Ecuaci_de La Fisica_ Matema

Artamónova Mosquera Villa

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Artamónova Mosquera Villa

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ISBN: 978 – 958 – 8801 – 48 – 3

© Derechos reservados Reproducido y editado por ELIZCOM www. Elizcom.com [email protected] Armenia, Quindío Colombia Diciembre 2016

Ecuaciones de la Física Matemática Julio César Mosquera M., PhD Dumar Antonio Villa, MSc Irina Artamónova, PhD 23 de mayo de 2017

2

Índice general I

Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden

9

1. Generalidades 11 1.1. De…niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Problemas con condiciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 17 2.1. EDP lineales - homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. EDP cuasi-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo 3.1. Deducción de las principales EDPs . . . . . . 3.1.1. Fenómenos de conducción . . . . . . . 3.1.2. Fenómenos oscilatorios . . . . . . . . . 3.1.3. Hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Procesos ondulatorios . . . . . . . . . . 3.1.5. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . .

II

orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

EDPs de segundo orden.

4. Clasi…cación de las EDPs de segundo 4.1. Clasi…cación en un punto . . . . . . . 4.1.1. Forma canónica. . . . . . . . . 4.1.2. Conclusiones al parágrafo . . 4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . .

57 orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5. Ecuación diferencial de tipo hiperbólico 5.1. Fórmula de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Interpretación Física del resultado. . . . . . . . . . 5.1.2. Teorema sobre la existencia de una única solución al problema Cauchy para EDPs. . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Propiedades de la solución de la ecuación de oscilaciones en una recta in…nita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Solución de la ecuación de onda no homogénea. . . . . . . . . . 5.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Método de separación de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÍNDICE GENERAL

41 41 41 43 46 48 53 55

59 59 63 70 73 79 79 81 82 85 87 89 90 90 92 3

5.3.3. Caso tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Problema de valores propios de Sturm - Liouville . . . 5.4.1. Propiedades de las funciones propias . . . . . . 5.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Generalización del principio de superposición. . . . . . 5.5.1. Interpretación física de la solución generalizada. 5.5.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

94 99 100 100 105 106 110 113

6. Ecuación diferencial de tipo parabólico 117 6.1. Método de las transformaciones integrales . . . . . . . . . . . . 118 6.1.1. Transformada Integral de Fourier. . . . . . . . . . . 120 6.1.2. Solución del problema de Cauchy para la ecuación de conductividad térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.3. Fórmula de Poisson para conductividad térmica . . . . . 124 6.1.4. Generalización del Principio de superposición. . . . . . . 126 6.2. Solución fundamental de la ecuación de conductividad térmica. Interpretación física. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.1. Solución de la ecuación de conductividad térmica en un segmento rectilíneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2.2. Principio del valor máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.3. Teorema de unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . 140 6.2.4. Teorema sobre la estabilidad de la solución del primer problema de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.2.5. Teorema de la unicidad de la solución en una recta in…nita143 6.2.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7. Ecuación diferencial de tipo elíptico 7.1. Formulación de problemas de contorno . . . . . . . . . 7.2. Solución general a la ecuación de Laplace . . . . . . . . 7.2.1. Algunas propiedades de las funciones armónicas. 7.2.2. Principio de los valores extremos. . . . . . . . . 7.2.3. Problema de Diriclet para un círculo . . . . . . 7.2.4. Teorema de unicidad de la solución. . . . . . . . 7.2.5. Teorema de estabilidad de la solución. . . . . . 7.2.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Formalismo de las funciones de Green . . . . . . . . . . 7.3.1. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . .

III

Funciones especiales

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

147 . 147 . 150 . 151 . 154 . 156 . 158 . 159 . 160 . 161 . 166 . 172

175

8. Funciones esféricas y CILÍNDRICAS 177 8.1. Método de series para la solución de EDO . . . . . . . . . . . . 177 4

ÍNDICE GENERAL

8.1.1. Método general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2. Expansión en la vecindad de un punto singular regular 8.2. Polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Polinomio de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3. Polinomio asociado de Legendre . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Funciones Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5. Oscilador lineal cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 178 180 . 185 . 188 . 189 . 195 . 201 . 209 . 215

A. Apéndice 219 A.1. Transformada integral de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 A.1.1. Propiedaes de la transformada Laplace . . . . . . . . . . 221 A.2. Tabla de transformadas Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

ÍNDICE GENERAL

5

6

ÍNDICE GENERAL

PREFACIO Lo mejor que puedes darle a tu enemigo es el perdón; a un oponente, la tolerancia; a un amigo, tu corazón; a tu hijo, un buen ejemplo; a un padre, tu respeto; a tu madre, una conducta que le haga estar orgullosa de ti; a ti mismo, respeto; y a todos los demás, tu caridad. Benjamin Franklin El intenso y profundo desarrollo tecnológico del mundo moderno, ha enfrentado a estudiantes tanto de física como de ingeniería, a una preparación matemática más extensa en las instituciones cientí…cas y tecnológicas. Para cubrir parte de las demandas matemáticas actuales, examinaremos un número de problemas físicos que requieren soluciones de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de segundo orden, prestando atención a la teoría involucrada en tales ecuaciones. Estas notas son el resultado de varios cursos dictados sobre EDP’s, a estudiantes del programa de física en la universidad del Quindío. Fueron escritas pensando en que sean útiles, como un primer curso para estudiantes de postgrado, interesados en física matemática. No es nuestra intención presentar la materia dentro del análisis matemático. El objetivo principal es discutir los conceptos y métodos esenciales en el contexto de sus aplicaciones, con un nivel de rigor razonable, con la intención de proporcionar una introducción a la enorme cantidad de tópicos en la literatura matemática sobre la materia. En su desarrollo nos enfocaremos en los tres tipos de EDP’s más importantes en física clásica: La ecuación de Laplace, la ecuación de calor y la ecuación de onda. La intención es desarrollar las técnicas más usuales en la solución de dichas ecuaciones. Como un resultado, se espera que el estudiante pueda comprender su signi…cado físico y los límites de sus aplicaciones. El material está dividido en tres partes: la primera dedicada a las generalidades y las EDP’s de primer orden. La segunda parte completamente dedicada a las EDP’s de segundo orden y una tercera parte dedicada a algunas funciones especiales que pueden ser construidas por el método de series. De esta forma, todo el material se presenta en una introducción y siete capítulos más. La introducción presenta los conceptos básicos en la formulación de problemas con restricciones especiales. El siguiente capítulo discute EDP’s de primer orden, el problema de Cauchy y algunas de sus interpretaciones geométricas. En el capítulo tres se deducen las principales EDP’s de segundo orden, dentro del marco de los fenómenos que modelan: fenómenos de conducción y ondulatorios e hidrodinámica. El cuarto capítulo presenta una clasi…cación de las EDP’s en forma canónica: hiperbólicas, parabólicas y elípticas. Los siguientes tres capítulos están dedicados, respectivamente, a un estudio consciente de PREFACIO

7

cada uno de los tipos de EDP’s. El capítulo …nal está dedicado a funciones especiales, que son herramientas poderosas en el desarrollo de fuertes métodos para la solución de EDP’s: Funciones de Green, transformada de Fourier y Polinomios ortogonales son una muestra de las herramientas que esperamos usar. Además, la consideración de soluciones en coordenadas generalizadas, dan lugar a otras funciones especiales tales como armónicas cilíndricas, armónicas esféricas, funciones de Bessel, de Neumann y de Hankel. Para un buen aprovechamiento del curso, se requiere que el estudiante haya estudiado Cálculo vectorial y teoría de Fourier. Los autores expresamos nuestro sincero agradecimiento a los estudiantes que recibieron el curso, por su valiosa colaboración en la revisión del manuscrito. Armenia, diciembre de 2016 Los autores

8

PREFACIO

Parte I Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden

9

1. GENERALIDADES La educación es lo que queda una vez olvidamos todo lo que se aprendió en la escuela. A. Einstein En la física los fenómenos naturales se describen a través de leyes que se expresan en lenguaje matemático. Los diferentes cambios que suceden en un sistema de partículas evidencian la evolución del sistema. El concepto de cambio se puede llevar hasta límites in…nitesimales, es decir, es posible considerar la evolución de sistemas en el espacio y el tiempo, de manera que las propiedades mismas del sistema entre instantes espacio temporales de nuestra consideración sean apenas perceptibles en la escala de las mediciones de interés. Tal descripción se hace a través de ecuaciones diferenciales. En su forma más simple, una ecuación diferencial involucra la derivada de la función desconocida, que describe el fenómeno, respecto de una variable. Sin embargo, éstas constituyen una versión muy simpli…cada de los procesos cuando consideramos que la causa de la evolución del sistema en estudio es inherente sólo a una variable dinámica. Estos modelos simpli…cados son bastante buenos para el estudio de especi…cidades que presenta el fenómeno y para la comprensión de algunos aspectos generales de su comportamiento. Sin embargo en muchos casos, el estudio de los fenómenos físicos implica la búsqueda de una función desconocida que describe el fenómeno en dependencia de un grupo de variables independientes, lo cual da origen a ecuaciones diferenciales que involucran la derivada de esta función desconocida, respecto de este grupo de variables dinámicas. Estás ecuaciones diferenciales surgen en el contexto de la aplicación de cierto modelo al fenómeno físico en estudio. Es decir, implica una simpli…cación del fenómeno mismo. Por otra parte, la solución de tales ecuaciones en el caso general, no es un trabajo trivial y la mayoría de las veces no es posible hallar una forma analítica para tal solución. En esta situación se procede a realizar una simpli…cación adicional de la ecuación misma, bajo consideraciones que son especí…cas del problema en estudio. Actuando así es posible juzgar sobre el comportamiento del sistema, la veracidad del modelo adoptado y consecuentemente, es posible predecir la evolución del sistema en estudio. Algunas veces, las soluciones a las ecuaciones diferenciales que describen un fenómeno físico, son construidas a través de métodos numéricos con la ayuda de software especializado y potentes computadores. La construcción de las soluciones se realiza a partir de datos iniciales de las variables involucradas. Las subsecuentes iteraciones del algoritmo utilizado deben converger a los valores típicos generados en el fenómeno real. Por esta razón, tales algoritmos de GENERALIDADES

11

solución deben ser evaluados tanto en la convergencia, como en la estabilidad de la solución construida. En este trabajo, nosotros nos dedicaremos al estudio de los casos más generales de fenómenos que se describen a través de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y que permiten la construcción de una solución analítica. El tema de la construcción numérica se deja para un curso especializado en métodos numéricos en física matemática. El desarrollo del tema se iniciará con una generalización de la EDP, pero el estudio se limitará a una revisión general de las ecuaciones diferenciales de primer orden ya vistas en cursos anteriores y un análisis más detallado de las EDP de segundo orden.

1.1. De…niciones De…nición 1 Se denomina ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) a la ecuación que relaciona la función desconocida u(x1 ; x2 ; :::xn ), las variables independientes x1 ; x2 ; :::xn y las derivadas parciales de la función desconocida y tiene la forma: F

x1 ; :::xn ;

@u @ku @u ; ::: ; :::; k1 ;u @x1 @x @x1 :::@xkn n Pnn con i=1 ki = k

= 0;

(1.1)

De…nición 2 Se dice que la EDP es de orden k, si k es el orden de la derivada superior incluida en la ecuación diferencial, tipo (1.1). Para las siguientes de…niciones se usará el ejemplo de la EDP de segundo orden a partir de la cual se podrán hacer las generalizaciones necesarias: n X

X @u @2u Aij + Bi + cu = f (x); con x = (x1 ; x2 ; :::xn ) 2 @x @x @x i j i i;j=1 i=1 n

(1.2)

De…nición 3 Se dice que una EDP es lineal si ésta es lineal respecto de la función desconocida y todas sus derivadas parciales. En este caso los coe…cientes Aij ; Bi ; c y f en la ecuación (1.2) dependen únicamente de las variables independientes x1 ; x2 ; :::xn . De…nición 4 Se dice que una EDP es cuasi lineal si ésta es lineal respecto de todas las derivadas superiores de la función desconocida. En este caso los coe…cientes ante las derivadas superiores (de orden k), dependen de las variables independientes de la función u y de sus derivadas hasta el orden (k 1) 12

GENERALIDADES

En la ecuación (1.2) los coe…cientes Aij pueden depender de x1 ; x2 ; :::xn ; u y las primeras derivadas de la función u; los Bi pueden depender de x1 ; x2 ; :::xn y de la función u; los coe…cientes c y f pueden depender de las variables independientes x1 ; x2 ; :::xn . De…nición 5 La EDP (1.2) se denomina homogénea si f casos se dice que la EDP es no homogénea o inhomogénea.

0; en los demás

De…nición 6 La función u = u(x1 ; x2 ; :::xn ) se denomina solución de la EDP si la función u posee derivadas hasta del orden de la EDP y convierte la ecuación en una igualdad por todas las variables independientes. En este caso se dice que u satisface la ecuación diferencial.

Notation 7 Por simplicidad usaremos la siguiente notación: @u = ux ; @x

@2u = uxx ; @x2

@2u = uxy @x@y

(1.3)

Ejemplos: 1) Considere la función de dos variables u = u(x; y) y la ecuación uy (x; y) = y es equivalente a

@u(x; y) =y @y

(1.4)

Integrando respecto de y obtenemos como solución general la función Z u(x; y) = ydy + c(x) 2) Considere la ecuación @2u @ =0 , @x@y @x

@u @y

= 0; equivalente a

@u @v = v; = 0; @y @x

(1.5)

Busquemos algunas soluciones: Integrando respecto de x se tiene

@u = F (y) @y e integrando respecto de y se tiene u(x; y) =

DEFINICIONES

R

F (y)dy + g(x); ó u(x; y) = f (y)dy + g(x)

13

Estos ejemplos nos llevan a concluir que, una ecuación diferencial en derivadas parciales posee innumerables soluciones y que la solución general de una EDP de primer orden depende de una función arbitraria y la solución general de una EDP de segundo orden depende de dos funciones arbitrarias. Generalizando este resultado concluimos que una EDP de orden k depende de k funciones arbitrarias. Asi se tiene que la solución general de una EDP da origen a una familia (clase) de funciones y para extraer de esta familia cierta solución concreta se hace necesario enunciar condiciones adicionales. En calidad de tales condiciones participan usualmente las condiciones iniciales del problema (repecto de cierto momento de tiempo), y las condiciones de frontera (condiciones dadas en la frontera de la región en estudio).

1.2. Problemas con condiciones especiales Problemas con condiciones iniciales

Figura 1-1 Augustin Louis Cauchy. Matemático Frances 1.789-1.857. Fue pionero en el desarrollo del análisis matemático y la física matemática.

De…nición 8 Se denomina problema de Cauchy al problema sobre la de…nición de la función u(x1 ; x2 ; :::xn ) que satisface la EDP de orden k y ciertas condiciones iniciales dadas en el hiperplano . 14

GENERALIDADES

Figura 1-2 Super…cie Integral U (x; y)

En particular en problema de Cauchy se puede reformular de la siguiente manera: Dado un valor …jo de cierta variable, la función desconocida y sus derivadas serán funciones de las variables restantes. Si x1 = x10 entonces, @p 1u @u = '1 (x2 ; :::xn ); :::; p 1 = 'p 1 (x2 ; :::xn ) u = '(x2 ; :::xn ); @x1 @x

(1.6)

Como un ejemplo, supongamos que se tiene la función de dos variables u(x; y) y esta función en el espacio tridimensional de…ne cierta super…cie (una super…cie integral). Para la ecuación de primer orden (k = 1) el problema de Cauchy para la de…nción de la función u(x; y) se escribe de la forma siguiente: F (x; y; u; ux ; uy ) = 0) uj = g(x; y) Y como caso particular, las condiciones adicionales sobre pueden tener la forma: Si x = M ) u = '(y) Geométricamente esto signi…ca que se tiene una solución, o una super…cie integral que pasa por una curva dada fz = '(y) con x = M , la cual se encuentra sobre el plano que pasa por el punto x = M y es paralelo al plano 0zy (ver …gura 1)

Problemas de contorno. Junto al problema de Cauchy, gran importancia práctica poseen aquellos problemas donde las condiciones adicionales se dan no en una curva sino en dos o más, es decir se dan p condiciones sobre una curva, (k p) - condiciones sobre otra. Por ejemplo para la ecuación de segundo orden las condiciones adicionales pueden tener la forma PROBLEMAS CON CONDICIONES ESPECIALES

15

Figura 1-3 Condiciones de Frontera para el problema de Cauchy

o la forma

8 < F (x; y; u; ux ; uy ; uxx ; uyy ; uxy ) = 0 uj 1 = g1 (x; y) : uj 2 = g2 (x; y) 8 < F (x; y; u; ux ; uy ; uxx ; uyy ; uxy ) = 0 u(a; y) = '1 (y) : u(b; y) = '2 (y)

Por supuesto que las condiciones adicionales pueden tener una forma mucho más compleja: en ellas pueden aparecer condiciones sobre las derivadas de u o incluso una combinación lineal de las mismas, tipo u0 (a; y) hu(a; y) = '1 (y). De…nición 9 Se denomina problema de contorno (o problema de fronteras), al problema para EDP (p = 2), en donde las condiciones adicionales se establecen en varias fronteras o varias curvas.

16

GENERALIDADES

2. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN En este capítulo estudiaremos las EDP de primer orden para los casos de ecuaciones homogéneas, y para el caso de ecuaciones no homogéneas.

2.1. EDP lineales - homogéneas Consideremos la ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden: A1 (x1 ; x2 ; :::xn )

@u @u @u +A2 (x1 ; x2 ; :::xn ) +:::+An (x1 ; x2 ; :::xn ) = 0 (2.1) @x1 @x2 @xn

Supongamos que los coe…cientes Ai (x1 ; x2 ; :::xn ) – están de…nidos y son continuos junto con sus derivadas parciales por todos los argumentos en la vecindad del punto inicial x0 = (x01 ; :::; x0n ) [ : jxk x0k j a; k = 1; :::; n] y no son todos nulos de forma simultánea. Dado An (x1 ; x2 ; :::xn ) 6= 0 construyamos con la ayuda de (2.1) un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de forma simétrica: dx2 dxn dx1 = = ::: = A1 (x) A2 (x1 ; x2 ; :::xn ) An (x1 ; x2 ; :::xn )

(2.2)

En este sistema todas las variables independientes xi participan en igualdad de condiciones. En calidad de variable independiente tomemos xn y reescribamos el sistema (2.2) de la forma: dxi Ai (x1 ; x2 ; :::xn ) Ai (x) = ; = fi (x) i = 1; :::; n dxn An (x1 ; x2 ; :::xn ) An (x) dxi = fi (x) i = 1; :::; n 1 dxn

1

(2.3a) (2.3b)

El sistema (2.3b) es bien conocido del curso de ecuaciones diferenciales ordinarias, por lo cual es importante recordar algunos conceptos del curso de ecuaciones diferenciales ordinarias con relación a estos sistemas de ecuaciones. 1. Para garantizar que el problema (2.3a) presente al menos una solución que satisfaga ciertas condiciones iniciales, es su…ciente con exigir que el miembro a la derecha del sistema (2.3a) fi (x1 ; x2 ; :::xn ) sea continuo en la vecindad del punto inicial x0 = (x01 ; ::; x0n ) [ Teorema de Peano]. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN

17

2. Para garantizar no sólo la existencia de la solución del problema de Cauchy (2.3a) sino también su unicidad, es necesario colocar sobre la función fi (x) una condición adicional: la existencia de derivadas parciales …nitas de fi por todas las variables xi [Teorema de Picard]. En adelante nuestro interés se centrará en el problema de Cauchy, por lo cual consideraremos que para fi (x) se cumplen las condiciones del teorema de Picard. 3. Con las condiciones colocadas sobre fi (x) la parte derecha del sistema (2.3a), este sistema tendrá justo (n 1) soluciones linealmente independientes.

De…nición 10 Se denomina solución general del sistema (2.3a) al conjunto de (n 1) funciones de…nidas en cierta región dominio de las variables c1 ; ::; cn 1 ; xn : 8 < x1 = '1 (c1 ; ::; cn 1 ; xn ) ::: (2.3d) : xn 1 = 'n 1 (c1 ; ::; cn 1 ; xn ) y son funciones continuas y diferenciables respecto de xn . Al mismo tiempo: 1. El sistema (2.3d) deberá tener solución en respecto c1 ; ::; cn 1 , es decir: 8 c1 = 1 (x1 ; x2 ; :::xn ) > > < c2 = 2 (x1 ; x2 ; :::xn ) ci = i (x1 ; x2 ; :::xn ) o (2.5) ::: i = 1; :::; n 1 > > : cn 1 = n 1 (x1 ; x2 ; :::xn ) 2. El conjunto (2.3d) es solución de (2.2) para todos los valores de constantes arbitrarias de…nidas por la fórmula (2.5), cuando el punto (x1 ; x2 ; :::xn ) corre a través de la región .

De…nición 11 La función (x1 ; x2 ; :::xn ), no idéntica a una constante, se denomina integral de (2.3a) si de la sustitución en ella de una solución de (2.3a), se obtiene una constante. De…nición 12 Se denomina primera integral del sistema a la relación (x1 ; x2 ; :::xn ) = c, donde es una integral del sistema (2.3a) y c una constante. De hecho (2.3d) y (2.5) de…nen soluciones del sistema (2.3a) mientras que (2.3d) –es una solución en forma Cauchy. De…nición 13 Se dice que las integrales existe una relación tal que ( 18

1 ; :::;

n 1)

= 0 en

1 ; :::;

n 1

o en

0

son independientes si no 2

(2.6)

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN

Dado que la parte derecha del sistema (2.3a) es de…nida y diferenciable en la vecindad del punto x0 , entonces el sistema posee justo (n 1) integrales independientes (primeras integrales). Como consecuencia el sistema (2.2) posee (n 1) integrales independientes. De…nición 14 Al conjunto de (n 1) integrales independientes se denomina integral general del sistema (2.3a). De…nición 15 En el espacio de coordenadas x1 ; x2 ; :::xn el sistema de integrales (2.5) de…ne una familia de líneas, dependientes de (n 1) – paráme - tros las cuales se denominan características de la ecuación diferencial en derivadas parciales (2.1). Consecuentemente el sistema (2.2) se denomina sistema característico de ecuaciones diferenciales para la EDP (2.1) Teorema 16 Si 1 ; :::; n 1 (x1 ; x2 ; :::xn ) son integrales del sistema (2.3a), son continuas –diferenciables, entonces cualquier función de ellas, continua –diferenciable, = F ( 1 ; :::; n 1 ), cuyas derivadas respecto de 1 ; :::; n 1 no se anulan simultáneamente, es también una integral del sistema. Demostración. Las funciones 1 ; :::; n 1 (x1 ; x2 ; :::xn ) son integrales, es decir, estas integrales con base en el sistema (2.3a) se vuelven constantes i (x1 ; x2 ; :::xn )(3)

=c

por lo cual d i j(3) Demostremos que d j(3) d j(3)

0:

0

n 1 X @F d i j(3) = @ i i=1

0; )

= F(

1 ; :::;

n 1)

(2.7)

es decir que se tiene una integral del sistema (2.3a) Teorema 17 1. Si (x1 ; x2 ; :::xn ) es una integral del sistema (2.3a), continua y diferenciable, entonces u = (x1 ; x2 ; :::xn ) es una solución de la ecuación (2.1). 2. Si u = u1 (x1 ; x2 ; :::xn ) 6= const es solución de (2.1), entonces u1 (x1 ; x2 ; :::xn ) es una integral del sistema (2.3a). Demostración. 1. Dado que (x1 ; x2 ; :::xn ) es una integral del sistema (2.3a), entonces al reemplazar en lugar de x1 = '1 (; :::xn ); :::; 'n 1 (; :::xn ) la solución del sistema (2.3a), se obtiene una constante, y por de…nición una integral del sistema: [x1 (xn ); x2 (xn ); :::xn 1 (xn ); xn ](3) = (xn ) = c; por lo tanto d (x1 ; x2 ; :::xn )j(3) 0. dxn EDP LINEALES - HOMOGÉNEAS

19

Calculemos la derivada total de (2.3a) @ @ dx1 @ d j(3) = + + ::: + dxn @xn @x1 dxn @xn

por xn con fundamento en el sistema X @ Ai dxn 1 @ = + @xn i=1 @xi An 1 dxn n 1

La igualdad a cero se da por condición del teorema, y

0 (2.8)

dxn 1 An 1 = con dxn An

fundamento en el sistema (2.3a). Multipliquemos la última igualdad por An , con lo cual se obtiene n 1 X @ Ai @x i i=1

Por lo tanto la función

0

(2.9)

satisface la ecuación (2.1).

Demostración: 2) Se tiene que u1 (x1 ; x2 ; :::xn ) 6= const – es solución de la ecuación (2.1). Ahora es necesario demostrar que du1 j(3) 0. du1 j(3) = Con base en el sistema (2.3a)

du1 j(3)

n X @u1 i=1

n X @u dxn dxi = Ai @xi @x A i n i=1

dxi Ai = se tiene entonces que dxn An ! n dxn X @u = Ai =0 An i=1 @xi

(2.10)

(2.11)

dado que la expresión entre paréntesis es la parte izquierda de la ecuación (2.1) y u1 es la solución de esta ecuación. Por lo tanto u1 (x1 ; x2 ; :::xn ) es una integral del sistema (2.3a) Es posible concluir que el problema de integrar la ecuación (2.1) es equivalente a integrar el sistema (2.3a) (o el sistema (2.2)) Teorema 18 Si 1 ; :::; n 1 (x1 ; x2 ; :::xn ) son integrales independientes del sistema (2.3a), entonces la función u = ( 1 ; :::; n 1 ), donde es una función arbitraria, es la solución general de la ecuación diferencial (2.1), es decir, la solución que contiene sin excepción todas las soluciones de la ecuación (2.1). Demostración. Esta demostración la haremos por contradicción. Supongamos que existe la función u = (x1 ; x2 ; :::xn ) que es solución de (2.1); demostremos que no es linealmente independiente, es decir que existe una función tal que = F ( 1 ; :::; n 1 ). Dado que 1 ; :::; n 1 son integrales del sistema 20


(2.3a), entonces (x1 ; x2 ; :::xn ) y

i i

(i = 1; ::; n 1)- es solución de (2.1). Reemplacemos u = en la ecuación (2.1): 8 P n @ > Ai 0; > > > i=1 @xi > > n @ > < P 1 Ai 0; i=1 @xi > > ::: > > > n @ P > n 1 > : Ai 0 @x i i=1

(2.12)

Consideremos este sistema como un sistema de ecuaciones lineales respecto de Ai (i = 1; ::; n). Notemos que en cada punto, este sistema posee una solución no trivial dado que los Ai no son todos iguales a cero de manera simultánea. Por lo tanto el determinante del sistema debe ser igual a cero: @ @x1 @ 1 @x1

J(n) =

::: @

n 1

@x1

::: ::: ::: :::

@ @xn @ 1 @xn

0

:::

(2.13)

@ n 1 @xn

La igualdad a cero del Jacobiano de funciones evidencia que entre ellas existe una relación funcional G( 1 ; :::; n 1 ) = 0 (2.14) Dada la independencia lineal de las integrales 1) existe por lo menos un menor de orden (n J(n

1)

=

con (i = 1; ::; n 1) diferente de cero:

i (x1 ; x2 ; :::xn )

@( 1 ; :::; n 1 ) 6= 0 @x 1 ; x 2 ; :::x n 1

(2.15)

Por lo tanto la ecuación (2.14) se puede reescribir como: = F ( 1 ; :::; n 1 ). Esto signi…ca que es linealmente independiente respecto del sistema de funciones 1 ; :::; n 1 . Por lo tanto u = ( 1 ; :::; n 1 ) verdaderamente contiene todas las soluciones de la ecuación (2.1). Conclusión: Para hallar la solución general de la EDP (2.1) es necesario integrar el sistema (2.2) o su equivalente (2.3a) y escribir la solución general

donde

1 ; :::;

n 1

u = ( 1 ; :::; n 1 ) son las integrales del sistema (2.2) o su equivalente (2.3a).

Geométricamente a esta solución le corresponde una familia de super…cies integrales.

EDP LINEALES - HOMOGÉNEAS

21

Problema de Cauchy Hallar la función u(x1 ; x2 ; :::xn ), que satisface la ecuación diferencial: A1 (x1 ; :::xn )

@u @u @u + A2 (x1 ; :::xn ) + ::: + An (x1 ; :::xn ) =0 @x1 @x2 @xn

(2.16)

y que dado un valor …jo de una de sus variables independientes, ésta se transforma en una función especí…ca de las demás variables, con las condiciones iniciales Si xn = x0n ; entonces u = H(x1 ; ::; xn 1 )

(2.17)

La solución general de la ecuación diferencial (2.1) es u = ( 1 ; :::; n 1 ). Busquemos la solución de la ecuación (2.16) que satisface las condiciones iniciales (2.17). Par esto utilizaremos las primeras integrales (2.3d) del sistema (2.2), suponiendo en ellas xn = x0n : 8 0 < 1 (x1 ; x2 ; :::; xn 1 ; xn ) = c1 ::: ) i (x1 ; x2 ; :::; xn 1 ; x0n ) = ci (2.18) : 0 n 1 (x1 ; x2 ; :::; xn 1 ; xn ) = cn 1 Este sistema tiene una solución en la vecindad del punto (x01 ; x02 ; :::; x0n ) respecto de x1 ; x2 ; :::; xn 1 8 < x1 = '1 (c1 ; c2 ; :::; cn 1 ) ::: (2.19) : xn 1 = 'n 1 (c1 ; c2 ; :::; cn 1 ) Reemplacemos las relaciones obtenidas para xi en la condición inicial u = H(x1 ; ::; xn 1 ) donde H es conocida; dado que u = ( 1 ; :::; n 1 ), entonces teniendo en cuenta la condición (2.18) se obtiene: u = (c1 ; :::; cn 1 ) = H['1 (c1 ; c2 ; :::; cn 1 ); :::; 'n 1 (c1 ; c2 ; :::; cn 1 )] donde no es conocida. Hemos obtenido la forma general de la función ( 1 ; :::; la solución general de la ecuación (2.1) está de…nida por ( queda reemplazar en lugar de ci las integrales i .

u(x1 ; :::xn ) = (

1 ; :::;

n 1)

= H['1 (

Ejemplo:1. Sea u = u(x; y) problema con valores inciales

n 1 ); :::; 'n 1 (

1 ; :::;

n 1 )]

(2.20) una función de dos variables. Resolver el

yux x=0 22

1 ; :::;

y dado que 1 ; :::; n 1 ), sólo

n 1)

xuy = 0 u = cos y 2 ;

(2.21)


Primero buscamos llevar la ecuación (2.21) a la forma (2.2) o su equivalente (2.3a) dx = y

dy ; xdx = x

(2.22)

ydy;

Integrando x2 y 2 + = c ) x2 + y 2 = c; 2 2 La solución general tiene la forma

u=

x2 + y 2 = ( ) donde x2 + y 2 = c

= x2 + y 2

es la característica

(2.23)

Nótese bien que en elpplano (x; y) la característica de…ne una familia de circunferencias de radio c: Reemplazando la condición incial x = 0 en la caraterística y dado u = cos y 2 ; se tiene p c; y 2 = c; y = (y 2 ) = cos y 2 ;

(c) = cos c;

Con lo cual concluimos que para toda variable

se tendrá

( ) = cos y la solución al problema planteado es: u(x; y) = (x2 + y 2 ) = cos(x2 + y 2 )

Grá…ca de la solución u(x; y) = (x2 + y 2 ) = cos(x2 + y 2 )


Grá…ca de la condición de frontera u(x = 0; y) = (y 2 ) = cos(y 2 )

23

Ejemplo:2. Encontrar la solución a la EDP 8 @z < @z x =0 y @x @y : x = 0; z = y2

El problema consiste en hallar la super…cie de…nida en R3 (z(x; y)), que es solución de la EDP y que tiene la propiedad de contener la curva de…nida por la intersección de los planos x = 0 y z = y 2 . Nótese que en este caso, la forma (2.3a) puede ser escrita en forma paramétrica como 8 < dx = ydt dy = xdt : dz = 0 De las dos primeras se tiene xdx = ydy. Integrando esta primera característica obtenemos c1 = x2 + y 2 , con c1 > 0. Es decir, en el plano (x; y) esta primera caracterírstica de…ne una familia de circunferencias. La segunda característica se obtiene directamente de la tercera ecuación: z = c2 una constante arbitraria. Dado que tanto c1 como c2 son constantes arbitrarias, entonces z = (x2 + y 2 ) es la solución general de la EDP. Para hallar la solución al problema con valores iniciales, es necesario reemplazar las características en las condiciones iniciales, lo que da: c1 = x2 + y 2 ! c2 = z

x=0 z = y2

Este sistema de…ne la curva en un plano (c1 ; c2 ) que genera la super…cie integral que es solución del problema. Resolviendo el sistema se obtiene c1 = c2 es la bisectriz principal del plano, restringida a c1 > 0. Esta semirecta de…ne el paraboloide z = x2 + y 2 que es la super…cie solución del problema. Ejemplo:3. Encontrar la solución a la EDP 8 1 y@u < x @u + (z + x4 y 2 ) @u =0 @x 2 @y @z 2 2z x : con u = cuando xy = 1 2x2

Para construir una solución, lo primero que hacemos es establecer el sistema de ecuaciones ordinarias simultáneas que, al resolver, nos darán las primeras integrales o las curvas características. Así se tiene dx 2dy = x y dx dz = x z + x4 y 2 2dy dz = y z + x4 y 2 24


Figura 2-1 Paraboloide z = x2 + y 2 solución del problema de Cauchy

Figura 2-2 Familia de curvas x = C1 =y 2 De las cuales basta con resolver un par de ellas. Tomemos inicialmente 2dy ! ln jxj = y

dx = x

2 ln jyj + ln C1 ! C1 = xy 2

o lo que es lo mismo y2 =

C1 C1 !x= 2 x y

Ahora consideremos otro par de estas ecuaciones y en ella reemplacemos la solución hallada dx dz dz dz = = = C1 4 2 4 x z+x y z + C1 x3 z+x x EDP LINEALES - HOMOGÉNEAS

25

de la cual se tiene

dz z = + C1 x2 dx x Esta última ecuación puede ser resuelta por el método de factor integrante. Multiplicando por x 1 se transforma así: 1 dz

x 2 z = C1 x dx dz dx 1 + z = C1 x x 1 dx dx d x 1 z = C1 x dx x

Integrando esta ecuación 1

x z = C1

Z

xdx + C2 = C1

x2 + C2 2

se obtiene una primera integral para el plano (xz) que depende de dos constantes, una de las cuales ya está expresada a través de la primera integral hallada. Por lo tanto reemplazando la expresión hallada anteriormente para C1 = xy 2 se tiene 1 x2 + C2 = x3 y 2 + C2 2 2 x 1 3 2 C2 = xy z 2 x z= C2 + 21 x3 y 2

x 1 z = xy 2

Así hemos hallado dos integrales de las ecuaciones características '1 = xy 2 = C1 z 1 3 2 '2 = x y = C2 x 2 La solución general de la ecuación en derivadas parciales tiene la forma general u = F ('1 ; '2 ) = F

xy 2 ;

x z

1 3 2 xy 2

donde F es una función arbitraria de sus argumentos '1 ; '2 . La forma especí…ca de esta función se obtiene a partir de las condiciones adicionales (condiciones de frontera). 2z x2 En la frontera se tiene que si xy = 1 entonces u = , con lo cual 2x2 se tiene que si xy = 1 (xy)2 ( 1)2 1 '1 = xy = = = x x x 2

26


Figura 2-3 Curvas integrales de…nidas para C2 = 1; 2; 3

'2 =

z x

1 z x (xy)2 = 2 x

1 x 2

de donde se tiene que x=

z ' 1 1 = 2 + = '1 '2 + 2 x x 2 2

1 ; '1

y en la frontera la función u=

2z x2 z = 2x2 x2

1 = '1 '2 2

Hemos hallado que en la frontera F ('1 ; '2 ) = '1 '2 . Esta misma forma se tiene en toda la región de de…nición, es decir z x

1 3 2 xy 2

u(x; y; z) = y 2 z

1 4 4 xy 2

u = F ('1 ; '2 ) = '1 '2 = xy 2

= y2z

1 4 4 xy 2

Es decir, la solución particular es:

Ejemplo 4.: Miremos la construcción de una solución a la EDP lineal no homogenea. Se plantea el problema de hallar la super…cie z = z(x; y) solución de la ecuación @z @z 2xz + 2yz = z 2 x2 y 2 @x @y EDP LINEALES - HOMOGÉNEAS

27

y que pasa por la circunferencia dada x + y + z = 0; x2 + y 2 + z 2 = a2 . Escribamos las ecuaciones características dx dy = = 2 2xz 2yz z que constituyen tres ecuaciones 8 > > > > > > > < dy 2yz > > > > > > dx > : 2xz

dz x2

y2

dx dy = 2xz 2yz dz = 2 z x2 y 2 =

z2

dz x2

y2

y resolvamos dos de ellas. De esta manera la tercera se satisface de forma directa. Tomemos primero dx dy = 2xz 2yz que luego de multiplicar por 2z e integrar se tiene x = C1 o también x = C1 y y Tomemos la segunda ecuación y en ella reemplazemos x dy = 2 2yz z

dz x2

y2

!

dy = 2yz z2

dz (C1 y)2

y2

o también

dz 2 dy Esta es una EDP lineal que puede ser resuelta a través de un factor integrante. Tomemos como factor integrante y 2 y transformemos la ecuación de la forma z2

1 + C12 y 2 = y

dz 2 1 + z2 dy y d dy

1 y2 z2 y

=

1 + C12

=

1 + C12

e integremos

Z z2 2 = 1 + C1 dy = 1 + C12 y + C2 y Y reemplazando la solución anterior x = C1 y se tiene ! 2 z2 x x2 + y 2 + z 2 = 1 y + C2 ! C2 = y y y

28


De forma análoga, a partir de la tercera ecuación se puede hallar la tercera característica del sistema dx = 2 2xz z

dz x2

y2

! C3 =

x2 + y 2 + z 2 x

que como vemos está implícita en las dos anteriores y por lo tanto seguiremos adelante usando sólo las dos primeras características. En adelante por comodidad tendremos en cuenta que la función de una constante también es una constante. Así entonces, las primeras integrales tienen la forma x = C1 y x2 + y 2 + z 2 '2 = = C2 y

'1 =

Y la solución general de la ecuación inicial tiene la forma F ('1 ; '2 ) = 0, pero como F es una función arbitraria, entonces la solución general también se puede escribir de la forma '1 = F ('2 ) donde F es una función arbitraria de un argumento. Hallemos la forma de esta función considerando la solución en x + y + z = 0 donde De la condición x + y + z = 0 se tiene z = (x + y) : Reemplazando en x2 + y 2 + z 2 = a2 y transformando la expresión x2 + y 2 + (x + y)2 = a2 x2 + y 2 + x2 + 2xy + y 2 = a2 2x2 + 2xy + 2y 2 = a2 Y dividiendo entre y 2 2

2

x a2 = 2 y y a2 2 2 c1 + c1 = 2 y x y

+2

'1 = 2

2 a2 2= 2 2 y 2 x x a2 +2 = 2 y y y

2

se tiene que dado que cuando x + y + z = 0 '2 = entonces

a2 y2

a2 entonces '1 = F ('2 ) y

2=F


a2 y

=

c22 a2

2 29

lo cual es válido para todo el espacio de de…nición del problema 2

x x +2 y y 2 2 2 x +y +z '2 = y 2 2 x (x2 + y 2 + z 2 ) x +2 = y y a2 y 2 '1 = 2

2

2

y multiplicando por a2 y 2 …nalmente se tiene x2 + y 2 + z 2

2

= 2a2 x2 + y 2 + xy

o de forma explícita z (x; y) =

Figura 2-4

30

sp

2 a2 (x2 + y 2 + xy) x2 + y 2

2

Super…cie solución (x2 + y 2 + z 2 ) = 2a2 (x2 + y 2 + xy) para a = 1


2.2. EDP cuasi-lineales Consideremos la ecuación diferencial en derivadas parciales no homogénea @u @u + ::: + An (x1 ; :::; xn ; u) = R(x1 ; :::; xn ; u) (2.24) A1 (x1 ; :::; xn ; u) @x1 @xn donde los coe…cientes Ai y R son funciones de…nidas, continuas y diferenciables en alrededor del punto (x01 ; ::; x0n ; u0 ) Sea An 6= n y no todos los Ai = 0 simultáneamente. La estrategia de solución de esta ecuación no homogénea es levantar la no homogeneidad. Para esto la solución de la ecuación (2.24) la buscaremos de forma implícita: (2.25)

v(x1 ; x2 ; :::; xn ; u) = 0

Donde v es una función continua y diferenciable de todos sus argumentos. @v Supongamos que @u (x01 ; ::; x0n ; u0 ) 6= 0 con lo cual, por el teorema sobre la función implícita, la función u se puede expresar de manera explícita a partir de (2.25). Derivemos (2.25) por la variable arbitraria xk (considerando u = u(x1 ; :::; xn )) @v @u @u @v + =0) = @xk @u @xk @xk

@v @xk

=

@v @u

;

k = 1; :::; n

(2.26)

Reemplazando (2.26) en (2.24), y multiplicando por ( @v=@u) se tiene @v @v @v A1 (x1 ; :::; xn ; u) =0 (2.27) + ::: + An (x1 ; :::; xn ; u) +R @x1 @xn @u Es decir, hemos obtenido para la función v(x1 ; :::xn ; u) una ecuación diferencial lineal homogénea con dx1 dxn du = ::: = = (2.28) A1 An R que es el sistema característico correspondiente a (2.27), que en forma normal corresponde a n ecuaciones. El sistema (2.28) posee n primeras integrales: i (x1 ; :::; xn ; u)

= ci

i = 1; :::; n

La sustitución de la solución general de (2.27) v(x1 ; :::; xn ; u) = ( en (2.25), da la solución general de (2.24) de forma implícita: (

1 ; :::;

n)

=0

(2.29) 1 ; :::;

n)

(2.30)

Si u está sólo en una de las integrales generales i , entonces es posible resolver la relación (2.30) respecto de u, y así la solución de la ecuación (2.24) se puede escribir en forma explícita: u = F (x1 ; ::; xn ) EDP CUASI-LINEALES

(2.31) 31

Problema de Cauchy En este caso el problema con condiciones iniciales a problema de Cauchy tiene la forma: 8 @u @u < + ::: + An (x1 ; :::; xn ; u) = R(x1 ; :::; xn ; u) A1 (x1 ; :::; xn ; u) (2.32) @x1 @xn : Con x = x0 u = H(x ; :::; x ) n

n 1

1

n

Y la solución general a la ecuación diferencial (2.24) de forma implícita ( 1 ; :::; n ) = 0. Reemplazando xn = x0n en (2.29) se tiene: 0 i (x1 ; x2 ; :::; xn ; u)

