Material de
ECONOMETRIA I
CURSO 2017-II PROFESOR: CARLOS VILLANTOY VALDIVIA e-mail: cvillan cvillan!"#$an !"#$an%ina&e %ina&e %$&'e
1
INTRODUCCION -
-
-
-
-
-
Ec!n Ec!n!m !me e() ()a: a: e* e*e v!c v!ca+ a+l! l! '(!c '(!ce% e%ee %el %el ,(ie ,(ie,! ,! " *i, *i,ni nii ica ca .medida de la economía/ economía/ E* E*a %ei %ein nici icin n! n! ca(a ca(ac ce( e(i iaa c!m c!m'le 'leam amen ene e el el c!n c!nen enii%! %e %e la mae mae(i (ia a 'e(! 'e(! '!ne '!ne %e mani manii ie* e*! ! *$ ca(3c ca(3ce e(( nece* nece*a( a(ia iame men nee cuantitativo& cuantitativo& A l! l! la(,! %el iem'! la Ec!n!me()a 4a i%! am'lian%! *$ c!neni%! %e+i%! $n%amenalmene a 5 a*'ec!*: Te!()a Ec!nmica o El %e*a((!ll! %e la Te!()a o L!* avance* en la Te!()a E*a%)*ica o El %e*a((!ll! %e la In!(m3ica " la c(eciene %i*'!ni+ili%a% " 3cil acce*! a ,(an%e* +a*e* %e %a!* 6an! a nivel mac(! c!m! mic(!& P!( P!( an an! ! el el c!n c!nin$! in$! ava avanc ncee %e %e e*a e*a %i*c %i*cii'li 'lina 4ac 4acee 8$e 8$e n! n! 4a"a 4a"a $na %einicin ,ene(almene ace'a%a& In In(il (ili,a i,a!( !( 619 6197 7 %ei %eine ne Ec! Ec!n! n!me me()a ()a c!m! c!m! a8$ a8$el ellla (ama (ama %e %e la Ec!n!m)a 8$e *e !c$'a %e me%i( %e*%e el '$n! %e vi*a em')(ic! c$al8$ie( (elacin en(e va(ia+le* ec!nmica*& De ac$e ac$e(% (%! ! c!n c!n e*a e*a %ei %eini nici cin n l!* l!* %!* %!* in, in,(e (e%i %ien ene e** +3* +3*ic ic!* !* %e la Ec!n!me()a *!n: 1 La Te!()a Ec!nmica " 2 L!* %a!*& La ca(a ca(ac ce( e()* )*i ica ca $n% $n%am amen ena all %e %e e* e*aa %i* %i*ci ci'l 'lin inaa e* e* 8$e 8$e %e+e %e+e *a+e *a+e( ( c!n;$,a( 'e(ecamene am+!* in,(e%iene*& En !(a* 'ala+(a* $n ec!n ec!nm me e(a (a n! '$e% '$e%ee %ee %een% n%e( e( la me%i me%ici cin n *in *in e!() e!()a a 'e(! 'e(! am'!c! la e!()a *in %a!*& Sa+e Sa+e(( c!n c!n;$ ;$,a ,a(( 'e( 'e(e ec cam amen ene e e!( e!()a )a %a %a!* !* "
Relaciones entre la Teoría Teoría Económica y la Econometría 61 61
La Ec!n Ec!n!m !me e() ()aa nece nece*i *ia a '(ime '(ime(! (! %e la Te! Te!() ()aa Ec!n Ec!nm mic icaa 'a(a 'a(a 8$e le '(!'!(ci!ne $n ma(c! c!nce'$al c!nc(e!& P!( e;em'l! la e!()a %e =e"ne* '(!'!(ci!na $n ma(c! en el 8$e *e (elaci!nan %!* va(ia+le* va(ia+le* ec!nmica*: ec!nmica*: C!n*$m! C!n*$m! 6 C " Rena 6 Y en %!n%e a%em3* *e '!*$la 8$e el C e* $na $ncin %e la Y : C = f 6Y 7 " n! a la inve(*a& En !ca*i!ne* el ec!nme(a '$e%e 'a(i( n! %e $na e!()a e!()a *in! %el *eni%! c!m>n ! %e la in$icin in$icin %e 8$e e?i*a e?i*a $na (ela (elaci cin n en( en(ee $n c!n; c!n;$n $n! ! %e va(i va(ia+ a+le le*& *& P!( P!( e;em e;em'l 'l! ! '$e% '$e%ee 2
62 62
6@ 6@
'(e,$na(*e *i $n i'! %e ine(<* a c!(! 'la! %e'en%e %e *$ '(!'ia 4i*!(ia 'a*a%a ! n!& La e!() e!()aa ec!n ec!nm miica am+i am+i
Pasos en un Estudio Econométrico: 61 61 Pa(a Pa(a 8$e 8$e la e! e!()a ()a ec!n ec!nm mic icaa '$e% '$e%aa $i $ilia lia(* (*ee en $n e* e*$%i! $%i! ec!n!m<(ic! nece*ia %e $na ela+!(acin maem3ica 8$e %e l$,a( a $n m!%el! " en c!nc(e! a $n modelo econométrico& Un m!%el! ec!n!m n!m<(ic! n! e* $n m!%el! ,e!m e!m<(ic! ni $n m!%el! maem3 maem3ic ic!& !& En $n m!%el! m!%el! ,e!m<( ,e!m<(ic! ic! *e (e'(e*e (e'(e*ena nan n me%ian me%iane e ,(3 ,(3ic ic!* !* ! %ia, %ia,(a (ama ma** (ela (elaci ci!n !ne* e* en( en(ee va(i va(ia+ a+le le** ec!n ec!nm mic ica* a* 6IS 6ISLB LB Oe( e(a aD Deman eman%a %a& & En $n m!%e m!%el! l! ma maem3 em3iic! *e (e'(e*e (e'(e*ena nan n me%ian me%iane e ec$aci ec$aci!ne !ne** maem3 maem3ic ica* a* (elaci (elaci!ne !ne** en(e en(e va(ia+le*& P!( e;em'l! C = f 6Y 7 La* '(inci' '(inci'ale ale** %ie(e %ie(enci ncia* a* en(e en(e $n m!%el! m!%el! maem3 maem3ic ic! ! " $n! ec!n!m<(ic! *!n: a La !(m !(maa $nc $nci! i!nal nal 4a %e e*a e*a(( 'e( 'e(ec eca ame men nee %ei %eini ni%a %a&& P!( P!( b Y e* $na $ncin lineal ca(ace(ia%a '!( a " b e;em'l! C = a + bY 8$e *!n l!* 'a(3me(!* %e la mi*ma& La i%ea e* me%i( ! e*ima( n$m<(icamene a " b %a%a $na m$e*(a %e C e Y & + El ca(3ce( e*!c3*ic!& Un m!%el! ec!n!m<(ic! e* e*!c3*ic! '!(8$e a'a(ecen en el mi*m! va(ia+le* alea!(ia*& La e?ce'cin *!n (elaci!ne* '$(amene %ee(mini*a* c!m! la* i%eni%a%e* c!na+le*& b Y + e %!n%e e e* la 'e($(+ En n$e* n$e*( (! ! e;em e;em'l 'l! ! C = a + bY 'e($(+aci acin n alea!(ia "a 8$e n! n!* c(eem!* 8$e 4a"a $na (elacin e?aca en(e
@
C e Y & La ine('(eacin %e e e* la inl$encia c!m+ina%a *!+(e el C %e va(ia+le* %i*ina* a la Y & En c!nc(e! en la $ncin %e c!n*$m! e '$e%e (ec!,e( ac!(e* c!m! la* e?'ecaiva* %e l!*
a,ene* ac!(e* e*aci!nale* i'!* %e ine(<*& En e*a $ncin a*$mim!* 8$e el ac!( %ee(minane %el C e* la Y 'e(! e*! e* *l! $na a'(!?imacin& En ,ene(al e (ec!,e(3 .!%!* l!* all!* %el m!%el!/& La* 4i'e*i* 8$e 4a,am!* *!+(e e*a* va(ia+le* alea!(ia* *!n $n%amenale* 'a(a %eci%i( 8$<
=
a + bYt + e t
F$ene* $n%amenale* %e %a!* em'!(ale* *!n la C!na+ili%a% Naci!nal la EPA 6Enc$e*a %e P!+lacin Aciva el INE 6In*i$! Naci!nal %e E*a%)*ica E$(!*a Da!* %e !l*a ! el anc! %e E*'aa& N!(malmene *!n ,(a$i!*& Da!* %e *eccin c($a%a: mi%en $na va(ia+le en $n m!men! %ee(mina%! %el iem'! 'a(a %i*ina* eni%a%e*& E*a* eni%a%e* '$e%en *e( in%ivi%$!* amilia* 'a)*e* em'(e*a* C!m$ni%a%e* A$n!ma* *ec!(e* em'(e*a(iale* ec& P!( e;em'l! '!%em!* ene( $na $ncin %e c!n*$m! amilia(: Ci = a + bYi + e i %!n%e el *$+)n%ice i 4ace (ee(encia a la amilia& E*!* %a!* $n%amenalmene *e !+ienen a 'a(i( %e en(evi*a* ! enc$e*a* 4ec4a* a la* eni%a%e* c!((e*'!n%iene*& La* %!* $ene*
5
m3* im'!(ane* %e e*e i'! %e %a!* *!n: la EPF 6Enc$e*a %e P(e*$'$e*!* Familia(e* " la C 6Cen(al %e alance*& Da!* %e 'anel: *$(,en al c($a( $na *eccin c($a%a c!n $na *e(ie em'!(al& En n$e*(! e;em'l! en%()am!* el %a! %e c!n*$m! %e $na amilia a l! la(,! %e $na *e(ie %e a!*& Un 'anel *$'!ne %i*'!ne( %e m$c4a m3* in!(macin 8$e en $na *eccin c($a%a "a 8$e enem!* %i*ina* !+*e(vaci!ne* %e $na mi*ma va(ia+le 6c!n*$m! 'a(a $na mi*ma $ni%a% 6amilia& E*! e* %i)cil c!n*e,$i( en $na ciencia n! e?'e(imenal c!m! e* la Ec!n!m)a& En $n 'anel *e '$e%en analia( ! c!n(a*a( 4i'e*i* 8$e n! e* '!*i+le c!n $na *eccin c($a%a& P!( e;em'l! c!n(a*a( *i 4a 4a+i%! %ie(encia* en el c!m'!(amien! %el c!n*$m! %e la* amilia* %e*'$<* %e $n cam+i! %e '!l)ica ec!nmica 6im'$e*!* en $n m!men! %ee(mina%! %el iem'!& Tan! la* *ecci!ne* c($a%a* c!m! l!* 'anele* n! *$ele *e( in!(macin ,(a$ia& 6@ Una ve 8$e *e 4a e*'eciica%! el m!%el! " 8$e *e %i*'!ne %e l!* %a!* a%ec$a%!* %e !%a* la* va(ia+le* *e 'a*a a la ea'a %e estimación %el mi*m!& C!n*i*e en me%i( em')(icamene l!* 'a(3me(!* 8$e ca(ace(ian el m!%el! " a8$) en(a la e*a%)*ica *!+(e !%! la ine(encia e*a%)*ica 68$e $*a la in!(macin m$e*(al %i*'!ni+le 'a(a ine(i( ca(ace()*ica* %e !%a $na '!+lacin& 65 Una ve 8$e el m!%el! 4a *i%! e*ima%! $*an%! la* técnicas econométricas a%ec$a%a* lle,am!* al 'a*! %e la ve(iicacin ! alidación %el m!%el!& Se e*a+lecen c(ie(i!* 6,(3ic!* " e*a%)*ic!* 'a(a (ec4aa( ! ace'a( el m!%el!& A8$) c!miena $n '(!ce*! ie(aiv! en la m!%eliacin "a 8$e *i n! ace'am!* $n m!%el! n! l! $*am!* *in! 8$e (e!(m$lam!* el m!%el! e(ic! ! +ien (aam!* %e $na !(ma m3* a%ec$a%a l!* %a!*& A vece* e* 3cil e!(ia( *!+(e (elaci!ne* en(e va(ia+le* 8$e e*3n %eini%a* %e !(ma '(eci*a 'e(! !(a c!*a e* !+ene( %a!* *e,$(!* %e e*a* va(ia+le*& P!( e;em'l! e* %i)cil *iem'(e !+ene( %a!* (a!na+le* %e l!* +eneici!* %e $na em'(e*a %e $n i'! %e ine(<* ! %el *!c %e ca'ial %e $na ec!n!m)a& En al,$n!* ca*!* n! e?i*e c!n(a'a(i%a !+*e(va+le 'a(a $na va(ia+le e(ica&
