Ecuaciones diferenciales en la vigas y puentes colgantes

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INDICE 1. Dedica Dedicator toria ia 2. Introd Introducc ucción ión 3. Aplicación de las ecuaciones dierenciales en puentes col!antes ". Aplicación de las ecuaciones dierenciales en #i!as 4.1.1. 4.1.1. Viga Viga con soport soporte e simp simple le 4.1.2. 4.1.2. Viga Viga con con soporte soporte inter intercon constru struido ido 4.1. 4.1.3. 3. Viga iga en en vol volad adiz izo o $. Conclusio Conclusiones nes %. &i'lio! &i'lio!ra ra(a (a

1.

DEDICAT!IA

"ueremos dedicarle este tra#a$o a DI% nos da la vida & 'ortaleza para terminar este pro&ecto de investigaci(n) por *a#ernos permitido llegar *asta este punto & *a#ernos dado salud & darnos lo necesario para seguir adelante d+a a d+a para lograr nuestros o#$etivos) adem,s de su in-n in-nit ita a #ond #ondad ad & amor amor..  a nues nuestr tros os padr padres es por por esta estarr a*+  a*+  cuando m,s los necesitamos.

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2.

INT!D/CCIN

0a '+sica trata de la investigaci(n de las le&es ue go#iernan el comportamiento del universo '+sico. or universo '+sico entendemos la totalidad de o#$etos a nuestro alrededor) no s(lo las cosas ue o#servamos sino tam#in las ue no o#servamos) tales como los ,tomos & molculas. El estudio del movimiento de los o#$etos en nuestro universo es una rama de la mec,nica llamada din,mica 'ormulada mediante las le&es del movimiento de Neton. ara los o#$etos ue se mueven mu& r,pido) cerca de la velocidad de la luz) no podemos usar las le&es de Neton. En su lugar de#emos usar una versi(n revisada de estas le&es) desarrolladas por Einstein & conocidas como mec,nica relativista) o mec,nica de la relatividad. ara o#$etos de dimensiones at(micas las le&es de Neton tampoco son v,lidas. De *ec*o) para o#tener descripciones precisas del movimiento de o#$etos de dimensiones at(micas) necesitamos esta#lecer un con$unto de le&es denominadas mec,nica cu,ntica. 0a mec,nica cu,ntica & la relativista son mu& complicadas) no siendo o#$eto de estudio en este tra#a$o.

2

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EC/ACIN DI5E!ENCIA0 EN E0 CA60E CN7ANTE

3.

Consideremos un ca#le o una cuerda de dos puntos A & 6) no necesariamente al mismo nivel. %upongamos ue el ca#le es 8e9i#le de modo ue de#ido a su carga tomo una 'orma como lo denota en la -gura. %iendo C la posici(n m,s #a$a del ca#le) acomodamos el plano 9& donde inter$ecci(n en el punto c del e$e &.

Considere auella parte del ca#le entre el punto m,s #a$o & cualuier punto  en el ca#le con coordenadas :9) &;. Esta parte estar, en euili#rio de#ido a la tensi(n T en  :seg:9;) la cual asumimos ue act
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:l+neas punteadas en la -gura;) la componente *orizontal con magnitud  Tcos?) & la componente vertical con magnitud Tsen?. 0as 'uerzas en la direcci(n 9 son = *acia la izuierda &

Tcos (∅ )  *acia la

derec*a) mientras ue las 'uerzas en la direcci(n & son > *acia a#a$o & Tsen ( ∅ )

*acia arri#a. De donde) *aciendo euili#rio de acciones o

'uerzas en las direcciones de los e$es tenemos@ Tsen ( ∅ )= w

Tcos (∅ ) = H 

Dividiendo) & usando el *ec*o de ue la tangente  p

dy dx

pendiente en

) tenemos@

dy W  = dx  H 

En esta ecuaci(n) = es una constante) puesto ue es la tensi(n en el punto m,s #a$o) pero > puede depender de 9. Derivando esta
d  y 1  dW  = . 2 d  x W  dx

A*ora

dW  dx representa el incremento en > por unidad de incremento en

9 esto es) la carga por unidad de distancia en la direcci(n *orizontal. 0a ecuaci(n di'erencial anterior es 'undamental.

".

EC/ACINE% DEI5E!ENCIA0E% EN 0A% VI7A% Ecuaci(n di'erencial de la curva el,stica & 8ec*a de 8e9i(n

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%e muestra aspecto general ue presenta una viga *orizontal al encorvarse #a$o las cargas ue soporta) las cuales se suponen verticales. Imaginemos la viga descompuesta en delgadas l,minas *orizontales. De#ido al encorvamiento) las laminas situadas en la regi(n superior de la viga se encuentran comprimidas) en tanto ue las situadas en la regi(n in'erior est,n estiradas. El elemento de viga e9perimenta una 8e9i(n tal ue su -#ra neutra toma 'orma de una arco de circun'erencia de radio !. otra -#ra situada a una distancia por encima de la neutra tendr, un radio :!B&; entonces la deformación longitudinal unitaria se de-ne como@ (longitud de fbra contraída)-(longitud de fbra de la neutra)/(longitud de la fbra neutra): e=

( R − y ) dθ − Rdθ − y =  Rdθ

Donde

 R

dθ es el angulo si#tendido por el elmento de viga de longitud

dx  en el centro de curvatura C.



