/by*+ *-(blpY*+» s e n (4 n +!), n „ % (a/f.)‘«+2- ( 6/fl)*»+*‘ (2/¡+ l j 3 ' U n a m e m b ra n a delg ad a se estira fu e rte m e n te so b re un an illo c irc u la r d e rad ío uno y su tensión. V , y su d e n sid a d superficial, m , son u n ifo rm es en to d a su áre a . D a d o q u e Ja m e n o r ra íz d e la e c u a ción J„(p) ~ 0 es p — 2,405, m u éstrese q u e , c u a n d o v ib ra la m e m b ra n a , la frecu en cia del m o d o fu n d a m e n ta l es: 2-405 / T g y 2.1 \ m ) U n cilin d ro circ u la r sem iinfinito o cu p a la reg ió n 0 ^ p < a, z > 0, siendo p y z c o o rd e n a d a s cilin d ricas. L a suprficie p = a se m a n tiene a te m p e ra tu ra ce ro y la z = 0 se m a n tie n e a la te m p e ra tu ra f(p ). M u éstrese q u e la te m p e ra tu ra e sta c io n a ria , V , en el p u n to (P,
sen zq scn
cos x p d q d P
C l a r a m e n t e la t e m p e r a t u r a V e s in d e p e n d ie n te d e l a c o o r d e n a d a y y. e n c o n s e c u e n c ia , s a tis f a c e la e c u a c ió n d if e r e n c ia l
S M S -ÍS c o n la s c o n d ic io n e s in ic ia le s y d e f r o n t e r a V = 0
k -¿ :
p ara
w í° )
i = 0
p a r* z - °
(24)
cs)
L a s im e tr ía d e l p r o b le m a m u e s tr a q u e e s s u f ic ie n te c o n s i d e r a r ú n ic a m e n te p u n t o s p a r a lo s q u e O c k c c , c o n la c o n d ic ió n
TRANSFORM ADAS INTEGRALES
283
L a e c u a c ió n d if e re n c ia ] p a r c ia l (23) c o n tie n e tr e s v a r ia b le s in d e p e n d ie n te s , x , z y r. d e m a n e r a q u e es n e c e s a r io h a c e r d o s tr a n s f o r m a d a s su c e siv a s p a r a r e d u c ir la a u n a e c u a c ió n d if e re n c ia l o r d in a r ia . P u e s to q u e el v a lo r d e ( d V / d * ) p a r a x = 0 e s tá d a d o p o r (2 6 ), la tr a n s f o r m a d a p o r c o s e n o .
feo Pc =
¡
J0
K cos p x d x
es adecuada para excluir el term ino (cPK/d*1). Esta transform ada, apli cada a la fo rm a corriente, conduce a
P, - 0
para t = 0
Pe = J"^ cos p x d x =
(28) p ara z — 0
(29)
P ara elim inar el térm ino (d'P cIdz2) es adecuada una transform ada por seno, puesto que, p o r la ecuación (29), el valor de P , se conoce para z = 0. A sí pues, escribiendo V ,' = f
J o
sen
(30)
las ecuaciones (27) y (28) se convierten, usando (29), en
=
(31)
t= 0
(32)
con la condición PY — 0
cuando
La solución de la ecuación diferencial (31) es: _ , q sen na P , = ^ e x P (—
La constante arbitraria, A . se determ ina de la ecuación (32) y es: .
q sen pa PÚ>'+Qr)'
y, p o r tanto,
„ , q sen pa .. * ~F(
La expresión para P c se obtiene ahora p o r la fórm ula de inversión para la transform ada por seno introducida en la ecuación (30), de modo que Ve “
t* ~ exP ( - ( p * J L j - — -,sen z q d p
La expresión final para- V se obtiene p o r la fórm ula de inversión d e la transform ada por coseno y resulta
y = ^ í 0 J o [1 _eXP
sen z sen °P cos XP d<>d P
e c u a c io n e s
d if e r e n c ia l e s
E je r c i d o s 8 (/>) El m aterial de un só lid o sem iinfinito, z > 0, tie n e d ifu siv id a d k, su te m p e ra tu ra inicial es cero y , a l tiem p o i = 0 , se su m in istra a la superficie p lan a u n flu jo c o n sta n te d e c a lo r. Si V es la te m p e ra tu ra del sólido a l tiem p o t a u n a p ro fu n d id a d z so b re la su p erficie, la co n d ició n d e fro n te ra es (d V /d z ) = — C (c o n stan te ) p a ra z = 0. M uéstrese q u e la te m p e ra tu ra d e la superficie a l tie m p o t está dad a por
i0
ps
U tilícese l a tra n sfo rm a d a p o r sen o p a r a m o s tra r q u e la so lu ció n d e la ecu ació n d ifere n cia l p arcial
8f/ dx* ~
d t’
( x > 0 ’í > 0 >-
con las condicion es V = e o s i p a ra x = 0 , V = 0 p a ra t = 0, está dada por V = \ í
(sen í + p 2 eos t~ p * e- ‘v' ) ~
^
dp.
El desplazam iento , V, al tiem p o t. d e u n p u n to q u e d ista x del e x trem o fijo x — 0 , d e u n a c u e rd a sem iin fin ita, satisfa ce la ecuación d e o nda d*y = \_d*y d x * c*dt'-’ L a fo rm a inicial d e la c u e rd a e stá d a d a p o r y = f( x ) y e stá inicialm ente en reposo. Ú sese la tra n sfo rm a d a p o r seno p a ra m o s tra r q u e I
| o fs(j> )(sen(x+ c l)p + sen ,< x -ct)p ¡d p ,
siendo f,(p ) la tra n sfo rm a d a p o r sen o d e /(* ). D ed ú zcase q u e 2y = f( x + c t) -I- f ( x — ci) M uéstrese q u e la solución d e la e cu ació n d e L a p la c e en d o s d i m ensiones p a ra V , d e n lro d e la b a n d a sem iinfinita x > 0 , 0 < y < b, ta l q u e V = f( x ) p a ra y = 0 , V = 0 p a ra y = b y V = 0 p a ra x = 0, está d a d a p o r v 2 [ ” <•<•%,/ f ” s e n h (í) — y )p . y = - \ fW d u j v -rsen x p sen u p d p n) o Jo sen h bp Utilícese- la tra n sfo rm a d a p o r co sen o p a ra m o s tra r q u e la te m p e ra tu ra estacionaria en el só lid o sem iinfinito z > 0 , c u a n d o la te m p e ra tu ra d e la superficie z = 0 se m a n tie n e ig u al a u n o en la b a n d a |;t| < a e igual a cero fu e ra d e la b a n d a, es:
TRANSFORMADAS INTEGRALFS
[P uede í
6.
su p o n erse
que
285
e~ "'p "' sen r p d p — lg ~ '(/7 v). r > 0,
í
> 0]
Ú sense co o rd en a d a s cilin d ricas y la tra n sfo rm ad a p o r seno p a ra m o s tra r la te m p e ra tu ra estacio n aria d e un cilin d ro sem iinfinito lim itad o p o r el p la n o z — ü y las superficies cilindricas /■ = a y p = b (u > b), c u a n d o las superficies z — 0 y p — a se m antienen a te m p eratu ra cero y la superficie /» = h se m an tien e a la tem p e ra tu ra /(z ), es: 2 rm r® -1 F(o. b, />, p )f(u ) sen zp sen updpdu, oJ o donde .Y . , = Io(PP)Ka(pa) - I a{pci)Ka(pp) K ’ ’P ¡»(pb)Kt(pa) - ¡a(j,a)K 0(p b y
7.
M uéstrese q ue la solución d e la ecuación diferencial
(en qu e a y b
l dt ~ ° S¿ - b 0 ' (X > °’ f> 0 )’ son c o n stan tes) so m etid a a las condiciones
9 = 0 cuando i = 0
y
0=1
p a ra x — 0
está dad a por 0 = — j
rr J o 1
8.
I - e - '" 'ap,,1h - r “ i scn x P dP-
)b ¥ a p i
P o r u n á rea circ u la r d e ra d io a situada en el plano z = 0 se s u m in istra c a lo r a ra zó n co n sta n te , Q, p o r u n id ad d e área y p o r u n id a d d e tiem p o , a u n sólido infinito d e co n d u ctiv id ad térm ica K M uéstrese q ue la te m p e ra tu ra estacio n aria en un p u n to q u e dista p del eje del á re a c irc u la r y z del p lan o de ella es: Oa f 'V I t l P ’ -y-Jo(P P )J¡(ap)dp. 2 tf J o
9.
E l disco circ u la r z = 0 , p < 1 está ca rg ad o eléc tricam en te y tiene potencial uno. M u éstrese q u e el poten cial V en el p u n to (p, (¡>, z ) está d a d o p o r
-
j
:
A { p ) e ~ \ z\ Pp
j a(pp) dp,
siendo A (p ) el « dual» de las ecuaciones integrales
286
ECUACIONES DIFERENCIALES
p A (p )J a( p p ) d p = l ,
(0 S p < 1),
P xA { j) J i(j>p)dp = 0 ,
10.
(p > 1).
A plicando la tra n sfo rm a d a p o r co sen o , V e —
J
eos p x d x , y en
seguida la tra n sfo rm a d a p o r seno, P / = j ^ V r sen q z d z , red ú zcacase el pro b lem a especificado p o r 04K d3y 0^ + 0? = 0’
< * > 0 ’ 2 > °>'
con las condiciones de fro n te ra a ^ = 0 p a ra x = 0 dx *
y
V =
' a' I p a ra z = 0 x > a, )
0,
a la resolución de la ecu ació n a lg eb raica
p Supuesto que, si r y .y son positivas
1 ^ ’ ’“ ^
-
« -(O '
m uéstrese que
8 .9
T r a n s f o r m a d a s fin ita s
H a s ta a h o r a só lo se h a n u tiliz a d o tr a n s f o r m a d a s e x p re s a d a s p o r in te g ra le s d e fin id a s en q u e e l lím ite s u p e r io r es in fin ito . S i e se lím ite es u n a c a n tid a d fin ita , p o r e je m p lo , a , las tr a n s f o r m a d a s q u e c o n tie n e n fu n c io n e s trig o n o m é tric a s y d e B esse l c o m o n ú c le o s se lla m a n , re s p e c tiv a m e n te , tr a n s f o r m a d a s d e F o u r ie r y H a n k e l fin ita s. É s ta s se u tiliz a n p a ra re s o lv e r e c u a c io n e s d ife re n c ia le s en f o r m a se m e ja n te a la ya d e s c rita , p e r o la v a ria b le q u e se e x c lu y e a h o r a to m a v a lo re s e n tr e 0 y a y, p o r c o n s ig u ie n te , ta n t o la s f ó r m u la s d e in v e rsió n c o m o la s q u e e x p re s a n la s tr a n s f o r m a d a s d e d e riv a d a s n e c e s ita n m o d i ficarse. E m p e z a n d o c o n la tr a n s fo r m a d a fin ita p o r s e n o d e f( x ) , d e fin i da por
fÁP) = í /(x)sen^ídx,
Jo
«
(1 )
TRANSFORMADAS INTEGRALES
sie n d o a h o ra p u n e n te r o p o sitiv o , se o b tie n e re q u e r id a u tiliz a n d o la te o ría d e las se rie s si f(x ) se p u e d e d e s a r ro lla r en se rie d e 0 < x < a, el co eficien te d e se n ( pnxfa ) dado por
287
la fó r m u la d e in v ersió n de F o u rie r. A sí, p u e s, se n o s en el in te rv a lo en la se rie , a„, e s ta rá
a p = - í / ( * ) sen — d x = -J,(p ).
a jo
a
a
E n co n se c u e n c ia , la fó rm u la d e in v ersió n p e d id a es: /(* ) = -
E ¿ (p ) s e n ^ .
a P= i
transformada finita por coseno
D e m a n e r a s e m e ja n te , p a r a la n id a p o r
U P ). =- f Ir 7(x) w c eoo ss^ S Jo
dx,
(2 )
a
defi
(p = 0 , 1 , 2 , 3, . . . ) ,
(3)
«
la fó rm u la d e in v e rsió n es: / ( * ) = - / c ( 0 ) + - t fe i p ) COS ——a
transformada fin ita de H ankel de f(p) de orden n J h ÍPi) =
J
Pf(p)J«(PiP)dp,
(4) por (5)
sie n d o p, la ra íz f'-ésim a p o sitiv a d e J„(pa) — 0 . P ro c e d ie n d o c o m o a n te s , p e ro u tiliz a n d o a h o ra la te o r ía d e las series d e F o u rie r-B e sse l [ a rt. 6.9(e)]. la fó rm u la d e in v e rsió n re su lta (ó) a t-i
J U A P ia )
P u e d e n d e fin irse o tr a s tra n s fo rm a d a s fin itas d e H a n k e l p o r m ed io d e la e c u a c ió n (5) d a n d o d is tin ta s in te rp re ta c io n e s a p P o r e jem p lo , p o d ría esco g e rse a p, c o m o la z-ésim a ra íz d e la e c u a c ió n h jjp a ) + + kJu'{pa ) = 0 , sie n d o h y k c o n sta n te s. D e h e c h o , e s ta s tra n s fo r m a d a s se u sa n e n la re so lu c ió n d e p ro b le m a s físico s, p e r o la fa lta d e e sp a c io im p id e u n e s tu d io d e ta lla d o d e e lla s e n e s te lib ro . L a tr a n s fo r m a d a finita p o r s e n o - d e (dsf/d x 2) se h a lla in te g ra n d o p o r p a rte s ; así.
288
ECUACIONES D IFEREN CIA LES
y , p u e s to q u e e l p r im e r té r m in o d e l s e g u n d o m ie m b r o se a n u la en a m b o s lím ite s d e b id o a l f a c to r se n (p n x lu ), se o b tie n e d e s p u é s d e u n a s e g u n d a in te g ra c ió n
J o te *
“
«
- 4
«L
a Jo
" ‘ Jo
a
^ { ( - r v ( « ) + / ( 0) } - S ( p ) . a a2
(7)
D e m a n e r a a n á lo g a ' ° d- X e o s 0 dx a
d x = ( - 1Y f \ a ) - / ' ( O ) - ^
/ e(p ) , a
( 8)
sie n d o f (a ) y /'(O ) lo s v a lo r e s d e (d f/d x ) p a r a x = a y -c = 0 , re s p e c tiv a m e n te . P a r a o b te n e r el re s u lta d o c o r r e s p o n d ie n te p a r a la tr a n s fo r m a d a d e H a n k e l d e fin id a e n (5 ). s e tie n e
IX ; = \Pdfj» ( p ,p ) \ ~P/f P ~ J „ '(P iP )¿ P L <>P
Jo
J o ¿P
E l p r im e r té r m in o d e l s e g u n d o m ie m b r o se a n u la e n el lím ite s u p e rio r , p u e s to q u e p , s a tis f a c e la e c u a c ió n J A p a ) = 0 , y s e a n u la t a m b ié n e n el lím ite in f e rio r . P o r ta n t o , d e s p u é s d e u n a s e g u n d a in te g ra c ió n p o r p a r te s , se tie n e
jx?+¿f
y M i p
■
+ P t\ /{ P iP J n '(P iP ) + J n\P ¡ P ) } d p .
(9 )
E l p r im e r té r m in o d e l s e g u n d o m ie m b r o d a ap¿f{á)J „'(#& ) y , c o m o h ( p ,p ) s a tis fa c e la e c u a c ió n d e B essel, re s u lta P¡pJ„''(.P¡p)+Jn(PiP) = ( n- - P , p ) - > Á P t P ) \PiP ) P o r c o n s ig u ie n te , re o r d e n a n d o lo s té r m in o s , se tie n e
f p ( + IM J 0 \d p 2 p d p
- — / V „ (P ;p ) d p = a p J ( a ) J ( p ¡ a ) - p¡2 f p /J „ (p ,p ) d p p2 )
Jo
= a p J ( a ) J ¿ ( p ¡ a ) — p ,2f ll(p¡).
(10)
TRANSFORMADAS INTEGRALES
8 .1 0
289
R eso lu c ió n d e e c u a cio n es d ife re n c ia le s p arciales por transfor m a d a s finitas
E n la a p lic a c ió n d e la s tr a n s fo r m a d a s fin itas a la re so lu c ió n d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s se n e c esitan lo s re s u lta d o s d e l a r tíc u lo a n te rio r. P a r a h a c e r re fe re n c ia a ello s fá c ilm e n te s e d a s e g u id a m e n te un re s u m e n . a)
T r a n s fo r m a d a fin ita d e F o u rie r p o r se n o . JÁ P ) = Jo
f ( x ) s t n PRX d x , a /M
(p = 1, 2 , 3 , . . , ) ,
= 2 Z 7 » s e n ^ , a p= i a
( 1)
(2)
j y ? sen^ r dx = f 1
(3)
sie n d o f(á ) y /(O) lo s v a lo re s d e f( x ) p a ra x = a y x — 0 , re sp e c tiv a m en te. b)
T r a n s fo r m a d a fin ita d e F o u rie r p o r c o se n o . JÁ P ) = I f ( x ) eo s — Jo o
dx,
(p = 0 , 1, 2 . 3 , . . . ) ,
/ ( * ) = -/c (0 ) + - i
a
jo
c o s^ ,
a P= i
a
= ( ~ 1) í,/ ' ( « ) - / ' ( ° ) - ^ / t(p )>
(4)
(5)
(6)
sie n d o f'fa ) y /'(O ) lo s v a lo re s d e (P ffd x ) p a r a Jt = a y * = 0 . respec tiv a m e n te . c)
T r a n s fo r m a d a fin ita d e H a n k e l. J h ÍP í) = J p f( p ) J n(P,P) d p ,
f( x ) = ^
d o n d e J„(pta ) = 0,
Í / H( p d - ^ £ L
+ l f p ~ p f y ^ PíP) d(> = a P
^ J n ( P ^ ) ~ P¡2J h(P í) ,
sien d o /( a ) e l v a lo r d e /( ,,) p a ra ,, = a . 19
(7)
(8)
(9)
290
ECUACIONES D IFE R E N C IA L E S
L a s tr a n s f o r m a d a s fin ita s s e u s a n p a r a e li m i n a r v a r ia b le s in d e p e n d ie n te s , c o n d o m i n io fin ito , d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s p a rc ia le s , d e m a n e r a s e m e ja n te a c o m o la s t r a n s f o r m a d a s d e l a r tic u lo 8 .8 se e m p le a r o n p a r a e li m i n a r v a r ia b le s c o n d o m i n io in fin ito . S e a p lic a n o b s e r v a c io n e s s e m e ja n te s cjUe e n e s e a r tíc u lo a n te r io r a l c o n s id e ra r la c o n v e n ie n c ia d e a lg u n a t r a n s f o r m a d a p a r t ic u l a r . A s í. la tra n s fo r m a d a fin ita p o r s e n o s e u tiliz a p a r a e lim in a r u n té r m i n o c o m o (d *f/d x2) s i lo s v a lo r e s d e / e s t á n d a d o s p a r a x — 0 y x = a, m ie n tr a s q u e e s a d e c u a d a la tr a n s f o r m a d a p o r c o s e n o si lo s v a lo res d e (df/dx) s e c o n o c e n p a r a e s o s v a lo r e s d e x . L a tr a n s f o r m a d a fin i ta d e H a n k e l se u s a p a r a e x c lu ir a la v a r ia b le p e n ¡o s p ro b le m a s q u e c o n tie n e n c o o r d e n a d a s c ilin d r ic a s c u a n d o e l d o m in io d e p es fin ito . M ás' a b a j o se d a n a lg u n o s e je m p lo s d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s q u e p u e d e n re s o lv e rs e u tiliz a n d o tr a n s f o r m a d a s fin ita s. P o r m e d io d e e s ta s tr a n s f o r m a d a s n o p u e d e n r e s o lv e rs e p r o b le m a s q u e n o s e a n s o lu b le s p o r lo s m é to d o s c lá s ic o s d e la s se rie s d e F o u r i e r y F o u rie r-B e s s e l d e s c r ita s e n e l c a p ítu lo a n te r io r . S in e m b a rg o , f a c ilita n s u s o lu c ió n e n el s e n tid o q u e p u e d e u s a r s e e l m is m o p r o c e d im ie n to c u a le s q u ie r a q u e s e a n lo s lím ite s d e la in te g r a l d e fi n id a q u e d e fin a la tr a n s f o r m a d a . E je m p lo I I . U n a lin c a d e tr a n s m is ió n « s in p é r d id a s » , d e l o n g it u d a, e s tá in ic ta lm c iu e a p o te n c ia l c e r o y a ! t ie m p o t = 0 s e a p lic a u n v o lta je c o n s ta n te , V,„ e n e l e x tr e m o x = a , m a n te n ie n d o s ie m p r e c o n e c ta d o a tie rr a e l e x t r e m o x = 0 M u é s tr e s e q u e , a l t ie m p o t, e l v o lta je e n u n p u n t o q u e d is ta x d e l e x tr e m o c o n e c ta d o a tie rr a , V , e s tá d a d o p o r V =
V0x
-i
a
2H» ^ ( —I)»’ pnx pnct > i s e n C . _ c o s t:—
71 = l p
a
a
s ie n d o c ~ ( L C ) ’ ' 1', d o n d e f. y C s o n , r e s p e c tiv a m e n te , ia i n d u c ta n c ia v c a p a c ita n c ia p o r u n id a d d e lo n g i tu d d e la lin c a . E n u n a lin e a « s in p é r d id a » , la re s is te n c ia , R , y la p é r d i d a d e c o n d u c t a n c ia . C , s e p u e d e n c o n s id e r a r c e r o y, p o r la e c u a c ió n (1 8 ) d e l a r ti c u l o 7 3, V sa tisfa c e , la e c u a c ió n o*V _ dx
1
1 d‘ V
( 10)
2
~ C H ü'
s ie n d o c = ( / - O * 1■" L a s c o n d ic io n e s d e f r o n t e r a s o n K ---0 e n ta n to q u e ,
p ara £ = 0
y
V — Va
p ara x — a,
p u e s to q u e e l v o lta je y c o r r ie n t e in ic ia le s V - ~
= 0
p ara / = 0
t X I
(1 1 )
so n cero (1 2 )
E l t e r m in o p u e d e e lim in a r s e d e la e c u a c ió n (10) u til i z a n d o la tr a n s f o r m a d a fin ita p o r s e n o
TRANSFORM ADAS INTEGRALES
291
y a q u e , p o r la e c u a c ió n ( 1 1), lo s v a lo r e s d e V se c o n o c e n p a r a x = 0 y x = a. M u ltip lic a n d o la s e c u a c io n e s (10) y (12) p o r s e n (ptrx/a) e in te g r a n d o r e s p e c to a x e n tr e 0 y a , se tie n e :
f° d‘ V pnx F T sen—
J o 3a: f‘
pnx
J o K sen—
Ca d V ¿v = j
pnx ,
1
- — dx. c*J o -r-rSen dt2 a
o
pnx ,
-se n —
d ^ O
p a ra r = 0
U tiliz a n d o (1 3 ), (3 ) y (1 1 ) se o b tie n e d e lo a n te r io r
„ 4, co n
dV
V, = ~
= 0
cuando t = 0
(15)
L a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n o r d in a r ia (14) e s : <7 . pnct pnel , , V, = A eo s l - S s e n '--------- ( - 1 ) » — - , a a pn s ie n d o A y B c o n s ta n te s a r b itr a r ia s . S u s titu y e n d o e n (15) re su lta A = (-l)P— pn
B=0.
d e m a n e ra q u e pn \
a
/
L a f ó r m u la d e in v e rs ió n (2 ) p a r a la tr a n s f o r m a d a fin ita p o r se n o p r o p o r c io n a a h o r a 2 y „ v-> ( — I ) P /
—
2 ,—
pnct
ícos“
\
pnx
- , ) sen£í -
(,6 >
S e s a b e q u e , p a r a 0 < x < a.
2
a £ (-l)P " pnx x = — ) ------------ 5 c n C _. * ,íl p a y s e o b tie n e e l r e s u lta d o p e d id o s u s titu y e n d o é s ta e n (16) E je m p lo 12. E l m a te r ia l d e u n c ilin d r o c ir c u la r la rg o d e ra d io a tie n e d ifu s iv id a d k . E l c ilin d r o está in ic ia lm e n te a te m p e r a tu r a c o n s ta n te K , y su s u p e r fic ie c u r v a s e m a n tie n e a te m p e r a tu r a c e r o H á lle s e u n a e x p r e sió n p a ra la te m p e r a tu r a V a l tie m p o t e n u n p u n to d e I c ilin d ro q u e d is te P d e s u ejeE s te e s e l e je m p lo 8 d e l a r tic u lo 7 .7 y la e c u a c ió n q u e h a d e r e s o l v e rse e s : S 'y
1 dV _
1 ay
íp i + p d p ~ k d i’
( l7 )
c o n V ~ Y o c u a n d o 1 = 0 j V = 0 p a r a p = a. U tiliz a n d o la tr a n s f o r m a d a fin ita d e H a n k e l d e o r d e n c e ro d a d a p o r
Vh = [p y j„ (p ip )d p .
292
ECUACIONES D IFE R E N C ÍA L E S
siendo pi una raíz positiva d e J0(pa) — 0, la ecuación (17) se transform a en
aprovechando la ecuación (9) y el hecho d e q u e V — 0 para p = a. La condición inicia! V = V„ para / = 0 se convierte en ra yM Fn “ P V0Ja(j>ip)dp = — J ^P iü ) para / - 0, (19) JO Pt usando el resultado (12) del aríícuio 6 9 L a solución d e la ecuación (18) es Pf/ - A exp ( - k p p t ) , y la conslanle arbitraria A se lija p o r (19). A sí pues, Fu = — JifPid) exp ( —kp p í), P¡ y sustituyendo en la fórm u la d e inversión (8) se obtiene K = 23 . f e x p ( - W ü ¡= i
8 .1 1
r)^ > . P íJ\(p ¡a )
O tras tra n sfo rm a d a s
L a s tr a n s f o r m a d a s d e F o u r ie r y H a n k e l n o so n ia s ú n ic a s q u e se h a n u tiliz a d o c o n é x it o e n la re s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d if e re n c ia le s p a rc ia le s c o n c o n d ic io n e s d e f r o n te r a e in ic ia le s d a d a s . L a tr a n s f o r m a d a d e L a p la c e s e h a u tiliz a d o p a r a e llo , p e r o n o s e e s tu d ia a q u í p o r q u e s u fó r m u la d e in v e r s ió n c o n tie n e u n a in te g ra l d e c o n to r n o y la c o n s id e ra c ió n d e in te g ra le s d e e s te ti p o q u e d a f u e r a d e l a lc a n c e d e e s te lib ro , h n la re s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d if e re n c ia le s o r d in a r ia s p o r la tr a n s f o r m a d a d e L a p la c e fu e p o s ib le e v ila r e l e m p le o d e la f ó r m u la d e in v e rs ió n a p r o v e c h a n d o la b re v e ta b la d a d a e n e l a r t íc u lo 8 .2 , p e r o p a r a p ro b le m a s e n q u e a p a r e z c a n e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s p a rc ia le s h a b ría q u e d is p o n e r d e u n a la b ia m u c h o m á s e x te n s a o u tiliz a r la f ó r m u la d e in v e rs ió n . O b s e rv a c io n e s s e m e ja n te s s e a p lic a n a la tr a n s f o r m a d a d e M e llin c u y o n ú c le o e s jc'1-1. S e h a n u s a d o ta m b ié n tr a n s f o r m a d a s fin ita s c o n p o lin o m io s d e L e g e n d re y J a c o b i c o m o n ú c le o s . E s ta s ú ltim a s tie n e n p o c a a p lic a c ió n , p e r o h a n r e s u lta d o ú tile s e n p r o b le m a s e s p e c ia le s. E je r c i d o s 8 (c ) 1.
U tilícese u na tra n s fo rm a d a finita p o r sen o p a ra h a lla r la so lu ció n d e la ecuación ¡ g r + 9y r = ° .
(< > < * < « ,
y > 0 ).
co n la s co n d icio n e s V — 0 p a ra x = 0 y x = ~, V — \ p a ra y = 0 y V —> 0 c u a n d o y —*■¡ x .
T RANSFORM ADAS IN TEG RA LES
H á lle s e u n a fu n c ió n d im e n sio n e s d e n tr o c u m p la q u e V = C o tr o s tre s la d o s d el
293
V q u e sa tisfa g a la e c u a c ió n d e L a p la c e en d o s del c u a d ra d o 0 <•' x
M u éstrese q u e la te m p e ra tu ra a l tie m p o t en u n a p la c a g ra n d e de m a te ria l d e d ifu s iv id a d k . c u y a s c a ra s x = 0 y x = n e s tá n aísla d as té rm ic a m e n te y c u y a te m p e ra tu ra in icia l e s f( x ) , es
ir
2 * f * f ( u ) d u + - Y e~kp,‘ e o s p x I f ( u ) cos p u du.
^ ‘ pp = - ii Jo n} o H á lle s e u n a so lu c ió n d e la e c u a c ió n d e o n d a
sí y
7 ¡ iy
=
«><*<*>
'>
0>*
ta l q u e V — sen t p a ra x — 0 , V = 0 p a ra x — n y V = { d V jd t) = 0 p a ra t = 0 . R e su é lv a se la e c u a c ió n de o n d a
dr V dx2
=
d*v
« > < * < * ,
dt-
/ > 0)
s u je ta a la s c o n d ic io n e s (d V /d x ) — 0 p a ra x = 0 , (d V ¡ d x ) - K (c o n s ta n te ) p a ra x = tt y V = ( d V / d t ) — 0 p a ra l = 0 L a sección de u n a b a r r a la r g a d e d ifu siv id a d k es el c u a d ra d o 0 < x < 7r, 0 < y < ?r. Si las c u a tr o c a ra s d e la b a rra se m a n tien en a te m p e ra tu ra c e ro y la te m p e ra tu ra in ic ia l es u n o , u tilíc e n se tr a n s fo r m a d a s p o r se n o sucesivas p a r a m o s tr a r q u e la te m p e ra tu ra a l tiem p o / es
E l m a te ria l de la e sfe ra r < a tien e d ifu s iv id a d k y e stá in ic ial m e n te a te m p e ra tu ra c e ro . A p a r tir del tie m p o i = U su su p erficie se m a n tie n e a te m p e ra tu ra cero . M u é stre se q u e la te m p e ra tu ra , V . a l tie m p o f, e stá d a d a p o r
U
V — — r
.
.
donde
W
, d*U
—- — k — ■, dt cr1
D e d ú z c a se , u tiliz a n d o u n a tr a n s fo r m a d a fin ita p o r se n o , q u e ,, , , 2 a v 1 ( — 1)0 / , \ Pn r V = l -l— Y e x P ( ~ k ~ t ) sen — . w P= i p \ a r
294
ECUACIONES D IFER E N C IA L ES
¿1=1
sien d o c3 = 9.
T g ja
y donde
J l K P O J O
p,
sa tisfa c e la e c u a c ió n /„ (p ) = 0.
L a m e m b ra n a d e l ejercic io 8 a n te r io r se p o n e en m o v im ie n to a p a rtir d el rep o so y se so m e te a u n a p resió n u n ifo rm e c o n s ta n te , P, q u e a c tú a so b re to d a su su p erficie p a r a u n tie m p o / > 0 , M u é s tre se q u e
2 10.
P i
r(4
< • * '< > •
- » < ' < « .
y las c o n d icio n es d e fro n te ra <}> = 0 <£ — p
z — h
p a ra
p a ra y
p = 1 <¿ = 0
p a ra
M u éstrese q ue a
-
d o n d e y ,(/?,) = 0 .
•> V 1 se n h (A-t-*)p< i = i P
z — — /¡
C A P ÍT U L O 9
MÉTODOS GRÁFICOS Y NUMÉRICOS 9.1
In trod u cción
D e la s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s q u e su rg e n en p ro b le m a s físico s, so n re la tiv a m e n te p o c a s la s q u e p u e d e n e x p re s a rs e e n té rm in o s d e fu n c io n e s c o n o c id a s . P o r lo g e n e ra l, la s so lu c io n e s d e la s e c u a c io n e s lin e a le s p u e d e n e x p re s a rs e c o m o se rie s in fin ita s; p e ro , a u n e n e se c a s o , el tr a b a jo n e c e s a rio p a ra c a lc u la r e l v a lo r n u m é ric o d e la so lu c ió n , p a r a u n v a lo r p a r tic u la r d e la v a ria b le in d e p e n d ie n te , p u e d e s e r c o n sid e ra b le ; a d e m á s , e l lim ita d o in te rv a lo d e c o n v e rg e n cia d e e sas se rie s c o m p lic a c o n fre c u e n c ia el a s u n to . P o r e s ta s ra z o n e s lo s m é to d o s g ráfico s y n u m é ric o s p a r a h a lla r so lu c io n e s s o n m u y im p o rta n te s . L o s m é to d o s g rá fic o s p ro p o rc io n a n v a lo re s a p ro x im a d o s d e la s so lu c io n e s y m u c h a s v e ces d a n in fo rm a c ió n ú til re sp e c to a su n a tu r a le z a . E s to s v a lo re s a p ro x im a d o s s e p u e d e n m e jo ra r al g ra d o d e e x a c titu d q u e se d e s e e co n los p o d e ro s o s m é to d o s n u m é ri c o s c o n s id e ra d o s en e s te c a p ítu lo y el sig u ie n te : L a in te g ra c ió n n u m é r ic a d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p u e d e re a li z a rs e sin a u x ilia re s m e c á n ic o s p a r a h a c e r los c á lc u lo s, a u n q u e a lg ú n tip o d e m á q u in a c a lc u la d o ra d e e s c r ito r io p ro p o r c io n a a y u d a c o n si d e ra b le . L o s m é to d o s q u e se d a n p u e d e n ta m b ié n u s a rs e co n las c a lc u la d o ra s e le c tró n ic a s, q u e g e n e ra lm e n te tie n e n p re p a r a d o s p r o g ra m a s p a r a re a liz a r a lg u n o s o lo d o s e sto s m é to d o s. Se e m p ie z a e s te c a p ítu lo c o n el e s tu d io d e l m é to d o g rá fico d e las ¡so c lin a s p a r a tr a z a r la s c u rv a s in te g ra le s d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s d e p rim e r o rd e n y p a ra re d u c ir e c u a c io n e s d e se g u n d o o rd e n . S eg u i d a m e n te se c o n s id e ra n a lg u n o s d e lo s m é to d o s c o rrie n te s p a r a in ic ia r y c o n tin u a r la s s o lu c io n e s n u m é ric a s d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s. E n la ú ltim a secció n se in d ic a b re v e m e n te la m a n e r a e n q u e e s o s m é to d o s p u e d e n u s a rs e c o n la s c a lc u la d o ra s e le c tró n ic a s. 9 .2
E l m éto d o d e la s ¡so clin a s S i la e c u a c ió n d e p rim e r o rd e n y = í ( x, y)
( l)
296
ECU A CIO N ES D IF E R E N C IA L E S
tie n e u n a s o lu c ió n F ( x , y ) = 0 , la fu n c ió n F ( x , y ) c o n te n d r á u n a c o n s ta n te a r b i t r a r i a y la s o lu c ió n F { x , y ) = 0 r e p r e s e n ta r á l a f a m i lia d e c u r v a s in te g ra le s d e la e c u a c ió n ( 1). S i y = c . u n a c o n s t a n te , c o n la e c u a c ió n (1 ) p u e d e tr a z a r s e u n a c u r v a c u y a e c u a c ió n e s :
toe. y) = c
(2)
q u e e s e l lu g a r g e o m é tr ic o d e lo d o s lo s p u n t o s e n q u e la p e n d ie n te d e la s c u r v a s in te g r a le s tie n e e l v a lo r c ; e s ta c u r v a s e lla m a u n a
is o c lin a d e la e c u a c ió n d if e r e n c ia l (1 ). S e s u p o n d r á q u e la f u n c ió n f ( x , y ) e s u n a f u n c ió n u n iv a le n te d e x e y , d e m a n e r a q u e la p e n d ie n te d e la s c u r v a s in te g r a le s e s tá u n ív o c a m e n te d e te r m i n a d a e n c a d a p u n to ( x , y ). D e e s to se d e d u c e q u e , e n g e n e r a l, d o s c u r v a s in te g r a le s n o s e c o r l a r á n . L a s c u r v a s in te g r a le s d e la f a m ilia d e s o lu c io n e s p u e d e n tr a z a r s e a p r o x i m a d a m e n te d i b u j a n d o p r i m e r o a lg u n a s ¡s o c lin a s 1 (x, y ) = c lt f ( x , y ) = c . j , . . . S o b r e l a is o c lin a f ( x , y ) = c , s e tr a z a n p e q u e ñ o s s e g m e n to s d e p e n d ie n te c , q u e in d i c a r á n l a p e n d ie n t e d e u n a c u r v a in te g r a l e n e l p u n to d o n d e c o r t a a la is o c lin a . D e m a n e r a s e m e ja n te , se tr a z a n p e q u e ñ o s s e g m e n to s d e p e n d ie n te c 2 s o b r e la is o c lin a f ( x , y ) = c ¿, y a s í s u c e s iv a m e n te .
MÉTODOS GRÁITCOS Y NUMÉRICOS
297
D e e s ta m a n e r a e m p ie z a a v is lu m b ra rs e u n a g rá fic a d e la s c u rv a s in te g ra le s. Si la s iso c lin a s se tr a z a n m u y p ró x im a s e n tr e s í y los p e q u e ñ o s s e g m e n to s e n is o c lin a s su c e siv a s se tr a z a n d e m o d o q u e s e c o rte n en u n p u n to in te rm e d io e n tr e d ic h a s iso c fin a s, se c o n s tru irá u n a p o lig o n a l q u e p u e d e a lla n a rs e , o b te n ié n d o s e a sí u n a c u r v a in te g ra l, D e b e o b s e rv a rs e q u e la iso clin a f( x , y ) — 0 e s d e e sp ec ia l im p o rta n c ia , p o rq u e d a e l lu g a r g e o m é tric o d e lo s m á x im o s y m ín i m o s , o s e a , los p u n to s d e in fle x ió n d e la s c u rv a s in teg rales. El lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d o n d e y " = 0 e s ta m b ié n d e in te ré s , p u e s (si y " ' 0 ) e s el lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d e in flex ió n d e la s c u rv a s in te g ra le s L a p e n d ie n te d e u n a iso clin a /( y . y ) = c , e n e l p u n to (.c, y ), e s
cx
ay
y e n u n a c u rv a in te-
g ra l, si y " = 0 , se tie n e q u e y ' = —
Así , p u e s , e n u n p u n c e ry t o d e in fle x ió n , la p e n d ie n te d e u n a c u rv a in te g ra l es la c o rr e s p o n d ie n te a la is o c lin a q u e p a sa p o r el p u n to , o s e a , el p e q u e ñ o seg m e n to e n q u e se c ru z a n e s ta n g e n te a la iso clin a, P a r a o b te n e r u n a a p ro x im a c ió n ra z o n a b le , la re s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p o r el m é to d o d e las iso c lin a s d e b e re a liz a rse c o n el e q u ip o d e d ib u jo a d e c u a d o . T rá c e n se la s iso c lin a s y p a rte s d e las c u r v a s in te g ra le s d e la ec u a ció n d ife r e n c ia l y ‘ — y + : /10
Ejemplo 1.
l_as isoclinas correspondientes a y ' = c son las curvas y - - c —— x ’/lO Esta es una parábola cuyo eje es el de las y y con vértice en el pun to (0, c), siendo et lugar geométrico de los máximos y mínimos de las curvas integrales la isoclina y = — x -/W Las isoclinas se muestran en la figura 19 con los pequeños segmentos que indican la pendiente c. Se m uestran dos curvas integrales con líneas de trazos. 9 .3
D ia g r a m a s d e l p la n o fa se
L a e c u a c ió n d e l m o v im ie n to a rm ó n ic o s im p le , x - f d e re d u c irs e a la e c u a c ió n d e p rim e r o rd e n
= 0, p u e
p
o b ien
-» + -f-f= L a1
a to
L a g ráfica d e p en fu n c ió n d e x (fig. 2 0 ) e s u n a elip se: m u e s tra la v a ria c ió n d e la v e lo c id a d c o n la d is ta n c ia , la v e lo c id a d m á x im a y la a m p litu d . M u e s tra ta m b ié n la p e rio d ic id a d d e l m o v im ie n to .
298
ECU A CIO N ES D IF E R E N C IA L E S
C o n f o r m e a u m e n t a e l tie m p o , el p u n to ( p . x ) r e c o r r e la e lip s e e n e l m is m o s e n t id o q u e la s m a n e c illa s d e u n r e l o j, c o r r e s p o n d i e n d o c a d a c ir c u it o a u n a o s c ila c ió n c o m p le ta .
F ig . 2 0 E s te d ia g r a m a d e la v e lo c id a d r e s p e c to a la d is ta n c i a s e lla m a d ia g r a m a d e l p la n o fa s e . E s to s d i a g r a m a s tie n e n im p o r t a n c ia c o n s i d e r a b le e n e l e s t u d io d e l m o v im ie n to r e g id o p o r e c u a c io n e s n o lin e a le s d e la f o r m a X = f(x , x ) q u e , h a c ie n d o x = p . s e c o n v ie r te e n
^ = -f(p,x). ax p S i e s t a e c u a c ió n p u e d e r e s o lv e r s e , p u e d e t r a z a r s e e l d i a g r a m a d e l p l a n o f a s e y e s t u d ia r s e e l m o v im ie n to . E l m é t o d o d e la s ¡ s o c lin a s se u s a c o n f r e c u e n c ia p a r a h a ll a r la f o r m a d e la s c u r v a s in t e g r a le s d e e c u a c io n e s d e e s t e ti p o q u e n o p u e d e n r e s o lv e r s e d ir e c ta m e n te . E jem plo 2 . C onstruyase el diagram a d e l plano fase para la solución de la ecuación diferencial ¡c + |x ji + x — 0 , con x = 1 y x — 0 para I — 0 . La ecuación de m ovim iento d e u n a p a rtíc u la q u e se m ueve en línea recta y es a tra íd a p o r u n a fuerza p ro p o rcio n al a la distancia a u n punto fijo, en u n m edio q u e o frece resistencia p ro p o rcio n al al c u ad ra d o d e su velocidad, es d e la form a dT1
dX + a>'X = 0. \d T d T
D ebe tom arse el m ódulo d e d X /d T p a ra aseg u rar q u e la resistencia del m edio se o ponga al m ovim iento. La sustitución x = k X , t =
M ÉTODOS G RÁ FICO S Y N U M ÉR IC O S
29v
F ig. 21 p < < 3 ' P %¡. = + p>-~x '
(1>
P > 0,
(2)
~ P * -x.
L as isoclinas d e estas ecuaciones son: p < 0. p - x l p = c, p > 0, —p —x /p = c. E stas so n las p aráb o la s ( p — c/2)s = x + c‘/4 y (p + c/2)J = — (x — c'¡4). Las isoclinas se m u estran p o r líneas de trazos en la figura 21 y la curva integral se obtiene fácilm ente. Se o b serv ará q u e la am p litu d d e la osci lación dism inuye rápidam ente. E je r c ic io s 9 (a ) 1.
T rá c e n s e is o c lin a s d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l y ’ = x — y y o b té n g a se u n a c u rv a in te g ra l q u e p a se p o r e l o rig e n . R e su é lv a se la e c u a c ió n y c o m p ru é b e s e q u e la c u rv a in te g ra l es c o rre c ta .
2.
Ú sese e l m é to d o d e la s is o c lin a s p a r a tr a z a r la s c u rv a s in te g ra le s de la e c u a c ió n d ife re n c ia l y ' = x 2 + y 2 y c o m p ru é b e se q u e , si y = 0 p a r a y = 0, y = 0 ,3 5 , a p ro x im a d a m e n te , p a r a x — 1.
3. T rá c e n s e la s c u rv a s in te g ra le s d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l y ' — x — — y 1/ 10. Si y = 1 p a r a x — 0 , m u é stre se q u e p a ra x = 1 es y = 1,38 a p ro x im a d a m e n te . 4.
P o r m e d io d e la s u s titu c ió n y = — 2 x z ’l z re d ú z c a s e la e c u a c ió n 2 xy = x 2 + y 2 a u n a e c u a c ió n e n z y m u é s tre s e q u e su so lu c ió n
300
ECU A CIO N ES D IF E R E N C IA L E S
en té rm in o s d e fu n c io n e s d e Bessel es y = x { / , ( x / 2 ) + A Y ¡ ( x / 2 )} / { /„ ( x /2 ) + A L „ (x ,2 )} , sie n d o A u n a c o n s ta n te a r b itr a r ia . T rá c e n se la s c u rv a s in te g ra le s d e la e c u a c ió n . 5.
T rá c e n s e la s iso clm as d e la e c u ac ió n d ife re n c ia l y ' — x a — y 2 y la c u rv a in te g ra l q u e p a sa p o r el p u n to (0, 1). C o m p ru é b e s e q u e esta c u rv a c o rta a la re c ta x = I d e m o d o q u e y = 0 ,7 5 , a p ro x im a d a m e n te .
6.
T rá c e n s e la s c u rv a s in te g ra le s d e la e c u a c ió n d if e re n c ia l y ' - 2 x y en el p rim e r c u a d r a n te y c o m p ru é b e s e q u e la c u rv a in te g ra l q u e p a sa p o r (0 , 1) pasa ta m b ié n p o r (1, 2,72).
7.
T rá c e se el d ia g ra m a d e l p la n o fa se del m o v im ie n to d e te rm in a d o p o r la e c u a c ió n d ife re n c ia l x ■+■ x ¿ — x x = 0 c o n x = 0 y x = 1 p a ra i = 0.
8.
L a e c u a c ió n d ef p é n d u lo sim p le es x •+ »>2 sen x = 0 , sie n d o in2 = g / l . U tilíc e s e el m é to d o d e la s iso c lin a s p a ra tr a z a r el d ia g ra m a del p la n o fa se del m o v im ie n to p a r a el c a so en q u e x — 0 y x — J-2»r, p a r a I = 0 . C o m p ru é b e s e q u e la v e lo c id a d m á x im a
9-
T rá c e s e el d ia g ra m a del p la n o fa se del m o v im ie n to d a d o p o r x - r 2 x -f- lOx = 0 c o n x = 1 y x = 0 p a r a t = 0.
10.
U n a p a rtíc u la d e m a sa u n id a d se m u e v e en lín e a re c ta a tr a íd a p o r u n a fu e rz a d e m a g n itu d <»2x d irig id a h ac ia el o rig e n O , sie n d o x la d is ta n c ia de la p a rtíc u la a O . U n a fu e r z a d e fric c ió n c o n s ta n te p g se o p o n e el m o v im ie n to . M u é s tre s e q u e x -1- m2(x ± k ) = 0 , sie n d o k = p g /h i3, to m a n d o e l sig n o p o sitiv o si x es p o sitiv a y el n e g a tiv o si x es n e g a tiv a . T rá c e s e e l d ia g ra m a d el p la n o fa s e p a r a e l m o v im ie n to s i in ic ia lm e n le x = 10& y x — 0 , sie n d o
9 .4
R e s o lu c ió n n u m é r ic a d e e c u a c io n e s d e p rim e r o r d e n
es
2»>.
