dtp
= a jo
d
d
)= J o v[t)irH { j > - t ) d t , <í>. Si 5 = q + it, la transformada de Laplace se transforma en « ( * ) = í~ (£ 7 (0 )e -^ )e - ¿í0 ¿ 0 , 2 - l ) )¡(f) -zd>2 ) y por Nea(¡> para <¡> > <í>. Entonces )/2 = U{4>) +
(7)
ya que las condiciones iniciales implican que f/// (0) = 0. Las ecuaciones ( 6 ) y (7), fórmulas de Duhamel, expresan la respuesta de un sistema a la función de entrada V((p) en términos de la respuesta, experimentalmente accesible, a la función de Heaviside.
Ej e r c ic io s Verifique las transformadas de Laplace y las regiones de convergencia en los Ejercicios 1-13. 5 1. £ {cosh ztp} = — Re 5 > |Re z| 52 - Z 2 2.
£ {senh ztp] = — J-— -> 52 - z 2
2 sz 3. £ {(p sen zcp\ = — ------—— >
( í 2 + z 2 )2
Re 5 > |Re z| Re 5 > |Im z |
248
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
2
4. £ { 0 eos z<¡)} =
2
— Z , (s2 + z ¿ )¿
Re 5 > |Im z\
9 cy 5. £ { 0 s e nh z<¡)} = —------ — , (s2 — z 2 )2
Res>|Rez|
2
2
6. £ { 0 cosh z 0 } = —^ , \s ~ z ) 7.
sen z0| =
(s + w)
Re 5 > |Re z| Re(s +a;)> | Imz|
+ z2
8. £ { e ~ w
Re 5 > |Im z|
10. £ { 0 2 c o s z 0 } =
TTT^ ’ Re 5 > |Im z | (.s2 + z 2 ) J , 2z2 ~\~c2 11. JC{cos2 z 0 } = — —> Res>2|Im z| s(s2 + 4z2 ) 1 2 . jC{ / / ( 0 — a) sen z0} -
e~as —------- (z eos za + s senza), s + z2
Re s > I Im z I 13.
jC{//(0 — a) e o s z 0 } = —------ (s e o s za — z senza),
s + z2
Re s > I Im z I 14. Resuelva la ecuación diferencial U'\<¡>) + 3t/'(0) + 2 U{<¡>) = sen0,
C/(0) = U'( 0) = 0,
use transformadas de Laplace. 15. Resuelva la ecuación diferencial t /" ( 0 ) + t/( 0 ) = 0 sen 0 ,
t/( 0 ) = 0 ,
t/'( 0 ) = l .
Utilice transformadas de Laplace. 16. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales t/'( 0 ) = U{<¡>) - F ( 0 ) + sen 0 ,
t/( 0 ) = 0 ,
V\
F(0)=1,
con transformadas de Laplace. 17. Encuentre la transformada de Laplace de la solución general de la ecuación di ferencial 0 C/"(0) + t/'(0) + 0t/(0) = 0.
67
•
2 49
LA TRANSFORMADA INVERSA DE IV\PACE
18. Dé un ejemplo de una función spp que no sea de orden exponencial. 19. Dé un ejemplo de una función de orden exponencial que no sea suave por partes. 20. Si £7(0) es suave por partes y de orden exponencial, muestre que £ | j* £7(0) cty-J = i
£ { £ / ( 0 ) } + J [°
£7(0) d,
y use ésta para encontrar la transformada de Laplace de la integral seno
„., ,
Si(0) =
r* -------sen0 d(j). i.
