Cuaderno Matema Para Ece

UGEL HUANCANÉ – PROGRAMA DE REFORZAMIENTO PARA ECE

CUADERNO DE MATEMÁTICA PARA REFORZAMIENT O ECE Víctor Hugo Condori Mamani Rubela Colquehuanca Calli

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CUADERNO DE MATEMÁTICA PARA REFORZAMIENTO ECE MINISTERIO DE EDUCACIÓN GOBIERNO REGIONAL PUNO Dirección Regional de Educación Puno

Copyright UGEL Huancané Unidad de Gestión Educativa Local de Huancané Jr. Bolognesi s/n Huancané – Puno – Perú Telf. (051) 566026 - (051) 566137 -(051) 566339

EQUIPO DIRECTIVO Director Jefe de Área de Gestión Pedagógica Jefe de Área de Gestión Institucional Administrador Asesor

: Genaro Sanizo Mamani : Marisol Coaquira Ramos : Divan Yuri Cari Condori : Edgar Cama Machaca : Roger Lopez Calloapaza

© Derechos reservados. Víctor Hugo Condori Mamani Rubela Colquehuanca Calli PRIMERA EDICIÓN Hecho el Depósito Legal en la Bilioteca Nacional del Perú 2016 – 10992 Impreso en el Perú / Printed in Perú. IMPRESO EN: Offet Continental S.A.C. Jr. Jorge Chavez 244 – Juliaca Telf. 051-331410 Agosto, 2016 TORAJE: 500

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PRESENTACIÓN Estimados estudiante y docente, con la finalidad de reforzar los aprendizajes y la enseñanza de la matemática, la Unidad de Gestión Educativa de Huancané, por medio del Área de Gestión Pedagógica, diseñamos un programa de reforzamiento, en la cual, uno de nuestros propósitos es elevar los resultados de la evaluaciones censales, donde podemos ver el progreso de los logros de aprendizajes, entendemos que no es el único medio ni los instrumentos que nos muestran de manera objetiva, pero es un referente para ver el resultado de nuestro esfuerzo. El presente material, está elaborado para usar en aula, contiene en su primera parte un poco de ludomática, en donde se introduce el juego para desarrollar algunas capacidades matemáticas para ser usado en una sesión de aprendizaje o fuera de ella, si bien es cierto que, lo que contiene en el presente documento es muy escaso, nuestro objetivo es que el docente tenga presente que el juego es una estrategia importantísima y la estrategia más efectiva para desarrollar las capacidades matemáticas, desde luego que motivadoras., en la segunda parte reproducimos el material virtual elaborado por el equipo de currículo del Ministerio de Educación, con algunas contextualizaciones, creemos que no es lo suficiente, sin embargo estamos seguros que servirá como medio para desarrollar las capacidades y competencias de ésta Área Curricular. Con el esfuerzo de cada uno de los actores (estudiante – docente), elevaremos el nivel del logro de los aprendizajes, que es el objetivo fundamental de la escuela. No dudamos de que ambos pondremos nuestra parte para lograrlo. Sólo expresar nuestros deseos de que se cumpla los objetivos propuestos. Entendemos también que existen muchas diferencias, pero la diversidad hace que se fortalezca cualquier acción pedagógica, entender un pensamiento complejo, es también bien complejo. Éxitos a todos quieren comparte nuestros ideales. Equipo de AGP, UGEL Huancané

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TABLA DE CONTENIDO PRESENTACIÓN............................................................................................... 3 TABLA DE CONTENIDO................................................................................... 5 INTRODUCCIÓN.............................................................................................. 7 PARTE I........................................................................................................... 9 LUDOMÁTICA PARA EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA...............................9 1.

CRUCIGRAMA DEL VALOR NUMÉRICO...................................................9

2.

LOS CUADRADOS MÁGICOS MULTIPLICATIVOS DE LOS ENTEROS........11

3.

EL EXTRATERRESTRE..........................................................................14

4.

LOS PERSONAJES MISTERIOSOS..........................................................15

PARTE II........................................................................................................ 17 FICHAS DE ACTIVIDADES PARA REFORZAMIENTO DE ECE...........................17 FICHA N°1................................................................................................. 17 IDENTIFICANDO FORMAS POLIGONALES EN NUESTRO ENTORNO............17 Aprendemos........................................................................................... 19 Analizamos............................................................................................. 25 Practicamos........................................................................................... 28 FICHA N° 2................................................................................................ 35 Aprendemos........................................................................................... 37 Analizamos............................................................................................. 40 Practicamos........................................................................................... 43 FICHA N° 3................................................................................................ 47 LEYENDO EL RECIBO DE ENERGÍA ELÉCTRICA...........................................47 Aprendemos........................................................................................... 48 Analizamos............................................................................................. 51 Practicamos........................................................................................... 53 FICHA N° 4................................................................................................ 57 CONOCIENDO LA FERRETERÍA...................................................................57 Aprendemos........................................................................................... 58 Analizamos............................................................................................. 62 Practicamos........................................................................................... 63 FICHA N° 5................................................................................................ 69 LOS PROYECTOS MEJORAN NUESTRA COMUNIDAD...................................69 Aprendemos........................................................................................... 71 Analizamos............................................................................................. 73 Practicamos........................................................................................... 75 6


FICHA N° 6................................................................................................ 79 DECIDIENDO VER TELEVISIÓN POR SEÑAL CERRADA................................79 Aprendemos........................................................................................... 80 Analizamos............................................................................................. 83 Practicamos........................................................................................... 86 FICHA N° 7............................................................................................... 92 LA TIENDA DE FRUTAS............................................................................... 92 Aprendemos........................................................................................... 93 Analizamos............................................................................................. 95 Practicamos........................................................................................... 96 FICHA N° 8............................................................................................... 99 LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ANTIGUO PERÚ..............99 Aprendemos......................................................................................... 100 Analizamos........................................................................................... 102 Practicamos......................................................................................... 104 FICHA N° 9............................................................................................. 111 IIMPORTANCIA DEL CALENTAMIENTO MUSCULAR PREVIO A REALIZAR UN DEPORTE................................................................................................. 111 Aprendemos......................................................................................... 112 Analizamos........................................................................................... 115 Practicamos......................................................................................... 117 FICHA N° 10........................................................................................... 121 BUSCANDO ARGUMENTOS PARA TOMAR UNA BUENA DECISIÓN.............121 Aprendemos......................................................................................... 123 Analizamos........................................................................................... 126 Practicamos......................................................................................... 129 FICHA N° 11........................................................................................... 137 LAS BACTERIAS EN NUESTRA VIDA..........................................................137 Aprendemos......................................................................................... 139 Analizamos........................................................................................... 144 Practicamos......................................................................................... 146 FICHA N° 12........................................................................................... 151 RECLAMANDO NUESTRO COMPROBANTE DE PAGO.................................151 Aprendemos......................................................................................... 152 Analizamos........................................................................................... 155

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INTRODUCCIÓN Existen algunos conceptos que debemos tener en cuenta para poder realizar nuestra actividad pedagógica, al margen del rol que desempeñemos, estos nos servirán para reorientar sobre todo el trabajo docente. El equipo de currículo del Ministerio de Educación define los conceptos siguientes: Competencia: Es la facultad que tiene una persona de combinar un conjunto de capacidades a fin de lograr un propósito específico en una situación determinada, actuando de manera pertinente y con sentido ético. Capacidades: son recursos para actuar de manera competente. Estos recursos son los conocimientos, habilidades y actitudes que los estudiantes utilizan para afrontar una situación determinada. Estas capacidades suponen operaciones menores implicadas en las competencias, que son operaciones más complejas. Estándares de aprendizaje: son descripciones del desarrollo de la competencia en niveles de creciente complejidad, desde el inicio hasta el fin de la Educación Básica, de acuerdo a la secuencia que sigue la mayoría de estudiantes que progresan en una competencia determinada. Asimismo, definen el nivel que se espera puedan alcanzar todos los estudiantes al finalizar los ciclos de la Educación Básica. Desempeños: son descripciones específicas de lo que hacen los estudiantes respecto a los niveles de desarrollo de las competencias (estándares de aprendizaje). Ilustran algunas actuaciones que los estudiantes demuestran cuando están en proceso de alcanzar el nivel esperado de la competencia o cuando han logrado este nivel. La ludomática es un recurso dentro una diversidad de estrategias que existen para hacer efectiva el logro de los aprendizajes, pero que éstas sean significativas en los estudiantes, para que desarrollen las competencias y capacidades matemáticas expresados en los desempeños y de acuerdo a los estándares establecidos para cada uno de ciclos educativos. El autor.

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PARTE I LUDOMÁTICA PARA EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA 1.CRUCIGRAMA DEL VALOR NUMÉRICO Resolver un crucigrama numérico siempre tiene para nuestros alumnos un aliciente mucho mayor que hacer un ejercicio en clase aunque ambos se refieran al mismo contenido matemático. Por eso, volvemos a utilizar este soporte para reforzar el cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas. Estas expresiones plantean el problema de los signos cuando aparecen signos menos en la expresión y además la incógnita a sustituir toma a su vez un valor negativo. En efecto hemos comprobado que incluso el alumnado de cursos superiores, tiene dificultades para calcular expresiones como (–x +7) cuando x=-1. Por eso, la mayoría de las que aparecen en el crucigrama son de ese tipo. 3

Actividad: Te presentamos aquí un crucigrama numérico. Las casillas se deben rellenar con los resultados que obtendrás al calcular los valores numéricos que te piden. Como siempre, cada cifra del resultado debe ir en una casilla.

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Horizontales Los números de las casillas horizontales son los valores numéricos de las siguientes expresiones para el valor de la incógnita x= – 2. Con estos valores vas a poder rellenar ALGUNAS de las casillas del crucigrama. 1. 2. 3. 4. 5.

x + 14 / 4(-x +82) +1 / x + 24 x + 43 / -x + 5 / x + 7 –x + 35 / 4(-x +38) / x + 8 x – 1/ x + 1../ -x -2 / -x x – 3 / -x / x+3 / 3(x + 27)

Vete escribiendo correspondientes.

tus

3

7

8

6

5

9

2

4

7

2

6

3

3

2

8

resultados

en

las

casillas

horizontales

10


Verticales Los números de las casillas horizontales son los valores numéricos de las siguientes expresiones para el valor de la incógnita x= – 3. Con estos valores vas a poder rellenar ALGUNAS de las casillas del crucigrama. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

……./ ………../ -18x ……./ x – x -8 ……./ x – x -46 -2x + 3 / 2x + 7 ………/ -x + 4 / -x -1 ……../ x + 2 / x – 8 ……../ -x + 1.. / -4x + 12 / x ……../ x – 95 / -x + x +53 ……../ -2x + 6../ x + 12 ……./ …………../ x +100 6

4

6

5

3

4

3

3

2

2

5

6

2

5

4

5

4

2.LOS CUADRADOS MÁGICOS MULTIPLICATIVOS DE LOS ENTEROS Actividad: Te presentamos 6 ejemplos de cuadrados mágicos multiplicativos pero en estos ejemplos algunos números de las casillas han desaparecido. Tu tarea es encontrarlos aprovechando las propiedades de los cuadrados mágicos multiplicativos. Recuerda que un cuadrado mágico multiplicativo es aquel en el que el producto de los elementos de cada fila, columna o diagonales principales es siempre el mismo. A ese producto se le llama el número mágico del cuadrado. AYUDA: para empezar a hallar los números que faltan, te debes fijar primero en si aparece alguna línea del cuadrado completa. De esta forma podrás obtener el número mágico del cuadrado y calcular, teniendo cuidado con la regla de los signos, los números que faltan.

Ejemplo 1. 11


-18

1 -6 36

Ejemplo 2.

-1

-50

10 -100

Ejemplo 3.

1

-6

-2

-4

-8

3

4

8

6

Ejemplo 4.

12


5

250

8

1 -2

-25

-125

2

-12

-2

-10

Ejemplo 5.

-1

15

-8

-8

2

-3 10

Ejemplo 6.

2

1

-1

-3

1

2

2

3

-1

-2

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3.EL EXTRATERRESTRE Acertijo: Este extraño animal tiene la propiedad que su pie cuadrado rojo tiene la misma superficie que todas sus otras partes rojas. ¿Sabrías explicar por qué?

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4.LOS PERSONAJES MISTERIOSOS Actividad: Resuelve las diversas preguntas que aparecen a continuación. Cuando obtengas el resultado, busca en la CLAVE la letra correspondiente y podrás leer el nombre de dos personajes misteriosos.

¿El 0,5% de 1800 es igual a? Un objeto cuesta S/. 2047,50 después de un aumento del 5%. ¿Cuánto costaba antes? ¿Qué porcentaje de 8 representa 6,4? Para calcular el 3,5% de una cantidad se debe multiplicarlo por? Un CD cuesta S/. 5 ¿Si aumenta un 20% costará? En clase hay 15 chicas y 10 chicos. ¿El porcentaje de chicas es? Un televisor cuesta S/. 245. ¿Si su precio aumenta un 200% costará? Un juego de ordenador de S/. 21 se ha rebajado un 40% ¿Ahora cuesta? ¿Para disminuir una cantidad un 6% se debe multiplicar por? En las rebajas un vaquero ha pasado de S/. 10 a S/. 7 ¿Qué porcentaje de rebaja se ha hecho? Un juego que costaba S/. 19, está ahora a S/. 15,20. ¿Qué porcentaje de descuento se ha hecho? ¿Al multiplicar un precio por 1,09 se aumenta en un porcentaje de? Un objeto cuesta S/. 1140 después de una rebaja del 5% ¿Cuánto costaba antes? ¿Al multiplicar una cantidad por 0,86 se disminuye en un porcentaje de? En un mes, un chándal ha pasado de S/. 20 a S/. 25 ¿Qué porcentaje se ha subido? Se han subido los precios un 25% y a continuación un 12%. ¿En total cuál ha sido el porcentaje de aumento? El precio de un libro ha disminuido un 5%. Si se hace además una rebaja del 12% ¿Cuál ha sido el porcentaje de bajada?

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Esta es la clave para descubrir los dos personajes

CLAVE 80%

D

40%

A

0,94

E

14%

K

20%

E

60%

A

9

Y

S/.1950

S

30%

R

S/.735

K

S/. 6

L

0,35

O

9%

W

25%

K

1200

Y

16,4%

L

S/. 12,6

U

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PARTE II FICHAS DE ACTIVIDADES PARA REFORZAMIENTO DE ECE FICHA N°1 IDENTIFICANDO FORMAS POLIGONALES EN NUESTRO ENTORNO. Desde nuestros antepasados hasta la actualidad las formas geométricas siempre han estado presentes en nuestra vida diaria, formando parte de diversos diseños arquitectónicos, mosaicos, teselados, así como también en algunos elementos de la naturaleza como hojas, frutos, verduras, accidentes geográficos entre otros. Nuestro país posee un gran bagaje histórico producto de todas las culturas que se desarrollaron a lo largo de nuestro territorio. El complejo arqueológico de Tarawasi, ubicado en la provincia de Anta, cerca del Cusco es una muestra de ello y es reconocida por sus formas poligonales; con las formas de las piedras se ha logrado hacer diseños en sus muros que asemejan formas floridas, así como una estabilidad estructural por la unión de

una piedra con otra y una gran belleza.

1. ¿Por qué se caracteriza el complejo arqueológico de Tarawasi?. …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

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2. Según la fotografía de uno de los muros del Complejo Arqueológico de Tarawasi: 1. ¿Qué formas tienen las piedras? …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

2. ¿Todas son iguales? lados?

……………………………

¿Tienen el mismo número de

…………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

3. ¿Qué característica tiene la piedra que está al centro a diferencia de las demás? …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

4. ¿Cuántas piedras están en contacto con ella o a su alrededor? …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

5. ¿Qué idea te da la forma de dichas piedras? ………………………………………………………………………………………………………………………………

3. En la ciudad del Cuzco, La piedra de los doce ángulos, ubicada al exterior de un Palacio Inca y sobre una muralla, es admirada por su arquitectura poligonal. y tal vez sea una de la más retratada por los turistas.

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a. ¿Por qué crees que recibe ese nombre? …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

b. ¿Qué característica tiene? …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

c. ¿Cuántos vértices y lados tiene? …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

d. Los lados son de igual tamaño. …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

Aprendemos: 19


Respecto a la situación planteada anteriormente, el Complejo Arqueológico de Tarawasi se caracteriza por tener formas geométricas y en sus muros se observan piedras de diversos tamaños y formas diferentes, estas varían porque su número de lados también son diferentes. Con las formas de las piedras se ha logrado hacer diseños que asemejan formas floridas dándole a los muros gran estabilidad y belleza. Con respecto a la piedra de los doce ángulos se llama así por la cantidad de ángulos que posee, además tiene igual número de lados y de vértices. Esta piedra se caracteriza porque está al centro de la muralla y es famosa por el perfecto ensamblaje de sus esquinas y lados con las demás piedras. A todas estas piedras que tienen formas y tamaños diferentes se les puede decir que tienen formas poligonales pero son irregulares Para una mejor comprensión es necesario conocer: ÁNGULO verticeLADO

NA O AG

L

VÉRTICE

DI

verticeLADO

LADO

¿Qué es un polígono? Es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

Elementos de un polígono Lados: son cada uno de los segmentos que limitan el polígono

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Vértices: son los puntos donde se unen dos lados Ángulos interiores de un polígono: Son los ángulos determinados por dos lados consecutivos. Diagonales: Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Tipos de Polígonos: Si las medidas de sus ángulos y las medidas de sus lados son iguales, el polígono es regular, si no es irregular.

Polígono Regular

Polígono Irregular

Clasificación de Polígonos: Según el número de lados: Los polígonos se clasifican en:

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Según sus ángulos: Los polígonos pueden ser:

Convexos: Cuando todos sus ángulos son menores que 180° y todas sus diagonales están en el interior del polígono.

Cóncavos: Cuando uno de sus ángulos es mayor a 180 ° y una de sus diagonales está en el exterior del polígono.

Suma de ángulos interiores de un polígono: Para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono se debe restar 2 al número de sus lados y luego multiplicarlo por 180°.

Justificación: Como en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es 180°.

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Y todo polígono de más de tres lados se puede dividir en triángulos:

Si n° lados = 4 , hay 2 triángulos triángulos



Si n° lados = 6 , hay 4

Entonces: 2 x 180° = 360° 180° = 720°



Si n° lados = 5 , hay 3 triángulos

3 X 180°= 540 °

4x

Por lo tanto: Si n es el número de lados de un polígono, la suma de los ángulos interiores de todo polígono es Si = (n -2). 180°.

Número de Diagonales de un Polígono:

Todos los polígonos, menos el triángulo tienen diagonales. Si n es el número de lados de un polígono, el número de diagonales se puede hallar de la siguiente manera:

N ° de diagonales=

n (n−3) 2

Ejemplos:

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N ° diagonales=

4 (4−3) =2 2

N ° diagonales=

5(5−3) 6(6−3) =5 N ° diagonales= =¿ 2 2

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En los polígonos regulares, donde todos los ángulos y lados son iguales, se cumple: -

Ángulo Interior:

El ángulo interior de un polígono regular de “n” lados se halla dividiendo la suma de ángulos interiores entre el número de lados. Es decir: Ángulo Interior=

S i ( n−2 ) .180 ° = n n

En la figura adjunta el ángulo interior ( β) del pentágono regular mide: Ángulo Interior (β)=

-

S i ( 5−2 ) .180° = =108 ° 5 5

Angulo Exterior:

Un ángulo exterior es el ángulo formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Un ángulo exterior y un interior siempre suman 180°, porque están sobre la misma línea, por lo tanto: Ángulo Exterior =180 °−ángulointerior

En exterior

α : Ángulo central β : Ángulo interior

el caso del pentágono regular, su ángulo γ, es:

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Á ngulo Exterior ( γ)=180 °−108=72° -

Angulo Central: Es el ángulo formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono regular, entonces: Ángulo central=

360 ° n

En el caso del pentágono regular, su ángulo central ( α ), es:

Ángulo central(α )=

360 ° =72° 5

-

Todos los polígonos regulares están inscritos en una circunferencia, sus vértices están sobre la circunferencia.

-

El perímetro: El perímetro de un polígono regular es igual al número de lados por la longitud de dicho lado. Perímetro=n x lado

-

Área de un Polígono regular: El Área de un polígono regular se halla aplicando la siguiente fórmula: Área=

Perímetro x Apotema 2

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Analizamos: 1. En la naturaleza también encontramos muchas formas poligonales, así como:

En una colmena de abejas

 Cada celda tiene………. lados y la forma de un. ……………………………………………………………………………………………………………..………………

 En la elaboración de la colmena las abejas son tan minuciosas que las celdas tienen la misma ………. y ………… Podemos decir que son de forma regular.  La unión de las celdas es tan perfecta que en cada vértice concurren 3 lados formando el diseño de una gran estructura en forma de mosaicos.

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Observa la siguiente fruta:

 Cada porción Porque.................................

tiene

forma…………………….