L a s o lu c ió n n u m é r ic a d e u n a e c u a c ió n d if e re n c ia ! c o m p r e n d e u n c o n ju n t o d e v a lo r e s d e la v a ria b le d e p e n d ie n te y c o r r e s p o n d ie n t e s a v a lo r e s d e la v a r ia b le in d e p e n d íe n le x d e c ie r to in te r v a lo . L a d i s t a n c ia e n t r e lo s v a lo r e s d e x d e b e n s e r s u f ic ie n te m e n te p e q u e ñ a p a r a p e r m it ir la in te r p o la c ió n , d e m a n e r a q u e p u e d a c a lc u la r s e el v a lo r d e y c o r r e s p o n d ie n t e a c u a lq u i e r v a l o r d e x e n e l in te r v a lo . L a s o lu c ió n d e ia e c u a c ió n d if e r e n c ia l d e p r i m e r o r d e n
% - J ^ .y ) p a ra x ~ x t , e s:
p a r a la c o n d ic ió n in ic ia l >• = - K—
=
i
f{x,y)dx,
J *0
(1 )
MÉTODOS GRÁFICOS Y NUM ÉRICOS
301
p e r o e s ta in te g ra l n o p u e d e e v a lu a rs e , y a q u e e l v a lo r d e y d e l in te g r a n d o se d e s c o n o c e . S in e m b a r g o , p u e d e h a lla r s e a p r o x im a d a m e n te e l v a lo r y , q u e c o r r e s p o n d e a x „ + //, si h e s p e q u e ñ o , y la a p r o x i m a c ió n p u e d e h a c e r s e ta n g r a n d e c o m o s e q u ie r a , e s c o g ie n d o h s u fic ie n te m e n te p e q u e ñ o . U n a v e z h e c h o e s to , s e re p ite el p ro c e s o p a r a h a ll a r el v a lo r y 2 c o r r e s p o n d ie n te a x „ + 2h, y a s í s u c e s iv a m e n te h a s ta te n e r u n a ta b la d e v a lo r e s d e y. E s te se ll a m a u n m étodo p o r etapas p a r a o b te n e r la so lu c ió n . E s to s m é to d o s tie n e n la d e s v e n ta ja d e q u e el e r r o r a l a p r o x i m a r los v a lo r e s d e y e s s ie m p re a c u m u la tiv o h a s ta c ie r to g r a d o y p u e d e h a c e r s e g r a n d e a m e n o s q u e s e in c lu y a a lg ú n m é to d o p a r a c o m p r o b a r lo s re s u lta d o s . P o r e s ta ra z ó n , lo s m é to d o s d e re s o lu c ió n q u e c o n tie n e n d if e re n c ia s fin ita s s e u tiliz a n c o r r ie n te m e n te , s ie n d o la m a y o r í a v a ria c io n e s d e l p ro c e d im ie n to d e A d a m s - B a s h f o r th e s tu d ia d o en e l a r tíc u lo 9.10. L o s m é to d o s d e d if e re n c ia s fin ita s u s a n d o s f ó r m u la s : la p rim e ra e s u n a f ó r m u la d e predicción p a r a e s tim a r e l v a lo r d e y a l fin a l del in te rv a lo , b a s á n d o s e la s e s tim a c io n e s d e lo s v a lo r e s d e y e n lo s d e lo s e x tr e m o s fin a le s d e lo s in te rv a lo s p re c e d e n te s ; la s e g u n d a e s u n a f ó r m u la d e corrección e n q u e el v a lo r e s tim a d o se c o m p a r a c o n los v a lo r e s a n te r io r e s d e y , « c a lc u lá n d o s e la e s tim a c ió n s i s e h a lla d is c re p a n c ia . P a r a u tiliz a r f ó r m u la s d e d if e re n c ia s fin ita s e s n e c e s a r io c o n o c e r p r im e r o lo s v a lo r e s d e y e n lo s e x tr e m o s fin a le s d e v a rio s in te rv a lo s su c e s iv o s, E s to s v a lo r e s d e in ic ia c ió n se d e te r m in a n u tiliz a n d o m é to d o s c o m o el d e T a y lo r , P ic a r d y E u le r, o la s f ó r m u la s d e R u n g e K u lta . E s to s p ro c e d im ie n to s s o n p o r lo g e n e ra l m u y la b o r io s o s p a r a u s a r lo s e n in te rv a lo s d e in te g ra c ió n g ra n d e s , y c a re c e n d e la s fa c i lid a d e s d e a u to c o m p r o b a d ó n s e n c illa d e lo s m é to d o s d e d ife re n c ia s fin ita s. S in e m b a r g o , la s f ó r m u la s d e R u n g e - K u tta s e u s a n a lg u n a s v e c e s p a r a g r a n n ú m e r o d e e ta p a s e n la s c a lc u la d o ra s e le c tró n ic a s E n lo s a r tíc u lo s s ig u ie n te s se e s tu d ia r á n a lg u n o s d e los m é to d o s p a r a in ic ia r u n a s o lu c ió n y a c o n tin u a c ió n se. m o s tr a r á c ó m o p u e d e p r o lo n g a r s e la s o lu c ió n p o r m é to d o s d e d if e re n c ia s fin itas y o tro s . 9 .5
In ic ia c ió n d e u n a so lu c ió n p o r u n a se rie d e T a y lo r Sea
y
la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l. (I)
c o n la c o n d ic ió n in ic ia l y = >'„ p a r a x = x „ , y s u p ó n g a s e q u e la s o lu c ió n p u e d e d e s a r r o lla r s e en s e rie d e T a y lo r e n la v e c in d a d d e x„. A s í, p u e s , si y — y , p a r a x = x„ + h. se tie n e .Vi =
+
(2)
302
ECUACIONES D IF E R E N C IA L E S
p a r a v a lo r e s d e
h
s u f ic ie n te m e n te p e q u e ñ o s . A h o r a b ie n
d 2y dx*
_
df + dydf dx d x d y
=
dx
dy
y
p u e d e n c a lc u la r s e m á s d e r i v a d a s s u c e s iv a s d e y r e s p e c to a x. S e o b tie n e u n a b u e n a a p r o x i m a c i ó n p a r a y L s u m a n d o c ie r to n ú m e r o d e té r m in o s d e la s e r ie (2). E l e r r o r q u e s e c o m e te a l to m a r s ó lo n té r m in o s d e la s e r ie e s :
(3 ) d o n d e 0 in d ic a el v a lo r d e la « - é s im a d e r i v a d a c u a n d o x: = x a + Oh y 0 < 0 < 1. H a c ie n d o 6 — 0 s e o b ti e n e u n a e s tim a c ió n d e l error d e corre c o m e tid o a l c o n s id e r a r la s o lu c ió n c o m o la s u m a d e n té r m in o s d e la se rie . S i se n e c e s ita d e te r m i n a d o g r a d o d e e x a c titu d Pa r a y „ p u e d e d e d u c ir s e d e a q u í la lo n g itu d d e l in te r v a lo q u e d e b e r á u tiliz a rs e o , a lte r n a t iv a m e n te , el n ú m e r o d e té r m in o s d e la s e rie q u e d e b e r á n s u m a rs e . Si s e e s t á c a lc u la n d o el v a lo r y , , c o r r e s p o n d ie n te a x „ 4- h, se p u e d e o b te n e r c o n p o c o tr a b a jo a d ic io n a l e l v a lo r >•,, q u e c o r r e s p o n d e a A"„ — h, o b te n ié n d o s e e n to ta l tr e s v a lo r e s in ic ia le s d e y. E je m p lo 3. H á lle n s e , c o n c u a tr o d e c im a le s c o r r e c ta s , l o s v a lo r e s d e y . c o r r e s p o n d ie n te s a x = y x = — 0 ,2 , d e la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d i-
0.2
(dyldx) = x--y*¡ 10, con Ia condición inicial y = 1 pura x = 0 C om o se pide la solución con cu atro decim ales correctas, se o bten drán en este ejem plo cinco decim ales y seguidam ente se aproxim ará el resultado a cuatro decim ales Se tiene
d'
di tP y _
dx* t/ > _
dx* =
MÉTODOS GRÁFICOS Y NUMÉRICOS
303
A sí p u es, se tie n e la se rie d e T a y lo r y = 1 — 0,1/1 + 0,516* — 0,0343/!’ + 0 ,0043/j’ +
,
Si /i = 0,2, e l té rm in o c o n h ‘ v a ld rá 0,0000027; este e s u n e r r o r d e co rte a d m isib le , d e m o d o q u e y , = I — 0 ,0 2 + 0,0204 — 0,00027 = 1,0001 y , p a r a h — — 0,2, y , = ( + 0 ,0 2 + 0,0204 + 0,00027 = 1,0407 P u e d e u sa rs e e l te o re m a d e T a y lo r p a r a in ic ia r la so lu c ió n d e u n a e c u a ció n d e c u a lq u ie r o r d e n e n e l s u p u e s to de q u e la s d e riv a d a s su c esiv as p u e d a n c a lc u la rs e a p a r tir d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l E je m p lo 4 . L a fu n c ió n d e L a n e - E m d e n d e ín d ic e n e s la so lu c ió n d e la ecu a ció n dx*
xdx
}
q u e sa tisfa c e la s c o n d ic io n e s in icia les y = 1 e y ' = 0 p a ra x = 0 C alcú len se tre s v a lo res d e la fu n c ió n d e ín d ic e 2 c o n c u a tr o c ifra s decim a les Se tie n e q u e x y " + 2 y ' + xy~ = 0. D e riv a n d o se o b tie n e : x y ' " + 3 y '+ y s + 2 x y / — 0,
.vyw I 4.v"‘+ 4 y y + 2.v(>') * + 2.c>v" = 0
H a c ie n d o (y ), = I c (y')o :: 0 , se tie n e
< > ")„= - 7:.
(/ "). = 0
D e riv a n d o o tr a v e z d o s veces, re su lta n :
46
Aryv-| 5y‘, T 6 (y ')* \ 6 y y ' + 2 x y / ' - x y 'y "
0,
xy*l4 6 y '’+ 2 4 / y '- |- 8 y y " . « .< • / / " i-2xyyk -i-6.r(y')s ■ 0. d e d o n d e, <>'■). = 0
( y '”) . =
D e riv a n d o o tr a vez y h a c ie n d o x — 0 , se t i e n e ; 7(y*')o+4O (y3»(y'-')o+ 3 0 ( y ') aa+ lO (y )„(y ")„ = 0, y. e n c o n secu en cia,
- - !a/„
R e su lta asi la se rie , y’
h \ hl
116* ,
Ó + Ó0
7560
Si lo s tre s p rim e ro s té r m in o s h a n d e d a r u n a so lu c ió n c o rre c ta co n c u a tr o c ifra s d ecim ales d e b e rá te n e rse
1 I /l*
—
.0 ,0 0 0 0 5
o sea, ( ! 0 6 ‘) < 34 364, d e d o n d e lO/i < 5, a p ro x im a d a m e n te . E n c o n se c u e n c ia , p u e d e n u sa rs e tre s té rm in o s d e la se rie p a ra c a lc u la r v a lo re s d e y p a ra h = + 0 .2 y 0 ,4 A si p u es,
304
ECUACIONES DIFERENCIALES v( - 0 .2 ) == 1 + 0,00667 4- 0,00003 = 1,0067 >'(0,2) = I — 0,00667 4- 0,00003 = 0 0034 >(0,4) = I — 0,02667 + 0,00043 = 0,97.38
Ejercicios
9 (b)
1
M uéstrese q ue un d esarro llo ecuación y ' — 1 — jcv , con y y = x — x '/ 3 + C alcúlese el v alor d e y p a ra
en se n e d e T a y lo r de la solución d e la = 0 para x = 0 , es: x >/ i 5 — jrT/105 4- . . . x = con c u a tro cifras significativas.
2.
M uéstrese q ue un d esarro llo en serie de T a y lo r d e la solución de la ecuación y ' y 3 = 1 con y = 0 p a ra x = 0 , es: y =. x — x ' l 3 4- 2 ^ / 1 5 — 1 7 ^ /3 1 5 4- . . . Utilícese la serie para calcu lar con tres cifras significativas ígh (0,2), tgh (0.4) y tgh (0,6).
3.
M uéstrese q ue Ja solución de la ecuación y ' + y 2 = x 2 co n y = 0 p ara x — 0 es y — Jt3 / 3 — x 163 t 2 a “ / 2 0 7 9 — . . . C alcúlese el v a lor d e y con c u a tro cifras significativas p a ra x = + 0,2 y x = ± 0,4.
1
4. M uéstrese q ue una solución de la ecuación y ' ( y ’¿ 4- 1) = x* con y — ü p ara x — 0 es y = x 3 j 3 — x ’/81 4- x l i /729 — . . . C alcúlense los valores de y , co n c u a tro cifras significativas, p a ra a = + 0 , 5 p = + l . 5. M uéstrese q ue la fu n ció n d e L a n e -tm d e n d e índice 3, q u e es la solución de la ecuación y " 4- 2 y ' l x T y 3 = 0 co n y = 1 e y ' — 0 para x = 0, tiene el d esarro llo en serie d e T a y lo r 1 — x 4- x * i 40 4- . con e rro r d e co rte d e 19*®/5040. H állense los valores de la función p a ra x = ± 0,2 y x — ± 0,4, co n c u a tro c ifras signi ficativas
2¡6
6. M uéstrese q ue la solución d e la ecuación (y 2 + l) y " = (2y — 1) <>•')*, co n y = 0 e y ' = 1 p ara x = 0 , puede expresarse com o la se n e d e T ay lo r x — x 2/2 + 2 x3/ } — 3jc*/4 4- 1 Ije°/I2 — . . . C alcúle se y p a ra x — — 0 .2 y x = + 0,2. 9 .6
E l n ic to d o d e P ic a r á
t i m é to d o d e P ic a rd p a ra h a lla r u n a so lu c ió n d e la e cu a c ió n d ife re n c ia l y ' — ¡ ( x , y ) c o n y = y„ p a ra x = c o n siste en to m a r la so lu ció n fo rm al
y s u s titu ir tin v a lo r a p ro x im a d o d e y, c o m o y = y„, e n el in te g ra n d o . U n a vez re a liz a d a la in te g ra c ió n se o b tie n e u n a s e g u n d a a p ro x im a ció n d e y. E sta se g u n d a a p ro x im a c ió n se su s titu y e a s u ve/, en el in te g ra n d o y se o b tie n e asi u n a te rc e ra a p ro x im a c ió n , t i p ro ceso se c o n tin ú a h a s ta q u e la d ife re n c ia e n tre d o s a p ro x im a c io n e s su c e sivas sea m e n o r q u e el e r r o r a d m isib le e n e l v a lo r d e y
MÉTODOS GRAFICOS Y NUM ÉRICOS
305
P u e d e d e m o s tra r s e * q u e e l p ro c e s o e s c o n v e rg e n te si f(.x, y ) es u n a fu n c ió n c o n tin u a u n iv a le n te d e x c y e n la v e c in d a d d e .r„ e y„. C u a n d o e s to se v e rific a se o b tie n e u n a so lu c ió n d e la e c u a c ió n d if e r e n c ia l. Si las in te g ra c io n e s su c e s iv a s p u e d e n e fe c tu a rs e , el m é to d o p r o p o rc io n a u n a so lu c ió n fo r m a l d e la e c u a c ió n d if e re n c ia l, p o s ib le m e n te c o m o u n a s e rie in fin ita . Si la s in te g ra c io n e s n o p u e d e n e fe c tu a r s e , p u e d e e sc o g e rse u n in te rv a lo h y u s a rs e m é to d o s n u m é ric o s d e in te g ra c ió n e n el in te rv a lo d e x = x„ a x — x „ -I- h, p a r a o b te n e r a p ro x im a c io n e s s u c e s iv a s a l v a lo r >•, c o rr e s p o n d ie n te a jt„ 4- h. No e s in d is p e n s a b le lo m a r y„ c o m o la p r im e r a a p ro x im a c ió n a y ; o tr a s a p ro x im a c io n e s , c o m o y „ (l + x — x „). h a rá n a v eces m á s se n c illa la in te g ra c ió n y d a r á n m a y o r ra p id e z d e c o n v e rg e n c ia a l p ro c e d im ie n to . Ejem plo 5. Hállense, corréelas hasta la cuarta decimal, soluciones de la ecuación diferencial Y = x ' + y \ con y -■ 0 para x — 0, para x — 0,4 y . t - 0,», T o m a n d o >•„ = 0 c o m o p rim e ra a p r o x im a c ió n , se tie n e p a ra u n a se g u n d a a p r o x im a c ió n . X
Jo
y3
x 'A = *
3
y p a r a u n a te r c e r a a p r o x im a c ió n .
R e p itie n d o el p r o c e d im ie n to Se tie n e
_ x3 3 y , d e m a n e r a a n á lo g a , _ x3
x5
2x“
X 15
63 + 2 0 7 9 + 1 5 x 6 3 x 6 3 ’ x’
3 + 63
2xn
3 9 x 16
2079 + 63 x 99
x 105 + ' ’ "
E l (é rm in a c o n x l! p u e d e d e s p re c ia rs e si x = 0 .8 , y e l té r m in o co n r " si x = 0 ,4 , y r e s u lta :
9 .7
si x - 0 .4 ,
y r - 0 ,0 2 1 3 3 + 0 .0 0 0 0 3 = 0.0214,
si x = 0 ,8 ,
y — 0 ,1 7 0 6 7 + 0 ,0 0 3 3 3 + 0 .0 0 0 0 8 - 0,1741
E l m é to d o d e E u le r
El m é to d o d e E u le r id e n tific a la c u rv a in te g ra l d e ¡a e c u a c ió n y ' = f ( x , y ) c o n su ta n g e n te e n e l p u n to (x„, y„) e n u n p e q u e ñ o * V case. p n r e je m p lo , E . L . In ce, O r d i m r y O i ff ir o n n a l E q u a tio n s . L ongm a n s C .reen a n d C o ., L o n d re s . 192?. r e im p re s ió n p o r D o v e r P iib ltc a n o n s I n c , N u e v a Y o rk , 1956. § 3 .2 .
306
ECU A CIO N ES D IF E R E N C IA L E S
in te r v a lo d e x„ a x„ + h . A s í, p u e s , c o m o la p e n d ie n te d e la t a n g e n te es j(x „ , y 0). s e tie n e :
yi— y» = /'/(*:. >u)
(O
E s ta b u r d a a p r o x im a c ió n p u e d e m e j o r a r s e to m a n d o e l g r a d i e n te d e l a c u r v a in te g r a l c o m o la m e d ia d e la s p e n d ie n te s e n x 0 y x 0 + h , o s e a , u tiliz a n d o el v a lo r a p r o x i m a d o o b te n id o p a r a y , , s e o b tie n e u n v a lo r a p r o x i m a d o ( y ,) , d a d o p o r ( > '1)1 - > ’o - 4 ' { / 4 o , y o ) 4 / ( x 0 + h , y j } .
(2 )
E s te p r o c e d im ie n to p u e d e r e p e tir s e h a s t a lo g r a r la c o n c o r d a n c i a , h a s t a e l g r a d o d e e x a c titu d d e s e a d o , e n tr e d o s a p r o x i m a c i o n e s s u c e siv a s. E jem plo 6. Hállese el valor d e y para x = 0,2 sobre la curva integral d e la ecuación y ' — x 1 — 2y q u e pasa por el p u m o x = 0, y — 1. Se tiene q ue
P o r el m é to d o d e P ic a rd o b té n g a n s e a p ro x im a c io n e s su cesiv as a la so lu c ió n d e la e c u a c ió n y ' = x 2/ ( 1 -1- y 2), c o n y = 0 p a r a x = 0. C a lcú len se c o n tre s c ifra s sig n ificativ as lo s v a lo re s d e tr e s a p r o x i m a c io n e s su cesiv as p a ra x = i .
3. A p liq ú e se el m é to d o d e P ic a rd p a r a h a lla r la so lu c ió n d e la e c u a ció n y ' = x — y 2/ 10, c o n y = 1 p a r a x = 0 , e n la fo rm a y = 1 — jc/ 10 4 5 1 x 2/ l 0 0 — 103jrs/3 0 0 0 + . . . 4. U tilícese el m é to d o d e P ic a r d p a r a a p r o x im a r la so lu c ió n d e la e c u ació n y ' = x 2 4 x y + y 2, c o n y = 0 p a r a x — 0 , y c a lc ú le se el v a lo r d e y c o n c u a tr o c if ra s sig n ifica tiv a s p a ra x — 0,5. 5. H á lle se el v a lo r d e la so lu c ió n d e la e c u a c ió n y ' = 2 x — y / x , c o n y — 1 p a ra x = I , p a r a x = 1,2. 6. M u éstrese q u e la a p lic a c ió n re p e tid a del m é to d o d e E u le r p a r a h a lla r la so lu c ió n d e la e c u a c ió n y ' 4- 2 x y 2 = 0 , c o n y = 1 p a r a x = 0, p a ra x — h , c o n d u c e a la so lu c ió n y = 1 /(1 + /i2). 7. U tilícese el m é to d o d e E u le r p a ra b a ila r e l v a lo r d e y p a r a x — 0 ,2 , en la so lu c ió n d e la e c u a c ió n y ' = x — y 2, c o n y = 0 p a r a x — 0. 8. U tilícese e! m é to d o d e E u le r p a r a h a lla r e t v a lo r d e y p a r a x = 0,3,
MÉTODOS GRÁFICOS Y NUMÉRICOS
307
en la solución d e la ecuación y ' = x — y 1/ 10, con y = 1 p a ra x = 0, y com párese el resu ltad o con el o b ten id o en el ejem plo 7 del a r tículo 9.8. 9.8
F ó rm u la s d e R u n g e -K u tta
D o s a p ro x im a c io n e s , d e b id a s a R u n g e y K u lla , se u s a n c o n fr e c u e n c ia p a r a o b te n e r v a lo re s d e in ic ia c ió n p a r a la so lu c ió n d e ia e c u a c ió n y ' = f( x , y ) c o n y = y„ p a r a x = x„. L a s fó rm u la s d a n u n v a lo r a p ro x im a d o d e y , c o rre s p o n d ie n te s a l v a lo r x„ + h , p a r a v a lo re s p e q u e ñ o s d e h . i)
A p r o x im a c ió n d e te r c e r o rd e n . y i - J ' o = K fc i+ 4 fc 2 + J c 3),
(1)
donde
(2)
k ¡ = h f ( x 0, y 0) ,
= h f( x 0 +h l 2 , y 0 -{-ki l2),
(3)
k i = h f ( x 0 + h , y 0 + 2 k 1 - k ¡).
(4)
k2
E s ta a p ro x im a c ió n e s e q u iv a le n te a la re g la d e S im p so n p a ra la in te g ra c ió n a p ro x im a d a d e f( x , y ), y el e r r o r e n e l c á lc u lo d e y , es d e l o rd e n d e h*. ii)
A p r o x im a c ió n d e c u a r to o rd e n . y l - y o = & k l + 2 k 2 + 2 k 3 + kA),
(5)
donde k ¡ = h f ( x 0, y 0),
(6)
k2 ^ f t f ( x 0+hl2,y0+ k ll2),
(7)
k 3 = h f( x 0 + h l 2 , y 0 + k 2l2),
( 8)
k * — h f ( x 0 + h, y 0 + k 3).
(9)
C o n e s ta fó rm u la el e r r o r en y , e s d e l o rd e n d e h \ E s e v id e n te la a n a lo g ía c o n la reg la d e S im p so n . E s ta s fó rm u la s se e s ta b le c e n c o n s id e ra n d o el d e s a rro llo e n serie de T a y lo r d e y en p o te n c ia s d e h . o b te n ié n d o se la s d e riv a d a s su c e siv as d e y c o m o en el a rtíc u lo 9 .5 . S e tie n e : y - > 'o = hf0+ i h 2(p0+ f 0q0) + % h \ r 0 + 2f0$0+ f 02t0+ p0q0+ f 0q0z) + 0 (ft4),
(10)
308
ECUACIONES D IFEREN CIA LES
donde
y e l s u b ín d ic e 0 in d ic a los v a lo re s d e e s ta s c a n tid a d e s c u a n d o h = 0 , es d e c ir , c u a n d o x = x 0 e y = y a. b n la a p ro x im a c ió n d e te r c e r o rd e n (1 ) se p u e d e n d e s a r r o lla r c a d a u n a d e la s c a n tid a d e s k „ k 2 y k , en p o te n c ia s d e h d e m a n e r a s e m e ja n te . A s í, p u e s ,
ki =V(x0,y0) = hf0, k 2 = ¥ O o + Í M o + ¿fcl)
= * /o + i k \ P o + f 0q 0) + i - h \ r 0 + 2 /0s0 + f 0 2t 0) + 0 ( h 4). A h o r a b ien 2 k 2— Ar,
—/i/o+ h2(p0+/o?o) + • • ■>
de m odo que
E n c o n se c u e n c ia , k 3 = kf ( x 0 + h , y 0 + 2 k 2 - k 1)
= ¥ o + k2 ( P o + f o Q o ) + W { r 0 + 2 f 05Q+ fo 2t 0 + 2 q 0( p 0 + f oq 0) } + O ( h % P o r lo q u e %(kl + 4L 2 + /cj) = ¥ o + i h 2(p 0 + f 0q 0) + ¿ / ¡ 3( r 0 + 2 /0,s0 + / 02 1 0 + p 0q 0 + f 0 q 02) + 0 ( h 4). E s to c o n c u e rd a c o n el d e s a r ro llo en se rie d e T a y lo r (1 0 ) h a s ta e l té r m in o e n /i3 y , p o r ta n to , la fó r m u la q u e d a e s ta b le c id a . L a a p r o x im a c ió n d e c u a r to o r d e n se e s ta b le c e d e m a n e ra a n á lo g a , to m a n d o o t r o té rm in o e n la s e rie d e T a y lo r. E s e v id e n te d e lo a n te r io r q u e s e ría e r r ó n e o e s p e r a r q u e las fó rm u la s d e R u n g e -K u tta p r o p o r c io n a r a n in fo rm a c ió n m á s e x a c ta q u e el m é to d o d e la s se rie s d e T a y lo r d e l a r tíc u lo 9 .5 . Sin e m b a r g o , en o c a sio n e s so n m á s se n c illa s d e a p lic a r , p e ro se h a c e n m á s c o m p lic a d a s si se u s a n p a ra m á s d e d o s o tr e s e ta p a s . Ejem plo 7. Hállense, con tres cifras significativas, valores de y correspon dientes a x = 0,1, 0,2 y 0,3, para la solución de la ecuación diferencial y' — x — y /IO. co n la condición a la frontera d e que y = 1 para x = 0.
M ÉTODOS GRÁFICOS Y N UM ÉRICOS
309
C o n h =■ 0 ,1 , s e tie n e h ' = 0,0001 y p u e d e u s a rs e la a p r o x im a c ió n d e te r c e r o r d e n d e R u n g e - K u tta . P r im e r a e t a p a .
x0 = 0 >o = 1 /o = - 0 1
k, -
- 0 01
>0+ l * i = 0-995 * a = 0 - 1 {0-05-0-1(0-995)*! = - 0 - 0 0 4 9 2*„—* , = 0-0002
*3 = 0-1{0-I —0-1(I-0002)=¡ = 0 ¿(Atí-í- 4*»-+-*,) = —0 0049 > , = 0-9951. S eg u n d a e ta p a :
>0 = 0-1 >o = 0-9951
/» = 0-0010 * , = 0-0001 T o + 1 * ! = 0-9952 *3 = 0 -l{ 0 -1 5 —0 - 1(0-99S2)4¡ = 0-0051
2 * * -* , = *3 = í( * i + 4*a + *a) >, = T e rc e ra e ta p a : x
0-0101 0-1 (0-20-0-1 (1-0052)*} = 0-0099 0-0051 1-0002.
0 — 0*2
> 0 = 1 0002
/„ = 0-1000 * , = 0-01 >o + i * i = 1 0052 * , = 0-1 {0 -25-0-1(1-0052)*} = 0-0149 2* , - * , = 0 0 1 9 8 * a = 0-1 {0-30-0-1(1-02)*} = 0-0196
¿ (* ,+ 4 * ,+ * a) = 0-0149 > , = 1 0151. A s i p u e s , c o n I r e s c if r a s sig n ific a tiv a s , l o s v a lo r e s d e y s o n 0,9 9 5 , 1,000 y 1.015. E l le c t o r d e b e r á c o m p a r a r e s te e je m p lo c o n e l e je m p lo 3 d e l a r t ic u lo 9 .5 y o b s e r v a r lo s p e q u e ñ o s e r r o r e s q u e h a c e n in e x a c ta la c u a r t a d e c im a l e n e l m é t o d o d e R u n g e - K u tta . L o s v a lo r e s d e > o b te n id o s d e la s e rie d e T a v l o r c o n c u a tr o c if ra s d e c im a le s s o n 0 ,9 9 5 1 , 1,0001 y 1,0150.
E jercicios
9 (d)
U tilícen se las fó rm u la s d e R u n g e -K u tta p a ra c a lc u la r tres eta p a s d e las so lu cio n es de las sig u ien tes e c u acio n es co n el in te rv a lo h q u e se especifica, c o n el n ú m e ro d e c ifra s significativas p ed id o .
310
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
ECUACIONES DIFEREN CIA LES
y ' ~ x — y c o n y = 0 p a ra x = 0 , h = 0,2, c u a tro c ifra s significa tivas. y ' — x — y 2 con y = I p a ra x = ff, h — 0,25, tre s c ifra s significa tivas. y ' - x 2 + y - con y = 0 p a ra x = 0 , h = 0,2, c u a tr o c ifra s significa tivas y ' — (x — y ) i ( x + y ) c o n y = 1 p a ra x = 0 , h = 0 ,2 , c u a tro c ifras significativas. y ' = * 2 + x y + y 2 co n y = 0 p a ra x = 0, h = 0,25, c u a tro c ifras significativas. y y ‘ = 1 -I- — co n y = 1 p a r a x = 1, h = 0,2, c u a tr o c ifras signifi cativas. y ’ — ( x 2 + y 2) / ( x + y), y = 1 p a ra x — 0, >¡ = 0 , 1 , tre s c ifra s sig nificativas. y ' -i- y 2 + y / x + 1 = 0 , y = 0 p a ra x = 0 , h = 0,2, co n c u a tro cifras significativas. V erifiq ú ese q u e la so lu ció n es y = — /,(*)/./„(;<).
9 .9
D ife re n c ia s fin itas
S e c o n s id e ra n a h o r a a lg u n o s a s p e c to s d e la te o r ía d e d ife re n c ia s fin ita s q u e so n n e c e s a ria s p a r a e n te n d e r la s fó r m u la s u tiliz a d a s en la in te g ra c ió n d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s. C o n sid é re se la fu n c ió n f ( x ) - x* + x . P u e d e n ta b u la r s e lo s v a lo re s d e !a fu n c ió n p a r a x = 0 , 1, 2 , 3 , . . y la s d ife re n c ia s e n tr e lo s v a lo re s su c e siv o s. T a m b ié n p u e d e n ta b u la r s e la s d if e re n c ia s d e e s ta s d ife re n c ia s , y a s í s u c e s iv a m e n te . A s í, re s u lta X
/( * )
0
0
1
2
2
10
3
30
4
68
5
130
6
222
w
V 2/(-v )
2 8 20 38 62 92
6 12 18 24 30
v 3/ w
vy«
6 6 6 6
0
0 0
E n e s ta ta b la , c a d a c o lu m n a V / , V 2/, . . . , r e p r e s e n ta la d if e r e n cia e n tr e lo s n ú m e ro s d e la c o lu m n a a n te r io r in m e d ia ta m e n te a rr ib a y a b a jo d e s u m is m o n iv e l. D e b e rá o b s e r v a rs e q u e la s te r c e r a s d ife -
MÉTODOS GRÁFICOS Y NUM ÉRICOS
311
re n d a s son aquí todas iguales y que la cuarta diferencia es cero; esto se debe a que f(x) es un polinom io d e tercer g rado. Deberá observarse tam bién que cada valor de la función p u ede obtenerse sum ando la función y las diferencias que están en una diagonal que parte del valo r de la función precedente. A sí, 130 + 62 + 24 + 6 = = 222, y el valo r de la función cuando * = 7 es 222 + 92 + 30 + + 6 = 350. Se utilizará la notación de diferencias retrógradas, de m odo que si /o. f u fi, • ■■, son valores sucesivos de la función V/i = / i - / 0,
V/2= / 2- / „
y, en general, V/a
D e m anera sem ejante V 2A = Vf2 - V/, = /2- 2/, +/0,
y, en general,
v y ■ - v '- y .- v '- 1/ .- ,. Así, pues, la últim a diagonal de la tabla p ara f ( x ) = x 3 + x da los valores de f e , V /6, V2/ 6, V3/ 6i V“/ 6,
y se ha visto que / 7 = ( i + V + V 2 + V 3 + . . . ) / 6. Se dan los siguientes teorem as sobre diferencias finitas sin de m ostración; puede consultarse algún texto sobre el asunto *.
A quí los coeficientes son los del desarrollo del binomio. Esto se ilustra en la tabla de x 3 + x , donde Y 1/ = 0, resultando f r — 4 / r - i + 6/r_ 2 —4/r_ 3-t-/r_ 4 = 0
p a ra todos los valores de r. (ii)
Y"/,, = h ' " ' f 0" " + potencias superiores de h
donde h es el intervalo d e los valores de x y
=
(2)
I y— f ( x ) l
L cx
\x=0
E ste teorem a se dem uestra suponiendo un d esarrollo en serie de T a y lo r de f r = f ( r l ¡ ) en potencias de h . Se deduce que la (ti + l)-ésím a diferencia de un polinom io de grado n es cero. (üi)
/ ,+ » = ( I + V + V 2+ V 3+ . . . ) / „ .
(3)
* P o r e je m p lo , L . M . M iln c - T h o m p s o n , T h e C a lc u la s o f F in iie D iffc r e n c e s, M a c m illa n , 1951.
312
ECUACIONES DIFERENCIALES
E s te es el ¡e o re m a q u e y a se h a b ía h e c h o n o t a r d e q u e c a d a v a lo r d e la fu n c ió n en la ta b la d e d ife re n c ia s es la s u m a d e lo s té rm in o s d e la d ia g o n a l a n te rio r. (i v) / { ( « + x ) h ) = 1 1 + x V +
y* + * £ + .
+ 2V
+ . . j / n. {4)
E s ta e s la fó r m u la d e in te r p o la c ió n d e N e w to n - G r e g o r y e x p r e s a d a en fu n c ió n d e la s d ife re n c ia s r e tró g ra d a s . E s ta fó r m u la s e b asa e n la h ip ó te sis d e q u e f( x ) os u n p o lin o m io e n a , p e r o se u sa p a ra a p r o x im a r lo s v a lo re s in te rp o la d o s d e o tr a s fu n c io n e s. 9 -1 0
F ó rm u la s d e A d a m s-B a sh fo r th
E n la re s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d if e re n c ia l y ' = f ( x , y ) d e b e d e te r m in a rs e u n c ie r to n ú m e ro d e ’v a lo re s d e y p o r u n o d e lo s m é to d o s d e s c rito s e n lo s a rtíc u lo s a n te r io r e s . S o n n e c e s a rio s p o r lo m e n o s tre s v a lo re s, p e r o c in c o o m á s so n c o n fre c u e n c ia m á s c o n v e n ie n te s p a r a in ic ia r u n p ro c e d im ie n to d e d ife re n c ia s fin ita s. S e s u p o n d r á q u e e sto s v a lo re s e s tá n ta b u la d o s c o n lo s v a lo re s c o rr e s p o n d ie n te s d e f ( x , y ) p a r a u n in te rv a lo h d e x . S u p o n ie n d o q u e s e tie n e n c in c o v a lo re s d e in ic ia c ió n , s e in d ic a rá n e sa s c a n tid a d e s p o r lo s sím b o lo s x „ yr y / r, S ien d o r = — 4 , — 3 , — 2 , — 1 y 0 . y se d a r á u n a ta b la d e d ife re n c ia s d e los v a lo r e s d e / . A s í, p u e s. X
y
X _4
y-x
f- A
y-1
f-3
/(a ,
y)
v/
V2/
V 3/
vy
V /- 3 v 2/
-2
V /-2
X -2
y —2
f —2
V 3/ - , V 2/ - ,
V /.,
y -1
/-,
V 4/ o V 3/ „
V 2/ o
V/o *0
yo
Jo
E l v a lo r sig u ie n te , se o b tie n e u tiliz a n d o la fó r m u la d e in t e r p o la c ió n d e N e w to n -G re g o ry d e l a rtíc u lo 9 .9 (4 ), e in te g rá n d o la p a ra v a lo re s d e x e n tr e x 0 y x , . A s í, re s u lta
y t - ) ’o =
f{ x 0+ xh)dx
MÉTODOS ORATICOS Y NUMÉRICOS
313
A h o r a b ien
144 ‘x ( x + 1)(X + 2 ) f f r _ 3
í,
3!
8’
2!
12
ÍMx ( x + l ) ( x + 2 )(x + 3 ) r f r _ 2 5 1 o
4!
*
720’
y , p o r la n ío ,
y y - y 0 = ft{ i+ iv + Tv v 2+ i v 3+ A |iv4+
( 1)
E s ta e s la fó r m u la d e p re d ic c ió n d e A d a m s - B a s h fo rth p a r a e s tim a r el v a lo r d e y , u tiliz a n d o ta n ta s d ife re n c ia s d e >■„ c o m o h a y a d is p o n ib le s , o c u a n ta s se a n n e c e s a ria s p a r a o b te n e r c ie r to g r a d o d e e x a c titu d . E l té r m in o c o n V ' e n la fó r m u la (1 ) e s /i(9 5 /2 8 8 )V sÉ¡, q u e p u e d e u s a r s e p a r a c a lc u la r el e r r o r d e c o rte a l to m a r só lo h a sta la c u a r t a d ife re n c ia . D e la e c u a c ió n (2) d e l a r tíc u lo 9 .9 , é ste e s a p r o x im a d a m e n te I /3 A0/ . / 5' L a sig u ie n te e ta p a c o n s is te en c a lc u la r e l v a lo r d e f{ x „ y ,) y a g r e g a r / , y su s d if e re n c ia s , V / , , V 2/ ........... en la ta b la d e d if e re n c ia s. C o n s id é re s e a h o r a la fó r m u la d e c o rr e c c ió n
_ . _}/i>
yy-y0=
(2 )
E s ta f ó r m u la se o b tie n e in te g ra n d o la fó r m u la d e in te rp o la c ió n d e N e w to n -G r e g o ry p a r a /( x , — x h ) e n tr e x„ y x , ; y , p u e s to q u e los c o e lic ic n te s so n m e n o re s q u e e n la e c u a c ió n (1 ), e s ta fó r m u la d a u n e r r o r d e c o r te m e n o r. A sí, e l té r m in o T * e s — /í(3 /1 6 0 )V 'Y ,, a d if e r e n c ia d e /i(9 5 /2 8 8 )V 7 „ d e (1). L o s v a lo re s d e / , y su s d ife re n c ia s se s u s titu y e n en la fó r m u la d e c o rre c c ió n (2 ) y se o b tie n e u n n u e v o v a lo r d e y , q u e p u e d e in d i c a r s e p o r ( y ,) ,. S i lo s v a lo r e s d e y , n o d ifie re n a p re c ia b le m e n te , se p u e d e a c e p ta r e l v a lo r d e ( y ,) , c o m o c o rr e c to y p ro c e d e r al c á lc u lo d el s ig u ie n te v a lo r y a. S in e m b a r g o , si h a y u n a d if e re n c ia d e c in c o u n id a d e s o m á s e n la ú ltim a d e c im a l, / , y su s d ife re n c ia s d e b e rá n re c a lc u la r s e u s a n d o el v a lo r (y ,) , y u s a r d e n u e v o la fó r m u la d e c o rr e c c ió n . E s te p ro c e d im ie n to d e b e c o n tin u a rs e h a s ta q u e c o n c u e rd e n lo s v a lo r e s c o n s e c u tiv o s d e y ,. Ejem plo 8. Calcúlense, con cuatro cifras significativas, lres clapos más en la solución d e la ecuación y ' = x — y8/ 10, con y = 1 p ara x = O, dados los valores x =
— 0 ,2
y = 1,04068
— 0,1
0,1
0 ,2
1,01513
0,99507
1,00013
314
ECUACIONES D IFE R E N C IA L E S S e c a lc u la n p r im e r o lo s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s d e f ( x ) = x — y 1/ 10 y se c o n s tru y e la t a b l a d e d if e re n c ia s h a s ta la lín e a d e tr a z o s . X
y
/ = * —y ’/1 0
X-,
—0 2
1-04068
-0 -3 0 8 3 0
X-:
-0 1
1-01513
- 0 -2 0 3 0 5
V2/
v/
V3/
vy
10525 -2 2 0 10305 0
X-,
13
- 0 10000
1 00000
-2 0 7
-5
10098 X -l
OI
0-99S07
8
+ 0-00098
-1 9 9
-7
09899 x„
—
X,
„,
0-2 0-3
1-00013 —
0-09997
1 01499
0-19698
_. “
1
-*
-1 9 8
09701 -2 0 4 09497
X,
0-4
1 03945
-7 -6 -2 -8
0-29195
-2 1 2 09285
X,
0-5
1-07331
0-38480
U tiliz a n d o la f ó r m u la ( 1 ) s e tie n e y , — y„ = 0,1
0 9 9 9 8 — 83 I 049 5 0 2¡ 00003 14951
= 0 ,0 1 4 8 6 6 1,00013
85
y , = 1,01500
En c o n s e c u e n c ia , f , = 0 ,1 9 6 9 8 y la s d if e r e n c ia s s e a n o t a n b a jo d e tr a z o s A p lic a n d o o t r a v e z la f ó r m u la (2 ), (>'.), — y»= 0 , 1 1 19698 — 04 8 5 1 1 1, 17 J
la lín e a
= 0 ,0 1 4 8 6 4 1,00013
(y,), - 1,01499
19715
A c e p ta n d o e s le v a lo r d e ( y ,) , s e u s a la f ó r m u la (1 ) p a r a d e te r m in a r a y, y-j — y , = 0 , i J 19698 — 83 l 104850— 3 | 24548
= 0 ,0 2 4 4 6 2 1,01499 y, -
86
1,03945
E n c o n s e c u e n c ia . I , -- 0 ,29195 y se a n o t a n la s d if e r e n c ia s e n s e g u id a , d e la f ó r m u la (2 ) s e tie n e (y a) i — y ,
= 0,1 j 291 9 5 — 0 4 7 4 8 | í. 17 / 29212
la ta b la .
En
= 0 ,0 2 4 4 6 4 1,01499 0 5 , ) . = 1,03945
U tiliz a n d o d e n u e v o la f ó r m u la ( I ) se o b tie n e y» — >'v
= 0,1
| 2 9 1 9 5 — 851 0 47 4 8 2¡ 3.3943
87
= 0 ,0 3 3 8 5 6 1,03945 y 3=
1,073.31
E n c o n s e c u e n c ia , f , - - 0 ,3 8 4 8 0 y la s d if e r e n c ia s s e a n o t a n e n la ta b la . U s a n d o la f ó r m u la (2) s e tie n e . ( y ,) , — y , -
0,1 i 38480 — 0 4 6 4 2 [ I 18 | 38498
~ 0,03 3 8 5 6 1,03945 ( y ,) , =
1,07331
Se lle n e n a s i lo s t r e s v a lo re s d e y , 1,0150, 1.0395 y 1,0733.
M ÉTODOS G RÁ FICO S Y N U M É R IC O S
9.11
315
Uso de la regla de Simpson
L a re g la d e S im p s o n p u e d e u s a r s e p a r a c o n t i n u a r la in te g ra c ió n d e la e c u a c i ó n y ' — / ( x . y ) s in u tiliz a r la s d if e r e n c ia s fin ita s . L a f ó r m u la a d e c u a d a e s : y i- y-i = W
- i + 4/ o + / i ) -
(1 )
P a r a e s t i m a r el e r r o r c o m e t id o a l u s a r la f ó r m u la d e S im p s o n , s e e s c r ib e la f ó r m u la d e c o r r e c c ió n d e A d a m s - B a s h f o r t h (2 ), d e l a r t íc u l o 9 .1 0 (2 ) , p a r a y n — y _ „ e s d e c ir , y 0 - y - t = / i ( i - - - ^ v 2- - & V 3 _ S u m a n d o é s t a a la f ó r m u la d e p r e d ic c ió n ( I ) , d e l a r t íc u l o 9 ,1 0 , s e tie n e y i - y _ , = /i(2 + i V i + 4 V 3 + ¿ f V 4 + . . , ) / 0 . (2 ) A h o r a b ie n , /_ , — (1 —-V )/,, y f , = (1 + + V + V 1 + V 5 + , . ,)f„, d e m o d o q u e W - i + 4 / o + Z , ) = ft(2 + i V 2 + i V 3 + *V 4 + . . . ) / 0 . P o r ta n t o , u ti li z a n d o la e c u a c ió n (2) P i —P - » — i W f - i + 4 / 0 + / 1) — A s í, e l o sea, La r e n c ia l d e c ir ,
+ . . . ) / 0.
e r r o r d e c o r t e c o m e tid o a l u s a r la f ó r m u la (1 ) e s (A /9 0 )V 4/„ . (/is/9 0 )/„ ,v. re g la d e S im p s o n s e u s a e n la re s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d if e to m a n d o la s q u in t a s d if e r e n c ia s d e l v a l o r d e / c o m o c e r o , e s V s/ i “ / 1 - 5 /0 + 1 0 / _ , - 1 0 /_ 2 + 5 /_ 3 - / _ 4 = 0 .
(3 )
A h o r a b ie n , si lo s c in c o v a lo r e s d e y„ a y _d se c o n o c e n , p u e d e n h a lla r s e lo s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n t e s d e f ( x , y ) y c a lc u la r s e / , d e la e c u a c ió n (3 ). E s te v a lo r d e f , s e s u s titu y e e n s e g u id a e n la e c u a c ió n ( ! ) p a r a o b t e n e r y , — y _ ,. E l p r o c e s o d e c o r r e c c ió n c o n s is te e n s u s tit u ir e l v a lo r o b te n id o p a r a y , e n f ( x , y ) p a r a o b te n e r u n n u e v o v a l o r d e f , . E s te n u e v o v a lo r d e f¡ se s u s titu y e e n la f ó r m u la d e la re g la d e S im p s o n p a r a o b t e n e r u n a s e g u n d a e s tim a c ió n d e y , y , s i e x is to c o n c o r d a n c ia , se c o n ti n ú a la in te g r a c ió n u s a n d o e l v a l o r c o r r e g id o d e Si n o h ay c o n c o r d a n c i a s e r e p ite e l p ro c e s o . E jem plo 9. Utilícese la regla d e Sim pson para calcular, co n cuatro cifras significativas, tres etapas m ás de la solución d e la ecuación y ' = x — y 1i 10, con y = 1 para x = 0, d a d o s los valores x = — 0,2 y = 1,04068
—0,1 1,01513
0,1 0,99507
0,2 1,00013
L os cinco valores iniciales de f(x , y) son, lo m an d o /„ p a ra x = 0,2, para x = 0.1, etc.
