Álgebra División algebraica II 5.
NIVEL BÁSICO
Calcule el residuo de la siguiente división. ( x + n)7
x 7 − n7
−
x + 2n 1.
Calcule la suma de coeficientes del cociente de la división. 3 x 4
+
x3 + 4x2 − x + 2 3 x − 2
A) 15 D) 10 2.
6.
B) 2
C) 5 E) 6
−
3x2
x 2
2x − 3
+
A) 24; −
2 x − 3 2 x
3
−
3x
2
x −
+
C) 3 n7 E) 128 n7
Halle el producto de los coeficientes no nulos del cociente y el valor de m m si la siguiente di visión presenta como residuo a 5. 2 x 6 − 2 x 2 − x 4 + m
Con respecto a las siguientes divisiones 2 x 3
B) 126 n7
A) 0 D) 62 n7
−
2
1
B) 24; – 8
27
D) 50; – 5
C) 12; – 8 E) 12; – 27
2x − 3
3
NIVEL INTERMEDIO
2
indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Las dos divisiones son exactas. II. Los cocientes son iguales. III. Tienen residuos diferentes.
7.
Halle el residuo de la siguiente división si se sabe que la suma de coeficientes del cociente es – 7. 5 nx 5
− 10
x4
−
n 2 x 3 + 2nx 2 − 3 n 2 x − 6 n + 7 nx − 2
A) VFF D) FVF 3.
B) VFV
C) VVV E) FFF
Calcule el valor de n si el residuo de la división es 3 n+2.
A) 2 D) 7 8.
x 3 − nx 2 − nx − n 2
A) – 2 D) 2 4.
+
B) –1
6x 3
+
C) 1 E) 3
n 3 x 2 + 14 x + 3
x −1
B) 1
A) 29 D) 19 9.
B) 28
C) 31 E) 26
El resto de la división 4 x n
+
8 x n −1 + 2 x n +1
x − 2
es 48. Halle el valor de 2 n+3.
7 x − 1
A) 2 D) –1
+
x − 1
Si el resto de la división es 5, halle el valor de n6+ n9. 7 x 4
C) – 29 E) 12 n+7
Indique como respuesta la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al efectuar 2 x14
x − n − 2
B) 16
C) – 3 E) 0
A) 16 D) 4
B) 32
C) 8 E) 2
Álgebra 10.
Si el polinomio P( x)= x4+ mx2 – 3 x+n es divisible por f ( x)= x – 2 y al dividirlo por g( x)= x – 1
NIVEL AVANZADO
deja resto 3, calcule el valor de mn. 14.
A) 60
B) – 50
D) – 30
C) 20
Halle el valor de m+n si la división 3 x 2
E) – 60
+
mxy + 4 y 2 + 5 y + ny x + y
es exacta. 11.
¿Para qué valor de a las divisiones P( x )
P( x ) x + 1
y A) 1
B) 2
D) – 2
dejan el mismo resto?
x − 1
P( x)= x4+ x3 – 2a x+5a
15.
E) 0
Calcule el resto en la división x12 [ x ( x − 6 ) + 9 ]
A) 1/2
B) 3
D) –1
C) 3
C) 1
x 3
−
3x2
3
+
3x − 7
+1
E) no existe tal a A) 3 x – 7
12.
Halle el valor de m+b si el polinomio 3
2
B) 3 x – 8 2
P( x)=5 x +6 x + mx+b es divisible por ( x – 1).
C) 3 x – 6 D) 2 x – 7
A) 11
B) 2
D) 6
C) 3
E) 3 x – 1
E) – 11 16.
13.
El resto de la división
Halle el resto de la siguiente división.
( x + 1) ( x + 3) ( x − 2) ( x − 4 ) − x 2 + 1
8 x 60
x 2 − x + 1 es de la forma R( x)= bx+c. Halle el valor de c/b.
A) 5 D) 1
x 24
−4
2 x12
+1
+5
x 12 + 3
B) 6
C) 4
A) 19
E) 0
D) – 38
B) – 20
C) – 41 E) 12
Álgebra Factorización I 5.
NIVEL BÁSICO
1.
Si ( x – 2) es un factor del polinomio P( x )
=
( x + 1) ( x 2
A) x2+5 x+7
) ( x + n)
B) x2+6 x+12
−1
determine el valor de P( n). A) 8 D) 12 2.