 Su forma es regular o irregular? ................................................................  ¿Es una fruta natural?................ ¿Con qué fin lo han creado?.................. 2. Hallar el área del siguiente polígono :

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Resolución:

3. Una mesita y su base forman una sola pieza. (figura adjunta). La superficie de la mesita tiene forma de un polígono regular de seis lados, si su perímetro es 336 cm, ¿podrá pasar dicha mesita en la posición que está, por un pasillo de 100 cm de ancho? Resolución:  Como la mesita tiene la forma de un _________ regular, entonces el tablero se divide en _____ triángulos ______________.  Si el perímetro de la mesita es de 336 cm entonces cada lado mide: 336 cm / 6 = ______.

56 cm

 En el triángulo equilátero todos _________ son iguales, Por lo tanto cada diagonal mide 56 cm x 2 = _________ . Respuesta: Como el pasadizo mide 100 cm y la mesita tiene _______de diagonal entonces ________ por dicho pasadizo.

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56 cm


4. Explica cómo a partir de una circunferencia, utilizando regla y compás se puede graficar un pentágono -

1.

Secuencia para graficar el pentágono regular:

Se halla la medida del ángulo central del pentágono A c = 360° / 5 = y se traza dicho ángulo.

2. Se marcan los puntos A y B sobre la circunferencia y con el compás se toma la medida de la cuerda AB. 3. Sin cambiar la medida del compás, se va trasladando la medida de arco AB a lo largo de la circunferencia. y dejando pequeñas marcas. 4. Se unen los puntos marcados en la circunferencia graficando así el ________ regular.

Practicamos: 1. Una ventana tiene la forma de un hexágono regular (figura adjunta). Si se emplearon 240 cm de varilla de aluminio para el marco de la ventana. ¿Cuánto cm de tubos de aluminio se tendrá que comprar para colocar los travesaños? a) 240 m b) 340 cm

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c) 240 cm d) 480 cm 2. Completa la siguiente tabla y compara el área de ambos polígonos regulares. ¿Quién tiene mayor área? ¿Qué relación existe entre el perímetro y el área? Polígono Regular

Perímetro (cm)

Triángulo Cuadrado

72 72

Nº de lados

Lado (cm)

Área (cm2)

3. Halla el área del siguiente polígono irregular: a) 43,5 cm2 b) 35,75 cm2 c) 37,5 cm2 d) 53,75 cm2

4. Un terreno de cultivo de 144m2 de área, se ha dividido en partes iguales entre tres hermanos. Si uno de ellos sembrará rosas en la tercera parte de su terreno y en el resto se sembrará hortalizas. ¿Qué relación existe entre el área del sembrío de hortalizas y el de rosas? a) El del

ROSAS

área del sembrío de hortalizas es nueve veces más grande que el área sembrío de rosas.

b) El área del sembrío de hortalizas es ocho veces más grande que el área del sembrío de rosas.

c) El sembrío de rosas es de 18 m2. d) No existe relación entre dichas áreas. 30


5. La razón entre la medida del ángulo interior y exterior de un polígono regular es como 7 a 2. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? a) 8 b) 9 c) 10 d) 12

X

X

6. La figura adjunta es el diseño de una piscina. ¿Cuánto será el valor del ángulo “x”? Justifica tu respuesta. a) 150° b) 198° c) 162°

X

d) 630°

7. En la imagen poligonal de una edificación, se observa que la diferencia entre el ángulo interno y el ángulo externo de dicho polígono regular es igual a la medida de su ángulo central, ¿qué imagen es la que representa mejor dichos datos?

a) La pileta que es de forma circular b) La fachada de la biblioteca central que es de formas rectangular c) Una pista de estacionamiento que es de forma triangular d) La sala de profesores que es de forma hexagonal . 8. El letrero siguiente tiene una altura de 72 cm ¿Expresa su perímetro en metros?

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Altura = 72 cm 1. 1296 m2 2. 2592 cm2 3. 2,04 m 4. 0,51 m 9. Justifica por qué en un eneágono la suma de sus ángulos internos es 1260. ……………………………………………………………………………………………………………………………

10. Relaciona con flechas los valores correspondientes de ambas columnas, según convenga:

HEXAGONO

Suma de ángulos internos = 540° Ángulo interior = 120

PENTÁGONO DECÁGONO OCTÓGONO

° Tiene 20 Diagonales

Ángulo exterior = 36°

11. El borde externo del marco de madera de un espejo cuadrangular tiene 96 cm de perímetro, y la parte interna de dicho marco tiene un perímetro de 72 cm.. ¿Cuál es el área sólo del marco de madera? a) 152 cm2 b) 252 cm2

2

c) 324 cm2 d) 576 cm2 32


12. Un mosaico es todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas que no pueden superponerse, ni pueden dejar huecos sin recubrir y en el que los ángulos que concurren en un vértice deben de sumar 360°. ¿Qué polígonos regulares cumplen con esta condición? a) El triángulo isósceles, el rectángulo hexágono.

y un

b) El triángulo rectángulo, cuadrado y el octógono regular. c) El triángulo equilátero, el rombo y el hexágono regular. d) El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular

.

13. Al planchar Teresa un mantel circular de 2m de diámetro, ha quemado uno de sus bordes, para aprovechar la tela ella confeccionará un mantel triangular cuyos lados sean iguales y lo más grande posible. Realiza el bosquejo de la confección de dicho mantel utilizando regla y compás. ¿Cuál será la medida de cada lado del mantel triangular?

14. Los balones de futbol son elaborados con paños de formas poligonales. Según la figura adjunta: a) ¿Qué clase de polígonos observas’ b) ¿Puedes determinar cuántos polígonos de cada clase hay? c) Si tuviera que elaborar una almohada con estos diseños que formas poligonales usarías?

15. El perímetro de una mesita de centro de forma de un hexágono regular es de 144cm. Calcula el área de la pieza de vidrio que se debe colocar sobre dicha mesita. 33


(Utiliza tus conocimientos sobre área de triángulos equiláteros)

Caracol

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FICHA N° 2 ALBERGANDO PERROS ABANDONADOS EN LA CALLE

Para alimentar a un perro adulto durante 30 días se necesita dos bolsas de alimento.

Una sociedad protectora de animales alberga en [Capte la atención de los lectores mediante una cita importante extraída del documento o utilice este espacio para resaltar un punto clave. Para colocar el cuadro de texto en cualquier lugar de la página, solo tiene que arrastrarlo.]

Una casa a todos los perros que encuentra abandonados en la calle. El veterinario de dicha sociedad tiene dificultades para dar en adopción a los perros en edad adulta, por ello da a conocer la ración de alimento que consumen buscando sensibilizar a sus visitantes, ya sea para su adopción o para que realicen donaciones. A continuación se nos presentan dos situaciones:

Primera situación: Se sabe que en dicho albergue hay 16 perros adultos sin adoptar y cada uno de ellos consume dos bolsas de alimento durante 30 días. 1. Establece en una tabla de doble entrada una relación que hay entre el número de perros y la ración de alimento mensual sugerido por el veterinario. Número de perros Número de bolsas de alimento 2. ¿Cuántas bolsas se necesitará para alimentar a los 16 perros durante un mes? _________________________________________________________________ 3. Generaliza la relación encontrada. _________________________________________________________________

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4. Grafica en el plano cartesiano dicha situación.

Segunda situación: Se sabe que, 32 bolsas de alimento alcanzan para alimentar a los 16 perros del albergue durante 30 días.

1. Si llegaron varias familias y adoptaron 8 perros, ¿cuántos días les alcanzará las bolsas de alimento para los perros que quedaron en el albergue? _____________________________________________________________________________ _____________

2. Elabora una tabla de doble entrada y encuentra la relación que hay entre el número de perros y el número de días para los que alcanza el alimento Número de perros

1

2

3

4

5

6

7

8

Número de días 3. Generaliza la relación encontrada. …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

4. Grafica en el plano cartesiano dicha situación.

36


Aprendemos:

Respecto a la situación planteada en el texto “Albergando perros abandonados en la calle”, observamos que hay dos situaciones distintas y sus correspondientes problemas. Con el propósito de encontrar las soluciones, planteamos aplicar la estrategia de ensayo y error, para lo cual escribimos los valores en una tabla de doble entrada y analizamos el comportamiento de estos datos, tanto en la tabla como en el plano cartesiano. También es necesario conocer:

Proporcionalidad Magnitud. Es todo aquello susceptible de sufrir variación, ya sea de aumento o disminución, y que puede ser medido. Ejemplos: peso, tiempo, rapidez, número de obreros, eficiencia, entre otros.

Proporción. Es la igualdad de dos razones de una misma clase. Ejemplo:

37


6 15 = =¿ 3 2 5

Magnitudes

proporcionales.

Entre

las

magnitudes

proporcionales tenemos:

1. Magnitudes directamente proporcionales (DP). Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir la primera por un número, la segunda queda multiplicada por el mismo número. La razón de proporcionalidad directa k se obtiene mediante el cociente de cualquiera de los valores de una variable y los correspondientes de la otra. Veamos la tabla: Magnitud A

a1

a2

a3

a4

Magnitud B

b1

b2

b3

b4

a1 a2 a 3 a 4 = = = =k b1 b 2 b 3 b 4 K=

A B

. Es decir, si A es DP a B, entonces

. Gráficamente:

Ejemplo: la siguiente tabla representa una relación de magnitudes directamente proporcionales entre el peso del perro y la ración de alimento que le corresponde según la sugerencia del veterinario. Peso (kg)

Ración diaria (g)

2

4

6

8

10

30

60

90

12

15

0 Observamos:

0

30 60 90 120 150 = = = = 2 4 6 8 10 = 15, entonces la razón

de proporcionalidad directa es k = 15

38


Ración diaria (gr)

A este tipo de proporción directa se le conoce como función lineal; es decir: y = 15x, donde 15 es la constante proporcionalidad. Además, si trazamos una línea recta por los puntos, esta pasa por el origen de las coordenadas, lo cual es requisito para ser una función lineal. Si no pasa por el origen, se le conoce como función afín y es de la forma: y = mx + n. 2. Magnitudes inversamente proporcionales (IP). Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir la primera por un número, la segunda queda dividida o multiplicada respectivamente por el mismo número. La razón de proporcionalidad inversa k se obtiene mediante el producto de cualquiera de los valores de una variable y los correspondientes de la otra. Veamos la siguiente tabla: Magnitud A

a1

a2

a3

a4

Magnitud B

b1

b2

b3

b4

a1.b1 = a2.b2 = a3.b3 = a4.b4 = k. Es decir, si A es IP a B, A entonces. K=¿ A x B, gráficamente: a1 a3 a4 b1 b2b3

b4

B

39


Ejemplo: la siguiente tabla representa una relación de magnitudes directamente proporcionales: Núme ro de perros

6

5

4

3

2

1

Núme ro de días

3

3

4

6

9

18

0

6

5

0

0

0

Observamos que 6 x 30 = 5 x 36 = 4 x 45 = 3 x 60 = 1 x 180 = 180, entonces la razón de proporcionalidad inversa es k = 180. Cantidad de días

Cantidad de perros

Nota: Como vemos en la gráfica, si unimos los puntos, nos dará una curva, la cual gráfica una proporción inversa. En este caso no la trazamos por tratarse de una situación con cantidades enteras.

Analizamos: 1. El tutor de los estudiantes de segundo grado planifica un viaje a Lunahuana para el 19 de setiembre por el Día de la Juventud. Para ello, cada estudiante debe juntar S/. 120; la condición es que cada estudiante aporte la misma cantidad cada día hasta reunir el dinero que le corresponde. Completa la siguiente tabla donde se relaciona el valor del aporte diario y el número de días necesario para que cada estudiante logre reunir todo el dinero. Aporte de dinero diario

1

Número de días

12

4 60

6 24

20

15

10

12

12

10 40


0 Si estamos en la quincena de agosto y solo se da la cuota fija en los días que se va al colegio (de lunes a viernes), ¿cuál será la cuota mínima que debe aportar el estudiante para lograr reunir el dinero antes de la fecha del paseo? Resolución Completamos la tabla aplicando la estrategia heurística ensayo y error. Aporte de dinero diario

1

2

3

4

5

6

8

10

12

Número de días

120

60

40

30

24

20

15

12

10

Observamos que se proporcionales, ya que:

trata

de

magnitudes

inversamente

(1)(120) = (2)(60) = (3)(40) = (4)(30) = (5)(24)=(6)(20)=(8) (15)=(10)(12) = (12)( 10) = 120, entonces la razón de proporción inversa es 120. Luego k = (aporte de dinero diario)(número de días). Como desde la quincena del mes de agosto hasta el 19 de setiembre hay solo 24 días sin contar sábados ni domingos (tomamos 24 para obtener la cuota fija), entonces hallamos la cuota mínima que debe aportar el estudiante para lograr reunir el dinero antes de la fecha del paseo. (1)(120) = (x)(24), entonces x = 5 Respuesta: la cuota mínima que debe aportar el estudiante para lograr reunir el dinero es de S/. 5 por día, sin contar los sábados ni domingos, tal como señala la condición del problema.

2. Los médicos utilizan el índice de masa corporal (IMC) para evaluar el nivel de grasa en las personas. El IMC varía directamente en relación con el peso de una persona e inversamente con relación a la estatura de la persona al cuadrado. Diversos estudios realizados han concluido que el grupo de mejor salud corresponde a un IMC comprendido entre 20 y 25 kg/m2. Juan mide 1,7 m con un peso de 66 kg y un IMC de 23, por lo que se considera que está dentro del grupo de las personas que tienen buena salud. Averigua si Sheyla se encuentra en el mismo grupo si mide 1,6 m y su peso es de 54 kg. 41


Resolución: Del enunciado del problema, sabemos que el IMC es DP al peso e IP al cuadrado de la estatura, es decir: 2

k=

( IMC )(estatura) peso

Luego, con los datos del problema, aplicamos la estrategia heurística para buscar una fórmula. Establecemos lo siguiente: (23)(1,7)2 (IMC Sheyla) 1,62 = ; 66 54 y resolviendo la ecuación tenemos: IMCSheyla = 21,24. Respuesta: Sheyla se encuentra con buena salud porque su IMC es 21,24 y dicho valor está entre 20 y 25 kg/m2.

3. En una pequeña industria en Gamarra, se confeccionan tres pantalones por hora. Completa la información de la tabla Tiempo (horas)

1

Cantidad de pantalones

6 9

7

10

18

27

36

De la situación dada, ¿en cuánto tiempo se confeccionarán 60 pantalones y cuántos pantalones se confeccionarán en 8 horas? 4. Al dejar caer una pelota, tarda diez segundos en llegar al suelo. Como la velocidad depende del tiempo transcurrido, se anotaron sus valores en distintos momentos y resultó la siguiente tabla. El tiempo está dado en segundos y la velocidad en metros por segundo. Tiempo (s) Velocidad (m/s)

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 9, 19, 29, 39, 49 58, 68, 78, 88, 98 8 6 4 2 8 6 4 2

Contesta las siguientes preguntas: a. ¿Qué velocidad llevaba la pelota a los 6,5 s? ……………………………………………………………………………………………………………………………

42


……………………………………………………………………………………………………………………………

b. ¿Cuántos segundos más demoraría si al tocar el suelo hubiera alcanzado una velocidad de 117,6 m/s? …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

Practicamos: 1. Observa el anuncio de rebajas: Antes: S/. 63,00 Ahora: S/. 47,80

Antes: S/. 119,70 Ahora: S/. 100,00

a. ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente? b. Si la respuesta anterior es negativa, responde: ¿Cuál de las dos prendas han rebajado más? 2. Los ingredientes de una receta para un postre casero son los siguientes: 1 vaso de mantequilla; 3 huevos; 1,5 vasos de azúcar y 2 vasos de harina. Si solo tenemos 2 huevos, ¿cómo debemos modificar los ingredientes restantes de la receta para poder hacer el postre? 3. En una prueba de ciclismo se reparte un premio de S/. 9250 entre los tres primeros corredores que lleguen a la meta, de modo inversamente proporcional al tiempo que han tardado en llegar. El primero tarda 12 min; el segundo, 15 min, y el tercero, 18 min. ¿Cuánto le corresponde a cada uno, según el orden de llegada? a.

S/. 2472; S/. 3090 y S/. 3708 respectivamente.

b.

S/. 2466,72; S/. 3083,40 y S/. 3700,08 respectivamente.

c.

S/. 2466,60; S/. 3083,25 y S/. 3699,90 respectivamente.

d.

S/. 3750; S/. 3000 y S/. 2500 respectivamente.

43


4. El precio de un pasaje varía inversamente con relación al número de pasajeros. Si para 14 pasajeros el pasaje es S/.15, ¿Cuántos pasajeros habrá cuando el pasaje cuesta S/. 6? a.

35 pasajeros.

b.

De 5 a 6 pasajeros.

c.

84 pasajeros.

d.

56 pasajeros.

5. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 80 g cuesta S/. 3200, ¿Cuánto valdrá otro diamante de 100 g de peso? a.

S/. 5000

b.

S/. 4000

c.

S/. 2048

d.

S/. 50

6. El gráfico muestra el comportamiento de dos magnitudes (cantidad de obreros y tiempo); halla numéricamente el valor de y/x. a. 440

80

b. 10 c. 275

Tiempo (días) x

K

20

N.o de obreros

d. 6 100 200

y

7. El siguiente gráfico ilustra dos variables, x e y, en proporcionalidad directa. Señale el valor de x.y a. 3

y

b. 16

(x,8)

c. 48 d. 60,75

(9,6) (6,y) x

44


8. Dos amigos han obtenido la misma calificación en dos exámenes de Matemática con distinta cantidad de preguntas. Todos los ejercicios tenían la misma puntuación. Si Sergio resolvió correctamente 24 de las 30 preguntas que tenía su examen, ¿Cuántos aciertos tuvo Jorge si su prueba constaba de 20 preguntas? a. 14 aciertos.

b. 16 aciertos.

c. 20 aciertos.

d. 24 aciertos.

9. La distancia que cae un cuerpo partiendo del reposo varía en relación con el cuadrado del tiempo transcurrido (se ignora la resistencia del aire). Si un paracaidista de caída libre cae 64 pies en 3 s, ¿Qué distancia caerá en 9 s? a. 576 pies

b. 192 pies

c. 7,11 pies

d. 567 pies

10. Se necesita envasar 600 L de una sustancia química en recipientes. Hay recipientes de 10; 15; 20; 25; 30; 40 y 50 L. Además, se quiere envasar el total de la sustancia en un solo tipo de recipiente. Completa la tabla con el volumen del recipiente y la cantidad de los recipientes necesarios. 11.

Volu men

12. 10

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

22.

Canti dad

23. 60

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. ¿Qué cantidad mínima de envases se puede utilizar para envasar los 600 L de la sustancia química? a. 15 envases.

b. 12 envases.

c. 10 envases.

d. 14 envases.

34. En una institución educativa, de los 210 estudiantes de segundo grado de secundaria, se inscriben en una actividad extraescolar 170; mientras que de los 160 alumnos de tercer grado, se apuntan 130. ¿Cuál de los grados ha mostrado más interés por la actividad? a. Han mostrado más interés los estudiantes de tercer grado porque va más del 90 %. b. Han mostrado más interés los estudiantes de segundo grado porque van más estudiantes que tercero: en segundo van 170, mientras que en tercero solo van 130.

45


c. Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque va el 81,25 %, mientras que en segundo solo va el 80,95 %. d. Han mostrado el mismo interés tanto los estudiantes de segundo y tercer grado. 35. Con 2 L de leche, César puede alimentar a sus cachorros durante 6 días. ¿Para cuántos días tendrá comida si compra una caja de 5 L de leche? a. 15 días.

b. 24 días.

c. 2,4 días.

d. 18 días.

36. Con un depósito de agua se llenan 36 jarras. ¿Cuántas jarras se podrán servir si solo se llenan hasta tres cuartos de su capacidad? a. Se podrán llenar 48 jarras. b. Se podrán llenar 27 jarras. c. Se podrán llenar 24 jarras. d. Se podrán llenar igual cantidad de jarras. 37. Para construir un puente de 1200 m se cuenta con 300 vigas, que se colocarían cada 40 m. Después de un estudio minucioso, se decide reforzar la obra y se utilizan 100 vigas más. ¿A qué distancia se deben colocar las vigas? a. Se deben colocar a 53,3 m de distancia entre ellas. b. Se deben colocar a la misma distancia entre ellas; es decir, cada 40 m. c. Se deben colocar a 30 m de distancia entre ellas. d. Se deben colocar a 300 m de distancia entre ellas. 38. Entre tres pintores han pintado la fachada de un edificio y han cobrado S/. 4160. El primero ha trabajado 15 días; el segundo 12 días, y el tercero 25 días. ¿Cuánto dinero tiene que recibir cada uno? a. Reciben S/. 1200; S/. 960 y S/. 2000 respectivamente. b. Reciben S/. 960; S/. 2000 y S/. 1200 respectivamente. c. Todos reciben la misma cantidad. d. Reciben S/. 2000; S/. 1200 y S/. 960 respectivament

46

39.

40.

41. FICHA N° 3 42. LEYENDO EL RECIBO DE ENERGÍA ELÉCTRICA. 43. El recibo de energía eléctrica brinda información valiosa sobre el consumo mensual de electricidad en nuestros hogares. Es muy importante que sepamos leer e interpretar dicha información, pues nos permite optimizar nuestro consumo y ahorrar dinero. Debemos tener en cuenta, además, que la energía eléctrica es necesaria para nuestras actividades diarias, ya sea para el funcionamiento de artefactos o simplemente para alumbrarnos. 44. A continuación, te mostramos la imagen de un recibo de energía. 45.

