Vorticidad y rotacionalidad
Una propiedad cinemática relacionada tiene gran importancia para el análisis de los fluidos; a saber, el vector de vorticidad se define matemáticamente como el rotacional del vector de velocidad v,
Vector de vorticidad:
Desde el punto de vista físico, se puede indicar la dirección del vector de vorticidad mediante la aplicación de la regla de la mano derecha para el producto cruz. El símbolo que se usa para la vorticidad es la letra griega zeta (no es de uso general para todos los libros).
Usaremos w para denotar el vector de razón de rotación (vector velocidad angular) de un elemento de fluido. Resulta que el vector de razón de rotación es igual a la mitad del vector de vorticidad:
Vector de rotación:
Por lo tanto la vorticidad es una media de la rotación de una particula de fluido
Si la vorticidad en un punto en un campo de flujo es diferente de cero, la partícula de fluido que llegue a ocupar ese punto en el espacio está girando; se dice que el flujo en esta región es rotacional. De modo semejante, si la vorticidad en una región del flujo es cero o (despreciablemente pequeña) la partículas de fluido allí no están girando; se dice que el flujo en esa región es irrotacional. Desde el punto de vista físico, las partículas de fluido que están en una región rotacional de un flujo giran de extremo a extremo a medida que avanzan en ese flujo. Por ejemplo, las partículas de fluidos dentro de la capa limite viscosa cercana a una pared solida son rotacionales (y, por lo tanto, tienen vorticidad diferente de cero), en tanto que las partículas de fluido que están afuera de la capa limite son irrotacionales (y su vorticidad es cero).
La rotación de los elementos de fluido se asocia con las estelas, las capas límites, el flujo a través de turbomaquinarias (ventiladores, turbinas, compresores, etcétera) y el flujo con transparencia de calor. La vorticidad de un elemento de fluido no puede cambiar, excepto por la acción de la viscosidad, el calentamiento no uniforme (gradientes de temperatura) u otros fenómenos no uniformes. Por consiguiente, si un flujo se origina en una región irrotacional, continúa siendo irrotacional hasta que algún proceso no uniforme lo altera. Por ejemplo, el aire que entra por una admisión proveniente de alrededores tranquilos (quietos) es irrotacional y se mantiene a menos que encuentre un objeto en su trayectoria o se someta a un calentamiento no uniforme. Si una aproximación de una región de flujo se puede hacer como irrotacional, las ecuaciones del movimiento se simplifican considerablemente, como se verá en el capítulo 10.
En coordenadas cartesianas, (i, j, k), (x, y, z) y (u, v, w), la ecuación 4-28 se puede desarrollar como sigue:
Vector vorticidad en coordenadas cartesianas:
Si el flujo es bidimensional en el plano xy, la componente z de la velocidad (w) es cero y ni u ni v varían con z. entonces, las dos primeras componentes de las ecuaciones son idénticamente cero y la vorticidad se reduce a:
Flujo bidimensional en coordenadas cartesianas:
Note que si un flujo es bidimensional en el plano xy, el vector de vorticidad debe apuntar en la dirección z o en la –z.
Ejemplo: Determinación de la rotacionalidad en un flujo bidimensional.
Considere el siguiente campo estacionario, incomprensible y bidimensional de velocidad:
V= (u,v) = x2i+ (-2xy-1)j
¿Es rotacional o irrotacional este flujo?. Trace el esquema de algunas líneas de corriente y argumente sobre ello.
Solución:
Se debe determinar si un flujo con un campo dado de velocidad es rotacional o irrotacional y se deben trazar algunas líneas de corriente en el primer cuadrante.
Análisis:
Supuesto que el flujo es bidimensional.
Vorticidad:
Puesto que la vorticidad es diferente de cero, este flujo es rotacional, en la figura se han trazado varias líneas de corriente del flujo en el primer cuadrante; se ve que el fluido se mueve hacia abajo y hacia la derecha también se muestra la translación y la deformación de una partícula de fluido. En Δt = 0, la partícula de fluido es cuadrada; en Δt = 0.25s, se ha movido y deformado, y en Δt = 0.50s, la partícula se ha movido y deformado todavía más. En particular, la porción más cercana hacia la derecha de la partícula se mueve más rápido hacia la derecha y más rápido hacia abajo en comparación con la porción está más cercana hacia la izquierda, con lo que la partícula se estira en la dirección x y se aplasta en la dirección vertical.se ve con claridad que también se tiene una rotación neta de la partícula de fluido en contrasentido al movimiento de las manecillas del reloj, lo cual concuerda con el resultado de la ecuación 2.
Discusión:
Con base en la ecuación, cada una de las partículas de fluido gira con una velocidad angular igual ah w = - yk, la mitad del vector vorticidad. Dado que w no es constante, este flujo no es la rotación de un cuerpo sólido. Más bien, w es una función lineal de y. un análisis adicional revela que este campo de flujo es incomprensible; las áreas sombreadas que representan la partícula e fluido permanecen constantes en los 3 instantes.