Usos de un modelo econométrico estimado: P$e%en *e( va(i!*: 61 An3li*i* e*($c$(al& Se $*a el m!%el! e*ima%! 'a(a me%i( la (elacin en(e va(ia+le* ec!nmica*& Al,$n!* e;em'l!* *!n la me%icin %e la '(!'en*in ma(,inal a c!n*$mi( %e $n 'a)* %e la ela*ici%a% %eman%a-'(eci! %e $n +ien %e la ela*ici%a% %e la '(!%$ccin-in'$ %e $na em'(e*a %e la c$(va %e P4illi'* 6inlacin " 'a(! %e la (elacin en(e vena* " '$+lici%a% %e $n '(!%$c! en $na em'(e*a %e la (elacin en(e el (en%imien! " (ie*,! %e $n aciv! inancie(! %e la (elacin en(e el *ala(i! " el nivel %e e%$cacin %e $n in%ivi%$! ec& 62 P(e%iccin& E* el $*! m3* (ec$ene %e $n m!%el! ec!n!m<(ic!& Se $*a 'a(a '(e%eci( el val!( $$(! %e $na va(ia+le %e ine(<*& La* '(e%icci!ne* *e $*an 'a(a !ma( %eci*i!ne*& P!( e;em'l! !%! el m$n%! '(e%ice Inlacin PI ! C!n*$m!& F$e(a %e la ec!n!m)a !%!* l!* %)a* *e 4acen '(evi*i!ne* mee!(!l,ica*& 6@ Eval$acin %e '!l)ica* ec!nmica*& Se $*a 'a(a *im$la( el val!( $$(! %e $na va(ia+le +a;! %i*in!* *$'$e*!* %e ev!l$cin %e !(a*& En n$e*(! e;em'l! *e()a '(e%eci( el 'a(n %e ev!l$cin %e c!n*$m! +a;! %i*in!* e*cena(i!* %e ev!l$cin %e la (ena& Si $na a$!(i%a% c!n(!la al,$na* va(ia+le* c!m! la cani%a% %e %ine(! '$e%e eval$a( el eec! *!+(e la a*a %e inlacin ane %i*in!* e*cena(i!* %e c(ecimien! m!nea(i!&
Clasi!icación de aria"les en un modelo econométrico La '(inci'al cla*iicacin e* la %e: Va(ia+le En%,ena: e* a8$ella e?'lica%a '!( !(a* va(ia+le*& E* %en!a%a '!( y & Va(ia+le* E?,ena*: e?'lican a la en%,ena 'e(! n! '$e%en e*a( inl$i%a* '!( ella& P$e%e 4a+e( k va(ia+le* e?'licaiva* " *!n %en!a%a* '!( x1 x2 &&& xk & Ga" 8$e ene( en c$ena 8$e e*a %i*incin va()a %e'en%ien%! %el m!%el! ec!n!m<(ic! en 'a(ic$la( " *$ !+;eiv!& A*) $na e?,ena en $n m!%el! '$e%e 'a*a( a *e( la en%,ena %e !(!& E;& C = f 6Y 7 + e " Y = f 6M 7 + e %!n%e M e* cani%a% %e %ine(!& Va(ia+le* c!nin$a*: '$e%en !ma( val!(e* en !%!* l!* '$n!* %e la (eca (eal 6 C e Y & Va(ia+le* %i*c(ea*: *l! !man val!(e* en al,$n!* '$n!* %e la (eca (eal&
H
Un e;em'l! *!n la* va(ia+le* icicia* ! %$mmie* 8$e !man val!( $n! ! ce(!& La i%ea e* 8$e 4a" ca(ace()*ica* 8$e n! *e '$e%en me%i( 6en e$(!* en il!* ec 'e(! 8$e '$e%en *e( ac!(e* (elevane* a la 4!(a %e e?'lica( a !(a va(ia+le& P!( e;em'l! en la $ncin %e c!n*$m! amilia( a%em3* %e la (ena el 4ec4! %e 8$e la amilia viva en el cam'! ! en la ci$%a% '$e%e *e( (elevane 'a(a e?'lica( %ie(encia* en el c!n*$m!& Pa(a ell! *e c!n*($"e $na va(ia+le icicia 8$e !ma $n! 'a(a la* amilia* 8$e viven en la ci$%a% " ce(! 'a(a la* 8$e viven en el cam'! 6 Di " *e in(!%$ce c!m! $na e?,ena m3* en el m!%el!&
7
TEMA #$ E% MODE%O DE RE&RE'I(N %INEA% 'IMP%E ) &ENERA% El !+;eiv! e* e*'eciica( e*ima( " c!n(a*a( (elaci!ne* en(e va(ia+le* ec!nmica* $*an%! %a!*& Pa(a ell! e* nece*a(i! 4ace( $na *e(ie %e 4i'e*i* *im'liica!(ia* 61 *i+ótesis de linealidad en los +ar,metros& E*a+lece la lineali%a% en l!* 'a(3me(!* en la (elacin en(e la va(ia+le en%,ena " la* e?,ena*& E* %eci( en la $ncin %e c!n*$m! en%(em!*& Ct
=
b1 + b 2Y t + e t
%!n%e b 1 " b 2 *!n l!* 'a(3me(!* %e e*a (elacin& N! 4a" 8$e c!n$n%i( e*a 4i'e*i* %e lineali%a% c!n la lineali%a% en(e la* va(ia+le*& P!( e;em'l! en la* (elaci!ne* en(e y " x 8$e *e %an a c!nin$acin *l! la '(ime(a e* !(malmene lineal& Sin em+a(,! c$m'len la 4i'e*i* %e lineali%a% en l!* 'a(3me(!* la* (e*: y = b1 + b 2 x y = b1 + b 2e x y = b1 + b 2 ln x
En %ee(mina%a* (elaci!ne* ec!nmica* n! *e c$m'le la 4i'e*i* %e lineali%a% en l!* c!eiciene*& Un e;em'l! *encill! e* la $ncin %e '(!%$ccin %e i'! C!++-D!$,la* %!n%e Y (e'(e*ena el !$'$ %e la em'(e*a L e* (a+a;! " K e* el *!c %e ca'ial: Y
=
AK a Lb
L!* 'a(3me(!* %e*c!n!ci%!* %e e*a $ncin *!n A 6'a(3me(! %e eiciencia a 6ela*ici%a% %el !$'$ c!n (e*'ec! al ca'ial " b 6ela*ici%a% %el !$'$ c!n (e*'ec! al (a+a;!& Una *im'le (an*!(macin l!,a()mica en l!* %a!* 4ace 8$e e*a (elacin c$m'la la lineali%a% en l!* 'a(3me(!*& E* %eci(: ln Y
= ln
A + a ln K
+ b ln L
E;em'l!* %e (elaci!ne* en(e va(ia+le* ec!nmica* n! lineale* en l!* 'a(3me(!* 4a" m$c4!* '!( e;em'l! en $na $ncin %e C!n*$m! n! lineal c!m!: C
=
c
a + bY
%!n%e a b " c *!n l!* 'a(3me(!* 8$e ca(ace(ian e*a (elacin& En e*e ca*! 4a+()a 8$e e*ima( e*!* (e* 'a(3me(!* %a%a $na m$e*(a %e C " Y & C!n(a*a( $na (elacin lineal en(e C " Y e8$ivale a c!n(a*a( *i el 'a(3me(! c e* $nia(i! ! n!& 62 *i+ótesis de es+eci!icación correcta& E*a 4i'e*i* *$'!ne 8$e la* k va(ia+le* e?'licaiva* %el m!%el! *!n a8$ella* va(ia+le* (elevane* 8$e e?'lican el c!m'!(amien! %e la en%,ena& Y 8$e e*3n !%a*& N! e?i*e nin,$na va(ia+le xi 8$e n! e?'li8$e na%a %e la y & E* %eci( el m!%el! e*3 +ien 'lanea%! ! e*'eciica%!& E*a 4i'e*i* *$'!ne ace'a( en la '(3cica %!* c!*a* n! *iem'(e cie(a*: 6a Ace'a( 8$e *iem'(e 4a" $na e!()a %e(3* 8$e me 'e(mie *a+e( c>ale* *!n la* va(ia+le* (elevane* en ca%a m!%el!& 6+ Ace'a( 8$e *!+(e e*a* va(ia+le* %i*'!n,! *iem'(e %e in!(macin m$e*(al a%ec$a%a& El inc$m'limien! %e e*a 4i'e*i* *e %a en m$c4!* ca*!*& E;em'l!: Si $n! 8$ie(e e*ima( c!n %a!* %e *eccin c($a%a $na $ncin %e c!n*$m! e"ne*iana a%em3* %e la (ena amilia( e?i*en !(a* m$c4a* va(ia+le* 8$e e?'lican el c!m'!(amien! %el c!n*$m! %e $na amilia& P!( e;em'l! el n>me(! %e 4i;!* la e%a% %el ca+ea %e amilia *i la m$;e( (a+a;a ! n! *i *e vive en el cam'! ! en la ci$%a% ec& Sin em+a(,! n$nca *e(3 '!*i+le incl$i( !%a* " ca%a $na %e la* va(ia+le* 8$e %ee(minan el c!n*$m! %e $na amilia&
6@ *i+ótesis de -rados de li"ertad +ositios& L!* ,(a%!* %e li+e(a% %e $n m!%el! *e %einen c!m! la %ie(encia en(e el n>me(! %e %a!* 6 n " el n>me(! %e va(ia+le* e?'licaiva* 6 k & E* %eci( gl = n - k �0 & E*a 4i'e*i* *$'!ne 8$e c!m! m)nim! e* nece*a(i! %i*'!ne( %e an!* %a!* c!m! 'a(3me(!* a e*ima(& N! !+*ane e* '(ee(i+le *iem'(e %i*'!ne( %e m3* %a!* 8$e 'a(3me(!* a e*ima(& En el e;em'l! %e la $ncin %e c!n*$m! e"ne*iana 4a" 8$e e*ima( %!* 'a(3me(!* 6a " b& C!n $n >nic! %a! n! *e()a '!*i+le e*ima( %e !(ma >nica am+!* 9
