a#a de la$ '$)c)ne$ )n)c)al y ()nal 5e" ()-u"a P4+66b/. b/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca.

"3

4

= mg , = mg? 9 = 4mg 3

E K3 "6

"

?

3

=0

G1

= mg ,6

!1

G2

6 pi

!2 L.R. O



___________________________________________________________________

= mg ? 9

"6

EK6

=

3 mVG66 6

S). E M 3

4mg

∴

@ 30

= 8mg

P466b

+ 3 ! G ω 66 = 3 m ?ω 6

6



6

9

6

 + 3 m 300ω = @0+C8?ω  30  64 C

6

6

6

6

= EM 6

= 8mg + @0+C8?ω 66 → ω6

= 3+@8

? 9 86+6 = @0+C8?ω 66

"ad<$e-

Lue-.

= − ?α 9  + ? 9 3+@8 6 9 @  = −( 4α + ;+D; ) 30 30  

YG

En 5?/ & 56/ . YG = − ( 0+4C 9 0+C N(

+) ;+D; =) −

0+8C4

N

5?/

+ ;+D;

5@/

5@/ en 53/.

N

= ? 9 86+6 − ?( 0+8C4 N + ;+D; )

N

= 43+4D ≅ 43+?

lb

4-23+ La ba""a AB de #a$a m de$l)a l)b"e#en!e

den!" del !ub CD& !a#b)7n de #a$a m+ La elc)dad an-ula" del cnjun! e"a ω3 cuand la ba""a e$!aba !!al#en!e den!" del !ub 5 :0/+ De$'"ec)and el e(ec! de "a#)en! de!e"#2ne$e la elc)dad an-ula" del cnjun! cuand  : 56<8/ L+ Solución

La$ (ue"a$ e,!e"na$ en el $)$!e#a n '"ducen ##en! cn "e$'ec! al eje e"!)cal& la can!)dad de #)#)en! an-ula" $e cn$e"a cn "e$'ec! al eje #enc)nad+

ℑ P468

3/+ D)a-"a#a de l$ e$!ad$ )n)c)al y ()nal 5e" ()-u"a P468a/. L

2/3L#

A1

G1

B1 D

B2

X

G2

A2

C

Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE> L/2

L/3

L/6


___________________________________________________________________

P468a 6/+ P" la cn$e"ac)*n del ##en!u# an-ula".

( ∑ * ($ i i = ( ∑ * ($ i

f

H

( ∑ * ($ i ) i = 6 ! (ω 3 = 

( ∑ * ($ i ) f = ! (C ω + ! ( bω = 3 m& ω +  3 6

8

( ∑ * ($ i ) f

36

m&6

+  & + 

6 m&6ω 3 8

&

 @

6

53/



m ω



= 3@ &6 mω D

56/

53/ : 56/.

6 m&6ω 3 8

ω

=

3@ 6 & mω D

= 0+8;? ω

3

→

ω

=

8 ω3 

"ad<$e-

4-24+ El clla"2n B !)ene una #a$a de 8 F- y $e 'uede de$l)a" l)b"e#en!e $b"e la ba""a OA 1ue 'uede -)"a" l)b"e#en!e en un 'lan ")n!al+ El cnjun! e$!% -)"and cn una elc)dad an-ula" ω : 3+ "ad< $e-& cuan d $e $uel!a un "e$"!e lcal)ad en!"e A y B '"yec!and el clla"2n a l la"- de la ba""a cn una elc)dad "ela!)a )n)c)al de V " : 3+? #<$e-+ S) el ##e n! de )ne"c)a de la ba""a y "e$"!e "e$' ec! a O e$ 0+8? F- # 6& de!e"#2ne$e. a/ la d)$!anc)a #2n)#a en!"e el clla"2n y el 'un! O en el #)#)en! $ub$)-u)en!e 5V " :0/ y b/ la elc)dad an-ula" del cnjun! c""e$'nd)en!e al )n$!an!e en 1ue el clla"2n $e encuen!"e a e$a #2n)#a d)$!anc)a+

>

ℑ

A

P464

ℑ



___________________________________________________________________ Solución

C# n ay (ue"a$ 1ue '"ducan ##en! cn "e$'ec! al eje e"!)cal& el ##en!u# an-ula" $e cn$e"a"% ade#%$ n ay (ue"a$ 1ue '"ducan !"abaj& lue- la ene"-2a c)n7!)ca $e cn$e"a+ 3/+ P" cn$e"ac)*n de la can!)dad de #)#)en! an-ula".

( ∑ * ($ ) ( i i = ) ∑ * ($ i

f

( ∑ * ($ i ) i = 0+8?ω3 + 8 9 0+? 6 ω3 = 3+D

F-#6<$e-

5 3/

( ∑ * ($ i ) f = 0+8?ω 6 + 8ρ 66ω 6

56/

56/ : 53/.

0+8?ω 6

+ 8ρ 66ω 6 = 3+D

58/

6/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a c)n7!)ca.

3 9 0+8? 9 3+ 6 6

+ 3 9 8(Vr63 + ρ36ω36 ) = 3 9 0+8?ω 66 + 3 9 8( ρ 6ω 6 ) 6 6

?+3?; = 0+3;?ω 66

=

6

8ρ 6 ω 6

6

+ 8ρ 66ω 6  

30+834

− 0+8?ω

ω6

ω6

6

6

   54/

6

54/ en 58/. 0+8?ω 6

ω6

=

+

30+834

ω6

30+834 3+DC

− 0+8?ω = 3+DC 6

= ?+60D3 ≅ ?+63

"ad<$e-

En 58/.

0+8? 9 ?+60D3 + 8 ρ 6 9 ?+60D3 = 3+DC 6

ρ6

= 300+6

##

→

ρ6

= 0+3006

# >



___________________________________________________________________ 4-2+ Un !ub AB de 3+@ F- 'uede de$l)a" l)b"e #en!e $b"e la ba""a DE& 1ue 'uede -)"a" l)b"e#en!e en un 'lan ")n!al+ In)c)al#en!e& el cnjun! -)"a cn una elc)dad an-ula" ω : ? "ad<$e- y el !ub $e #an!)ene en $u '$)c)*n #ed)an!e una cue"da+ El ##en! de )ne"c)a de #a$a de la ba""a y la #7n$ula "e$'ec! al eje de "!ac)*n e"!)cal e$ de 0+80 F-# 6 y el ##en! cen! "al de )ne"c)a del !ub "e$'ec! al eje e"!) cal de "!ac)*n e$ 0+006? F-# 6+ S) $b)!a#en!e $e "#'e la cue"da+ De!e"#2ne$e. a/ la elc)dad an-ula" del cnjun! de$'u7$ 1ue el !ub $e #uee a$!a el e,!"e# E y b/ la 'e"d)da de ene"-2a du"an!e

el c1ue 'l%$!)c en E+ P46? Solución

C# el ##en! cn "e$'ec! al eje e"!)cal e$ nul la can!)dad de #)#)en! an-ula" $e cn$e"a+ 3/+ P" cn$e"ac)*n del ##en!u# an-ula". ( * ($ ) ( i i = ) * ($ i f

∑

∑

( ∑ * ($ i ) i = ! $$0 ω3 +

( ∑ * ($ i ) i = 3+?44

0 ! $$ 

+ m( 0+0@6? ) 6

ω3

= ? ( 0+8 + 0+006? + @+6? x30 −8 )

F-#6<$e-

53/

( ∑ * ($ i ) f = 0+8ω + 6

0+006?

+ 3+@( 0+48;?)

6

ω6

= 0+@0D ω

6

56/

56/ : 53/.

ω6

= 3+?44 = 6+?8? ≅ 6+?4 0+@0D

"ad<$e-

6/+ C%lcul de la ene"-2a c)n7!)ca 'e"d)da. a/+ C%lcul de la ene"-2a c)n7!)ca del !ub& an!e$ del c1ue& '" cn$e"ac)*n de la ene"-2a c)n7!)ca& ya 1ue n ay (ue"a$ 1ue '"ducan !"abaj. EK 3B

+ EK 3  = E K 6 B + E K 6 

→

EK 6 

= E K 3B + E K 3  − E K 6 B



___________________________________________________________________ 3 ! ( B (ω 36 6

EK 6 

=

EK 6 

= 6+CD?

− ω 66 ) +

[

3 !(  6

+ m( 0+0@6?) 6

]ω

6 3

ule

b/+ C%lcul de la ene"-2a c)n7!)ca del !ub de$'u7$ del c1ue.

E K 6 B

=

[

3 6

0+006?

+ 3+@( 0+48;?)

6

]

6

9 6+?8?

= 0+DD6

ule

Lue-.

EP

=

EP

≅ 3+D

EK 6 

− EK

6

= 6+CD? − 0+DD6 = 3+D08

B

ule

4-2!+ Una 'lea y $u$ acce$")$ en "!ac)*n !)enen una #a$a de 3000 F- y un "ad) de -)" de 0+6? #+ Se a'l)ca un $)#'le ("en de #an !al c# $e #ue$!"a u!)l)and una (ue"a P+ S) el ce()c)en!e c)n7!)c en!"e la c)n!a y la 'lea e$ de 0+6 \ Cuan! d ebe ale" P 'a"a ca#b )a" ω de 3;?0 RPM a 800 RPM en @0 $e-]+ S) la "elac)*n de !en$)ne$ en un ("en de #an de e$!e !)' e$.

3 6

= eµ

Kβ

dnde.

ℑ

> 6 y β e$ el %n-ul de a-a""e

3

de la c)n!a 5("en/+

ℑ Solución

P46@

3/+ D+C+L+. Y P

$

O

X

O

O

%." & ω

C

$

%.6 & B

A

A

A $

$

P46@a 5

a/

5b/




___________________________________________________________________ a/+ P" cn$)de"ac)ne$ del '"ble#a.

3 6

= e 0+6 π = 3+;4 →

3

= 3+;4 6

53/

b/+ Pa"a 5b/.

∑M

A

=0 →

3+0 P − 0+@ 3

=0 →

3

= 3+@; P

56/

56/ en 53/.

6

= 0+3 P

58/

c/+ Pa"a 5a/.

∑M

0

= ! 0α →

0+8 3

− 0+8 6 = 3000 9 0+6? 6 α

54/

Ree#'laand 56/ y 58/ en 54/.

(

0+8 3+@;

P − 0+CD3 P )

= @6+? α

P

H

= 6@;+44 α

5?/

8/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. S).

ωf

= ω0 − α t →

800 9

π 80

= 3;?0 9

π 80

− α 9 @0

π α

= 80 9 @0 (3;?0 − 800 ) = 6+?8

"ad<$e-6

Lue- en 5?/.

P

= 6@; +44 9 6+?8 = @;@ +@6

N

4-2".- El #!" el7c! ")c de la ()-u"a en!"e-a una '!enc)a de 4 QW a 3;6? RPM a la b#ba 1ue acc)na+ Calcula" el %n-ul de )ncl)nac)*n β del #!" baj ca"-a& $) la cn$!an!e de cada un de $u$ cua!" $'"!e$ el%$!)c$ e$ de 3? QN<#+ \En 1u7 $e n!)d $ -)"a el #!"]

ℑ

Solución

P46;

A O β

A

δ

δ

β

Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE> →

' '




___________________________________________________________________ 3/+ D+C+L+ del #!" 5e" ()-u"a P46;a/.

6/+ C%lcul de la de("#ac)*n de l$ "e$"!e$+ a/+ S).

P

M

=

M ω

=

P ω

=

4000 π 3;6? 9 80

= 66+34 N#

53/

b/+ Del D+C+L+.

M

= 0+3 Fe + 0+3 Fe = 0+6 Fe = 0+6 9 6 K δ

H

P46;a

= @000 δ

M

56/

53/: 56/. 66+34

= @000 δ

→

= 8+@D x30 −

8

δ

8/+ C%lcul del %n-ul de )ncl)nac)*n

β

#

H

δ

= 8+@D

##

β. ℑ

8+@  = tg −3   = 6+338°  300 

G)"a en $en!)d "a") 4-2#.- La ba""a e$bel!a un)(" #e de #a$a m y de ln-)!ud  e$!% a"!)culada a un eje ")n!al 1ue 'a$a '" O y $c)la en el 'lan

e"!)cal a #d de '7ndul c#'ue$!+ S) $e $uel!a en "e'$ de$de la '$)c)*n ")n!al cn θ : 0& e$c")b)" e,'"e$)ne$ de la !"acc)*n T& la (ue"a c"!an!e V y el ##en! (lec!" M en la ba""a en (unc)*n de  'a"a una '$)c)*n dada de θ+ Se de$'"ec)a !d l$ "a#)en!$+

l

Solución O !"abaj e$ el 'e$ la ene"-2a C# la n)ca (ue"a 1ue '"duce O #ec%n)ca $e cn$e"a+

O

3/+ D+C+L+ de la ba""a y de la ba""a c"!ada 'a"a un %n-ul θ 5 $)& ρ /2

θ

)

θ &( /2

→ 

→ 



/.

O

P46

θ

X GX

→  G

=

m

θ → 

ρx(

) ) Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE>


___________________________________________________________________

V

T P46a 5 a/ 6/+ C%lcul de la elc)dad an-ula"& '" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca.

5 b/

a/+ D)a-"a#a de la$ '$)c)ne$ )n)c)al y ()nal. /2 L. R.

"3

= mg

EK 3 "6

6

c$ θ

=0

=



6

P46b

3 ! 0ω 6 6

=

EM 3

mg

/2*o+θ

G2 /2

=0

EK 6

ω



O

G1

b/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca.

EM

c$ θ

8g

=



=

3 3 9 m6ω 6 6 8

6

= 3 9 3 m6ω 6 6

8

c$θ 5Un)dade$ de elc)dad an-ula"/

8/+ C%lcul de la acele"ac)*n an-ula"& !#and ##en!$ "e$'ec! a [OX en 5a/.

∑M

0

= ! 0α → − mg



6

senθ

=

3 8

m6α



___________________________________________________________________

=−

α

8g senθ 5Un)d+ de acele"ac)*n an-ula"/ 6

Lue-.

aG

= − 8 g senθ 9  et + 8 g c$ θ 9  e n

aG

= − 8 gsenθ

6

6

4

et

6



+ 8 g c$ θ 6

en 5Un)d+ de acele"ac)*n/

4/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$ 'a"a 5a/.

