TRABAJO DE ECONOMETRÍA (autocorrelación) EJERCICIOS 12.1 Establézcase si las las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta brevemente. a) Cuando hay presencia de autocorrelación, los estimadores MCO son sesgados lo mismo que ineficientes. ineficientes. (F) Es falso porque en presencia de autocorrelación los estimadores de MCO siguen siendo insesgados pero ya no tienen varianza mínima, es decir ya no son MELI y por lo tanto ya no son eficientes. b) La prueba d de Durbin-Watson supone que la varianza del término de error u t es homoscedàstica. (V) Es verdadero porque uno de los supuestos de la prueba d de Durbin –Watson es que las X son fijas o no estocásticas en muestreos repetidos, por lo tanto la varianza es constante a lo largo de la recta regresión. c) La transformación de primera diferencia para eliminar la autocorrelación supone que el coeficiente de autocorrelación ρ es -1. (F) Es falso porque para la transformación de primera diferencia para eliminar la autocorrelaciòn supone que el coeficiente de autocorrelación ρ es +1, es decir que las perturbaciones están correlacionadas positivamente. d) Los valores R2 de dos modelos, de los cuales uno corresponde a una regresión en forma de primera diferencian y el otro a una regresión en formas de nivel, no son directamente comparables. (V) Es verdadero porque para que los R 2 sean comparables las variables dependientes deben ser las mismas y en este caso no lo son, debido a que al tomar las primeras diferencias estamos estudiando esencialmente el comportamiento de variables alrededor de sus valores de tendencia (lineal). e) Una d de Durbin-Watson significativa no necesariamente significa que hay autocorrelación de primer orden. (F) Es falso porque uno de los supuestos de la prueba d de Durbin-Watson es que es solamente válida para detectar autocorrelación que hubiese sido generada por esquemas AR(1). f) En presencia de autocorrelación las varianzas calculadas convencionalmente y los errores estándar de los valores pronosticados son ineficientes. (V) Es verdadero porque como dijimos anteriormente las varianzas ya no son mínimas es decir los estimadores dejan de ser MELI y por lo tanto ya no son eficientes. g) La exclusión de una o varias variables importantes de un modelo de regresión pueden producir un valor d significativo. (V) Es verdadero porque cuando se excluyen variables que son relevantes en el modelo estas pasan a formar parte del término de perturbación, y como el estadístico d nos mide la razón de la suma de las diferencias al cuadrado de residuos sucesivos sobre la suma residual al cuadrado, y por lo tanto d no permitiría la ausencia de tales observaciones. h) En el esquema AR (1), una prueba de hipótesis de ρ =1 puede hacerse mediante el estadístico g de Berenblutt-Webb, lo mismo que por medio del estadístico d de Durbin-Watson. (F) Es falso porque en la prueba d de Durbin-Watson la hipótesis nula es que ρ =0 en cambio en la prueba g de Berenblutt-Webb se considera la hipótesis nula de que ρ =1, sin embargo para probar la significancia del estadístico g se puede utilizar las tablas de Durbin-Watson. i) En la regresión de primera diferencia de Y sobre primeras diferencias de X, si hay un término constante y un término de tendencia lineal, significa que en el modelo original hay un término de tendencia lineal y uno de tendencia cuadrática. (F) Es falso porque se supone que si en la primera diferencia de Y sobre primeras diferencias de X existe un término constante y un término de tendencia lineal el modelo original no tendrá un término de tendencia cuadrática. 12.2. Dada una muestra de 50 observaciones y de 4 variables explicativas, ¿Qué se puede decir sobre autocorrelación si a) d =1.05, b) d =1.40, c) d =2.50 y d) d =3.97? a) n= 50 K=4 K ′ =3 d = 1.05 α = 0.05 Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: d l = 1.421 d u = 1.674
0
1.421
1.674
2
4-du
4-dl
4
1.05
Con un 95% de confianza podemos decir que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este caso es positiva. b) n= 50 K=4 K ′ =3 d = 1.40 α = 0.05
Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: d l = 1.421 d u = 1.674 0
1.421
1.674
2
4-du
4-dl
4
1.40
Con un 95% de confianza podemos decir que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este caso es positiva. c) n= 50 K=4 K ′ =3 d = 2.50 α = 0.05 Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 4- d l = 2.579 d l = 1.421 4- d u = 2.326 d u = 1.674 0
1.421
1.674
2
2.326
2.579 2.50
4
Como el estadístico d de Durbin-Watson cae en la zona de indesición podemos decir que con un 95% de confianza no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este caso es negativa. d) n= 50 K=4 K ′ =3 d = 3.97 α = 0.05 Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 4- d l = 2.579 d l = 1.421 4- d u = 2.326 d u = 1.674
0
1.421
1.674
2
2.326
2.579
4 3.97
Como el estadístico d de Durbin-Watson cae en la zona de autocorrelación negativa podemos decir que con un 95% de confianza no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este caso es negativa.
