Guia Econometria

ÍNDICE PRELIMINARES

Guía didáctica: Econometría I

Econometría I

SOLUCIONARIO

Guía didáctica 5 créditos

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Ciclo

6

Titulación ¡ Economía

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja

1

ÍNDICE La Universidad Católica de Loja

PRIMER BIMESTRE

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

PRELIMINARES


Econometría I

Guía didáctica 5 créditos

Titulación

Ciclo

¡ Economía

VI

Autor: Econ. Oswaldo Francisco Ochoa Ordóñez

19607

Asesoría virtual: www.utpl.edu.ec

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

Departamento Economía Sección Métodos Cuantitativos

ÍNDICE PRELIMINARES

PRIMER BIMESTRE SEGUNDO BIMESTRE SOLUCIONARIO

EconomEtría I

Guía didáctica Oswaldo Francisco Ochoa Ordóñez UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

cc Ecuador 3.0 By NC ND Diagramación, diseño e impresión: EDILOJA Cía. Ltda. Telefax: 593-7-2611418 San Cayetano Alto s/n www.ediloja.com.ec [email protected] Loja-Ecuador

Tercera edición ISBN-978-9942-08-242-8 maquetación y diseño digital: EDILOJA Cía. Ltda. Tercera edición ISBN digital 978-9942-04-540-9

Esta versión digital e impresa ha sido acreditada bajo la licencia Creative Commons Ecuador 3.0 de reconocimiento -no comercial- sin obras derivadas; la cual permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/ Octubre 2017

4.1. Básica................................................................................................................................ 7 4.2. Complementaria................................................................................................................ 7

5. Orientaciones generales para el estudio............................................................. 8 6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias... 9 PRIMER BIMESTRE 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

Competencias genéricas.................................................................................................... 9 Planificación para el trabajo del alumno........................................................................ 10 Sistema de Evaluación de la asignatura (Primero y segundo bimestres)...................... 13 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias................................... 14

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA........................................................................ 14 1.1. Conceptos.......................................................................................................................... 14 1.2. Metodología de la econometría....................................................................................... 15 1.3. Interpretación moderna de la regresión.......................................................................... 19 1.4. Relaciones estadísticas vs relaciones determinísticas..................................................... 20 1.5. Regresión vs causalidad................................................................................................... 20 1.6. Regresión vs correlación................................................................................................... 20 Autoevaluación 1......................................................................................................................... 21

UNIDAD 2. ANÁLISIS DE REGRESIÓN CON DOS VARIABLES....................................................... 22 2.1. Concepto de función de regresión poblacional (frp)....................................................... 22 2.2. Significado del término lineal.......................................................................................... 22 2.3. Especificación estocástica ................................................................................................ 23 2.4 Función de regresión muestral......................................................................................... 24 Autoevaluación 2......................................................................................................................... 25

UNIDAD 3. MODELOS DE REGRESIÓN CON DOS VARIABLES...................................................... 26 3.1. Método de mínimos cuadrados ordinarios (mco)............................................................ 26 3.2. Precisión o errores estándar de los mínimos cuadrados estimados............................... 36 3.3. Coeficiente de determinación (r2).................................................................................... 40 Autoevaluación 3......................................................................................................................... 42

UNIDAD 4. SUPUESTO DE NORMALIDAD: MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL....................................................................................................................................... 43 4.1. Distribución de probabilidad de las perturbaciones u.8................................................. 43 4.2. Propiedades de los estimadores MCO bajo el supuesto de normalidad......................... 43 Autoevaluación 4......................................................................................................................... 46

PRELIMINARES

ÍNDICE

4. Bibliografía........................................................................................................................... 7

PRIMER BIMESTRE

3. Introducción ......................................................................................................................... 6

SEGUNDO BIMESTRE

2. Índice......................................................................................................................................... 4

SOLUCIONARIO

2. Índice

5.1. Estimación de intervalos: ideas básicas........................................................................... 50 5.2. Prueba de hipótesis: intervalos de confianza.................................................................. 51 5.3. Prueba de hipótesis: nivel de significancia...................................................................... 52 5.4. Prueba de hipótesis: prueba t.......................................................................................... 53 5.5. Prueba de hipótesis: prueba F.......................................................................................... 53 5.6. Presentación de resultados............................................................................................... 58 Autoevaluación 5......................................................................................................................... 63

PRELIMINARES

ÍNDICE UNIDAD 5. REGRESIÓN CON DOS VARIABLES: ESTIMACIÓN DE INTERVALOS Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS.................................................................................................................................... 50

PRIMER BIMESTRE

6.5. Competencias genéricas.................................................................................................... 47 6.6. Planificación para el trabajo del alumno........................................................................ 48 6.7. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias................................... 50

SEGUNDO BIMESTRE

SEGUNDO BIMESTRE

6.1. Regresión a través del origen........................................................................................... 64 6.2. Formas funcionales: modelo log – lineal........................................................................ 66 6.3. Modelos semilogarítmicos................................................................................................ 69 Autoevaluación 6......................................................................................................................... 75

UNIDAD 7. ANÁLISIS DE REGRESIÓN MULTIPLE......................................................................... 76 7.1. Significado de los coeficientes de regresión parcial........................................................ 76 7.2. Estimación de los coeficientes de regresión parcial........................................................ 77 7.3. Varianzas y errores estándar de los estimadores............................................................ 77 7.4. Coeficiente de determinación múltiple ........................................................................... 78 7.5. La función de producción de Cobb-Douglas.................................................................... 80 7.6. Modelos de regresión polinomial..................................................................................... 83 7.7. Prueba de igualdad de dos coeficientes de regresión..................................................... 86 Autoevaluación 7......................................................................................................................... 88

7. Solucionario.......................................................................................................................... 89 8. Recursos educativos multimedia............................................................................... 96

SOLUCIONARIO

UNIDAD 6. EXTENSIÓN DEL MODELO LINEAL DE DOS VARIABLES............................................ 64

ÍNDICE


La econometría se constituye en una materia fundamental para su formación académica, ya que la constante evolución de las economías exige que la sociedad en general pueda cuantificar, interpretar y pronosticar dichos cambios, con la finalidad de proponer soluciones y generar correctivos en la economía global. Por tal razón el aprendizaje de esta materia es de vital importancia en su formación académica, convirtiéndolo en un excelente asesor tanto para el sector público como para el privado. Revisar y aprender esta asignatura le proporcionará una introducción importante al estudio de esta ciencia y obtendrá una visión clara de la aplicación de la misma en otras áreas como las finanzas, la administración, sistemas de información entre otras. Lo que usted estudie será de importancia porque tendrá que interactuar con información actual y modelos económicos reales, adicionalmente reforzará los conocimientos relacionados con la estadística, la matemática y la teoría económica. Le invito, por lo tanto, a recorrer las páginas de esta guía y del texto con un buen ánimo, y sobre todo con ganas aprender. Con la finalidad de ofrecer un panorama general de la Introducción a la Econometría, se presentarán estos la metodología necesaria a seguir para poder establecer un modelo econométrico adecuado, su cálculo e interpretación de los resultados obtenidos, así como los distintos modelos que se puedan presentar en base a la forma ecuacional que adquiera, también revisaremos los supuestos detrás de estos modelos y su aplicación ya sea con información primaria o secundaria en el ámbito micro o macroeconómico.

¡Bienvenidos y muchos éxitos!



6

PRIMER BIMESTRE SEGUNDO BIMESTRE

Esta materia ha sido diseñada para que los estudiantes desarrollen habilidades en técnicas cuantitativas de investigación empírica, necesaria para el desarrollo y análisis de eventos económicos reales en los sectores macro o microeconómicos de la economía global, en donde las sociedades, empresas, industrias y gobiernos en general puedan entender cómo evolucionan las economías con la finalidad de enfrentar dichos cambios.

SOLUCIONARIO

La asignatura de Econometría I, materia troncal de 5 créditos, corresponde al sexto ciclo de la carrera de Economía de la Modalidad Abierta y a Distancia de la Universidad Técnica Particular de Loja.

PRELIMINARES

3. Introducción

ÍNDICE


PRELIMINARES

4. Bibliografía 4.1. Básica

Además se presenta anexos en los cuales se demuestra la obtención de varias fórmulas y ecuaciones que se utilizarán en el desarrollo de los modelos de regresión. El autor de este libro adicional a lo anterior, incluye en sus notas de pie de página mucha información relacionada con fórmulas, conceptos, explicaciones de ejercicios y bibliografía necesaria para complementar la información del capítulo que se está revisando. Ochoa, O. (2011). Guía Didáctica de Econometría I. Loja-Ecuador: UTPL. Esta guía tiene como objetivo brindar elementos necesarios para facilitar el estudio de cada tema planteado en la asignatura. En ella encontrará explicaciones claras y concisas de los temas a estudiarse así como también una serie de ejercicios.

4.2. Complementaria

Wooldridge, J. (2001). Introducción a la econometría. México: Thomson–Learning.

Texto recomendado para complementar los temas tratados en el presente ciclo. Revise los seis primeros capítulos.

Pindick, R. y Rubinfeld, D. (2000). Econometría modelos y pronósticos. México: McGraw-Hill.

Texto de fácil comprensión para fortalecer los temas relacionados con la introducción a los modelos econométricos. Revise los tres primeros capítulos.



7

SEGUNDO BIMESTRE

Al contrario de otros textos, este libro presenta el desarrollo de la materia a través de ecuaciones, mientras que otros lo hacen por medio del algebra matricial lo que dificulta su comprensión.

SOLUCIONARIO

Es un texto actualizado de fácil comprensión, ya que detalla a través de varios ejercicios el avance de los distintos temas a analizarse.

PRIMER BIMESTRE

Gujarati, D. & Porter, D. (2010). Econometría. México: McGraw Hill. Quinta edición.

ÍNDICE


2.

Estudie en un ambiente tranquilo, en donde facilite su relajación y concentración, de manera que pueda aprovechar el tiempo designado por usted a la asignatura.

3.

Dedique al menos una hora a revisar el texto básico, señalando las partes principales y simultáneamente apoyándose en la guía didáctica para facilitar la comprensión del texto.

4.

Para no tener dificultad en la comprensión de la materia, se requiere tener presente las materias de estadística inferencial, cálculo, matemáticas para economistas, macroeconomía y microeconomía.

5.

Lea el texto básico y la guía de la materia en forma ordenada, si aún no comprende un tema no pase al siguiente.

6.

Para desarrollar el trabajo a distancia, previamente debe revisar todo el contenido de la asignatura del primero o del segundo bimestre según corresponda, esto facilitará la comprensión y desarrollo del trabajo.

7.

Desarrolle las autoevaluaciones al final de cada capítulo sin revisar el texto básico. Si ha cometido errores vuelva a revisar los temas en los cuales tuvo dificultades.

8.

Tome datos de la economía nacional y trate de aplicarlos en todo lo aprendido en este ciclo.

9.

Son importantes las consultas al profesor responsable o de apoyo de la asignatura mediante la comunicación telefónica para solventar las inquietudes que vayan surgiendo en el desarrollo de sus trabajos, en el horario de atención que consta en el EVA.

10. Tenga en cuenta la fecha de entrega de los trabajos a distancia, ya que son obligatorios y se constituyen en un prerequisito al momento de presentarse a rendir sus evaluaciones presenciales.



8

PRIMER BIMESTRE

Compruebe que tiene todos los materiales necesarios: libro básico y guía de estudio, revíselos y compare sus contenidos.

SEGUNDO BIMESTRE

1.

SOLUCIONARIO

Para lograr un aprendizaje efectivo es importante que lo haga de manera responsable, ordenada y secuencial, para ello le propongo las siguientes orientaciones de estudio:

PRELIMINARES

5. Orientaciones generales para el estudio

ÍNDICE

6.1. Competencias genéricas

•

Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

•

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.

•

Capacidad para organizar y planificar el tiempo.

•

Conocimiento sobre el área de estudio y la profesión.

•

Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y de la comunicación.

•

Capacidad de investigación.

•

Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.

•

Capacidad crítica y autocrítica.

•

Capacidad creativa.

•

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas.

•

Capacidad para tomar decisiones.

•

Habilidades interpersonales.

•

Compromiso ético.



SOLUCIONARIO

Son aquellas capacidades (actitudes, habilidades y conocimientos) comunes a todas las profesiones que se ofrece en la UTPL. Constituye una parte fundamental del perfil que el estudiante debe desarrollar durante su formación.

PRELIMINARES

PRIMER BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias

SEGUNDO BIMESTRE


9

ÍNDICE


•

•

Desarrollar el pensamiento lógico para la aplicación en aspectos económicos y la interpretación de resultados, gráficas y análisis de datos en modelos reales.

Conoce la UNIDAD 1: importancia de INTRODUCCIÓN A LA la econometría, ECONOMETRÍA así como los 1.1. Conceptos pasos a seguir para establecer 1.2. Metodología de la modelos de econometría regresión simple con dos variables. 1.3. Interpretación moderna de la regresión 1.4. Relaciones estadísticas vs relaciones deterministicas

1.5. Regresión vs causalidad 1.6. Regresión vs correlación

•

Analiza el concepto de perturbación estocástica y desarrolla la función de regresión muestral (FRM).

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.

Lectura de las páginas introductorias de la 6 horas de autoestudio. guía.

2.

4 horas de interacción. Lectura global de la unidad introductoria y capítulo 1 del texto básico.

3. Lectura comprensiva (analítica, subrayada, etc.) de la unidad 1. 4.

Elaboración de ejercicios prácticos.

5.

Desarrollo de las actividades recomendadas.

6.

Interacción en el EVA.

7.

Inicio del desarrollo de la evaluación a distancia. Lectura de SEMANA 2 y 3 las páginas introductorias de la 12 horas de autoestudio. guía.

UNIDAD 2: ANÁLISIS DE 1. REGRESIÓN CON DOS VARIABLES 2.1. Concepto de función de regresión poblacional

CRONOGRAMA ORIENTATIVO (Tiempo Estimado) SEMANA 1

2.

2.2. Significado del término lineal


2.3. Especificación estocástica

3. Lectura comprensiva (analítica, 2.4. Función de regresión subrayada, etc.) de muestral la unidad 1. 4.


5.


6.


7.

Continúa el desarrollo de la evaluación a distancia.



PRIMER BIMESTRE

Analizar, interpretar y aplicar la teoría económica en el entorno económico nacional e internacional.

CONTENIDOS Unidades/ Tema

SEGUNDO BIMESTRE

•

INDICADORES DE APRENDIZAJE

SOLUCIONARIO

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

PRELIMINARES

6.2. Planificación para el trabajo del alumno

10

•

ÍNDICE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

CRONOGRAMA ORIENTATIVO (Tiempo Estimado) SEMANA 4 y 5

Aplica el método UNIDAD 3: MODELO DE 1. Lectura de de mínimos REGRESIÓN CON DOS las páginas cuadrados VARIABLES introductorias de la 12 horas de autoestudio. ordinarios guía. 3.1. Método de mínimos (MCO) para la 8 horas de interacción. cuadrados ordinarios 2. Lectura global estimación de (MCO) de la unidad los modelos introductoria y de regresión 3.2. Precisión o errores capítulo 1 del texto e interpretar estándar de los básico. resultados mínimos cuadrados tales como 3. Lectura estimados coeficientes comprensiva de regresión, 3.3. Coeficiente de (analítica, errores estándar determinación subrayada, etc.) de y coeficiente de la unidad 1. determinación.

Aplica y analiza el concepto de normalidad a los modelos de regresión con dos variables.

4.


5.


6.


7.

Continúa el desarrollo de la evaluación a distancia. Lectura de SEMANA 6 las páginas introductorias de la 6 horas de autoestudio. guía.

UNIDAD 4: SUPUESTO DE 1. NORMALIDAD: MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL 4.1. Distribución de probabilidad de las perturbaciones u. 4.2. Propiedades de los estimadores MCO bajo supuesto de normalidad.

2.


3. Lectura comprensiva (analítica, subrayada, etc.) de la unidad 1. 4.


5.


6.


7.

Continúa el desarrollo de la evaluación a distancia.



11

PRELIMINARES

•


PRIMER BIMESTRE


SEGUNDO BIMESTRE


SOLUCIONARIO


ÍNDICE



Nueva revisión de contenidos del bimestre como preparación para la evaluación presencial.

CRONOGRAMA ORIENTATIVO (Tiempo Estimado) Semana 7 y 8 12 horas de autoestudio y 8 horas de interacción.

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Unidades 1 a la 4

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

SOLUCIONARIO


PRELIMINARES




12

ÍNDICE


Formas de evaluación

X

X

X

X

X

Esfuerzo e interés en los trabajos

X

X

Respeto a las personas y a las normas de comunicación

X

X

Creatividad e iniciativa

X

X

X

Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo

X

X

X

X

Presentación, orden y ortografía

X

X

X

Emite juicios de valor argumentadamente

X

Dominio del contenido

X

Investigación (cita fuentes de consulta)

X

X X

X

X

X X X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Aporta con criterios y soluciones

X

X

X

X

X

Análisis y profundidad en el desarrollo de temas

X

X

X

X

X

70%

Puntaje

X

10% 20% 30%

2

4

6

TOTAL

14

20 puntos

Actividades presenciales y en el EVA

X

Máximo 1 punto (completa la evaluación a distancia)

X

X X

SOLUCIONARIO

Cumplimiento, puntualidad, responsabilidad

PRIMER BIMESTRE

X

X

SEGUNDO BIMESTRE

Prueba objetiva y de ensayo

X

X

Parte objetiva

3. Coevaluación

Interacción en el EVA

Evaluación presencial

Comportamiento ético

Estrategia de aprendizaje

Actitudes Habilidades Conocimientos

Evaluación a distancia **

Parte de ensayo

1. Autoevaluación *

2. Heteroevaluación

Competencia: criterio

PORCENTAJE

PRELIMINARES

6.3. Sistema de Evaluación de la asignatura (Primero y segundo bimestres)

Para aprobar la asignatura se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%. * Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autocomprobar su proceso de aprendizaje. ** Recuerde que la evaluación a distancia consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y entregarla en su respectivo centro universitario.