'a(3me(!*& C!n %!* %a!* *e()a '!*i+le !+ene( $na >nica e*imacin %e a " b, 'e(! 'a(a 8$e la e*imacin *ea e*a+le e* me;!( ene( $na n$+e %e %a!* " '!c!* 'a(3me(!* a e*ima(& 65 *i+ótesis de +ar,metros constantes& E*a 4i'e*i* *$'!ne 8$e l!* 'a(3me(!* b1 b2 &&& b k *!n c!n*ane* en el iem'!& Si (a+a;am!* c!n n %a!* en la $ncin %e c!n*$m! e"ne*iana *$'!ne( 8$e la '(!'en*in ma(,inal a c!n*$mi( e* c!n*ane en el iem'! im'lica 8$e *e !+iene $na e*imacin 8$e 4a %e ine('(ea(*e c!m! la '(!'en*in ma(,inal a c!n*$mi( me%ia en e*e 'e()!%! %e ama! n& Si el 'e()!%! m$e*(al c!n el 8$e *e (a+a;a e* m$" am'li! " 4ee(!,
de
inde+endencia
lineal
entre
las
aria"les
e.+licatias& E*a 4i'e*i* im'lica 8$e ca%a va(ia+le e?'licaiva c!niene in!(macin a%ici!nal *!+(e la en%,ena 8$e n! e*3 c!neni%a en !(a*& Si 4$+ie(a in!(macin (e'ei%a 4a+()a va(ia+le* e?'licaiva* %e'en%iene* linealmene %e !(a*& F!(malmene *e '$e%e (e*$mi( la in!(macin m$e*(al *!+(e la* k va(ia+le* e?'licaiva* 6(e,(e*!(e* en $na ma(i %en!a%a '!( X %e ama! n �k c!n la *i,$iene e*($c$(a: x11 K � � �M O � xn1 L �
x1k
M xnk
%!n%e ca%a c!l$mna (ec!,e l!* %a!* a*!cia%!* a ca%a va(ia+le x & El 4ec4! %e 8$e ca%a c!l$mna *ea linealmene in%e'en%iene %e la* !(a* im'lica 8$e el (an,! %e la ma(i X e* c!m'le! e* %eci( i,$al a k & Si al,$na va(ia+le x e* linealmene %e'en%iene %e !(a %ecim!* 8$e e?i*e $n '(!+lema %e m$lic!lineali%a% e?aca& 6H *i+ótesis de re-resores no estoc,sticos& E*a 4i'e*i* im'lica 8$e l!* %a!* %e la* va(ia+le* e?'licaiva* *!n i;!* en m$e*(a* (e'ei%a*& E* %eci( el val!( %e la* va(ia+le* e?'licaiva* e* c!n*ane en la $ncin %e %i*(i+$cin %e la en%,ena& E?i*en (e* *i$aci!ne* en Ec!n!me()a %!n%e n! e* '!*i+le manene( e*a 4i'e*i*:
10
6H&1 B!%el!* %e ec$aci!ne* *im$l3nea*& P!( e;em'l! $n m!%el! %e %eman%a " %e !e(a %e $n +ien 8$e *e ine(cam+ia en $n me(ca%! c!m'eiiv! en e8$ili+(i! *e '$e%e e*c(i+i(:
qtd
qtd
=
pt
= c + dqt + e 2t
=
a + bpt
+ e 1t
o
qt o "t
= 1 2 K n
%!n%e *e !+*e(va $na (elacin +i%i(ecci!nal en(e el '(eci! 6 pt " la d o cani%a% ine(cam+ia%a 6 qt ! qt %e !(ma 8$e el '(eci! e* $na e?,ena en la ec$acin %e %eman%a " 'a*a a *e( la en%,ena en la ec$acin %e !e(a " '!( an! e*! 4ace 8$e *ea $n (e,(e*!( e*!c3*ic!& 6H&2 B!%el!* %in3mic!* en l!* 8$e a'a(ecen c!m! (e,(e*!(e* *$ce*iv!* (ea(%!* %e la va(ia+le en%,ena& P!( e;em'l! *i en la (elacin en(e c!n*$m! " (ena *e *$'!ne $n m!%el! %in3mic! c!m!: Ct
=
b1 + b 2Ct -1 + b @Y t
+ et
%!n%e el '(!'i! m!%el! in%ica 8$e el c!n*$m! (ea(%a%! e* $n (e,(e*!( e*!c3*ic! al %e'en%e( $n e((!( alea!(i! e t 1 & E* %eci(: -
Ct -1
=
b1 + b2 Ct -2
+ b@Y t -1 + e t -1
6H&@ B!%el!* c!n e((!(e* %e me%i%a en la* va(ia+le* e?'licaiva*& a;! la 4i'e*i* %e (ena 'e(manene %e F(ie%man el c!n*$m! *l! %e'en%e %el c!m'!nene 'e(manene %e la (ena 6 Y t : bY t + e t
Ct
=
Yt
= Yt
!
+ Y t
!
%!n%e el c!m'!nene (an*i!(i! 6 Y t ! la* %e*viaci!ne* alea!(ia* al(e%e%!( %e la (ena me%ia %e $n a,ene n! e* !+*e(va+le& P!( an! la ! (ena 'e(manene 6 Y t e* $n (e,(e*!( e*!c3*ic! "a 8$e Yt = Yt - Y t & De 4ec4! e*!* @ inc$m'limien!* %an l$,a( a @ ema* %e ec!n!me()a & 67 *i+ótesis re!erentes a las +ertur"aciones aleatorias El <(min! %e e((!( e t *ai*ace la* *i,$iene* 4i'e*i*:
del modelo&
11
67&1 E*'e(ana n$la en !%! in*ane %e iem'!: " 6e t = 0 "t = 1 2K n & Ya 8$e e t e* (aa%! c!m! la *$ma %e m$c4!* eec!* in%ivi%$ale* *!+(e la en%,ena %!n%e el *i,n! %e ca%a $n! e* %e*c!n!ci%! n! e?i*e nin,$na (an 'a(a e*'e(a( c$al8$ie( val!( %i*in! %e ce(!& S$'!n,am!* 8$e " 6e t 7 = m en!nce* el m!%el! b1 + b 2 xt + e t e* el mi*m! 8$e 6 b1 + m + b 2 xt + 6e t - m %!n%e el n$ev! <(min! %e e((!(: e tI = e t - m e* al I 8$e la " 6e t = 0 & Una *i$acin en la 8$e *e inc$m'le e*a 4i'e*i* e* c$an%! a *$ ve *e inc$m'le !(a c!m! e* !mii( en el m!%el! $na va(ia+le (elevane& Si la ve(%a%e(a $ncin %e c!n*$m! e* Ct
=
a + bYt
+ cit + e t
%!n%e it e* $n i'! %e ine(<* " *e (a+a;a c!n $n m!%el! 8$e !mie e*a va(ia+le: Ct
=
a + bYt +n t
%!n%e n t e* el <(min! %e e((!( %e e*a ec$acin " a%em3* *e *a+e 8$e n t = cit + e t & E* 3cil c!m'(!+a( 8$e " 6n t = cit �0 a$n8$e e t en,a e*'e(ana n$la& Se $*an la* 4i'e*i* %e 'a(3me(!* c!n*ane* " (e,(e*!(e* n! e*!c3*ic!*& 67&2 Va(iana c!n*ane 6G!m!ce%a*ici%a%& S$'!ne 8$e al c$m'li(*e 2 2 67&1 la va(6e t = " 6e t = s "t = 1 2 K n & Si la va(ia+ili%a% 6! %i*'e(*in al(e%e%!( %e la me%ia %e la* 'e($(+aci!ne* cam+ia c!n el iem'! 4a+lam!* %e 4ee(!ce%a*ici%a%& E* m$" (ec$ene la 4ee(!ce%a*ici%a% en m!%el!* %!n%e *e $*an %a!* %e *eccin c($a%a& Si enem!* la $ncin %e c!n*$m! amilia( $ilia%a 4a*a a4!(a e* 3cil c!m'(en%e( 8$e a8$ella* amilia* c!n ma"!( nivel %e (ena en,an ma"!( va(ia+ili%a% en *$ c!n*$m! 6a%em3* %e *ai*ace( nece*i%a%e* +3*ica* '$e%en c!n*$mi( !(a* c!*a*& P$e*! 8$e el e((!( %el m!%el! e*3 (elaci!na%! c!n el c!n*$m! l! 8$e !c$((i(3 e* 8$e a ma"!( (ena ma"!( va(iana en el c!n*$m! " '!( an! ma"!( va(iana en el e((!(& 67&@ A$*encia %e a$!c!((elacin en !%! in*ane %e iem'!& Im'lica 8$e la c!v6e t e # = " 6e t e # = 0 "t # = 1 2 K n t �# & Si 4a" a$!c!((elacin el e((!( en $n m!men! %el iem'! a"$%a()a a '(e%eci( el e((!( en $n
12
m!men! '!*e(i!( " l!* e((!(e* en%()an ine(cia& Si n! 4a" a$!c!((elacin la 4i*!(ia 'a*a%a n! a"$%a a '(e%eci( el c!m'!(amien! $$(! " l!* e((!(e* *!n c!m'leamene alea!(i!* e im'(evi*i+le*& E* m$" (ec$ene el inc$m'limien! %e e*a 4i'e*i* en m!%el!* %!n%e *e $*an %a!* %e *e(ie* em'!(ale*& E*a* (e*(icci!ne* *e im'!nen 'a(a e?i,i( .$n +$en c!m'!(amien!/ a la* va(ia+le* e t a$n8$e am+i
Ba(i %e va(iana* " c!va(iana*: Se()a $na ma(i 8$e (ec!,e la* va(iana* %e ca%a va(ia+le en la %ia,!nal '(inci'al " la* c!va(iana* en(e $na 'e($(+acin " !(a %ie(ene $e(a %e la %ia,!nal& E* *im<(ica %eini%a '!*iiva " %e ama! n n & �va(6e1 c!v6e 1e 2 � c!v6e 2e1 va(6e 2 va(6e = � � & & � � c!v6e ne1 c!v6e ne 2 �
& c!v6e 1e n � � " 6e12
" 6e 1e 2
& c!v6e 2e n � � " 6e 2e 1
��
& &
=
� � va(6e n � � &
� & � � " 6e ne 1 �
L!* elemen!* %ie(ene* %e %ic4a ma(i *!n
" 6e 1e n
" 6e 2
&
" 6e 2e n
&
&
&
2
" 6e 2e n &
n6 n + 17 2
&
" 6e n2
& N! !+*ane *i la
m$e*(a %i*'!ni+le e* %e ama! n "a n! enem!* ,(a%!* %e li+e(a% 'a(a ca(ace(ia( el <(min! %e e((!( "a 8$e 4a+()a 8$e e*ima( n me%ia* "
n6 n + 17 2
va(iana* " c!va(iana* %i*ina*& La* 4i'e*i* 67
4acen 8$e el vec!( %e me%ia* *ea n$l! " la ma(i %e va(-c!v $na ma(i %ia,!nal en %!n%e *l! 4a+()a 8$e e*ima( la va(iana c!n*ane s 2 "a 8$e '!( a$*encia %e a$!c!((elacin !%a* la* c!va(iana* *!n ce(!&
NOTACI(N MATRICIA% DE% MODE%O %INEA% &ENERA%
1@
La in!(macin a*!cia%a a la va(ia+le en%,ena *e almacena en $n vec!( c!l$mna Y %e ama! n �1 : y1 � � Y J �& � yn �
La in!(macin a*!cia%a a la* va(ia+le* e?'licaiva* *e (ec!,e en $na ma(i llama%a X %e ama! n �k : x11 & x1k � � X J �& & & � xn1 & xnk �
La* 'e($(+aci!ne* en $n vec!( e %e ama! n �1 " l!* 'a(3me(!* en $n vec!( b %e ama! k �1 :
e /
�e 1 � �& � e n �
K
�b 1 � b J �& �b � k
El m!%el! lineal ,ene(al 6BL e*c(i! en !(ma ma(icial ! c!m'aca e*: y1 x11 & x1k � � � � �& J �& & & � � yn xn1 & xnk � �
�b 1 �e 1 � � & M � �& �b � e n � k �
! +ien Y J b M e & E*e e* $n *i*ema %e n ec$aci!ne* 8$e *e c!((e*'!n%e c!n la !(ma c!m'aca %e e*c(i+i( el BL& La* 4i'e*i* *!+(e la* 'e($+aci!ne* en n!acin ma(icial *!n: E6 e J 0 K va( 6 e J E6 e e ! J s 2 $ %!n%e $ e* la ma(i i%eni%a%
METODO' DE E'TIMACI(N DE% MODE%O %INEA% 'IMP%E ) &ENERA%
15
Estimación del modelo lineal sim+le: S$'!n,am!* 8$e 8$e(em!* e*ima( l!* 'a(3me(!* %e la $ncin %e c!n*$m! e"ne*iana 6m!%el! %e (e,(e*in lineal *im'le: Ct
=
a + bYt + e t
%!n%e a e* el c!n*$m! a$n!m! " b la '(!'en*in ma(,inal a c!n*$mi(& Pa(a ell! *e %i*'!ne %e $na m$e*(a %e n %a!* %e c!n*$m! " (ena 8$e *e '$e%e (e'(e*ena( en el 'lan! C t e Y t & Ca%a '$n! (e'(e*ena el 'a( %e val!(e* %e C!n*$m! " Rena !+*e(va%!* en e*e 'e()!%! 6a! c!nc(e!& E*! *e %en!mina NUE DE PUNTOS (eal %!n%e 4a+(3 an!* '$n!* c!m! %a!* $ilia%!*& (3ic!: N$+e %e '$n!* (eal " (eca %e a;$*e 2500
2000 O M U S 1500 N O C
1000
500 500
1000
1500
2000
2500
3000
RENTA
Si *$'!nem!* $n m!%el! lineal en(e am+a* va(ia+le* %a%a la n$+e %e '$n!* $na e*imacin %el m!%el! viene %a%a '!( $na (eca llama%a RECTA DE AUSTE %eini%a '!(: P aP + bY t
%!n%e aP (e'(e*ena $na e*imacin %el c!n*$m! a$n!m! " b $na e*imacin %e la '(!'en*in ma(,inal a c!n*$mi(& Pa(a ca%a val!( %e Y t la (eca %e a;$*e ,ene(a $n val!( %e c!n*$m! 8$e %en!am!* '!( C t 8$e n! iene '!( 8$< c!inci%i( c!n el c!n*$m! (eal C t & Si %a%! $n val!( %e la Y t el m!%el! '(e%ice $n val!( %e c!n*$m! al 8$e CPt = C t en e*e in*ane %e iem'! el m!%el! a;$*a 'e(ecamene& Si %a%! $n val!( %e la Y t el m!%el! ,ene(a $n val!( %el c!n*$m! al 8$e CPt < C t el m!%el! in(ae*ima el ve(%a%e(! val!( %el c!n*$m! en e*e a! " c!mee $n e((!(& E*e e((!( e* me%i+le " *e %en!mina RESIDUO e* %eci(
1
e Pt
P & = Ct - C t
El (e*i%$! '$e%e *e( n$l! '!*iiv! ! ne,aiv! *i el m!%el! acie(a in(ae*ima ! *!+(e*ima el ve(%a%e(! val!( %e c!n*$m!& En ,ene(al en !%!* l!* '$n!* %e la n$+e (eal '!( encima %e la (eca %e a;$*e el ve(%a%e(! val!( %e c!n*$m! e*3 '!( encima %e l! 8$e '(e%ice la (ecaK en l!* '$n!* *!+(e la (eca %e a;$*e el m!%el! n! *e e8$iv!ca " en l!* '$n!* %e la n$+e (eal '!( %e+a;! %e la (eca el ve(%a%e(! val!( %e c!n*$m! e*3 '!( %e+a;! %e l! 8$e a;$*a el m!%el! 6la (eca& El !+;eiv! a4!(a e* c!n*e,$i( $na e*imacin %e a " b %e mane(a 8$e *e c$m'la al,>n c(ie(i! %e !'imali%a%& P!( e;em'l! $n c(ie(i! *e()a minimia( la *$ma %e l!* (e*i%$!* c!mei%!* en !%a la m$e*(a: n
min
�
n
e Pt
=
min
t =1
�C
t
P P - bY -a t
t =1
E*e n! e* $n +$en c(ie(i! "a 8$e l!* e((!(e* in%ivi%$ale* 8$e c!mee el m!%el! '$e%en *e( m$" ,(an%e* 'e(! al ene( *i,n! l!* e((!(e* ,(an%e* " '!*iiv!* *e '$e%en c!m'en*a( c!n l!* ,(an%e* " ne,aiv!*& La *!l$cin !+via e* elimina( en e*e c(ie(i! el *i,n! %e l!* (e*i%$!* !man%! '!( e;em'l! el val!( a+*!l$!: n
min
�e P
t
t =1
En e*e ca*! el '(!+lema e* la %iic$la% anal)ica %e !+ene( $na *!l$cin 'a(a a " b & N! !+*ane !(a !(ma %e elimina( el *i,n! %e $na va(ia+le e* eleva(la al c$a%(a%!& El c(ie(i! %e !'imali%a% *e()a !+e(ne( $na e?'(e*in %e a " b 8$e minimie la *$ma %e l!* c$a%(a%!* %e l!* (e*i%$!*: n
min
�e P
2 t
t =1
n
=
min
�6C
t
P P - bY -a t
2
t =1
8$e iene la* vena;a* %e 61 elimina( la c!m'en*acin %e e((!(e* '!( el *i,n! 62 'enalia( m3* l!* e((!(e* ,(an%e* 8$e l!* 'e8$e!* " 6@ lleva( a $na *!l$cin anal)ica *encilla& E*e c(ie(i! %e e*imacin e* el m3* c!n!ci%! en Ec!n!me()a " *e %en!mina BCO 6B)nim!* C$a%(a%!* O(%ina(i!*& E;em'l!: O+ene( la e?'(e*in BCO 'a(a a " b en la $ncin %e C!n*$m! =e"ne*iana:
1H
n
min
n
�
e Pt2
�6C
min
=
t
t =1
P P - bY -a t
2
t =1
S!l$cin: C!n%ici!ne* %e '(ime( !(%en: n
� �e Pt 2
n
t =1
= -2
� aP
�6C
P = 0 P - bY -a t
t
t =1
n
� �e Pt 2
n
t =1
= -2
bP �
�6C
P Y = 0 P - bY -a t t
t
t =1
E*e e* $n *i*ema %e %!* ec$aci!ne* c!n %!* inc,nia*& De la '(ime(a c!n%icin *e !+iene 8$e: n
-
�
Ct
+
naP + bP
n
P �Y = 0 � aP = C - bY
t
t =1
t =1
%!n%e C e Y (e'(e*enan la* me%ia* m$e*(ale* %e C!n*$m! " Rena (e*'ecivamene& U*an%! la *e,$n%a c!n%icin %e '(ime( !(%en " la *!l$cin 'a(a aP *e !+iene: n
-
�
CtYt
t =1
n
P +a
�
Yt
+ bP
n
�
t =1
Yt 2
n
�
=0�-
t =1
P + 6C - bY
Ct Yt
t =1
n
�
Yt
t =1
+ bP
n
�Y
t
t =1
2
= 0
" !'e(an%!: bP6
n
n
n
�
�
�
t =1
t =1
t =1
Yt 2 - Y
Yt =
n
bP =
-C
�Y
�
t =1
t
n
�
Ct Yt
�Y
t
�6C - C6Y - Y
- nCY
t =1 n
t =1
n
CtYt
t
= 2
- nY
2
t
t =1 n
�6Y - Y 2
t
t =1
La* %!* (m$la* en l!* (ec$a%(!* *!n l!* e*ima%!(e* BCO 'a(a l!* 'a(3me(!* a " b& Pa(a $na m$e*(a c!nc(ea %e C!n*$m! " Rena el e*ima%!( '(!'!(ci!na $na e*imacin c!nc(ea %el c!n*$m! a$n!m! " %e la '(!'en*in ma(,inal a c!n*$mi(&
17
E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: C!m'(!+a( 8$e la *!l$cin !+eni%a e* $n m)nim!& E* %eci( m!*(a( 8$e el 4e**ian! e* %eini%! '!*iiv!: � �2 �ePt2 � 6� aP 2 � % = 2 � ��ePt2 � P ��� � b aP
�2 �e Pt 2 �� aP bP �2 �e Pt 2 6� bP 2
Estimación del modelo lineal -eneral 0M%&1: Da%a la !(m$lacin ma(icial %el BL Y J b 2 e 3 el !+;eiv! e* %e n$ev! !+ene( la e?'(e*in anal)ica %el e*ima%!( BCO %e b & Pa(a ell! *e %eine el vec!( %e (e*i%$!* e %e ama! n �1 8$e $na ve c!n*e,$i%a $na e*imacin %el vec!( b *e calc$la(3 c!m!: eP = Y
-
P X b
La $ncin !+;eiv! *i,$e *ien%! minimia( la *$ma %e c$a%(a%!* %e l!* (e*i%$!* c!n (e*'ec! a l!* k 'a(3me(!* %el m!%el! 8$e '$e%e e*c(i+i(*e c!m!: n
min
�eP
2 t
=
min eP ! eP
=
min6Y
-
X bP ! 6Y
-
X bP
t =1
O'e(an%!: min6Y !
- bP
!
! X 6Y
-
! X bP = min6Y Y
- 2 bP
!
!
X Y
!
+ bP
!
! X X bP
C!n%ici!ne* %e '(ime( !(%en: � eP! e P ! ! P =0 = -2 X Y + 2 X X b P � b
%!n%e *e 4an eni%! en c$ena l!* *i,$iene* (e*$la%!* *!+(e %e(iva%a* ma(iciale*: � & ! ' =' � &
K
� & ! A& = 2 A& � &
*ien%! & " ' %!* vec!(e* %e ama! c!m'ai+le " A $na ma(i c$a%(a%a& La *!l$cin anal)ica a la* c!n%ici!ne* %e '(ime( !(%en e*:
1
P = X ! Y X ! X b
E*e e* $n *i*ema %e k ec$aci!ne* c!n k inc,nia* 6 bP1 bP2 &&& b Pk llama%! *i*ema %e ec$aci!ne* n!(male*& El e*ima%!( b 8$e *ai*ace e*e *i*ema *e llama e*ima%!( '!( BCO& La !(ma m3* *encilla %e (e*!lve( e*e *i*ema e* '(em$li'lica( el mi*m! '!( la inve(*a %e la ma(i X ! X %e ama! 6 k �k enien%! 8$e: P = 6 X ! X -1 X ! Y b
E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: C!m'(!+a( 8$e la *!l$cin !+eni%a e* $n m)nim!&
Pro+iedades estadísticas del estimador MCO de b : %inealidad: El e*ima%!( BCO %e
b e* lineal& La lineali%a% c!n*i*e en
'!%e( e*c(i+i( el e*ima%!( c!m! $na c!m+inacin lineal i;a %e l!* val!(e* %e la va(ia+le en%,ena&
Prue"a: Den!an%! '!(
(
= 6X
!
