VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MÓDULO 4
PROF. JUAN NARRO LAVI PROFESOR DE ESTADÍSTICA PARA LA ADMINISTRACIÓN
“El 20 por ciento de las personas muere a causa del tabaco. Por lo tanto, el 80 por ciento de las personas muere por no fumar. Así que queda demostrado que no fumar es peor que fumar”
(Gay, J., 2001, p.85)
Figura 4.1. Imagen tomada de “Origen y evolución de la estadística”, por Carlos Daniel Solarte. Recuperado de https://www.timetoast.com/timelines/srcen-y-evolucion-de-la-estadistica
Sumario 1. Variables aleatorias 2. Distribuciones de probabilidad 3. Valor esperado, varianza y desviación estándar
4. Distribución de probabilidad Binomial 5. Distribución de probabilidad Poisson 6. Distribución de probabilidad Normal
Variable Aleatoria Cantidad que es el resultado de un experimento aleatorio que debido al azar, puede adoptar diversos valores. Variable Aleatoria Solo puede asumirDiscreta ciertos valores claramente separados y que es resultado de contar algún elemento de interés. Variable Aleatoria Continua Puede asumir uno de una cantidad infinita de valores, dentro de ciertos límites. (Adaptado de Lind et al., 2012, pp. 189-191)
Variable Aleatoria Variable Aleatoria Representa un posible valor numérico como resultado de un experimento aleatorio.
Variables Aleatorias Variables Aleatorias Discreta
Variables Aleatorias Continua
Variable Aleatoria Experimento: - Lanzar una moneda tres veces al aire. Evento - Obtener SELLOS en los tres lanzamientos. Resultados Posibles (Variable Aleatoria) - 0 Sellos - 1 Sello - 2 Sellos - 3 Sellos
Número de Sellos C C
S
S
C S
C
CCC (0)
0.53 =0.125
S C
CCS (1) CSC (1)
0.53 =0.125 0.53 =0.125
S C
CSS (2) SCC (1)
0.53 =0.125 0.53 =0.125
S C
SCS (2) SSC (2)
0.53 =0.125 0.53 =0.125
S
SSS (3)
0.53 =0.125
Figura 4.2. Adaptado de “Figura 4-9 Árbol de probabilidad completo”, por Levin & Rubin., 2004, Estadística para administración y economía (7a ed.), p. 146. Copyright 1998 por Mc Graw Hill.
Variable Aleatoria Experimento: Lanzar 1 moneda 3 veces Evento: Número de Sellos Nº SELLOS RESULTADO PROBABILIDAD PROBABILIDAD 0 1 1 1 2 2 2 3
CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS
0.5 X 0.5 X 0.5 0.5 X 0.5 X 0.5 0.5 X 0.5 X 0.5 0.5 X 0.5 X 0.5 0.5 X 0.5 X 0.5 0.5 X 0.5 X 0.5 0.5 X 0.5 X 0.5 0.5 X 0.5 X 0.5
0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 1.00
Figura 4.3. Adaptado de “Tabla 4-2 Lista de resultados”, por Levin & Rubin., 2004, Estadística para administración y economía (7a ed.), p. 147. Copyright 1998 por Mc Graw Hill
Variable Aleatoria Nº SELLOS
PROBABILIDAD
0 1 2
0.125 0.375 0.375
3
0.125
VARIABLE ALEATORIA
PROBABILIDAD
Variable Aleatoria (V.A.): Variable “X = Número de sellos” Valores de la Variable X x (0, 1, 2, 3). P(X=x) o f(x) Probabilidad de que la V.A. “X” tome el valor x P(X=0) = 0.125 f(0) = 0.125 P(X=1) = 0.375 f(1) = 0.375 P(X=2) = 0.375 f(2) = 0.375 P(X=3) = 0.125 f(3) = 0.125
Variable Aleatoria Variable aleatoria discreta Usualmente un número entero (0, 1, 2, 3, etc.) Obtenida por conteo. Experimento
Variable Aleatoria (X)
Posibles Valores
Llamar a 10 clientes
# de clientes que efectúan un pedido
0, 1, 2, 3, …, 10
Inspeccionar un embarque de 1000 repuestos
# de repuestos defectuosos
0, 1, 2, 3, …, 1000
Administrar un restaurante por un día
# de comensales
0, 1, 2, 3, …
Vender un automóvil
Género del cliente
0 para mujer, 1 para hombre
Variable Aleatoria Variable aleatoria continua - Puede asumir cualquier valor dentro de un rango dado. - Obtenida por mediciones. Experimento
Variable Aleatoria (X)
Operar un Banco
Tiempo en minutos entre llegadas de los clientes
x≥0
Llenar una botella de gaseosa, máx. 500ml
Cantidad de ml
0 ≤ x ≤ 500 ml
Construcción de una carretera
Porcentaje de avance del proyecto luego de 3 meses
0 ≤ x ≤ 100 %
Prueba de un nuevo proceso químico
Temperatura a la que ocurre la reacción (min 30º C max 250ºC)
Posibles Valores
30 ≤ x ≤ 250º C
Distribución de Probabilidades Listado de todos los resultados posibles de un experimento junto con la probabilidad asociada de cada uno. Características: - La probabilidad de un resultado especifico debe estar entre 0 y 1. - La suma de probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos es 1.
