MATEMATICAS AVANZADA. ECUACIÓN DE LA ONDA DE LA MENBRANA. INTEGRANTES:
DIEGO DOMINGUEZ MILTON TEPAN ALFREDO ORTEGA JAVIER QUINTUÑA
INTRODUCCIÓN. La ecuación de la "membrana vibrante", esto es, la ecuación de ondas en 2D, gobierna un gran numero de problemas en la física y la ingeniería. Al igual que en la deducción de la ecuación que rige el movimiento vibratorio de una cuerda elástica flexible tensada cuando se la somete a unas determinadas condiciones iniciales, es preciso, introducir una serie de hipótesis en el modelo. Así, se pretende obtener la ecuación diferencial que permite obtener los desplazamientos de una membrana vibrando con las siguientes condiciones.
CONDICIONES. La membrana es Flexible y elástica, es decir, que la membrana no puede resistir momentos lectores y que la tensión en la membrana es tangente en cada punto de la superficie durante la vibración. No se producen elongaciones en los elementos de membrana durante la vibración. El peso de la membrana es muy pequeño en comparación con las tensiones a las que esta sometida. La dimensión transversal de la membrana (espesor) es mucho menor que sus dimensiones longitudinales.
La Flecha máxima producida durante la vibración es muy pequeña en comparación con las dimensiones longitudinales de la membrana (movimiento en pequeñas vibraciones). La pendiente de la tensión en cada punto de la membrana durante la vibración es muy pequeño. Unicamente se consideran movimientos en la dirección transversal.
DEDUCCIÓN DE LA ECUACION. Si consideramos una membrana de densidad superficial σ(𝑥, 𝑦 ) sobre la que actúan fuerzas externas por unidad de masa b(𝑥, 𝑦, 𝑡 ) los desplazamientos u(𝑥, 𝑦, 𝑡 ) de cada punto de la membrana x, y en c ada instante de tiempo t se pueden estudiar a partir del análisis tensional de una porción de membrana de dimensiones Δ𝑥 Δ𝑦 tal como se indica en el esquema adjunto, donde𝑇𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑡 y 𝑇𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑡 son las tensiones por unidad de longitud en las direcciones x y respectivamente en un instante de tiempo t. Asi, en un punto 𝑥 , 𝑦 de la membrana, el balance de fuerzas resulta:
𝜕 2 𝑢 𝑥 , 𝑦, 𝑡 𝜎 𝑥 , 𝑦 ∆𝑥∆𝑦 = 𝑇𝑥 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑡 ∆𝑦𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑡 − 𝑇𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑡 ∆𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜕𝑡 2 ∝ 𝑥, 𝑦, 𝑡 + 𝑇𝑦 𝑥 , 𝑦 + ∆𝑦, 𝑡 ∆𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥 , 𝑦 + ∆𝑦, 𝑡 − 𝑇𝑦 𝑥 , 𝑦, 𝑡 ∆𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥 , 𝑦, 𝑡 + 𝑏 𝑥 , 𝑦, 𝑡 𝜎 𝑥 , 𝑦 ∆𝑥∆𝑦; 𝑥 < 𝑥 < 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 < 𝑦 < 𝑦 + ∆𝑦
En el límite ∆𝑥 → 0 𝑦 ∆𝑦 → 0 es expresada también: 𝜕2 𝑢 𝜎 2 𝜕𝑡
=
𝜕 𝜕𝑥
𝑇𝑥 𝑠𝑒𝑛 ∝ +
𝜕 𝜕𝑦
𝑇𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑏𝜎;
∀𝑥,𝑦
En esta identidad se ha omitido la dependencia en (x,y,t) Sabemos de que el movimiento tiene lugar en pequeñas vibraciones 𝜕𝑢 𝜕𝑢 (en consecuencia 𝑠𝑒𝑛 ∝≈ 𝑡𝑎𝑛 ∝= y 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜕𝑥
𝜕𝑦
y que la membrana es isotropa y homogénea, esto es, la tensiones por unidad de longitud 𝑇𝑥 y 𝑇𝑦 son iguales y a su vez iguales a una constante(la tensión por unidad de longitud inicial de la membrana 𝑇0 ) se obtiene la ecuación
𝜕 2 𝑢 𝑇0 = ∆𝑢 + 𝑏; 𝜕𝑡 2 𝜎 Donde 𝑐 =
𝑇0 𝜎
∀𝑥,𝑦
es la velocidad de propagación de las ondas en la membrana.
Finalmente si las aceleraciones debidas a fuerzas externas por unidad de 𝜕2 𝑢 𝜕𝑡 2
masa son únicamente la gravedad, se obtiene = 𝑐 2 ∆𝑢 − 𝑔; ∀𝑥,𝑦 Y si no se considera el peso de la membrana la ecuación se reduce a la E. D. Homogénea 𝜕2𝑢 = 𝑐 2 ∆𝑢; ∀𝑥,𝑦 2 𝜕𝑡
Vibración de una membrana rectangular La vibración de una membrana rectangular queda descrita por la ecuación de ondas
𝜕 2𝑢 𝑇 𝛥𝑢 = 𝑝 𝜕𝑡 2
donde T es la tensión y rho la densidad de la membrana, junto con las cuatro condiciones de contorno correspondientes a los cuatro lados del rectángulo.