12.4. Detección de la autocorrelación: prueba de la razón de von Neumann. Suponiendo que los residuos uˆt se obtienen aleatoriamente de una distribución normal, von Neumann demostró que para n grande, la razón
(uˆ − uˆ 1 ) 2 ∑ = 2 ˆ ˆ ( ) u u − ∑
δ 2 s
i−
i
2
Nota: uˆ
=
0 en MCO
i
Llamada razón de von Neumann, tiene una distribución aproximadamente normal con media E
δ 2 s
=
2
2n n −1
Y varianza var
δ 2 s
=
2
n−2
(n + 1)(n − 1)
a) Si n es suficientemente grande, ¿Cómo se utilizará la razón von Neumann para probar la autocorrelación? Si n es grande la razón von Neumann se utiliza de la siguiente manera: Se contrasta la independencia entre la Zt cuando se trabaja con muestras grandes, en este caso con un n>60 y se calcula el estadístico v, donde: T
v=
∑2 ( Z − Z 1 )2 / (n − 1) t =
= 2
S
t −
t
δ
T
∑1 ( Z − Z )2 / n
t
;
T
→ Z =
Z t
∑1 n t =
t
t =
Una vez que se ha obtenido la variable tipificada comparamos este valor con el nivel crítico que sigue una distribución normal con media cero y varianza unitaria, escogiendo un nivel de significancia del 5% (α = 0. 05) se aplica el siguiente contraste: t =
v − Ev sv
Como el “t” dado es igual a 1.96, por lo tanto si en valores absolutos el “t” calculado es menor se acepta la hipótesis de que no existe autocorrelación, es decir se rechaza la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación. Y si el “t” calculado es mayor que 1.96 se rechaza la hipótesis nula, es decir existe autocorrelación.
b) ¿Cuál es la relación entre el d de Durbin-Watson y la razón de von Neumann? Como la razón d de Durbin-Watson es igual a: 2
t = n
d =
∑2 (uˆ
− uˆ t −1 )
t
t =
t = n
∑1 uˆ 2
t
t =
y von Neumann es igual a: T
v=
∑2 (uˆ
− uˆ t −1 ) n
t
Entonces v va a ser igual a: d
t =
T
∑1 uˆ
2
t
(n − 1)
t =
2
t = n
2
n
(n − 1)
ya que
∑2 (uˆ
t
− uˆ t −1 )
t =
t = n
∑1 uˆ
= d 2
t
t =
por la tanto la razón entre el d de Durbin-Watson y la razón de von Neumann va a ser igual a: r =
d dn
= 1−
1 n
(n − 1) c) El estadístico d se encuentra entre 0 y 4. ¿Cuáles son los límites correspondientes para la razón de von Neumann? Los limites correspondientes para la razón de von Neumann también estarían entre 0 y 4 siempre y cuando n sea grande debido a que si el d = 0 → v = 0 , d = 2 → v ≈ 2 y si d = 4 → v ≈ 4 . d) Puesto que la razón depende del supuesto de que los uˆ se obtienen aleatoriamente de una distribución normal, ¿Qué tan válido es este supuesto para los residuos MCO? Debido a que las perturbaciones aleatorias no son observables y en su sustitución se utilizan los residuos de la estimación de MCO se presenta un problema debido a que los residuos de estos sólo pueden considerarse
representativos en muestras grandes y por lo tanto en el caso de muestras pequeñas los resultados de este contraste sólo pueden ser considerados como una aproximación.
e) Suponiendo que en una aplicación se encontró que la razón era de 2.88 con 100 observaciones; evalúese la hipótesis de que no hay correlación serial en la información. Nota: B.I.Hart tabuló los valores críticos de la razón von Neumann para tamaños de muestras de hasta de 60 observaciones. T
2
S
t −
t
δ
v=
∑2 ( Z − Z 1 )2 / (n − 1)
=
t =
T
∑1 ( Z − Z )2 / n
t
=2.88
n=100
t
t =
E
δ 2 s
= 2
Var=
2n 2(100 ) = = 2.020 99 n −1
δ 2
n−2
s
(n + 1)(n − 1)
= 2
=
4n 2
n−2
= 3
(n + 1)(n − 1)
98 4(100)2 = 0.04 entonces 3 101 * 99
s= 0.1999. A partir de estos resultados se puede encontrar lo siguiente: t =
v − Ev
σ v
por lo tanto: t =
2.88 − 2.020 0.04
=
4.3
INTERPRETACIÓN: Como el “t” calculado es mayor que el “t” dado de 1.96 se dice que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación.
12.6. Estimación del ρ de Theil-Nagar basado en el estadístico d . Theil y Nagar sugirieron que en muestras pequeñas, en lugar de estimar ρ como (1- d /2), se estimará como ˆ= ρ
n
2
(1 − d / 2) + k 2 n 2 − k 2
Donde n=número total de observaciones, d de Durbin-Watson y k=nùmero de coeficientes que van a ser estimados (incluyendo la intersección). Muéstrese que para un n grande, esta estimación de ρ es igual a la obtenida por la formula más simple (1d/2). Suponiendo que tenemos un d de Durbin-Watson igual a 1.5 entonces para muestras pequeñas aplicamos la siguiente fórmula y obtenemos:
ˆ = (1- d /2) ρ por lo tanto:
ˆ = 1 − ρ
1.5 = 0.25 2
Aplicando la fórmula para muestras pequeñas se obtuvo un ρ ˆ =0.25, ahora procedemos a aplicar la fórmula propuesta para muestras grandes. ˆ= ρ
n
2
(1 − d / 2) + k 2 2
2
n − k
Suponiendo una muestra de 80 observaciones y suponiendo un modelo con 2 variables tenemos:
80 2 (1 − 1.5 / 2) + 2 2 ˆ= ρ 80 2 − 2 2
=
0.25
Como podemos darnos cuenta con los resultados obtenidos aplicando diferentes fórmulas obtenemos el mismo resultado de pˆ ya que se tiene el mismo d de Durbin-Watson.