46. 47. 48. Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Qué aspectos importantes tiene el recibo? 49.

2. ¿Qué tipo de números observas en el recibo? ¿Por qué crees que es necesario el uso de este tipo de números? 50. …………………………………………………………………………………………………………………………… 51. ……………………………………………………………………………………………………………………………

3. ¿Cuál es el porcentaje que se paga por concepto de IGV? 52. …………………………………………………………………………………………………………………………… 53. ……………………………………………………………………………………………………………………………

4. En el recibo mostrado, ¿cuál es el importe que se debe pagar por IGV? 54. …………………………………………………………………………………………………………………………… 55. ……………………………………………………………………………………………………………………………

5. ¿Explica cómo se obtiene el monto a pagar por el “cargo de energía”? 56. …………………………………………………………………………………………………………………………… 57. ……………………………………………………………………………………………………………………………

58. En grupos de trabajo de cuatro estudiantes, revisemos información importante para comprender la situación planteada. 59. 60. 61. Aprendemos: 62. 63. Respecto a la situación planteada “Leyendo el recibo de energía”, observamos que, además de los datos del suministro y los del usuario, en el recibo encontramos “Detalle del Consumo” y “Detalle por Importe del Consumo”. En ellos se evidencia el uso de los números racionales expresados en su forma decimal. 64. En “Detalle del Consumo” encontramos la lectura en kilowatts por hora (kWh) del mes actual y del mes anterior. La diferencia entre ambas cantidades da como resultado el consumo del presente mes. También observamos en esta sección el precio unitario por kWh, que al multiplicarlo por el consumo del mes, nos brinda el “Cargo por Energía” del mes actual. 65. En la parte correspondiente a “Detalle de Importes por Consumo”, apreciamos el consumo histórico mes a mes; esta información es muy importante porque con ella podremos controlar nuestro uso de la electricidad. En la parte derecha vemos algunos pagos propios del servicio, como el cargo fijo, la reposición y el

mantenimiento, el alumbrado público, etc., que adicionados al cargo por energía, nos da el “SUBTOTAL Mes Actual” a pagar. 66. Tengamos presente que el impuesto general a las ventas (IGV) es un deber que tenemos todos los ciudadanos para con el país. El “TOTAL Mes Actual” sale de la suma del “SUBTOTAL Mes Actual” y el “IGV” correspondiente. 67. Para mayor información, podemos ingresar al siguiente enlace: 68. 69. A continuación se presentan conceptos importantes sobre los números racionales que debemos conocer. 70.

71. Los números racionales 72. 73. Todos los elementos del conjunto de los números racionales pueden ser expresados como una fracción de la forma a/b, donde a, b ϵ Z y b ≠ 0. Por ejemplo, el número fraccionario - 3/8 es un número racional, ya que -3 y 8 ϵ Z y 8 ≠ 0. A su vez, - 3/8puede ser expresado como el número decimal 0,375.

74. 75. Un número racional se puede representar por infinitas fracciones con similar valor numérico, es decir, por fracciones que sean equivalentes. Por ejemplo, 1/2 puede ser expresado como 2/4, 4/8, etc. 76. Es importante mencionar que los números enteros también pueden ser expresados como fracción, debido a que todo número entero tiene 1 como denominador; por tanto, son parte de los números racionales. 77. El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q.

78.

79. Representación de números racionales en la recta numérica 80. 81. Al igual que los números naturales y enteros, los números racionales también se pueden representar en la recta numérica; en ella cada número se representa por un solo punto. 82. Ejemplo: podemos representar 5/2, 7/3, -9/4, - 14/5 en la recta numérica. 83. Notamos estas equivalencias: 84. 5/2 = 2,5

7/3 = 2,333…

- 9/4 = -2,25

- 14/5= - 2,8

85. Luego, procedemos a ubicar las fracciones en la recta numérica:

86. 87.

88. Orden en los números racionales 89. 90. Decimos que el conjunto de los números racionales es ordenado, pues si se toman dos números racionales cualesquiera, se puede establecer entre ellos una relación de orden; es decir, pueden ser comparados y se puede determinar cuál es el mayor, el menor o si son iguales. 91. Por ejemplo, si queremos saber cuál es el número mayor entre 2/5, 0,75 y 3/6, bastaría con compararlos uno a uno o representarlos en la recta numérica. 92.

0,75 > 3/6

y

3/6 > 2/5

entonces: 0,75 > 3/6 > 2/5

93. Si trasladamos las fracciones a la recta numérica, tenemos:

94. 95. Observamos que la fracción mayor se encuentra más a la derecha. Por tanto, 96. 2/5 < 3/6 < 3/4. 97. Nota: un número racional se puede expresar como fracción, decimal y porcentaje.

98. Por ejemplo: el número 1/4 se puede expresar también como 0,25 o 25 %. 99. 100. 101.Analizamos: 102. 1. La siguiente gráfica corresponde a la evolución del precio de compra y venta del dólar durante un mes. ¿Qué día el precio de venta del dólar registró la mayor alza? ¿Cuánto es el precio de compra el día 7 de junio? 103.

104.

105.Resolución 106. Observamos que en la gráfica la línea roja corresponde al precio de venta del dólar, mientras que la línea verde representa el precio de compra. 107. Con respecto a la pregunta sobre el día en que el precio de venta registró la mayor alza, vemos que la línea roja muestra el pico más alto el 23 de junio. 108. En cuanto a la segunda pregunta sobre el precio de compra del dólar el día 7 de junio, la respuesta es 3,15 soles, según podemos apreciar por la ubicación de la línea verde dentro del gráfico. 109. Respuesta: la mayor alza en el precio de venta ocurrió el 23 de junio, mientras que el 7 de junio el precio de compra fue de 3,15 soles. 2. En una sección de segundo grado 5/8 de los estudiantes son varones y 12 son mujeres. ¿Cuántos estudiantes hay en esta sección de segundo grado?

110.Resolución 111. En esta sección 5/8 de los estudiantes son varones, lo cual indica que las mujeres representan 3/8 del total de los estudiantes. 112. Sabiendo que 3/8 de los estudiantes corresponden a las mujeres y estas son 12, entonces, 1/8 está representado por 4 estudiantes de dicha sección.

113. 114. 1.

Respuesta: en la sección de segundo grado hay 32 estudiantes. Una escuela cuenta con una delegación de estudiantes para participar en los juegos interescolares de Secundaria que se desarrollarán en septiembre. De esta delegación, que participará en diferentes disciplinas, 1/4 pertenece a segundo grado, 3/18 a tercer grado, 1/3 a cuarto grado y 1/12 a quinto grado. ¿A qué grado pertenecen la mayor parte de los estudiantes de esta delegación? ¿Cómo lo sabes?

115.Resolución 116. En primer lugar debemos comprender de qué trata el problema. Sabemos que hay una delegación de estudiantes, pero no cuántos la conforman. Por otro lado, conocemos que parte de dicha delegación corresponde a cada grado participante. Para determinar a qué grado pertenece la mayor parte de los estudiantes, debemos comparar todas las partes de la delegación. 117. Pensando en alguna estrategia que nos permita comparar dichas fracciones, podemos amplificar y simplificar cada fracción de tal manera que tengamos fracciones homogéneas y sea así más fácil hacer la comparación. Por otro lado, también podríamos representar las fracciones en su forma decimal y luego compararlas. 118.

Entonces, anotamos los datos en la siguiente tabla:

119.

120. 121.

Respuesta:

122. La mayor parte de estudiantes de la delegación pertenece a cuarto grado y lo sabemos porque al tener fracciones homogéneas nos basta con comparar los numeradores para saber cuál es la mayor. 3. En una carrera de atletismo (100 m planos) José llegó a la meta en 19,2 s, Edson en 19,19 s y Diego en 19,18 s. José afirma que ganó la carrera. ¿Estás de acuerdo con esa afirmación? ¿Por qué?

123.Resolución 124. Los datos del problema expresan los tiempos que han registrado tres atletas en la carrera de los 100 m planos. 125. Sabemos que la persona que gana una carrera es la que hace el menor tiempo. Entonces, debemos comparar estos números decimales. 126. Para llevar a cabo una comparación más adecuada, agregamos un 0 al tiempo de José para que también esté expresado al centésimo. 127.

Entonces tenemos: 19,18 < 19,19 < 19,20.

128.

Por tanto, la afirmación de José es falsa.

129. Respuesta: no estoy de acuerdo con la afirmación de José, porque el primero que llegó a la meta fue Diego, el cual hizo un tiempo de 19,18 s, tiempo menor que el de los otros dos atletas. 130. 131. 132.Practicamos:

133. 1. En Jaime viajó con su familia de Lima a Huaraz. Para comenzar el viaje, llenaron totalmente el tanque de gasolina. En un tramo del viaje, la gasolina que aún quedaba en el tanque estaba representada en la escala del panel de control del auto. ¿Qué parte del tanque todavía tiene gasolina? ¿Qué parte del tanque de gasolina se ha consumido hasta este momento? 134. 2. Con la información del problema anterior y sabiendo que el tanque tiene una capacidad de 63 litros de gasolina, ¿cuántos litros de gasolina faltan para llenar completamente el tanque? a. 41 itros.

b.49,5 litros.

c. 57 litros.

d.13,5 litros.

3. Valeria demora 3/4 hora en resolver un examen de Matemática, mientras que Roxana demora 1/2 del tiempo que demoró Valeria. ¿Qué fracción de hora demoró Roxana en resolver el examen? 4. Carlos ocupa 1/3 del día en trabajar, 1/6 del día en estudiar y 1/4 del día en dormir. Escribe verdadero o falso según corresponda. a. Carlos ocupa menos tiempo en trabajar que en estudiar o en dormir. b. Carlos ocupa más tiempo del día en estudiar que en trabajar o dormir. c. Carlos ocupa el mismo tiempo en trabajar y en dormir. d. Carlos ocupa más tiempo del día en trabajar que en estudiar o dormir. 5. En un diario de circulación nacional se publica la noticia de que uno de cada cuatro niños trabaja en el Perú. ¿Cómo representarías esta expresión en fracción, decimal y porcentaje? 6. Una receta para preparar queques requiere de los siguientes ingredientes:

135.

136.

137.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a. Se utiliza la misma cantidad de vainilla y de polvo de hornear. b. Se utiliza más azúcar que harina en la preparación del queque. c. Se utiliza menos cantidad de leche que de azúcar. d. Se utiliza la misma cantidad de azúcar y harina.

7. Marcela compró una chompa con el 20 % de descuento. Si ella pagó 36 soles, ¿cuál será el precio de etiqueta del producto? 8. En las Juego Olímpicos de Londres 2012, en la categoría de atletismo 100 metros planos, el estadounidense Justin Gatlin obtuvo 9,79 s, mientras que los jamaiquinos Usain Bolt y Yohan Blake obtuvieron 9,63 s y 9,75 s, respectivamente. ¿En qué orden llegaron estos competidores a la meta? a. Justin Gatlin, Usain Bolt, Yohan Blake. b. Usain Bolt, Yohan Blake, Justin Gatlin. c. Justin Blake, Yohan Blake, Usain Bolt. d. Usain Bolt, Justin Gatlin, Yohan Blake. 9. Al partido entre Chile y Perú en la ronda de semifinales de la Copa América Chile 2015, asistieron aproximadamente 45 000 personas. Si el estadio de Santiago tiene una capacidad máxima de 50 000 personas, ¿qué porcentaje de asistencia hubo en el estadio para ese partido? 138.

90 %

b. 45 %

c. 50 %

d. 10 %

10. Elsa vende 1/3 de su terreno a la municipalidad para construir una agencia municipal, mientras que 3/10 del terreno se los cedió a uno de sus hijos para un negocio de lavado de autos. ¿Cuál de las dos partes mencionadas del terreno es la más pequeña? ¿Cómo lo sabes? 11. Seis amigos compraron tres barras de chocolate para repartirlas entre ellos. Expresa matemáticamente cuánto le toca a cada uno. 12. Se venden chocolates en cajas de tres tamaños: la caja pequeña contiene 16 chocolates, la caja mediana contiene 25 % más que la caja pequeña, y la caja grande contiene 40 % más que la caja mediana. Teniendo en cuenta lo anteriormente señalado, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a. La caja grande contiene 65 % más que la caja pequeña. b. La caja mediana contiene 41 chocolates.

c. La caja grande contiene 28 chocolates. d. La caja pequeña contiene el 75 % de la caja mediana. 13. Las dimensiones del tablero de una mesa son de 1 1/2 m en un lado y de 1,12 m en el otro. Según esta información, ¿podemos decir que la mesa tiene un tablero cuadrado? ¿Por qué? 14. Doce estudiantes visitaron la ciudad de Ica como parte de una excursión de la escuela. Para ello, cada uno aportó 60 soles. Luego de sacar la cuenta de los gastos comunes, se dieron con la sorpresa de que solo habían gastado 582 soles, por lo que debían repartir en partes iguales el monto sobrante. ¿Cuánto dinero debe recibir cada uno? a. 11,50 soles.

b. 48,50 soles.

c. 9,70 soles. d. 12 soles.

15. En una empresa de telas, por cada 3 hombres hay 2 mujeres. Si en total hay 60 empleados, ¿qué porcentaje son hombres? ¿Cuántas mujeres trabajan en esa empresa? la 139. 140.

141. 142.

143. 144.

FICHA N° 4

CONOCIENDO LA FERRETERÍA.

145.

146.Responde las siguientes preguntas: 147.

1.

¿Qué artículos encuentras en una ferretería? Señala tres de ellos.

2.

¿Qué artículos no sueles encontrar en una ferretería?

3.

¿Qué herramienta usarías para cortar madera?

148. 149. 150. 151. 152. 153. 154.

155. 156.

4.

¿Qué herramienta emplearías para clavar clavos en una madera?

157.

5.

¿Con qué herramienta harías perforaciones en madera o metal?

158. 159. 160.

6.

¿Qué artículo te permite determinar el diámetro de esas perforaciones?

7.

¿En qué medidas suelen venderse estos artículos en la ferretería?

161. 162. 163. 164. 165. 166.

8. Uno de los artículos que se venden en la ferretería son las brocas. Estas se ofrecen en estuche o por unidad. En un estuche con cuatro brocas, la más gruesa mide 1/2”, y la más delgada, 1/8’’ de diámetro. ¿Qué medidas podrían tener las otras dos?

167. 168. 169.Aprendemos: 170. 1. ¿Cómo hacemos para determinar qué número racional es mayor o menor que otro? 171. 2. Si tenemos que ordenar varios números racionales de menor a mayor, o viceversa, ¿cómo lo llevaríamos a cabo? 172.

Ejemplo 1: homogeneizando denominadores.

173. Si nos piden ordenar de menor a mayor los números 3/4; entonces, debemos aplicar el siguiente procedimiento: 

2/5;

1/2;

3/8;

Hallamos el menor número que sea divisible por todos los denominadores, es decir, por 4; 5; 2 y 8. Este número se conoce también como el mínimo común múltiplo (mcm) y es 40.



Homogeneizamos denominadores. 3 4 2 5 1 2 3 8

174. 

Ordenamos los números observando únicamente los numeradores.

175. 

3  10 30  4  10 40 28 16   58 40 1  20 20   2  20 40 3 5 15   85 40 

15 16 20 30 ; ; ; 40 40 40 40

Los sustituimos por los números equivalentes para obtener los números racionales ordenados de menor a mayor.

176. 177.

3 2 1 3 ; ; ; 8 5 2 4

Ejemplo 2: obteniendo su representación decimal.

178. Para ordenar de mayor a menor los números 3/4; 7/9; 4/7; 1/3; efectuamos los siguientes pasos: 

Obtenemos la expresión decimal de cada número. 3  3  4  0,75 4 7  7  9  0,777... 9 4  4  7  0,5714... 7 1  1  3  0,3333... 3 179.



Los ordenamos en su forma decimal: 0,777…; 0,75; 0,5714…; 0,3333…, y los reemplazamos por sus equivalentes en forma fraccionaria.

7 3 4 1 ; ; ; 9 4 7 3

180.

3. ¿Cómo obtenemos un número racional comprendido entre dos números racionales cualesquiera? 181.

Ejemplo 3: sacando el promedio de los dos números dados.

182. Si queremos conseguir un número entre 1/2 seguir estos pasos: 

y 1/8 , entonces, debemos

Obtenemos el mayor y el menor. (homogeneizamos1  1  4  4

denominadores) 2 1 8 183. 184.

24

8

¿Cuál es el número mayor?

185. 186.

¿Cuál es el número menor?

187. 

Obtenemos un número entre 1/2 y 1/8 .

188. 

1 4 5  8 8 8  5 2 2 16

Siguiendo el mismo procedimiento, podemos obtener otro número entre 1/8 y 5/16; también, entre 5/16 y 1/2 , y así sucesivamente.

189. 190. 191.

Ejemplo 4: sumando numeradores y denominadores.

Para sacar un número entre 3/4 y 7/8, llevamos a cabo los siguientes pasos: 

Obtenemos el mayor y el menor.

192. 193. ¿Cuál es el número mayor?

194. 195. ¿Cuál es el número menor? 196. 

Obtenemos un número entre 3/4 y 7/8



Siguiendo el mismo procedimiento podemos obtener otro número entre 3/4 y 5/6; también, entre 5/6 y 7/8 , y así sucesivamente.

197.

198. ¿Cómo podemos comprobar si el número que resulta de este procedimiento se encuentra comprendido entre los números racionales dados? 199. 200. 4. ¿Qué número es mayor: 1/2 o 1/8? 201. 5. ¿Cómo lo sabemos? 202.

6. ¿Cuántos números habrá entre 1/8 y 1/2? 203. 7. Podemos concluir que entre dos números racionales hay __________________ números racionales. A este principio se le denomina densidad de los números racionales. 204. Ejemplo 5: algunos de los tiempos registrados de los cinco primeros puestos en la carrera de 100 metros planos se muestran en la siguiente tabla:

205.

206. • ¿Qué valores podría tomar el tiempo que ha marcado José en esta carrera sin que se altere el orden de llegada? 207.

a.

Solo 13,5.

208.

b.

Solo 13,25; 13,5; o 13,75.

209.

c.

Infinitos valores.

210.

d.

Ninguno, porque entre 13,3 y 13,4 no hay más números.

211. 212. 213. 214.Analizamos: 215. 1. Cinco atletas participaron en la prueba de salto largo. Sus mejores tiempos fueron registrados en la siguiente tabla: 216. Atleta

217. Longitud de salto (m)

218. María López

219. 2,65

220. Gricelda Escobar

221. 2,37

222. Silvia Laynes

223. 2,54

224. Dora Merino

225. 2,39

226. Amalia Ramos

227. 2,27

228. 229. Si la mínima longitud de salto para clasificar a la siguiente etapa es de 2,40 m, ¿quiénes clasificaron? a. María López y Silvia Laynes. b. Amalia Ramos, Gricelda Escobar y Dora Merino. c. Gricelda escobar y Dora Merino. d. Todas clasificaron.

2. En la ferretería se venden tres tamaños de llaves de boca, iguales que el modelo de la imagen.

230. 231. 232. Para desarmar una máquina se probó con una llave de 1 1/4", pero resultó muy grande. Cuando se probó con una de 3/4", esta resultó muy pequeña. Entonces, ¿de qué medida debe ser la llave de boca que se necesita? a. 2” b. 5/8” c. 1 1/16” d. 1/2" 233. 234. 235.Practicamos: 236. 1. En la ferretería se venden tres tamaños de llaves de boca, iguales que el modelo de la imagen.

237. 238. Las medidas de estas llaves son 3/4”; 1/2”; 5/8”. Si las ordenamos de menor a mayor, ¿cuál sería el ordenamiento? a. 1/2”; 3/4”; 5/8” b. 1/2”; 5/8”; 3/4” c. 5/8”; 3/4”; 1/2” d. 3/3”; 5/8”; 1/2” 239.

2. En una competencia de natación de 200 metros libres se registraron los siguientes tiempos por cada nadador: 240. Nadador 242. Aníbal Pérez

241. Tiempo (minuto : segundos) 243. 2:05,10

244. Juan Quiroga

245. 1:53,15

246. Gabriel Ochoa

247. 1:48,25

248. Celso Rivadeneyra

249. 2:00,45

250. Horacio López

251. 1:49,15

252. Luis Atúncar

253. 1:58,23

254.

¿Cuál de los nadadores obtuvo el tercer lugar? a. Aníbal Pérez. b. Luis Atúncar. c. Gabriel Ochoa. d. Juan Quiroga.

3. Un banco otorga 12,5 % de interés anual por un depósito a plazo fijo de 12 meses. Esto quiere decir que: a. Por cada S/. 10 de depósito se recibiría S/. 0,12 de interés. b. Por cada S/. 10 de depósito se recibiría S/. 1,25 de interés. c. Por cada S/. 10 de depósito se recibiría S/. 0,125 de interés. d. Por cada S/. 10 de depósito se recibiría S/. 12,5 de interés. 255. Observa la siguiente infografía y resuelve las preguntas 4, 5 y 6 con la información que incluye.