316
ECUACIONES D IFE R E N C IA L E S /„ = 0 ,09997 = 0 ,00098
/ - , = — 0,10000 / _ , = — 0 ,20105 = — 0 ,3 0 8 3 0
Así pues, utilizando la ecuación (3) se tiene: / , = 0 ,4 9 9 8 5 — 0 ,0 0 9 8 0 — 0 ,1 9 7 0 0 1,01525 — 1,00000 0 ,3 0 8 3 0 1 ,51510 U tiliz a n d o la re g la d e S im p s o n y, — y -, =
1,31810 (1)
X 0 ,1 /0 .1 9 7 0 0 \ 0 ,39988 ' 0 ,0 0 0 9 8 / 0 ,5 9 7 8 6
-0 ,0 1 9 9 3 0 ,9 9 5 0 7 y , = 1.01500
C o n e s te v a lo r d e y , s e h a lla e l v a lo r d e / , = 0 ,1 9 6 9 8 y é s te n o a l t e r a el v a lo r d e y , U s a n d o d e n u e v o la e c u a c ió n (3 ), / i = 0 ,9 8 4 9 0 — 0 .9 9 9 7 0 - 0 ,29195 0 .0 0 9 8 0 0 ,20305 ________ 0 ,5 0 0 0 0 1,49470
1,20275
y u s a n d o la re g la d e S im p so n , >'» — > . = '/» X 0 ,1 /0 ,2 9 1 9 5 1 0 .7 8 7 9 2 ',0 ,0 9 9 9 7 / 1.17984
= 0 ,0 3 9 3 2 8 1,00013 y, -
1,03946
C o n e s te v a lo r d e y . se h a lla / , = 0 ,2 9 1 9 5 y é s te n o a l t e r a e l v a lo r d e y ,. U s a n d o d e n u e v o la e c u a c ió n (2 ) s e tie n e : f , = 1.45975 — 1,96980 = 0 ,3 8 4 7 5 0 ,9 9 9 7 0 0 ,0 0 4 9 0 0.10000
2 ,45945
2,07470
y u s a n d o la re g la d e S im p s o n , Xi — >, -
‘/ i X O . I I 0 .3847S \ = 0 ,0 58318 1,16780 1,01500 \ 0 ,1 9 6 9 8 / ______ _________ 1.74953
y, =
1,07332
C o n e s te v a lo r d e y , se h a lla f.t = 0 ,3 8 4 8 0 e y , n o se a lte r a . E n c o n s e c u e n c ia , c o n c u a t r o c if r a s s ig n ific a tiv a s , y , = 1,0150, y 2 = 1,0395 e y , = 1,0733
9 .1 2
E l m é to d o d e M ilite
U n m é to d o ú til p a r a c o n ti n u a r la in te g ra c ió n , d e b id o a M iln e , u tiliz a la fó r m u la d e p re d ic c ió n
( 1)
MÉTODOS ORATICOS Y NUM ÉRICOS
317
p a r a la q u e e l e r r o r d e c o r t e e s (1 4 /4 5 )/¡V ‘/„. É s ta p u e d e u s a rs e c o n la reg la d e S im p so n
y i - y - j = iK / i + 4/o+ /_,)
(2)
c o m o u n a fó r m u la d e c o rr e c c ió n , c o n e r r o r d e c o r t e (1 /9 0 )/ iV ‘/„L a fó r m u la d e M iln e se o b tie n e d e la d e A d a m s - B a s h fo rlh ( I ) , d e l a r tíc u lo 9 .1 0 , p a r a lo s c u a tr o in te rv a lo s e n tr e .r, y . r „ d e lo cu a l re s u lta y , - y . 3 = h { l + iV +
4- | V 3 + f f t V 4 + ■ ■ -X /o + / - 1 + f - z + / - 3X
A h o ra b ien / - 1 = (1 —V ) / 0,
f - 2 = (1 ~ 2 V + V 2) / 0 ,
/ _ 3 = ( 1 - 3 V + 3V2 - V 3) / o ,
d e m odo que / o + / - 1 + / - a + / _ 3 = (4 —6V + 4 V 2 - V 3) / 0 . A s í, p u e s , yi
y - z = A ( l + i V + T ^ V 2 + | V J + . . -)(4 — 6V + 4 V 2 —V 3) / 0 = 4 f i ( l - V + i V 2 + ^ V 4 + . . . ) / 0, = 1/3(2/,, -
y , p u e s to q u e (I — V + 2 la q u e d a e s ta b le c id a .
/ , + 2 / „). la f ó r m u
F.jcmplo 10. U tilícese el m étodo de M ilne para calcular tres etapas de la solución de la ecuación v' = x — y ’/U>, con los valores de iniciación da dos en e l ejem plo 9. La fórm ula (1) da y. — y - , = ^ ( 0 .1 9 9 9 4 — 0.20098) j
0,000139 1,01513 1,01499
y, =
En consecuencia, /, = 0,19698 y la form ula (2) da 0,1/0,19698 \ = 0,019928 >'• — -v - ' -
y
I 0 ,39988 | 1 0 .00098 ’ 0 ,5 9 7 8 4
0,99507 y , = 1,01500
U s a n d o d e n u e v o la f ó r m u la (1), _ 0 ,4 / 0 ,39396 — 0.09997 \ >'-* - y 1 0 ,0 0 1 9 6 )
= 0.0394S5 1,00000
y, = E n c o n s e c u e n c ia , f.¡ ~ 0 ,2 9 1 9 5 y la f ó r m u la 0 ,1 /0 ,2 9 1 9 5 \ = — _ T 0 .7 8 7 9 2 1 0 ,0 9 9 9 7 / 1,17984
1.03946
(2 ) d a 0,039326 1,0 0 0 13 _________
y , = 1,03946
318
ECUACIONES D IFEREN CIA LES U s a n d o d e n u e v o la f ó r m u la (1) v ' “
„ _ 0 ,4 /0 ,5 8 3 9 0 — 0 ,19698 \ y ~ ' ~ T 1 0 ,1 9 9 9 4 )
= 0 ,0 7824» 0 ,99507 y , = 1,07332
0 ,78384
E n c o n s e c u e n c ia , /., = 0 ,38480 y la f ó r m u la (2) d a _ 0 ,1 /0 ,3 8 4 8 0 \ = 0,058318 y»— y. = • 1,16780 1,01500 0 ,1 9 6 9 8 / 1,74958
y , = 1,07332
A si p u e s , lo s v a lo re s d e >•„ y 3 e y , c o n c u a tr o c if ra s sig n ific a tiv a s so n ig u a le s a lo s d e te r m in a d o s e n lo s e je m p lo s 8 y 9.
9 .1 3
A c e rc a m ie n to d if e rid o a u n lím ite
U n p ro c e d im ic n lo d e b id o a L . F . R ic h a rd s o n , lla m a d o a ce rc a m ie n to d ife r id o a u n lim ite , p u e d e u s a r s e e n la in te g ra c ió n p o r e t a p a s e n c ie r to in te rv a lo . E n e s te p ro c e d im ie n to p u e d e u s a r s e u n a fó r m u la sim p le d e in te g ra c ió n y to le ra r s e u n e r r o r en c a d a e ta p a , c o n s id e rá n d o s e el e r r o r a c u m u la tiv o u n a v ez q u e se h a c o m p le ta d o ia in te g ra c ió n . E l m é to d o p u e d e u s a r s e p a r a u n a in te g ra c ió n d ir e c ta o p a r a o b te n e r la s o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n d ife re n c ia l. A sí, p u e s , p a r a h a ll a r e l v a lo r d e y — J* f{ x ) d x . se d iv id e el in te rv a lo d e in te g ra c ió n e n s u b in te rv a lo s d e x„ a jc,, x , a x 2, . . ., c a d a u n o d e lo n g itu d h , y u s a n d o la re g la d e lo s tr a p e c io s se tie n e :
y¡-yo
= ±/t(/0+/,)>
y ^ - y i = S K / i + / 2). y a sí s u c e s iv a m e n te . A h o r a b ie n , e l e r r o r c o m e tid o a l u tiliz a r la re g la d e lo s tr a p e c io s p a r a in te g r a r e n u n in te rv a lo d e lo n g itu d h es d el o rd e n d e h 3 y, p u e s to q u e el n ú m e r o d e s u b in te rv a lo s e s in v e r s a m e n te p r o p o r c io n a l a h , e l e r r o r a c u m u la tiv o a l c o n s id e r a r to d o e l in te rv a lo e s d el o rd e n d e lt2. S i la in te g ra c ió n se e fe c tú a e n d o s in te rv a lo s d is tin to s , h y 2 h , p o r e je m p lo , y se o b tie n e n lo s r e s u lta d o s y (a . h) e y (a , 2 h ), re s p e c tiv a m e n te , lo s e r r o r e s d e lo s r e s u lta d o s s e rá n p r o p o r c io n a le s a h* y A h2 y , e n c o n s e c u e n c ia , u n a e s tim a c ió n d el e r r o r c o m e tid o a l in te g r a r e n e l in te r v a lo h es 1 /3 {y(«. 2h ) — — y(<*> /i)}- P o r ta n to , la e s tim a c ió n fin a] e s : y ( a .0 ) =
y(a, h) -
y (a, 2h) - y (a, h)}
= H 4y ( a>h) - y ( . a>2h))D e la m is m a m a n e r a , s i se q u ie r e in te g r a r la e c u a c ió n y ' = /(x , y) e n el in te rv a lo d e 0 a a , p u e d e s im p lific a rse e l c á lc u lo u s a n d o s ó lo
MÉTODOS GRÁ FICO S Y N UM ÉRICOS
319
d o s té r m in o s d e la s f ó r m u la s d e p re d ic c ió n y c o rr e c c ió n d e A d a m s B a s h f o r th . É s ta s s o n , re s p e c tiv a m e n te , y i~ y o =
y y i- y o = iK /o + /i). y el e r r o r e n c a d a e ta p a s e r á d e l o r d e n d e h 3. E x is te ta m b ié n u n e r r o r d e l o r d e n d e h 2 e n e l v a lo r d e f ( x , y ) e n c a d a e ta p a , q u e i n tr o d u c e u n e r r o r a d ic io n a l d e l o r d e n d e /js e n c a d a in te rv a lo . E n to n c e s . ei e r r o r a c u m u la tiv o e n io s a / h in te rv a lo s s e r á d e l o rd e n d e ó 2, y p u e d e e lim in a r s e to m a n d o in te rv a lo s d e lo n g itu d h y 2 h p a r a e s t im a r e l e r r o r . L a v e n ta ja d e l m é to d o r a d ic a e n el h e c h o d e q u e . p u e s to q u e p u e d e re d u c irs e el e r r o r a c u m u la tiv o , só lo e s n e c e s a r ia u n a f ó r m u la d e in te g ra c ió n se n c illa . E je r c ic io s 9 (c) 1.
C o n tin ú e se la in te g ra c ió n d e la e c u ació n d ife re n c ia l y ' = x — y 2/1 0 , con y = 1 p a ra x = 0 , h a sta el v a lo r x = 1, u tiliz a n d o los v alo res h a sta x = 0,5 o b te n id o s en el e jem p lo 8.
2.
C o n tin ú e se la in te g ra ció n d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l y ' -|- y 2 — x 2, c o n y — 0 p a ra x = 0 , h a sta x - 1, d a d o q u e p a ra x — + 0 . 2 es y = ± 0,00267 y p a r a x = + 0 ,4 es y = + 0,02131.
3.
L a ecu ació n d ife re n c ia l y '(y 2 + l ) = x 2, c o n y = O p a ra x = 0, tiene u n a so lu ció n cu y o v a lo r es + 0,0416 p a r a x = + ‘A y + 0.3222 p a ra x = + 1. H állese el v a lo r d e la so lu ció n p a ra x = 4, L a ecu ació n d ife re n c ia l y ' + y 2 + y / x + 1 = 0 , co n y ~ 0 p a ra x = 0, h a c e q u e y — ~+ 0,10050 p a ra x = + 0 ,2 c y — +" 0,20410 p a ra x = + 0,4. H á lle n se los v a lo re s d e y p a ra x = 1 y p a ra x = 2.
4.
5.
M u éstrese q u e la e c u a c ió n d ife re n c ia l y ' + y ( ! — y 2)K = 0 , con y = 1 p a ra x = 0 , tie n e u n a so lu ció n en q u e y = 0,99502 p ara x = + 0,1 e y = 0,98033 p a ra x = + 0 ,2 . H á lle se el v a lo r d e la so lu ció n p a ra x = 1 c o n c u a tro c ifra s significativas.
6. H állen se, con tre s c ifra s significativas, los v a lo re s d e la so lu ció n de la e cu ació n y ' = (x 2 -+- y 2) / ( x + y ), co n y — 1 p a ra x ~ 0 , x = 0,5 y x = 1. 7. O b té n g a se u n a fó r m u la a p ro x im a d a p a ra la in teg ració n n u m é rica p o r e ta p a s d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l y ' = I — y 2 si y = 0 p a ra x — 0. U tilícese la fó rm u la p a ra h a c e r u n a ta b la d e v a lo re s d e y d e x = 0 a x = 0 ,6 a in te rv a lo s d e 0,1, o b te n ie n d o lo s v a lo re s co n tre s c ifra s significativ as. In tég rese la e c u a c ió n d ife re n c ia l y o b té n gase el v e rd a d e ro v a lo r d e y co n tre s c ifra s sig n ificativ as p a ra x = 0,5. 8. O b té n g a se u n a fó rm u la p a ra la in te g ra c ió n n u m é ric a p o r e ta p a s d e la ecu ació n y ' = /(x , y ). Si y ' = x + y 2/1 0 y se sa b e q u e y = 1 p a ra x = 0. a) h á g a n se g ráficas a p ro x im a d a s d e ta s so lu c io n es u s a n
320
ECUACIONES D IF E R E N C IA L E S
d o el m éto d o d e las iso clin as, b ) m u é strese p o r c u a lq u ie r m é to d o q u e los v alo res d e y p a ra x = — 0 ,1 y 0.1 so n 0,99507 y 1 ,0 1 5 1 3 , re sp ectiv am en te, c ) e x tié n d a se la so lu c ió n p a r a h a lla r lo s v a lo re s d e y p a ra x = 0,2 y 0,3, co n c u a tr o c ifra s significativas. 9 .1 4
E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s sim u ltá n e a s
L a s s o lu c io n e s n u m é r ic a s d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s s im u ltá n e a s se o b tie n e n d e m a n e r a m u y s e m e ja n te q u e p a r a la s e c u a c io n e s ú n i c a s . C o n s id é r e n s e la s e c u a c io n e s d e p r im e r o r d e n
Yx = /(*• y> z)>
^
= 9 {x, y , z ) ,
(1)
c o n la s c o n d ic io n e s d e f r o n te r a d e q u e y — >•„ y z - z„ p a r a x = x„. S e p u e d e n o b te n e r v a lo r e s d e in ic ia c ió n p o r c u a lq u i e r a d e lo s m é to d o s u tiliz a d o s p a r a e c u a c io n e s ú n ic a s , re a liz á n d o s e c a d a e ta p a en ei p ro c e d im ie n to d e in te g r a c ió n in d e p e n d ie n te m e n te p a r a c a d a e c u a c ió n . e x c e p to q u e a h o r a se s u s titu y e e n la s e c u a c io n e s . C o n f r e c u e n c ia e s c o n v e n ie n te u s a r s e r ie s d e T a y lo r , c a lc u lá n d o s e la s d e r iv a d a s su c e s iv a s d e la s e c u a c io n e s (1 ). A sí
dx2
dx
dy dx
vzd x
dx
dy
d z'
d— = dí + ^ l l! l + d g dl = ¿JL + ¡ y + a ^ . dx2 ex d yd x dz dx dx ¿y ' dz' y s e o b tie n e n d e r iv a d a s d e o r d e n s u p e r io r d e m a n e r a a n á lo g a . U n a v ez o b te n id o s v a lo r e s d e in ic ia c ió n p u e d e p r o s e g u ir s e la in te g r a c ió n c o n s tr u y e n d o ta b la s d e d if e r e n c ia s p a r a / y g y u tiliz a n d o la s f ó r m u la s d e p re d ic c ió n y c o r r e c c ió n d e A d a m s - B a s h f o r t h d e l a r t íc u l o 9 .1 0 . C o m o a lt e r n a t iv a s e p u e d e n u s a r f ó r m u la s c o m o la s d e lo s a r tíc u lo s 9.11 y 9 .1 2 , d e la m is m a m a n e r a q u e p a r a la s e c u a c io n e s ú n ic a s . I I . Hállese, con cuatro cifras significativas, la solución entrex = 0 x = 0 .S de las ecuaciones y ‘ — JA (_v + z) yz — JA (y" — z1),con y —z = 1 para x — 0.
E jem plo y
U s a n d o la s e r ie d e T a y lo r p a r a c a lc u la r v a lo r e s d e in ic ia c ió n se tie n e q u e y , ' = I y ? 0' = (); d e r iv a n d o r e s u lta ,
2y . z'
y+z, 2/ " = y"+ z ’ , 2/ * = /"..(• z'", = yy’ —zz’, z '" - y / - 22* + (y ')5- ( z ') 2, z " = yy "' —zz'"+ 3y'y~ 3z'z‘ .
E n consecuencia.
(>'")<. = i ,
(/")« = i ,
M o = !•
( z " \
= i,
O-*)» = í, (zh ) „ = L
m
t r o n o s «.r a u c o s
y
321
n u m é r ic o s
y la s s e rie s p a r a y y z c u a n d o x = /i s o n :
>• - I+ A + ÍA ’+ ÍA N - tÍ í A'-t
- .
z — l + W + A A M & A *+ . . . . E s io s té r m in o s p r o p o r c io n a n c in c o c if r a s d e e x a c titu d si h ~ ± 0 ,1 + 0 ,2 , y s e o b tie n e la sig u ie n te ta b la d e v a lo r e s d e y , z, f = 'A ( y + z ) y
g = ’A (y - — r ) X — 0 ,2 — 0,1 0 0,1 0,2
X -,
X X X—, Xu
z 1,01945 t . 00492 1,00000 1,00509 1,02078
y 0,80904 0,90238 1,00000 1,10263 1,21104
g
f 0,91424 0,95365 1.00000 1,05386 1,11591
—0,19237 — 0.09779 0 0,10279 0,21231
P u e s to q u e y ' / " y V 'S o so n a m b o s I 0 ~ \ a p r o x im a d a m e n te , y e l e r ro r d e c o r te d e l m é to d o d e M iln e e s (1 4 /4 5 )1 0 "’. c o n h — 0,1 se u s a r á este m é to d o . S e tie n e : 0.4 y ,— y -, = j X
0,4 z , — z - „ = y X 0 .3 2 J 8 3
3,17796
= 0,42373 0,00238
= 0,04291 0 ,00492
1,32611
7 .,= 1,04783
/', = 1,18697
= 0 ,3 3 0 3 1
y, = P o r ta n to ,
U tiliz a n d o e s to s v a lo re s d e / , y g , c o n la re g la d e S im p so n c o m o f ó r m u la d e c o rre c c ió n se o b tie n e n lo s m ism o s v a lo re s d e y , y z ,. P ro s ig u ie n d o e l c á lc u lo se tie n e , 04 >+ — >'-* = y X 3,36575
0.4 Z2 — Z - , = y X 0,65389
= 0.44877
= 0 ,08719
i,00000
1.00000 _Vj =
1,44877
Zs =
1,08719
E n c o n s e c u e n c ia ,
y
u = 1,26798
g , = 0,45848
C o n e s to s v a lo re s d e /., y g,Á la re g la d e S im p so n p r o p o rc io n a lo s m ism o s v a lo r e s d e y . y z ,. P ro s ig u ie n d o e l c á lc u lo s e tie n e , ) ', -
y-. -
0,4 y X 3,58081
04 Z-, — Z - , = - X
1,01127
= 0,47744 1,10263
- - 0’, 13484 1,00509
y., = 1.58007
Z, = 1.13993
P o r ta n to , /', = 1,36(K)0, g , = 0 .5 9 8 5 9 y la re g la d e S im p so n c o n firm a los v a lo r e s d e y , y z,. Se tie n e fin a lm e n te . * v z
21
0 1 1
0,1 1.1026 1,0051
0.2 1,2110 1,0208
0,3 1,3261 1,0478
0,4 1.4488 1,0872
0,5 1,5801 1.1399
322
ECUACIONES D IF E R E N C ÍA L E S
9 .1 5
E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e s e g u n d o o r d e n
P u e d e n o b te n e r s e s o lu c io n e s n u m é r ic a s d e e c u a c io n e s d e s e g u n d o o r d e n y o r d e n s u p e r io r a d a p t a n d o lo s m é t o d o s d e Jos a r t íc u l o s a n te rio r e s . L a f o r m a g e n e ra l d e u n a e c u a c ió n d e s e g u n d o o r d e n e s :
y" = Kx,
y,
(i)
y')
y se p id e u n a s o lu c ió n q u e s a tis f a g a c ie r ta s c o n d ic io n e s d e f r o n te r a . S i e s ta s c o n d ic io n e s s e re fie re n a u n s o lo v a l o r d e x , d e m o d o q u e y = y n e Y = y . / p a r a x = ,r„ se tie n e u n p r o b le m a d e fr o n te r a d e u n s o lo p u n t o o u n p r o b le m a d e a v a n c e , d e l c u a l se p u e d e c o n s t r u ir u n a s o lu c ió n in te g r a n d o p o r e ta p a s a p a r t i r d e l p u n to Si la s c o n d ic io n e s se re fie re n a d o s v a lo r e s d e x , o s e a , y = y„ p a r a x = x 0 e y — y , p a r a x = x „ o b ie n , y ' = y / p a r a x = x „ s e ti e n e u n p r o b le m a d e fr o n te r a d e d o s p u n t o s o p r o b l e m a d e a ju s te , e n c u y o c a s o la so lu c ió n ,, si e x is te a lg u n a , p u e d e s e r m á s c o m p le ja . S i la e c u a c ió n d if e r e n c ia l e s lin e a l, e s s u f ic ie n te , p o r lo g e n e r a l, c a lc u la r d o s s o lu c io n e s r e la c io n a d a s c o n e l p u n to x = x„ y e s c o g e r u n a c o m b in a c ió n d e e s ta s s o lu c io n e s q u e s a tis f a g a la s c o n d ic io n e s e n x = x 0 y x = x L. S in e m b a r g o , si la e c u a c ió n n o e s lin e a l, p u e d e s e r n e c e s a r io c a lc u la r c ie r to n ú m e r o d e s o lu c io n e s a p a r t i r d e jc„ a n te s d e h a ll a r a lg u n a q u e s e a s a t is f a c to r ia p a r a x = x , . U n a e c u a c ió n d if e r e n c ia l d e c u a lq u i e r o r d e n p u e d e r e d u c i r s e a u n s is te m a d e e c u a c io n e s s im u ltá n e a s d e p r i m e r o r d e n in tr o d u c ie n d o n u e v a s v a ria b le s . A s í, p u e s , p a r a la e c u a c ió n d e s e g u n d o o r d e n y " = f ( x , y , y ') , s e h a c e z — y \ o b te n ié n d o s e la s e c u a c io n e s si m u ltá n e a s
~ = ) { x ,y ,z ) , dx y la s c o n d ic io n e s a la f r o n te r a , y = y¡, e y ' — y 0' p a r a x = x„, se tr a n s f o r m a n e n y = y 0 y z = Z„ — y,,' p a r a x = P u e d e n h a lla r s e s o lu c io n e s n u m é r ic a s d e e s ta s e c u a c io n e s p o r lo s m é to d o s d e l a r tíc u lo 9 .1 4 . D e la m is m a m a n e r a , u n a e c u a c ió n d if e r e n c ia l d e o r d e n n p u e d e r e d u c ir s e a u n s is te m a d e n e c u a c io n e s s im u ltá n e a s d e p r i m e r o r d e n h a c ie n d o y ' = z . z ' = w \ e tc . E jem plo 12.
Hállese, con tres cifras signi/icaiivas, una solución de la ecuación, y " -f 2 xy' — Ay = 0
con
_v = y ' = 1
p a ra x — 0
Las ecuaciones sim ultáneas correspondientes son: / = z z — Ay — 2x z con y = z = I p ara x — 0.
MÉTODOS GRÁFICOS V NUM ÉRICOS
323
D erivando repetidam ente se obtienen las series de Taylor
* - > + « + * ■ -? + !D e estas series se obtienen valores de iniciación para x = — 0,2, 0.2, 0,4 y los valores correspondientes de / ( = z) y g ( ~ 4y — 2xz). * = —°-2, 0, 0,2, 0,4,
z.-2 = Z -, = z_, = z„ =
y - , = 0,8773, y—, = 1.0000. y - , = 1,2827, y . -=1,7410,
0,2397 = 1,0000 =. 1,8397 = 2,7559 = f0.
g - , = 3,¿052 g - , = 4,0000 = 4,3949 g , = 4,7593
U tilizando el m étodo de! artículo 9.12, se tiene: '
jX
5.6721
z> — z - , = j X
= 1,5126 0,8773 y, = 2,3899
Z,
13,1237
= 3,4997 0,2397 = 3,7394
P o r tanto, /, = 3,7394
v
g , = 5,0723
La regla de Simpson d a entonces, y , — y - , = °-~ X 16,6027
z , — z - , = ° - j X 28,5044
= 1,1068 1,2827 y, = 2,3895
= 1.9003 1.8397 z, = 3.7400
Los valores corregidos de y , y z, pueden aceplarsc y usarse los valores recalculados de /, = 3,7400 y g, = 5.0700 en la siguiente etapa: entonces se prosiguen norm alm ente las integraciones 9 .1 6
O tros m é to d o s para e c u a c io n e s d e se g u n d o ord en
L a e c u a c ió n d ife re n c ia l d e s e g u n d o o rd e n y
= f( x , y , y ')
(1)
c o n c o n d ic io n e s d e f r o n te r a d e u n s o lo p u n to , se p u e d e r e s o lv e r p o r in te g ra c ió n d ir e c ta u tiliz a n d o u n a u o tr a d e la s f ó r m u la s d e in te g ra c ió n d e lo s a rtíc u lo s a n te r io r e s e in te g ra n d o d o s v e c e s. P u e d e n o b te n e rs e v a lo r e s d e in ic ia c ió n
y o . y - t , y - 2,
...
y
y ’- 2, ■• ■
p o r la s e rie d e T a y lo r o p o r o tr o s m é to d o s . S e r e c o m ie n d a e! p ro c e d im ie n to s ig u ie n te p a r a r e a liz a r la in te g r a c ió n , u n a v ez o b te n id o s v a lo r e s d e in ic ia c ió n .
324
ECUACIONES D IFE R E N C IA L E S
1)
Ú se se u n a f ó r m u la d e p re d ic c ió n p a r a h a lla r
p o r e je m p lo ,
(2 )
y \ - y ' ^ ^ { 2 y ' ¿ - y U + 2 y " . 2). y¿
2) C o n el v a lo r o b te n id o d e d e c o r r e c c ió n , p o r e je m p lo ,
y i-y -i =
h á lle s e
y,
c o n a lg u n a fó r m u la
^ (y i+ 4 /o + /-i> -
(3 )
3) C o n lo s v a lo r e s o b te n id o s d e >■, e y , ' c a lc ú le s e y " d e la e c u a c ió n d if e re n c ia l (1 ). 4) C o n e s t e v a lo r d e y " re c a lc ú le s e >■/ c o n u n a f ó r m u la d e c o r r e c c ió n , p o r e je m p lo ,
y \ ~ y ,- l = -3
(4 )
5 ) Si lo s d o s v a lo r e s d e y , ' o b t e r i d o s d if ie re n a p r e c ia b le m e n te , d e b e r á re c a lc u la r s e y, d e la e c u a c ió n (3) y , e n c o n s e c u e n c ia , ta m b ié n y , " , p a r a o b te n e r o tr o v a lo r d e y , '. IZn lu g a r d e la s f ó r m u la s a n te r io r e s e s a v e c e s c o n v e n ie n te u s a r la s f ó r m u la s d e p r e d ic c ió n y c o r r e c c ió n d e A d a m s - B a s h f o r th o la s d e l a r tíc u lo 9 .1 1 . Ejem plo 13.
Hállese, con Ires cifras significativas, una solución de la ecuación y " = 4y — 2x y '
con
y — y’ = 1
para
x = 0
A ceptando los valores de iniciación del ejem plo 12, se tiene: —0,2 0 0,2 0,4
v—„ = 0,8773 v - , ~ 1,0000 >'-, = 1,2827 ' >„ = 1,7410
>•-,' = v_/ = > - ,■ =
0.2397 l.OOÜO 1,8397 2,7559
U sando la ecuación (2) se tiene: v ,' —
3,4997 > ,' = 3,7394
U sando tam bién la ecuación (3) se tiene: > , - > _ , = 1,1068 >, = 2.3895 y. e n c o n s e c u e n c ia ,
y ," = 5,0707 R ccalculando y / d e la ecuación (4) resulta: > ,’— > - , '= 1,9002 > • / = 3,7399
y = y - / '= y-" = >„" =
3,6052 4,0000 4,3949 4,7593
M I T O D O S O R Á T IC O S Y N U M Í. R IC O S
325
R c c a lc u la n d o y , d e la e c u a c ió n (3) se o b tie n e : y . — y - i ~ 1,1069 y , = 2,3896 A sí p u e s , y , " = 5,0705 y, a c e p ta n d o lo s v a lo r e s r e c a lc u la d o s d e y , y d e y ,', se p r o c e d e a la e ta p a sig u ie n te
9 .1 7
C a lcu la d o ra s e le c tr ó n ic a s d e g ra n v e lo cid a d
T o d o s lo s p ro c e d im ie n to s p a r a h a lla r s o lu c io n e s n u m é r ic a s d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s d e e s te c a p ítu lo p u e d e re a liz a rs e e n c a lc u la d o r a s e le c tró n ic a s . B n e l c u a d e r n o d e l N a tio n a l P h y sic a l L a b o ru to r y m e n c io n a d o e n el a r tíc u lo 7 .2 , p á g in a 2 1 5 , s e d a n in d ic a c io n e s s o b r e lo s m é to d o s m á s a d e c u a d o s p a r a u s a r s e c o n la s c a lc u la d o ra s . S e h a c e s e g u id a m e n te u n a b re v e d e s c r ip c ió n d e l f u n c io n a m ie n to d e e sa s c a lc u la d o r a s q u e p u e d e te n e r in te ré s p a ra el le c to r. S u p ó n g a s e q u e s e q u ie r e h a lla r u n a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n y ' = f ( x , >•) c o n c ie r ta s c o n d ic io n e s in ic ia le s y q u e se h a d e c id id o u s a r e l m é to d o d e M iln e d a d o en el a r tíc u lo 9 .1 2 . S u p ó n g a s e ta m b ié n q u e se h a n d e te r m in a d o v a lo r e s d e in ic ia c ió n >•„. y .. co rr e s p o n d ie n te s a jc„. . . . , y q u e s e h a n c a lc u la d o v a lo r e s d e /,„ / _ , , . . . Bn r e a lid a d , e s to s v a lo re s d e in ic ia c ió n p u e d e n h a lla rs e c o n la c a lc u la d o r a , p e r o a v e c e s s e h a lla n p o r s e p a r a d o . L o s v a lo r e s d e in ic ia c ió n se a lm a c e n a n e n la m á q u in a , c a d a u n o en d is tin to s itio , es d e c ir , c a d a v a lo r s e g r a b a en u n a c in ta q u e e n tr a e n la c a lc u la d o r a y s e c o n v ie r te a u to m á tic a m e n te e n u n n ú m e r o e x p r e s a d o e n la e s c a la b in a r ia . A s i, el n ú m e r o 25 s e c o n v ie r te e n i 1001 y e l d a lo se o b s e r v a c o m o u n a lín e a d e fo c o s , a lg u n o s ilu m in a d o s, q u e re p r o d u c e n la s u c e s ió n 11001. L a m á q u in a p u e d e s u m a r , re s ta r, m u ltip lic a r o d iv id ir lo s n ú m e r o s d e c a d a d o s sitio s y c o lo c a r el re s u lta d o e n o tr o sitio , S e p r e p a r a o t r a c in ta q u e e n tr a r á e n la c a lc u la d o ra c o n in s tru c c io n e s e n c la v e d el p ro c e d im ie n to p a r a re s o lv e r la e c u a c ió n . A sí, p u e s , la p r im e r a o r d e n s e r á d u p lic a r el n ú m e r o /„ d e l s itio 8 (p o r e je m p lo ) y c o lo c a r e l r e s u lta d o e n e l s itio 10; e s to se g r a b a e n la c in ta c o m o 8 J(f> 10. L a sig u ie n te o r d e n se rá re s ta r d e l sitio 7. d el s itio 10, c o lo c a n d o el r e s u lta d o 2/„ — e n e l s itio 11. e n s e g u i d a c o lo c a r 2 f , e n e l s itio 12 y la s u m a d e lo s sitio s I I y 12 e n el s itio 13. E l s itio 13 c o n tie n e , a h o r a 2/„ — /_, + 2 /_2, q u e d e b e m u l tip lic a rs e p o r 4 /3 y p o r l¡, el in te rv a lo d e x . y s u m á n d o le y_3 p a ra o b te n e r y , e n el s itio 16. E l s ig u ie n te g ru p o d e in s tru c c io n e s d e la c in ta s e rá c a lc u la r /, y re c a lc u la r y , u s a n d o la f ó r m u la d e c o r r e c c ió n . S u p ó n g a s e q u e e s te v a lo r , ( y ,) ,, q u e d a e n e l s itio 2 8 . D e b e c a lc u la rs e e n to n c e s la d if e re n c ia (>-,), — y , y c o lo c a rs e e n e l s itio 2 9 . d á n d o s e in s tru c c io n e s d e q u e si e s t a d if e re n c ia e s m a y o r q u e c ie r to p e q u e ñ o e r r o r lím ite , e, se re c á le n le / , y se re p ita e l p ro c e d im ie n to , o b ie n , q u e se re p ita co n
326
ECUACIONES D IFER E N C IA L ES
la m ita d d e l in te rv a lo . L o s v a lo r e s fin a le s d e y , y /, q u e s e o b te n g a n p u e d e n , si se d e s e a , im p rim irs e (r e c o n v e r tid o s a l s is te m a d e c im a l) , p e r o e n to d o s lo s c a s o s s e c a m b ia n a lo s s itio s q u e a n te s o c u p a b a n y„ y f„, e n ta n t o q u e c a d a u n o d e lo s v a lo r e s d e in ic ia c ió n se c a m b ia d e s itio o se b o r r a n . E n to n c e s la c a lc u la d o r a e s tá p r e p a r a d a p a r a la e ta p a s ig u ie n te e n q u e se re p ite la r u tin a . L a re s o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n d if e re n c ia l d e p r i m e r o r d e n q u e c o n te n g a 100 e ta p a s d e la s c u a le s h a n d e im p r im ir s e lo s r e s u lta d o s d e 10, a p r o x im a d a m e n te , se p u e d e r e a liz a r e n p o c o s s e g u n d o s . P o r s u p u e s to q u e la p r e p a r a c ió n d e la r u tin a d e in s tru c c io n e s p a r a la c a lc u la d o r a e s e n g o r r o s a , p e r o e s t a r u tin a p u e d e p r e p a r a r s e p a r a v a lo r e s g e n e ra le s d e la fu n c ió n j ( x , y ) y p r e p a r a r s e u n a c in ta d e s u b r u tin a q u e p r o p o r c io n e in s tru c c io n e s p a r a e l c á lc u lo d e la fu n c ió n p a r t ic u l a r f ( x , y ) q u e se te n g a e n la e c u a c ió n q u e v a a re s o lv e rs e . E l c á lc u lo d e j{ x , y ) p u e d e , d e s d e lu e g o , s e r m u y c o m p lic a d o e n a lg u n o s c a s o s q u e re q u ie r a n e l c á lc u lo d e f u n c io n e s c o m o se n x , log„Jt, e tc é te ra .
Ejercicios
9 (/)
R esu élv an se las sig u ien tes e c u a c io n e s d ife re n c ia le s c o n c in c o e ta p a s, con el in terv alo d a d o y la ap ro x im a c ió n in d ic a d a : I • y ' = Z, z ' = y — x z . c o n y = z = 1 p a ra x = 0 ; h = 0 ,2 , c o n c u a tr o c ifra s significativas. 2.
y ' — (1 -I- z)y. z ' = (1 4- y)z, c o n z = 0 ,2 e y — 1,2 p a ra x = 0 ; h = 0 , 1 , c o n tre s c if ra s significativas.
3.
y ' — ( z — x )y , z ' = (z + y )x , c o n y = 1 y h = 0.1, c o n tre s c if ra s significativas.
4
y ' — z , z ' — 2 x z + ( l — x s)y, c o n y = z = 1 p a ra x = 0 ; h — 0,2, co n tres c ifra s significativas.
5,
y " 4- y ' / x 4 y = 0 , co n y = 1 e y ' = 0 p a ra x = 0 ; h — 0 .4 , co n c u a tr o c ifra s significativas.
6
y " — x y , c o n j = 0 e y ' = I p a ra x = 0 ; h = 0 ,5 , co n c u a tr o ci fra s significativas.
7.
y " 4 2 y y ' = 0, y = 0 e y ' = 1 p a ra x = 0 ; h — 0 ,2 , c ó n c u a tr o c ifra s significativas.
8.
y " — y 2 = 0, y = y ' = 1 p a ra x = 0 ; h = 0 ,2 , c o n tre s c if ra s sig nificativas.
9.
y " + y9 = 0 , y = 0 e y ’ = 1 p a ra x = 0 ; fra s significativas.
10.
h
z = 0
p a ra
x — 0:
= 0 ,2 , c o n c u a tr o c i
y -i- y 4 y* = 0 co n y = 1 e y = 0 p a ra / = 0 ; h = 0 ,2 , c o n c u a tr o c ifra s significativas.
C A P ÍT U L O
10
EL MÉTODO DE RELAJAMIENTO 1 0 .1
I n tr o d u c c ió n
E n e l c a p ítu lo a n t e r i o r se e s tu d ió la re s o lu c ió n n u m é r ic a d e e c u a c io n e s d if e re n c ia le s o r d i n a r ia s c o n c o n d ic io n e s d e f r o n te r a e n u n s o lo p u n to . A q u í s e d e s c r ib e u n m é to d o ú til p a r a re s o lv e r e c u a c io n e s d if e re n c ia le s o r d i n a r ia s c o n c o n d ic io n e s a la f r o n te r a e n d o s p u n to s y s e m u e s tr a c ó m o p u e d e e x te n d e r s e a p r o b le m a s d e e c u a c io n e s d if e re n c ia le s p a rc ia le s c o n d o s v a r ia b le s in d e p e n d ie n te s . E s te m é to d o f u e d e s a r r o ll a d o p o r S ir R ic h a r d S o u th w e ll y s u s c o la b o r a d o r e s y, p o r u n a r a z ó n q u e s e e x p lic a r á d e s p u é s , s e lla m a e l m é t o d o d e r e la ¡ a m ie n to . E l f u n d a m e n to d e l m é to d o r a d i c a e n la s u s titu c ió n d e la s d e r i v a d a s d e la e c u a c ió n d if e re n c ia l y la s c o n d ic io n e s d e f r o n te r a p o r su s a p r o x im a c io n e s c o n d if e r e n c ia s fin ita s y la p o s te r io r re s o lu c ió n a p r o x im a d a d e la s e c u a c io n e s a lg e b r a ic a s s im u ltá n e a s q u e r e s u lta n . E s a! s e g u n d o d e e s to s p r o c e d im ie n to s q u e e l m é to d o d e re la ja m ie n to h a c e s u e s p e c ia l c o n tr ib u c ió n : se a d iv in a u n a s o lu c ió n m u y a p r o x im a d a d e la s e c u a c io n e s s im u ltá n e a s y e n to n c e s se e lim in a n s is te m á tic a m e n te lo s e r r o r e s q u e re s u lta n p o r u n m é to d o lla m a d o « p r o c e s o d e r e la ja m ie n to » . A l r e a liz a r e s te p ro c e s o e l e je c u to r e s el d ir e c to r y n o el s e g u id o r d el m é to d o , y c o n f r e c u e n c ia p u e d e a b r e v i a r s u tr a b a jo c o n s i d e r a b le m e n te u s a n d o la e x p e r ie n c ia y ju ic io q u e a d q u ie r e en e s te ti p o d e tr a b a jo . N o s e p r o p o n e e s t u d ia r lo s a s p e c to s m á s m a te m á tic o s d el m é to d o d e r e la ja m ie n to e n e s te c a p ítu lo . A s u n to s c o m o la c o n v e rg e n c ia del p r o c e s o d e r e la ja m ie n to , lo s e r r o r e s p r o d u c id o s a l s u s titu ir la s d e r i v a d a s p o r s u s a p r o x im a c io n e s c o n d if e r e n c ia s fin ita s , e tc ., h a n s id o e s t u d ia d o s , y lo s r e s u lta d o s d e e s a s in v e s tig a c io n e s p u e d e n h a lla rs e e n lo s a r tíc u lo s o rig in a le s y e n lo s te x to s d e d ic a d o s a l te m a . E s s u fic ie n te d e c ir a q u í q u e el m é to d o q u e se d e s c r ib e e n e s te c a p ítu lo f u n c io n a en la p r á c t ic a y q u e s u g r a n e fe c tiv id a d h a s id o c la r a m e n te d e m o s tr a d a p o r lo s m u c h o s p r o b le m a s d e in g e n ie ría y físic a q u e se h a n r e s u e lto r e c ie n te m e n te c o n é l.