12.8 Estimación de ρ : el procedimiento iterativo Cochrane-Orcutt (C-O). Como una ilustración de este método, considérese el modelo de dos variables: Y t = β 1 + β 2 X t + ut
(1)
y el esquema AR(1) u t = ρ u t −1 + εt ,-1< ρ <1
(2)
Cochrane y Orcutt recomendaron lo siguiente para estimar ρ . 1. Calcúlese (1) mediante la rutina usual de MCO y obténgase los residuos uˆ t . A propósito, obsérvese que puede tenerse más de una variable X en el modelo. 2. Utilícense los residuos calculados en el paso 1, hágase la siguiente regresión: ˆuˆ t −1 + vt u t = ρ
(3)
Que es la parte empírica de (2). 3. Utilícese ρ ˆ obtenida en (3), calcúlese la ecuación de diferencia generalizada (12.9.6). 4. Puesto que a priori no se sabe si la ρ ˆ obtenida de (3) es el mejor estimador de ρ , sustitúyanse los valores de β ˆ1* yβ ˆ 2 * , obtenidos en el paso (3) para la regresión original (1), y obténganselos nuevos residuos, digamos uˆ * t , como uˆ
*
ˆ1 − β ˆ 2 X t = Y t − β *
t
*
(4)
Que se pueden calcular con facilidad, ya que se conocen 5. Ahora calcúlese la siguiente regresión: *
* *
ˆ uˆ uˆ t = ρ
t −1
+ wt
ˆ1 yβ ˆ 2 Y t , X t , β *
*
,
(5)
Que es estimar a (3), y por tanto proporciona el estimado de ρ de la segunda ronda. Ya que se desconoce si dicho estimado de ρ es el mejor estimado de la verdadera ρ , se calcula el estimado de la tercera ronda, etc. Por esta razón el procedimiento C-O se llama método iteractivo. Pero, ¿hasta dónde se continúa esta iteración? La recomendación general es que se detengan las iteraciones cuando los estimados sucesivos de ρ difieren por una pequeña cantidad, por ejemplo sean menores que 0.01 o 0.005. En el ejemplo de la regresión de los salarios sobre la productividad, se requirieron siete iteraciones antes de detenerse. a) Usando el software que se elija, verifíquese que el valor de la ρ estimada de 0.8919 para la ecuación (12.9.16), y 0.9610 para la ecuación (12.9.17) sean aproximadamente correctas. ˆt = 45.105 + 0.5503 X t Y *
*
ee = (6.190) (0.0652) t = (7.287) (8.433) r 2 = 0.9959
(12.9.16)
Utilizando el SPSS obtenemos los siguientes resultados: Variables introducidas/eliminadas(b,c)
Modelo 1
Variables introducidas U_L(a)
Variables eliminadas
Método .
Introducir
a Todas las variables solicitadas introducidas b Variable dependiente: Unstandardized Residual c Regresión lineal a través del origen
Coeficientes(a,b) Coeficientes estandarizado s
Coeficientes no estandarizados Modelo
B
1
U_L
Error típ. ,882
t
Beta
,067
,905
Sig.
13,151
,000
a Variable dependiente: Unstandardized Residual b Regresión lineal a través del origen
Como podemos darnos cuenta con los datos de la tabla 12.4 primero encontramos los residuos y luego estos residuos lo rezagamos un período y corremos la regresión para encontrar el primer pˆ . pˆ = 0.882 Luego se obtiene la siguiente regresión:
(Y − PY t 1 ) = β 1 (1 − P ) + β 2 ( X − PX t 1 ) + (u t − Pu t 1 ) Y* = B1 * + B2 *X* +u Luego de corrida la regresión se obtuvo los siguientes resultados −
−
−
Y * = 5.563 + 0.526 X * +ε t Variables introducidas/eliminadas(b)
Modelo 1
Variables introducidas
Variables eliminadas
XAST(a)
Método .
Introducir
a Todas las variables solicitadas introducidas b Variable dependiente: YAST
Coeficientes(a) Coeficientes estandarizado s
Coeficientes no estandarizados Modelo 1
B (Constante ) XAST
Error típ.
5,563
,781
,526
,071
t
Beta
,774
Sig.
7,121
,000
7,431
,000
a Variable dependiente: YAST
Para obtener el valor de Bˆ1 se aplica la formula siguiente: β ˆ1
=
β 1 * 5.563 = 1 − ρ 1 − 0.882
=
47.14
Por lo tanto la regresión anterior nos quedaría: Y * = 47.14 + 0.526 X * +u
Ahora para encontrar el segundo pˆ de esta regresión sacamos los residuos y luego le rezagamos un período para correr la regresión entre estos. Despejando de la regresión anterior se obtiene los residuos: U * = Y − β 1 − 0.526 X
De donde nos quedaría: U * = Y − 47.14 − 0.526 X
Variables introducidas/eliminadas(b,c) Variables introducidas
Modelo 1
Variables eliminadas
UU_L(a)
Método .