1 ! X - X el e*ima%!( BCO %e b *e
'$e%e e*c(i+i( c!m! b P = (Y %!n%e '!( la 4i'e*i* %e (e,(e*!(e* i;!* *a+em!* 8$e ca%a e*ima%!( *e '$e%e e*c(i+i( c!m! $na c!m+inacin lineal i;a %e l!* val!(e* %e la va(ia+le en%,ena Y &
Inses-ade4: El e*ima%!( BCO %e
b e* in*e*,a%!& E* %eci( la me%ia %e la %i*(i+$cin m$e*(al %e b c!inci%e c!n el ve(%a%e(! b & Si la " 6 bP 7 �b la* e*imaci!ne* 8$e c!n*e,$im!* c!n el e*ima%!( n! *!n
i,$ale* al ve(%a%e(! vec!( %e 'a(3me(!* ni *i8$ie(a en me%ia& A la %ie(encia " 6 bP 7 - b *e le %en!mina *e*,!& La in*e*,a%e e* $na '(!'ie%a% %e*ea+le 'e(! n! a !%a c!*a& P!( e;em'l! '!%em!* ene( %!* e*ima%!(e* ale(naiv!* %e b $n! in*e*,a%! " !(! *e*,a%!& Si l!* val!(e* 8$e !ma el e*ima%!( *e*,a%! !*cilan men!* al(e%e%!( %e b 8$e el in*e*,a%! el '(ime(! en%()a men!* va(iana 8$e el *e,$n%!& E* %eci( a vece* $n 'e8$e! *e*,! c!m'en*a '!( la men!( va(iana&
Prue"a: La e?'(e*in %el e*ima%!( BCO %e
P = 6 X ! X 7 -1 X ! Y *e b b
'$e%e e*c(i+i( c!m! bP = b + 6 X ! X 7 1 X ! e *in m3* 8$e *$*i$i( el val!( %e Y '!( el m!%el! Y = X b + e & P!( an!: -
" 6 bP = "Q b
+6X
!
X -1 X ! e R = " 6 b + "Q6 X ! X -1 X ! e R = b
+6 X
!
X -1 X ! " 6 e = b
19
%!n%e *e 4an $*a%! la* 4i'e*i* %e 61 'a(3me(!* c!n*ane* 62 (e,(e*!(e* i;!* e in%e'en%iene* linealmene " 6@ e*'e(ana n$la %el <(min! %e e((!( &
E!iciencia: El e*ima%!( BCO %e
b e* eiciene& E* %eci( iene
va(iana m)nima %en(! %e la amilia %e e*ima%!(e* lineale* e in*e*,a%!* %e b & E*! e* l! 8$e %em$e*(a el Teorema de &auss5 Mar6o& Pe(! ane* 4a" 8$e %e(iva( la e?'(e*in %e la ma(i %e va(iana*-c!va(iana* %el e*ima%!( BCO %e b & ! ! 1 ! ! S! 1 va(6 bP = "Q6 bP - b 6 bP - b R = "Q6 X X - X ee X 6 X X - R
Sa+ien%! 8$e '!( 4i'e*i* l!* (e,(e*!(e* *!n i;!*: va(6 bP = 6 X ! X -1 X ! " 6ee ! X 6 X ! X -1
" inalmene a'lican%! la* 4i'e*i* %e 8$e la* 'e($+aci!ne* ienen e*'e(ana n$la va(iana c!n*ane " a$*encia %e a$!c!((elacin: va(6 bP = s 2 6 X ! X -1
E*a e* la e?'(e*in %e la m)nima va(iana %e $n e*ima%!( lineal e in*e*,a%! %e b 6ve( A'
Estimador MCO de la arian4a residual s 2 Da%a $na m$e*(a %e Y " X c!n la e?'(e*in %el e*ima%!( BCO e* '!*i+le calc$la( $na e*imacin '$n$al %e l!* 'a(3me(!* 'e(! n! e* '!*i+le calc$la( $na me%i%a %e la ince(i%$m+(e a*!cia%a a %ic4a e*imacin 6va(iana '!(8$e s 2 e* c!n*ane 'e(! %e*c!n!ci%!& Un e*ima%!( in$iiv! %e la va(iana %e la* 'e($(+aci!ne* c!n*i*e en %ivi%i( la *$ma %e c$a%(a%!* %e l!* (e*i%$!* BCO '!( n) N! !+*ane 'a(a 8$e %ic4! e*ima%!( *ea in*e*,a%! 4a" 8$e '!n%e(a( la *$ma %e c$a%(a%!* %e l!* (e*i%$!* '!( l!* ,(a%!* %e li+e(a%& E* %eci(: n
�e P
2 t
P2 s
=
t =1
n-k
=
eP! e P n-k
E*e e*ima%!( e* in*e*,a%! e* %eci( la " 6sP 2 = s 2 "a 8$e la " 6eP ! eP7 = 6n - k 7s 2 &
20
Prue"a: El vec!( %e (e*i%$!* BCO *e '$e%e e*c(i+i( c!m!: eP = Y
- YP = Y -
P =Y X b
- X 6X
!
X -1 X !Y
= Q$ - X
6 X ! X -1 X ! RY
= MY
%!n%e la ma(i M %e ama! 6n �n7 e* la llama%a ma(i %e '(!"eccin 8$e iene '(!'ie%a%e* im'!(ane*: 61 e* *im<(ica 62 i%em'!ene 6@ n! iene inve(*a " 65 e* !(!,!nal a la ma(i X e* %eci( MX = 0 & E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: P(!+a( e*a* c$a(! '(!'ie%a%e* %e la ma(i M & A 'a(i( %e la (elacin ane(i!( " %e la* '(!'ie%a%e* %e la ma(i M *e !+iene: eP = MY = M 6 X b + e = M e & P!( an! *iem'(e 8$e *e %e*ee la *$ma %e c$a%(a%!* %e l!* (e*i%$!* *e '$e%e e*c(i+i( c!m! $na !(ma c$a%(3ica: e! e = e ! M e
Finalmene la e*'e(ana %e e*a *$ma e* i,$al a: " 6eP! eP = " 6e ! M e = "Qt* 6e ! M e R = "Qt* 6 M ee ! R = = t*Q " 6M ee
!
R = t*Q M"6 ee ! R = t*Q M s 2 R = s 2t* Q M R
" la (aa %e la ma(i M : t* 6 M = t*Q $
-
X 6 X ! X 1 X ! R = n - t* Q X 6 X ! X 1 X ! R = n - t* Q6X ! X 1 X ! X R = n - k -
-
-
"a 8$e la ma(i M e* c$a%(a%a " %e %imen*in n " 6 X ! X 7 1 %e ama! 6 k �k 7 & De 4ec4! la '($e+a %e 8$e e*a ma(i n! iene inve(*a e* inme%iaa "a 8$e el (an,! %e $na ma(i i%em'!ene c!inci%e c!n *$ (aa& -
Una ve !+eni%! $n e*ima%!( in*e*,a%! %e la va(iana (e*i%$al %a%a c$al8$ie( m$e*(a %e Y " X en el BL l!* 'a*!* en la e*imacin BCO *!n: 61 b P = 6 X ! X 7 1 X ! Y -
62 s P
2
=
eP! e P
n - k P bP = s P 2 6 X ! X -1 6@ va(6
21
E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: P(!+a( 8$e el e*ima%!( %e la va(iana %el BCO e* in*e*,a%!& E* %eci( la " Qva(6 P & P bP R = va(6 b b E;e(cici! n$m<(ic! 1: va(ia+le* yt " xt :
Da%a la *i,$iene m$e*(a em'!(al %e la*
&05 H&9 7& &1 &@@ 9&9H 7&25 5&2H 10&5 5&2 &H 10 1@ 9 11 15 H 5 12 7
yt xt
O+ene(
la
e*imacin BCO %e l!* 'a(3me(!* %el m!%el! yt = b1 + b 2 xt + e t a*) c!m! $na e*imacin in*e*,a%a %e la va(iana (e*i%$al " %e la ma(i %e va(iana*-c!va(iana* %el e*ima%!( %e b 1 " b 2 & S!l$cin: El c3lc$l! %e la e?'(e*in b P = 6 X ! X 7 1 X ! Y 'a(a e*a m$e*(a e*: -
11 � �x � �= � � x �x � �99 �
�n
!
X X = �
t
t
99
2 t
1001
�� yt � �:2&F1 �= � y x � t t � �797&H0 �
X ! Y = �
1 P � � � b 11 99 1001 � �:2&F1 � 1 � P = �1 �= b = � �� � �-99 P � � 99 1001� � 797&H0 � 1210 � b � 2 -
-99 � �:2&F1
� �@ �� �= � 11 � 797&H0 0&F � ��
El m!%el! e*ima%! *e e*c(i+e yPt = @ + 0&F xt & La e*imacin %e la va(iana (e*i%$al '!( BCO e?i,e calc$la( la *$ma %e c$a%(a%!* %e (e*i%$!*: eP1
= y1 -
yP1
P11 = = :&05 - : = 0&05K&&&K e
y11 - yP11
= F&H: - F&F = 0&1:
11
�e P
2 t
11
+, =
�eP
2 t
2
P e = = 15K s
t =1
t =1
n - k
=
15 11 - 2
= 1&FF
P!( >lim! la e*imacin %e la ma(i %e va(iana* " c!va(iana* %el e*ima%!( BCO %e b 1 " b 2 e*: P bP = s P e 2 6 X ! X -1 va(6
P � 1&FF � �va(6 P bP1 P bP1b c!v6 1001 2 =� �= �-99 P � 1210 � P b P bP1bP2 c!v6 va(6 � 2
-99 � �=
�1&27 -0&1@ � -0&1@ 0&015 11 � �
22
Pro+iedades al-e"raicas del criterio de estimación MCO Ga" 8$e %i*in,$i( la* '(!'ie%a%e* al,e+(aica* %el c(ie(i! BCO %e'en%ien%! %e *i el m!%el! inc!('!(a ! n! $n <(min! c!n*ane& El *i*ema %e ec$aci!ne* n!(male* 'a(a $n m!%el! c!n <(min! c!n*ane iene la *i,$iene e*($c$(a: P = X ! Y X ! X b
! +ien: �1 � x12 � �& � x1k �
1
&
x22
&
1 � 1 x12 �
P � 1 � b x1k � � 1 � � � � P � x12 & x2 k � b 2 &
�� 1 x22 �� � =� � � � �& & & � & & & & �& �� �� � � & xnk � 1 xn 2 & xnk � x1k � P � � � b k � �
& x 2k
xn 2
1
&
x22 & x 2k
1 � �y1
�� y2 �� �& & & � �� & xnk � yn � & x n2
%!n%e la '(ime(a c!l$mna %e la ma(i X e* %ee(mini*a " vale *iem'(e $n! 6e* el llama%! <(min! c!n*ane %el m!%el!& O'e(an%! en el *i*ema ane(i!( *e !+iene: � n � �& �& � �&
�x � x
�x �x x
t2
t@
2 t2
tk
t 2 t@
&
&
&
&
P � � y b �� 1 �t ��P � � b 2 � � � �xt 2 yt t 2 tk � = ��& � � & & � � � 2 � P � � � xtk �� �xtk yt b k � �
�x �x x
La '(ime(a ec$acin %el *i*ema %e ec$aci!ne* n!(male* %e $n m!%el! c!n <(min! c!n*ane e*: nbP1 +
�x
t2
bP2 + &&& +
�x
tk
P b k
=
�y
t
! +ien en <(min!* ma(iciale*: P = i! Y i! X b ! %!n%e i! e* $n vec!( ila $nia(i! %e ama! n K i = [ 1 1 & 1] & A 'a(i( %e e*a '(ime(a ec$acin 8$e c$m'le el c(ie(i! BCO e* 3cil %e(iva( al,$na* '(!'ie%a%e* al,e+(aica*:
Pro+iedad #& En el BL c!n <(min! c!n*ane e*ima%! '!( BCO la me%ia m$e*(al %e l!* (e*i%$!* e* n$la e* %eci( e = 0 & 2@
Prue"a: A 'a(i( %e la '(ime(a ec$acin n!(mal %e $n m!%el! c!n c!n*ane: i! X bP
=i
!
Y � i! 6Y
-
X bP = 0 � i! 6Y
- YP = 0
� i! eP = 0 � �ePt = 0
Pro+iedad 7& En el BL c!n <(min! c!n*ane e*ima%! '!( BCO la me%ia m$e*(al %e la va(ia+le en%,ena c!inci%e c!n la me%ia m$e*(al %e la va(ia+le a;$*a%a '!( el m!%el! e* %eci(: Y = Y P &
Prue"a: A 'a(i( %e la '(ime(a ec$acin n!(mal %e $n m!%el! c!n c!n*ane: P = i! Y � i !YP i! X b
=i
!