B) 10
C) x2+6 x+10
4 5
3 6
D) x2+ x+1
C) 6 E) 24
Factorice el siguiente polinomio. 4 6
E) x2 – x+1 6.
indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. f (a; b)=a+2 b es un factor primo. II. f (a; b)=a – 2 b es un factor primo. III. f (a; b)=a2+ b2 es un factor primo.
Luego indique la alternativa correcta. A) x3 es un factor primo.
B) y5 es un factor primo. C) ( x+1) es un factor primo.
A) VVV D) FVV
D) ( x+ y) es un factor primo. E) ( x – y) es un factor primo. Relacione un polinomio con su respectiva forma factorizada. I. x2 – 6 x+5 II. 3 x2 – 13 x+14 III. 12 x2 – 17 x+6
7.
P( x )
A) 3 D) 6
=
1
x 2 + x + m y g( x)= x+5 es un factor de
4 Q( x)= x2 – 4 x+ n, calcule el producto mn.
8.
B) –135
C) 145 E) 135
Determine el número de factores primos lineales de la siguiente expresión polinomial. F ( m; n)=( m+n)4( m – n) – ( m – n)4( m+n)
A) 2 D) 5
Determine el número de factores primos lineales del siguiente polinomio. =
C) VFV E) FFF
Si f ( x)= x – 2 es un factor del polinomio
A) 123 D) 120
A) Ib, IIa, IIIc B) Ib, IIc, IIIa C) Ia, IIc, IIIb D) Ic, IIb, IIIa E) Ic, IIa, IIIb
P( x )
B) VVF
NIVEL INTERMEDIO
a. (4 x – 3)(3 x – 2) b. (3 x – 7)( x – 2) c. ( x – 1)( x – 5)
4.
Respecto al polinomio sobre Z P(a; b)=a4 – 3a2 b2 – 4 b4
3 5
P( x; y)= x y + x y + x y + x y
3.
Factorice el siguiente polinomio P( x)=( x+2)( x+3)( x+4)+( x+3)( x+4)+( x+4) e indique el factor primo cuadrático.
( x 2 − 2 x − 3) ( x 2 + 6 x + 5) ( x 2 + 4 x − 21) B) 4
C) 2 E) 1
9.
B) 3
C) 4 E) 1
Halle el número de factores primos del siguiente polinomio. f( a; b)
A) 4 D) 2
= −4
a 2 b 2 + (9 − a 2 − b 2 )
B) 3
2
C) 6 E) 5
Álgebra 10.
Si el polinomio cuadrático
NIVEL AVANZADO
Q( x)= Ax2+ Bx+ A
se factoriza sobre Z en la forma Q( x)=( mx – 2)( nx – 1), calcule el valor de m+n.
14.
Determine el número de factores primos de la siguiente expresión.
A) 1 D) – 2 11.
B) 2
C) 4 E) 3
M ( a; b; c)
A) 0 D) 3
B) 1
(a2 + b2 − c 2 )
A) 1
Indique cuántos factores primos admite el siguiente polinomio. P( x; y)=( xy)2+1 – x2 – y2
=
B) 2
C) 2 E) 4
Determine el número de factores primos de P( x )
Luego de factorizar P( x )
=
=
( x 2 + 7 x + 5)
2 +
3 x 2 + 21x + 5
B) 2
D) 4
C) 3 E) 5
ab ( x 2 + m 2 ) − mx (a 2 + b 2 ) ; ab ≠ 0
iguale a cero cada factor y despeje x en cada caso. Halle el producto de los valores obtenidos de x. A) m2
16.
Determine el MCD de los siguientes polinomios. P( x; y)= x3+ x2 y+ xy2+ y3 Q( x; y)= x3 – xy2+ x2 y – y3
B) abm
D) m3
C) m E) am2
R( x; y)= x4 – 2 x2 y2+ y4
A) x( x – y) 13.
(2ab)2
E) 5
A) 1 12.
−
C) 3
D) 4 15.
2
Un factor de ax2+ bx – a2 x – ab es
B) ( x+ y) y C) x+ y
A) x – ab D) ab+ x
B) abx+1
C) ax+ b E) bx+a
D) x – y E) ( x+ y)( x – y)
Álgebra Factorización II 5.
NIVEL BÁSICO
Iguale a cero cada factor primo que presenta f ( x)= x3 – 9 x2+20 x – 12
y luego indique los valores que se obtienen de x. 1.