Distribución de Probabilidades Experimento: Lanzar 1 moneda 3 veces Evento: Número de sellos
Nº SELLOS
PROBABILIDAD
0 1 2 3
0.125 0.375 0.375 0.125 1.0
Distribución de Probabilidades 0.4 d a 0.35 d 0.3 lii b 0.25 0.2 a b 0.15 o r 0.1 P 0.05 0
0
1 2 Número de sellos
3
Función de Distribución Acumulativa Para una variable aleatoria X, el valor de la Función de Distribución Acumulativa F(x), es la probabilidad de que X tome los valores menores o iguales a X. F (X) = P (X ≤ x) F (3) = P (X ≤ 3) = ƒ(0) + ƒ(1) + ƒ(2) + ƒ(3)
Nº SELLOS PROBABILIDAD 0 1 2 3
0.125 0.5 0.875 1
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
Esperanza Matemática o Valor Esperado El valor esperado de un experimento aleatorio discreto se puede considerar como el promedio ponderado de todos sus valores posibles. Se obtiene de la sumatoria de la multiplicación de la probabilidad de ocurrencia de un evento por el pago (ganancia o pérdida) si este ocurriera. N
µ = E(x) = ∑ xi .P(x i )
µ = E(x) = ∑ x * ƒ(x)
i=1 N
σ = ∑(x - µ) .P(x ) 2
2
i
i=1
(Lind et al., 2012, pp. 191-192)
i
Valor Esperado de una Distribución de Probabilidad Nº SELLOS PROBABILIDAD
P(X=0) = P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) =
0 1 2
0.125 0.375 0.375
3
0.125 1.0
0.125 0.375 0.375 0.125
0 x 0.125 = 1 x 0.375 = 2 x 0.375 = 3 x 0.125 = Suma:
0 Sellos 0.375 0.750 0.375 1.5 Sellos
Esperanza Matemática o Valor Esperado Si el premio de una rifa es de un millón de soles, y se han vendido 100,000 boletos. ¿Cuál es nuestra probabilidad de ganar el premio si compramos un boleto? ¿Cuál es la esperanza de un boleto? ¿Qué implica comprar un boleto a menos de S/. 10.00, exactamente a S/.10.00?
Esperanza Matemática o Valor Esperado Un concesionario del nuevo Estadio Nacional, tiene que elegir entre trabajar detrás del mostrador de venta de salchichas “Panchos Ballesteros” y recibir una suma fija de $ 50 por noche de fútbol, o caminar entre las gradas vendiendo gaseosas y refrescos a comisión. Si elige esto último, puede obtener $90 en una noche cálida, $70 en una noche de clima moderado, $45 en una noche fresca y $15 en una noche fría. En esta época del año las probabilidades de que las noches sean cálidas, moderadas, frescas y frías son: 0.1, 0.3, 0.4 y 0.2, respectivamente.
¿Qué le conviene al concesionario?
Esperanza Matemática o Valor Esperado Efectuando el análisis de valor esperado con base en el clima:
CLIMA $ Cálido (x) GANANCIA 90,00 Moderado Fresco Frío
70.00 45.00 15.00
P(x) 0.1
x.P(x) 9.00
0.3 0.4 0.2 E(x)
21.00 18.00 3.00 51.00
Resulta más conveniente vender gaseosas y refrescos, que vender salchichas, pues se obtiene un valor esperado de $51.00 vs $50.