∑F

n

=

(n

=man

t

=

(n

8 − mg c$θ = m g c$θ  6 

? mg c$θ 5Un)d+ de ^ue"a/ 6

∑ F = ma (t

→

t

→

(t

8 − mgsenθ = m − gsenθ   4 

3 mgsenθ 5Un)d+ de (ue"a/ 4

?/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$& 'a"a 5b/. S).

g X senθ 9 et 6 6

= −8

a GX a/+

− 

∑F

m 

n

+8

g



c$ θ 9

X en 6

= maGX n

X g c$θ

+ (n −  =

? = mg c$ θ  − 6

X 

−

m 

8X 6 6 6

 8 g c$θ  

X

X 6

  

  



___________________________________________________________________

 ?6 − 6X − 8 X 6   = mg c$θ  66  



b/+

−

∑ F = ma t

m

V

V



Xgsenθ

5Un)d+ de (ue"a/

GX t

8g − V + (t = m − senθ  6

X 6

  

 6 − 4 X + 8 X 6   3 X 8X 6   = mg senθ  − + 6  = mgsenθ  4  4 46     (− X )(  −) 8 X 5Un)d+ de (ue"a/ = mg senθ 6 4

c/+

∑M

M

−

M

 X 6 (  − )(X = mgsenθ  +  6

M

 6X 6 + X6 − 4 X 6 + 8 X 8 − 6 X 8   = mgsenθ  6 4   

M

( 6 − + 6)  = mgsenθ   6X 6 X X  4  

M

= mgsenθ

m 

0

Xg

= ! 0α X senθ 6

− mgsenθ

(− X )6 46



(  − )(X



−) 8 X

X

46

−) 8 X 6

4

X

−

X8 66

=

m  8g senθ  XX 6  −  8  6 

  

X 5Un)d+ de M#en!$/

4-2$.- La ba""a un)("#e AB C de 8 F- e$!% )n)c)al#en!e en "e'$ cn $u e,!"e# A cn!"a el !'e de la -u2a ")n!al+ Al a'l)ca"$e un 'a" de ##en! cn$!an!e M :  N# al e,!"e# C& la ba""a -)"a ac)end 1ue el e,!"e# A c1ue cn el lad de la -u2a e"!)cal a la elc)dad de 8#<$e-+



___________________________________________________________________ Calcula" la '7"d)da de ene"-2a ∆ a cau$a del "a#)en! en -u2a$ y "d)ll$+ Puede de$'"ec)a"$e la$ #a$a$ de l$ "d)ll$+

ℑ P46 Solución C2

N$ ')den el !"abaj ec '" la$ (ue"a$ n cn$e"a!)a$+

C1

3/+ Relac)ne$ c)ne#%!) ca$+ De!e"#)na c)*n de la elc)dad de B y de la elc)dad an-ula" de la ba""a& 'a"a el )n$!an!e ()nal de )n!e"7$ '" el #7!d de cen!"$ )n$!an!%ne de elc)dad nula.

VB

ω

B2 Ci

=0 8 0+6

=

B1

= 3? ,

6/+ C%lcul de la ene"-2a 'e"d)da.

A1

L. R.

A2

P46a

S).

%E K

= ∑ Fi ⋅ Vi + ( ∑ Ci ) ⋅ ω k = ∑ ( FC i + FNC i ) ⋅ Vi + ( ∑ Ci ) ⋅ ω k

%t

∆E K = ' −

3 6 FC

'3− 6 FC

+' −

3 6 FNC

+M∫

6

3

%θ

6

= ∆E K − '3−6 FNC − M ∫3 %θ = E M 6 − E M 3 − M (θ 6 − θ 3 )

53/

C%lcul de la$ ene"-2a$ y !"abaj c""e$'nd)en!e$.

"3

= 0+3

E K3 "6

6 9 8 9 D+C3

= 4+3@6

ule

=0 = 0+6 9 8 9 D+3 = ?+@

ule



___________________________________________________________________

EK 6

=

M (θ 6

3 6

0

mVB6

+

3 6

! Bω 6

H

π π − θ3 ) =   −  = 6π 6 4

EK 6

=

3 3 9 9 8 9 0+4 6 9 3? 6 6 36

= 4+ ?

ule

ule

En 53/.

'3−6 FNC

= ( 4+? + ?+CC@) − 4+3@6 − 6π

'3− 6 FNC

= ∆5 = 0+0?6

ule

4-3%.- La ba""a AB !)ene una #a$a de 8 F- y e$!% un)da a un ca"" C de ? F-+ Sab)end 1ue el $)$!e#a $e $uel!a en "e'$ en la '$)c)*n "e'"e$en!ada y de$'"ec)and el "a#)en!& alla". a/ la elc)dad del 'un! B cuand la ba""a AB 'a$a '" la e"!)cal& b/ la c""e$'nd)en!e elc)dad del ca"" C+

ℑ

P480

Solución

B1

C# n ay (ue"a$ e,!e"na$ en el $)$!e# a en la d)"ecc)*n ")n!al& la can!)dad de #)#)en! l)neal $e cn$e"a en )ce$ d)"  eade# %$ucla n a a (u e"ec ac)*n1u '"d e !"abaj e$ el 'e$& '" l 1ue $e cn$e"a la ene"-2a #ec%n)ca en el $)$!e#a+

G1

%.3 & L. R. A2

A1

%.6 &

3/+ D)a-"a#a de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal del $)$!e#a 5e" ()-u"a P80a/.

VA

G2

= VC

6/+ P" cn$e"ac)*n de la can!)dad de #)#)en! l)neal.

P480a

B2

S).



___________________________________________________________________

= VA − ω

VG 6

6

6

k x rA6 G 6

= VA

6

i

−ω

6

( − 0+@ j )

k x

H

VG 6

= ( V A − 0+@ ω ) i 6

6

Lue-.

0 = mC V A 6

0 = (  V A6

− m ABVG 6 = mC V A6 + m AB (V A 6 − 0+@ω 6 ) − 3+ω 6 ) H V A = 0+66?ω 6

6


"

m

3

= AB E K3 = 0

8 9 D+3 9 0+8

g,

3

=

+6D ule

=

= − m AB g,6 = −8 9 D+3 9 0+@ = −3;+@?

"6

EK 6

=

3 m C V A66 6

EK 6

=

3 9 ? 9 V A66 6

EK6

= 4 V A66 − 3+ V A 6ω 6 + 0+;6ω 66

EM3

= EM 6

ule

+ 3 m ABVG66 + 3 ! G ω 66 6

+

6

3 9 8 9 (V A 6 6

− 0+@ω 6 ) 6 +

3 3 9 9 8 9 3+6 6 ω 66 6 36

6

6

+6D = −3; +@? + 4 V A 6

− 3+ V A 6ω 6 + 0+;6 ω 6 6 6@+4; = 0+606?ω 6 − 0+40?ω 66 + 0+;6ω 66

ω6

= ;+3?4

"ad<$e-

→

ω6

= −;+3?4 k

5"ad<$e-/

4/+ C%lcul$ de la$ elc)dade$. a/+ De C& $) V A VC 6

= VC .

= V A = 0+66?ω 6

6

i

= 3+@3 i

5#<$e-/

H

VC 6

= 3+@3 #<$e- 5 → /

b/+ De B.



___________________________________________________________________ VB6

= VA − ω

VB 6

= @+;?

6

6

k x rAB

= 3+@3 i − ;+3?4 k

x

( − 3+6 j ) = −@+D;? i 5#<$e-/

#<$e- 5 ← /

4-31.- La a")l la del-a da un)(" #e de #a$a m y ln-)!ud L& )n)c)al#en!e en "e'$ cen!"ada ")n!al#en!e $b"e la $u'e"()c)e c)"cula" de "ad) R& $e ba$cula a$!a la '$)c)*n "e'"e$en!ada cn !"a$ y $e $uel!a $)n elc)dad )n)c)al+ =alla" la e,'"e $)*n de $u elc )dad an-ula" ω cuand 'a$a '" la '$)c)*n ")n!al+ El "a#)en! e$

$u()c)en!e 'a"a 1ue n aya "e$bala#)en!+

ℑ

Solución

ℑ

C# la n)ca (ue"a 1ue '"duce !"abaj e$ el 'e$& $e cn$e"a la ene"-2a #ec%n)ca+

P483

3/+ Re'"e$en!ac)*n -"%()ca de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal del $)$!e #a 5e" ()-u"a P4 83a/.

G1 G2

θR+-θ

θ

L. R.

R


"3

= mgθ

=0

"6

= mgR (3 − c$θ )

P483a

3 ! C iω 6 6

=

EM3

= EM 6

R

Rsen θ

E K3

EK 6

θ

R1*o+θ0

mgθ Rsen θ

=

3 6

9

3 36

m&6ω 6

= mgR (3 − c$ θ ) +

H

EK 6

3 m&6ω 6 64

H

=

3 m&6ω 6 64

ω6

=

64 gR(θ senθ &6

+ c$θ − 3)



___________________________________________________________________

ω

6 @ gR(θ senθ &

=

+ c$θ − 3)

5Un)d+ de elc)dad an-ula"/

4-32.- El d)$c de 300 lb 5"ad) R : 3+? ')e$/ e$!% -)"and )n)c)al#en!e a una elc)da d an-ula" de ω3 : ? "ad<$e-& c# $e )lu$!"a+ S) $b)!a#en!e $e a'l)ca al d)$c un 'a" de !"$)*n M : ? ! lb')e& e$!and ! en $e-& de!e"#)ne el !)e#' "e1ue")d 'a"a llea" al d)$c al "e'$ \)ne"! )"% el d)$c $u d)"ecc)*n y cn!)nua"% -)"and] El ce()c)en!e de (")cc)*n c)n7!)ca en!"e el d)$c y la$ 'a"ede$ la!e"ale$ e$ de 0+3?+

ℑ

Solución

P486 3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P486a/. Y X


∑F

X

=0 →

N

− µK N −

6 6

w=0

)

O

∑F

Y

=0 →

N

6 w=0 6

+ µK N −

f f # µκN W

6N

=

6w

→

N

6

=

6

w

N

N

8/+ P" el '")nc)') de )#'ul$ y can!)dad de #)#)en! an-ula".

 = ! ω − ω  0

t

∫ ∑M 0

∫

t

0

0

  µ K 

6

%t

9

0

6 6

6

 

wR %t +

? 6

3

  →  

t6

3

=

6

0+3? 9 6 9 300 9 3+? t + 6 +? t 6

t6

t

+ 36+;8 t − @+DD = 0 →

= 0+?8

t

=

t

∫−

6

0

P486a

( µ K NR )%t − ∫

t

0

?

t%t

= −!

0

ω3

mR 6ω3

=

3 300 9 9 3 +? 6 9 ? 6 86+6

− 36+;8 +

36+;8 6 6

+ 4 9 @+DD

$e-



___________________________________________________________________ El d)$c 'e"#anece"% en "e'$ 4-33.- Calcula" la (ue"a cn$!an!e P "e1ue")da 'a"a da" al cen!" de la 'lea una elc)dad de 3+6 #<$e- ac) a a"")ba en un a$cen$ de 0+ # de d)c 'un! a 'a"!)" de la '$)c)*n de "e'$ )nd)cada+ La 'lea !)ene una #a$a de 3? F- y un "ad) de -)" cen!")dal de 6?0 ## y el cable #)de 4+? # y !)ene una #a$a de 8 F-<#+

ℑ

P P

Y

Y

A

1.8 % &

Oy

X

X

r3

Ox

-

G x3/2 G

% 8. 8 & C i2

r

G2 θ

1.2 8 & C2

i

% .% .6π0/ C i1

% .& G1 C1

Ci L.R.

% .6π /

1.8% &

Oy

X

X

P488 Solución

Ox

P" la ("#a al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a& 'a"a (ue"a$ y ##en!$ n cn$e"a!)$+

%.88 & G2

Ci2 θ

P6

1.8 &

C2 i

%.  %.6/ π0 Ci1

%. & G1

L. R.

3/+ G"%()c de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal del $)$!e#a 5e" ()-u"a P488a/.

rπ

= 0+8 9 π = 0+D4

#

%.6/π

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$ 'a"a la '$)c)*n ()nal+ P" cen!"$ )n$!an!%ne$ de elc)dad nula.

C1

P488a

ω VP 6 VG 6

= 6r 9ω = = VG

6

6r 9VG 6

r

= 6VG

=

VG 6 r

6

j

8/+ P" la ("#a al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca.

'3− 6 P

=

EM

6

− EM

3



___________________________________________________________________ EK 3

=0

"3

= 6 mC

"3

= C;+D@

EK 6

=

3

g9

3+;C

− mC

6

6

0+@

g9

π

= 6 93+;C 9 8 9 

3+;C 6

− 0+D4 9 8 9

0+@

π

 9 D+C3 

ule

E K 6 C-

+ EK

+ EK

C

6

6

P1

C%lcul de 7$!a ene"-2a c)n7!)ca. a/+ Pa"a la cue"da en la 'lea. S)& $e !)ene 'a"a una 'a"!2cula )7$)#.

= VG + ω

Vi

6

k xr

( − c$ θ i − )sen θ ( j = V )+ ω r G

6

sen θ i

− c$ θ

j

Mul!)'l)c%nd$e e$cala" #en!e a$)#)$# y '" ` # ). 3 6

m iV3 ⋅ V3

=

3 6

 V + m i  ω 6 

G

3

6

m iV G 6

6

 r  + m iVG ⋅ ω r ( sen θ i − c$ θ j ) 

6

6

Pa"a !da la cue"da en la 'lea. n

∑ i =3

3 miVi 6 6

mt

= ∫0

3 6 VG 6 %m + 6

VG 6

∫

mt

1

 3 6 VG 6 %m − VG 6 ω r 6

∫

π

0

  0   π

E K 6 C-

= 3 mC-VG6 6 + 3 mC-VG6 6 − VG6 6 9 ρ 9 r sen θ

E K 6 C-

= 6+C6 VG

6

6

ρ r c$ θ %θ

= mC-VG6 6 = 0+D4 9 8 9 VG6 6

0

6 6

b/+ Pa"a la cue"da l)neal.

EK 6 C

=

3 6

mVP6 6

=

3 6

(

9 3+C

+ 0+CC) 9 8 9 ( 6 VG ) = 3@+0C VG 6

6

6

6

c/+ Pa"a la 'lea.

EK 6 P

V 3 = (3? 9 0+6? + 3? 9 0+8 ) G 6  r 6

6

6

  = 36+;0C VG 

6 6



___________________________________________________________________ Lue-.

EK 6

= 83+@0C VG = 83+@0C 93+6 = 4?+?3@ 6

6

6

ule

3+;C 0+D 3C 0+D "6 0+C98 0+D498 98 3?90+ DC3 0+C 0+@ (3+C+0 ) 0+C

= −+ −+ +  6π6

       

"6

= 8@8 +48

ule

P" l !an!. 3+C

P

P

= ( 8@6+48 + 4?+?3@) − C;+D@ = 83D+DC@

= 3;;+;;

Ne!n

4-34.- La c"e#alle"a #)ble A !)ene una #a$a de 8 F- y la c"e#alle"a B e$!a ()ja+ La "ueda den!ada !)ene una #a$a de 6 F-& un "ad) de

A 0 N

Au!". In-+ VICTOR 00 ## MANUEL MENAC=O LOPE> B

ℑ

P484


___________________________________________________________________ 'a$ de  00 ## y un "ad) de -)" cen!")dal de @0 ##+ En la '$)c)*n de la ()-u"a& el "e$"!e de cn$!an!e Q : 3+6 QN<# e$!a ala"-ad una ln-)!ud de 40 ##+ Pa"a el )n$!an!e "e'"e$en!ad& de!e"#)na" la acele"ac)*n de la c"e#alle"a A baj la acc)*n de la (ue"a de 0 N. El 'lan de la ()-u"a e$ e"!)cal+ Solución P" la ("#a al!e"n a!)a del !"abaj de (ue"a$ y ##e n!$ n cn $e"a!)$ y ca#b) de

A 4

en e"-2a #ec%"eale$+ n)ca& 'a"a )n()n)!e$)#ale$

de$'laa#)en!

X

r 3

x

3#3

-

3/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$.

&G G 3 x/2 r G

a aG = 6 X XG = 6 %X 6

=θ

r

= r %θ →

%θ

=

%X 6r

Ci

P484a

6/+ P" la ("#a al!e"na!)a de !"abaj$ de (ue"a y ##en! n cn$e"a!)$ y el ca#b) de ene"-2a #ec%n)ca& 'a"a de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$. %'F

N C

= %E K + %"

a/+ Pa"a la ene"-2a c)n7!)ca.