Introducir
a Todas las variables solicitadas introducidas b Variable dependiente: UU c Regresión lineal a través del origen Coeficientes(a,b) Coeficientes estandarizado s
Coeficientes no estandarizados Modelo
B
1
UU_L
Error típ. ,886
t
Beta
,031
,977
Sig.
28,346
,000
a Variable dependiente: UU b Regresión lineal a través del origen
En donde ρ ˆ = 0.886 Para obtener el tercer ρ ˆ procedemos de la misma manera:
(Y − PY t 1 ) = β 1 (1 − P ) + β 2 ( X − PX t 1 ) + (u t − Pu t 1 ) Y* = B1 * + B2 *X* +u −
−
−
Luego de corrida la regresión se obtuvo los siguientes resultados Variables introducidas/eliminadas(b)
Modelo 1
Variables introducidas
Variables eliminadas
UU_L(a)
Método .
Introducir
a Todas las variables solicitadas introducidas b Variable dependiente: UU Coeficientes(a) Coeficientes estandarizado s
Coeficientes no estandarizados Modelo 1
B (Constante ) UU_L
Error típ. ,013
,197
,887
,039
t
Beta
,967
Sig. ,066
,948
23,024
,000
a Variable dependiente: UU
Y * = 0.013 + 0.887 X *
Para obtener el valor de β ˆ1 aplicamos lo siguiente: 0.013 β ˆ1 = = 0.1140 1 − 0.886 Luego la regresión quedaría de la siguiente manera: Y * = 0.11 + 0.887 X * +u
Ahora para encontrar el tercer pˆ de esta regresión sacamos los residuos y luego le rezagamos un período para correr la regresión entre estos. Despejando de la regresión anterior se obtiene los residuos: U * = Y − 0.11 − 0.887 X Variables introducidas/eliminadas(b,c)
Modelo 1
Variables introducidas UUU_L(a)
Variables eliminadas
Método .
a Todas las variables solicitadas introducidas b Variable dependiente: UUU c Regresión lineal a través del origen
Introducir
Coeficientes(a,b) Coeficientes estandarizado s
Coeficientes no estandarizados Modelo
B
1
UUU_L
Error típ. ,987
t
Beta
,012
,997
Sig.
85,584
,000
a Variable dependiente: UUU b Regresión lineal a través del origen
pˆ = 0.987
b) ¿El valor obtenido de ρ mediante el procedimiento C-O garantiza el mínimo global o sólo el mínimo local?
12.14. Supóngase que en el modelo Y t = β 1 + β 2 X t + u t
Los
u son, en realidad, serialmente independientes. Que sucedería u t = ρ u t −1 + εt, se utiliza la regresión en diferencia generalizada Y t = ρ Y t −1 = β 1 (1 − ρ ) + β 2 X t − ρβ 2 X t −1 +
en esta situación si, suponiendo que
εt
Analícense en particular las propiedades del término de perturbación εt. - Si las u son serialmente independientes entonces ρ = 0 y por lo tanto no existiría autocorrelación es decir la regresión nos quedaría de la siguiente manera: Y t = β 1 + β 2 X t + ε t
- La variable de perturbación sigue una distribución normal con media cero y varianza constante. 12.15 En un estudio de determinación de precios de la producción final a costo de factores en el Reino Unido, se obtuvieron los siguientes resultados con base en la información anual durante el período 1951-1969: ˆt = 2.033 + 0.273W t − 0.521 X t + 0.256 M t + 0.028 M t −1 + 0.121PF t −1 PF
ee = (0.992) (0.127) (0.099)
(0.024)
(0.039) 2
R = 0.984
(0.119) d = 2.54
Donde PF= precios de la producción final a costo de factores, W= salarios por empleado, X= producto interno bruto por persona empleada, M= precios de importación, Mt-1= precios de importación rezagados 1 año y PFt-1= precios de la producción final a costo de factores en el año anterior. “Puesto que para 18 observaciones y 5 variables explicativas, al 5% los valores d inferiores y superiores son 0.71 y 2.06, el valor d estimado de 2.54 indica que no hay autocorrelación positiva”. Coméntese. Como se puede ver los limites de la prueba d de Durbin-Watson no están muy definidos es decir no es posible determinar si existe o no autocorrelación y por lo tanto debería utilizarse otra prueba de detección de autocorrelación para corroborar esto resultados.
12.20 Para la regresión (12.9.9), los residuos estimados tuvieron los siguientes signos: (++++)(-)(+++++++)(-)(++++)(--)(+)(--)(+)(--)(++)(-)(+)(---------)(+) Con base en la prueba de rachas, ¿se puede aceptar la hipótesis nula de que no hay autocorrelación en estos residuos? Como el número de rachas es grande (15 rachas) se dice entonces que existe una correlación negativa es decir no existe suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no hay autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa.