Esperanza Matemática o Valor Esperado Uso del valor esperado y las pérdidas monetarias. Un mayorista de frutas compra cada caja de fresas a 20 u.m. y las vende a 50 u.m. No puede especificar el número de cajas que le solicitarán diariamente, pero dispone de los siguientes datos: Ventas Diarias
n.º de días de Venta
Probabilidad de Venta de cada Cantidad
10
15
0.15
11
20
0.20
12
40
0.40
25
0.25
100
1.00
13
Esperanza Matemática o Valor Esperado Tipo de pérdidas (A) Pérdidas por mermas (obsolescencia): oferta > demanda (costo contable) (B) Pérdidas de oportunidad: oferta < demanda (costo económico) Posibles n.º de cajas pedidas/día 10 11 12 13
10 0 30 60 90
Alternativas de Oferta 11 12 20 40 0 20 30 0 60 30
13 60 40 20 0
Esperanza Matemática o Valor Esperado Cálculo de la pérdida esperada Para un stocks de 10 cajas, la pérdida esperada será: Posibles n.º de cajitas pedidas/día 10 11 12 13
Pérdida Condicional 0 30 60 90
Probabilidad que se reciban estos pedidos
Pérdida esperada
0.15 0.20 0.40 0.25 Pérdida esperada
0.00 6.00 24.00 22.50 52.50
Solución Óptima: analizar otros tamaños de stocks y decidir por aquel que genere la menor perdida.
Esperanza Matemática o Valor Esperado Analizando otros tamaños de stocks, verificamos aquel que genere la menor pérdida. Oferta 10 Demanda P(Dm) 10 11 12 13
0.15 0.2 0.4 0.25
Perd. Cond. 0 30 60 90
11
Perd. Perd. Esper. Cond. 0.00 20 6.00 0 24.00 30 22,50 60 52.50
12
Perd. Perd. Esper. Cond. 3.00 40 0.00 20 12.00 0 15.00 30 30.00
13
Perd. Perd. Esper. Cond. 6.00 60 4.00 40 0.00 20 7.50 0 17.50
Perd. Esper. 9.00 8.00 8.00 0.00 25.00
Esperanza Matemática o Valor Esperado Su hermano se encuentra a cargo de un pequeño hospital rural en el Departamento de Ucayali, el hospital compra sangre cada mes a un banco de sangre lejano. Cada mes es necesario reabastecer un cierto tipo de sangre raro debido a que su almacenamiento es de solo un mes. Si el pedido se efectúa con un mes de anticipación, el costo para el hospital es de $10.00 por unidad. Si la demanda de este tipo de sangre durante el mes excede a las existencias, se tiene que hacer un pedido especial con un costo de $100.00 por unidad. A lo largo de tres años se ha levantado la siguiente información: Demanda FrecuenciaenMeses
0 24
1 8
2 4
Su hermano sabiendo que cursa el Programa MBA, le consulta cuántas unidades debe ordenar por mes para minimizar cos tos
Distribución Binomial La totalidad del experimento está compuesto por una secuencia de intentos o ensayos idénticos. El resultado se clasifica en una de dos categorías: éxito o fracaso Los datos recolectados son producto de un conteo. La probabilidad de éxito (p) o fracaso (q) permanece constante para cada prueba. Las pruebas son independientes. (Adaptado de Lind et al., 2012, p. 196)
Distribución Bionomial P(r) =
n! p r!(n - r)!
r
qn-r
n es el número de ensayos r es el numero de éxitos observados/deseados p es la probabilidad de éxito en c/e. q es la probabilidad de fracaso, 1-p
Media o Valor Esperado Varianza (Adaptado de Lind et al., 2012, pp. 196-197)
µ = np
σ2 = np(1 - p)
Distribución de Poisson Se cumplen las características de una distribución Binomial La probabilidad de éxito es muy pequeña (p). “n” es muy grande. Existe un régimen que caracteriza el proceso (número de ocurrencias por intervalo de tiempo o espacio). Se usa para describir las distribuciones de probabilidad de: - Número de llegadas de clientes. - Número de llamadas telefónicas en una central. - Número de accidentes. - Número de llegadas de vehículos. - Número de defectos observados en longitudes, superficies u objetos. (Adaptado de Lind et al., 2012, p. 208)
Distribución de Poisson P(x) =
µ x e -µ x!
µ es la media del número de éxitos en un periodo ( ) “e” es la constante Neper (2.71828)
“x” es el número de éxitos.