%E K

= ∑ mi aG i ⋅ %

%E K Cre

= 8 a %X

%EK eng

= 69

rG i

+ ∑ ! G i α i %θ i

5C"e#alle"a en !"a$lac)*n/

a %X 9 6 6

a

+ 6 ( 0+0@) 6 9

6 9 %X = 0+?08 a %X 0+C 6 9 0+C

b/+ Pa"a la ene"-2a P!enc)al. 0

%"

= ∑ mi g %,i + ∑ K j X j %X j = 36 000 9 ( 0+04) 9

%X 6

= 64 %X



___________________________________________________________________ Lue-.

= 8 a %X + 0+?08 a %X + 64 %X

C0

%X

0

= 8+?08 a + 64

a

≅ 3@

→

a

= 3? +DD

#<$e-6

#<$e-6

4-3.- La ba""a un)( "#e ABC !)ene una #a$a m y 'a"!e del "e'$ cn  : 30& en 1ue A& B& C y O e$!%n al)nead$+ S) la (ue"a a'l)cada P e$ de )n!en$)dad cn$!an!e& de!e"#)na" la elc)dad an-ula" Y de la ba""a cuand B lle-a a O& $)end  :0+ La$ #a$a$ del "d)ll B y del !en$" OC $n de$'"ec)able$ 6s-gerencia. )-stit-ir +a f-er7a P3 01r -na f-er7a P a0+ica%1 en B # -n 0ar8+

ℑ

µ

=0

P48?a Solución P" el '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca+

Y

3/+ D+S+^+ y $u$!)!uc)*n de P en A& en P y un 'a" en B 5e" ()-u"a P4 8?a/.

C θ

X

&(

5

P

5 β

Ox


O

β

β

x

B

) # P5 5

X c$ β

=

Oy

6

b

→

X

N

= 6 b c$ β

A

P48?a

%β %t

X

= V B = −6 b sen β

 X

%β = a B = −6 b c$ β   − 6 b sen β α  %t 

6

8/+ C%lcul del !"abaj $b"e el $)$!e#a.

'3− 6

='− 3

6

P

+' − 3

6

M



___________________________________________________________________ 6

'3− 6 P

= ∫3

'3− 6 P

=∫

π

P ⋅ V B %t

6

6

0

P

( − sen β i − c$ β j ) ⋅  − 6 b sen β 

b P sen 6 β %β

π

= ∫0 6 M

'3− 6 M

6

= ∫3

%β

=Pbβ

3 3 = 6 b P  β − sen 6 β  4 6  π

6

0

=bP

π 6

π

%β  i  %t %t 

6

=bP 0

π 6

5Un)d+ de ene"-2a/

5Un)d+ de ene"-2a/

Lue-.

=b P

'3− 6

π 6

+b P

π 6

=b Pπ

5Un)d+ de ene"-2a/

4/+ C%lcul de la ene"-2a c)n7!)ca del $)$!e#a.

EK 3

=0

EK 6

=

3 m V B6 6

+

3 ! Bω 6 6

=

3  m 4ω 6 b 6 6 

+

3  38 m b 6ω 6 9 4 b 6ω 6  = 5Un)d+ de ene"-2a/ 36  @

?/+ P" el '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca. '3− 6

=

EK 6

− EK

3

Lue-. 38

b Pπ

=

@

6

mb ω

6

6

@

Pπ

→ ω = 38 m b

@

H ω

=

38

Pπ m b 5Un)d+ de elc)dad an-ula"/

4-3!.- Pa"a el '"ble#a an!e") " 548?/ de!e"#)na " la acele"ac)*n an-ula" de AC deb)d a la acc)*n de la (ue"a P& 'a"a cual1u)e" al" de + La #a$a de la a")lla OC e$ de$'"ec)able y la -u2a ")n!al e$ l)$a+ Solución

La$ n)ca$ 1ue '"ducen !"abaj $n el ##en! y la (ue"a P& 1ue n $n cn$e"a!)$& '" l 1ue u$a#$ la ("#a al!e"na! )a de !"abaj ec '" (ue"a$ y ##en!$ n cn$e"a!)$ y el ca#b) de la ene"-2a #ec%n)ca en de$'laa#)en! )n()n)!e$)#ale$ "eale$+ Ade#%$ a'"eca#$ la$ (*"#ula$ encn!"ada$ en la$ "elac)ne$ c)ne#%!)ca$& en la $luc)*n an!e")"+ S).



___________________________________________________________________ %'3− 6 FNC

= %E K + %"

3/+ Pa"a la ene"-2a c)n7!)ca.

%E K

= ∑ mi aG i ⋅ %rG i + ∑ ! G iα i %θ i      %β   − 6 b c$ β   − 6 b sen  %t    0

6

%E K

=m

%E K

= 4 b 6 m  sen 6 β + 3  α 36  

%E K

c$ θ + 3 3  = 4 b 6 m  + α 36   6

%β

β

  α  i ⋅ ( − 6 b sen  

β %β ) i

= 4 b 6 m  c$ 6 θ + 3  α 6 36  

%β

@ c$ θ + ;  = b 6 m  α 8  

+

3 36

m 9 4 b 6α %β

%β

%β

6/+ Pa"a la ene"-2a '!enc)al.   0  

0

%"

= ∑ mi g %,i + ∑ K j X j %X i =0

8/+ Pa"a el !"abaj.

%'3− 6 FNC

= 6 b P sen 6 β

%β

θ + P b %β = P b  6 c$ 6 + 3 %β = P b ( c$ θ + 6 ) %β 6  

Lue-.

P b ( 6 + c$ ) θ %( β α

=

b6m ) 8 ; + @ c$ θ α %β

 8 P   6 + c$θ    =   5Un)d+ de acele"ac)*n an-ula"/  b m   ; + @ c$θ 

4-3".- El #ecan)$# "e'"e$en!ad& $e c#'ne de un a"#a*n e"!)cal A $b"e el 1ue -)"a l)b"e#en!e en !"n a O un $ec!" cnju-ad del en-"anaje C& O1ue llea un 2nd)ce $l)da")+ Baj una acele"ac)*n un)("#e ")n!al [aX ac)a la de"eca& el en-"anaje $u("e un de$'laa#)en! an-ula" an!)"a") cn$!an!e & "e$'ec! a la '$)c)*n de acele"ac)*n nula  : 0+ β R =alla" la acele"ac)*n c""e$'nd)en!e a un %n-ul  5$)$!e#a G en !"a$lac)*n/+

A

2

&2(

θ

Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE> θ

r

&1(


___________________________________________________________________

P48@ Solución 3/+ D+S+^+ 5e" ()-u"a P48@a/.

θ r=β R

r

60

R

360

→ β= θ=

θ

=

θ @

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$. P48@a  0 

∑M = ∑! 0

Gi

αi

+ ∑ mi a G i % i

El cen!" de #a$a del 2nd)ce $l)da") n !)ene #)#)en! "e$'ec! a O.

m6 g  sen β a

= a ( m6 c$ β ) →

= g tgβ = g tg

g senβ

= a c$ β

θ 5Un)d+ de acele"ac)*n/ @

4-3#.- El la#)nad" de "d)ll $e c#'ne de la ba""a un)("#e de 6 F- ACB& cn d$ "d)ll$ l))an$ 1ue acen c#'"e$)*n $b"e la$ ca"a$ $u'e")" e )n(e")" de un cn!"aca'ad a l la"- del b"de+ =alla" la (ue"a 1ue eje"ce cada "d)ll $b"e el cn!"aca'ad cuand a la ba""a $e a'l)ca una (ue"a de ?0 N en la '$)c)*n "e'"e$en!ada+ De$'"ec)a" !d$ l$ "a#)en!$+

ℑ

P48 Solución

5%N

3/+ D+S+^+ 5$)$!e#a en !"a$lac)*n/ 5e" ()-u"a P48a/.

θ 35 N

%.%85 & %.%25&


∑ a

36 %.%

FX

=ma →

= 3;+?

#<$e-6

8? = 6 a

G

C NB

2 %.1

%.%252 &

&

NC &(

θ # ""."26 Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE>


___________________________________________________________________

∑M

= ∑ mi aG i % i

C

S).

P48a

∑m a % ∑M = i

Gi

i

= −6 93;+? 9 0+06?6 = −0N+CC6

0+0C?; 9 N B

C

#

5 3/

− 6 9 D+C3 9 0+6?; − ?0 9 0+344 = 0+0C?; N B − 36+646

56/ 53/ : 56/.

− ;+;04 = −0+6 →

0+0?; N

∑F

Y

NC

= 386+?@

N

B

Ne!n

B

= 0 → − ;D+@ + N C − 6 9 D+3 − ?0 c$ 44+46;° = 0

= 3C;+CC;

Ne!n

4-3$.- L$ 'e1ue$ "d)ll$ de l$ e,!"e#$ de la ba""a e$bel!a un)("#e e$!%n )nculad$ a la "anu"a c)"cula" de la $u'e"()c)e e"!)cal+ S) la ba""a $e $uel!a en "e'$ de$de la '$)c)*n )nd)cada& alla" la acele"ac)*n an-ula" )n)c)al + Se de$'"ec)an la$ #a$a$ de l$ "d)ll$ y el "a#)en! en ell$+

ℑ

Solución 3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P48a/.

P48 NA

s

tg 80° =

 6

=

3 8

→

s=

A

 6

8

5Un)d

de

ln-)!ud/

c$ 80° =

%

=



4

/2

% s

→

%

=

8 s 6

=

8  9 6 6 8 G 5

5Un)d+ de ln-)!ud/ O


&(

/2

Au!". In-+ VI CTOR MANUEL MENAC=O LOPE> 7

NB


___________________________________________________________________

       α = −m  3  +  36  6 8    6

∑M g

=

(

= ! (α → − mg

6 α 8

→

α

=

 4

6

8g 5Un)d+ de acele"ac)*n an-ula"/ 6

P48a

4-4%.- Un c)l)nd" de ?0 F- de #a$a y 0+8 # de "ad) $e #an!)ene ()j $b"e el 'lan )ncl)nad 1ue e$!% -)"and a 0+? "ad<$e-+ Se $uel!a el c)l)nd" cuand el 'lan )ncl)nad e$!% en una '$)c)*n  : 80+ S) en el )n$!an!e de $l!a"$e el c)l )nd" e$!% a @ # del 'un! O+ \Cu %l $e" % la acele"ac)*n )n)c)al del cen!" del c)l)nd" "ela!)a al 'lan )ncl)nad] N ay de$l)a#)en!+

Solución

3/+ D+C+L+ del c)l)nd" 5e" ()-u"a P4+40a/.

P440

ℑ 6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$& '" "da#)en!.

Y

aA

= −ω

6

r(A

= −0+? ( @ i ) = −3+? i 6

X

5#<$e-6/ Y X


G

G

f A N

∑

MA k

=

! Aα k

mg sen 80° r k

+

ρ AG x m a A

=  m r 6 + m r 6  α 6 

D+3 9 0+? 9 0+8 =

3

8 9 0+ 8 6 α 6

&(

f A

k

+r

j x m ( − 3+? i )

N

&(

P440a

+ 0 + 8 9 3+ ? →

α

= ;+?;

"ad<$e-6

4/+ C%lcul de la acele"ac)*n )n)c)al "ela!) al 'lan )ncl)nad.

aG

ℜ

= −α r i = −;+?; 9 0+8 i = −6+6;3 i

5#<$e-6/



___________________________________________________________________ 4-41.- La ba""a del-ada un)("#e $e $uel!a de$de el "e'$ en la '$)c)*n ")n!al )nd)cada+ =alla" el al" de  'a"a el 1ue e$ #%,)# la acele"ac)*n an-ula" y el al" c""e$'nd)en!e  de la #)$#a+

ℑ Solución

El #)#)en! e$ )n#)nen!e& al"eded" de un eje ()j 1ue 'a$a '" O+ 3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P443a/.

P443 x


∑M

= ! (α

(

O

G

Ox

=  3 m 6 + m X 6  α  36 

mg X

∴

=

α

36 g X 6 6  + 36 X

Oy

&(

P443a

53/

8/+ P" #%,)#$ y #2n)#$ en 53/.

%α

=

%X

(

6



+ 36 X 6 ) 936g − 36 gX 9 ( 64 X ) =0 (6 + 36 X 6 ) 6

(

+ 36 X 6 ) 936 g − 36 gX 9 ( 64 X ) = 0 →

X

=

6

6



− 36 X 6 = 0

 6

8

5Un)d+ de ln-)!ud/

Ree#'laand en 53/.

      6 8  = @ g 9 =  6  6 6 8 6  + 36   36    36 g

α m9x

8 8

=

g 

8 5Un)d+ de acele"ac)*n an-ula"/

ℑ

4-42.- Una ba""a AB& )n)c)al#en!e en "e'$& de 8# de ln-)!ud y un 'e$ de 44? N $e #ue$!"a )n#ed)a!a#en!e



___________________________________________________________________ de$'u7$ de abe"$e $l!ad+ Calcula" la (ue"a de !"acc)*n en l$ cable$ EA y BD en e$e )n$!an!e+

Solución

P446

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P446a/. Y $A

Y $A

X $B A


G

&(

aA

= aA

X

B

i

$B A

aB

= a B ( c$ 80° i − sen 80 ° j )

aB

 = aB  

8 6

i

−

3 6

G

 

&(

j 

B

P446a S).

aG

= a Ai + α

k x 3+? ( c$ 80° i

− sen 80° j ) = ( a A + 0+;? α ) i + 0+;?

8

α j

53/

Ta#b)7n.

aB 8 − −0+?aB − aG = aB +α k x3+?(− c$80 i +° sen80° j) =  6  i +   j  +0 ;?α   +0 ;? 8α   

56/



___________________________________________________________________ 53/:56/ e )-ualand c#'nen!e$.

− 0+? a B − 0+;? −8

8 α 6

89

8α

= 0+;?

8α

→

aB

− 0+;? α = a A + 0+;? α →

= −8 aA

8α

= −@ α

En 53/.

aG

= −?+6? α i + 0+;?

8

α j


∑F

X

∑F

Y

−

0+? B

= m YG →

8 B 6

8 9 4;@+8 α 6

∑M −

= m X G →

8 6

G

=−

44? 9 ?+6? α D+3

+  A − 44? =

→

B

= −4;@+8 α

58/

44? 9 0+;? 8α D+3

+  A − 44? = ?+D8 α →

A

= 44? + 4;3+46 α

54/

= ! Gα

A

93+?

+ 3+?B = −

3 6

9

44?

98

D+C3

6

α

→ − 3+6DDA + 3+?B = −604+38α

5?/

58/ y 54/ en 5?/.

− 3+? 9 4;@+8 α − 44? 9 3+6DD − 3+6DD 9 4;3+46 α = −604+38 α 3366+@D α

= −?;C+0?? →

α

= −0+?3?

"ad<$e-6

Lue- en 58/ y 54/.

B

= 4;@ +8 9 0+?3? = 64? +8

A

= 44? − 4;3 +46 9 0+?3? = 606 +6

Ne!n Ne!n

4-43.- El ba$!)d" cuad"ad $e c#'ne de cua!" !"$ )-uale$ de a")lla del-ada un)("#e y la e$(e"a O 5"!ula/ e$!% $u$'end)da de un *cal 5n "e'"e$en!ada/+ A 'a"!)" de la '$)c)*n )nd)cada& el cnjun! "ec)be un -)" de 4 ? en !"n al



___________________________________________________________________ eje AA y $e $uel!a+ =alla" la acele"ac)*n an-ula" )n)c)al del ba$!)d"+ Re'e!)" l$ c%lcul$ 'a"a una "!ac)*n de 4? en !"n al eje BB+ De$'"ec)a" la 'e1uea #a$a de la e$(e"a& $u de$cen!"ad y el "a#)en! en ella+ P448

Solución

3/+ D+C+L+5$/ 5e" ()-u"a P448a/. Y

5/2

5/2 %.%5

AA O

Ox

BB

2 5/

X



5/2

G1

5/2 Oy

G

"3(5

5

5

4Z-b

5/2 "3(5 0

4Z-b

P448a

5a/ 6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$& 'a"a 5a/.