= ci

(2.33)

i = 1; :::; n

Resolviendo este sistema respecto de x1 ; x2 ; :::; xn 1 ; u, se obtiene: xi = 'i (c1 ; :::; cn ) i = 1; :::; n u = '(c1 ; :::; cn )

1

(2.34)

Al reemplazar las igualdades obtenidas en la condición de frontera de (2.32) se obtiene: La solución general: (2.35)

'(c1 ; :::; cn ) = H '1 (c1 ; :::; cn ); :::; 'n 1 (c1 ; :::; cn ) Reemplazando en la solución general ci por ecuación (2.24) de forma implícita: '(

1 ; :::;

n)

= H '1 (

1 ; :::;

i

obtenemos la solución de la

n ); :::; 'n 1 (

1 ; :::;

n)

(2.36)

Interpretación Geométrica. Consideremos la ecuación diferencial de primer orden en el dominio A(x; y; z)

@z @z + B(x; y; z) = R(x; y; z) @x @y

2 R3 (2.37)

donde las funciones A; B Y R se consideran funciones continuas y diferenciables en : Esta ecuación se puede reescribir en forma del producto escalar en un es! pacio de los vectores V de…nidos en 2 R3 : ! F = A(x; y; z)i+B(x; y; z)j+R(x; y; z)k

(2.38)

de la forma (A(x; y; z)i+B(x; y; z)j+R(x; y; z)k) 32

@z @z i+ j @x @y

k

=0

(2.39)


Si es una super…cie de…nida en por una función f de dos variables (x; y) de manera tal que f (x; y) = z y todos los puntos (x; y)2 D que es un dominio en R2 , entonces si se de…ne la función E(x; y; z) = f (x; y) se tiene que la grá…ca de

z

(2.40)

coincide con la grá…ca de

E(0) = f(x; y; z) : f (x; y) z = 0g (2.41) n!o En este caso el campo de vectores V es tangente a la superi…ce - llamada super…cie integral y puede ser considerada como la super…cie de nivel cero de la función E. Si es una solución regular de (2.37), entonces se evidencia que ! ! F rE

0 en

(2.42)

Las super…cies integrales se pueden hallar a partir de la familia de trayectorias parámetricas ! r (t) que satisfacen la igualdad d! r (t) ! = F (t) dt

(2.43)

en cierto dominio M 2 R= : M ! . De esta de…ción se tiene que los puntos de la tangente de la curva parámetrica que coincide con el campo vectorial, forman una trayectoria integral. Una super…cie formada por una familia de trayectorias paramétricas es una super…cie integral de (2.37) y por lo tanto es una solución. La ecuación (2.43) puede ser escrita como dx dy dz ; ; dt dt dt

= (A(x; y; z); B(x; y; z); R(x; y; z))

(2.44)

o por componentes como dx = A(x; y; z) dt dy = B(x; y; z) dt dz = R(x; y; z) dt Ejemplos. Método de las características Estudiantes avanzados pueden pasar por alto este apartado. Sin embargo aquí intentaremos repetir todo lo dicho de una manera mucho más grá…ca que los estudiantes encontrarán muy interesante desde el punto de vista de la aplicación a la solución de problemas de la física matemática. EDP CUASI-LINEALES

33

Figura 2-5 Super…cie integral

Comenzaremos con el ejemplo más simple: una EDP lineal de primero orden en el dominio 2 R3 A(x; y)

@u @u + B(x; y) = C(x; y) @x @y

(2.45)

Suponga que se tiene una solución u(x; y) para la ecuación (2.45) y consideremos la grá…ca de la función dada por el conjunto de puntos = f(x; y; u(x; y))g Si

(2.46)

es una solución de (2.45) sabemos que en cada punto (x; y), [A(x; y); B(x; y); C(x; y)] [ux (x; y); uy (x; y); 1] = 0

(2.47)

Pero recordando del curso de cálculo integral que la normal = f(x; y; u(x; y))g en el punto (x; y; u(x; y)) está dada por n(x; y) = (ux (x; y); uy (x; y); 1), entonces se tiene que el vector [A(x; y); B(x; y); C(x; y)] es perpendicular a la normal n en cada punto (x; y; u(x; y)), es decir que el vector [A(x; y); B(x; y); C(x; y)] descansa sobre el plano tangente a . Se concluye entonces que para hallar una solución a la ecuación (2.45) debemos buscar una superi…ce tal que en cada punto (x; y) sobre , el vector [A(x; y); B(x; y); C(x; y)] descanse sobre el plano tangente. Este procedimiento buscando una curva S sobre el plano ; parametrizada por s de modo que en cada punto sobre la curva S el vector [A(x(s); y(s)); B(x(s); y(s)); C(x(s); y(s))] sea tangente a la curva S = fx(s); y(s); z(s)g (Ver …gura 2-6), que satisface el siguiente sistema de EDO: 8 dx > > = A(x(s); y(s)) > > < ds dy (2.48) = B(x(s); y(s)) > ds > > > : dz = C(x(s); y(s)) ds

34


Figura 2-6 Curva S sobre el plano ; parametrizada por s

La curva S se conoce como curva característica1 del campo vectorial V = [A(x(s); y(s)); B(x(s); y(s)); C(x(s); y(s))] y el sistema de EDO (2.48) como ecuaciones características para la EDP (2.45). Una vez halladas las curvas características para (2.45), el plan es construir una solución para (2.45) formando una super…cie como la unión de esas curvas características. La superi…ce = f(x; y; z)g para la cual el campo vectorial V = [A(x; y); B(x; y); C(x; y)] descansa sobre el plano tangente a en cada punto (x; y; z) sobre , es conocida como una super…cie integral para V . De esta manera la EDP (2.45) se reduce a un sistema de EDO que puede ser solucionado por los métodos generales estudiados en el curso de ecuaciones diferenciales. Ejemplo 1: Hallar la solución a la ecuación de transporte (2.49)

ut + aux = 0

Como vimos, lo primero es buscar una solución a través del sistema de ecuaciones características 8 dx > > =a > > < ds dt =1 > ds > > > : dz = 0 ds que tienen como solución 8 < x(s) = as + c1 t(s) = s + c2 : z(s) = c3

Eliminando el parámetro s se obtienen curvas en R3 dadas por x at = x0 y z = k con x0 y z constantes arbitrarias. es la super…cie integral formada por la unión de esas curvas características. El análisis de estas curvas permite deducir que z(x; y) es constante a lo largo de las curvas x at = x0 lo cual signi…ca que z es una función z(x; y) = f (x

at)

1 En electromagnetismo estas curvas se conocen como líneas de campo. En teoría de EDP son también conocidas como trayectorias características

EDP CUASI-LINEALES

35

Figura 2-7 Curvas características proyectadas sobre el plano tx para un valor de a = 2.

Para obtener la solución "suave"tomamos como solución general u(x; y) = z(x; y) = f (x

at)

y usando la regla de la cadena podemos comprobar que ut + aux =

af 0 (x

at) + af 0 (x

at) = 0

Nótese bien que la solución de (2.49) es constante a lo largo de la recta x = x0 + at. Esas rectas son la proyección de las curvas características de esta ecuación, sobre el plano tx (Figura XX). Esto nos lleva a concluir que los valores iniciales se propagan a lo largo de la proyección de las curvas características, por lo cual (2.49) es conocida como la ecuación de transporte. Ejemplo 2: Consideremos de nuevo este problema pero teniendo en cuenta unas condiciones iniciales dadas, es decir ut + aux = 0 u(x; 0) = '(x)

(2.50)

Ya sabemos que la solución general de este problema está dada por u(x; y) = f (x at): La condición inicial implica que se tiene una condición adicional sobre la super…cie integral : ésta debe contener la curva f(x; 0; '(x))g El sentido geométrico es este. Sea S f(x; 0)g una curva en R2 en la cual se prescriben los datos dados y sea (S; ') una curva en R3 dada por f(x; 0; '(x))g. Para construir la solución tomamos el punto (x0 ; 0; '(x0 )) sobre la curva (S; ') y construimos una curva característica que tiene como origen el punto (x0 ; 0; '(x0 )) Si construimos una curva característica a partir de cada punto de (S; ') (línea a trazos Figura 2-8), y se unen estas curvas, se obtiene una super…cie general para el campo vectorial (a; 1; 0) que contiene la curva (S; '). Esta super…cie integral es la solución del problema (2.50). Algebráicamente se procede de la siguiente forma: 36


Figura 2-8 Curva característica

1. Parametrizar la curva S por r, es decir S = f(r; 0)g 2. Para cada r se requiere resolver el sistema de EDO simétrico 8 dx > > (r; s) = a > > < ds dt (r; s) = 1 > ds > > > : dz (r; s) = 0 ds

con condiciones iniciales

8 <

x(r; 0) = r t(r; 0) = 0 : z(r; 0) = '(r)

3. Resolver el sistema y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se tiene 8 < x(r; 0) = as + r t(r; 0) = s : z(r; 0) = '(r) 4. Luego resolvemos estas ecuaciones respecto de r y s r(x; t) = x

at y s(x; t) = t

5. Finalmente escribimos la solución z(r; s) como z(r(x; t); s(x; t)) = '(x

at)

y la solución general de (2.50) como u(x; t) = z(r; s) = '(x Suponiendo '(x) = e solución general 2 u(x; t) = e (x 2t) EDP CUASI-LINEALES

x2

at)

y a = 2 es posible construir una grá…ca de la

37

Figura 2-9 Grá…ca de la solución general (x; t) = e

(x 2t)2

Ejemplo: Resolver el siguiente problema de valores iniciales dado como una ecuación en derivadas parciales de x y y. 8 < aux + buy = 1 x2 + y 2 = 1 con a; b const : u=0 Transformemos esta ecuación en un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de forma simétrica: (Si se …ja y se tiene aux = 1 y si se …ja x se tiene buy = 1) dx dy du dx = a du = = ; dy = b du a b 1

Y obtendiendo las primeras integrales x y

au = c1 bu = c2

Es decir, se tiene una función F tal que F (x

au; y

bu) = 0

de la cual, teniendo en cuenta las condiciones iniciales dadas, se tiene que: x = c1 y = c2 Y la solución general al problema de Cauchy en forma implícita tiene la forma: (x

38

au)2 + (y

bu)2 = 1


Figura 2-10 Grá…ca de (x

au)2 + (y

bu)2 = 1 para valores de a = 1; b = 1

Ejercicios: En todos los ejercicios propuestos, discutir el sentido geométrico de la solución 1. Encontrar la solución general de la EDP x2

@z @z +y 2 = (x+y)z: Discutir @x @y

el sentido geométrico de la solución. @z @z x2 z @y = x2 y encontrar dos características inde2. Para la EDP y 2 z @x pendientes y, si existe, hallar la super…cie integral que contiene la curva de…nida por la intersección de los planos x3 + y 2 = 1 y z = 0

3. Resolver el problema de Cauchy 8 @z @z < x (y 2 + z) y (x2 + z) = (x2 @x @y : x + y = 0; z = 1

4. Encontrar la super…cie integral para la EDP 8 @z @z < yz + xz = 3y 3 con @x @y : x = 0; y = ; z =

y2) z

2R

5. Encontrar la super…cie solución de la EDP y

@z @x

x

@z =0 @y

que tenga la propiedad de contener la curva intersección de la super…cie z = y 2 con el plano x = 0. 6. Resolver xz

EDP CUASI-LINEALES

@z @z + yz = @x @y

xy

39

7. Resolver el problema de valores iniciales x

@u @x

1 @u @u + z + x4 y 2 =0 2 y@y @z

si cuando xy = 2 entonces

2z x2 2x2

u=

8. Resolver el problema de valores iniciales x (x + y)

@u @x

y (x + y)

@u @y

z (x

y)

@u =0 @z

u = x2 + y 2

si cuando z = 1 entonces 9. Resolver el problema de valores iniciales (2xz

x)

@u + (2yz @x

y)

@u + 3z 2 @y

si cuando y = z

y2

3z

entonces

@u =0 @z

u = xz

10. Resolver el problema de valores iniciales xz 2

@u +2 y @x

z2 y

@u @y

z3

@u =0 @z

si cuando y = z; z < 0 entonces

u = x2 ez

11. Resolver el problema de valores iniciales x (2z

x)

@u + 2z 2 (z @x

x)

@u @u + xz =0 @y @z

si cuando xz = 2; xz > 0 entonces

u=

y 2

z2

12. Sea la ecuación de onda con condiciones de Cauchy: u(0; x) = 0;

@u (0; x) = x @t

con

1 < x < +1 y t

0

i. Resolver el problema de Cauchy. ii. Haga un dibujo de las ondas para t = 0 y t = 2. Discuta el sentido físico de la solución. Ayuda: Aunque la ecuación de onda es una ecuación diferencial de segundo orden, es posible reescribirla como el producto de dos operadores que actúan sobre la función desconocida u y resolver cada parte por separado. La solución general es la combinación lineal de las soluciones de cada operador, es decir: @2u @t2

40

36

@2u = @x2

@ @t

6

@ @x

@ @ +6 @t @x

u=0


3. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN 3.1. Deducción de las principales EDPs En esta sección deduciremos algunas de las principales ecuaciones usadas en la física, a partir de leyes y postulados que ya han sido discutidos en los diversos cursos de física fundamental y física teórica. Nuestro énfasis estará en la forma misma de las ecuaciones y los principios mismos se dejan para exploración de los interesados en cada fenómeno.

3.1.1. Fenómenos de conducción 1. Conductividad Térmica. Para la dedución de la ecuación de conducción térmica usaremos la ley de Fourier en aplicación del segundo prin! cipio de termodinámica. Sea Y el ‡ujo de calor a través de un medio. ! La dirección del vector Y coincide con la dirección del ‡ujo de calor y su magnitud es el calor que atraviesa la unidad de área por unidad de tiempo (cal/(cm2 s) o J/( m2 )). Si (x; y; z) es la conductividad térmica del medio y T (x; y; z) la distribución espacial de temperatura, entonces la ley de Fourier a…rma que el ‡ujo de calor a través del medio es linealmente proporcional al negativo del gradiente de la temperatura: ! Y = grad T (x; y; z) (3.1) Si se introduce el calor especí…co c = 1m dQ=dT y la densidad del medio = m , es posible escribir ecuaciones similares para la rata de cambio V en el tiempo (t) del calor Q en el elemento de volumen V limitado por la super…cie cerrada S, lo cual se puede entender como una expresión integral de la misma ley de Fourier: Z dQ @T = dV c (3.2) dt @t V Lo cual teniendo en cuenta la ley de conservación de la energía (1 ley de termodinámica), puede igualarse al ‡ujo a través de la super…cie S Z Z Z ! ! @T dV c = dS Y = grad T (x; y; z; t)dS (3.3) @t V S S ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN

41

Y de nuevo por el Teorema de Ostrograski-Gauss Z dQ = dV div( grad T ) dt V

(3.4)

Dado que el volumen por el cual se toma la integral es un volumen arbitrario, entonces es necesario concluir que c

@T = div( grad T ) @t

(3.5)

En los problemas más comunes de transporte de calor, es posible considerar que = const, con lo cual …nalmente la ecuación (3.5), introduciendo la notación = =(c )1 , toma la forma r2 T =

1 @T @t

(3.6)

! Aquí r es el operador nabla que en coordenadas cartesianas toma la !@ ! !@ ! ! !@ forma: r = i dx + j dy + k dz ; r2 = r r. Si F (x; t) es la intensidad de las fuentes de calor en el punto x en el instante t, entonces la ecuación (3.5) toma la forma c

@T = div( grad T ) + F (x; t) @t

(3.7)

2. Difusión de partículas. De manera analógica es posible deducir la ecuación de difusión de partículas. (En el caso de existir diferencias de concentración de cualquier sustancia, el tránsito aleatorio de las partículas se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración hacia las regiones de menor concentración. El ‡ujo de sustancia irá en el sentido opuesto del gradiente de concentración. Si para un proceso dado (dufusión de un gas por ejemplo), la concentración de partículas está dada por (x; t) como una función de las coordenadas espaciales x y el tiempo t, entonces el ‡ujo de las partículas del gas a través del elemento de super…cie en la unidad de tiempo está dado por la ley de Fick2 : ! Y =

c grad (x; t)

(3.8)

Donde c es cierta constante dimensional del problema denominada co! e…ciente de difusión. El signo menos indica que al aumentar el ‡ujo Y , la densidad del ‡uido disminuye. Ahora bien, si N es el número de 1 es la difusividad térmica, cuyo sentido físico es la propiedad especí…ca de cada material para caracterizar conducción de calor en condiciones no estacionarias. Éste valor describe cuán rápido un material reacciona a un cambio de temperatura 2 Válida para ‡ujos débiles

42

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN

partículas en un volumen arbitrario V , entonces la rata de variación de N en el tiempo está dada por: Z Z Z ! ! @ dN = dV = dS Y = c dV div(grad ) (3.9) dt @t V S V Y dado que se ha escogido un volumen de integración arbitrario, se tiene que 1 @ (x; t) r2 (x; t) = (3.10) c @t En particular, para los casos cuando ni la temperatura, ni la concentración de partículas son una función del tiempo, se obtiene la ecuación de Laplace que es posible escribir es dos formas: r2 = 0;

r2 T = 0

(3.11)

3.1.2. Fenómenos oscilatorios 1. Oscilaciones. Muchos problemas en mecánica, (como las oscilaciones de una cuerda, de una barra, una membrana y de cuerpos tridimensionales) y electrodinámica (Oscilaciones electromagnéticas), se des criben a través de una ecuación de la forma: @2u = div(p grad u) @t2

qu + F (x; t)

(3.12)

donde la función desconocida u(x; t) depende de n coordenadas espaciales y el tiempo; los coe…cientes ; p y q están de…nidos por las propiedades del medio donde se produce el proceso oscilatorio; F (x; t) representa la intensidad de la acción externa. Daremos algunos ejemplos de este tipo de ecuación. 2. Ondas transversales en una cuerda. En el dibujo 3-1 se muestra un fragmento de la cuerda oscilante con tres elementos de longitud x y masa dm cada uno. El desplazamiento de estos elementos en cierto instante de tiempo arbitrario es igual a: sn = s(x), sn 1 = s(x x) y sn+1 = s(x + x). La aceleración del elemento central se escribe como la segunda derivada temporal del desplazamiento 2 s(x;t) sn (x; t), s•n = @ @t . Teniendo en cuenta que la distancia entre elementos 2 es a, podemos escribir a partir de la …gura ??, una expresión para las tangentes en cada uno de los extremos: DEDUCCIÓN DE LAS PRINCIPALES EDPS

43

Figura 3-1 Ondas transversales en una cuerda

sn+1 sn s(x + = lm a!0 x!0 a lm

x; t) x

s(x; t)

s(x x

x; t)

=

@s @x

x+ 21 dx

(3.13) lm

a!0

sn

sn a

1

= lm

s(x; t)

x!0

@s = @x

x

1 dx 2

Estas derivadas corresponden, por su sentido geométrico, a la tangente de la curva en los puntos donde se está tomando, y dado que los ángulos son muy pequeños entonces tan sin , y para la suma de las componentes verticales de la tensión F tendremos: F? = F sin 2 F sin 1 , donde los subíndices 1 y 2 se re…eren a los puntos (x x) y (x + x), respectivamente. La segunda ley de Newton para el elemento central se puede escribir entonces así: F @2s = @t2 dm

"

@s @x

x+ 12 dx

@s @x

x

1 dx 2

#

(3.14)

Teniendo en cuenta que dm = dx ( (x)-densidad lineal de masa), entonces (3.14) toma la forma: @2s @2s (x) 2 = F 2 @t @x

(3.15)

Hemos obtenido una ecuación diferencial homogénea de segundo orden denominada ecuación de onda unidimensional. Si f (x; t) representa la densidad de fuerzas externas aplicadas sobre el elemento de cuerda en la dirección de s, entonces la ecuación de las oscilaciones toma la forma (x) 44

@2s @2s = F + f (x; t) @t2 @x2

(3.16)


que es la ecuación no homogénea para las oscilaciones forzadas. Una ecuación similar se obtiene para el caso de pequeñas oscilaciones longitudinales en una barra elástica: (x)A(x)

@2s @ = 2 @t @x

EA

@s @x

+ f (x; t)

(3.17)

donde (x) es la densidad de la barra A(x) el área transversal que en general depende de x y E(x) es el módulo de Young. A partir de las consideraciones físicas del problema, es evidente que para obtener una solución de…nida, es necesario conocer los valores iniciales del desplazamiento s y la velocidad s_ de las pequeñas oscilaciones (condiciones iniciales), así como las condiciones de los extremos de la cuerda o barra (Condiciones de frontera). 3. Ondas en una membrana.

Figura 3-2 Ondas en una membrana

Se tiene una membrana de densidad super…cial de masa sometida a una fuerza por unidad de longitud T . La acción de esta fuerza produce en la membrana una deformación transversal u(x; y; t). Si F (x; t) representan la acción externa sobre la membrana, la segunda ley de Newton para el desplazamiento de un elemento de la membrana de tamaño dxdy y masa dm = dxdy se escribe de la forma ( ) @u @u F+ T T dy+ @x x+dx;y @x x;y ( ) @u @u (3.18) + T T dx = @y x;y+dy @y x;y @ 2u @2U @2u =F +T + dxdy = dxdy @y 2 @x2 @t2 DEDUCCIÓN DE LAS PRINCIPALES EDPS

45

Simpli…cando esta ecuación e introduciendo la notación c2 = T = F= = f obtenemos la ecuación @2u @2u 1 @2u + + f = @x2 @y 2 c2 @t2

y

(3.19)

Dado que u(x; y; t) no es función de la coordenada z, es posible usar el operador nabla para escribir esta ecuación de la forma: r2 u + f =

1 @2u c2 @t2

(3.20)

la cual es la ecuación de las ondas que se desplazan a través de una membrana ideal. El caso tridimensional describe las ondas mecánicas (ondas de sonido), que se desplazan en una medio de densidad volumétrica :

3.1.3. Hidrodinámica 1. Hidrodinámica. Para deducir la ecuación de movimiento para un ‡uido de densidad volumétrica consideremos una columna de este ‡uido y en ella un elemento de volumen dV . Si ! v es la velocidad de este elemento de volumen, la segunda ley de Newton aplicada a este elemento tiene la forma: d! v (r; t) X ! ! F ext (3.21) = m a = (r; t)dV dt ! donde por F ext se tienen todas las fuerzas externas a este elemento de volumen. Calculemos el diferencial total de la velocidad, teniendo en cuenta que en términos generales la velocidad es una función de las coordenadas espaciales y temporales, es decir, diferentes partes del ‡uido pueden poseer diferentes velocidades: d! v (r; t) @! v @! v @x @ ! v @y @ ! v @z = + + + = dt @t @x @t @y @t @z @t @! v = + (! v grad) v @t

(3.22)

Y con la ayuda del operador nabla ! d! v @! v = + ! v r v dt @t

(3.23)

Para el caso de sólidos elásticos, muchos fenómenos presentes pueden ser eliminados si se considera que la presión p es un escalar. Calculemos 46


la fuerza total ejercida sobre el elemento de volumen dV = dxdydz.

z p(x,y,z+dz)

(x,y,z)

x

y p(x,y,z)

Elemento de volumen sometido a presión diferencial A partir de la …gura podemos escribir: P! ! F ext = [p (x; y; z; t) p (x + dx; y; z; t)] dydz i + ! + [p (x; y; z; t) p (x; y + dy; z; t)] dxdz j + ! [p (x; y; z; t) p (x; y; z + dz; t)] dxdy k = grad p dV

(3.24)

Y sustituyendo en la ecuación (3.21) se tiene la ecuación de movimiento de un ‡uido sometido a una presión p: ! @! v + ! v r ! v = @t

grad p

(3.25)

Esta es sin embargo una ecuación muy simpli…cada. Si se considera la viscosidad del ‡uido , la parte de la derecha de la ecuación (3.24) tendrá términos adicionales que dan cuenta de la fricción viscosa, es decir términos tipo r2 ! v + ( + ) grad div ! v (3.26) y que nosotros no tomaremos en cuenta por ser términos que introducen no linealidades que no serán consideradas en este curso y se dejan para los cursos especiales de mecánica de ‡uidos. La ecuación (3.25) se obtuvo a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton al elemento de volumen dV . Adicionalmente con esta ecuación, es necesario considerar la ecuación de continuidad que es la expresión matemática de la ley de conservación de la masa. El ‡ujo de masa está dado por ! v ; por lo cual la ley de conservación tiene la forma: Z Z Z ! ! d dV (x; y; z; t) = dS v = dV div ( ! v) (3.27) dt V S V DEDUCCIÓN DE LAS PRINCIPALES EDPS

47

Con lo que se obtiene, dado que la integración se da por un volumen arbitrario, la ecuación de continuidad: @ + div ( ! v)=0 @t

(3.28)

2. Procesos estacionarios. Para los procesos estacionarios F (x; t) = F (x) y u(x; t) = u(x) con lo cual tanto la ecuación de difusión como la ecuación de las oscilaciones puede ser escrita de la forma div(p grad u) + qu =

F (x)

(3.29)

Si p = const y q = 0 la ecuación (3.29) se denomina ecuación de Poisson: u=

f

f = F=p

(3.30)

y si f = 0 se obtiene la denominada ecuación de Laplace: u=0

(3.31)

Supongamos que en la ecuación de onda (3.20) la acción externa es f (x; t) = c2 f (x)ei!t una función periódica con frecuencia ! y amplitud c2 f (x): La solución deberá ser buscada en forma de oscilaciones periódicas en esta misma frecuencia y una amplitud u(x) desconocida: u(x; t) = u(x)ei!t y por lo tanto la ecuación (3.20) toma la forma r2 + k 2 u(x) = 0

(3.32)

donde k 2 = ! 2 =c2 . Esta ecuación se denomina ecuación de Helmholtz.

3.1.4. Procesos ondulatorios 1. Ondas acústicas en un ‡uido compresible. El problema del desplazamiento de ondas acústicas es tal vez uno de los problemas más importantes en el estudio de diferentes fenómenos físicos que involucran vibraciones del medio. En particular, podemos considerar que en un medio de densidad volumétrica constante ( = 0 ) y que es sometido a una presión constante(p = p0 ), se producen pequeñas oscilaciones. La consideración de pequeñez está ligada a la condición 0 = const, p0 = const. Estas oscilaciones introducen en el ‡uido variaciones de presión p0 y densidad 0 por lo cual se tiene: = 0+ 0 p = p0 + p0 48

con 0 << 0 con p0 << p0

(3.33)


Para los casos cuando la velocidad típica del ‡uido es mucho menor que la velocidad del sonido en el ‡uido (v << c), se puede decir que se tiene un estado cuasi - estacionario. Con estos supuestos es posible linealizar las ! ecuaciones (3.25) y (3.28), es decir, los términos cuadráticos ! v r ! v 0! y v pueden ser considerados demasiado pequeños y no ser tenidos en cuenta, con lo cual se tendrá:

@! v = grad p0 0 @t div ! v =0

(3.34)

@ 0 + 0 (3.35) @t Si asumimos que la presión en el ‡uido es sólo una función de la densidad, entonces teniendo en cuenta (3.33) las ‡uctuaciones de presión y de densidad se relacionan como: @p @p 0 p0 = p = = = C2 0 (3.36) @ @ Las variaciones de la temperatura debido al desplazamiento de ondas de sonido en el ‡uido son despreciables, es decir, se puede considerar que las ‡uctuaciones de densidad y presión son isotérmicas, por lo cual a partir de la ecuación de estado pV = nRT se tiene que la presión en el ‡uido es inversamente proporcional al volumen, es decir, proporcional a la densidad del ‡uido, por lo cual la constante de proporcionalidad en la ecuación (3.36) puede ser escrita como: C2 =

p @p = @

(3.37)

Por otro lado, Laplace observó que las oscilaciones acústicas son tan rápidas que no se alcanza a producir una transferencia de calor, es decir, el proceso sucede de manera adiabática y es posible usar la aproximación adiabática pV = const es decir, p 1=V y en este caso la ecuación (3.37) toma la forma más general: C2 =

p @p = @

(3.38)

Donde = cp =cv es un coe…ciente adimensional e igual a la relación entre los coe…cientes de calor especí…co. Tomando la divergencia de la ecuación (3.34) y eliminando ! v y p0 con la yuda de (3.35) y (3.36) llegamos …nalmente a la ecuación de las ondas de sonido en un ‡uido, expresadas a través de ‡uctuaciones de densidad 1 @2 0 r2 0 = 2 2 (3.39) C @t o a través de (3.36), expresada a través de ‡uctuaciones de presión r2 p0 = DEDUCCIÓN DE LAS PRINCIPALES EDPS

1 @ 2 p0 C 2 @t2

(3.40) 49

2. Electrodinámica.Ondas Electromagnéticas Hasta ahora hemos estudiado el desplazamiento de ondas que involucran el movimiento local de partículas materiales. Sin embargo existen otros fenómenos ondulatorios que no involucran el movimiento de materia y sin embargo, involucran el transporte de energía y momentum lineal. Este es el caso de las ondas electromagnéticas cuya existencia fue predicha por James Clark Maxwell en 1.868 y descubiertas experimentalmente más tarde en 1.877 por Henry Hertz. Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell, conocidas del curso general de electromagnetismo, están compuestas por las leyes fundamentales que habían sido descubiertas por diferentes físicos durante los siglos XVII – XIX, como son la Ley de Gauss para el campo eléctrico, Ley de Gauss para el campo magnético, la ley de inducción de Faraday y la ley de Ampere –Maxwell. Estas ecuaciones pueden ser escritas de la siguiente forma: Forma Integral H ~ dA ~ = 1 qint a. E = A E "0 H ~ dA ~=0 b. B = A B H ~ d~l = @ B c. L E @t H ! ~ d. L B dl = Icon + " @@tE

Forma Diferencial ~ = 1 (x; y; z) div E "0 ~ =0 div B ~ = @ B~ rotE @t ! ! ! rot B = j + " @@tE

Ecuación de onda en el vacío Para el caso cuando se consideran los campos electromagnéticos en ausencia de cargas eléctricas y corrientes de conducción, el grupo de ecuaciones de Maxwell toma una forma simétrica: ~ =0 a: div E ~ = @ B~ c: rotE @t

~ =0 b: div B ! ! d: rot B = " @@tE

(3.41)

~ y las reglas del cálculo vectorial Con la ayuda del operador nabla r podemos reescribir (3.41) de la forma: ! ~ a: r E =0 ! ~ c: r E =

~ @B @t

! ~ b: r B =0 ! ! d: r B =

! @E 0 "0 @t

(3.42)

A partir de la ley de Faraday (3.42.c) y aplicando la operación rotor a ambos lado de la igualdad obtenemos: ! r 50

! r

! E =

! r

!! @B @t

(3.43)


Desarrollemos primero la parte izquierda de la ecuación 3.43 es decir, el !! doble producto vectorial y tengamos en cuenta que en este caso r E = 0. De esta manera se tiene que: ! r

! ! r E

! ! r r

! E =

! r2 E

(3.44)

En la parte derecha de la ecuación 3.43, debido a que las coordenadas espaciales y temporales son independientes unas de otras, es posible cambiar el orden de diferenciación y con la ayuda de la ley de Ampere – Maxwell (3.42.d) obtener: ! r

!! @B = @t

@ ! r @t

! B =

! @2 E 0 "0 @t2

(3.45)

Y …nalmente de 3.44 y 3.45 se tiene la ecuación de onda: ! @2 E r E = 0 "0 2 @t 2!

(3.46)

De manera análoga se puede obtener la ecuación de onda para el campo magnético aplicando la función rotor a ambos lados de la ecuación (3.42.d) y siguiendo un razonamiento igual al anterior (ejercicio propuesto para el lector): ! @2 B (3.47) r B = 0 "0 2 @t Cabe la pena aclarar que aunque las ecuaciones (3.46) y (3.47) son ecuaciones para el campo eléctrico y magnético respectivamente, estas ecuaciones no son independientes, es decir, ninguna de ellas puede existir en ausencia total de la otra. Por esta razón, en muchos casos prácticos, es su…ciente con el análisis de sólo una de ellas. 2!

En el caso más general, las ecuaciones de Maxwell pueden ser escritas de la forma

~ = =" a: div E ~ ~ = 1 @B c: rotE c @t

~ =0 b: div B ! ! @E ! d: rot B = j + " @t

Donde se ha tenido en cuenta que c = ( ") DEDUCCIÓN DE LAS PRINCIPALES EDPS

1=2

(3.48)

. 51

~ = 0 entonces la inducción del campo magnético puede ser Dado que div B ! escrita a través de un potencial vectorial A : ! ! B = rot A (3.49) Con lo cual la ley de Faraday en la ecuación (3.48) toma la forma: " !# ~ @ B @ A 1 1 ~ ~ = rot E+ =0 rotE+ c @t c @t

(3.50)

Esta última ecuación implica que debe existir un potencial escalar ' de modo que la intensidad del campo eléctrico se puede expresar a través de los potenciales escalar y vectorial3 : ! 1@A ~ E = grad' (3.51) c @t Finalmente sustituyendo las expresiones (3.49) y (3.51) en las ecuaciones de Maxwell (3.48a y 3.48d) y aplicando la divergencia a la ecuación (3.51) se tiene r E=

"

! @(r A ) @t

2

r'

=

! @ (r A ) = @t " Aplicando rotacional a (3.49) y teniendo en cuenta (3.51) r2 ' +

1 @2' = c2 @t2 ! 1 @2 ! r2 A 2 2 A = c @t r2 '

! 1 @' div A + c @t ! 1 @' ! j + grad div A + c @t

="

1 c

@ @t

(3.52)

Si se toma como válida la condición de Lorentz para potenciales, ! div A =

"

@' @t

las ecuaciones (3.52) se separan y …nalmente obtenemos una ecuación de onda no homogénea de la forma 1 @2 r2 ' 2 2 '= c @t2 1 @ ! 2! r A 2 2 A= c @t

=" ! j

(3.53)

3 Esto dado que el rotacional del gradiente de un campo escalar es nulo. Mirar: MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICS , H. W. Wyld, o Elementos de electromagnetismo, M. N. Sadiku

52


3. Ecuación de Schrödinger Sea una partícula cuántica de masa m0 que se desplaza en un campo externo de fuerzas, caracterizado por el potecial U (x). Por x entendemos las coordenadas espaciales del problema. Designemos como (x; t) la función de onda asociada a esta partícula, de manera que j (x; t)j2 V (x) es la probabilidad de que la partícula se hallará en el volumem V (x) en la vecindad del punto x en el instante t; La función (x; t) satisface la ecuación de Schrödinger i~

@ = @t

~2 2 r +U 2m0

(3.54)

Con ~ = 1;054 10 27 erg s La constante de Planck. Si la energía de partícula E posee determinado valor, entonces de dice que tal estado es un estado estacionario. En este caso la función de onda tiene la forma i (3.55) (x; t) = e ~ Et (x) donde la función de onda (x) satisface la ecuación estacionaria de Schrödinger ~2 2 r (x) + (E 2m0

U (x)) (x) = 0

(3.56)

Si el potencial U (x) = 0, entonces la ecuación de Schrödinger se transforma en la ecuación homogénea de Helmholtz.

3.1.5. Conclusión Ahora intentemos realizar una generalización con las ecuaciones obtenidas en todos los casos anteriores. En cada caso hemos obtenido una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden. Los problemas de difusión de calor o de partículas conducen a ecuaciones del tipo 1@ = (x; t) r2 @t que para el caso de ausencia de fuentes externas toma la forma r2

1@ =0 @t

Los problemas de oscilaciones y ondas en diferentes medios conducen a ecuaciones de la forma r2

1 @2 = (x; t) c2 @t2

DEDUCCIÓN DE LAS PRINCIPALES EDPS

53

que para el caso de ausencia de fuentes externas toma la forma 1 @2 =0 c2 @t2

r2

Y …nalmente, en los casos estacionarios, ambas ecuaciones conducen a la llamada ecuación de Laplace r2 = 0 o la ecuación de Poisson para el caso no homogéneo: r2

= (x)

En el siguiente capítulo iniciaremos con una formalización de tales ecuaciones y las clasi…caremos en tres grupos: ecuaciones de tipo elíptico, hiperbólico y parabólico.

54


3.1.6. Ejercicios propuestos Deducción de ecuaciones en física 1. Vibraciones longitudinales en una barra. Una barra elástica recta puede ser perturbada al comunicarle pequeños desplazamientos e impulsos longitudinales en la sección transversal de sus extremos, en un instante dado. Considerando que en todo instante las secciones transversales de la barra permanecen planas (no se deforman), plantear el problema de contorno para t > 0, para los casos: a) Los extremos de la barra están …jos rígidamente. b) Se mueven según una función dada. c) Están sometidos a una fuerza elástica linealmente proporcional al desplazamiento longitudinal, el la dirección opuesta al desplazamiento.

Figura 3-3 Vibraciones longitudinales en una barra

2. Vibraciones transversales de una cuerda. Una cuerda está sometida a una tensión F0 y no se encuentra bajo la in‡uencia de la fuerza de gravedad. En un instante de tiempo t = 0, a los puntos de la cuerda se les comunica un desplazamiento y un impulso. Plantear el problema de contorno para t > 0. 3. Vibraciones de torsión de una barra cilíndrica. En el instante t = 0, una barra cilíndrica homogénea y elástica se saca de su posición de reposo al cumunicarle a sus planos transversales pequeños giros respecto de su eje perpendicular. Plantear el problema de contorno para determinar los ángulos de torsión para t > 0 para los casos a) Los extremos de la barra están libres. b) Los extremos de la barra están …jos rígidamente. c) Los extremos de la barra están …jos elásticamente. 4. Vibraciones longitudinales de una columna de gas.Se tiene una columna cilíndrica de gas ideal que puede realizar pequeñas oscilaciones longitudinales. Todas las partículas del gas se mueven paralelamente al eje de la columna. Plantear los problemas de contorno para determinar la densidad, la presión, el potencial ' de las velocidades de las partículas del gas y el desplazamiento u de las partículas para los casos: a) Los extremos del tubo cilíndrico están cerrados. b) Los extremos del tubo cilíndrico están abiertos. DEDUCCIÓN DE LAS PRINCIPALES EDPS

55

c) Los extremos del tubo cilíndrico están cerrados con pistones de masa despreciable, colocados sobre resortes de constante elástica k, y que se pueden mover sin fricción dentro del cilindro. 5. Ondas electromagnéticas en un material conductor. Deducir la ecuación de ondas electromagnéticas en un material conductor. Plantear el problema de contorno para el caso de una frontera dieléctrico - conductor.

56


Parte II EDPs de segundo orden.

57

4. CLASIFICACIÓN DE LAS EDPS DE SEGUNDO ORDEN.

Todas las ecuaciones obtenidas en el capítulo anterior, se pueden escribir a través de una ecuación más general. Consideremos1 la ecuación de segundo orden n X

Aij (x1 ; :::; xn )

i;j=1

@2u +f @xi @xj

x1 ; :::; xn ; u;

@u @u ; :::; @x1 @xn

=0

(4.1)

Los coe…cientes Aij son funciones de…nidas en la región del espacio (x1 ; :::; xn ), y Aij = Aji . Consideraremos que todas las funciones y las variables independientes son reales.

4.1. Clasi…cación en un punto En este parágrafo haremos la clasi…cación de las ecuaciones tipo (4.1) en un punto. Para hacer esto de…namos cierto punto (x01 ; :::; x0n ) en la región y reescribamos la ecuación (4.1) en cuadraturas n X

i;j=1

Aij (x01 ; :::; x0n )ti tj + f

x1 ; :::; xn ; u;

@u @u ; :::; @x1 @xn

=0

(4.2)

Se dice que la ecuación (4.1) es de tipo ELIPTICO en el punto (x01 ; :::; x0n ) si en este punto la forma en cuadraturas (4.2) está de…nida positiva o negativa. Se dice que la ecuación (4.1) es de tipo HIPERBOLICO en el punto (x01 ; :::; x0n ); si en este punto la forma en cuadraturas (4.2), al convertirla en la suma de los cuadrados, posee todos sus coe…cientes menos uno, de un mismo signo y los otros coe…cientes tienen el signo contrario. Se dice que la ecuación (4.1) es de tipo ULTRA-HIPERBOLICO en el punto (x01 ; :::; x0n ) si en este punto la forma en cuadraturas (4.2) al convertirla en la suma de los cuadrados, posee más de un coe…ciente positivo y más de un coefciente negativo y todos sus coe…cientes son diferentes de cero. Se dice que la ecuación (4.1) es de tipo PARABOLICO en el punto (x01 ; :::; x0n ) si en este punto la forma en cuadraturas (4.2), al convertirla en la suma de los 1

Tomado de Koshlykov N., Ecuaciones de la Física Matemática

CLASIFICACIÓN DE LAS EDPS DE SEGUNDO ORDEN.