12.21 Prueba para correlación serial de orden superior. Supóngase que se tiene información de series de tiempo sobre una base trimestral. En los modelos de regresión que consideran información trimestral, en
lugar de utilizar el esquema AR (1) dado en (12.2.1), puede ser más apropiado suponer un esquema AR (4) como el siguiente. u t = ρ 4 u t − 4 + ε t
es decir, suponer que el término de perturbación actual está correlacionado con el término para el mismo trimestre del año anterior, en lugar de estarlo con el del trimestre anterior. Para probar la hipótesis de que ρ 4 = 0 , Wallis* sugiere la siguiente prueba d modificada de Durbin-Watson: n
d 4 =
∑5 (uˆ
− uˆ t − 4 )
t
2
t =
n
∑1 uˆ 2 t
t =
El procedimiento de prueba sigue la rutina de la prueba d usual analizada en el texto. Wallis hizo las tablas d 4 las cuales pueden encontrarse en su artículo original. Supóngase ahora que hay información mensual. ¿Podría la prueba Durbin-Watson ser generalizada para considerar tal información? De ser así, escríbase la fórmula d 12 apropiada. Suponiendo un esquema AR(12) tenemos: u t = ρ 12 u t −12 + ε t
es decir, suponer que el término de perturbación actual está correlacionado con el término para el mismo mes del año anterior, en lugar de estarlo con el del mes anterior, por lo tanto la fórmula apropiada d de Durbin-Watson es la siguiente: n
d 12 =
∑13 (uˆ
− uˆ t −12 )
t
2
t =
n
∑1 uˆ 2 t
t =
12.22 Supóngase que se estima la siguiente regresión: ∆ ln producciónt = β 1 + β 2 ∆ ln Lt + β 3 ∆ ln K t + u t donde Y es la producción, L es el insumo trabajo, K es el insumo capital y ∆ es el operador de primera diferencia. ¿Cómo se interpretaría β 1 en este modelo? β 1
Este nos estaría midiendo el incremento porcentual de la producción ante incrementos unitarios en el tiempo (debido a que el tiempo no esta expresado en logaritmos) siempre y cuando β 2 y β 3 sean iguales a cero.
¿Podría verse éste como una estimación del cambio tecnológico? Justifique la respuesta. Si se podría ver esto como una estimación del cambio tecnológico ya que la tecnología cambia a lo largo del tiempo y por lo tanto β 1 es el coeficiente de la variable tendencia y este nos estaría midiendo el movimiento sostenido ya sea de crecimiento o disminución en el comportamiento de la variable tecnología. 12.25 Se hizo la regresión de los residuos de la regresión de los salarios sobre la productividad dados en (12.5.1), sobre los residuos rezagados de seis periodos anteriores [es decir, AR (6)], produciéndose los siguientes resultados: Variable dependiente: RES1 Método: Mínimos cuadrados Muestra (ajustada) : 1965-1998 Obsetvaciones incluidas: 34 después de ajustar los estremos Variable
Coeficiente
Error estd.
Estadístico t
Prob.
C
5,590462
1,963603
2,847043
0,0085
X
-0,066605
0,023469
-2,838058
0,0087
RES1(-1)
0,814971
0,216231
3,768978
0,0009
RES1(-2)
-0,268651
0,273887
-0,980882
0,3357
RES1(-3)
-0,106017
0,27278
-0,388652
0,7007
RES1(-4)
0,30563
0,273258
1,118467
0,2736
RES1(-5)
-0,064375
0,280577
-0,229438
0,8203
RES1(-6)
0,216156
0,22216
0,972976
0,3395
estd. De Durbin-Watson 1,7589
2
R = 0.8920 2 R = 0.8629
a) De los resultados anteriores, ¿qué se puede decir respecto a la naturaleza de la autocorrelación en los datos sobre salarios y productividad? Respecto a la naturaleza de la autocorrelación podemos decir que el término de perturbación del modelo 12.5.1 no sólo depende del año actual sino que también depende de los años anteriores, es decir esta tiene rezagos, y por tanto esto determinaría que existe autocorrelación. b) Si se piensa que un mecanismo AR (1) caracteriza la autocorrelación en los datos, ¿se utilizaría la transformación de la primera diferencia para eliminar la autocorrelación? Justifique su respuesta. Si. La transformación de la primera diferencia puede eliminar la autocorrelación AR(1), sin embargo este puede causar que una serie de tiempo sea estacionaria debido a que el término de error ( ut ) se vuelve estacionaria ya que es igual a ε t , un método apropiado para esta transformación es que ρ sea alta o que d sea baja. 12.26 Refiérase a la información sobre la industria del cobre dada en la tabla 12.7 Tabla 12.7
a) Con base en esta información, estímese el siguiente modelo de regresión: InC t = β 1 + β 2 InI t + β 3 InLt + β 4 InH t + β 5 InAt + u t
Dependent Variable: LNCT Method: Least Squares Date: 05/17/07 Time: 08:48 Sample: 1951 1980 Included observations: 30 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C LNI LNL LNH LNA
-1.500441 0.467509 0.279443 -0.005152 0.441449
1.003020 0.165987 0.114726 0.142947 0.106508
-1.495923 2.816541 2.435745 -0.036038 4.144737
0.1472 0.0093 0.0223 0.9715 0.0003
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regresión Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
0.936090 0.925864 0.121749 0.370573 23.34039 0.954940
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
3.721145 0.447149 -1.222692 -0.989159 91.54312 0.000000
Interprétese los resultados. Con los datos dados en la tabla 12.7 y aplicando el programa Eviews se obtuvo los siguientes resultados. ˆ t = −1.50 + 0.47 In I ˆt + 0.28 In Lˆ t − 0.005 In H ˆ t + 0.44 InAˆ t InC ee = (1.003) (0.166)
(0.115)
(0.143) (0.107)
t = (-1.48) (2.82)
(2.44)
(-0.04)
(4.14) R = 0.94 R 2 = 0.93 2
INTERPRETACIÓN: ˆ1 β Este nos indica el cambio porcentual en el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU dados cambios unitarios en el tiempo siempre y cuando las demás variables sean igual a cero, es decir es decir Ct disminuirá en 1.5%. ˆ2 β Dado un incremento porcentual del 1% en el índice promedio de doce meses de la producción industrial se estima que el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU se incrementará en 0.47% manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación directa entre Ct y Lt si aumenta la una, aumentará la otra y viceversa. β ˆ3
Dado un incremento porcentual del 1% en el precio promedio de doce meses del cobre en la bolsa de metales de Londres se estima que el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU se incrementará en 0.28% manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación directa entre estas dos variables si aumenta la una, aumentará la otra y viceversa. ˆ4 β Dado un incremento porcentual del 1% en el número de construcción de casas por año se estima que el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU disminuirá en 0.005%, es decir existe una relación inversa entre estas dos variables si aumenta la una, disminuirá la otra y viceversa. β ˆ5
Dado un incremento porcentual del 1% precio promedio de doce meses del aluminio se estima que el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU se incrementará en 0.44%, es decir existe una relación directa entre estas dos variables si aumenta la una, aumentará la otra y viceversa. R 2
Con un coeficiente de determinación de 0.94 se dice que el 94% de las variaciones en el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU están explicadas por las variables del modelo en su conjunto.