∑M

5 b/

= ∑ ! G i α i + ∑ mi a G i % i

(

S).

∑M ∑!

= 4 ρ bg 9 b sen 4?° = 6 ρ b 6 g

(

Gi

α

∑m a i

6

3 = 6  ρ b 8  α =  36 

i

Gi

%i

6 6

=ρ

g b 6 6 5Un)d+ de ##en!$/

ρ b8 α 5Un)d+ de ##en!$/ @

b b 3 8 = ρ b  6α 9 9 + α b 6  = ρ b 8α  + 3 = ρ b 8α 6 6   6  6

5Un)d+ de ##en!$/

Lue-.

ρ g b6 6

α

=8

6 ?

3 8 ? = ρ b 8α  +  = b 8 α @ 6 8

9

g b

= 0+4D

g 5un)d+ de acele"ac)*n an-ula"/ b

8/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$& 'a"a 5b/.



___________________________________________________________________

∑M ∑!

= 4ρ b g 9

(

Gi

α

∑m a i

= 49

i

Gi

%i

b sen 4?° = ρ g b 6 6 5Un)d+ de ##en!$/ 6

3 ρ b 8α 36

=

ρ b8 α 5Un)d+ de ##en!$/ 8

  = ρ bα  6 9 b 6 9 b 6 + b 6  = 6 ρ b 8α 6 6  

5Un)d+ de ##en!$/

Lue-.

ρ g b6 6 α

=8

6 ;

3 ; = ρ b 8α  + 6  = ρ b 8α 8  8

9

g b

= 0+@0@ g b

5Un)d+ de acele"ac)*n

an-ula"/

4-44.- La e$(e"a $*l)da de 60 lb $e !)"a $b"e el $uel de !al #ane"a 1ue !)ene una elc)dad an-ula" de "e!"ce$ de Y : 3? "ad<$e- y $u cen!" !)ene una el c)dad )n)c)al de VG : 60 ')e<$e-+ S) el ce()c)en! e de (")cc)*n en!"e el ')$ y la e$(e"a e$  A : 0+8& de! e"#)ne la d)$!anc)a 1ue "ec""e an!e$ 1ue 'a"e el e(ec! de "e!"ce$+

ℑ

Solución

P444 Y

3/+ D+C+L+. 6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

∑F f

=

X

f r

= m a G X → − f = −m aG X

60 aG 86 +6

∑M

G

X

W

= 0+@6 aG

= !G α → − 60 9 r 6α ? 86 +6

f r

G

53/

= −! G α

A

f

= 69

N

P444a



___________________________________________________________________

f

= 0+3646 α

56/

53/ : 56/.

0+@6 a G

= 0+3646 α

→

aG

S) $la#en!e ub)e"a "dadu"a a G f

=µ

N

= 0+8 9 60 = @

= 0 +6 α = 0+? α

& lue- la e$(e"a de$l)a& '" l 1ue.

lb

En 53/.

aG

=

@ 0 +@6

= D+@;;

')e<$e-6

aG

H

= −0+D@; i

5')e<$e-6/

En 56/.

α

=

@ 0 +3646

= 4 +83

"ad<$e-6

H

α

4C+83 k

= −

5"ad<$e-6/


ω

=α t

→

t

=

3? 4+83

= 0+83 seg

X

= VG 0 t − 3 a G t 6 = 60 9 0+83 − 3 9 D+@;; 9 0+836

X

= ?+;8?

6

6

')e$

4-4.- La ba""a e$bel!a un)("#e de #a$a m y ln-)!ud ℓ $e abandna de$de el "e'$& cuand e$!% e"!)cal& de #ane"a 1ue -)"a $b"e $u e,!"e# en !"n a la e$1u)na O+ a/ $) $e b$e"a 1ue "e$bala cuand  : 80& alla" el ce()c)en!e de "a#)en! e$!%!)c  $ en!"e la ba""a Y y la e$1u)na& b/ S) el e,!"e# de la ba""a $e en!alla de #d 1ue n 'ueda "e$bala"& alla" 'a"a 1ue %n-ul  ce$a $u cn!ac! cn la e$1u)na+

ℑ

Solución

P44?

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P44@a/. θ G1 G2

en

θ et

Au!". mg In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE>

θ

X

O N

f


___________________________________________________________________

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$& 'a"a a#b$ ca$$. 

=α

aG

6

et

+ω6



6

+

=

en


∑F = m a t

→ − f + mg sen θ = m α

t



6

∑F

= m an →

n

∑M α

=

0

mg c$θ

= ! 0α → − mg

8g 6



6

− N = m ω6 sen θ



6

 = m  g sen θ − αP44@a  6    6  → N = m  g c$θ − ω  6 

→

f

53/

56/

= − 3 m 6α 8

sen θ 5Un)d+ de acele"ac)*n an-ula"/

Pa"a  : 80. α

=

8g

5

4 

Un)dd+aecele"ac)*n an-ula"/

5 8/

4/+ P" el '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca.

'3−6

= ∆E K →

mg



6

(3) − c$θ = 3 9 3 m 6ω 6 ( ) → 6 8

ω6

=

8g 

3 − c$θ

Pa"a  : 80.

ω6

= 0+406 g

54/



Pa"a  : 80& "ee#'laand 54/ en 56/. N

 = m  g 

8 6

− 0+406

g 

9

 6

  = 0+@@? mg 

5Un)d+ de (ue"a/

Pa"a  : 80& "ee#'laand 58/ en 53/.



___________________________________________________________________

 g 8g   9  = 0+36? mg = m  −   6 4  6

f

S)& µ s N

=

f .

= 0+36? mg

µ s 9 0+@@? mg

→

0+36? 0+@@?

=

µs

= 0+3

?/+ C%lcul del %n-ul & 'a"a 1ue la ba""a abandne $u $'"!e. En 56/.

 

0 = m  g c$θ

c$θ

8

8

6

6

= −

 − ω 6  → 6

c$ θ

?

→

6

g c$θ

c$θ

=

8 6

=

8g 

→

(3 − c$θ ) c$ θ



6

= 0+@ ℜ

= ?8+38°

θ

4-4!.- La (ue"a P : @0 N $e a'l)ca c# $e #ue$!"a en la ()-u"a al c)l)nd"  de 30 F-& ")-)nal#en!e en "e'$& baj el cen!" de #a$a de la 'laca ℜ "ec!an-ula" del-ada de ? F-+ El ce()c)en!e de (")cc)*n en!"e  y ℜ e$ 0+? y el 'lan baj  e$ l)$+ De!e"#) ne. a/ La acele"ac)*n )n)c)al de G& b/ El al" de  cuand  e$!% "e$baland $b"e a#ba$ $u'e"()c )e$+ La ln-)!ud de ℜ e$ de 6#+

 G

ℑ

P44@

Solución

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P44@a/. a/ E$!ad )n)c)al.

N2

F

WR

f Y

OX O f

WR

Y

OX O f

OY

(a)

X

OY

G W8

(a)

X

N1

'

(b) N1

N2

WR N2

X

OX O

X f

f

OX O

G

f

OY

Ax

Y

Y

P44@a

P (b)

P

N2

WR

G W

N2

(c)

N2

X

W

P



___________________________________________________________________ 5 a/

5 b/

b/+ Pa"a un  cual1u)e"a 5e" ()-u"a P44@b/.

N2

F

WR OX

f Y

O f

OY

(a)

X

G W8

N2

(b)

f

(a)

G W8

(b)

'

Y

f

(c)

X

N2

P

N2 N1

f

O OY

OY

X

N2

WR OX

f Y

OX O

N1

X

N2

F

WR

P

G W8

P

N2

WR X

f

OX O

P44@b

OY

Ax

Y

G

f

(c)

N2

X

8

W

P (d)

5 c/

5 d/

N1

6/+ C%lcul de la acele"ac)*n )n)c)al& $u'n)end 1ue n ay "e$bala#)en!. En 5a/.

∑M

=0 →

0



6

N6

−



6

wℜ

=0 →

N6

= ? 9 D+C3 = 4D+0?

Ne!n

En 5b/.

∑F

X

∑M

= m aG →

P− f

= ! Gα →

f r

G

=

= m℘aG → 3

m r 6α

→

"ad<$e-6

H

6

f

= @0 − 30 9 0+6 α = @0 − 6 α = ? 9 0+6 α = α

f

53/

56/

53/:56/.

α

= @0 − 6 α →

α

= 60

f

= 60

Ne!n

C#'"band $) ay "e$bala#)en!.

µ N6

= 0+? 9 4D+0? = 64+?6?

Ne!n

Lue-.

f

<µ

∴

aG

N 6 ay "da#)en! 5la $u'$)c)*n (ue c""ec!a/

= α r = 60 9 0+6 = 4

#<$e-6



___________________________________________________________________ 8/+ Pa"a el "e$bala#)en! )n#)nen!e& f

=µ

N 6 y aG = α r .

En 5c/.

∑M

0

= 0 → − 3 9 wℜ + (3 + X ) N 6 = 0 →

N6

=

4D+0? 3+ X

En 5b/.

∑M

∑F

G

= !G α →

X

= mα

@0 (3 + X )

X

≅ 0+68

r

→

f r

=

3 6

m r 6α

@0 − 0+? 9

= 8 9 64+?6? →

X

→

4D+0? 3+ X

= ? 9 0+6 α = α

f

4D+0?  = 30 9 0+6 9  0+? 9  3+ X  

= 3+66@8 − 3 = 0+66@8

#

#

4-4".- Se )lu$!"a la 'la!a("#a de de$ca"-a '" "dadu"a de un ca#)*n de !"an$'"!e de cn!ened"e$+ El cn!ened" ca"-ad de 360 M- 'uede !"a!a"$e c# un bl1ue "ec!an-ula" #ac) y #-7ne cn cen!" de #a$a en G+ S) la "ueda de a'y A e$!% )n#)l)ada& calcula" la (ue"a ^B 1ue eje"ce la 'la!a("#a $b"e la "ueda de a'y B cuand el ca#)*n a""anca ac)a delan!e cn una acele"ac)*n de 8 #<$e-6+ Se de$'"ec)a el "a#)en! en B+

ℑ

P44; Y

Solución

3/+ D+C+L+ del cn!ened".

B

X

G 4+6;6 #

mg

FB 45º

Ax

A AY



___________________________________________________________________ 6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. S).

aB

P44;a

 = a + a B = 8 i + a B  − P P 

6 6

i

−

6 6

   

j  =  8 −

6 6

aB

  i − 

P

6 6

aB j

53/

P

Ade#%$ 5c#)ena el #)#)en! al"eded" de un eje ()j& 1ue 'a$a '" A/.

aB

k x C ( c$ 80° i

= −α

+ sen 80° j ) = 4 α i − @+D8 α

j

56/

53/:56/ e )-ualand c#'nen!e$.

6

− 8

6

aB

P

= −@+D8 α

− @+D8 α = 4 α → α = 0+6;4

"ad<$e-6


∑M

A

= ! Aα

Cc$80°+ 3 9360 0 (8 C )++  6  −360 0 9D+C396+;34+F 6 Csen80° =36 9(−0+6;4) 360 0 94+6;6  66

B

6

;+;6; FB

FB

= 360 000 ( 6@+@6? − @+@@; )

= 80D +D? x30 8 Ne!n

H

FB

≅ 830

QN


4+6;6 #


___________________________________________________________________ Solución 4-4#.- Se "e'"e $en!a de nue al ca#)*n de cn!ened"e$ del '"ble#a an!e")"+ En la '$)c)*n "e'"e$en!ada& la$ d$ "ueda$ A e$!%n )n#)l)ada$ y l$ ("en$ del e2cul a'l)cad$ 'a"a e)!a" 1ue 7$!e $e #uea+ S) $b)!a#en!e $e l)be"an la$ "ueda$ A 'a"a 'e"#)!)" 1ue "uede el cn!ened"& calcula" la (ue"a de "a#)en! !!al ^ 1ue $e a'l)ca a la$ "ueda$ del ca#)*n

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P44a/ Y

X

B

FB 2/ 2 = F

G mg

FB A

)n#ed)a!a#en!e !"a$ el de$bl1ue+ Se de$'"ec)a el "a#)en! en A y B+

N

P44a 6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. S).

aB

 = a B  − 

6 i 6

−

6  j  6 

53/

Ta#b)7n.

aB

= aA −α

k x  ( c$ 80° i

+ sen 80° j ) = ( 4 α − a A ) i − @+D8 α

j

56/

53/ : 56/ e )-ualand c#'nen!e$.

− aB 4α

6 6

= −@+D8 α

− a A = −a B

6 6

= −@+D8 α →

aA

= 30+D8 α

5Un)d+ de acele"ac)*n/

Ade#%$.

(

aG

= aA − α

aG

= ( 8+8 − 30+D8) α i − 6+;34 α

k x

4+6;6 c$ ?0+??@

j

° i + sen ?0+??@° j )

= −;+@8 α i − 6+;34 α

j 5Un)d+ de acele"ac)*n/




___________________________________________________________________

∑F

X

∑M

=m A

k

=

X G

→ − FB

! Aα

+

6 6

= − F = −;+@8 α

m

58/

ρ AG x m a A

D+C3 96+;34km 3m86 C6 c$?0+ @ i Cc$80 36 ( α) 4+6;mk x 30+D8αi 6 ?0+ @ F Cen80 ks m94+6; sen j

− +  ( + )  °+ ° + = − +  (− )  °     °  − 6@+@6? = −;3+@;8 α →

α

= 0+8;3

"ad<$e-6

En 58/.

F

= ;+@8 9 0+8;3 9 360 x30 8 = 88D +@D x30 8

F

≅ 840

Ne!n

QN



___________________________________________________________________

4-4$.- Cada una de la$ b)$a-"a$ A y B& de la !a'a un)("#e de #a$a m de un caj*n de ju-ue!e$ cn!)ene un "e$"!e de !"$)*n 1ue eje"ce un ##en! "e$)$!en!e M : Q $b"e la !a'a al ce""a"$e e$!%+ a/ E$'ec)() ca" la ")-)de !"$)nal Q de cada "e$"!e& 'a"a 1ue la elc)dad an-ula" de la !a'a $ea nula cuand la #)$#a lle-ue a la '$)c)*n ")n!al de c)e""e 5 : K<6/ al cae" de$de  : 0 $)n elc)dad )n)c)al& b/ \Cu%l $e"2a $u acele"ac)*n an-ula"  en la '$)c)*n ce""ada $) $e $l!a"a del "e'$] \Se" 2an e$a$ b)$a-" a$ una $luc)*n

ℑ

'"%c!)ca] Solución

P44

P" el '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca. 3/+ C%lcul de la ")-)de !"$)nal. G1

a/+ D)a-"a#a de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal de la !a'a& "e'"e$en!ada en un 'lan 5e" ()-u"a P44a/.

mg

 = !/2

OX

2"

X G2

b/+ P" el '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca. 

'3− 6 M

OY

0

+ '3− 6 g = ∆E K π

'3−6 M

= −6 ∫0 6 M

'3− 6 g

= mg , = mg

%θ

mg

P44a

= −6 K

∫

π

0

6

θ %θ

=−Kθ6

π 0

6

6

= −K

π 5Un)d+ de !"abaj/ 4



6

Lue-.