256.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la composición del costo de producción del café es correcta? a. El 1/5 del costo corresponde a la mano de obra. b. Los 3/5 del costo corresponde a los fertilizantes. c. Los 3/5 del costo corresponde a otros costos. d. El 1/5 del costo corresponde a los fertilizantes. 257. 5. ¿Cuál es el país con menor producción de café entre los años 2012 y 2013? a. Etiopía. b. Brasil. c. Colombia. d. Vietnam. 258. 6. Según la distribución de la producción por tamaño de área, Dora opina que en tierras más pequeñas hay una mayor producción de café que en tierras extensas. ¿Estás de acuerdo con Dora? Argumenta tu respuesta.

259. 260. 261. 7. La ferretería dispone de las siguientes brocas para concreto:

262. 263. Si las brocas se encuentran dispuestas de menor a mayor diámetro en pulgadas (”), ¿cuál de las siguientes opciones podría ser la medida de una de las brocas sin etiqueta? a. 5/8” b. 3/4" c. 3/16” d. 5/16” 8. En una caja de tomates se verifica que el peso del tomate más pequeño es de 0,05 kg, mientras que el peso del más grande es de 0,12 kg. ¿Cuál sería el peso de los tomates que estarán en la caja? a. 0,13 kg b. 0,08 kg c. 0,045 kg d. 0,125 kg 9. En dos balanzas defectuosas se pesa una bolsa con cebollas. En una de ellas se registra 11/4 kg; mientras que en la otra, 1,120 kg. Si el peso real de la

bolsa con cebollas se encuentra entre estos valores, ¿cuál de las siguientes medidas podría corresponder al peso real? a. 1,17 kg b. 1,12 kg c. 1,10 kg d. 1,00 kg 10. Juan y Esperanza plantean la siguiente propuesta a Luis para obtener un préstamo de dinero a plazos. Observa. 264. Juan promete pagar el 19 % de interés. Esperanza promete pagar como interés 1/5 de la cantidad prestada. Si Luis quiere obtener la mayor utilidad por el dinero prestado, ¿a cuál de los dos amigos debe otorgarle el préstamo? Justifica tu respuesta. 265. 266. 267. 268. 11. En una maratón de 25 km, la persona que va en primer lugar cruza la marca de los 15 km, pero en ese instante la que va en el tercer lugar hace lo propio y pasa la marca de los 10 km. Solo hay marcas cada 5 km. ¿Cuántos valores serían los adecuados para indicar la medida de la distancia recorrida por el atleta que va en segundo lugar en ese momento? a. Solo 11; 12; 13 y 14 km. b. Solo 12,5 km. c. Solo 14 km. d. Infinitos valores. 12. Se vierte leche en un recipiente graduado, de modo que la marca que alcanza la leche queda comprendida entre las marcas correspondientes a 1,2 y 1,3 litros. ¿De cuántos valores se podría tomar la medida real de la leche? a. Solo 1,25 litros. b. Infinitos valores. c. Solo 9 valores.

d. Solo 1,2 o 1,3. 13. Tres marcas de detergente realizan la siguiente promoción para bolsas de 100 gramos. La marca Limpia Todo incrementa 1/8 de detergente en cada bolsa; la marca Saca Mugre incrementa cada bolsa con 15 % de detergente, y la marca Blancura Total llena 112,5 gramos de detergente en cada bolsa. ¿Cuáles de las marcas coincidieron en la cantidad de detergente que se ha incrementado en cada bolsa? 

Limpia Todo y Saca Mugre.



Saca Mugre y Blancura Total.



Limpia Todo y Blancura Total.



Ninguna, todas incrementaron cantidades diferentes.

14. Sobre una plancha de metal se perforan dos orificios cuyas medidas del diámetro son 3/4" y 1”, respectivamente. Si el orificio menor es muy estrecho y el mayor es muy holgado, ¿qué medida podría tener el diámetro del orificio que se ajusta mejor a los requerimientos? 

5/8”



1/2"



9/8”



11/16”

15. La cantidad de ácido sulfúrico (al 30 %) que se encuentra en la composición de 100 g de detergente se muestra en la siguiente tabla: 269. Marca de detergente

270. Cantidad de ácido sulfúrico al 30 %

271. Limpia Todo

272. 9,135 g

273. Blancura Total

274. 9,35 g

275. Saca Manchas

276. 9,12 g

277. Lava Más

278. 9,4 g

279. 280.

¿Cuál de las marcas contiene una menor cantidad de ácido sulfúrico al 30 %?

281.

a.

Limpia Todo.

282.

b.

Blancura Total.

283.

c.

Saca Manchas.

284.

d.

Lava Más. 285.

286. 287.

FICHA N° 5

LOS PROYECTOS MEJORAN NUESTRA COMUNIDAD.

288. Las municipalidades distritales reciben partidas de dinero para financiar proyectos en bien de la comunidad. La municipalidad de un distrito ancashino ha destinado esta partida para la implementación de los siguientes proyectos: 289.

Proyecto áreas verdes

S/. 12 000

290.

Proyecto Cuidando la Salud:

S/. 16 000

291.

Proyecto Mejoro mi Barrio:

S/. 20 000

292.

Proyecto Construcción de loza deportiva:

S/. 12 000

293.

Proyecto Leo para aprender:

S/. 15 000

294.

Otros proyectos:

S/. 25 000

295. 296. 297. 298. 299. 300. 301. 302. 303.

304.

305.Responde a continuación: 306.

1. ¿Qué tipo de actividades ejecuta la municipalidad de tu distrito? 307.

308. 309. 310. 311. 2. ¿A qué proyectos ha destinado esta partida de dinero la municipalidad de este distrito ancashino? 312. 313. 314. 315. 316. 3. ¿Qué fracción del dinero se ha destinado a cada uno de los proyectos mencionados? 317. 318. 319. 320. 321. 4. ¿Qué parte o fracción del dinero se ha destinado a otros proyectos? 322. 323. 324. 325. 326. 327. 5. ¿Qué parte o fracción del dinero se va utilizar en el Proyecto Cuidando la Salud más que en el Proyecto construcción de la loza deportiva? 328. 329. 330. 331. 332. 333. 334. Ahora, veamos información importante para comprender la situación planteada. 335. 336. 337. 338. 339. 340. 341. 342. 343.

344. 345. 346. 347. 348. 349. 350.Aprendemos: 351.

352.OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES 353.

354. Para operar con números racionales, podemos utilizar su expresión fraccionaria o decimal; el resultado en ambos casos debe ser el mismo.

355.Adición y sustracción 

Podemos encontrarnos con dos casos al momento de sumar o restar fracciones: en el primero, las fracciones poseen el mismo denominador, en el segundo cuentan con diferentes denominadores.

356. En el primer caso basta con sumar o restar los numeradores y escribir el mismo denominador. 357. En el segundo caso primero debemos homogeneizar las fracciones (amplificando o simplificando) y luego procedemos como en el primer caso. 358.

359.

360. 

361. 362.

Ejemplos: 2 7 4 274 5 1 + - =   15 15 15 15 15 3 5 3 1 25 18 10 25  18  10 33 11 + - = + =   6 5 3 30 30 30 30 30 10

Para sumar o restar decimales, debemos considerar las cifras enteras y las cifras decimales, ya que en todo momento es necesario mantener la posición de la coma. En el caso de la resta, si el minuendo cuenta con menos cifras decimales que el sustraendo, debemos agregar ceros para obtener la misma cantidad de cifras decimales.

Ejemplos: 3,57 + 2,106 = 5,676

363. 364.

4,25 – 3,248 = 4,250 – 3,248 = 1,002 (Agregamos un cero a la derecha de 4,25).

365.Multiplicación y división 366. • El producto de dos fracciones es otra fracción. En ella el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. 367.

368.

Ejemplos:

369.

6 5 6 x5 30 5 x =   14 9 14 x9 126 21

370.

371. 372.

18 21 9 7 9 x7 9  = x   28 12 14 4 14 x 4 8

(Simplificamos previamente, siempre que sea posible).

373. • Para dividir dos fracciones, multiplicamos la primera por la inversa de la segunda fracción. 374.

375.

Ejemplo: 21 12 21 5 21x 5 7x1 7 :  x    20 5 20 12 20x12 4x4 16

376. En el caso de los números decimales, la multiplicación se realiza prescindiendo de las comas, además, en el resultado de derecha a izquierda se sitúa la coma según la suma del número de cifras decimales de ambos factores. 377.

Ejemplos:

378.

2,8 x 3,16 = 8,848

379.

15,56 x 10,2 = 158,712

380. Para dividir dos números decimales, se iguala la cantidad de cifras decimales en ambos números; si es necesario, se agregan ceros al número con menos cifras decimales. Luego se eliminan las comas y se divide como si fueran números enteros.

381.

Ejemplos:

382.

8,26 : 1,6 = 8,26 : 1,60 = 826 : 160 = 5,1625

383.

4,5 : 2,75 = 4,50 : 2,75 = 450 : 275 = 1,6363…

384. 385. 386. 387. 388. 389. 390.Analizamos: 391. 1. Elena dibujó en su cuaderno un rectángulo y coloreó solo la pregunta en negrita de un color y de otro dejando el resto sin colorear. ¿Qué parte del rectángulo está coloreada?

392.RESOLUCIÓN

393.

Para saber qué parte está coloreada, consideramos los

de un color y le adicionamos los 394.

395.

396.

397.

2 7

que pintó de otro color.

Procedemos a realizar dicha suma.

Parte coloreada =

Parte coloreada =

Parte coloreada =

5 12 35 84

59 84

+

+

2 7 24 84

5 12

que Elena pintó

398.

Respuesta: la parte coloreada es

59 84

del rectángulo.

2. Tres amigos se asocian para montar un negocio de comidas. Alberto aporta

1 6

del

2 5

capital; Bertha, ; y César, el resto del capital. ¿Qué fracción del capital aportó César más que Bertha?

399.RESOLUCIÓN 400. Debemos comprender que en este problema intervienen tres personas. Cada una de ellas aporta una parte del capital necesario para montar el negocio de comidas. 401. Lo solicitado en el problema es saber qué fracción aportó más César que Bertha. Sin embargo, para dar respuesta a esta interrogante, necesitamos saber qué parte del capital aportó César. 402.

403.

Entonces, vamos a representar con la letra “C” lo aportado por César.

Luego: 5 30

404. + capital.

405.

1 6

12 30

+

2 5

+C=

+ C = 1. Homogeneizando denominadores tenemos que 30 30

. Por tanto, la parte que aportó César constituye

Finalmente, hallamos la diferencia entre

13 30

aportó César más que Bertha. Esa diferencia es

406.

Respuesta: César aportó

1 30

y 1 30

2 5

13 30

del

para saber qué fracción

del capital.

del capital más que Bertha.

3. En una tienda todos los productos cuentan con un descuento de 20 % del precio de la etiqueta. Si hemos pagado S/. 56 por un pantalón, ¿cuál es su precio de etiqueta?

407.RESOLUCIÓN 408.

El descuento es del 20 %, es decir, se paga el 80 % del precio de la etiqueta.

409. Si consideramos el precio de etiqueta con la incógnita “P”, entonces, la siguiente expresión representa el precio que se ha pagado por el pantalón: 410.

56 = (80/100)P

411.

56 = (4/5)P

412.

(56 x 5)/4 = P

413.

70 = P

414.

Finalmente, el precio de etiqueta del pantalón es de S/. 70.

415.

Respuesta: el precio de etiqueta del pantalón es de S/. 70.

4. Para tarrajear el techo de forma rectangular de una sala, un albañil cobra S/. 18 por cada m2. Si el techo de la sala mide 4,60 m y 3,40 m, ¿cuánto cobrará el albañil por el trabajo?

416.RESOLUCIÓN 417. Para resolver esta incógnita, debemos considerar el cálculo del área del techo que se va a tarrajear. Como es de forma rectangular, hallamos el área multiplicando sus dimensiones. Así: 418.

Área del techo = 4,60 m x 3,40 m

419.

Área del techo = 15,64 m2

420.

Sabemos que el albañil cobra S/. 18 por cada m2.

421.

Entonces, por el trabajo cobrará S/. 18 x 15,64 m2 = S/. 281,52.

422. Respuesta: el albañil cobrará S/. 281,50 (la cifra se redondea debido a que en nuestro sistema monetario no es común el uso de monedas menores de 10 céntimos). 423.

Respecto

424. 425.Practicamos: 426.

1. Ángel y Daniel aportaron dinero para montar un negocio. Ángel aportó S/. 17 564,30 y Daniel aportó el resto de dinero. Sí Ángel dio S/. 4 874,50 más que Daniel, ¿cuánto dinero reunieron para hacer el negocio? a. S/. 22 438,80 b. S/. 30 254,10 c. S/. 35 128,60 d. S/. 12 689,90 2. El dormitorio de Edson es de forma rectangular. Sus dimensiones son 3,50 m 1 4

y 3,20 m. Si desea colocar mayólicas cuadradas de m de longitud, ¿cuántas mayólicas como mínimo necesitará su dormitorio? a. 182 mayólicas. b. 180 mayólicas. c. 179 mayólicas. d. 54 mayólicas. 3. Un bus interprovincial demora tres horas para ir de Lima a Barranca. Si en la 1 3

3 10

primera hora recorre del camino y en la segunda hora recorre , ¿qué parte del camino deberá recorrer en la tercera hora para llegar en el tiempo establecido?

a.

b.

c.

d.

4 30 10 30

11 30 19 30

3 4

4. Laura compró 2 kilogramos de arroz y los colocó en bolsas de ¿Cuántas bolsas obtuvo con esa cantidad de arroz?

a. 2

1 2

1 4

kg.

bolsas.

b. 3 bolsas. c. 4 bolsas. d. 11 bolsas. 5. En una asamblea se discuten temas sobre participación ciudadana, pero tras

la primera hora se observa que

3 8

del total de asistentes se retira, y después

1 6

de la segunda hora, del total. ¿Qué parte del total de asistentes aún queda en la asamblea? 6. Cinthia tiene una madera de 50 pulgadas de longitud para enmarcar su 1 4

1 4

cuadro. Las dimensiones del cuadro son 23 pulgadas y 35 pulgadas. ¿Cuántas pulgadas de madera le faltan para enmarcar dicho cuadro? a. 117 pulgadas. b. 67 pulgadas. c. 58,5 pulgadas. d. 8,5 pulgadas. 7. El tapete que se muestra en la figura ha sido confeccionado con tapetes

pequeños en forma cuadrada de cubre este tapete?

3 5

m de longitud. ¿Cuál es el área que

427. 8. La compra de cualquier producto está afectado por el IGV, el cual corresponde al 18 % de su precio inicial. Entonces, el precio que se paga es la suma de su precio inicial más el IGV. Si una persona compra un televisor y una plancha cuyos precios iniciales son de S/. 1500 y S/. 300, respectivamente, ¿cuánto deberá pagar por ambas compras? a. S/. 324 b. S/. 1770 c. S/. 1800 d. S/. 2124 9. El diámetro de un plato circular es de 20 cm. Para saber la medida aproximada del contorno del plato se multiplica por 3,14. ¿Cuál es la medida aproximada del contorno de otro plato cuyo diámetro es 1,5 veces el diámetro del primero? a. 94,20 cm b. 67,51 cm c. 62,80 cm d. 30,00 cm 10. Una feria exhibe un puesto de vasijas. Durante el día en este puesto se vendieron 6 de cada 10 vasijas que se trajeron. Si finalmente quedan 12 vasijas, ¿cuántas vasijas se trajeron? a. 20 vasijas. b. 28 vasijas. c. 30 vasijas.

d. 60 vasijas. 11. En un establecimiento de venta de salchipapas se gastan S/. 105 al día por el servicio y limpieza del local. Además, cada plato de salchipapa cuesta S/. 5, pero tiene un costo de preparación de S/. 1,50. ¿Cuántos platos de salchipapas se deben vender como mínimo para no perder dinero? a. 21 platos de salchipapas. b. 30 platos de salchipapas. c. 70 platos de salchipapas. d. 105 platos de salchipapas. 1 4

2 5

12. Un agricultor planta de su terreno con zanahorias, lo cultiva con lechugas y el resto con tomates. ¿En qué parte del terreno plantó tomates?

a.

b.

c.

d.

7 20

3 9 6 9

13 20

13. Un padre de familia gasta 40 % de su sueldo mensual en alimentos, 25 % en el pago de servicios, 15 % en entretenimiento y el resto lo ahorra. ¿Qué porcentaje de su sueldo ahorra mes a mes? a. 85 % b. 80 % c. 20 % d. 15 %

6 7

14. Un albañil debe ejecutar de una obra en 3 días. Para esto, cada día trabaja de forma constante. ¿Qué parte de la obra avanzará diariamente? 428. 429. 430. 431.

432. 433.

FICHA N° 6

DECIDIENDO VER TELEVISIÓN POR SEÑAL CERRADA.

434. El padre de familia de un estudiante de segundo grado, preocupado porque su hijo pasa horas viendo los reality show en la televisión de señal abierta, opta por adquirir televisión por señal cerrada con HD para que su hijo tenga opción de elegir diversos programas culturales. Después de averiguar las diversas ofertas que les ofrecen las empresas, se anima por la siguiente opción: por S/. 50 mensuales, disfruta de 54 canales con HD, pero tiene que pagar por la instalación y el codificador la suma de S/. 180.

435. 436. 437. 438.

Responde las siguientes preguntas:

1. ¿Qué tipo de programas miras frecuentemente en la televisión? 439. 2. Expresa el costo total en función de los meses en los se utilizaría el servicio de señal cerrada con HD.

440. 3. Grafica en el plano cartesiano el consumo mensual de señal cerrada adquirida.

441. 442.

4. ¿Cuánto pagaría en total por los 9 meses? 443. 444. 445. 446. 447.Aprendemos: 448. 449. Respecto a la situación planteada en el texto “Decidiendo ver televisión por cable”, debemos tener en cuenta el costo inicial que se tiene que pagar por la instalación y el codificador, para lo cual tenemos que elaborar una tabla de doble entrada para analizar el comportamiento de los datos, tanto de la cantidad de meses a consumir como del costo total que se pagaría por los servicios de cable con HD.

450.

También es necesario conocer:

451.Función lineal 452. f es una función lineal si su regla de correspondencia es de la forma: f(x) = mx, siendo m ≠ 0. 453. La representación de una función lineal es una línea recta que siempre intercepta al origen de coordenadas (0,0). 454. La función lineal representa cualquier fenómeno de variación proporcional directa. 455. y f(x) = mx

x

456. En la función lineal y = mx, m es la pendiente de la recta, y se halla dividiendo el valor de la variable dependiente y por el correspondiente valor de la variable independiente x. 457. Su valor es la medida del crecimiento o decrecimiento de la recta de la ecuación y = mx, y nos indica la variación de la variable y por cada incremento de una unidad de la variable x. 458.

m > 0; la recta es creciente.

m < 0; la recta es creciente.

459. La pendiente de una recta nos proporciona la inclinación de la misma respecto del eje x (ángulo que forma la recta con dicho eje). En el siguiente ejemplo ilustramos que cuanto mayor es la pendiente, mayor es la inclinación de la recta.

460. 461. Las tres gráficas son funciones lineales, cuya expresión es y = mx, pues son rectas que pasan por el origen de coordenadas. 462.

Las pendientes la obtenemos de la siguiente manera:

463.

[1]: m = 3/3 = 1

464.

Las rectas tienen por ecuación:

465.

[1]: y = x

[2]: m = 2/1=2

[2]: y = 2x

[3]: m = 4/-2 = - 2

[3]: y = -2x

466. Función lineal afín. Son aquellas funciones cuya grafica es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es y = mx + n, donde m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen (la recta corta al eje de ordenadas en el punto (0,n). 467. 468.

469.

470. Función constante. Una función f es constante si su regla de correspondencia es f(x) = b, para cualquier valor x y b que sean números reales.

471. 472. 473.Analizamos: 474. 1. En el Perú la altura promedio en centímetros de los niños cuyas edades son de 6 a 10 años es una función lineal de la edad en años. La altura de un niño de 6 años es 84 cm y la altura de un niño de 7 años de edad es 98 cm. a. Expresa la estatura en función de la edad. b. Grafica la situación dada en el diagrama cartesiano. c. ¿Cuál será la altura aproximada de un niño cuando tenga 10 años? d. ¿Se podrá calcular con la regla anterior la altura de una persona de 20 años?

475.Resolución 476.

Elaboramos una tabla de doble entrada con las variables intervinientes: 477. Edad (años)

478. 6

479. 7

480. 8

481. 9

482. 10

483. Estatura (cm)

484. 84

485. 98

486. 11 2

487. 12 6

488. 14 0

489. 490. Los valores numéricos de las estaturas generan una sucesión cuya razón es 14, por lo tanto su regla de formación sería la siguiente:

491.

Estatura = (14)(número de años desde 6 hasta 10 años).

492.

Respondiendo las preguntas: a. F(x) = 14x, donde x es el número de años, y está acotado por 6 ≤ x ≤ 10. b. Para graficar tenemos que tener cuidado de identificar qué intervalo es una función lineal. 493.