328
tC U A C IO N K S D IM R D N C IA L B S
10.2
R e s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d i n a r ia s
P a r a fija r id e a s c o n s id é r e s e p r i m e r o la s e n c illa e c u a c ió n d if e re n c ia l d.2 ~J 2- + F ( x ) — 0 , dx2
(1)
c o n la s c o n d ic io n e s d e f r o n te r a e n d o s p u n io s y — y,, p a r a x = a
e
y — y h p a ra
x
— h
(a < b )
A q u í s e s u p o n e q u e /■í.v) e s u n a fu n c ió n d e v. c u y o s v a lo r e s n u m é r i c o s se c o n o c e n p a r a u n c o n ju n t o ele v a lo r e s d e x ig u a lm e n te e s p a c ia d o s e n el in te r v a lo (u , b ) y q u e la s o lu c ió n q u e se d e s e a e s u n c o n ju n to d e v a lo r e s d e y c o r r e s p o n d ie n t e s a e s o s v a lo r e s d e x . L a p rim e ra e ta p a d e la re s o lu c ió n c o n s is te e n s u s tit u ir el té r m in o d - y / d x 1 d e la e c u a c ió n ( 1) p o r s u a p r o x im a c ió n c o n d if e r e n c ia s fin i ta s P a r a e llo s u b d iv íd a s e el in te r v a lo lu , b ) p o r u n a s u c e s ió n d e p u n to s ig u a lm e n te e s p a c ia d o s s e p a r a d o s la d is ta n c ia h y c o n s id é re n s e tr e s p u n io s c u a le s q u ie r a d e s u b d iv is ió n c o n s e c u tiv o s x :i, x„ , x , * (fig u ra 2 2 ). Si el s u b ín d ic e 0 in d ic a los v a lo r e s e n .r„. se tie n e e n la h
- 4 — h - 4
x= b F ig 2 2
v e c in d a d d e e s te p u n to q u e
H a c ie n d o x , - v„ + h y x , - ,v„ — //. e in d ic a n d o p o r y , e y :, los v a lo r e s d e y c o r r e s p o n d ie n te s a e s to s v a lo r e s d e x , re s u lta
,/d v\ -
* +v
h2( d 2y \ hi f d i v \ , h * / d * y \ , j . + 2 { ^ ) M ? ú + á ^ ) o+
"i ■■■■[ (
,( d y \ h 1 ( d 2y \ h 3 ( d 3y \ >'3 - > o - ' ( ¿ ~ ) o + y ( ^ ) (j ~ j { d P )
0+
2)
h 4 ( d 4y \ 24( í x V o ~
S u m a n d o m ie m b r o a m ie m b r o y tr a s p o n ie n d o u n té r m in o se o b tie n e >’i + >'3 — 2 lo =
+
té r m in o s d e l o r d e n d e h* y s u p e r io r e s ( 3 )
* La razón para indicar el punto d e la izquierda p o r x , en lugar de .v_, es posibilitar que la notación se conserve cuando el m étodo se extienda a las ecuaciones diferenciales parciales.
tL
MÉTODO DF. RHLAJAMlhNTO
329
A sí. p u es, d e s p r e c ia n d o lo s té rm in o s d e l o rd e n d e h* y .su p erio res, la e c u a c ió n d ife re n c ia l (1) p u e d e s u s titu irs e p o r la e c u a c ió n a lg e b ra ic a y , + y-, — 2y„ + h'l F ( x ,) = 0
(4)
en la v e c in d a d d e x = x„. E x is te u n a re la c ió n d e e s ta fo r m a p a r a c a d a p u n to d e su b d iv isió n d el in te rv a lo (a, b ) y se tie n e q u e re s o lv e r, p o r c o n s ig u ie n te , u n c o n ju n to de e c u a c io n e s a lg e b ra ic a s sim u ltá n e a s. E s te c o n ju n to d e e c u a c io n e s a lg e b ra ic a s s im u ltá n e a s , c u y a fo rm a típ ic a es la d e la e c u a c ió n (4 ), se re s u e lv e a p ro x im a d a m e n te p o r el s ig u ie n te m é to d o . S e e s c r ib e ; R„ = y . + y ;, — 2y„ + /i2F(.c„)
(5)
y se lla m a a R„ el r e s id u o e n .v = x„. U n a ve/, q u e se h a n d e te r m i n a d o v a lo re s c o rr e c to s d e y e n c a d a p u n to d e su b d iv isió n , los re s i d u o s en c a d a p u n to d e b e rá n se r c e ro , d e a c u e rd o c o n la e c u a c ió n 14). L a re s o lu c ió n se in icia c a lc u la n d o lo s r e s id u o s in ic ió le s e n c a d a *i
Fig. 23 p u n to d e s u b d iv is ió n a p a r tir d e la e c u a c ió n (5 ), u tiliz a n d o e l v a lo r c o n o c id o d e F{x„) y v a lo r e s a d iv in a d o s d e y , , y,, e y„. E sto s re s id u o s in ic ia le s tie n e n a h o r a q u e re d u c irs e a c e ro (o liquidar.se) p o r u n « p ro c e s o d e re la ja m ie n to » . L a b a se d e e s te p ro c e s o e s el e s q u e m a d e r e la ja m ie n to , q u e m u e s tr a el e fe c to s o b re lo s re s id u o s del in c re m e n to u n ita rio d e l v a lo r d e y en u n p u n to d e su b d iv isió n d e te r m in a d o . D e b id o a l té r m in o — 2y„ d e la e c u a c ió n (5 ). el e fe c to d e esc in c re m e n to es re d u c ir el v a lo r d el re s id u o /?„ e n .r = .r,, e n d o s u n id a d e s . S in e m b a r g o , é s te n o e s el ú n ic o e fe c to d el in c re m e n to , p u e s la s fó r m u la s d e los re s id u o s R , * 1 +1
F ig . 2 4 F ig - 2 b y R :, e n x = x , y x = c o n tie n e c a d a u n a a) te r m in o y„ y c a d a u n o d e e s o s re s id u o s a u m e n ta , en c o n s e c u e n c ia , en u n a u n id a d . El e fe c to to ta l se m u e s tra d e m a n e r a c o n v e n ie n te en el e s q u e m a d e la fig u ra 2 3 , q u e m u e s tra q u e si el v a lo r d e y se a u m e n ta en u n a u n id a d e n u n p u n to d e te r m in a d o e l re s id u o e n e se p u n to c a m b ia e n — 2
330
ECUACIONES D lU jR E N C IA L K S
m ie n tr a s q u e io s re s id u o s e n lo s p u n to s v e c in o s c a m b ia n e n + I. E s te e s q u e m a d e re la ja m ie n to s e a p lic a a to d o p u n to d e s u b d iv is ió n d e l in te rv a lo (a , b ), e x c e p to a l p r im e r o y a l ú ltim o . C o m o se c o n o c e e l v a lo r d e y p a r a ,v = a , e s e v a lo r s e r á e l c o r r e c to y , e n c o n s e c u e n c ia , n o h a b r á a llí r e s id u o c u y o c a m b io d e b a c o n s id e r a r s e h a c ia la iz q u ie rd a d e l p r i m e r p u n to d e s u b d iv is ió n . E l e s q u e m a d e r e l a ja m ie n to p a r a e s t e p u n to e s , p u e s , e l q u e se in d ic a e n la fig u ra 2 4 y , p o r ra z o n e s s e m e ja n te s , e l e s q u e m a p a r a e l ú ltim o p u n to d e s u b d i v isió n s e r á e l q u e se m u e s tra e n la fig u ra 25. L o s d e ta lle s d e u n p ro c e s o d e re la ja m ie n to re a l s e m u e s tra n m e jo r d e s c r ib ie n d o e l c á lc u lo p a r a u n c a s o p a r tic u la r . S e h a c e e sto e n e l e je m p lo I sig u ie n te . » Ejem plo I. O b té n g a s e u n a s o lu c ió n n u m é r ic a d e la e c u a c ió n d ife r e n c ia l y " + F { x ) 0 d a d o q u e y = 0 p a ra x — 0 e y = 100 p a ra x — 5, sie n d o l o s v a lo r e s d e F (x ) lo s in d ic a d o s e n ¡a s ig u ie n te ta b la : x f(x )
1 2 10 3
3 —7
4 6
S e to m a a q u í h = 1 y s e to m a n c o m o v a lo r e s in ic ía le s s u p u e s to s p a r a y a 2 0 , 4 0 , 6 0 y 80, q u e se o b tie n e n p o r in te r p o la c ió n lin e a l e n tr e lo s v a lo re s e x tr e m o s 0 y 100. E ) p r o c e s o d e r e la ja m ie n to s e re a liz a s o b r e
h ?F (x ) =
20 10
40 3
10
3
6 0 -7 -7
80 6
100
6
F ig 2 6 u n d ia g r a m a d e r e la ja m ie n to , m o s tr á n d o s e e n la n g u r a 2 6 la s p r im e ra s e t a p a s d e e s c d ia g r a m a E l in te r v a lo d e x = 0 a x = *¡ se s u b d iv id e c o m o se m u e s tr a y se e s c rib e n lo s v a lo r e s d a d o s , y = 0 c v = 100, e n lo s e x ir e m o s d e l d ia g r a m a E n s e g u id a se e s c r ib e n b a jo c a d a p u n t o d e s u b d iv i s ió n lo s v a lo r e s d e h ‘F ( x ) . p o n ie n d o a r r i b a , a la iz q u ie r d a d e e llo s , lo s v a lo r e s in ic ia le s s u p u e s to s , 2 0 , 4 0 , 6 0 y 8 0 , d e > T a m b ié n a r r i b a , p e r o a la d e r e c h a d e lo s p u n to s d e s u b d iv is ió n , se e s c rib e n lo s r e s id u o s in i c ia le s c a lc u la d o s d e la e c u a c ió n (5 ), R„ = y , + y ;l — 2>„ + n r F ( x c) A sí p u e s , e l r e s id u o e n e l p r im e r p u n t o d e s u b d iv is ió n e s : 4 0 + 0 — 2 ( 2 0 ) + 10 =
10
en el se g u n d o es: 6 0 + 2 0 — 2 (40) + 3 = 3 y así s u c e siv a m e n te . A h o r a se h a c e n a ju s te s a io s v a lo r e s s u p u e s to s d e y h a s ta q u e e s to s r e s id u o s s e liq u id e n ( o se a , s e a n u le n ) . E m p e z a n d o p o r 10, q u e e s el m a y o r r e s id u o (en e l p r im e r p u n t o d e s u b d iv is ió n ), s e o b s e r v a q u e p u e d e h a c e rs e d e s a p a r e c e r d a n d o u n in c r e m e n to d e 5 a l v a lo r d e y e n e s te p u n to . U s a n d o e l e s q u e m a d e r e la ja m ie n to d e la fig u ra 2 4, e s e in c r e m e n t o d is m in u ir á el r e s id u o e n e l p u n to e n c u e s tió n e n 10 y a u m e n ta r á e l r e s id u o e n e l p u n t o q u e s ig u e a la d e r e c h a e n 5. E l r e s u l t a d o d e c o n s id e r a r e l e f e c to d e e s c in c r e m e n to se m u e s tr a e n la fig u ra 2 7, d o n d e s e o b s e r
331
E L M ÉTODO D E RELA JAM IENTO
v a r a q u e s e a n o t a n e l i n c r e m e n t o d e y e n 5 u n id a d e s y lo s r e s id u o s a j u s ta d o s ( o r e c a i c u l a d o s ) 0 ( = 1 0 — 10) y 8 ( = 3 -F 5). E l m a y o r r e s i d u o q u e d a a h o r a e n e l s e g u n d o p u n t o d e s u b d i v i s ió n y se e lim in a d a n d o u n i n c r e m e n to d e 4 a l v a l o r d e y e n e s te p u n t o . E l e f e c t o d e e s te r e a ju s te s e o b t i e n e d e l e s q u e m a d e r e l a j a m i e n to d e la tig u r a 2 3 ( lo s d e l a s lig u -
Ia
4 0 13
10
h 2F (x ) =
C' 1 o ic
5 10 2 0 1 10
0 |
3
80
6
100 |
-7 F ig 2 7
r a s 2 4 y 2 5 s ó l o s e u s a n p a r a e l p r i m e r o y ú ltim o p u n to s d e s u b d iv is ió n ). L o s r e s u l t a d o s e n e s ta e t a p a d e l c á lc u lo se m u e s tr a n e n la f ig u ra 28 E l r e s i d u o d e 6 e n e l ú lt im o p u n t o s e e lim i n a e n s e g u id a y s e c o n t i n ú a el c á l c u l o d e e s ta m a n e r a h a s ta q u e se t i e n e la s it u a c ió n d e la f ig u r a 2 9 S e h a r e a l i z a d o y a e l p r o c e s o d e li q u i d a c i ó n h a s ta q u e el v a lo r a b s o lu to d e c a d a r e s i d u o i n d iv id u a l e s m e n o r q u e 2 y l a s u m a a lg e b r a i c a d e t o d o s l o s r e s i d u o s e s a p r o x i m a d a m e n t e c e r o . L o s v a lo r e s f in a le s d e y , q u e se
t
4 0 10
5
1
2 0
h 2 F (x )=
4 40
0 8 3
-3 -7
60
10
80
6
| 100 |
-7
F ig . 26 o b t i e n e n s u m a n d o lo s i n c r e m e n t o s h e c h o s e n e l p r o c e s o a lo s v a lo r e s i n ic ia le s s u p u e s t o s , se e s c r ib e n a la i z q u ie r d a d e lo s p u n to s d e s u b d i v is ió n s o b r e la r a y a s u p e r i o r P a r a t e n e r u n a c o m p r o b a c ió n d e lo s r e s u l t a d o s s e r e c a lc u la n l o s r e s id u o s f in a le s a p a r t i r d e la e c u a c ió n (5 ) y se a n o t a n a la d e r e c h a d e lo s p u n t o s d e s u b d iv is i ó n e n la m i s m a r a y a s u p e r i o r . E n la f ig u r a 2 9 s e v e q u e l o s r e s id u o s r e c a ic u la d o s c o n c u e r d a n c o n lo s d e l c á l c u l o , p e r o si se h u b i e r a n c o m e tid o e r r o r e s d u r a n t e e l p r o -
F ig 2 9 ceso d e liquidación, d eb erán utilizarse los valores d e y y los residuos recaiculados. an o tad o s en la ray a superior, com o valores iniciales p ara un nuevo proceso d e liquidación. L a solución ap ro x im ad a pedida en este ejem plo está d a d a en to n ces p o r T = 1 y — 28
1 0 .3
2 45
3 60
4 83
A lg u n a s s u g e r e n c ia s p r á c t ic a s
Y a q u e s e h a d e s a r r o l l a d o u n e je m p lo d e la re s o lu c ió n n u m é r ic a d e un p r o b l e m a d e v a lo r e s d e f r o n t e r a e n d o s p u n t o s p o r e l m é to d o
332
ECU A CIO N ES DU- FR U N C I A LES
d e r e la ja m ie n to , s e r á c o n v e n ie n te d a r a lg u n a s s u g e r e n c ia s p r á c t ic a s p a r a el p ro c e s o . E n p r i m e r lu g a r , e n to d o s lo s c a s o s , e x c e p t u a n d o lo s q u e s e a n s e n c illo s c o m o e l a n te r io r , la s c o lu m n a s d e n ú m e r o s d e l d ia g r a m a d e r e l a ja m ie n t o tie n d e n a h a c e r s e in c o n v e n ie n te m e n te la r g a s . S in e m b a r g o , la s ú n ic a s c a n ti d a d e s q u e r e a l m e n t e in te r e s a n e n u n a e ta p a d e te r m i n a d a d el c á lc u lo s o n lo s r e s id u o s c o r r e s p o n d ie n te s y la s u m a d e lo s v a lo r e s s u p u e s to s d e la f u n c ió n y q u e s e b u s c a y lo s i n c r e m e n to s h e c h o s h a s ta el m o m e n to d e t e r m i n a r e s a e t a p a . A s í, p u e s , u n a c o lu m n a in d e b i d a m e n t e la r g a p u e d e b o r r a r s e y s u s tit u ir s e p o r e l to t a l o s u m a d e la c o lu m n a d e y c o n s u r e s id u o c o r r e s p o n d ie n t e . P o r ta n t o , e s c o n v e n ie n te u s a r e n e l c á lc u lo u n lá p iz y p a p e l t e l a d e d ib u j o p a r a h a c e r e l d ia g r a m a d e r e l a ja m ie n t o . E s e p a p e l te la e s m u y re s is te n te a b o r r a d u r a s f r e c u e n te s y , a d e m á s , p u e d e e v ita r s e r e h a c e r c a d a v e z e l d ib u j o d e la s lín e a s t r a z á n d o la s e n la p a r t e d e a t r á s (p u e s e l p a p e l e s tr a n s lú c id o ) . E n s e g u n d o lu g a r , n o e s n e c e s a r io o b t e n e r g r a n e x a c t itu d e n to d a s la s e t a p a s d e l p r o c e s o d e liq u id a c ió n , y c o n f r e c u e n c ia e s c o n v e n ie n te s a c r ific a rla p a r a f a c ilita r el c á lc u lo a r i tm é ti c o , q u e g e n e r a lm e n te es d e m e m o r ia . E n a lg u n o s c a s o s e s s u f ic ie n te u s a r u n e s q u e m a d e r e la ja m ie n to a p r o x i m a d o , s i e n d o m u c h a s v e c e s p o s ib le e v it a r lo s d e c im a le s y lim ita r s e a lo s n ú m e r o s e n te r o s p a r a la s o p e r a c io n e s p r e l im in a r e s c o n la e c u a c ió n d if e r e n c ia l. E s ta s s u g e r e n c ia s s e ilu s tr a n e n e l e je m p lo 2. P o r s u p u e s to , la e x a c titu d d e la s o lu c ió n a u m e n t a c o n f o r m e el in t e r v a l o h e n t r e p u n to s s u c e s iv o s d e s u b d iv is ió n d e l in te r v a lo es m e n o r , p u e s to q u e la s a p r o x i m a c i o n e s c o n d if e r e n c ia s fin ita s p a r a la e c u a c ió n d if e r e n c ia l d e s p r e c ia n lo s té r m in o s d e o r d e n h ' y s u p e r io re s . P o r o t r a p a r t e , la c a n ti d a d d e t r a b a j o e x ig id a e n e l p r o c e s o d e r e l a ja m ie n t o d e p e n d e e n g r a n m e d id a d e l n ú m e r o d e p u n to s d e s u b d iv is ió n y p o r lo g e n e r a l e s p r e f e r ib le m e j o r a r p r o g r e s iv a m e n te la e x a c t itu d d e u n a s o l u c ió n , e m p e z a n d o c o n u n p u n to d e s u b d iv is ió n y u s a n d o u n a s o lu c ió n b u r d a b a s a d a e n é s t a p a r a c a lc u la r lo s v a lo re s d e in ic ia c ió n p a r a u n a s e g u n d a s o lu c ió n r e a l iz a d a c o n t r e s p u n to s d e s u b d iv is ió n , p r o s ig u ie n d o d e e s t a m a n e r a h a s ta q u e e l g r a d o d e e x a c t itu d se ju z g u e s u f ic ie n te . E s te p r o c e d i m i e n to se ¡ lu s tr a t a m b ié n e n e l e je m p lo q u e sig u e . E jem plo 2. R esuélvase la ecuación >■" -f y = 0 d a d o q u e y = 0 para >: = 0 =)E„
(1)
E L M ÉTODO DE RELA JAM IENTO
333
T o m a n d o p r i m e r o h = - , 4 y u s a n d o u n s o lo p u n t o d e s u b d iv is ió n el r e s id u o e n x = s e r á c e r o si s e to m a
Y , + Y , = 0 + 1000
(2 —
d e m o d o q u e u n v a l o r d e in ic ia c ió n b u r d o e n e l p u n to m e d io d e l i n t e r v a lo e s tá d a d o p o r
”
16
H a c ie n d o u n a i n t e r p o la c i ó n lin e a l e n t r e 0 y 7 2 3 y 7 2 3 y 1000, s e o b t i e n e n l o s v a lo r e s d e in ic ia c ió n p a r a u n a s e g u n d a s o lu c ió n a p r o x i m a d a c o n tr e s p u n t o s d e s u b d iv is ió n (h = - , 8 ) q u e s o n 762. 7 23 y 8 6 2 ; y lo s r e s i d u o s p a r a e s ta s o lu c ió n , d e la e c u a c ió n ( I ) , s e c a lc u la n d e K „= Y, +
Y,
—
(2 — p
j n , = V, +
Y ,
— 1,846 Y .
A sí p u e s , el r e s id u o in ic ia l e n e l p r im e r p u n t o d e d iv is ió n , q u e se m u e s t r a e n la f ig u r a 3 0 , e s tá d a d o p o r /?„ = 7 2 3 + 0 — I 8 4 6 X 362 = 55, y lo s o t r o s d o s r e s id u o s se c a lc u l a n d e m a n e r a s e m e ja n te C o m o e n e s ta
e t a p a s ó lo s e n e c e s ita u n a s o lu c ió n b u r d a , se h a a p r o x i m a d o e l 1 846 p o r 2 y se h a n l i q u i d a d o lo s r e s id u o s (fig. 30) c o n lo s e s q u e m a s d e reía ¿ a m ie n to d e la s f ig u ra s 2 3 , 24 y 25, u s a n d o lo s r e s u lt a d o s d e e s te d i a g r a m a c o m o v a lo r e s d e in ic ia c ió n p a r a la a p r o x im a c ió n s ig u ie n te V a lo r e s o b te n id o s p o r in te r p o la c ió n lin e a l s e u til iz a n c o m o v a lo r e s d e in ic ia c ió n d e Y e n x ~ -< 1 6 , x — 3 -.1 6 , e tc , y se m u e s tr a la s ig u ie n te s o lu c ió n a p r o x i m a d a e n la f ig u r a 31 E n e s ta p a r te d e l c á lc u l o e s h ~ —#16 y la f ó r m u l a p a r a lo s r e s id u o s es: R„ =
y, + y,
(2 — ^
) y0-
y , + y :, — 1 ,961 s y ,
(2)
A u n q u e e s ta f ó r m u l a s e u s a p a r a c a l c u la r lo s r e s id u o s in ic ia le s y c o m p r o b a r a l fin a l, e s su fic ie n te a p r o x i m a r e l 1,9615 a 2 e n e l p r o c e s o re a l d e r e la ja m ie n to . E n la r a y a s u p e r i o r d e la f ig u ra 31 se d a n lo s v a lo r e s d e y o b t e n i d o s c o m o s u m a s d e lo s v a lo r e s d e in ic ia c ió n y lo s in c r e m e n to s h e c h o s d u r a n t e el p r o c e s o L o s r e s id u o s c a lc u l a d o s d e la f ó r m u la (2 ) se m u e s tr a n t a m b i é n e n e s a r a y a C o m o é s to s d ifie re n m u y p o c o d e los
334
ECUACIONES D IF E R E N C IA L E S
obtenidos en la parte principal del cálculo (pues 1,9625 se aproxim ó a 2), es necesario aquí liq u id ar lodavia los residuos. E n general, deberá o b te nerse otra solución aproxim ada (dividiendo o tra vez "en dos el valo r de h ) para establecer la exactitud del resu ltad o hallado, p e ro no se h a rá en
|
195
0
4 -1 191 7
|
554
1 0
0 1 -1 921 1
0 1 979
302
0
382
0 0 0 1 -1 1 -2 1 -1 -2 -3 3 0 -3 11 0 -2 -14 15 0 1 -12 19 -14 554 22 707 -29 814 30 920 -31 960 37 3000[
0
705
0
829
1
10001
F ig . 31 este ejem plo, P ara este problem a se baila fácilm ente una solución exacta (> = sen x) y en seguida se com paran los valores de esta solución y los obtenidos en la figura 31 r v (exacta) v = I 0 - 5P (de la fig 10.4
0 0 0 31)
r/1 6 0.195 0.195
.t ,.8 0,383 0,382
3 r /l6 0,555 0,554
r /4 0.707 0,705
Sir/16 0,831 0,829
3 r/8 0,924 0,922
7»/16 0 981 0.980
r/2 1 I
A r tificio s p a ra a c e le r a r e l p ro c e s o d e r e la ja m ie n to
H a s ta a h o r a el p r o c e s o d e r e la ja m ie n to s e h a r e a l iz a d o liq u i d a n d o s is te m á tic a m e n te lo s r e s id u o s c o r r e s p o n d ie n t e s m a y o r e s . A e s te m é to d o se le lla m a r e la ja m ie n to p o r p u n to s y , a u n q u e é s ta e s la o p e r a c ió n b á s ic a , d e h e r á u tiliz a rs e c o n c r i te r io e n c o m b in a c ió n c o n o tr o s tr e s a rtific io s q u e s e lla m a n r e s p e c tiv a m e n te r e la ja m ie n to e n e x c e s o , r e la ja m ie n to e n d e fe c to y r e la ja m ie n to e n b lo q u e . E l le c to r h a b r á o b s e r v a d o q u e s i lo s r e s id u o s e n t r e s p u n to s d e s u b d iv is ió n c o n s e c u tiv o s s o n to d o s d e l m is m o s ig n o , la liq u id a c ió n d e l q u e e s tá e n m e d io p r o d u c e u n in c r e m e n t o e n lo s v e c in o s . P o r o t r a p a r te , si e l r e s id u o d e e n m e d io tie n e s ig n o c o n t r a r i o al d e su s v e c in o s , su liq u id a c ió n d is m in u ir á lo s o tr o s d o s . E n c o n s e c u e n c ia , a lg u n a s v e c e s e s ú til r e l a ja r e n e x c e s o u n r e s id u o , e s d e c ir , .d a rle u n in c r e m e n to m a y o r d e l n e c e s a r io , c o n el o b je t o d e o b te n e r r e s id u o s d e s ig n o o p u e s to e n lo s p u n to s v e c in o s y e n to n c e s li q u id a r e s to s r e s id u o s en u n a e ta p a p o s t e r io r c o n e l r e la ja m ie n to p o r p u n to s . A n á lo g a m e n te , si lo s r e s id u o s a d y a c e n te s s o n m u y g r a n d e s y a m b o s d e s ig n o o p u e s to , r e s u l t a r á c o n v e n ie n te e n a lg u n o s c a s o s el r e l a ja m i e n to p o r d e fe c to . M u c h a s v e c e s p u e d e a c e l e r a r s e g r a n d e m e n te el p r o c e s o d e li q u i d a c ió n a p lic a n d o s im u ltá n e a m e n te in c r e m e n to s e n d o s o m á s p u n to s d e s u b d iv is ió n a d y a c e n te s . S e h a c e n c o n fa c ilid a d e s q u e m a s d e r e la j a m ie n t o p o r b lo q u e p a r a la u n id a d c o m b i n a n d o d o s o m á s d o lo s e s q u e m a s p o r p u n to s d e la fig u ra 2 3 . A s í, p u e s , p a r a in c r e m e n to s
EL MÉTODO DE RELAJA MIENLO
335
u n ita rio s h e c h o s s im u ltá n e a m e n te en d o s p u n to s a d y a c e n te s se m u e s tr a en la fig u ra 32 e) e s q u e m a d e b lo q u e , m o s trá n d o s e e n la s figu r a s 33 y 34 lo s c o rr e s p o n d ie n te s a in c re m e n to s u n ita rio s a p lic a d o s s im u ltá n e a m e n te e n tr e s y c u a tr o p u n to s a d y a c e n te s . ♦1
+l
F ig . 3 2
E l re la ja m ie n to p o r b lo q u e s e s ú til s o b r e to d o c u a n d o lo s re s i d u o s e n c ie r ta e ta p a d e l c á lc u lo so n to d o s d e ig u a l sig n o . E s, p u e s, c o n v e n ie n te a p lic a r el re la ja m ie n to p o r b lo q u e s a u n g ru p o d e p u n to s d e s u b d iv is ió n s itu a d o s c e n tr a lm e n te y p ro s e g u ir c o n o p e ra c io n e s e n b lo q u e m á s a m p lia s . L o s d e ta lle s se m u e s tra n en e l e je m p lo 3
F ig , 3 4
sig u ie n te y s e v e rá q u e , d e s p u é s d e h a c e r e sa s o p e ra c io n e s , el to ta l d e lo s re s id u o s se re d u c e e n o r m e m e n te y la d is trib u c ió n d e los re s i d u o s in d iv id u a le s e s e n to n c e s m u c h o m á s fa v o r a b le p a ra la a p lic a c ió n d e l re la ja m ie n to p o r p u n to s . E je m p lo 3 . R e s u é lv a s e la e c u a c ió n d ife r e n c ia l y " + F ( x ) = 0, d a d o q u e y = 0 p a r a x = 0 e y = 100 p a r a x = 5, s ie n d o F (x ) la ! q u e x F (x )
1 18
2 60
3 126
4 216
E n e s te c a s o e s h = 1 y lo s r e s id u o s e s tá n d e te r m in a d o s p o r
x* — y , + y» — 2y „ + f ( x , ) U s a n d o lo s v a lo re s o b te n id o s p o r in te r p o la c ió n lin e a l d e 2 0 , 4 0, 60 y 8 0 , c o m o v a lo r e s in ic ia le s d e y , lo s r e s id u o s in ic ia le s se h a lla n fá c ilm e n te d e la f ó r m u la a n te r io r y s o n 1 8 , 6 0 , 126 y 216. T o d o s é s to s s o n d e l m is-
336
ECUACIONES D IF E R E N C IA L E S
111 18
1 20
h zF ( x ) =
18
93 40
-3 3 60
93 60
60
33 126
309 216
80
126
i 100|
216
F ig . 3 5
mu signo v sum an 420. J.a sum a de los residuos en los punios centrales es 186 y prim ero se da un increm ento de (186/2) en cada uno de esos puntos El efecto de este bloque, de acuerdo con la figura 32, es reducir los residuos en cada uno de los dos puntos centrales en 93 y au m en tar los de los otros d o s puntos en la m ism a cantidad. La situación al final de esta operación se m uestra en la figura 35. La sum a de los residuos es todavía 420 y en seguida se aplica un relajam iento en bloque de la mitad de esla cantidad a cada uno de los cuatro p u ntos de subdivisión. De acuerdo con la figura 34 (ligeram ente modificada debido a que los pun-
L . h 2F (x ) =
-9 9 111 18
210
20
18
210 93 40
210 93 60
-3 3 60
60
33 126
99 309 216
210 80
126
216
F ig 3 6
tos extrem os del intervalo se consideran ah o ra), se obiene el resultado indicado en la figura 36, quedando reducidos en 210 los residuos en el prim ero V cuarto puntos de subdivisión e inalterados los del segundo y tercero. A hora la sum a de los residuos es cero y su distribución es tal que se puede usar elrelajam iento por puntos para term in ar el cálculo Esto se deja com o ejercicio para el lector, siendo el resultado final
1 0.5
x
0
I
2
y
0
165
311
3
4
397 356
5 100
L a te r m in a c ió n d e l p r o c e so d e liq u id a c ió n
Y a se h a s u g e r id o (e n e l e je m p lo 1) q u e e l p ro c e s o d e liq u id a c ió n e s tá te r m i n a d o c u a n d o c a d a r e s id u o in d iv id u a l (sin c o n s id e r a r s u sig n o ) e s a p r o x im a d a m e n te c e ro . A v e c e s e s ú til el re la ja m ie n to p o r b lo q u e s p a r a r e a liz a r e s ta ú ltim o c o n d ic ió n . E n re a lid a d e s n e c e s a r io te n e r u n c r i te r io a d ic io n a l p a r a a s e g u r a r s e q u e el p ro c e s o s e h a re a liz a d o h a s ta d o n d e e s p o s ib le . E n o tr a s p a la b r a s , es n e c e s a r io a s e g u r a r s e q u e to d o s lo s r e s id u o s in d iv id u a le s q u e n o so n c e r o e s té n b ie n d is tr ib u id o s en e l in te r v a lo d e in te g r a c ió n . P o r e je m p lo , s e r ía in c o r r e c to c o n s id e r a r q u e e l p ro c e s o se h a te r m in a d o c u a n d o lo s re s id u o s q u e q u e d a n so n I , 1. 0 , 1, 0 , — 1, — t , — I , 0 ,
EL MÉTODO D E RELAJAM IENTO
337
p u e s , e n e s te c a s o , lo s re s id u o s p o s itiv o s q u e d a n ju n t o s a la iz q u ie r d a d e l in te r v a lo y lo s n e g a tiv o s a la d e r e c h a . E n e s o s c a s o s e s c o n v e n ie n te c o n fr e c u e n c ia a p li c a r d e n u e v o e l re la ja m ie n to p o r b lo q u e s p a r a m e j o r a r la d is tr ib u c ió n d e los re s id u o s. A lg u n a s v e c e s Ja a p r o x im a c ió n c o n d if e re n c ia s fin ita s a la e c u a c ió n d if e re n c ia l e s s u f ic ie n te m e n te e x a c ta p a r a ju s tific a r la te r m i n a c ió n d e i p ro c e s o d e liq u id a c ió n e n u n a e ta p a e n q u e lo s re s id u o s in d iv id u a le s s o n s u f ic ie n te m e n te m e n o r e s q u e e l v a lo r 2 s u g e r id o a n te s . E n e s e c a s o e s c o n v e n ie n te a f in a r la s o lu c ió n m u ltip lic a n d o to d o s lo s n ú m e r o s d e l d ia g r a m a d e re la ja m ie n to p o r 10 y r e la ja r e n to n c e s lo s n u e v o s r e s id u o s h a s ta q u e s e c u m p la la c o n d ic ió n a n te r i o r p a r a d a r p o r te r m i n a d o e l p ro c e s o . 1 0 .6
C a s o s e n q u e s e e sp e c ific a Ja d e r iv a d a a l fin a l d e ! in ter v a lo
H a s ta a h o r a s ó lo se h a c o n s id e r a d o la re s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d if e re n c ia le s d e s e g u n d o o r d e n e n q u e se d a n lo s v a lo r e s d e la fu n c ió n p e d id a , y , e n a m b o s e x tr e m o s d e l in te r v a lo d e in te g ra c ió n . E n a lg u n o s p r o b le m a s s e e sp e c ific a e l v a lo r d e d y / d x e n u n o o a m b o s e x tr e m o s , e n v ez d e d a r e l v a lo r d e y . P a r a fija r la s id e a s , se e s tu d ia a q u í e l c a s o e n q u e y ' = k e n e l e x tr e m o d e re c h o . Y a n o s e c o n o c e e l v a lo r d e y e n e s e e x tr e m o y , p o r ta n t o , tie n e q u e h a lla r s e ig u a l q u e lo s v a lo r e s e n to d o s lo s p u n to s d e s u b d iv is ió n d e l in te rv a lo d e in te g ra c ió n . C o m o e je m p lo s e c o n s id e r a d e n u e v o la e c u a c ió n d if e re n c ia l y " H- F ( x ) — 0 e n e l in te rv a lo d e x = u a x — b . A h o r a e s n e c e s a r io p o d e r d e fin ir e l r e s id u o e n e l p u n to e x tr e m o x — b , p e r o e s to n o p u e d e h a c e rs e c o n la e c u a c ió n (5 ) d e l a r t íc u l o 1 0 .2 ta l c o m o e s tá , p u e s si se h a c e c o in c id ir e l p u n to x = x„ c o n e l p u n to x = b , n o h a y o t r o p u n to x , n i v a lo r y , c o r r e s p o n d ie n te s . S in e m b a r g o , se p u e d e d e c ir q u e x — x , e s u n p u n to « fic tic io » (fig. 3 7 ) y , r e s ta n d o la s e c u a c io n e s (2 ) d e l a r tíc u lo 10.2, s e o b tie n e :
*3
*0
X1
< x= b) F ig . 3 7
d e s p r e c ia n d o té r m in o s d e o r d e n d e h 3 y s u p e r io re s . A s í, p u e s , y , = y , + 2hk
(2)
p u e s (d y l d x )„ = k c u a n d o s e to m a e l p u n t o x = x„ e n x = b . S u s titu y e n d o e l v a lo r d e y , d a d o p o r la e c u a c ió n (2 ) e n la e c u a c ió n (5) 22
338
ECUACIONES D IFER E N C IA L ES
d el a r tíc u lo 10.2, s e tie n e q u e el r e s id u o e n el p u n to e x tr e m o x = b e s tá d a d o p o r R„ = 2 y , — 2y„ + 2 h k + h 2F íb )
(3)
T a m b ié n h a y q u e h a c e r m o d ific a c io n e s e n lo s e s q u e m a s d e r e l a ja m ie n to q u e h a n d e u s a r s e e n e l p u n to e x tr e m o x = b y e n su p u n to v e c in o d e la ú tq u ie rd a . S e e n c u e n tr a fá c ilm e n te q u e e s o s d ia g ra m a s so n lo s d e la s fig u ra s 38 a ) y b ) , r e s p e c tiv a m e n te .
F ig. 38 Ejem plo 4. H állem e los valores de y, para valores enteros de x. q u e satisfa gan la ecuación diferencial y" + F(x) ~ 0 dudo que y = 0 para x — 0 c >•' = 0 ¡>ara x = 4, estando F(x) dada por x f \ J)
0 0
I 17
2 29
3 37
4 39
Puede hacerse una estim ación m uy burda del valor de y para x = 4 igualando a cero el residuo dado por la ecuación (3) y tom ando y¿ = 0, k = 0, h = 4, F = 39. E sto d a —2y , + 4" X 39 = 0 , q u e conduce a vc = 3 1 2 . A hora puede hacerse una burda estim ación del valo r de y para x = 2 a p artir de la ecuación (4) del artículo 10 2, tom ando y , = 0, y, = 312, h = 2, F = 29. Esto proporciona 312 — 2y. + V X 29 = 0, que conduce a y„ = 214. Se tom an ahora los valores de iniciación de 0, 214 y 312 para una prim era solución p o r relajam iento, con h — 2 El residuo en x = 2 se calcula de la ecuación (5) del articulo 10.2 y el co rrespondiente a r = 4 de la ecuación (3) anterior, siendo estos residuos
1 °l h 2F(x) =
0 -20 -40 214 0 H6
0 -40 40 312 -40 156
F ig. 39 respectivamente 0 y —40, com o se indica en la figura 39. R elajando en exceso en el punto de la derecha aplicando u n increm ento de — 40 con el esquem a de la figura 38 a) y prosiguiendo con un increm ento d e —20 en el punto m edio usando el esquem a d e la figura 38 b), se obtienen com o valores de iniciación para la siguiente etap a del cálculo a 0, 194 y 272. U sando valores obtenidos p o r interpolación lineal y h = 1, se encuen-
E L MÉTODO DE RELAJAMIENTO
101
1
1 -1 7 9 7 17
1 \ h2F (x )=
17
339
1 8 6 -1
241
-1 3 2 -1 -1 0 -9 1 9 4 -29
1 -1 -4 1? 8 22 233 37
1 3 7 -1 5 - 9 2 7 2 -3 9
29
37
39
1
260
1
F ig . 4 0 Irá n lo s v a lo re s d e in ic ia c ió n y lo s re sid u o s in ic ía le s in d ic a d o s e n la figu r a 40. A llí se m u e s tra n ta m b ié n lo s d e ta lle s q u e in d ic a n c ó m o se realizó el p ro c e so h a s ta lle g a r a lo s re su lta d o s y re sid u o s fin ales d e la ray a su p e r io r d e l d ia g ra m a C o m o lo s re sid u o s in iciales a d y a c e n te s e r a n m u y g ra n d e s y d e sig n o o p u e s to , h u b o n e c e sid a d d e re la ja rlo s e n exceso en v a ria s e ta p a s
L a c a n tid a d d e tr a b a jo re a liz a d o en u n p ro c e s o d e reso lu c ió n p o r re la ja m ie n to a u m e n ta c o n sid e ra b le m e n te c o n el n ú m e ro d e p u n io s de su b d iv isió n u tiliz a d o s, sie n d o a lg u n a s v eces p o sib le lim ita r ese n ú m e ro de p u m o s . P o r eje m p lo , si la s c o n d ic io n e s a la fro n te ra so n y = C en at = 0 y a: = a y la e c u a c ió n d ife re n c ia l e s d e fo rm a ta l q u e tie n e s im e tría re s p e c to a l p u n to m e d io d e l in te rv a lo , se re su elv e m e jo r el p ro b le m a c o n sid e rá n d o lo e n la m ita d d e l in te rv alo c o n las c o n d ic io n e s d e fr o n te ra y = C en x — 0 e y ' — 0 e n x = l/ 2a . E sta c la s e d e a rtific io s p a ra a b re v ia r e l c á lc u lo e s a ú n m á s im p o r ta n te si se c o n s id e ra n las e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s, 10.7
E xten sión a o tras e cu a cio n es diferenciales
C o n el o b je to de m o s tra r lo m á s c la ra m e n te p o sib le lo s p rin c ip io s d el p ro c e s o de re la ja m ie n to , los e je m p lo s e sc o g id o s h a n c o n sid e ra d o só lo e c u a c io n e s d ife re n c ia le s m u y sen c illa s c o m o y " + F(x) = 0 . Sin e m b a rg o , el m é to d o p u e d e a p lic a rs e a o tr a s e c u a cio n e s d ife re n c ia le s a e x p e s a s d e a lg u n a p é rd id a d e sim p lic id a d en el c á lc u lo a ritm é tic o m e n ta l n e c e sa rio d u ra n te el p ro c e s o d e liq u id a c ió n . P o r e je m p lo , su p ó n g a s e q u e la e c u a c ió n d ife re n c ia l q u e se tien e e s y " + a y ' + b y + F(x) = 0 , sie n d o a y b c o n s ta n te s y F (x) u n a fu n c ió n d a d a d e x . U tiliz a n d o la s a p ro x im a c io n e s c o n d ife re n c ia s finitas p a r a y " e y ' d a d a s re sp e c tiv a m e n te p o r la s e c u a c io n e s (3 ) del a rtíc u lo 10.2 y (1 ) d e l a rtíc u lo 10.6, la fó rm u la p a r a los re sid u o s es. d e s p re c ia n d o I f y lé rm in o s d e o rd e n su p e rio r, Ko = J'i + y 3 - 2 y 0 + i a h { y , - y 3) + bh 2y 0 + h 2F (x 0) = (1 + i<*h)y i + (1 - i a h ) y 3 - (2 - b h2) y 0 + h 2F (x0), y el e sq u e m a d e re la ja m ie n to es el q u e se m u e s tra en la figura 4 1 . A sí, p u e s , a l re a liz a r el p ro c e s o d e liq u id a c ió n , d e b e n u sa rse m u lti p lic a d o re s c o m o se in d ica n e n el d ia g ra m a en vez d e los m u ltip li
340
ECUACIONES D IFEREN CIA LES
c a d o re s m á s se n c illo s 1, — 2 , 1 e m p le a d o s h a s ta a h o r a . U sa n d o a p ro x im a c io n e s a d e c u a d a s a e s to s m u ltip lic a d o re s , p u e d e n h a c e rs e to d a v ía m e n ta lm e n te la s o p e ra c io n e s a ritm é tic a s , p e r o , d e s d e lu e g o , d e b e rá n u tiliz a rs e lo s m u ltip lic a d o re s c o rr e c to s p a r a c o m p r o b a r los re s u lta d o s fin ales.
F ig
4!
Si lo s c o e fic ie n te s d e la e c u a c ió n d if e re n c ia l so n fu n c io n e s d e x , e n lu g a r d e c o n s ta n te s , el e s q u e m a d e re la ja m ie n to c a m b ia r á d e p u n to . A u n q u e en la p rá c tic a e l m é to d o d e re la ja m ie n to p o d ría to d a v ía u sa rse , se in tr o d u c ir ía u n b u e n ta n t o d e c o m p le jid a d a d ic io n a l. A sim ism o , p a r a e c u a c io n e s d e o r d e n s u p e r io r a l s e g u n d o , el e s q u e m a d e re la ja m ie n to c o n te n d r á m á s d e tr e s p u n to s v e c in o s y e sto a g re g a r á a ú n o tr a c o m p lic a c ió n . C o m o e n e s te c a p ítu lo s ó lo s e p re te n d e d a r u n a in tro d u c c ió n al m é to d o , n o se in te n ta r á e n tr a r en los d e ta lle s d e la re s o lu c ió n d e e sa s e c u a c io n e s m á s c o m p le ja s . E l e s tu d io d e la e c u a c ió n y " + F (x ) = 0 d e la c u a l se h a n d a d o y a s o lu c io n e s d e ta lla d a s , e s su fic ie n te p a ra e x te n d e r el m é to d o a a lg u n a s d e la s m á s im p o r ta n te s e c u a c io n e s d i fe re n c ia le s p a rc ia le s d e la físic a m a te m á tic a y es e n la re s o lu c ió n d e e sa s e c u a c io n e s q u e e l m é to d o h a te n id o s u é x ito m a y o r.
E je r c ic io s 10(a) 1.
T o m a n d o h = I resuélvase la ecu ació n d ife re n c ial y " + F{x) = 0 d a d o q u e y = 0 p a ra x = 0 e y = 120 p a ra x = 6, sien d o F (x ) dada p o r la ta b la x 1 2 3 4 5 F (x ) 8 4 —7 2 —6
2.
T o m a n d o h = I resuélvase d a d o q u e y = 0 p a ra x — 0 p o r la tabla x 1 P (x ) 20
la e cu ació n d iferen cial y " + F (x ) = 0 e y = O p a ra x = 6, sien d o F (x ) dada 2 25
3 25
4 30
5 10
(S ugestión: úsese m icialm en te re la ja m ie n to p o r bloque). 3.
R esuélvase el p ro b lem a d e fro n te ra en d o s p u n to s del ejercicio 2, a n te rio r, p a ra los v alo res d e F(-t) d ad o s p o r
E L M ÉTODO DE RELAJAM IENTO
x FUt)
1 22
2 12
3 —2
4 — 22
341
5 — 18
U n a fu n c ió n y sa tisfa c e ¡a e c u a ció n d ife re n c ia l y " + (rrsy / 9 ) = 0 y las c o n d ic io n e s a la fr o n te ra so n y — I p a ra x = 0 e y — % p a ra x — \ . T o m a n d o su b m te rv a lo s d e 1 /2 y 1 /4 , su c e siv a m e n te , o b té n g an se p o r el m é to d o d e re la ja m ie n to a p ro x im a c io n e s su cesiv as a lo s v a lo re s de y p a r a x = C o m p á re n s e esas a p ro x im a c io n e s co n el v a lo r e x a c to d e y p a ra e ste v a lo r d e x. f* 5. L a in te g ra l p o r sen o S i(x ) se d efin e c o m o S i(x ) — r ¡ sen ! d i
4.
y se sa b e q u e 5 /(0 ) — 0 , 57(2) = 1,605. Si y — lO 'S i(x ), m u éstrese q u e y sa tisfa c e la e c u a c ió n d ife re n c ia l g
+ I O , ( 5C' IJ,- " ° s * ) - o .
con las co n d ic io n e s a la fro n te ra d e q u e y — 0 p a ra x — 0 e y 1605 p a ra x = 2. U tiliz a n d o el m é to d o d e re la ja m ie n to resu él vase esta e c u a c ió n , h a lla n d o v a lo re s a p ro x im a d o s p a ra S H x) c u a n d o x = 0,25, 0,50, 0,75, 1,00, 1,25, 1,50 y 1,75. 6.
La flecha y a la d is ta n c ia x d e un e x tre m o d e u n a v iga u n ifo rm e de lo n g itu d u n id a d c a rg a d a u n ifo rm e m e n te c o n u n a c a rg a w p o r u n id a d d e lo n g itu d e stá d a d a p o r 2 E ly " + w x ( \ — x ) = 0 , s ie n d o E el m ó d u lo d e Y o u n g del m a te ria l d e la viga e / (c o n sta n te ) el seg u n d o m o m e n to d e in ercia (o d e se g u n d o o rd e n ) d el á re a d e la sección tra n sv e rs a l. Si la viga e stá s o p o r ta d a sim p le m e n te en sus e x tre m o s, úsese e l m é to d o d e re la ja m ie n to c o n h — I / 8 p a ra h a lla r la flecha en el p u n to m e d io y c o m p á re se el re s u lta d o c o n el v alo r c o rre c to .
7.
T ó m e se h — 0,05 p a ra h a lla r un v a lo r a p ro x im a d o d e y p a ra x = 0,7 q u e sa tisfa g a el p ro b le m a co n c o n d ic io n e s d e fro n te ra y " + F (x ) = 0 con y — 19 p a ra x — 0,3 e y ' = 98 p a ra x = 0 ,7 , sie n d o F (x) d a d a p o r x F (x )
8.
0,35 0,40 — 630 —4 8 0
0,45 — 270
0 ,5 0 0
0 ,5 5 330
0 ,6 0 0,65 720 1170
0,70 1680
U n a viga de 8 pies d e lo n g itu d s o p o rta u n a c a rg a u n ifo rm e de 10 Ib p o r p ie y está sim p le m e n te so p o rta d a en a m b o s e x trem o s. L a flecha y a la d is ta n c ia x de un e x tre m o e stá d a d a p o r 2 E l y " -f-i- 10x(8 — x ) = 0 , sien d o F, = 4 X I0'1 Ib /p ie 2 e I e sta n d o d a d o en fu n c ió n d e x p o r x
1 ,7
2 ,6
3 ,4 ,5
I
1
1,2
1,6
p ie s
10-*
p ie s1
la secció n d e la v ig a n o es u n ifo rm e , p e ro es sim étric a re sp e cto a( p u n to m e d io . U tiliz a n d o u n in te rv a lo d e I pie h állese la flecha en el c e n tro . 9. L a fu n c ió n d e e r r o r e rf x e s tá d efin id a p o r e r f x = (2 /< /ir)
Sl
342
ECU A CIO N ES D IF E R E N C IA L E S
y
= 10a e r f x
m u é stre se q u e y está d a d a p o r Ja e c u a c ió n
T ó m e se h = 0,1 p a ra re s o lv e r la e c u a c ió n d ife re n c ia l d ‘y
1 dy
si y - 0 ta n to p a r a * = 0 c o m o p a ra x = Y2, sie n d o F (x ) d a d a p o r x 0,1 F{ x ) 6,63 1 0 .8
0,2 0 ,3 7,33 8 ,1 0
0,4 8,95
E x te n s ió n a e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s p a r c ia le s
E l m é t o d o d e s c r ito e n la s s e c c io n e s a n te r io r e s p a r a ia re s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d i n a r ia s p u e d e e x te n d e r s e f á c ilm e n te p a r a a p li c a r s e a e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s p a r c ia le s d e d o s v a r ia b le s in d e p e n d ie n te s . L a e x te n s ió n d ir e c ta d e l p r o b le m a c o n c o n d ic io n e s d e f r o n te r a y " + F ( x ) = 0 c o n y e s p e c ific a d a p a r a x — a y x = b e s la s o lu c ió n d e la f o r m a b id im e n s io n a l d e la e c u a c ió n d e P o is s o n d2V
d2 V
(i)
c o n v a lo r e s d e V p r e s c r ito s e n la f r o n t e r a d e u n á r e a p la n a d a d a . E s ta e c u a c ió n e s u n a d e la s m á s s e n c illa s d e s d e e l p u n to d e v is ta d e l r e la ja m ie n to y , p u e s to q u e c o n tie n e a la im p o r t a n te e c u a c ió n d e L a p la c e c o m o c a s o e s p e c ia l, se u s a r á p a r a il u s t r a r e l p r o c e d im ie n to . E l á r e a p l a n a s o b r e la q u e v a a r e a liz a r s e la in te g r a c ió n s e s u b d iv id e c o n u n a r e d o m a lla u n if o r m e y s e c a lc u 2 la n lo s v a lo r e s d e la f u n c ió n p e d id a V e n lo s v é r tic e s d e e lla . E n l a p r á c tic a 0 3 1 s e u s a m a lla d e c u a d r o s ( c u a d r íc u la ) , a u n q u e o c a s i o n a lm e n te p u e d e u s a r s e 4 * - h —* u n a m a lla f o r m a d a d e tr iá n g u l o s o r e c tá n g u lo s . A q u í s e c o n s i d e r a r á ú n ic a F ig 42 m e n te u n a m a l la d e c u a d r o s d e l a d o h y s e e s c r ib ir á p r i m e r o la a p r o x i m a c ió n c o n d if e r e n c ia s fin ita s a la e c u a c i ó n (1 ), e n f u n c ió n d e lo s v a lo r e s d e V e n lo s p u n to s in d ic a d o s p o r 1, 2 , 3 y 4 d e la f ig u r a 4 2 . U s a n d o s u b ín d ic e s p a r a in d ic a r lo s v a lo r e s e n lo s p u n to s c o r r e s p o n
E l. MÉTODO DE RELAJAMIENTO
343
d ie n te s y d e s p r e c ia n d o té r m in o s d e l o r d e n d e h 1 y s u p e rio re s , se tie n e d e la e c u a c ió n (3 ) d e l a r tíc u lo 10.2.
A n á lo g a m e n te V2 + V4 - 2 V0 = h dy2 y , e n c o n s e c u e n c ia .