Señor estudiante:

Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa.



13

ÍNDICE


¿Desea conocer qué es la econometría y saber cómo plasmar un modelo económico simple al combinar variables macro y microeconómicas tal como: el PIB, inflación, determinar elasticidades, crecimiento poblacional, niveles de producción, medición de riesgo financiero, costos totales, costos marginales, costos medios, etc., es decir poder aplicarlo en todos los campos sean estos financieros, ambientales, económicos, de salud, industriales entre otros, y conocer a ciencia cierta cuáles son sus efectos a largo plazo? La primera unidad está enfocada a resolver estas interrogantes, buscando desarrollar en el estudiante el sentido de la investigación y del análisis de indicadores económicos. Iniciamos explicando el concepto de econometría bajo el enfoque de algunos autores, por qué esta materia es considerada como una disciplina aparte y cuál sería el planteamiento general para establecer modelos de regresión.

1.1. Conceptos Se presenta una serie de conceptos que nos permitirán tener una clara idea de lo que es la econometría. A continuación se detallan algunos: “La econometría se basa en métodos estadísticos para estimar relaciones económicas, poner a pruebas teorías económicas y evaluar y poner en práctica políticas gubernamentales y comerciales”. (Wooldridge, J. 2001). “La econometría puede ser definida como la ciencia social en la cual las herramientas de la teoría económica, las matemáticas y la inferencia estadística son aplicadas al análisis de los fenómenos económicos”. (Golberger, A. 1964). En definitiva y destacando lo principal de estos conceptos la econometría se basa en la explicación cuantitativa de los fenómenos económicos de un país, a través del uso de las matemáticas, la estadística, la macro y microeconomía, en fin todas aquellas materias que intervienen en el análisis de los fenómenos económicos. Se la considera como una ciencia aparte, porque busca explicar de manera numérica o cuantificable las teorías económicas basadas en el planteo de hipótesis que generalmente son expresadas en forma cualitativa. Adicional podemos destacar los tipos de econometría, los mismos que se expresan en la siguiente figura:



14

SEGUNDO BIMESTRE

Estimado alumno: empezamos el estudio de esta asignatura revisando la primera parte. Aquí se busca entender el concepto de econometría, así como una descripción general de la metodología econométrica.

SOLUCIONARIO

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias

ÍNDICE


PRELIMINARES

FIGURA 1 TIPOS DE ECONOMETRÍA Econometría

Teórica

PRIMER BIMESTRE

Clásica

Bayesiana

Fuente y elaboración: Gujarati, D. & Porter, D. (2010). Econometría. México: McGraw-Hill. Quinta edición.

1.2. Metodología de la econometría Comenzaremos entendiendo cuál es el formato general de una ecuación de regresión simple y los factores que la componen: Coeficientes de regresión

Y = β1 + β2 X + μ Perturbación estocástica

Variable independiente Intercepto

Pendiente

Variable dependiente

Para realizar el análisis de un problema económico se presenta la metodología tradicional o clásica:



15

SEGUNDO BIMESTRE

Bayesiana

SOLUCIONARIO

Clásica

Aplicada

ÍNDICE

FIGURA 2 METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA

3. Planteo teórico o de hipótesis

• • •

Establecer la forma funcional del modelo de manera general. Este modelo matemático es fijo para representar cualquier relación econométrica. Y = B1 + B2X

• •

Modelo similar al matemático. La variación se da cuando a este modelo matemático se le añade el término u que es la variable estocástica y se transforma en un modelo econométrico. La variable estocástica es aquella que agrupa a todas aquellas variables adicionales que podrían de alguna manera influir sobre la variable dependiente.

•

•

4. Obtención de datos

5. Estimación del modelo

6. Planteo de hipótesis

7. Verificación

8. Predicción o pronóstico

PRIMER BIMESTRE

2. Especificación del modelo matemático

•

•

Para obtener los resultados de la regresión necesitamos tener datos numéricos de las variables que estamos utilizando para nuestro modelo. La información puede estar presentada en series de tiempo, en información de corte transversal o mixta.

• •

A tráves de una regresión lineal. De manera manual o utilizando el Excel.

• •

Se plantea hipótesis en base a lo que se quiere determinar. Determinar si se cumple lo que se desea investigar o comprobar la teoría económica.

•

Se realizan tres tipos de verificación: económica, estadística y econométrica sobre los resultados de la regresión.

•

Si el modelo escogido confirmó las hipótesis planteadas o la teoría económica analizada, este modelo sirve para poder hacer predicciones de la variable dependiente (Y).

Fuente: Gujarati, D. & Porter, D. (2010). Econometría. México: McGraw-Hill. Quinta edición. Elaboración: el autor.



16

SEGUNDO BIMESTRE

1. Planteo teórico o de hipótesis

Se establece la relación entre las variables a intervenir. (Y y X) Variable Y en función de la variable X. (Y = f(x)) Las variables que intervienen en el modelo deben tener sentido y conexión, es decir que la variable considerada como X debe explicar a la variable Y. Los modelos pueden ser establecidos por usted o aplicar modelos de la teoría económica y replicarlos a casos concretos.

SOLUCIONARIO

• • •

PRELIMINARES


ÍNDICE

Para comprender mejor esta primera parte a continuación se describe paso a paso la metodología, mediante los siguientes ejemplos: EJEMPLO 1 1. Planteamiento de la teoría o de la hipótesis

PRELIMINARES


Consumo = ƒ (Ingreso) C = ƒ (Y) Esta ecuación significa que el consumo está en función del ingreso, es decir, que los cambios o variaciones que se den en el ingreso repercuten en el consumo, estos pueden ser de manera directa o inversa. •

Okun (1950), economista norteamericano, establece que el desempleo está en función del producto interno bruto real. Por tal razón el modelo establecido de manera sencilla es:

Este modelo económico manifiesta la correlación existente entre los cambios en la tasa de desempleo y los cambios en el PIB actual (real), la ley manifiesta “Que por cada punto porcentual que la tasa de crecimiento de la producción efectiva sobrepase a la tasa de crecimiento tendencial de pleno empleo, el desempleo va a caer en P puntos porcentuales”. Por tanto: A mayor producción, menos desempleo; a menor producción, más desempleo. El PIB real es la variable (X) o independiente que explica las variaciones que se dan en el desempleo. Modelos basados en planteo de hipótesis Aquí lo que hará es probar alguna relación entre dos variables siempre y cuando estas tengan relación con lo que se quiere probar. No se puede poner variables al azar sin que exista alguna relación o concordancia con las mismas. Se pretende conocer la relación que se dan en los siguientes modelos: •

El salario de un trabajador en función de las horas de trabajo Salario = ƒ (horas) w = ƒ (horas trabajo)

Este es un modelo planteado que busca conocer cómo se ve afectado el salario de un trabajador ante una variación en las horas de trabajo.



17

SEGUNDO BIMESTRE

Keynes (1936), plantea en su estudio denominado “The General Theory of Employment, Interest and Money”, que la ley psicológica fundamental…, consiste en que los hombres (y las mujeres) como regla general y en promedio, están dispuestos a incrementar su consumo a medida que su ingreso aumenta, pero no en la misma cuantía del aumento de su ingreso.

SOLUCIONARIO

•

PRIMER BIMESTRE

Modelos basados en teorías económicas ya establecidas

•

ÍNDICE

Promedio de calificaciones de un paralelo en función al número de estudiantes Calificaciones = ƒ (número de estudiantes) Pc = ƒ (# estudiantes)

Estos ejemplos son referencias de modelos ya establecidos o modelos que se puede proponer estudiar, todo ello basado en la relación de las variables y en la disponibilidad de la información.

PRELIMINARES


Y = β1 + β2 Xi

• • • •

SOLUCIONARIO

Esta es la representación matemática en la cual establecemos que Y está en función de X, o como lo vimos en los ejemplos anteriores se tendría: El consumo en función del ingreso El desempleo en función del PIB real El salario en función de las horas de trabajo Promedio de calificaciones en función del número de estudiantes

3. Especificación econométrica Para la especificación econométrica, simplemente al modelo matemático se le adiciona el término μ, el cual representa a todas aquellas variables que tienen alguna relación o influencia sobre la variable dependiente Y. La ecuación es la misma para cualquier modelo. Y = β1 + β2 Xi + μ 4. Obtención de datos Aquí se establece la información que se va a utilizar, tablas con datos numéricos de las variables que se va a utilizar para un modelo econométrico. Como se lo mencionó en el gráfico 1, existen varias maneras de presentarse la información. •

Información de series de tiempo: Información que se da en distintos periodos de tiempo. Esta puede ser diaria, semanal, mensual, bimestral, trimestral o anual. Para conocer este tipo de información revise la tabla T2.9 del CD, así como también la tabla I.1, 1.2, y 1.3 del libro básico.

•

Información de corte transversal: Información que se genere en un mismo periodo de tiempo, ejemplo de esto son las tablas 1.1, 1.5, 2.6 del libro básico.

•

Información combinada o datos de panel: Información que combina series de tiempo e información de corte transversal, ejemplo de esto son las tablas 1.4, 6.3, 7.6 del libro básico.


SEGUNDO BIMESTRE

La especificación de cualquier modelo en forma matemática es la misma para todos, solo variaría en el número de variables con las cuales establecemos el modelo. Aquí encontraremos modelos tal como: los lineales, logarítmicos, recíprocos y polinomiales. Pero como estamos comenzando el estudio de la materia de econometría, solo se trabaja con modelos de regresión simple.

PRIMER BIMESTRE

2. Especificación del modelo matemático


18

ÍNDICE


Aquí se presentan los resultados de la aplicación de la regresión lineal al modelo planteado, el mismo nos permitirá determinar si las variables que utilice son adecuadas o no con respecto a la investigación que se realizó, es decir, se podrá determinar si la variable independiente (X), es apropiada para explicar los cambios en la variable dependiente (Y).

Suponiendo que el modelo que se planteó es adecuado, lo que se buscaría ahora es determinar si los valores estimados concuerdan con las expectativas de la teoría que se está probando. 7.

Verificación

Para asegurar un modelo bastante adecuado que pueda describir cuantitativamente la relación de las variables para explicar cierta investigación, se debe realizar una serie de verificaciones tal como la económica, estadística y econométrica. •

Verificación económica: en esta se busca comprobar que los resultados obtenidos de los coeficientes de regresión así como su signo concuerden con la teoría planteada.

•

Verificación estadística: aquí se hace un análisis de los errores estándar, el coeficiente de determinación y la comprobación de hipótesis.

•

Verificación econométrica: se determina si el modelo presenta problemas tal como: multicolinealidad, heteroscedasticidad, autocorrelación y sesgo de especificación, para posteriormente proceder a corregirlos.

8.

Predicción o pronóstico

Una vez confirmada la teoría o hipótesis, estos valores son utilizables para predecir los valores futuros de la variable Y, para esto debemos reemplazar el valor de X, y de esta manera obtenemos el valor de la variable dependiente. Como puede ver esta ha sido una revisión general de cómo se aplica la metodología econométrica, por lo que a lo largo del estudio comprenderemos mejor la aplicación de cada uno de estos pasos.

1.3. Interpretación moderna de la regresión Comenzaremos analizando un concepto básico de regresión: “El análisis de regresión trata del estudio de la dependencia de la variable dependiente, respecto a una o más variables (las variables explicativas), con el objetivo de estimar y/o predecir la media o valor promedio poblacional de la primera en términos de los valores conocidos o fijos (en muestras repetidas) de las últimas”.1 Con los siguientes ejemplos clarificaremos la importancia del concepto de regresión: •

PRIMER BIMESTRE

Planteo de hipótesis

Un economista puede estar interesado en estudiar la dependencia del gasto de consumo personal en el ingreso personal neto disponible (después de impuestos). Un análisis de este tipo puede ser

1. Gujarati, D. & Porter, D. (2010). Econometría. México: McGraw Hill. Quinta edición.



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SEGUNDO BIMESTRE

6.

PRELIMINARES

Estimación del modelo

SOLUCIONARIO

5.

ÍNDICE

Se recomienda que se analicen varios casos en los cuales se dé la dependencia de una variable con respecto a otra u (otras) variables explicativas. PUNTOS DE REPASO   

Invente algunos modelos de regresión simple que usted cree que puedan ser analizados. Analice seis variables en las páginas del BCE o del INEC, e indique cómo está presentada esta información. Analice otros tres conceptos sobre lo que es el análisis de regresión lineal.

1.4. Relaciones estadísticas vs relaciones determinísticas Estadísticas: se trata de variables aleatorias o al azar que generalmente presentan errores de medición y dan cabida a la incertidumbre de sus resultados, es decir son variables que no se pueden controlar o medir y obtener respuestas exactas. Ejemplos: temperatura del ambiente, lluvia, el sol, la oferta y la demanda, etc. Determinísticas: variables que no están compuestas por información al azar ni que tampoco generan el principio de incertidumbre, es decir, son variables que no son aleatorias o estocásticas. Ejemplos: la ley de newton, planificación de una línea de producción, ley de los gases de boyle.

1.5. Regresión vs causalidad El análisis de regresión no implica necesariamente que las variables que intervienen en el modelo tengan una relación de causalidad, es decir que entre ellas exista una correlación, por más necesaria que esta sea para el modelo.

1.6. Regresión vs correlación Correlación: mide el grado de explicación o asociación entre las variables dependiente e independiente. Regresión: busca obtener el valor medio de la variable dependiente ante una variación en los valores fijos de la variable independiente.

Recuerde revisar en el texto básico, las diferentes terminologías con las cuales se denomina a la variable dependiente e independiente.

2 Gujarati, D. & Porter, D. (2010). Econometría. México: McGraw-Hill. Quinta edición. 3 Pena, J; Estavillo, J. (1999). CIEN EJERCICIOS DE ECONOMETRÍA. Madrid: Ediciones Pirámide.



20

PRELIMINARES

El ayuntamiento de Madrid quiere construir un modelo de regresión lineal que explique el número de personas que acuden a las piscinas municipales en función de la diferencia de temperatura con respecto al día anterior.3

PRIMER BIMESTRE

•

SEGUNDO BIMESTRE

útil para estimar la propensión marginal a consumir (PMC), esto es, el cambio promedio en el gasto de consumo ante un cambio de un dólar.2

SOLUCIONARIO


ÍNDICE


A.

Escriba dentro del paréntesis una V o una F, según considere verdaderos o falsos los siguientes literales:

1.

(

)

La econometría es la ciencia que analiza los fenómenos económicos de manera teórica.

2.

(

)

La metodología econométrica consta de 10 pasos.

3.

(

)

La información de corte transversal es la que se da en distintos periodos de tiempo.

4.

(

)

El modelo matemático es aquella ecuación que no incluye el error estocástico.

5.

(

)

Un modelo de regresión es aquel en que la variable independiente está en función de la variable dependiente.

6.

(

)

Un modelo econométrico sirve para predecir valores futuros de la variable dependiente.

B. Realice los siguientes ejercicios: 7.

Establezca 10 modelos de regresión simple. Por ejemplo:

• •

Consumo = f (ingreso) Inflación = f (salario real)

8.

Investigue a lo largo del libro básico 4 tablas e indique si la información presentada ahí es de series de tiempo, de corte transversal o mixta.

Ir a solucionario



21

PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 1

SEGUNDO BIMESTRE

Hemos concluido el estudio de esta primera unidad, le invito a responder por lo tanto, la siguiente autoevaluación que le permitirá conocer su nivel de conocimientos.

SOLUCIONARIO

Señor estudiante: se le recomienda revisar las páginas que manejan información económica a nivel nacional. ¿Cuáles serían las variables micro o macroeconómicas que pueden ser sujetas para armar 5 modelos de regresión simple?

PRELIMINARES

ACTIVIDAD SUGERIDA

ÍNDICE


2.1. Concepto de función de regresión poblacional (frp) Conocemos que para establecer un modelo de regresión simple se deben definir las variables, sobre todo, cuál es la variable controlada y cuál la de control.

La ecuación aplicada para la función de regresión poblacional es: consumo en función del ingreso C = ƒ (Y) La regresión lineal permite obtener los valores esperados o la media poblacional del consumo ante una variación en los ingresos. E (y/Xi)= ƒ (Xi) E (y / xi ) = β1 + β2 Xi + μ Observe la figura 2.1 del texto básico en la que la recta de regresión poblacional (RRP) está dada por los valores esperados o medios de Y, alrededor del cual se encuentran los valores asignados al consumo por cada nivel de ingreso. La función de regresión poblacional (FRP) gráficamente también está expresada en la figura 2.2 del texto. Los resultados obtenidos fueron los promedios de consumo de cada familia ante una variación en sus ingresos, los mismos que mantienen una relación directa con la variable dependiente, que basado en la teoría económica manifiesta que las personas ante un mayor nivel de ingreso tienden a aumentar su nivel de consumo.