494. 495. c. Podemos responder a partir de la tabla elaborada anteriormente o por la fórmula encontrada: 496.

F(10) = 14 x 10 = 140 cm

d. No, porque 20 años está fuera de la fórmula encontrada, que solo acepta valores de 6 hasta 10. 2. La Municipalidad de Lima, para contrarrestar la ola de accidentes causada por la excesiva velocidad de autos y combis manejados por conductores irresponsables, decide aplicar multas si una persona es sorprendida conduciendo su automóvil a x km/h. Supongamos que las multas por exceso de velocidad se determinan por la siguiente función:

497. f(x) = 100(x – 60) + 80, 60 < x < 80; donde f(x) es el costo de la multa en soles. 498. Otra de las medidas tomada es la siguiente: si un conductor llega o pasa los 80 km/h, se le suspenderá por un año su licencia de conducir.

499.Responde las siguientes preguntas: a. El radar detectó a un conductor que conducía a 66 km/h. ¿A cuánto asciende la multa que debe pagar? b. ¿A qué velocidad, expresada en números enteros, se expide las primeras multas? c. Gabriel fue a pagar su multa por manejar a excesiva velocidad, que ascendía a S/. 1880. ¿A qué velocidad se le encontró conduciendo? 500.

501.Resolución 502.

Para responder las preguntas utilizamos la fórmula que determina las multas:

503.

f(x) = 100(x – 60) + 80, 60 < x < 80 a. f(66) = 100(66-60) + 80 = 100 x 6 + 80 = 680 soles es la multa que el conductor debe pagar. b. A los 61 km/h se expiden las primeras multas. c. 1880 = 100(x – 60) + 80, entonces: x = 78, es decir, se le encontró manejando a 78 km/h.

504. 3. Una empresa petrolífera paga a sus obreros según los metros excavados. Por el primer metro paga 60 soles y por los restantes 30 soles cada uno. 505. a Halla la expresión matemática que nos dé el costo (y) en función de los metros excavados (x). 506. f(x) = 60 + 30(x- 1 ) 507. b ¿Cuánto cobra un obrero que excavó 10 metros? 508. f(10) = 60 + 30(10 – 1) = 330 , es decir por los 10 metros excavados le pagan un total de 330 soles.

509. 4. Los científicos forenses usan las longitudes de la tibia (t) —el hueso que va del tobillo a la rodilla— y del fémur (r) —el hueso que va de la rodilla a la articulación de la cadera— para calcular la estatura de una persona. La estatura (h) de una persona se determina a partir de las longitudes de estos huesos, usando funciones definidas por las siguientes fórmulas (todas las medidas están en centímetros): 510.

Para hombres:

Para mujeres:

511.

h(r) = 69,09 + 2,24r h(r) = 61,41 + 2,32r

512.

h(t) = 81,69 + 2,39t h(t) = 72,57 + 2,53t

513. a. Calcula la estatura de un hombre cuyo fémur mide 58 cm. b. Calcula la estatura de un hombre cuya tibia mide 41 cm. c. Calcula la estatura de una mujer cuyo fémur mide 50 cm. d. Calcula la estatura de una mujer cuya tibia mide 38 cm. 514.

515.Resolución 516. a. h(58) = 69,09 + 2,24 (58) = 199, 01 centímetros tuvo de estatura. b. h(41) = 81,69 + 2,39 (41) = 179, 68 centímetros tuvo de estatura. c. h(50) = 61,41 + 2,32 (50) = 177, 41 centímetros tuvo de estatura d. h(38) = 72,57 + 2,53 (38) = 168, 71 centímetros tuvo de estatura 517. 518. 519.Practicamos: 520. 1. En la excavación de un pozo un ingeniero se adentra para verificar el proceso y se da cuenta que la temperatura aumenta 1 °C cada 100 m de profundidad. Teniendo en cuenta que la temperatura en la superficie es de 10 °C, resuelve los siguientes problemas:

a. Halla la fórmula de la función que relaciona la temperatura con la profundidad. 521. b. ¿Qué temperatura habrá a 230 m de profundidad? 522. c. ¿Cuántos metros habrá que bajar para que la temperatura sea de 25 °C? 523. 524. 2. Una empresa interprovincial de buses lanza una oferta dirigida a estudiantes que desean viajar al sur de la capital. La oferta consiste en pagar una cuota fija de S/. 10 más S/. 0,02 por cada kilómetro recorrido. a. Halla la fórmula de la función que relaciona el costo del viaje con los kilómetros recorridos. 525. b. Calcula el dinero que debe pagar un estudiante si quiere hacer un viaje cuyo recorrido es de 120 kilómetros. 526. c. Teniendo en cuenta la pregunta anterior, si cada estudiante de un aula de segundo grado pagó S/. 16 en un viaje, ¿a cuántos kilómetros estuvo su destino? 3. ¿Cuál de las siguientes gráficas es una función lineal afín? 527. a.

b.

c.

4. Relaciona cada grafica con la función correspondiente:

d.

528.

529. (I) Función lineal afín lineal

(II) Función constante

(III) Función

a. AI, BII, CIII b. AIII, BII, CI c. AII, BIII, CI d. AII, BI, CIII 5. La distancia que recorre un avión que viaja a una velocidad de 500 millas por hora (mph) es una función del tiempo de vuelo. Si S representa la distancia en millas y t es el tiempo en horas, entonces la función es: a. S(t) = t/500 b. S(t) = 500t c. S(t) = 500 + t d. S(t) = 500/t 6. El padre de familia de un estudiante de segundo grado le enseña a su hijo la factura de gas natural que llegó, y le pide que le ayude a averiguar el costo del m3 de gas y la fórmula para calcular el costo total del recibo en función de los m3 de gas consumido. a. 0,15; f(x) = 7,74 + 0,15x b. 15; f(x) = 7,74 + 15x c. 0,15; f(x) = 0,15 + 7,74x d. 15; f(x) = 15 + 7,74x

Conceptos Cargo fijo S/. 7,74 3 Consumo (111 m ) S/. 16,65 Total S/. 24,39

7. En muchas provincias del Perú, el agua corriente no es medida. Una familia paga siempre la misma tarifa, independientemente de la cantidad de agua que haya consumido. Una de estas tarifas es S/. 25,06. 530. Consumo de agua (L)

536. Costo (S/.)

531. 0

532. 1 000

533. 2 000

534. 3 00 535. … 0

537. 2 5,06

538. 2 5,06

539. 2 5,06

540. 2 5,0 541. 6

542.

543.

Halla la fórmula de la función e indica cómo se llama la función encontrada. a. F(x) = 25,06 + 1000x; función lineal. b. F(x) = 25,06; función lineal. c. F(x) = 25,06; función constante. d. F(x) = 25,06x; función lineal afín.

8. La siguiente tabla muestra el costo y el número de fotocopias realizadas por algunos estudiantes. 544. Costo (S/.) 554. Cantidad de copias 559.

545. Carl os 550. 0,12

546. Jua n 551. 0,60

555. 2

556. 10

552. 6

548. Mar ía 553. 0,06

557. 100

558. 1

547. Luz

¿Cuál de las siguientes expresiones determina la situación dada? a. f(x) = 0,12x b. f(x) = 0,05x c. f(x) = 0,06x d.

9. Del

f(x)

f(x) = 0,06

11

siguiente gráfico:

560. 561. 562.

7 5

1 2 3

4

x

563. 564. 565. 566. 567. 568. 569. 570. 571. 572.

Calcula el valor numérico de E =

f (2 )+ f ( 4) f ( 3 )−f (1)

a. 3 b. 4,5 c. 1,5 d. -3,6 10. La siguiente tabla corresponde a una función afín: y = mx + n. 573. x 574. 0 580. y

575. 1 576. 2 577. 3 578. 4 579. 5 0 0 0 0 0

581. 582. 3

583. 3 584. 7

585.

586. 9 7

587. Completa la tabla y obtén su expresión algebraica hallando su pendiente y la ordenada en el origen. a. y = 2x + 3 b. y = 3x + 2 c. y = 2x – 3 d. y = 3x – 2 11. Sea f una función lineal, tal que f(2) = 8. Determina su regla de correspondencia. a. y = 2x

b. y = 8x c. y = 4x d. y = 4x + 2 12. Un fabricante de ventanas cuadradas cobra a razón de S/. 15 por cada metro de marco y S/. 60 por el cristal, sean cuales sean las dimensiones. Encuentra la expresión que dé el precio de la ventana en función de las dimensiones y calcula el costo de una ventana de 2 m de lado. a. F(x) = 60 + 15x; 90 b. F(x) = 15 + 60x; 495 c. F(x) = 15 + 60x; 180 d. F(x) = 60 + 15x; 180 13. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son funciones afines? I.

F(x) = 3x – 5

II. Y = 2x

III. F(x) = 20 – 0,2x

a. Solo I. b. Solo II. c. II y III. d. I y III. 14. ¿Cuáles de las siguientes situaciones son funciones lineales? I.

El costo de una llamada por celular está dado por los segundos consumidos.

II.

Un electricista que da servicios a domicilio cobra S/. 20 por cada hora de trabajo más S/. 50 por la visita.

III.

El precio en soles que hay que pagar por un viaje de x km viene dado por la expresión y = 2x + 1,5. a. II y III. b. Solo I. c. Solo II. d. Solo III.

15. Midiendo la temperatura a diferentes alturas se han obtenido los datos de esta tabla:

588. Altura (m)

589. 0

590. 36 0

591. 72 0

592. 9 90

593. Temper atura (°C)

594. 1 0

595. 8

596. 6

597. 4 ,5

598. 599. Obtén la expresión algebraica de la temperatura en función de la altura e indica cuál sería la temperatura a 3240 m de altura. a. F(x) = -x / 180 + 10 ; 18 °C b. F(x) = -x / 180 + 10 ; -8 °C c. F(x) = -180x + 10 ; 18 °C d. F(x) = x / 180 + 10 ; 18 °C 600. 601. 602. 603.

604.

605. 606. 607.

FICHA N° 7

LA TIENDA DE FRUTAS.

Observa la siguiente imagen:

608.

609.

610. 611.

1.

¿Qué frutas conoces?

2.

¿Cuánto costarían 3 kg de manzanas?

3.

¿Cuántos kilogramos de manzana delicia puedes comprar con S/. 10?

4.

¿El peso calculado en la pregunta anterior será una cantidad entera?

612. 613. 614. 615. 616. 617. 618.

619.Situación problemática 620. Lucía va al mercado a comprar frutas. Pide 2 kg de manzana Israel y 3 1/2 kg de tunas verdes. Paga con un billete de S/. 20 y recibe de vuelto S/. 8. De retorno

a casa, Lucía tiene la sensación de que le han dado menos vuelto del que le corresponde. ¿Qué expresión matemática le permitiría comprobar a Lucía que ha recibido el vuelto justo? 621. 622. 623.Aprendemos: 624. 625. Para resolver este problema, podemos enfrentarla de la siguiente forma: 626. No es suficiente que simbolicemos con x la cantidad que le estarían cobrando en exceso a Lucía ni sumarla con el cálculo de lo que gastó en cada producto más el vuelto que recibió. Es necesario también tener alguna referencia para compararla con esta expresión mediante una relación de igualdad o desigualdad. Los S/. 20 constituyen la referencia. Por tanto, la relación podría quedar así: 627.

Costo manzana Israel + costo de tunas verdes + vuelto + x = 20

628. Al efectuar los cálculos, obtendremos el valor de x. Este valor nos permite llegar a alguna de las siguientes conclusiones: 

Si x es igual a 0, entonces a Lucía le dieron el vuelto justo.



Si x es una cantidad menor que 0, entonces le dieron _______ vuelto del previsto.



Si x es una cantidad mayor que 0, entonces le dieron _______ vuelto del previsto.

629. Para obtener el valor, podemos desarrollar los cálculos de la siguiente manera: 

Costo de manzana Israel = (2) (3,20) = 6,40



Costo de tunas verdes = (3,5) (1,20) = 4,20



Vuelto = 8,00

630. La expresión quedaría así: 631. 6,40 + 4,20 + 8 + x = 20

632. Si nos hubiesen preguntado cuánto más o cuánto menos recibió Lucía de vuelto, obtendríamos la respuesta al hallar el valor de x que cumple esa igualdad, es decir, al observar la solución de la ecuación anterior. 633. En nuestra vida cotidiana estamos siempre elaborando cálculos o estimando cantidades. Estos cálculos o estimaciones provienen de relaciones matemáticas de igualdad (ecuaciones) o de desigualdad (inecuaciones). Tales relaciones suelen representarse de la siguiente manera: 

0,5x + 2 = 10,8



3x +



2,5x - 1 < 11,2



3 5

1 2

=3

x + 0,2 > 0,7

634. ¿Cómo resolvemos ecuaciones o inecuaciones? 1. Por ensayo y error. Consiste en ir probando valores para la incógnita con el fin de ir aproximándonos a la verificación de la igualdad. 635. = 5,7

Ejemplo 1: resolvamos la siguiente ecuación: 2,5x + 1,2

636.

Para x = 1 2,5(1) + 1,2 = 2,5 + 1,2 = 3,7 (falta).

637.

Para x = 2 2,5(2) + 1,2 = 5 + 1,2 = 6,2 (excede).

638.

Para x = 1,5 2,5(1,5) = 3,75 + 1,2 = 4,95 (falta).

639.

Para x = 1,8 2,5(1,8) = 4,5 + 1,2 = 5,7 (verifica).

640.

Por lo que x = 1,8 es la solución de la ecuación.

2. Usando reglas de transposición. Consiste en aplicar los procedimientos ya conocidos cuando se resuelven ecuaciones de primer grado con coeficientes e incógnita enteros. 641. Ejemplo 1: hallemos ecuación: 2,5x + 1,2 = 5,7. 642.

la

incógnita

Transponemos 1,2 2,5x = 5,7 - 1,2

de

la

siguiente

643.

2,5x = 4,5

644.

4,5 2,5

Transponemos 2,5 x =

645.

x = 1,8

646.

Ejemplo 2: resolvamos la inecuación 1,2x - 2,6 < 5,8.

647.

Transponemos 2,6 1,2x < 5,8 + 2,6

648.

1,2x < 8,4

649. Transponemos 1,2 (recordemos que si 1,2 hubiese sido negativo, el sentido de la desigualdad cambiaría de < a >). 650.

x<

651.

x<7

8,4 1,2

652. 653. 654.Analizamos: 655. 656. Ejemplo 1: Juan compra en la tienda de frutas cierta cantidad de mandarinas y el doble en peso de papayas. En total gasta S/. 14,40. ¿Cuántos kilos de mandarina compró? 657. Resolución 658. Usamos la letra x para representar los kilos de mandarina que compró Juan. 659. Juan compró 2x kg de papayas. 660. El dinero que Juan destinó para cada compra resulta de la multiplicación del peso del producto por el precio de cada unidad de peso de este producto. Así: 661. Para las mandarinas: 2,2x 662. Para las papayas: 1,3(2x) = 2,6x 663. La ecuación que modela la situación es la siguiente: 664. 2,2x + 2,6x = 14,40

665.

4,8x = 14,40

666.

x = 14,40/4,8 667.

x = 3,00

668. Interpretamos el resultado obtenido: 669. Si la incógnita x es el peso de la mandarina comprada por Juan, entonces la respuesta es 3 kg. 670. Ejemplo 2: se quiere cercar un terreno de forma rectangular para destinarlo al cultivo de manzanas. Para esto, se dispone de 480 m de alambre de púas, el cual se usará para rodear el terreno con tres vueltas. Si la diferencia entre las dimensiones del terreno es de 20 m, ¿cuáles podrían ser las medidas de este terreno? 671. Resolución 672. Ancho del terreno: x 673. Largo del terreno: x + 20 674. Borde del terreno: x + 20 + x + 20 + x + x = 4x + 40 675. Longitud del alambre que vamos a utilizar para construir la cerca: 3(4x + 40). 676. Para que el alambre alcance, debemos establecer la siguiente condición: 677. 3(4x + 40) ≤ 480 678. Luego, desarrollamos la inecuación: 679.

4x + 40 ≤ 160

680.

4x ≤ 120

681.

x ≤ 30

682. Finalmente, interpretamos el valor encontrado: 683. El resultado x ≤ 30 nos indica que el lado menor del terreno debe medir como máximo 30 m. Esto significa que el otro lado del terreno debería medir como máximo 50 m (lo cual resulta de sumar 30 + 20). Pero estas medidas no son las únicas, sino que hay varios pares de medida para los valores de x menores que 30. 684. De esta manera, tenemos los siguientes pares: 685. 30 y 50 m

686. 20 y 40 m 687. 25 y 45 m 688. 29 y 49 m 689. Así sucesivamente. 690. 691. 692.Practicamos: 693. 1. Rosa compra cierta cantidad de melocotones a S/. 10,80. Ella siente que el peso del producto no es el adecuado, así que realiza la verificación del peso en otra balanza y nota que esta registra 0,1 kg menos de lo esperado por cada kilo. Rosa retorna y presenta el reclamo respectivo, en el que pide la devolución del dinero cobrado en exceso. ¿Cuánto dinero le deben devolver a Rosa? a. S/. 1,10 b. S/. 1,00 c. S/. 4,00 d. S/. 0,30 694. 695.

El camión frutero

696. 697. Los comerciantes van al mercado mayorista y compran las frutas que venderán en sus puestos de fruta. Para trasladar la mercancía desde ese lugar hasta sus puestos, deciden contratar a un chofer para que los traslade en su camión. Este cobra S/. 10 por transportar a cada pasajero y S/. 0,30 por cada kilogramo de fruta.

698. Con esta información y haciendo uso de los precios mostrados en la imagen de esta ficha, responde las preguntas 2, 3 y 4. 2. Roberto es vendedor de frutas y dispone de S/. 350 para comprar frutas, pero desea invertir solo S/. 55 en el transporte de estas. ¿Cuántos kilos de fruta podrá transportar con este dinero? a. 295 kg b. 30 kg c. 55 kg d. 150 kg 3. Con los S/. 350 que lleva Amanda, ¿qué cantidad de frutas podrá comprar y transportar, de modo que utilice su dinero al máximo? 699. 700. 701. 4. Marcos es el dueño del camión frutero. Lleva cierta cantidad de frutas correspondientes a cuatro personas. Si hoy recibió por el transporte S/. 265, ¿cuántos kilos de fruta transportó hoy en el camión? a. 883 kg b. 800 kg c. 750 kg d. 680 kg 5. Luis paga S/. 1,80 por cada kilo de mandarinas, pero venderá cada kilo a S/. 2,20. ¿Cuántos kilos de mandarinas debe comprar y vender como mínimo para obtener una utilidad mayor de S/. 40? a. 10 kg b. 72 kg c. 80 kg d. 100 kg 6. Cada kilo de manzana delicia cuesta S/. 3,80; y cada kilo de manzana Israel, 2,70. Silvia, en lugar de comprar x kilos de manzana delicia compra x + 1 kg de

manzana Israel. De esta manera, logra ahorrar S/. 3,90. ¿Cuántos kilos de manzana Israel compró Silvia? a. 6 kg b. 4,4 kg c. 4 kg d. 7 kg 7. Se sabe que 1 kg de manzana roja vale los mismo que 2 kg de mandarinas más S/. 0,20. También, que el precio de 1 kg de mandarinas es el mismo que el de 1,5 kg de plátanos más S/. 0,30. Entonces, ¿cuántos kilos de manzanas rojas valen lo mismo que 6 kg de plátanos más S/. 0,70? 702. 703. 8. En una bolsa se colocan 25 manzanas. Si se sabe que de 5 a 7 de estas manzanas equivalen a 1 kg, ¿entre qué valores estará el peso de la bolsa? a. Entre 3 kg y 5 kg. b. Entre 5 kg y 7 kg. c. Entre 4 kg y 5 kg. d. Entre 6 kg y 8 kg. 704. 705. 706. 707. 708.

709. 710.

FICHA N° 8

LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ANTIGUO PERÚ.

711. Chan Chan es la ciudadela de barro más grande de América precolombina, por lo que su importancia radica en valores históricos, estéticos, culturales y sociales. Posee un alto grado de organización espacial y abarca alrededor de 20 km2. El fenómeno del Niño que en 1925 destruyó el magnífico mural del Palacio Velarde, los sismos y la actualmente elevada napa freática, sumados a la

persistencia de agricultores precarios, constituyen los principales agentes contra su preservación. Es por esto que el MINCETUR y el INC han iniciado los trabajos de conservación e investigación en el conjunto Velarde 712.

713. 714.

715.Situación problemática 716. En una de las paredes de este complejo arquitectónico, se observan estas figuras que siguen cierto orden. Cuatro de ellas han sido retiradas para darles mantenimiento; sin embargo, para no olvidar su posición al momento de sacarlas, se anotó lo siguiente: “De derecha a izquierda: traslación - rotación - traslación - rotación”. 717. Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo son las figuras que se observan? 718._________________________________________________________ 2. ¿Tienen la misma forma? ¿Qué puedes decir de sus posiciones? 719._________________________________________________________ 3. ¿Qué significa trasladar y rotar? 720._________________________________________________________

4. Según las anotaciones al momento de retirar las figuras (de derecha a izquierda: traslación - rotación - traslación - rotación), completa las que hacen falta en la foto.