( S
) A
^ l = k r ' + V i + V i + v ‘ - w °) -
(2)
E n to n c e s la e c u a c ió n (1) p u e d e s u s titu irs e p o r la e c u a c ió n a lg e b ra ic a V¡ + V2 + V , + VA - 4 V 0 + h 2F ( x 0 , y 0) = 0 ,
(3)
y u n a e c u a c ió n s e m e ja n te se v erific a e n c a d a v é rtic e d e la m a lla . E l c o n ju n to d e e c u a c io n e s s im u ltá n e a s d e l c u a l la e c u a c ió n (3) e s típ ic a , s e re s u e lv e a h o r a p o r el p ro c e s o d e re la ja m ie n to y e s c la ro q u e e l s id u o R {, en e l p u n to 0 e s tá d a d o p o r R 0 = V l + V2 + V 3 + VA~ 4 V 0 + h 2F ( x 0, y 0),
(4)
e n ta n t o q u e e l e s q u e m a d e re la ja m ie n to e s el q u e se m u e s tra e n la fig u ra 4 3 . T o d a s la s su g e s tio n e s y a rtific io s d a d o s a n te s se a p lic a n to d a v ía , p e ro p u e d e n s e r ú tile s lo s sig u ie n te s c o m e n ta rio s a d ic io n a le s : i) L a m a lla d e c u a d r o s , q u e d e b e rá d ib u ja rs e e n la p a r te p o s te r io r d e l p a p e l te la , d e b e rá s e r lo s u fic ie n te m e n te g ra n d e ( p o r lo m e n o s d e 2 ,5 c m y d e p re f e re n c ia m a y o r ) p a ra e v ita r te n e r q u e b o r r a r c o n fre c u e n c ia c u a n d o s e llen e n lo s c u a d r o s c o n lo s re p e tid o s in c r e m e n to s y a ju s te s d e los re s id u o s. ii) C u a n d o se h a g a u n in c r e m e n to e n u n p u n to d e te r m in a d o , e s a c o n s e ja b le s e r s is te m á tic o a l a ju s ta r lo s re s i d u o s , a ju s ta n d o p rim e ro el re s id u o e n e l p u n to 0 y s e g u i d a m e n te lo s d e lo s p u n to s I, 2 , 3, e n e s te o rd e n . iii) L a liq u id a c ió n d e los Fig. 43 re s id u o s e s a h o r a c o m p le ta
F.CU A C IO N fS 1311 l;R E N l'l ALES
344
c u a n d o e) v a lo r a b s o lu to d e c a d a r e s id u o in d iv id u a l e s m e n o r t(u e tr e s , c u a n d o e l to t a l o s u m a d e to d o s lo s r e s id u o s e s a p r o x i m a d a m e n te c e r o y c u a n d o lo s r e s id u o s in d iv id u a le s p o s itiv o s y n e g a tiv o s e s tá n b ie n d is tr i b u id o s s o b r e el á r e a d e in te g ra c ió n . E jem plo 5.
U n c u a d r o e s t á lim ita d o p o r la s r e c ta s x — 0 , x — 4 , y = 0 e y • 4. L a te m p e r a tu r a , K, e n g ra d o s , e n la f r o n t e r a e s tá d a d a p o r x ‘ + v’ >. e n e l in te r io r d e la re g ió n , p o r
<*6 3*0 ax2
oy2
= °-
O se.se e l m é t o d o d e r e la ja m ie n to p a r a d e t e r m i n a r la te m p e r a tu r a e n Iosn u e v e p u n t o s in te r io r e s (x = rn, y = » ) . s ie n d o m = 1 . 2 , 3 y n = 1. 2 , 3. L a m a lla se m u e s tr a ' c u la lig u r a 4 4 y lo s v a lo r e s e n la f r o n t e r a se h a n c a l c u l a d a d e la f ó r m u la = x* + y 2. L a e c u a c ió n q u e v a a r e s o lv e r s e e s la d e l a p l a c e . d e m o d o q u e F ( x , >1 = 0 y lo s r e s id u o s e s tá n d a d o s p o r
6
(5) y 16
17
24
16 2
25
15 -6
26
8 2
1
11
-3 0
17 11
8
F ig
43
80
5 45 8
73
-3 47
0 -12
68
37
5 8
65
27
64
X
44
P u e d e h a c e r s e u n a p r im e r a e s tim a c ió n d e l a t e m p e r a t u r a e n e l p u n to c e n tr a l d e la m a lla ( 2 . 2 ) u s a n d o u n a m a l la d e a b e r l u r a 2 e i g u a l a n d o a c e r o el r e s id u o d a d o p o r la e c u a c ió n (5 ) c o n it, — 6 8 , Ú2 = 2 4 , 6 , = 4 y fíj — 8 , d e m o d o q u e 6 8 + 2 4 -I 4 + 8 — 4(1, = 0. q u e c o n d u c e a = 26. P u e d e n o b te n e r s e v a l o r e s in ic ia le s e n lo s p u n t o s (1 , 2 ) y (3 . 2) p o r i n t e r p o la c ió n lin e a l e n t r e 4 y 2 6 y 2 6 >■ 6 8 , r e s p e c tiv a m e n te , d e m a n e r a q u e s e lle n e u n c o n j u n t o c o m p le to d e v a lo r e s d e in ic ia c ió n e n la r e c ta y = 2. P u e d e n o b t e n e r s e a h o r a v a lo r e s d e in ic ia c ió n e n la s r e c ia s y = I c y = 3 i n t e r p o la n d o e n t r e lo s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n t e s d e la s r e c ta s y ~ 0 , y = . v — 2 e y — 4 , r e s p e c tiv a m e n te . L a f ig u ra 4 4 m u e s tr a e s o s v a lo r e s d e in ic ia c ió n s itu a d o s a r r i b a y a la i z q u ie r d a d e la s r e c ia s d e l a m a lla e n c a d a v c rlic e . S e c a lc u la n e n s e g u id a lo s r e s id u o s p a r a c a d a v é r
2
í:L MÉTODO DE RELAJAM IENTO
345
tic e c o n la e c u a c ió n (5) y lo s v a lo r e s d e in ic ia c ió n a n te r io re s . P o r e je m p lo , el r e s id u o e n e l p u n t o (1 , 3) e s tá d a d o p o r — 25 + 17 4+ 9 + 15 — 4 X 16 = 2 . E s to s r e s id u o s in ic ia le s se e s c r ib e n a r r i b a y a l:t d e r e c h a d e la s r e c ta s d e la m a lla e n c a d a v é rtic e . S e u s a a h o r a el 7u
17
43 48
29 11
1
\ 6
1 0 4 5 2
-1 •2 2 1 0 1 B 2 5 45 0
-
1 3 25
-
27
i u
46
1 0 1 4 1 2 -3 0 4 7 '12
i
1 26
40 21 J L J_
1
0 4 5
0
2
1
1 3 17
1 2 37
1
27
0
F ig
73
-1 -í 3
2
-
0 -1 -1 -2 15 -6
80 -1
68
-1 - 1 -2 2 1 0 8 5 0
65
64
45
r e la ja m ie n to p o r p u n to s p a r a r e d u c ir e s to s r e s id u o s s is te m á tic a m e n te a v a lo r e s m e n o r e s q u e 3 e n v a lo r a b s o lu to . C o m o e l m a y o r r e s id u o e s — 12 e n el p u n t o (3 , 2 ), p r im e r o s e r e d u c e é s te a c e r o a p lic a n d o u n in c r e m e n to d e — 3 ( = - — 12.'4) a l v a lo r d e U e n e s te p u n to . U n a m ira d a a l e s q u e m a d e r e la ja m ie n to d e la f ig u ra 4 3 m u e s tr a q u e e s e in c r e m e n to d is m in u y e lo s r e s id u o s e n 3 e n c a d a u n o d e lo s p u n to s (3 ; 3), (2 , 2 ) y (1. 3). n o h a b ie n d o a lte r a c ió n e n e l p u n to (4. 2). p u e s to q u e e s é s te u n p u n to d e la f r o n t e r a e n q u e se p r e s c r ib e e l v a lo r d o (i. E l e f e c to d e e s te in c re m e n to s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 4 , d o n d e e l in c r e m e n to — 3 s e e s c r ib ió s o b r e el v a l o r in ic ia l d e 4 7 y s e h a n a ju s ta d o lo s r e s id u o s e n e l p u n t o (3, 2) y en lo s p u n to s v e c in o s a s u s n u e v o s v a lo re s . E l s ig u ie n te p a s o c o n s is te e n r e p e tir e l p r o c e s o c o n e l re s id u o m á x i m o q u e h a y a [ a q u í p u e d e p r o s e g u ir s e c o n e l d e l p u n t o (2 . I ) o e l d e l p u n t o (2 , 3). p u e s to q u e e l r e s id u o e s 1 1 e n a m b o s ] E l p r o c e s o d e liq u i d a c ió n se r e a liz a s is te m á tic a m e n te d e e s ta m a n e r a y la f ig u ra 4 5 m u e s tra el d ia g r a m a d e r e la ja m ie n to u n a v e z te r m in a d o e l c á lc u lo . L o s n ú m e r o s s u b r a y a d o s e n la p a r te s u p e r i o r d e la c o lu m n a d e la iz q u ie r d a d e c a d a
346
FCIJACIONES D IFEREN CIA LES
vértice, son los valores finales de h obtenidos sum ando los valores de iniciación y los incrementos hechos durante el cálculo. Los núm eros sub rayados en la parte superior de la colum na de la derecha son los resi duos calculados de la ecuación (5) y los valores finales de 0. Éstos sirven de com probación y m ostrarán los errores com etidos d u ran te el cálculo. Si estos residuos recaiculados no son suficientemente pequeños debido a errores, deberá hacerse un nuevo proceso de relajam iento p ara redu cirlos a valores aceptables. 10.9
R e la ja m ie n to e n b lo q u e d e p ro b le m a s d e d o s d im e n s io n e s
L o s re la ja m ie n to s p o r e x c e so y p o r d e fe c to ju e g a n el m is m o p a pel en los p ro b le m a s d e d o s d im e n s io n e s q u e en la re s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s o r d in a r ia s . L o m is m o s u c e d e c o n el r e la ja m ie n to p o r b lo q u e , u n a o p e ra c ió n m u y ú til p a r a r e d u c i r el re s id u o to ta l a c e ro .
F ig. 4 6
F'9 <7
L o s e s q u e m a s d e re la ja m ie n to p a r a b lo q u e s d e p u n to s se d e te r m in a n fá c ilm e n te c o m b in a n d o d o s o m á s d e lo s e s q u e m a s p a r a p u n to s in d iv id u a le s d a d o s e n la fig u ra 4 3 . E n la s fig u ra s 4 6 y 4 7 se m u e s tra n c a s o s típ ic o s y s e d a n a llí d ia g r a m a s p a r a b lo q u e s d e d o s y c u a tr o p u n to s , re s p e c tiv a m e n te . E l e fe c to d e u n b lo q u e g ra n d e se m u e s tra en la fig u ra 48. E n c a d a d ia g r a m a , el b lo q u e d e p u n to s , e n c a d a u n o d e lo s c u a le s se h a c e un in c re m e n to u n ita r io , e s tá r o d e a d o p o r u n a c u rv a d e tr a z o s . O b s e r v a n d o los d ia g r a m a s se v e q u e se a p lic a n las re g la s sig u ie n te s: /') U n re s id u o d e + 1 se tra n s fie re p o r c a d a re c ta d e la m alla q u e c ru z a el c o n to r n o . ií) L o s re s id u o s e n lo s p u n to s in te rio re s se re d u c e n e n e l n ú m e r o d e re c ta s d e la m a lla q u e p a r te n d e e s to s p u n to s y c ru z a n el c o n to r n o . iii) E l a u m e n to to ta l d e lo s re s id u o s fu e ra d e l c o n to r n o es ig u al a l d e c re c im ie n to to ta l a d e n tr o .
347
EL MÉTODO DE RELAJAMIENTO
1
i
1
/ i
;
- 2
- i
\
\ i
-2
!
0
2
- 2 1 ‘ ^ 1 ■■
i
0
\ v
1
_ -1
- 2 ' ',
i
2
1
-1
- 1
1
1 \
X _ _
2
í
- 1
0
0
0
N - 2 >
i * i
1
i 1
¡
1 1
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-1
- 1
- 1
-1
-1
“ 2
!
1
> l
\
' 1
1
1
1
1
1
/
1
1
F ig . 4 8
E n c o n s e c u e n c ia , si e n u n a e ta p a d e te r m in a d a d e l p ro c e s o d e re la ja m ie n to el re s id u o to ta l d e n tr o d e c ie r ta re g ió n e s R y si el n ú m e r o d e re c ta s d e la m a lla q u e c ru z a n la fr o n te ra d e la reg ió n e s N , e l re s id u o to ta l d e n tr o d e la re g ió n s e r e d u c irá a c e ro a p lic a n d o u n b lo q u e d e m a g n itu d R / N . U n e je m p lo típ ic o d o n d e so n ú tile s las o p e ra c io n e s p o r b lo q u e se d a a c o n tin u a c ió n . E je m p lo 6 . E n u n p r o b le m a d e to rs ió n se n e c e s ita la s o lu c ió n d e la e c u a ció n d e P o is so n V ay + 6400 = 0 e n e l In te rio r d e u n re c tá n g u lo d e 1 p ie 6 " p o r 1 p ie , s ie n d o lo s v a lo re s d e \ e n la f r o n te r a d e l re c tá n g u lo c e ro ló se n se c u a d r ic u la s d e 6" y 3 " su c e s iv a m e n te p a r a h a l la r v a lo re s a p r o x i m a d o s d e xP a r a u n a c u a d r ic u la de h lo s re s id u o s e s tá n d a d o s p o r R* = X- + X» + X' + X- — 4 X« + 6 4 0 0 /r d e m o d o q u e , lo m a n d o h = M p ie y v a lo r e s in ic ia le s c e ro p a r a y- l ° s re s id u o s e n d o s v é rtic e s d e la c u a d r íc u la d e la fig u ra 4 9 s o n a m b o s 1600. R o d e a n d o e s to s d o s p u n to s p o r el c o n to r n o d e tr a z o s m o s tr a d o , e l r e s id u o to ta ! d e n t r o d e ! c o n to r n o e s 3200 y e! n ú m e r o d e lin e a s d e la c u a d r í c u l a e s 6. E n c o n s e c u e n c ia , a p lic a n d o u n b lo q u e d e 533 (3200/6) y u s a n d o e l e s q u e m a d e la fig u ra 4 6, la p r im e ra s o lu c ió n a p r o x im a d a es q u e lo s d e v a lo r e s x e n *o s v é rtic e s m o s tr a d o s e n la fig u ra 4 9 s o n c a d a u n o 533 c o n r e s id u o s d e la u n id a d . C o n b = \4 y 15 v é rtic e s, v a lo re s d e in ic ia c ió n , c e r o , d e \ d a n r e s i d u o s in ic ia le s d e 4 0 0 , c o m o se in d ic a e n la fig u ra 50. E l r e s id u o in ic ia l to ta l e s d e IS X 4 00 y, si se a p lic a u n a o p e r a c ió n p o r b lo q u e a to d o s lo s v é rtic e s q u e e s tá n d e n tr o d e l c o n to r n o e x te r io r d e tr a z o s , e l n ú m e r o d e re c ta s d e la m a lla q u e c r u z a n e l c o n to r n o e s 16, A si p u e s , el in c re m e n to q u e h a d e u s a r s e e n e s ta o p e r a c ió n p o r b lo q u e e s (15 X 4 0 0 J/I6 = 375 y la fig u ra 50 m u e s tr a lo s v a lo re s a q u e se a lte r a n lo s re sid u o s d e s p u é s d e su a p lic a c ió n . D e n tr o d e l c o n to r n o in te r n o d e tr a z o s e l r e s id u o to t a l es 1200 y e l n ú m e r o d e r e c ta s d e la m a lla q u e lo c r u z a n e s 8 P o r ta m o .
348
ECUACIONES DIFERENCIALES
0 ______
0
0
0
/ í \
N 1 1 533 0
i i 1 i i i \
1 1600
533 0
i 16 0 0
/ 0
| ¡0 l 1 1 1 f 0
0 F ig . 49
se a p lic a u n b lo q u e d e m a g n itu d 1200 8 = ISO a lo s tre s v é rtic e s c e n tr a les, cu y a s a lte ra c io n e s so b re los resid u o s se m u e s tra n ta m b ié n e n la figu ra 50 E l g ra n re sid u o inicial to ta l se h a re d u c id o a h o r a a c e ro y los resid u o s in d iv id u a le s e stü n d is trib u id o s b a s ta n te bien p a r a q u e re su lte 0
0
/ 1
0
0
0 \
175 375 25 0 400
375 -35Ü 0 400
i i l i l
0
375 0
175 25 400
175 375 25 0 400
375 -350 0 400
\ 1 i
10 1 1
175
¡
375 0
2b ;
400 ¡
1 i i i
i 1 1 1 i t
150 375 0
-50 400
150 375 100 0 400
150 375 - 5 0 0 400
1375 i 0 i i
1
i
1 \
375 -350 0 40Ó
•s
i
175175_ 375 75 25 375 0 400 0 40 U
375 0
1 7 5 '' 25 375 400 0
175 25 400
1
400
i o 1 1 1
1
— i! o i 1 1 1 -350 i
i
\
0
0
0
0
0
0
F ig 50 ú til el re la ja m ie n to p o r p u n to s. P u e d e e v ita rse b a s ta n te tr a b a jo al reali z a r el re la ja m ie n to p o r p u n to s si se a p ro v e c h a c o m p le ta m e n te la sim e tría q u e ex iste e n este p r o b le m a y se d e ja n la s e ta p a s fin ales d e la re so lu ció n p a ra la sección sig u ien te.
10.10
R ecta s d e sim e tría
Se e stu d ia a h o ra b re v e m e n te el e fe c to en la fó rm u la d e los re s i d u o s y en el e sq u e m a d e re la ja m ie n to d e c o n d ic io n e s d e sim e tría . S u p ó n g ase q u e Y Y ífig. 51) e s u n a recta d e sim e tría y q u e se to m a
E L MÉTODO DE RELAJAM IENTO
349
Y! i i i
3
2 1 1 i 1 i 0 i l 1 1
1
i 1 1 l 1 l Y!
F ,g . 57 e n e lla e l p u n to c e ro , s ie n d o lo s p u n io s 1, 2 . 3 y 4 v e c in o s . E n lo n c e s, V 3 = V , y la f ó r m u la (4) d e l a rtíc u lo 1 0 .2 p a r a e l re s id u o en e so s p u n io s q u e d a R 0 = 2 V l + V2 + V4 - 4 V t) + h z F ( x 0, y 0),
(1)
y s e r á b a s ta n te s e n c illo e s c r ib ir la fó r m u la c o rr e s p o n d ie n te c u a n d o lá r e c ta d e s im e tría e s h o riz o n ta l. E l e s q u e m a d e re la ja m ie n to p a r a u n o d e e so s p u n to s c o m o 1 e s e! q u e se m u e s tra e n la fig u ra 5 2 , p u e s d e b e r e c o r d a r s e q u e c u a n d o s e a p lic a u n in c r e m e n to a l p u n to 1, se a p lic a e l m is m o in c r e m e n to
F ig
52
a l p u n to 3. C o n u n p o c o d e p rá c tic a e l le c to r p o d r á u s a r e so s e s q u e m a s c o n s o ltu ra y s e r á c a p a z d e s a c a r p ro v e c h o d e l g r a n a h o r r o d e tr a b a jo q u e o fre c e n la s c o n d ic io n e s d e s im e tría . C o m o e je m p lo se
3S 0
ECUACIONES D IFER E N C IA L ES
c o n s id e ra la re s o lu c ió n d e l e je m p lo 6 e n la e ta p a e n q u e e s ú til el re la ja m ie n to p o r p u n to s . E je m p lo 7 . C o m p lé te s e la re s o lu c ió n d e l e je m p lo 6 u s a n d o lo s v a lo r e s d a d o s e n la fig u r a 5 0 c o m o v a lo re s d e in ic ia c ió n . A q u í h a y d o s r e c ta s d e s im e tr ía y s o lo e s n e c e s a r io c o n s id e r a r la c u a r ta p a r te d e l r e c tá n g u lo m o s tr a d o e n la fig u ra 50. L a fig u ra 53 m u e s tr a lo s v a lo re s d e in ic ia c ió n y lo s r e s id u o s in ic ia le s to m a d o s d e l d ia g r a m a a n te r io r y la s re c ta s d e s im e tr ía se in d ic a n d e tr a z o s L a p r i m e r a e ta p a c o n s is te e n l i q u id a r a p r o x im a d a m e n te el r e s id u o d e — 350 a p lic a n d o u n 0 1 1 1 1 1
0
4 4 -1 3 7 5 | 175 f
131 87 175
375
--
-8 8 375
0
2 -3 5 0
0
-1 175
0
1 1 ¡ 1 88 _ 5 2 5 ]_ 1 0 0 _ _ 5 2 5
- 5 0 _ 37_5
1 F ig . 53 in c r e m e n to d e — 88 E sto r e d u c e el re s id u o e n el p u n t o d e la iz q u ie r d a e n 88 y , d e b id o a la r e c ta d e s im e tr ía h o r iz o n ta l, e! re s id u o e n e l p u n to d e a h a j o d e l q u e s e está c o n s id e ra n d o s e re d u c e e n 2 X 88 E l re s id u o q u e se liq u id a e n s e g u id a e s el d e 175 y é s le se h a c e a p lic a n d o u n in c r e m e n to d e 44. E l e f e c to d e e s ta s d o s o p e r a c io n e s s e m u e s tr a e n la f ig u ra 53 L a re s o lu c ió n s e p r o s ig u e d e esta m a n e r a y la fig u ra 54 m u e s tr a los v a lo re s fin a le s d e y y lo s r e s id u o s fin a le s É sto s se o b tu v ie r o n u tiliz a n d o e l re la ja m ie n to p o r p u n to s h a s ta q u e lo s r e s id u o s in d iv id u a le s f u e ro n m e n o r e s q u e 3 y e n to n c e s m u ltip lic a n d o t o d o jx ir 10 y r e a liz a n d o o tr o p r o c e s o d e liq u id a c ió n L o s r e s u lta d o s fin a le s así o b te n id o s se d iv id ie ro n jx>r 1 0 y se a p r o x im a r o n a! e n te r o m á s p ró x im o . 0
0
0
0
477
1
441
0
310
0
0
627
0
577
0
399
1
0
F ig . 5 4
EL MÉTOLJO DE RELAJAM IENTO
10.11
E fectos locales
E n a lg u n o s p r o b le m a s p u e d e h a c e rs e u so d e l h e c h o d e q u e las p e r tu r b a c io n e s e n u n c a m p o fís ic o s o n m u c h a s v e c e s m u y lo c a le s en lo q u e s e re f ie re a s u e fe c to . P o r e je m p lo , s u p ó n g a s e q u e s e e s tá d e te r m in a n d o la te m p e r a t u r a e s ta c io n a r ia V e n u n a b a r r a la r g a c u y a s e c c ió n s e m u e s tr a e n la fig u ra 5 5 , s ie n d o la te m p e r a tu r a en la fr o n -
C
8
V = 100°C
—I—i— I— — --------- I--------------- ---- ! I !
!
V rO V=0
D
L_
75
75
75
75
75
50
50
50
50
50
25
25
25
25
25
-• |
1 ,
F ig . 55
t e r a c o m o se in d ic a . L a f r o n te r a d e la d e r e c h a (q u e n o se m u e s tra ) se s u p o n e q u e e s tá e s p e c ific a d a p o r la r e c ta x — a d o n d e a e s g r a n d e . S i te n e m o s q u e x n o e s m u y p e q u e ñ a o m u y g r a n d e , la in flu e n c ia d e la s f r o n te r a s d e la iz q u ie r d a y d e la d e r e c h a s ie n d o lo c a l, la t e m p e r a t u r a s e r á a p r o x i m a d a m e n te in d e p e n d ie n te d e a: y la e c u a c ió n q u e s a tis f a c e V (la e c u a c ió n d e L a p la c e ) se r e d u c ir á a di V/Syi = 0. L a s o lu c ió n d e é s t a e s V = A y + B y , e s c o g ie n d o A y B d e m a n e r a q u e s e s a tis f a g a n l a s c o n d ic io n e s d e f r o n te r a , V = 0 p a r a y = 0 y y = io o p a r a y = 4 , s e h a lla V = 2 5 y . q u e d a v a lo r e s d e 2 5 , 5 0 y 7 5 ° C p a r a y = 1, 2 y 3 , re s p e c tiv a m e n te . A s í, p u e s , p a r a o b te n e r u n a s o lu c ió n p o r r e la ja m ie n to p a r a v a lo r e s d e a q u e n o s e a n d e m a s ia d o g r a n d e s , p u e d e n u s a r s e e s to s v a lo r e s c o m o d e in ic ia c ió n y se e n c o n tr a r á q u e d u r a n t e el p r o c e s o d e liq u id a c ió n lo s r e s id u o s só lo tie n e n q u e s e r a ju s ta d o s e n u n a c i e r t a re g ió n c e r c a n a al e x tr e m o iz q u ie r d o . S e p u e d e h a lla r q u e , d e h e c h o , 2 5 , 5 0 y 75 s o n v a lo r e s fin a le s p e r f e c ta m e n te b u e n o s p a r a la te m p e r a tu r a e n u n a re g ió n c o m o la m o s tr a d a a la d e r e c h a d e l d ia g r a m a y , en c o n s e c u e n c ia , el n ú m e r o d e p u n to s d e la m a lla (v é r tic e s ) d e l d ia g r a m a d e c á lc u lo p u e d e m a n te n e r s e r a z o n a b le m e n te p e q u e ñ o . S in e m b a r g o , c e rc a d e la f r o n te r a iz q u ie r d a , la te m p e r a tu r a y a n o s e r á in d e p e n d íe n te d e x n i lin e a l e n y , s ie n d o m u c h a s v e c e s n e c e s a r io h a c e r u n a m a lla m á s fin a ( c e r r a d a ) s o b r e u n a re g ió n lim ita d a c o m o O A tíC D E . H a y d is p o n ib le s m é to d o s e s p e c ia le s p a r a « p r o c e d e r a u n a m a lla m á s fin a » e n u n a re g ió n a s í, sin in c u r r ir e n la m o le s tia d e u s a r u n a m a lla m á s fin a e n to d o e l d ia g r a m a . L a fa lta d e
352
ECUACIONES D IFER E N C IA L ES
e s p a c io e v ita q u e se d e n d e ta lle s d e e s to a q u í, p e r o p u e d e n c ó n s u l la r s e los te x to s c o rr ie n te s * 1 0 .1 2
F ro n tera s cu rv a d a s
E n lo s e je m p lo s c o n s id e r a d o s h a s ta a h o r a la f r o n te r a d e l á r e a d e in te g ra c ió n h a s id o re c tilín e a y , p a r a h a c e r e l m é to d o a p lic a b le a to d o s lo s c a s o s , e s c la r a m e n te n e c e s a r io e s tu d ia r la s m o d ific a c io n e s n e c e s a ria s p a ra c o n s id e r a r e je m p lo s en q u e p a r t e o to d a la f r o n te r a
F ig . 56 s e a u n a c u r v a . S e s e g u irá u s a n d o u n a m a lla d e c u a d r o s d e la d o h y se e s tu d ia r á p r im e r o ei c a s o (fig. 5 6 ) e n q u e e l p u n to 0 e s t á s i tu a d o d e m o d o q u e el p u n to I q u e d e a f u e r a d e la f r o n te r a . E l v a lo r d e V e n el p u n ió d e in te rs e c c ió n A d e la f r o n te r a c o n Ja r e c ta d e la m a fia 01 se s u p o n e q u e e s V 4 y s e to m a la lo n g itu d d e 0 A c o m o ¿A , s ie n d o 0 < £ < 1. D e s a r r o lla n d o V e n s e rie d e T a y lo r en el p u m o ( x , y u), e n la v e c in d a d d e l p u n to 0 (* „, y 0) , se tie n e :
^
v»+© 0(x“^+KS:)„(^j‘",j+KS)0(ji"x”),+
y, h a c ie n d o V = V 4 y x — x„ = £/¡, r e s u lta :
■■ (i)
* Véase, por ejem plo, R. V. Southwell, R claxation M eth o ds m Theoretical Physies, O xford Universily Press, 1946.
E L MÉTODO DE RELAJAM IENTO
353
T o m a n d o V = V :l y x — x„ = — h e n (1 ), s e o b lie n e :
d e m o d o q u e , m u ltip lic a n d o (3) p o r £ , s u m a n d o a (2 ) y d e s p r e c ia n d o té r m in o s d e l o r d e n d e h ' y s u p e r io re s , re s u lta VA + í V3 = (1 + ® V 0 + I í ( l + £ )* 2 ( 0 de donde h2( ? V \ \d x 2J o C o m o e n el a r tíc u lo 10.8
= J V * _ + 2V±_2K i( l+ i)
(4)
1+ i
d e m a n e r a q u e , e n el c a s o d e la e c u a c ió n d e P o is s o n , la fó r m u la p a r a e l r e s id u o e n e l p u n to 0 e s:
R° ^ i ( T T T ) + v ,2 + r ^ + ^ - ( 2 + ^ ) K o + /,2 f(x ‘í’ >'o)’
(5)
y s e v e r á q u e é s ta s e re d u c e , c o m o e s d e e s p e r a r , a la e c u a c ió n (4) d e l a r tíc u lo 10.8 si £ = 1 y V A = V \ D e la m is m a m a n e r a , e n u n p u n to c o m o t í d e la fig u ra 5 6 , si la lo n g itu d d e P t í e s r¡h, e l r e s id u o e s ta r á d a d o p o r R 0 m V i + — 2 _, / B 8 _ x+ lp/ 3 + - _ ± - 2 + - ) V 0 + h 2F ( x 0, y 0) . n{L + r¡) 1+n \ V
(6)
s ie n d o V „ el v a lo r d a d o d e V e n e l p u n to B . T a m b ié n p o d r ía s u c e d e r q u e u n v é r tic e 0 d e la m a lla e s tu v ie r a s i tu a d o d e m o d o q u e d o s d e la s r e c ta s d e la m a lla q u e p a r te n d e él s e c o r te n e n la f r o n te r a c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 5 7 . E n e s te c a s o , si 0 A — £ h , 0t í = >¡h y lo s v a lo r e s d a d o s d e V s o b r e la f r o n te r a , e n A y t í , r e s p e c tiv a m e n te , f u e r a n V A y V „ , e n to n c e s el r e s id u o e n 0 s e r ía : 2VÁ { (! + £)
,
2V b IJ (1 + tj)
+ ^ ~ + ^ - - ( b - ) v o + h 2F (Xo, y 0). i+ i i + ti V i n )
(7)
L a f ó r m u la a n te r io r c u b r i r á to d o s lo s c a s o s q u e s u r ja n e n la p r á c tic a , p u e s si la m a lla e s d e ta l n a tu r a le z a q u e tr e s d e su s re c ta s se c o r te n e n la f r o n te r a , e s ta m a lla s e r á m u y b u r d a y d e b e r á s u s titu irs e p o r o tr a m á s fin a. E n p u n to s c e r c a n o s a la f r o n te r a c u r v a d a lo s e s q u e m a s d e re la 2:t
F ig
57
ja m ie n to se m o d ifican ta m b ié n , y é sto s p u e d e n e la b o ra rs e fác ilm en te p a ra caso s in d iv id u a le s. P o r e je m p lo , los e sq u e m a s p a ra u n in c re m en to u n ita rio a p lic a d o re sp e c tiv a m e n te en los p u n to s 0 y 3 d e la figura 56 se m u e s tra n en la figura 58 /) y e n la ii). E n g e n e ra l, la s c a n tid a d e s q u e co n tie n e n a £ en e sto s e sq u e m a s n o s e rá n e n te ra s y se in tro d u c e u n a d ific u lta d si se u tiliz an d u ra n te e l p ro c e s o d e liq u id a c ió n . Se re c o m ie n d a q u e esta s c a n tid a d e s se su stitu y a n p o r los e n te ro s m á s a p ro x im a d o s a l re d u c ir los re sid u o s, a e x p e n sa s, d e sd e lu e g o , d e a lg u n a s in e x a c titu d e s. U n a v ez q u e se h a y a n re d u c id o los resid u o s d e esa m a n e ra , d e b e rá n re c a lc u la rse d e las fó rm u la s exac-
F ig . 58
355
E L MÉTODO DE RELAJAMIENTO
la s (5 ), (6 ) ó (7 ) y e n to n c e s re d u c irse n u e v a m e n te , si e s n e c e sa rio , c o n lo s e s q u e m a s a p ro x im a d o s . D e b e rá n u s a rs e la s fó rm u la s e x a c ta s, p o r s u p u e s to , p a r a c a lc u la r los re s id u o s in ic ia le s y c o m p r o b a r los finales. E je m p lo 8 . H á lle s e la te m p e r a tu ra esta cio n a ria e n u n a b arra larga d e se c c ió n c irc u la r d e ru d io d e 4 " si la te m p e r a tu r a se m a n tie n e a !00"C y 0 “C e n sus s u p e rfic ie s c u r v a y p la n a , re sp e c tiv a m e n te P o r r a z o n e s d e s im e tría só lo e s n e c e s a rio c o n s id e ra r la m ita d del á re a s e m ic irc u la r y se p r o p o n e u s a r u ñ a m a lta d e 2,5 c m c o m o se in d ic a en la fig u ra 59. D e b id o a la f r o n te r a c u rv a d a , e l c á lc u lo d e lo s re sid u o s e n
/
1 too 1 ----------------1 1
:
1
U
80
1 0
0-,
75 110 1 1 i
B
40
-25
0
60
0
1
50120 1
0
1 1
1 25'30 -----r1 1 l
60
~2 V \ «
1
01 1 1 1
50 -30
80 59 \ Bi /9 \
0
0
0 F ig . 5 9
lo s p u n to s 3 , ¡i, y y 5, re q u ie re u n m é to d o esp e c ia l E n el p u n to <* se e n c u e n tr a p o r g e o m e tría e le m e n ta l ( o p o r m ed ic io n e s d ire c ta s) q u e 3/1 = 0 ,8 7 3 = £, d e m o d o q u e p o r la e c u a c ió n (5) el re s id u o e n este p u n to está d a d o p o r _ *
2 X 100 0 ,8 7 3 X 1 ,8 7 3
+ 2 H + t z + V , + 1 ,8 7 3 +
_ / , + - i- W + 0,m )
= 122 + V , + 1,07 V¡ + V , — 4,29t-'0
'
(8)
p u e s to q u e V a — 100 y F (x „ y „) = 0, y a q u e la te m p e r a tu ra sa tis fa c e la e c u a c ió n d e L a p la c e . E n e l p u n to /3, e s (3H‘ = 0,464 = £ y f iB = 0,646 = y s u s titu y e n d o e n la e c u a c ió n (7) se o b tie n e , d e s p u é s d e a lg u n a s s im p li ficacio n es, = 483 + 1 , 3 7 ^ + 1,22V , — 7,41 V , (9)
356
ECUACIONES D IF E R E N C IA L E S
De la m ism a m anera se halla que K » 483 + 1,22VS + \< yiV , — 7,41 K0 ' fi, = 122 + V , + V , + 1.07K .— 4.29K ,
y
(10) (11)
E n los tres puntos de la m alla situados sobre la recta d e sim etría los residuos están dados por = 2V , + V ¡ + V , — 4 V t
(12)
m ientras q u e en los cu atro pun to s restantes se tiene R , = y , + y , + V , + V 4 — AV„
(13)
V alores d e iniciación supuestos p a ra V se indi can en la figura 59 y se h an usado para calcular los residuos iniciales con estas fórm ulas, m o strán dose tam bién en el diagram a. A proxim ando al en tero más cercano se o b tie nen los esquem as d e relajam iento ap ro x im ad o s que son los usuales p ara la ecuación d e Laplace, con la excepción de las partes correspondientes a los puntos íi y >, El esquem a aproxim ado p ara este caso se indica en la figura 60.L iquidando los residuos con estos esquem as aproxim ados, recalculando los residuos de las fó rm u las exactas d e (8) a (13) y repitiendo el proceso, se hallan los valores de la tem p e ra tu ra y los residuos m os trados en la figura 61. 100
E L MÉTODO DP. RELAJAMIENTO
1 0 .1 3
357
E x te n sió n a o tr a s e c u a c io n e s d iferen cia les p arciales
L a fo rm a b id im e n s io n a l d e la e c u a c ió n d e P o is so n e n c o o r d e n a d a s c a r te s ia n a s e s la e c u a c ió n d ife re n c ia l m á s se n c illa q u e p u e d e re s o lv e rs e p o r la té c n ic a d e l r e la ja n iie n lo , p e r o se h a v is to q u e el m é to d o es ú til p a r a re s o lv e r c o n é x ito o tr a s e c u a c io n e s . A q u í se m e n c io n a rá n ú n ic a m e n te u n o o d o s e je m p lo s d is tin to s , p u e s , c o m o y a s e h a d ic h o , e s te c a p ítu lo s ó lo p re te n d e d a r u n a in tro d u c c ió n al m é to d o . S e c o n s id e ra p rim e ro la e c u a c ió n d e L a p la c e e n c o o rd e n a d a s c ilin d ric a s (p , cf>, z ) e n lo s c a s o s e n q u e h a y s im e tría a x il. E n eso s c a s o s la fu n c ió n b u s c a d a V e s in d e p e n d ie n te d e la c o o rd e n a d a tf> y la e c u a c ió n (v é a s e la e c u a c ió n (4) d e l a rtíc u lo 7 .6 ) se re d u c e a
dp
pop
oz¿
Si se b u s c a u n a s o lu c ió n d e e s ta e c u a c ió n c u a n d o se d a n v a lo re s d e V p a r a c ie r to s v a lo r e s d e z y />. se to m a u n a m a lla d e c u a d r o s d e la d o h c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 6 2 . d o n d e ta m b ié n se in d ic a n u n v é rtic e típ ic o y s u s c u a tr o v e c in o s 0 . 1 . 2 , 3 , 4 . c o m o e n el c a s o a n te r io r . A sí, p u e s , ig u a l q u e e n e l a rtíc u lo 10.8, se tie n e, h a sta el o r d e n d e h*
hi %
) r v ' + v ’ - 2v*
h' ( 0
\ - v‘ + K - 2V"
y , c o m o e n e l a r tíc u lo 10.6, h a sta e l o rd e n d e h 2, r e s u lta :
lk ( %
) r v ‘ - v '-
P o r ta n to , h a s ta e l o rd e n d e h 2, la a p ro x im a c ió n c o n d ife re n c ia s fin ita s a la e c u a c ió n (1 ) e n e l p u n to 0 e s: A ( ^ + ^ - 2 F0) + - i - ( F 2 - F J + - V , + V3 - 2 V 0) = 0 , h2 2hp0 h y el re s id u o e n e s te p u n to e s t á d e fin id o p o r r
0 = v í + ( ^ + j L y 2+ v 3 +
( ^ ~
y , - ^
(2 )
s ie n d o p„ el v a lo r d e /> e n el p u n to 0 . E l e s q u e m a d e re la ja m ie n to e s a h o r a el q u e se m u e s tra e n la p a r t e d e la d e r e c h a d e la fig u ra 6 2 , s ie n d o p 2 y lo s v a lo r e s d e e n lo s p u n to s 2 y 4 , re s p e c tiv a m e n te . A si, e l e s q u e m a p e rm a n e c e in v a r ia b le c u a n d o s e e s tá n liq u id a n d o lo s re s id u o s e n u n a re c ta d e
358
ECUACIONES DIFERENCIALES
la m a lla , o s e a , p a r a p u n to s q u e tie n e n e l m ism o v a lo r d e ¡>. p e ro v aría c u a n d o se c o n s id e ra n p u n to s q u e se e sp e c ific a n c o n d is tin to s v a lo re s d e E n c o n s e c u e n c ia , e l p ro c e s o d e re la ja m ie n to es b a s ta n te m á s c o m p lic a d o q u e e n los c a s o s e s tu d ia d o s en la s se c c io n e s
P - ...... —
2
3
0
1
U
F ig 62 a n te r io r e s , p e ro , c o n u n p o c o d e p rá c tic a , la re s o lu c ió n d e e s te tip o tle p ro b le m a s p o d rá re a liz a rs e c o n e fe c tiv id a d . El m é to d o d e re la ja m ie n to ta m b ié n h a sid o a p lic a d o a e c u a c io n e s d e o rd e n s u p e r io r al se g u n d o . P o r e je m p lo , a lg u n o s p ro b le m a s q u e c o n tie n e n la ec u a c ió n b iu r m ó n ic a en d o s v a ria b le s , o se a. d*V <54 F V F = —— + 2 — —— dx* d x2 dy2
dy4
se h a n re s u e lto c o n é x ito . Se h a lla rá q u e a q u í el e s q u e m a d e r e la ja m ie n to c o n tie n e tre c e v é rtic e s en vez d e lo s c in c o d e l c a s o d e e c u a cio n e s d e se g u n d o o rd e n , p e ro e s te e s q u e m a , a u n q u e c o m p lic a d o , n o ha im p e d id o q u e lo s c a lc u lis ta s e x p e rim e n ta d o s o b te n g a n so lu c io n e s. T a m b ié n se h a n in tro d u c id o al m é to d o c o n d ic io n e s a la fr o n te ra q u e esp ecifican el g ra d ie n te n o rm a l d e la fu n c ió n b u s c a d a a sí c o m o p r o b le m a s q u e c o n tie n e n f r o n te ra s d e s c o n o c id a s . M u y re c ie n te m e n te se h a d is e ñ a d o u n a té c n ic a p a r a re s o lv e r e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a r cia le s c o n tr e s v a ria b le s , e in d u d a b le m e n te el m é to d o d e r e la ja m ie n to h a m o s tra d o s e r u n a h e rr a m ie n ta m u y p o d e ro s a p a ra la re so lu c ió n d e p ro b le m a s p rá c tic o s .
EL MÉTODO O h RELAJAM IENTO
1 0 .1 4
359
In terp retación física d e ! m é t o d o d e re la ja m ie n to
S e c o n c lu y e e s te c a p ítu lo c o n u n a in te rp re ta c ió n físic a d e l p ro c e s o d e r e la ja m ie n to y p e r m itir a s í e x p lic a r c ó m o fu e q u e la p a la b r a « r e l a ja m ie n to » s e a p lic ó a l m é to d o . S u p ó n g a n s e q u e s e a p lic a u n a p re s ió n n o rm a l p ( x , y ) e n c a d a p u n to ( x , y ) d e u n a m e m b r a n a c o n tin u a ( p o r e je m p lo , u n a p e líc u la d e ja b ó n ) , q u e s e s o m e te a u n a te n s ió n u n if o rm e 7 p o r u n id a d d e lo n g itu d . S u p ó n g a s e ta m b ié n q u e la m e m b r a n a n o tie n e p e s o y q u e in ic ia lm e n te d e s c a n s a e n u n p la n o h o riz o n ta l. A s í, p u e s , c o n s id e r a n d o e l e q u ilib r io d e u n p e q u e ñ o e le m e n to d e la m e m b r a n a , p u e d e m o s tr a r s e q u e e l d e s p la z a m ie n to tr a n s v e r s a l y v e rtic a l V e n e l p u n to (,v. >') e s tá d a d o p o r Ü Z +^ + dxz ey 2
^ T
= o.
(1 )
S u p ó n g a s e a h o r a q u e la m e m b ra n a se s u s titu y e p o r u n a m a lla d e c u a d r o s f o r m a d a c o n re s o rte s te n s a d o s u n if o rm e m e n te , s ie n d o c a d a r e s o r te d e lo n g itu d h y s o m e tid o a la te n s ió n S upóngase a d e m á s q u e lo s v é rtic e s 0 , 1. 2 , 3 , 4 , . . . d e la m a lla e s tá n s o m e tid o s a c a r g a s c o n c e n t r a d a s q u e o b r a n tr a n s v e rs a lm e n te P , , / ’2, P.„ P , . . . . E s c rib ie n d o la s c o n d ic io n e s d e e q u ilib r io p a r a e l v é rtic e ü , se tie n e :
s ie n d o V„, y , , V 2, V ,, V , lo s d e s p la z a m ie n to s tr a n s v e rs a le s ( p e q u e ñ o s ) d e lo s v é rtic e s 0 , 1 . 2 , 3 y 4 . E s ta e c u a c ió n p u e d e e s c rib irs e com o K1 + F 2 + F 3 + F4 - 4 K 0 + ^
= 0
(2 )
A. y e s id é n tic a a la a p r o x im a c ió n c o n d if e r e n c ia s fin ita s u s a d a e n la re s o lu c ió n p o r r e la ja m ie n to d e la e c u a c ió n (1 ) si e s h P J K ■- h*p(x„. y„ )/r. E l p ro c e s o d e r e la ja m ie n to p u e d e a h o r a in te r p r e ta r s e e n re la c ió n c o n la m a lla d e r e s o r te s d e la m a n e ra sig u ie n te : ;') D e se a c a d a v é rtic e d e la m a lla d e r e s o r te s u n d e s p la z a m ie n to a r b i tr a r io . N o p u e d e e s p e r a r s e q u e c o n e s to s d e s p la z a m ie n to s a r b i t r a r io s la m a lla q u e d e e n e q u ilib r io y , d e h e c h o , h a b r á fu e r z a s en lo s v é rtic e s q u e n o e s tá n c o m p e n s a d a s . E s to s d e s p la z a m ie n to s a r b i t r a r io s c o r r e s p o n d e n a lo s v a lo r e s in ic ia le s d e la fu n c ió n b u s c a d a q u e se s u p o n e n p a r a la re s o lu c ió n p o r re la ja m ie n to . ii) P a r a m a n te n e r la m a lla d e r e s o r te s e n e q u ilib r io d e b e rá n
360
ECUACIONES D IFEREN CIA LES
a p lic a rs e fu e r z a s d e re s tric c ió n en los v é rtic e s , q u e c o m p e n s e n a las f u e r /a s p ro d u c id a s . E s ta s fu e r z a s d e re s tric c ió n c o rr e s p o n d e n a los re s id u o s e n el m é to d o d e re la ja m ie n to . iii) E l re la ja m ie n to p o r p u n to s e q u iv a le e n to n c e s a m o d ific a r el d e s p la z a m ie n to e n e l p u n to e n q u e se a p lic a la m a y o r fu e rz a d e re s tric c ió n D esd e lu eg o q u e e s a m o d ific a c ió n a it e r a la m a g n itu d d e la fu e r z a d e re s tric c ió n e n lo s c u a tr o p u n to s v e c in o s y p r o p o r c io n a la in te rp re ta c ió n d e l e s q u e m a d e re la ja m ie n to . L o a n te r io r d a u n a im ag en física d el p ro c e s o d e liq u id a c ió n , q u e o rig in a lm e n te se c r e ó p a r a e l c á lc u lo d e los e s fu e rz o s e n a r m a d u r a s y q u e se b a sa e n la n o c ió n d e re ía ¡ a m ie n to s is te m á tic o d e las fu e r z a s d e re stric c ió n . S u g ie re e s to ta m b ié n u n a ra z ó n físic a p a r a la c o n v e rg e n c ia d el p ro c e s o , p u e s , a l u s a r lo , se a v a n z a p a u la tin a m e n te , a la c o n fig u ra c ió n d e e q u ilib r io , q u e e s u n a c o n fig u ra c ió n d e e n e rg ía p o te n c ia l m ín im a . E je rc ic io s 10 ib ) R esuélvase la ecu ació n de L ap lace p ara la región d e la figura 63 u tilizan d o un a m alla de c u a d ro s y los valores d e fro n te ra indicados. 50
0
70
50
80
60
8
70
150
100
250
100
100
200
250
250
F ig . 63 La sección re c ta n g u la r d e u n a b a rra larg a d e m e ta l está lim itada p o r las rectas x — 0 , x = 6. y — 0 e y = 4; la te m p e ra tu ra V en sus superficies está d a d a p o r V — 2*2 + .Va. H állese la te m p e ra tu ra estacio n aria en los d o s v értices in terio res si se u sa una m alla de c u a d ro s de lad o 2. H állese tam b ién la te m p e ra tu ra en eslo s dos vértices c u a n d o la solución a n te rio r se afin a c o n u n a m alla d e la m ita d d e separació n .
36)
E L MÉTODO DE RELAJAMIENTO
3.
U n a fu n c ió n x satisface ia ecu ació n V*x + 100 = 0 d e n tro de una región c u a d ra d a de la d o d e 10 cm y se a n u la en la fro n te ra . C on u n a m alla d e c u a d ro s de 2,5 c m d e lad o y su p o n ien d o v alo res de iniciación cero p a ra x, úsese relajam ien to p o r blo q u es y p o r p u n to s p a ra h a lla r un v a lo r a p ro x im a d o d e x en el ce n tro del c u a d ra d o . * -----------------
20 cm
---------- -------------*
L
H
.......... .