Media o Valor Esperado Varianza (Adaptado de Lind et al., 2012, p. 208)
µ = np
σ2 = µ = np
Distribución Normal Es simétrica respecto a la media. Su grafica tiene forma de campana El valor de la media, mediana y moda es el mismo. Es asintótica (no corta el eje X) Existe una familia de distribuciones.
µ Media Mediana Moda
X
Figura 4.4. Adaptado de “Características de una distribución normal”, por Lind et al., 2012, Estadística aplicada a los negocios y economía (15a ed.), p. 228. Copyright 2012 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal FAMILIA DE DISTRIBUCIONES IGUAL µ, DIFERENTE σ σ=1 σ=5 = 10
µ = 50
X
Figura 4.5. Adaptado de “Distribución de probabilidad normal con medias iguales y desviaciones estándar diferentes”, por Lind et al., 2012, Estadística aplicada a los negocios y economía (15a ed.), p. 228. Copyright 2012 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal FAMILIA DE DISTRIBUCIONES DIFERENTE µ, IGUAL σ
σ =5
σ=5
=5
σ
µ = 15
µ = 25
µ = 40
X
Figura 4.6. Adaptado de “Distribución de probabilidad normal con diferentes medias y desviación estándar igual”, por Lind et al., 2012, Estadística aplicada a los negocios y economía (15a ed.), p. 228. Copyright 2012 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal FAMILIA DE DISTRIBUCIONES DIFERENTE µ, DIFERENTE σ
σ =1
µ = 15
σ=3
µ = 25
σ = 10 µ = 40
X
Figura 4.7. Adaptado de “Distribución de probabilidad normal con diferentes medias y desviación estándar igual”, por Lind et al., 2012, Estadística aplicada a los negocios y economía (15a ed.), p. 228. Copyright 2012 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal Estándar Caso especial de la distribución normal. Media es igual a ceroes igual a 1. Desviación estándar Área bajo la curva igual a 1 Cualquier distribución normal puede estandarizarse mediante el # z. Indica la desviación en términos de z.
(Adaptado de Lind et al., 2012, p. 229)
Distribución Normal Estándar µ=0 σ=1
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Figura 4.8. Adaptado de “Regla empírica”, por Lind et al., 2012, Estadística aplicada a los negocios y economía (15a ed.), p. 232. Copyright 2012 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal & Distribución Normal Estándar µ = 100 σ = 20
40 -3
60 -2
80 -1
100 120 140 160 0 +1 +2 +3
X Z
Valor Estándar (Valor Z) Los valores de una Variable X distribuida normalmente se transforman a valores z de una Distribución Normal Estándar. La Distribución Normal se “estandariza” resultando en una Distribución Normal Estándar.
z=
(Adaptado de Lind et al., 2012, p. 229)
x-µ
σ
Distribución Normal Estándar ESTANDARIZAR LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Distribución Normal
Distribución Normal Estándar
σz = 1
σ µ Z=
x-µ
σ
x
µz =0
z
x = valor de una variable aleatoria. µ = media de la distribución de la variable aleatoria. σ = desviación estándar de la distribución. z = número de desviaciones estándar desde x
a la media de la distribución.
Figura 4.9. Adaptado de “Valor normal estándar”, por Lind et al., 2012, Estadística aplicada a los ne gocios y economía (15a ed.), pp. 229-230. Copyright 2012 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal Una empresa aplica un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de supervisión de los supervisores de línea de producción. Debido a que el programa es autoadministrado, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 horas y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una distribución estándar de 100 horas. (Adaptado de Levin & Rubin, 2004, p. 213)
Distribución Normal ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa?
En la figura, que la mitad del áreapodemos bajo la ver curva está localizada a ambos lados de la media de 500 horas. Por lo tanto podemos deducir que la probabilidad de que la variable aleatoria tiene un valor mayor a 500 es el área sombreada, es decir, 0.5.