2.2. Significado del término lineal Linealidad en las variables (X o Y) Para que un modelo sea considerado como lineal en sus variables, estas no pueden estar elevadas a un exponente mayor a uno, ni multiplicadas o divididas para otra variable. Para que el modelo sea lineal este debe darse en todas las variables. Ejemplos de linealidad: Yi =β1 + β2 Xi Ejemplos de no linealidad: Yi =β1 + β2 Xi2 Yi =β1 + β2 Xi + β3 Xi2 + β4 Xi3 Yi = e β1 + β2 Xi Yi = β1 + β2 ln Yi = β1 + β2 Xi2 + μ

+μ



22

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

Revisando el ejemplo hipotético 2.1 del texto básico, en el cual nos da una interpretación práctica de lo que es la regresión, a través de una población de 60 familias en la cual el consumo semanal (Y) está en función del ingreso semanal (X).

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

UNIDAD 2. ANÁLISIS DE REGRESIÓN CON DOS VARIABLES

ÍNDICE


PRELIMINARES

Linealidad en los parámetros (β1 , β2) Aquí se aplica el mismo concepto de linealidad, solo que ahora es para los parámetros. E (Y|Xi) = β1 + β2 Xi

E (Y|Xi) = β1 + β2 Xi2

PRIMER BIMESTRE

EJEMPLO 2 Aquí algunos ejemplos de distintos tipos de regresiones: Lineal. Y = β1 + β2 X

•

Logarítmica. Y = β1 + β2 ln X

•

Inversa. Y = β1 +

•

Cuadrático. Yi =β1 + β2 Xi + β3 X2

•

Cúbico. Yi =β1 + β2 Xi + β3 X2 + β4 X3

•

Potencia. Y = β1 X β2 o ln Y = ln β1 + β2ln X

•

Compuesto. Yi =β1β2x o ln Yi = ln β1 + X ln β2

•

Curva-S. e β1 +

•

Crecimiento. e β1 + β2 X o ln Y = ln β1 + β2 X

•

Exponencial. Y = β1 e β2 X o ln Y = ln β1 + β2 X

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

•

o ln Y = β1 +

ACTIVIDAD SUGERIDA Señor estudiante: se le recomienda revisar los ejercicios 2.6 y 2.7 que se encuentran al final del capítulo 2 del texto básico para un mejor entendimiento de linealidad en las variables o en los parámetros.

2.3. Especificación estocástica El termino u, se lo denomina error estocástico o perturbación estocástica, el mismo que indica la dispersión o desviación de un E individual alrededor de su valor esperado. Estas desviaciones son causadas por otras variables que afectan a la variable dependiente cuyos efectos en su conjunto son expresados por el error estocástico4. μi = Yi - E (Y / Xi) Yi = E (Y / Xi) + μi Para obtener resultados confiables (β1 y β2) en la regresión, se debe suponer que no existe ninguna relación entre variable X y el valor esperado de la variable u. E (μ) = 0 E (μ / x) = E (μ) = 0 4. Ochoa, O. (2011). Guía de Econometría 1. UTPL.



23

ÍNDICE

EJEMPLO 3 Yi = β1 + β2 Xi + μ

cosecha = β1 + β2 fertilizante + μ

•

Yi = β1 + β2 Xi + μ

salario = β1 + β2 fertilizante + μ

SEGUNDO BIMESTRE

En la que u podría representar variables como: la lluvia, el sol, los años de vida del terreno, etc., todas aquellas variables que ejercen algún efecto sobre Y.

En la que u podría representar variables como: años de experiencia, número de cursos, sexo, religión etc., todas aquellas variables que ejercen algún efecto sobre Y. •

Yi = β1 + β2 Xi + μ

calificación = β1 + β2 asistencia + μ

En la que u podría representar variables como: conducta, participación, trabajo entregados etc., todas aquellas variables que ejercen algún efecto sobre Y.5 Como acabamos de revisar el término “perturbación estocástica”, u es un sustito para todas aquellas variables que son omitidas en el modelo pero que de manera conjunta ejercen un efecto sobre la variable dependiente. Para conocer cuáles son las razones por las que no se desarrolla un modelo con todas estas variables que agrupa el error estocástico, revise el tema 2.5 de su texto básico.

2.4 Función de regresión muestral Se conoce que al realizar un estudio de mercado siempre la investigación busca obtener información de una determinada población, la misma que en su mayor parte se trata de miles de personas que al levantar una encuesta a cada uno de ellos tomaría mucho tiempo y resultaría muy costoso. Para solucionar esto, lo más adecuado es obtener una muestra de esta población cuyos resultados reflejarán casi de manera similar lo que se hubiera obtenido al trabajar con la población. El mismo principio es aplicable dentro de los modelos de regresión, ya que hasta aquí hemos revisado la teoría relacionada a modelos de regresión poblacionales. Ahora analizaremos la función de regresión muestral (FRM), la misma que parte de la ecuación de regresión poblacional, es decir estimaremos la función de regresión poblacional (FRP), con base en información muestral.

5. Wooldridge, J. (2001). Introducción a la Econometría. México. Thomson Learning.



24

SOLUCIONARIO

•

PRELIMINARES

Como u y X son variables aleatorias, podemos definir la distribución condicional de u dado cualquier valor de X. En particular para cualquier X, podemos obtener el valor esperado o promedio de u para aquel sector de la población que describe esa X. La suposición crucial es que el valor promedio de u no depende de X.

PRIMER BIMESTRE


ÍNDICE

^ Ŷi = β1 + β2 Xi + ûi

FRM

PRIMER BIMESTRE

Este es el procedimiento normal que se utiliza para la estimación de un modelo de regresión, en la cual es importante que las variables que se utilice tenga la información necesaria para poder ser aplicadas. Para entender un poco más este tema revise el ejercicio del literal 2.7 de su texto básico. ACTIVIDAD SUGERIDA Realice los ejercicios: 2.10; 2.11; 2.12 y 2.15, de la parte final del capítulo 2 para reforzar los conocimientos de esta unidad.

Autoevaluación 2 A.


1.

(

)

El error estocástico también es conocido como perturbación estocástica.

2.

(

)

La recta o curva de regresión poblacional es el lugar geométrico de las medias condicionales de la variable independiente para los valores fijos de la variable dependiente.

3.

(

)

Es una condición de que todos los modelos deben ser lineales en las variables.

4.

(

)

La variable u puede ser usada como sustituta de aquellas variables que afectan a la variable dependiente.

5.

(

)

Función de expectativa condicional es lo mismo que función de regresión condicional.

6.

(

)

Variables proxy son aquellas variables que reemplazan a aquellas que no pueden ser medidas u observadas de manera directa.

7.

(

)

Una función cuadrática es una función lineal en las variables.

8.

(

)

La FRM es la que se utiliza para calcular la FRP.

9.

(

)

El error estocástico es confiable cuando es menor a la tercera parte del valor del parámetro.

10.

(

)

Se habla de linealidad en el parámetro cuando este se eleva a una potencia distinta de uno o se multiplica por otro parámetro.

Ir a solucionario



25

SEGUNDO BIMESTRE

^

FRP

SOLUCIONARIO

Yi = β1 + β2 Xi + μi

PRELIMINARES


ÍNDICE

Para el estudio de Econometría 1, utilizaremos el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), ya que en base a la teoría, proporciona resultados estadísticos significativos y está regido por una serie de supuestos y propiedades que lo vuelven bastante confiable a la hora de realizar regresiones. Adicionalmente revisaremos el cálculo de los residuos, los cuales se generan al momento de estimar la regresión. En resumen, dentro de esta unidad revisaremos dos puntos importantes: primero, cómo interpretar los resultados de la regresión, y segundo, si los resultados obtenidos son estadísticamente significativos, es decir, son confiables para ser utilizados en una investigación. Dentro de los pasos de la metodología econométrica el cálculo de los coeficientes de regresión constituye el paso 5, en donde se nos permite realizar la verificación económica. Para entender este tema lo haremos a través de algunos ejercicios. EJEMPLO 4. Ejercicio 4.1. Gasto de consumo en personal6 El siguiente ejercicio muestra información sobre Y (gasto de consumo personal) y X (PIB), desde 19821996, en miles de millones de dólares de 1992. Tabla I.1 del texto guía, página 6. Aplicaremos la metodología econométrica conforme vayamos avanzando en esta unidad, inicialmente lo haremos con lo siguiente: 1. 2. 3. 4. 5.

6.

Planteo teórico o de hipótesis. Especificación del modelo matemático Especificación modelo econométrico Obtención de datos Estimación de la regresión

Gasto de consumo de personal= f (PIB) o Y= f (X) Y= B1+B2X Y= B1+B2X+u Tabla I.1

Gujarati, D. & Porter, D. (2010). Econometría. México: McGraw Hill. Quinta edición.



26

PRELIMINARES

En la siguiente unidad estudiaremos el método generalmente utilizado para la estimación de modelos de regresión, cabe resaltar que existe una gran variedad de métodos para realizar regresiones entre ellos tenemos: el de mínimos cuadrados ordinarios, el de máxima verosimilitud (MV), el método de momentos generalizados, entre otros.

PRIMER BIMESTRE

3.1. Método de mínimos cuadrados ordinarios (mco)

SEGUNDO BIMESTRE

UNIDAD 3. MODELOS DE REGRESIÓN CON DOS VARIABLES

SOLUCIONARIO


ÍNDICE XY Ŷ 14237454,5 3077,01 15566870,2 3206,46 17515404,8 3443,9 18986262,8 3573,34 20352233 3689,24 21594083,9 3803,44 23300680 3955,68 24639605,2 4094,59 25356418,9 4147,03 24960800,5 4106,87 26350119,1 4223,33 27753866,6 4325,82 29655600,2 4481,87 30981972,1 4574,62 32661170,4 4706,11 353912542 59409,31


Debemos iniciar calculando las sumatorias de (Y, X, XY, X^2) descritos en la tabla 1. Una vez obtenidos procedemos al cálculo de los coeficientes de la regresión. Para esto utilizamos las siguientes fórmulas:

La interpretación de este parámetro es que si el ingreso o el PIB fueran de cero, el gasto de consumo de personal sería de -184 mil millones de dólares.



27

PRELIMINARES

Y X 3081,5 4620,3 3240,6 4803,7 3407,6 5140,1 3566,5 5323,5 3708,7 5487,7 3822,3 5649,5 3972,7 5865,2 4064,6 6062 4132,2 6136,3 4105,8 6079,4 4219,8 6244,4 4343,6 6389,6 4486 6610,7 4595,3 6742,1 4714,1 6928,4 59461,3 88082,9

û û^2 (X)^2 (Y)^2 (Y-Ŷ) (Y-Ŷ)^2 (X-Xm)^2 (Y-Ym)^2 4,49 20,14 1567236,92 778965,11 34,14 1165,6 1141678 523437,78 -36,3 1317,41 535960,65 309681,12 -6,84 46,83 301064,37 158077,81 19,46 378,75 147835,12 65224,05 18,86 355,71 49592,32 20104,40 17,02 289,52 48,91 74,13 -29,99 899,38 36026,57 10102,26 -14,83 219,98 69752,33 28260,97 -1,07 1,15 42934,6 20081,72 -3,53 12,47 138537,8 65387,60 17,78 316,29 267709,66 144027,84 4,13 17,04 545392,1 272390,05 20,68 427,82 756737,61 398426,06 7,99 63,84 1115572,52 562515,00 5531,93 6716079,49 3356755,92

PRIMER BIMESTRE

Obs 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 ∑

(X)^2 21347172,1 23075533,7 26420628 28339652,3 30114851,3 31916850,3 34400571 36747844 37654177,7 36959104,4 38992531,4 40826988,2 43701354,5 45455912,4 48002726,6 523955898

SEGUNDO BIMESTRE

TABLA 1 INFORMACIÓN DEL GASTO DE PERSONAL Y EL PIB (miles de millones de dólares 1992)

SOLUCIONARIO


ÍNDICE

La interpretación de este parámetro indica que si el PIB se incrementa en un dólar, el gasto de consumo personal promedio aumenta en casi 71 centavos. Estos valores obtenidos se conocen como estimadores de mínimos cuadrados, en donde la pendiente. el intercepto y

representa

Ŷi = -184,08 + 0,71Xi + μi Los residuos se generan por cada uno de los datos de la variable dependiente, pero antes de poder calcularlos debemos generar los valores de la Y estimada (Ŷ), para esto utilizamos la ecuación de regresión y reemplazamos el valor de X de la siguiente manera:

SOLUCIONARIO

Ŷ1 = -184,08 + 0,71X1 Ŷ1 = -184,08 + 0,71 (4620,30) Ŷ1 = 3077,01 Ŷ2 = -184,08 + 0,71X1 Ŷ2 = -184,08 + 0,71(4803,70) Ŷ2 = 3206,46 De igual manera se procede con los demás datos de X, lo que al final nos permite es obtener los valores de las Y estimadas y posteriormente la ∑ Ŷ. Luego de haber obtenido las Y estimadas, procedemos al cálculo de los residuos: û=Y-Ŷ û1 =3081,50 - 3077,01 û1 = 4,49 û2 =3240,60 - 3206,46 û2 =34,14 De igual manera se procede con los demás datos de Y, lo que al final nos permite es obtener los valores de las u estimadas y posteriormente la ∑ û.


SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Con los valores de los coeficientes procedemos a establecer los resultados de la ecuación de regresión. Como lo dijimos en la unidad anterior debemos utilizar la función de regresión muestral.

PRELIMINARES



28

ÍNDICE


PRELIMINARES

GRÁFICA 3.1 LINEA DE REGRESIÓN 4,800

4,400

Y

PRIMER BIMESTRE

4,000

3,600

3,200

5,500

6,000

6,500

7,000

SEGUNDO BIMESTRE

5,000

X

Fuente: tabla 1.I. Elaboración: el autor.

Hemos realizado la gráfica para determinar a simple vista como los datos se ajustan a la línea de regresión. En este ejemplo podemos determinar que el PIB explica en gran medida las variaciones que se dan en el gasto de consumo de personal. EJERCICIO 4.2. Gasto en comida El siguiente ejercicio proporciona los datos de gasto en comida y gasto total (dados en rupias), para una muestra de 55 familias rurales de la India. Tabla 2.8 texto básico, página 54. Aplicaremos la metodología econométrica conforme vayamos avanzando en esta unidad, inicialmente lo haremos con lo siguiente: 1. 2. 3. 4. 5.

Gasto de comida = f (Gasto total) o Y= f (X) Planteo teórico o de hipótesis Especificación del modelo matemático Y= B1+B2X Especificación modelo econométrico Y= B1+B2X+u Obtención de datos Tabla 2.8 Estimación de la regresión



29

SOLUCIONARIO

2,800 4,500

Y 217 196 303 270 325 260 300 325 336 345 325 362 315 355 325 370 390 420 410 383 315 267 420 300 410 220 403 350 390 385 470 322 540 433 295 340 500 450 415 540 360

X 382 388 391 415 456 460 472 478 494 516 525 554 575 579 585 586 590 608 610 616 618 623 627 630 635 640 648 650 655 662 663 677 680 690 695 695 695 720 721 730 731

ÍNDICE û XY 82894 76048 118473 112050 148200 119600 141600 155350 165984 178020 170625 200548 181125 205545 190125 216820 230100 255360 250100 235928 194670 166341 263340 189000 260350 140800 261144 227500 255450 254870 311610 217994 367200 298770 205025 236300 347500 324000 299215 394200 263160

Ŷ 262,29 264,93 266,25 276,81 294,85 296,61 301,89 304,53 311,57 321,25 325,21 337,97 347,21 348,97 351,61 352,05 353,81 361,73 362,61 365,25 366,13 368,33 370,09 371,41 373,61 375,81 379,33 380,21 382,41 385,49 385,93 392,09 393,41 397,81 400,01 400,01 400,01 411,01 411,45 415,41 415,85

(Y-Ŷ) -45,29 -68,93 36,75 -6,81 30,15 -36,61 -1,89 20,47 24,43 23,75 -0,21 24,03 -32,21 6,03 -26,61 17,95 36,19 58,27 47,39 17,75 -51,13 -101,33 49,91 -71,41 36,39 -155,81 23,67 -30,21 7,59 -0,49 84,07 -70,09 146,59 35,19 -105,01 -60,01 99,99 38,99 3,55 124,59 -55,85


û^2 (Y-Ŷ)^2 2051,18 4751,34 1350,56 46,38 909,02 1340,29 3,57 419,02 596,82 564,06 0,04 577,44 1037,48 36,36 708,09 322,20 1309,72 3395,39 2245,81 315,06 2614,28 10267,77 2491,01 5099,39 1324,23 24276,76 560,27 912,64 57,61 0,24 7067,76 4912,61 21488,63 1238,34 11027,10 3601,20 9998,00 1520,22 12,60 15522,67 3119,22

(X)^2 (X-Xm)^2 66069,56 63021,08 61523,84 50193,92 33503,64 32055,32 27902,36 25933,88 21036,60 15138,84 13005,12 7231,80 4101,12 3604,80 2920,32 2813,24 2404,92 963,48 843,32 530,84 442,68 257,28 144,96 81,72 16,32 0,92 80,28 120,12 254,72 527,16 574,08 1440,96 1677,72 2596,92 3131,52 3131,52 3131,52 6554,52 6717,44 8273,72 8456,64


(Y)^2 (Y-Ym)^2 24445,32 31453,02 4949,12 10681,22 2337,72 12848,22 5380,22 2337,72 1395,02 803,72 2337,72 128,82 3404,72 336,72 2337,72 11,22 277,22 2176,22 1343,22 93,12 3404,72 11310,32 2176,22 5380,22 1343,22 23516,22 879,12 545,22 277,22 135,72 9341,22 2636,82 27772,22 3558,12 6138,72 1112,22 16040,22 5875,22 1734,72 27772,22 178,22

30

PRELIMINARES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

Tabla 2.8 (X)^2 145924 150544 152881 172225 207936 211600 222784 228484 244036 266256 275625 306916 330625 335241 342225 343396 348100 369664 372100 379456 381924 388129 393129 396900 403225 409600 419904 422500 429025 438244 439569 458329 462400 476100 483025 483025 483025 518400 519841 532900 534361

PRIMER BIMESTRE

Obs

SEGUNDO BIMESTRE

TABLA 2 GASTO TOTAL Y EN COMIDA (Rupias)

SOLUCIONARIO


ÍNDICE 416,73 422,01 424,65 425,09 425,09 432,57 434,33 434,33 435,21 439,61 440,93 441,81 444,01 446,65 20646,23

33,27 -27,01 5,35 -93,09 -28,09 13,43 45,67 -82,33 -25,21 -59,61 169,07 88,19 -84,01 -141,65 -112,23

1106,89 8828,48 729,54 11227,52 28,62 12535,04 8665,75 12759,96 789,05 12759,96 180,36 16889,60 2085,75 17945,28 6778,23 17945,28 635,54 18485,12 3553,35 21304,32 28584,66 22189,08 7777,48 22788,92 7057,68 24323,52 20064,72 26231,04 237130,05 728623,93

5875,22 468,72 3209,22 1709,82 559,32 5278,02 11374,22 455,82 1343,22 44,22 56003,22 24539,22 178,22 4671,72 375916,44

Fuente: texto básico. Elaboración: el autor.