−K

π6 4



+ mg = 0 → 6

K

=

6mg 

π6

5un)d+ de ce()c)en!e de ")-)de !"$)nal/

6/+ C%lcul de la acele"ac)*n an-ula".



___________________________________________________________________ a/+ D+C+L+& 'a"a la !a'a en la '$)c)*n ")n!al 5e" ()-u"a P44b/.

Y

X

OX

2" G2

OY


mg

P44b

∑

M(

69

6mg  π 9 6 π6

α

=

= ! (α

8g6   π

→

6M

− mg 6 = 38 m 6α



3

6

8

− mg =

m 6α

g 3 −  = 0+43 6 

→

6g

π

g



6

8

− =

α

ℑ

5Un)d+ de acele"ac)*n an-ula"/

4-%.- La b)ela y la #an)ela !)enen una #a$a de 6 F- y un "ad) de -)" cen!")dal de @0 ## cada una+ La c""ede"a B !)ene una #a$a de 8 F- y $e #uee l)b"e#en!e '" la -u2a e"!)cal+ El "e$"!e !)ene una cn$!an!e de @ QN<#+ S) a la #an)ela OA $e a'l)ca un 'a" de (ue"a$ cn$!an!e$ de ##en! M : 60 N# a !"a7$ de O& y a 'a"!)" del "e'$ cn  : 4?& alla" la elc)dad an-ula" Y de OA& cuand  :0+

Solución

P" el '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca. 3/+ G"a()c de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal 5e" ()-u"a P4?0a/.

ℑ P4?0



___________________________________________________________________

P4?0a 6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$& 'a"a la '$)c)*n 6 5()nal/. a/+ Pa"a AB B 6 e$ el cen!" )n$!an!%ne& '" !ene" la elc)dad ce" en e$e )n$!an!e& lue- la elc)dad de A6 e$.

VA 6

=ω

6



53/

b/+La elc)dad de A6 !#and c# 'un! de "e(e"enc)a O.

VA 6

=ω

3



56/

53/ : 56/.

ω 6  = ω3

⇒

ω6

= ω3 = ω


8/+ P" el '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca. 0

'3− 6

= EK 6 − EK 3

'3− 6 M

0

= − ∫π

M %θ 4

= −60 − π  = 3?+;3  4

N#

'3− 6 g

) ( − m) b(g = −mb g ( 0+3 − 0+0;0;

'3− 6 g

= −?+;4C

'3− 6 K

= − 3 K δ 6 = − 3 9 @000 9 0+0? 6 = −;+? 6

0+8

) − mg − 0+636

0+4

− 6 9 0+3434

N#

6

N#



___________________________________________________________________ Lue-.

'3− 6

= 3?+;3 − ?+;4C − ;+? = N6+4@6

#

5 8/

Ta#b)7n. 3

6   3  = ω 6 9 6 ! C i = ω 6 m k G6 + m   6 6    

=

EK 6

= 6 ω 6 ( 0+0@ 6 + 0+36 ) = 0+06; ω 6

6

! (ω 6

+

3

EK 6

6

! Bω 6

54/

58/ : 54/.

0+6;6 ω 6

ω

= 6+4@6

= D+?34

→

ω6

= D0+?3?

"ad<$e-

b A

4-1.- El ba$!)d" cuad"ad e$!% cn$!)!u)d '" cua!" a")lla$ del-ada$ )-uale$ de ln-)!ud [bX cada una+ S) el ba$!)d" $e $uel!a en "e'$ de$de la '$)c)*n "e'"e$en!ada& alla" la cele")dad de la e$1u)na A. a/ De$'u7$ de 1ue A aya de$cend)d una d)$!anc)a [bX y b/ De$'u7$ de 1ue A aya de$cend)d una d)$!anc)a [6bX+ La$ 'e1uea$ "ueda$ $e de$l)an $)n ("!a#)en!+

b

b A2

b 2 /2

F

B F

P4?3

A#

Solución

La$ n)ca$ (ue"a$ 1ue '"ducen !"a baj $ n l$ 'e$$ de la$ ba""a$& $e cn$e"a la ene"-2a #ec%n)ca y $) !ene#$ c# Z a la den$)dad l)neal de la$ ba""a$+ 3/+ D)a-"a#a de la$ '$)c)ne$ en el $)$!e#a 5e" ()-u"a P4?3a/.



___________________________________________________________________


EM 3

= EM = EM

EK 3

=0

"3

6

= 4ρ

8

P4?3a

gb

b

= 6ρ

g b 6 5Un)d+ de ene"-2a/

6

 4 9 3 b ρ 9 b + 4 b ρ  b  + 4 b ρ 6  6  36 6

3

b 6     6 

6

 ω 

EK 6

=

EK 6

 ρ b8 ρ b8  ? =  + + ρ b 8  ω 66 = ρ b 8ω 66 = 3+@@; ρ b 8ω 66 @ 6 8  

"6

6 6

5Un)d+ de ene"-2a/

=0

EK 8

"8

6

= ? ρ b 8ω 86 = 3+@@; ρ b 8ω 86

5Un)d+ de ene"-2a/

8

= −6 ρ

g b 6 5Un)d+ de ene"-2a/

Lue-. a/ E M 3

6ρ g b

V A6

=

EM

=

? ρ b 8ω 66 8

6

=ω

6

6

9 rC i 6

A6

=

→ @ ?

ω6

g b

9b

b/+ E M 3

=

6ρ g b 6

= ? ρ b 8ω 86 − 6 b 6 ρ

EM

8

=

@g 5Un)d+ de elc)dad an-ula"/ ?b

6

=

gb

36

?

5Un)d+ de elc)dad/

8

g

→

ω8

=

36 g 5Un)d+ de elc)dad an-ula"/ ?b



___________________________________________________________________ VA 8

=ω

8

9 rC

i

8

A8

36

=

?

g b

9b

=

36

gb ?


4-2.- La$ d$ ba""a$ e$bel!a$ de #a$a m y ln-)!ud [bX cada una e$!%n a"!)culada$ en!"e $2 y $e #ueen en el 'lan e"!)cal+ S) $e $uel!a en "e'$  de$de la ' $)c)*n )nd)cada y $e #ueen jun!$ baj la acc)*n de un 'a" de ##en! de #*dul cn$!an!e M a'l)cad a AB& alla" la elc)dad de A cuand cca cn O+

:0 P4?6

ℑ

Solución

P" la ("#a al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca+ 3/+ D)a-"a#a de la '$)c)*n ()nal e )n)c)al 5e" ()-u"a P4?6a/.

A6 cen!" )n$!an!%ne

P4?6a 6/+ P" la ("#a al!e"na!)a de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca.

'3− 6 FNC

=

'3− 6 FNC

= '3− 6 M = ∫β 6 M

EM

6

− E M = ∆E K + ∆" 3

%β

π π = M  − + θ  = M θ 6 6 

−0 =

3 m b 6ω 6 5Un)d+ de ene"-2a/ 8

π

∆E K = 6 9

3 3 9 m b 6ω 6 6 8 b 6

∆" = 6 9 mg − 6 9 mg

b c$ θ 6

= mg b (3 − c$θ )

5Un)d+ de ene"-2a/

5Un)d+ de ene"-2a/

Lue-.



___________________________________________________________________

Mθ

ω

=

VA

=

3 m b 6ω 6 8

+ mg b (3 − c$ θ )

M θ g  − (3 − c$ θ )  6 m b b 

8

=ω b =


 M θ − g b (3 − c$ θ )    m

8

5Un)dade$ de elc)dad/

4-3.- El a" c)"cula" l))an de "ad) " llea una banda un)("#e 'e$ada de #a$a m a l la"- de $u 'e"2#e!" y $e abandna en "e'$ de$de la '$)c)*n "e'"e$en!ada en la 'a"!e $u'e")" del 'lan )ncl)nad+ De$'u7$ de 1ue el a" aya "dad #ed)a uel!a+ a/ =alla" $u elc)dad an-ula" Y y b/ La (ue"a n"#al baj el #)$#& $)  : 30+

ℑ

P4?8 Solución

Pa"a la '")#e"a 'a"!e& la n)ca (ue"a 1ue '"duce !"abaj e$ el 'e$& '" l 1ue $e cn$e"a la ene"-2a #ec%n)ca. 'a"a la $e-unda 'a"!e& a'"eca#$ la elc)dad an-ula" 'a"a "e$le" el '"ble#a& '" $u#a!")a de (ue"a$ en la d)"ecc)*n de la n"#al+ 3/+ G"a()c de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal 5e" ()-u"a P4?8a/.

P4?8a



___________________________________________________________________ 6/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca.

EM 3

=

EK 3

=0

"3

EM

6

= mg  π 

3 6 6 m VG

EK 6

=

EK 6

=

"6

r senθ

+

+

3 6 6 ! Gω

3 m ω 6 r 6 (π 6

= − mg 6 r c$ θ π

6r  c$ θ  π 

=

 π 6 sen θ + 6 c$ θ   = mg r  π  

6 r  3   6 m ω  r − π 

6 − 6 )   π 

6

+

3 6 6  m r

5Un)d+ de ene"-2a/

4 r6  6 m − π 6  ω

5Un)d+ de ene"-2a/

5Un)d+ de ene"-2a/

Lue-.

mg r

 π 6 sen θ + 6 c$ θ    = π  

(

g π 6 sen θ

3 m ω 6 r 6 (π 6

6 6 − 6 )   − mg r c$ θ π π 

+ 4 c$ θ ) = ω 6 r ( π − 6) 6

ω

=

g r

 π 

sen θ + 4 c$ θ π −6

 


8/+ Pa"a la 'a"!e $e-unda& en la '$)c)*n [6X. a/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P4?8b/. b/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$.

r j +α k x r

 π − 6  j − ω 6r  π − 6       π   π 

aG 6

= ω6

aG 6

π −6 6r = α r   i + ω6 j π  π 

j

5un)d+ de acele"ac)*n/



___________________________________________________________________ P4?8b

c/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$& 'a"a  : 30.

∑F

Y

= m YG →

N

− mg c$ θ = m

N

 6 = mg c$ 30° + π 

N

= 4+38; mg ≅ 4+34 mg

6r g 9 π r

 4 c$ θ + π 6 sen θ    π −6  

 4 c$ 30° + π 6 sen 30°      π −6   5Un)d+ de (ue"a/

4-4.- El en-"anaje A !)ene un 'e$ de 3+? lb& un "ad) de 0+6 ')e y un "ad) de -)" de Q0 : 0+38 ')e$+ El ce()c)en!e de (")cc)*n en!"e la c"e#alle"a B y la $u'e"()c)e ")n!al e$  : 0+8+ S) la c"e#alle"a !)ene un 'e$ de 0+ lb y e$!% )n)c)al#en!e de$l)%nd$e ac)a a la )1u)e"da cn una elc)dad de V B3 : 4 ')e<$e-& de!e"#)ne el ##en! cn$!an!e M 1ue debe a'l)ca"$e al en-"anaje 'a"a )nc"e#en!a" el #)#)en! ℑ de la c"e#alle"a de #ane"a 1ue en ! : 6+? P4?4 $e- ad1u)e"e una elc)dad V B6 :  ')e<$eac)a a la )1u)e"da+ De$'"ec)e la (")cc)*n en!"e la c"e#alle"a y el en-"anaje y $u'n-a 1ue el en-"anaje $*l eje"ce una (ue"a ")n!al $b"e la c"e#alle"a+ Solución

C# el #)#)en! $e encuen!"a en (unc)*n del !)e#'& u$a"e#$ l$ '")nc)')$ de )#'ul$ y can!)dad de #)#)en!+ 3/+ D+C+L+ 5$/ 5e" ()-u"a$ P4?4a/. N

OY

Y OX O

f X

"

mg

F

mg



___________________________________________________________________ P4?4a 5 a/

5 b/


=µ

=µ

w.

= ∆ &X →

∫

a/+ Pa"a 5a/& f

∫ ∑F t6

t3

X

%t

N

t6

t3

( F − f ) %t = m B (V B 6 − V B 3 )

0+  F

= 0+8 9 0+ + 6+? 9 86+6 9 (  − 4 ) = 0+64 + 0+04 = 0+6

lb

b/+ Pa"a 5b/.

∫ ∑M t6

t3

6 +?

M

M

0

%t

= ∆* $ →

∫

6 +?

0

( M − F 9) 0+6(

%t ) = ! 0 ω 6

− ω3 =

3 +? − 4 9 0+38 6   86+6  0 +6 

− 6+? 9 0+6C 9 0+6 = 0+03?;?

= 0+0@68

lb')e

4-.- El en-"anaje A e$!% a"!)culad en B y -)"a a l la"- de la 'e")(e")a de la c"e#alle"a R+ S) A !)ene un 'e$ de 4 lb y un "ad) de -)" de Q B : 0+? ')e$& de!e"#)ne la can!)dad de #)#)en! an-ula" del en-"anaje A "e$'ec! al 'un! C& cuand Y CB : 80 "ad<$e- y. a/ Y R : 0& b/ Y R :60 "ad<$e-+

ℑ

Solución

3/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$+ C%lcul de la elc)dad de B y la elc)dad an-ula" de A 'a"a a#b$ ca$$. VB

= ω CB k

x rCB

= 80 k

x 3+? i

= 4?

j 5')e<$e-/

P4?? a/+ C%lcul  de la elc)dad an-ula " de A& 'a"a Y ()-u"a P4??a/.

R

: 0 5e"

$B

Y

B

%&

X



___________________________________________________________________ VB rC i B

ωA

=

=

ωA

= −@0 k

4? 0+;?

= @0

"ad<$e-

5"ad<$e-/

P4??a

b/+ C%lcul de la elc)dad an -ula" de A& 'a"a Y R : 6 0 "ad<$e- 5e" ()-u"a P4??b/. $B

VD

= ωR k

x rCD

= 60 k

x

i

6+6?

= 4?

j 5')e<$e-/ $'

S). Y

VB

= V D + ω A x rAB

' X

4?

j

= 4? j + ω A k

− 0+;? ω A = 0 →

x

( − 0+;? i )

ωA

=0 P4??b

6/+ C%lcul de la can!)dad de #)#)en! an-ula" de A& "e$'ec! a C. S).

*C

= * B + rCB x m A V B

a/+ Pa"a ω A

= −@0 k

"ad<$e-.

= − ! Bω A k + rCB i

*C

= −3+C@8 k + C+8C? k = @+?66 k $lu-')e6<$e-

b/+ Pa"a ω A

*C

= rCB i

x m AVB j

=−

4

*C

9 0+?

6

9 @0

86+6

k

+ 3+? i

x

4

9 4?

86+6

j

= 0. x m AV B j

= 3+? i

x

4 86+6

9 4?

j

= C+8C? k

$lu-')e6<$e-

ℑ

4-!.- C)e"! ca""e!e !)ene un 'e$ de 80 lb y un "ad) de -)" Q O : 3+4 ')e$+ S) $e a'l)ca una (ue"a de 40 lb a la cue"da de $'"!e en A& c# $e )nd)ca& de!e"#)ne la



___________________________________________________________________ elc)dad an-ula" del ca""e!e a l$ 8 $e- de$'u7$ de 'a"!)" del "e'$+

1

 = 4 !b*

Y

P4??@

O

%&

Solución

X

C# el #)#)en! e$!a en (unc)*n del !)e#'& u!)l)a"e#$ el '")nc)') de )#'ul$ an-ula" y can!)dad de #)#)en! an-ula"+

# !b*

P4?@a

3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P4?@a/.

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$& 'a"a un !)e#' cual1u)e"a& !#and ##en!$ cn "e$'ec! al cen!" )n$!an!%ne C).