59

cuadrados, posee sólo un coe…ciente igual a cero y todos los demás coe…cientes poseen el mismo signo. Se dice que la ecuación (4.1) es de tipo ELIPTICO o HIPERBOLICO o mejor de tipo MIXTO en la región si ella es correspondientemente de tipo ELIPTICO o HIPERBOLICO en cada punto de esta región. Si todos los coe…cientes Aij son constantes, entonces la pertenencia de la ecuación a uno u otro tipo no depende del valor de la variable independiente. El ejemplo más simple de una ecuación de tipo elíptico es la ecuación de Laplace; La ecuación de onda es una ecuación de tipo hiperbólico y por último la ecuación de conductividad térmica es de tipo parabólico. Dediquémonos más detalladamente al caso de dos variables independientes, u = u(x; y) y consideremos la ecuación: a(x; y)uxx + 2b(x; y)ux;y + c(x; y)uy;y + f (x; y; u; ux ; uy ) = 0

(4.3)

Donde a; b; c son funciones de…nidas en la región y poseen segunda derivada continua y f es una función continua de sus argumentos. Si f es lineal respecto de u; ux ; uy entonces la ecuación (4.3) –es lineal. Nuestra tarea es llevar la ecuación (4.3), a través de cierta transformación, a una forma más simple. Para esto introduzcamos las nuevas variables = (x; y) y = (x; y) y exijamos que estas sean doblemente diferenciables, continuas y que el jacobiano de la transformación sea diferente de cero en la región , es decir D( ; ) x x 6= 0 = D= D(x; y) y y Expresemos las derivadas a través de las nuevas variables: ux = u

uxy

x

+u

uxx = u 2x + 2u =u x x+u x uyy = u 2y + 2u

x;

uy = u

2 x

+u

+u

(4.4)

y

+ u xx y + y x +u x y + u xy + u 2 y y +u y + u yy + u yy x x

+u

y

xx

xy

(4.5)

Así la ecuación (4.3) en las nuevas variables toma la forma: + F ( ; ; u; u ; u ) = 0

(4.6)

A = a 2x + 2b x y + c 2y B =a x x+b x y+ y x +c y y C = a 2x + 2b x y + c 2y F = u a xx + 2b xy + c yy u + +u a xx + 2b xy + c yy + f ( ; ; u; u ; u )

(4.7)

Au + 2Bu + Cu donde

60


Mediante reeemplazo directo se puede comprobar que B2

AC = b2

ac (

x y

2 y x)

de lo cual se desprende que la transformación de variables no cambia el tipo de ecuación, debido a que x y y x 6= 0 por exigencia sobre el jacobiano de la transformación. Intentemos escoger = (x; y) y = (x; y) de manera que se anule alguno de los coe…cientes A; B; C. La tarea de llevar a A y C a anularse es equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer orden: azx2 + 2bzx zy + czy2 = 0

(4.8)

respecto de la función desconocida z(x; y). Dividamos entre zy2 para obtener a

zx zy

2

+ 2b

zx zy

+c=0

(4.9)

Y busquemos una solución viendo esta ecuación como una ecuación cuadrática respecto de (zx =zy ) con lo cual: p p b b2 ac zx azx + b + pb2 ac zy = 0 = ) (4.10) azx + b b2 ac zy = 0 zy a Ahora, solucionando cada una de estas ecuaciones por el método de las características se obtiene: 8 dx dy > p = < a b + b2 ac (4.11) dy dx > : p = a b b2 ac p ady + b + pb2 ac dx = 0 (4.12) ady + b b2 ac dx = 0 De la cual concluimos que: '(x; y) = c1 (x; y) = c2

(4.13)

que son las integrales del sistema (4.12), y por ende, son la solución de la ecuación (4.8). Las ecuaciones (4.12) pueden ser escritas en forma de una sola ecuación (suma de cuadrados): a (dy)2

2bdxdy + c (dx)2 = 0

(4.14)

Comúnmente esta ecuación es usada para la de…nición de las integrales del sistema (4.12). El comportamiento de las funciones '(x; y) y (x; y), y consecuentemente la forma sencilla que se busca para la ecuación (4.3), depende del signo de = b2 ac. DEFINICION: A la ecuación (4.3) en cierto punto M (x0 ; y0 ) 2 , se denomina de tipo CLASIFICACIÓN EN UN PUNTO

61

Hiperbólico si Parabólico si Elíptico si

= b2 = b2 = b2

ac > 0 ac = 0 ac < 0

DEFINICION: Si el signo de (x; y) se conserva o si (x; y) = 0 en cierta región G1 , entonces la ecuación es de tipo hiperbólico, elíptico o parabólico respectivamente en toda esa región G1 . Ejemplo: Hemos llegado a la conclusión que en términos generales una misma ecuación puede pertenecer a diferentes tipos de ecuaciones en diferentes puntos del espacio en consideración. Como ejemplo, observemos la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden: (4.15)

xuxx + yuyy = 0 En este caso a = x, b = 0 y c = y. De esta manera se tiene que xy. Por lo cual surge la pregunta - ¿qué signo le asignamos a

Figura 4-1 Tipo de acuación para

= b2

ac =

= b2 ?

ac =

xy

Al observar la grá…ca se tiene que > 0 si x > 0 y y < 0 o si x < 0 y y > 0, es decir en el segundo y cuarto cuadrante. Los puntos sobre los ejes corresponden a la condición = 0 y …nalmente < 0 si x; y > 0 o si x; y < 0. Podemos entonces concluir que la ecuación (4.15) es tipo elíptico en los puntos pertenecientes a los cuadrantes 1 y 3, de tipo hiperbólico en los puntos pertenecientes a los cuadrantes 2 y 4, y de tipo parabólico en todos los puntos situados sobre los ejes coordenados. Para el caso más simple de ecuaciones con dos variables independientes, un ejemplo de ecuación tipo parabólico es la ecuación de difusión @u @t

@2u =0 @x2

(4.16)

donde t juega el papel de la variable temporal y x la variable espacial. Esta ecuación posee sólo un miembro con derivada superior. 62


El ejemplo más simple de ecuación de tipo hiperbólico es la ecuación de onda: @2u @2u =0 (4.17) @t2 @x2 y el ejemplo más sencillo de ecuación de tipo elíptico es la ecuación de Laplace @2u @2u + =0 @x2 @y 2

(4.18)

cuando los signos de todas las derivadas de orden superior poseen el mismo signo. Cualquier ecuación en derivadas parciales de segundo grado, puede ser llevada a una forma más simple, donde aparece una combinación de las derivadas superiores de acuerdo a los casos que se han mostrado.

4.1.1. Forma canónica. Consideremos la ecuación diferencial lineal en derivadas parciales a(x; y)

@2u @2u @2u + 2b(x; y) + c(x; y) = F (x; y; u; ux ; uy ) @x2 @x@y @y 2

(4.19)

Para llevar la ecuación (4.19) a la forma canónica es necesario escribir la ecuación de sus características a (dy)2

2bdxdy + c (dx)2 = 0

(4.20)

p b + pb2 b b2

(4.21)

que se dividen en dos ecuaciones ady ady

ac dx = 0 ac dx = 0

y hallar sus integrales generales (primeras integrales). Ecuación de tipo hiperbólico, b2

ac > 0

Es posible considerar que en el punto (x0 ; y0 ) en la vecindad del cual vamos a llevar esta ecuación a la forma canónica, ó a 6= 0 ó c 6= 0. Si a 6= 0 la ecuación (4.19) tiene dos primeras integrales solución de (4.21). Las integrales generales '(x; y) = c1 y (x; y) = c2 son funciones reales y diferentes cada una, con derivada continua hasta de segundo orden en la vecindad de (x0 ; y0 )2 . Estas integrales de…nen dos familias diferentes de curvas llamadas curvas características de la solución de (4.19) o simplemente características, cuyas ecuaciones son las ecuaciones (4.21). Supongamos = (x; y) = '(x; y) 2

V.V. Stepanov

CLASIFICACIÓN EN UN PUNTO

63

y = (x; y) = (x; y), en este caso el jacobiano de la transformación toma la forma p @' @' b2 ac @' @ @x @y (4.22) = 2 @ @ a @y @y @x @y pero se tiene que dado que b2 ac > 0, si en cierto punto el jacobiano es igual a cero, entonces en este punto son igual a cero ambas derivadas parciales de primer orden de las funciones ' y . Por esta razón se hace necesario construir las soluciones de forma tal que estas derivadas parciales de primer orden no se anulen simultáneamente. Esto puede hacerse de forma fácil resolviendo el problema de valores iniciales tales que, para x = x0 , se tenga que '(x0 ; y0 ) 6= 0 y (x0 ; y0 ) 6= 0. Las funciones ' y satisfacen la correspondiente ecuación homogénea de (4.21) y de los correspondientes coe…cientes (4.7) A = C = 0. El coe…ciente B 6= 0 en toda la región de consideración. Por lo tanto diviendo (4.6) entre 2B, la ecuación (4.19) se convierte en la forma canónica @2u = F1 ( ; ; u; u ; u ) @ @

(4.23)

Si la ecuación (4.19) es lineal respecto de las primeras derivadas y la función u, entonces esta última forma también será lineal. Adicionalmente si a = c = 0 la ecuación (4.19) ya tiene la forma canónica. Usando la transformación = t+z; = t z la ecuación canónica obtenida se transforma en otra forma canónica @2u @t2

@2u = F2 (t; z; u; ut ; uz ) @z 2

(4.24)

donde F2 = 4F1 . La parte izquierda de esta ecuación coincide con la ecuación de onda. Ecuación de tipo parabólico, b2

ac = 0.

En este caso las ecuaciones (4.21) concuerdan y tienen la forma a

@' @x

b

@' =0 @y

No es difícil comprobar que cualquier solución de esta ecuación '(x; y) = const, es también solución de la ecuación b

@' @x

c

@' =0 @y

Es de notar que se tiene sólo una familia de características. Tomemos = (x; y) = '(x; y) y como = (x; y) tomemos cualquier función doblemente diferenciable en la región de de…nición, de forma que el jacobiano de la transformación sea diferente de cero en la vecindad del punto (x0 ; y0 ): D( ; )=D(x; y) 6= 64


0. En este caso A la forma B=

0; lo cual se deriva de (4.7), y el coe…ciente ante u a

@' @' +b @x @y

@ @' @' + b +c @x @x @y

toma

@ =0 @y

en la vecindad del punto (x0 ; y0 ). El coe…ciente C ahora toma la forma C=

1 a

a

@ @ +b @x @y

con lo cual la ecuación (4.6), al dividir entre C se transforma a la forma canónica @2u = F3 ( ; ; u; u ; u ) @ 2

(4.25)

En calidad de se puede elegir = x o = y: Notemos que en la transformación de la ecuación de difusión se tiene sólo un miembro con derivada de segundo orden. Nótese que para el caso cuando la función F1 no depende de @u=@ la ecuación (4.25) es una ecuación diferencial ordinaria respecto de en la cual juega el papel de cierto parámetro. Ecuación de tipo elíptico, b2

ac < 0:

Supongamos que a; b; c son funciones analíticas3 , con lo cual los coe…cientes de las ecucaciones (4.21) también son funciones analíticas de x y y por lo cual es posible a…rmar que la ecuación a(x; y)

@' @x

2

@' @' + 2b(x; y) + c(x; y) @x @y

@' @y

2

=0

(4.26)

posee una solución analítica '(x; y) = '1 (x; y) + i'2 (x; y) en la vecindad del punto (x0 ; y0 ) y j'x j + 'y 6= 0 en la misma vecindad4 . En este caso las integrales generales de (4.12) son funciones complejas conjugadas y de…nen dos familias de características imaginarias. Suponiendo que las funciones de transformación son = '1 (x; y);

= '2 (x; y)

3

Se dice que la función '(x; y) es una función analítica en el punto (x0 ; y0 ) si es posible espandir esta función en una serie '(x; y) =

1 X

aij (x

x0 )i (y

y0 )j

i;j=0

que converge en la vecindad de (x 4 Teorema Kovalevski


x0 ; y

y0 ).

65

es posible separar la parte real y la parte imaginaria de la ecuación (4.26) así: a

@ @x

2

+ 2b

@ @ +c @x @y

@ @y

2

@ @x

=a

0=a

2

+ 2b

@ @ +c @x @y

@ @y

@ @ @ @ @ @ @ @ + b( + )+c @x @x @x @y @y @x @y @y

de donde se deduce que A = C y B = 0. Por la de…nición de la forma cuadrática at21 + 2bt1 t2 + ct22 con (b2 los coe…cientes A = C pueden anularse sólo en el caso cuando x

=

y

=

2

x

=

y

ac < 0)

=0

Por lo cual la solución '(x; y) se elige de forma tal que estas igualdades no se cumplan simultáneamente. La ecuación (4.6)5 luego de dividir entre A, toma la forma canónica @2u @2u + 2 = F4 ( ; ; u; u ; u ) (4.27) @ @ 2 La parte izquierda de esta ecuación coincide con la parte izquierda de la ecuación de Laplace. Es de notar que como ya se dijo arriba, en diferentes puntos de la región de defnición , la ecuación (4.19) pertenezca a diferentes tipos. Los puntos donde la ecuación (4.19) es de tipo parabólico se caracterizan por la igualdad b2 ac = 0. Supongamos que los puntos de…nidos por esta igualdad forman una curva suave simple . La curva se denomina "curva de degeneración parabólica". Si la curva divide la región en dos regiones de las cuales en una región la ecuación (4.19) es de tipo elíptico y en la otra de tipo hiperbólico, entonces se dice que en la región la ecuación (4.19) es de tipo mixto. Mostremos algunos ejemplos de este caso

Nota 19 Al buscar las funciones de transformación = '1 (x; y) y = '2 (x; y) es de mucha ayuda tener en cuenta los siguientes hechos que conocemos de la teoría de ecuaciones diferenciales: 1. Si '(x; y) es una intergral de la ecuación M (x; y)dx + N (x; y)dy = 0 (4.20, 4.21), entonces una función arbitraria ('(x; y)) también es una integral de esta ecuación. Por ejemplo, si ln(x + y 5) es una integral de la ecuación en cuestión, entonces la función x + y también es una integral de la misma ecuación. En realidad se debe tener en cuenta que x + y = exp(ln(x + y 5)) + 5 y la función (z) = ez + 5 es una función diferenciable para todo valor de z. 5

66

Que es el equivalente de (4.19)


2. Una situación análoga se tiene para el caso de las ecuaciones tipo parabólico. Si '(x; y) = c es la integral general que hemos hallado, entonces en calidad de sustitución podemos tener = '(x; y) o también = ('(x; y)). Por ejemplo sea que la ecuación de primeras integrales se puede escribir como 3xdx + ydx = 0 cuya solución es ln jxj + ln c: 3 p De donde p la integral general se escribe como y 3 x = c. Pero la sustitución de = y 3 x p resulta muy engorroza. Sin embargo podemos sustituir 3 mejor = (y 3 x) = y 3 x con lo cual se tiene un procedimiento menos engorroso. ln jyj =

3. Para la ecuación de tipo elíptico no es posible cambiar '1 (x; y) y '2 (x; y) y por comodidad como máximo se puede multiplicar por 1. Ahora mostremos algunos ejemplos para diferentes casos. Ejemplo 1: Llevar a la forma canónica la ecuación 2 @2u @u u 2@ u + 2xy + 2x +y =0 y 2 2 @x @x@y @y @y 2@

2

en la región x 6= 0; y 6= 0: Solución. En este caso se tiene que = B 2 AC = x2 y 2 2x2 y 2 < 0 en la región de consideración, por lo cual en esta región la ecuación es de tipo elíptico y su ecuación característica toma la forma y 2 dy 2

2xydxdy + 2x2 dx2 = 0

y resolviendo respecto de y obtenemos dos ecuaciones: ydy

(1

i) xdx = 0 y ydy

(1 + i) xdx = 0

y como y 2 + (1 + i)x2 = C es su solución general, la integral es una función compleja '(x; y) = x2

y 2 + ix2

Como se estableció arriba, para llevar esta ecuación a la forma canónica en la región indicada, vasta con admitir el cambio de variables a través de = Re '(x; y) = x2 CLASIFICACIÓN EN UN PUNTO

y2;

= Im '(x; y) = x2 67

Se puede comprobar que con esta condición la transformación a la forma canónica es posible: @u @x @2u @y 2 @2u @x@y @2u @x2

@u @u @u @u 2x + 2x; = 2y @ @ @y @ 2 @ u @u + 4y 2 2 = 2 @ @ 2 @ u @2u = 4xy + @ 2 @ @ @2u @2u @u @2u @u +2 + 4x2 + 2 + =2 @ @ @ @ @ 2 @ 2 =

Al reemplazar en la ecuación inicial, se obtiene: @2u @2u + 2 = @ @ 2

1

@u @

1 @u 2 @

que es la forma canónica de la ecuación de tipo elíptico. Ejemplo 2: Ecuación Tricona. Consideremos la ecuación y

@2u @2u + =0 @x2 @y 2

Solución. Esta ecuación es de tipo mixto en cualquier región que contenga el eje 0x. Para y > 0 la ecuación es de tipo elíptico; para y < 0 la ecuación es de tipo hiperbólico y y = 0 de…ne una recta donde la ecuación es de tipo parabólico. y

y

Elíptico Parabólico

x

x

Hiperbólico 2

y @@xu2 +

@2u @y 2

=0

@2u @x2

2

+ x @@yu2 = 0

Ejemplo 3. Investigar el tipo de ecuación a la cual pertenece la siguiente ecuación @2u @2u + x =0 @x2 @y 2 68


Esta ecuación es de tipo mixto en cualquier región que contenga el eje 0y. La recta y = 0 corresponde a la línea de parabolismo, la cual es simultáneamente una característica de la ecuación. Algunas veces, el llevar la ecuación a la forma canónica convierte la ecuación en una forma que puede ser fácilmente resuelta, lo cual mostraremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4. Resolver la ecuación x2

@2u @x2

y2

@2u @u + 2x @y 2 @x

2y

@u =0 @y

en la región x 6= 0; y 6= 0: En la región en consideración se tiene que = x2 y 2 > 0 con lo cual se tiene que en esta región la ecuación es de tipo hiperbólico. La ecuación característica tiene la forma x2 dy y 2 dx = 0 que se divide en dos ecuaciones diferentes de las características xdy ydx = y xdy + ydx = 0. La solución general de estas ecuaciones tiene la forma xy = C1 y y=x = C2 con lo cual las funciones de la transformación y '1 (x; y) = xy = y '2 (x; y) = = x llevan la ecuación dada a la forma canónica. Mostremos el procedimiento calculando cada derivada así: @u @x @u @y @2u @x2 @2u @y 2

@u @u y y j @ @ x2 @u @u 1 = x+ j @ @ x @2u y2 @ 2u = 2 y2 2 2 x @ @ @ @2u @2u = 2 x2 + 2 + @ @ @

=

2x; 2y; @ 2 u y 2 @u 2y + @ 2 x4 @ x3 @2u 1 j y2: 2 2 @ x +

j

x2 ;

y reemplazando en la ecuación original se obtiene @2u = @ @

1 @u 2xy @

y teniendo en cuenta que xy = , …nalmente se obtiene @2u = @ @ Ahora, si denotamos

@u @

1 @u 2 @

= v( ; ) la ecuación en forma canónica toma la forma @v v + =0 @ 2


69

es una ecuación diferencial ordinaria que puede ser fácilmente resuelta por método de separación de variables Z Z dv 1 d + = C( ) v 2 w( ) 1 v = p exp(C( )) = p Ahora integrando respecto de se obtiene la solución general del problema propuesto Z w( ) p d + ( ) u= Si denotamos

Z

w( )d = '( )

la solución puede ser escrita en términos de dos funciones arbitrarias ' y 1 u( ; ) = p '( ) + ( ) y regresando a las variables originales se tiene 1 y u(x; y) = p '( ) + (xy) xy x

4.1.2. Conclusiones al parágrafo Es evidente que los diferentes tópicos y ejemplos mostrados no cubren toda la amplia gama de fenómenos de la física que en su modelamiento matemático conducen a EDPs. El objetivo tampoco ha sido ese, sino más bien presentar la idea general de que todos esos fenómenos conducen a ciertos tipos de ecuaciones en derivadas parciales que, en términos generales y después de realizar necesarias simpli…caciones, podemos expresar de la siguiente forma:

r2 r2

r2 = L [ ; ! r ; t] 1@ = L[ ;! r ; t] @t 1 @2 = L[ ;! r ; t] 2 2 c @t

(4.28) (4.29) (4.30)

Donde L [ ; ! r ; t] es cierto operador lineal que en términos generales puede ser una función de las variables espaciales y temporales. Estas tres ecuaciones deben ser completadas en cada caso con las condiciones iniciales y condiciones de frontera. Precisamente estas condiciones adicionales no sólo determinan el problema de la física matemática que se debe 70


resolver, sino que dan la diferencia entre ecuaciones matemáticamente idénticas. En los métodos matemáticos para la física se estudian fundamentalmente tres tipos de condiciones de frontera (o condiciones de borde), que han tomado nombres especiales: 1. Condiciones de frontera de Cauchy. En este caso se determina inicialmente el valor de la función y su derivada normal especi…cada en la frontera de la región de de…nición. En electrostática por ejemplo, estas condiciones signi…can establecer el potencial '(r = R0 ), y la componente normal del campo eléctrico En (r = R0 ). 2. Condiciones de frontera de Dirichlet6 . En este problema se determina incialmente el valor especí…co de la función en la frontera de la región de de…nición. 3. Condiciones de frontera de Neumann7 . Para el problema de Neumann, se especi…ca la derivada normal (gradiente normal), de la función en la frontera de la región de de…nición. Para el caso electrostático esto equivale a especi…car la densidad super…cial de carga. En muchos casos de fenómenos físicos, el interés recae sobre la solución de las ecuaciones homogeneas, es decir aquellas para las cuales L(! r ; t) = 0. En el contexto de este trabajo se dará especial atención a este caso de las ecuaciones homogeneas y se estudiarán algunos casos de ecuaciones no homogeneas. Ejemplo 5. Hallar la solución de la ecuación @2u @2u + 2 @x2 @x@y

3

@2u = 0; @y 2

que satisface las condiciones iniciales ujy=0 = 3x2 ;

@u jy=0 = 0 @y

Solución. En el plano xy se tiene que = 1 + 3 > 0, por lo cual concluimos que la ecuación es de tipo hiperbólico sobre todo el plano y su ecuación característica es dy 2 2dxdy 3dx2 = 0 se divide en dos ecuaciones de la forma dy = dx y dy = 3dx, cuyas soluciones son x + y = C1 y y 3x = C1 . Así la forma canónica se obtiene al realizar el cambio de variables de la forma = x + y;

=y

3x

6 Joann Peter Dirichlet -Matemático aleman (1.805-1.859). Se le atribuye la de…nición moderna de una función. Aplicó la teoría de series in…nitas de Fourier a la teoría del calor. 7 Carl Gottfried Neumann (1.832-1.925). Matemático alemán. Trabajó en el problema de Dirichlet y se considera uno de los padres de las ecuaciones integrales.


71

Como resultado del cambio de variable la ecuación toma la forma @ 2 u( ; ) =0 @ @ Denotemos u = v( ; ) y así la última ecuación toma la forma v = 0 por lo cual se tiene que v = ( ) donde ( ) es una función arbitraria de su argumento y para la función u se tendrá una ecuación de la forma u = ( ). Integrando respecto de Z u( ; ) = ( )d + ( ) = ( ) + ( ) donde las funciones ( ) y ( ) son funciones arbitrarias. Regresando a las variables originales (x; y) la solución general tiene la forma u(x; y) =

(x + y) + (y

(4.31)

3x)

Ahora, del innumerable conjunto de soluciones de…nido por la solución general, extraer aquella función especí…ca que satisface las condiciones de frontera, es decir, debemos hallar las funciones ( ) y ( ) tales que ujy=0 = @u jy=0 = @y

(x) + ( 3x) = 3x2

(4.32)

0

(4.33)

(x) +

0

( 3x) = 0

La derivada en la ecuación (4.32) se debe tomar por su argumento, es decir, la primera función se debe derivar respecto de x y la segunda respecto de 3x, con lo cual se tiene 0

(x) +

(x)

0

( 3x) =

d dx

(x)

1 ( 3x) 3

=0

1 ( 3x) = C 3

y …nalmente el sistema (4.32,4.33) puede ser resuelto 3 3 (x) = x2 + C; 4 4

9 ( 3x) = x2 4

3 C 4

Y reemplazando en (4.31) hallamos la solución buscada u(x; y) =

3 3 (x + y)2 + C 4 4

+

(y

3x)2 4

3 C 4

!

u(x; y) = 3x2 + y 2

72


4.2. Ejercicios propuestos Estrategía de solución de problemas Aquí presentamos una estrategía de solución de ejercicios de llevar una ecuación a su forma canónica. Primero presentaremos el algoritmo y luego lo mostraremos en la solución de algunos de los ejercicios propuestos.

Algoritmo 1. Hallar

y establecer el tipo de ecuación en cada región.

2. Hallar las primeras integrales de las ecuaciones caraterísticas. p dy b Para el caso cuando a 6= 0 se tiene = dx a p b dx = Para el caso cuando c 6= 0 se tiene dy c 3. Las primeras integrales tienen la forma:

1 (x; y)

'1 (x; y) = c1 '2 (x; y) = c2 para tipo hiperbólico i 2 (x; y) = c para tipo elíptico (x; y) = c para tipo parabólico

4. Se realiza el cambio de variables = '1 (x; y) = '2 (x; y)

para tipo hiperbólico

= =

para tipo elíptico

1 (x; y) 2 (x; y)

= (x; y) = (x; y)

para tipo parabólico

donde (x; y) es una función arbitraria tipo C1 que se elige de manera que x

y

x

y

6= 0

Ejemplo. Llevar la siguiente ecuación a su forma canónica en cada región según sea el caso. Realice grá…cas de los resultados obtenidos. uxx (x; y) + xuyy (x; y) = 0 EJERCICIOS PROPUESTOS

(4.34) 73

Solución. Consideremos la solución de este ejercicio siguiendo los pasos del algoritmo. Aquí juntaremos los pasos 2 y 3 en uno sólo. 1. Hallamos = y. En la …gura se muestra cada región del plano (x; y) y la clasi…cación de la ecuación

2. Ahora debemos hallar las primeras integrales de esta ecuación, teniendo en cuenta que en este caso c 6= 0 dado que c = 1, por lo cual se tiene que p p dx b dx = es decir = y dy c dy por lo cual se tienen tres casos: a. Para y < 0 la ecuación es de tipo hiperbólico y p

dx =

ydy

es decir

x+c=

2 3

y 3=2

por lo cual las primeras integrales son '1 (x; y) = x +

2 3

y 3=2 = c

2 3

'2 (x; y) = x

y 3=2 = c

b. Para y > 0 la ecuación es de tipo elíptico y dx =

p i ydy

es decir

x+c=

2 i y 3=2 3

y las primeras integrales toman la forma 1 (x; y)

=x

y

2 (x; y)

2 = y 3=2 3

c. Para y = 0 la ecuación es de tipo parabólico y dx = o dy

es decir x = c

por lo cual las primeras integrales son (x; y) = x y (x; y) es una función arbitraria tipo C1 . 74


3. En el tercer paso hacemos el cambio de variable para llevar u(x; y) ! u( ; ), que de nuevo tendrá tres casos a. Para y < 0 (caso hiperbólico) el cambio de variable (x; y) = x +

2 3

y 3=2

(x; y) = x

2 3

y 3=2

y se tiene que ux = u + u uxx = u + 2u + u

uy = ( u + u )

uyy =

y (u

p

y

2u + u )

( u +u ) p 2 y

con lo cual la ecuación toma la forma uxx (x; y) + xuyy (x; y) = y 4u

( u +u ) =0 2 ( y 3=2 )

y dividiendo entre 4y y expresando 2 y 3=2 = 3=2 ( se tiene 1 ( u +u ) u = 6( )

), …nalmente

que es la forma canónica buscada. Los casos parabólico y elíptico se dejan para el trabajo individual del lector. Hallar la región gamma donde la ecuación es de tipo heperbólico, elíptico o parabólico. Realice grá…cas de los resultados obtenidos. 1. uxx + xuyy = 0 2. uxx + yuyy = 0 3. uxx + yuyy + 12 uy = 0 4. yuxx + xuyy = 0 5. xuxx + yuyy = 0 6. (k + x)uxx + 2xyuxy

y 2 uyy = 0

7. uxx + xyuyy = 0 8. signy uxx + uxy + uyy = 0 9. uxx + xuyy = 0 10. uxx + 2uxy + signyuyy = 0 EJERCICIOS PROPUESTOS

75

11. signy uxx + 2uxy + uyy signx = 0 12. y 2 uxx + x2 uyy = 0 13. y 2 uxx

x2 uyy = 0

14. x2 uxx + y 2 uyy = 0 15. x2 uxx

y 2 uyy = 0

De…nir el tipo de ecuación en la región dada: 1. (y + 1) uxx

2uxy + xuyy

uy = 0 en el rectángulo 1 < x < 3; 0 < y < 1 6)2 < 1

2. xuxx + yuyy + 2 (x + y) uxy = 0 en el círculo x2 + (y 3. y 2 uxx + x2 uyy + 2xyuxy

xuy + yux = 0 en el cuadarado jxj < 1; jyj < 1

4. (x + y) uxx + (x

y) uyy + xu = 0 en el círculo (x

5. (x + 1) uxx + (y 0
3) uyy

5)2 + y 2 < 1

2x2 ux + u = 0 en el cuadrado 0 < x < 1;

Llevar a la forma canónica las siguientes ecuaciones 1. uxt + utt = 0 (3 + sin2 x)uyy

2. uxx

2 cos xuxy

3. uxx

2uxy + x2 uyy

yuy = 0

2uy = 0

4. (1 + x2 ) uxx + (1 + y 2 )uyy + xux + yuy = 0 5. uxx

2uxy + uyy = 0

6. uxx + e2x uyy + yuy

xux = 0

7. e2y uxx + 2xey uxy + x2 uyy = 0 8. yuxx + x (2y

1) uxy

2x2 uyy = 0

9. 9y 4 uxx + 6y 2 sin xuxy + sin2 xuyy = 0 10. x2 uxx

2xyuxy + (4 + y 2 ) uyy = 0

11. yuxx + (ex

y) uxy

ex uyy = 0

12. xuxx + (1 + x tan x) uxy + tan xuyy = 0 13. cos2 yuxx 76

2 sin x cos yuxy + sin2 xuyy = 0 CLASIFICACIÓN DE LAS EDPS DE SEGUNDO ORDEN.

EDPs de segundo orden con coe…cientes constantes En los siguientes ejercicios llevar la ecuación a la forma canónica y de ser posible construir una solución general. 1. 2uxx

2uxy + uyy = 0

2. 2uxx

uxy

3. uxx

6uyy = 0

10uxy + 25uyy = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS

77

78


5. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO HIPERBÓLICO

Figura 5-1 El que se enorgullece de sus conocimientos es como si estuviera ciego en plena luz. Benjamin Franklin

En este capítulo nos dedicaremos especí…camente al estudio de las EDPs de tipo hiperbólico. Incialmente presentaremos algunos problemas clásicos que son descritos por este tipo de EDPs. Así podremos mostrar el uso del método de solución por ondas viajeras e introducir la fórmula de D’Alambert. Luego presentaremos el método de separación de variables o método Fourier, que sin embargo, mostraremos que en general no es un método que pueda ser sólo usado en el caso de EDPs de tipo hiperbólico, sino que presenta una amplia gama de aplicaciones. Tendremos como resultado de la separación de variables, la formulación del problema de valores propios llamado problema de Sturm Liouville. Finalmente presentaremos una solución general de EDPs de tipo hiperbólico.

5.1. Fórmula de D’Alambert El problema clásico en el estudio de las EDP de tipo hiperbólico está representado en el problema de las oscilaciones de una cuerda in…nita dadas ciertas condiciones iniciales. Por esta razón, comenzaremos nuestro estudio de las ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO HIPERBÓLICO

79

EDPs tipo hiperbólico con este problema. Sea u(x; t) la función que describe las oscilaciones libres de una cuerda tensa. Entonces la ecuación utt

a2 uxx = 0 con

con condiciones iniciales

1 < x < +1 y t > 0

8 < u(x; 0) = '(x) ut (x; 0) = (x) : t>0

(5.1)

(5.2)

representa la ecuación de las oscilaciones libres de la cuerda, con condiciones iniciales de Cauchy. Transformemos esta ecuación a su forma canónica que involucra derivadas mixtas. La ecuación característica dx2 a2 dt2 = 0 se divide en dos ecuaciones dx adt = 0, dx + adt = 0, cuyas integrales son dos rectas x at = c1 , x + at = c2 . Introduzcamos nuevas variables tales que: = x + at, = x at. Con lo cual la ecuación de las oscilaciones de la cuerda toma la forma: u Ahora integremos (5.3) respecto de @ @

@u @

(5.3)

=0 :

=0)

@u = g( ) @

donde g( ) es una función arbitraria de : Si la igualdad obtenida la integramos respecto de tendremos: Z u = g( )d + F ( ) De esta manera la solución general de la ecuación diferencial (5.3) puede ser escrita de la forma u( ; ) = F ( ) + G( ) y regresando a las variables originales (x; t) se tiene la solución general u(x; t) = F (x + at) + G(x

at)

(5.4)

Las funciones F y G se deben de…nir de manera tal, que cumplan con las condiciones iniciales, para lo cual debemos reemplazar la solución general (5.4) en las condiciones iniciales (5.2): u(x; 0) = F (x) + G(x) = '(x) ut (x; 0) = aF 0 (x) aG0 (x) = (x)

80

Al integrar la segunda igualdad se obtiene: 8 x < F (x) G(x) = 1 R ( )d + c a x0 : F (x) + G(x) = '(x)

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO HIPERBÓLICO

Donde emos:

es la variable de integración. De estas últimas dos igualdades obten8 Rx > 1 1 > ( )d + 2c < F (x) = 2 '(x) + 2a x0 (5.5) Rx > 1 c 1 > ( )d : G(x) = 2 '(x) 2a 2 x0

Así hemos de…nido las funciones F y G a partir de las funciones ya de…nidas '(x) y (x) . Reemplazando en (5.4) las funciones halladas se llega a que u(x; t) = F (x + at) + G(x at) tiene la forma: 3 2 x+at xZ at Z 1 1 4 ( )d 5 ( )d u(x; t) = ['(x + at) + '(x at)] + 2 2a x0

x0

Y simpli…cando las integrales se obtiene 1 u(x; t) = ['(x + at) + '(x 2

1 at)] + 2a

x+at Z

( )d

(5.6)

x at

que es la fórmula de D’Alambert que de…ne la solución del problema de Cauchy para la ecuación de onda.

5.1.1. Interpretación Física del resultado. La función de…nida a través de (5.6) describe la evolución temporal y espacial del desplazamiento inicial '(x) y la velocidad incial (x). Si …jamos t = t0, entonces la función u(x; t0) de…ne el per…l de la cuerda en el tiempo t0 (Una instantánea del proceso). Fijando x = x0 , se obtiene una función u(x0 ; t), que describe el proceso de oscilaciones de un punto con coordenadas x0 .

FÓRMULA DE D’ALAMBERT

81

Consideremos la parte de la solución u1 (x; t) = G(x at). Supongamos que un observador se desplaza desde el punto C sobre el eje 0x, con una velocidad a = const en la dirección positiva. Para cada instante su posición está en la coordenada x = C + at y u1 (x; t) = G(x at) = G(C), es decir, la función G(x at) describe un per…l constante G(x), que se desplaza a la derecha con una velocidad constante a. Este fenómeno se denomina desplazamiento de una onda viajera directa. Un razonamiento igual nos lleva a concluir que la función u2 (x; t) = F (x + at) describe el proceso de desplazamiento de una onda viajera inversa. Es decir, la solución general del problema de Cauchy para una cuerda in…nita es la superposición de dos ondas viajeras: G(x at) y F (x + at). Es de resaltar el carácter general de las funciones F y G. La única condición impuesta sobre ellas es que sean funciones de…nidas con argumento x at.

5.1.2. Teorema sobre la existencia de una única solución al problema Cauchy para EDPs. Durante la solución del problema de contorno (problema de Cauchy), es necesario demostrar que: 1. Las condiciones adicionales no rede…nen el problema, es decir, entre ellas no hay condiciones mixtas. Esto se hace demostrando el teorema sobre la existencia de la solución, lo cual está estrechamente ligado al método de búsqueda de la solución misma. 2. Las condiciones adicionales son su…cientes para de…nir una solución única, lo cual se logra al demostrar el teorema sobre la unicidad de la solución. Nosostros enunciaremos dos teoremas y demostraremos uno de ellos para el caso de la ecuación general de ondas unidimensionales en una cuerda. Teorema 20 Dada la ecuación general de ondas unidimensionales en una cuerda con densidad (x) y parámetro de elásticidad k(x), y de…nida en el intervalo 0 x l y t>0 (x)

@ @2u = 2 @t @x

k(x)

@u @x

+ F (x) con (x) > 0 y k(x) > 0

(5.7)

con condiciones adicionales (condiciones iniciales y de frontera) u(x; 0) = '(x) ut (x; 0) = (x)

u(0; t) = u(l; t) =

1 (t) 2 (t)

(5.8)

sólo es posible la existencia de una función u(x; t) que satisfaga la ecuación (5.7) con condiciones adicionales (5.8) si se cumple que 1. La función u(x; t) y sus derivadas utt (x; t); uxx (x; t) y uxt (x; t) son funciones continuas en el intervalo 0 x l con t > 0. 82


2. Los coe…cientes (x) y k(x) son funciones continuas en el intervalo 0 x l: Demostración. Para la demostración de este teorema supondremos que existen dos soluciones u1 (x; t) y u2 (x; t) que satisfacen la ecuación (5.7) con condiciones adicionales (5.8) y consideraremos la función v(x; t) = u1 (x; t)

(5.9)

u2 (x; t)

que evidentemente satisface la ecuación (5.7) y las condiciones adicionales (5.8), es decir @2v @v @ (x) 2 = k(x) (5.10) @t @x @x y las condiciones homogeneas v(x; 0) = 0 vt (x; 0) = 0

v(0; t) = 0 v(l; t) = 0

(5.11)

y v(x; t) cumple con la condición (1) del teorema. Demostremos que v(x; t) es igual a cero, con lo cual se demostrará que u1 (x; t) = u2 (x; t): Consideremos la función auxiliar 1 E(t) = 2

Zl

k(vx )2 + (vt )2 dx

(5.12)

0

y demostremos que esta función no depende del tiempo. Al diferenciar esta expresión, introduciendo la diferenciación a la expresión bajo la integral, se tiene Zl dE(t) = [kvx vxt + vt vtt ] dx dt 0

e integrando por partes el primer miembro de la derecha Zl

kvx vxt dx =

kvx vt jl0

0

Zl

vt (kvx )x dx

(5.13)

0

donde el primer miembro de la derecha es igual a cero por condiciones de frontera (v(0; t) = 0 por lo cual vt (0; t) = 0 y análogamente para x = l). Así se tiene que dE(t) = dt

Zl

[ vt vtt

0

FÓRMULA DE D’ALAMBERT

vt (kvx )x ] dx =

Zl

vt [ vtt

(kvx )x ] dx = 0

0

83

es decir E(t) = const. Considerando las condiciones iniciales, de la fórmula (5.12) se tiene que 1 E(t) = const = E(0) = 2

Z

l

k(vx )2 + (vt )2

0

t=0

dx = 0

dado que v(x; 0) = 0 y vt (x; 0) = 0 por lo cual conlcuimos que vx (x; t) = 0 y vt (x; t) = 0 lo que signi…ca que v(x; t) = const. Ahora bien, esta función debe cumplir las condiciones iniciales de las cuales se tiene que v(x; t) = const = 0, la constante es igual a cero y v(x; t) 0 en el intervalo de de…nición del problema. Finalmente concluimos que se cumple que las funciones u1 (x; t) = u2 (x; t) y el teorema queda demostrado. Teorema 21 Dada la ecuación diferencial resuelta respecto de una de sus derivadas superiores @ p 1 u @u @ pu @ pu @u ; :::; ; ; :::; = f x ; :::; x ; 1 n @xp1 @x1 @xpn @xp1 1 @xn con condiciones iniciales u = '0 (x2 ; :::; xn ) @u = '1 (x2 ; :::; xn ) @x1 ::: p 1 @ u = 'p 1 (x2 ; :::; xn ) @x1p 1 Existe una única solución analítica en la vecindad del punto (x10 ; x20 ; :::; xn0 ) si: 1) Las funciones '0 ; :::; 'p 1 son funciones analíticas en la vecindad del punto (x20 ; :::; xn0 ); 2) La función f es una función analítica de sus argumentos u = '0 (x20 ; :::; xn0 ) @u = '1 (x20 ; :::; xn0 ) @x1 ::: p 1 @ u @ p '0 p 1 = @xpn x1 =x10 @x1 En la vecindad del punto inicial (x10 ; x20 ; :::; xn0 ): Teorema 22 Teorema de estabilidad de la solución del problema de Cauchy. 84


Para cualquier intervalo temporal [0; t0 ] y cualquier " > 0, es posible hallar un ("; t0 ), tal que cualquier par de soluciones de la ecuación utt = a2 uxx se diferencian en una cantidad menor que ", si las condiciones iniciales se diferencian en una cantidad menor que . Demostración. Es necesario demostrar que dadas las soluciones u1 (x; t) y u2 (x; t) tales que u1 (x; 0) = '1 (x) @u1 (x; 0) = 1 (x) @t

y

u2 (x; 0) = '2 (x) @u2 (x; 0) = 2 (x) @t

entonces es posible hallar un ("; t0 ) tal que si j'1 (x)

y j

'2 (x)j <

1 (x)

2 (x)j

<

entonces ju1 (x; t)

u2 (x; t)j < "

Escribamos las dos soluciones en forma general u1 (x; t) = 21 ['1 (x + at) + '1 (x

at)] +

u2 (x; t) = 12 ['2 (x + at) + '2 (x

at)] +

1 2a 1 2a

x+at R

x at x+at R

1(

)d

2(

)d

x at

Y evaluemos la diferencia entre ellas: ju1 (x; t)

u2 (x; t)j

1 2

j'1 (x +

<

1 2

+

1 2

+

1 2a

x+at R

at) x+at R

x at

d = +

x at

j 2a

at)j + 21 j'1 (x

'2 (x 1(

)

2(

[(x + at)

at) + '2 (x

at)j +

)j d < (x

at)] = +

2a

2at = (1 + t)

De donde obtenemos que para un t0 podemos tomar a = "=(1 entonces: ju1 (x; t) u2 (x; t)j < (1 + t) (1 + t0 ) = "

t0 ) y

Con lo cual el teorema queda demostrado.

5.1.3. Propiedades de la solución de la ecuación de oscilaciones en una recta in…nita. Lemma 23 Si los valores inciales del problema de Cauchy en ( 1; 1) son funciones impares respecto del punto x = 0, entonces u(x; t) = 0 en x = 0 ( u(0; t) = 0 ) FÓRMULA DE D’ALAMBERT

85

Demostración. Dado que las funciones son impares, entonces '(x) = y (x) = ( x) y la formula de D’Alambert para x = 0 nos da: 1 1 u(0; t) = ['(at) + '( at)] + 2 2a

Zat

( )d = 0

'( x)

(5.14)

at

Lemma 24 Si los valores inciales del problema de Cauchy en ( 1; 1) son funciones pares respecto del punto x = 0, entonces ux (x; t) = 0 en x = 0 ( ux (0; t) = 0); Demostración. Si los valores inciales del problema de Cauchy son funciones pares, es decir '(x) = '( x) y (x) = ( x), entonces la derivada de estas 0 funciones son funciones impares, es decir '0 (x) = '0 ( x) y 0 (x) = ( x); con lo cual ux (0; t) =

86

1 0 1 0 [' (at) + '0 ( at)] + [ (at) 2 2a

0

( at)] = 0

(5.15)


5.2. Solución de la ecuación de onda no homogénea. Buscaremos resolver el problema de Cauchy para la ecuación de onda no homogénea con condiciones iniciales homogeneas: utt = a2 uxx + f (x; t);

t > 0; 1 < x < +1

u(x; 0) = '(x) = 0 ut (x; 0) = (x) = 0

1 < x < +1 1 < x < +1

(5.16)

Para resolver el problema (5.16) para la función u(x; t) resolvamos primero el problema auxiliar Wtt = a2 Wxx W (x; t = ; ) = 0 Wt (x; t = ; ) = f (x; )

0<

(5.17)

La solución de este problema se puede hallar usando la fórmula de D’Alambert introduciendo nuevas variables: t0 = t con lo cual obtenemos Wt0 t0 = a2 Wxx W (x; t = 0; ) = 0 ; t0 > 0; 1 < x < +1 Wt0 (x; t0 = 0; ) = f (x; ) 0

(5.18)

cuya solución por fórmula de D’Alambert toma la forma 1 W (x; t0 ; ) = 2a

x+at Z 0

f ( ; )d

x at0

y regresando a t W (x; t; ) =

1 2a

(5.19)

x+at Z 0

f ( ; )d

x at0

La solución al problema (5.16) tendrá la forma u(x; t) =

Zt

W (x; t; )d

(5.20)

0

Diferenciemos respecto de t, para lo cual es necesario tener en cuenta que si I( ) =

( ; a( ); b( )) =

Zb(

)

f ( ; x)dx

(5.21)

a( )

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA NO HOMOGÉNEA.