Si el gasto total fuera de cero, el gasto promedio en alimentos sería de aproximadamente 94 rupias.

Si el gasto total se incrementa en una rupia en promedio, el gasto en alimentos aumenta en casi 44 países (1 rupia=100 países). Estos valores obtenidos se conocen como estimadores de mínimos cuadrados, en donde B1 representa el intercepto y B2 la pendiente. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


31

PRELIMINARES

537289 329850 555025 294275 564001 322930 565504 249664 565504 298544 591361 342974 597529 371040 597529 272096 600625 317750 616225 298300 620944 480680 624100 418700 632025 286200 641601 244305 23188835 13440242

PRIMER BIMESTRE

450 733 395 745 430 751 332 752 397 752 446 769 480 773 352 773 410 775 380 785 610 788 530 790 360 795 305 801 20534 35147

SEGUNDO BIMESTRE

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 ∑

SOLUCIONARIO


ÍNDICE

Ŷi = 94,21 + 0,44 Xi + ûi Los residuos se generan por cada uno de los datos de la variable dependiente, pero antes de poder calcularlos debemos generar los valores de la Y estimada (Ŷ), para esto utilizamos la ecuación de regresión y reemplazamos el valor de X de la siguiente manera: Ŷ1 = 94,21 + 0, 44X1 Ŷ1 = 262,29 Ŷ2 = 94,21 + 0,44 X1 Ŷ2 = 94,21 + 0,7(388) Ŷ2 = 264,93 De igual manera se procede con los demás datos de X, lo que al final nos permite es obtener los valores de las Y estimadas y posteriormente la ∑ Ŷ. Luego de haber obtenido las Y estimadas, procedemos al cálculo de los residuos: û=Y-Ŷ û1 =217 - 262,29 û1 = -45,29 û2 = 196 - 264,93 û2 = -68,93 De igual manera se procede con los demás datos de Y, lo que al final nos permite es obtener los valores de las u estimadas y posteriormente la ∑ û.



32

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

Ŷ1 = 94,21 + 0,44(382)

PRELIMINARES

Con los valores de los coeficientes procedemos a establecer los resultados de la ecuación de regresión. Como lo dijimos en la unidad anterior debemos utilizar la función de regresión muestral.

PRIMER BIMESTRE


ÍNDICE


PRELIMINARES

GRÁFICA 3.2 LÍNEA DE REGRESIÓN 700 600

PRIMER BIMESTRE

400 300

100 300

400

500

600

700

800

SEGUNDO BIMESTRE

200

900

X

Fuente: tabla 2.8. Elaboración: el autor.

Hemos realizado la gráfica para determinar a simple vista como los datos se ajustan a la línea de regresión. En base a esto podremos determinar si la variable X es adecuada para explicar a la variable Y. En este caso vemos una gran dispersión de los datos alrededor de la línea de regresión, lo que posiblemente refleja que la variable gasto total no es adecuada para explicar a la variable gasto personal. EJERCICIO 4.3. Nivel de ingresos La tabla 2.6 del libro básico proporciona información respecto al nivel de estudios (medido por el número de años de escolaridad), el salario por hora devengado por las personas respecto a cada nivel de escolaridad y el número de gente en el nivel de estudios dado. Para este modelo utilizaremos los ingresos promedio por hora (Y) y la educación, medida por años de escolaridad (X). Aplicaremos la metodología econométrica conforme vayamos avanzando en esta unidad, inicialmente lo haremos con lo siguiente: 1. 2. 3. 4. 5.

Planteo teórico o de hipótesis Especificación del modelo matemático Especificación modelo econométrico Obtención de datos Estimación de la regresión

Ingresos/hora = f (escolaridad) o Y= f (X) Y= B1+B2X Y= B1+B2X+u Tabla 2.6



33

SOLUCIONARIO

Y

500

ÍNDICE


Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

4,46 5,77 5,98 7,33 7,32 6,58 7,82 7,84 11,02 10,67 10,84

3 5 15 12 17 27 218 37 56 13 70

12 13 Σ

17 18 156

13,62 13,53 112,77

24 31

XY

Ŷ

36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256

26,74 40,39 47,83 65,99 73,18 72,43 93,82 101,86 154,31 160,11 173,38

4,04 4,72 5,40 6,07 6,75 7,43 8,10 8,78 9,46 10,13 10,81

0,41 1,05 0,58 1,26 0,57 -0,84 -0,28 -0,94 1,57 0,54 0,03

û^2 (YŶ)^2 0,17 1,10 0,34 1,58 0,32 0,71 0,08 0,89 2,45 0,29 0,00

289 324 2054

231,46 243,56 1485,04

11,48 12,16 105,34

2,13 1,37 7,44

4,54 1,88 14,36

(X)^2

(Y-Ŷ)

(X)^2 (Y)^2 (X(Y-Ym)^2 Xm)^2 36 17,75 25 8,41 16 7,24 9 1,79 4 1,83 1 4,35 0 0,73 1 0,70 4 5,53 9 4,02 16 4,69 25 36 182,00

PRIMER BIMESTRE

X

û

SEGUNDO BIMESTRE

Obs

SOLUCIONARIO

Tabla 2.6 Mean hourly wage by education

PRELIMINARES

TABLA 3 SALARIO PROMEDIO POR HORA SEGÚN LA ESCOLARIDAD

24,45 23,63 105,12

Fuente: texto básico. Elaboración: el autor.


Si los años de escolaridad fueran de cero, el ingreso promedio por hora sería de menos 0,01 centavos.



34

ÍNDICE

Estos valores obtenidos se conocen como estimadores de mínimos cuadrados, en donde B1 representa el intercepto y B2 la pendiente. Con los valores de los coeficientes procedemos a establecer los resultados de la ecuación de regresión. Como lo dijimos en la unidad anterior debemos utilizar la función de regresión muestral.

Ŷi = -0,0144 + 0,6764 Xi + ûi Los residuos se generan por cada uno de los datos de la variable dependiente, pero antes de poder calcularlos debemos generar los valores de la Y estimada (Ŷ), para esto utilizamos la ecuación de regresión y reemplazamos el valor de X de la siguiente manera: Ŷ1 = -0,0144 + 0,6764X1 Ŷ1 = -0,0144 + 0,67(6) Ŷ1 = 4,04 Ŷ2 = -0,0144 + 0,67 X1 Ŷ2 = -0,0144 + 0,67(7) Ŷ2 = 4,72 De igual manera se procede con los demás datos de X, lo que al final nos permite obtener los valores de las Y estimadas y posteriormente la ∑ Ŷ. Luego de haber obtenido las Y estimadas, procedemos al cálculo de los residuos: û=Y-Ŷ û1 =4,46 - 4,04 û1 = 0,41 û2 = 5,77 - 4,72 û2 = 1,05



35

SOLUCIONARIO

Por cada año adicional de escolaridad los ingresos promedio por hora se incrementan en casi 67 centavos por hora.

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES


ÍNDICE

De igual manera se procede con los demás datos de Y, lo que al final nos permite es obtener los valores de las u estimadas y posteriormente la ∑ û. GRÁFICA 3.3 LÍNEA DE REGRESIÓN

PRELIMINARES


PRIMER BIMESTRE

14

12

Y

10

8

4 4

6

8

10

12

14

16

18

20

X

Fuente: tabla 2.6. Elaboración: el autor. La gráfica nos permite ver con la variable escolaridad es adecuada para explicar el ingreso por hora, ya que sus datos no están tan dispersos de la línea de regresión. Con estos ejemplos hemos aplicado el método de MCO, el que nos permite obtener los resultados de la regresión. Inicialmente en las tablas de los ejercicios nos interesa conocer los valores de las sumatorias de X y Y, y posteriormente los valores u. Complementado al método de los MCO, están sus propiedades así como los supuestos aplicables sobre las variables (X) y el término de error, los mismos que son muy críticos para lograr una interpretación válida de los valores estimados de la regresión. Para esto revise la página 6 y el literal 3.2 de su libro básico.

3.2. Precisión o errores estándar de los mínimos cuadrados estimados Dentro de los resultados de la ecuación de regresión se busca alguna medida de confiabilidad o precisión de los estimadores de β1 y β2. Por lo tanto, en la estadística la precisión de un valor estimado está dado por los errores estándar (ee). Para obtener los ee debemos aplicarlas siguientes fórmulas:



36

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

6

Para que un modelo sea adecuado debe tener errores mínimos, lo que da confiabilidad a la estimación. Para que un error sea mínimo este debe ser máximo la tercera parte del valor del parámetro, es decir dividir el valor del parámetro para tres y compararlo con el del error. Si este es menor a la tercera parte del valor del parámetro es confiable. Caso contrario, no lo es. Finalizada la revisión del punto 3.2, tendremos toda la información necesaria para continuar con el paso 7 de la metodología econométrica, ya que nos permite ahora realizar la verificación estadística. Para entender este tema de mejor manera continuemos con la revisión de los ejercicios planteados en la unidad anterior. EJEMPLO 5 EJERCICIO 5.1. Continuación del ejercicio 4.1 Aplicando las fórmulas anteriormente descritas procedemos a calcular los errores estándar de esta regresión:



37

PRELIMINARES

ÍNDICE

Adicional los errores estándar nos permiten generar intervalos de confianza para procedimientos econométricos posteriores.

PRIMER BIMESTRE

Gujarati, D. & Porter, D. (2010), manifiesta que el error estándar del valor estimado o el error estándar de la regresión (ee), es simplemente la desviación estándar de los valores Y alrededor de la recta de regresión estimada, la cual es utilizada frecuentemente como una medida resumen de la “bondad de ajuste” de dicha recta.

SEGUNDO BIMESTRE

En donde es la desviación estándar, Var es la varianza y n es el número de datos u observaciones. Recuerde que K representa el número de parámetros estimados, pero para un modelo de regresión simple este valor será de dos.

SOLUCIONARIO


ÍNDICE

Para constatar si los errores estándares calculados son confiables, en primer lugar procedemos a obtener la tercera parte de los parámetros obtenidos en la regresión.

= 0,71 / 3

= -61,33

= 0,71 / 3

) 47,05 < - 61,33

Es confiable

ee(

) 0,0078 < 0,23

Es confiable

SEGUNDO BIMESTRE

Ŷi = - 184,08 + 0,71 Xi + μi ee (47,05) (0,0078)

En base a los resultados podemos concluir que los estimadores de la regresión son confiables ya que sus (ee) han sido menores a la tercera parte del valor del parámetro. Para realizar las comparaciones entre los valores no se debe tomar en cuenta los signos de los parámetros. EJERCICIO 5.2. Continuación del ejercicio 4.2 Aplicando las fórmulas anteriormente descritas procedemos a calcular los errores estándar de esta regresión:



38

SOLUCIONARIO

ee(

= 184,08 / 3

PRIMER BIMESTRE

Ŷi = - 184,08 + 0,71 Xi + μi

PRELIMINARES


ÍNDICE

Para constatar si los errores estándares calculados son confiables, en primer lugar procedemos a obtener la tercera parte de los parámetros obtenidos en la regresión.

= 31,40

= 0,15

) 50,88 > 31,40

No es confiable

ee(

) 0,078 < 0,15

Es confiable Ŷi = 94,21 + 0,44Xi + μi ee (50,88) (0,078)

En base a los resultados podemos concluir que el estimador de B1 no es confiable ya que es mayor a la tercera parte del valor del parámetro, mientras que el estimador B2 si es confiable. EJERCICIO 5.3. Continuación del ejercicio 4.3 Aplicando las fórmulas anteriormente descritas procedemos a calcular los errores estándar de esta regresión:

Para constatar si los errores estándares calculados son confiables, procedemos en primer lugar a obtener la tercera parte de los parámetros obtenidos en la regresión.



39

SEGUNDO BIMESTRE

= 0,44 / 3

SOLUCIONARIO

ee(

= 94,2 / 3

PRIMER BIMESTRE

Ŷi = 94,21 + 0,44 Xi + μi

PRELIMINARES


ÍNDICE


= 0,67 / 3

) 1,064 > 0,005

ee(

No es confiable

) 0,085 < 0,22 PRIMER BIMESTRE

ee(

= 0,223

Es confiable Ŷi = -0,0144 + 0,6764Xi + μi ee (1,064) (0,085)

En base a los resultados podemos concluir que el estimador de B1 no es confiable ya que es mayor a la tercera parte del valor del parámetro, mientras que el estimador B2 si es confiable. Adicional a esto, para conocer cómo se comportan las varianzas y los errores estándar, revise las características de los mismos que se encuentran en la página 71 y 72 de su libro básico.

3.3. Coeficiente de determinación (r2) Hasta aquí, no tenemos forma de medir qué tan bien explica la variable independiente, (X), a la variable dependiente (Y). Por lo tanto, es beneficioso calcular un número que indique el grado en que la línea de regresión MCO coincide con los datos de las variables. Si los puntos asociados a los datos están en la misma línea, los MCO proporcionan un ajuste perfecto. Esta medida de bondad de ajuste se mide a través del coeficiente determinación (R2). Este indicador mide el porcentaje en que la variable dependiente está siendo explicada por la variable independiente. Su valor fluctúa entre 0 y 1. • •

Si R2= 1, el ajuste es perfecto. Si R2= 0, no hay relación entre la variable dependiente y la variable explicativa.

Se lo puede calcular a través de la siguiente fórmula:

Se dice que un coeficiente de determinación adecuado para una regresión es aquel que es mayor al 80% de ajuste. Adicional al coeficiente de determinación, también tenemos el coeficiente de correlación (R), el mismo que permite conocer el grado de relación entre dos variables. Presenta las siguientes propiedades76: •

Su signo puede ser positivo o negativo. Cuando la relación entre las variables es inversa el signo es negativo, mientras que cuando la relación es directa el signo de R es positivo.

7. Lozano, A. (2001). Guía de Econometría I.



40

SEGUNDO BIMESTRE

= -0,005

SOLUCIONARIO

= -0,0144 / 3

PRELIMINARES

Ŷi = - 0,0144 + 0,6764 Xi + μi

• • • •

ÍNDICE

Su valor fluctúa entre -1 y 1. Es simétrico por naturaleza, es decir que el coeficiente de correlación entre X y Y es el mismo que entre Y y X. Es independiente del origen y la escala. Si X y Y son estadísticamente independientes, entonces R vale cero, pero si vale cero, no necesariamente significa que no haya correlación entre las dos variables. Es una medida de dependencia lineal, por lo tanto, su uso en la descripción de relaciones no lineales no tiene significado. Aunque es una medida de dependencia lineal entre dos variables no necesariamente implica una causa–efecto.

SEGUNDO BIMESTRE

Su fórmula proviene de la del coeficiente de determinación, y su resultado es la raíz cuadrada de este.

PRELIMINARES

• •

PRIMER BIMESTRE


Para comprender este tema continuemos con la aplicación de los ejercicios antes realizados.

SOLUCIONARIO

EJEMPLO 6: Continuación de los ejercicios 4.1, 4.2 y 4.3

Las interpretaciones de los coeficientes de determinación de los ejercicios planteados son: • •

•

El 99% de las variaciones en el GCP se explica por el cambio en el PIB. El ajuste es casi del 100% por lo que la variable PIB es adecuada para explicar al GCP. El 36% de la variación en el gasto alimentario se explica por el gasto total. El ajuste es bastante bajo, por lo que la variable del gasto total no es la adecuada para explicar las variaciones en el gasto de alimentos. El 86% de la variación en el ingreso promedio por hora se debe a la escolaridad. La variable en gran parte explica las variaciones que se dan en el ingreso promedio por ahora.

