Dualitas dan Analisis Sensitivitas
Kegunaan Dualitas dan analisis sensitivitas •
•
Dualitas lebih banyak bermanfaat untuk melakukan pengujian/pengecekan apakah nilai-nilai yang telah dihasilkan dengan metode simplex telah benar dan hasilnya dapat digunakan untuk pengambilan keputusan manajemen. Sementara itu, analisis sensitivitas selain digunakan untuk pengujian/pengecekan, analisis ini lebih bermanfaat untuk menghindari pengulangan perhitungan dari awal, apabila terjadi perubahan-perubahan pada masalah LP simplex. Perubahan yang dimaksud misalnya : a. Perubahan nilai koefisien koefisien dalam fungsi tujuan, tujuan, misalkan, misalkan, karena karena tuntutan tuntutan keadaan keuntungan yang diharapkan dari sepatu karet tidak lagi Rp 300.000,- tapi menjadi Rp 500.000,-/unit, dst. b. Perubahan pada kapasitas maksimal mesin, misalkan karena mesin kedua diperbaiki, diganti oli-nya, dan disetup ulang, maka maka bila sebelumnya hanya bisa menyala 15 jam, saat ini mampu menyala hingga 16 jam.
Dualitas •
Dualitas adalah ‘kebalikan’ masalah Simplex, dan masalah Simplex sendiri selanjutnya sering disebut dengan masalah Primal. Jadi masalah Dual adalah ‘kebalikan’dari masalah Primal (simplex).
Contoh masalah primal •
Perusahaan A membuat 2 macam sepatu. Jenis pertama adalah merk X1 dengan sol dari karet, dan jenis kedua adalah merk X2 dengan sol dari kulit. Untuk membuat sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin A khusus membuat sol dari karet. Mesin B khusus membuat sol dari kulit dan mesin C membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Sepatu X1 diproses di mesin 1 selama 2 jam, terus diproses di mesin 3 selama 6 jam. Sedang sepatu x2 diproses di mesin 2 selama 3 jam terus diproses di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum untuk mesin 1 =8 jam , mesin 2=15 jam, mesin 3 = 30 jam . Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merk X1= Rp 30.000,- sedangkan untuk merk X2 adalah Rp 50.000,-
Contoh masalah primal •
Fungsi tujuan : Maksimalkan Z = 3X1 + 5X2
•
Dengan batasan :
•
Mesin A
•
Mesin B
•
Mesin C
•
dimana X1 dan X2 ≥0
2X1
≤8 3X2 ≤ 15
6X1 + 5X2 ≤ 30 ,
Contoh masalah primal
Bentuk Dual
Secara umum hubungan antara primal-dual dapat dikatakan sebagai berikut: •
•
Parameter batasan-batasan primal (atau dual) merupakan koefisien variabel dual (atau primal),dan Koefisien fungsi tujuan primal (atau dual) merupakan nilai kanan dual (atau primal)
Bentuk Dual
Bentuk Dual •
•
Fungsi Tujuannya :
Minimalkan Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3 -> perhatikan mjd Minimalisasi
•
Dengan batasan :
•
2Y1 + 6Y3 ≥ 3 -> tanda juga berubah
•
3Y2 + 5Y3 ≥ 5
•
Dimana Y1, Y2, dan Y3 ≥ 0
Bentuk Dual •
Perhatikan !