87

entonces @ @a @ @b + = @a @ @b @ b( R) 0 db da = f ( ; x)dx + f ( ; b( )) f ( ; a( )) d d a( ) t R ut = Wt (t; ; x)d + W (t; = t; x) I 0( ) =

@ @

+

(5.22)

0

Usando la primera condición inicial del problema auxiliar: ut =

Zt

Wt (t; ; x)d

(5.23)

0

y diferenciando de nuevo respecto de t utt =

Zt

Wtt (t; ; x)d + Wt (t; = t; x)

(5.24)

0

Usando la segunda condición inicial del problema auxiliar, se tiene utt =

Rt

Wtt (t; ; x)d + f (t; x)

0

uxx =

Rt

(5.25) Wxx (t; ; x)d

0

Reemplazando en la ecuación (5.16) obtenemos Rt 0

Wtt (t; ; x)d + f (t; x) = a2 Rt

Rt

Wxx (t; ; x)d + f (t; x)

0

[Wtt (t; ; x)

(5.26)

a2 Wxx (t; ; x)] d + f (t; x) = f (t; x)

0

Y dado que W es la solución del problema auxiliar, obtenemos una correcta igualdad f (t; x) = f (t; x) y 1 u(x; t) = 2a

Zt

x+a(t Z

0 x a(t

88

)

f ( ; )d d

(5.27)

)


5.2.1. Ejercicios propuestos 1. Sea la EDP 3

@2u @2u @2u + 2 + 5 = 0 con @x2 @x@t @t2

1 < x < +1 y

1 < t < +1

Encontrar una solución general a la EDP. Resolver el problema de Cauchy: ( u(x; 0) = f (x); f (x) 2 C 1 @u (x; 0) = g(x); g(x) 2 C 0 @t Ayuda: Usar el procedimiento de deducción de la fórmula de D’Alambert. 2. Usando la fórmula de D’Alambert para la solución u(x; t) al problema de Cauchy utt = a2 uxx ; u(x; 0) = '(x); ut (x; 0) = (x) constatar que en el caso de que ambas funciones '(x) y (x) sean impares, entonces u(x; t)jx=0 = 0; y en el caso de que sean pares ux (x; t)jx=0 = 0. 3. Analice si la función u(x1 ; x2 ; x3 ; t) = x21 + x22 + x23

x1 t2

describe un proceso ondulatorio. 4. Hallar la solución al problema de Cauchy para la ecuación no homogénea de las oscilaciones de una cuerda utt = a2 uxx + x(x

1)

con condiciones iniciales iguales a cero. 5. Hallar la solución de la ecuación utt = a2 uxx para todo t > 0, si se dan las siguientes condiciones iniciales: a. u(x; 0) = f (x); b. u(x; 0) = 5 sin 3 l x c. u(x; 0) = 0;

ut (x; 0) = F (x); 1 2

sin 8 l x ; ut (x; 0) = 0

ut (x; 0) = 6 sin

x l

sin 3 l x + 3 sin 7 l x

d. u(x; 0) = Ax; ut (x; 0) = 0 e. u(x; 0) =

4hx(l x) ; l2

ut (x; 0) = 0

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA NO HOMOGÉNEA.

89

5.3. Método de separación de variables. Esquema General. El método de separación de variables (Método Fourier), es uno de los métodos más ampliamente usados para la resolución de EDP. Sin embargo es necesario aclarar, que en términos generales este método más que un método de solución de EDPs, es un método auxiliar que permite llevar EDPs a ecuaciones diferenciales ordinarias, a partir de las cuales se puede construir la solución buscada para la EDP original. La presentación del esquema para el caso más general, la haremos en el ejemplo de la ecuación de onda que describe el proceso de vibraciones de una cuerda de longitud l, …ja en ambos extremos. Luego haremos, a manera de ejercicio, una demostración del método para los casos espaciales en diferentes sistemas de coordenadas.

5.3.1. Caso unidimensional Consideraremos que la cuerda puede no ser homogénea, es decir, la densidad lineal varía de punto a punto = (x), y también la fuerza elástica es una función de la coordenada k = k(x). Adicionalmente para una mayor generalización del problema consideraremos la existencia de fuerzas elásticas externas que también consideraremos no homogéneas, es decir [ q(x)u]. La ecuación que describe el proceso de las oscilaciones tiene la forma: (Mirar ecuación 3.16§) (x)utt =

@u @ k(x) @x @x

q(x)u;

0
(5.28)

Introduzcamos el operador diferencial L[ ], tal que L[u] es igual a la suma de las derivadas (ordinarias o parciales), de cierta función con coe…cientes que son funciones de las variables independientes. Supongamos que L[u] ,

@ @u k(x) @x @x

q(x)u

con lo cual la ecuación (5.28) puede ser reescrita de la forma: (x)utt = L[u];

00

(5.29)

Consideremos el siguiente problema: Hallar la solución al problema (5.28) que satisface las condiciones de frontera: h1 u(0; t) h2 ux (0; t) = 0 ; t H1 u(l; t) + H2 ux (l; t) = 0 90

0

(5.30)


y las condiciones iniciales u(x; 0) = '(x) ; 0 ut (x; 0) = (x)

x

l

(5.31)

En este problema se considera que k(x); (x) y q(x) son funciones continuas en el intervalo [0; l]; k > 0; > 0 y k es continua diferenciable. Los coe…cientes h1 ; h2 ; H1 ; H2 0 y h1 + h2 > 0; H1 + H2 > 0. La idea central del método de separación de variables se basa en que la solución no trivial a la ecuación (5.28) se busca en forma de un producto de funciones de una sola variable: (5.32)

u(x; t) = X(x)T (t) Reemplazando en la ecuación (5.28) la forma (5.32) se tiene (x)X(x)T 00 (t) =

@ [k(x)T (t)X 0 (x)] @x

q(x)T (t)X(x)

(5.33)

Dividiendo ambos lados de la igualdad entre (x)X(x)T (t) @ [k(x)X 0 (x)] q(x)X(x) T 00 (t) @x = T (t) (x)X(x)

(5.34)

Para que la función (5.32) sea solución de la ecuación (5.28), la anterior igualdad se debe cumplir en todo el espacio de de…nición de sus variables independientes, es decir para 0 < x < l , t > 0. La parte izquierda de la igualdad (5.34) es una función sólo de t, y la parte derecha es sólo función de x. Fijemos cierto valor de x = x y variando t obtenemos que la parte izquierda ante las variaciones de t se mantiene constante. De forma análoga, si se …ja t = t y se varía x, se obtiene que la parte derecha de la ecuación (5.34) es constante. Es decir, ambas partes ante la variación de sus argumentos permanecen constantes, por lo cual es posible escribir, introduciendo la constante T 00 L[u] = = (5.35) T (x)X donde el signo menos se ha escogido por comodidad. A partir de la ecuación (5.35) se obtienen ecuaciones diferenciales ordinarias para hallar las funciones X y T : d dX k(x) dx dx

q(x)X +

(x)X = 0

(5.36a)

L [X] +

(x)X = 0

(5.36b)

T 00 + T = 0 con T 6= 0 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.

(5.37) 91

Reemplazando (5.32) en las condiciones de frontera, se tiene: h1 u(0; t) h2 ux (0; t) = h1 X(0)T (t) h2 X 0 (0)T (t) = 0 H1 u(l; t) + H2 ux (l; t) = H1 X(l)T (t) + H2 X 0 (l)T (t) = 0 De donde se desprende que la función X debe satisfacer las condiciones adicionales h1 X(0) h2 X 0 (0) = 0 (5.38) H1 X(l) + H2 X 0 (l) = 0 dado que de lo contrario se tendría T 0 es decir u(x; t) 0 entre tanto que el problema consiste en hallar una solución no trivial. De esta manera vemos que, en conexión con el problema de la búsqueda de la función X(x) hemos llegado a un problema de valores propios denominado problema de Sturm - Liouville: "Hallar los valores del parámetro para los cuales existe una solución no trivial de la ecuación (5.36) con condiciones de frontera (5.38) y hallar estas soluciones". Los valores del parámetro se denominan valores propios y las soluciones no triviales - funciones propias del problema (5.36a) -(5.38). En el siguiente parágrafo formulemos las principales propiedades de las funciones propias y de los valores propios del problema de Sturm - Liouville. Ahora, a manera de ejercicio miremos los casos más usados del método de separación de variables en el espacio.

5.3.2. Ejercicios propuestos 1. El terminal izquierdo de una barra (x = 0) está rígidamente anclado y el terminal derecho (x = l) está libre, lo que signi…ca que se cumple la condición u(0; t) = 0 y ux (l; t) = 0 para t > 0. Hallar las oscilaciones longitudinales de la barra para las siguientes condiciones iniciales: a. u(x; 0) = f (x);

ut (x; 0) = F (x);

b. (x; 0) = A sin 32lx + B sin 112l x ; ut (x; 0) = 0 c. u(x; 0) = 0;

ut (x; 0) = 12 sin 72lx

d. u(x; 0) = sin 52lx ; e. u(x; 0) = 0;

ut (x; 0) = sin

1 3 3 x 2l

sin 92lx

ut (x; 0) = v0

2. Integrar la ecuación de las oscilaciones longitudinales de una barra utt = a2 uxx , si el terminal izquierdo (x = 0) está libre (ux (0; t) = 0) y el terminal derecho (x = l) está rígidamente anclado (u(l; t) = 0) para todo t > 0, con las siguientes condiciones iniciales: a. u(x; 0) = f (x); 92

ut (x; 0) = F (x); ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO HIPERBÓLICO

b. (x; 0) = A sin 52lx + B sin 72lx ; ut (x; 0) = 0 c. u(x; 0) = 0; d. u(x; 0) = cos e. u(x; 0) = 0;

ut (x; 0) = 2 cos 52lx x ; 2l

ut (x; 0) = cos

2 7 3 x 2l

sin 72lx 1 2

cos 52lx

ut (x; 0) = v0

3. En el segmento 0 < x < l; t > 0 para la ecuación utt = a2 uxx resolver los problemas de frontera con condiciones iniciales dadas las siguientes condiciones: a.

u(0; t) = 0 ux (l; t) + hu(l; t) = 0; h > 0

u(x; 0) = f (x) ut (x; 0) = F (x)

b.

u(0; t) = 0 ux (l; t) + hu(l; t) = 0; h > 0

u(x; 0) = 1 ut (x; 0) = 0

c.

ut (x; 0) = 0 ; ux (l; t) + hu(l; t) = 0; h > 0

u(x; 0) = f (x) ut (x; 0) = F (x)

d.

ux (0; t) = 0 ; ux (l; t) + hu(l; t) = 0; h > 0

u(x; 0) = 0 ut (x; 0) = 1

MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.

93

5.3.3. Caso tridimensional Exercise 25 Dada la ecuación de onda homogénea r2 (r; t)

1 @ 2 (r; t) =0 c2 @t2

(5.39)

con c = const, realizar el proceso de separación de variables en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas y obtener ecuaciones diferenciales ordinarias para la solución del problema inicial.

Incialmente haremos una separación entre las variables espaciales y temporales asumiendo que (r; t) U (r) T (t) (5.40) luego sustituyendo en (5.39) y diviendo cada miembro de la ecuación entre (r; t) U (r) T (t) se obtiene 1 1 @ 2 T (t) 1 r2 U (r) = 2 U (r) c T (t) @t2 Es evidente que a la izquierda de esta última igualdad se halla una función sólo de las coodenadas espaciales, en tanto que a la derecha todos los téminos dependen sólo de las coordenada temporal. Esto implica que sin importar el valor arbitarrio que pueda tener las variables independientes, cada lado de la ecuación es igual a una misma constante. Por comodidad tomemos esta constante igual a k 2 con lo cual se obtienen dos ecuaciones de la forma: @ 2 T (t) + c2 k 2 T (t) = 0 @t2 r2 U (r) + k 2 U (r) = 0

(5.41a) (5.41b)

La solución de la ecuación (5.41a) tiene la forma general T (t) = Aeikct + Be

ikct

y la ecuación (5.41b) es muy bien conocida ecuación de Helmholtz. Nótese que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta ecuación cuando la constante k 2 = 0. Para hallar la solución de la EDP (5.41b) es necesario continuar el procedimiento de separación de variables, el cuál depende del sistema de coordenadas en que sea realizado. Aclaremos que la escogencia del sistema de referencia está directamente ligada al tipo de simetría que presente el problema o el fenómeno en estudio. 94


z dz dy dx y x Figura 5-2 Elemento de volumen en coordenadas cartesianas dV = dxdydz

Coordenadas cartesianas. (x; y; z) En coordenadas cartesianas o rectangulares U = U (x; y; z), y la ecuación (5.41b) tiene la forma @2U @2U @2U + + + k 2 U (r) = 0 @x2 @y 2 @z 2

(5.42a)

Asumamos que es posible expresar la función U (x; y; z) de la forma U (x; y; z) = X(x) Y (y) Z(z) y reemplacemos esta expresión en (5.42a) diviendo cada miembro de la expresión entre U (x; y; z), con lo cual se tiene la ecuación 1 d2 X 1 d2 Y 1 d2 Z + + + k2 = 0 X dx2 Y dy 2 Z dz 2

(5.42b)

donde cada miembro de la expresión depende sólo de una variable independiente. Un razonamiento similar al realizado en la separación de variables anterior conlleva a que 1 d2 X = X dx2

k12 ;

1 d2 Y = Y dy 2

k22 ;

1 d2 Z = Z dz 2

k32

(5.42c)

y k12 + k22 + k32 = k 2

(5.42d)

La solución general de las ecuaciones (5.42c) tiene la forma 8 < X(x) = A1 eik1 x + B1 e ik1 x Y (y) = A2 eik2 y + B2 e ik2 y : Z(z) = A3 eik3 z + B3 e ik3 z La solución general de la ecuación (5.41b) tendrá la forma U (r) = A exp(ik r) + B exp( ik r) con k2 = k 2 = k12 + k22 + k32 y r = (xi + yj + zk).


95

Figura 5-3 Elemento de volumen en coordeandas cilíndricas (r; phi; z).

Coordenadas Cilíndricas. (r; theta; z) En coordenadas cilíndricas U = U (r; ; z), y la ecuación (5.41b) tiene la forma 1 @U 1 @2U @2U @2U + + + + k2U = 0 @r2 r @r r2 @ 2 @z 2 Ahora asumiendo U (r; ; z) =R(r) de (5.43a) entre U se tiene la ecuación

(5.43a)

( ) Z(z) y dividiendo cada miembro

1 d2 R 1 dR 1 d2 Z 1 1 d2 + + + k2 = 0 + R dr2 r dr r2 d 2 Z dz 2 cuya forma implica (siguiendo nuestro razonamiento anterior), que los dos primeros miembros deben ser igual a una constante que denominaremos 2 por lo tanto se tiene que 1 d2 Z Z dz 2 2 1 d R 1 dR 1 1 d2 + + R dr2 r dr r2 d 2

=

2

=

k2

(5.44a)

2

y multiplicando por r2 la segunda ecuación y tomando como constante de separación m2 , podemos realizar la siguiente separación de variables de forma tal que 1 d2 d 2 1 d2 R 1 dR + R dr2 r dr 96

m2 + r2

2

= = 0

m2

(5.44b) (5.44c)


Las ecuaciones respecto de z y tienen soluciones generales que pueden ser escritas de la forma: ( ( ) =h A exp(im i) + B exp(h im ) i p p 2 2 2 2 Z(z) = D exp k z + F exp k z En muchos problemas físicos y en especial en mecánica cuántica es necesario exigir que la función sea monovaluada, lo que conlleva a exigir que el número m sea un entero, con lo cual se tendrá que ( ) = ( + 2 ). Si en la ecuación que hemos obtenido para R(r), 6= 0, entonces es posible realizar un cambio de variable así: = r y la ecuación para R toma la forma general m2 d2 R 1 dR + 1 R=0 (5.45a) + 2 d 2 d

Esta última ecuación es bien conocida como la ecuación de Bessel que posee dos soluciones linealmente independientes (como se demostrará más adelante): R( r) = GJm ( r) + HNm ( r)

Caso especial. Para el caso cuando las constantes k = = 01 , se obtiene la ecuación particular d2 R 1 dR m2 + =0 dr2 r dr r2 que a su vez tendrá dos casos independientes y cuyas soluciones son: Grm + Hr G + H ln r

m

si si

m 6= 0 m=0

Coordenadas esféricas (r; ; '): En coordenadas esféricas U = U (r; ; '), y la ecuación (5.41b) tiene la forma 1 @ 2 (r2 rU ) 1 + 2 2 2 r @r r sin

@ @

sin

@U @

+

1 @2U + k2U = 0 sin @'2

(5.46a)

Asumamos que U (r; ; ') =R(r)Y ( ; ') con lo cual nuestro método de separación de variables nos da para la parte radial 1 d2 (rR) + k2 2 r dr 1

r2

R=0

(5.46b)

k debe ser igual a cero para que la primera separación de variables tenga sentido.


97

Figura 5-4 Elemento de volumen en coordenadas esféricas (r; theta; varphi):

donde hemos supuesto ( ) la constante de separación de variables. La ecuación para la parte angular toma la forma 1 sin

@ @

@Y sin @

1 @2Y + + Y ( ; ') = 0 sin @'2

(5.46c)

Primero consideremos la ecuación para la parte radial en la cual podemos identi…car dos casos generales. 1. Caso k 2 6= 0. Cambiando de variable a la forma kr = , la ecuación radial toma la forma d2 R 2 dR + + 1 R=0 2 d 2 d que es la misma ecuación (5.45a) lo cual se puede comprobar al realizar un p R con lo cual se tiene nuevo cambio de variable suponiendo = d2 1d + + 1 2 d d

1=4

=0

2

con soluciones (r) = GJ ( r) + HN ( r);

=

p

+ 1=4

2. Caso k 2 = 0. Este caso coincide con la búsqueda de una solución a la ecuación de Laplace y para la parte radial se obtiene d2 (rR) R=0 dr2 r Por teoría general de ecuaciones diferenciales ordinarias se sabe que la solución a esta ecuación la debemos buscar de la forma r , con lo cual obtenemos la ecuación característica para los valores de : p 1 = 1 1+4 2 98


y R(r) = Ar

1

+ Br

2

Donde las constantes A y B están de…nidas por las condiciones adicionales del problema. (Condiciones de frontera) Ahora retomemos la ecuación para la parte angular (5.46c) y propongamos una solución del tipo Y ( ; ') = P ( ) (') con lo cual, tomando como constante de separación m2 , se tiene 8 dP m2 d > > sin + P =0 < d d sin2 @2 > > : + m2 = 0 @'2

La ecuación para nos recuerda la ecuación de oscilaciones armónicas y por lo tanto podemos escribir su solución general de forma directa: (') = A exp(im') + B exp( im')

La ecuación para P ( ) es la denominada ecuación de Legendre en la cual podemos eliminar la función trigonométrica haciendo x = cos d2 P dx2

2x dP 1 + 2 1 x dx 1 x2

m2 P =0 1 x2

Esta ecuación posee dos soluciones linealmente independientes que estudiaremos más abajo. Nota: Es posible aplicar el método de separación de variables a sistemas de coordenadas mucho más so…sticados, pero aquí nosotros nos limitaremos a los sistemas más usados.

5.3.4. Ejercicios propuestos 1. Realizar una separación de variables a la ecuación de Schrödinger. 2. Realizar una separación de variables para la ecuación de conducción térmica en el caso unidimensional y en el caso de coordenadas cilíndricas.


99

5.4. Problema de valores propios de Sturm - Liouville El método de separación de variables nos condujo a ecuaciones tipo (5.36a) -(5.38) que incluyen una constante de separación. Por tal razón, el problema tendrá una solución que depende de esta constante y en general existiran in…nitas soluciones, una por cada constante. El problema consistirá entonces, en hallar el grupo de constantes que validan la ecuación y el conjunto de funciones que son solución del problema, lo cual se denomina problema de valores propios o problema de Sturm-Liouville. Escribamos las ecuaciones (5.36a) -(5.38) de la forma: dun (x) d k(x) dx dx 0 Aun (a) + Bun (a) = 0 Cun (b) + Du0n (b) = 0

L [un (x)]

q(x)un (x) =

n

(x)un (x) (5.47a) (5.47b)

exigiendo que las condiciones de frontera estén de…nidas en los extremos de cierto dominio (a; b) El problema de valores propios (5.47) es una generalización in…nito - dimensional del problema de valores propios del algebra lineal M u = u, donde M es una matriz de dimensiones n n y u un vector de dimensión n llamado también función propia. En este caso, a cada valor propio n le corresponde una función propia un y viceversa. Como vimos, en términos generales, las ecuaciones resultantes de la separación de variables son todas de la forma (5.47), donde los parámetros de separación (o constantes de separación), corresponden a los valores propios del nuevo problema planteado. Ahora bien, es muy importante antes de seguir adelante, estudiar las propiedades de estas funciones propias y de los correspondientes valores propios y que como veremos, están íntimamente ligadas a las propiedades del operador lineal que se está utilizando.

5.4.1. Propiedades de las funciones propias Las funciones propias correspondientes a cada valor propio en el problema de Sturm - Liouville satisfacen ciertas condiciones de las cuales nosotros aquí resaltamos las más relevantes, para lo cual también haremos algunas de…niciones. 100


De…niciones De…nición 26 Un operador L[] se dice lineal, si dadas dos funciones u(x) y v(x) de cierta clase de funciones propias de este operador y dados y 2 al campo de de…nición, entonces se cumple que L [ u(x) + v(x)] = L [u(x)] + L [v(x)]

De…nición 27 Primero de…namos a qué llamamos un operador auto - adjunto o auto - conjugado. Para esto apliquemos el operador lineal L[] a u(x) y v(x) consideradas dos funciones doblemente diferenciables, de forma que para cada una de ellas se puede escribir la igualdad: du(x) d k(x) dx dx d dv(x) k(x) dx dx

L [u(x)] L [v(x)]

q(x)u(x)

(5.48a)

q(x)v(x)

(5.48b)

Ahora, multiplicando la primera igualdad por v(x) y la segunda por u(x), luego sustraemos miembro a miembro estas igualdades, y …nalmente integrando la diferencia por todo el dominio (a; b), se tiene Zb

(vL[u]

uL[v]) dx = k(x) v

du dx

u

dv dx

a

b

(5.49) a

donde se realizó una integración por partes Un operador que satisfaga la igualdad (5.49) se denomina operador autoconjugado o autoadjunto. En teoría de operadores lineales se demuestra que todo operador lineal de segundo orden se puede llevar a ser autoadjunto con sólo multiplicarlo por cierto factor. Ahora bien, para el caso de funciones u(x) y v(x) que satisfagan las condiciones de frontera (5.47b), la parte derecha de la igualdad (5.49) es igual a cero, por lo cual se tiene que en este caso la condición de que el operador sea autoadjunto toma la forma: Zb

vL[u]dx =

a

Zb

uL[v]dx

(5.50)

a

Ortogonalidad. Supongamos que el problema (5.47) tiene dos soluciones un (x), um (x) que corresponden a los valores propios n , m respectivamente, y n 6= m , lo cual signi…ca que L [un (x)] = L [um (x)] =

n m

(x)un (x) (x)um (x)

PROBLEMA DE VALORES PROPIOS DE STURM - LIOUVILLE

101

Multiplicando la primera ecuación por um y la segunda por un , luego integrando la diferencia miembro a miembro de estas, se obtiene Zb

(um L[un ]

un L[um ]) dx =

(

a

n

m)

Zb

(x)un (x)um (x)dx

a

lo cual, teniendo en cuenta la igualdad (5.50), es igual a cero y debido a que por condición del problema n = 6 m , se tiene que Zb

(x)un (x)um (x)dx = 0

(5.51)

a

La igualdad (5.51) es la condición de ortogonalidad de las funciones propias del operador L, es decir, las funciones un (x), um (x) que son soluciones del problema de Sturm - Liouville, son ortogonales con función de peso (x). Si (x) no es negativa, entonces es posible normalizar la función un (x) de la forma Zb (x) [un (x)]2 dx = 1 (5.52) a

Así concluimos que las funciones propias del operador de Sturm - Liouville son ortogonales.

Completex del conjunto de funciones propias La propiedad fundamental de las funciones propias del problema de Sturm Liouville es que ellas forman un conjunto completo de funciones. Esto signi…ca que una función arbitraria (x) bien comportada en el dominio (a; b), puede ser expandida en una serie in…nita por funciones propias del problema de Sturm Liouville, es decir X (x) = an un (x) (5.53) n

donde los coe…cientes

an =

Rb

(x)un (x) (x)dx

a

Rb

(x) [un (x)]2 dx

a

Si las funciones un

han sido normalizadas, entonces

an =

Zb

(x)un (x) (x)dx

(5.54)

a

102


Se dice que el conjunto fun g de las funciones propias del problema de Sturm - Liouville es un conjunto completo si para cualquier función arbitaria (x) bien comportada en el dominio (a; b), y para cualquier " > 0, arbitrariamente pequeño, es posible hallar una combinación lineal …nita de funciones propias u1 ; u2 ; :::; uN tal que dado 1 u1 (x)

+

2 u2 (x)

+ ::: +

N uN (x)

= SN (x)

la integral Zb

(x) [ (x)

SN (x)]2 dx < "

a

SN (x) es una forma aproximada de la función (x). Para un número N dado, la mejor aproximación se obtendrá cuando los coe…cientes n coincidan con los coe…cientes de la expansión (5.53), y en ese caso se tendrá que

lm

N !1

Zb

2

(x) [ (x)

SN (x)] dx =

a

Zb

(x) [un (x)]2 dx

P

n

a2n = 0

n

a

lo que sigi…ca que la serie

X

an un (x) en promedio converge a (x).

Lo dicho se expresa a través del teorema de Courant - Hilbert, que a…rma que "Toda función continua a trozos, de…nida en cierto dominio, con derivada de cuadrado integrable, puede ser expandida en una serie de funciones propias que converge de manera absoluta y uniforme en todos los subdominios libres de puntos singulares. En los puntos de discontinuidad se toma el valor medio de los límites por derecha y por izquierda" Es muy importante notar que aquí no se ha exigido que las expansiones satisfagan las condiciones de frontera, lo que le con…ere mucha generalidad al problema.

Relación de completex. Si en la expansión (5.53) se reemplaza la forma de los coe…cientes (5.54) se tiene P Rb (x) = (x0 )un (x0 ) (x0 )dx0 un (x) n

=

Rb a

dx0

a

(x0 )

P

un (x0 )un (x)

(x0 )

n


103

dado que la función (x) es una función arbitraria, entonces debemos concluir que la expresión bajo la integral es tal que (x0 )

X

un (x0 )un (x) = (x

x0 )

(5.55)

n

donde (x x0 ) es la función delta de Dirac, de…nida de manera que cumpla las condiciones de que (x

a) = +1 R

(x

0 si x 6= a 1 si x = a

(5.56)

a)dx = 1

1

Una propiedad fundamental de la función Z+1

(x

Dirac es que

(5.57)

a)f (x)dx = f (a)

1

Los valores propios son números reales Ahora demostremos que los valores propios del problema de Sturm - Liouville son reales. Para esto supongamos que el problema (5.47) tiene una solución un (x), que corresponde al valor propio n , con lo cual,teniendo en cuenta que el operador L es autoconjugado, se puede escribir L [un (x)] = L [un (x)] =

n n

(x)un (x) (x)un (x)

donde n denota el complejo conjugado de . Multiplicando la primera ecuación por un y la segunda por un , luego integrando la diferencia miembro a miembro de estas, se obtiene Zb

(um L[un ]

un L [un ]) dx =

(

n

a

n)

Zb

(x) jun (x)j2 dx

a

La parte izquierda de esta igualdad es igual a cero por lo cual, teniendo en cuenta que la integral de la derecha es diferente de cero por la condición (5.52), se tiene que n = n lo cual signi…ca que

104

n

es un número real.


5.4.2. Ejercicios propuestos 1. Hallar los valores propios y las funciones propias de la ecuación d2 un (x) = dx2 de…nida en el dominio 0

x

n un (x)

a, para las condiciones de frontera

a)un (0) = 0 con b)un (0) = 0 con c)u0n (0) = 0 con d)un (0) + au0n (0) = 0 con

un (a) = 0 u0n (a) = 0 u0n (a) = 0 un (a) au0n (a) = 0

(5.58)

Cada caso es un caso particular. Para el punto (d) la ecuación que determina los valores propios, veri…que que existe un conjunto in…nito de funciones propias y de valores propios. 2. Halle el factor multiplicativo que convierte la ecuación diferencial general de segundo orden f (x)Uxx + g(x)Ux h(x)U (x) = (x)U (x) en una forma autoadjunta tipo (5.47a)


105

5.5. Generalización del principio de superposición. En este apartado consideraremos el problema de la generalziación del principio de superposición en la construcción de la solución general a la ecuación de tipo hiperbólico para el caso unidimensional. El caso tridimensional es, dada la separación de variables, un caso particular que puede ser entendido a partir de lo que será expuesto. Consideremos el caso unidimensional de las oscilaciones de una cuerda tensa …ja en los extremos. Matemáticamente este problema queda expresado a través de la ecuación 2 @ 2 u(x; t) 2 @ u(x; t) = a (5.59a) @t2 @x2 donde u(x; t) son los desplazamientos de cada elemento de la cuerda y a es una constante material del problema. Adicionalmente, consideremos que se tienen las condiciones de frontera u(0; t) = 0 u(l; t) = 0

(5.59b)

t>0

y las condiciones iniciales dadas por u(x; 0) = f (x) 0 ut (x; 0) = F (x)

x

l

(5.59c)

Aplicando el método de Fourier se tiene que, suponiendo u(x; t) = X(x)T (t) el problema de buscar una solución a la ecuación diferencial (5.59a) con condiciones especiales (5.59b-5.59c) se transforma en T 00 (t) + a2 T (t) = 0 X 00 (x) + X(x) = 0 X(0) = 0; X(l) = 0

(5.60) (5.61)

En general para el problema de hallar los valores propios que satisfacen las ecuaciones (5.60 - 5.61), debemos considerar tres casos 1. Caso < 0. Si < 0, la solución espacial ( 5.61) p general del problema p x) + C2 exp( x), pero esta solutiene la forma X(x) = C1 exp( ción satisface las condiciones de frontera sólo si C1 = C2 = 0 es decir, sólo tiene una solución trivial X(x) = 0: 106


2. Caso = 0. Si = 0, la solución general del problema espacial ( 5.61) tiene la forma X(x) = C1 +C2 x, pero de nuevo las condiciones de frontera se cumplen sólo si C1 = C2 = 0 es decir, sólo tiene una solución trivial X(x) = 0. 3. Caso > 0. Si > 0, la solución espacial ( 5.61) p p general del problema x) + C2 sin( x) y a partir de las tiene la forma X(x) = C1 cos( condiciones de frontera se tiene X(0) = C1 1 + C2 0 = C1 = 0 p p X(l) = C1 cos( l) + C2 sin(

l) = 0 p l) = 0, lo cual Estas dos igualdades se cumplen sólo si C1 = 0 y sin( conlleva a a…rmar que no todo > 0 es un valor propio del problema de Sturm - Liuoville obtenido de la separación de variables, sino sólo aquellos valores tales que 2 k

=

l

k

con k = 1; 2; 3:::

(5.62)

con lo cual, con presición de hasta una constante multiplicativa, la función propia correspondiente al valor propio k es Xk (x) = sin 4. Para los valores de

l

(5.63)

kx

la solución de (5.60) tiene la forma general h a i h a i Tk (t) = ak cos k t + bk sin k t l l =

k,

con ak y bk constantes arbitrarias que deben ser establecidas a partir de las condiciones iniciales. Así, se tiene una solución particular al problema (??) de la forma h a i h a i uk (x; t) = Tk (t)Xk (x) = ak cos k t + bk sin k t sin kx l l l

que satisface las condiciones adicionales (5.59b) y (5.59c) Dada la linealidad del operador de Sturm - Liouville, entonces la combinación lineal de sus soluciones es tambien una solución que se puede escribir como u(x; t) =

1 X k=1

h a i h a i ak cos k t + bk sin k t sin l l

l

kx

(5.64)

donde Xn (x) son las funciones propias del problema de Sturm - Liouville con valores propios kn . Sin embargo, si la serie (5.64) diverge o si la función de…nida por esta serie no es diferenciable doblemente por x y por t, entonces (5.64) no GENERALIZACIÓN DEL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.

107

es solución del problema (??), por lo cual demostraremos un teorema que es la expresión del principio general de superposición. Nota: Como cada miembro en la suma (5.64) satisface la ecuación (??), la solución (5.64) también satisface la ecuación (??), lo cual se expresa en el siguiente teorema: Sea L [u] un operador lineal compuesto de la suma de algunas derivadas de u con coe…cientes dependientes de las variables independientes del problema. Teorema 28 Si las funciones ui (i = 1; 2; :::; n) son soluciones P parciales de la ecuación lineal homogenea L [u] = 0, entonces la serie u = ai ui también es solución de esta ecuación sólo si es posible las operaciones diferenciación incluidas P en L [u] = 0 diferenciando miembro a miembro cada elemento de la serie ai u i . Demostración. Dado que ui es una solución parcial del operador, es decir

L [ui ] = 0, y teniendo en cuenta la linealidad del operador L[]; entonces se tiene 1 1 X X L[u] = L[ ai u i ] = ai L [ui ] = 0 i=1

P

i=1

es decir, u = ai ui satisface la ecuación L [u] = 0. Como vemos, la propiedad de linealidad del operador garantiza el cumplimeinto del teorema. Antes de enunciar y demostrar el teorema de generalización del principio de superposición, de…namos las constantes ak y bk de modo que satisfagan las condiciones iniciales. Derivando (5.64) se tiene 1 X

ut (x; t) =

k

k=1

h a i h a i ak sin k t + bk cos k t sin l l

a l

l

kx

(5.65)

y haciendo t = 0 en (5.64) y (5.65) y reemplazando en las condiciones iniciales se tiene f (x) =

1 X

ak sin

n=1

l

kx ;

F (x) =

1 X

k

n=1

a bk sin l

l

kx

(5.66)

Las fórmulas (5.66) son expansión de las funciones f (x) y F (x) en series Fourier por las funciones propias del problema de Sturm - Liouville en el intervalo [0; l]. Los coe…entes de las expansiones (5.66) se hallan de la forma conocida al aplicar la propiedad de ortogonalidad de las funciones propias, así 2 ak = l

Zl 0

f (x) sin

l

kx dx;

bk =

2 k a

Zl

F (x) sin

l

kx dx;

(5.67)

0

De esta manera se tiene que la solución del problema (5.59a) con condiciones especiales (5.59b-5.59c) es la serie (5.64) con coe…cientes (5.67). 108


Teorema 29 Si la función f (x) es doble y continuamente diferenciable en el intervalo [0; l] ; posee una tercera derivada continua a trozos y satisface las condiciones f (0) = f (l) = 0; f 0 (0) = f 00 (l) = 0 (5.68) y F (x) es continua diferenciable y posee una segunda derivada continua a trozos en el intervalo [0; l] y satisface la condición (5.69)

F (0) = F (l) = 0

entonces la función u(x; t) de…nida por la serie (5.64) posee derivadas continua de segundo orden y satisface la ecuación (5.59a), las condiciones de frontera ((5.59b) y las condiciones iniciales (5.59c). Además es posible diferenciar dos veces la serie (5.64) término a término tanto por x como por t, y la serie obtenida converge absoluta y uniformemente para 0 x l y para todo t. Demostración. Integrando por partes (5.67) y teniendo en cuenta (5.68) y (5.69) se tiene (3) (2) bk ak ; bk = (5.70) ak = l k3 l k3 donde Zl 2 (3) bk = kx dx (5.71a) f (3) (x) cos l l 0

(2) ak

2 = al

Zl

F (2) (x) sin

l

(5.71b)

kx dx

0

De la teoría de series trigonométricas se demuestra que las series (2)

1 a X k k=1

k

(3)

;

1 b X k k=1

(5.72)

k

convergen, resultado que usaremos a continuación. Reemplazando (5.70) en la serie (5.64) se tiene 3

u(x; t) =

l

1 h a i h a i X 1 (3) (2) b cos k t + ak sin k t sin k3 k l l k=1

l

kx

(5.73)

Dado que las funciones sin y cos son funciones acotadas, podemos escribir la siguiente desigualdad 1 o 3X 1 n (3) (2) u(x; t) b + a k k l k=1 k 3 la cual converge, por lo cual se tiene que la serie (5.64) converge absoluta y uniformemente. A partir de (5.72) se comprueba directamente que esta serie es doblemente diferenciable término a término por x y por t. Así el teorema queda demostrado. GENERALIZACIÓN DEL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.

109

Si las funciones f (x) y F (x) no satisfacen las condiciones del teorema, es posible que no exista la función doblemente diferenciable que es solución del problema mixto (5.59a), (5.59b) -(5.59c). Llamaremos solución generalizada del problema mixto a la función u(x; t) que es el límite de la serie in…nita que converge uniforme y absoluta, formada por las soluciones del problema (5.59a), (5.59b) -(5.59c). La satisfacción de las condiciones iniciales se entiende como lm

n!1

Zl

[f (x)

2

fn (x)] dx = l m

n!1

0

Zl

[F (x)

Fn (x)]2 dx = 0

0

donde Fn (x) y fn (x) son series de funciones que satisfacen las condiciones del teorema. Con los supuestos sobre las funciones f (x) y F (x); la existencia de la solución generalizada surge de que las sumas particulares de la serie (5.64) forman una serie un (x; t), que satisface las condiciones exigidas y por ende la serie (5.64) es una solución generalizada. También es posible demostrar que la solución generalizada del problema mixto es única, lo cual dejaremos de lado en este caso.

5.5.1. Interpretación física de la solución generalizada. Regresemos a la solución (5.64) del problema mixto. Si introducimos la notación ak = Ak sin 'k bk = Ak cos 'k entonces esta solución se puede escribir de la forma u(x; t) =

1 X k=1

Ak sin

l

kx

h a i sin k t + 'k l

(5.74)

Cada miembro de esta serie representa una onda estacionaria en la cual cada punto de la cuerda realiza oscilaciones armónicas con una amplitud Ak sin l kx en una frecuencia ! k = k la con la misma fase 'k :

Algunos ejemplos Oscilaciones libres de una cuerda tensa. Considere las oscilaciones libres de una cuerda de longitud l y densidad lineal de masa constante (x) = 0 , sometida a una densidad de tensión constante T (x) = T0 . Llamemos u(x; t) a las oscilaciones transversales de la cuerda que se considera extendida a lo largo del eje X. 110


u(x,t) h 0

l

b

x

Supongamos se tira del punto x = c y luego se libera la cuerda para que oscile libremente. La ecuación de las oscilaciones de esta cuerda puede ser escrita como: s 2 @ T @ 2 u(x; t) u(x; t) 2 = c con = c0 y 0 x l; t 0 0 @t2 @x2 Supongamos que la cuerda está rígidamente sujeta en los extremos, lo que signi…ca que las condiciones de frontera y las condiciones iniciales pueden ser escritas como 8 8 h > > > > x para 0 x b > > < > b > < u(0; t) = 0 u(x; 0) = f (x) = > > h(l x) u(l; t) = 0 > > : > para b x l > > l b > : ut (x; 0) = F (x) = 0 Suponiendo u(x; t) = X(x) T (t) el problema puede ser separado en dos problemas independientes: a: T 00 (t) + k 2 c20 T (t) = 0 8 00 < X (x) + k 2 X(x) = 0 X(0) = 0 b: : X(l) = 0

Aplicando la fórmula (5.67) se tiene 2 ak = l

Zl

f (x) sin

l

kx dx =

2hl 2 b(l

b)k 2

sin

kb l

(5.75)

0

con lo cual las oscilaciones de la cuerda están dadas por 2hl2 X 1 u(x; t) = 2 sin b(l b) k=1 k 2 1

kb l

sin

k x l

GENERALIZACIÓN DEL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.

cos

k c0 t l

(5.76) 111

De la fórmula (5.75) se tiene que ak = 0 si sin kbl = 0, es decir, en la solución (5.76) no parecen aquellos armónicos que presenten un nodo en x = b: Por ejemplo, si b = l=2 en la solución (5.76) no estarán presentes todos los armónicos pares.

112


5.5.2. Ejercicios propuestos 1. Vibraciones longitudinales en una barra. Una barra elástica recta puede ser perturbada al comunicarle pequeños desplazamientos e impulsos longitudinales en la sección transversal de sus extremos, en un instante dado. Considerando que en todo instante las secciones transversales de la barra permanecen planas (no se deforman), plantear el problema de contorno para t > 0, para los casos: a) Los extremos de la barra están …jos rígidamente. b) Se mueven según una función dada. c) Están sometidos a una fuerza elástica linealmente proporcional al desplazamiento longitudinal, en la dirección opuesta al desplazamiento. 2. Plantear y resolver el problema de contorno con valores iniciales si la barra está sujeta de uno de sus extremos y se desplaza el otro extremo una pequeña distancia h. Tener en cuenta que en este caso la barra de‡ectará.

3. Plantear y resolver el problema de contorno con valores iniciales si la barra está sujeta en ambos extremos y recibe un golpe inicial a una distancia b de uno de sus extremos.


113

4. Vibraciones de una cuerda. Una cuerda está sometida a una tensión F0 y no se encuentra bajo la in‡uencia de la fuerza de gravedad. En un instante de tiempo t = 0, a los puntos de la cuerda se les comunica un desplazamiento y un impulso. Plantear el problema de contorno para t > 0. 5. Resolver el problema de valores iniciales para los casos a. La cuerda está deformada inicialmente como muestra la …gura y luego se suelta desde su posición de reposo. u(x,t) h 0

b

h

l

x

b. La cuerda no está deformada y recibe inicialmente un impulso sobre un punto a una distancia b desde el punto x = 0

6. Vibraciones de torsión de una barra cilíndrica. En el instante t = 0, una barra cilíndrica homogénea y elástica se saca de su posición de reposo al comunicarle a sus planos transversales pequeños giros respecto de su eje perpendicular. Plantear el problema de contorno para determinar los ángulos de torsión para t > 0 para los casos a) Los extremos de la barra están libres. b) Los extremos de la barra están …jos rígidamente. c) Los extremos de la barra están …jos elásticamente. 7. Vibraciones longitudinales de una columna de gas.Se tiene una columna cilíndrica de gas ideal que puede realizar pequeñas oscilaciones longitudinales. Todas las partículas del gas se mueven paralelamente al eje de la columna. Plantear los problemas de contorno para determinar la densidad, la presión, el potencial ' de las velocidades de las partículas del gas y el desplazamiento u de las partículas para los casos: a) Los extremos del tubo cilíndrico están cerrados. b) Los extremos del tubo cilíndrico están abiertos. c) Los extremos del tubo cilíndrico están cerrados con pistones de masa despreciable, colocados sobre resortes de constante elástica k, y que se pueden mover sin fricción dentro del cilindro.