Factorice el siguiente polinomio. P( x)= x3 – 11 x2+31 x – 21
A) {1; 4; 6} B) { – 1; 4; 6} C) { – 1; – 2; 6}
A) P( x)=( x – 1)( x – 2)( x – 3)
D) {1; 2; 12}
B) P( x)=( x – 1)( x – 3)( x – 7)
E) {1; 2; 6}
C) P( x)=( x – 2)( x – 5)( x – 6) D) P( x)=( x – 3)( x – 4)( x – 11) 6.
E) P( x)=( x – 5)( x – 6)( x – 12)
Determine la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio
2.
P( x)=6 x4+19 x3+24 x2+24 x+8
Halle la suma de los factores primos de P( x)= x3 – 13 x+12
A) 2
B) 4
D) 7
A) 3 x – 12
C) 5 E) 9
B) 3 x
NIVEL INTERMEDIO
C) 3 x+12 D) 3 x+8 E) 3 x – 2
7.
Si –1 y 2 son las raíces del polinomio f ( x)=2 x3+ nx2+ nx+m, entonces determine el
3.
valor de n2+ m2.
Factorice el polinomio f ( x)= x3 – 4 x2+ x+6
Luego determine la suma de los factores lineales.
A) 13 B) 17
A) 3 x – 5
C) 14
B) 3 x+5
D) 12
C) 3 x – 4
E) 25
D) 3 x+2 8.
E) 3 x – 2
Si 2 es raíz del polinomio P( x)= x3 – 5 x+a, entonces determine su factor primo de mayor
4.
Luego de factorizar el polinomio
término independiente.
P( x)= x3 – 2 x – 1
se obtiene un factor primo cuadrático f ( x).
A) f ( x)= x – 2
Determine el valor de f (3).
B) f ( x)= x – 4 C) f ( x)= x2 – 2
A) 2 D) 7
B) 3
C) 4
D) f ( x)= x2 – 2 x – 1
E) 5
E) f ( x)= x2+2 x – 1
Álgebra 9.
Si 7 es raíz del polinomio
13.
Factorice los polinomios
P( x)= x3 – ( n+5) x2+(8 n – 9) x – 15( n – 3)
P( x)= x4+4
determine el valor de n.
Q( x)= x4+ x3 – 2 x
e indique la suma de los factores primos no A) – 3
comunes.
B) 10 C) 3
A) 2 x2 – x+3
D) 5
B) x2+3 x+2
E) 7
C) x2+1 D) x2 – 3 x – 2
10.
Luego de efectuar la expresión x4+2 x3 – 2 x – 1,
E) x2+3 x – 2
calcule la suma de sus factores primos.
NIVEL AVANZADO
A) 2 B) 2 x C) – 2 D) – 2 x E) 2( x+1) 11.
14.
R( x)=ax3+13 x2+ bx+c se obtiene R( x)=(2 x+c+3)(3 x – 1)( x+2)
Determine el valor de (a – 5)2+ b2+(c+1)2.
Luego de factorizar el polinomio P( x; y)=6 x4 – 7 x3+2 x2+13 x2 – 8 x+6
A) 14
se obtiene como factores primos (ax2 – x+3) y
15.
C) 13 E) 3
Sea f ( x)=3 x3+2 x2+2 x – 1
B) – 30 C) – 24
g( x)=3 x3 – x2 – 12 x+4
Indique las proposiciones verdaderas.
D) – 12 E) – 25
I. f( x )
12.
B) 38
D) 1
( bx2+cx+ d ). Halle el valor de abcd . A) – 36
Al factorizar sobre Z el polinomio
II. g( x)
=
(3 x − 1) ( x 2 + x + 1)
=
(3 x + 1) ( x 2 − 4)
III. MCD ( f ; g)=3 x –1
Luego de factorizar el polinomio f ( x)= x4+ x2+1
A) todas
se obtiene M( x ) = ( ax 2 + bx + c ); a ≠ 0 como un factor primo. Determine el mayor valor de
B) solo I
D) I y III
C) solo II E) II y III
a+b+c. 16.
A) 5 B) 4
¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio? P( x)= x5 – 2 x4 – 13 x3+26 x2+36 x – 72
C) 3 D) 2
A) 1
E) 1
D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
Álgebra Ecuaciones 6.
NIVEL BÁSICO 1.
Si x0=3 es una raíz de la ecuación polinomial x4 – 9 x2+ mx+ n=0, calcule el valor de m/n. A) 3 D) 1/3
2.