721. 722. 723. 724.Aprendemos: 725.

726.Transformaciones geométricas 727. La traslación. Es una transformación geométrica que se realiza en el plano. En esta transformación, las figuras solo cambian su posición, es decir, solo cambian de lugar. Su orientación, tamaño y formas se mantienen. 728. Ejemplo: en este caso, la figura ABC se traslada tomando como referencia el vector (6, 1), el cual indica que la figura original debe moverse 6 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba para transformarse en la figura A’B’C’.

729. 730. Las rotaciones o giros. Son movimientos que realizan las figuras alrededor de un punto fijo en el plano. En las rotaciones, las figuras conservan su forma, tamaño y ángulos. Las transformaciones por rotación pueden ser positivas

o negativas, dependiendo del sentido del giro. Si el giro es en sentido antihorario, será positivo, y será negativo cuando sea un sentido horario. 731. Ejemplo: se aprecia que la figura azul rota 90° alrededor del punto X para transformarse en la figura roja.

732. 733. La reflexión. Es la imagen de un objeto o ser vivo que se muestra en el espejo. Para obtener la reflexión de una figura, se utiliza una recta que recibe el nombre de eje de reflexión. A la reflexión respecto de una recta también se le denomina simetría axial. 734. Ejemplo: el triángulo verde se refleja con respecto a un eje de reflexión para convertirse en el triángulo rosado.

735. 736.

Polígonos regulares

737. Se denomina polígono regular a aquel que tiene todos sus lados y ángulos congruentes. 738. El perímetro de un polígono regular se calcula multiplicando la longitud de unos de sus lados por el número de lados que tenga. 739. Por otra parte, también podemos calcular el área de cualquier polígono regular dividiéndolo en triángulos, todos con un vértice común en el centro del polígono. Al obtener el área de uno de ellos y multiplicarla por el número de triángulos que se forman, se obtiene el área total. 740. Para calcular el área del triángulo, basta con conocer su base (el lado del polígono) y su altura (el apotema del polígono).

741.

A  n ( A )  Ap.L  A  n   2  (n.L). Ap A 2

AP L

Hexágono regular

P.Ap 2 ; donde P: perímetro, L: longitud del 742. De esto se desprende que: lado, n: número de lados, Ap: apotema. A

743. 744. 745.Analizamos: 746. 1. La siguiente figura muestra un polígono irregular ubicado en uno de los cuadrantes del plano cartesiano:

747. 748. ¿Cómo quedará finalmente la figura si se aplican dos movimientos sucesivos: el primero, una reflexión respecto al eje X, y luego un reflexión con respecto al eje Y?

749.Resolución 750. Sabemos que si consideramos al eje X como eje de reflexión, la figura tendrá que reflejarse hacia abajo, como en la figura 1. Y si a este resultado le aplicamos una reflexión tomando como punto el eje Y, el polígono regular tendrá que reflejarse hacia la derecha, y quedará como la figura 2:

751. 752. 2. Se desea colocar cámaras de seguridad en un centro comercial de una sola planta. El área coloreada en el plano representa las zonas transitables. Las cámaras podrán tener una vista de giro de 360° y tendrán que cubrir toda la región transitable. Indica en el plano los puntos donde deberán ser colocadas las cámaras para cumplir con ese propósito, si estas deben ser la menor cantidad posible.

753.Resolución 754. Dado que las cámaras tienen una vista de giro de 360°, esto quiere decir que dan una vuelta completa. Entonces basta con colocar solo una en el punto de bifurcación de la región coloreada para tener una vista de toda la zona transitable. 755.

3. Se desea colocar en la pared un espejo en forma hexagonal regular que tenga como medida de lado 3 dm. ¿Cuánto medirá la superficie de dicho espejo?

756.Resolución 757. El espejo tiene forma de un hexágono regular. Hacemos un pequeño bosquejo. Para conocer la superficie, podemos descomponer el hexágono regular en triángulos.

758.

3 dm

759. Observamos que los triángulos son equiláteros; por tanto, si determinamos el área de uno de ellos y la multiplicamos por 6, obtendremos el área del hexágono.

760. 761.

762.

763.

A 

l2 3 32 3 9 3  A   A  dm 2 4 4 4

Finalmente, para obtener el área del hexágono, multiplicamos por 6. A

9 3 27 3 .6  A  dm 2 4 2

27 3 dm 2 2 Entonces la superficie del espejo con forma hexágono regular es .

764. 765. 766.Practicamos: 767. 1. Se muestra el plano de un centro comercial de una sola planta. La parte coloreada representa las áreas por donde transita la gente. Se van a instalar cámaras de seguridad para observar toda el área transitable. Estas cámaras podrán tener una vista de 360°. Coloca en el plano los puntos donde se deberían instalar las cámaras para que sean la menor cantidad posible y que con estas se pueda observar toda el área transitable.

768. Área transitable

Tiendas

769. 2. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra el resultado de rotar la figura en 180° sentido horario alrededor del punto 0?

770. 771. 772.a)

b)

773. 774. 775. 776.c)

d)

777. 778. 3. En una tarea de arte, Dante realizó la ampliación de la siguiente figura.

779. 780. Si la ampliación consistía en duplicar la figura, dibuja en la cuadrícula la figura ampliada por Dante.

781. 782. 783. 784. 785. 786. 787. 788. 4. Elena está diseñando el jardín rectangular de un condominio. Ella ha plasmado su diseño en una hoja en la cual 1 cm equivale a 1 m. Si cuenta con 100 m de vallas, escribe verdadero o falso según corresponda: I.

Según el diseño de Elena, el jardín tendrá una superficie de 525 m 2.

II.

Si ella quiere ampliar la superficie del jardín, necesariamente debe comprar más vallado.

III.

Si reduce 5 m a un lado y aumenta 5 m al otro, no varía el área del jardín.

IV.

Si la superficie del jardín se reduce a la mitad, también se necesitaría la mitad de la longitud del vallado. a. VVFF b. FVVV

Jardín

15 cm

35 cm

c. FFFF

Condominio

d. VFFF

5. Respecto al problema anterior, ¿cuánto será la máxima superficie que podrá tener el jardín utilizando los 100 m de vallas? a. 525 m2 b. 625 m2 c. 2500 m2 d. 10 000 m2

o

o

6. Si Elena no quiere limitarse a jardines de forma rectangular, sino que quiere diseñarlos circulares, y quiere utilizar la mayor longitud de vallas disponibles, ¿cuánto medirá la máxima longitud entera del radio de la superficie del

o

jardín si este tuviera forma circular? Considera π = 3,14 y los datos de los problemas 4 y 5. a. 15 m b. 16 m c. 50 m d. 100 m o

7. El siguiente mapa corresponde a la red de carreteras que une los pueblos de un distrito. En él está indicado el tiempo en minutos que demora ir de un lugar a otro. ¿Cuántos minutos como mínimo demora una persona para ir de las Gardenias a los Jazmines?

789. a. 28 minutos. b. 33 minutos. c. 21 minutos. d. 20 minutos. 8. Con respecto al problema anterior, si Ernesto demoró 31 minutos en trasladarse, ¿de qué lugar a otro pudo haber ido? 790. 791. 9. Se desea colocar una plancha de vidrio sobre el tablero de una mesa que tiene forma de un hexágono regular. Si uno de los lados de la mesa tiene 4 dm, determina la superficie del vidrio que encaja exactamente para cubrir todo el tablero de la mesa.

2 a. 6 3dm 2 b. 6dm

2 c. 24 3dm

d. 24 dm2 10. En la plaza de una ciudad se está construyendo una pileta de forma circular. Se van extender 5 tubos que irán desde el centro de la pileta hasta 5 puntos en el borde de esta; en ellos se instalarán grifos distribuidos a una misma distancia unos de otros. ¿Cuánto medirá el ángulo de abertura entre tubo y tubo? a. 36° b. 72° c. 90° d. 360° 11. Observa las figuras A, B y C. ¿Cuál es el orden de las transformaciones que debemos efectuar a la figura A para que se convierta en la figura B, y luego esta en la figura C?

792. a. Reflexión y rotación. b. Reflexión y traslación. c. Rotación y traslación. d. Rotación y reflexión. 12. Para la decoración del aula, Patricia decide hacer figuras sobre un hexágono regular. En la imagen siguiente, se observa una región sombreada y la siluetan que resulta de aplicarle un movimiento a dicha región.

793. 794. 795. Señala qué movimiento se le aplicó a la región sombreada para obtener su imagen. a. Una reflexión tomando como eje el segmento NS . b. Una reflexión tomando como eje el segmento LR . c. Una rotación de 30° con centro en el punto L. d. Una rotación de 120° con centro en el punto M. 13. Una plaza tiene forma de un hexágono regular. Por el aniversario van a colocar cadenetas de una esquina a otra, de tal manera que las cadenetas se crucen en el punto centro de la plaza. Si la plaza mide 15 m en cada lado, ¿cuánta será la longitud mínima de la cadeneta que une dos esquinas de la plaza? a. 90 m b. 60 m c. 30 m d. 15 m 14. Las monedas de un nuevo sol tienen un polígono regular inscrito. Si una diagonal une dos vértices no comunes de un polígono, ¿cuántas diagonales podríamos trazar en este polígono regular inscrito en la moneda de un nuevo sol? a. 8 diagonales.

b. 20 diagonales. c. 40 diagonales. d. 56 diagonales. 15. Una empresa fabrica triángulos musicales. Cada lado del triángulo mide 18,5 cm y la varilla con que se toca, 15 cm. Si se desea aprovechar al máximo una varilla sin trabajar cuya longitud es 5,5 m, ¿cuántos triángulos musicales completos (triangulo y varilla) se podrá obtener de la varilla sin trabajar? a. 7 b. 7,8 c. 8 d. 9,9 796. 797. 798. 799. 800. 801. 802. 803. 804. 805. 806. 807. 808. 809. 810. 811. 812.

813.

FICHA N° 9

814. IIMPORTANCIA DEL CALENTAMIENTO MUSCULAR PREVIO A REALIZAR UN DEPORTE 815. El profesor de Educación Física planificó realizar partidos de fútbol y vóley para la sesión de hoy día, pero antes les pide a sus estudiantes que den 3 vueltas alrededor de uno de los campos de su preferencia, como parte del calentamiento de rutina.

816.

817.Responde las siguientes preguntas: 1. ¿En cuál de los campos corren menos distancia? 818. 819. 2. ¿Cuál de los dos campos te parece que ocupa más espacio dentro de la escuela? 820. 821. 3. ¿Qué otras medidas podría tener un campo que ocupe el mismo espacio que el campo 1? 822. 823. 824. 825.

Aprendemos:

826. 827. 828. Respecto a la situación planteada en el texto “Importancia del calentamiento muscular previo a realizar un deporte”, tenemos que tener en cuenta que los campos deportivos presentados son regiones de forma rectangular. El espacio que ocupan estos campos —y cualquier otra forma— se conoce como superficie, y a su contorno se le llama perímetro. 829. Es importante que realicemos varios ejemplos con dimensiones diferentes para que nos demos cuenta de cuál es la relación que hay entre el perímetro de una forma y el espacio que esta ocupa. 830.

También es necesario conocer:

831.Perímetro 832.

El perímetro (P) de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

833.

Ejemplos:

834. 3 5 m mmm 3m

6 cm

3

3

3

6 cm

3m 5m

3

8 cm

3

P = 3 + 5 + 3 + 5 = 16 P m= 6 + 6 + 8 = 20 cm P = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

835.Área 836. El área de una superficie es un número que indica las veces que una cierta unidad de superficie está contenida en la superficie total. 837. Para medir superficies, las unidades se usan elevadas al cuadrado. Su nombre y valor se derivan de las unidades de longitud; por ejemplo, si la medida es un cuadrado de 1 cm por lado, se denomina 1 cm 2 y se lee un centímetro cuadrado. 838. Como ya dijimos, el área es la medida de una superficie y, por lo tanto, se expresa en unidades cuadradas del sistema métrico decimal, como el mm 2, cm2, dm2, m2, hm2, km2.

839.

Veamos algunas fórmulas de regiones notables:

840. Área de la región triangular I. ÁR EA D E LA R EG IÓ N TR IA N G U LAR

b

h

h

h a

b

a . h 2

A =

b . h 2

A =

b . h 2

A =

841. RectánguloCuadradoRombo I

.

E

n

e

l

p

a

r a

l e

l o

g

r a

m

o h

A

=

b

x

h

b

A

=

a

x

h

a

h

a

a

b

b R

E

C

T

Á

N

G

U

L

O

C

U

A

D

R

A

D

O

R

O

M

B

O

B

l

a

A

b

A

I

I

.

E

n

B

e

y

l

=

t r a

b

:

b

p

a

C

l

a

b

x

e

c

s e

s

A

i o

D

l

=

2

A

b

B

H a

M

C

A

I

I

I

.

E S

e

n

u

m

i p

n e

c

u

r í m

a e

d

r i l á

t r o

:

t e

( B

=

r o

i n

s

+ 2

c

b

)

=

( p

-

a )

r i t o

I

-

D

)

D p

u

n

C



A

t o

m

e

d

i o

c

o

d

e

A

B

D

=

a

c

x

V

.

E

n

u

n

c

u

a

d

r i l á

t e

r o

n

v

e

x

o

B

p

( p

) ( B 2

h

b a

A

A

H



D

/ / 

M

c

M

A

C

C

B

h

B

( A

=

b

)

( p

-

c )

( p

-

d

C



c

) A

d

D A

A

=

C

. 2

B

D

.

s e

n



842. Trapecio I

.

E n

e l

p

a r a l e l o

g

r a m

En el trapecio, B y b son bases. R

E

C

T Á

N

G

U

o h

A

=

b

x

h

b

A

=

a

x

h

a

h

a

a

b

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L O

C

U

A

D

R

A

D

O

R

O

M

B

O

B

l

a

A

b

A

I

I

.

E n B

e l

y

b

=

t r a p :

b

a

C

l x

b

A

e c i o

D

l

=

2

b

A

B

H M

a

C

A

A I

I

I .

E

n

S

e m

A

=

u

n

c u

ip e r ím

( B

=

a d r il á t e r o e t r o :

i n

+ 2

b

)

-

a ) ( p

-

u n C



A

t o

m

e d

io

d e

a

x

c ) ( p

-

I

V

.

E n

u

n

c u

a d

r i l á t e r o

c o

n

C



c

d ) A

D A

Otras fórmulas importantes:

844. Polígono regular

a

B

c

B

-

A

D

=

b

b ) ( p

d

843.

)

h

s c r i t o

p a

( p

) ( B D 2

D p

H



D

/ / A 

M

c

M

B

C

C

B

a s e s h

( A

=

A= p.a 2 p = perímetro a = apotema

=

A

C

. 2

B

D

.

s e n



v e x

o

845. Área del círculoÁrea del sector circular 1

3

.

Á

r e a

A

=

  R



=

3

.

Á

d

, 1 4

r e a

e

l

c í r c u

l o

2

.

Á

r e a

d

2

1

A

6

d

e

2

-

e

l

3

6

s e c t o

r

c i r c u

l a r



c o

r o

n

a

c i r c u

l a



O

0 ° °

R

l a

R

R

r

4

.

T r a p

e c

i o

A

R

2

 R

=

C

i r c u

B

l a r A

S S

=

 ( R

r

2

S

O

)

.

Á

r e a

d

e

l

s e g

m

e

n

t o

c i r c u

S

l a

A S

=

S

=

r

6

3

6

2

O 

0 °

-

Á

r e a

A

O

.

Á

r e

 ( R

=

a

-

B

2

3

d

e

E

O

la

r 6 0 °

2

S R

i :

A

B

/ /

z o

n

E

S

E

F

a

B 

r

) 

c ir c u

l a

r

E

F

S

A S

=

A

B

E

F R

O

B

S

   R

A

O

r R

5

=

F

F B

R

B

846. Veamos algunos sólidos geométricos con sus elementos y su respectivo desarrollo.

847.Prismas 848. Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases, y caras laterales que son paralelogramos. 849.

Desarrollo del prisma

850.Pirámides 851. Son poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide. 852.

Desarrollo de la pirámide

853.Cono 854. Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. 855.

Desarrollo del cono

856. 857.Analizamos: 858. 1. El siguiente gráfico representa los patios de una institución educativa. A Daniel, un estudiante de segundo grado, le han dejado como actividad que calcule el área total de los patios. ¿Cuánto mide dicha superficie?

859.

860.Resolución

861. A = 42 x 31 + 54 x 40 – 52 = 3437 m2

862. 863.

P = 54 + 40 + 49 +26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m

2. ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada?

864.

865.Resolución 866. Trasladando los lados de la figura, se llega a obtener un rectángulo. Luego, sumando sus lados, obtenemos el perímetro pedido. 15 cm

867. 868. 869. 870. 871.

15 cm

872. 873.

12 cm

12 cm

P = 12 + 15 + 12 + 15 = 54 m

3. Calcula el perímetro y el área de la figura sombreada.

874. 875. 876.

877.Resolución

878. 4. María entrena con su bicicleta en un campo de deportes que tiene las medidas del siguiente gráfico. Su entrenador le dice que tiene que hacer 12 km sin parar. ¿Cuántas vueltas tiene que dar al campo de entrenamiento? Considera  = 3,14. 879.

5. Calcular el área de la región sombreada.

880. 881. 882. 883.Practicamos: 884. 1. Calcula el área de la zona coloreada, si se sabe que ABCD, DEFG y GHIJ son cuadrados. 885. B

C E

F H

A

D

G

I

J

2. Una piscina rectangular de 10 m de largo por 5 m de ancho está rodeada por un paseo de 40 cm. ¿Cuánto mide el borde exterior del paseo? Considera  = 3,14. 0,4 m

886. 0,4 mPiscina

887. 888. 889. 890.

891.

3. Sea el rectángulo ABCD y el cuadrado EBFG, calcular el área de la región de forma rectangular GFCH. a. 24 m2 b. 16 m2 c. 28 m2 d. 44 m2 892. 893. 4. La chompa de Teresa tiene un dibujo de rombos como el de la figura. La franja mide 24 cm de largo y 10 cm de ancho. Calcula el área total de la figura. a. 240 cm2 b. 34 cm2 c. 150 cm2 d. 90 cm2 5. Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m 2. Si se ha embaldosado con losetas cuadradas de 25 cm de lado, ¿cuántas losetas son necesarias? a. 800 losetas. b. 1250 losetas. c. 400 losetas. d. 50 losetas. 6. Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm 2 cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio idéntico? a. 810 baldosas de 20 cm de lado. b. 600 baldosas de 20 cm de lado. c. 540 baldosas de 20 cm de lado. d. 20 baldosas de 20 cm de lado.

7. Lucía está haciéndose una bufanda de rayas trasversales de muchos colores. La bufanda mide 120 cm de largo y 30 cm de ancho y cada franja mide 8 cm de ancho. ¿Cuántas rayas de colores tiene la bufanda? a. 8 colores. b. 15 colores. c. 120 colores. d. 40 colores. 8. El perímetro del cuadrado interior es de 32 cm. Calcula el perímetro del cuadrado exterior. a. 128 cm b. 64 cm c. 32 cm d. 182 cm 9. Después de sacar las latas de leche de una caja, las marcas que quedan al fondo de esta tienen forma circular de 7,4 cm de diámetro cada uno. Calcula el área de la región sombreada. Considerar = 3,14. a. 2346 cm2 b. 828,48 cm2 c. 282,48 cm2 d. 1314,24 cm2 10. Tres rectángulos de 7 cm de largo y 2 cm de ancho se han superpuesto de la manera que se indica en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la figura resultante? a. 28 cm b. 38 cm c. 30 cm d. 50 cm 894.

A B

11. Si AB = 40 m, calcula la suma de los perímetros de los cuatro triángulos equiláteros. a. 160 m b. 180 m c. 120 m d. 480 m 895.

12. En la figura existen 3 rectángulos iguales. Calcular el perímetro de la figura si el extremo de uno coincide con el centro del otro. a. 36 cm b. 38 cm c. 32 cm d. 30 cm 13. ¿Cuál o cuáles de los siguientes desarrollos forman un sólido geométrico? 896. 897. 898. 899. 900. 901. a. Solo I.

b. Solo II.

c. Solo III.

d. I y III.

14. ¿Cuáles de los desarrollos corresponden al sólido mostrado? 902.

a. Solo I.

b. Solo II.

c. Solo III.

d. II y III.

15. ¿Cuáles de los desarrollos corresponden al sólido mostrado? 903.

a. I y III.

b. I y II.

c. Solo III.

d. II y III.

904. 905. 906.

907. 908.

FICHA N° 10

BUSCANDO ARGUMENTOS PARA TOMAR UNA BUENA DECISIÓN.

909. El entrenador deportivo de una institución educativa debe elegir a uno de los dos jugadores que están en la banca para que ingrese al campo en un partido de básquet decisivo durante los Juegos Deportivos Escolares Nacionales 2015. Para tomar la decisión, consulta con su asistente, que le muestra una tabla con la efectividad de cada uno de ellos en los partidos anteriores. 910. Los puntos anotados por cada jugador en los cinco últimos partidos figuran en la siguiente tabla:

911.