∑M



Ci



   0  

= * C i + ρ C i ( x m aC i = * C i + r i

x m ω 6r i

=

%* C i %t

Se'a"and a")able$ e )n!e-"and& 'a"a un cue"' $)#7!")c en #)#)en! 'lan.  0 

8

∫ ∑M 0

8

∫( 0

3+? 

C i %t

= *$ C i − *$ C i

− 80 9 0+?)

8

%t

4+? 9 40 − 4? = 6+0@ ω 8

=(

80

86+6

→

0

K (6

ω8

80

+) 0+? ω ( = ) 6

= @?+?84

8

86+6

3+4

6

+ 0+? ω = 6+0@ ω 6

8

8

"ad<$e-

4-".- Re$uela el '"ble#a 4-!& $) de la cue"da en A $e cuel-a un bl1ue de 40 lb en e de a'l)ca" la (ue"a de 40 lb+ Solución



___________________________________________________________________ C# el #)#)en! e$!a en (unc)*n del !)e#'& u!)l)a"e#$ el '")nc)') de )#'ul$ an-ula" y can!)dad de #)#)en! an-ula"+ 3/+ D+C+L+5$/ 5e" ()-u"a P4?;a/.

1

 = 4 !b*



%&

O

a

P

Y

X

%&

mg mg

O

X

(a)

(b)

# !b*

()

P4?;a 5

a/

5 b/

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. a/+ Pa"a 5a/. 0

VP 8

= VP 0 + a t →

a=

VP 8 t

=

VP 8

53/

8

b/+ Pa"a 5b/& '" "da#)en!.

VP 8

= 3 +? ω

8

En 53/.

a

=

3 +? ω 8 8

= 0 +? ω 8

56/

8/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$. a/+ C%lcul del ##en! cn "e$'ec! a C)& 'a"a un !)e#' cual1u)e"a en el ca""e!e.    0  

∑M

Ci

= * C i + ρ C i ( x m aC i = * C i + r i

x m r ω 6i

= * C i =

% *C i %t

Se'a"and a")able$ e )n!e-"and& 'a"a el cue"' $)#7!")c.



___________________________________________________________________  0

8

∫ ∑M 0

4+?



Ci

%t

= *C i 8 − *C i 0 →

− 4? = 6+0@ ω

∫ (3+?  − 80 9 0+?) %t = 86+6 ( K 80

8

0

+ 0+? 6 ) ω 8

6 (

8

58/ b/+ C%lcul de T en 5a/.

mg − 

= ma →



= m ( g − a)

De 56/.



= 40 −

40 9 0 +? ω 8 86 +6

= 40 − 0+@ ω

8

54/ 54/ en 58/.

30 − 6+;D ω 8 ω8

= 6;+C8?

− 4? = 6+0@ ω 8 →

4+? ω 8

= 38?

"ad<$e-

4-#.- Una 'la!a("#a B de 33? F- de #a$a& $e #uee $b"e la$ "ueda$ den!ada$ D y E !al c# $e #ue$!"a+ S) cada "ueda !)ene una #a$a de 3? F-+ \u7 d)$!anc)a "ec""e"% la 'la!a("#a B en 0+3 $e- de$'u7$ de la a'l)cac)*n de la (ue"a de ?00 N

c# $e #ue$!"a]

ℑ

P4?

Solución

En el $)$!e#a la n)ca (ue"a 1ue '"duce !"abaj e$ la de ?00 N 5n cn$e"a!)a/& U!)l)a#$ la ("#a x al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a 'a"a de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$ de e$!a #ane"a $e at = a de B& al encn!"a"$e b!)ene la acele"ac)*n cn$!an!e 5la$ (ue"a$ 1ue ac!an en el $)$!e#a $n cn$!an!e$/ e$!e en #)#)en! de !"a$lac)*n "ec!)l2nea& b!ene#$ la d)$!anc)a "ec"")da a 'a"!)" del "e'$ de B+ x

3/+ C%lcul de la acele"ac)*n de B& '" la ("#a al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a 'a"a de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$ en el $)$!e#a+ Y + a/+ De!e"#)nac)*n de l$ de$'laa#)en!$ aG )n()n)!e$)#ale$& 'a"a un de l$ en-"anaje$ 5e" G ()-u"a P4+?a/. x/2

X Au!". In-+ + VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE>

%&


___________________________________________________________________ S).

aG

=

a 6

XG

=

X

x a t =a

= rθ

6

x

Y

+

X

=

%X G

%X 6

x/2

+

%&

= r %θ *

%X 6 r

=

%θ

aG

G

P4?a b/+ P" la ("#a al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a.

%' FNC

= %E K + %"

%E K

= ?00 %X = ∑ mi aG i ⋅ %rG i + ∑ ! G iα i %θ i

%E K

= @? a %X + 6 93? 9

%E K

= ;@+6? a %X

%'FNC

%"

= ∑ mi g

%"

=0

%,i

a %X 9

6

6

+ 69

3

a 6

9 3? 9 0+@ 9

6

6

9

0+@

%X 6 9 0+@

+ ∑ K j X j %X j

Lue-. ?00

%X

= ;@+6? a %X →

a

= @+??;4 #<$e-6

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. 0

0

X

= X 0 + X 0 t +

X

= 86+;?

3 6

a t6

=

3 6

9 @+??;4 9 0+36

= 0+086;? #

##



___________________________________________________________________ 4-$.- El elead" de la ()-u"a e$!% d)$ead 'a"a elea" un #b"e en d)"ecc)*n e"!)cal+ Un [#ecan)$# )n!e"nX en B ace 1ue el %n-ul en!"e AB y BC $ea el dble 1ue el %n-ul  en!"e BC y el $uel+ S) la #a$a !!al del 'e"a") y la cab)na e$ de 600 F- y !da$ la$ !"a$ #a$a$ $e de$'"ec)an& de!e"#)na" el ##en! M a'l)cad a BC en C y el ##en! MB en la un)*n B& "e1ue")d 'a"a da" a la cab)na una acele"ac)*n e"!)cal a$cenden!e de 3+6 #<$e-6 cuand 'a"!e del "e'$ en la '$)c)*n  : 80+

ℑ

P4?

Solución

3/+ D+S+^+ 5e" ()-u"a P4?a/.

=

sen θ

s @

s

= @ sen θ

Y

= 36 sen θ

%Y

= 36 c$ θ

%θ

P4?a

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$. 0

∑M = ∑! C

Gi

θ +

∑m a i

Gi

%i

= m 9 3+ 6

j 90 = 0

Lue-.

∑M

C

=M =0



___________________________________________________________________ 8/+ P" la ("#a al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a& 'a"a de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$ 5la$ (ue"a$ y ##en!$ )n!e"n$ '"ducen !"abaj/.

%' FNC

= %E K + %"

%' FNC

= M B ( 6 % θ ) = 6 M B %θ

5Un)d+ de ene"-2a/

%E K

= ∑ mi aG i ⋅ %rG i + ∑ ! G iα i %θ i

%E K

= m a (36 c$θ

%" %"

= ∑ mi g

%,i

%θ )

= 36 a m c$θ

%θ 5Un)d+ de ene"-2a/

+ ∑ K j X j %X j

= mg (36 c$θ %θ ) = 36mg c$θ %θ

5Un)d+ de ene"-2a/

Lue-.

6 M B %θ

MB

= 36 a m c$ θ

= @ m c$θ ( a + g )

En 53/& 'a"a a

= 3+6

%θ

+ 36 mg c$ θ

%θ

5un)d#e+#en!/

#<$e-6 y θ

5 3/

= 80 ° .

MB

= @ 9 600 9 c$ 80°(3+6 + D&3) = 33 443+D8

MB

= 33+44

N#

>

QN#

4-!%.- El bl 1uec)! de #a$a m $e de$l)a '" la

"anu"a d)a#e!"al l)$a del d)$c& el cual -)"a l)b"e#en!e en $u cj)ne!e+ S) el bl1uec)! $e de$'laa un 'c de$de la '$)c)*n cen!"al cuand la elc)dad del d)$c e$ Y 0& alla" $u elc)dad "ad)al VZ en (unc)*n de la d)$!anc)a "ad)al "+ El ##en! de )ne"c)a del d)$c "e$'ec! a $u eje de "!ac)*n e$ I0+

ℑ Solución

P4@0

C# n ay (ue"a$ 1ue '"ducen !"abaj& la ene"-2a c)n7!)ca $e cn$e"a ade#%$ el ##en! cn "e$'ec! al eje e"!)cal e$ nul& '" l 1ue $e cn$e"a la can!)dad de #)#)en! an-ula"+ 3/+ P" cn$e"ac)*n de la can!)dad de #)#)en! an-ula".



___________________________________________________________________

( ∑ *)($( i = ) ∑ * ($ ! (ω(

=

ω

f

= ! (ω + m r Vθ = ! (ω + m r 6ω !(

!(

+ m r6

ω(

5un)d+ de elc)dad an-ula"/

6/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a c)n7!)ca.

EK 3

=

EK 3

=

EK 6

=

EK 6 3 6

! ( ω(6 5Un)d+ de ene"-2a/

3 ! (ω 6 6

+

[

3 m V ρ6 6

]

+ ( r ω) 6 =

(

3 6 ω !( 6

+ m r6) +

3 m Vρ6 5Un)d+ de ene"-2a/ 6

Lue-.

3 6

! (ω (6

=

3 6

( ) +mr

ω 6 !(

6

+

3 6

m V ρ6

 ! 3 =  ( ) ( 6 ω (  6  !( + m r 

3

6

9 !(

Vρ

6 ! 6  ! (6 + ! ( m r 6 − ! (6  !( = ω(  ( − = ω  (  6  6  m m ( ! ( +) m r  ( ) m ! ( + m r 

Vρ

= ω( r

!( !(

+ m r6

+ m r6 +

3 6

m Vρ6

3 6


4-!1.- La ()-u"a #ue$!"a la 'la!a("#a #*)l A de lana#)en! del Sa!u"n V jun! a la !""e u#b)l)cal B& el ce!e $)n c#bu$!)ble C y el !"an$'"!ad" de "u-a D 1ue llea al $)$!e#a al lu-a" de lana#)en!+ Se dan la$ d)#en$)ne$ a'",)#ada$ de la$ e$!"uc!u"a$ y la$ '$)c)ne$ de l$ cen!"$ de #a$a$ G )+ La$ #a$a$ a'",)#ada$ $n. mA : 8 G-& mB : 8+8 G-& mC : 0+68 G- y mD : 8 G-+ La d)$!anc)a #2n)#a nece$a")a 'a"a 'a"a"$e de$de la cele")dad #%,)#a de 3+? F#<" e$ 0+3 #+ Calcula" la c#'nen!e e"!)cal de la "eacc)*n baj



___________________________________________________________________ el !"en "u-a delan!e" ^ du"an!e el 'e"2 d de de$acele"ac)*n #%,)#a+

P4@3 Solución

Td el $)$!e#a !)ene #)#)en! de !"a$lac)*n+ 3/+ D+S+^+ 5e" ()-u"a P4@3a/

B


G6 C #B-

V f6

G8

a=

64#

(3?008@00) 6 9 0+3

;6#

#C-

??+?#

= V06 − 6 a e →

a=

V06 6e

6

= 0+C@C m < seg 6


∑M

E

= ∑ mi a G i %

3

#AG3 #D- A D G4 ^ 4+# E

+@# NE

@#

L+R+

a/+ C%lcul del ##en! "e$'ec! a E.

N^

38+?# 38+?#

P4@3a a/+ C%lcul del ##en! "e$'ec! a E.

∑M ∑M

= g 9 30 @ ( @ 9 8 + 64 9 8+8 + 38 +4 9 8) − 6; E = 38?0+C84 x30 − 6; N F

E

@

NF 53/



___________________________________________________________________ b/+ C%lcul del ##en! )ne"c)al "e$'ec! a E.

∑m a i

Gi

∑m a i

%i

= −a ( 8 9 D+@ + 8+8 9 ;+6 + 0+68 9 ??+? + 8 9 4+C) x30

%i

= −6?4+C34 x30

Gi

@

@

a

56/

53/ : 56/.

38?0+84 x30 @ NF

− 6; N F = −6?4+34 x30 @

= ?D+4@D x30 @

N

N F ≅ ?D+? MN 4-!2.- El 'e1ue en-"anaje $e ace "!a" en un 'lan ")n!al al"eded" del en-"anaje -"ande #ed)an!e el 'a" de ##en! M a'l)cad al b"a OA+ El en-"anaje 'e1ue !)ene una #a$a de 8 F- y 'uede !"a!a"$e c# $) (ue"a un d)$c+ El b"a OA de 6 F- !)ene un "ad) de -)" de 3?0 ## "e$'ec! al cj)ne!e ()j en O+ =alla" el ##en! M del 'a" cn$!an!e nece$a") 'a"a d!a" al b"a OA de una elc)dad an-ula" de 60 "ad<$e- en 8 $ea 'a"!)" del "e'$+ Se de$'"ec)a el "a#)en!+ Solución

P" el '")nc)') de )#'ul$ an-ula" y ##en!u# an-ula"& "e$'ec! al eje 'e"'end)cula" al 'lan y 1ue 'a$e '" O+ 8

∫M 0

0

%t

= ( ∑ *) ( 0

f

−)

∑*

0

P4@6 53/

i

3/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. S).

= ω r = 0+0;? ω  0+66? ω = ω → ω = 8 ω V = ω r = 0+66? ω  0+0;? VA

D

D

A

(A

(A

D

(A

D

(A

6/+ En 53/.



___________________________________________________________________ D

S). * (

= * G + rG x m VG

En 53/. 8

∫ M %t = ( * 0

8M 8

M

M

D (

3 + * ((A ) f =  m D r 6 9 8 ω (A + 0+66? 9 m D 9 0+66? ω (A  + m B K (6 6 

ω (A

=  9 0+0;? 6 + 0+66? 6  9 8 9 60 + 6 9 0+3? 6 9 60 6  8

= 8+?44 + 0+D

= 3+4C3 N#

4-!3.- El $e#)c)l)nd" #ac) #-7ne $e $uel!a en "e'$ de$de la '$)c)*n "e'"e$en!ada+ S) el "a#)en! ba$!a 'a"a 1ue n aya de$l)a#)en!& alla" la elc)dad an-ula" #%,)#a Y 1ue alcana el $*l)d '" la $u'e"()c)e ")n!al+ Solución

C# la n)ca (ue"a 1ue '"d uce !"abaj e$ el 'e$& la ene"-2a #ec%n)ca $e cn$e"a+ 3/+ D)a-"a#a del e$!ad )n)c)al y !" e$!ad cual1u)e"a.

ℑ

P4@8

4r 8π

4r 8π L+R+

O

 4r  c$ θ    8π 

O

 4r  c$ β  8π 

G

G

P4@8a C)

C)




___________________________________________________________________ "3

= −m =

"β

4

g

r

8π

c$ θ

y

Ek3

=0

c$ β

y

Ek β

=

r −m g 8π 4

3 ! C iω 6 6

O

a/+ C%lcul del ! C i 5e" ()-u"a '8@8b/.