ACTIVIDAD SUGERIDA Realice un cuadro sinóptico del punto 3.9 referente al resumen y conclusiones del capítulo estudiado para reforzar los conocimientos por usted revisados. Adicional realice los ejercicios: 3.12; 3.16; 3.19; 3.20, de la parte final del capítulo 3 para reforzar los conocimientos de esta unidad. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


41

ÍNDICE

1.

(

)

El método de los MCO sirve para realizar una regresión lineal.

2.

(

)

Los estimadores MCO están expresados en términos de las cantidades.

3.

(

)

Un supuesto de los MCO manifiesta que la linealidad debe darse en las variables.

4.

(

)

Al hablar de homoscedasticidad se refiere a desigual varianza.

5.

(

)

La precisión de un estimador está dado por sus residuos.

6.

(

)

Un estimador insesgado con varianza mínima es conocido como un estimador eficiente.

7.

(

)

Es lo mismo error estándar del valor estimado que error estándar de la regresión.

8.

(

)

El coeficiente de determinación puede ser negativo.

Ir a solucionario



42

PRELIMINARES


PRIMER BIMESTRE

A.

SEGUNDO BIMESTRE

Autoevaluación 3

SOLUCIONARIO


ÍNDICE


4.1. Distribución de probabilidad de las perturbaciones u.87 Si a los supuestos del modelo clásico de regresión lineal (MCRL), se le añade el supuesto de normalidad para u, tenemos el modelo clásico de regresión lineal normal (MCRLN). Para que un modelo sea considerado como adecuado, es necesario que sus residuos estén normalmente distribuidos, es decir que:

Es decir esta normal e independientemente distribuidas con media 0 y varianza

SEGUNDO BIMESTRE

Media: E(u) = 0 Varianza: E[u - E(u)]2 = E(u2) = Covarianza E(ui, uj) = 0 .

Las razones para formular el supuesto de normalidad se exponen en su libro básico en la página 99, es necesario que las revise para un mejor entendimiento.

4.2. Propiedades de los estimadores MCO bajo el supuesto de normalidad Si se supone que u tiene una distribución normal, los estimadores MCO tiene las propiedades que se mencionan a continuación: • • •

•

Son insesgados. Tienen varianza mínima. En combinación con la primera propiedad, serían insesgados de varianza mínima o estimadores eficientes. Presentan consistencia, es decir, que a medida que el tamaño de la muestra aumenta, los estimadores convergen a su verdadero valor. y

• • •

están normalmente distribuidos.

está distribuido como la distribución (Chi-cuadrado) con n-2 grados de libertad. y

se distribuye de manera independiente respecto a

.

tiene varianza mínima entre todas las clases de estimadores insesgados lineales o no y lineales. Se puede decir que los estimadores de mínimos cuadrados son los mejores estimadores insesgados.

En base a los siguientes indicadores, si usted tiene acceso a un software econométrico, podrá determinar si los residuos dentro del modelo están normalmente distribuidos. •

Simetría: esta medida nos permite determinar si los datos se distribuyen de manera uniforme alrededor del valor medio o promedio.

8. Lozano, A. (2001). Guía de Econometría I.



43

SOLUCIONARIO

• • •

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

UNIDAD 4. SUPUESTO DE NORMALIDAD: MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL

ÍNDICE


PRELIMINARES

Esta medida presenta tres estados: Asimetría positiva: cuando la mayor parte de los datos están por encima del valor medio. Simétrica: cuando los datos se distribuyen en la misma medida en ambos lados de la media. Asimetría negativa: cuando la mayor parte de los datos están por debajo del valor medio.

Fuente y elaboración: Guisande C., Vaamonde A., y Barreiro A. (2011). Tratamiento de datos con R, Statistica y SPSS. Madrid: Ediciones De Santos S.A.

•

Curtosis: determina el grado de concentración de los datos alrededor de la región central de la distribución.

Al igual que la simetría, esta presenta también tres estados: Leptocúrtica: gran concentración de valores. Mesocúrtica: concentración normal de valores. Platicúrtica: baja concentración de valores. GRÁFICO 4.2 TIPOS DE CURTOSIS


•

Jarque–Bera: Es una prueba asintótica de normalidad para grandes muestras.

Una prueba de normalidad es un proceso estadístico utilizado para determinar si una muestra o cualquier grupo de datos se ajustan a una distribución normal.



44

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

GRÁFICO 4.1 TIPOS DE ASIMETRÍAS

ÍNDICE

Analiza la relación entre el coeficiente de asimetría y la curtosis de los residuos de la ecuación estimada y los correspondientes de una distribución normal, de forma tal que si estas relaciones son suficientemente diferentes se rechazará la hipótesis nula de normalidad.

PRIMER BIMESTRE

Se basa en el hecho de que la asimetría y curtosis de la distribución normal son igual a cero, por lo tanto, el valor absoluto de estos parámetros podría ser una medida de la desviación de la distribución de lo normal.

PRELIMINARES



He aquí las fórmulas para calcular estas medidas:

ACTIVIDAD SUGERIDA Con las fórmulas antes mencionadas, averigüe y calcule estos indicadores para los ejercicios 4.1, 4.2, y 4.3.



45

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

GRÁFICO 4.3

ÍNDICE

1.

(

)

El estado leptocúrtico es aquel que tiene baja concentración de valores.

2.

(

)

La asimetría positiva es aquella cuyos valores están por encima del valor medio.

3.

(

)

Una propiedad de los estimadores bajo el supuesto de normalidad es que son insesgados.

4.

(

)

Para que un modelo sea considerado como adecuado sus residuos deben tener una media igual a 1.

5.

(

)

Simetría significa uniformidad en la distribución de los datos alrededor de su valor medio.

6.

(

)

El Jarque–Bera es una prueba de normalidad para muestras pequeñas.

7.

(

)

El teorema del límite central es la justificación teórica para el supuesto de normalidad.

8.

(

)

Los estimadores bajo el supuesto de normalidad tienen varianza máxima.

Ir a solucionario



46

PRELIMINARES


PRIMER BIMESTRE

A.

SEGUNDO BIMESTRE

Autoevaluación 4

SOLUCIONARIO


ÍNDICE


6.5. Competencias genéricas Son aquellas capacidades (actitudes, habilidades y conocimientos) comunes a todas las profesiones que se ofrece en la UTPL. Constituye una parte fundamental del perfil que el estudiante debe desarrollar durante su formación. Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

•

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.

•

Capacidad para organizar y planificar el tiempo.

•

Conocimiento sobre el área de estudio y la profesión.

•

Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y de la comunicación.

•

Capacidad de investigación.

•

Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.

•

Capacidad crítica y autocrítica.

•

Capacidad creativa.

•

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas.

•

Capacidad para tomar decisiones.

•

Habilidades interpersonales.

•

Compromiso ético.



47

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

•

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

SEGUNDO BIMESTRE

ÍNDICE


•

Desarrollar el pensamiento lógico para la aplicación en aspectos económicos y la interpretación de resultados, gráficas y análisis de datos en modelos reales.

•

•

Analizar, interpretar • y aplicar la teoría económica en el entorno económico nacional e internacional. Desarrollar el pensamiento lógico para la aplicación en aspectos económicos y la interpretación de resultados, gráficas y análisis de datos en modelos reales.

Estima intervalos UNIDAD 5: REGRESIÓN 1. de confianza para CON DOS VARIABLES: ESTIMACIÓN la formulación de DE INTERVALOS hipótesis dentro Y PRUEBAS DE de los modelos 2. HIPÓTESIS de regresión. 5.1. Estimación de intervalos: ideas básicas. 5.2. Prueba de hipótesis: intervalos de confianza

CRONOGRAMA ORIENTATIVO (Tiempo estimado) Lectura de las páginas SEMANA 1 y 2 introductorias de la guía. 12 horas de autoestudio. Lectura global de la unidad introductoria 8 horas de y capítulo 1 del texto interacción. básico.


3.

Lectura comprensiva (analítica, subrayada, etc.) de la unidad 1.

4.


5.3. Prueba de 5. hipótesis: nivel de significancia.


5.4. Prueba de 6. hipótesis: prueba t 7. 5.5. Prueba de hipótesis: prueba f

Interacción en el EVA. Continúa el desarrollo de la evaluación a distancia.

5.6. Presentación de resultados UNIDAD 6: EXTENSIÓN 1. DEL MODELO LINEAL DE DOS VARIABLES

Lectura global del capítulo del texto básico.

Conoce y determina las distintas formas en que se puede establecer un 6.1. Regresión a través 2. modelo de del origen regresión 6.2. Formas funcionales: 3. Modelo Log lineal 6.3. Modelos 4. semilogarítmicos 6.4. Modelos recíprocos

Lectura comprensiva (analítica, subrayada, etc.).

SEMANA 3 y 4 12 horas de autoestudio. 8 horas de interacción.

Elaboración de ejercicios prácticos. Desarrollo de las actividades recomendadas.

5.


6.

Inicio del desarrollo de la evaluación a distancia.


PRIMER BIMESTRE

Analizar, interpretar • y aplicar la teoría económica en el entorno económico nacional e internacional.

CONTENIDOS Unidades/Tema

SEGUNDO BIMESTRE

•


SOLUCIONARIO


PRELIMINARES

6.6. Planificación para el trabajo del alumno


48

•

•

•

ÍNDICE

Conoce el funcionamiento de los modelos de regresión múltiple. Determina e interpreta los resultados de un modelo de regresión múltiple. Determina la utilización del modelo de producción de Cobb-Douglas Conoce la aplicación de los modelos polinomiales.


UNIDAD 7: ANÁLISIS 1. DE REGRESIÓN MULTIPLE 7.1. Significado de los 2. coeficientes de regresión parcial. 7.2. Estimación de los 3. coeficientes de regresión parcial. 4. 7.3. Varianzas y errores de los estimadores MCO. 5. 7.4. Coeficiente de determinación 6. múltiple. 7.5. La función de producción de Cobb-Douglas

CRONOGRAMA ORIENTATIVO (Tiempo estimado) SEMANA 5 y 6

Lectura global de la unidad introductoria del texto básico. 12 horas de autoestudio. Lectura comprensiva (analítica, subrayada, 8 horas de etc.) de la unidad 7. interacción.

PRIMER BIMESTRE

•

CONTENIDOS Unidades/Tema

Elaboración de ejercicios prácticos. Desarrollo de las actividades recomendadas.

SEGUNDO BIMESTRE


Interacción en el EVA. Continúa el desarrollo de la evaluación a distancia.

SOLUCIONARIO


7.6. Modelos de regresión polinomial 7.7. Prueba de igualdad de dos coeficientes de regresión. Unidades 5 a la 7

PRELIMINARES


Nueva revisión de contenidos del bimestre como preparación para la evaluación presencial.


Semana 7 y 8 12 horas de autoestudio y 8 horas de interacción.


49

ÍNDICE


Como parte de la verificación estadística que constituye el paso 7 de la metodología econométrica, a más de los errores estándar y del coeficiente de determinación se incluyen el cálculo de los intervalos de confianza, tema que revisaremos a continuación. Como lo vimos anteriormente, la confiabilidad de un estimador se mide por su error estándar, por lo tanto, para no depender de un solo indicador, se puede construir un intervalo que tenga la probabilidad de incluir dentro de sus límites el verdadero valor del parámetro. Se trata de encontrar qué tan cerca está situado entre 0 y 1.

de β2 para esto buscamos dos números σ y α este último

Para esto utilizamos la siguiente ecuación tanto para: Límite inferior

Pr (

y

Límite superior

-δ≤β ≤

Nivel de significancia

+δ)=1-α Coeficiente de confianza

La ecuación anterior muestra un estimador de intervalo, construido de manera que contenga dentro de sus límites el valor verdadero del parámetro. El estimador de intervalos proporciona entonces un recorrido de valores dentro de los cuales puede encontrarse el verdadero β2. Adicional a esto el cálculo de intervalos nos permiten poder aceptar o rechazar cualquier hipótesis que se haya planteado con respecto a los resultados del modelo. Para esto vamos a utilizar cuatro métodos prácticos para aceptar o rechazar hipótesis: • • • •

Intervalo de confianza Nivel de significancia Prueba t Prueba F



50

SEGUNDO BIMESTRE

5.1. Estimación de intervalos: ideas básicas

SOLUCIONARIO

UNIDAD 5. REGRESIÓN CON DOS VARIABLES: ESTIMACIÓN DE INTERVALOS Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

6.7. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias

ÍNDICE


H1 : β1 ≠ 0

Si hay intercepto.

Ho : β2 = 0

No hay relación lineal entre la variable X y la variable Y.

H1 : β2 ≠ 0

Si hay relación lineal entre la variable X y la variable Y.

SEGUNDO BIMESTRE

Para esto vamos a continuar con el desarrollo de los ejercicios planteados en un inicio, a cada uno de ellos les vamos aplicar las distintas pruebas. EJEMPLO 7. EJERCICIO 7.1. Continuación del ejercicio 4.1

5.2. Prueba de hipótesis: intervalos de confianza Esta prueba inicialmente nos permite obtener el intervalo dentro del cual se encuentra el verdadero valor de los parámetros (β1 y β2), adicional a esto nos permite aceptar o rechazar las hipótesis planteadas para cada parámetro de manera individual. Ho : β1 = 0 H1 : β1 ≠ 0

En 95 de cada 100 casos, intervalos como este contendrán el verdadero valor de β1. En cuanto a la hipótesis planteada el valor de β1 que es de cero no está dentro del intervalo calculado por tal razón rechazamos Ho y aceptamos que el modelo si tiene intercepto. Ho : β2 = 0 H1 : β2 ≠ 0


PRIMER BIMESTRE

No hay intercepto.


51

SOLUCIONARIO

Ho : β1 = 0

PRELIMINARES

Las hipótesis planteadas para poder utilizar los cuatro métodos son las siguientes:

ÍNDICE

5.3. Prueba de hipótesis: nivel de significancia y

toman el valor de cero

SOLUCIONARIO

Es similar a la prueba de intervalo de confianza, con la diferencia que dentro de la fórmula y se los identifica ahora como β*1 y β*2.

SEGUNDO BIMESTRE

En 95 de cada 100 casos, intervalos como este contendrán el verdadero valor de β2. En cuanto a la hipótesis planteada el valor de b2que es de cero no está dentro del intervalo calculado por tal razón rechazamos Ho y aceptamos que el modelo si tiene linealidad.

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES


Ho : β*1 = 0 H1 : β*1 ≠ 0

Como β1= -184,08 cae en la región de rechazo, se acepta H1 de que existe intercepto en el modelo. Ho : β*2 = 0 H1 : β*2 ≠ 0



52

ÍNDICE PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES


Como β2 = 0,71 cae en la región de rechazo, se acepta H1 de que existe linealidad en el modelo.

SEGUNDO BIMESTRE

5.4. Prueba de hipótesis: prueba t

SOLUCIONARIO

Para esta prueba vamos a utilizar la siguiente fórmula, y nos vamos a apoyar del valor t de la tabla.

La regla manifiesta que si el tc (t calculada) es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso los tc = (-3,9; 91,02) son mayores al tt= +-2,160, por lo tanto, aceptamos que el modelo tiene intercepto y linealidad.

5.5. Prueba de hipótesis: prueba F Esta prueba nos permite aceptar o rechazar una hipótesis con el análisis de las variables independientes de manera global. En este caso como estamos trabajando con modelos de regresión solo se tiene una variable independiente.

Como el Fc es mayor al Ft (4,67); rechazo Ho, y acepto la linealidad del modelo.



53

ÍNDICE


Intervalo de confianza: esta prueba inicialmente nos permite obtener el intervalo dentro del cual se encuentra el verdadero valor de los parámetros ( y ), adicional a esto nos permite aceptar o rechazar las hipótesis planteadas para cada parámetro de manera individual.

PRIMER BIMESTRE

Ho : β1 = 0

PRELIMINARES

EJERCICIO 7.2. Continuación del ejercicio 4.2

En 95 de cada 100 casos, intervalos como este contendrán el verdadero β1 valor. En cuanto a la hipótesis planteada, el valor de β1 que es de cero está dentro del intervalo calculado por tal razón aceptamos Ho, es decir el modelo no tiene intercepto. Ho : β2 = 0 H1 : β2 ≠ 0

En 95 de cada 100 casos, intervalos como este contendrán el verdadero valor de β2. En cuanto a la hipótesis planteada, el valor de β2 que es de cero no está dentro del intervalo calculado por tal razón rechazamos Ho y aceptamos que el modelo si tiene linealidad. Nivel de significancia: es similar a la prueba de intervalo de confianza, con la diferencia que toman el valor de cero dentro de la fórmula y se los identifica ahora como β*1 y β*2 .

y

Ho: β*1 = 0 H1: β*1 ≠ 0



54

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

H1 : β1 ≠ 0

ÍNDICE

Como B1= 94,21 cae en la región de aceptación, se acepta Ho de que no existe intercepto en el modelo.

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

Ho: β*2 = 0 H1: β*2 ≠ 0

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES


Como β2 = 0,44 cae en la región de rechazo, se acepta H1 de que existe linealidad en el modelo. Prueba t: Para esta prueba vamos a utilizar la siguiente fórmula, y nos vamos a apoyar del valor t de la tabla.