b) Obténgase los residuos y los residuos estandarizados de la regresión anterior y grafíquese. ¿Qué se puede opinar sobre la presencia de autocorrelación en estos residuales? Residuos 0.035893 -0.057574 -0.236240 -0.096418 0.152308 0.224898 0.058633 -0.068767 0.031474 0.049220 0.027520 0.039864 0.036860 -0.068150 -0.128053 -0.183400 -0.069426 -0.082290 -0.049867 0.149403 0.105069 0.096646 0.082802 0.160864 0.076581 -0.030374 -0.147077 -0.189339 0.050127 0.028814
R. estand 0.294813 -0.472895 -1.940388 -0.791938 1.250998 1.847225 0.481588 -0.564825 0.258516 0.404274 0.226039 0.327431 0.302750 -0.559762 -1.051780 -1.506375 -0.570240 -0.675898 -0.409587 1.227143 0.862998 0.793811 0.680108 1.321279 0.629006 -0.249477 -1.208038 -1.555163 0.411722 0.236664
Residuos RESID vs. LNCT .3 .2 .1 D I S E R
.0 -.1 -.2 -.3 2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
4.8
LNCT
Residuos estandarizados RESIDESTAND vs. LNCT 2
1 D N A T S E D I S E R
0
-1
-2 2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
4.8
LNCT
c) Estímese el estadístico presente en los datos. d calculado=
d de
Durban-Watson y coméntese sobre la naturaleza de la autocorrelación
0.954940
n= 30 K=5 K ′ =4 d = 0.9549 α = 0.05 Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 4- d l = 2.857 d l = 1.143 4- d u = 2.261 d u = 1.739
0
1.143
1.739
2
2.261
2.857
4
0.9545
INTERPRETACIÓN Con un 95% de confianza podemos decir que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este caso es positiva.
d) Efectúese la prueba de rachas y vea si su respuesta difiere de la respuesta dada en c). Para explicar esta prueba se anotan simplemente los signos Como (+ o -) de los residuos de la regresión dados en la tabla 12.7 (+)(---)(+++)(-)(+++++)(------)(++++++)(---)(++)
Es así como hay 1 residuo positivo seguido de: 3 negativos, 3 positivos, 1 negativo, 5 positivos, 6 negativos, 6 positivos, 3 negativos y 2 positivos. Un total de 30 observaciones, por lo tanto existen 9 rachas . Ho: los datos fueron generados por un proceso aleatorio. Ha: los datos no fueron generados por un proceso aleatorio. Media: E ( R ) =
2 N 1 N 2 N
+1
2(17)(13) +1 30
E ( R) =
E ( R) = 15.73
Varianza: σ 2 R
=
2 N 1 N 2 (2 N 1 N 2 − N ) ( N )2 ( N − 1)
σ 2 R
=
2(17 )(13)[2(17 )(13) − 30] (30)2 (29)
σ 2 R σ
R
= 6.98 = 2.64
Pr ob[ E ( R ) − 1.96σ R
≤ R ≤ E (R ) + 1.96σ R ] =
0.95
Pr ob[15.73 − 1.96(2.64) ≤ R ≤ 15.73 + 1.96(2.64)] = 0.95 10.56 ≤ R ≤ 20.90 Como R=9 cae fuera del intervalo anterior se dice entonces que con un 95% de confianza se rechaza la hipótesis nula de que los datos fueron generados por un proceso aleatorio es decir se acepta la alternativa. Como podemos darnos cuenta este literal con el literal c) la respuesta no difiere ya que aplicando las dos pruebas existe autocorrelación.
e) ¿Cómo se encontraría si un proceso Ar(p) describe mejor la autocorrelación que un proceso Ar(1)? Como un esquema de primer orden no contiene datos rezagados se puede utilizar el h de Durbin-Watson entonces un esquema de orden p si se puede utilizar ya que este esquema si utiliza datos con rezagos y por lo tanto describe mejor la autocorrelación. 12.27 Se le da la siguiente información: Y,Gasto de consumo personal (miles de millones de dólares) 281,4 288,1 290 307,3 316,1 322,5 338,4 353,3 373,7 397,7 418,1 430,1 452,7 469,1 476,9
X, tiempo 1(=1956) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15(=1970)
Y,estimado Y* u residuos 261,4208 19,9791 276,6026 11,4973 291,7844 -1,7844 306,9661 0,3338 322,1479 -6,0479 337,3297 -14,8297 352,5115 -14,1115 367,6933 -14,3933 382,8751 -9,1751 398,0569 -0,3569 413,2386 4,8613 428,4206 1,6795 443,6022 0,9977 458,784 10,3159 473,9658 2,9341
a) Verifíquese que el
d de Durbin-Watson es igual a 0.4148.