4r

 4r  r   = m  3 r −  4   = ! − m  π 8 6    8 π    6

8π

!C i

G

"

6

6

S). % d

!C i

P4@8b 6

!C i

3 =  6

!C i

 = m  6 8

6

6

0

4r 4r = r +  8 π  − 6 r  8 π 

6

6

c$ β

y

= !G + m % 6

  4r        + m r +  4 r  − 6 r  4 r  c$ β  − m  8 π 8 π 8 π         

m r6 C)

6

6

r6

−

 r6 8π

  c$ β

b/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a #ec%n)ca. "3

= " β + Ek β 4

−m

g

m g

8π

4

r

8π

r

c$ θ

= −m

c$

(

g

4

−

c$ β

3

c$

β

r

8π

θ)

=

6

+

3 6

! C iω 6

6

! C iω

53/

S) Y e$ #%,)# cuand c$  : 3& en 53/ $e !)ene.

mg

4

r

8π

 

) (θ 3@ g (3 − c$ ω #a,

=4

6

 

(3 − c$θ ) = 3 m  8 r − C r  ω 6 6 8π

= r)

Dπ

g (3 − c$ θ ) ( D π − 3@ ) r

− 3@

6

6 #a,

6 ω #a,

= 3+346

g (3 − c$ θ ) 5Un)dade$ de elc)dad an-ula"/ r



___________________________________________________________________ 4-!4.- El ca""e!e y el ala#b"e en"edad al"eded" de $u eje !)enen una #a$a de 60 F- y un "ad) de -)" cen!")dal de Q G : 6?0 ##+ S) el ce()c)en!e de (")cc)*n en el $uel e$  B : 0+3+ U$and el #7!d de la ("#a al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca& 'a"a de$'laa#)e n!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$& de!e"#)n7 la acele"ac)*n del ca""e!e cuand $e a'l)ca un 'a" de 800 N#+ Solución

P4@4

L$ n)c$ 1ue '"ducen !"abaj $n. el ##en! y la (ue"a de (")cc)*n en B 1ue $n n cn$e"a!)$+

3/+ D+C+L+ y "elac)*n de l$ de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$ 5e" ()-u"a P4@4a/.

y

,

C)

T

M

XG

=rθ →

%X G

X XG

=

0+@ 0+6

X

%X

= 8 %X G = 8 r %θ

aG

= 0+6 α

G OG

→

= r %θ

= 8 XG

#(

P4@4a

i

O N

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$+ Pa"a calcula" la (ue"a de (")cc)*n en B 5ay de$l)a#)en!/.

∑F

Y

=0 →

N

= mg = 60 g →

f

= µ B N = 0+3 9 0+6 g = 6 g

8/+ P" la ("#a al!e"na!)a del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca& 'a"a de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$.

%' NC

= %Ek + %"

Dnde.

%'NC

%Ek

= 80 %θ − 6 g 9 8 9 0+6 %θ = 3C+66C %θ

= ∑ m i aG i ⋅ %

rG i

+ ∑ ! G iα

%θ

= mα

r 6 %θ

+ m K G6 α

%θ



___________________________________________________________________ %Ek

= 60 α (0+6 6 + 0+6? 6

%"

=0

%θ

= 6+0? α

%θ

Lue-. 3C +66C

%θ

= +D6

α

= 6+0? α

%θ

"ad<$e-6

4-!.#$!" ad en la 1ue ()-u"a una #a$a mEly d)$c un "ad) r+ De#ue$!"e en !)ene el )n$!an!e en 1ue $e c"!a la cue"da de la de"eca la !en$)*n en la !"a cue"da ca#b)a a 56
g+

y T

A

, M " 80I C

P4@? Solución

3/+ D+C+L+ 5en el )n$!an!e del c"!e/& e" ()-u"a P8@?a. P4@?a (

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$& en el )n$!an!e del c"!e& dnde Y :0.

aA

== a A

aC

= aA − α

aC

= −( a A + α

i k x rAC

= −a Ai − α

r sen80  ) i

−α

k xr

( c$ 80L i − sen80L j )

r c$ 80  j

8/+ "elac)ne$ c)n7!)ca$.

∑F

X

= m aC X →

0 = −m ( a A

+α

r sen80 )

→

aA

=−

αr 6

53/



___________________________________________________________________

∑F

= m aC Y →

Y

∑M

= ! Cα

C

− mg = − m α



→ −

r c$ 80 =

r c$ 80 

3 m r 6α 6

→

56/



=

mr 8

α

58/

58/ en 56/.

mr

α − mg 8 Lue-.

= −m α

aC

g 6 8 r = −  r  ? 

aC

=8g ↓ ?

8 6

r

8

→

j

6

=−

α

8 ?

g 6 8   r  ? 

=

54/

g j 5Un)dade$ de acele"ac)*n/

5Un)dade$ de acele"ac)*n/ l11d

En 58/. 

=

mr

9

g6 r

8

 

8 ?

  = 

6

mg 5Un)dade$ de (ue"a/ l11d

?

En 53/. aA

g 6 8  = −  r  ? 

aA

=

8 g ?

→

r 6

=−

8 ?

g

5Un)dade$ de acele"ac)*n/ l11d

+ 4-!!+ Se #ue$!"a un an)ll $'"!ad '" un cable AB y una $u'e"()c)e $uae 5l)$a/+ El an)ll !)ene una #a$a de 30 F- y un "ad) #ed) de 6 #+ Un cue"' D 1ue !)ene una #a$a de 8 F- e$!% ()j al an)ll !al c# $e #ue$!"a+ S) $e c"!a el cable \Cu%l $e"% la acele"ac)*n del cue"' D]

D

P " 3?I



G

80I

#D-

P4@@ aD

" O N

80I

#-

aD



___________________________________________________________________ Solución

El $)$!e#a $e #e"% en !"a$lac)*n 3/+ D+S+^+ 5e" ()-u"a P4@@a/. P4@@a 6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

∑

1

M(

= ∑ ! 0α + ∑ mi ai % i

mg r c$ 80 + mg r ( c$ 80 +)c$ 4?

= m( a D)r + m D a D r 3 + c$3?

30 9 D+3 c$ 80  +8 9 D+3 9 3+?;8 = a D (30 + 8 9 3+D@@ ) aD

= +6?@

aD

= C+6?@ ( c$ @0L i − sen@0L j )

aD

= 4+36C

#<$e-6 5@0

i

− ;+3?

/

j 5#<$e-6/

4-!".- D$ ba""a$ #-7n ea$ e$!%n cnec!ada$ '" un 'e"n en B+ La ba""a $u'e")" e$!% un)da #ed)an!e un 'e"n al clla"2n de$l)an!e en A+ El clla"2n !)ene una acele"ac)*n cn$!an!e de +0? ')e<$e- 6 a la de"eca+ De!e"#)ne l$ %n-ul$  3 y 6& $u'n)end 1ue n aya $c)lac)*n 5e$ dec)" l$ %n-ul$ $n cn$!an!e$/+ Solución

Td l$ cue"'$ e$!%n en #)#)en! de !"a$lac)*n+ P4@; 3/+ D+S+^+5ba""a BA y clla"2n A/ y D+C+L+5CB/.

RBP

R ( A #a-

RBO

P O

B

θ2

θ1

#3C #3 RBO

B Au!". In-+ VICTOR MANUEL MENAC=O LOPE>

RBP


___________________________________________________________________

P4@;a 5 a/ 6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$.

5 b/

En 5b/.

=m

F

∑ ∑F

∑M

B

=

a g

m6 g 9

= +0? = 0+6? → 86 +6

lb

D senθ 6 36 θ6

9 +0? = 6+6? lb

86+6

6

= m6 g = D

RB Y

= m6 a % 6 →

D

=m a=

R B X

==0 →

Y

tg θ 6

→

a 6

X

= m6 a 9

D c$ θ 6 36

= 34+08@ 

En 5a/.

∑M m3 g 9

A

=m

senθ3

tgθ3

aG 3 %3

36 senθ3 36

36 9 sen θ3 80

3

+ RB Y

9

64 senθ 6 36

− RB X

9

64 c$ θ 6 36

+ D 9 6 senθ 6 − 6+6? 9 6 c$ θ 6 = = ;+? c$ θ

= 0+6? →

θ3

= m3 a 9 36 c$ θ3 36

36 9 +0? 9 c$ θ 3 86+6

3

= 34+08@

4-!#.- Un c)l)nd" e$calnad !)ene un$ "ad)$ de @00 ## el 'e1ue y 3+8 # el -"ande+ Un bl1ue "ec!an-ula" A 1ue 'e$a 66? N e$!% $ldad al c)l)nd" en el 'un! B+ La cn$!an!e del #uelle Q e$ de 0+3 N<##+ S) el $)$!e#a$ $e $uel!a a 'a"!)" de una cn()-u"ac)*n en "e'$+ \Cu%l $e"% la elc)dad an-ula" del c)l)nd" de$'u7$ de abe" -)"ad 0] El "ad)



___________________________________________________________________ de -)" del c)l)nd" e$cal nad e$ de 3 # y $u #a$a e$ de 8@ F-+ En la '$)c)*n 1ue $e #ue$!"a el #uelle n e$!% de("#ad+ P4@ Solución

La$ n)ca$ (ue"a$ 1ue '"ducen !"abaj $n cn$e"a!)a$& '" l 1ue la ene"-2a #ec%n)ca $e cn$e"a+ 3/+ G"a()c de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal. 0+?# G3

A 3+4?#

3+4?#

0+?# O

O

0+?#

L+R+

3+?84# G3 A

P4@a Pa"a el "e$"!e. δ)3

=0

δ) 6

=

π 6

r 5ay en"lla#)en!/


Ek 3

=0

"g3

= mA g

" e3

=0

Ek 6

=

Ek 6

= 3 9 8@ 936 ω 6 + 3 9 66? 9 (3+?84 ω ) 6 + 3 9

,A

3 ! 0ω 6 6

6

= 66? 9 3+D? = 48C+;?



+ 3 m AVG6 6 + 3 ! G Aω 6 6

6

6

D+3

3 66? 9 ( 0+ 8 6 6 36 D+3

+ 36 ) ω 6 = 4@+06; ω 6





___________________________________________________________________ "g6

=0

"e 6

=

3

6

9 3C0 9

6

 π 9 0+@  = ;D+D4   6 

j

Lue-.

EM 3

= EM 6

48C +;?

ω

= 4@+06; ω + ;D+D4

= 6+;D6

6

A

"ad<$e-

4-!$.- Una 'laca A 1ue 'e$a 6QN $e #uee $b"e d$ "d)ll$ de ?0 F- de #a$a cada un y 1ue !)enen un "ad) de -)" de 600 ##+ S) el $)$!e#a 'a"!e del "e'$ \u7 (ue"a cn$!an!e #2n)#a T $e nece$)!a 'a"a e)!a" 1ue la 'laca $u'e"e la elc)dad de 8 #<$e-& 4 $e- de$'u7$ de c#ena" a baja"] N ay de$l)a#)en!+

P?@

Solución

C# !da la$ (ue"a$ 1ue ac!an en el $)$!e#a $n cn$!an!e$& la acele"ac) *n 1ue ac!a en l$ cen!"$ de #a$a $e"%n cn$!an!e$& lue- u!)l)and el #7!d al!e"na!) de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca 'a"a de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$+ 3/+ Relac)*n de l$ de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ 5en un de l$ "d)ll$/ y "elac)ne$ c)ne#%!)ca$. A

A

XA XG XG

OG G

P4@a

=

6r

r

→

XG

=α

=

VA

= a At = 4 a A ≤

aA

= 0+;?

r

→

r

aG

6

→

6 %X G

= r θ → %θ = aA

XA

=

α

=

=

%X G

=

%X A 6

%X A 6r

aA 6r

8 #<$e-

#<$e-6 5T#and la elc)dad l)#)!e/



___________________________________________________________________

6/+ P" el #7!d al!e"na!)& 'a"a de$'laa#)en!$ )n()n)!e$)#ale$ "eale$ en el $)$!e#a.

%'NC

= ∑ mi aG i ⋅ %rG i + ∑ ! G i

α i %θ i

+ ∑ mi g

,i

Dnde.

= −

%'NC

ma

∑

i

%r Gi

∑m a i

∑!

Gi

%X A

Gi

⋅

=

A

A

A

+

D

aA 6

9

%X A

6000

6

D+3

=

9 0+;? %X

?0 9 0+;? A

%X A 6

+

⋅ %r G i = 3;3+@@ %X A

α i %θ i

∑ m g %, i

6m 9

m a %X Gi

i

= 6 9 ?0 9 0+6 6 9

a A %X A 9 6r 6r

= 36 %X A

= −6000 9 %X A sen80 −6 9 ?0 9 D+3 9

%X A sen80  = −364?+6? %X A 6

Lue-.

− 

%X A

= 3;3+@@ %X A + 36 %X A − 364? +6? %X A

= 30@3+?D

N

4-"%.- Un cable 'a$a al"eded" de d$ 'lea$+ Se a'l)ca una (ue"a T en el e,!"e# G del cable+ Cada 'lea !)ene una #a$a de 6+? F- y un "ad) de -)" de 300 ##+ El d)%#e!" de la$ 'lea$ e$ de 800 ##+ Un cue"' C de ?0 Q- de #a$a e$!% $'"!ad #ed)an!e la 'lea B+ Su$'end)d de C ay  !" cue"' D de 36+? F- de #a$a+ El cue"' D $e deja baja" de$de el cue"' C cn una acele"ac)*n de 3+? #<$e- 6 "e$'ec! a C \u7 (ue"a T $e nece$)!a"% a'l)ca" en!nce$ 'a"a !)"a" del cable ac)a abaj en el 'un! G cn una acele"ac)*n de 3+? #<$e-6] Solución

3/+ D+C+L+ 5$/& e" ()-u"a$ P?;a.

P4;0



___________________________________________________________________

5 a/

5 b/

5 c/

5 d/

6/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$. a/+ Pa"a el cue"' B.

aG

3G X

39 r

Y

=

aE

9

r

Ci

6r

r

aG

= 3+?

aE

=

3+? 6

→

aG

= 6 aE = 6 r α

#<$e-6

= 0+;? #<$e-6

B

α

P4;0a

= 30++?8 = ?

"ad<$e-6

b/+ Pa"a la cn()-u"ac)*n.

aE

= a C = 0+;?

aD

= aC + aC = 0+;? j − 3+? j = −0+;?

#<$e-6 c/+ Pa"a el cue"' D.

D

j

5#<$e-6/

8/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$. a/+Pa"a 5d/.

− m D g + 8 = −m D a D →

8

= 36+? ( D+3 − 0+;?) = 338+6?

N



___________________________________________________________________ b/+ Pa"a 5c/.

6

− mC g − 8 = mC aC →

6

= ?0 ( D+3 + 0+;?) + 338+6? = @43+6? N

c/+ Pa"a 5b/& !#and ##en!$ en C ).

∑M

Ci

 M ( 6) (r 6 M

= ∑ m i aG i % i + ∑ ! G i

−

mB) g + 6 r

6+? 9 D+3

=

∑M

0

= ! 0α A

αi

= mB a E r + ! Eα

@43 +6?

6+? 9 0+;?

+ + + → (  M− ) r = −m A K 06



= 884 +646 + 6+? 9



= 88?+D3

6 − ? 9 0 +36

9?

0+3?

aG r

= −m A K 06

 M

→

6rα

884 +646 N

=

r

0+36 9 6 9? 0+3?

N

4-"1.- El en$a#blaje cn$!a de una ba""a del-ada AC de ? lb un)da '" el 'e"n a un d)$c de 36 lb y un "e$"!e BD. S) la a")lla e$ lleada a la '$)c)*n ")n!al : 0 y el d)$c e$ ec a -)"a" en $en!)d cn!"a") al de la$ #anec)lla$ del "elj a 8 "ad<$e- 5cn$!an!e/ cuand la ba""a e$ $l!ada del "e'$& de!e"#)ne la elc)dad an-ula" de la ba""a en el )n$!an!e  : 0+ El "e$"!e !)ene una ln-)!ud n e$!)"ada de 3 ')e+

P4;3 Solución

C# en el $)$!e#a la$ n)ca$ (ue"a$ 1ue '"ducen !"abaj $n cn$e"a!)a$& la ene"-2a c)n7!)ca $e cn$e"a+ 3/+ G"a()c del $)$!e#a en $u '$)c)*n )n)c)al y ()nal 5e" ()-u"a P4;3a/.