B) – 1/3
C) 1 E) – 3
Si a y b son las soluciones de la ecuación x2+2 x – 1=0, halle los valores de M y N . 1 1 M = α − ; N = β 2 + 2 α β A) M = – 2; N = – 6 B) M =2; N =4 C) M = – 2; N = – 4 D) M = – 2; N =6 E) M =6; N = – 2
3.
B) VFF
A) − D) −
+
A) {5} D) 5.
2
=
37
8.
B) 0
E)
3
52 3 25 3
Si a, b y q son la soluciones de la ecuación
C)
B) 2a+1
D) a2+1
C) 9 E) 0
C) a2 – 2 E) a2+a+1
Resuelva la ecuación de incógnita x. λ ( λ − x ) m ( m + x ) − = x ∧ λ ≠ m λ m A) { m} B) { m – l} C) {l} D) {l+ m} E) {l – m}
{ } 37 5
C) 1 E) – 10
B) 8
Si a es solución de la ecuación x3 – x – 1=0, determine la expresión equivalente de a5. A) a2+2
C) FVV E) FFV
Si x0 es la solución de la ecuación lineal 4( x – 3)( x+3) – (2 x+1)2=3 determine el valor de M . x + 12 M = 0 x0 + 17 A) – 1 D) 2/7
52
A) 6 D) 1
E) f
5
3
C)
(α 3 + β3 + θ3 ) − (α 2 + β2 + θ 2 ) + (α + β + θ)
4
B) 5
23
halle el valor de
Resuelva la siguiente ecuación lineal. x − 2 x − 3 3
2
B)
x3 – x2+ x – 2=0
9. 4.
23
NIVEL INTERMEDIO 7.
Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) de los siguientes enunciados. I. x( x+1)+ x – 2= x( x – 1) es compatible determinado. II. 2 x+(1 – x)+3= x+4 es compatible indeterminado. III. x – (1 – x)=2 x+1 es incompatible. A) VFV D) VVV
La suma de 3 números es 50, la suma de los 2 últimos es igual al primero y la semisuma del segundo con el primero es igual al tercero disminuido en 1. Halle el menor de los números.
10.
Determine el valor de a para que la siguiente ecuación de incógnita x sea inconsistente. a b ( x − a ) = ( x − b) ∧ ab ≠ 0 b a A) b D) b2
B) b /2
C) – b E) – b2
Álgebra 11.
¿Cuánto se le tiene que sumar al numerador y denominador de
1000 1011
para que resulte su in14.
versa? A) 2011
B) – 2012
D) – 2010 12.
NIVEL AVANZADO
1
C) 2012
es 2 +
E) – 2011
Dada la ecuación cuyo conjunto solución es {a}, indique la alter-
D)
nativa incorrecta. 15.
A) 13a=25 α =
C) 13α + D) CS = E)
13.
1
=
α
13 2
=
, halle b B)
{ } 25
2 3
1
C) 2
2
E) 2 2
4
UNMSM 2013 - II
Si a es solución de la ecuación
a
2
.
B) 2
C) 3 E) 5
13 25
16.
Si x0 es solución de la ecuación lineal 2 x − 8 2 x − 19 2 x − 10 5
+
B) {1}
C) E)
{ } −
2 3
5
6
A) – 1 B) 1/2 C) 0 D) – 1/2 E) 1
7
−
= −1
3 calcule el valor de ( x0+1).
halle el conjunto solución.
{}
.
1
A) 1 D) 4
13
( n2 − 9) x 2 + ( n − 3) x + n = 2
D)
a
determine el valor de
26
Dada la ecuación lineal
A) f
b
x − 2 + x − 12 + x − 36 + ... + x − 810 = 0 2 6 12 90
5 13 1
1 n
2 2
A)
( x+3 x+5 x+...+21 x) – (2 x+4 x+6 x+...+24 x)=25 – 48 x
B)
Si a, b y n son números enteros positivos y la solución positiva de la ecuación bx n – 1 – a=0
Álgebra Ecuación cuadrática I 6.
NIVEL BÁSICO
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática 3 x2+(1– m) x+( m – 2)=0, tal que 1
1.
x 2
−2
7.
B) – 1/5
D)
B) 5 + 15
C)
Resuelva la ecuación cuadrática nx2 – 5 x+1=0 si se conoce que su discriminante es igual a 1.
{ }
A) 2;
1
3
B)
{ } 1 1 ; 2 3
C) E)
m + 2
2 m + 1 2
Dada la ecuación 2 x2+3 x+1=0, de raíces x1 y
B) – 1
C) 1 E) – 2
10.
