República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior I.U.P. Santiago Mariño Extensión Maturín Ingeniería Eléctrica 43 Análisis de Sistemas de Potencia I
ECUACIÓN DE CAMBIO PARA UN CONDUCTOR EN UNA LÍNEA TRASMISIÓN
Profesor: José Salazar.
Alumnos: Figuera Johan. C.I: 15.034.985 Russian Hendris C.I: 14.089.982
Maturín, Julio de 2011
Introducción
Los conductores se deben tensar de modo que, sin importar la condición climática imperante, su tensión nunca supere la máxima admisible. Intuitivamente se puede establecer que si la temperatura es baja, la flecha es reducida y la tensión mecánica elevada y en cambio si la temperatura es alta el cable se afloja y por lo tanto la flecha es elevada. Las condiciones climáticas de la zona que atraviesa la línea, que se fijan para el proyecto, se denominan estados de carga y se emplea el conjunto de las más desfavorables desfavorables a criterio del proyectista experimentado en los cálculos deterministicos deterministicos .
EC AC ION DE CA BIO DE EST ADO ( ECE)
¡
Tendido el conductor y en condiciones de servicio normal, éste se ve sometido
a los efectos de cambios en la presión de viento ó el peso adicional de costra de hielo según donde se instale la línea. Estas circunstancias hacen que el cable no mantenga est tica su ecuación, y por tanto su parámetro es cambiante. Es posible deducir una ecuación que teniendo como dato un tiro inicial (o esfuerzo inicial) en determinadas condiciones, calcular un tiro final en otras condiciones. Esta ecuación se denomina ECUACION DE CAMBIO DE ES TADO (ECE) del conductor. EC ACION DE CA BIO DE EST ADO PA A VANOS A NIVEL
¡
¢
La variación de longitud del conductor por cambio de condiciones, es igual a la variación de longitud debido al cambio de temperatura (DILATACION) más el debido al efecto de HOOK; es decir: DL = DDilatación + DTiro................................................................. (1) ó también
que es la ECE del cable conductor donde: L2 - L1: variación total de longitud del cable conduct or. ( )a 2 1 aq q : va riación de longitud debido al cambio de temperatura al pasar de é1 a é2 ºC y à es el coeficiente de dilatación térmica del cable (/º C ); en un vano de "a" metros.
CARGAS ESPECÍFICAS
Un c ndu c £
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es
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s
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e do no solo a laacc n del peso propio, como hemos ¤
§
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consid erado has a el momento, sino también a la presión del viento qu e pueda e istir ¤
©
y, en ciertas zonas, al p eso del hielo.
gc = carga esp ec ica d ebida al p eso propio
gh
= carga espec i ca debida al hi elo
gv = carga espec ica debida al viento
Por lo tanto el valor de la carga espec i ca será:
Es decir que la variación de las condicion es climáticas modifica la carga a la cual
está som etido el conductor.
Longitud del Conductor (Ecuaciones básicas)
En general:
o También es posible decir que:
También se puede definir:
Ecuación de la Catenaria:
Ecuación De La Parábola:
Ecuación
de cambio de estado
Analizando la influencia de la temperatura y de la carga específica, se tiene: Estado
I.
En el estado I se ha previsto una temperatura t1 y un viento v1, con lo que determina una carga específica g1, una longitud L1 y soporta una tensión p1.
Estado
II
El mismo conductor es el estado II soporta cargas específicas y tensiones distintas.
Por lo tanto la diferencia de longitud
L será para t 2 > t1
Analizando el alargamiento del conductor desde el punto de vista de la temperatura por su coeficiente de dilatación térmica y del viento por el coeficiente de elasticidad, cuando se pasa de estado I al II, se tiene: 1. Por aumento de la temperatura, 1 2 > 11
Siendo
el coeficiente de dilatación térmica
2. Como en el estado II hay viento y en el estado I no hay la sobrecarga externa aumenta la longitud F = coeficiente de elasticidad
E = módulo elástico o de Young. F = 1/E
Como en el conductor se alarga debido a ambos efectos, se deben sumar -----ambas ( y ).
Igualando
y
Siendo aproximadamente L 1 $ a, se puede simplificar la expresión.
a
reduciendo
Como en la ecuación de cambio de estado interesa obtener la tensión mecánica de un estado en función del otro, debe tratarse de obtener p función de p 1. Dividiendo la ec. 9 por F y multiplicando por
2
en
, se tiene:
agrupando
que es la denominada de forma.
ECUACION
DE
CAMBIO
DE ESTADO, ecuación cúbica
Esta ecuación, emite, conocida la tensión mecánica en un estado dado, calcular la tensión en cualquier otro estado conociendo el material, las condiciones climáticas y las sobrecargas. Además permite deducir muchas condiciones del conductor, el problema es determinar el estado básico, o sea el más desfavorable, al cual se le asigna
Padm, para ello se analiza el comportamiento de la ecuación de cambio de estado para distintos vanos.
1. Vanos pequeños Para efectuar este análisis hacemos tender a cero el vano en la ecuación.
Así el segundo término es nulo y queda.
dividiendo por
Multiplicando ambos miembros por -1 , se tiene
Se puede apreciar en esta ecuación que no interviene la carga específica (g), luego la influencia predominante es la temperatura (t). Es decir que para vanos pequeños, teniendo a cero, las variaciones de la tensión mecánica en el conductor estarán dadas por la variación de la temperatura. El estado mas desfavorable será el de menor temperatura, pues siendo en este caso t2 > t1, resulta 2.