La regla manifiesta que si el tc (t calculada) es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso el tc de β1= (1,85) es menor al tt= +-2,006, por lo tanto, aceptamos que el modelo no tiene intercepto, ahora el tc de β2 = (5,64) es mayor al tt por lo que rechazo Ho y acepto la linealidad del modelo. Prueba F: esta prueba nos permite aceptar o rechazar una hipótesis con el análisis de las variables independientes de manera global. En este caso, como estamos trabajando con modelos de regresión solo se tiene una variable independiente.



55


PRELIMINARES


Intervalo de confianza: esta prueba inicialmente nos permite obtener el intervalo dentro del cual se encuentra el verdadero valor de los parámetros , adicional a esto nos permite aceptar o y rechazar las hipótesis planteadas para cada parámetro de manera individual. Ho : β1 = 0 H1 : β1 ≠ 0

En 95 de cada 100 casos, intervalos como este contendrán el verdadero valor de β1. En cuanto a la hipótesis planteada el valor de β1 que es de cero está dentro del intervalo calculado por tal razón aceptamos Ho, es decir, el modelo no tiene intercepto. Ho : β2 = 0 H1 : β2 ≠ 0



56

SOLUCIONARIO

EJERCICIO 7.3. Continuación del ejercicio 4.3

SEGUNDO BIMESTRE


ÍNDICE

Nivel de significancia: es similar a la prueba de intervalo de confianza, con la diferencia que toman el valor de cero dentro de la fórmula y se los identifica ahora como β*1 y β*2 .

y

SOLUCIONARIO

Ho: β*1 = 0 H1: β*1 ≠ 0

SEGUNDO BIMESTRE

En 95 de cada 100 casos, intervalos como este contendrán el verdadero valor de β2. En cuanto a la hipótesis planteada, el valor de β2 que es de cero no está dentro del intervalo calculado por tal razón rechazamos Ho y aceptamos que el modelo si tiene linealidad.

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES


Como β1 = 0,0144 cae en la región de aceptación, se acepta Ho de que no existe intercepto en el modelo. Ho: β*2 = 0 H1: β*2 ≠ 0

Como β2= 0,6764 cae en la región de rechazo, se acepta H1 de que existe linealidad en el modelo. Prueba t: para esta prueba vamos a utilizar la siguiente fórmula, y nos vamos a apoyar del valor t de la tabla.



57

ÍNDICE SOLUCIONARIO

Prueba F: esta prueba nos permite aceptar o rechazar una hipótesis con el análisis de las variables independientes de manera global. En este caso como estamos trabajando con modelos de regresión solo se tiene una variable independiente.

SEGUNDO BIMESTRE

La regla manifiesta que si el tc (t calculada) es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso el tc de β1= (0,014) es menor al tt= +-2,201, por lo tanto, aceptamos que el modelo no tiene intercepto; ahora el tc de β2 = (7,95) es mayor al tt por lo que rechazo Ho y acepto la linealidad del modelo.

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES



5.6. Presentación de resultados En esta parte lo único que haremos será condesar todos los resultados obtenidos en esta unidad, como una forma de presentar los resultados de un ejercicio econométrico. EJERCICIO 7.4. Recopilación ejercicio 4.1 El siguiente ejercicio muestra información sobre Y (gasto de consumo personal) y X (PIB), desde 19821996, en miles de millones de dólares de 1992. Tabla I.1 del texto guía, página 6. 1. 2. 3. 4.

Planteo teórico o de hipótesis. Gasto de consumo de personal= f (PIB) o Y= f (X) Especificación del modelo matemático Y= B1+B2X Especificación modelo econométrico Y= B1+B2X+u Obtención de datos



58

X 4620,3 4803,7 5140,1 5323,5 5487,7 5649,5 5865,2 6062 6136,3 6079,4 6244,4 6389,6 6610,7 6742,1 6928,4 88082,9

ÍNDICE

(X)^2 21347172,1 23075533,7 26420628 28339652,3 30114851,3 31916850,3 34400571 36747844 37654177,7 36959104,4 38992531,4 40826988,2 43701354,5 45455912,4 48002726,6 523955898

Tabla I.1 û û^2 XY Ŷ (Y- Ŷ) (Y-Ŷ)^2 14237454,5 3077,01 4,49 20,14 15566870,2 3206,46 34,14 1165,6 17515404,8 3443,9 -36,3 1317,41 18986262,8 3573,34 -6,84 46,83 20352233 3689,24 19,46 378,75 21594083,9 3803,44 18,86 355,71 23300680 3955,68 17,02 289,52 24639605,2 4094,59 -29,99 899,38 25356418,9 4147,03 -14,83 219,98 24960800,5 4106,87 -1,07 1,15 26350119,1 4223,33 -3,53 12,47 27753866,6 4325,82 17,78 316,29 29655600,2 4481,87 4,13 17,04 30981972,1 4574,62 20,68 427,82 32661170,4 4706,11 7,99 63,84 353912542 59409,31 5531,93

(X)^2 (Y)^2 (X-Xm)^2 (Y-Ym)^2 1567236,92 778965,11 1141678 523437,78 535960,65 309681,12 301064,37 158077,81 147835,12 65224,05 49592,32 20104,40 48,91 74,13 36026,57 10102,26 69752,33 28260,97 42934,6 20081,72 138537,8 65387,60 267709,66 144027,84 545392,1 272390,05 756737,61 398426,06 1115572,52 562515,00 6716079,49 3356755,92


6.

Estimación de la regresión Ŷi = - 184,08 + 0,71 Xi + μi ee 47,05 0,078 R2 = 0,998 o 99% R = 0,999 o 99%

7.


Ho: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0 Ho: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0

No hay intercepto. Si hay intercepto. No hay relación lineal entre la variable X y la variable Y. Si hay relación lineal entre la variable X y la variable Y.

8. Verificación Verificación económica •

= -184,08

La interpretación de este parámetro es que si el ingreso o el PIB fueran constante, el gasto de consumo de personal sería de -184 mil millones de dólares. •

= 0,71



59

PRELIMINARES

Y 3081,5 3240,6 3407,6 3566,5 3708,7 3822,3 3972,7 4064,6 4132,2 4105,8 4219,8 4343,6 4486 4595,3 4714,1 59461,3

PRIMER BIMESTRE

Obs 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 ∑

SEGUNDO BIMESTRE

TABLA 4 GASTO DE CONSUMO PERSONAL Y PIB (miles de millones 1992)

SOLUCIONARIO


ÍNDICE

Verificación estadística ee ( ) = 47,05: ) = 0,0078: ee ( 2 R = 0,998 o 99%:

Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro. Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro. El 99% de las variaciones en el GCP se explica por el cambio en el PIB. El ajuste es casi del 100% por lo que la variable PIB es adecuada para explicar al GCP.

Prueba intervalo de confianza

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

Ho: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0

PRELIMINARES

La interpretación de este parámetro indica que si el PIB se incrementa en un dólar, el gasto de consumo personal promedio aumenta en casi 71 centavos.

PRIMER BIMESTRE


En 95 de cada 100 casos, intervalos como este contendrán el verdadero valor de β1. En cuanto a la hipótesis planteada, el valor de β1 que es de cero no está dentro del intervalo calculado por tal razón, rechazamos Ho y aceptamos que el modelo sí tiene intercepto. Ho: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0

En 95 de cada 100 casos, intervalos como este contendrán el verdadero valor de β2. En cuanto a la hipótesis planteada, el valor de β2 que es de cero no está dentro del intervalo calculado por tal razón, rechazamos Ho y aceptamos que el modelo si tiene linealidad.



60

ÍNDICE


PRELIMINARES

Prueba del nivel de significancia

Como B1=-184,08 cae en la región de rechazo, se acepta H1 de que existe intercepto en el modelo. Ho: β*2 = 0 H1: β*2 ≠ 0

Como B2= 0,71 cae en la región de rechazo, se acepta H1 de que existe linealidad en el modelo. Prueba t

La regla manifiesta que si el tc es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso los tc = (-3,9; 91,02) son mayores al tt= +-2,160, por lo tanto, aceptamos que el modelo tiene intercepto y linealidad.



61

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Ho: β*1 = 0 H1: β*1 ≠ 0

ÍNDICE


Con el desarrollo práctico de estos cuatro métodos, hemos revisado lo más importante de la unidad 5. Es conveniente que revise en su libro guía todo lo relacionado al capítulo 5 para reforzar los conocimientos hasta aquí aprendidos. ACTIVIDAD SUGERIDA Realice la presentación de resultados para los dos ejercicios restantes que se realizaron en esta unidad. Adicionalmente elabore 3 modelos de regresión simple y aplique toda la metodología econométrica. Adicional realice los ejercicios: 5.9 (hasta el literal c); 5.10; 5.12 (literal a) y 5.19 (literales a, b y c), de la parte final del capítulo 5 para reforzar los conocimientos de esta unidad.



62

SOLUCIONARIO


SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

Prueba F

ÍNDICE

Autoevaluación 5


1.

(

)

Al intervalo de confianza se lo conoce también como coeficiente de confianza.

2.

(

)

Cuando el t calculado es mayor al t de la tabla se acepta la hipótesis nula.

3.

(

)

Para estimar el valor de t en la tabla, al número de datos le sumamos el número de parámetros que hay en la regresión.

4.

(

)

La prueba t es un método para probar hipótesis.

5.

(

)

En la prueba del nivel de significancia, cuando el valor de parámetro está dentro del intervalo se rechaza la hipótesis nula.

6.

(

)

El coeficiente de determinación mide si los coeficientes de la regresión son estadísticamente significativos.

7.

(

)

El estimador de valores proporciona entonces un recorrido de valores dentro de los cuales puede encontrarse el verdadero B2.

8.

(

)

Un error de tipo 1consiste en rechazar una hipótesis verdadera.

9.

(

)

La hipótesis alternativa es siempre probada frente a la hipótesis nula.

10. (

)

Cuando se acepta la hipótesis nula, se dice que el hallazgo es estadísticamente significativo.

Ir a solucionario



63

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

A.

PRELIMINARES


Comenzamos nuestro estudio con el siguiente tipo de regresión.

6.1. Regresión a través del origen Wooldridge, J (2001), la denomina regresión a través del origen, porque la línea pasa por el origen x= 0, = 0. La ecuación para este tipo de regresión es:

Esta ecuación carece del intercepto o este toma el valor de cero, es decir el b1. Para el cálculo de b2y su varianza aplicamos las siguientes fórmulas:

Este tipo de modelo presenta ciertas desventajas como: la suma de residuos no siempre es cero, y el coeficiente de determinación puede ser negativo. El uso de este modelo solo sería indispensable si existe expectativa a priori muy fuerte que justifique ser utilizado. Algunas de las razones que justifican que el intercepto este ausente del modelo, es que la teoría económica requiere o exige esto, casos como la elasticidad-oferta unitaria, puede llevarnos a excluirlo. Nota: para la realización de todos los ejercicios del segundo bimestre se utilizó un software econométrico denominado EViews, pero usted deberá seguir realizando los ejercicios con la aplicación de las fórmulas correspondientes. A continuación vamos a realizar un ejercicio:



64

PRELIMINARES

ÍNDICE

En esta unidad vamos a revisar que muchos fenómenos económicos no pueden ser expresados a través de modelos lineales, sino que la misma determinación de información propondrá que estos modelos sean planteados de diversas formas. Esto es lo que se conoce como formas funcionales de los modelos, en los cuales las variables dejan de ser lineales pero no los parámetros.

PRIMER BIMESTRE

Luego de haber revisado lo concerniente a un modelo de regresión simple, en los cuales se trabajó con modelos lineales, es decir, que tanto sus variables como parámetros estaban expresadas de manera lineal, es muy poco probable que la teoría económica siempre se rija a este tipo de modelos.

SEGUNDO BIMESTRE

UNIDAD 6. EXTENSIÓN DEL MODELO LINEAL DE DOS VARIABLES

SOLUCIONARIO


ÍNDICE


La tabla 6.9 presenta información sobre los deflactores del PIB para los bienes domésticos y para los bienes importados de Singapur durante el periodo 1968-1982. El deflactor del PIB es utilizado frecuentemente como un indicador de la inflación en lugar del IPC. Singapur es una economía pequeña, abierta y muy dependiente del comercio exterior para su supervivencia.

PRELIMINARES

EJEMPLO 8.

Yt = α1 + α2 Xt + μt Yt = β2 Xt + μt

Primer modelo

¿Cómo se escogería a priori, entre los dos modelos?

A priori se escogería el primer modelo, ya que este posee intercepto, por lo tanto, la confiabilidad de sus coeficientes sería mayor.

SOLUCIONARIO

b) Ajústese ambos modelos a los datos y decida cuál se ajusta mejor. Y= Deflactor PIB bienes domésticos X= Deflactor PIB para importaciones Primer modelo (sin intercepto). Aplicando las fórmulas obtenemos los datos de la regresión: Y = 0,794 X + μ ee = 0,0225 R2 = 0,71 o 71% t = 31,17 • • •

SEGUNDO BIMESTRE

a)

PRIMER BIMESTRE

Para estudiar la relación entre los precios domésticos y los mundiales, se dan los siguientes modelos:

B2= 0,79: Si el deflactor del PIB para importaciones varía en 1%, el deflactor del PIB para bienes domésticos sería del 0,79%. eeB2 (0.0225): Es confiable, porque es menor a la tercera parte del valor del parámetro. R2 = 0,71: El deflactor del PIB para importaciones explica en un 71% las variaciones en el PIB para bienes domésticos.

Segundo modelo (con intercepto) Y = 516.0898305 + 0.5339692583X+u



65

ÍNDICE


PRELIMINARES

Prob. 0.0000 0.0000 1455.733 345.8076 10.86899 10.96340 603.0180 0.000000

•

B1= 516,08: si el deflactor del PIB para importaciones estuviera constante, el deflactor del PIB para bienes domésticos sería del 516,08%.

•

B2= 0,53: si el deflactor del PIB para importaciones varía en 1%, el deflactor del PIB para bienes domésticos sería del 0,53%.

•

eeB1 (40,56): es confiable, porque es menor a la tercera parte del valor del parámetro.

•

eeB2 (0,021): es confiable, porque es menor a la tercera parte del valor del parámetro.

•

R2 = 0,98: el deflactor del PIB para importaciones explica en un 98% las variaciones en el PIB para bienes domésticos.

Según los resultados el modelo que mejor se ajusta es el segundo, ya que sus resultados son estadísticamente más significativos que el primer modelo.

6.2. Formas funcionales: modelo log – lineal Conocido como modelo de regresión exponencial, se lo puede linealizar a través de logaritmos naturales. A estos modelos también se los conoce como modelos de elasticidad constante. La ecuación de regresión es la siguiente: y = β1 X β2 eμ → ln y = ln β1 + β2 ln x + μ • • •

Lineal en los parámetros. Lineal en los logaritmos de las variables Y y X, y debido a estos se denominan modelos log-log; doble log o log-lineales. El modelo log-log es importante, ya que el coeficiente de la pendiente B2 mide la elasticidad de Y con respecto a X, es decir el cambio porcentual en Y ante un pequeño cambio porcentual en X.

EJEMPLO 9 El siguiente ejercicio presenta información del consumo de café en Estados Unidos (Y) en relación con el precio observado al detalle promedio (X), para el periodo 1970-1980. Se desea conocer la elasticidad precio con respecto al consumo.



66

PRIMER BIMESTRE

Std. Error t-Statistic 40.56311 12.72313 0.021745 24.55642 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

SEGUNDO BIMESTRE

Coefficient 516.0898 0.533969 0.978897 0.977273 52.13170 35330.29 -79.51742 0.854173

SOLUCIONARIO

Variable C X R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

ÍNDICE


X 0,77 0,74 0,72 0,73 0,76 0,75 1,08 1,81 1,39 1,2 1,17 11,12

Lny 0,943905899 0,916290732 0,854415328 0,832909123 0,810930216 0,78845736 0,746687947 0,662687973 0,678033543 0,722705983 0,703097511 8,660121616

LnX -0,26136476 -0,30110509 -0,32850407 -0,31471074 -0,27443685 -0,28768207 0,07696104 0,59332685 0,32930375 0,18232156 0,15700375 -0,42888665

PRIMER BIMESTRE

Y 2,57 2,5 2,35 2,3 2,25 2,2 2,11 1,94 1,97 2,06 2,02 24,27

SEGUNDO BIMESTRE

Años 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 ∑

PRELIMINARES

TABLA 5 CONSUMO DE CAFÉ EN USA

Fuente: Lozano, A.(2001). Guía de Econometría I, ejercicio #18.

SOLUCIONARIO

Elaboración: el autor.

Metodología tradicional98 1. 2. 3. 4.

Planteo teórico o de hipótesis Consumo = f (Precio) o Y= f (X) Especificación del modelo matemático Y= B1+B2X Especificación modelo econométrico LnY= B1+B2LnX+u Obtención de datos Tabla 5

5.

Estimación de la regresión Dependent Variable: LNY Included observations: 11 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

0.777418

0.015242

51.00455

0.0000

LNX

-0.253046

0.049374

-5.125086

0.0006

R-squared

0.744800

Mean dependent var

0.787284

Adjusted R-squared

0.716445

S.D. dependent var

0.094174

S.E. of regression

0.050148

Akaike info criterion

-2.984727

Sum squared resid

0.022633

Schwarz criterion

-2.912383

Log likelihood

18.41600

F-statistic

26.26651

Durbin-Watson stat

0.680136

Prob(F-statistic)

0.000624

LNY = 0.777417592 - 0.253046125LNX+u

9. Se enuncia la metodología tradicional, únicamente para fines didácticos.



67

ÍNDICE


Ho: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0

No hay intercepto. Sí hay intercepto.