E) 3;
B) 1
Si a y b son las raíces de la ecuación 3 x2 – 5 x+6=0, halle el valor reducido de (a+2)(b+2) B) 28/3
C) 0 E) 7/3
C) {2; 6} 1
2
Al resolver las ecuaciones E 1: (2 x+1)( x+3)=( x – 1)( x+3) E 2: nx+5 n=10 se observa que la menor solución de la ecuación E 1 es también solución de la ecuación E 2, entonces halle el valor de n2. A) 4 D) 16
2
2
A) 1 D) 3/5
{ }
D) {1; 5} 5.
m − 2
( m + 2)
A) 0 D) 2
14
+
m
B)
x2, calcule el valor de 2 ( x12 + x22 ) + 3 ( x1 + x2 ).
9. 4.
C) – 3 E) – 2
E) 8 + 12
15
+
B) 4/9
m + 1
D) −
C) 1 E) – 3/2
Halle la mayor raíz que presenta la ecuación ( x – 1)2+2 x+1=( x+2)2 – ( x – 2)2 A) 8 + 14
= 5 , halle el valor de m.
Resuelva la ecuación 2 x 2 + ( m − 2) x − ( m 2 + 2m) = 0; m > 0 e indique la mayor solución. A)
8. 3.
x2
NIVEL INTERMEDIO
Resuelva la ecuación cuadrática 10 x( x – 1)=3( x+1) e indique la menor solución. A) 3/10 D) 3/2
1
A) 2 D) 9/4
3x + 3 = 0
A) 0 B) 3 C) 1 D) 2 E) más de tres 2.
x1
¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación?
+
C) 9 E) 25
Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación x2 – ax+3=0 y, además, x14+ x24=7, calcule el mayor valor de a2+5. A) 15 D) 21
11.
B) 16
C) 9 E) 17
Para que una de las raíces de la ecuación ax2+ bx+c=0 sea el triple de la otra, determine la relación entre los coeficientes. A) 16 b2=3ac D) 3 b2=16c
B) 3 b2=16ac C) 16 b2=3a E) 3 b2=16a
Álgebra 12.
Si tana y tanb son raíces de 2 x2+x – 1=0, halle
A) 60 km el que va hacia el norte y 80 km el
tan(a+b).
que va hacia el oeste. B) 80 km el que va hacia el norte y 60 km el
A) – 1 D) −
B) −
1
C) −
3
1
E) −
6
que va hacia el oeste.
1 4
C) 10 km el que va hacia el norte y 60 km el
2
que va hacia el oeste.
3
D) 25 km el que va hacia el norte y 80 km el que va hacia el oeste.
13.
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrá-
E) 50 km el que va hacia el norte y 60 km el
2
tica ax + bx+c=0, reconstruya una ecuación 2 2 que tenga como raíces a y . x1 x2 b a A) cx 2 + x +
que va hacia el oeste. 15.
Si el conjunto solución de la ecuación x2 – ax+b=0 es CS={ x1; x2},
=0
2 4 B) cx +2 bx+a=0 2
halle el valor de
2
x12
C) cx – 2 bx+4a=0
x2
D) cx2+2 bx+4a=0 E) cx2 – bx+4a=0
A)
NIVEL AVANZADO
14.
B)
+
x22 x1
a3
− 3ab a+ b
a 2 − ab b
a( 2 a − 3 b) b b D) ( a2 − 3 b) a b E) ( b2 − 3a) a
C)
Dos automóviles dejan atrás una intersección al mismo tiempo, uno se dirige hacia el norte, y el otro se dirige hacia el oeste. Tiempo más tarde, están separados exactamente 100 km. El automóvil que va hacia el oeste ha viajado 20 km más que el vehículo que se dirige hacia el norte. ¿Qué distancia ha viajado cada automóvil?
16.
Si la ecuación cuadrática ( a + 2b + c ) x 2 − (c 2 − 9 ) x + (a − 3b + 2) = 0
norte
tiene raíces recíprocas y simétricas, determine un valor de ( b+c). A) – 5
100 km
x
B) – 4 C) – 3
oeste
D) – 2 x+20
intersección
E) – 1
Anual San Marcos DIVISIÓN ALGEBRAICA II
FACTORIZACIÓN I
FACTORIZACIÓN II
ECUACIONES
ECUACIÓN CUADRÁTICA I