Resolviendo esta ecuación separando variables y aplicando las condiciones de contorno se obtienen las soluciones básicas siguientes,
𝑆𝑖𝑛
𝑛𝜋 𝑥 sin 𝑎
𝑚𝜋 𝑦 cos 𝑡 𝑏
𝑇𝜋 𝑝
𝑛2 𝑚2 + 𝑎2 𝑏2
para n y m naturales, y sus frecuencias angulares correspondientes, que son los coeficientes que multiplican a t. Para a=1 y b=2 la representación de las primeras de estas funciones es la siguiente (se ha mantenido la relación de frecuencias para mayor fidelidad):
Ejemplos de Vibracion de membrana rectangular
MEMBRANA CIRCULAR. A considerar : 1) La masa de la membrana por unidad de área es constante es decir es una membrana homogénea.
La membrana es perfectamente delgada y tan flexible que no ofrece resistencia alguna a la flexión.
2)La membrana se tensa y a continuación se deja fija a lo largo de toda su frontera en el plano xy. La tensión por unidad de longitud T provocada al estirar la membrana es la misma en todos los puntos y en todas las direcciones y no cambia durante el movimiento.
3) La deflexión u(x,y,t) de la membrana durante el movimiento es pequeña comparada con el tamaño de esta y todos los ángulos de inclinación son pequeños..
3) Para obtener una ecuación que describa lo anterior se considera un diferencial de membrana y una fuerza aplicada sobre esta y se muestra su comportamiento.
Con el análisis de una membrana con bordes fijos y una velocidad inicial podemos determinar su posición por r,θ vemos que vibra tanto vertical como hotizontalmente (perpendicular) del cual tenemos un desplazamiento en t como u(r,θ,t). La siguiente es una ecuación de onda en función del desplazamiento en todas su variables en nuestro caso el movimiento es simétrico por lo que θ es constante y de este se obtiene lo siguiente:
Considerando a (u) como función solución y que las vibraciones son simétricas obtenemos una solución en función del radio y del tiempo como:
Estas soluciones no dependen del ángulo ya que se considera simétricos (cte) Con condiciones iniciales descritas como:
Para encontrar soluciones de la ecuacion de onda se utiliza el metodo del “Producto” Que se expresa de la siguiente manera:
Este metodo nos dice que tenemos que derivar nuestra solución las veces del grado de la ecuacion, y estas ser remplazadas en la ecuación de onda orignal, luego de esto para poder simplificar la ecuación multiplicamos la ecuación por
Al realizar las operaciones respectivas nos genera una expresion que tiene la forma:
La ecuación anterior nos genera dos nuevas soluciones una en función del tiempo y otra en función de r respectivamente, estas ecuaciones tienen la forma siguiente:
Considaramos la ecuación que tiene como variable la varible independiente r y establecemos que:
Organizando tenemos:
Derivando y luego Remplazando en la solución con función W tenemos:
Obtenemos
Remplazando Obtenemos
Obteniendo como resultado una ecuación solución de Bessel defínida como:
De la ecuacion solucion en el modelado Yo tiende al infinito y de este se establece que C2=0 por lo que tenemos una nueva ecuacion definida por:
De este se puede obtener varias soluciones que se denotan por:
Se puede generalizar esta solucion y expresarla como una serie, para esta transformacion consideramos
Despejamos y luego remplazamos en la ecuacion solucion de Bessel obtenemos respectivamente:
Haciendo que:
Obtenemos una ecuacion general descrita por:
Una solución general se obtiene remplazando la ecuación anterior en la solución de general de Bessel obteniendo así un resultado general para una serie infinita de soluciones tomando en cuenta no salirnos de nuestro dominio.
El elemento m es el numero de solución, otra definición y no excluyente de la anterior se denomina m-esimo modo normal estos son representados graficamente como sigue:
Para m=1
Para m=2
Para poder incluir todas las soluciones de nuestro análisis se establece una suma, esta puede hacerse con una serie de Fourier definida como:
Utilizando alos terminos correspondientes a sus argumentos respectivos se tiene que:
Con t=0 obtenemos que:
Donde las constantes am son las constantes de Fourier-Bessel.
Ejercicio: Con una ecuación diferencial que representa a la membrana expresada como:
Si a esta ecuación se la aplican condiciones iníciales esta puede entregar un grafico de una membrana, siendo este graficado de manera adecuada: Condiciones Iníciales:
Por medio del método del producto este se puede expresar como
Resolviendo, derivando y remplazando se pueden obtener soluciones del tipo:
Si consideramos que:
El codigo presentado anteriormente requiere que se tenga instalado la librería Pde Tool Box y un codec Para reproduccion .Avi
GRACIAS.