Ho: β2 = 0

No hay relación lineal entre la variable LnX y la variable LnY.

H1: β2 ≠ 0

Sí hay relación lineal entre la variable LnX y la variable LnY.

PRELIMINARES


PRIMER BIMESTRE

7. Verificación Verificación económica •

= 0,77

•

SEGUNDO BIMESTRE

Es el valor medio de consuno de café cuando el precio es de cero. = -0,253

Significa que ante un incremento del 1% en el precio, el consumo de café disminuye en un 0,25%. Es decir el café es un bien inelástico. Verificación estadística ee (

) = 0,01: Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro.

ee (

) = 0,04: Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro.

R2 = 0,744 o 74% :

El 74% de las variaciones en el consumo de café se explica por el cambio en el precio.

Para la comprobación de hipótesis utilizaremos la prueba t. Pero usted podrá hacerlo con los tres métodos revisados. Prueba t tc (

) = 51

tc (

) = -5,1

La regla manifiesta que si el tc es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso los tc son mayores al tt= +-2,26; por lo tanto, aceptamos que el modelo tiene intercepto y linealidad entre sus variables. Verificación econométrica Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelación Sesgo de especificación



68

SOLUCIONARIO

6.

ÍNDICE


ln Yt= β1 + β2 t+ μt Generalmente utilizado para medir tasas de crecimiento instantánea o compuesta. Este modelo es logarítmico en la variable dependiente, pero lineal en la variable independiente que además está dada por el tiempo. En este modelo el coeficiente de la pendiente mide el cambio proporcional constante o relativo en (Y), para un cambio absoluto dado en el valor de (X). Al multiplicar por 100 (β2), da como resultado la tasa de crecimiento en (Y). EJEMPLO 10 Tomaremos información de la tabla 8.9 de su texto básico, para el desarrollo del siguiente ejercicio. La tabla presenta información de los ahorros e ingreso personal disponible (miles de millones), para Estados Unidos, 1970-1995. Metodología tradicional: 1. 2. 3. 4. 5.

Ahorro = f (tiempo) o Y= f (X) Planteo teórico o de hipótesis Y= B1+B2X Especificación del modelo matemático LnY= B1+B2t+u Especificación modelo econométrico Tabla 8.9 Obtención de datos Estimación de la regresión.

A la variable X la tomamos como el tiempo, numeramos los datos desde el 1 hasta el 26, y realizamos la regresión. Dependent Variable: LNY Included observations: 26 Variable Coefficient C 4.280070 X 0.053300 R-squared 0.812624 Adjusted R-squared 0.804816 S.E. of regression 0.199793 Sum squared resid 0.958010 Log likelihood 6.020520 Durbin-Watson stat 0.674020

Std. Error t-Statistic 0.080682 53.04876 0.005224 10.20218 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Prob. 0.0000 0.0000 4.999615 0.452228 -0.309271 -0.212494 104.0845 0.000000

LNY = 4.280069757 + 0.05329966467t+u UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


69

SEGUNDO BIMESTRE

Modelo Log – Lin

SOLUCIONARIO

En este tipo de modelos tenemos dos variaciones:

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

6.3. Modelos semilogarítmicos

ÍNDICE



Ho: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0 Ho: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0

PRELIMINARES

6.

No hay intercepto Si hay intercepto No hay relación lineal entre la variable t y la variable LnY Si hay relación lineal entre la variable t y la variable LnY

•

= 4,28

Para interpretar B1 debemos calcular el antilogaritmo que sería 72,24. Cuando estamos en el año cero (1969), el ahorro será de 74,24 miles de millones de dólares. •

= 0,053

Significa que cuando los años se incrementan en uno, el ahorro se incrementará en un 5,3%. Esta es la tasa de crecimiento instantánea en un determinado año. Si a esta respuesta le aplicamos lo siguiente: (antilogaritmo B2-1) = 1,054 – 1= 0,054 (100%) = 5,4%. Esta es la tasa de crecimiento compuesta anual entre 1970 y 1991, es decir el promedio. Verificación estadística ee ( ee (

) = 0,08: Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro. ) = 0,005: Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro.

R2 = 0,81 o 81% : El 81% de las variaciones en el ahorro son explicadas por las variaciones en el tiempo. Para la comprobación de hipótesis utilizaremos la prueba t,. pero usted podrá hacerlo con los tres métodos revisados. Prueba t tc (

) = 53

tc (

) = 10,2

La regla manifiesta que si el tc es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso los tc son mayores al tt= +-2,064; por lo tanto, aceptamos que el modelo tiene intercepto y linealidad entre sus variables. Verificación econométrica Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelación Sesgo de especificación



70

SOLUCIONARIO

Verificación económica

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

7. Verificación

ÍNDICE


EJEMPLO 11 En la siguiente tabla se presenta información sobre el producto nacional bruto (PNB) y cuatro definiciones de oferta monetaria (M) de Estados Unidos durante el periodo 1970-1983. Para este ejercicio escogemos la variable oferta monetaria M2. Metodología tradicional: Planteo teórico o de hipótesis PNB = f (M2) o Y= f (X) Y= B1+B2X Especificación del modelo matemático Y= B1+B2LnX+u Especificación modelo econométrico Tabla 5.6 Obtención de datos Estimación de la regresión Dependent Variable: PNB Included observations: 14 Variable Coefficient C -11884.97 LNM2 1958.190 R-squared 0.966688 Adjusted R-squared 0.963912 S.E. of regression 148.5638 Sum squared resid 264854.6 Log likelihood -88.80029 Durbin-Watson stat 0.416739

SOLUCIONARIO

1. 2. 3. 4. 5.

Std. Error t-Statistic 744.1602 -15.97098 104.9353 18.66093 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Prob. 0.0000 0.0000 1981.971 782.0447 12.97147 13.06276 348.2303 0.000000

PNB = -11884.9688 + 1958.189946LnM2+u 6.


Ho: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0 Ho: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0

No hay intercepto. Sí hay intercepto. No hay relación lineal entre la variable Ln X y la variable Y. Sí hay relación lineal entre la variable Ln X y la variable Y.


PRIMER BIMESTRE

A diferencia del modelo anterior, lo que se trata de conocer ahora es el cambio absoluto en Y, debido a un cambio porcentual en X. Esta ecuación plantea que el cambio absoluto en (Y), es igual a B2 veces el cambio relativo en (X). Así, si X cambia en 0,01 unidades o 1%, el cambio absoluto en Y es (0,01)*B2 o lo mismo si divido 100/B2.

SEGUNDO BIMESTRE

Yi = β1 + β2 lnXi + μi

PRELIMINARES

Modelo lin – log


71

ÍNDICE


Verificación económica •

= -11884,96

Cuando la oferta monetaria es de cero el PNB disminuye en 11884,96 miles de millones de dólares. •

= 1958,183

Significa que ante un incremento de la oferta monetaria en un 1%, el PNB se incrementa en 19,58 mil millones de dólares.

PRELIMINARES

Verificación

PRIMER BIMESTRE

7.

Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro. Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro. El 97% de las variaciones en el ahorro son explicadas por las variaciones en el

Para la comprobación de hipótesis utilizaremos la prueba t, pero usted podrá hacerlo con los tres métodos revisados. Prueba t tc (

) = -15,97

tc (

) = 18,66

La regla manifiesta que si el tc es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso los tc son mayores al tt= +-2,179; por lo tanto, aceptamos que el modelo tiene intercepto y linealidad entre sus variables. Verificación econométrica Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelación Sesgo de especificación 6.4

Modelos Recíprocos

Este modelo es generalmente utilizado cuando al graficar X y Y, el gráfico determina una hipérbola. Adicionalmente este modelo está relacionado con la curva de Engel. EJEMPLO 12. Incremento anual en las tasas salariales (tas) y en la tasa desempleo (tasd) en el Reino Unido para el periodo 1950-1966



72

SOLUCIONARIO

ee ( ) = 744,1: ) = 104,9: ee ( R2 = 0,966 o 97% : tiempo.

SEGUNDO BIMESTRE

Verificación estadística

ÍNDICE


PRIMER BIMESTRE

1.4 1.1 1.5 1.5 1.2 1 1.1 1.3 1.8 1.9 1.5 1.4 1.8 2.1 1.5 1.3 1.4

SEGUNDO BIMESTRE

1.8 8.5 8.4 4.5 4.3 6.9 8 5 3.6 2.6 2.6 4.2 3.6 3.7 4.8 4.3 4.6

SOLUCIONARIO

1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966

PRELIMINARES

TABLA 6 TASAS SALARIALES Y DE DESEMPLEO

Fuente: Lozano, A.(2001). Guía de Econometría 1. UTPL. Elaboración: el autor.

Metodología tradicional: 1. 2. 3. 4. 5.

Planteo teórico o de hipótesis Tas = f (Tasd) o Y= f (X) Especificación del modelo matemático Y= B1+B2X Especificación modelo econométrico Y= B1+B2(1/X)+u Obtención de datos Tabla 6 Estimación de la regresión Dependent Variable: Tas Included observations: 17 Variable C Tasd R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient -1.428177 8.724344 0.384878 0.343870 1.633871 40.04300 -31.40425 1.569828

Std. Error t-Statistic 2.067478 -0.690782 2.847779 3.063561 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Prob. 0.5003 0.0079 4.788235 2.017078 3.929912 4.027937 9.385404 0.007882

Tas = -1.428177059 + 8.724344226 (1/Tasd)+u



73

ÍNDICE



Ho: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0 Ho: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0

PRELIMINARES

6.

No hay intercepto. SÍ hay intercepto. No hay relación lineal entre la variable (1/X) y la variable Y. SÍ hay relación lineal entre la variable (1/X) y la variable Y.

•

= -1,428

Cuando la tasa de desempleo tiende al infinito, la disminución de los salarios tendería a su valor asintótico de -1.42%. •

= 8,7243

Si el desempleo se incrementa en 1%, el incremento en las tasas salariales aumentará en 8,72%. Verificación estadística ee ( ) = 2,067 No es confiable porque es mayor a la tercera parte del parámetro. ) = 2,848 Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro. ee ( R2 = 0,38 o 38% : El 38% de las variaciones en el ahorro son explicadas por las variaciones en el tiempo. Grado de asociación relativamente bajo. Para la comprobación de hipótesis utilizaremos la prueba t, pero usted podrá hacerlo con los tres métodos revisados. Prueba t tc (

) = -0,69

tc (

) = 3,06

La regla manifiesta que si el tc es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso el tc (B1) es menor al tt= +-2,13; por lo tanto aceptamos que el modelo no tiene intercepto. El tc (B2) es mayor al tt, por lo tanto, se acepta la linealidad entre sus variables. Verificación econométrica Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelación Sesgo de especificación



74

SOLUCIONARIO


SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

7. Verificación

ÍNDICE


Realice un cuadro sinóptico de los puntos revisados en esta unidad en base al resumen de la página 186 de su texto guía. Adicional revise cada uno de los ejercicios desarrollados para cada forma funcional de los modelos de regresión.

A.


1

(

)

En un modelo de regresión a través del origen el coeficiente de determinación puede ser negativo.

2

(

)

En la regresión a través del origen los grados de libertad se calculan con (n-2).

3

(

)

El modelo log-lin es aquel cuya variable (Y) está en función del logaritmo de (X).

4

(

)

Un modelo para determinar elasticidades es el modelo recíproco.

5

(

)

El modelo recíproco es aquel cuya variable X está expresada como 1/X.

6

(

)

El modelo lin-log es aquel en que su variable (Y) está como logaritmo y su variable (X) de manera lineal.

7

(

)

Un modelo log-lineal es lo mismo que un modelo log-lin.

8

(

)

Un modelo log-lin permite medir tasa de crecimiento.

9

(

)

Un modelo de regresión a través del origen toma en cuenta el intercepto.

10

(

)

El modelo lin-log puede ser aplicable a los modelos de gastos de Engel.

Ir a solucionario



75

SOLUCIONARIO

Autoevaluación 6

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Realice los ejercicios: 6.2; 6.3; 6.18, de la parte final del capítulo 6 para reforzar los conocimientos de esta unidad.

PRELIMINARES

ACTIVIDAD SUGERIDA

Al incluirse más de dos variables explicativas se debe trabajar con la suposición de que no exista relación lineal exacta entre X2, X3 Igual que el modelo de regresión lineal se sigue trabajando bajo los supuestos del modelo clásico de regresión (MCRL). Adicionalmente partimos de una regresión muestral.

Todas las fórmulas aquí utilizadas son tomadas de su texto guía.

7.1. Significado de los coeficientes de regresión parcial Ahora en el estudio de los modelos de regresión múltiple tenemos varias variables que intervienen en los modelos, por tal razón, un análisis de la relación que existe entre estas variables es importante para que el modelo pueda presentar resultados con mayor confiabilidad. El coeficiente de correlación parcial es aquel que mide la correlación neta entre la variable dependiente y una variable explicativa. La interpretación general de los coeficientes de regresión parcial son las siguientes: β1 = Es el término del intercepto, es el valor medio de Y cuando X2 y X3, son iguales a cero. β2 = Mide las variaciones de Y ante el incremento de 1 unidad en X2, manteniendo constante X3. β3 = Mide las variaciones de Y ante el incremento de 1 unidad en X3 , manteniendo constante X2.



76

PRELIMINARES

ÍNDICE

El modelo de regresión con tres variables se puede expresar así: Y = β1 + β2X2+ β3X3+ μ

PRIMER BIMESTRE

No es muy común que dentro de la análisis econométrico se de modelos de regresión simple, por lo tanto, es necesario ampliar este modelo a modelos de regresión con varias variables explicativas.

SEGUNDO BIMESTRE

UNIDAD 7. ANÁLISIS DE REGRESIÓN MULTIPLE

SOLUCIONARIO


ÍNDICE


Una vez obtenidos los coeficientes de regresión parcial, se procede con el cálculo de las varianzas y de los errores estándar de los estimadores.

En esta fórmula el (n-3) se refiere a los 3 parámetros que hay en este modelo. Si el modelo tiene más variables sería un parámetro adicional y el valor restado a n variará.



77

SOLUCIONARIO

7.3. Varianzas y errores estándar de los estimadores

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

7.2. Estimación de los coeficientes de regresión parcial

ÍNDICE


Al igual que los modelos de regresión simple, el coeficiente de determinación mide cuánto explican las variables independientes a la variable dependiente. Así mismo, su valor está entre 0 y 1. Para entender mejor este tema realicemos el siguiente ejercicio:

PRIMER BIMESTRE

Una vez determinados los errores estándar, procedemos al cálculo del coeficiente de determinación y de los coeficientes de regresión parcial.

PRELIMINARES

7.4. Coeficiente de determinación múltiple

Desembolsos del presupuesto de defensa de Estados Unidos, 1962-1981. Con el fin de explicar el presupuesto de defensa de este país, considere las siguientes variables:

Metodología tradicional: 1. Planteo teórico o de hipótesis 2. Especificación del modelo matemático 3. Especificación modelo econométrico 4. Obtención de datos 5. Estimación de la regresión Dependent Variable: Y Included observations: 20 Variable C X2 X3 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 6.

SOLUCIONARIO

Y= desembolsos del presupuesto de defensa durante el año t, US$ miles de millones. X2=PNB durante el año t, US$ miles de millones. X3= Ventas militares de los Estados Unidos/ayuda en el año t, US$ miles de millones.

Y= f (X1,X2) Y= B1+B2X2+B3X3 Y= B1+B2X2+B3X3+u Tabla 7.8

Coefficient 26.76726 0.047740 -1.231819 0.920577 0.911233 8.633561 1267.152 -69.86672 0.732270

Std. Error t-Statistic 5.184740 5.162702 0.006182 7.722521 0.711558 -1.731157 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Prob. 0.0001 0.0000 0.1015 83.86000 28.97771 7.286672 7.436032 98.52170 0.000000


Ho: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0 Ho: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0 Ho: β3 = 0 H1: β3 ≠ 0

No hay intercepto. Sí hay intercepto. No hay relación lineal entre la variable (X2) y la variable Y. Sí hay relación lineal entre la variable (X2) y la variable Y. No hay relación lineal entre la variable (X3) y la variable Y. Sí hay relación lineal entre la variable (X3) y la variable Y. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


SEGUNDO BIMESTRE

EJEMPLO 13

78

ÍNDICE


H0 : β2 = β3 = 0 No existe relación lineal simultánea y conjunta entre el PNB y las ventas militares en el año t. β2 ≠ β3 ≠ 0 Existe relación lineal simultánea y conjunta entre el PNB y las ventas militares en el año t. 7. Verificación

PRELIMINARES

Hipótesis global

Cuando el PNB y las ventas militares en Estados Unidos son de cero, el presupuesto de la defensa es de 26,76 miles de millones en el año t. •

= 0,0477

Si el PNB se incrementa en mil millones, manteniendo constante las ventas militares, el presupuesto de defensa se incrementa en 0.04 miles de millones. •

= - 1,2318

Si las ventas militares se incrementa en mil millones, manteniendo constante el PNB, el presupuesto de defensa disminuye en 1,23 miles de millones. Verificación estadística ee(

) = 5,18:

Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro.

ee(

) = 0,0061:

Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro.

ee(

) = 0,71:

No es confiable porque es mayor a la tercera parte del parámetro.