912.Responde las siguientes preguntas: 1. ¿De qué manera crees que los datos presentados podrían ayudar a tomar una decisión? 913. 914. 2. ¿Conoces las medidas de tendencia central? ¿Sabes cuáles son?

915. 916. 917. 3. Determina el promedio, mediana y moda de los puntos de cada uno de los jugadores 918. 919. 920.

921. 4. ¿Qué diferencias observas entre los promedios, medianas y modas en ambos jugadores? 922. 923. 5. ¿Por cuál de los dos jugadores te inclinarías tú y por qué? 924. 925. 926. 927. 928. 929.Aprendemos: 930.

931.Tabla de distribución de frecuencias 932. La distribución de frecuencias o tabla una ordenación de datos estadísticos en la cada dato la frecuencia que le corresponde.

de que

frecuencias es se asigna a

933.Tipos de frecuencia 

Frecuencia Absoluta (fi) es el número de veces que se repite un valor en un conjunto de datos.



Frecuencia Absoluta acumulada (Fi) es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.



Frecuencia relativa (hi), es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se expresa también como porcentaje (hi %) multiplicando por 100 dicho cociente.

934.Tabla de frecuencias para datos no agrupados 935. Ejemplo: durante la primera quincena del mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas en grados Celsius (°C): 32, 31, 28, 29, 30, 31, 31, 30, 31, 31, 28, 28, 29, 30 y 31. 936. La tabla de frecuencias correspondiente a estos datos no agrupados es la siguiente: 937.

Temperaturas en la primera quincena de julio

938.

939.Tabla de frecuencias para datos agrupados 940. Ejemplo: una empresa de calzado anotó las tallas de zapatos de treinta de sus clientes: 38, 42, 35, 23, 24, 43, 22, 36, 37, 20, 32, 35, 40, 21, 41, 42, 24, 38, 40, 38, 30, 34, 42, 28, 42, 36, 38, 24, 30 y 28. 941. Como la variable tallas de zapato tiene muchos valores, se deben agrupar los datos en intervalos. Seguimos los siguientes pasos: n

1. Determinamos el número de intervalos (k) con esta ecuación: k = n es el número de datos. 30  5,48

942.

k=

, entonces k = 5

, donde

2. Encontramos el rango o recorrido: R = dato mayor - dato menor = 43 - 20 = 23. 3. Determinamos la amplitud del intervalo (A) 943.

A = R/k = 23/5 = 4,6



5

4. Formamos el primer intervalo: 944.

Límite inferior = 20

945.

Límite superior = 20 + 5 = 25

946.

Entonces el primer intervalo es [20; 25[

5. Por otro lado, la marca de clase (xi) es el punto medio de un intervalo. Es el valor representativo de una clase.

947.

xi =

Li  Ls 20  25   22,5 2 2

6. Por tanto, la tabla de frecuencias correspondiente a estos datos es la que sigue: 948.

Tallas de zapatos de los clientes de una empresa de calzado

949.

950.Elección de un gráfico estadístico según el tipo de variable 951. Por ser más adecuados, se recomienda el uso de estos gráficos según el tipo de variable. 952. Tipo de 953. variable

Gráfico estadístico

954.

Representación

956. Gráfico de barras. Puede ser simple o múltiple, vertical u horizontal. En un eje se ubican las categorías y en el otro eje, 957. las frecuencias. 959. Gráfico circular. Se representa en un círculo 955. Variable dividido en sectores. Cada cualitativa o sector es proporcional a las nominal 960. frecuencias relativas. 962. Pictogramas. Son gráficos con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo tamaño es proporcional a la frecuencia 963. que representan. 965. Gráfico de barras. También se utilizan para datos cuantitativos discretos. 966.

964. Variable cuantitativa

968. Gráfico lineal. Se utiliza para representar una serie de datos registrados en un tiempo determinado y observar 969. variaciones y tendencias. 971. Histogramas. Se usa para datos cuantitativos, continuos o discretos, agrupados. La base está dada por cada intervalo y la altura es la 972. frecuencia correspondiente.

973.

974.Medidas de tendencia central 975. Son valores que permiten representar un conjunto de datos. Estos son los siguientes:

(x) 

La media aritmética o promedio es resultado de dividir la suma de todos los datos entre la cantidad total de datos.



La mediana (Me) es el valor correspondiente a la posición central del conjunto de datos ordenados de manera creciente o decreciente.

976. La moda (Mo) es el valor que más se repite, es decir, el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. 977. 978.Analizamos: 979. 1. Las edades de los jóvenes que entrarán en un equipo de fútbol se muestran en la siguiente tabla: 980.

Edades de los jóvenes del equipo de fútbol

981. 982. Determina el valor del promedio, mediana y moda de las edades de estos jóvenes.

983.Resolución: 984. Para determinar el promedio de las edades, debemos sumar las edades de todos los jóvenes y luego lo dividiremos entre la cantidad de jóvenes. Así:

x 985.

7(16)  8(17)  5(18)  4(19)  6(20) 534   17,8 30 30

986. Por lo tanto, el promedio de edad de los jóvenes que entrenan en este equipo de fútbol es 17,8 años. 987. Debemos considerar que, al tener un número par de datos, vamos a encontrar dos valores centrales, aquellos ubicados en la posición 15 y 16 respectivamente. Por tanto, para determinar la mediana se debe sacar el promedio de ambos valores. 988. Tenemos 15 jóvenes que tienen 16 años y 17 años, entonces la edad en la posición 15 es 17 años y en la posición 16 es 18 años. Luego

Me  989. 990.

17  18  17,5 2

Por lo tanto, la mediana de la edad de los jóvenes es 17,5 años.

991. La moda es el valor que se repite con mayor frecuencia; entonces, la moda de las edades es 17 años porque, a diferencia de las otras edades, hay más jóvenes con esa edad en los entrenamientos del equipo. 2. El histograma de frecuencias muestra las edades de los novios que contrajeron matrimonio en la municipalidad de un distrito. Según el gráfico, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? 992.

Número de personas

Edad de los novios

Edad

a. El histograma registra las edades de 172 personas que contrajeron matrimonio en ese distrito. b. Menos del 8 % de los novios tienen más de 16 años y menos de 20 años.

c. 55 novios que contrajeron matrimonio tienen la mayor edad registrada. d. Más de la mitad de los novios tienen más de 24 años y menos de 36 años.

993.Resolución 994. La alternativa (a) es correcta, ya que si sumamos las frecuencias el resultado es 172. 995. La alternativa (b) también es correcta, ya que 10/172 = 0,058 = 5,8 %; por tanto, efectivamente, es menor al 10 % el total. 996. La alternativa (c) hace referencia a la cantidad de novios cuyas edades están entre los 28 y 32 años, que no es la mayor edad registrada; por lo tanto, esta es la afirmación incorrecta.

3. En una empresa de embutidos, los trabajadores se distribuyen en diferentes áreas, tal como muestra el gráfico. 997. Porcentaje de trabajadores por áreas

998. Si en la empresa hay un total de 120 trabajadores, elabora una tabla de frecuencias con estos datos. 999.

Resolución

1000. Si el total es 120, determinamos la cantidad de trabajadores en cada área. 1001. Administración: 15/100 (120) = 18 1002. Servicios: 10/100 (120) = 12 1003. Producción: 45/100 (120) = 54 1004. Ventas: 30/100 (120) = 36 1005. Con estos datos procedemos a elaborar una tabla de frecuencias. 1006. 1007.

Practicamos: 1008. 1009. 1. La posta médica registró las edades de 30 de sus pacientes adultos mayores. Con estos datos construyeron una tabla de frecuencias. 1010. Pacientes adultos mayores de la posta médica 1011. 1012.

1013. 1014. 1016.Marca de clase (xi)

1017.fi

1018.hi

1019.hi (%)

1020.[54; 60[

1021.57

1022.9

1023.0,3

1024.30 %

1025.[60; 66[

1026.63

1027.

1028.

1029.

1030.[66; 72[

1031.69

1032.5

1033.0,17

1034.

1035.[72; 78[

1036.75

1037.4

1038.0,13

1039.13 %

1040.[78; 84[

1041.81

1042.6

1043.

1044.

1045.Total

1046.

1047.30

1048.1

1049.100 %

1015.Edad

1050. 1051. Completa la tabla y determina el porcentaje de pacientes adultos mayores que tienen al menos 72 años de edad. a. 13 % b. 33 % c. 50 % d. 67 % 2. En el aula de segundo de Secundaria, se realizó una votación para decidir el color del polo que usarán para representar al aula en las olimpiadas deportivas. El siguiente gráfico de barras muestra estos resultados.

1053. 1054. 1055. 1056. 1057.

Número de estudiantes

1052. Votación del color del polo representativo del aula

Color

1058. 1059. 1060. 1061. 1062. ¿Qué colores tuvieron más de 3 votos? a. Rojo. b. Amarillo y verde. c. Azul y violeta. d. Rojo, naranja, rosa y marrón. 3. El gráfico muestra la venta de dos tipos de cereales, A y B, durante 4 años. Si la tendencia en la venta de los cereales continúa durante los próximos 10 años, ¿en qué año la venta de los cereales A será igual a la venta de los cereales B? 1063. Venta de cereales tipo A y B 1064.

Tipo A Tipo B

a. 2024 b. 2018 c. 2017 d. 2015

4. El profesor de Educación Física registró en el siguiente gráfico el peso de los estudiantes de segundo grado de Secundaria. 1065. Peso de los estudiantes de segundo grado de Secundaria 1066.

1067. ¿Cuál de los siguientes cuadros corresponde a los datos del gráfico?

1068.

1069. 5. Un estudiante dejó caer una pelota 6 veces desde la azotea de un edificio de 20 m de altura. En la siguiente tabla, el estudiante registró el tiempo que tardó la pelota en llegar al suelo en cada una de las caídas. ¿Cuál es el promedio del tiempo que demora en caer la pelota? 1070. a. 1,8 segundos. b. 1,9 segundos. c. 2 segundos. d. 2,2 segundos. 6. En un estudio socioeconómico, se registró el salario mensual de un grupo de padres de familia de una sección de segundo grado de Secundaria. 1071. S /. 170 0

1072. S/. 2300

1073. S/. 1000

1074. S/. 1250

1075. S /. 100 0

1076. S /. 130 0

1077. S/. 1250

1078. S/. 1000

1079. S/. 1700

1080. S /. 100 0

1081. S /. 170 0

1082. S/. 2300

1083. S/. 1000

1084. S/. 2000

1085. S /. 100 0

1086. S /. 130 0

1087. S/. 1250

1088. S/. 1000

1089. S/. 1250

1090. S /. 100 0

1091. S /. 125 0

1092. S/. 2300

1093. S/. 1000

1094. S/. 1000

1095. S /. 170 0

1096. 1097. ¿Cuántos padres de familia de esta sección perciben un salario menor que el promedio de este grupo? 7. Para saber si nuestra nota se encuentra entre los que sacaron más o los que sacaron menos en un examen de Matemática, debemos tomar como referencia una de las notas obtenidas por los estudiantes. Si las notas obtenidas son: 08, 14, 15, 18, 10, 10, 09, 11, 13, 14, 15, 08, 09, 10, 14, 12, 15, 18, 20, 16, 10, 11, 16, 18, 08, 13 y 18, ¿cuál es esa nota que nos servirá como referencia? a. 14 b. 13 c. 11 d. 08 8. A una charla informativa sobre orientación vocacional asistieron jóvenes de distintas edades. 1098. E dad

1099.

Canti dad de jóvenes

1100.15

1101.12

1102.16

1103.15

1104.17

1105.13

1106.18

1107.16

1108.19

1109.8

1110. 1111. Determina la diferencia entre la mediana y la moda del conjunto de datos. 1112. 9. En una encuesta, se les preguntó a los estudiantes de un grupo sobre su comida favorita. Algunos resultados se presentan en la siguiente tabla:

1113.Co mida

1114.Arr oz con pollo

1119. Can tidad de estudia ntes

1120. 4

1115.Ceb iche

1116.Ají de gallin a

1117.Otr os

1118.Tot al de encue stados

1121. 20

1122. ¿?

1123. 3

1124. 36

1125. 1126. ¿Cuál o cuáles de los siguientes datos se pueden obtener a partir de la información presentada? I.

El número de estudiantes del grupo que prefiere arroz con pollo.

II.

El número de estudiantes del grupo que prefiere seco a la norteña.

III.

El porcentaje de estudiantes del grupo que prefiere cebiche. a. I solamente. b. III solamente. c. I y II solamente. d. I y III solamente.

10. Paola estudia en un instituto de enseñanza del idioma inglés. Ella obtuvo las siguientes notas en los tres primeros exámenes: 12, 20 y 15. Solo le falta el cuarto examen para terminar el ciclo. Si ella desea tener una nota final de 16 en el rubro de exámenes, ¿cuál es la mínima nota que debe obtener en el cuarto examen si en este instituto no se otorga puntos a favor? a. 17 b. 16 c. 18 d. 15 11. La siguiente gráfica representa el número de ausencias del personal de una empresa de lácteos durante cuatro meses. ¿Entre qué meses se produjo la reducción de las ausencias en dicha empresa? a. En marzo.

Cantidad de ausencias

b. De febrero a abril.

Enero

Febrero

Marzo

Abril

c. De enero a marzo. d. De enero a abril. 1127. 1128.

12. El siguiente histograma de frecuencias muestra el puntaje obtenido por un grupo de estudiantes en las olimpiadas de Matemática de un distrito. 1129.

Cantidad de estudiantes

Puntajes obtenidos en las olimpiadas de Matemática

Puntaje

1130. Según el gráfico, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a. El histograma registra las notas de 120 estudiantes que participaron en las olimpiadas de Matemática. b. El 75 % de estos estudiantes obtuvieron puntajes mayores que 80 y menores que 160. c. 20 estudiantes obtuvieron los mínimos puntajes de las olimpiadas. d. 50 estudiantes obtuvieron los máximos puntajes de las olimpiadas. 13. Se les preguntó a 32 personas de un distrito por el número de horas diarias que dedican a ver televisión. Los resultados son estos: 0, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 3,

4, 0, 2, 4, 2, 2, 4, 0, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 4, 4 y 0. ¿Cuál es la moda de estos datos? a. 0 b. 2 c. 3 d. 4 14. De la información anterior, ¿cuál de los gráficos circulares corresponde a los datos recogidos con respecto a la cantidad de horas que 32 personas dedican a ver televisión? Los datos están representados en la leyenda. 1131. a.

b.

c.

d.

0 2 3 4

1132. 1133. 1134. 1135. 1136. 1137.

1138. 1139.

FICHA N° 11

LAS BACTERIAS EN NUESTRA VIDA.

1140. Las bacterias crecen exponencialmente. Esto permite colonizar rápidamente un cierto medio, normalmente vacío. 1141. Luego de alcanzar grandes densidades poblacionales, experimentan reducciones en su número e incluso la extinción total debido, por ejemplo, a la falta de alimento o a la acumulación de residuos tóxicos. La disminución del número de bacterias producto de la sobrepoblación también puede ser exponencial y se puede expresar como una potencia de base fraccionaria menor que 1

1142.

1143.

Responde las siguientes preguntas

1144. 1. ¿Qué significa que las bacterias crezcan exponencialmente? 1145. ______________________________________________________________ _ 1146. 2. ¿A qué se llama densidad poblacional? 1147. ______________________________________________________________ _ 1148. 3. ¿Qué es una potencia de base fraccionaria menor que 1? 1149. ______________________________________________________________ _ 1150. 4. ¿Por qué crees que una colonia de bacterias pueda reducirse o extinguirse? 1151. ______________________________________________________________

1152. 1153. En un laboratorio se observa que un grupo de bacterias disminuye cada día de forma exponencial. A

1 4

de su población cada día. En un principio las

bacterias eran 65 536 aproximadamente. 1154. Completa la siguiente tabla, que relaciona los días transcurridos con la reducción en la cantidad de bacterias. 1155. 1156. 1157. 1158. 1159. 1160. 1161. 1162. 1163.

1164. 1165. 1.- ¿Cuántas bacterias han muerto el primer día y el tercer día? 1166. ______________________________________________________________ _

1167. 2. ¿En qué momento la población se puede considerar extinta? ¿Por qué? 1168. ______________________________________________________________ 1169. 1170. 1171.

Aprendemos: 1172. 1173. 1174. La situación planteada involucra multiplicaciones sucesivas de fracciones que son iguales. 1175.

( 14 ) ; ( 14 ) x ( 14 ) ; ( 14 ) x ( 14 ) x ( 41 ) ; ( 14 ) x ( 41 ) x ( 14 ) x ( 14 )

;…

1176. Veamos y repasemos algunos conceptos que nos ayudarán a comprender mejor este tema. 1177. ¿Existe otra forma de escribir la multiplicación sucesiva de factores iguales? 1178. Observemos si es posible en el siguiente ejemplo: 1179. Multiplicación de factores iguales 1 1181. 4

()

1183. 1185. 1187. 1189. 1191.

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1180. Se podría escribir como… 1 1 1182. 4

()

( )( )

1184.

( )( )( )

1186.

( )( )( )( )

1188.

( )( )( )( )( ) 1 4

( )( )( )( )( )( )

5

1190.

1 4

()

6

1192.

1 4

()

2

1 4

() 1 4

3

()

1 2

4

()

1193. En la tabla podemos apreciar que una multiplicación de factores iguales puede abreviarse con una operación llamada Potenciación. 1194. ¿Qué entendemos por la operación de potenciación? 1195. La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada). 1196. Por tanto: 1197. 1198. La potenciación es la forma abreviada de 1199.

una multiplicación de factores

1200.

= n veces

1201.

Dónde: = Base n = Exponente

1202. 1203. 1204. 1205. En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo: 1206. 5

( ) ( 34 )( 34 )( 34 )( 34 )( 34 )=¿ 3 4

=

1207. 1208. ¿Cuáles son los signos en la potenciación de números fraccionarios? 1. Si la base es positiva y el exponente par o impar, entonces la potencia es positiva. 2 4 =¿ 3

()

4

2 34

=

16 81

2. Si la base es negativa y el exponente par, entonces la potencia es positiva.

1209.

2

( ) −3 4

=

9 16

3. Si la base negativa y el exponente impar, entonces la potencia es negativa. 1210.

3

( ) −3 4

=

−27 64

1211. ¿Qué es la notación científica? 1212. La notación científica se estableció como un acuerdo entre los científicos para estandarizar en forma práctica la escritura de números muy grandes o muy pequeños. 1213. Se utiliza la potencia de base 10 1214. 1215. 1216. 1217. 1218. 1219. 1220. 1221. 1222. 1223. Veamos un ejemplo: -

Según la teoría de bin bang, el origen del universo fue de 0,000… 01segundos(43 cifras decimales) que en notación científica se expresa así: 1 x 10 -43 segundos

1224. Un número esta expresado en notación científica cuando está escrito como un 1225.producto de una potencia de 10 y un número mayor o igual a 1 y menor que 10. 1226. Con 1 < m <10, 1227.

m x 10n

1228. 1229. Completa la tabla expresando los números de la izquierda en notación científica. 1231. Notación científica 1233. 3 x 107 1235. 5 x 1013 1237. 1239. 4 x 10-4 1241. 1243.

1230. Expresión 1232. 1234. 1236. 1238. 1240. 1242. 1244. 08

30 000 000 500 000 000 000 000 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0,0004 0,00000001 0,0000000000000006 0,00000000000000000000000000000000000000000000000

1245.

1246.

1247. ¿Qué propiedades se cumplen en la potenciación? Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son: 1248. Para todo, a, b, m, n € Q, b ≠ 0

1249. Potencia de exponente 0 1250. Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. 1251.

a b

0

1252.

()

1253. Por ejemplo,

2 3

= 1, b

0

()

2 3 = está afectada por el

= = 1, porque la base

exponente cero. 1254.

1255. 1256. Toda

Potencia de exponente 1 potencia

1257. 1258. Por ejemplo,

de a b

1

()

a = b

exponente

1

es

igual

a

la

base

2 3

1

()

1259.

2 = 3

Multiplicación de potencias de igual base 1260. Para el producto de dos o más potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes. 1261. a b

m

a n a = b b

m +n

( )( ) ( ) 1262. 1263. 1264. Por ejemplo 2

3 3 3 = 4 4

2+3

3 5 35 = 5 4 4

( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 4

1265.

=

=

243 1024

1266. División de potencias de igual base 1267. Para la división de dos potencias de igual base se coloca la misma base y se restan los exponentes. 1268. a b

m

a n a = b b

m−n

()() () :

1269. 1270.

1271. 1272. Por ejemplo 1273.

3 5 3 3 3 : = 4 4 4

5−3

3 2 32 = 2 4 4

()() () () ( ) =

=

9 16

1274.

1275.

Potencia de exponente negativo

1276. La potencia de exponente negativo es la inversa de la misma potencia de exponente positivo.

1277.

a b

−n

()

1278.

=

1279. Por ejemplo

1280.

7 2

−2

()

=

2 7

2

()

=

4 49

1281.

1282.