Y�
�yP = �y t
t
Pro+iedad 8& En el BL c!n ! *in <(min! c!n*ane e*ima%! '!( BCO l!* (e*i%$!* *!n !(!,!nale* a la* va(ia+le* e?'licaiva* e* %eci(: n
� x e P = 0 "i = 1 2 &&& k &
!
X e P = 0 & En <(min!* e*cala(e*
ti t
t =1
Prue"a: A 'a(i( %el *i*ema %e ec$aci!ne* n!(male* BCO: X ! X bP
=
X ! Y � X ! 6Y
-
X bP = 0 � X ! e P = 0
Pro+iedad 9& En el BL c!n ! *in <(min! c!n*ane e*ima%! '!( BCO l!* (e*i%$!* *!n !(!,!nale* a la va(ia+le en%,ena a;$*a%a e* n
%eci(: Y P ! e P = 0 & En <(min!* e*cala(e*
� yP e P = 0 & t
t
t =1
Prue"a: A 'a(i( %e la mi*ma c!n%icin %e !(!,!nali%a%: YP ! eP = 0 � 6 X bP 7! eP = 0 � bP ! X ! eP
=0
enien%! en c$ena la '(!'ie%a% @ %e !(!,!nali%a% en(e l!* (e*i%$!* " l!* (e,(e*!(e*&
Pro+iedad & En el BL c!n ! *in <(min! c!n*ane e*ima%! '!( BCO la *$ma %e c$a%(a%!* %e la va(ia+le en%,ena (eal e* i,$al a la *$ma %e c$a%(a%!* %e la va(ia+le a;$*a%a m3* la *$ma %e c$a%(a%!* %e (e*i%$!* e* %eci(: Y ! Y = YP ! YP + eP! e P & O +ien e*c(ia en <(min!* e*cala(e* n
n
n
� y = �
�e P $
t =1
t =1
2 t
yPt2 +
t =1
2 t
25
Prue"a: La *$ma %e c$a%(a%!* %e (e*i%$!* BCO *e '$e%e e*c(i+i( c!m!: eP! eP = 6Y
-
X bP ! 6Y
-
X bP = Y ! Y
- 2 bP
!
X !Y
+ bP
!
X ! X bP
S$*i$"en%! en el >lim! *$man%! la e?'(e*in anal)ica %el e*ima%!( BCO %e b : ! ! eP eP = Y Y
- 2bP
!
+ bP
!
X Y
!
!
!
1
!
X X 6X X - X Y
=Y
!
Y
- bP
!
!
X Y
Finalmene: YP ! YP = bP ! X ! X bP = b P! X ! Y E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: P(!+a( %e $na mane(a %ie(ene e*a '(!'ie%a% 4acien%! $*! %e la '(!'ie%a% 5&
Pro+iedad ;$ En el BL c!n <(min! c!n*ane e*ima%! '!( BCO la '(!'ie%a% *e c$m'le c$an%! la* va(ia+le* *e e?'(e*an en %e*viaci!ne* c!n (e*'ec! a *$* me%ia* e* %eci(: 6Y
- iY
!
6Y - iY = 6YP - iYP ! 6YP - iYP + 6 eP - i eP ! 6 eP - i eP
%!n%e i e* $na c!l$mna $nia(ia %e ama! n&
Prue"a: A'lican%! la* '(!'ie%a%e* al,e+(aica* 1 " 2 la e?'(e*in ane(i!( en <(min!* e*cala(e* 8$e%a (e%$ci%a a:
�6 y
t
-
y
2
=
�6 yP
" !'e(an%! '(!'ie%a% &
-
t
� y
2 t
y
2
- ny
+
2
�e P
=
2 t
�yP
2 t
- ny
2
+
�e P
2 t
8$e *e c!((e*'!n%e c!n la
A la *$ma %e c$a%(a%!* %e l!* val!(e* %e la en%,ena al(e%e%!( %e *$ me%ia *e le llama +! 6S$ma T!alK a la *$ma %e c$a%(a%!* %e la va(ia+le a;$*a%a en %e*viaci!ne* +" 6S$ma E?'lica%a " a la *$ma %e c$a%(a%!* %e (e*i%$!* *e le %en!mina + 6S$ma Re*i%$al& P!( an! e*a >lima '(!'ie%a% *e e?'(e*a c!m! +! = +" + +, & La ine('(eacin %e e*a i,$al%a% e* $na %e*c!m'!*icin %e va(iana*& E* %eci( %ivi%ien%! '!( n in%ica 8$e %e !%a la va(ia+ili%a% 8$e 4a" 8$e e?'lica( %e la en%,ena 6+! 4a" $na 'a(e ca'a%a '!( el m!%el! 6+" " !(a 'a(e 8$e n! '$e%e *e( e?'lica%a 6+& Si el m!%el! a;$*a 'e(ecamene la +J- " la +!.+" & Si el m!%el! n! e?'lica na%a la +" = 0 " la +! = +, & 2
E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: C!m'(!+a( 8$e *e c$m'len e*a* H '(!'ie%a%e* c!n l!* %a!* %el e;e(cici! n$m<(ic! 1&
Medidas de "ondad de a
2
=
+" +!
= 1-
+, +!
en %!n%e *e 4a $*a%! la '(!'ie%a% %e 8$e la +! = +, + +" '!( l! 8$e la e?'(e*in %a%a *e c!((e*'!n%e c!n $na me%i%a %e +!n%a% *l! v3li%a *i el m!%el! iene <(min! c!n*ane& El val!( %el 2 6m$li'lica%! '!( 100 *e ine('(ea c!m! el '!(cena;e %e la va(iana %e la en%,ena 8$e 8$e%a e?'lica%a '!( el m!%el!& A%em3* e*3 ac!a%! en(e ce(! " $n!& Si el , 2 = 0 el a;$*e e* n$l! "a 8$e la +" = 0 & Si el , 2 = 1 el a;$*e e* 'e(ec! "a 8$e la +" = +! ! +ien la +, = 0 & A;$*e* ine(me%i!* %a()an l$,a( a $n , 2 = 0&F & E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: P(!+a( 8$e en $n m!%el! c!m! yt el , 2 = 0 &
=
b
+ e t
El 2 e* m$" 3cil %e calc$la( " m$" $*a%! 'e(! 4a" 8$e ene( en c$ena 8$e iene '(!+lema*&
Pro"lemas del 2 $ En '(ime( l$,a( '$e%e *e( en,a!*! mi(a( *l! el 2 *in mi(a( l!* %a!*& B$c4a* vece* el 2 e* m$" al! en (elaci!ne*
e*'>(ea*& El e;em'l! m3* am!*! en la lie(a$(a ec!n!m<(ica e* la (elacin en(e el N %e nacimien!* en $n a! en l!* EEUU " el N %e ci,$ea* en e*e mi*m! a! " e*a%!*& La e*imacin %el m!%el! 8$e e?'lica el N %e nacimien!* en $ncin %el N %e ci,$ea* '(!'!(ci!na $n 2 m$" eleva%! " e*! *a+em!* 8$e e* e*'>(e!& La (an e* 8$e en e*e a! la c!((elacin m$e*(al en(e am+a* va(ia+le* $e m$" ala "
2H
a$n8$e n! 4a" nin,$na (elacin ca$*al en(e am+a* el c!eiciene %e %ee(minacin e* +$en! 'e(! en,a!*!& En (elaci!ne* %!n%e iene *eni%! (elaci!na( %ee(mina%a* va(ia+le* 6C!n*$m! " Rena el c!eiciene %e %ee(minacin '$e%e *e( e?ce*ivamene al! *i en el 'e()!%! m$e*(al c!n*i%e(a%! am+a* va(ia+le* ev!l$ci!nan %e !(ma m$" 'a(eci%a ! '(e*enan $na en%encia c!m>n& O(! '(!+lema %i*in! %el 2 c!nvenci!nal e* 8$e n$nca em'e!(a c$an%! en el m!%el! in(!%$cim!* va(ia+le* e?'licaiva* a%ici!nale*& E* %eci( a$n8$e $na n$eva va(ia+le n! *ea m$" (elevane *$ inc!('!(acin 4ace 8$e en el 'e!( %e l!* ca*!* el 2 n! cam+ie ! +ien c!n $n '!c! %e *$e(e a$mene& In(!%$ci( $n n$ev! (e,(e*!( en el m!%el! iene %!* eec!*: 61 %i*min$"en l!* ,(a%!* %e li+e(a% " <*e e* ne,aiv! " 62 %i*min$"e la *$ma (e*i%$al " <*e e* '!*iiv!& Si el 'e*! %el eec! ne,aiv! e* ma"!( 8$e la me;!(a en el a;$*e n! c!m'en*a(3 in(!%$ci( e*a n$eva va(ia+le " a la inve(*a& La *!l$cin a <*e >lim! '(!+lema e* $ilia( el llama%! 2 a;$*a%! ! c!((e,i%! %e ,(a%!* %e li+e(a% 6 2 8$e *e calc$la c!m!: , 2
= 1-
n -1 n - k
61 - , 2
En e*a !(m$lacin %el 2 *e ienen en c$ena %!* eec!*: 61 Si a$mena el n>me(! %e (e,(e*!(e* en el m!%el! %i*min$"en l!* ,(a%!* %e li+e(a% " e*! *e 'enalia e* %eci(: �k�
n k
n -1 n - k
, 2 " 62
E*!* n$ev!* (e,(e*!(e* '$e%en me;!(a( el m!%el! en <(min!* %e a;$*e +, ,2 , 2 & Si el eec! %e 'enaliacin e* men!( e* %eci(: �k 8$e el eec! %e me;!(a en el a;$*e el 2 a$mena(3 e in%ica(3 8$e c!m'en*a la in(!%$ccin %e e*a* n$eva* va(ia+le* " a la inve(*a& C!m! e;em'l! *$'!n,am!* 8$e *e 4an e*ima%! %!* $nci!ne* %e c!n*$m! ale(naiva*: P aP + bY t P Ct = aP + bY t Ct
=
Pt + e
K ,2
P t +n Pt + ci
= 0&:0
K , 2
= 0&:7
%!n%e it e* $n Ti'! %e ine(<*& Am+!* m!%el!* e*3n ani%a%!* "a 8$e *e 8$ie(e e?'lica( el C!n*$m! en $ncin %e la Rena 6en el '(ime(! ! +ien in(!%$ci( $n n$ev! (e,(e*!( 6Ti'! %e ine(<* en el m!%el! m3* 27
*encill!& El 4ec4! %e 8$e el 2 *ea ma"!( en el m!%el! m3* c!m'lica%! in%ica 8$e el Ti'! %e ine(<* e* $na va(ia+le 8$e c!m'en*a in(!%$ci( 6en <(min!* %e a;$*e a 'e*a( %e 8$e l!* ,(a%!* %e li+e(a% 4a"an %i*min$i%!&
Deriación del 2 : Se !+iene a 'a(i( %el 2 c!nvenci!nal , 2
= 1-
+, +!