114


8. Ondas gravitacionales en un canal de agua. Se tiene un canal de agua poco profundo, de longitud L; sección transversal A y profundidad h. Los extremos del canal están cerrados por paredes rígidas perpendiculares al eje longitudinal del canal. Como resultado de pequeñas perturbaciones de la super…cie libre, en el canal pueden aparecer pequeñas vibraciones de los planos transversales, donde las partículas que lo componen se mueven como un todo a lo largo del eje x (s(x; t)) y su altura obtendrá una desviación (x; t) respecto de la profundidad h -de la super…cie libre del agua. Los valores iniciales de s(x; t = 0) y (x; t = 0) están dados. Plantear el problema de contorno para hallar s(x; t) y (x; t).


115

116


6. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO PARABÓLICO

Como ya se analizó arriba, al grupo de ecuaciones de tipo parabólico están asociadas las ecuaciones de conducción térmica y la ecuación de difusión que en su forma más simple puede ser escrita como u t = a2 u donde u = u(r; t), r 2 R3 ; t 0 y a2 una constante positiva llamada coe…ciente de conductividad. Físicamente u(r; t) representa, por ejemplo, la temperatura del punto r en el instante t. Si reemplazamos t = t, la ecuación de calor se transforma en una ecuación denominada "backward"(revertida). Esto se debe al hecho de que la ecuación de calor describe procesos IRREVERSIBLES en contraste con la ecuación de onda u = 0 que es invariante respecto del mapeo de t = t. Matemáticamente esto signi…ca que, en general, no es posible hallar la distribución de temperatura en un momento anterior a t < t0 si la distribución inicial es dada en t0 . Al estudiar la solución de este tipo de ecuaciones desarrollaremos un método de solución de ecuaciones diferenciales ampliamente usado en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias - el método de las transformaciones integrales. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO PARABÓLICO

117

6.1. Método de las transformaciones integrales El método de las transformaciones integrales es un método poderoso para la solución de ecuaciones diferenciales y especialmente para la solución de EDPs. El método fundamentalmente consiste en lo siguiente: a una función desconocida f de cierta clase de funciones ff g se coloca en correspondencia otra función F , de otra clase de funciones fF g : b [f ] = F ó f !Ab F A

(6.1)

b (operador) se usa cierta integral, lo que ha Como regla de transformación A dado pie a llamarla transformada integral. La función f de denomina original de la función F denominada imagen de f . De…nición 30 La transformación a través de la cual la función f se reconstruye a partir de la imagen F , se denomina transformación inversa b A

1

b

[F ] = f ó F !A

1

f

(6.2)

La transformada misma f ! F se denomina transformada directa. Para la aplicación práctica de transformaciones integrales, es indispensable que las transformaciones directa e inversa, establezcan una correspondencia unívoca entre las clases de las funciones - original ff g y sus imágenes fF g. Bajo esta condición, se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre las operaciones de las dos clases de funciones. Típicamente, la transformación integral se construye de modo que posea ciertas características que permiten reemplazar operaciones complejas sobre las funciones originales de la clase ff g; por operaciones simples en funciones de las imágenes fF g. Así, para muchas transformaciones integrales, la operación diferenciación de funciones en ff g corresponde a la multiplicación de la función imagen F por una variable independiente. Debido a esta transformación, una ecuación diferencial ordinaria para f se transforma en una ecuación algebraica, para la función imagen F . Esta idea se puede aplicar de forma análoga a la solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. La operación diferencial respecto de una de las variables se sustituye por una expresión algebraica. Así en la ecuación transformada se tendrá al menos una variable menos, y a continuación se puede resolver un problema más sencillo para las funciones imágenes. Finalmente, a la solución encontrada para este problema imagen, se le aplica la transformada b 1 [:::] y el resultado es la solución de nuestro problema en integral inversa A EDPs. 118

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO PARABÓLICO

En esta instancia es muy importante insistir, que la …losofía del método es simpli…car el problema original y construir una solución para éste. Presentemos las de…niciones de manera formal. De…nición 31 Se denomina transformada integral a la transformación por la cual a cada función f (x) se le coloca en correspondencia una función paramétrica F ( ) de…nida por: F( ) =

Z

a

b

b ] K(x; )f (x) (x)dx = A[f

donde la variable x es la variable de la transformación y

(6.3) un parámetro.

Toda transformación intergral está constituida por un núcleo K(x; ) de…nido en el intervalo de de…nción de la transformación, una función de peso (x) y una familia de funciones ff (x)g a la cual puede ser aplicada la transformación. Para la de…nición de cualquier transformación concreta, es necesario conocer todas estas partes. Aquí nosotros usaremos transformaciones integrales conocidas. En cada caso se señalará a qué tipo de ecuaciones es aplicable la transformación, y para qué tipo de funciones existe la transformación integral propuesta. Para garantizar que la solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales presente una única solución, es necesario colocar sobre la solución algunas condiciones adicionales (condiciones iniciales y de frontera). Por lo tanto al realizar la transformación integral es necesario transformar tanto la ecuación propuesta, como las condiciones adicionales. La teoría de transformaciones integrales la desarrollaremos a través de ejemplos, de los cuales inicialmente tendremos la transformada integral de Fourier.

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES INTEGRALES

119

6.1.1. Transformada Integral de Fourier. El primer ejemplo que daremos de transformadas integrales es la bién conocida transformada integral de Fourier. Aquí usaremos de varios resultados conocidos de la teoría de Fourier desarrollada en el curso de matemáticas especiales y teoría de funciones complejas. De…nición 32 La transformada integral de Fourier se de…ne como 1 R [f (x)] = p 2

Z+1 f (x)e

i x

dx = F ( )

(6.4)

1

y su respectiva transformada inversa tiene la forma 1 R 1 [F ( )] = p 2

Z+1 F ( )ei x d = f (x)

(6.5)

1

La existencia de la transformada integral de Fourier para la función f (x) está garantizada en dependencia directa de la convergencia de la integral Fourier. La condición de convergencia de la intergral Fourier está dada por el criterio de Jordan - Dirichlet, que podemos expresar de la forma siguiente: 1. Si la función f (x) es una función absoluto - integrable en el intervalo ( 1; +1), es decir, la integral Z+1 jf (x)j dx = M 1

converge, entonces la integral Fourier converge. 2. Si en cierto intervalo [x0 h; x0 + h] la función f (x) posee variación …nita, entonces la integral Fourier en el punto x0 converge y es igual a f (x) en todos los puntos de continuidad y es igual a 21 [f (xo 0) + f (xo + 0)] en los puntos de discontinuidad f (x0 ). De…nición 33 Una función posee una variación …nita en el intervalo [a; b] si para toda partición del intervalo a = x1 < x2 < ::: < xn = b, existe M > 0, tal que se cumple la desigualdad n X i=1

jf (xi )

f (xi+1 )j < M

Para el caso de un intervalo in…nito [a; +1) la función debe ser de variación …nita en cualquier intervalo [a; B] [a; +1). 120


Clases de Funciones de Variación Finita. En general se pueden distinguir cuatro clases de funciones que satisfacen este criterio: 1. La funciones monótonas por tramos. 2. Las funciones que satisfacen la condición de Lipschitz: jf (x) f (x)j L jx xj, donde x; x son dos puntos arbitrarios del intervalo [a; b] y L una constante. 3. Las funciones que poseen una derivada …nita: jf 0 (x)j

L

4. Las funciones que puedenR ser expresadas como una integral con límite x superior variable: f (x) = a '( )d , donde '( ) es una función absoluto - integrable en el intervalo inicial. Si el intervalo es in…nito, entonces la condición de ser absoluto - integrable en el intervalo inicial puede ser cambiada por: a. La función f (x) es absoluto - integrable en cada intervalo …nito. b. Para jxj

H la función f (x) es monótona y l mjxj!0 f (x) = 0.

Propiedades de la Transformación integral de Fouriermedskip Enunciaremos sin demostración, las cuatro principales propiedades de la transformación integral de Fourier. Este tema es ampliamente expuesto en los textos de teoría de funciones complejas y en el curso de matemáticas especiales. 1. Propiedad biyectiva: Se establece una correlación uno a uno entre las clases de funciones originales e imágenes: R [f (x)] = F ( )

R

1

[F ( )] = f (x)

R

1

[R [f (x)]] = f (x)

Esta propiedad implica la existencia de un operador inverso a R que hemos denotado R 1 de forma tal que RR 1 = I operador unitario. 2. Linealidad de la transformación: Dados a; b = const y f ! F; g ! G entonces R [af + bg] = aR [f ] + bR [g] = aF + bG 3. Propiedad de convolución (Análoga al producto). En general la imagen integral del producto de dos funciones no es igual al producto de las imágenes de cada función, es decir R [f g] 6= F G. Sin embargo cada transformación integral posee una operación que en cierto sentido juega el papel de producto. Esa operación se denomina convolución: R [f g] = F G. Para designar el producto de convolución, o como se dirá en adelante, la convolución de las funciones f y g, se usa un asterisco o el símbolo . Nosotros usaremos el asterisco. MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES INTEGRALES

121

Para el caso de la transformación integral de Fourier la operación de convolución toma la forma: Z+1 f (x

1 g=p 2

f

(6.6)

)g( )d = h(x)

1

Y la transformada de la convolución R [f

Z+1 h(x)e

1 g] = p 2

i x

dx = H( ) = F G

(6.7)

1

4. Transformación de las derivadas. Nuestro objetivo es resolver la ecuación de conducción térmica (como caso especial de las ecuaciones de tipo parabólico), ut = a2 uxx a través de la transformada integral de Fourier. Por lo tanto debemos primeramente calcular cómo serán expresadas las imágenes de las derivadas ux ; uxx y ut en el espacio de funciones imagen. Introduzcamos la siguiente notación: *La imagen Fourier de nuestra función desconocida Z+1 u(x; t)e

1 U ( ; t) = R [u(x; t)] = p 2

i x

dx

(6.8)

1

*La imagen de su primera derivada respecto a x R [ux (x; t)] = =

p1 2

ue

i x +1 j 1

p1 2

+i

+1 R

ux (x; t)e

1 +1 R

u(x; t)e

i x

i x

dx = fPor partesg =

(6.9)

dx = i R [u] = i U ( ; t)

1

*La imagen de su segunda derivada respecto a x R [uxx (x; t)] = =

p1 2

p1 2

ux e

+1 R 1

i x +1 j 1

= 122

uxx (x; t)e

2

+i

+1 R 1

R [u] =

i x

dx = fPor partesg =

ux (x; t)e 2

i x

dx =

(6.10)

U


* Finalmente la imagen de la derivada temporal puede ser obtenida directamente de (6.8), al derivar parcialmente respecto del tiempo R [ut (x; t)] =

p1 2

+1 R @u(x; t) 1

+1 R @ p1 u(x; t)e @t @t 2 1 @ @U (t; ) = R [u(x; t)] = @t @t

e

i x

dx =

i x

dx =

(6.11) En estos desarrollos hemos considerado que la integral Fourier converge, lo cual lleva a exigir que la función u(x; t) tienda a cero para valores muy grandes de x. Al ser u(x; t) una función monótona, la primera derivada también tendrá un comportamiento similar cuando x ! 1. Ahora podemos escribir las últimas fórmulas de una forma compacta así: R [u(x; t)] = U ( ; t) R [ux (x; t)] = i U ( ; t) 2 R [uxx (x; t)] = U @U (t; ) R [ut (x; t)] = @t

6.1.2. Solución del problema de Cauchy para la ecuación de conductividad térmica En adelante se considerará una ecuación de tipo parabólico con coe…cientes constantes que, de forma general, puede ser escrita como1 2

wl =

(6.12)

wxx + wx + w

que con el cambio de variable w(x; t) = exp ( x + t) u donde 2

=

2

; 2

=

4

2

se puede llevar a la forma ut = a2 uxx Por lo tanto, todos los resultados obtenidos podrán ser extendidos a la ecuación más general (6.12) 1

Como ejercicio el lector puede llevar esta ecuación a la forma canónica


123

6.1.3. Fórmula de Poisson para conductividad térmica El problema de Cauchy para la ecuación de conductividad térmica consiste en hallar la temperatura en la región de interés y para t > 0 dada su distribución inicial para t = 0: "Hallar en la región (0; 1) ((x; y; z) 2 ; t > 0) la solución de la ecuación de conductividad térmica dada la distribución inicial de temperatura" En este apartado consideraremos el siguiente problema de Cauchy para la ecuación de conductividad térmica unidimensional: ut = a2 uxx u(x; 0) = '(x)

1 < x < +1; t > 0 1 < x < +1

(6.13)

y usaremos el método de transformada integral de Fourier. Por lo tanto debemos considerar que las funciones '(x) y u(t; x) son funciones para las cuales existe la transformada Fourier. La condición inicial u(x; 0) = '(x) equivale a de…nir el per…l de temperatura a lo largo de la línea de consideración. La metodología de solución mostrará paso a paso el uso del método de las transformaciones integrales para la solución del problema (6.13). Introduzcamos la siguiente notación: U ( ; t) = R [u] ; ( ) = R ['(x)] : Paso 1. Aplicamos la transformada Fourier a nuestro problema. Dada la linealidad de la transformación, se puede aplicar independientemente a la parte izquierda y a la parte derecha de la ecuación y de la condición inicial: R [ut ] = R [a2 uxx ] R [u(x; 0)] = R ['(x)] de lo cual se tiene que (

@U 2 = a2 U ( ; t) @t U ( ; 0) = ( )

(6.14)

Paso 2. Resolvemos el nuevo problema en imágenes: Aquí participa sólo como parámetro y no hay derivadas respecto de . Por lo tanto la solución es 2 2 U ( ; t) = Ce a t y utilizando la condición inicial podemos de…nir la constante C: U ( ; 0) = C = ( ) Por lo que …nalmente se tiene que U ( ; t) = ( )e 124

a2

2

t


Si denotamos e

a2

2

t

= G( ; t) se tiene que

U ( ; t) = G( ; t) ( ) = R ['(x)] R [g(x; t)] = R [' g] La función '(x) es conocida, por lo tanto sólo es necesario hallar la transformada inversa de la función G( ; t), para lo cual se pueden usar valores conocidos de las tablas de transformadas integrales Fourier: x2 4 2

1 ! p exp 2

2 x2

e

y expresar la solución de la ecuación como la convolución de las funciones ' y g u(x; t) = R 1 [U ] = R 1 [R [' g]] = ' g = 1 =p 2

Z+1 '( )g(x

)d

1

Paso 3. Realizar la transformación inversa para G( ; t) i h h 2i p 2 2 g(x; t) = R 1 e a t = 2R 1 p1 2 e ( 2 ) = p 2 = p exp 2a t

x2 4a2 t

(6.15)

donde se ha usado que a2 t =

1 ; 4 2

2

=

1 ; 4a2 t

=

1 p 2a t

Hemos encontrado la función g(x; t). Ahora, por de…nición, sólo falta realizar la convolución de las funciones ' y g(x; t) 1 u(x; t) = p 2

" # Z+1 (x )2 1 '( ) p exp d 4a2 t a 2t 1

por lo cual …nalmente se tiene que u(x; t) =

2a

1 p

" # Z+1 (x )2 '( ) exp d 4a2 t t

(6.16)

1

que es la fórmula de Poisson para conducción térmica. La función " # 1 (x )2 G (x; t) = p exp 4a2 t 2a t MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES INTEGRALES

(6.17) 125

es una solución fundamental para el problema de conducción térmica (Ver Formalismo de funciones de Green), y se denomina función de acción instantánea de una fuente puntual. Desde el punto de vista de las transformaciones integrales, (6.17) es el núcleo (kernel), de la transformación - el núcleo de la solución fundamental de calor. La función G (x; t; ) representa la temperatura de una barra en el punto x, en el instante t, debido a la acción instantánea de una fuente puntual con potencia Q = cp, que se ha introducido en el instante t en el punto x = . Por lo tanto u(x; t) puede ser vista como el resultado de la superposición de las temperaturas que se producen en el punto x en el tiempo t, como resultado de una distribución continua, a lo largo de la barra, de las fuentes termales de "intensidad"'(x) = cp, en el punto , aplicadas en el instante t = 0.

6.1.4. Generalización del Principio de superposición. Hemos considerado el problema de Cauchy (6.13) cuya solución general está dada por la fórmula de Poisson (6.16). Demostremos que para cualquier función acotada j'( )j < M , la solución (6.16) para t > 0 es una solución acotada de la ecuación (6.13), y de forma continua tiende a '(x) en t = 0 en todos los puntos de continuidad de '( ). Lemma 34 Si la función G(x; t; ) satisface la ecuación diferencial lineal, respecto de las variables x y t, L [G] = 0 para cualquier valor dado del parámetro , entonces la integral Z u(x; t) = G(x; t; )'( )d (6.18) también es una solución de la misma ecuación L [u] = 0, si las derivadas que intervienen en el operador lineal L [G], se pueden calcular por diferenciación directa dentro del símbolo integral. Demostración. Se tiene como condición que Z Z L [u] = L G(x; t; )'( )d = L [G] '( )d = 0

(6.19)

Recordemos que si los límites de integración son …nitos, entonces la función u es diferenciable dentro del símbolo de integral, si Gxx y Gt son funciones continuas de sus argumentos (x; t; ) en toda la región de su de…nición. La función '( ) se considera acotada. 126


Si los límites de integración son in…nitos, se debe exigir que las integrales que se obtienen luego de realizar la diferenciación del argumento de la integral, converjan de forma uniforme, es decir, las integrales Z+1 U (x; t; ) = G(x; t; )'( ); ! ut (x; t; )d ;

Z+1 uxx (x; t; )d

1

(6.20)

1

convergen uniformente Para garantizar la convergencia de las integrales es su…ciente demostrar que existe la función g( ) tal que: 1. Es positiva (g( ) > 0), e independiente de x y t ; 2. Domina el integrando jut (x; t; )j < g( ); R +1 3. La integral 1 g( )d converge

Haremos la demostración para j'( )j < M , es decir uan función acotada y además continua en la región t t0 > 0, donde se satisface la ecuación. Al diferenciar la función u(x; t) de…nida por la fórmula de Poisson (6.16), obtenemos una suma de integrales, en cada una de las cuales al diferenciar, se extrae el factor ( x)m y en el denominador aparece el factor tk elevado a cierto factor: " # Z+1 2 ( x) 1 '( ) ( x)m exp d (6.21) I= k t 4a2 t 1

i. Demostremos que cada integral de este tipo converge uniformemente. Realizando el cambio de variable p x d p = (t > 0) ; = x + 2a t; d = p 2a t 2a t la integral toma la forma I=

(2a)m+1 k

t

m+1 2

1 tk

Z+1 p '(x + 2a t)

m

e

2

d <

1

k t0

m+1 2

El integrando está dominado por la función p 2 M j jm e '(x + 2a t) m e y la integral tipo

Z+1 M j jm e

2

Z+1 M j jm e

(2a)m+1

1

2

d

(6.22)

2

d !

1


127

converge y no depende de x ni de t , por lo cual la integral I converge uniformemente, y dado que la función G(x; t; ) satisface la ecuación (6.13), entonces la función u(x; t) puede ser derivada en el integrando. Se tiene entonces que el principio generalizado de superposición puede ser aplicado y como consecuencia se tiene que la función u(x; t) satisface la ecuación (6.13). ii. Demostremos que la función u(x; t) es …nita para el caso cuando j'( )j < M : Recordemos que la integral de Poisson nos da que Z+1 e

1 p

2

d =1

1

por lo cual se tiene que

ju(x; t)j

2a 1 p

1 p

t

Z+1

" Z+1 ( '( ) exp 1

'(x + 2a

p

# x)2 d 4a2 t

t) e

2

M p

d

1

Z+1 e

ju(x; t)

d =M

1

iii. Finalmente demostremos que esta función u(x; t) ciones iniciales para lo cual consideremos la expresión 1 '(x)j = p

2

Z+1

'(x + 2a

p

t)

satisface las condi-

2

'(x) e

d

(6.23)

1

La integral puede ser tomada por intervalos, es decir 1 p

Z+1

'(x + 2a

p

t)

'(x) e

2

1 d =p

1

2

1 = p 4

ZN

Z+1 W ( )d 1

W ( )d +

1

Z+N N

3

Z+1 W ( )d + W ( )d 5 N

donde hemos usado la notación W ( ) = '(x + 2a

p

t)

'(x) e

2

Dado que p '(x) es una función acotada para todo x; t; , se tiene que '(x + 2a t) '(x) 2M . Entonces para cualquier " > 0, arbitrariamente 128


pequeño, es posible hallar un N de Poisson en (ii), se tiene que 2M p

ZN

e

2

d

que con base en la convergencia de la integral

" 2M ; p 3

1

Z+1 e

2

" 3

d

N

y la diferencia absoluta ju(x; t)

'(x)j

2" 1 p 3

Z+1

'(x + 2a

p

t)

'(x) e

2

2" " 1 d = + p 3 3

1

Z+1 e 1

Dado que '(x) es continua, p entonces en el límite cuando t tiende a cero y j j N se tiene que '(x + 2a t) '(x) < 13 " y por lo tanto u(x; t) '(x) < " para cuando t ! 0. Dado que " es arbitrariamente pequeño se concluye que l m u(x; t) = '(x) t!0

es decir, la solución satisface las condiciones iniciales del problema.


129

2

d

6.2. Solución fundamental de la ecuación de conductividad térmica. Interpretación física. Como hemos visto, es posible construir una solución al problema unidimensional de conducción térmica ut = a2 uxx u(x; 0) = '(x)

1 < x < +1; t > 0 1 < x < +1

(6.24)

a través de la fórmula de Poisson u(x; t) =

2a

1 p

# " Z+1 (x )2 d '( ) exp 4a2 t t

(6.25)

1

La función G (x; t) =

2a

1 p

t

exp

"

(x )2 4a2 t

#

(6.26)

es la solución fundamental de la ecuación de difusión térmica. La función G ( ; x; t) depende de x, t y del parámetro arbitrario . Esta función tiene un sentido físico muy importante ligado al concepto de impulso térmico. De…nición 35 Se denomina IMPULSO TÉRMICO a la distribución inicial de temperatura '" (x) = donde u0

u0 ; 0;

jx x0 j < " jx x0 j > "

(6.27)

es cierta constante y " > 0.

Tal distribución inicial de temperatura resulta si en la barra donde incialmente en cada punto la temperatura es igual a cero, en el instante de tiempo t = 0, en el segmento desde x " hasta x + " de pronto se introduce una cantidad de calor (por ejemplo colocando una llama de alta temperatura de forma que en este segmento la temperatura sufre un salto al valor u0 ). Esta cantidad de calor Q0 es proporcional al área bajo la curva de la …gura (6-1): Q0 2u0 " En particular si S es la sección transversal de la barra entonces V = 2"S es el volumen del segmento de la barra y m = 2"S será la masa del segmento, con lo cual Q0 = cu0 m = cu0 2"S , donde c es la capacidd calorí…ca. Por supuesto en la práctica la temperatura no puede ser expresada con una función discontinua como '" (x), pero la grá…ca de la temperatura será muy cercana a '" (x) y se difenciará mucho menos de '" (x), cuanto más corto 130


Figura 6-1 Impulso térmico

temporalmente (más instantáneo), sea el calentamiento como lo muestra la línea puntiada en la …gura (6-1). El hecho de que la temperatura en los puntos x " y x + " no esté de…nida, no posee para nosotros ninguna importancia, dado que si la función discontinua '" (x) se expresa a través de una integral Fourier, entonces su valor en estos puntos es igual a u0 =2, por lo cual se puede considerar que la temperatura es igual a u0 =2 en los puntos x0 " y x0 + ". Con tal impulso térmico físico '" (x) en calidad de distribución inicial de temperatura, la fórmula de Poisson da la solución u0 u(x; t) = p 2a t

xZ0 +"

exp

(x )2 4a2 t

x0 "

con Q0 = 2" cu0 S ! 2"u0 =

!

(6.28a)

d

Q0 cS

Y aplicando el teorema del valor medio se tiene ! 2 u0 (x ) Q0 1 0 p exp u(x; t) = p 2" exp = 2 4a t cS 2a t 2a t

(6.28b)

! 2 ) 0 4a2 t (6.29) A …n de eliminar los coe…cientes materiales, supongamos Q0 = cS y así la solución toma la forma: ! 2 (x 1 0) (6.30) u(x; t) = p exp 4a2 t 2a t (x

Del impulso térmico físico pasemos al impulso térmico puntual (ideal) haciendo " ! 0. Bajo nuestros supuestos (Q0 = cS = 1), 2"u0 = 1. Si " ! 0 se tiene u0 ! 1 ( 0 ! x0 ) y la solución (6.30) toma la forma ! 1 (x x0 )2 u(x; t) = p exp = G(x0 ; x; t) (6.31) 4a2 t 2a t SOLUCIÓN FUNDAMENTAL DE LA ECUACIÓN DE CONDUCTIVIDAD TÉRMICA. INTERPRETACIÓN FíSICA. 131

que es la solución fundamental para

0

= x0 .

Nota 36 Un impulso térmico puntual es por supuesto una abstracción mayor que el impulso térmico físico que se asemeja a una llama muy delgada. Matemáticamente el impulso térmico puntual se representa como una función delta - Dirac (x x0 ) que expresa el límite del impulso térmico físico '" (x) cuando " ! 0. 2 De esta manera la solución fundamental (6.31) G(x0 ; x; t) es la solución de la ecuación de conductividad térmica con una distribución inicial de temperatura '(x) = (x

x0 ) =

1 si x = x0 0 si x 6= x0

y u(x; t) da la distribución de temperatura dada una fuente instantánea de calor de potencia Q0 = cS introducida en el punto x0 en el instante t = 0. Ahora consideremos cómo se desplaza el calor por la barra después del impulso puntual térmico. Para esto investiguemos la grá…ca de la solución fundamental (6.31) para diferentes valores de t > 0. Esta grá…ca es simétrica respecto de x0 para cualquier valor de t (Tomemos x0 = 2, a = 1 y t = 0; 0;5; 1; 2; 3) el valor máximo se alcanza cuando x = x0 y es igual a

1 Solución para diferentes valores de t, y con Gmax = 2asqrtpit : Se tomó a = 1 y x0 = 2 y se construyeron grá…cas para los instantes t = 0; 0;5; 1; 2; 3 2

Propiedades fundamentales de la función delta-Dirac 1 si x = x0 1. (x x0 ) = 0 si x 6= x0 R1 2. 1 (x x0 )dx = 1 R1 3. 1 (x x0 )f (x)dx = f (x0 )

132


Gmax =

2a

1 p

t

A partir de las consideraciones físicas es claro que en cada instante de tiempo la temperatura tenga su valor máximo en el mismo lugar donde se aplicó la fuente impulsiva inicial. El valor Gmax es inversamente proporcional a a = p k=c para un instante t dado. Cualitativamente esto signi…ca que en cada instante de tiempo la temperatura máxima será tanto menor, cuanto mayor sea el coe…ciente de conductividad térmica k, y cuanto menor sea la conductividad térmica c y la densidad del material de la barra. El área bajo la curva para cualquier t es igual a 1 Z1 1

1 G(x0 ; x; t)dx = p 2

Z1

(x

exp

x0 )2 4a2 t

1

!

Z1

1 =p

e

w2

dw = 1

1

que es la integral de Poisson. Físicamente esto signi…ca que la cantidad de energía térmica entregada a la barra en el instante incial t = 0 como resultado del impulso, con el correr del tiempo se mantiene invariante en la barra. Para un punto x 6= x0 , G(x0 ; x; t) como función del tiempo, primero crece desde un valor G = 0 (t = 0) hasta cierto valor máximo Gmax = U , luego monotonamente decrece tendiendo a cero cuando t tiende al in…nito; para t = 0 G(x0 ; x; t) no está de…nida pero podemos calcular este límite: 2a

l m G(x0 ; x; t) = l m t!0

t!0

exp

1 p

t

(x x0 ) 4a2 t

2

p

=lm t!0

t

(x x0 )2 4a2 t

exp

=0

l m G(x0 ; x; t) = 0

t!1

Calculemos el valor de t = tmax para el cual se alcanza el máximo de G(x0 ; x; tmax ) = U = Gmax calculando la derivada de G !" # 1 (x x0 )2 (x x0 )2 @G(x0 ; x ; t) p exp = 1 @t 4a2 t 2a2 t 4at t igualando a cero esta expresión hallamos que el máximo valor de G se obtiene para (x x0 )2 1 tmax = ; U (x) = Gmax (x0 ; x; t) = p 2 2a 2 e jx x0 j Se tiene que

tmax

(x

x0 )2

y

Umax (x)

1 jx

x0 j

SOLUCIÓN FUNDAMENTAL DE LA ECUACIÓN DE CONDUCTIVIDAD TÉRMICA. INTERPRETACIÓN FíSICA. 133

Figura 6-2 G(x0 ; x; t) para diferentes valores de x0 :(h = x

x0 )

En conclusión, la temperatura en cualquier punto x 6= x0 primero crece hasta un valor U (x), y luego decrece tendiendo a cero con t ! 1. El valor máximo que se alcanza en un punto x 6= x0 , Umax (x) jx 1x0 j es inversamente proporcional a la distancia desde el punto x hasta x0 y el tiempo necesario para alcanzar este valor máximo de temperatura tmax (x x0 )2 . Los puntos más lejanos tardarán más tiempo en alcanzar el máximo de temperatura. Nota 37 La solución al problema de Cauchy para la ecuación de conducción térmica con condición inicial u(x; 0) = '(x) es el resultado de la superposición (la suma) de las temperaturas creadas en el punto x en el instante t, como consecuencia de la distribución continua de impulsos térmicos de intensidad '( ) en el punto dados en el instante t = 0.

134


6.2.1. Solución de la ecuación de conductividad térmica en un segmento rectilíneo. Planteamiento del problema. El problema consiste en hallar la función u(x; t) continua en la región cerrada [0; l] [0; T ] = b que es solución de la ecuación de conducción térmica ut = a2 uxx

en (0; l)

(0; T ) = G

(6.32)

con condición inicial x 2 [0; l]

u(x; 0) = '(x)

(6.33)

y condiciones de frontera homogéneas que corresponden a suponer que en los extremos la temperatura se mantiene constante e igual a cero u(0; t) = 0;

u(l; t) = 0

t 2 [0; T ]

(6.34)

La solución del problema (6.32)-(6.34) la buscaremos usando el método Fourier o método de separación de variables, para lo cual supondremos que u(x; t) = X(x)T (t), cuyo reemplazo en (6.32) nos lleva a X 00 T0 = = a2 T X donde es la constante de separación de variables que consideraremos positiva. Así se obtienen dos ecuaciones independientes que deben ser solucionadas por separado X 00 + X = 0 T 0 + a2 T = 0

(6.35) (6.36)

De las condiciones de frontera se tienen las condiciones adicionales para la solución de (6.35) X(0) = 0 X(l) = 0 (6.37) La solución de (6.35) con condiciones de frontera (6.37) nos lleva a solucionar un problema de Sturm -Liouville cuya metodología de solución e implicaciones ya fueron discutidas en el desarrollo de las ecuaciones de tipo hiperbólico y donde se halló que en este caso para los valores propios que tienen la foma n = ( n=l)2 con n = 1; 2; ::: se tiene una solución no trivial de la forma Xn = sin ( nx=l). La solución de (6.36) se obtiene, tomando en consideración estos valores de n ; de la forma T (t) = Cn exp( a2 n t) donde Cn es un coe…ciente que debe ser determinado. Así la solución general a la ecuación (6.32) puede ser expresada como u(x; t) =

1 X n=1

Cn exp

h

a

n i t sin l

n x l

(6.38)


A partir de la ecuación inicial (6.33) es posible de…nir el coe…ciente Cn : u(x; 0) =

1 X

Cn sin

n=1

n x = '(x) l

es decir, los coe…cientes Cn son los coe…cientes de la expansión de la función '(x) en una serie Fourier de funciones seno, que son las funciones propias del problema de Sturm-Liouville en la región (0; l), es decir 2 Cn = 'n = l

Zl

n l

'( ) sin

(6.39)

d

0

Hasta aquí hemos mostrado la forma de construir una solución al problema (6.32)-(6.34), pero es necesario demostrar que efectivamente la función así construida es solución de este problema, es decir, que (6.38) satisface las condiciones (6.32)-(6.34) para lo cual debemos probar que 1. u(x; t) es una función diferenciable enla región abierta de sumatoria 2. u(x; t)

, bajo el signo

es una función continua en la región cerrada b .

En concordancia con el principio de superposición (ver ecuación de tipo hiperbólico), la serie construida con las soluciones parciales de una ecuación diferencial lineal, será una solución de la ecuación si esta serie converge y es posible diferenciar miembro a miembro por t y doblemente por x. Para realizar esta demostración es su…ciente demostrar que la serie de las derivadas converge uniformemente, lo cual a su vez es su…ciente con demostrar la convergencia de un mayorante. Es necesario suponer que la función '(x) es una función acotada (j'(x)j < M ). Ahora valoremos los miembros generales de la serie obtenida al diferenciar (6.38) respecto de t y doblemente respecto de x para t t0 > 0 @un = @t

Cn

n l

2

a2 exp

a

n l

2

t sin

n x l

n l

< jCn j

Dado que '(x) es una función acotada, entonces Z l n 2 2 jCn j = '( ) sin d < lM = 2M ; l l l 0

t

2

a2 e

a2 (

n 2 t l

t0

es decir jCn j < 2M por lo cual @un < 2M @t l 136

2

a2 n 2 e

a2 (

n 2 t0 l

)

;

t

t0


)

y de forma análoga @ 2 un < 2M @x2 l

2

n2 e

a2 (

n 2 t0 l

)

;

t

t0

Analicemos la convergencia de la serie 1 X

N n2 e

a2 (

n 2 t l

)

n=1

que por criterio de D’Alambert converge, lo cual se ve de an+1 lm n!1 an

= =

lm

(n + 1)2 e

n!1

a2 ( n=l)2 (n2 +2n+1)t0

n2 e

lm e

a2 (

a2 ( n=l)2 (2n+1)t0

n!1

n 2 t0 l

)

1 1+ n

2

=0

Así podemos concluir que la serie de las derivadas converge uniformemente, por lo cual es posible la diferenciación término a término bajo el signo de sumatoria, y a…rmar que se cumple el principio de superposición, de donde la serie (6.38) satisface la ecuación (6.32) para t > 0. Continuidad de u(x; t). Ahora es necesario demostrar la continuidad de u(x; t) en la región cerrada b . Consideremos jun j = Cn exp

a

n l

2

t

sin

n x l

< jCn j ;

t

0; 0

x

l

donde se tiene que los coe…cientes Cn = 'n . Ahora bién, como '(x)P es una función continua y '0 (x) se supone continua 1 a trozos, entonces P1 la serieP1n=1 j'n j converge uniformemente. Dado que la serie mayorante n=1 j'n j = n=1P jCn j converge, entonces la serie formada por las funciones soluciones parciales 1 n=1 jun j converge uniformemente y el miembro general de la serie es una función continua en la región t 0; 0 x l. Por lo tanto u(x; t) es continua en la región cerrada b

Conclusion 38 Finalmente es posible concluir que si '(x) es una función continua y '0 (x) es continua a trozos, y se cumple que '(0) = '(l) = 0; entonces la serie (6.38) con coe…cientes (6.39) de…nida en b es la solución del problema (6.32)-(6.34).


6.2.2. Principio del valor máximo Antes de demostrar la unicidad de la solución de la ecuación de tipo parabólico, enunciaremos y demostraremos una propiedad de la solución de la ecuación de difusión térmica (6.13) y que será usada en las demostraciones de los siguientes teoremas y simpli…cará el axionar nuestro. Por comodidad introduciremos la siguiente notación =

x = 0; x = l; t = 0 0 t T x 2 [0; l]

; b = [0; l]

[0; T ] ;

= (0; l)

(0; T )

Teorema 39 Sea u(x; t) una función de…nida y continua en la región b , que satisface la ecuación homogénea de conducción térmica ut = a2 uxx

(6.40)

en la región abierta , entonces la función u(x; t) toma sus valores máximo y mínimo en el instante inicial o en los extremos de x = 0 o x = l.

El sentido físico de este teorema es claro al considerar que si la temperatura en la frontera o en el momento inicial es menor que cierto valor K, entonces ante la ausencia de fuentes de calor, dentro del cuerpo no pueden crearse temperaturas mayores a K. Demostración. La demostración del teorema se hará por contradicción. Sea M el valor máximo de la función u(x; t) en b = + , y m el máximo de la función u(x; t) en : M = max u(x0 ; t0 ); b

m = max u(x; t)

(6.41)

Supongamos que existe tal solución u(x; t) para la cual M > m, es decir para la cual no se satisfacen las condiciones del teorema. Supongamos que esta función alcanza su valor máximo en el punto (x0 ; t0 )2 + H es decir u(x0 ; t0 ) = M . Nota: toda función continua en una región cerrada alcanza su valor máximo. Una condición su…ciente para la existencia de un mínimo relativo de la función en el punto x0 2 (0; l) es: @u (x0 ; t0 ) = 0 y @x

@2u (x0 ; t0 ) > 0 @x2

(6.42)

y para la existencia de un máximo @u (x0 ; t0 ) = 0 y @x 138

@2u (x0 ; t0 ) @x2

0


Comparemos los signos de la parte izquierda y derecha de la ecuación (6.40) en el punto (x0 ; t0 ) donde por de…nición la función alcanza su máximo. Dado que la función u(x; t) alcanza su valor máximo en el punto (x0 ; t0 ), entonces se debe cumplir que @2u @u (x0 ; t0 ) 0; (x0 ; t0 ) 0 (6.43) @t @x2 Comparando la parte derecha e izquiera de (6.40), vemos que son de signo diferente. Sin embargo esto no demuestra del todo el teorema (dado que ambas partes pueden ser iguales a cero), pero nos da el sentido general de la 2 > 0. demostración, para lo cual busquemos el punto (x1 ; t1 ) donde @@xu2 0 y @u @t Para esto consideremos la función auxiliar v(x; t) = u(x; t) + La función v(x x0 ) = u(x no es inferior a M :

M

m 4l2

v(x; t)j

x0 )2

(6.44)

x0 ) = M lo que signi…ca que el máximo de v(x; t) max v(x; t)

Sin embargo en la frontera

(x

(max(x m+

M

x0 ) = l) para la función v(x; t) se tiene

M

m 4

=

M 3 + m
dado que m < M . Por lo tanto la función v(x; t) como u(x; t) tampoco alcanza su máximo en . Supongamos que v(x; t) alcanza el máximo en el punto (x1 ; t1 ) 2 (un punto interior). En concordancia con la condición necesaria para un máximo, en el punto (x1 ; t1 ) para v(x; t) se debe cumplir que vt 0 y vxx 0 es decir en el punto (x1 ; t1 ) vt (x1 ; t1 )

a2 vxx (x1 ; t1 )

0

y en el mismo punto se tendrá que, dado (6.44) uxx (x1 ; t1 ) = vxx (x1 ; t1 ) +

M

m 2l2

< 0;

M

m 2l2

= k > 0; vxx

0

y para la función u(x; t) en el punto (x1 ; t1 ) obtenemos ut (x1 ; t1 )

a2 uxx (x1 ; t1 ) = vt (x1 ; t1 )

a2 vxx (x1 ; t1 ) + a2 k > 0

Es decir, la ecuación (6.40) no se satisface dentro de la región contradicción demuestra el teorema.

, lo cual por

Nota 40 En la demostración no se supuso apriori que la función (x; t) satisfacía la ecuación de conductividad térmica y sólo se estudió su comprtamiento (max y min) y así se demostró que si el máximo se alcanza dentro de , entonces la función (x; t) no es una solución de la ecuación de conductividad térmica. SOLUCIÓN FUNDAMENTAL DE LA ECUACIÓN DE CONDUCTIVIDAD TÉRMICA. INTERPRETACIÓN FíSICA. 139

Corolario 41 Si dos soluciones de la ecuación de conductividad térmica u1 (x; t) y u2 (x; t) satisfacen las condiciones u1 (0; t) u2 (0; t) y u1 (l; t) u2 (l; t) entonces u1 (x; t) u2 (x; t) para todo 0 x l; 0 t T Demostración. Sea v(x; t) = u2 (x; t) u1 (x; t) y f (x; t) = 0. Se tiene que v(x; 0) 0; v(0; t) 0; v(l; t) 0; de donde un máximo no negativo se alcanza en la frontera, por lo cual en b , v(x; t) no es negativa lo que signi…ca que u1 (x; t) u2 (x; t). Corolario 42 Si se tienen tres soluciones de la ecuación de conductividad térmica u1 (x; t); u2 (x; t) y u3 (x; t) tales que u1 (x; t) u2 (x; t) u3 (x; t) para t = 0; x = 0; x = l, entonces esta desigualdad se cumple para todo (x; t)2 b Demostración. Aplicando el corolario anterior a las funciones u1 (x; t); u2 (x; t) y luego a las funciones u2 (x; t); u3 (x; t) se obtiene la desigualdad buscada.

Corolario 43 Teorema de la estabilidad de la solución. Si para dos soluciones de la ecuación de conductividad térmica u1 (x; t) y u2 (x; t) se tiene que u1 (x; t) u2 (x; t) " para t = 0; x = 0; x = l, entonces ju1 (x; t) u2 (x; t)j " en todo (x; t)2 b . Demostración. Aplicando a las funciones u1 (x; t) = "; u(x; t) = u1 (x; t) u2 (x; t); u3 (x; t) = " el segundo corolario se obtiene lo que se busca demostrar.

Este último corolario demuestra la estabilidad de la solución de la ecuación de conductividad térmica.