£
t
i
b
e
h
a
d
9
o o oo
..i.-
c
en
G
<
K
F ig . 64
4. L a s paredes d e un re frig era d o r están h ech as d e un m ate ria l aislan te h o m o g én eo de 20 cm d e esp eso r y e stán so p o rta d a s p o r tira s in te rio re s d e 15 cm d e lo n g itu d . E n la figura 64 A B C D rep resen ta la superficie e x te rio r q u e e stá a la te m p e ra tu ra c o n sta n te de 15° C. B G y C H so n d o s d e las tiras, se p a ra d a s 30 c m y su p u estas a la te m p e ra tu ra co n sta n te d e 15" C ; K L rep resen ta la superficie in te rio r a la te m p e ra tu ra co n sta n te d e — 4" C . L a te m p e ra tu ra 6 en los p u n to s in terio res del m aterial a isla n te p u ed e su p o n erse q u e satis face Ja ecuación
362
ECUACIONFS DIFEREN CIA LES
d*Q
3a0_
ax*+ p
~ °'
U tiliz a n d o u n a m alla d e c u a d ra d o s de 5 cm d e la d o hállense, por el m éto d o de rela ja m ien to , los v alo re s d e d en c a d a un o d e los nueve vértices, o, b, c. d, e, / , g, h, j. 5.
Si f{x, y ) satisface la ecu ació n d2frdx* + d2f¡dy- = 0 y / tien e los valores de 100 en A B , C D y E F , y c e ro en P Q y R S (fig. 65), hállese el v alo r a p ro x im a d o d e / en O . P
O
A
C
B
F
D
E
0
F ig . 6 5 (L as recias P Q y R S se ex tie n d en a l in fin ito en a m b a s d ire cc io nes ; C A y D F se ex tien d en al in fin ito h ac ia la izq u ierd a). 6.
U n a fu n ció n z satisface la e cu ació n
03z , 02Z
S ? + 5 i “ - 100 d e n tro del trap ecio d efin id o p o r las rec ta s x = 0 . y — 0 , y = 4 y 2 x + 2y — 13 y tien e el v a lo r ce ro en su fro n te ra . U tilícese la m alla d e c u a d ro s d a d a p o r x = r (r = 1 , 2 , 3 , 4. 5, 6) e y = y (v = 1, 2, 3) p a ra h a lla r v a lo re s a p ro x im a d o s d e z en los p u n to s (i. 2), sien do / = l , 2, 3 y 4 7.
U n a fu n ció n satisface la ecu ació n de L a p la c e d e n tro d e u n c u a d ra n te d e la elipse (x1 6 )2 + ( y / 4)2 — 1, se a n u la e n la elipse y tiene un v a lo r c o n sta n te d e C en los sem iejes m a y o t y m en o r. U tilícese u n a m alla d e c u a d ro s d e la d o ig u al a la d o c e a v a p a rte del e je m a y o r p ara h a lla r v alo res a p ro x im a d o s d e la fu n c ió n en los tres vértices in terio res q u e q u e d a n en la re c ta q u e fo rm a u n án g u lo de 45 con los ejes d e la elipse.
8.
U n a fu n ció n
EL MÉTODO D E RELA JAM IENTO
363
la d o d el c u a d ra d o y e s c e ro en lo s o tr o s tre s . H á lle se u n v a lo r a p ro x im a d o d e 0 en el c e n tr o del c u a d ra d o i) c o n u n a m a lla d e c u a d ro s de la d o «r/4, ií) c o n u n a m a lla d e c u a d ro s d e la d o ¡r/8 . 9.
U n c ilin d ro h u e c o c ir c u la r y re c to e s tá lim ita d o p o r la s su p erficies p = 4 , p = 8, z — 0 y z = 4 , sie n d o /> y z c o o rd e n a d a s cilíiid ricas. L a te m p e ra tu ra 0 en la su p erficie z — 0 está d a d a p o r H — 25// (4 < p < 8) y la s o tr a s su p erficies d e l c ilin d ro se m a n tie n e n a te m p e r a tu r a c e ro . U tilíc e se la m a lla d e c u a d ro s , d a d a p o r /> = 4 + i y i = i, d o n d e / to m a los v a lo re s 1, 2 y 3 , p a ra h a lla r v a lo res a p ro x im a d o s d e la te m p e ra tu ra e s ta c io n a ria en los n u e v e v értices in terio res.
10.
M u éstrese q u e p a r a u n a m alla d e triá n g u lo s e q u ilá te ro s la a p r o x i m a c ió n c o n d ife re n c ia s fin ita s a la e c u a c ió n d e L a p la c e es:
¿
y r—6 v t
= o,
r= 1 d o n d e los su b ín d ic e s 0 y r in d ic a n los v a lo re s en un v é rtic e típ ic o y su s seis vecinos. U n a b a r r a la rg a , c u y a secció n es u n triá n g u lo e q u ilá te ro , tien e su s tre s c a ra s a la s te m p e ra tu ra s c o n s ta n te s d e 0 , 5 0 y 100“' C . U s a n d o u n a m alta d e triá n g u lo s d e la d o s d e la c u a rta p a rte del la d o d e la secció n tr ia n g u la r, h á lle n se v a lo re s a p ro x im a d o s d e la te m p e ra tu ra e s ta c io n a ria en lo s tre s v é rtices in te rio re s.
C A P IT U L O
II
ECUACIONES NO LINEALES 11.1
In tro d u c c ió n
E n e s te c a p ítu lo se e x p o n e n b re v e m e n te a lg u n o s d e los m é to d o s u tiliz a d o s en la re s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s n o lin eales. E n e s te a s u n to ha h a b id o u n d e s a r ro llo c o n s id e ra b le en lo s ú ltim o s a ñ o s . A n te s el in g e n ie ro q u e te n ía q u e e s tu d ia r u n p ro b le m a de o sc ila c io n e s p a ra un d is e ñ o , c o n v e rtía la s e c u a c io n e s en lin e a le s h a c ie n d o a p ro x im a c io n e s , d e m a n e ra q u e la e c u a c ió n d ife re n c ia l q u e tu v ie ra q u e re s o lv e r e stu v ie ra e n u n a fo r m a se n c illa c o m o x + 2k.x + <,>2x = £ e o s p t L a so lu c ió n o b te n id a e ra u n a p rim e ra a p ro x im a c ió n d e la o sc ila ció n re a l y re s u lta b a a d e c u a d a p a ra lo s fines d e d ise ñ o . R e c ie n te m e n te se h a h a lla d o q u e u n té rm in o n o lin eal p e q u e ñ o p u e d e p r o d u c ir a lg u n a s v eces c a m b io s m u y g ra n d e s en la o sc ila c ió n y q u e la so lu c ió n d e un p ro b le m a c o n v e rtid o a lin eal p u e d e se r in a d e c u a d a . U tiliz a n d o m é to d o s n u m é ric o s, c o m o to s del c a p ítu lo 9 , p u e d e h a lla rse u n a so lu c ió n d e la m a y o ría d e la s e c u a c io n e s q u e sa tisfa g a c o n d ic io n e s in iciales d a d a s . C o n fre c u e n c ia e sto n o e s su fic ie n te p o r d o s ra z o n e s . E n p rim e r lu g a r, la e c u a c ió n q u e v a a re s o lv e rs e p a ra el d is e ñ o de e s tru c tu r a s , o d e u n c irc u ito e le c tró n ic o , c o n tie n e m u c h a s veces c o n s ta n te s c u y o v a lo r n u m é ric o n o p u e d e e sp e c ific a rse h a sta q u e se c o n o z c a la n a tu ra le z a d e su re s p u e s ta , e s d e c ir, h a sta q u e se c o n o z c a la so lu c ió n d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l. E n se g u n d o lu g a r, la c o n s ta n te a r b itr a r ia d e la s e c u a c io n e s n o lin e a le s a p a re c e en la so lu c ió n d e u n a m a n e ra m á s c o m p lic a d a q u e en la so lu c ió n d e e c u a c io n e s lin e a le s. A sí. p u e s , si y , es u n a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n lin eal >•' + P { x )y — 0 , la so lu c ió n c o m p le ta se rá y — A y , , s ie n d o A u n a c o n s ta n te . E s to n o se verifica p a ra las e c u a c io n e s n o lin e a le s. P o r e je m p lo . la e c u a c ió n n o lineal dy
(d y \ 3
E f 'lM C IO N F S NO LTNEAI.KS
365
tie n e la s o lu c ió n y = A x — A \ s ie n d o A a r b itr a r ia . A s í, p u e s , n o se h a h a lla d o la so lu c ió n c o m p le ta d e u n a e c u a c ió n n o lin eal c u a n d o se h a re s u e lto p a r a u n c o n ju n to d e c o n d ic io n e s in ic ia le s. E n la s e c u a c io n e s n o lin e a le s a lg u n a s d e la s c o n s ta n te s d e la e c u a c ió n d if e re n c ia l p u e d e n e lim in a rs e p o r u n c a m b io d e v a ria b le . A si, e n la e c u a c ió n Á: + a x + b x ' = 0 , s i se h a c e x = Az y t = se tie n e ■ \ ^ + a A z + b X 3z 3 = 0 , /r2 d x 2 y to m a n d o .u* = l / a y \ ! = a /b . la e c u a c ió n q u e d a z + z + z 3 = 0. E s to h a c e q u e a lg u n a s v e c e s la e c u a c ió n q u e d e e n fo r m a d e c e p c io n a n te m e n te sim p le ; sin e m b a r g o , c o n fre c u e n c ia e l á lg e b ra n e c e sa ria p a r a la re s o lu c ió n es m e n o s c o m p lic a d a . 11.2
E c u a c io n e s n o lin e a le s q u e so n in teg ra b les
E n lo s p rim e ro s c a p ítu lo s d e e s te lib ro se e s tu d ia ro n v a rio s tip o s d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s n o lin e a le s q u e p u e d e n e x p re s a rs e en fu n c ió n d e fu n c io n e s c o n o c id a s . E n é s ta s se in c lu y e n ; f) E c u a c io n e s c o n u n a v a ria b le e x p líc ita m e n te a u s e n te , d e l a r tíc u lo 1.6 b ) y c). E je m p lo : ii)
E c u a c io n e s e x a c ta s , a r tíc u lo 1.7.
E je m p lo : iii)
E c u a c io n e s d e v a ria b le s s e p a r a b le s , a rtíc u lo 2.2.
E je m p lo : iv )
( 2 x l y ) d x + ( l — x 2l y 2) d y = 0.
7 ^ = (* + y ) 2. dx
E c u a c ió n d e B e rn o u lli, a r tíc u lo 2 .5 .
E je m p lo : dx v)
E c u a c io n e s h o m o g é n e a s , a r tíc u lo 2 .7 .
E je m p lo s :
x ( x - 2 y ) ^ - y ( y - 2 x ) = 0. dx (A— y + 3 ) * l - ( 3 X - y - l ) = o . dx
366
ECU A CIO N ES D IH K R f NC1ALES
v i)
E c u a c io n e s s o lu b le s e n p , a r t íc u l o 2 .9 . ~ ( x - y ) 2 = 0.
E je m p lo : v ii)
E c u a c io n e s e n q u e y e s f u n c ió n d e x y p , a r t íc u l o 2 .9 . y = p x + p Ix 1
E je m p lo : v iii)
E c u a c ió n d e C la i r a u t, a r t íc u l o 2 .1 0 . y = IJX + p 4
E je m p lo :
T a m b i é n se e s t u d ia r o n v a r io s c a s o s e n q u e e l o r d e n d e u n a e c u a c ió n p u e d e r e d u c i r s e p o r u n c a m b io d e v a r i a b le ( a r t . 4 .6 ) . E n la te o r ía d e e c u a c io n e s n o lin e a le s a q u e ll a s d e la f o r m a x + / ( x , x ) = 0 s e p r e s e n ta n c o n f r e c u e n c ia , y u n c a m b i o d e v a r i a b le d e i a ti, s ie n d o v = x , la s r e d u c ir á a la e c u a c ió n d e p r i m e r o r d e n v ( d v / d x ) + + H x , v ) = 0. C u a lq u i e r e c u a c ió n d if e r e n c ia l s o lu b le p u e d e tr a n s f o r m a r s e e n u n a e c u a c ió n n o lin e a ! c o m p l ic a d a p o r u n c a m b i o d e v a r ia b le s , p e r o lo c o n tr a r i o e s p o s ib le m u y r a r a v ez, S in e m b a r g o , p u e d e o b s e r v a r s e la tr a n s f o r m a c i ó n d e la e c u a c ió n d e R ic c a ti ( a r t. 2 .1 3 ) p o r l a c u a l la e c u a c ió n n o lin e a l ^ + y 2+ P y + Q = 0,
(1 )
s e h a c e d e p e n d e r d e la d e la e c u a c ió n lin e a l g
+ P |
+ e z = o,
(2 )
p o r e l c a m b i o d e v a r ia b le z y — d z / d x . U til iz a n d o la m is m a t r a n s f o r m a c ió n d e la e c u a c ió n lin e a l
S
+i,S
+ e f + *‘ = ° ’
se tie n e z ' t l = y . z " / z = y + y 2, z ' " / z = >•" + ta n t o , la e c u a c ió n n o lin e a l
(3> 3y y ' + y 3 y , p o r
y " + y 'Q y + P ) + ( y 3 + P y z + Q y + R ) = 0 ,
(4)
p u e d e r e s o lv e rs e s i e m p r e q u e p u e d a o b te n e r s e u n a s o l u c ió n d e la e c u a c ió n (3). L a m a y o r p a r t e d e l t r a b a j o r e a l iz a d o e n a ñ o s r e c ie n te s s o b r e la re s o lu c ió n d e e c u a c io n e s n o lin e a le s se re f ie re a a q u e ll a s e c u a c io n e s q u e r e p r e s e n ta n o s c ila c io n e s d e u n ti p o u o t r o . S in e m b a r g o , ta m b ié n p u e d e m e n c io n a r s e la e c u a c ió n d e L u n e - E m d e n q u e s e p r e s e n ta en a s tro n o m ía , o sea,
ECUACIONES NO LINEALES
367
(5) S o lu c io n e s d e e s ta e c u a c ió n ta le s q u e y = 1 y d y / d x = 0 se lla m a n fu n c io n e s d e L a n e - E m d e n d e o r d e n n . L a e c u a c ió n (5) p u e d e re s o l v e rs e e x p líc ita m e n te si n = 0 , I y 5 , y se h a n ta b u la d o * s o lu c io n e s n u m é r ic a s p a r a n = 1 ,5 , 2 , 2 , 5 ----- 4 ,5 . E l c o m p lic a d o p ro c e d iin im ic n to n e c e s a r io p a r a o b te n e r la s e n c illa so lu c ió n y = (1 4- x 2/3)~'/> e n el c a s o d e n — 5 , se in d ic a e n el e je r c ic io 5 d e l g r u p o 1 l(u ). L o s e je rc ic io s ll(w ) c o n tie n e n a lg u n a s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s n o lin e a le s q u e p u e d e n re s o lv e rs e p o r lo s m é to d o s in d ic a d o s e n e ste a rtíc u lo . E je r c ic io s 11 (o) 1.
M u éstrese q u e la tra n sfo rm a c ió n X = p = d y /d x , Y = x p — y, tra n sfo rm a la ecu ació n f( x . y, p) = 0 en la ecu ació n f(P . P X — — Y , X ) — 0, d o n d e P = d Y / d X . D e allí h állese la so lu ció n d e la ecu ació n (y — p x )x = y.
2.
C o m p ru é b e se q u e la so lu ció n d e la e cu ació n d ife re n cia l (1 + x ') ( / ) * = (1 + y 3) es: x - y ”-+ 2 a x y { x - f y )+ a eO - y )2- 4 (x - f y ) + 4 « = 0,
sien d o a u na c o n sta n te a rb itra ria . 3.
P o r m ed io de la su stitu ció n x y ’ — y = v , o d e o tra m a n e ra , m u é s trese q u e u na so lu ció n d e la e cu ació n f [ x ) y " — (x y ' — y )2 = 0 es: y = * I (ii/x‘) d x + A x ,
d o n d e 1/e = B — { x /f(x )} d x .
sien d o A y B c o n sta n te s a rb itra ria s . 4
P o r m ed io de la su stitu c ió n y 2 = x l + u , red ú zcase la ecuación {x2+ y*— I p x y Y = 4 o V ( l - P 2) a la ecuación ( i , - x u ' - 2 a 2)2 = a2{4a2- ( . u y ) . y h álle n se : i) la s o lu c ió n ; ii) la so lu ció n sin g u lar
5.
La ecu ació n de L an e -E m d e n d e o rd e n 5_es y " -Y (l / x ) y ' + y 1 = 0. P o r m ed io d e la su stitu c ió n y = ( 1 / V 2 )e "3z , x = e ~ \ red ú zcase esta ecu ació n a la fo rm a 4z — z + Z5 = 0 . C o n ello m u éstrese q u e la fu n ció n de L an e-E m d e n d e o rd e n 5, co n v — 1 e y ' = 0 p ara x = 0, es y = (1 + x 2¡))-'A .
6.
R esu élv ase la ecu ació n y " -I (y ')s i ' y ' / x = 0.
7.
M u éstrese q u e la so lu ció n c o m p leta d e la ecu ació n y " -I- 3 y y ' -f + y3 + ®2y = 0 es y = «n(cos n a — A se n mx) i (sen cía + A cosm x + B), sien d o A y B co n stan te s. U ritis h A s s o c ia lio n M a th e m a lic a l T a b le s , 2. 1932
368
8.
ECUACIONES OII-'I-RENC1ALES
H állese u na solución d e la e cu ació n y " + co* y = 2(m2 1a 2) y a, co n la condición de qu e y ' — 0 p a ra y = a.
11.3
F u n cio n es elíp tic a s d e J a co b i
L a s s o lu c io n e s d e a lg u n a s e c u a c io n e s d if e re n c ia le s n o lin e a le s p u e d e n e x p re s a rs e d e m a n e ra sen c illa e n té rm in o s d e fu n c io n e s e líp tic a s d e J a c o b i. E s ta s so n g e n e ra liz a c io n e s d e la s fu n c io n e s o r d i n a ria s s e n o y c o se n o . L a fu n c ió n s e n o d e J a c o b i d e / se e s c rib e x = s n ( /, k )
(I)
s ie n d o k u n n u m e r o e n tr e 0 y I . E l n ú m e r o k se lla m a el m ó d u lo y se tie n e u n a fu n c ió n d is tin ta p a r a c a d a v a lo r d e k . S i s e c o n o c e k , lo s v a lo r e s d e x c o rr e s p o n d ie n te s a d is tin to s v a lo r e s d e t s e c o n s u l ta n e n la b ia s * m u y s e m e ja n te s a la s o r d in a r ia s d e se n o s y c o se n o s . Si se e sp e c ific a a lg ú n v a lo r p a r tic u la r d e l m ó d u lo , e s c o n v e n ie n te e s c r ib ir la fu n c ió n c o m o a — sn t , o m itie n d o e l m ó d u lo . C o n fr e c u e n c ia e l m ó d u lo s e e x p r e s a c o m o el s e n o d e u n á n g u lo h a c ie n d o k — sen x, e n c u y o c a s o % re c ib e el n o m b r e d e á n g u lo m o d u la r . L a fu n c ió n se d e fin e p o r la re la c ió n in v e rsa
*
t = s n " 1* =
(2)
y , p a r a u n m ó d u lo p a r tic u la r , p u e d e n c a lc u la rs e los v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s d e x y l a p a r t ir d e e s ta in te g ra l. E s c la r o q u e la in te g ra l e s u n a g e n e ra liz a c ió n d e la in te g ra l q u e e x p re s a e l in v e rs o d e l se n o sen
_
’x =
r*
du
y la fu n c ió n d e J a c o b i se re d u c e a e lla si k ~ 0 . D e la in te g ra l (2 ) se d e d u c e q u e . si x = sn (f. k ) y / e s real i) — l í r ^ l y r = 0 p a ra t = 0, írt — i — s n ~ '(— a ) , o s e a , s n (— r) = — sn (r). id ) d t / d x = I / { ( I — -C)( I — k - .ó ) } X y , en c o n s e c u e n c ia , a = s n / e s u n a so lu c ió n d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l ^ y = = ( i _ x 2x i - f c V ) .
(3 )
* Por ejem plo. Jab íes o¡ Elliptic Fim ctions, Smithsonian Institw e, 1939; E Jahnke y F. Fm de, Tublcs o f Funclíons, Leipzig, 1933; L. M. MilneThom pson, Jacobiuir FJliplic Function Tables, D over Publications Inc., 1950.
!•<■"1.1Aí'"ÍONI'S NO I INCALES A s í, p u e s , la so lu c ió n c o m p le ta cié la e c u a c ió n (3 ) e s: .v — s n ( £ t -I- A ) s ie n d o A c o n s ta n te . jv )
S i K es el v a lo r d e i c o rr e s p o n d ie n te a x = I , se tie n e :
= r*
1
d
J o ( í - k h c n 2 <¡>)* = í n i F i( i ; \ ; U k 2) , (4) d e l a r tíc u lo 5 .9 « ). v) L a fu n c ió n s n t e s tá e n to n c e s d e fin id a p a r a — K / ¿i. K . L a d e fin ic ió n se e x tie n d e a to d o s lo s v a lo r e s re a le s d e t p o r la r e lació n sn (/ ± 2 K ) = — sn 1
(5 )
sn (/ ± 4 K ) =- sn t
( 6)
y , p o r ta n to .
L a fu n c ió n .v = s n i a sí d e fin id a e s u n a fu n c ió n d e riv a b le , c o n tin u a y p e rió d ic a d e t , d e p e r io d o 4/C. L a fu n c ió n a: = sn (t + A ) e s u n a s o lu c ió n p e rió d ic a d e la e c u a c ió n d ife re n c ia l (3) p a r a to d o s lo s v a lo re s re a le s d e / . E n la fig u ra 6 6 se m u e s tra la g rá fic a d e x "• sn i p a r a k* — y K = 1,180.7/2, d o n d e la c u r v a d e tr a / o s r e p r e s e n ta a x = sen (í/1 ,1 8 ), q u e tie n e el m is m o p e rio d o , y s e d a c o n fin es d e c o m p a r a c ió n .
0
t
I F ig . 6 6
24
370
r< u v i o n f s n u i R i M i ai i
I a s fu n c io n e s e líp tic a s d e J a c o b i cji (f, A) y d n (/, k ) se d e fin e n p o r las e c u a c io n e s en 3/ f-sn - / I (7) d n - 1 j- A3 s n -11 -
I
(8 )
con d n O - c n O I, y la s c o n d ic io n e s a d ic io n a le s d e q u e la s f u n c io n e s y s u s d e r iv a d a s s e a n c o n tin u a s . L s ta s c o n d ic io n e s d e t e r m i n a n lo s s ig n o s d e e n / y d n /. ( 'o r n o s e p u e d e o b s e r v a r e n la s g rá fic a s d e e n / y d n t c o n k - — \A (fig 6 7 ), e s ta s s o n f u n c io n e s , p e rió d ic a s
— ( s n l ) = c n f d n f, dt
(9)
y tic la s e c u a c io n e s (7 ) y (8 ). q u e
l'jcinplo 1. //llC I'
^ ( e n r i = — sn i d n f, dt
( 10 )
— ( d n í ) = — fe2 s n < c n f , dt
(II)
Kisiitli/is/- /.i «u n ció n ilcl péndulo simple lll-f- y sen " — 0. dudo > \ fi - (1 pura i 11
I n tc p r n n d o la e c u a c ió n d a d a r e s p e s l e a fí se o b t i e n e ; 1; ió
v e o s « - c o n s ta n te
— g eos >
I.CUA< IO N IS NO U N h A l.IS \
371
e n c o n s e c u e n c ia ,
4i-
V - - p (se n y ^ — se n '/¿C») A si p u es. 6 —
2 0 f./) ' - (se n \/{* — sen" >jri)' ::
d o n d e se to m a el sig n o n e g a tiv o p o iq u e () e s in ic m Jm c m e n e g a tiv o . P o r (a m o .
2 (gil)'1*
J * (se n 5 .(/. <— sen" U n ) 1
U n c ie n d o A sen ' v s e n M u - k v , se tie n e q u e d u — 2 k ,h< (1 v. p o r c o n s ig u ie n te ,
(SU)'"* -
-J*
**
, { (1 -0 ^ (1 -**«*)}•/»’
s ie n d o k x — se n */¡h A si p u es, ( g i l ) 1! * !
=~ í *
— __________ f * ________
■= K — S n ~ ‘ x ,
s ie n d o A e l m ó d u lo d e la f u n c ió n d e J a c o b i v 4 K su p e r io d o E n to n c e s se t ie n e q u e
a- = sn
{ -(gUyiH+K)
- - s n i(g¡iy:>t-K) = sn [(gliyl‘t+ K ¡, es d e c ir, sen y e
s e n ' - ¿ i s n ¡ ( g ,A ' i -i- A'¡
t i p e r io d o e s 4 (/:g )' K ~ 2z(lxX ) ! J ,{ lA . ; 1: se n - J-f.) S . se d e s p re c ia n lo s c u b o s y p o te n c ia s m a y o r e s d e x. r e s u lta sen" M » ~ 1, , y | , fu n c ió n h ip e r g e o m é tric a q u e d a 1 + *a 16. d e d o n d e se o b t i e n e 'p a r a el p e r io d o e l v a lo i a p r o x im a d o 1 -0 -x Y '( I
>1.4
-I- x 5. 16)
E c u a c io n e s in teg ra b les e n térm in o s d e fu n c io n e s elíp tica s
L a s so lu c io n e s d e la s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s sig u ie n te s p u e d e n e x p re s a rs e en té r m in o s d e fu n c io n e s e líp tic a s . L a s s o lu c io n e s d a d a s p u e d e n c o m p r o b a r s e p o r s u s iitu c ió n e n la e c u a c ió n d ife re n c ia l. L sta c o m p r o b a c ió n se r e a li/a p a r a la p rim e ra s o lu c ió n q u e se d a y en los d e m á s c a s o s s e d e ja c o m o e je rc ic io p a r a e l le c to r. C o m o to d a s las e c u a c io n e s p e rm a n e c e n in a lte r a d a s si se s u s titu y e a p o r * se - f(c ) e s u n a s o lu c ió n , e n to n c e s .v f ( t ) ta m b ié n d e d u c e q u e si lo s e r á , p o r lo q u e re s u lta c o n v e n ie n te e s c r ib ir la s s o lu c io n e s en la fo rm a \ 3 - »(/). F n to d o s lo s c a s o s el m ó d u lo d e la s fu n c io n e s e líp tic a s se e s c r ib ir á c o m o k — sen a.
i)
l a ecuación i~ —
A i I
+
2¡xx‘ —
y 4 ).
Si A > 0 . p a ra to d o s lo s v a lo re s d e ¡x se tie n e q u e u n a s o lu c ió n e s:
372
K U A C IO M S I >11-1-RI NC 1A I>S
A2 — tg z en- {irif -f tí)
(1)
d o n d e e tg 2a — - /i, w J - 2 A /sen 2 a y /3 e s u n a c o n s ta n te a r b i t r a ria P a r a c o m p r o b a r e s te re s u lta d o se d e riv a la e c u a c ió n ( I ) y se o b tie n e 2 a a — — 2... tg -i e n (<.)/ 4 /i ) sn <»>/ + tí) d n (*.»/ + 8 ) v. p o r c o n s ig u ie n te , x * x f' =
ft) { )
e n 2 (>»/ + tí)} { eo s2 a - f s e n 2 a e n 2 <«.,/ + 8 )}
— tu fi2A£ (tu 1
A si
--
V a le o s2 a
+
,v“ sen a e o s
7.)
pues. v; — y t m1 sen 2 a (tg a — A2)(elg a + a 2) -
Y 2« r se n 2a( I — 2 ,t2 c tg 2 a — x ')
Si A < 0 . p a r a lo d o s lo s v a lo r e s d e s e tie n e q u e u n a s o lu c ió n es. r ' - c tg x /c n 2 tu>t i - tí) (2) <-r = — 2 A /sen 2 a y (i e s a r b itr a r ia .
d o n d e c tg 2* = ii)
L a e c u a c ió n Á2 = A(1 4 2 h a 2 + v ')
l a s u s titu c ió n a - I lz d e ja in a lte r a d a e s ta e c u a c ió n y , p o r ta n to , si x- — cf)U) e s u n a s o lu c ió n , e n to n c e s x 3 = \/4>(r) ta m b ié n lo s e ra Si A > 0 y ,u * 1. se tie n e n la s s o lu c io n e s a 2 = sen x s n 2 (nit A tí) y x ‘ = esc x /s n 2 (■>.'< A- fi)
(41
(1 A- se n 2* )/(2 sen *), ..r = A /sen a y t í e s a r b itr a r ia . d o n d e — p. Si A > 0 y I < a < 1. se tie n e n la s s o lu c io n e s
a _ 1 - en (o)t 4- ¡i) lA-cn (cat+f9)’
(5)
x x = 1 + c n ( c o t+ P )'
(6 )
1 - c n (coi + 8 )’ donde Si
p.— 1 — 2 s e n 2 a, n.2 = 4A y t í e s a r b itr a r ia . \ > 0 y n > 1, se tie n e n la s s o lu c io n e s x-
eos x sn2 M
+ f i |/c n 2 (<■>/ + 0 )
(? )
373
K U A C lO N h S NO L I N E A L A S
y x 2 — s e e j e n 2 Uul + /? )/s n 2
4
|S)
(8 )
d o n d e u = ( 1 4 - e o s 2 *)/< 2 c o s 2 ) . «.»•' = A /e o s * y /? e s a r b i t r a r i a . S i A < 0 y i>. < 1, se ti e n e n la s s o lu c io n e s ..v2 — s e e a d n 2 (..>/ 4
¡3)
(9 )
x - = c o s x / d n ! (
(1 0 )
y d o n d e — ,» = ^ 1 1 .5
( s e e 3 i c o s a ) , u>- = -•■■■ A s e e * y
L a e c u a c ió n
a
4
u \ 4
e s a rb itra ria .
/u 1 — 0
E s ta e c u a c i ó n d e s c r ib e u n m o v i m i e n to e n q u e la f u e r 7 a q u e o b r a s o b r e la p a r t í c u l a v a r í a c o n la d i s t a n c i a y e s p r o p o r c io n a l a l c u b o d e s u d is ta n c i a a l o r i g e n . F n e l c a s o d e u n a m a s a m u n i d a a su r e s o r te d e m ó d u l o c o n s t a n t e , la e c u a c i ó n d e m o v i m i e n to e s x 4 a x = 0 y e l m ó d u l o d e l r e s o r te e s t á d a d o p o r s — n ía S in e m b a r g o . e l m ó d u l o p o d r í a v a r i a r c o n la e x te n s ió n , d e m o d o q u e e n t o n c e s l a e c u a c i ó n a n t e r i o r s e r á in a d e c u a d a . E l m ó d u l o se d e f in e e n e s t e c a s o c o m o la d e r i v a d a d e la f u e r z a tic r e s tit u c ió n , e s d e c ir , c o m o s = rn a 4 3 rn b x '-. S i b e s p o s i ti v a , se d ic e q u e e l r e s o r te e s d u r o , o s e a . q u e e l m ó d u l o a u m e n t a c o n la e x te n s ió n , m i e n t r a s q u e s i h e s n e g a ti v a s e d i c e q u e e l r e s o r t e e s s u a v e E n to q u e s ig u e se e s t u d i a r á e l c a s o e n q u e e l m ó d u l o e s u n a f u n c i ó n lin e a l d e .v. d e m a n e r a q u e \ = n ía 4 2 tn b x . S e g u id a m e n te se h a l l a n la s s o l u c io n e s , e n té r m i n o s d e la s f u n c io n e s e lí p ti c a s d e J a c o b i , d o l a s e c u a c i o n e s x - a x i. b x :l ■ 0 , s ie n d o a y h p o s i ti v a s E n l o d o s lo s c a s o s s e s u p o n d r á q u e r — , > 0 y x = 0 p a ra t 0. /)
l a o s c ila c ió n c u d u d a p o r x
1- a x 4
b x* = 0
U n a p r i m e r a in t e g r a l d e e s t a e c u a c i ó n se V — ( d l d x ) ( x - ! 2 ) e in t e g r a n d o r e s p e c to a .v y e s :
o b tie n e
h a c ie n d o
\ x 2 = $ a ( x 02 - x 2) + i b ( x 0* - x * ) , de donde v 2 = ^ b ( x l)2 - x 1) ( x 2 + x 0 2 + 2 a lb ) .
(1 )
E s ta e c u a c i ó n e s d e l t i p o c o n s i d e r a d o e n e l a r t i c u l o 1 1 4 1) y tie n e la s o l u c ió n x — a „ e n
374
i(i w
lO M - s m i - F R F N r i A ( .r s
A s í, p u e s , x 2 = x 02o>2( l —c n 2 c o í)(co s2 a + s e n 2 a c n 2 coí) = ^
l *0
a ( x 0 2 - x 2)(x 2 + x 02 c o t 2 « ).
C o m p a r a n d o c o n (1 ) r e s u lla :
x 02 c tg 2 a
= x 02 +
2a ¡ b ,
y
a )2 = i b x 0 2 e s c 2 a :
E l m o v im ie n lo r e p r e s e n ta d o p o r (2 ) e s o s c ila to r io y el p e r ío d o e s :
T — 4K./W //)
=
(2n/co)2F ,($ ,$ ;
l ; s e n 2 aV
l a o s c ila c ió n s n d a d a p o r x + a x — b x 3 = 0.
E l m o v im ie n lo in ic ia l s e r á h a c ia el o rig e n si a > bx,,2 y e s ta e s la c o n d ic ió n p a r a q u e el m o v im ie n lo s e a o s c ila to r io . I a p r im e r a in te g ra l d e la e c u a c ió n e s a h o r a *2 = ¿K *2- V X * 2+*o2- 2
afb).
(3 )
E s ta e s u n a e c u a c ió n d e l tip o c o n s id e r a d o e n e l a r t íc u l o e c u a c ió n (3 ); s u s o lu c ió n e s :
x =
x „ s n (..)/ +
K)
11 4
¿i), (4)
D e r iv a n d o s e tie n e : X
= X 00 ) e n (coi + /C) d n (cot +
K ),
y x 2 = x 02co2( l —x 2/ x 02) ( l —x 2s c n 2 a / x 02 )
=
< M
^ ( x 2 _ X o 2){ x z _ X o 2 c s c 2a)-
*o P o r ta n to , c o m p a r a n d o c o n (3 ), r e s u lta : x 02
e s c 2 a = 2 a / f c - x 0 2,
co2 = $ b x 02
esc 2 a,
y e l p e r ío d o e s 4/C/-.J. n i)
l a o s c ila c ió n d n d u d a p o r x — a x + b x ' = 0.
1.n e s te ú ltim o c a s o la p r im e r a in te g ra l e s: x 2 = ¿/?(x02 — x 2) ( x 2 +
x 02—2afb),
(5 )
y si hx„s "> 2 a , é s ta e s u n a o s c ila c ió n e n s e m e ja n te a la d e l in c iso ;), de m odo que X = r„ e n i„t (6) c o n x , J c tg 1 x
—
v ,J
2 ajb y «a* -
y 2bx„'J e s c 1 y.
ECUACIONES NO LIN EA LES
375
Si h x „ ‘ < 2 a la s o lu c ió n e s d el lip o e s tu d ia d o e n el a r tíc u 11.4 ií), e c u a c ió n (9 ), p e r o d e b e r á n d is tin g u irs e los c a s o s e n q u e m o v im ie n to in ic ia l e s h a c ia el o rig e n o a le já n d o s e d e él S i a < b x * < 2a, el m o v im ie n to in ic ia l e s h a c ia el o rig e n y la
lo el
s o lu c ió n e s: r ~ -V„ d n «i?
17)
C o n tin u a n d o c o m o a n te s se h a lla q u e
x2 =
x 02ca2/c4 s n 2
= — 2( * 02 ~ x 2)(x 2 -
e o s2 a),
V
*o v c o m p a r a n d o c o n (5 ) s e o b tie n e e o s - a — (2ti/b — ..r„*)/■*.."' y >.»- — y2h x * . Ks t a o s c ila c ió n s e e fe c tú a e n tr e .v„ y x„ c o s a y el p e río d o e s 2K/
x = x„
sec
*
d n («.*? +
K)
(8)
C o m o d n K = c o s a . é s ta d a el v a lo r in ic ia l c o r r e c to d e lla r el m ó d u lo se tie n e
x2
= x 02ca2 se c 2 a k 4 s n 2 ( o í + A') e n 2 ( o í +
-
x. P a r a
ha
K)
( o 2 e o s 2 a / x 02)(x 0 2 - x 2)(x 2 - x 0 2 s e c 2 a )
P o r ta n t o , c o m p a r a n d o c o n (5 ). re s u lta s e c 2 a = (2 a/b - x 02) / x 0 2 h s t a o s c ila c ió n s e r e a l i/ a e n tr e
y
o2=
x „ y x„
sec
%,
} b x 02 se c 2 a . s ie n d o el p e r ío d o d e
2 K/,„.
iv)
M ovim ie n to no oscilatorio.
L a e c u a c ió n .V —
ax
—
!>x' =
0 tie n e u n a p r im e r a in te g ra l
x 2 = % b(x2 —x 0 2) ( x 2 + x 02 + 2 a I b ), y
é s ta es d e l tip o
c o n s id e r a d o en e l a r tíc u lo 11.4
(9 )
i)
c o n la so lu c ió n
x — x „ /c n uit P ro s ig u ie n d o c o m o a n te s se h a lla q u e 2
x2=
2
í ^ ~ - ( l - c n 2 ca í)(co s2 a - f s c n 2 a c n 2 cüf) e n 4 caí
= w .2^ ! 5 ( x 2 - x 02) ( x 2 + x 02 t g 2 «). *0
(10)
37 6
l.< IM C IO N IÍS l>]|-fcRI NC lA I T S
P o r ( u n t o . (g J 2 =
+ 2 « / /í ) M mj y
>.»* =
% b x „' SCC* a .
D e m a n e r a s e m e ja n te , la e c u a c ió n X + a x — h x 3 — 0 , c u y a p r i m e r a in te g ra l e s tá d a d a e n (3 ). tie n e la s o lu c ió n x = -r„/cn w t
(1 1 )
d o n d e tg- a - ( v „ - — 2 u ¡b )!x„ - y <.»l/z b x „ 3 s e c 2 a , e n e l c a s o n o o s c ila to r io e n q u e bx„! > 2 a . S in e m b a r g o , si a < b x a* < 2 a . la s o lu c ió n ta m p o c o es o s c ila to r ia , s in o q u e e s la d e l a r t íc u l o 1 1 .4 , e c u a c ió n (4 ). o se a , v — x „ ¡ s n (« ,í + K ) (1 2 ) D e a q u í s e o b tie n e : ,-í2 = 0) ( x 2 - x 02) ( x 2 - x 0 2s e n 2 a) x0 y , p o r ta n t o , s e n 2 y ---■ (2a /b — x.,-)!x„ - y « f = % b x . f . E n to d o s e s to s c a s o s x ti e n d e a in fin ito c o n f o r m e e l tie m p o tie n d e a K h » . Ljem plo 2. Un resorte no lineal ejerce ana tuerza d e restitución n¡g(x¡l-\-x ./') wt alargarse la longitud x. Hállese el periodo de oscilación d e una masa ni anida al resorte, si la am plitud de la oscilación es 'A l H állese tam bién la relia ¡dad m áxim a de la partícula La ecuación de m ovim iento, x + U’ O-r + in l')x = 0, d a u n a oscila ción de tipo en com o la i) de este articu lo y la solución es: x — y j c o ('.ir. k)
donde. . ■ _ K u r /’)(/ .4) _ i ' « ,/ I ( g - I W -4) 10 y - = 1L + 2L - b i
¡ ‘r 41
41
P u e s to q u e
'-y. I k ') - 1 I i \ A Y k + r . j ' L ' + CUcYk1 + . . . = 1,0265 el p e r io d o es 1 = 1,0 2 6 5 (2 ir/w) - 2 ^ 7 ;* )* -”(2,053.-5' =) - 0 19 l8 ( 2 f f ( /;í )'-*} l . a v e lo c id a d a l tie m p o / e s . i — — ' i/,., s i l l. ii ) d n (.,ií)
v la velocidad míi.xima cuando mi = K, es; - h « V 4 / ) ''* < l
1 1 .6
k V ■■■~
l . a e c u a c ió n x ■+■ a x + b x 2 = 0
I s la e c u a c ió n , q u e p u e d e r e p r e s e n ta r u n a o s c ila c ió n o u n m o v i m ie n to h a c ia el in fin ito a p a r t ir d e u n p u n to in ic ia l, p u e d e re s o lv e rs e
H UACIONES NO LIN1-AI..I S
377
en
té r m in o s d e fu n c io n e s e líp tic a s d e J a c o b i Si in ic ia lm e n te es 0 y i -= 0 . u n a p r im e r a in te g ra l, q u e se o b tie n e h a c ie n d o -V = (r//
* — •*.. >
x 2 = fl( x 02 - x 2) + (2f>/3)(x0 3 - x 3)
= i b(x0 -
x ){ (x 0 - x ) 2 - 3 (x 0 + a ¡2 b )(x 0 - x ) + 3 x 0(x 0 +
a ¡b )}.
(1)
P a r a r e d u c ir e s ta e c u a c ió n a u n a fo r m a n o rm a l se h a c e la s u s titu c ió n x „ — x — r si la a c e le ra c ió n in ic ia l e s h a c ia el o rig e n y x , — X = — Z‘ si tie n d e a a le ja r s e d e l o rig e n S e h a lla r á la so lu c ió n p a r a el c a s o e n q u e a y h so n p o s itiv a s ; o tr o s c a s o s se tr a ta n d e m a n e r a m u y s e m e ja n te . P u e s to q u e a y b so n p o s itiv a s , la a c e le ra c ió n in icia l e s h a c ia el o rig e n y la s u s titu c ió n x„ — x = z2 d a 4 z 2z 2 = $ ó z 2{ z 4 —3 (x 0 - f a/2b)z2 + 3 x 0(x 0 + z2 =
a Ib)},
ib { z * ~ 3 ( x 0 + a¡2b)zz + 3x0( x 0 + alb )}.
(2)
D e a q u í re s u lta q u e la v e lo c id a d e s c e r o e n lo s p u n to s d o n d e z 2 = (x 0- x ) =
l X a + 2 b x 0) ± { 3 ( a - 2 b x 0)(3a + 2bx0)y-\/4b.
P o r ta n t o , si a > 2bx„ e x is te n p u n to s d e d e te n c ió n v, v a , sie n d o lo s c o r r e s p o n d ie n te s v a lo r e s d e : 3 p o s itiv o s e ig u a le s a 7,2 y 7 *, S i |? , 3
7=
7 ,y , re s u lta
J>2= ^ 22(l-y2)(l-fcV). d o n d e k 2 ~ ?,*!z 22 A s í. p u e s , si
=
y = sn
1/ 6 /17/ , se tie n e q u e
iü!
y
z‘ - 7 *
s n 2 c.r
o sea .r„ — x = (x„ — a-,) s n 2
= x.j e n 3 ¡.¡i
v, s n 2 mi
D e e s t a m a n e r a re s u lta q u e el m o v im ie n to e s o s c ila to rio d e p e río d o
2K/oi
Si
a <: 2 hx„,
= í 3.v„(x,, +
n o h a y p u n to s d e d e te n c ió n , y h a c ie n d o
aíb ) } '¿y* y2=
e n (2) se o b tie n e q u e
¿ í’{3xü( x 0 + a /íi)} * (j.'4 + 2 /ry 2 + 1)
l»< UAt tO N t-S l i l i ERK N CIA U IS
378
donde 3 ( x 0 + a /2 b )
-H =
2{3 x ^ + a / b ) } * ' S e o b s e r v a fá c ilm c n lc q u e a 2 — ! e s n e g a tiv o y q u e , e n c o n s e c u e n c ia . - l < n < 1, d e m o d o q u e la s o lu c ió n e s , d e l a r tíc u lo 11-4 ¡Y), e c u a c ió n (5 ), 2 _ 1 —e n coi y
1 + e n cot’
c o n c o s 2 a — n y « r = 2/3/>{3,v„(.v„ I- a/b )}'* -. P o r ta n to . z 2 = x 0 - x = {3x0( x 0 + a ¡b )} * (-— \ l + c n c o r/ 11.7
L a e c u a c ió n x + a x + h x x — 0
b s t a e c u a c ió n p u e d e r e p r e s e n ta r e l m o v im ie n to d e u n a p a rtíc u la d e m a s a u n id a d u n id a ¡i u n re s o rte d e m ó d u lo s = a + 2 b x , d o n d e e l sig n o d e v a lo r a b s o lu to in d ic a q u e la fu e r z a d e re s titu c ió n c a m b ia tic s e n tid o e n e l o rig e n . A sí, p u e s , si a y b s o n p o s itiv a s , e l m o v im ie n to e s tá c o n fin a d o a s e r o s c ila to r io , s ie n d o e l m o v im ie n to e n la p r im e r a c u a r t a p a r l e d e l p e r ío d o id é n tic o a l d a d o p o r x + a x + + h x 2 = 0. d e l a r tíc u lo 11 6. P o r ta n to , si a 2 h . \ e l m o v im ie n to e n tr e x„ y e l o rig e n e s ta r á dad o por _v„ — x ~ (x„ a ,) s n - Mt y e n e l o rig e n s e r á sn ,„/ -
U „ /(x „
(4/*..) s n
a,
d e m a n e r a q u e e l p e río d o
— .«•,)}*
p u e d e d e te r m in a r s e d e la s ta b la s Si a 2b.x.„ e l m o v im ie n to d e x„ h a s ta e l o rig e n e s t á d a d o p o r = {3<0( * 0 + « / » } • ( 1 = ^ 2 ! d e d o n d e p u e d e h a lla rs e e l v a lo r d e e n <»/ e n el o rig e n y , a s im is m o , e l p e r ío d o d e o s c ila c ió n . Ejem plo 3. Hállese el tiem po tle oscilación periódica d e una partícula de musa unidad, arada a u n resoné d e m ó d u lo (jr l)(l + x ). siendo x el alar gam iento y '/¡I el alargamiento inicial. I ecuación tle m ovim iento es X + y.nl -I- Vjg.» .v>,7;' = 0. Si n o se con sidera el signo tle valor absoluto se obtiene la prim era integral i‘ x
le /)(.'.■./: — -v ) -jjr ib íl
x M 'Á l- < ) * - W r M l - x ) + \ 5 r A }
r c u A ( JO N i:s
no
u n í - ai e s
379
La velocidad es cero en donde (V il — i) = 0 O ¡9 ± v 21J//4 H aciendo z2 = V il — x , se puede escribir;
donde z,'-'iz22 =• ( 9 — ^211/19 + v 'T Í} = (0,5702)= = k* Entonces resulla V = { 'A l — x) = z
donde
I2/-')z3-- = 0.28 -% ,/)
sn 2 <■•/ y
= 0,.512<#/7),' a
La pariicula llega a l origen al tiem po / cuando sn* .„/
2/f ¡9 — v 21 W — 0,4528
sn ...t = 0 ,6 7 2 9
y para ello, con k = 0,5702 = sen 34u46', las tablas dan ai - 0,670 Asi pues, 4 t = 5,04{//g)' es el período, q u e para m o strar el efecto de la no lincaiidad puede escribirse como T
0 .8 0 ) 2.e(/íg)
E je r c ic io s 11 (//} D e m u éstrese q u e si t =
í*
#
J o (1 — A*sena W
*
en to n c e s sen 6 - - sn (/. A) 2.