Dalam fungsi tujuan dan batasan Dual tersebut : 1. Fungsi tujuannya dari maksimalisasi menjadi minimalisasi 2. Nilai koefisien pada fungsi tujuan (8, 15, dan 30) sebelumnya adalah nilai kanan (NK) dari fungsi batasan Primal (simplex)-nya. 3. Sebaliknya nilai kanan batasan (3 dan 5) sebelumnya adalah nilai koefisien fungsi tujuan pada kasus Primal (simplex) 4. Nilai koefisien pada fungsi batasan Dual adalah ‘pembacaan’ vertikal dari nilai koefisien di batasan Primalnya 5. Jumlah batasan (3) akan menjadi jumlah variabel dalam fungsi tujuan Dualnya (Y1 s.d. Y3)
Bila disandingkan kedua masalah Primal dan Dual di atas, akan terlihat :
Penyelesaian masalah primal
Tabel optimal simpleks
Keterangan Dari tabel optimal simplex di atas telah disimpulkan bahwa : 1. Jumlah produksi untuk sepatu karet (X1) sebaiknya dilakukan dalam jumlah 5/6 (lihat kolom NK, baris X1). Sementara itu sepatu kulit sebaiknya diproduksi sebanyak 5 (lihat kolom NK, baris X2) 2. Dengan hasil pada poin 1 di atas, maka keuntungan yang akan diterima oleh perusahaan adalah sebesar 27,5 atau 2.750.000 (lihat kolom NK, baris Z)
Keterangan •
•
Berdasarkan hasil dari tabel optimal simpleks diatas diperoleh hasil X3=0, X4=5/6, X5=1/2 yang tak lain merupakan koefisien-koefisien slack variabel pada baris pertama tabel simpleks. Nilai-nilai X3, X4, dan X5 dapat diinterpretasikan bahwa setiap satuan masing-masing sumber menyumbang Rp 0, Rp 5/6, dan Rp ½ terhadap laba total sebesar Rp 27,5= 8(0)+15(5/6)+30(1/2)
Analisis Sensitivitas •
•
•
•
Setelah ditemukan penyelesaian yang optimal dari suatu masalah LP, kadang perlu untuk menelaah lebih jauh kemungkinan-kemungkinan yang terjadi seandainya terjadi perubahan pada koefisien-koefisien di dalam model. Untuk menghindari penghitungan ulang maka digunakan analisa sensitivitas yang pada dasarnya memanfaatkan kaidah-kaidah primal dual metode simpleks semaksimal mungkin. Karena analisa dilakukan setelah tercapainya penyelesaian optimal, maka analisa ini disebut juga Post Optimality Analysis. Jadi tujuan analisa sensitivitas adalah mengurangi penghitungan ulang bila terjadi perubahan-perubahan satu atau beberapa koefisien model Lp pada saat penyelesaian optimal sudah ditemukan
Analisa Sensitivitas •
Contoh tabel optimal
Analisa Sensitivitas •
•
Kaidah 1 :Pada setiap iterasi dalam simpleks (baik primal maupun dual), matriks yang berisi starting solution (tidak termasuk baris tujuan) dapat digunakan untuk menghitung koefisien-koefisien baris tujuan yang berhubungan dengan matriks tersebut. Langkah 1 : pilih koefisien-koefisien dari fungsi tujuan yang berhubungan dengan variabel dasar iterasi yang bersangkutan, lalu disusun dalam vektor baris. Pada tabel diatas variabel dasar adalah x2 dan x1 dimana fungsi tujuan adalah 3x1 + 5x2. Sehingga koefisien fungsi tujuan tersebut dinyatakan dengan (5,3)
Analisa Sensitivitas •
Langkah 2 : kalikan vektor baris tersebut dengan matriks pada tabel simpleks yang beranggotakan variabel-variabel starting solution
Analisa Sensitivitas •
•
Tampak bahwa 5/6 dan ½ merupakan koefisienkoefisien baris 1 (fungsi tujuan) yang berhubungan dengan matriks tersebut. Kaidah 2 : Pada setiap iterasi dalam simpleks (baik primal maupun dual), nilai kanan (kecuali untuk baris tujuan) dapat dihitung dengan mengalikan matriks yang dimaksud pada kaidah 1 , dengan vektor kolom yang berisi nilai kanan dari fungsi batasan mula-mula.
Analisa Sensitivitas •
Kaidah 3 : Pada setiap iterasi dalam simpleks baik primal maupun dual, koefisien-koefisen batasan yang terletak di bawah setiap variabel merupakan hasil kali matriks pada kaidah 1 dengan vektor kolom untuk setiap variabel pada tabel awal.
Beberapa kemungkinan perubahan pada saat tahap otimal telah dicapai •
Perubahan nilai kanan suatu fungsi batasan menunjukkan adanya pengetatan ataupun pelonggaran batasan tersebut. Misal: kapasitas mesin 2 dinaikkan dari 15 jam menjadi 16 jam sehingga nilai kanan fungsi-fungsi batasan berubah dari:
•
Sesuai dengan kaidah 2:
laba total yang diperoleh bertambah sebagai berikut:
Beberapa kemungkinan perubahan pada saat tahap otimal telah dicapai •
Perubahan pada koefisien-koefisien fungsi tujuan menunjukkan adanya perubahan kontribusi masing-masing produk terhadap tujuan (maksimasi laba atau minimasi biaya). Perubahan koefisien-koefisien tersebut mempengaruhi koefisien-koefisien baris tujuan dan tentu saja mempengaruhi optimality permasalahan tersebut
•
Contoh: Fungsi baris tujuan : Z = 3X1+5X2 Jika kontribusi laba per unit barang X1 berubah menjadi 4 dan X2 menjadi 6, maka pengaruhnya pada koefisien-koefisien baris tujuan adalah sebagai berikut:
Beberapa kemungkinan perubahan pada saat tahap otimal telah dicapai •
Perubahan pada koefisien-koefisien teknis
Beberapa kemungkinan perubahan pada saat tahap otimal telah dicapai •
Penambahan batasan baru