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or la le& de e=

*oo@

−O  E

or 'ormula de 8e9i(n@

O=

 My  I 

ero sa#emos ue@

e=

− y  R

→ R=

− y e

!eemplazamos entonces uedar+a@

e=

1

 R

− My

 IE → R= perola curvatura se define como lainversa delradio  IE  M 

=

 M   seriami curvatura  IE



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or la relaci(n de curvatura tenemos@ 2

d  y 2 d  x  dy 1 = haciendounarelacion ue = 0 2 3  R dx ( 1+( dy ) )2 dx

!eemplazando los valores dados@ 2

 M  d  y =  M = momento I =inercia E=modulo de youn!  IE d 2 x

".1.

)i!a con soporte si*ple

%upongamos ue tenemos una viga *orizontal de

2l

 de longitud ue

est, apo&ada so#re los e9tremos. %e trata de encontrar la ecuaci(n de la curva el,stica  y ( x )  y sudeflecionmaximoo flecha de flexion y max  cuando@ 1. 0a viga est, sometida a su propio peso por unidad de longitud w =constante @  EIy ( x )=

F

wl x 6

3

−

wx 24

4

3

−

w l  x 3

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 y max =

−5 w l

4

24 EI 

2. 0a viga est, sometida a su propio peso a una carga  localizada en el centro@  EIy ( x )=

−5 w l

4

(

wl x 6

3

−

wx

4

24

3

Wl  y max = − 24 EI  6 EI 

".2.

G

)i!a e*potrada

3

−

w l  x 3

)

+

W  12

3

(3 l x −( l − x ) −6 x l + l ) 2

2

3

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Viga con soporte interconstruido sometida a su propio peso & a una carga concentrada en  x =l / 2

. %upongamos ue

tenemos

una

*orizontal

viga l

de

de

longitud esta empotrada en sus e9tremos .%e trata de encontrar la ecuaci(n de la curva el,stica  y ( x ) y sudeflecion maximo o flecha de flexion y max

 cuando@

1. 0a viga est, sometida a su propio peso por unidad de longitud w =constante 2

wx  EIy ( x )= (2 lx −l − x ) 2

2

24

 y max = y

()  l

2

=  − w l

4

384 EI 

2. 0a viga est, sometida a su propio peso a una carga de > localizada en centro@

 EIy ( x )=

{

wx 24

wx 24

2

H

W  ( 4 x −3 l x 3

( 2 lx −l − x ) + 2

2

( 2 lx−l − x ) + 2

( )=  l

2

2

2

48

)

" 0 # x# l / 2

W  ( l −6 x l + 9 l x − 4 x 3

 y max = y

".3.

2

4

−w l + 2 W l

2

48

3

384 EI 

)i!as en #oladi+o

2

3

)

"l/2 # x # l

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/na

viga de

longitud del est, apo&ada en su e9tremo izuierdo & li#re en el derec*o. =alle la ecuaci(n de su curva el,stica & su de8e9i(n m,9ima o echa de exión . 1. 0a viga est, sometida a su propio peso por unidad de longitud :carga; w =constante  EIy ( x )=

 y max =

−w l

w

3

24

2

2

4

( 4 l x −6 l  x − x )

4

8 EI 

2. 0a viga est, sometida a su propio peso & a una carga > localizada en el e9tremo li#re@  EIy ( x )=

4

w 24

3

 w l wl  y max =−(  +  ) 8 EI  8 EI 

1

 x

3

( 4 l x −6 l  x − x ) + W ( − 3

2

2

4

6

lx 2

2

)

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$. • • • • • •

En lo cotidiano se presenta con 'recuencia. 0as aplicaciones motivan el aprendiza$e de las matem,ticas C,lculo de punto m,9imo de de8e9i(n Aplicaci(n en diseJo de estructuras /#icaci(n de puntos estratgicos donde colocar aros ptimizaci(n de materiales

%. •

CNC0/CINE%

6I60I7!A5IA

Novi9ar. :2H)1;.rover#ia.!etrieved)Noviem#re12)213'rom*ttp@KK

•

.prover#ia.netKcitasautores.asp D5@ Ecuaciones di'erenciales ordinarias & sus aplicaciones a

•

la Ingenier+a Civil D5@ Novem#er213L 1 B Aplicaci(n de las Ecuaciones Di'erenciales

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•

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D5@ Tra#a$o Ec Di'erenciales en Ingenieria