P(X>500)=0.5
Figura 4.10. Adaptado de “Figura 5-16 Distribución del tiempo requerido…”, por Levin & Rubin., 2004, Estadística para administración y economía (7a ed.), p. 213. Copyright 1998 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal ¿Cuál es la probabilidad de que un supervisor elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas para completar el programa de entrenamiento. La gráfica se muestra la respuesta como zona sombreada, representada por el área entre la media (500 horas) y el valor de X, en el cual estamos interesados (650 horas). Estandarizando la variable tenemos un valor para Z P(500≤ X ≤650)= ? Figura 4.11. Adaptado de “Figura 5-17 Distribución del tiempo requerido…”, por Levin & Rubin., 2004, Estadística para administración y economía (7a ed.), p. 213. Copyright 1998 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal Z=
Z=
x-µ
σ
650 - 500 100
= 1.5
Si buscamos Z = 1.5 en la tabla o empleamos el Excel, encontraremos una probabilidad de 0,4332. En consecuencia, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es ligeramente mayor a 0,4. (Adaptado de Levin & Rubin, 2004, p. 214)
Distribución Normal ¿Cuál es la probabilidad de que un supervisor elegido al azar se tome más de 700 horas en completar el programa? Estamos interesados en el área a la derecha de 700. Estandarizamos
Z=
Z=
x-µ
σ
700 - 500 100
=2
P(X >700)= ?
Figura 4.12. Adaptado de “Figura 5-18 Distribución del tiempo requerido…”, por Levin & Rubin., 2004, Estadística para administración y economía (7a ed.), p. 213. Copyright 1998 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal Si Z = 2.0
Área: 0.4772 (Tabla o Excel)
Por lo que la probabilidad que el tiempo sea mayor a 700 horas, será 0,5 - 0,4772 = 0,0228 Luego hay un poco más de 2 oportunidades en 100 de que a un participante elegido al azar le lleve más de 700 horas en completar el curso.
(Levin & Rubin, 2004, p. 215)
Distribución Normal Supongamos que el director del programa desea saber la probabilidad de que un participante escogido al azar requiera entre 550 y 650 horas para completar el trabajo requerido en el programa. Primero calculamos el valor de Z para 650 Z=
Z=
x-µ
σ
P(550≤ X ≤650)
650 - 500 = 1.5 100
Figura 4.13
A este valor le corresponde un área de 0,4332 Figura 4.13. Adaptado de “Figura 5-19 Distribución del tiempo requerido…”, por Levin & Rubin., 2004, Estadística para administración y economía (7a ed.), p. 213. Copyright 1998 por Mc Graw Hill.
Distribución Normal Después calculamos un valor de Z para 550 Z=
x-µ
σ
Z=
550 - 500 = 0.5 100
Correspondiéndole un área de 0,1915 Ahora debemos estar restar las áreas: - Probabilidad de que la variable aleatoria esté entre la media y 650 horas - Probabilidad de que la variable aleatoria esté entre la media y 550 horas - Probabilidad de que la variable aleatoria esté 550 y 650 horas (Adaptado de Levin & Rubin, 2004, pp. 215-216)
0.4332 0.1915 0.2417
Distribución Normal como una Aproximación de la Distribución Binomial A pesar de ser continua, la Distribución Normal es algunas veces aproximación de la distribución binomial cuandouna np buena y nq son mayores o iguales a 5. Los valores discretos de la distribución binomial se representan como rectángulos inscritos en la distribución normal con un ancho de 1 y centrados en el valor discreto. µ = np
σ = √npq (Levin & Rubin, 2004, p. 226)
Distribución Normal Estándar Asuma que el 50% de los alumnos de una Universidad fuman al menos media cajetilla ¿Cuál es la probabilidad que de unacigarrillos muestra por de día. 10 alumnos, extraída al azar, contendrá 3 o más alumnos que fumen al menos media cajetilla de cigarros por día?
Distribución Normal Estándar nxp≥5 y nxq≥5 P ( r ≥ 3)
np = 10 * 0.5 = 5
p = 0. 5 q = 0. 5
nq =10 * 0.5 = 5 µ = np = 5
n = 10
σ
= npq =1.5811
r =≥ 3 0.94308129
0.9453125
01234
5
6
P(x > 2.5)
7
8
91 0
Bibliografía Gay, J. (2001). Chistes 1. Colmos y otras risas (3a ed.). Madrid, España: Palabra. Recuperado de https://books.google.com.pe/books?id=6Q0XePJy7mkC&printsec=fron tcover&hl=es#v=onepage&q&f=false Levin, R., & Rubin, D. (2004). Estadística para administración y economía (7a ed.). México: Pearson Prentice Hall. Lind, D., Marchal, W., & Wathen, S. (2012). Estadística aplicada a los negocios y la economía (15a ed.). México: McGraw-Hill.