=1-
+, A n +! A n
%!n%e %ivi%ien%! '!( n la S$ma Re*i%$al " la S$ma T!al e*a me%i%a *e '$e%e ine('(ea( c!m! $n (ai! %e va(iana*& Im'lanan%! la (e*(iccin %e 8$e l!* e*ima%!(e* %e la* va(iana* (e*i%$al " %e la va(ia+le en%,ena *ean in*e*,a%!* *e !+iene el 2 c!((e,i%! %e l!* ,(a%!* %e li+e(a%: , 2
= 1-
+, A n - k +! A n - 1
=1-
n -1
61 - , 2 n -k
E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: Calc$la( el 2 c!nvenci!nal " el c!((e,i%! $*an%! l!* %a!* %el e;e(cici! n$m<(ic! 1& Ine('(ea( e*e c!eiciene&
Pr,ctica con los datos de Anscom"e y Eie=s$ En $n c!n!ci%! (a+a;! '$+lica%! '!( F&& An*c!m+e en 197@ 6.(a'4* in Sai*ical Anal"*i*/ !/e Ame*ican +tati#tician 27 ''&17-21 *e il$*(an al,$n!* a*'ec!* +3*ic!* %el an3li*i* %e (e,(e*in lineal $*an%! l!* %a!* *im$la%!* 8$e i,$(an en la a+la *i,$iene 6am+i
t 1 2 @ 5 H 7 9 10 11
yt 1
yt 2
yt @
yt 5
xt 1
xt 2
&05 H&9 7& &1 &@@ 9&9H 7&25 5&2H 10&5 5&2 &H
9&15 &15 &75 &77 9&2H &10 H&1@ @&10 9&1@ 7&2H 5&75
7&5H H&77 12&75 7&11 7&1 &5 H&0 &@9 &1 H&52 &7@
H& &7H 7&71 &5 &57 7&05 &2 12&0 &H 7&91 H&9
10&00 &00 1@&00 9&00 11&00 15&00 H&00 5&00 12&00 7&00 &00
&00 &00 &00 &00 &00 &00 &00 19&00 &00 &00 &00 2
Da%a e*a in!(macin *e 'i%e: 61
E*ima( '!( BCO la* c$a(! (e,(e*i!ne* c!n <(min! c!n*ane 8$e *e in%ican a c!nin$acin:
6a yt1 = b11 + b12 xt1 + e t 1 6+ yt 2 = b 21 + b 22 xt 1 + e t 2 6c yt @ = b@1 + b @2 xt1 + e t @ 6% yt 5 = b 51 + b 52 xt 2 + e t 5 U*an%! Evie* l!* (e*$la%!* *!n: B!%el! 6a Dependent Variable: Y1 Methd: !ea"t S#$are" Date: 11%0&%03 Ti'e: 1(:03 Sa'ple: 1 11 )n*l$ded b"er+atin": 11 Variable Ce,,i*ient C 3.000091 1 0.500091 R."#$ared 0.666542 Ad$"ted R."#$ared 0-&2442 S-E- , rere""in 1.236603 S$' "#$ared re"id 13.76269 ! li6elihd .1&-0&4 D$rbin.at"n "tat 3-212240
Std- Errr
t.Stati"ti* 1.124747 2-&&(3 0.117906 -2155 Mean dependent +ar S-D- dependent +ar A6ai6e in, *riterin S*h7ar8 *riterin 9."tati"ti* /rb;9."tati"ti*<
/rb0-025( 0-0022 7.500909 2.031568
3-255(4 3-4(42 1(-444 0-0021(0
B!%el! 6+ Dependent Variable: Y2 Methd: !ea"t S#$are" Date: 11%0&%03 Ti'e: 1(:22 Sa'ple: 1 11 )n*l$ded b"er+atin": 11 Variable Ce,,i*ient C 3.000909 1 0.500000 R."#$ared 0.666242 Ad$"ted R."#$ared 0-&2415 S-E- , rere""in 1.237214 S$' "#$ared re"id 13.77629 ! li6elihd .1&-&12 D$rbin.at"n "tat 2-1(5(0
Std- Errr
t.Stati"ti* 2-&&&(5 1.125302 -23540 0.117964 Mean dependent +ar S-D- dependent +ar A6ai6e in, *riterin S*h7ar8 *riterin 9."tati"ti* /rb;9."tati"ti*<
/rb0-025 0-0022 7.500909 2.031657
3-2&5&( 3-4412 1(-4&5&5 0-0021(4
29
B!%el! 6c Dependent Variable: Y3 Methd: !ea"t S#$are" Date: 11%0&%03 Ti'e: 1(:2& Sa'ple: 1 11 )n*l$ded b"er+atin": 11 Variable Ce,,i*ient C 3.002455 1 0.499727 R."#$ared 0.666324 Ad$"ted R."#$ared 0-&2424 S-E- , rere""in 1.236311 S$' "#$ared re"id 13.75619 ! li6elihd .1&-304 D$rbin.at"n "tat 2-135(
Std- Errr
t.Stati"ti* 2-&(000 1.124481 -2343(2 0.117878 Mean dependent +ar S-D- dependent +ar A6ai6e in, *riterin S*h7ar8 *riterin 9."tati"ti* /rb;9."tati"ti*<
/rb0-025& 0-0022 7.500000 2.030424
3-2510( 3-4(52 1(-4(22 0-0021(&
B!%el! 6% Dependent Variable: Y Methd: !ea"t S#$are" Date: 11%0&%03 Ti'e: 1(:2& Sa'ple: 1 11 )n*l$ded b"er+atin": 11 Variable Ce,,i*ient C 3.001727 2 0.499909 R."#$ared 0.666707 Ad$"ted R."#$ared 0-&24&(5 S-E- , rere""in 1.235695 S$' "#$ared re"id 13.74249 ! li6elihd .1&-32&1 D$rbin.at"n "tat 1-&&2223
Std- Errr
t.Stati"ti* 2-&(0(&3 1.123921 -2302 0.117819 Mean dependent +ar S-D- dependent +ar A6ai6e in, *riterin S*h7ar8 *riterin 9."tati"ti* /rb;9."tati"ti*<
/rb0-025& 0-0022 7.500909 2.030579
3-2111 3-4&55 1-00324 0-0021&5
O+*<(ve*e 8$e en l!* c$a(! m!%el!* c!inci%en !%!* l!* (e*$la%!* BCO: 61 La e*imacin '$n$al %e la c!n*ane " la 'en%iene 62 la me%ia " la %e*viacin )'ica m$e*(al %e la va(ia+le %e'en%iene 6@ el c!eiciene %e %ee(minacin c!nvenci!nal " c!((e,i%! 65 la *$ma %e c$a%(a%!* %e (e*i%$!* 6 la %e*viacin )'ica (e*i%$al " 6H la* %e*viaci!ne* )'ica* %e l!* 'a(3me(!* e*ima%!* '!( BCO& A la vi*a %e e*!* (e*$la%!* l!* c$a(! m!%el!* a;$*an i,$al& A'(!?ima%amene el HH&7 %e la* l$c$aci!ne* %e la en%,ena vienen e?'lica%a* '!( la va(ia+ili%a% %e la e?,ena& Sin em+a(,! l!* %a!* $ilia%!* n! *!n l!* mi*m!*& B$c4a* vece* la (e'(e*enacin ,(3ica %e l!* %a!* n!* a"$%a a enen%e( l!* (e*$la%!* n$m<(ic!* %e $na *im'le e*imacin lineal&
@0
62
Re'(e*ene ,(3icamene la n$+e %e '$n!* (eal ;$n! c!n la (eca a;$*a%a en ca%a $n! %e l!* c$a(! m!%el!* c!n*i%e(a%!*: 12
10
10
1 Y
2 Y
&
&
2 2
&
10
12
1
1&
2
&
1
10
12
1
1&
1
1
1
12
12
10
10
3 Y
0 Y
&
&
2
&
10
12
1
1
1&
5
10
15
20
2
En el m!%el! 6a la (elacin en(e la* va(ia+le* e* m3* ! men!* lineal l$e,! la 4i'e*i* %e lineali%a% en l!* 'a(3me(!* 4ace 8$e el a;$*e *ea (a!na+le& En el m!%el! 6+ la (elacin en(e la* va(ia+le* e* cla(amene n! lineal " el a;$*e '!%()a me;!(a( cla(amene e*'eciican%! el m!%el! %e !(a* !(ma* c!m! '!( e;em'l!: yt
=
b1 + b 2 xt
yt
=
b1 + b 2 ln xt
2
+ b @ xt + e t
+ e t
En el m!%el! 6c !%!* l!* '$n!* %e la n$+e (eal e?ce'$an%! $n! *e a;$*an ca*i 'e(ecamene en $na (eca 8$e n! e* la e*ima%a '!(8$e e*e valo* atípico 6el e(ce( 'a( %e val!(e* 4ace 8$e la (eca %e a;$*e cam+ie %e 'en%iene " el a;$*e *ea 'e!(& En e*e ca*! *e a'(en%e 8$e la '(e*encia %e $na ! m3* !+*e(vaci!ne* a)'ica* '$e%en ale(a( !%!* l!* @1
(e*$la%!* %e la e*imacin& P!( an! el (aamien! %e a)'ic!* ane* %e e*ima( $na (elacin '$e%e *e( c($cial& En el m!%el! 6% enem!* !(! '(!+lema %ie(ene en l!* %a!*& L!* %a!* %e la va(ia+le e?'licaiva xt 2 *!n !%!* i,$al a e?ce'$an%! el !cav! val!( 8$e e* i,$al a 19& De 4ec4! <*e e* el %a! 8$e 4ace 8$e la (eca %e a;$*e e*< ancla%a %!n%e e*3& Si elimin3(am!* el 'a( %e val!(e* %e la en%,ena " %e la e?,ena 'a(a el in*ane t.2 n! *e()a '!*i+le e*ima( '!( BCO el m!%el! "a 8$e *e()an 'e(ecamene c!lineale* la c!n*ane " la va(ia+le e?'licaiva 6la '(ime(a vale $n! en !%a la m$e*(a " la *e,$n%a vale & E;e(cici!* 'a(a el e*$%iane $*an%! EVie*: 61 C!n l!* %a!* $*a%!* en el m!%el! 6+ (ee*ime $*an%! la* e*'eciicaci!ne* ale(naiva* 8$e *e '(!'!nen& C!m'a(e l!* (e*$la%!*& 62 WCm! cam+ian l!* (e*$la%!* %e la e*imacin %el m!%el! 6c *i *e elimina el e(ce( 'a( %e val!(e* !+*e(va%!* *!+(e yt @ " xt 1 X& 6@ W$< '(!'ie%a% iene la ma(i X ! X *i *e elimina el !cav! 'a( %e val!(e* %e yt 5 " xt 2 en la (e,(e*in 6%X
E'TIMACI(N DE% M%& POR M>?IMA @ERO'IMI%ITUD E* !(! m<!%! %e e*imacin %el vec!( %e 'a(3me(!* b en el BL& E*e c(ie(i! '(!'!(ci!na $n val!( %e l!* 'a(3me(!* 8$e ma?imian la '(!+a+ili%a% 6! ve(!*imili$% %e 8$e c!n e*e val!( *e ,ene(en la* mi*ma* !+*e(vaci!ne* %e la va(ia+le Y 8$e la* !+*e(va%a*& E* %eci( ma?imia la ve(!*imili$% %e 8$e el m!%el! e*ima%! '(!'!(ci!ne l!* mi*m!* %a!* %e Y 8$e l!* !+*e(va%!* en la (eali%a%& E* $n c(ie(i! %e e*imacin 8$e iene '(!'ie%a%e* e(ica* m3* $e(e* 8$e el BCO& A cam+i! (e8$ie(e %e $na 4i'e*i* a%ici!nal: la 4i'e*i* %e n!(mali%a% %e la* 'e($(+aci!ne* %el m!%el!& De 4ec4! e*a 4i'e*i* *e '$e%e ;$*iica( '!( %ive(*!* m!iv!*: 6a
Sa+em!* 8$e e t (e'(e*ena la inl$encia c!m+ina%a %e $n ,(an n>me(! %e va(ia+le* e?'licaiva* 8$e n! *e incl$"en e?'l)ciamene en la ma(i X & A%em3* *e e*'e(a 8$e la inl$encia %e e*a* va(ia+le* *ea 'e8$ea " en el me;!( %e l!* ca*!* alea!(ia& (acia* al Te!(ema Cen(al %el L)mie *e '$e%e %em!*(a( 8$e *i e?i*e $n n>me(! ,(an%e %e va(ia+le* alea!(ia* in%e'en%iene* e i%
@2
6+
6c
6%
Una va(iane %el Te!(ema Cen(al %el L)mie ai(ma 8$e a$n8$e el n>me(! %e va(ia+le* n! *ea m$" ,(an%e ! n! *ean e*(icamene in%e'en%iene* *$ *$ma '$e%e *e,$i( enien%! $na %i*(i+$cin n!(mal& C!n el *$'$e*! %e n!(mali%a% *e '$e%en !+ene( 3cilmene la* %i*(i+$ci!ne* 8$e *i,$en l!* e*ima%!(e* BCO '$e*! 8$e $na $ncin lineal %e $na va(ia+le n!(mal 4e(e%a la n!(mali%a%& Rec!(%a( 8$e bP MC3 = f 6e 7 & E*! e* c($cial 'a(a '!%e( 4ace( ine(encia e*a%)*ica ace(ca %e b & La %i*(i+$cin n!(mal e* $na %i*(i+$cin *encilla ca(ace(ia%a *l! '!( %!* 'a(3me(!* 6me%ia " va(iana& S$* '(!'ie%a%e* e(ica* 4an *i%! am'liamene e*$%ia%a*&
Deriación de la !unción de erosimilitud del modelo: Si e : 4 6 m S7 e* %eci( $na n!(mal m$liva(iane c!n me%ia m " ma(i %e va(iana* S la $ncin %e %en*i%a% e*: f 6e = 62 P - n A 2
-1A 2
S
�1 e?' � - 6e �2
!