Potencia de otra potencia:

1283. Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes. 1284. 1285.

m n

[( ) ] [( ) ] ( )

1286. Por ejemplo,

a b

=

2 5

2 3

=

2 5

6

1287. 1288. 1289. 1290.

Analizamos: 1291. 1292. 1. La masa del Sol es, aproximadamente, 330000 veces la de la Tierra. Si la masa de la Tierra es 6 x 1024 kg, calcula la masa del Sol.

1293.

1294.

Resolución

1295. Debemos comprender la situación. Nos piden la masa del Sol, Para calcularla, debemos multiplicar. Pero antes convertimos 33000 a notación científica: 33 000 = 3,3 x 105 1296.

A continuación, hallamos la masa del Sol 3,3 x 10 5x 6 x 1024 = _____________

1297.

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a

n3 n 4

?

1298. 1299.

n



n 1

3 4

n

3 4

n7

1300. Resolución: 1301. Como observamos en el problema, estas potencias tienen la misma base. Además hay una división entre ellas.

1302. En la expresión

n3 n 4

1303. Resolvemos la división de potencias de igual base. Así:

1304. Finalmente podemos deducir, que

n3 n 4

3−−7

n

=____________

1305. 3. Diego afirma que

2

( ) −1 3

=-

1 3

2

()

lo que Cinthya le respondió que no es

cierto ¿Estás de acuerdo con ella? Desarrolla un procedimiento para comprobar si la afirmación es correcta.

1306.

Resolución

1307. Analizamos la afirmación de Diego. 1308. Hallamos los resultados para cada potencia y obtenemos: 1309.

2

( ) −1 3

=

( −13 )( −13 )

=

❑ ❑

-

1 3

2

()

=

( 13 )( 13 )=−❑ ❑

−

1310. Entonces, podemos concluir que Cinthya ____________________________ 4. El triángulo de Sierpinski es una figura geométrica de un tipo especial denominado fractal. Se construye en forma recursiva a partir de un triángulo equilátero.

1311. 1312. El triángulo de Sierpinski de nivel 1 1317. El de nivel 2 se obtiene repitiendo el se obtiene al quitar el triángulo proceso sobre los tres triángulos que equilátero que resulta de unir los puntos forman el triángulo de Sierpinski de medios de cada lado del triángulo nivel 1. inicial. 1318. 1313. 1314. 1315. . 1316. 1319. El de nivel 3 es lo mismo aplicado al 1324. Si el área del triángulo inicial es de 1 nivel 2 y el proceso continúa de forma m2, ¿cuál es el área del triángulo de indefinida. De hecho, el auténtico Sierpinski de nivel 4? triángulo de Sierpinski es la figura geométrica que resulta de aplicar este 1325. proceso infinitas veces. 1326. 1320.

1327.

1321.

1328.

1322.

1329.

1323.

1330.

1331.

1332.

Resolución

1333. Como podemos ver, el área sombreada de cada nivel es igual a las

( 34 )

partes del área sombreada del nivel anterior. En consecuencia: 1334. El área sombreada del nivel 1 es

( 34 )

m2

3 3 . 4 4

1335. El área sombreada del nivel 2 es:

( )( )

1336. El área sombreada del nivel 3 es

3 3 . 4 4

( )( )

1337. El área sombreada del nivel 4 es

❑ ❑= ❑ ❑ ❑

( ) ( )

=

.

(❑ ❑)

❑ . ❑ . ❑ ❑ ❑ ❑

( )( )( )

m2 ❑

=❑ (❑ ❑) (❑ )

=

. ❑ ❑

( )

m2

❑

=

❑ =❑ ❑ ❑

( ) ( )

m2

1338. 1339.

Practicamos: 1340. 1341. 1. Una población de 100 000 insectos decrece por acción de un depredador natural, cada año, con un factor de decrecimiento

3 4

¿En cuánto tiempo

quedará menos de la cuarta parte? 1342.

a) 2 años

1343.

b) 3 años

1344.

c) 4 años

1345.

d) 5 años

2. Alicia y Lucia participan en un juego, en que cada jugadora parte con un punto y cada vez que gane su puntaje se duplica y si pierde su puntaje será la mitad de lo que tenía. Alicia gana 6 veces y Lucía pierde 5 veces. ¿Cuántos puntos obtuvo Alicia? ¿Con cuántos puntos se quedó Lucía luego de las 5 jugadas? Expresa cada resultado como una sola potencia

3. Un tienda está en liquidando sus productos por cambio de domicilio, así que cada semana vende la mitad del stock, pero no repone ningún artículo. 1346. 1347. 1348. a. Si en un principio había 1024 artículos. ¿Cuántos artículos le quedan luego de dos semanas? 1349. 1350. b. ¿Cuántas semanas transcurren hasta agotar el stock? 1351. 1352.

1353. 4. Hallar la mitad de:

1 2

−1

−1

1 + 8

1 − 4

−1

() () ()

a. 3 b. 6 c. 4 d. 8 1354. 5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: 1 3 3 3 5 . . 3 10 7

3

()( )()

1355.

1356. 3

a.

15 70

( )

3

b.

1 14

( )

?

3 21

3

c.

( )

d.

15 210

27

( )

1357. 6. Una

máquina gasta

3 4

de galón de gasolina por cada 30 horas de

funcionamiento. ¿Cuántos galones de gasolina usará la máquina en 400 horas? 1358.

a) 10 galones

1359.

b) 11 galones

1360.

c) 15 galones

1361.

d) 20 galones

7. Una rueda avanza

( 14 )

metro al dar una vuelta ¿Cuántas vueltas debe dar

para avanzar 10 metros? 1362.

a) 10 vueltas

1363.

b) 20 vueltas

1364.

c) 30 vueltas

1365.

d) 40 vueltas

8. Una cinta mide 1,6 cm de ancho y 128 cm de longitud. Para guardarla en una caja que mide 2 cm X 10 cm, debe ser doblada por la mitad en forma sucesiva 4 veces. ¿cuál es la potencia relacionada con el problema? ¿Cuál es el valor de esta longitud de la cinta al término del cuarto doblez? 1366. 1367. 9. La masa de un virus es 10 -21 kg, la de un hombre 70 kg. ¿Cuál es la relación entre la masa del hombre y la masa del virus? 1368.

a) 7 x 10-22 %

1369.

b) 7 x 10 -24 %

1370.

c) 7 x 1022 %

1371.

d) 7 x 1024 %

10. El ser vivo más pequeño es un virus que pesa del orden de 10-18 g y el más grande es la ballena azul, que pesa aproximadamente 138 toneladas. ¿Cuántos virus serian necesario para conseguir el peso de una ballena? 1372. 1373. 11. Observa la tabla: 1374.

1 4

1375.

−1

1 4

1376.

−2

1 4

1377.

−3

1 4

()

()

()

1380. 1381. 4

1382. 1383. 16

1384. 1385. 64

−4

()

1386. 1387. 256

1378.

1 4

−5

()

1388. 1389. 1024

1379.

1 4

−6

()

1390. 1391. 4096

1392. Usa la tabla para expresar el valor 256 x 4096 como potencia de 4. a. 410 b. 420 c. 430 d. 440 12. Una población de 810 000 insectos decrece por acción de un depredador natural cada año. Completa la tabla y luego responde. 1. Años

2. Factor de

transcurridos

decrecimie nto

4. 0 5.

8. 1

2 3

0

()

6. 7.

2 3

0

()

x 810 000 = 810 000

( 23 )

11.

2 3

1393. 1394. 1395. 1396.

10.

1

9.

12. 13.2 16. 17.3 20. 21.4

3. Tamaño de la población

1

()

x 810 000 = 54 000

14.

15.

18.

19.

22.

23.

1397. 1398. 1399. 1400.

a. ¿En qué año la población es de 756 000 insectos? 1401. ______________________________________________________ b. ¿Cuántos insectos hay entre el tercer y cuarto año? 1402. ______________________________________________________ c. ¿Después de cuantos años se extinguirá este tipo de insectos? 1403.

1404.

Topo o Tupu

1405. En el Imperio incaico todas las tierras pertenecían al Sol, al inca y al Estado. Estas eran distribuidas de forma que cada habitante contaba con una parcela de tierra fecunda para trabajar. Los varones recibían un topo o tupu (2700 m 2, 0,27 Ha, 067 acres) al nacer, mientras que las mujeres recibían tan solo medio topo. No podían venderlos ni heredarlo, ya que no era posesión de ellos, sino del Estado incaico; por ello, cuando una persona moría, sus tierras eran destinadas a un nuevo habitante. A cada persona se le daba tierra para que pudiera alimentar bien a su familia. Esta porción asignada de tierra fue denominada topo. El campesino tenía como propios la casa, el establo, los pequeños animales domésticos (perro, cobayos, patos y gallinas sin cola) y el granero, además de los útiles de labranza. 1406.

(fuente: htto://historiaenaccion3052.blogspot.pe/2010/05tyema-8-economia-inca.html).

1407. A partir de esta información, responde las preguntas 13, 14 y 15. 1408. 13. Juan Cristóbal tiene un terreno de forma cuadrada de 450 m de lado. ¿Cuántos topos comprende este terreno? a. 45 topos b. 55 topos c. 75 topos d. 6 topos 14. Juan hereda a su hija

1 2

de su terreno, el cual es de forma cuadrada.

¿Cuánto mide, aproximadamente, el lado del terreno que ha recibido su hija? a. 1300 m b. 135 m

c. 51,96 m d. 36,74 m 15. El vecino de Juan tiene un terreno cuadrado de 200 m de lado. Si él amplía los lados (pero sin que el lugar pierda la forma), de modo que el espacio comprende 25 topos. ¿Cuánto medirá el lado del terreno? 1409.

1410. 1411.

FICHA N° 12

RECLAMANDO NUESTRO COMPROBANTE DE PAGO.

1412. El comprobante de pago es un documento que acredita la transferencia de bienes, la entrega en uso o la prestación de servicios. El comprobante de pago es un documento formal que avala una relación comercial. 1413. Se usan varios tipos de comprobantes de pago como la factura, la boleta de venta, el recibo por honorarios, etc. 1414. Es importante pedir o emitir el comprobante de pago para evitar la evasión de impuestos, de esta manera, el Estado puede obtener los recursos para poder brindar educación, salud, seguridad, justicia, obras públicas y apoyo a los más necesitados, entre otros beneficios

1415.

1416.

Responde las siguientes preguntas

1. ¿Por qué es importante reclamar el comprobante de pago al realizar una compra? 1417. 2. ¿Qué es el IGV?

1418. 3. ¿Cuál es el porcentaje que corresponde al IGV? 1419. 4. María y su mamá fueron a comprar aceite Primor y aceite de oliva. Luego de pagar esa compra, recibieron el comprobante de venta que se observa en la imagen. a. ¿Cuánto es el IGV que se aplica, según el compobante? b. ¿Cuánto es 6,49 en porcentaje con respecto al subtotal? 1420. 1421. 1422. 1423. 1424.

1425.

Aprendemos:

1426.

1427. Respecto al problema anterior, debemos saber a cuánto equivale el 18% que corresponde al IGV (el cual se aplica a cada compra de un producto). Para ello, es importante entender lo siguiente:

1428.

¿QUÉ SABEMOS SOBRE PORCENTAJE?

1429. Porcentaje o tanto por ciento representa la razón que indica el número de unidades que se toma por cada 100 partes.

1430. 1431. Observemos un ejemplo:

1432. Un presupuesto familiar de S/. 300 tiene los siguientes porcentajes: 1433. Por ejemplo, si el presupuesto familiar es de S/. 3000 1434. 1435.

Ro pa Aliment ac ió n Vivienda

"P RESUPUES Salud TO FAMIL AR"

1436.

Movilidad Otro s

1437. 1438. Fra 1439. El ….de S/.3000 % cción es 5 1441. 1443. x 300=15 1444. 5 5% 100 1442. 100 1446. 5%

1447. 5 100

1448.

5 x 300=15 100

1450. 10%

1451. 10 100

1452.

10 x 300=30 100

1454. 15%

1455. 15 100

1456.

15 x 300=45 100

1458. 40%

1459. 40 100

1460.

40 x 300=120 100

1462. 25%

1463. 25 100

1464.

25 x 300=75 100

1465. El mismo valor se puede expresar de la siguiente manera:

1466. 1467. Importante: 1468. 1469. 1470. Toda cantidad representa el 100%: 1471.

Si a una cantidad le restamos el 15% nos queda el 85% de la cantidad.

1472. Ejemplos: 1473. En la clase de matemática Juanito completo el siguiente cuadro y luego lo explico. 1474. ¿Con tus palabras explica el siguiente cuadro? 1475. Si pierdo 1480. 15% 1484. 27% 1488. 10% 1492. A%

1476. Queda

1477. Si gano

1481. 85% 1485. 73% 1489. 90% 1493. (100-A)%

1482. 20% 1486. 10% 1490. 12,5% 1494. A%

1478. Resulta 1479. 1483. 120% 1487. 110% 1491. 112,5% 1495. (100+A) % 1496.

1497.

1498.

¿A QUÉ LLAMAMOS DESCUENTOS SUCESIVOS?

1499. Son descuentos que se aplican, uno a continuación del otro. De esta manera, la cantidad que resulta es considerada el nuevo 100% hasta la aplicación del siguiente descuento. 1500. Importante: los descuentos sucesivos de -20% y 10% no significan un descuento único de 30% 1501. Ejemplo: 1502. Si se aplican dos descuentos sucesivos de 20% y 10% a una Tablet que cuesta 300 soles, ¿cuál será su nuevo precio? 1503. Resolución: Precio inicial: 300

1509.

1504. Primer descuento

1507. Segundo descuento

1505. 20% de 300 = 60

1508. 10% de 240 = 24

Nuevo precio es 300 – 60 = 240 1506.

Precio final 240 – 24 = 216 soles.

¿A QUÉ LLAMAMOS AUMENTOS SUCESIVOS?

1510. Son los aumentos que se realizan uno a continuación del otro, de manera que el nuevo 100% es la cantidad que va resultando. 1511. Importante: los aumentos sucesivos de 20% y 25% no significan un aumento único de 45% 1512. Ejemplo:

1513. Si el precio de una lavadora es 960 soles y se le asigna dos aumentos sucesivos de 20% y 25% ¿cuál será su nuevo precio? 1514. 1515. Resolución: 1516. Precio inicial: 960 1517.

1518. 1519. Primer aumento: 1520. 20% de 960=

1523. 1524. Segundo aumento: 1525. 25% de 1150=

1521. El nuevo precio es 960+192=1152 1522.

1526. El precio final es 1152+288=1140 1527.

20 x 960=192 100

25 x 1152=288 100

1528. 1529. 1530. 1531. 1532. 1533. 1534. Observación:

1535.

Aumento único:

(

AU = A +B+

AB 100

)

1536. Ejemplo: 1537. ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos de 15% y 40%? 1538. Resolución: 1539.

1540. 1541.

(

AU = 15+ 40+

15 x 40 =61 100

)

Descuento único:

(

DU = A +B−

AB 100

)

1542. Ejemplo: 1543. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos de 10% y 30%? 1544.

1545. Resolución: 1546. 1547.

(

DU = 10+ 30−

10 x 30 =37 100

)

1548. 1549.

Analizamos: 1550. 1551. 1. Completa el siguiente cuadro para conocer los resultados de una encuesta realizada a 600 personas sobre los medios de transporte que utilizan. 1552.

2. Un microondas cuesta 1300 soles si se hace dos descuentos sucesivos del 30% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio? 1553. Resolución: 1554. Precio inicial:

1555. Primer descuento 1556.

1557. Segundo descuento 1558. 1559. 1560.

1561.

3. Si el precio de una moto es 4800 soles y se le aplican dos aumentos sucvesivos de 20% y 15%, ¿cuál será su nuevo precio? 1562. Resolució n: 1563. Precio inicial:

1565. Primer aumento: 1566.

1567. Segundo aumento: 1568. 1569. 1570.

1564.

1571.

4. Si se compra un equipo de sonido que cuesta S/.1500 incluido el I.G.V., ¿cuánto es el importe que se ha pagado por este impuesto? 1572.

1573. 1574. Practicamos: 1575. 1. Relaciona 1576. a) El 20% de 420

1578.

1579. 1580. ( ) 900

1581. b) El 25% de qué número 1583. es 225

1584. 1585. ( ) 30

1577.

1582. 1586. c) El 30% de 700

1588.

1589. 1590. ( ) 45

1593.

1594. 1595. ( ) 84

1598.

1599. 1600. ( ) 210

1587. 1591. d) El 25% del 30% de 600 1592. 1596. e) 12 es el 40% de … 1597. 2. María dice si vendiera una pulsera en 40% menos, costaría S/.12. ¿Cuál es el precio real de la pulsera? 1601.

a) S/.20

1602.

b) S/.30

1603.

c) S/.50

1604.

d) S/.80

3. Gabriela quiere comprarse un vestido que cuesta S/.260 A ella le falta el 30% de lo que tiene para poder comprarlo. ¿Cuánto dinero tiene Gabriela? 1605.

a) S/.100

1606.

b) S/.200

1607.

c) S/.300

1608.

d) S/.400

4. En la panadería “Luchita” ha preparado 160 galletitas para la venta, después de dos horas aún le quedan 116, ¿en qué porcentaje disminuyó dicha cantidad? 1609.

a) 35,2%

1610.

b) 18,7 %

1611.

c) 4,5%

1612.

d) 27,5%.

5. Según la demanda de vuelos la aerolínea “Seguros y Rápidos” aumentó el costo de sus pasajes de manera sucesiva de 10% y 40% ¿A qué aumento único equivalen estos dos aumentos sucesivos? 1613.

a) 12%

1614.

b) 30%

1615.

c) 44%

1616.

d) 54%

6. Un automóvil cuesta 20 000 dólares si pasado un año su precio se reduce en un 20% y al año siguiente se reduce en un 10%, ¿cuál será su nuevo valor? 1617.

a) $12 000

1618.

b) $14 400

1619.

c) $15 000

1620.

d) $16 500

1621. 7. De acuerdo al problema anterior, si se realizan aumentos sucesivos del 20% y 15% del precio original, ¿cuál será su nuevo precio? 1622.

a) $18 000

1623.

b) $17 000

1624.

c) $23 600

1625.

d) $ 27 600

1626. 1627. 8. La municipalidad de San Martin decidió construir un parque que tiene la forma de un círculo. Si el radio se aumenta en un 100% ¿qué tanto por ciento aumentara su área? 1628.

a) 100%

1629.

b) 200%

1630.

c) 300%

1631.

d) 400%

9. En una tienda de ropa de moda los precios de las prendas de vestir de algunas marcas tienen un descuento solo por hoy, pero mañana se incrementarán. ¿Cuál será el precio final en ambos casos? 1632.

MARC AS

1633.

PRE CIO NORMA L

1634. DESC UENTO por hoy día

1635.

1638. TYF Y

1639. S/.3 0

1640. 10%

1644. SILV E

1645. S/.4 0

1650. GEN UINO

PRECIO FINAL

1636.

Aum ento para mañana

1637. Preci o final

1641.

1642. 3%

1643.

1646. 5%

1647.

1648. 2%

1649.

1651. S/.3 5

1652. 10%

1653.

1654. 3%

1655.

1656. PER UANO

1657. S/.5 0

1658. 15%

1659.

1660. 5%

1661.

1662. ELE GANTE

1663. S/.4 5

1664. 20%

1665.

1666. 4%

1667.

1668. MOD A

1669. S/.2 0

1670. 12%

1671.

1672. 2%

1673.

1674. 10. Joaquín quiere comprar una moto que cuesta S/.11900 incluido el 18% del I.G.V.

1675.

¿Cuánto es el costo real de la moto? Explica por qué razón. 1676.

a) S/.8 900

1677.

b) S/.9 000

1678.

c) S/.9 500

1679.

d) S/.1 800

11. Una colección de cuentos de Julio Córtazar tiene un costo de S/.833. Si en el precio está incluido el IGV, ¿cuánto será su valor original? 1680.

a) 100

1681.

b) 400

1682.

c) 600

1683.

d) 706

12. El arroz en el mercado ha bajado 20% pero para el próximo mes se prevé un aumento de 10% ¿Cuánto variará el precio con respecto al valor inicial? a) 12% b) 13% c) 22% d) 25% 13. Ayer, el costo de un SMARTTV fue de S/.3000, pero hoy su precio es de S/.2901. 1684.

¿Cuál es el porcentaje de diferencia entre ambas cantidades? 1685.

a) 3,3%

1686.

b) 4,3%

1687.

c) 2,2%

1688.

d) 3,1%

1689. 14. Anita tiene una tela de forma rectangular. Ella recorta el 10% del ancho y 20% del largo. La tele ahora tiene 36 m2 de área. Si antes de cortarla medía 2 m de ancho, ¿cuál fue la longitud del largo antes de ser cortada? 1690.

a) 20m

1691.

b) 24m

1692.

c) 25m

1693.

d) 28m

15. Un entidad financiera ofrece a sus clientes 6,5% de intereses en un año. Si el señor Gómez invierte S/. 5,000.00 ¿Cuánto dinero habría ganado durante el primer año. 1694.

a) S/.325

1695.

b) S/.435

1696.

c) S/.256

1697.

d) S/.654 1698.

Cuaderno Matema Para Ece

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