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/17/07 Time: 12:37 Sample: 1 15 Included observations: 15 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C X
246.2390 15.18179
5.848296 0.643227
42.10441 23.60254
0.0000 0.0000
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
0.977196 0.975442 10.76324 1506.016 -55.85288 0.414753
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
367.6933 68.68264 7.713717 7.808124 557.0798 0.000000
Como podemos observar el d de Durbin-Watson es igual a 0.4148 lo cuál verifica la respuesta.
b) ¿Hay correlación serial positiva en las perturbaciones? 30
20
10
0
-10
-20 2
4
6
8
10
12
14
RESID
Como podemos observar en el gráfico anterior hay muchas series de tiempo que presentan autocorrelación positiva ya que la mayor parte de estos se mueven hacia arriba o hacia debajo durante períodos prolongados de tiempo Para comprobar lo anteriormente dicho se procede a realizar la prueba d de Durbin-Watson . n= 15 K=2 K ′ =1 d = 0.4148 α = 0.05 Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: d l = 1.077 d u = 1.361 0
1.077
1.361
2
4-du
4-dl
4
0.4148
Con un 95% de confianza podemos decir que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este caso es positiva.
c) De ser así, estímese p mediante el i) método de Theil-Nagar 2 2 n (1 − d / 2 ) + K ρ ˆ= 2 2 n − K
15 2 (1 − 0.4147 / 2) + 2 2 ρ = 0.8251 ˆ= 15 2 − 2 2 Como podemos observar ρ ˆ ≈ 1 y el d = 0.4148 que se aproxima a cero, por lo tanto concluimos diciendo que existe autocorrelación positiva.
ii) Procedimiento de dos pasos de Durbin De la siguiente regresión:
iii) método de Cochrane-Orcutt d) Utilícese el método de Theil-Nagar para transformar la información y efectúese la regresión con los datos transformados. e) ¿La regresión estimada en d) presenta autocorrelación? De ser así, ¿Cómo deshacerse de ésta? 12.36 El estadístico h de Durbin: considérese el siguiente modelo de la determinación de salarios: Y t = β 1 + β 2 X t + β 3Y t −1 + u t
Donde: Y= salarios=índice de compensación real por hora X=productividad=índice de producción por hora a) Utilizando los datos de la tabla 12.4, calcúlese el modelo anterior e interprétese los resultados. Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/17/07 Time: 14:37 Sample(adjusted): 1960 1998 Included observations: 39 after adjusting endpoints Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C X Y(-1)
8.247920 0.124297 0.801256
1.754545 0.041018 0.055810
4.700890 3.030290 14.35680
0.0000 0.0045 0.0000
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
0.993786 0.993441 0.999782 35.98430 -53.76926 1.521781
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
86.34103 12.34486 2.911244 3.039211 2878.781 0.000000
Con los datos dados y corriendo el modelo en el programa Eviews se obtiene los siguientes resultados: ˆt = 8.25 − 0.124 X ˆ t + 0.801Y ˆt −1 Y ee = (1.75) (0.04) (0.06) t = (4.7) (3.03) (14.36) R 2 = 0.99
INTERPRETACION ˆ1 β Este nos indica un cambio en el índice de compensación real por hora dados cambios unitarios en el tiempo siempre y cuando las demás variables sean igual a cero, es decir Y t se incrementará en 8.25 unidades, ya que estas dos variables tienen una relación directa. ˆ2 β Un β ˆ 2 = -0.124 nos indica que dado un cambio unitario en el índice de producción por hora se estima que el índice de compensación real por hora disminuirá en 0.124 unidades manteniendo todo lo demás constante, la relación que existe entre estas dos variables es inversa. β ˆ3
Un β ˆ3 =0.801 nos indica que dado un cambio unitario en el índice de compensación real por hora del año anterior se estima que el índice de compensación real por hora del año actual se incrementará en 0.801 unidades manteniendo todo lo demás constante, la relación que existe entre estas dos variables es directa. 2
R = 0.99 Un R 2 = 0.99
nos dice que el 99% de las variaciones en el índice de compensación real por hora están explicadas por el modelo en su conjunto.
b) Puesto que el modelo tiene una regresada rezagada como una regresora, la d de Durbin-Watson no resulta apropiada para averiguar si existe correlación serial en los datos. Para tales modelos, llamados modelos auto regresivo, Durbin desarrollo el así llamado estadístico h para probar la autocorrelación de primer orden, el cuál se define como: ˆ h = ρ
n
1 − n[var( β ˆ3 )]
Donde n tamaño de la muestra, var ( β ˆ3 ) = varianza del coeficiente de la correlación serial de primer orden.