- m S
-1
6e
- m
Da%a* la* 4i'e*i* 4a+i$ale* *!+(e e *a+em!* 8$e m = 0 " $ncin %e %en*i%a% ane(i!( e* m3* *im'le: f 6e = 62P -
nA2
2n A 2
s-
� 1 ! e?' � e e 2 2 s �
2
S = s $ "
la
P$e*! 8$e Y e* $na $ncin %e e c!n!cem!* la $ncin %e %i*(i+$cin %e Y a'lican%! el (e*$la%! %e 8$e: f 6Y = f 6e
� e � Y
%!n%e el >lim! <(min! e* el val!( a+*!l$! %el %ee(minane %el ac!+ian! %e la (an*!(macin& E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: C!m'(!+a( 8$e en el m!%el! Y = X b + e el %ee(minane %el ac!+ian! %e la (an*!(macin e* $n! " '!( an! f 6Y 7 = f 6e 7 & P!( an!:
@@
� 1 6Y 2 � 2s
f 6Y = f 6e = 62P - n A 2 s -2n A 2 e?' � -
-
X b ! 6Y
-
�
X b �= L6 b s 2
*ien%! la $ncin %e ve(!*imili$% c$an%! %e'en%e %e l!* 'a(3me(!* b " s 2 %a%a $na m$e*(a %e Y " X & E*a e* la $ncin %e %en*i%a% c!n;$na %e Y " X %a%!* l!* val!(e* %e l!* 'a(3me(!* b " s 2 & O+ene( la e?'(e*in %e l!* e*ima%!(e* '!( m3?ima ve(!*imili$% %e b 2
" s 2 *$'!ne ma?imia( la $ncin %e ve(!*imili$% L6 b s & Pa(a 8$e *ea m3* 3cil " '$e*! 8$e n! cam+ia el 'im! *e ma?imia el l!,a(im! ne'e(ian! %e la $ncin %e ve(!*imili$%: n n 1 ma? ln L6 b s 2 = - ln 2P - ln s 2 6Y 2 2 2 2s
-
X b ! 6Y
-
X b
C!n%ici!ne* %e '(ime( !(%en: �ln L6 b s 2 � b �ln L6 b s 2 � s2
=-
=-
1 2s
2
n 2s 2
6-2 X ! Y
-
6Y
+ 2X
- X b
!
!
6Y
P X b = 0 � b M5
- X b
2
= 6X
!
X -1 X ! Y
� 1 � 2 P M5 - 5 � = 0 � s � � s �
=
eP! eP
n
P!( an! el e*ima%!( BV %e b c!inci%e c!n el BCO 'e(! n! e* a*) 'a(a el e*ima%!( %e la va(iana %e la* 'e($(+aci!ne* s 2 & En c!nc(e! *a+em!* 8$e el e*ima%!( BV %e la va(iana %e la* 'e($(+aci!ne* n! e* in*e*,a%! "a 8$e 'a(a 8$e l! *ea e* nece*a(i! '!n%e(a( la *$ma %e c$a%(a%!* %e (e*i%$!* '!( l!* ,(a%!* %e li+e(a% n - k & E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: Enc!n(a( la e?'(e*in " el *i,n! %el *e*,! %el e*ima%!( BV %e la va(iana %e la* 'e($(+aci!ne* e* %eci( 2 2 P M5 " 6sP M5 - s 2 = #e#go6s & E;e(cici! 'a(a el e*$%iane: C!m'(!+a( 8$e e*am!* en $n m3?im!& La ma(i 4e**iana %e *e,$n%a* %e(iva%a* 'a(ic$la(ia%a en el '$n! en el 8$e *e c$m'len la* c!n%ici!ne* %e '(ime( !(%en e* %eini%a ne,aiva " iene la e?'(e*in: � X ! X � 2 s % = � � 0 � �
0 -
n 2s 5
@5
Pro+iedades estadísticas del estimador M@: La c!a %e C(ame( Ra! '(!'!(ci!na la m)nima va(iana 8$e '$e%e alcana( c$al8$ie( e*ima%!( in*e*,a%! %e $n vec!( %e 'a(3me(!*& Dic4a c!a viene %a%a '!( la inve(*a %e la ma(i %e in!(macin 6 $ %!n%e <*a viene %eini%a '!( la e*'e(ana %el 4e**ian! cam+ia%a %e *i,n!& E* %eci(: � �b �2 ln L6q 7 $ = - " � 2 *ien%! q = � 2 s � � �q
T!man%! la* %e(iva%a* *e,$n%a* a la* c!n%ici!ne* %e '(ime( !(%en *e iene 8$e: �2 ln L 6b s 2 7 �2 b �2 ln L6 b s 2 7 6� b 76� s 27 �2 ln L6 b s 2 6� s 2 6� s 2
=-
=
=
X ! X s 2
X ! Q X b - Y R s 5 n 2s
5
-
QY
-
X b R! QY s
H
- X b R
" !(man%! el 4e**ian!: � X ! X � s2 % = � � � �
X ! Q X b - Y R s 5 n 2s
5
-
QY
-
X b R! QY
-
X b R
H
s
La e*'e(ana %e l!* <(min!* %el 4e**ian! e* i,$al a: � X ! X � X ! X " � =2 � s s 2 � � � X ! Q X b - Y R � �X ! e � " � �= " �s 5 �= 0 5 s � � � � �n " � 5 2s �
-
QY
-
X b R! QY s
H
-
X bR�
n
�= 2s 5 �
-
"Qe ! e R s
H
=
n 2s
5
-
ns 2 s
H
=-
n 2s 5
@
P$e*! 8$e la ma(i %e in!(macin e* %ia,!nal '!( +l!8$e* *$ inve(*a am+i
-1
-
0 2s 5 n
E*a ma(i in%ica 8$e la c!a ine(i!( 'a(a la va(iana %e $n e*ima%!( in*e*,a%! %e b e* s 2 6 X ! X 7 1 " la c!a ine(i!( 'a(a la va(iana %e $n -
2
e*ima%!( in*e*,a%! %e s e* la e?'(e*in
2s 5 n
&
En el ca*! BCO " BV el e*ima%!( %e b iene $na ma(i %e va(iana* 8$e alcana la c!a e?acamene l$e,! e* eiciene& 2
En el ca*! BCO el e*ima%!( %e s iene $na va(iana i,$al a
2s 5 n - k
6ve( A'
En el ca*! BV el e*ima%!( %e s iene $na va(iana i,$al a
2s 5 6 n - k 7 n
n
6ve( A'
A+éndice #: Te!(ema %e a$**-Ba(!v& E*e e!(ema %em$e*(a 8$e el e*ima%!( BCO %e b e* el 8$e iene m)nima va(iana %en(! %e la amilia %e e*ima%!(e* lineale* e in*e*,a%!*& %el e*ima%!( BCO %e b iene la e?'(e*in P = (Y va(6 bP = s 2 6 X ! X 1 & La e?'(e*in %el e*ima%!( BCO %e b e* b %!n%e ( = 6 X ! X 1 X ! & Den!an%! '!( b P I = CY %!n%e C �( en%(< !%!* l!* e*ima%!(e* %e b %i*in!* al BCO " lineale*& Pa(a 8$e a%em3* b *ea in*e*,a%! *e en%(3 8$e c$m'li( 8$e " 6bP I 7 = b & P!( an! la " 6 bP I = "QC 6 X b + e R = CX b " 4a+(3 8$e im'!ne( 8$e CX = $ k & La
va(iana
-
-
@H
La va(iana %el e*ima%!( %e b llama%! b e*: va(6 bP I = "Q6 bP I - b 6 bP I - b ! R = "6 Cee ! C !
=s
2
CC !
A$n8$e !%av)a n! *!n c!m'a(a+le* am+a* ma(ice* %e va(iana* " c!va(iana* e* '!*i+le *iem'(e %e*c!m'!ne( $na ma(i i;a c!m! la C en la *$ma %e !(a* %!*: C = ( + D %!n%e D �0 " '!*m$li'lican%! '!( la ma(i X e*a i%eni%a% enem!* 8$e CX = (X + DX & C!m! CX = $ k '!( in*e*,a%e " (X = $ k '!( %einicin e* !+vi! 8$e DX = 0 & P!( an!: va(6 bP I = s 2CC !
=s
2
6(
+
D6(
enien%! en c$ena 8$e (( !
+ D
=
!
=s
2
(( !
+s
6 X ! X -1 " D( !
2
DD!
= (D
+s
!
=
2
D( !
+s
2
(D !
0 *e !+iene :
I 2 ! 1 2 ! I 2 ! va(6 bP 7 = s 6 X X 7- + s DD � va(6bP 7 = va(6bP 7 + s DD
" la ma(i s 2 DD! e* %eini%a '!*iiva '!( c!n*($ccin&
A+éndice 7$ Di*(i+$ci!ne* %e l!* e*ima%!(e* BCO " BV %e
b " %e
s 2 &
A 'a(i( %e la 4i'e*i* %e n!(mali%a% %e la* 'e($(+aci!ne* e* 3cil !+ene( la* %i*(i+$ci!ne* %e l!* e*ima%!(e* BCO " BV&
Distri"ución del estimador de
b +or MCO y M@: En am+!* c(ie(i!*
la (m$la %el e*ima%!( c!inci%e " al '!%e( e*c(i+i( el e*ima%!( c!m! $na $ncin lineal %e la* 'e($(+aci!ne* bP = b + 6 X ! X 7 1 X ! e la n!(mali%a% *e 4e(e%a& P!( an!: -
bP : 4 Qb s 2 6 X ! X -1 R
Distri"ución del estimador de s 2 +or MCO y M@ : Pa(a !+ene( e*a %i*(i+$cin e* nece*a(i! el $*! %e $n (e*$la%! e*a%)*ic! '(elimina(: Re*$la%!: La %i*(i+$cin %e la !(ma c$a%(3ica
e ! 6e s
2
: c q2 *i *e
c$m'len la* *i,$iene* c!n%ici!ne*: 61 El vec!( e : 4 60 s 2 $ 7 62 La ma(i 6 e* i%em'!ene " *$ t*a667 = q &
@7