D e m u é stre se q u e si las fu n c io n e s e líp tic as de Ja c o b i se d e sa rro lla n en serie de p o te n c ia s d e su s a rg u m e n to s, se o b tie n e n las siguientes: sn í = f-K l+ W + 0 (f» ),
en i = l - i r a+ 0(/'),
d n t =- 1 - i * 2/ 2+ 0 (t‘). 3. sen
D e m u é stre se q u e , si sen
t
en to n c e s x - e n (/, A). d o n d e A = sen
D e m u é stre se q u e , si 1 —u“) - '/ 2(ü3—e o s3 en to n c e s .«r = d n
380
7
R e su élv ase la e cu ac ió n 2 x — 1 1 2 x \ c o n x — 10 y x = 0 p a ra t ~ 0. Se sab e q u e p a ra k — sen 1 5 ' es K = 1,598 y q u e sn en/ — - 0,736 c u a n d o u>/ = 2,527 ; c o n eso m u é s lre s e q u e * = 100 p a ra / — 0,30 a p ro x im a d a m e n te . 0 y c > 0, M u éstrese q u e la e c u a c ió n x 2 /3 b c x 4- h x - — 0 , b con x — x„ y x — 0 p a ra / — 0, tie n e u n a so lu c ió n d e la fo rm a ; .
6
LC U A C lO N liS DTM Rl-N< 1AIXS
x =
e n 2 (cor-i- A T )+*o sn* (cor-t-íT)
si 0 < x , < 2 c / 3, d o n d e 2 x , = < — x„ 4 {(<■ — x„)(o + 3 x „ )} ^ . M u éstrese ta m b ié n q u e el m ó d u lo d e la s fu n c io n e s e líp tic a s e stá dado por
k* ■= ( x L— x 0)l(2 x, + xo—c), 8
y
coa = ib(2xj-\-Xij
e).
M u é stre se q u e la e c u a c ió n x i 2 / 3 fccx— b x 1 — 0 , ó > • 0 y o 3> 0 , co n x - x„ y x — 0 p a ra / = 0 , tie n e u n a so lu c ió n d e la fo rm a x — x t c n 2 ( < o r - l- /O + x 0 sn * (a > H -JO si 0 < : x„ < 2/ 3c, d o n d e 2 x , c — x„ + {(<• — x j ( i ,3 ^ ,,)} ^ . M u éstrese ta m b ié n q u e el m ó d u lo d e la fu n c ió n elíp tic a e stá d a d o por k* = (x 0- x , ) / ( c - 2 x v- x 0) , y o2- 2 x » -x « ).
9
M u éstrese q u e la e c u ac ió n x I 2 /3 b c x — bx* — 0 , fc > 0 y c > c o n x — x, y x = 0 p a ra r — 0 tie n e la s so lu c io n e s i) si x„ < í < 4 j2 x „
0.
x - x 0 = 2 s n 2 cor/cn2 cu/,
ti)
si o < : c
x ;, x —x 0 = A '( l - c n fur)/(! + cn «>/),
d o n d e / . >' y m so n c o n sta n te s 10.
M u éstrese q u e la e c u a c ió n x — 2/3¿>cx — bx* = 0 , ó > 0 y c > 0, c o n x "■ X, O 0.1 y x =■ 0 p a ra / -• 0 , tie n e so lu c io n e s:
II s i l Sl donde II
3x„
*—x„ = Asn2co//cn2co/,
^ 'r" je—x 0 = A '(l—e n c v /) /(l+ c n cof), / ' y <" son c o n sta n te s.
L a e cu ació n d ife re n c ia l d e la elá stica , o sea, d e u n a v ig a d e lg a d a q u e esta m uy flex io n a tla , e s E l d ^ / d s — — /'y . sie n d o y la flecha en un p u n to a la d is ta n c ia ,v m e d id a a lo la rg o d e la viga y s’ Ia in c lin ació n d e la ta n g e n te en el p u n to , re sp e c to d e la lín e a de a c c ió n del em p u je o tra c c ió n P es el e m p u je o tr a c c ió n a x il. E l el m ó d u lo de tra c c ió n y es P — E l n 2 M u é stre se q u e d*w —2 -)•• n* sen y “ 0, dsy. p o r c o n sig u ien te , si i es la p e n d ie n te en los e x tre m o s d e la viga, q u e tam b ién
E C U A C IO N E S NO L IN E A L E S
381
sen Y m ' = sen Y<1 sn ( t u 4 K ) d o n d e K — Y x - . F ¿ Y , Y • 1 < se n 2^ » ) . D e d ú z c a s e q u e la lo n g i tu d d e la v ig a es 2 K / n y q u e la flec h a m á x im a e s ( 2 / « ) s e n Y " 12.
L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n tr o m p o o p e ó n s im é tric o so n : 4 s e n 2 0 = (C » /fl)(e o s « - e o s 0), 4* s e n - 0 + 0 * = (2 /ilB )(c o s a - c o s 0), d o n d e $ es el á n g u lo d e n u ta c ió n , tfi e s el á n g u lo a z im u ta l y 0 —
2.v e o s u 4 - l ) 'ó , ( — s + (s2 - 2v e o s « I D e e s to d e m u é s tre s e q u e
e o s 9 — e o s a s n 2 (o ir-l-íO + c o s p e n 2 (ror-j-AT) donde
(c — e o s f i ) k * — e o s « — e o s ( i
y
B m 1 — |i(.v2 — 2 t e o s « -I
+ 1)H. 1 1 .8
O s c ila c io n e s a m o r t ig u a d a s
G r a n p a r t e d e l t r a b a j o r e c i e n te s o b r e la t e o r í a d e la s e c u a c i o n e s n o lin e a le s e s t á r e l a c i o n a d o c o n o s c i la c i o n e s e n q u e h a y a m o r t i g u a m i e n to . P o r s u p u e s t o q u e u n a o s c i la c i ó n d e j a r á d e r e a l iz a r s e d e s p u é s d e c i e r t o ti e m p o c u a n d o h a y a u n a f u e r / a d e a m o r t i g u a m i e n t o q u e s e o p o n g a a l m o v i m i e n to ; a e s t o s e le ll a m a a m o r t i g u a m i e n t o p o s i ti v o . S in e m b a r g o , e n a l g u n o s c a s o s , e l a m o r t i g u a m i e n t o p u e d e s e r p o s itiv o p a r a u n a p a r t e d e l m o v i m i e n to y n e g a ti v o p a r a o tr a p a rte , p ro d u c id o p o rq u e se re c ib a e n e rg ía d e u n a fu e n te e x te r n a , y e n e s o s c a s o s e l m o v i m i e n t o p u e d e s e r u n a o s c i la c i ó n s o s te n id a U n a f o r m a g e n e r a l d e e c u a c i ó n d e s e g u n d o o r d e n q u e r e p r e s e n ta u n a o s c i la c i ó n a m o r t i g u a d a e s ; -f + # Í . . T ) = 0
(1 )
p e r o c o n f r e c u e n c ia é s t a p u e d e e s c r ib ir s e e n la f o r m a x 4
4 H x) — 0
(2)
d o n d e /( a ) r e p r e s e n t a la f u e r z a d e r e s tit u c ió n y <¿(á) la f u e r z a de a m o r tig u a m ie n to , F n el c a s o p a r tic u la r d e l a m o r tig u a m ie n to d e C o u l o m b , 4>(x) e s c o n s t a n t e , p e r o c a m b i a d e s ig n o ig u a l q u e a . d e m a n e r a q u e la e c u a c i ó n <2) to m a la f o r m a X 4
c sg n a- 4 l ( x ) = 0
(31
s i e n d o s g n x ig u a l a 4 I si a e s p o s i ti v a e ig u a l a — Isi a es n e g a tiv a . E n e c u a c i o n e s d e l t i p o d e ( f ) , (2 ) y (3 ) e l t i e m p o t e s t á e x p lí c i ta m e n te a u s e n te y la e c u a c ió n p u e d e re d u c irs e a o tr a d e p rim e r o r d e n h a c i e n d o x — v . A s í, p u e s , (2 ) s e c o n v ie r te e n
382
ECU A CIO N ES D IF E R E N C IA L E S
V ^ + (f> (v )+ f(x ) = ° . dx
(4 )
S i e s t a e c u a c ió n p u e d e r e s o lv e r s e y e x p r e s a r v e n f u n c i ó n d e x , b a s t a r á r e a l iz a r u n a s e g u n d a in te g r a c ió n p a r a h a ll a r u n a r e la c ió n e n t r e x y f. S i n o p u e d e h a ll a r s e u n a s o lu c ió n e x p lí c it a d e (4 ), p o d r í a n u ti liz a r s e m é t o d o s g rá f ic o s y n u m é r ic o s p a r a o b te n e r u n a s o lu c ió n , y e x is te n o tr o s m é t o d o s p o r lo s c u a le s s e o b tie n e in f o r m a c ió n a c e r c a d e la n a tu r a le z a d e! m o v im ie n to d e s u p e r í o d o y d e s u a m p l it u d . S e c o n s i d e r a n s e g u i d a m e n t e a lg u n o s c a s o s e n q u e p u e d e r e s o l v e rs e la e c u a c ió n (4 ). a ) A m o r t i g u a m i e n t o d e C o u lo m b i)
I.a e c u a c ió n lin e a l x + c sg n x + « r x = 0 .
S e tie n e n , e n e f e c to , d o s e c u a c io n e s q u e s o n p a ra x < 0 x — c + m 2x = 0 y p a ra x > 0 x + c 4- i»'X = 0 E s ta s e c u a c io n e s r e p r e s e n ta n o s c ila c io n e s a r m ó n ic a s e n lo s p u n to s r /.u 2 y — e /'» 2, r e s p e c tiv a m e n te . Si in ic ia lm e n te e s i = 0 y a = .v„ > 0 , p a r a la p r i m e r a f a s e d e l m o v im ie n to s e ti e n e q u e x — e l 2 —■ (x„ — c/o>2) e o s ii¡f, y la p a r t íc u l a a lc a n z a e l r e p o s o d e s p u é s d e u n ti e m p o z/<„ e n x , = — x » + 2 c /i .r . P a r a la s e g u n d a fa s e s e tie n e q u e x -1- c/w * — ( x , + c /w 2) e o s m t,, d o n d e t y = t — rr/<.>, y la p a r t íc u l a a lc a n z a e l r e p o s o d e s p u é s d e u n ti e m p o a d ic i o n a l ¡r/<» e n A 'j -
— X, —
2 c / i , ) 2 — .v„ —
4o/o>2
A s í, p u e s , e l m o v im ie n to c o n ti n ú a d e m a n e r a q u e la d is ta n c i a r e c o r r id a d is m in u y e e n 2c/. ii)
L a e c u a c ió n x + c sg n x + a x + b x '¿ — 0 : a , h , c > 0 .
S i in ic ia lm e n te e s f = O y x = x„ > 0 , s e ti e n e p a r a la p r i m e ra fase x 4- a x + b x - — c = 0 y h a c ie n d o x — A, — z , d o n d e b X ¡2 + a X , — c — 0 , é s t a s e t r a n s fo rm a en z + ( a + 2 W 1) r + ( i z 2 = 0 . E s ta e c u a c ió n p u e d e r e s o lv e r s e e n té r m i n o s d e f u n c io n e s e líp tic a s
ECUAC IO N ES NO L IN E A L E S
383
p o r e l m é to d o d e l a r t íc u l o 11.6. P a r a la s e g u n d a la s e s e tie n e la e c u a c ió n x + a x + b x? + c = 0 y la s u s titu c ió n x
— \ 2 = z,
bkp
donde
z + ( a + 2 bX2)z +
+ «A , I c = 0 , h a c e q u e
bz2 =
0,
q u e p u e d e r e s o lv e rs e d e m a n e r a a n á lo g a . fíi)
L a e c u a c ió n X + c sg n .i f a x + b x 3 —• 0 ; a, />, c > 0 ,
S i in ic ia lm c n te e s x — 0 y x = x „ > 0 , se tie n e p a r a la p rim e ra f a s e d e l m o v im ie n to x — c + a x -I- h x :¡ = 0 y u n a p r im e r a in te g ra l d e e s t a e c u a c ió n e s .x2 =
—x ) { x 3 + x 0x 2 + ( x 02 + 2 a / b ) x + x 0 3 -f 2 a x 0/ b —4c / b } .
E s ta e c u a c ió n p r e d ic e u n a d e te n c ió n p a r a u n v a lo r n e g a tiv o x , si -v,,3 + 2a x j b — 4c//» > 0 y , e n c o n s e c u e n c ia , x2 =
ib (x 0-
x ) ( x - x i ) { x 2 + ( x 0 + x , ) x + d 2} ,
d o n d e d - > 0. L a s u s titu c ió n x = (Xz. + « ) / ( j + d e la fo r m a
1) re d u c e e s ta e c u a c ió n a o tr a
z 2 = A z^ + B z2 + C, si A y /< s e e s c o g e n d e m a n e r a q u e lo s c o e fic ie n te s d e z 1 y z se a n c e r o y , p o r c o n s ig u ie n te , la s o lu c ió n p u e d e e x p r e s a r s e e n té rm in o s d e f u n c io n e s e líp tic a s . L a e c u a c ió n x + c 4 - a x + b x ' — 0 p a r a la s e g u n d a f a s e , p u e d e re s o lv e r s e d e m a n e r a a n á lo g a . b)
A m o r tig u a m ie n t o p r o p o r c io n a l a l c u a d r a d o d e la v e lo c id a d ,
i)
F u e r z a lin e a l d e r e s titu c ió n : X + cxjx! 4- u r x = 0 , c > 0 .
Si in ic ia lm c n te x = x„ > 0 y i f a s e d e l m o v im ie n to e s;
- 0 . la e c u a c ió n p a r a la p r im e r a
x — e x * -I- w *x = 0 U tiliz a n d o el f a c t o r in te g ra n te e~ t,x c in te g r a n d o r e s p e c to a x se o b tie n e x 2 e ~ 2cx = (cu2/2 c 2) { / ( x ) —/ ( x 0 )}, s ie n d o /(x ) = (1 + 2 c x ) e " 2rx. L s to p r o p o r c io n a u n p u n to d e r e p o s o e n x = x , , d o n d e f ( x , ) = /( x „ ), y p a r a la s e g u n d a f a s e se tie n e u n a
384
I CUACIONKS DI1 ERTiNCIALES
F i g . 68
e x p r e s ió n s e m e ja n ic p a r a á 2 q u e se o b tie n e s u s titu y e n d o — c e n v e / d e r y x , e n lu g a r d e o sea, x 2e 2“ = (t» 2/ 2 e * ) { / ( - x ) - / ( - * , ) } . f s t a p r o p o r c io n a u n p u n to d e r e p o s o e n x = x „ s ie n d o / ( — x , t í<— v ,)l p a r a la te r c e r a fa s e s e n e n e x 2 e ~ 2cx = (o j2/ 2 c 2) { / ( x ) - / ( x 2) } ,
y a si s u c e s iv a m e n te . F I m o v im ie n to se p u e d e r e p r e s e n ta r g r á f ic a m e n te tr a z a n d o la s c u r v a s d e / ( a ) — (1 -+- 2c.x)e y / ( — a ) — (I — 2 c x ) e 2" e n e l m is m o d ia g r a m a (h g 6 8 ). A s i, p u e s . A y R , s ie n d o A B p a r a le lo a l e je v, s o n p u n to s e n q u e f( x ) tie n e el m is m o v a lo r y la a b s c is a d e B e s a ,. D e m a n e r a s e m e ja n te . C y D s o n p u n to s e n q u e /(— x ) tie n e el m is m o v a lo r y la a b s c is a d e D e s x 2. D e e s te m o d o el c o n ju n t o d e v a lo r e s a , , x , , a .,, . e s t á d e te r m i n a d o y s e m u e s tr a c la r a m e n te la a m p l it u d d e c r e c ie n te d e la o s c ila c ió n . E s e v id e n te q u e . c u a lq u ie r a q u e s e a el v a l o r d e x „. to d o s lo s v a lo r e s x , , x t . ■ . . q u e d a n e n el in te r v a lo lim ita d o p o r lo s c e r o s d e f ( x ) y /<— x ) , o s e a , e n tr e — l / ? c y l /2 c, (Y)
F u e r z a d e r e s titu c ió n n o lin e a l
x 4- c x x
+ ax + bx' — 0
S u p o n ie n d o q u e a . b y c s o n p o s itiv a s y q u e in ic ia lm e n te e s v = 0 y x • - x„ > 0 . la e c u a c ió n p a ra la p r i m e r a f a s e e s: x — e x 2 I- a r + b x 2 ~ 0 U tiliz a n d o e l f a c to r in te g ra n te e ~ " ' e in t e g r a n d o r e s p e c to a a se tie n e x 2 e - 2c* = ± { f ( x ) - f ( x 0) } , c
ECUACIONES NO L IN E A L F S
385
donde
E l p u n to d e d e te n c ió n .y, s e r á ta l q u e f ú , ) f a s e la v e lo c id a d e s t á d a d a p o r
j(x„ ) y p a r a la .segunda
c q u e p r o p o r c io n a e l p u n to d e d e te n c ió n x... T r a z a n d o la s g rá fic a s d e f ( x ) y / ( — x ) e n e l m is m o d ia g r a m a p u e d e n d e te r m in a r s e lo s p u n to s d e d e te n c ió n a „ x 2. . . d e la m is m a m a n e r a q u e p a r a el c a s o lin e a l. 1 1.9
U tiliz a c ió n d e l d ia g r a m a d e l p la n o fase
S e h a v is to q u e e c u a c io n e s d e l ti p o á: + j ( x , x ) — 0 p u e d e n e x p re s a rs e c o m o e c u a c io n e s d e p r im e r o r d e n e n la fo rm a v ^ + f ( v , x ) = 0. dx
( 1)
Si e s ta e c u a c ió n n o p u e d e in te g ra r s e d ir e c ta m e n te , se e m p le a n m é to d o s n u m é r ic o s o g rá f ic o s p a r a e s t u d ia r la v a r ia c ió n d e v re s p e c to a .y. P o r e l m é to d o d e la s is o e lin a s p u e d e n tr a z a r s e c u r v a s in te g ra le s d e la e c u a c ió n (1) c o n d if e r e n te s c o n d ic io n e s in ic ia le s p a r a o b te n e r u n a re p r e s e n ta c ió n d e l m o v im ie n to e n e l d ia g r a m a d e l p la n o fa s e ( a r t. 9 .3 ) d e ! c u a l tie n e n in m e d ia ta m e n te la a m p litu d d e u n a o s c ila c ió n y la v e lo c id a d m á x im a . Si u n a o s c ila c ió n s e a m o r ti g u a d e fin iti v a m e n te . e n to n c e s e l d ia g r a m a d e t p la n o fa s e s e r á , en g e n e r a l, u n a e s p ira l q u e te r m in a e n u n p u n to d e e q u ilib r io e s ta b le , m ie n tr a s q u e si e l m o v im ie n to e s in e s ta b le la v e lo c id a d a u m e n t a r á in d e f in id a m e n te . E n el c a s o d e u n a o s c ila c ió n s o s te n id a e n q u e se re c ib e e n e rg ía su fic ie n te d e u n a fu e r z a e x te r n a p a r a c o n t r a r r e s t a r e l a m o r ti g u a m ie n to .’ e l d ia g r a m a d e l p la n o fa s e s e r á u n a c u r v a c e r r a d a . El p e r ío d o d e e s a o s c ila c ió n p u e d e h a lla r s e c a lc u la n d o la in te g ra l | di =
J — , to m á n d o s e é s ta a lo la r g o d e la c u r v a c e r r a d a d e l d i a
g r a m a d el p la n o fa s e . C o m o e je m p lo , c o n s id é r e s e la e c u a c ió n .v + c.v + a x + b x ' = 0
(2)
c o n a, b y c p o s itiv a s , o s e a . (3 )
386
K UAClONfctj I)1M k l NCIAI.F.S
C o n c — 0 la s o lu c ió n e s [ a r l. 11 .5 (1 )], v2 = i b ( x 02 - x 2) ( x z + x 02 + 2 a ¡ b ), d o n d e in icial m e n te x = 0 y x — x,,. E l d ia g r a m a d e l p la n o fa s e en e s te c a s o es u n a c u r v a c e r r a d a p a re c id a a u n a e lip s e c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 69, S i c 0 la e c u a c ió n (3) n o p u e d e in te g ra r s e , p e ro
e l d ia g r a m a d e l p la n o f a s e s e r á u n a e s p ira l q u e tie n d e h a c ia e l o rig e n c o m o se m u e s tra e n la fig u ra . S i la f u e r / a d e re s titu c ió n e s lin e a l y la fu e r z a d e a m o r ti g u a m ie n to es u n a f u n c ió n d e la v e lo c id a d ú n ic a m e n te , la e c u a c ió n ( l ) p u e d e e s c r ib ir s e e n la fo r m a u — + < H i’) + x = 0 , dx
(4)
h a c ie n d o , si e s n e c e s a r io , u n c a m b io d e v a ria b le p a r a a b s o r b e r la c o n s ta n te e n la fu e r z a d e r e s titu c ió n . E n e s te c a s o p u e d e u s a r s e u n m é to d o g rá fic o lla m a d o c o n s tr u c c ió n d e U e n a r d p a r a t r a z a r el d ia g r a m a d e l p la n o fa s e . E l p r o c e d im ie n to e s c o m o s ig u e : i) T r á c e s e la c u r v a x = — d>(v) e n el p la n o f a s e (fig. 70). ri) E n u n p u n to P ( x . v ) tr á c e s e u n a p a r a le la a l e je x q u e c o rte a la c u rv a e n un p u n to Q . iii) D e sd e Q tr á c e s e u n a p e r p e n d ic u la r q u e c o r le a l e je x e n R . f'v) ú n a n s e R y P y trá c e s e P S p e r p e n d ic u la r a R P . E n to n c e s P S es la d ir e c c ió n d e la c u r v a in te g ra l q u e p a s a p o r P . E s to s e d e d u c e d e l h e c h o d e q u e , p u e s to q u e O R = — d>(v), so n P Q - x + >(*’) y la p e n d ie n te d e R P e s v / { x + <¡>(v)}. A s í, la
ECUACIONES NO LIN EA LES
38 7
p e n d ie n te d e P S e s — {a +
dx
v- 4 A = o ,
Fig 71
si v e s n e g a tiv a
388
ECUACIONES n i l E R E N t lA l.r S
t n la prim era etapa del m ovim iento v es negativa, de m odo que se tra z a la par,Abóla v ' = x en el plano fase (lia 71), En /f(jc — 2) la construc ción proporciona una recta A R perpendicular a O X : y en R, avanzando un poco p o r esta recta, se d eterm in a la dirección RC, y se prosigue de esta m anera hasta llegar al punto E situ ad o en el eje de las ..r. En esta etapa v cam bia de signo, de m an era q u e ahora la adecuada es la segunda ecuación Se traza la parábola v — — x y se determ inan puntos E, G. . C u an d o se llega de nuevo al eje x en K . vuelve a usarse la p arábola v = x. De esta m anera se construye un polígono q u e se allana después para o b ten er la curva integral.
1 1 .1 0
L a e c u a c ió n d e v a n d e r P o l
L a e c u a c ió n d e v a n d e r P o l e s : x — <•:( I — x ' ) x + x = 0
( I)
c o n e > 0. E s ta e c u a c ió n r e p r e s e n ta u n c ir c u it o a u to o s c il a to r i o c o n u n a v á lv u la te r m o ió n ic a , s ie n d o x u n a fu n c ió n d e la c o r r ie n te . E s c la r o q u e en u n a o s c ila c ió n e n q u e x e s a v e c e s m a y o r y a v c ccs m e n o r q u e la u n id a d , el c o e fic ie n te d e a m o r ti g u a m i e n to 6 ( 1 — x 2) c a m b i a r á a lt e r n a tiv a m e n te d e s ig n o d e m a n e r a q u e s e c o m p e n s a la e n e rg ía d is ip a d a en el c ir c u ito p o r a c c ió n d e u n a f u e n t e e x te r n a . A s í. p u e s , la e c u a c ió n r e p r e s e n ta u n a o s c ila c ió n p e r ió d ic a s o s te n id a . E s to f u e m o s tr a d o p o r v a n d e r P o l * u tiliz a n d o e l m é to d o d e la s is o c lin a s p a r a t r a z a r e l d ia g r a m a d e l p la n o f a s e d e l m o v im ie n to p a r a d if e r e n te s v a lo r e s d e «. E l d ia g r a m a p a r a e = 1 se m u e s tr a e n la fig u ra 72. S e ve q u e si x e s in ic ia lm e n te g r a n d e e l a m o r tig u a m ie n to p o s itiv o d is m in u y e la a m p litu d y r á p i d a m e n t e la o s c ila c ió n se a ju s ta a la o s c ila c ió n e s ta c io n a r ia m o s tr a d a p o r la lín e a lle n a . Si x e s in ic ia lm e n te p e q u e ñ a el a m o r ti g u a m i e n to n e g a tiv o a u m e n t a la a m p litu d h a s ta q u e se a lc a n z a la m is m a o s c ila c ió n e s t a c io n a r ia . L a s o lu c ió n p a r a 6 = 1 , q u e e x p r e s a x e n fu n c ió n d e t d e s p u é s d e u n a p e r t u r b a c ió n in ic ia l p e q u e ñ a , se m u e s tr a e n Ja fig u ra 7 3 . P a r a to d o s lo s v a lo r e s p o s itiv o s d e e el d ia g r a m a d e l p la n o f a s e m u e s tr a q u e al c a b o d e l tie m p o se a lc a n z a u n a o s c ila c ió n e s ta c io n a r ia s o s te n id a . Si « e s g r a n d e , el m o v im ie n to tie n e la s c a r a c t e r í s ti c a s d e la lla m a d a o s c ila c ió n d e r e la ja m ie n to , c o n v a r ia c io n e s b r u s c a s e n t r e la s p o s i c io n e s m á x im a y m ín im a . E s to se e je m p lific a p o r la s o lu c ió n p a r a t = 10 m o s tr a d a e n la fig u ra 7 4 . Si e e s p e q u e ñ a el d ia g r a m a d e l p la n o fa s e e s a p r o x i m a d a m e n te c i r c u l a r y la o s c ila c ió n d if ie re lig e r a m e n te d e l m o v im ie n to a r m ó n ic o s im p le . L a e c u a c ió n ü - £ ( » - ú 3/3 ) + « = U (2 )
*
Phil. Miin 2. 1926 . 978
ECUACIONES NO LIN EA LES
389
F ig . 72 es u n a f o r m a a lte r n a tiv a d e la e c u a c ió n d e v a n d e r P o i, p u e s d e r i v a n d o e s ta e c u a c ió n r e s p e c to a t se tie n e ü — c ( l — ti2) ü + ú = 0, y h a c ie n d o ü — x é s ta se r e d u c e a la e c u a c ió n (1 ).
F ,g
73
L a c o n s tru c c ió n d e L ie n a r d e s p a r tic u la r m e n te a d e c u a d a p a r a tr a z a r e l d ia g r a m a d e l p la n o f a s e d e la e c u a c ió n (2 ) y p a r a d e te r m i n a r el c ic lo lím ite d e la o s c ila c ió n e s ta c io n a r ia . H a c ie n d o ú = vv la e c u a c ió n d e p rim e r o r d e n e s:
390
ECCJAClON E S D IlE R t-N C T A l.FS
F ig . 74 d e m a n e r a q u e la c u r v a b á s ic a p a r a la c o n s tr u c c ió n e s u ~ e(tv — — w :,l 3 ). E s ta c u r v a d e te r c e r g r a d o s e t r a z a e n e l p la n o u , ve (fig u r a 7 5 ) y m u e s tr a v a lo r e s d e r e t o r n o p a r a u e n B { 2 /3 e , 1) y D (— 2 /3 * , — 1). S e ve q u e si e e s g r a n d e ( p o r e je m p lo , m a y o r q u e 10) el c ic lo lim ite s e a p r o x i m a m u c h o a la fig u ra A B C D lim ita d a p o r las r e c ta s v e rtic a le s B C y D A y lo s a rc o s d e la c u r v a A B y C D .
F tg 75
E s to p e rm ite h a lla r u n a b u e n a a p r o x im a c ió n d e l p e r ío d o e v a lu a n d o | d t — j*— , t o m a n d o la in te g ra l a
lo la r g o d e la s lín e a s A B , B C ,
C D y D A . TI v a lo r o b te n id o p a r a el p e r ío d o e s a p r o x i m a d a m e n te 1,61 e p a r a v a lo r e s g r a n d e s d e
rriM c io N K s
11.11
no
391
l i n f .a i . p -s
El m étodo de perturbaciones
E s te m é t o d o es u n o d e lo s m e d io s m á s p o d e r o s o s p a r a h a lla r s o lu c io n e s a p r o x i m a d a s d e e c u a c io n e s d if e re n c ia le s 110 lin e a le s D e b id o o r ig in a lm e n te a P o in c a r é , q u ie n a p lic ó el m é to d o a la re s o lu c ió n d e p r o b le m a s d e m e c á n ic a c e le s te , h a c e n e c e s a r io d e s a r r o l l a r la s o lu c ió n y a lg u n o s p a r á m e tr o s d e la e c u a c ió n e n s e r ie s d e p o te n c ia s d e a lg u n a c a n ti d a d p e q u e ñ a y c o n s t r u ir u n a s o lu c ió n p o r ‘e ta p a s . C a d a e ta p a c o n s is te c o r r ie n t e m e n te e n r e s o lv e r u n a e c u a c ió n d if e r e n c ia l lin e a l. I n e l e je m p lo s ig u ie n te se a p li c a e s te m é to d o p a r a h a ll a r u n a s o lu c ió n p e r ió d ic a d e la e c u a c ió n d e v a n d e r P o l x — * ( l — 4+ x = 0 p a r a v a lo r e s p e q u e ñ o s d e « y se o b tie n e la s o lu c ió n c o m o u n a s e r ie d e p o te n c ia s d e «. O b v ia m e n te , si e = 0 la s o lu c ió n d e b e r e d u c ir s e a x — A s e n (/ -I- •*), p e r o s e r ía fa ls o c o n c lu ir d e e s to q u e el p e r í o d o d e la s o lu c ió n e s 2 - , S e e s p e r a e n to n c e s q u e la s o lu c ió n c o n te n g a té r m i n o c o m o A se n (<*>; -I- y ), d o n d e <■> s e h a c e 1 c u a n d o e = 0 . P o r e s ta r a z ó n se c o n s id e r a r á la e c u a c ió n e n la fo rm a t.rx —
1 — jfa)jr 4- x = 0
(I)
q u e s e r e d u c e a la f o r m a c a n ó n ic a p o r e l c a m b io d e la v a ria b le in d e p e n d ie n te d e / a <«>/. E jem plo 5. Hállese una solución de lo ecuación m 'x — — x ).í + jr = 0, dado q ue e. es pequeño, q u e «> I para « 0 y q u e x = 0 para 1 ■-■■■0 Supóngase que la solución x se d esarrolla en serie de potencias d e e, de m odo que x{i) = x„( 1 ) + «x,(l) + e'x,[D 4 y. suponiendo que tam bién <■> se puede d esarro llar d e m anera sem ejante, se lienc. i" ~ I 4 4iTi.'j + , . . Puesto que x = 0 p a ra 1 = 0 p ara todos los valores .le « deberá ser, - jt.(O) - x,(0) -= . . . = 0 Sustituyendo tas series de .c y ... en la ecuación diferencial resulta, (.¥„ 4 hX, 4 b ¥j -*- . . ) 11 + 2'.',*' + —
« II
—
—
2 e x '. j r , —
) ( I
2 4- 2m.) 4 - i-
s i..,
4
} )(¥ „
4
s - í,
i
. )
4 x„ 4 e.r, 4- e 'x , +
. ■■■0
R eordenando de acuerdo con potencias de »: hasta el térm ino con *J st o b tie n e : (¥ ,4 x „ )4 « { Jc ,+ j:, +2...,¥,,—
4 - , i . ) 4-2x„jf. 1
I
= 0
E sta expresión debe ser cero p ara todos los valores de *. de m odo que los coeficientes de las potencias de i; deben ser cero A sí pues, prim ero x„ + x . = 0 y. por consiguiente, com o ,r„ es inicialm cnte cero, .<•„ = A sen /
ECU ACIO N ES D IF E R E N C IA L E S
392 E n s e g u n d o lu g a r
X, + X, = --- 2..I,X0 + (1 --— 2 m ,A s e n l 4 4 ( 1 — A - s e t r r) e o s l = 2 m¡A s e n i + A ( l — H A 2) e o s r + '4 ^ * e o s 3/ L a s o lu c ió n d e e s ta e c u a c ió n e n x , e s :
x , - H e o s í + C s e n i — m,A t e o s t+ % A { \ — l/4A -)t s e n / — U ’ :3 2 ) e o s 3/ S i la s o lu c ió n h a d e s e r p e r ió d ic a , lo s té r m in o s q u e c o n te n g a n a l s e n I y i e o s i d e b e r á n a n u l a r s e y, p o r t a n t o , s e d e b e r á t e n e r , ,3 — 2
y
<’•, “ 0
E n to n c e s . x„ = 2 s e n r x , = t t e o s / -t- C se n r — H e o s 3 í
y, p u e s t o q u e x‘,(0 ) — 0, x, = H eo s f + C sen I -
e o s 3f
E n t e r c e r lu g a r , p u e s to q u e <■>, = 0. A’., + x , ~ — 2 c aA'„ + (I — x ,* ) * ,— 2 x , x , i , = 4,,., se n r + ( l — 4 s e n J i)(— s e n r + C e o s / + ’ /., s e n 3/) — 8 s e n r e o s r<1. , e o s t + O s e n i —
e o s 3r)
1
= (4i..24 '/ , ) s e n I — 2C e o s /-I- 3C e o s 3 1— ’ ¡2 s e n 3/4 -5/ , s e n .5
L a s o lu c ió n d e e s ta e c u a c ió n n o s e r á p e r i ó d i c a a m e n o s q u e l o s c o e f i c ie n te s d e e o s r y s e n r d e l s e g u n d o m i e m b r o s e a n c e r o . A sí p u e s , d e b e te n e r s e q u e C = 0
y
w, — — */,«
E n c o n s e c u e n c ia , Jf, + x , = —
s e n 3r + */, s e n .V
x a = O e o s / 4- E s e n I + V i. se n V . -
s e n 5/
y , p u e s to q u e x s( 0 ) = 0 . x , •— E s e n í 4-
sen 3/ —
s e n Sí
E l s ig u ie n te p a s o , i g u a la n d o a c e r o e l c o e f ic ie n te d e t r , m u e s t r a q u e E = — ’5/ , U t i l i z a n d o e s te v a l o r se tie n e la s o lu c ió n e n lo q u e r e s p e c ta al t e r m in o « ', q u e e s : r —2 s e n r 4 7 > ( c o s i — e o s 3 r)— ' / , a«s( 2 9 s e n i — 18 s e n 3f 4 - S s e n Sí) E s t a e s la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n (1 ) V o l v i e n d o a la f o r m a o r ig in a l d e la e c u a c ió n d e v a n d e i P o l, x — «(I — x~ )x + x ■■■ 0 se t ie n e Ir s o lu c ió n x = 2 s e n mí 4 7 , « (e o s ,„i — e o s 3.../) — 7,,,«¡!'(2 9 s e n wí — 18 s e n 3«>f 4- 5 s e n 5<»f) s ie n d o <■>* m in o e n «'
1 1 .1 2
I — « V I6 y lo s v a lo r e s d e x y «> s o n c o r r e c t o s h a s t a e l t é r
O s c ila c io n e s f o r z a d a s
C o n e s le n o m b r e se c o n s id e r a n a lg u n a s e c u a c io n e s d e l tip o x + f( x , x ) ~ h c o s r/f
(I)
e n q u e la o s c ila c ió n e s f o r z a d a p o r u n a g e n te e x te r n o . L a o s c ila c ió n
1 X 0 ACION I S
NO LINHALKS
393
f o r z a d a lin e a l d a d a p o r x + 2k x + . . f x = E c o a q í s e e s lu d ió e n el a r tíc u lo 3 .1 0 y s e v io q u e la so lu c ió n c o n s ta d e u n a p a r t e tr a n s ito r i a O - *1 e o s ( p t + e), p 2 — <»- — k ‘ , y u n a o s c ila c ió n p e rs iste n te E { ( w 2 — q 2) 2 + 4 k 2q 2}
e o s ( q t —a ) ,
tg a = 2 k q ¡(ú )2 - q 2).
E n e l c a s o n o lin e a l s e tie n e n q u e c o n s id e r a r e c u a c io n e s c o m o x + k x + a x + bx* = E e o s q t
(2 )
q u e s e lla m a la e c u a c ió n J e D u ffi n g y r e p r e s e n ta u n a o sc ila c ió n fo r z a d a y a m o r tig u a d a c o m o la q u e se p r o d u c e c o n u n re s o rte n o lin e a l. T a m b ié n p u e d e n te n e r s e e c u a c io n e s c o m o la d e v a n d e r Pol c o n u n té r m in o d e fo r z a m ie n to , o se a . x — e( 1 — x 2) x + x = E e o s q t L a s s o lu c io n e s d e e s ta s e c u a c io n e s , c o m o en e l c a s o lin e a l, c o n te n d r á n p o r lo c o r r ie n te u n té r m in o tr a n s ito r io y e l m á s im p o r ta n te d e la o s c ila c ió n p e rs is te n te m a n te n id a p o r la fu e rz a a p lic a d a . E n el c a s o lin e a l la o s c ila c ió n p e rs is te n te tie n e el m is m o p e rio d o q u e e l té r m in o d e fo r z a m ie n to . E n la s e c u a c io n e s n o lin e a le s la s itu a c ió n se c o m p lic a p o r la p re s e n c ia d e s u b a r m ó n ic o s . q u e so n o s c ila c io n e s c u y a fre c u e n c ia e s u n a f r a c c ió n d e la d el té r m in o d e fo rz a m ie n to . T a m b ié n p u e d e n te n e rs e u ltr a a r m ó n ic o s c u y a f r e c u e n c ia es u n m ú ltip lo d e la d e l té r m in o q u e d a la s o s c ila c io n e s fo rz a d a s . C o n fr e c u e n c ia p u e d e n o b te n e rs e s o lu c io n e s d e e c u a c io n e s d e e s te tip o p o r el m é to d o d e p e rtu rb a c io n e s . C o m o e je m p lo , c o n s id é re s e la e c u a c ió n d e D u ffin g s in el té r m in o d e a m o r tig u a m ie n to , o s e a , A: + a x + b x* — E e o s q t S u s titu y e n d o (E /a ) x e n lu g a r d e * y (t/q ) e n v ez d e t e s ta e c u a c ió n se c o n v ie rte en
donde
a>2x + j c + £ x 3 = c o s í , 0)2 — q 2/ o
y
e = b E 2¡ a \
S u p o n ie n d o u n a s o lu c ió n d e la fo rm a
se to m a n x o(0 ) = c,
^ ( 0 ) = x 2(0 ) =
(5)
ECUACIONES 1)11'fcRhNCl ALES
y x o(0) - x , ( 0 ) = . . . = 0. S u s titu y e n d o e n la e c u a c ió n (5) se e n c u e n tra s u c e s iv a m e n te x0 =
c e o s l,
co0 = 1—1/e, x , = | c4(c o s l - e o s 3 /) (9 - 8c), o , = | e 2 + i c 2/( 9 - 8 c ) , y
ui = W0 + C(Ü ,+
. . ..
L l d e ta lle d e e ste c á lc u lo se d e ja c o m o e je rc ic io p a r a el lecto r. C o m o a lte rn a tiv a , si la s c o n s ta n te s d e la e c u a c ió n (4) so n d e tal n a tu ra le z a q u e n o e x iste n s u b a rm ó n ic o s , p u e d e s u p o n e r s e u n a so lu c ió n e n se rie d e F o u rie r y d e te r m in a r lo s c o e ficie n te s su c e siv o s p o r s u s titu c ió n en la e c u a c ió n d ife re n c ia ). L a n a tu ra le z a d e la fu e rz a p e r tu r b a d o r a n x + b x i c o n d u c e a in te n ta r la so lu c ió n x = / I 1 cos< ;t + i4 3 c o s 3 (ít + / l 5 c o s 5 í t + ----S u s titu y e n d o e n la e c u a c ió n (4 ). lo c u a l im p lic a un tr a b a jo a lg e b ra i c o b a s ta n te e n g o rro s o , se o b tie n e
{ - q 2A i + a A i + } b A 1( A l 2+ A l A 3+ 2 A 3i ) - E } c o s q t + { - 9 q 2A 3 + a A 3+ \ b ( A 13 + 6 A L2A 3 + 3Ai 1)} e o s 3qt +
. . . = 0.
(6)
Si a h o r a se ig u a la n a c e ro los c o e fic ien tes d e e o s q t y e o s 3q i se o b tie n e n d o s e c u a c io n e s p a ra d e te r m in a r A , y A,. F n p a rtic u la r, si b = 0 , e s ta s e c u a c io n e s d a n A., — 0, A , — - E !(u — q -) p a ra la e c u a c ió n lineal. Se p u e d e u tiliz a r el a n á lisis a n te r io r p a ra m o s tra r q u e h a y p o si b ilid a d d e q u e e x is ta u n a so lu c ió n s u b a r m ó n ic a . Si se e s c rib e la e c u a c ió n d e D u fíin g c o m o
x+
ax + bx2 = E e o s 3 q t
(7 )
y se su p o n e u n a solu ció n x = /1 j COSQ( + zI j COs 3 í í + . . e n to n c e s el té r m in o A , e o s q t e s u n s u b a r m ó n ic o d e o rd e n 1/3, o se a . q u e su fre c u e n c ia e s u n te rc io d e la fre c u e n c ia del fo rz a m ie n to . S u stitu y e n d o en la e c u a c ió n (7) se o b tie n e n , c o m o a n te s , e c u a c io n e s p a ra d e te r m in a r A , y A., q u e e n e ste c a s o so n :
- q 2A l + a A L+ $ b A l ( A l 2 + A l A 3 +
2 A 32) =
0,
- 9 q 2A 3+ a A 3-\-ib(A ¡3 + 6A¡~A3 + 3A 33) —E — 0 ,
re U A C lO N I'S NO I INI A I.1S
395
s ie n d o la ú n ic a v a ria c ió n e i h e c h o d e q u e £ e s lá e n ¡a se g u n d a e c u a c ió n , f is ta n o d e m u e s tr a la e x is te n c ia d e s u h a rm ó n ic o s , p e r o se s a b e q u e se p re s e n ta n y se h a n c o n s tr u id o m e c a n is m o s q u e m a n i fie sta n o s c ila c io n e s d e e s te tip o . E je r c ic io s 1 1(o) 1.
L a ecuación d e m o v im ien to d e u n a p artícu la es; x i c .ix ¡ + ax 4-i= 0, sie n d o
/ ( * ) = (e- 2« / 2c 3){ - 2bc2x í + 2 (a c - b ) c x + ( a c - b ) ) -
2.
S u p o n ien d o una so lu ció n d e la e cu ació n d e v an d e r l’ol x — e(l — — x2Xi -r x = 0 d e la fo rm a x ^ A sen <»í 4 a rm ó n ic o s d e fre c u e n cias m ay o res, m uéstrese p o r su stitu ció n q u e A = 2 y <» |.
3.
T o m a n d o la ecu ació n d e v an d e r Pol c o n r = 1 en la fo rm a &— (ii— £i*/3)-h« = 0 , utilícese la c o n stru c c ió n de L ie n a rd p a ra tra z a r la c u rv a integral en el p lan o fase q u e p asa p o r el p u m o u — 1, ú — 0 y determ ín ese el ciclo lím ite.
4.
U tilícese la so lu ció n d e la e cu ació n de v an der Pol o b te n id a p o r el m é to d o d e p e rtu rb a c io n e s (a rt. 11.11) p a ra m o s tra r q u e si t - 0,1 el p e río d o de la o scilació n so sten id a es a p ro x im a d a m e n te 2 - y la a m p litu d es 2. M u éstrese ta m b ién q u e el d ia g ra m a del p lan o fase es a p ro x im a d a m e n te c irc u la r,
5.
S u p o n ien d o u n a so lu ció n de la e cu ació n d e D u ffjng x 4 kx — x + 4- ex* ~ eo s »./ d e la fo rm a x = A eo s nx 4- B sen mí 4 arm ó n ic o s de frecu en cias m a y o re s, m u é stre se p o r su stitu c ió n q u e A { \ - í o ‘)A -B k> u+ ieA {A 'i A-B'i) = 1,
6
B (l- o > ’‘) - A k u , + l * B ( A i + B * ) = 0. 1.a e cu ació n x 4 a x 4 b x - — E eo s q l se re d u c e p o r la su stitu ció n a x — E y y q t = « a la fo rm a «•‘y " 4- y 4- ¡y* — eos », d o n d e a«>* = q ¿ y f = E b /'a 2. U tilícese el m é to d o d e p e rtu rb a c io n e s p a ra o b te n e r la solución a p ro x im a d a co n y — c t y ‘ 0 p a ra rt “ 0, y = e c o s 0+ e con m! = I — 1 /< I p(< — 2 )/(3 c — 4.)
7.
U tilícese e l m é to d o d e p e rtu rb a c io n e s p a ra o b te n e r la so lu ció n d e la ecu ació n ■■i'J(
ECUACIONES D IF E R E N C IA L E S
39 6 8.
U n m é to d o ite ra d o a p lic a d o a la e c u a c ió n d e D u ffin g x -\-a x + b x * = E c o s q t ,
sie n d o b p e q u e ñ o
c o n siste en to m a r la p rim e ra a p ro x im a c ió n c o m o x„ = A c o s q t. Se o b tie n e u na seg u n d a a p ro x im a c ió n x , c o m o la so lu c ió n p e rió d ica de la ecu ació n x ^ + o X o + ó x ,,3 = M u éstrese q u e 36-’) co s 3qt.
E
q ‘l — a + 3 /4 b A - — E l A
e o s qt. y x , = A co s q t -|-
S O L U C IO N E S
DE
L O S E JE R C IC IO S
E jercicios I (a) 1. (<7)1,2. ( 6 ) 2 ,1 . (c) 4 , 1. (d ) 2 .1 . 2 . ( a ) y ’ - n ' y = 0 . (6 ) y+ 2 ky+ .{k* + * ñ y = 0 . (c) y ' —2 m y'+ rnly = 0. (d) y y ° + { y 'f = 0. (e) 4y(y')s+ 2 x y '- y = 0. 4- (x " + y * )y '-2 (x y '-y ){ l +
1. 6.
3y = 4 —2 (x + 2 )(l ~ x ) '^ . y* = se rrx .
2. y = ig (1 + y - x ) .
7.
4(y
8. ( * ~ / Ü 2(y2+ l ) = 1.
- l ) 2 = { M l - x ^ + s e r r 1*}2.
9. y —1 = ± [lo g « x -lo g e { l + ( l + x a)’/s}+ íog*(l + V2)¡. 10. x 1 = cos2(x —y). II. 8x5 = 27(1—y)2. 12. (2y—x2)2 - Ix U + x ^ M -lo g * { x + ( l + x 2)‘/'}l2. 15. 80 ft./sec., 1440 ft., 85-3 ft./sec. Ejercicios t(c) 1. Xy = A . 3. x(x2+ y ’) = A . 5. x lo g « y = -4. 7. x2+ y 2 = A. 9. ax1+ dy1+ 2 b x y + 2 c x + 2 e y = A. 10. 2asx - 2 a ay + 6 3x2- c ayíl+ (c s -6 a )x y 11. log. (x*+y*)+ tg - 1 (y/x) = A . 13. x 2+ y ’ = /4(x+y). 15. y = Ax. 17. x ; x4-4 x * y = A.