6.2.3. Teorema de unicidad de la solución Ahora nos dedicaremos a investigar la unicidad de la solución de la ecuación de conductividad térmica. Es evidente que los resultados aquí obtenidos son aplicables a la ecuación de difusión que tiene la misma forma. De…nición 44 Concepto de solución de primer problema de frontera. Llamaremos solución del primer problema de frontera a la función u(x; t) que satisface las siguientes condiciones: 1. u(x; t) está de…nida y es continua en la región cerrada 0 t T

x

l; t0

2. u(x; t) satisface la ecuación de conductividad térmica en la región abierta 0 < x < l; t0 t 140


3. u(x; t) satisface las condiciones iniciales u(x; t0 ) = '(x) y de frontera u(0; t) = 1 (x); u(l; t) = 2 (x) Donde '(x); 1 (x) y 2 (x) son funciones continuas que satisfacen la condición de conjugación '(0); 1 (t0 ) y '(l); 2 (t0 ) (esto es indispensable para la continuidad de la función u(x; t) en una región cerrada)

En nuestro problema se tiene la función u(x; t) de…nida dentro del rectángulo ABCD. Esta región está de…nida por el planteamiento mismo del problema, dado que se estudia el problema del trasporte de calor en una barra 0 x l; en cierto intervalo de tiempo t0 t T; durante el cual el régimen térmico en las fronteras es conocido. Nota 45 Se busca que la ecuación se satisfaga para u(x; t) en una región abierta, es decir no para t = 0; x = 0 y x = l. Si la ecuación se satisface para t = 0, entonces es necesario exigir la existencia de '00 = uxx (0; x) que participa en la ecuación. Esta exigencia limita la región de los fenómenos físicos estudiados dado que se excluirian las funciones '(x) para las cuales esta condición no se cumpla. La continuidad de u(x; t) con 0 < x < l; 0 < t T se deduce de que u(x; t) satisface la ecuación, es decir la exigencia de la continuidad de la función en una región cerrada está relacionada, en principio, sólo con aquellos puntos donde se dan las condiciones iniciales y las condiciones de frontera. En adelante por "solución de la ecuación que satisface las condiciones de frontera" se entenderá aquella función que satisface las condiciones 1, 2 y 3. Teorema 46 Si las funciones u1 (x; t) y u2 (x; t) son funciones de…nidas y continuas en b que satisfacen la ecuación de conductividad térmica ut = a2 uxx + f (x; t) en con iguales condiciones iniciales y de frontera u1 (x; 0) = u2 (x; 0) = '(x); u1 (0; t) = u2 (0; t) = 1 (t); u1 (l; t) = u2 (l; t) = 2 (t);

entonces u1 (x; t)

u2 (x; t)


Demostración. Consideremos v(x; t) = u2 (x; t) u1 (x; t). Dado que v(x; t) es una ecuación homogénea (f (x; t) = 0), entonces para ella simultáneamente se alcanza el max y el m n, es decir max y m n se alcanza para t = 0; x = 0 o x = l; v(x; 0) = 0; v(0; t) = 0; v(l; t) = 0, v(x; t) 0 es decir u1 (x; t) u2 (x; t).

6.2.4. Teorema sobre la estabilidad de la solución del primer problema de frontera. El teorema sobre la estabilidad de la solución puede ser demostrado también con la ayuda del principio del máximo. Teorema 47 Sean u1 (x; t) y u2 (x; t) soluciones de (6.40) con diferentes condiciones de frontera : ui j = i (x; t) con i = 1; 2 y j 1 (x; t) ". 2 (x; t)j Entonces por todo b se cumplirá la desigualdad ju1 (x; t) u2 (x; t)j ".

Demostración. La diferencia de las soluciones v(x; t) = u2 (x; t) u1 (x; t) satisface la ecuación homogénea (6.40) y la condición de frontera jvj j ". Aplicaremos a v(x; t) el tercer corolario al principio del valor máximo y así obtenemos que jv(x; t)j " en todo b ; por lo cual ju1 (x; t) u2 (x; t)j " en todo b .

142


6.2.5. Teorema de la unicidad de la solución en una recta in…nita

En este teorema supondremos que existe un M tal que ju(x; t)j < M para todos los 1 < x < 1; t 0: Teorema 48 Si u1 (x; t) y u2 (x; t) son funciones de…nidas, continuas y acotadas por toda la región de de…nición de (x; t), que satisfacen la ecuación de conductividad térmica (6.40) para 1 < x < 1; t 0, y satisfacen la condición u1 (x; 0) = u2 (x; 0) ( 1 < x < 1), entonces u1 (x; t) u2 (x; t) para 1 < x < 1; t 0. Demostración. Consideremos la función v(x; t) = u2 (x; t) u1 (x; t), continua y acotada que satisface la ecuación de conductividad térmica (6.40) jv(x; t)j

ju1 (x; t)j + ju2 (x; t)j < 2M ;

1 < x < 1; t

0

v(x; 0) = 0. El principio del máximo no tiene aplicación dado que una función de dominio in…nito nunca podrá alcanzar su valor máximo. Consideremos el dominio jxj L (L ! 1), donde L es un número auxiliar y la función 4M x2 + a2 t W (x; t) = 2 L 2 continua y que satisface la ecuación de conductividad térmica (6.40) y posee las propiedades (evaluación de la función en la frontera ) jv(x; 0)j = 0 2M jv( L; 0)j

W (0; t) W ( L; t) es decir, en la frontera v(x; t)j

W (x; t)

Para una región acotada jxj L; 0 t T es aplicable el principio del máximo. Aplicaremos el segundo corolario a las funciones u0 = W (x; t); u = v(x; t); u e = W (x; t) 4M L2

x2 + a2 t 2

v(x; t)

4M L2

x2 + a2 t 2

Fijemos (x; t) y pasemos al límite cuando L ! 1, con lo cual se obtiene 0 por lo tanto v(x; t) 1; t 0.

v(x; t)

0

0 lo que signi…ca que u1 (x; t)

u2 (x; t) para

1

6.2.6. Problemas propuestos 1. Se tiene una barra delgada homogénea termoconductora de longitud l. Los terminales de la barra x = 0 y x = l se mantienen a una temperatura igual a cero. Hallar la temperatura de barra para todo t > 0, es decir, hallar la solución de la ecuación @ 2 u(x; t) @u(x; t) = a2 ; t>0 @t @x2 si se dan las condiciones iniciales a. u(x; 0) = u0 ; b. u(x; 0) = Ax c. u(x; 0) =

x; l x;

d. u(x; 0) = x(l

0 < x < l=2 l=2 x < l

x)

2. Se tiene una barra delgada homogénea termoconductora de longitud l. Para t > 0 el terminal izquierdo x = 0 se mantiene a temperatura de cero grados y el terminal derecho está aislado térmicamente, lo que corresponde a las condiciones de frontera u(0; t) =

@u(l; t) =0 @x

y se tienen las siguientes condiciones iniciales a. u(x; 0) = f (x) 1 5 x b. u(x; 0) = sin 2 2l 3 x 11 x c. u(x; 0) = 3 sin sin 2l 2l d. u(x; 0) = Ax 3. En el segmento de recta 0 < x < l; t > 0 hallar la solución de la ecuación @ 2 u(x; t) @u(x; t) = a2 @t @x2 con condiciones de frontera @u(0; t) = u(l; t) = 0 @x con condiciones iniciales a. u(x; 0) = f (x) 144


b. u(x; 0) = 2 cos

5 x 2l

1 3

cos

7 x 2l

c. u(x; 0) = T0 d. u(x; 0) = A(l

x)

4. Cierta sustancia, en el instante inicial, está diluida de forma no homogénea en un acuario rectangular de longitud l. describir el proceso de homogenización de la concentración de la sustancia en el recipiente para todo t > 0, si las paredes del recipiente son impenetrables tanto para la sustancia como para el soluto. El problema consiste en resolver la ecuación @ 2 u(x; t) @u(x; t) = a2 @t @x2 donde u(x; t) es la concentración de la sustancia en la sección x, 0 > x > l; para t > 0 con condiciones de frontera @u(0; t) = 0; @x

@u(l; t) =0 @x

La concentración inicial está dada por la condición a. u(x; 0) = f (x) 7 x l 3 x c. u(x; 0) = cos2 2l d. u(x; 0) = u0 b. u(x; 0) = sin2

4 x l

u0 ; 0 < x < h; 0; h < x < l;

e. u(x; 0) = f. u(x; 0) =

2 cos

x l

5. En los siguientes problemas se debe hallar, en el segmento 0 < x < l; t > 0, la solución de la ecuación de conductividad térmica @u(x; t) @ 2 u(x; t) = a2 @t @x2 cuando en uno o ambos extremos de una barra con cara lateral aislada térmicamente, ocurre un intercambio térmico con el medio con temperatura cero. La función que se busca debe satisfacer las siguientes condiciones iniciales y de frontera @u(l; t) + hu(l; t) = 0; u(x; 0) = f (x) @x @u(l; t) b. u(0; t) = 0; + hu(l; t) = 0; u(x; 0) = 1 @x

a. u(0; t) = 0;


c. d. e. f. g. h.

@u(0; t) @u(l; t) = 0; + hu(l; t) = 0; u(x; 0) = f (x) @x @x @u(0; t) @u(l; t) = 0; + hu(l; t) = 0; u(x; 0) = Ax @x @x @u(0; t) hu(0; t) = 0 u(l; t) = 0; u(x; 0) = f (x) @x @u(0; t) hu(0; t) = 0 u(l; t) = 0; u(x; 0) = u0 @x @u(l; t) @u(0; t) hu(0; t) = + hu(l; t) = 0; u(x; 0) = f (x) @x @x @u(0; t) @u(l; t) hu(0; t) = + hu(l; t) = 0; u(x; 0) = u0 @x @x

6. Problemas de desafío. Se tiene una barra homogénea de longitud l, con una super…cie lateral a través de la cual se produce un intercambio térmico con el medio que se considera de temperatura nula. Se puede demostrar que la temperatura en la sección transversal de la barra (el eje x se considera a lo largo de la barra) para cualquier momento de tiempo t > 0 satisface la ecuación @ 2 u(x; t) @u(x; t) = a2 @t @x2

b2 u(x; t)

donde a2 = k=c (k coe…ciente de conductividad térmica, c capacidad calorí…ca, densidad volumétrica), b2 = k0 p=(c ) el coe…ciente de conductividad térmica de la frontera, p el perímetro de la sección transversal y su área. Se pide integral la ecuación con condiciones iniciales y de frontera dadas por: a. u(0; t) = 0; u(l; t) = 0; u(x; 0) = f (x) @u(l; t) x = 0; u(x; 0) = sin @x 2l @u(l; t) c. u(0; t) = 0; = 0; u(x; 0) = x @x @u(0; t) @u(l; t) d. = 0; = 0; u(x; 0) = f (x) @x @x @u(0; t) @u(l; t) e. hu(0; t) = = 0 u(x; 0) = u0 @x @x

b. u(0; t) = 0;

146


7. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO ELíPTICO

Figura 7-1 Primero tienes que aprender las reglas del juego y luego jugar mejor que nadie. A. Einstein

El estudio de los procesos estacionarios (independientes del tiempo), de diferente naturaleza física (vibraciones, conductividad térmica, difusión, y otros), por lo general converge a ecuaciones elípticas de las cuales el tipo más común es la ecuación de Laplace: u = 0 que estudiaremos en este capítulo y cuya solución más general es una función armónica para la cual introduciremos su de…nición. La ecuación no homogénea u = f se denomina ecuación de Poisson y también será objeto de estudio en este capítulo. De…nición 49 La función u se dice una función armónica en el dominio si es una función tipo C (2) en y satisface la ecuación de Laplace u = 0.

7.1. Formulación de problemas de contorno Consideremos un proceso térmico estacionario. Es sabido que la temperatura de un campo térmico no estacionario satisface la ecuación diferencial de termoconductividad k (7.1) ut = a2 uxx ; a2 = c ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO ELíPTICO

147

Figura 7-2 Problema interior y exterior con simetría cilíndrica

Si el proceso es estacionario entonces se establecerá una distribución de temperatura u(x; y; z) que no varía con el correr del tiempo y consecuentemente satisface la ecuación de Laplace u = 0. Ante la presencia de fuentes de calor con densidad F se obtiene la ecuación u=

f;

f=

F k

(7.2)

donde k es el coe…ciente de conducción térmica. La ecuación no homogenea de Laplace, comunmente es denominada ecuación de Poisson. Consideremos cierto volumen , limitado por la super…cie . El problema sobre la distribución estacionaria de temperatura u(x; y; z) dentro del volumen , se plantea de la siguiente forma: hallar la función u(x; y; z) que satisface dentro de , la ecuación u = f y las condiciones de frontera que pueden ser tomadas en uno de los siguientes tipos: 1. u = f1 sobre la super…cie (Primer problema de frontera). Se pide hallar la solución de la ecuación u = 0 en cierta región del espacio y que en la frontera de la región toma valores conocidos. En calidad de ejemplo se puede tomar el problema de hallar la distribución estacionaria de temperatura dentro de cierta región, si se establece la temperatura en la frontera de esta región. Dos casos. a) Se tiene la ecuación de Laplace dentro de un círculo con valores de la solución dados en la frontera. b) Se tiene la ecuación de Laplace fuera de un círculo con valores de la solución dados en la frontera. 1.

148

@u = f2 sobre la super…cie (Segundo problema de frontera). Se pide @n hallar la solución de la ecuación en cierta región del espacio, dada la ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO ELíPTICO

derivada normal sobre la frontera @u=@n. Por ejemplo, se establece que el ‡ujo de calor en la frontera varía según la ley @u = sin @n En este caso la distribución estacionaria de temperatura dentro del círculo es la solución del problema de frontera: 8 0 r<1 < u=0 @u (7.3) = sin 0 2 : @n r=1

En este problema el ‡ujo de calor a través de la frontera está dirigido hacia adentro para 0 y hacia afuera para 2

El problema de Neumann (ecuación Laplace) tiene sentido sólo en el caso cuando el ‡ujo total a través de la frontera es igual a cero. Matemáticamente esto signi…ca que se cumple la igualdad: Z @u =0 @n En caso contario el problema no tendrá solución, ejemplo: ( u=0 0 r<1 @u (1; ) = 1 0 2 @r

(7.4)

Este problema no tiene sentido físico dado que un ‡ujo constante unitario dentro de la región no puede proveer la estacionariedad de la solución. Otra particularidad del problema Neumann es que la solución no es única. Si tenemos una solución al problema Neumann y a continuación se añade a ella una constante arbitraria, se obtiene una solución diferente. Por esta razón, para obtener una solución única es necesario tener información adicional (por ejemplo, conocer el valor de la solución en un punto). FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE CONTORNO

149

3.

@u h(u + f3 ) = 0 sobre la super…cie (Tercer problema de frontera). @n Se pide hallar la solución a la ecuación en cierta región del espacio, tal que satisfaga sobre la frontera la condición: @u + h(u @n donde h es una constante dada y g varía a lo largo de la frontera @u = @n

g) = 0 es una función dada que en general

h(u

g)

(7.5)

Es decir, el ‡ujo que entra a la región a través de la frontera, es proporcional a la diferencia de temperatura entre u y una temperatura predeterminada g. Esto signi…ca que (cuando h > 0) a. Si la temperatura u en la frontera es mayor que la temperatura del medio en la frontera g, entonces el calor sale de la región. b. Si u es menor que la temperatura g, entonces el calor ‡uye hacia dentro de la región. Por supuesto todo esto se sujeta a la ley de intercambio de calor de Newton. El sentido físico de estas condiciones de frontera es bien claro. El primer problema de frontera comunmente se denomina problema de Dirichlet, el segundo problema - problema de Neumann y el tercer problema se denomina problema de Robin o problema mixto. Solo cabe acalarar que dado que a través de ecuaciones de tipo elítico se modelan procesos estacionarios, para este tipo de ecuaciones no se plantean problemas de Cauchy - que son problemas de valores iniciales.

7.2. Solución general a la ecuación de Laplace En este apartado buscaremos construir una solución a la ecuación de Laplace en R2 y en R3 : Para regiones simples como círculos, rectángulos, esferas, cilíndros y numerosos otros casos, la solución de los problemas de contorno para la ecuación de Laplace se puede buscar a través del método de separación de variables. Los sub - problemas obtenidos convergen a problemas de valores propios (problemas de Sturm - Liouvile) que presentan soluciones en ciertas clases especiales de funciones (funciones cilíndricas, esféricas, etc) a lo cual dedicaremos un capítulo especial a través de los polinomios ortogonales. 150

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO ELíPTICO

En función de la con…guración de la región en la cual se resuelve el problema, es cómodo resolver la ecuación de tipo elíptico en diferentes sistemas de coordenadas. En este caso el operador de Laplace en cada sistema de coordenadas presenta una expesión de…nida dadas en el parágrafo del método de separación de variables. Consideremos algunas soluciones particulares a la ecuación de Laplace. Un gran interés presenta la solución de la ecuación de Laplace que posee simetría esférica o cilíndrica, es decir, dependiente sólo de una variable. La solución de la ecuación de Laplace u = U (r) cuando posee simetría esférica estará de…nida a partir de la ecuación diferencial ordinaria d dr donde C; C1 ; C2 obtiene

r2

dU dr

=0

dU = C

dr r2

U (r) =

C1 + C2 r

(7.6)

son constantes arbitrarias. Suponiendo C2 = 0; C1 = 1 se

1 r la cual comunmente se denomina solución fundamental de la ecuación de Laplace en el espacio. Esta función satisface la ecuación u = 0, en todo el espacio excepto el punto r = 0, donde la función diverge a in…nito. U0 (r) =

De forma análoga suponiendo u = U (r) y dado el operador Laplace en coordenadas cilíndricas = se tiene

d dr

r

dU dr

@ @r

@2 1 @2 + r2 @'2 @z 2

1 @ r @r

r

=0

C dU = U (r) = C1 ln r + C2 dr r

+

(7.7)

(7.8)

Eligiendo C1 = 1 y C2 = 0 se tendrá U (r) = ln r. La función U (r) es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en el plano (para dos variables independientes). Esta función U (r) satisface la ecuación de Laplace en todo el plano excepto en el punto r = 0, donde la función diverge a más in…nito.

7.2.1. Algunas propiedades de las funciones armónicas. Dado el importante papel que juegan las funciones armónicas en la solución de las ecuaciones de tipo elíptico y la amplia confusión existente entre los estudiantes sobre la de…nción de las funciones armónicas, daremos aquí algunas de las principales propiedades de las funciones armónicas y demostraremos algunos teoremas. Estos teoremas posibilitan el análisis de las soluciones obtenidas para SOLUCIÓN GENERAL A LA ECUACIÓN DE LAPLACE

151

ecuaciones que describen fenómenos físicos modelados por ecuaciones de tipo elítico. Denotemos como C( ) la clase de funciones continuas en ; C 1 ( ) la clase de funciones continuo –diferenciables en ; C 2 ( ) la clase de funciones doblemente continuo –diferenciables en . Teorema 50 (sobre el ‡ujo): si v es una función armónica en el dominio limitado por la super…cie , entonces ZZ @v dS = 0 @n S

donde S es cualquier super…cie cerrada que esté completamente contenida en la región (S 2 ). Demostración. Las funciones u; v 2 C( ); u; v 2 C 2 ( ). Consideremos la primera fórmula de Green en la región frontera de la región 1 : ZZZ I I @v u dS [(ru; rv) + u v] d 1 = @n

1

2

; S

la

S

1

Sea v una función arbitraria armónica en ( v = 0). Consideremos la función u 1. Entonces en la parte derecha de la fórmula anterior se obtiene un cero: I I @v dS = 0 @n S

y en teorema queda demostrado.

Nota 51 Con la suposición adicional v 2 C 1 ( ) de este teorema se desprende que el segundo problema de contorno para la ecuación de Laplace 8 < u=0 @u =f : @n puede tener solución sólo si I I

@v dS = @n

I I

f dS = 0

es decir, si no existen fuentes dentro de la región 152

.


Teorema 52 Teorema del valor medio. Si u(M ) es una función armónica en , y M0 es un punto interno de (M 2 ), entonces I I 1 ud u(M0 ) = 4 a2 a

donde a es una esfera de radio a con centro en el punto M0 contenida enteramente en la región . Este teorema se puede formular de otra forma: El valor de la función armónica en el punto interno M0 es igual valor medio aritmético de u(M ) en la esfera , que envuelve este punto y que está contenida completamente en la región donde la función u(M ) es armónica ( 2 )

Demostración. Apliquemos la fórmula integral de Green a la esfera K(M0 ; a) con centro en M0 , radio a y super…cie I I 1 @u 1 u(M0 ) = (p) 4 rM0p @n

a:

u(p)

@ @n

1 rM0p

d ; p2

a

a

Teniendo en cuenta que en la super…cie 1 rM0p

@ @n

= a;

y teniendo en cuenta que

1 rM0p

=

I I

a

@ @r

1 rM0p

1 a2

= r=a

@u =0 @n

a

tenemos que 1 u(M0 ) = 4

I I

1 @u 1 1 (p) + u(p) 2 d = a @n a 4 a2

a

I I

u(p)d

a

que es lo que se busca demostrar. SOLUCIÓN GENERAL A LA ECUACIÓN DE LAPLACE

153

Corolario 53 Si las funciones u y U son funciones continuas en + , armónicas en y si u U en , entonces u U en todo punto dentro de . Demostración. Consideremos la función v = U u. Esta función es continua en + , armónica en y v 0 en . Con base en el principio del valor máximo v 0 en todo , es decir u U , que es lo que se busca demostrar. Corolario 54 Si las funciones u y U son funciones continuas en + , armónicas en y si juj U en , entonces juj U en todo punto dentro de . Demostración. De la condición del teorema se desprende que tres funciones armónicas ( U ), u y (U ) satisfacen en la condición: U u U . Aplicando dos veces el corolario anterior (a las funciones ( U; u) y (u; U )), obtenemos que U u U en todo , o lo que es lo mismo juj U dentro de . Corolario 55 Para la función u(M ) armónica en y continua en satisface completamente en + la desigualdad juj max juj .

+

se

7.2.2. Principio de los valores extremos. Teorema 56 Si la función u(M ) es diferente de constante y armónica en la región acotada y continua en la región cerrada , entonces los valores máximo y mínimo de la función u(M ) se alcanzan en la frontera de la región – sobre la super…cie m n u(p) < u(M )M 2 < max u(p) p2

p2

Demostración. Haremos la demostración por contradicción para el caso del máximo de u. Supongamos que la función u(M ) alcanza en máximo valor en cierto punto M0 2 max u(M ) = u(M0 ) = G +

u(M )

donde M 2 un punto arbitrario. Rodeemos el punto M0 con una esfera de radio que esté completamente contenida en la región . Dado que por suposición M0 es el valor máximo de la función u(M ) en + , entonces uj u(M0 ). Utilizando la fórmula del valor medio (teorema) y reemplazando dentro de la integral u(M ) por su máximo valor M0 , obtendremos I I I I 1 1 u(M0 ) u(M0 ) = u(M )d u(M )d = 4 r02 = u(M0 ) 0 2 2 2 4 r0 4 4 r0

154


es decir, obtuvimos que u(M0 )

u(M0 )

Ahora bien, si suponemos que por lo menos en un punto M de la esfera r0 ; u(M ) < u(M 0), entonces es evidente que en lugar del símbolo en la desigualdad anterior, estará el símbolo <, lo que conlleva a una contradicción. De esta manera sobre toda la super…cie r0 se tiene que u(M ) u(M0 ) = G. Si r0 es la distancia mínima desde M0 hasta la super…cie entonces u(M ) u(M0 ) para todos los puntos dentro de r0 . De esto se desprende que en los puntos M , pertenecientes a la región común entre r0 y por la super…cie M = u(M0 ). No es difícil ver que si en una región conectada , el valor máximo se alcanza al menos en un punto interior M0 , entonces u(M ) u(M0 ) en toda la región.

c otro punto arbitrario dentro de . Unamos el punto M c con el punto Sea M M0 a través de la línea quebrada L, cuya longitud denotaremos como l. Sea M1 el último punto a la salida de la super…cie . En este punto u(M1 ) = u(M0 ). Tracemos desde este punto la esfera r1 de radio r1 , tangente a y sea M2 el último punto de salida de L desde r1 . En este punto u(M2 ) = u(M0 ). Continuando este proceso no más de n = l=rm veces, (rm la distancia mínima c, de donde se desde L hasta ), una de estas esferas capturará el punto M c) = u(M0 ). Dada la arbitrariedad de M c y la continuidad de deduce que u(M u(M ) en la región cerrada + , concluimos que u(M ) u(M0 ) = G en todos los puntos, incluyendo la frontera de la región. Esto contradice el supuesto del teorema de que u(M ) 6= const. La contradicción obtenida muestra que nuestra suposición no es correcta y por lo tanto u(M ) no puede alcanzar su valor máximo dentro de la región . Sin embargo dado que u(M ) es continua dentro de la región cerrada , entonces ésta necesariamente1 alcanza su valor 1

El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una

SOLUCIÓN GENERAL A LA ECUACIÓN DE LAPLACE

155

máximo en en cierto punto M 2 = + . Dado que M , no puede ser un punto interior de la región , entonces M 2 . Sustituyendo u por ( u) se puede demostrar que el valor mínimo de la función u no puede alcanzarse dentro de .

7.2.3. Problema de Diriclet para un círculo

En calidad de ejemplo, en este apartado mostraremos como podemos resolver el problema de Dirichlet interior y exterior para un círculo. Este problema es lógico resolverlo en coordenadas polares, donde la ecuación de Laplace toma la forma ( 1 1 con 1) 0 r R ó 2) R < r < 1 urr + ur + 2 u = 0 (7.9) r r u(R; ) = g( ) con 1) 0 2 yT =2 lo que resulta de resolver la ecuación homogénea de Laplace en un plano con condiciones de frontera dadas sobre una circunferencia de radio R. La solución deberá ser periódica por con periodo T = 2 Buscaremos la solución por el método de separación de variables y suponiendo u(r; ) = Y (r) ( ) se obtiene Y 00

1 + Y0 r

+

1 r2

00

=0

y multiplicando por r2 =Y r2 Y 00 + rY 0 = Y de donde se tiene que 00 ( ) = según los valores propios sean

C

00

=C

y debemos considerar diferentes casos

2 1. C = es decir C < 0. En este caso se tiene que 00 ( ) = 2 y la solución será ( ) = Ae + Be que no es una función periódica y por lo tanto no puede ser solución del problema (7.9).

2. C = 0. Obtenemos 00 ( ) = 0, es decir ( ) = A + B una función que puede ser periódica con lo cual ya contamos con una solución para(7.9). 2 3. C = 2 es decir C > 0. En este caso se tiene que 00 ( ) = y la solución será ( ) = A cos( )+B sin( ) que es una función periódica si 2 N, con lo cual se tiene que = 0; 1; 2; :::

función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo.

156


Ahora busquemos la solución para la parte radial Y : r2 Y 00 + rY 0

n2 Y = 0

Si n 6= 0 esta es la ecuación de Euler que del curso de EDO se sabe que debemos buscar una solución de la forma Y r . Reemplazando esta solución en la ecuación para la parte radial, obtenemos la ecuación característica para de…nir r2 (

2

1)r

+r r 1 ( 1) +

n2 r = 0 n2 = 0;

=

n

Y así se tiene la solución general Y (r) = Cn rn + Dn r

n

para n 6= 0

Si n = 0 entonces la ecuación se transforma en r2 Y 00 + rY 0 = 0 y haciendo un cambio de variable Y 0 = V r2 V 0 + rV = 0 !

dV = V

dr r

que se puede integrar y resolver respecto de V ln jV j = ln

A0 1 +"!V = r r

y regresando a la función Y Y (r) = C0 ln r + D0 Finalmente se tienen dos casos con lo cual es necesario construir dos soluciones diferentes: 1. Problema interior. Dado que 0 r entonces C0 = 0 y Dn = 0, n 6= 0

R y en cero ln r ! 1 y r

n

! 1,

2. Problema exterior. Dado R < r < 1 entonces cuando r ! 1, ln r ! 1 y rn ! 1, entonces C0 = 0 y Cn = 0, n 6= 0 Finalmente se obtiene como solución general y con base en el principio general de superposición

u(r; ) = u(r; ) =

1 X

n=0 1 X

rn (An cos(n ) + Bn sin(n )) r

n

Prob. interior. (7.10a)

(An cos(n ) + Bn sin(n )) Prob. exterior. (7.10b)

n=0


157

Para hallar los coe…cientes An y Bn , multiplicamos cada lado de la ecuación una vez por cos(n ) y otra por sin(n ) y teniendo en cuenta la ortogonalidad de las funciones propias de un problema de Sturm - Liouville se tiene (r = R) An

1 1 = Rn

Bn =

1 1 Rn

Z2 0 Z2

g( ) cos (n ) d

1 n 6= 0 A0 = 2

Z2

g( )d

0

g( ) sin (n ) d

0

Con lo cual la solución (7.10) toma la forma u(r; ) =

1 X n=0

u(r; ) =

1 X n=0

r R R r

n

(An cos(n ) + Bn sin(n ))

Problema interior.

n

(An cos(n ) + Bn sin(n )) Problema exterior.

7.2.4. Teorema de unicidad de la solución. Problema de Dirichlet interno. Recordemos que el problema de Dirichlet corresponde al caso cuando, como condiciones de frontera, se establece el valor de la función – solución, sobre la frontera del dominio de la solución, es decir, dada una región limitada por la super…cie , se requiere hallar la función u(M ) tal que 1. Esté de…nida y sea continua en la región cerrada 2. Satisfaga en la región abierta 3. Sobre la super…cie

=

la ecuación de Laplace

+ u=0

tome los valores dados por uj = f (p), p 2

Teorema 57 Teorema de la unicidad de la solución del problema interno de Dirichlet. El primer problema de contorno interno para la ecuación de Laplace posee una solución única. Demostración. La demostración la haremos por contradicción. Supongamos que existen dos soluciones para el primer problema de contorno u1 (M ) y u2 (M ) y consideremos su diferencia v(M ) = u2 (M ) u1 (M ). La función v(M ) satisface los requerimientos 1 y 2 para la solución del problema Dirichlet: está de…nida y es continua en ; v = 0 en . En la frontera obtenemos vj = 0: 158


Además la función v alcanza su valor máximo en la región cerrada . Si suponemos que v > 0 aunque sea en un único punto interno, entonces obtenemos que v alcanza su máximo dentro de , lo que contradice el principio del máximo (dado que vj = 0) para funciones armónicas. Un razonamiento análogo se puede desarrollar para el caso cuando v < 0 en , cuando obtendremos una contradicción con el principio del mínimo para funciones armónicas. Por lo tanto v 0 en , lo que implica que las dos soluciones son iguales y el teorema de la unicidad de la solución queda demostrado.

7.2.5. Teorema de estabilidad de la solución. En el caso del problema interior de Dirichlet para la ecuación de la Laplace, también debemos demostrar que la solución es estable respecto de pequeñas variaciones en las condiciones de frontera. Si se tiene una solución u1 para ciertas condiciones y una solución u2 para otras condiciones de manera que ju2 u1 j < ", entonces se tiene que: Teorema 58 Si las funciones u1 ; u2 son funciones armónicas en [ ui = 0; i = 1; 2] y continuas en , y ju2 u1 j < " sobre la super…cie , entonces ju2 u1 j < " en todo . La demostración de este teorema está basada en el segundo corolario del teorema del principio del valor extremo y por su trivialidad la dejaremos de lado en este apartado.


159

7.2.6. Problemas propuestos 1. Resolver el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace u = 0 en un círculo 0 r < 1; 0 ' 2 (coordenadas polares), sabiendo que en la frontera la función buscada toma los valores u(r = 1; ') = cos 9' 2. Resolver el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace u = 0 en un círculo 0 r < 1; 0 ' 2 (coordenadas polares), sabiendo que en la frontera la función buscada toma los valores u(r = 1; ') = 2 sin 8' 3. Hallar la solución al problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace u = 0 en un círculo 0 r < 2; 0 ' 2 ; sabiendo que en la frontera la función buscada toma los valores u(r = 2; ') = 2' + 1. Rta: u(r; ') = 1 +

1 X n=1

160

! ( 1)n+1 sin n' rn 2n 2 n


7.3. Formalismo de las funciones de Green Goerge Green (14 de julio de 1793, 31 de mayo de 1841 - Matemático inglés2 ) desarrolló un método para construir soluciones a los problemas de electrostática y que ha recibido el nombre de formalismo de funciones de Green. Este método se asocia a los métodos generales de las transformaciones integrales por los cuales una ecuación diferencial es transformada en una ecuación integral mediante el uso de un núcleo (kernel), que debe ser de…nido para cada transformación. El caso particular de transformaciones como Fourier, Laplace y otras, este núcleo está perfectamente de…nido en tanto en la trasnformación integral de Green, sólo es posible conocer apriori las condiciones funcionales que debe cumplir el núcleo que será utilizado. En este apartado mostraremos la estrategía general del formalismo y usaremos el formalismo de las funciones de Green para buscar una solución a la ecuación de Poisson, esto debido a que este formalismo es especialmente usado en la solución de problemas estacionarios descritos a traves de EDPs de tipo elíptico. Consideremos un operador diferencial lineal L que actúa sobre cierto espacio de funciones de…nidas sobre una variedad diferencial M , y supongamos que se busca resolver la ecuación no homogénea L[u(x)] = f (x)

con x 2

M

(7.11)

La idea de las funciones de Green es hallar la función de dos variables G(x; s) - continua y diferenciable que satisfaga la ecuación homogénea L[G(x; s)] = (x

s)

(7.12)

donde (x s) es la función delta de Dirac. Si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por f (x) y luego integramos por todo el espacio de de…nicón del problema, entonces teniendo en cuenta la linealidad del operador L, Z Z 0 ds L[G(x; s)]f (s) = (x s)f (s)ds = f (x) Z Z 0 L ds [G(x; s)]f (s) = (x s)f (s)ds = f (x) y dado que por de…nición 2 Entre sus obras más famosas se cita: "Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo"publicado en 1828. En este libro se introdujeron los conceptos de funciones de potencial utilizados en la formulación matemática de la física. También aparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes del teorema de Green

FORMALISMO DE LAS FUNCIONES DE GREEN

161

u(x) = L 1 [f (x)] entonces es posible de…nir un operador K, tal que Z u(x) = K[f (x)] ds0 [G(x; s)]f (s)

(7.13)

es formalmente la solución de la ecuación (7.11). Aquí se ha dado por sentada la existencia del operador inverso L 1 : L

1

L=L L

1

= K L = I;

es decir, en este caso L 1 = K. Así tenemos que si se conoce la función de Green asociada al operador L, podemos expresar la solución de (7.11) de la forma (7.13). Es necesario insistir en que, en la práctica no se ha construido una solución al problema (7.11), lo único que hemos hecho es convertir la ecuación diferencial en una ecuación integral que aún debe ser resuelta. La ventaja de esta formulación está en que G(x; s) es independiente de f (x), es decir, sólo depende de la forma de la ecuación diferencial y de sus condiciones iniciales y/o de frontera. Esto último permite conocer para un gran número de problemas, funciones de Green que pueden ser usadas en forma genérica para soluciones especí…cas. Antes de seguir adelante es necesario hacer algunas presiciones: 1. Si el núcleo de L no es trivial, entonces la función de Green no es única, aunque en la práctica una combinación de la simetría del problema, las condiciones de contorno y los criterios especí…cos del problema generan una única solución. 2. La función de Green usualmente no es una función físico - matemática ordinaria sino que puede ser una distribución o una función generalizada. 3. No cualquier operador diferencial lineal L admite funciones de Green. En el caso más general K es sólo un inverso por la derecha de L: El formalismo de las funciones de Green es ampliamente usado en la resolución de problemas de la física matemática en áreas como materia condensada (ecuación de difusión), mecánica cuántica donde se construye la función de Green para el hamiltoniano, en teoría de campos y por supuesto en problemas de electrostática donde fueron concebidas las funciones de Green. La función de Green que es solución de la ecuación (7.12) es llamada función de impulso y su sentido físico es la potencia de la fuente puntual en determinado punto del espacio. Así, la idea central del formalismo de las funciones de Green es que, si es posible construir una solución del problema no homogéneo para 162


el caso de una fuente puntual, el principio generalizado de superposición nos dará la solución general del problema. Ahora formalicemos todo lo dicho a través de un teorema para el caso unidimensional que puede ser generalizado para los casos 2D y 3D. Dado que a partir del método de separación de variables, las EDPs se separan en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para cada variable lo cual, como hemos demostrado, converge a un problema de Sturm - Liouville, aplicaremos este formalismo al operador de Sturm - Liouville. De…nición 59 Sea L

el operador lineal diferencial de Sturm - Liouville L=

yD

d d p(x) + q(x) dx dx

(7.14)

el operador que de…ne las condiciones de frontera de Dirichlet 1u

Sea f (x)

0

(0) + 0 u 2 (l) +

Du(x) =

1 u(0) 2 u(l)

(7.15)

una función continua en [0; l]. El problema L[u] = f Du = 0

se dice un problema regular si para la ecuación homogénea existe sólo una solución trivial. Teorema 60 Solamente existe una función u(x) que satisface el problema L[u] = f Du = 0 y está dada por u(x) =

Zl

ds[G(x; s)]f (s)

(7.16)

0

en la cual G(x; s) es la función de Green que satisface las siguientes condiciones: 1. G(x; s) es una función continua tanto por x como por s y es solución del problema L[G(x; s)] = (x s) (7.17) 2. Para x 6= s se tiene que L[G(x; s)] = 0 3. Para s 6= 0; l se tiene que D[G(x; s)] = 0 4. Salto en la derivada: G(s+0 ; s)

G(s 0 ; s) = 1=p(s)


163

5. Simetría: G(x; s) = G(s; x) Demostración. El operador de Sturm-Liouville L[] es un operador autoadjunto, es decir que para dos funciones dadas u y v se cumple que Zb

dx (vL[u]

uL[v]) = p(x) v

du dx

u

dv dx

a

b a

Apliquemos este teorema a las funciones u(x) y v(x) = G(x; x0 ) con lo cual se tiene Zb

dx (G(x; s)L[u]

du uL[G(x; s)]) = p(x) G(x; s) dx

dG(x; s) u dx

a

b a

y con la ayuda de (7.14) y (7.17) y la propiedad de la función delta Dirac, se tiene Zb

dx (G(x; s)L[u]

uL[G(x; s)]) =

a

Zb

dxG(x; s)f (x)

u(s)

a

Ahora intercambiando x y x0 se tiene u(x) =

Zb

dsG(s; x)f (s)

p(x) G(x; s)

du dx

u

dG(x; s) dx

a

b a

y usando las condiciones homogéneas de Dirichlet se tiene u(x) =

Zb

dsG(s; x)f (s)

a

con lo cual el teorema queda demostrado. El caso más general de condiciones de frontera no homogéneas puede ser igualmente demostrado. En este caso la solución general (7.16) contendrá un término constante de…nido a partir de las condiciones de frontera.3 El problema auxiliar debe ser resuelto por alguno de los métodos conocidos como los que hemos mostrado en el desarrollo de este trabajo para las regiones x 6= s es decir, para x < s y x > s. El formalismo mismo no nos dice cómo resolver este problema, es decir, no nos dice como hallar la función de Green que servirá de núcleo de la solución del problema no homogénio. La presencia 3

164

Mirar libro de Wild - Mathematical Methods for Phisycs pp 261-263


de la función delta Dirac en el problema auxiliar se puede interpretar como una discontinuidad en la primera derivada por x de G(x; s) en el punto x = s. De hecho, integrando Zs+"

dG(x; s) d p(x) dx dx

q(x)G(x; s) dx =

s "

Zs+"

(x

s)dx = 1

s "

Ahora bien, se tiene que Zs+" lm q(x)G(x; s)dx = 0

"!0 s "

se tiene que Zs+"

dG(x; s) dG(x; s) d p(x) dx = p(x) dx dx dx

s "

dG(x; s) dx

s+"

= s "

s+"

=1 s "

1 p(x)

donde se debe tener en cuenta que p(x) es una función continua en x = s, y la función G(x; s) también es una función continua en x = s, en caso contrario la derivada de G(x; s) en x = s sería proporcional a (x s) y la segunda derivada de G(x; s) en x = s sería proporcional a d (x dx

s)

lo cual contradice el planteamiento del problema mismo L[G(x; s)] = (x Así se tiene que para todo " dG(x; s) dx G(x = s

s+"

= s "

1 p(x)

"; s) = G(x = s + "; s)

s).

(7.18) (7.19)

Mostremos la aplicabilidad de este teorema a través de un ejemplo. Ejemplo: Hallar la función de Green que permite construir la solución del problema 8 < d du(x) + u(x) = f (x) dx dx : u(0) = 0; u( =2) = 0 1. Paso. La función de Green debe ser solución del problema G00 + G = (x s).


165

Si x 6= s se tiene que (x s) = 0 y por lo tanto G(x; s) = A cos x+B sin x

Para x < s tenemos la condición de frontera en x = 0 que nos da que G(0; s) = A1 1 + B1 0 = 0, por lo cual A1 = 0. La segunda condición de frontera G( =2; s) = 0 se omite pues si x < s; x 6= =2

Para x > s tenemos la condición de frontera en x = =2 que nos da que G( =2; s) = A2 0 + B2 1 = 0, por lo cual B2 = 0 y la condición G(0; s) = 0 se omite. De esta forma tenemos que B1 sin x para x < s A2 cos x para x > s

G(x; s) =

(7.20)

2. Paso. Ahora hallamos las constantes B1 y A2 asegurando la continuidad de la función de Green en el punto x = s, y el salto en la derivada en este mismo punto, es decir

A2 sin s

B1 sin s = A2 cos s B1 cos s = 1

(7.21)

donde se tuvo en cuenta que p(x) = 1. Solucionando este sistema tenemos que B1 = cos s; A2 = sin s con lo cual G(x; s) =

cos s sin x para x < s sin s cos x para x > s

(7.22)

Signi…cado físico. De nuevo podemos intentar dar un signicado físico a la función de Green para diferentes casos: 1. La función de Green G(x; s) expresa el potencial eléctrico en el punto x debido a una carga puntual ubicada en el punto x = s. 2. La función de Green G(x; s) el desplazamiento de un punto x del sólido sólido debido a la aplicación de una fuerza unitaria en el punto x = s. 3. La función de Green G(x; s) expresa la temperatura en el punto x debido a una fuente unitaria de calor ubicada en el punto x = s.