Vanos grandes
Para efectuar este análisis hacemos tender a infinitivo el vano en la ecuación de estado
Dividiendo ambos miembros de la ecuación por a 2, queda:
con a
resulta como
simplificando y reagrupando
Se aprecia es esta ecuación que no interviene la temperatura ( t ), luego la influencia predominante es la carga específica. Es decir que para vanos grandes, teniendo a infinito, las variaciones de tensión mecánica en el conductor dependen de la carga específica. El estado más desfavorable será el de mayor carga. En este caso "el estado 2" 3.
Vano crítico
Del análisis de los vanos pequeños y grandes se concluye que: existirá un vano intermedio en el cual ambos estados serán igualmente desfavorables. A dicho vano se lo denomina vano crítico. También es posible definir el vano crítico como aquel vano que frente a una disminución de la tensión mecánica por variación de la temperatura la misma se compensa por el aumento de tensión debida a la varia ción de la carga. Por lo tanto p 1 = p2 = padm cte para ac = vano crítico; recordando la ecuación de estado y reemplazando, se tiene:
simplificando
sacando factor común ac 2 / 24 F y reagrupando
de donde el vano crítico será
(11) En la práctica generalmente, se toman más de los tres estados básicos considerados inicialmente. por lo que a menudo se presenta la situación que para dos condiciones climáticas se establezcan distintos valores de tensión mecánica admisible, por ejemplo para tener en cue nta el efecto de las vibraciones, en tal caso:
Por lo tanto, a partir de la ec.9
luego
o también
de donde
u ordenado de otro modo
4 Estado
Básico
Se ha visto que entre dos condiciones climáticas, existe un vano crítico que afecte los vanos en que prevalece una de las condiciones climáticas, la que produce la condición más desfavorable en el conductor, es decir provoca la máxima tensión mecánica. A esta condición climática la denominamos estado básico. En general, entre dos condiciones climática s existirá un vano crítico, luego para lo vanos menores al crítico prevalecerá una de las condiciones climáticas (estado básico) y para vanos mayores al crítico la otra condición climática será el estado básico. Sin embargo en la práctica son dadas varias condiciones climáticas según las zonas que atraviesa la línea por lo tanto entre cada par de condiciones climáticas se determinan los correspondientes vanos críticos y se deducen los respectivos estados básicos. De este conjunto de estado básico se debe establecer él estado básico correspondiente a la línea. 5.
Metodología de cálculos
Analizando la ecuación 12 de vano crítico surge la posibilidad de encontrar varios resultados a saber: reales, imaginarios e infinitos. Una amplia discusión sobre este tema puede verse en el artículo "Vano Crítico", de los Ing. Tadeo Maciejewski y Adam Ostromecki, aparecido en la Revista Electrotecnia, Enero - Febrero de 1966. A continuación se resume la información que surge de analizar dicha ecuación.
VANO CRITICO
COMPARACION
ESTADO BASICO
Para todo vano menor que el crítico
el de menor g/p
Real
Para todo vano mayor que el crítico
el de mayor g/p
Imaginario
Todo vano
el de mayor g/p el estado 1 el estado 2
cualquiera de los dos el de menor temperatura
VANO MEDIO DE
CALCULO
O DE REGULACION O IDEAL O FICTICIO
Tal como lo definen las normas, los soportes de retención en una líneas aéreas, separan mecánicamente la línea en un determinado punto. Es decir que un tramo entre dos torres de retención puede ser analizado independientemente del resto de la línea. Como en un tramo de línea constituido por soportes de suspensión, limitado por las retenciones antes mencionadas, las cadenas de suspensión no pueden absorber las diferencias de tensió n debidas a: distintas longitudes de vanos, desniveles, variaciones de temperaturas, etc. se admite que las tensiones de los cables son iguales en todos los vanos que las tensiones de los cables son iguales en todas los vanos y que varían como lo haría el de un vano teórico que se llama vano medio de cálculo o de regulación o ideal o ficticio. Si el cálculo de tensiones y flechas se hiciese de modo independiente para cada vano componente del tramo diferente en cada vano. Como los cables cuelgan de cadenas de suspensión, esa regulación se notaría por inclinación de la cadena de suspensión en sentido longitudinal a la línea. Siendo que las cadenas de aisladores pueden inclinarse por efecto del viento, se supone que las modificaciones de tensión a causa de la s obrecarga por viento son iguales para todos los tramos a causa de la sobrecarga por viento son iguales para todos los tramos de tendido. Para todos los otros estados de carga se supone que las cadenas permanecen verticales y por lo tanto la tensión mecánica es constante a lo largo de un tramo entre retenciones de que la variación de longitud del conductor responde a la ecuación de cambio de estado, desperaciandose la diferencia entre la longitud del vano y la del cable. Partiendo de dicha ecuación:
Siendo que, en general, los vanos son variables a lo largo del cantón es posible expresar la ecuación para cada vano.
y sumando se tiene.
dividiendo por
denominado a como a2, se encuentra la ecuación de cambio de estado donde el vano real es reemplazado por un vano ficticio, al igual a:
que no tiene ninguna relación con un vano promedio que se podría obtener como la media aritmética de los diferentes vanos del cantón. Podemos decir que se trata de un vano representativo de los componentes del tramo entre retenciones y que sirve para calcular la tensión mecánica del mismo. Con dicho valor de tensión se determinan las flechas para cada vano del cantón.