Posiblemente la variable X3 no es aconsejable para explicar las variaciones en el presupuesto de defensa. R2 = 0,92 o 92%: El 92% de las variaciones en el presupuesto de defensa son explicadas por las variaciones en el PNB y por las ventas militares. El grado de asociación es bastante bueno. Para la comprobación de hipótesis utilizaremos la prueba t, pero usted podrá hacerlo con los tres métodos revisados. Prueba t tc(

) = 5,16

tc(

) = 7,72

tc( ) = -1,23 La regla manifiesta que si el tc es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso el tc (B1) es mayor al tt= +-2,11; por lo tanto, aceptamos que el modelo tiene intercepto.



79

SEGUNDO BIMESTRE

= 26,76

SOLUCIONARIO

•

PRIMER BIMESTRE


ÍNDICE


Prueba F La regla manifiesta que si el Fc es mayor al Ft, se rechaza Ho. En este caso el Fc = 98,52 es mayor al Ft = 3,59, por lo tanto, rechazo Ho y acepto que hay relación lineal simultánea y conjunta entre el PNB y las ventas militares en el año t. Verificación econométrica

7.5. La función de producción de Cobb-Douglas Es una extensión del modelo log-lineal o doble log, en el cual se parte de una función exponencial a una logarítmica.

La función estudiada a continuación nos permite determinar elasticidades a través de sus coeficientes de regresión parcial, adicionalmente nos permite el cálculo de los rendimientos a escala dentro del modelo de producción. Para entender mejor este tema realicemos el siguiente ejercicio: EJEMPLO 14 Se presenta información de la referente al sector agrícola de Taiwán durante 1958-1972. La tabla 7.3, fue tomada de Gujarati, D. Econometría (2003). Cuarta edición. Y= Producto bruto real (P) X2= Días laborales (L) X3= Insumo capital real (K) Metodología tradicional: 1. 2. 3. 4. 5.

Planteo teórico o de hipótesis Especificación del modelo matemático Especificación modelo econométrico Obtención de datos Estimación de la regresión

Y= f (X1,X2) o P= f(L,K) Y= B1+B2X2+B3X3 Y= lnB1+lnB2X2+lnB3X3+u Tabla 7.3



80

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelación Sesgo de especificación

PRIMER BIMESTRE

El tc (B3) es mayor al tt, por lo tanto, hay una relación lineal entre X3 y Y, manteniendo constante X2.

PRELIMINARES

El tc (B2) es mayor al tt, por lo tanto, hay una relación lineal entre X2 y Y, manteniendo constante X3.


Prob. 0.1987 0.0169 0.0004 10.09660 0.207922 -2.167938 -2.026328 47.91445 0.000002

SEGUNDO BIMESTRE

Dependent Variable: LNY Included observations: 15 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C -3.337389 2.453107 -1.360474 LNX2 1.498783 0.540596 2.772465 LNX3 0.489751 0.102193 4.792391 R-squared 0.888713 Mean dependent var Adjusted R-squared 0.870165 S.D. dependent var S.E. of regression 0.074920 Akaike info criterion Sum squared resid 0.067356 Schwarz criterion Log likelihood 19.25954 F-statistic Durbin-Watson stat 0.893310 Prob(F-statistic)

PRELIMINARES


LNY = -3.337388853 + 1.498782694LNX2 + 0.4897508377LNX3 6.


SOLUCIONARIO

Ho: β1 = 0 No hay intercepto. H1: β1 ≠ 0 Sí hay intercepto. Ho: β2 = 0 No hay relación lineal entre lnP y el lnL, manteniendo constante lnK. H1: β2 ≠ 0 Sí hay relación lineal entre lnP y el lnL, manteniendo constante lnK. Ho: β3 = 0 No hay relación lineal entre lnP y el lnK, manteniendo constante lnL. H1: β3 ≠ 0 Sí hay relación lineal entre lnP y el lnK, manteniendo constante lnL. Hipótesis global H0 : β2 = β3 = 0 No existe relación lineal simultánea y conjunta entre la producción con el capital y el trabajo. H1 : β2 ≠ β3 ≠ 0 Existe relación lineal simultánea y conjunta entre la producción con el capital y el trabajo. 7. Verificación Verificación económica •

= -3,33

Cuando los días laborales y el insumo capital real son de cero, el producto bruto real es de -3,33 millones de nuevos dólares taiwaneses. • = 1,49 Significa que ante un incremento del 1% en el insumo trabajo condujo en promedio a un incremento de cerca del 1,5% en el producto, manteniendo constante el insumo capital. Adicionalmente este valor me da la elasticidad del trabajo con respecto al producto o elasticidad producto-trabajo. •

= 0,49

Significa que ante un incremento del 1% en el insumo capital condujo en promedio a un incremento de cerca del 0,5% en el producto, manteniendo constante el insumo trabajo. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


81

ÍNDICE

La sumatoria de las dos elasticidades del producto me permite determinar los rendimientos a escala. Si este valor es mayor a uno los rendimientos son crecientes, si es menor a uno son decrecientes y si es igual a uno estos son constantes. En nuestro ejercicio la sumatoria de las dos elasticidades nos da 1,9887, lo que nos muestra que el sector agrícola en Taiwán desde 1958 hasta 1972 ha tenido rendimientos crecientes.

) = 2,45 No es confiable porque es mayor a la tercera parte del parámetro.

ee(

) = 0,54 Es confiable porque es menor a la tercera parte del parámetro.

ee(


Posiblemente la variable días laborables no es aconsejable para explicar las variaciones en el producto bruto real. R2 = 0,888 o 89% : El 89% de las variaciones en el producto bruto real son explicadas por las variaciones en el trabajo y en el capital. El grado de asociación es bastante bueno. Para la comprobación de hipótesis de manera individual utilizaremos la prueba t. Prueba t tc(

) = -1,36

tc(

) = 2,77

tc(

) = 4,79

La regla manifiesta que si el tc es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso el tc (B1) es menor al tt= +-2,17; por lo tanto, aceptamos que el modelo no tiene intercepto. El tc (B2) es mayor al tt, por lo tanto, hay una relación lineal entre el insumo trabajo y el producto, manteniendo constante el insumo capital. El tc (B3) es mayor al tt, por lo tanto, hay una relación lineal entre el insumo capital y el producto, manteniendo constante el insumo trabajo. Prueba F La regla manifiesta que si el Fc es mayor al Ft, se rechaza Ho. En este caso el Fc = 98,52 es mayor al Ft = 3,89, por lo tanto, rechazo Ho y acepto que hay relación lineal simultánea y conjunta entre el producto y el insumo trabajo y capital.



82

SOLUCIONARIO

ee(

SEGUNDO BIMESTRE

Verificación estadística

PRELIMINARES

Adicionalmente este valor me da la elasticidad del capital con respecto al producto o la elasticidad producto-capital.

PRIMER BIMESTRE


ÍNDICE


Estos modelos son generalmente utilizados en la investigación econométrica en las funciones de costo y de producción. Se plantean desde una regresión simple y al convertirse en un modelo polinomial se transforma en una regresión múltiple. Al dibujar en un plano cartesiano las variables (Y y X), obtenemos un gráfico, si este es una parábola, nos demuestra que el modelo de regresión para estas variables es un modelo polinomial y su ecuación sería: Y = ax2 + bx + c El modelo econométrico planteado sería el siguiente: Y = β0 + β1 Xi + β2Xi2 + u Este es un polinomio de segundo grado, ya que X esta elevado al cuadrado, si X estuviera elevado al cubo, este polinomio sería ahora de tercer grado. Tenga en cuenta que en este tipo de regresiones polinomiales, solamente hay una variable explicativa al lado derecho, pero aparece elevada a distintas potencias. Revisemos el siguiente ejercicio: EJEMPLO 15 Tenemos la información sobre la producción de un bien y su costo de producción total en el corto plazo. Este es el ejemplo 7.4 que se encuentra en su libro guía. Ct = costo total P = producción Iniciamos dibujando las variables Y y X.



83

SEGUNDO BIMESTRE

7.6. Modelos de regresión polinomial

SOLUCIONARIO

Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelación Sesgo de especificación

PRIMER BIMESTRE

PRELIMINARES

Verificación econométrica

ÍNDICE


PRELIMINARES

GRÁFICO 7.1 440 400 360

Y

320 280

200 160 0

2

4

6

8

10

12

X

El gráfico muestra una curva en s alargada, lo que nos permite establecer el modelo de regresión a utilizar. Metodología tradicional: Y= f (X) o Ct= f(P) Planteo teórico o de hipótesis Y = β0 + β1 Xi + β2Xi2 + β3Xi3 Especificación del modelo matemático Especificación modelo econométrico Y = β0 + β1 Xi + β2Xi2 + β3Xi3 + u Obtención de datos Tabla 7.4 Estimación de la regresión Dependent Variable: Y Included observations: 10 Variable C X X2 X3 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient 141.7667 63.47766 -12.96154 0.939588 0.998339 0.997509 3.284911 64.74382 -23.52865 2.700212

Std. Error t-Statistic 6.375322 22.23678 4.778607 13.28372 0.985665 -13.15005 0.059106 15.89677 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

SOLUCIONARIO

1. 2. 3. 4. 5.

Prob. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 276.1000 65.81363 5.505730 5.626764 1202.220 0.000000

Y = 141.7666667 + 63.47766123X - 12.96153846X2 + 0.9395881896X3 6.


Ho: β1 = 0 No hay intercepto. H1: β1 ≠ 0 Sí hay intercepto. Ho: β2 = 0 No hay relación lineal entre Y y X, manteniendo constante X2 , X3. H1: β2 ≠ 0 Sí hay relación lineal entre Y y X, manteniendo constante X2 , X3. Ho: β3 = 0 No hay relación lineal entre Y y X2 , manteniendo constante X , X3. H1: β3 ≠ 0 Sí hay relación lineal entre Y y X2, manteniendo constante X , X3 Ho: β4 = 0 No hay relación lineal entre Y y X3, manteniendo constante X , X2. H1: β4 ≠ 0 Sí hay relación lineal entre Y y X3, manteniendo constante X , X2. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

240


84

ÍNDICE


PRELIMINARES

Hipótesis global H0: β2 = β3 = β4 = 0 No existe relación lineal simultánea y conjunta entre Y y X , X2, X3. H0: β2 ≠ β3 ≠ β4 ≠ 0 Existe relación lineal simultánea y conjunta entre Y y X, X2, X3. 7. Verificación

Cuando el costo es de cero, la producción es de 141,76 unidades. •

= 63,47

A medida que se incrementa la producción en una unidad, el costo medio aumenta en 63,47 unidades monetarias hasta cierto punto. •

= -12,96

A medida que se incrementa la producción en una unidad, el costo medio comienza a disminuir en 12,96 unidades monetarias hasta cierto punto. •

= 0,94

A medida que se incrementa la producción en una unidad, el costo medio vuelve a incrementarse en 12,96 unidades monetarias hasta cierto punto. Verificación estadística ee(

) = 6,37 No es confiable porque es mayor a la tercera parte del parámetro.

ee(


ee(


ee(


Posiblemente la variable días laborables no es aconsejable para explicar las variaciones en el producto bruto real. R2= 0,99 o 99%: El 99% de las variaciones en producción son explicadas por el costo total. El grado de asociación es bastante bueno. Para la comprobación de hipótesis de manera individual utilizaremos la prueba t.



85

SEGUNDO BIMESTRE

= 141,76

SOLUCIONARIO

•

PRIMER BIMESTRE


ÍNDICE


) = -13,1

tc(

) = 15,8

La regla manifiesta que si el tc es mayor al tt (t de la tabla), se rechaza Ho. En este caso el tc (B1) es mayor al tt= +-2,47; por lo tanto, aceptamos que el modelo si tiene intercepto. El tc (B2) es mayor al tt, por lo tanto, hay una relación lineal entre la producción y el costo. Lo mismo sería para las dos variables restantes. Prueba F La regla manifiesta que si el Fc es mayor al Ft, se rechaza Ho. En este caso el Fc = 1202,2 es mayor al Ft = 4,76, por lo tanto rechazo Ho y acepto que hay relación lineal simultanea y conjunta entre la producción y el costo. Verificación econométrica Multicolinealidad Heteroscedasticidad Autocorrelación Sesgo de especificación

7.7. Prueba de igualdad de dos coeficientes de regresión Cabe resaltar que en muchas investigaciones económicas, se presentan variables que pueden tener similitud, tal es el caso de la función de demanda de un bien, el cual plantea que Y= cantidad de demanda del bien, está en función de X2= precio del bien, X3= ingreso del consumidor y X4= riqueza del consumidor. Se puede presentar la duda de que si existe una relación entre la variable ingreso y riqueza. El planteo de la hipótesis sujeta a comprobación en este caso sería que los coeficientes del ingreso y la riqueza son los mismos. Entonces tendríamos lo siguiente: H0: β3 = β4 o (β3 - β4 ) = 0 H1: β3 ≠ β4 o (β3 - β4 ) ≠ 0 Para poder aceptar o rechazar el Ho planteado nos fijamos en los valores t de estas variables (X3, X4), si estos t calculados son mayores a los t de las tablas rechazamos Ho, es decir, los dos coeficientes no son iguales. Caso contrario si el tc es menor al tt aceptamos que los coeficientes son iguales. EJEMPLO 16 Para entender este tema regresemos al ejercicio 22, y tomemos los resultados que obtuvimos.



86

PRIMER BIMESTRE

tc(

SEGUNDO BIMESTRE

) = 13,2

SOLUCIONARIO

tc(

PRELIMINARES

Prueba t

ÍNDICE

S.D. dependent var Akaike info criterion

65.81363 5.505730

Schwarz criterion F-statistic

5.626764 1202.220

Prob(F-statistic)

0.000000

PRIMER BIMESTRE

Prob. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 276.1000

SEGUNDO BIMESTRE

Std. Error t-Statistic 6.375322 22.23678 4.778607 13.28372 0.985665 -13.15005 0.059106 15.89677 Mean dependent var

En estos resultados revisemos los valores t de X2 y X3, adicional a esto determinamos el valor de t de la tabla para poder hacer las respectivas comparaciones. El valor de t de la tabla con 6 grados de libertad al 0,05 es de: +- 2,47; al compararlo con los t de X2 y X3 sin tomar en cuenta el signo, podemos determinar que son mayores y por tanto, rechazamos la Ho y definimos que X2 y X3 no son iguales y que estas variables no ocasionan problemas al modelo. ACTIVIDAD SUGERIDA Realice los ejercicios: 7.16, 7.17, y 7.18 de la parte final del capítulo 7 para reforzar los conocimientos de esta unidad.



87

SOLUCIONARIO

Dependent Variable: Y Included observations: 10 Variable Coefficient C 141.7667 X 63.47766 X2 -12.96154 X3 0.939588 R-squared 0.998339 Adjusted R-squared 0.997509 S.E. of regression 3.284911 Sum squared resid 64.74382 Log likelihood -23.52865 Durbin-Watson stat 2.700212

PRELIMINARES


ÍNDICE

1.

(

)

El modelo de producción de Cobb-Douglas, es utilizado para calcular tasas de crecimiento.

2.

(

)

Un modelo polinomial está en relación con los modelos de producción.

3.

(

)

El modelo de regresión múltiple es aquel que cuenta con una sola variable independiente y varias variables dependientes.

4.

(

)

Los rendimientos a escala son determinados por la suma de las elasticidades.

5.

(

)

Los rendimientos a escala crecientes son aquellos que son iguales a 1.

6.

(

)

El modelo de Cobb-Douglas parte de una función exponencial.

Ir a solucionario



PRELIMINARES


SOLUCIONARIO

A.

PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 7

SEGUNDO BIMESTRE


88

ÍNDICE


PRELIMINARES

7. Solucionario PRIMER BIMESTRE

Respuesta

1

F

2

F

3

F

4

V

5

F

6

V

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

Pregunta

PRIMER BIMESTRE

AUTOEVALUACIÓN 1

Ir a autoevaluación



89

ÍNDICE


Respuesta

1

V

2

F

3

F

4

V

5

V

6

V

7

F

8

V

9

V

10

F

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Pregunta

PRELIMINARES

AUTOEVALUACIÓN 2




90

ÍNDICE


Respuesta

1

V

2

V

3

F

4

F

5

F

6

V

7

V

8

F

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Pregunta

PRELIMINARES

AUTOEVALUACIÓN 3




91

ÍNDICE


Respuesta

1

F

2

V

3

V

4

F

5

V

6

F

7

V

8

F

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Pregunta

PRELIMINARES

AUTOEVALUACIÓN 4




92

ÍNDICE


PRELIMINARES

SEGUNDO BIMESTRE AUTOEVALUACIÓN 5 Respuesta

1

V

2

F

3

F

4

V

5

F

6

V

7

V

8

V

9

F

10

F

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Pregunta




93

ÍNDICE


Respuesta

1

V

2

F

3

F

4

F

5

V

6

V

7

F

8

V

9

F

10

V

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Pregunta

PRELIMINARES

AUTOEVALUACIÓN 6




94

ÍNDICE


Respuesta

1

F

2

V

3

F

4

V

5

F

6

V

SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE

Pregunta

PRELIMINARES

AUTOEVALUACIÓN 7


FOO/gnpr/2012-01-18/88 vtc/2013-02-1



95

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19607

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