7.3.1. Aplicaciones. Oscilaciones de una cuerda tensa Retomemos el caso de las oscilaciones de una cuerda que ya fue estudiado como un ejemplo de ecuaciones de tipo hiperbólico, pero ahora consideraremos 166


el caso cuando la cuerda es sometida a una fuerza externa f (x; t) que puede estar aplicada de forma transversal en algún punto x. En este caso la ecuación para la función que describe las oscilaciones u(x; t) está dada por 1 @ 2 u(x; t) = f (x; t) v 2 @t2

@ 2 u(x; t) @x2

Si suponemos una fuerza armónica en el tiempo f (x; t) = f (x)ei!t entonces la solución tendrá la misma dependencia temporal u(x; t) = u(x)ei!t y para u(x; t) se tiene la ecuación d2 u(x) !2 2 2 + k u(x) = f (x) con k = dx2 v2 junto a las oscilaciones libres de la cuerda, se tendrán las oscilaciones forzadas u(x; t), sin embargo es posible probar que luego de cierto tiempo de establecimiento, en el sistema sólo perdurarán las oscilaciones forzadas, por lo cual nosotros no consideraremos en la solución la contribución de las oscilaciones libres. Supondremos que la cuerda está rigidamente atada en sus extremos, es decir u(0; t) = u(l; t) = 0 donde 0 y l son los extremos de la cuerda. La función de Green debe satisfacer la ecuación d2 G(x; s) + k 2 G(x; s) = (x s) 2 dx G(0; s) = G(l; s) = 0 Para todos los puntos diferentes de s la ecuación es una ecuación homgénea con condiciones de frontera homogéneas, cuya solución ya conocemos G(x; s) =

A sin kx B sin k(x

para x < s l) para x > s

y la condición del salto de la primera derivada conduce a que kB cos k(s

l)

kA sin ks = 1

y la condición de continuidad de la función G(x = s B sin k(s

l)

"; s) = G(x = s + "; s)

A sin ks = 0

Obtenemos para los coe…cientes A y B 1 sin k(s k sin kl 1 B = sin ks k sin kl A =


l)

167

Con lo cual se tiene una expresión para la función de Green G(x; s) =

1 k sin kl

sin kx sin k(s sin ks sin k(x

l); para x < s l); para x > s

Nótese que G(x; s) es una función simétrica de sus argumentos como debe ser. Usando la fórmula (7.16) dada en el teorema

u(x) =

Zl

sin k(x l) ds[G(x; s)]f (s) = k sin kl

Zx

sin kx ds sin ks f (s)+ k sin kl

ds sin k (s

x

0

0

Zl

Si se conoce la forma de la función f (x) las integrales pueden ser tomadas y la solución obtenida de forma explícita.

Electrostática Recordemos la ecuación de Maxwell para la divergencia del vector eléctrico, que por conveniencia puede ser escrita como (! r)

r E=4

(7.23)

donde (! r ) es la densidad de carga en un volumen determinado. Para un campo electrostático el vector eléctrico se puede expresar a través de una función escalar denominada potencial electrostático E=

grad (! r)=

r (! r)

con lo cual la ecuación (7.23) toma la forma r2 (! r)=

4

(! r)

(7.24)

que se denomina la ecuación de Poisson y que usualmente debe resolverse conociendo ciertas condiciones en la frontera del volumen de de…nición, es decir, se conoce el valor de (! r ) y/o su derivada en la super…cie que limita el volumen en consideración. A partir del teorema de la divergencia podemos escribir para dos funciones arbitrarias u y v su…cientemente bien comportadas Z Z @v @u 0 2 2 dV ur v vr u = dA0 u v (7.25) @n @n s

V

y podemos introducir en forma general una función denominada función de Green que cumpla la condición r2 G(! r ;! r 0) = 168

3

(! r

! r 0)

(7.26)


l) f (s)

! donde la función 3 (! r r 0 ) es la función delta de Dirac en el espacio. Tomemos en (7.25) a u = (! r ) y v = G(! r ;! r 0 ) y usamos la igualdad (7.26) con lo cual se tiene R ! dV 0 (! r 0 ) 3 (! r r 0 ) G(! r ;! r 0 ) ( 4 (! r 0 )) = V

=

Z

@ (! r) G(! r ;! r 0) @n

@G(! r ;! r 0) (! r 0) @n

dA0

(7.27)

s

La primera integral puede ser resuelta directamente gracias a las propiedades de la función delta Dirac y así obtenemos una primera expresión para la función (! r) R (! r)= 4 dV 0 G(! r ;! r 0 ) (! r 0 )+ V Z ! (7.28) @G( r ;! r 0) @ (! r) + dA0 (! r 0) G(! r ;! r 0) @n @n s

La idea es escoger las condiciones de frontera para la función G(! r ;! r 0 ) de forma tal que se eliminen las cantidades desconocidas en (7.28). La elección de las condiciones de frontera se puede hacer de dos maneras a. Si el problema dado es tal que (! r ) está de…nida sobre la super…cie S, podemos exigir que G(! r ;! r 0 )jS = 0 (7.29) es decir, en todos los puntos sobre la super…cie S que limita el volumen V la función de Green sea igual a cero. En este caso obtenemos para (! r) Z Z @G(! r ;! r 0) (7.30) (! r)= 4 dV 0 G(! r ;! r 0 ) (! r 0 ) + dA0 (! r 0) @n s

V

!

(r) b. Dada sobre la super…cie S la condición de frontera @ @n , entonces podemos exigir como condición para la función de Green que @G(! r ;! r 0) jS = 0 (7.31) @n con lo cual se tendrá que Z Z @ (! r) ! ! ! ! 0 0 0 ( r ) = dV [G( r ; r ) ( r )] dA0 G(! r ;! r 0) (7.32) @n s

V

Busquemos completar la solución a partir de (7.30), para lo cual integremos por volumen (7.26), y usando el teorema de Gauss se tiene: Z Z ! ! ! 0 2 0 dV r G( r ; r ) = dV 0 3 (! r r 0) = 1 V

Z

V

V

dV r G(! r ;! r 0) = 0

2

Z

dA0

@G(! r ;! r 0) =1 @n

(7.33)

s


169

lo cual sigini…ca que

1 @G(! r ;! r 0) = (7.34) @n S donde S es el área de la super…cie que limita el volumen de integración. Ahora reemplazando (7.34) en (7.28), obtenemos …nalmente una expresión general 1 (! r)= S

Z s

dA (! r 0) 0

Z

4

Z

dV 0 G(! r ;! r 0 ) (! r 0)

V

!0 ! ! 0 @ (r ) dA G( r ; r ) @n

(7.35)

0

s

El primer miembro de la izquierda de (7.35) es una constante que en general puede ser usada para la calibración del potencial. Como ya hemos dicho, muchas veces para hallar la función de Green especí…ca para un problema determinado, es importante usar los conocimientos previos del fenómeno estudiado, las condiciones de frontera y en …n, las especi…cidades del problema. Aquí, usando el teorema de la divergencia con u = G(! r ;! r 0) y v = ! ! G( r ; r 0 ) se tiene que Z Z !0 !0 !0 !00 ! ! ! ! ! ! 00 @G( r ; r ) 0 !0 0 !00 0 0 @G( r ; r ) G( r ; r ) G( r ; r ) G( r ; r ) = dA dA G( r ; r ) @n @n s

s

Para el caso (a) de las condiciones de frontera, la parte derecha de esta expresión desaparece y se tiene que G(! r 0; ! r 00 ) es simétrica respecto de la permutación de ! r0!! r 00 . Del curso de electrodinámica se conoce una solución para la ecuación de Poisson ! '(! r ) = 4 e 3 (! r r 0) para un campo electrostático '(! r ) debido a una carga puntual situada en en punto ! r 0 que es el potencial de Coulomb e '(! r ) = ! !0 jr r j que comparando con nuestro problema, se tiene que G(! r ;! r 0) =

1 e ! ! 4 jr r 0j

que describe el comportamiento del potencial en la vecindad del punto singular ! r ! r 0 . Al tomar en cuenta las condiciones de frontera, debemos suponer que la función de Green más general, tiene la forma G(! r ;! r 0) = 170

1 1 + F (! r ;! r 0) ! ! 4 jr r 0j ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TIPO ELíPTICO

donde F debe satisface la ecuación F (! r ;! r 0) = 0 y las condiciones de frontera del problema sobre toda la superi…cie S. Generalizando este resultado es posible establecer que la solución general a la ecuación de Poisson para una distribución dada de cargas puntuales, está dada por Z Z Z (r0 )dV 0 (r0 )dS 0 (r0 )dl0 ! '( r ) = + + ! ! ! ! ! ! r 0j r 0j r 0j V jr Sj r L jr donde (r0 ); (r0 ); (r0 ) son respectivamente las densidades de carga por unidad de volumen, de área y de longitud.


171

7.3.2. Problemas propuestos 1. Usando la ecuación de Poisson, la simetría del problema, la continuidad del potencial y su derivada, hallar el potencial: a. De una esfera de radio a, cargada uniformente por volumen con densidad (r); b. De un cilindro de radio a, cargado uniformente por volumen con densidad lineal ; c. Una lámina de grosor 2a, cargada uniformente por volumen con densidad (r) 2. Resolver la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas r2 (! r ) = 0, para los siguientes problemas Problema interior r

a.

a con condiciones (a; ; ') = U ( ; ') ! …nita en ! r !0

Problema exterior r

b.

a con condiciones (a; ; ') = U ( ; ') lm = 0 r!1

Región entre dos esferas a

c.

r

b con condiciones

(a; ; ') = U ( ; ') (b; ; ') = V ( ; ')

(

8 > < @ (a; ; ') = U ( ; ') @r @ (b; ; ') > : = V ( ; ') @r (a; ; ') = U ( ; ') @ (b; ; ') = V ( ; ') @r

(i)

(ii)

(iii)

3. Una esfera conductora de radio r = a, se introduce en un campo eléctrico homogéneo E0 cuya dirección coincide con el eje 0Z. Hallar la distribución del potencial electrostático '. ( '(a; ; ') = const Nota: Tome las condiciones de frontera como l m ' = E0 r cos r!1

172


4. Hallar el ‡ujo de un ‡uido incompresible alrededor de un obstáculo esférico en el caso de ausencia de turbulencia. 8 r2 (! r)=0 < (a; ; ') = const y recuerde que la velocidad ! Ayuda: v = r : l m = v r cos 0 r!1

5. Construya una solución general para la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

6. Hallar la solución de la ecuación 8 < (r; (r; : (a;

de Laplace con condiciones de frontera ; b) = V1 (r; ) ; 0) = V2 (r; ) ; z) = V3 (r; )

Figura 7-3 Condiciones para construir la solución a la ecuación de Laplace en un cilindro

Sugerencia: Divida la solución en tres soluciones, cada sobre una de las tres caras que conforman el cilindro, es decir = 1 + 2 + 3 7. Hallar el campo entre dos cilindros coaxiales de radios r1 y r2 , si la diferencia de potencial entre los cilíndros es


0.

173

174


Parte III Funciones especiales

175

8. FUNCIONES ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS Los polinomios ortogonales son soluciones especiales a ecuaciones diferenciales ordinarias, construidas por el método general de series de potencia que expondremos en este apartado. Estos polinomios juegan un papel muy importante en la construcción de soluciones a las EDPs a través de las cuales se modelan fenómenos físicos. A partir del método de Fourier se obtienen problemas de valores propios cuya solución construida a partir del método de series de potencia, genera funciones polinómicas - las funciones propias del problema de valores propios que como vimos anteriormente, tienen la propiedad de ser ortogonales y además forman un conjunto completo que puede ser utilizado para expandir otras funciones su…cientemente bien comportadas. En función del sistema de coordenadas utilizado para resolver un problema físico, las funciones construidas se denominan esféricas o cilíndricas según de…nan super…cies de una u otra forma.

8.1. Método de series para la solución de EDO Al estudiar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales comprobamos que a través del método de separación de variables es posible reducir una EDP a un grupo de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), algunas de las cuales pueden ser resueltas por métodos que, a la altura del desarrollo de este curso, se pueden considerar soluciones triviales. Sin embargo otro grupo de estas EDO no presenta soluciones tan triviales pero sí pueden ser resueltas construyéndoles una solución en forma de series de potencia. Este es un poderoso método general de solución de EDO que conduce a la construcción de funciones especiales como las funciones de Bessel de tipo I y II, funciones de Hermite, de Legendre, Laguerre y otras más que por sus propiedades generales han recibido el título de Polinomios Ortogonales debido a que corresponden a soluciones a problemas de Sturm-Liouville. Aquí haremos una breve descripción del método y lo aplicaremos a la resolución de algunos de los problemas más emblemáticos de la física matemática. FUNCIONES ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS

177

8.1.1. Método general Consideremos la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden tipo d2 u du + (x) + g(x)u = 0 2 dx dx

(8.1)

donde los coe…cientes (x) y g(x) son funciones analíticas excepto para polos aislados. Recordemos que una función f (x) se dice analítica si ésta puede ser expandida en una serie de Tylor en la vecindad del punto x0 , es decir si f (x) =

1 X 1 (n) f (x0 ) (x n! n=0

x0 )n

(8.2)

y la serie (8.2) converge en la vecindad del punto x0 , excepto por polos de primer orden tipo 1=(x a) y polos de segundo orden tipo 1=(x a)2 . Si (x) y g(x) son funciones analíticas en la vecindad de x0 , entonces x0 se denomina un punto ordinario de la ecuación diferencial. Si (x) y/o g(x) presentan polos en x0 pero de manera que las funciones (x x0 ) (x) y (x x0 )2 g(x) son funciones analíticas en la vecindad de x0 , entonces se dice que x0 es un punto de singularidad regular. Si la singularidad es de orden mayor a 2, se dice que este punto es un punto de singularidad irregular. Ahora bien, en la vecindad de puntos ordinarios y de los puntos de singularidad regular, es posible hallar dos (2) soluciones para ecuación (8.1) linealmente independientes en forma de series de potencia, es decir u(x) = (x

x0 )

1 X

an (x

x0 )n

(8.3)

n=0

Para la construcción de estas soluciones consideremos inicialmente mostrar la forma general de las soluciones y demostrar que existen dos soluciones linealmente independientes. Supongamos que la ecuación (8.1) presenta dos soluciones u1 y u2 y con ellas construyamos la función W (x) = u1 (x)

du2 (x) dx

u2 (x)

du1 (x) dx

(8.4)

Esta función se denomina wronskiano1 y puede ser escrita en forma del desarrollo de un determinante como W (x) =

u1 du1 dx

u2 du2 dx

1 "En matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 1821 por el matemático polaco Józef Hoene-Wro´nski (1776-1853) y nombrado en 1822 por el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934). Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente."Tomado de Wikipedia.

178

FUNCIONES ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS

Demostremos que estas dos soluciones u1 y u2 son linealmente dependientes si y sólo si el wronskiano es nulo. Para esto supongamos que existen las constantes a y b no nulas simultáneamente y que au1 + bu2 = 0 au01 + bu02 = 0

(8.5) (8.6)

lo cual forma un sistema de dos ecuaciones simultáneas respecto de a y b, que presenta una solución no trivial solo si el determinante de sus coe…cientes es igual a cero; pero tal determinate es W (x) y si W (x) = 0, esto implica que u1 u02

u2 u01 = 0

o lo que es lo mismo que d dx

u2 u1

=0

por lo cual

u2 = const u1 y dos soluciones que se diferencian sólo en una constante multiplicativa son linealmente dependientes, con lo cual nuestra a…rmación queda demostrada. En el curso de EDO se da que podemos construir una ecuación diferencial para el wronskiano. Para esto reemplacemos las soluciones u1 y u2 en la ecuación (8.1) du1 d2 u1 + (x) + g(x)u1 = 0 2 dx dx du2 d2 u2 + (x) + g(x)u2 = 0 2 dx dx

(8.7) (8.8)

Y multiplicando (8.7) por u2 y (8.8) por u1 y luego sustrayendo (8.7) de (8.8) obtenemos dW + (x)W (x) = 0 (8.9) dx cuya solución es 0 x 1 Z2 W (x) = W (x1 ) exp @ (x0 )dx0 A (8.10) x1

y podemos usar esta solución para hallar la segunda solución para lo cual reescribamos (8.4) de la forma u21

d u2 u2 W =W !d = 2 dx dx u1 u1 u1

y así se tiene u2 (x) = u1 (x)

Zx2

x1

dx0

W (x0 ) u21 (x0 )

MÉTODO DE SERIES PARA LA SOLUCIÓN DE EDO

(8.11)

(8.12)

179

con W (x) dado por la igualdad (8.10). Teniendo dos soluciones linealmente independientes, podemos construir una tercera solución de la forma u3 = Au1 (x) + Bu2 (x)

(8.13)

eligiendo A y B de manera tal que se cumpla que u3 (x0 ) = Au1 (x0 ) + Bu2 (x0 ) u03 (x0 ) = Au01 (x0 ) + Bu02 (x0 )

(8.14)

Ahora enunciemos y demostremos un teorema sobre la existencia de dos únicas soluciones. Teorema 61 Existen no más de dos funciones analíticas linealmente independientes, que son soluciones de la ecuación (8.1), en la vecindad del punto x0 . Demostración. Sopongamos que existen tres soluciones de la ecuación (8.1), en la vecindad del punto x0 : u1 (x), u2 (x) y u3 (x). En este caso u3 (x) y su derivada tienen valores de…nidos en el punto x0 y es posible hallar A y B a partir de (8.14). Así de (8.1) y (8.14) se tiene u003 (x0 ) =

(x0 )u03 (x0 )

g(x0 )u3 (x0 ) = Au001 (x0 ) + Bu002 (x0 )

9 (3) (3) (3) u3 (x0 ) = Au1 (x0 ) + Bu2 (x0 ) = ::: ; (n) (n) (n) u3 (x0 ) = Au1 (x0 ) + Bu2 (x0 )

(8.15)

(8.16)

Como según las condiciones del teorema todas estas funciones son funciones analíticas en la vecindad del punto x0 , entonces u3 (x) puede ser expandida en una serie de Taylor en la vecindad del punto x0 1 (2) x0 ) + u3 (x0 )(x x0 )2 + ::: = Au1 (x) + Bu2 (x) 2 es decir, una vez hallamos dos soluciones, cualquier otra solución puede ser expresada en término de estas dos soluciones. De donde se concluye que existen sólo dos soluciones a lo más. u3 (x) = u3 (x0 ) + u03 (x0 )(x

Es de notar que el teorema no asegura la existencia misma de las soluciones, sino la existencia de un máximo de dos soluciones independientes.

8.1.2. Expansión en la vecindad de un punto singular regular Nuestro2 trabajo es construir una solución en forma de series de potencia, para la ecuación diferencial (8.1) en la vecindad del punto de singularidad 2

180

Mirar Mathematical Methods For Physics, H. W. Wyld


regular x0 . Supongamos que en la vecindad del punto x0 el coe…ciente (x) y/o g(x) presentan singularidades regulares pero (x x0 ) (x0 ) y (x x0 )2 g(xo ) son funciones analíticas en esta vecindad. Entonces, al multiplicar la ecuación (8.1) por (x x0 )2 se obtiene (x

x0 )2

d2 u + (x dx2

x0 )P (x)

du + G(x)u(x) = 0 dx

(8.17)

Las funciones P (x) y G(x) son funciones analíticas en la vecindad de x0 y pueden ser expandidas en series de Taylor como P (x) = (x x0 ) (x) =

1 X

Pn (x x0 )n = P0 +P1 (x x0 )+P2 (x x0 )2 +::: (8.18)

n=0

2

G(x) = (x x0 ) g(x) =

1 X

gn (x x0 )n = g0 +g1 (x x0 )+g2 (x x0 )2 +::: (8.19)

n=0

Si x0

es un punto ordinario, tendremos un caso especial para el cual (8.20)

P0 = g0 = g1 = 0

Busquemos construir una solución en series de potencia para la ecuación (8.17) de la forma # " 1 X un (x x0 )n (8.21) u(x) = (x x0 ) 1 + n=1

donde puede o no ser un entero que debe ser determinado en el proceso de construcción de la solución3 . Reemplazando la serie (8.21) y las expresiones (8.18) y (8.19) en (8.17) se tendrá: " # 1 X 0 = (x x0 ) ( 1) + (n + ) (n + 1) un (x x0 )n + +(x +(x

x0 ) x0 )

"

"

n=1

+

1 X

(n + ) un (x

n=1

1+

1 X n=1

un (x

x0 )n

#

x0 )n 1 X

#

1 X

gn (x

Pn (x

x0 )n +(8.22)

n=0

x0 )n

n=0

Esta igualdad debe cumplirse para todo x en la vecidad de x0 , por lo cual todos los coe…cientes de la serie deben ser iguales a cero. Igualando a cero cada coe…ciente ante cada potencia de (x x0 ) se obtiene el sistema de ecuaciones (

1) + P0 + g0 = 0

(8.23)

3 La nomalización a 1 del término independiente dentro de las cuadraturas no le quita generalidad al problema.


181

8 > > <

u1 [( + 1) + P0 ( + 1) + q0 ] + P1 + g1 = 0 u2 [( + 2) ( + 1) + P0 ( + 2) + g0 ] + u1 [( + 1) P1 + g1 ] + P2 + g2 = 0 ::: > > : un [( + n) ( + n 1) + P0 ( + n) + g0 ] + ::: = 0 (8.24) La ecuación (8.23) se denomina ecuación inicial y dado que es una ecuación cuadrática respecto de ; en general tiene dos raices 1 ; 2 que de…nirán dos conjuntos de soluciones del sistema (8.24), es decir, a partir de un valor de se pueden hallar iterativamente los coe…cientes u1 ; u2 ; u3 ::: de la serie (8.21) que es la solución buscada para la ecuación diferencial (8.17). Es importante hacer algunas aclaraciones: 1. Si x0 es un punto ordinario, entonces tiene lugar el caso especial (8.20) con lo cual sólo puede tener dos posibles valores 0 y 1 y la solución general a la ecuación diferencial tendrá la forma: u(x) =

1 X

un (x

x0 )n

(8.25)

n=0

con sólo potencias enteras. La solución (8.25) es una función analítica en la vecindad del punto ordinario x0 : 2. Si (x), g(x) presentan singularidades de orden mayor a dos (puntos irregulares), al realizar una expansión en la vecindad del punto x0 , el término ( 1) no aparecerá en la ecuación inicial y en este caso se tendrá máximo una raíz de la ecuación inicial o incluso es posible que no exista ninguna raíz. Evidentemente el tratamiento de la ecuación diferencial en la vecindad de un punto irregular será mucho más complejo. 3. Si x0 es un punto de singularidad regular pero 1 ; 2 son iguales o di…eren en un número entero, el proceso de construir la solución es mucho más engorroso. a. Si

1

=

2

existe sólo una solución.

b. Si 1 un entero positivo, dado que 1 satisface la ecuación 2 = n inicial, entonces la ecuación inicial toma la forma (

2

+ n) (

2

+n

1) + P0 (

2

+ n) + g0 = 0

que es el coe…ciente ante un en la n ésima ecuación en (8.24). Por esta razón no será posible resolver esta ecuación respecto de un , es decir, si en la ecuación no hay ceros debemos suponer que un = 1 y el procedimiento fracasa en la construcción de la solución. En este caso dado que 1 > 2 ; se tendrá una solución para la ecuación diferencial a partir de 1 . La segunda solución correspondiente a 2 se podrá construir pero tendrá una constante arbitraria (un ), lo que 182


será una combinación de la primera solución multiplicada por una constante. El caso de un punto regular es un ejemplo de este último caso. 4. Se puede demostrar que la serie (8.21) converge, sin embargo el factor (x x0 ) introduce un punto de singularidad para el caso de diferente de entero. La segunda solución se puede construir a partir de la primera usando las ecuaciones (8.11) - (8.12). Mostremos esto. Usando (8.18) y asumiendo que x0 es un punto de singularidad regular, hallamos (x0 ) =

P0 x0

x0

+ P1 + P2 (x0

x0 ) + :::

(8.26)

y Zx

0

0

(x )dx = P0 ln(x

x0 ) + P1 (x

(x

x0 )2 + const 2

(8.27)

(x

x0 )2 + ::: 2

(8.28)

#

(8.29)

x 0 ) + P2

x1

W (x) =

const exp (x x0 )P0

P1 (x

x0 )

P2

y dado que la primera solución tiene la forma " 1 X u1 (x) = (x x0 ) 1 1 + un (x n=1

x0 )n

donde 1 es la raíz mayor de la ecuación inicial, sustituyendo (8.28) y (8.29) en (8.12) se obtiene la segunda solución u2 (x) = const u1 (x)

Zx

dx0

x1

donde f (x)

(x0

1 f (x0 ) x0 )P0 +2 1

(8.30)

es una función analítica que puede ser expresada como f (x) = 1 +

1 X

fn (x0

x0 )n

(8.31)

n=1

2

De la ecuación inicial (P0 1) + q0 = 0 vemos que las dos raices de esta ecuación están dadas por 1 + 2 = 1 P0 por lo cual P0 + 2 1 = 1 + s con s = 1 2 : Sustituyendo (8.31) en (8.30) e integrando término a término se tiene 1 f1 u2 (x) = const u1 (x)[ 1s + s (x x0 ) (x x0 )s 1 (8.32) +::: + fs ln(x x0 ) + fs+1 (x x0 ) + ::: + const] 1 P = const fs u1 (x) ln(x x0 ) + (x x0 ) 2 gn (x x0 )n n=0


183

Para el caso cuando por

1

=

2

(x

el último término en (8.32) puede ser reemplazado x0 )

1 +1

1 X

gn (x

x0 )n

n=0

La fórmula (8.32) nos dice la forma de la solución, lo cual es muy valioso a la hora de interpretar un fenómeno.

184


8.2. Polinomios ortogonales La construcción de una solución en forma de series de potencias conlleva a que la solución construida sea un polinomio de grado m. Es importante antes de encausarnos a la construcción de algunas de estas soluciones, estudiar las propiedades generales de estos polinomios. En especial, sabemos que las funciones propias de un problema de Sturm - Liouville forman un conjunto de funciones ortogonales, por lo tanto es de esperar que la solución construida por el método de series de potencia, a un problema de Sturm - Liouville, sea un conjunto de funciones polinómicas ortogonales, es decir polinomios ortogonales.

De…nición 62 Una función '(x) se dice de cuadrado integrable en el intervalo [a; b] con respecto de la función de peso (x) si converge la integral Zb

(x) j'(x)j2 dx

(8.33)

a

De…nición 63 Sean las funciones f (x) y g(x) de…nidas en el intervalo [a; b] ; y sea (x) > 0 una función continua en [a; b]. Se de…ne el producto interno de f (x) y g(x) con función de peso (x) como

hf; gi =

Zb

f (x)g(x) (x)dx

(8.34)

a

donde f (x)

es el complejo conjugado de f (x).

De…nición 64 Sea fPn (x)gn2N un conjunto de polinomios reales de grado n. Se dice que fPn (x)gn2N forma un sistema ortogonal de polinomios con función de peso (x) si hPn ; Pm i = nm Am (8.35) donde

nm

es el símbolo de Kr½oniker y Am

una constante.

En particular, si fPn (x)gn2N son soluciones de un problema de SturmLiouville, entonces fPn (x)g forma un conjunto completo de polinomios de modo que si Q(x) es una función de cuadrado integrable en [a; b] con respecto a la función de peso (x), se tiene que: Q(x) =

1 X

Cn Pn (x)

(8.36)

n=0

POLINOMIOS ORTOGONALES

185

con 1 hPn ; Qi = Cn = hPn ; Pn i kPn k2

Zb

Pn Q(x) (x)dx

(8.37)

kPn k2 = hPn ; Pn i =

Zb

Pn2

(8.38)

donde

a

(x)dx

a

Si Q(x)

es un polinomio de grado n entonces Q(x) =

n X

(8.39)

Cm Pm (x)

m=0

Ahora enunciaremos 3 teoremas, pero demostraremos sólo el tercero. Teorema 65 Sea fPn (x)gn2N un conjunto de polinomios ortogonales reales de grado n de…nidos en [a; b] con función de peso (x) y sea Qk (x) un polinomio arbitrario de grado k. Entonces se tiene que si n > k entonces Pn (x) es ortogonal a Qk (x)4 . Teorema 66 Los ceros de los polinomios ortogonales son reales y simples y están contenidos en el intervalo [a; b].

Teorema 67 Sea fPn (x)gn2N un conjunto de polinomios ortogonales de grado n de…nidos en [a; b]. Entonces se veri…ca que: xn Pn (x) = An Pn+1 (x) + Bn Pn (x) + Cn Pn 1 (x) Demostración. Escribamos explícitamente los polinomios 8 Pn (x) = an xn + bn xn 1 + cn xn 2 + ::: < Pn 1 (x) = an 1 xn 1 + bn 1 xn 2 + cn 1 xn 3 + ::: : Pn+1 (x) = an+1 xn+1 + bn+1 xn + cn+1 xn 1 + :::

(8.40)

(8.41)

por lo tanto se puede escribir que xn Pn (x) =

n+1 X

nj Pj (x)

=

n0 P0

+

n1 P1

+ ::: +

n;n+1 Pn+1

(8.42)

j=0

donde nj

=

Zb

(x)xPj (x)Pn (x)dx =

jn

(8.43)

a

4

186

La demostración se puede obtener en P.D. Dennery, Mathematics for Physics.


Ahora bien, los coe…cientes por lo cual xn Pn (x) =

son diferentes de cero sólo si n = j, j

nj

n;n+1 Pn+1 (x)

+

n;n Pn (x)

+

n;n 1 Pn 1 (x)

1; j + 1 (8.44)

y reeplazando (8.41) en (8.44) y comparando potencias iguales, se tiene para los coe…cientes an 6= 0 (8.45) n;n+1 = an+1 bn bn+1 n;n = an an+1 an 1 n;n 1 = an con lo cual …nalmente se tiene que an bn Pn+1 (x) + an+1 an

bn+1 an+1

x Pn (x) +

an 1 Pn 1 (x) = 0 an

(8.46)

y el teorema queda demostrado.

Función generatriz Sea fPn (x)gn2N un conjunto de polinomios ortogonales de grado n de…nidos en [a; b]. Se denomina función generatriz a G(x; t) si al desarrollar a G(x; t) en potencias por t, los coe…cientes de la serie son los polinomios Pn (x): G(x; t) =

1 X

Pn (x)tn ;

n=0

x 2 [a; b]

(8.47)

Teorema 68 El conjunto fPn (x)gn2N conforma una familia de polinomios ortogonales en [a; b], con función de peso (x) si y sólo si la integral 0

I(t; t ) =

Zb

dx (x)G (x; t)G(x; t0 ) = hG(x; t); G(x; t0 )i

a

depende de la variables t y t0 sólo a través del producto tt0 . P P1 n 0 0m Demostración. Dado que G(x; t) = 1 n=0 Pn (x)t y G(x; t ) = m=0 Pm (x)t 0

I(t; t ) =

1 X

n;m=0

El teorema queda demostrado. POLINOMIOS ORTOGONALES

tn t0m hPn (x); Pm (x)i

187

8.2.1. Armónicos esféricos

Apliquemos el método de series a la solución de la ecuación (5.46c) que resultó de la separación de variables en coordenadas esféricas de la ecuación tipo hiperbólico y reescribamos esa ecuación de la forma 1 @ sin @

1 @2Y + = sin2 @'2

@Y sin @

Y ( ; ')

(8.48)

Siguiendo la metodología de la separación de variables supongamos que Y ( ; ') = P ( ) (') y tomemos a m2 como constante de separación, con lo cual, reemplazando esta solución en (8.48) y dividiendo cada miembro de la ecuación entre Y ( ; '); se obtiene 1 1 d P sin d

sin

1 d2 + d'2

dP 1 + d sin2

=0

(8.49)

(') ! eim'

lo cual implica que

1 d sin d

sin

m2 sin2

dP + d

P =0

(8.50)

Y si realizamos un cambio de variable x = cos , se obtiene la forma d dx

1

x2

m2 P =0 (1 x2 )

dP + dx

o lo que es lo mismo d2 P dx2

m2 P =0 (1 x2 )

2x dP 1 + 2 1 x dx 1 x2

(8.51)

Como ya se discutió anteriormente, la exigencia de los problemas físicos de que la solución general sea una función monovaluada, conlleva a exigir que el exponente m sea un número entero: m = 0;

1;

que es igual a exigir que la función

(')

2; ...

(8.52)

sea periódica con periodo 2 m :

eim' = eim('+2

)

(8.53)

La ecuación (8.51) es la ecuación de Legendre, la cual presenta dos puntos de singularidad regular x = 1. Intentemos construir una solución en forma de series de potencia, en la vecindad de estos dos puntos de singularidad regular, es decir, busquemos una solución de la forma " # 1 X P (x 1) = (x 1) 1 + fn (x 1)n (8.54) n=1

188


Multiplicando la ecuación (8.51) por (x x0 )2 , donde x0 es el punto en cercanías del cuál se construirá la solución en series de potencia, esta ecuación puede ser escrita de la forma (x x0 )2 P 00 + (x x0 ) S(x)U 0 + Q(x)U = 0 S(x) = (x x0 ) p(x) = s0 + s1 (x x0 ) + s2 (x x0 )2 + ::: Q(x) = (x x0 )2 q(x) = q0 + q1 (x x0 ) + q2 (x x0 )2 + :::

(8.55)

y al reeplazar estas expansiones (8.54) en la ecuación (8.51) se obtiene la ecuación inicial para hallar que en este caso toma la forma (

1) +

m2 =0 4

(8.56)

cuya solución nos da =

jmj 2

(8.57)

Es importante notar que en los casos cuando m es un entero, se tiene un caso especial de complejo tratamiento dado que 1 2 = jmj. Si realizamos la expansión en la vencindad del punto x = 1, una de las soluciones será …nita dado que los miembros de la serie son proporcionales a (1 x)jmj=2 y la otra solución será in…nita pues se tendrá que los miembros de la serie son proporcionales a (1 x) jmj=2 para m 6= 0 o proporcionales a ln(1 x) para m = 0. Iguales efectos se tendrán en cercanías del punto x = 1. Ahora bien, una solución …nita en las vencidades de x = 1 es posible sólo para ciertos valores del parámetro en la ecuación diferencial (8.51), lo cual hace que este sea un problema de valores propios. Al introducir la condición de frontera para P (x) exigiendo que sea una función …nita en todo el intervalo de su de…nición ( 1 x = cos +1), la ecuación (8.51) se convierte en un problema de Sturm - Liouville donde son los valores propios.

8.2.2. Polinomio de Legendre Consideremos primero el caso cuando el parámetro m = 0, con lo cual la ecuación (8.51) toma la forma dP d2 P 2x + P =0 2 dx dx y en la vecindad del punto de singularidad regular x = 1 se tiene 1

S(x) = (x Q(x) = (x

x2

(8.58)

2x 2x = = s0 + s1 (x x0 ) + s2 (x x0 )2 + ::: 2 1 x 1+x x 1 1)2 = = q0 + q1 (x x0 ) + q2 (x x0 )2 + ::: 2 1 x x+1 (8.59) 1)


189

de la cual podemos calcular los coe…entes s0 = 1, q0 = 0 y al reemplazar en la ecuación iniciatriz (8.23) (

1) + s0 + q0 = 0

se tiene que los co…cientes 1;2 = 0. En este caso conviene alejarse de los puntos de singularidad y construir la solución de (8.51) como una serie en la vencindad del punto regular x = 0 de la forma P (x) =

1 X

Cn xn = C0 + C1 x + C2 x2 + :::

(8.60)

n=0

y exigir que esta solución sea …nita para todo el intervalo de de…nición de la variable x. Reemplazando (8.60) en (8.58) obtenemos una fórmula recurrente para calcular los coe…cientes de la serie a partir de una constante que debe ser de…nida de las condiciones adicionales del problema: Cn+2 =

n(n + 1) Cn (n + 2) (n + 1)

es decir, se obtienen dos series C2 x2 C4 x4 + + ::: C0 C0 C3 x2 C5 x4 C1 + C3 x3 + C5 x5 + ::: = C1 x 1 + + + ::: C1 C1 C0 + C2 x2 + C4 x4 + ::: = C0 1 +

(8.61a) (8.61b)

La convergencia de la serie para valores de 1 < x < 1 está garantizada por el criterio de la relación entre sus miembros para valores grandes de n: Cn+2 xn+2 n(n + 1) = l m x2 = x2 n!1 n!1 (n + 2) (n + 1) Cn xn lm

Sin embargo este criterio no garantiza la convergencia de la serie en los puntos x = 1 donde la serie también debe ser …nita. Por esta razón es necesario cortar la serie en un punto dado, digamos n = l, es decir, consideraremos Cl 6= 0 y todos los Cn = 0 para n > l. De la relación de recurrencia se tiene que esto es posible para valores enteros de l no negativos, l = 0; 1; 2; ::: y los valores de = l(l + 1) = l . Así la condición de frontera de que la solución sea …nita en los puntos extremos x = 1; conlleva a de…nir los valores propios = l(l + 1). Para un valor dado de , una de las dos series (8.61) se interrumpe y forma un polinomio. La otra se descarta pues no satisface las condiciones de frontera. La solución así construida se denomina POLINOMIO DE LEGENDRE y es una función con una paridad de…nida. 190


Las series (8.61) se pueden reescribir de forma compacta así5 Pl (x) =

kX max

ak x l

2k

k=0

con

(

l=2 para l par 1 para l impar 2 La constante a0 es determinada por la condición de normalización y a partir de ella todas las demás constantes se pueden calcular de forma iterativa. Recordemos que por ser el polinomio de Legendre la solución de un problema de Sturm - Liouville, cumple con todas las propiedades generales estudiadas para las funciones propias de tales problemas, en especial los polinomios de Legendre se asocian al grupo de polinomios ortogonales. A partir de la condición de normalización de los polinomios de Legendre kmax =

Z1

Pn (x)Pm (x)dx =

l

2 2l + 1

nm

con

nm

0 si n 6= m 1 si n = m

=

1

se obtiene que a0 = con lo cual

(2l)! 2l (l!)2

kmax ( 1)k (2l 2k)! 1 X xl Pl (x) = l 2 k=0 k! (l k)! (l 2k)!

2k

que sólo por inspección puede comprobar que es igual a kmax 1 dl X ( 1)k 1 Pl (x) = l l x2l 2 dx k=0 k! (l k)!

2k

Si se compara esta última expresión con la expresión para la expansión binomial de Newton 1

x2

l

=

X k

( 1)k

l! k! (l

k)!

x2k =

X

( 1)l

k

l!

k

k! (l

k)!

x2l

2k

entonces se tiene una expresión más compacta Pl (x) =

1 dl 1 2l l! dxl

x2

l

(8.62)

lo cual es la fórmula de Rodríguez para los polinomios de Legendre. 5

Mirar Wyld, Mathematical Methods for Physics


191

A partir de la fórmula de Rodríguez podemos expresar los primeros polinomios de forma explícita P0 (x) = 1 P1 (x) = x 1 P2 (x) = 3x2 1 2 1 P3 (x) = 5x3 3x 2 1 P4 (x) = 35x4 30x2 + 3 8

(8.63) (8.64)

Figura 8.2.2 Polinomios de Legendre: cuyas grá…cas se muestran en la …gura (8.2.2) Función Generatriz. En física, interacciones como la interacción eléctrica o la interacción gravitacional, son medidas a través de fuerzas dependientes del inverso de la distancia entre los cuerpos que interactuan. La determinación geométrica de esta distancia de interacción da surgimiento natural a los polinomios de Legendre lo cual asocia a los polinomios de Legendre con problemas típicos de electrostática, gravitación y otros de interés en física. A partir de la …gura (8-1), consideremos la distancia entre dos cuerpos que interactuan d; en función de los vectores posición de los cuerpos A y B: Se tiene que d = r2 + r02 192

2rr0 cos

1=2

=r

r

1+

r02 r2

2

r0 cos r


Figura 8-1 Distancia entre dos cuerpos que interactúan

y si denotamos cos = x y r0 =r = t, entonces para el caso cuando r > r0 y t = r0 =r < 1 se puede escribir 1 1 1 = p d r 1 + t2

2tx

1 1 1 = p d r0 1 + t2

2tx

y para r < r0 y t = r=r0 < 1

es decir, se tiene que en ambos casos la segunda fracción es la misma expresión, que mostraremos que es la función generatriz para los polinomios de Legendre: G(t; x) = p (t2

1 1 + t2

(8.65)

2tx

Esta función puede ser expandida en una serie de Tylor por el argumento 2tx) G(t; x) = 1

1 2 t 2

= 1 + xt + =

1 X

2tx + 1 3x2 2

3 2 t 8

1 t2

2tx

2

:::

::: = P0 + P1 t + P2 t2 + ::: (8.66)

Pn (x)tn

n=0

de la cual se tiene que

P0 = 1; P1 = x; P2 =

1 3x2 2

1 ; :::

(8.67)

que son los polinomios de Legendre. Es muy importante analizar el comportamiento de la solución construida en los puntos de singularidad. Para el caso cuando x = 1, de la función generatriz se tiene 1 X 1 1 2 G(t; x = 1) = p = = 1 + t + t + ::: = Pn (1)tn 2 1 t 1+t 2t n=0 POLINOMIOS ORTOGONALES

193

por lo tanto Pn (1) = 1 8n 2 N: En el punto de singularidad regular x = tiene G(t; x =

1, de la función generatriz se

1 1 = =1 1) = p 2 1+t 1 + t + 2t

2

t+t

::: =

1 X

Pn ( 1)tn

n=0

n

por lo tanto Pn ( 1) = ( 1) 8n 2 N: También podemos evaluar Pn (0) G(t; 0) = p

1 1 X 3 (2j 1)!! 2j X 1 1 ( 1)j t = Pn (0)tn = 1 t2 + t4 ::: = 1+ 2 2 8 (2j)!! 1+t n=0 j=1

de donde se tiene que Pn (0) = 0 si n es impar (2j 1)!! Pn (0) = ( 1)j si n es par (2j)!! P0 (0) = 1 si n = 0 Relaciones de recurrencia. a. Derivando la función generatriz (8.65) respecto del parámetro t se tiene 1 1 + t2 2tx 2 1 X nPn (x)tn 1 Gt (x; t) = Gt (x; t) =

3=2

(2t

2x) =

(x t) G(x; t) 1 + t2 2tx

n=0

por lo tanto

1 + t2

2tx Gt (x; t)

(x

t) G(x; t) = 0

Usando la expansión (8.66) e igualando los coe…ecientes de tn , se obtiene (n + 1) Pn+1 (x)

x (2n + 1) Pn (x) + nPn 1 (x) = 0; n P1 xP0 = 0

1

(8.68)

b. Derivando la función generatriz (8.65) respecto de x se tiene xPn0 (x)

Pn0 1 (x) = nPn (x)

(8.69)

c. Ahora, derivando (8.68) respecto de x y tendiendo en cuenta (8.69) se tiene 0 Pn+1 (x)

Pn0 1 (x) = (2n + 1) Pn (x)

(8.70)

d. Restando de (8.70), (8.69) se tiene 0 Pn+1 (x)

194

xPn0 (x) = (n + 1) Pn (x)

(8.71)


8.2.3. Polinomio asociado de Legendre Ahora regresemos al caso cuando m 6= 0 en la ecuación (8.51). Para este caso ya se halló que las raíces de la ecuación indicatriz (8.56) son = m=2 , para expansiones en cercanías de los puntos x = 1. En este caso intentaremos utilizar los resultados ya obtenidos a través de un pequeño arti…cio matemático. Para construir soluciones …nitas en los puntos x = 1, debemos alejarnos del comportamiento de la función en la vecindad de x = 1, para lo cual la función P (x) debe ser expresada de la forma x2

P (x) = 1

m=2

(8.72)

Q(x)

donde Q(x) es también una función desconocida por ahora y m un entero positivo (ver 8.57). Reemplazando (8.72) en (8.51) se tiene x2

1

m=2

1

x2 Q00 (x)

Ahora diferenciemos m

2x (m + 1) Q0 (x) + [

m(m + 1)] Q(x) = 0 (8.73) veces la ecuación de Legendre

dP d2 P 2x + P = 0; (8.74) 2 dx dx para lo cual podemos usar la fórmula de diferenciación de un producto 1

x2

Dm [f (x)g(x)] =

m X

m k

k=0

donde

Dm k f (x) Dk g(x)

m! (m k)!k! m yD es la m ésima derivada. Calculemos cada una de las m ésimas derivadas que surgen en la ecuación (8.74): m k

D

m

(1

2

00

x )P (x)

= = =

m

0

D [xP (x)] = =

m X

=

m k

Dm k (1

x2 ) Dk P 00 (x) =

k=0 m(m 1) 2 D (1 2

x2 )Dm 2 P 00 + mD(1 x2 )Dm 1 P 00 + (1 d d2 1)Dm P 2mx Dm P + (1 x2 ) 2 Dm P dx dx

m(m m X

k=0 m X

k=m 1

m k

Dm k x m k

Dk P 0 (x) =

Dm k x

Dk P 0 (x) =

= mDm 1 P 0 + xDm P 0 = mDm P + x POLINOMIOS ORTOGONALES

d m D P dx 195

x2 )Dm P 0

Si renombramos

dm P (x) dxm entonces la derivada m ésima de la ecuación de Legendre (8.74) toma la forma v

(1

x2 )

d2 v dx2

2x(m + 1)

dv +[ dx

m(m + 1)] v = 0

(8.75)

Comparando (8.73) y (8.75), teniendo en cuenta (8.72), podemos concluir que la solución de (8.56) con m 6= 0 es una función dada por P (x) = Plm (x) = (1

x2 )m=2

dm Pl (x) dxm

(8.76)

y usando la fórmula de Rodriguez Plm (x) =

(1

x2 )m=2 dm+l (x2 1)l 2l l! dxm+l

(8.77)

con m = 0; 1; 2; 3; :::; l. Los polinomios Plm (x) dados por (8.76) o (8.77) se denominan Polinomios Asociados de Legendre.