Y t −1 rezagada
y ρ ˆ = el estimado de la
Para un tamaño de muestra grande (técnicamente asintótica), Durbin mostró que, bajo la hipótesis nula de que p=0. h ~N(0,1) Es decir, el estadístico h sigue la distribución normal estándar. A partir de las propiedades de la distribución normal, se sabe que la probabilidad de que h >1.96 es de casi 5%. Por consiguiente, si en una aplicación h >1.96, se puede rechazar la hipótesis nula de que p=0; es decir existe evidencia de que existe autocorrelación de primer orden en el modelo autorregresivo dado antes. Para aplicar la prueba, se procede así: primero se estima el modelo anterior mediante (MCO) (en este momento no hay que preocuparse por problemas de estimación). Segundo. Obsérvese la var β ˆ3 en este modelo, así como el estadístico d que se calcula de manera rutinaria. Tercero, utilizando el valor d, obténgase p~(1-d/2). Resulta interesante notar que a pesar de que no se puede emplear el valor p para probar la correlación serial en este modelo, si se puede usar para obtener un estimado de p. Cuarto, ahora se calcula el estadistico h. Quinto, si el tamaño de la nuestra es razonablemente grande y si la h calculada excede a 1.96, se puede concluir que hay evidencia referente a una autocorrelación de primer orden. Por supuesto se puede usar cualquier nivel de significancia que se desee. Aplíquese la prueba h al modelo autorregresivo de determinación del salario dado antes y dedúzcase las conclusiones apropiadas. También compárense los resultados con los obtenidos mediante la regresión (12.5.1) Corriendo la regresión el en programa Eviews se obtuvo la d de Durbin-Watson igual a 1.521781 y con este resultado podemos obtener ρ ˆ a partir de la siguiente fórmula: ρ ˆ = (1- d /2) Entonces:
ˆ h = ρ
ρ ˆ = 1−
1.521781 = 0. 2391095 2
n
1 − n[var( β ˆ3 )]
Por lo tanto: h = 0.24
40 1 − 40[0.003114]
h = 0.24
40 0.87544
= 1.62
INTERPRETACIÓN Como el h calculada es menor que 1.96 se dice que con un 95% de confianza no hay evidencia referente a una autocorrelación de primer orden. i) Regresión 12.5.1 ˆt = 29.5192 + 0.7136 X ˆ t Y ee= (1.9423) (0.0241) t = (15.1977) (29.6066) r 2 = 0.9584 d = 0.1229 σ ˆ2
=
2.6755
ii) Regresión con rezagos ˆt = 8.25 − 0.124 X ˆ t + 0.801Y ˆt 1 Y ee = (1.75) (0.04) (0.06) t = (4.7) (3.03) (14.36) R 2 = 0.99 −
Comparando los resultados de ambas regresiones podemos observar que el coeficiente de determinación de la regresión con rezagos es mayor que la regresión 12.5.1, por lo tanto podemos decir que el segundo modelo tiene un ajuste ligeramente mejor.
12.38 Utilizando los datos para la regresión de los salarios sobre la productividad dados en la tabla 12.4, estímese el modelo (12.9.8) y compárese los resultados con los obtenidos mediante la regresión (12.9.9) ¿Qué conclusión (es) colige?
Con los datos proporcionados en la tabla 12.4 estimando el modelo (12.9.8) se obtienen los siguientes resultados, como se puede observar en el anexo N. 1
∆Y t = β 1 + β 2 ∆X t + ε t
ˆt = ∆Y
29.103 + 0.721∆X ˆ t ee = (1.965) (0.025) t = (14.810) (29.198) 2
R = 0.96
Con los datos proporcionados en la tabla 12.4 estimando el modelo (12.9.9) se obtienen los siguientes resultados, como se puede observar en el anexo N. 2
ˆt = ∆X t ∆Y ˆt = ∆Y
0.678 X t ee = (0.083) t = (8.175)
R 2 = 0.637
Como se puede ver el segundo modelo parece ajustarse de mejor manera ya que la característica principal de primeras diferencias es que no tiene rezagos ni la variable tendencial por la tanto parece ajustarse de mejor manera.
ANEXO N.1 Model Summary(b)
Model
R
1
R Square
,979(a)
Adjusted R Square
,958
Std. Error of the Estimate
,957
Durbin-Watson
2,63126
,141
a Predictors: (Constant), xuno b Dependent Variable: yuno
Coefficients(a) Unstandardized Coefficients
Model
B 1
(Constant ) xuno
Standardized Coefficients
Std. Error
29,103
1,965
,721
,025
t
Sig.
Beta
,979
14,810
,000
29,198
,000
a Dependent Variable: yuno
ANEXO N.2 Model Summary(c,d)
Model
R
1
R Square(a)
Adjusted R Square
,637
,628
,798(b)
Std. Error of the Estimate
Durbin-Watson
1,01502
1,735
a For regression through the origin (the no-intercept model), R Square measures the proportion of the variability in the dependent variable about the origin explained by regression. This CANNOT be compared to R S quare for models which include an intercept. b Predictors: xd c Dependent Variable: yd d Linear Regression through the Origin
Coeficientes(a,b) Unstandardized Coefficients
Model
B 1
xd
Std. Error ,678
a Dependent Variable: yd b Linear Regression through the Origin
,083
Standardized Coefficients
t
Sig.
Beta ,798
8,175
,000