δ3

=8

δ6

= (6

P4;3a

')e$ 5de("#ac)*n del "e$"!e/

6

− 3) = 3+6

')e$




___________________________________________________________________

= EM 6

EM 3

+0D86    0   

 0 

Ek3

= Ek3 ℜ + Ek3 AC =

3 6

6

! C ωℜ

=

3

36 3 6 9 9 93 9 86 6 86+6 6

= 0+8D

lb')e

Dnde.

" g3

=0 3 6 6Kδ

30 6 6 98

" e3

=

Ek 6

3 3 = Ek 6 ℜ + Ek 6 AC =  mℜVC6 6 + 6 6

Ek 6

3 ) =  mℜ ( 4 ω) AC 6 +( 0+0D86 6

Ek 6

=

Ek 6

6 = 8+4 ω AC + 0+??D ω AC + 0+8D

"g6

= −mℜ g ,C − m AC g ,B = −(36 9 4 + ? + 6) = −?

"e6

= 36

=

= 4?

3 36 6 9 9 3@ ω AC 6 86 +6

K δ6

lb')e

  3 m V 6 + 3 ! ω6  AC B B AC  6  6 

! C ω ℜ6 6  + 

8 + ω AC

6

+3! 6  6 C i AC ω AC

6 + 0+0D86 ( D + ω AC + @ ω AC ) + 3 9

6

9 3+6 6 = 3@+;3 = 30 6

? 46 6 ω AC 9 86 +6 8

lb')e

lb')e

Lue-. 6 0+8D + 4? = 8+4 ω AC

6 8+4 ω AC

ω AC

=

ω AC 3

+ 0+??D ω AC + 0+8D − ? + 3@+;3

+ 0+??D ω AC − @ +6D = 0

− 0+??D ±

= 4+CD4

0+??D

6

+ 4 9 C@+6D 9 8+4CC

6 9 8+4CC

"ad<$e- 5buen/ y ω AC 6

= −0+0C ± 4+D;4

= −?+0??

"ad<$e- 5#al& '" 1ue el %n-ul au#en!a/



___________________________________________________________________ ω AC

= 4+CD4

"ad<$e-

4-"2.- El c)l)nd" ℜ en la ()-u"a cn cua!" a-uje"$ -)"a a 600 "'# )n)c)al#en!e+ Se clca en la '$)c)*n #$!"ada un c)l)nd" ℘ un)("#e de 300 lb y la (")cc)*n '"duce un ##en! de ("enad 1ue de!end"% a ℜ+ El ce()c)en!e de (")cc)*n  e$ 3<8 y an!e$ de 1ue $e )c)e"an l$ a-uje"$& el cue"' un)("#e ℜ 'e$aba 600 lb+ Pa"a cual1u)e" $en!)d de "! ac)*n de ℜ "e$ul!a un ("enaje "%')d calcule el !)e#' de ("enad+ Solución

'l-

℘

ℜ



3/+ D+C+L+ 5e" ()-u"a P4;6a/



P4;6a Ay

N

W

( A Ax

Cy

%.25 pi+

C

C WR

f

Cx

N

+ℜ

C,

%.5 pi+

%.6 pi+

P4;6a

5 a/

5 b/

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$. S). f

=µ

N

=

3 8

N

a/+ Pa"a 5a/.

∑M

A

=0 →

6 8

9N

3

3

6

4

− w9 +

9f

=0 →

N

=

4 ?

9 ?0 = @@+@; lb



___________________________________________________________________ Lue-. f

= 66+66

lb

b/+ Pa"a 5b/.

∑M

C

! C θ

=

53/

)/+ c%lcul del IC del c)l)nd" ℜ.

=

!C

mw R 6 6

 m r6  − 4  , + m , % 6   6 

Dnde. @+63

600

mw

=

m,

=ρπ

86+6

=ρπ

→ ρ = 8+?3

R6

$lu-<')e6

6

r6

= 8+?3 9 π 9  6  = 0+80@  36 

$lu-<')e6

Lue-.

!C

=

( )

@+63 9 D 36 6

6

 0+80@ 9 ( 6 ) 6 6 36 + 0+80@ 9  ?   = 3+?3; −4     6  36    

$lu-')e6

En 53/.

− 66+66 9

D

= 3+?3; θ →

θ = −30+DD "ad<$e-6 5cn$!an!e/

36 S)

θ

%θ %t

= θ

→

= θ0 − 30+DD t

θ

∫

θ0

→

%θ

t

t

= ∫0 θ %t = ∫0 − 30+DD %t

θ

= 600 9

π 80

− 30+DD t = 60+D4 − 30+DD t

56/

8/+ C%lcul del !)e#' del ("enaje. Se de!)ene el c)l)nd"& $) θ = 0 & lue- en 56/. 0

= 60+D4 − 30+DD t

H

t

=

60+D4 30+DD

= 3+D

$e-



___________________________________________________________________ 4-"3.- Un c)l)nd" uec e$!% a 'un! de baja" '" un 'lan )ncl)nad !)"and del bl1ue B& 'a"!)end del "e'$+ =alla" la elc)dad an-ula" del c)l)nd" 1ue "ueda& de$'u7$ de abe" "ec"")d 0+? #+ U!)l)a" l$ $)-u)en!e$ da!$. R A 5e,!e")"/: 6+? #& RA 5)n!e")"/: 3 #& MA : 300 F- y M B : 80 F-+ El c"d*n e$ del-ad y e$!% en"llad al"eded" del c)l)nd" A+ La ene"-2a c)n7!)ca del c)l)nd" c#'ue$! deb)d a la "!ac)*n al"eded" de $u '"') eje )ene dad '" 0+ ece$ la del c)l)nd" $*l)d e,!e")" de "ad) " : 6+? #+

B 0+?

P4;8 Solución

P" el #7!d al!e"na!) del '")nc)') de !"abaj y ene"-2a c)n7!)ca en el $)$!e#a+ 3/+ G"a()c de la '$)c)*n )n)c)al y ()nal del $)$!e#a 5e" ()-u"a P4+;8a/.

P4;8a 6/+ C%lcul de la ene"-2a c)n7!)ca del c)l)nd" y del cue"' B en la '$)c)*n ()nal+ a/+ C%lcul de la ene"-2a c)n7!)ca del c)l)nd" uec 5e" $)$!e#a de 'a"!2cula$/.

Ek ℜ

= 3 mℜVG6 6 + 0+ 9  3 ∑ mi ρ 6i  = 3 mℜ ( ω R ) 6 + 0+ 9  3 mℜ R 6ω 6  6 6  6 4 

Ek ℜ

= mℜ R 6ω 6 ( 0+? + 0+6 ) = 300 9 6+? 6 9 0+; ω 6 = 48;+? ω 6



b/+ C%lcul de la ene"-2a c)n7!)ca del cue"' B en la '$)c)*n ()nal.

Ek B

= 3 m BV B6 = 3 m B ( 6 R ω ) 6 = 6 9 80 9 6+? 6 ω 6 = 8;? ω 6 6

6





___________________________________________________________________ c/+ C%lcul de la ene"-2a c)n7!)ca del $)$!e#a.

Ek

= Ek ℜ + Ek B = C36+? ω 6

8/+ C%lcul de la ene"-2a '!enc)al en l$ d$ e$!ad$.

"3

= mℜ g ,G 3 + m B g

"3

= 6;30 +3 + 6D4 +8 ,

"6

= mB g

,B 6

,B 3

= 300 9 D+3 9 6+@@ + 80 9 D+3 9 ( 0+846 + , )

= 80 9 D+C3 , = 6D4+8 ,

4/+ C%lcul de la (ue"a de (")cc)*n de B.

Y

a/+ D+C+L+ de B 5e" ()-u"a P4;8b/.

& 3( 2%:


∑F

Y

=0 →

Lue- f

X

m B g c$ 60  = N

→

N

= 6;@+??

= µ % N = 0+? 9 6;@ +?? = 38 +6;?

f

N

$

N

?/+ P" el #7!d al!e"na!).

'NC

= EM − EM 6

N P4;8b

3

− 38 +6;? 9 3 = (36 +? ω 6 + 6D4 +8 , ) − ( 6;30 +3 + 6D4 +8 , ) 6?;3 +C6?

= C36 +? ω

6

ω = 3+;C "ad<$e4-"4.- La ba""a AB $e $uel!a en la cn()-u"ac)*n 1ue $e #ue$!"a \Cu%le$ $e"%n la$ (ue"a$ de $'"!e en e$e )n$!an!e& $) de$'"ec)a#$ el "a#)en!] La ba""a 'e$a 00 N y !)ene @ # de ln-)!ud+ Solución



___________________________________________________________________ 3/+ Relac)ne$ c)ne#%!)ca$+ De!e"#)nac)*n del cen!" )n$!an!%ne de acele"ac)*n nul y c%lcul$ ele#en!ale$ 5e" ()-u"a P4;4a/. P4;4a P" la ley de $en$.

@ sen ;?  C A

=

Ca A sen 4?

=

Ca B sen @0 

4+8D6

a

= C a B = ?+8;D

# #

P" el !e"e#a de la #ed)ana. P4;4a

+ Ca B 6 = 6 Ca G 6 +

Ca A6

4+8D6 6



Ca G

AB 6 6

+ ?+8;D 6 = 6 C a G 6 +

= 8+CC;

8@ 6

#



P" ley de $en$. ?+8;D

sen β senβ

φ P4;4b

%

= 8+; c$ @+;@  = 0+66

=

8+CC;

sen 4? L

= 0+D;D → β = 303+;@L

= 303+;@L −3?L = C@+;@L

6/+ D+C+L+ de la ba""a 5e" ()-u"a P4 ;4b/.

#


∑M

Ca

= ! C aα →

D00 %

=  m 6 + m C a G 6  α  36  3



___________________________________________________________________ D00 9 0+66 =

D00  3   9 8@ + 8+; 6  α D+3  36 

→

α

= 0+33D

"ad<$e-6

Lue-. aG

=α

aG

= 0+4@6 i − 0+06@

∑F

Y

k x rC a G

= 0+33D k

= m aG X →

x

8+CC;

( − c$ C@+;@L i − senC@+;@L j )

j 5#<$e-6/

N A 9 sen 4?  + N B sen @0  − mg

= − D00

9 0+06@

53/

D+3

∑F

X

= m aG Y →

N B 9 c$ 4? − N B c$ @0  =

D00 9 0+4@6 D+3

56/

53/  56/.

− N B ( sen @0  + c$ ) @0  ( + D00 )= NB

= @6@+0;

D00 0+06@ + 0+4@6 D+3

N

En 56/. 6

− @6@+0; 9 c$ @0L =

NA

9

NA

= 83; +6;

6

D00

9 0+4@6

D+C3

N

4-".- Un !ub AB de 3+@ F- 'uede de$l)a" l)b"e#en!e $b"e la ba""a DE& 1ue 'uede -)"a" l)b"e#en!e en un 'lan ")n!al y el !ub $e #an!)ene en $u '$)c)*n #ed)an!e una cue"da+ La "a')de an-ula" c"ece a$!a 1ue $e "#'e la cue"da 5$u "e$)$!enc)a a la !en$)*n e$ de ?0 N/ y en e$e )n$!an!e el ##en! e,!e"n deja de ac!ua"+ De!e"#)ne la elc)dad an-ula" de la ba""a DE y la elc)dad del cen!" de #a$a de AB cuand e$!e -l'ee a E+ S) el ##en! de )ne"c)a de #a$a de la

G



___________________________________________________________________ ba""a y la #en$ula "e$'ec! al eje de "!ac)*n e"!)cal e$ de 0+80 F-# 6 y el ##en! cen!"al de )ne"c)a del !ub "e$'ec! al eje e"!)cal de "!ac)*n e$ de 0+006? F-#6+ Solución

3/+ D+C+L+ del !ub AB 5e" ()-u"a P4;?a/. P4;?

P4;?a

6/+ Relac)ne$ c)n7!)ca$+ a/+ La cue"da '"'"c)na la (ue"a n"#al& 1ue cu$a la acele"ac)*n n"#al 5ac)a el )n!e")"/ a$!a 1ue $e "#'e+ Pa"a e$e )n$!an!e $e calcula la elc)dad an-ula" de DE.

∑F

n

ω3

= m aG n →

= 66 +8@



= m 3ω36 →

?0 = 3+@ 9

0+36? 6

9 ω36

"ad<$e-

b/+ Cuand la cue"da $e "#'e en el ! 3& el !ub AB $e de$'laa ac)a (ue"a ade#%$ de -)"a" cn DE+ En!"e el !)e#' !3 y !6 5cuand cca/& !ene#$ l $)-u)en!e 'a"a el $)$!e#a. )/+ Cn$e"ac)*n de la can!)dad de #)#)en! an-ula" = 0 "e$'ec! al eje e"!)cal& '" 1ue n ay (ue"a$ 1ue '"ducan ##en!$ cn "e$'ec! a e$e eje+ ))/+ Cn$e"ac)*n de la ene"-2a c)n7!)ca+ P" cn$e"ac)*n de la can!)dad de #)#)en! an-ula". *0i

=*

! 0AB ω3

0

f

+ ! 0DE ω3 = ! 0DE ω 6 + * 0AB6

Dnde.



___________________________________________________________________

* 0AB6

 r = * GAB6 + ( r0G x m VG 6 ) = ! GABω 6 +  r(E − AB  i 6   

 $

x m VG 

Lue-.

! 0ABω3 + ! 0DE ω3

[( !

AB G

 r = ! 0DE ω 6 + ! GABω 6 +  r(E − AB  i 6  

r + m 9 0+0@6?6 ) + ! (DE ] ω3 = ! 0DEω 6 + ! GAB +  r(E − AB  m ω 6 6  

(

66+8@ 0+006? + @+6? x30 −8 ω6

 $

x m VG 

= ;+@?

+ 0+8) = ω 6 50+8 + 0+006? + 0+8;? 93+@/

"ad<$e-

8/+ C%lcul de la elc)dad de c1ue de AB. a/+ La c#'nen!e !"an$e"$al de 'un! B e$.

Vθ 6

=ω

6

r

= ;+@? 9 0+8;? = 6+C;

#<$e-

b/+ P" cn$e"ac)*n de la ene"-2a c)n7!)ca.

Ek3

= 3 ! 0DE ω36 + 3 m (Vθ63 ) + 3 ! GAB ω36

Ek3

=

Ek 3

= ;; +38

Ek 6

= 0+3? 9 ;+@? 6 + 3 9 3+@ (V ρ6 6 + ( 0+8;? 9 ;+@? ) 6 ) + 3 9 0+006? 9 ;+@? 6

Ek 6

= 0+C V ρ + 33+3?

6

0+8

6

9 66+8@

6

6

3

93+@ 0+@6?9 66+8@

+6

6

6

3

6

9 0+006?9 66+8@

) +6

(



6

6

6

6



Lue-.

;;+38 = 0+ V ρ6 6

+ 33+3?

→

V ρ6 6

= 6+?4



___________________________________________________________________ Vρ 6

∴

= D+0D

VB 6

=

#<$e-

V ρ6 6

+ Vθ = 6

6

6+C;

6

+ D+0D = D+?8 6

#<$e-


Ed Sol Dinámica IV

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