2. x cos y — A . 4. sen h x eos h y = A 6. x , + x 1yJ+ y i = A. 8. xa+ y 2- 2 x y 2 = A. = A. 12. sen x sen y = A. 14. x - 2e*\ y = A x e~x. 16. A^+y* = A ( x - y ) . 18. - 2 ; y* = A x‘.
E jercicios 2(u)
7. 8. 10. 11. 12. 14.
s e n - 'x + s e n - 'y = A , o y ( l - x s)Va+ x ( l - y ,),' s = s e n A 9. x + y + c t g y - i tg 2x sen y sen x= A. (log»y)2+ (x 2—1) log« (1 + x ) -l- x ~ x 2/2 = A. y = loge tg (cosh x —x se n h x + ,4 ). 13. 8y = c i g 6 ( 2 x + / ( ) - 2 x . 4y = l - 2 x + C c - te. 15. ( l + x*),' , + e - « '- 2. y* = A e“ —x*.
Ejercicios 2(b) 6.
r = (T ln f)íl‘ e - Ux,,f-
Ejercicios 2(c) 1. 6 y (x + l)* = 2x«+3x*+-4. 3. x 'y = ex ( x - \ ) + A . 4. 3 0 ( x - l) V = 6 * * -1 5 x 4+ 10xH -,4.
2.
2y = / l ( x + l ) 2- 2 x - 1.
398
SOI Jl< IO N ES 131: (.O S E JE R C IC IO S
5. 7 9. 10.
3 y e >x = 4 ( x ! 1)J — 1. 6. 4 x y = s e n 2 x — 2 x e o s 2 x — A . 2x 3y = x 34 - 4 . 8. (a 3-*-!)1' * ^ - 1) = A . y sen x = x+ A . 2 ( x - l ) y = 2 x l o g e x —4 x 1+ x ' t A x . y = l + x * 4 4 ( 1 -t-A3) ' 23 12. y ( l 4 x 3)'<3 ^ t g - ' x + A . y = 2(-■’“" J 4 s e n a — 1) 2 ( x — l ) s c n y = 2 a lu g e a —4x'3- |-x '1- r 4 A . a ’^ ( a — l) V 2y = l o g , ¡ x ‘* -¡ ( x - l V ^ + A . 3xe*v ~ A ( y ^ - \ y - l . 17. 4 x y = 1 - |- 4 y d. y 3(4x - - A ) = a . 19, y * ¡ > * ( x - l ) + A ] = x 1. 2 a 3 = y 3/3( x 3 'i A ) . 21. 3(1 I x , ) '/ í = y , ( ( l - f x * ) 3« 4 4 .|.
11 .
13. 14. 15. 16.
18. 20.
E je r c i c i o s 2 (d ) 7 .
8 .
C
=
C o f f o í( 2 l> 0
a (q :p )> l‘’‘¡ > -« \
í
<
/
o
'
!
/
u f ) 2.
a i q ! p ) 1 'v > i ',
a - a { [ \ - p ¡ q ) ( q ¡ p ) e ‘v v \
E je r c i c i o s 2 (e) 1. 3. 4 6. 8. rO. 12. 13. 14.
2 ig - '( y / * ) = l o g , 4 < x 3- f y 2) . 2 . A3- A y - y 4. ( V 2 ) ig '( v '2 y / 2 x ) + l o i f c 4 ( 2 x 3 - y 3) - 0 . l o g „ y - x 3/2 y 3 = A . 5. y - 2 x = 4 x 3y . x * 4 4 x y » -y * = 4 . 7. ( x 4 - y ) s = 4 ( x - y ) . Ay3 - A ( x - y ) \ 9. 4 loge (y*/x) + x a/y ‘ = 4 . tg ( y /2 x ) = A x . 11. a — 2 y —4 lo g , ( 2 a — 5 y 4 10) = , ( y - x - 3)‘ = 4 ( y 4 2 a - 3 ) l o g , ( y —2 ) —( a — I ) 3/2 ( y —2 ) 3 - A 24 a = 2(a —y )(A - y I- 5 ) -|- 9 l o g , ( 2 a - 2 y - l ) - , - 4 .
E je r c i c i o s 2 (1 ) 1. 3. 4. 5. 6.
( x ! - y 4 4 ) ( 2 x 3 4 > 1-4) = 0 2. ( y + e Jr' - A ) ( y - e ~ l x + A ) =■ 0. x - 3 / ) V 2 - 3 p 4 3 lo g , (1 + p ) + A , y = p s - x . a — 4 l o g f p —6 p ‘ + A , y = 4/> +4/> 3y '( p ’ - I ) * - p l o g e j p - v ( P a — 1 )1 + 4 /» , v ( p 3 I ) ( y - J » ) = logc{/> T v ( p * - ] ) ¡ 4 4 . 2 x - 9 p * + \ l p * - A , y ■= 3/)3r l ; p .
7
2 a ;= 2p + toge ( 2
p
—1)
4 , 4 y -•= 2 /4
, 2
A 3/ f l 3 - j - y s / í > 3 -
1
8.
y -
4 x 4 1 / 4 , y* = 4 a .
9 .
y
4 A - r ( 6 2 + ü = 4 3) ‘ 4
10 11. 12.
=
2 1 log,- (2 p - 1) 1 4 .
y — 4 .x I 4 " , { y /(n — l » n - ’ -t- ¡ x / n l" — 0 y -* 4 x — 4 / ( 1 + 4 3)1/ 3, a 3/’ - y 3/3 - I . y — 4 x —lo g j 4 , y = l - r l o g í a .
E je r c ic io s
I. 3. 5. 7. 9. 10.
p
2 (g )
a 3—y !
= 4. fl3-¡ (lo g c .r)3 = 4 . x 34 y * = 4 « - 3íJ‘. x y = ( a 3 —4 ) / ( a 3 ¡ 4 ) z - A x 3+ B x (x 1) y =■- — 3 / x + I / ( 4 a -!• v 1ogc a ) ,
2 4. 6. 8. z
y ■= 4 .x4. ( a I vp)(.xp v> — ( u - ~ b 2)p. v '( a 3H y 3) ■- « 4 - 4 . z = 4a I
— x 3( 4 - B l o g ,
a ).
E je r c i c io s 3(¡i) 1. 3. 5.
y = 4 « - ‘. | f e ‘l y = i , A + B x ) e ~ H ‘‘ . y “ C e " ,|'* c o s ( / —f ) .
2. y = A e u + B e ~ ” . 4 . y = C e ~ ,x e o s ( 3 a - c ) . 6 . > = C e - “ e o s ( r /2 — s).
S O L U C IO N E S O I 7. 9.
y = 4 e o s 2 /. y = e íx.
11. 13. 15, 16.
- 4 e - « _ 3 t.- « ,
399
LOS E JE R C IC IO S 8. 10.
12.
y = e - '( 2 c o s 2 / |- s e n 2 /) . 14. x = e ~ kt \a e o s p t + { ( y + k a ) i p ) sen pt ¡. q - Q e ’" s’ { l + R t t2 L ) .
0 « a e o s {(gil)'-’'!}. y ■- ( l + 6 * )e -* * .
y = e -te. y •>-
s e n 3 a /.
E jercicios 3 (b ) 1.
3. 4. 5 6.
7. 8.
9 10
2 y — A e S I— f l e o s 2 x — C s c n 2 * )' = 4 f P e « l C r 1» y = A c o s h 2 a f f ls e n h 2 x + £ c o s Z>:-:- / r s e n 2 r . y - e ’: (A e o s a + A sen x) H e ' * ( E c o s x -r F s e n x ) y = A c ' 2r ! e x ( B e o s v 3 a + C s e n v 3 a). y ■= e 1 (A e o s / + B sen / + F e o s 2 t - r /' s e n 2 i ) .
y ^ e - 3* ( / l + f l e o s 2 a - I C s e n 2 A ) .
y «- A c o s h 14 f ls e n h f / ( £ c o s h / I- F s e n h / ) . y = e 'Í A eos I t + B se n 2 t)A e~‘ ( t i eos 2/ ‘- /'s e n 2/). « . e " * ( A \ B x £ a s - Fa*).
E je r c i c i o s 3 (c)
1. 3. 5. 7. 8. 9 10. 12
>>
— A e x + B e ! x - r e ix.
2
.y = A e * + ( f l + A ) e “ .
y - A e * + B e * * |A - I~ 1 . 4 . y = A e x + B e*x - ( 2 x * A - ( > x + 7 ) l4 v - ( A - B x + x * ) e - ,J¡. 6. > = (X + A a ) r .--- ( A + S x ) e ~ ‘ x + 2 a - 4 / 3 . v e o s 2 a + 5 s e n 2 a ) —2 e o s A - s e n A . >• - (
E je r c i c i o s 3(»l) 1 3. 5. 7 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
y y y y y y y
= A e ~ txA B e ' i x - 2 e » , 2. > = A e - « - r f l e - * * + 4 x e - * * . = e l x (A —A a + 2a*). 4 . y =- (A 3.<)senh 2 a -¡- A c o s h 2 a = e ', X (A e o s 3 A - f l s e n 3 A t-3 ). 6. y — A + e ~ * x ( B + C x - 2x 2). = A \ B c o s h 3 x i-{ C -t-6 A )se n h 3 a . — (A 4- B x + 2 x ‘ ) c o s h 2 x + ( £ + F x - ) s e n h 2 a . « A c o s 3 A T -5 s e n 3 A -l-3 c o s Z x . = e ~ z (A e o s 2 a + B s e n 2 a ) -- 5 e o s 2a l 2 0 s e n 2 a . y = A eos 2 A + (ñ -r2 A )se n 2a. y= e ~ , r ( A e o s 3 a + 5 se n 3 a ) + 2 e o s 3 a 4 -6 s e n 3 a . v— e ~kt {A e o s u>t \ B sen t a t ) + ( l l 2 k p ) s e n p t , a»3 — p : —k * . y --=e~ *f { A e o s v j t y fl-sen u > /)4 - ;2£''(2?Ai + 45f<)!)!(A e o s t u / - f 2to s e n tu í) , A = R /2L . y — e~x (A e o s a -l 5 s e n x ) + e*r (2 e o s 3 a — 3 6 s e n 3 a). y ■= A + B c~,x + e lx ( s e n 3 x —8 e o s 3 a). y = — 2 e ’ ^ c o s 3 í-j-3 e o s t. 18 >• - (I l-e - « ) ( c o s 3 a f 3 se n 3 A );8 .
E je r c ic io s 3(c) 1. 3. 4. 5. 6. 7.
y = ^ le o s 2 A + 5 s e n 2 A -r2 A s - l 2. y = A v = ( ^ ^ B A ) e s* + 4 A 3+ l 2 A « + l 8 A i - l 2 . y = e ~ ’ z ( A e o s 2 a - - B s e n 2 a ) a 2- a - t - 2 . y = / H - ñ c o s 2 A + C s e n 2 A + 4A3- 6 x . y — A A~ B x 4- E c o s h 2A -+-.ñei>h 2 a —2 a ‘ —6 a !. y = A e x + B e * z- e , z (x*+2).
e x + B e * ‘ +
9 * * + 2 4 a -^26.
400
8 9. 10. i 1. 12.
S O L U C IO N E S DE L O S E JE R C IC IO S
y = e~2x (A cos 3 x + B s c n 3 x ) 4 e _ tó (3x*—2x). y — A c o s x -1-B s e n x —x* c o s x + x se n x . y = e~tx (A cos 2 x + 5 s e n 2 x ) 4 (50x2—2 0 x — 1) co s 2x 4 ( 1 0 0 x '- 1 4 0 x 4 6 8 ) s e n 2 x . y = A cos 2x 4 3 s e n 2 x + { 8 x s—3x) sen 2 x + 6 x 2 c o s 2x. y = *>-** [A cos 3 x + i» s e n 3 x 4 ( 6 x 3—x ) s e n 3 x + 3 x ' cos 3x>.
E j e r c i c i o s 3
5. 6. 7. 8.
y = A e x + B e ‘x + 2 x ! + 6 x + 7 . 2 . y = e x ( . A + x * ) + B e '* * . y = A c o s 2 x + B s e n 2 x - t- x * s e n 2x. y = A e~ x + e x ( B c o s x + C s e n x ) + x !‘— 4 x 4 - 5 . y = (w ln 3P ){\r¡zx < x — l ) — 1 4 c o s í i x + s e n tu r tg n i 12}, P = E fn 2. y = 4 e - * c o s ( 2 x + 6 ) + v ' 0 2 ) c o s ( 2 x — t g _ l 4). y = 4 e _ :r c o s ( 2 x 4 e ) + { 5 / V ( 1 7 ) } c o s (2 x + t g - 1 3 /4 — t g " 1 4 ). y = A e x + C e x t * c o s ( a x + e ) 4 c o s ( 2 x - t g _1 4 /3 ) , 4cis = 19.
E j e r c i c i o s 3 (g ) 1. 3. 5. 7. 8. 10. II. 12.
y y y y y y >• y
“ — = -
= x ( 4 + B log« x ) . 2. y — A / x + B / x * . = x - ^ + B lo g e X ). 4 . y = A x ^ + B / x 3. = 4 x 4 £ x 24 - 2 x \ 6. y = A + B l o g e x 4 C ( l o g « x ) a+ x * . = x ( A c o s lo g e x + U s c n l o g * x ) - ( - x lo g e x. x* {A + B lo g e x 4 - ( l o g e x ) ’ }. 9. y = ( A 4 - B lo g e x ) / x a+ x / 9 + l /x . x * ( 4 4 i? lo g e x ) + 3 lo g e x 4 - 2. A ( x — 1 ) 4 fl(x — l ) 4—( x — 1)2/ 2 —( 2 /3 ) ( x — 1 ) lo g e ( x — I) + l / 4 . A x + B l x + E x » + F l x t + x 3.
E j e r c i c i o s 3 (h ) 1 4. 5. 8.
3 n x = ( 4 a n — u ) e - n t+ ( u —a n ) e i n t . 3 . x 4 ¿ x 4 o>*x = ¥ 4 2 x 4 - 3 2 x = 3 2 s e n 4 r ; ( 8 s e n 4 í —4 c o s 4 0 / 5 . a(k*p*+ A ')i ,! { m V + ( & — 2 2 m ) p ' 4 A2}-1 /2. 0 = { l 2 a l n 2n 2l ( 3 g l - f t n W l 2)} s e n E n n t.
ku.
E j e r c i c i o s 3 (i)
6. 10.
tV (a + b —y ); b = a(sec n i— 1); W a sec n i; ?i*EII9t*, W = E ln 2. ( s E I l m y l 'i l S O Ó e t r i E .
E j e r c i c i o s 3 ( |)
1.
C R - = 4 L, £ C (1 4 2 i/C R ) e u /0!‘, (E tIL )
4. 6.
v = 8 0 0 e - I00« ( c o s 1 0 0 0 ( 4 senlO O O í). q E C { (.fo x + ¡ i(l)e ',t‘ — ( b x + /s a ) e P ,> }l(a—P ) ( A * - r /r ) , 2 = l — L C n * , ¡x - £ O r , í , = t - 2 T , a p ^ M L C , a + f i = - R I E . 0 0 0 0 1 , 3 ‘1. ( £ / £ ) c o s s e n («oí 4 - <¿), t a n = (1 —L C ( o2) I R C oj. C £2 = 4£. £ { 1 —« “ “ ‘( e o s 2 a > ( 4 3 sen2ci> ()}, (5 C £ c o /2 ) sen2a> í.
7. 8. 9. 10.
E je rc ic io s 4 (a ) 1. 2. 3. 4.
x = 5 4 c o s 4 ( 4 5 £ s c n 4 í , y = ( 3 4 - 4 B ) c o s 4 ( 4 ( 4 4 I 3 B ) s e n 4 í. x — A e « + 5 í r !' , y = - 4 e « 4 2 B « r w. x = e*‘ ( c o s 3 ( — s c n 3 ( ) , y = e 21 ( e o s 3 ( 4 2 s e n 3 (). 2x = e - ‘+ e - « 2y = - í - H í - ” .
SOLUCIONES l)H LOS EJERCICIOS 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
401
4©* = _ 5 e ( + 8 e - a - 3 e - « , 120y = 2 5 e ‘- l 6 e - ” - 9 e - « . x — - ( l + í ) « - ‘ + 6 e - '/ * + f - 5 , > ’ = ( / - 2 ) e - '- t - 9 e - í/s+ / - 7 4 x = 3 sc n h / + f e ‘, A y = 4 c o sh / + 5 sc n h t + e l ( 3 /—4). 2 1 x = - ( 6 / + l ) < r M+ 3 / + 1, 21 y = - ( 6 / + 4 ) < r « - 6 / + 4 . A x - ( 2 —z / + 2 / ) s c n /, Ay = ( 2 - * + 2 / ) c o s / 1 ( j i - 2 / ) s e i u . 6 0x = - 4 5 e - , - e - 51+ 3 6 + ) O e í . 60y = - 4 5 e - ‘+ e ' “ + 2 4 \-2 0 e'. x = eu, y = 2 e u , z = 4 e1'. y = A ¡z, + B z >- 0 e o s log¿ z - 2 1 s c n Iog¿ z)/50, x - /4/zs —2flz‘/3 —(8 eos lo g , z - 6 sen io g , z>/50.
E je rc ic io s 4(h) 1. 2. 3.
x = / J, y = 2 /. x = c(l —eo s m t), y = c ío /—c se n tu!. 5x = 5 2 eo s / + 6 4 s e n / —12 c o sh 3 /—(6 4 /3 )scn h 3/, y = —20 eo s í + 8 0 s e n < + 2 0 cosh 3 / —(80/3)senb 3/. 4. x — ,4 c o s / + S s e n / + £ c o s u / l - F s e n a / —(75 eos 3/)/424, y = —A eo s / —B s a n t + i E c o & a t + í F s e n a t + O eo s 3 0 /4 2 4 , 6« ! — 15. x = 2 a e o s a t + A a b s e ñ a l , y = - a eos al.— 2 a b s e ñ a l, 2a* = 1 . 6. x = A e o s 3 / + £ s e n 3 / + 3 C e o s 4 / + 3 E s e n 4 /—2, y = — 2A e o s 3 r—2 5 sen 3 / + C c o s 4 / + £ s e n 4 / . 7. x = - 2 e ‘+ 2 e « , y = - A e ‘+ 5 e u . 8. 3 6x = 6 1 + 1 1 , 36y = —4 8 /—88. 9 . 7ax — 8 s e n a / + 2 0 a / , 7 a y = —2 0 s e n a / + 2 0 a /, a ' = 336/5. 10. x = 2fl(l - e o s cu/), y = aro1/ 1-: 2o ( l - e o s o)/). E je rc ic io s 4(c) 3. 5.
7. 8.
mX = s ( y —x ) , m y = j ( a + x - y ) . k = ( £ / £ ) ( 1 - e - s t / l ), ¡ t = ( £ / £ ) « r '" " 1. £ ( R J+ L ‘ío,)| /,(9/?1+ 4 Z .siy,) " '/:! eo s (c«/ + £ ) ; c o t /i = ( 3 £ ! I 2 L l(o‘)IRL
10. i*! = 2 -« - > M- e - ,M1. í» = - « - * “ + e - ,00í. E je rc ic io s 4 (d) 1. 2. 3. 4. 6. 7. 8. 9. 12.
2 x = 2 cos / + s c n / + J s e n 2/, 2y = 2 c o s / + s e n / — Jse n 2r. 5 x = 6 eos / + 4 eo s 2 /, 5 y = 12 eos / - 2 e o s 2/. 13x = 1 5 c o s 2 / - 2 c o s 3 / , 13y = lO c o s2 /-1 -3 eos 3/. A* = 1 + 2 Í :, C = 6/2. 49 = 4 a e o s ( 3j / 10á)l^í/ + 3 n eos (6 g la Y ^ t, 4 ifi = 5 a e o s O y /lO a)1-'*/—n eos (6g la )l!tt. 29+ 4 0 -3 ¿ , Z -r(a/3y)''2. 2zr(6ajgyl*, 2zr(
E je rc ic io s 4(e) 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 14.
26
2. y = x * /ó + 2/f.W > + £ 4. y = A x — ( l + ^ 2) l o g f ( x + ^ ) + 8 6. y ^ A loge tg x / 2 + 5 . 8. y * = y 'A sen h 2 x + c o s h 2x. 10. y = 1+X*. 12. y = ¿?sec! ( x + C ) . y = A loge ( y + ^ ) + x + £ . { y ( y + A ) 1‘/* = + logt {(y)1'* + ( y + / ! ) ’•'*}±
y = x a/2 + > íx (lo g e x - l ) + / 3 x -| C 9y8 -= 4 ( x —l) 5. y = (sen-1 x Y U + A s c n - 1 x + B y = 1 - x * /4 . y - cosh (x/v’2). y = cosh x. x+£.
402
S O L U C IO N E S
D E L O S E J E R C IC IO S
15. sen , y = 4x*. 16. {y(y—l )} '/* + log« {(>*)l/s+ ( y - l)v *} = ± * / V 2. 17. 4 1ogíX = y l x + ( U A ) \ o & ( A y l x — l ) + B . 18. y = se c x . 19. y 1 - C x » " + A . 20.
y = B x{\+ A y)\
21. 22.
a eo s-1 ( x 'I V a 'fy + x 'f 'i a - x y '* = (2 gWI
E jercicios 5(a)
3.
, - « . ( l - |+ í - S + •
•' j-
5.
y = a*x,( l + 3 x - r 6 x aH- 10xs4 . . .).
6.
y - a . x - f l - i x - '+ i x - '- l x - M I >” “ ‘ío l
n ( n + l ) / l —x \ (1 ! J * \
2
. ..) .
(n —l ) n ( n + l ) ( m 2 ) / l —x \ '
/
(2 ! )*
\
2
/
1 ’ ■"
10.
X» ^ «»(1+3x*4 t x ‘ - A x * + . . .), y , ” bax * / \ l - Í ^ - t U x * -n frrx * -
11
c{(X — 1) loge
12.
y , = x (l —x)"*; y , = c(l - x ) - ”(l -Ex logc x).
» • ’ -
14.
*
— *j ■
•
]
= ^ ( i + o ^ + 5 ¿ o j r 4 + •• );■>•* = *»(■**“ 5 )-
F.jercicios 7(a) I. 3. 5. 7. 9. 10. II . 12.
^ 4 sen/nx seo/nc/. 2. £ 4 e~mx senm y. Y
SO LU C IO N ES DE LOS EJFRC1CIOS
13. 15.
A = A" = -V = A- =
403
0 , B - 1, m = t , ® = 1. 14. / ' + r 1/ ' + ( a , - m W r ' ) / - 0. /I cosh (n2—e ')1/2x + B se n h (n2—ca)V**, (c < «); A cos (c2- n 2)‘/*jr+flsen fc2- n 2)'/»x. (c > n); A x + S , (c » n);
tf = (cosh I r + i-p ^ se n h 2.v) eos 1 5 / 16.
K = $(1 —« -‘*)sen 3/.
17.
z = jre-**seii*/.
Ejercicios 7(b) 5. 911.
a l = 1’506n. 7. 49-0, 23-3 per sec. (4 ^ 0/n ){ e-« /‘ cos ( x /2 )-* « - * * « cos Q x '2 ) + i «-»** cos (5 x1 2 )- . . .). 42° (aproxim adam ente)
E jercicios 7(c) , d‘F , 1 dF 1 d*F 6- 3 f + ¿3¡>+ p 'd & '’ F = A ‘í -1 («") + *■ . 3 1 dV \ 3 ( 3V \ , u+ vd*y „ 7‘ a í ( V ; + á í i t^ 7 r t" 4 ^ F ^ = 0 Ejercicios 8(3) 1. y = «■*. 3. x = / « ol. 5. y = 3 ei + 4 « ;Isenx. 7. y = ( l + 6 x ) e - « . 9.
2. 4. 6. 8.
y ~ x = _y = >■ =
x f 3 « 21. e « —cos 2 / —sen 2/. 4 c - « - 3 « - * '. « _ísen 3/.
x = e_A((cos m z-f-^sen /n /j.
10.
y = (2—x ) e ^ - e 3*.
0 = K1 —«“«(Cos 2 f—3 sen 2/)¡.
12.
y — 3 cos / - 2 e~«2 cos 3/.
13. y — i ( l + e-2*)(cos 3x4-3 sen 3x)
14.
> = I —J e -1 —i c ^ ' c o s ^ .
11.
15. y = l. 16. y = 2x24-2x4-5J-«t I . 2y = 17. 2x — 18. x = ««(eos 3 / - sen3/), y = ««(eos 3 /+ 2 sen3/). 19. x = 6 e - t/« -(M -])c -< + / - 5 , ^ = » 9 « - ''* + ( r - 2 ) e *J / - 7 . 20. 36a: = 6 /+ 1 I , 36> = —48/—88. 21. 9v = 4 se n 2 x —5 sen a-—3 x co s Z v E jercicios 8(c) 1.
V — (4/n) £
<2p - 1 )■’« ,,/>-'1|tfScn(2/>—l)jr.
P= l
2. 4.
5.
V = (4C/;i) £ (2¿>— 1)~l esc h (2p— l ):*sejih ¡(2p ~ J )ny¡a} sen {{2p —1)-t.x ja í. p =i ce V (2c/íi) £ (c2/>2— senr—scncpO scnpx. p~ 1 co 2 n V = K M + U i Y ( -l)»V)“M - c o s cpl) cos/w pal
404
S O LU C IO N ES DE L O S E JE R C IC IO S
E je r c ic io s 9 (a) 1.
y ^ x - i + C e -* .
4.
z ' + z ' l x + z l * = 0.
2. 4. 6.
0 - 1 9 7 ,0 -3 8 0 ,0 - 5 3 7 . ± 0 - 0 4 1 6 , ± 0 -3 2 2 2 . - 0 - 2 2 7 ,0 - 1 8 4 .
4. 7.
0 -0440. 0-0200.
2. 4. 6. 8.
0 -8 2 6 , 0 -7 6 4 , 0-774. 0-8392, 0 7 4 8 9 , 0-7115, 1-4188, 1-8710, 2-3520. - 0 1005, - 0 - 2 0 4 1 , - 0 - 3 1 4 4 .
E je r c i c i o s 9 (b ) 1. 3. 5,
0-4603. ± 0 - 0 0 2 7 , ± 0 -0 2 1 3 . 0 -9 9 3 4 , 0-9740.
E je r c ic io s 9 (c ) 2. 5. 8.
0-3 3 3 , 0 -3 2 4 , 0-324. 1-238. 1-015.
E je r c i c i o s 9(<1) I. 3. 5. 7.
0 -0 1 8 7 , 0 -0 7 0 3 , 0 1488. 0 -0 0 2 7 , 0 -0 2 1 4 , 0 0724. 0 -0 0 5 3 , 0 -0 4 4 0 , 0 -1 6 06. 1-101, 1-204, 1-314.
E je r c ic io s 9 (e) 1. 2. 4. 6. 7. 8.
1-1163, 1-1683 1-2290, 1-2980, 1-3752. 0 -0 7 1 6 ,0 -1 6 7 4 ,0 -3 1 8 4 . 3 . 3-7504. -0 -5 7 5 1 , -2 -5 7 5 9 . 5. 0-6481. 1-555, 2-354. 0-1 0 0 , 0 -1 9 7 , 0-2 9 1 , 0 -3 8 0 , 0 -4 6 2 , 0 -537 ; 0-462. 1-0407, 1-0769.
E je r c i c i o s 9 (f) 1. 2.
3.
5.
6. 7.
8. 9. 10 .
y = 1-2199, 1-4789, 1-7748, 2 1040, 2 -4622, z = 1-1987, 1-3896, 1-5659, 1-7223, 1-8556. >■ = 1-356, 1-542, 1-768, 2-051, 2-421 z - 0-2 5 1 , 0 -3 2 1 , 0 -4 1 8 , 0-559, 0-772 y = 0-9 9 5 , 0 -9 8 2 , 0-960, 0-933, 0-901 z = 0 0 0 5 , 0 0 2 0 , 0 0 4 5 , 0-080, 0 -125 y = 1-224, 1-517, 1-916, 2-479. 3-297 z = 1-265, 1 6 9 0 , 2 -3 4 7 , 3-360, 4-946 0-9604, 0 8 4 6 3 , 0 -6 7 1 1 , 0 4 5 5 4 , 0 -2239. 0 -5 0 5 2 , 1 0 8 5 3 , 1-9571, 3-6111, 7 1989. 0 1974, 0 3 7 9 9 , 0 -5 3 7 0 , 0 -6 6 4 0 , 0 -7616. 1-223, 1-507, 1-883, 2-404, 3-l'64. 0 -2 0 0 0 , 0 -3 9 9 5 , 0 -5 9 6 1 , 0 -7839, 0 -9520. 0 -9 6 0 4 , 0 -8 4 6 2 , 0 -6 6 9 8 , 0 -4489, 0 -2017.
E je r c i c i o s i (H a)’ 1. 3. 5. 6. 8. 10.
2 6 ,4 4 ,5 8 ,7 8 ,9 6 . 16, 9 , - 1 0 , - 2 7 , - 2 3 . 0 -2 4 9 , 0 -4 9 3 , 0-7 2 7 , 0-946, 0-013 (w ¡E Í). 0-0939. 0-1 4 9 , 0 -2 2 9 , 0-2 3 5 , 0 161.
2. 5 7 , 9 5 , 108, 9 5 , 53. 4 . 0-869, 0-866. •146, 1-325, 1-478. 7. 106. 9. 0-520, 0-843,
* D a d a la n a t u r a l e z a d e l m c i o d o u tiliz a d o , la s s o lu c io n e s e x p u e s ta s s o n s o l o a p r o x im a d a s
SOl U C IO N hS 1)1
I O S EJERCICIO S
Ejercicios I0(b)* 1. 79 86 114 135 110 155 197 2. 2 0 ,4 4 ; 21, 45. 3. 113. 4. (a) 56, (6) 54, (c) 53, (d) 51, (e) 46, ( / ) 45, (g) 42, (h) 35, ( /) 34 5. 59. 6. 8 8 ,1 1 4 ,9 5 ,3 9 . 7. 0'88C, 0-55C, 01 3 C . 8. (i) 280, (ii) 271. i
o
LO as
rX * 7 6 5
2
3
69 29 80 38 60 28 64.
11 15 11
E jercicios II (a) 1. y = A x e x/x. 4. t-202)* = a!(4a*-A * ); (y‘‘ ~-x*? = 4 a -y \ 6. y = logs (A loge x + B ) . 8. y = a scc (
40 5
ÍN D IC E A L F A B É T IC O
A c e r c a m ie n to d if e r id o a u n lim ito , 318 A m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b , 382 A r m ó n ic o s , 2 26 C a lc u la d o r a s e le c tr ó n ic a s , 325 C a r a c te r ís tic a s , 251 C a r g a d e p a n d e o d e E u le r , 93 C i r c u i t o s e lé c tr ic o s , 9 7 , 112 C o n d ic io n e s in ic ia le s , 12 C o n v e r g e n c ia d e la s s o lu c io n e s e n s e r ie , 140 C o n d u c c ió n d e c a lo r , 2 3 0 ; e c u a c ió n d e , 2 3 8 ; s o lu c ió n e n c o o r d e n a d a s c ilin d r ic a s , 2 4 5 ; s o lu c ió n e n c o o r d e n a d a s , e s fé r ic a s , 249 C o n s tr u c c ió n d e L ic n a r d , 386 C o o r d e n a d a s c ilin d r ic a s , 242 C u r v a in te g r a l, 17, 2 96 D e s a rro llo d e F o u rie r, 2 2 4 ; d e F o u rie r-B e s s e l, 190; d e L e g e n d re , 168 d e l a s s o lu c io n e s e n s e r ie d e T a y l o r , 17, 301 D e s c a r g a d e u n c o n d e n s a d o r , 98 D ia g r a m a s d e l p la n o f a s e , 2 9 7 , 385 D if e re n c ia le s f in ita s , 3 1 0 ; a p r o x im a c ió n d e d e r iv a d a s , 328 E c u a c ió n a s o c ia d a d e L e g e n d re , 170 a u x i l i a r , 66 b ia r m ó n ic a , 358 c o n f lu e n te h ip e r g e o m é tr ic a , 202 h ip e r g e o m é tr ic a d e W h itta k e r , 212 d c A ir y , 145, 196 d e B e rn o u lli, 41 d e B e sse l, 175; tr a n s f o r m a c io n e s , 195 d e C l a ir a u t, 55 d e D u ffin g , 393 d c E llio t, 157 d c J a c o b i, 30 d e L a p la c e , 2 3 8 ; e n c o o r d e n a d a s , c ilin d r ic a s . 2 4 7 ; e n c o o r d e n a d a s e s fé r ic a s , 249 d e o n d a , 28 9 ; s o lu c ió n e n c o o r d e n a d a s c ilin d ric a s , 2 4 4 ; e n c o o r d e n a d a s e s fé r ic a s , 248 d e P o is s o n , 238
E c u a c ió n d e o s c ila c ió n , 88 d c R ic c a ti, 59 d e S c h r ó d in g e r , 211 d e v a n d e r P o l, 388 d e W c b e r , 145 d c la te l e g r a f ía , 232 d e l i n s tr u m e n to p a r a s e rv o m e c a n ism o s , 101 d if e re n c ia l lin e a l, 13; n a tu r a le z a d e la s s o lu c io n e s , 64 n o lin e a l, 13, 2 3, 364 p a r a b ó lic a , 215 h ip e r g e o m é tr ic a , 146 in d ic ia l, 131 L a n c -E m d e n , 366 lin e a l d e E u le r , 86 d c p r im e r o r d e n , 3 8 ; a p lic a c io n e s , 43 r e d u c id a , 6 3 , 7 0 E c u a c io n e s e x a c ta s , 26 d c f o r m a h o m o g é n e a , 124 d e M a x w e ll, 253 d e la f ís ic a m a te m á tic a , 287 d if e re n c ia le s p a r d a l e s , 12, 2 1 4 ; s o lu c io n e s p a r tic u la re s , 2 1 5 ; s o l u c ió n g e n e r a l, 2 1 5 ; c o n s ta n te d e s e p a r a c ió n , 2 1 6 ; a p l i c a c i o n e s p r á c tic a s , 2 2 3 ; s o lu c ió n e n c o o r d e n a d a s c ilin d r ic a s y e s fé ric a s , 2 44 o r d in a r ia s , 1 2 d e p r im e r o r d e n , 31 e líp tic a s , 215 h ip e r b ó lic a s , 215 s im u ltá n e a s , 107; d c p r im e r o r d e n , 107; d e o r d e n s u p e rio r , 1 10; a p lic a c io n e s , 111; s o lu c ió n n u m é r ic a , 32(1 h o m o g é n e a s , 49 lin e a le s c o n c o e fic ie n te s c o n s ta n te s , 63 n o lin e a le s d e p r im e r o r d e n , 53 s u b s id ia r ia s , 267 E lá s tic a , 380 E lim in a c ió n d c c o n s ta n te s . 16 E r r o r d c c o r te , 3 0 2 F a c to r in te g r a n te , 29, 39 F o r m a c ió n d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s , 15
4 08
ÍNIMCK ALFABÉTICO
F ó r m u la d e c o r re c c ió n , 3 0 1 , 3 1 3 , 317 d e in te r p o la c ió n d e N c w to n - G r c g o r y , 312 d e N c u m a n n , 174 d e M u r p h y , 162 d e p r e d ic c ió n , 3 0 1 , 313, 316 d e r e c u r r e n c ia , p o lin o m io s d e L e g e n d r e , 163; f u n c io n e s d e B esse l, 184 d e R o d r ig u e s , I 39 d e la in te g r a l d e F o u r i e r , 272 F ó r m u l a s d e A d a m s -B a s h f o rth , 312 d e C h r is to f f c l p a ra la f u n c ió n d e L e g e n d re , 174 d e in v e r s ió n , 2 7 2 ; tr a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r , 2 7 3 , 2 7 4 ; tr a n s f o r m a d a s d e H a n k e l, 2 7 4 ; t r a n s f o r m a d a s f in ita s d e F o u r i e r , 2 8 7 ; t r a n s f o r m a d a s fin ita s d e H a n k e l, 287 d e r e c u r re n c ia d e G a u s s , 152 d e R u n g c - K u tta , 307 F u n c ió n b e t a , 138 b e ta in c o m p le ta , 156 c o n flu e n te h ip c r g e o m é tric a , 2 0 2 ; r e p r e s e n ta c ió n i n te g r a l, 203 c o m p le m e n ta r ia , 4 0 , 66 d e H e r n iile , 211 d e L e g e n d re d e p r im e ra c la s e , 159; d e s e g u n d a d a s e , 1 60; a s o c ia d a , 170 d e tr a n s f e r e n c ia , 103 e s c a lo n a d a u n i t a r ia . 104 g e n e r a tr iz , p o lin o m io s d e L e g e n d r e , 165; f u n c io n e s d e B e sse l, 186; p o lin o m io s d e L a g u e rr e , 2 0 7 ; p o lin o m io s d e H c r m ite , 208 h ip e r g e o m é lr ic a , 147; p r o p ie d a d e s , 149 L a n e -E m d e n , 303, 366 F u n c io n e s a s o c ia d a s d e L a g u e rr e , 170 b e r y b e i, 194 c e r o d e B e sse l, 180 d e A ir y , 196 d e B e sse l, d e p r im e r a c la s e , 176; d e o r d e n c e r o , 1 78; d e s e g u n d a c la s e , 1 8 0 ; c e r o s , 1 80; d e o r d e n e n te r o , 181; p r o p ie d a d e s , 184; f ó r m u la s d e r e c u r r e n c ia , 184; f u n c ió n g e n e r a tr iz , 186; in te g r a le s q u e c o n tie n e n , 188; m o d ifi c a d a s , 192; in te g ra l d e P o iss o n , 199 d e B essel e s fé ric a s , 177 m o d ific a d a s , 192 d e H a n k e l, 183; tr a n s f o r m a d a , 274; t r a n s f o r m a d a s d e d e r iv a d a s , 277 d e W h itta k e r, 2 1 2 e líp tic a s , 368
F u n c io n e s e líp tic a s d e J a c o b i, 368; m ó d u lo , 368; m ó d u lo a n g u la r , 368; g rá fic a s , 370; e n e c u a c io n e s in te g r a b le s , 371 e s p e c ia le s d o físic a m a te m á tic a , 158 g a m m a , 136 k e r y k c i, 195 p r o p ia s , 217 o r to g o n a le s , 168 G r a d o d e e c u a c ió n d if e r e n c ia l, 13 in ic ia c ió n d e s o lu c io n e s n u m é r ic a s , 301, 3 0 4 , 305, 306 I n te g r a l d e B e sse l, 187 d e L a p la c e , 173 d e P o is s o n p a r a f u n c io n e s d e B esse l, 199 p a r tic u la r , 4 0 , 6 6 , 7 3 , 7 4 i n te g r a le s q u e c o n tie n e n a lo s p o li n o m io s d e L e g e n d re , 167; a la s f u n c io n e s d e B e sse l, 188 I s o d in a s , 295 M é to d o d e E u le r, 305 d e M iln c , 316 d e p e r tu r b a c io n e s , 391 d e P ic a r d , 304 d e r e la ja m ie n to , 327; p a r a e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d in a r ia s , 32 8 , 339; r e s id u o s , 3 2 9 ; e s q u e m a , 3 2 9 ; s u g e re n c ia s p a r t i c u l a re s, 3 3 1 ; p a r a e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s p a r c ia le s , 3 4 2 ; r e c ta s d e s i m e tr ía , 348; e f e c to s lo c a le s, 3 5 1 ; f r o n t e r a s c u r v a d a s , 3 5 2 ; in te r p r e ta c ió n f ís ic a , 359 s im b ó lic o d e in te g r a l p a r tic u la r , 84 M é to d o s d ir e c to s d e s o lu c ió n , 2 1 , 23 g rá fic o s , s o lu c ió n p o r , 295 n u m é r ic o s , 295 M o d o s n o r m a le s d e o s c ila c ió n , 116 N iv e le s d e e n e r g ía , 258 O p e r a d o r d if e re n c ia l lin e a l, 64 O r d e n d e e c u a c io n e s d if e re n c ia le s ,
13 O s c ila c ió n d e r e la ja m ie n to , 388 f o r z a d a , 8 8 , 392 li b r e c o n a m o r tig u a m ie n to , 8 9 sin a m o r tig u a m ie n to , 88 O s c ila c io n e s , d e u n a c u e r d a te n s a , 2 2 5 ; d e u n a v ig a u n if o r m e , 228 n o lin e a le s a m o r tig u a d a s , 381 p e q u e ñ a s , 116 O s c ila d o r lin e a l, 2 57
ÍNDIC E ALFABÉTICO P o lin o m io s a s o c ia d o s d c L a g u e r r e , 2 07 d c G e g c n b a u c r , 205 d e H c r m itc , 2 0 8 ; f u n c ió n g e n e r a t r i z , 2 09 d e J a c o b i, 150, 2 03 d c L a g u e r r e , 2 0 6 ; f u n c ió n g e n e r a triz., 2 0 7 ; p o lin o m io s a s o c ia d o s , 207 de L e g e n d re , 15 9 ; p r o p ie d a d e s , 1 6 1 ; f ó r m u l a s d e r e c u r r e n c ia , 163; f u n c ió n g e n e r a tr iz , 165; i n t e g r a le s q u e l o s c o n tie n e n , 167; d e s a r r o llo s , 168 d c T e h e b i e h e f , 205 P r im itiv a c o m p le ta , 18 P r o b le m a d c a v a n c e , 322 P r o b le m a s d e a j u s te , 322 P u n t o s o r d i n a r i o s , 129 P u n to s s in g u la r e s , 1 2 9 ; r e g u la r e s , 130 R e g la d e S im p s o n , 3 15 R e la ja m ie n to e n b l o q u e , 3 3 4 ; e n p r o b le m a s d c d o s d im e n s io n e s , 346 e n d e f e c t o , 334 en e x c e s o , 3 34 p o r p u n t o s , 334 R e p r e s e n ta c ió n p o r u n a in te g r a l, f u n c i ó n h ip e r g e o m é tr ic a , 152; p o lin o m io s d e L e g e n d r e , 173; f u n c i o n e s d e B e s s e l, 18 8 ; f u n c ió n c o n f lu e n te h ip e r g e o m é tr ic a , 202 R e s o lu c ió n n u m é r ic a d e e c u a c io n e s d e p r i m e r o r d e n , 300; e c u a c io n e s s i m u l t á n e a s , 3 2 2 ; e c u a c io n e s d e s e g u n d o o r d e n , 3 2 2 , 323 R e s o r te s , 373 R e s p u e s ta a r m ó n ic a , ¡0 3 t r a n s i t o r ia d e l s e r v o m e c a n is m o , 1 0 2 u n ila r ia , 104 R e s p u e s ta s a lo s e je rc ic io s , 397 S e r ie s a s m ló tic a s B e sse l, 191
409
S e r v o m e c a n is m o s , ¡01 e s ta b le s , 1 0 2 S o lu c ió n g e n e r a l d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s , 14, 18, 215 S o lu c io n e s e n s e r ie , 128; p a r a v a lo r e s g r a n d e s d e v a r ia b le , 134 in d e p e n d ie n te s , 141 s in g u la r e s , 19 S u b a r m ó n ic o s , 393 T e o r e m a s d c e x is te n c ia , 18 T ra n s fo rm a d a d e F o u rie r p o r co sen o , 273 p o r s e n o , 273 d e L a p la c e , 84, 264; c o n e c u a c io n e s o r d in a r ia s , 2 6 7 , c o n e c u a c io n e s s im u ltá n e a s , 2 7 o T r a n s f o r m a d a s , 264; d e L a p la c e , 264; d e F o u rie r p o r s e n o , 273; de F o u rie r p o r co sen o , 2 7 3 , d e Ha n k c l, 2 7 4 ; f in ita s , 2 8 6 , f in ita s p o r s e n o , 2 8 6 ; fin ita s p o r c o s e n o , 2 8 7 ; f in ita s d e H a n k e l, 287 d e F o u r i e r , 2 7 3 ; d e d e iiv a d a s , 2 7 7 fin ita s , 2 8 6 ; s e n o , 2 8 6 ; c o s e n o , 287; H a n k e l, 2 8 7 ; a p lic a c io n e s , 288 in te g r a le s , 2 6 4 ; r e s u m e n d c f ó r m u la s , 2 7 8 I J lt r a a r m ó n i c o s , 393 U s o d e o p e r a d o r e s , 77 V a lo r e s p ro p io s , 217 V a r i a b le d e p e n d ie n te , n o a p a r e c e Ja,
122 in d e p e n d ie n te , n o a p a r e c e la , 122 V a r ia b le s s e p a r a b le s , 3 1 ; a p lic a c io n e s , 3 4 ; c u e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s p a r c ia le s , 214 V é rtic e s , 342 V ib r a c io n e s d e e s tr u c tu r a s , 93
p a r a f u n c io n e s d e W r o n s k i a n o , 141
dJJ Y (£ 99
dU Y E Da A
OJ) Y (£ 99
(UJ Y JE 90 Á¡
Y f£ 99 a
(UJ Y E 99 A
ÚJJ Y [£ 99
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QJJ Y E 99 A
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COMPENDIO M A T E M A T IC A S Y F IS IC A por D
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y O . G . S u rro N
A l escrib ir este lib ro , los autores tuvieron p re sen te las necesidades d e dos clases d e lectores: investigadores q u e re q u ie re n u n lib ro d e consulta e n el cual p u e d a n inform arse sobre algún teorem a o alguna fó rm u la, p ara en co n trar las condiciones en q u e se cu m p le y cóm o se aplica, y estudiantes n o g rad u ad o s o estu d ian tes técnicos, los cuales, ya sea com o ayuda p a ra la prep aració n d e los exám enes, o p o r o tras razones, necesitan u n su m ario d e lo q u e se conoce en las diversas ram as d e las M atem áticas y d e la F ísica. L a inform ación p ro p o rcio n ad a p o r esta o b ra llega u n poco m ás allá d e los grad o s superiores. N o se h an incluido p ru e b a s ; sin em b arg o , este lib ro es m ás q u e u n a m era colección d e fórm ulas, y a q u e se d an explicaciones hasta d o n d e el espacio Lo perm ite. C O M P E N D IO D E M A T E M A T IC A S Y F I S I C A n o contiene n in g ú n in ten to p a ra defin ir al n ú m ero , y e l lib ro no in clu y e n ad a so b re T o p o lo gía, p e ro d e n tro d e estas lim itaciones se h a m an ten id o u n nivel d e rig o r m u y alto. Se h an incluido condiciones suficientes p ara la validez d e los resu l tados. E n la sección so b re E lectricidad se citan fórm ulas usando ta n to el sistem a d e u n id ad es clá sicas com o el M . K . S . racionalizado, siguiendo estrictam en te, en este ú ltim o caso, las recom enda ciones d e prestigiosos organism os científicos.
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UNION TIPOGRAFICA EDITORIAL HISPANO AMERICANA B a r c e lo n a , B o g o lá 8 u e n o s t i r e s , C a ra c a s , G u t i& a s la , L a H a b a n o , U r n a , M o n t e v id e o , Q u ilo , R io d e J a n e ir o , S a n J o a t C o s ta R - . a S « n S a lv a d o r , S a n tia g o
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