Grá…ca de P11 (x) = sqrt1 x2 negro; P21 (x) = 3xsqrt1 x2 violeta; P22 (x) = 3 (1 x2 ) rojo, P31 (x) = sqrt1 x2 (15x2 3)=2 verde Análogamente se puede veri…car que la solución …nita en los puntos x = 1 se obtiene sólo para los valores propios = l(l + 1). De esta manera hemos construido la solución al problema de valores propios 8 dP m (x) m2 < d (1 x2 ) l Plm (x) = l(l + 1)Plm (x) 2 (8.78) dx dx 1 x : m Pl (x) …nito en 1 x 1 196


y por propiedad de las funciones solución de un problema de Sturm - Liouville, los polinomios (8.76) forman, en el intervalo [ 1; 1] ; un conjunto completo de funciones ortogonales con función de peso (x) = 1, es decir Z1

0 dxPlm (x)Plm 0 (x) = 0 8l 6= l

1

Si l = l0 entonces la integral es diferente de cero y es posible normalizar a 1 estos polinomios: Z1 (l + m)! 2 [Plm (x)]2 dx = (l m)! 2l + 1 1

Armónicos esféricos Ahora analicemos la solución a la ecuación (8.48). Como se dijo antes, esta ecuación se obtuvo de la separación de variables de la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas. En nueva separación de variables se supuso que la función Y ( ; ') = P ( ) (') es la solución de la ecuación (8.48) y se ha tomado a m2 como constante de separación. Cada par de valores l; m de…nen una solución particular o función propia de la parte angular del problema de Helmholtz Ylm ( ; ') = Plm (cos )eim'

(8.79)

y la solución general será una combinación lineal de todas las soluciones X m im' Am (8.80) Y ( ; ') = l Pl (cos )e l;m

donde Am son coe…cientes que deben ser establecidos a partir de las condil ciones de normalización y las condiciones de frontera. La función Ylm ( ; ') se denomina función esférica o armónicos esféricos. Ecuación de Laplace La ecuación de Laplace puede ser vista como un caso particular de la ecuación de Helmholtz cuando k = 0. En este caso, como ya se estudió arriba, la solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas puede ser escrita como u(r; ; ') =

1 X n=0

Al r l +

Bl rl+1

Ylm ( ; ')

(8.81)

es decir, la solución es una combinación lineal de todas los 2l + 1 funciones esféricas Ylm ( ; '): POLINOMIOS ORTOGONALES

197

Si la solución se busca para r < a (problema interior), entonces se debe tomar Bl = 0 = 0 y para el caso r > a (problema exterior), es necesario concebir que Al = 0. Para el caso de una solución en el segmento [a; b] la solución tiene la forma general (8.81). Mostraremos dos ejemplos 1. Problema de Dirichlet en una esfera. Supongamos que se tiene una esfera de radio a. Coloquemos el origen del sistema de coordenadas (r, ; ') en el centro de la esfera y consideremos dos problemas de Dirichlet u = 0 con r < a; ujr=a = f ( ; ')

Problema interior

u = 0 con r > a; ujr=a = f ( ; ')

Problema exterior

con f ( ; ') una función de…nida en la super…cie de la esfera. Expandamos f ( ; ') en una serie por funciones esféricas: f ( ; ') =

1 X

Ylm ( ; ')

l=0

y m

Yl ( ; ') =

l X

[Alm cos m' + Blm sin m'] Plm (cos )

m=0

donde los coe…cientes Alm , Blm se calculan usando la propiedad de ortogonalidad de las funciones esféricas. La solución del problema interno la buscaremos de la forma 1 X r u(r; ; ') = a l=0

l

m

Y l ( ; ') para r

a

Usando las condiciones de frontera para r = a y teniendo en cuenta la expansión de f ( ; ') se tiene que m

Y l ( ; ') = Ylm ( ; ') De forma análoga hallamos la solución para el problema externo 1 X a u(r; ; ') = r l=0

l+1

Ylm ( ; ') para r

a

2. Esfera conductora en el campo de una partícula puntual. El problema consiste en hallar el campo electrostático de un partícula puntual e que se halla en el punto P , en presencia de una esfera conductora (ideal) de radio a. Supondremos que la esfera está aterrizada con lo cual el potencial en la esfera es igual a cero. El origen de las coordenadas (r; ; ') lo colocaremos en el centro de la esfera 0 y el eje polar ( = 198


0) lo trazaremos de forma tal que pase por el punto P : 0P = r0 > a El campo electrostático puede ser expresado como E = grad u. En potencial u = u(M ), con M = M (r; ; ') un punto arbitrario, satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos fuera de la esfera excepto en el punto M = P , donde se tendrá una singularidad tipo e=RM P = u0 , donde u0 es el potencial de la carga e en un volumen ilimitado (en ausencia de la esfera). Sobre la esfera el potencial ujr=a = 0. La solución de este problema naturalmente debe ser buscada de la forma q e (8.82) u(M ) = + v(M ); con R = RM P = r02 + r2 2rr0 cos R donde v

es la solución del problema externo de Dirichlet ( v = 0 para r > a e vjr=a = jr=a R

(8.83)

Utilicemos la expansión de 1=R en una serie para valores r < r0 (Recordar la función generatriz de los polinomios de Legendre) 1 1 X 1 = R r0 n=0

r r0

n

Pn (cos ) con r < r0

(8.84)

La solución del problema externo de Dirichlet (8.83) la buscamos de la forma 1 X a n+1 v= Yn ( ; ') para r a (8.85) r n=0 Y de (8.83) y (8.84) se tiene que Yn ( ; ') = POLINOMIOS ORTOGONALES

ean r0

(n+1)

Pn (cos ) 199

Así hallamos el potencial u = u(r; ) u(r; ) =

200

e R

e

que no depende del ángulo ':

1 X a2n+1 P (cos ) n+1 r n+1 n r 0 n=0


8.2.4. Funciones Cilíndricas Función de Bessel El método de separación de variables para la ecuación de Helmholtz r2 u + k 2 u = 0 en coordenadas cilíndricas (r, ; z) nos conduce a la ecuación d2 u 1 du + 1 + dx2 x dx

m2 u=0 x2

(8.86)

que es la denominada ecuación de Bessel, que presenta un punto de singularidad regular en x0 = 0 y cuya solución depende de un parámetro m que en general se denomina orden. Aunque es posible considerar el caso cuando m es un complejo, aquí de manera general consideraremos que m es un número real. Busquemos una solución a esta ecuación en forma de series de potencia (8.21) en la vecindad del punto x0 = 0 " # 1 X u(x) = x 1 + un x n (8.87) n=1

Al sustituir (8.87) en (8.86) y multiplicar por x2 se tiene # " 1 X ( + n) ( + n 1)un xn 0 = x ( 1) + +x +x

"

"

n=1

+

1 X

( + n) un xn

n=1 1 X

x2 +

un xn+2

#

m2

(8.88) m2

n=1

1 X n=1

un x n

#

De la cual se obtiene la ecuación indicatriz (los coe…cientes ante x ) x :

(

m2 = 0

1) +

(8.89)

cuya solución nos lleva a que =

(8.90)

m

y de las ecuaciones que se obtienen a partir de la igualación a cero de los coe…cientes de la serie ante los miembros con potencias mayores a x se tendrá un conjunto de ecuaciones con el cual se podrán hallar los coe…cientes uj de la solución (8.87) x +1 : ( + 1) + + 1 m2 u1 = 0 (8.91) x

+2

: ( + 2) ( + 1) + ( + 2)


m 2 u2 + 1 = 0

(8.92) 201

:::

x

+n

: ( + n) ( + n

m 2 u n + un

1) + ( + n)

2

(8.93)

=0

Reemplazando (8.89) en (8.91) se tiene = 1=2 u1 = 0

[2 + 1] u1 = 0 !

(8.94)

La exigencia de que la función solución del problema físico que dio origen a la ecuación de Helmholtz sea monovaluada, conlleva a exigir que m sea un número entero, por lo cual debemos dejar de lado el valor = 1=2: Si suponemos u1 = 0, entonces se tendrá que todos los coe…cientes impares de la serie (8.87) son nulos, es decir u2n+1 = 0: Así, a partir de la ecuación para el término general (8.93) y teniendo en cuenta que 2 = m2 se obtiene una ecuación de recurrencia para los coe…cientes pares un u2(n 1) u2n = (8.95) 4n(n + ) Si hacemos u0 = 1, entonces usando recurrentemente (8.95) se tiene u2n = ( 1)2

4n (n

u2(n 2) 1) (n + ) (n +

1)

=

( 1)n (1 + ) 22n n! (n + + 1)

(8.96)

Ahora podemos usar estos resultados para escribir, a partir de la serie (8.87), dos soluciones de la ecuación (8.86) (una para cada valor 1;2 = m). Debemos tener en cuenta que la suma se hará sólo por los elementos pares, es decir, n = 2j 1 X ( 1)j (1 + m) 2j x um (x) = x uj x = x 22j j! (j + m + 1) j=0 j=0 m

u

m (x)

= x

1 X

m

m

2j

1 X

2j

uj x = x

j=0

Y si multiplicamos por 2 Jm (x) = J

202

m (x)

=

m

m

1 X ( 1)j (1 m) 2j x 22j j! (j m + 1) j=0

(8.97) (8.98)

= (1 + m) se tiene

x 2 x 2

m

1 X

( 1)j x j! (j + m + 1) 2

j=0 1 mX j=0

x ( 1)j j! (j m + 1) 2

2j

(8.99) 2j

(8.100)


que son las series que de…nen las funciones de Bessel o funciones cilíndricas de tipo I y de orden m. Para valores grandes de j ! 1, estas series convergen según el test de relación o criterio del cociente, es decir lm

j!1

x 2 2

(j

m)

!0

La serie (8.99) está bien de…nida excepto para los valores enteros de 2m, aunque si 2m = par, también se tendrá una buena de…nición. Para m un entero positivo, los primeros m elementos del desarrollo de (8.100) no pueden ser tenidos en cuenta dado que la función gamma tendrá valores indeterminados ( ( k) = 1 8k 0) (j

m + 1) = 1 si

con lo cual (8.100) haciendo s = j J

m

m (x) =

x 2

m

=

x 2

1 X

= ( 1)

m + 1 = 0; 1; 2; ::: j = m 1; m 2; :::; 0

m puede ser escrito como

x ( 1)j j! (j m + 1) 2 j=m 1 X s=0

m

j

x 2

( 1)s+m x (s + m)! (s + 1) 2 m

1 X s=0

2j

2(s+m)

( 1)s x s! (s + m + 1) 2

(8.101) 2s

= ( 1)m Jm (x)

Así tenemos que J

m (x)

= ( 1)m Jm (x) para todo m = 0; 1; 2; :::

(8.102)

lo cual implica que estas dos soluciones son lienalmente dependientes y se concluye que el método de series nos permitió construir sólo una solución al problema dado. Propiedades de las funciones de Bessel Aquí daremos algunas de las principales propiedades de las funciones de Bessel6 sin realizar demostraciones, algunas de las cuales están más allá de los objetivos de este curso. 1. Consideremos la ecuación de Bessel x2 u00 + xu0 + x2

m2 u = 0

(8.103)

6 Un estudio exhaustivo de las propiedades de las funciones de Bessel puede ser hallado en el libro Equations of mathematical physics V.S. Vladimirov


203

con m 6= 0; 172; 1; 3=2; 2; 5=2; :::; se pueden hallar dos soluciones u1 (x); u2 (x) se tiene a2j+1 = 0 a2j =

22j

( 1)j (1 + m) a0 (j + 1) (j + m + 1)

y tomando 1 (j + 1) se tiene como solución cuya solución u1 (x) una función Bessel de primera especie de orden m : 1 X x 2j+m ( 1)j Jm (x) = ; m 2 ( 1; 1) (8.104) (j + 1) (j + m + 1) 2 j=0 a0 =

2j

Esta serie tiene un radio de convergencia in…nito y es válida para todo x: La segunda solución se obtiene al hacer m ! m y la solución está perfectamente de…nida para todos los m 6= 1; 2; 3; ::: Como sólo se tienen potencias pares de x, se tiene que Jm ( x) = Jm (x), es decir, la solución es una función par.

2. Esta solución puede ser expresada como Jm (x) = xm fm (x2 ) donde fm ( )

es una función entera 1 X ( 1)j fm ( ) = 22j+m (j + 1) (j + m + 1) j=0

j

que por criterio de D’Alambert tiende a un límite en el plano complejo de valores . 3. Grá…cas J0 (x)

Funciones Bessel de orden entero 204


J0 (x)

Funciones Bessel de orden Real 4. Jm (x) Es una función monovaluada y analítica para todo m = 0; 1; 2; ::: 5. Función generatriz. Se puede probar fácilmente que la expansión de Tylor (expansión de Laurent) de la función G(x; t) = exp

x 2

1 t

t

=

1 X

Jn (x)tn

(8.105)

n= 1

tiene como coe…cientes de la expansión, funciones de Bessel 6. Jm (x) Es una función multivaluada y analítica para todo m 6= 0; 1; 2; ::: En este caso se toma la rama para la cual xm > 0; 8x > 0 7. Funciones de recurrencia para Jm (x): Si se deriva respecto de t la función (8.105) se tiene 1 1 Gt (x; t) = x t + 2 2 t

x 2

exp

t

1 t

1 X

=

nJn (x)tn

1

n= 1

con lo cual teniendo en cuenta (8.105) Jn 1 (x) + Jn+1 (x) =

2n Jn (x) x

(8.106)

Diferenciando (8.105) respecto de x, se tiene 1 Gx (x; t) = 2

t

1 t

exp

x 2

t

1 t

=

1 X

nJn0 (x)tn

n= 1

y de nuevo teniendo en cuenta (8.105) Jn 1 (x) POLINOMIOS ORTOGONALES

Jn+1 (x) = 2Jn0 (x)

(8.107) 205

como caso especial se tiene J00 (x) =

(8.108)

J1 (x)

La semisuma de (8.106) y (8.107) nos da Jn 1 (x) =

n Jn (x) + Jn0 (x) x

8. Si m no es un entero, entonces Jm (x) y J pendientes y si m = 1=2 se tiene que

m (x)

r

r

J1=2 (x) =

J

1=2 (x)

=

2 X ( 1)k 2k+1 x = x k=0 (2k + 1)! 1

r

1 2 X ( 1)k 2k x = x k=0 (2k)!

r

son linealmente inde-

2 sin x x (8.109)

2 cos x x

Funciones Bessel de orden semientero 9. Expresiones asimptóticas para las funciones Bessel Si x ! 0 se tiene Jm (x)

2m

xm 1 + O(x2 ) con m 6= (m + 1)

1; 2; ::: (8.110)

10. Recordemos que si m es un entero, entonces se tiene que J m (x) = ( 1)m Jm (x): Ahora bien, si m es un entero positivo, entonces se tiene que cuando x ! 0 J

206

m (x)

= Ym (x) =

Cn x m cuando n 1 C0 ln x cuando n = 0 FUNCIONES ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS

Funciones de Neumann Si m = 0; 1; 2; ::: las dos funciones Jm (x) y J m (x) son linealmente dependientes y se tiene una sola solución. En este caso la segunda solución se obtiene al introducir la función Bessel de segunda especie o función de Neumann7 : Nm (x) =

cos(m )Jm (x) J sin(m )

m (x)

(8.111)

Si m no es un natural, esto es una combinanción lineal de funciones Bessel que resulta bien comportada, pero si m es un natural, entonces (8.111) es una expresión que produce una indeterminanción del tipo 0=0, que puede ser resuelta por el método de L’Hopital: Nm (x) =

Nm (x) =

@ @m

[cos(m )Jm (x) J @ [sin(m )] @m

1 @Jm (x) @m

( 1)m

m (x)]

@J m (x) @m

m2N

m2N

Funciones Bessel de orden 2 y de tipo I-Negro, II - rojo, III - verde, IV Mostaza. Funciones de Hankel Las funciones de Hankel son funciones complejas también llamadas funciones Bessel de tercera especie dado que está compuesta por una parte real, que es una función Bessel de primera especie, y una parte imaginaria que es una función Bessel de segunda especie (Función de Neumann). Estas funciones son utilizadas para representar ondas entrantes y salientes que son soluciones de la ecuación de onda en problemas con simetría cilíndrica. A partir de las 7

En algunos libros la denominan función de Weber y la denotan por Ym (x)


207

funciones de Besel y de Neumann podemos de…nir la función de Hankel de primera y segunda especie como (1) Hm (x) = Jm (x) + iNm (x) (2) Hm (x) = Jm (x)

iNm (x)

lo cual es análogo a la expresión e

i (1)

= cos

i sin (2)

Para argumentos reales, Hm (x) y Hm (x) son funciones complejas conjugadas.

208


8.2.5. Oscilador lineal cuántico En este apartado daremos un último ejemplo de solución de problemas de física que conlleva a la construcción de una solución en forma de polinomios ortogonales, en especial solucionaremos el problema del oscilador armónico cuántico y construiremos el polinomio de Hermite. Sin embargo, no desarrollaremos todas las propiedades de estos polinomios lo cual se deja como parte de los ejercicios propuestos a los estudiantes. La función de energía potencial de muchos sistemas físicos posee mínimos en ciertos puntos del espacio. Expandiendo la energía potencial en una serie en la vecindad del mínimo, se tiene: @Ep (x) jx=x0 + Ep (x) = Ep (x0 ) + (x x0 ) @x 2 1 @ Ep (x) + (x x0 )2 jx=x0 +::: 2! @x2 donde x es la distancia a la posición de equilibrio x0 . Podemos considerar que x0 = 0 y sin perder generalidad del problema, también podemos considerar que V (x0 ) = 0 y para pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de equilibrio, tomar la aproximacón lineal, es decir, quedarnos sólo con el primer miembro diferente de cero en la serie (8.112) : 1 d2 V (x) jx=0 V (x) = x2 2 dx2 En este caso decimos que la partícula realiza oscilaciones armónicas y al sistema lo podemos denominar simplemente oscilador armónico. El oscilador armónico juega un papel muy importante en el estudio de pequeñas oscilaciones en la vecindad de la posición de equilibrio, en particular, las oscilaciones de los átomos en los cristales, en las moléculas y otros. El operador hamiltoniano en teoría cuántica tiene la forma: 2 b = pb + 1 m! 2 x b2 ; H 2m 2 2 @ Ep (x) con m! 2 = jx=0 @x2

(8.112)

y la ecuación de Schrödinger se escribe de la forma d2 (x) 2m + 2 E dx2 ~

m! 2 2 x 2

(x) = 0

(8.113)

Para los cálculos siguientes es más cómodo pasarse a una variable adimensional para enfocarnos en la solución matemática del problema r m! = x; (8.114) ~ POLINOMIOS ORTOGONALES

209

y denotando con comillas la derivada respecto de , se tiene 00

2

( )+

donde

(8.115)

( )=0

2E ~!

=

(8.116)

también una constante adimensional. De esta forma el problema puede ser escrito como 00

( )=

( )

es decir, un problema de valores propios del algebra lineal. La función propia ( ); que es solución de este problema, debe ser …nita en todo el espacio de de…nición( 1 < x < +1): Para la de…nición del comportamiento de en el in…nito, notemos que si 2 >> en la ecuación (8.115) se puede despreciar en comparación de 2 y escribir: 2 00 0 ac ( ) ac ( ) De donde se desprende que 2

ac (

)

e

2

El signo mas en el exponente dede ser descartado dado que la solución no cumple la condición de ser …nita en todo el espacio de de…nición( 1 < x < +1). La función de onda la buscaremos en la forma 2

( ) = v( )

ac ( ) = v( )e

2 2

con la condición de que v( ) no puede crecer en el in…nito más rápido que e+ 2 . Así obtenemos una ecuación para v( ): v 00

2 v0 + (

(8.117)

1) v = 0

La solución de esta ecuación la podemos buscar en forma de una serie de potencias de al rededor del punto singular 0 = 0 v( ) = a0 + a1 + a2

2

+ a3

3

+ ::: + ak

k

+ :::

(8.118)

donde los coe…cientes ak son ciertas constantes por de…nir. Reemplazando (8.118) en (8.117) se obtiene 1 P

k(k

1)ak

k 2

k=2

+(

1)

2

1 P

1 P

kak

k 1

+

k=1

ak

k

=0

k=0

Una suma geométrica in…nita es igual a cero sólo en el caso de que, los coe…cientes ante cada exponente de la variable independiente sean iguales a 210


cero. Igualando a cero la suma de los coe…cientes ante igual exponente es posible obtener una ecuación recurrente para hallar los coe…cientes ak : ak+2 (k + 2) (k + 1)

2kak + ( 1) ak = 0 2k +1 ak = ak+2 (k + 2) (k + 1)

(8.119) (8.120)

Por supuesto que la solución construida es realmente solución si la serie (8.118) converge. Ahora bien, en el límite cuando k ! 1 el comportamiento de los coe…cientes está dado por la relación ak+2 ak

2 k 2

Esto signi…ca que la relación (8.118) crece como e lo cual se puede comprobar si se expande este exponente en una serie de Tylor y se estima la relación de sus coe…cientes próximos para órdenes grandes de la serie : 2 1 4 + ::: + ! k+ 2! k 2+1 + ! k+2 + ::: = k = 1 + 2 + ::: + bk k + bk+2 k+2 + ::: (k=2)! 2 bk+2 = bk (k= (2 + 1)) k e

2

=1+

2

+

Así conluimos que la serie (8.118) debe ser interrumpida en cierto valor n, es decir, tomaremos an 6= 0 y an+2 = 0. De (8.120) se tiene que los valores propios = n = 2n + 1 (8.121) y la energá del oscilador armónico será: En = ~! n +

1 2

con

n = 0; 1; 2; 3; :::

(8.122)

Energía nula. Cuando n = 0 a partir de la fórmula (8.122) obtenemos la energía mínima del oscilador ~! E0 = 2 El hecho de que la energía mínima no sea igual a cero es una consecuencia de nuestra exigencia de la convergencia de la serie (8.118), sin embargo, este hecho es realmente una consecuencia de las propiedades cuánticas del sistema y está ligado al principio de indeterminación de Heisenberg8 . 8 Si la partícula alcanzará una energía nula, su momento lineal también será nulo y por lo tanto la partícula deberá reposar en algún lugar, es decir, se podría conocer simultáneamente estos valores de posición y momento con una incertidumbre nula, lo cual contradice la relación de indeterminación.


211

Polinomio de Hermite De la fórmula recurrente para los coe…cientes (8.120) se deduce que la paridad del polinomio (8.118) coincide con la paridad del número n. Por esta razón el polinomio tiene la forma vn ( ) = an n + an 2 n 2 + ::: a0 si n es par + a1 si n es impar

(8.123)

por lo que se dice que la función vn ( ) es un polinomio con una paridad de…nida que depende de la paridad de n. Supongamos an = 2n y a partir de la relación recurrente (8.120) hallemos los coe…cientes teniendo en cuenta que = 2n + 1. Para los coe…cientes ak tenemos ak ( 1 2k) = ak (2n 2k) = = ak+2 (k + 2)(k + 1) (2n

2k) ak =

ak+2 (k + 2) (k + 1)

o de otra manera,

an

n(n 1) n n(n 1) = 2 2 2 1! (n 2) (n 3) = an 4 = an 2 2 4 n(n 1) (n 2) (n 3) = 2n 4 2! ::: 2

=

an

El polinomio (8.123) en el cual se ha tomado an = 2n y se tiene que 2n + 1 se denomina Polinomio de Hermite y se designa como Hn ( ): n(n 1) (2 )n 2 + Hn ( ) = (2 )n 1! n(n 1) (n 2) (n 3) + (2 )n 4 ::: 2!

=

(8.124)

A partir de una diferenciación directa se puede comprobar que el polinomio de Hermite (8.124) se puede expresar de la forma dn e Hn ( ) = ( 1) e d n n

212

2

2

(8.125)


Grá…ca de los primeros cuatro polinomios de Hermite.

De esta forma las funciones de onda n ; correspondientes a los valores propios En (8.122) quedan expresadan por la fórmula: 2

= Cn e p=2 Hn ( ); con = x m!=~

n (x)

(8.126)

El coe…ciente de normalización Cn se encuentra a partir de la condición de normalización Z+1

2

dx =

Cn2

1

p

Z+1 m!=~ e

2

Hn2 ( )d = 1

1

Usando la expresión (8.125) para el polinomio de Hermite, la integral al lado derecho de esta expresión puede ser expresada en una forma más cómoda:

n

= ( 1)

+1 R

+1 R

e

2

Hn2 ( )d =

1

2

dn e m! Hn ( ) n d = d ~ 1

1=2

Cn 2

Si se tiene en cuenta que dn Hn ( ) = 2n n! y d n

Z+1 e

2

d =

p

1

se pueden hallar los coe…cientes de normalización Cn = POLINOMIOS ORTOGONALES

m! ~

1=2

2n n!

p

1=2

(8.127) 213

Función Generatriz Estudiemos la función G(x; t) = exp( t2 + 2sx) que por de…nición de función generatriz debemos expandir en una serie de Tylor, lo cual conduce a 1 X ( t2 + 2sx)n G(x; t) = n! n=0

por de…nición

t(2x t) t2 (2x t)2 t3 (2x t)3 + + + ::: 1! 2! 3! 4 = 1 + 2xt + ( 1 + 2x2 )t2 + ( 2x + x3 )s3 + ::: 3 El término n-ésimo en la serie contiene t a potencias n ésimas o superiores, por lo tanto si deseamos extraer los términos para una potencia determinada de t, es necesario tener en cuenta sólo los primeros n términos de la serie. Esos términos tienen como coe…cientes, los términos del polinomio de Hermite, es decir, la serie puede ser escrita como = 1+

G(x; t) =

1 X (2y n=0

t)n n!

n

t =

1 X Hn n=0

n!

tn

Se puede probar que los polinomios de Hermite se pueden obtener al derivar esta función. Dado que la j ésima derivada de tn es igual a cero si j > n, tomando esta derivada se eliminarán todos los términos con j > n. La j ésima derivada de tj es j! y para todas las derivadas superiores ( j > n) la j ésima derivada dará el término tn j . De esta forma si tomamos la derivada a j ésima de G(x; t), y luego hacemos t = 0, tendremos los términos de…nen Hj (x) Hn (x) dj G(x; t)jt=0 = j! = Hn (x) j dt j! Relaciones de recurrencia Aquí sólo presentaremos las relaciones de recurrencia que se derivan de las relaciones de recurrencia generales enunciadas para los polinomios ortogonales: Hn0 (x) Hn+1 (x) 0 Hn+1 (x) 2nHn0 1 (x) 0 Hn+1 (x)

= = = = =

2nHn 1 2xHn 2nHn 1 2Hn + 2xHn0 2nHn0 Hn00 2(n + 1)Hn

1

o en términos de la ecuación de Hermite Hn00 (x) 214

2xHn0 (x) + 2nHn = 0 FUNCIONES ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS

8.3. Problemas propuestos 1. Demostrar la condición de normalización de los polinomios de Legendre 2. Demostrar que los polinomios de Legendre son ortogonales y hallar la relación de ortogonalidad 3. Probar que

R1

1

0 dxPlm (x)Plm 0 (x) = 0 8l 6= l y

R1

[Plm (x)]2 dx =

1

(l+m)! 2 (l m)! 2l+1

4. Deducir la fórmula (8.96) para los coe…cientes de la función de Bessel. 5. Probar que (8.104) es solución de (8.103). 6. Usando las fórmulas de recurrencia demostrar que d x2 J3 (2x) = 2x2 J2 (2x) dx

xJ3 (2x)

7. Se tiene una membrana circular de radio a; la cuál se golpea en el centro y se busca estudiar las vibraciones de la membrana, lo cual implica resolver la ecuación r2 U

1 @2 U = 0; c2 @t2

0

r

a; t > 0; 0

2

donde c es la velocidad de la onda en la membrana y U es la deformación transversal de la membrana como función de r y . La condición de frontera se puede escribir como U (a; ) = 0 y U (r = 0; )

f inito

El golpear la membrana que se encuentra en reposo corresponde a las condiciones iniciales U (r; ; t = 0) = 0 Ut (r; ; t = 0) = f (r) 8. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales haciendo uso de las sustituciones sugeridas. Utilizar el sofware Maple para veri…car la respuesta y gra…car su respuesta para observar su comportamiento. 2

d y 2 dy 2 a. x2 dx 2 + x dx + x d2 y

dy b. x2 dx2 + x dx +

2 2

x

2

1 4

y=0 R2 y = 0 ! x =

d y dy c. x dx x= 2 + 2 dx + xy = 0 !

PROBLEMAS PROPUESTOS

z

u(x) p x

215

2

dy d y 2 d. x2 dx 2 + x dx + (4x

v 2 ) y = 0 ! (x2 = z)

2

d y dy e. x dx y = u(x) 2 + (1 + 2v) dx + xy = 0 ! xv p 2 d y dy 1 f. x2 dx v 2 ) y = 0 ! ( x = z) 2 + x dx + 4 (x p d2 y g. dx x; z = 23 x3=2 2 + xy = 0 ! y = u 2

dy dx

2

dy 3x dx + 4 (x4

d y h. x dx 2

d y i. x2 dx 2 2

d y j. x2 dx 2 (1

k.

d2 y dx2

+ xy = 0 ! (y = xu)

3) y = 0 ! (y = x2 u; z = x2 )

dy 2v) x dx + v 2 (x2v + 1 1 9

+ e2x

v 2 ) y = 0 ! (y = xv u; z = xv )

y = 0 ! (z = ex )

9. Solucionar las siguientes ecuaciones mediante el uso de funciones de Bessel de primer y segundo orden: a. 4x2 y 00 + 4xy 0 + (4x2 2 00

0

1) y = 0

b. 9x y + 9xy + (9x

2

c. x2 y 00 + xy 0 + (x2

1) y = 0

16) y = 0

d. x2 y 00 + xy 0 + x2 y = 0 e. 9t2 x00 + 9tx0 + (9t2 f. x2 z 00 + xz 0 + (x2

4) x = 0 16) z = 0

10. La clase de ecuaciones del tipo y 00 (x) + cxn y(x) = 0 para x > 0 y con c y n constantes positivas, se puede resolver transformando dicha ecuación a la ecuación de Bessel. p a. Use la sustitución y = xu para transformar la ecuación en términos de x y u. p 2 c n=2+1 b. Use la sustitución s = x para transformar la ecuación obtenin+2 da en la parte (a) a la ecuación de Bessel y halle la solución. c. Mediante una sustitución inversa halle la solución general para la ecuación inicial.

11. Construir una solución para la ecuación d2 1d + 2 dx x dx

2

1+

x2

=0

Sugerencia: Reemplace x ! ix y obtenga una función Bessel. 216


12. Problemas especiales. a. Suponiendo una relajación exponencial respecto del tiempo, construir una solución a la ecuación de conducción r2 (r; t) =

1 @ (r; t) c @t

en coordenadas cilíndricas. b. Construya una solución a la ecuación de Laplace r2 (r; t) = 0 para el problema interno de Dirichlet en una esfera. c. Construya una solución a la ecuación de Laplace r2 (r; t) = 0 para el problema externo de Dirichlet en una esfera. d. Construya una solución para la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno. e. Construya una solución para la parte angular de la ecuación de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno. f. Construya una solución para el oscilador armónico cuántico. 13. Probar que d Hn (x) = 2nHn dx

1

14. Probar que Hn+1 (x) = 2xHn

PROBLEMAS PROPUESTOS

2nHn

1

217

218


A. APÉNDICE A.1. Transformada integral de Laplace Ahora desarrollaremos un segundo ejemplo de las transformaciones integrales - la transformación integral de Laplace y mostraremos algunos ejemplos de aplicación de está poderosa herramienta ampliamente usada en la solución de ecuaciones diferenciales originadas en problemas de circuitos oscilatorios. La transformación integral de Laplace o simplemente la transformada Laplace de la función f (x) se de…ne como Z1 F (s) = L[f (x)] = e sx f (x)dx (A.1) 0

donde es necesario entender esta integral en el sentido impropio, es decir Z1 Zz e sx f (x)dx = l m e sx f (x)dx (A.2) z!1

0

0

La transformda inversas de Laplace está dada por la fórmula de Mellin 1 L [F (s)] = f (x) = 2 i 1

Z+i1 esx F (s)ds

(A.3)

i1

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical en el plano complejo tal que es mayor que la parte real de todas las singularidades de F (s). El estudio de esta integral hace parte del curso de función compleja y nosotros aquí no nos ocuparemos de ésta. Por otra parte, como veremos, muchas transformaciones inversas pueden ser halladas a través de transformaciones inversas conocidas y con el uso de tablas (Método de indagación)1 . En necesario aclarar que la transformada no existe para toda función R z (A.1) sx continua, pues aunque exista la integral 0 e f (x)dx el límite (ref) puede no existir, como por ejemplo: 1

L[e x ](s) = x2

L[e ](s) =

s

Z1

ex

2

; si < s pero 1 si s sx

dx = 1

8s 2 R

0

1 Leer más en : Transformada inversa de Laplace, ejercicios resueltos, ejemplos - wikimatematica.org www.wikimatematica.org

APÉNDICE

219

Nuestra pregunta será entonces ¿para cuáles funciones se puede garantizar la existencia de la transformada de Laplace? - Aquí nos restringiremos a las funciones de orden exponencial.

De…nición 69 La función f (x) se dice de orden exponencial si existen dos constantes no negativas (C y M ) tales que el módulo jf (x)j M eCx para todo x 0. La existencia de la transformada de Laplace la daremos con el siguiente teorema. Teorema 70 Si la función f (x) es una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces f (x) tiene transformada de Laplace para todo s su…cientemente grande. Demostración. Dado que f (x) todo s > C

e

sx

sx

f (x) = e

es de orden exponencial, se tiene que para

jf (x)j

Me

sx+ x

= Me

Me

x(s

dx =

x(s

)

)

1

y la integral Z1

e

sx

Z1

f (x)

0

sx

e

f (x)

0

=

lm

z!1

Z1

)

0

Zz

Me

x(s

)

dx

lm M

z!1

e

z(s

(s

)

=

M s

0

y por el criterio de comparación de Weirstrass para integrales impropias, la integral converge y la transformada existe para todo s > . Demostración. Teorema 71 Sea f (x) una función no acotada cuando x ! 0, continua en cualquier intervalo [N1 ; N ] con N1 > 0 y el límite l m xn f (x) = 0

x!0

para cualquier n arbitrario dado en el intervalo [0; 1] y f (x) siendo una función de orden exponencial : Entonces existe la transformada L[f (x)](s) para todo s > .

220

APÉNDICE

A.1.1. Propiedaes de la transformada Laplace

Estudiaremos las propiedades de las transformada Laplace a través de teoremas, algunos de los cuales serán demostrados y otros se dejarán como un ejercicio para el lector. Ahora bien, usaremos indistintamente como variable independiente x o t a …n de enfatizar en el hecho de que la transformada Laplace es aplicable en física tanto a variables temporales, como a variables espaciales. Teorema 72 Linealidad de la transformación. Si las funciones f (t) y g(t) son funciones continuas a trozos en en intervalo [0; 1) y de orden exponencial , con transformada laplace L [f (t)] = F (s) y L [g(t)] = G(s), y c1 ; c2 2 R, entonces L [c1 f (t) + c2 g(t)] = c1 L [f (t)] + c2 L [g(t)] = c1 F (s) + c2 G(s) Demostración. La demostración resulta directamente al plantear la integral de Laplace y se deja como un ejercicio.

Teorema 73 Traslación en el espacio imagen. Si L [f (t)] = F (s) entonces la transformada L [eat f (t)] = F (s a) Demostración. Sabemos que la trasformada Laplace de f (t) existe y es igual a F (s), entonces L eat f (t) =

Z1

e

st

eat f (t) dt =

0

L eat f (t) =

e

t(s a)

e

t(s a)

f (t)dt

0

y realizando el cambio de variable s Z1

Z1

f (t)dt =

0

a=

se tiene que

Z1

t

e

f (t)dt = F ( ) = F (s

a)

0

Teorema demostrado Teorema 74 Desplazamiento del original. Si se tienen que L [f (t)] = F (s) y g(t) =

f (t o

a)

t>a entonces t
TRANSFORMADA INTEGRAL DE LAPLACE

as

F (s) 221

Demostración. Desarrollemos la integral L [g(t)] =

Z1

e

st

Z1

e

st

f (t

Z1

e

s

f ( )d = e

g(t)dt =

a

0

y cambiando la variable t Z1

L [g(t)] =

st

e

a)dt

a = , se tiene f (t

a)dt = e

as

a

as

F (s)

0

y el teorema queda demostrado Teorema 75 Cambio de escala. Si se tiene que L [f (t)] = F (s) entonces L [f (at)] = a1 F ( as ) Teorema 76 Transformada Laplace de la derivada de una función. Sean f y f 0 funciones continuas a trozos en [0; 1) y de orden exponencial , entonces existe la transformada Laplace df (t) = sL [f (t)] dt

L [f 0 (t)] = L

f (0) = sF (s)

f (0)

Demostración. Dado que f (t) es de orden exponencial que 8s > , integrando por partes Z1

0

L [f (t)] =

e

st 0

st

f (t)dt = e

f (t)

t=1 t=0

+s

0

Z1

e

entonces se tiene

st

f (t)dt =

0

= sL [f (t)]

f (0) = sF (s)

f (0)

y el teorema queda demostrado.

Teorema 77 Si f (t)

no es continua en t = a, pero existe

l m+ f (x) = f (a+ )

x!a

y l m f (x) = f (a ) x!a

entonces L [f 0 (t)] =

Z1

e

st 0

f (t)dt = sF (s)

f (0)

e

as

f (a+ )

f (a )

0

La demostración se deja como ejercicio.

222

APÉNDICE

Corolario 78 Si f (t)

no es continua en t = 0, pero existe l m+ f (x) = f (0+ )

x!0

entonces 0

L [f (t)] =

Z1

e

st 0

f (0+ )

f (t)dt = sF (s)

0

Su demostración se deja como un ejercicio Teorema 79 Sean f; f 0 y f 00 funciones continuas a trozos en [0; 1) y de orden exponencial , entonces existe la transformada Laplace h 00 i d2 f (t) = s2 L [f (t)] sf (0) f 0 (0) L f (t) = L dt2 Demostración. La demostración de este teorema se obtiene al calcular por partes, dos veces, la integral de Laplace i Z1 L f (t) = e h

00

st

00

f (t)dt

0

lo cual se deja como ejercicio al lector. Corolario 80 Para el caso cuando se tiene que las funciones f 0 ; f 00 ; :::; f (n 1) son continuas en (0; 1] y de orden exponencial , entonces la transformada Laplace de la n ésima derivada de f está dada por L f (n) (t) =

Z1

e

st

f

(n)

(t)dt = sn F (s)

sn 1 f (0)

:::

sf (n

2)

(0)

f (n

1)

(0)

0

Podemos usar el método de inducción, dado que este teorema se probó para n = 1 y suponer que se cumple para n = k, y luego demostrar que el teorema también es válido para n = k + 1. Este ejercicio lo dejaremos para el lector. Teorema 81 Transformada Laplace de una integral. Si se tiene que L [f (t)] =

Z1

e

st

f (t)dt = F (s)

0

entonces

2 t 3 Z 1 L 4 f ( )d 5 = F (s) s 0

TRANSFORMADA INTEGRAL DE LAPLACE

223

Demostración. Dado que existe la transformada Laplace de la función f (t), suponiendo

Rt

f ( )d = g(t), entonces tendremos que g 0 (t) = f (t); g 0 (0) = 0, y

0

es continua en (0; 1]; luego

g(t)

L [g 0 (t)] = sG(s)

0

A.2. Tabla de transformadas Laplace Original 1

Imagen 1=p

Original t sin !t

t

1=p2

t sin !t

t2

2=p3

sinh !t

!= (p2

!2)

tn ; n 2 N

n!=pn+1

cosh !t

p= (p2

!2)

t ;

> e

1

t

tn e t ; n 2 N

2

224

u

( + 1)=p 1= (p n!= (p

+1

e t sin !t

) )n+1

sin !t

!= (p2 + ! 2 )

cos !t

p= (p2 + ! 2 )

sin t=t 1 t

(1

(t u (t

Imagen 2 2p!= (p2 + ! 2 ) (p2

2

! 2 ) = (p2 + ! 2 )

)2 + ! 2

!= (p

arctan p

e t)

ln 1 +

a) ; a > 0

e

)2

e

1 p

ap

p

=p

representa la función escalón unitario

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Ecuaci_de La Fisica_ Matema

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