Jo
0
Si £7(0) y £/'(0) son suaves por partes y de orden exponencial, pruebe las condiciones dadas en los Ejercicios 21-23, ya que el dominio de convergencia de incluye el semiplano derecho cerrado. 21. lím jE{C7(0)} = 0 S~> 00
22. lím 5 jC{t/( 0 )} = £7(0+ ) S~+00 23. lím s£{U{(¡))} = lím £7(0) ► 0 0— >00 24. ¿Pueden las funciones s
>
1
.
e
,./i
s' 1 ser transformadas de Laplace de funciones £7(0) que, junto con £7'(0) son suaves por partes y de orden exponencial? En los Ejercicios 25-27, pruebe que la convolución es distributiva, conmutativa y aso ciativa. 2 5 . U * {Vy + V2 ) = U * Vy + U * V2 26. U * V = V * U 27. { U * V) * W - £7 * ( F * W)
6 .7
La
t r a n s fo r m a d a inversa de
Laplace
En esta sección se estudiará una técnica muy poderosa para determinar la fun ción £7(0) cuando sólo se conoce la transformada de Laplace U(5 ) = £ { £ 7 (0 ) } ( 5 ) =
[ “ U(<¡>)e-* d<¡>
(1)
de esa función. Supóngase que £7(0) es de orden exponencial, con e~a
Jo
q>a,
250
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN U\ FRONTERA Y VALORES INICIALES
que es la transformada de Fourier de la función <¡>>0, 4><0.
90,
(2)
Como q > a, IP((¡)) I es integrable, se aplica el teorema integral de Fourier. Así que, en todos los puntos
1
PV
y/2ir o sea u(q +
t W = T27T T PV
2m
PV
q+i**
dt
u(s)es
s = q + it,
q —i*
<¡) > 0 .
(3)
Esta última ecuación es la fórmula de inversión para transformadas de Laplace. Se escribe £ ~ l {w(s)} = U((¡>) en todos los puntos <¡>> 0 de conti nuidad de U, y a U se le llama la transformada inversa de u. En particular, nótese que diferentes funciones continuas spp de orden exponencial tienen di ferentes transformadas de Laplace. Supóngase que se desea encontrar la transformada inversa de Laplace de una función univaluada w(s), R e s > a y además que u(s) se anula cuando s -> oo en ( para s = q + Re ‘e , q > a, I e *
+ # 0 eos e
o
si R °°, dado que
u{s)es
<¡>< 0,
(4)
J-Ti
(5 )
(a)
Fig u r a 6 .1 4 . ( a ) 0 < o ;( b )0 > o
(b)
6.7
•
251
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPACE
convergen a £ ~ 1 {w(í)| cuando R -*■ °°. Puesto que u(s) es analítica en Re s > a , la ecuación (4) se anula por el teorema de Cauchy. Así í/(0) = 0 si 0 < 0. Fi nalmente, el teorema del residuo señala que ¿7(0) =
2
Res w(j), si
0 > 0.
(6 )
Re s < q
Como la función exponencial es
Ej e m p l o 1 Encuéntrese la inversa de la transformada de Laplace u(s) = ------------------> \ ( * + l ) ( s + 2)
Re s > 0.
La transformada u(s) tiene polos en s = -1 y s = -2 . Con la fórmula del residuo en la ecuación ( 6 ), se obtiene
SOLUCIÓN:
t/(0) = Res_i
es
(AP (s + l)(s + 2)
= e- 0 _ e- 2 0 .
Ej e m p l o 2 Obténgase la transformada inversa de Laplace de la función . . 2s + 3 u(s) = ---------- > s2 + 4 SOLUCIÓN:
. Re s > 0,
Aquí los polos están en ±2z, así que (25 + 3 V 0 „ (25 + 3 V 0 — — f/(0) = Res2¿ ---- -------— + Res_2i s2 + 4 52 + 4
+ 3^
220 + f
4z + + 3 ) e -2út> 4Z —4z
= 2 eos 2 0 + "I sen 2 0 .
Ej e m p l o 3 Inviértase la transformada de Laplace -2 s
u (s) = —
T’
(5 + 3)2
Re5>0.
2 52
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INCALES
La ecuación ( 6 ) no puede usarse porque u(s) no se anula cuando s 00 sobre el eje real negativo. Sin embargo, el método utiliza do para obtener la ecuación ( 6 ) puede emplearse todavía. Al integrar
SOLUCIÓN:
j 0 - 2 )í u(s)eS(l> = ---------(, + 3 )2
sobre los dos contornos mostrados en la Figura 6.15, adviértase que para s = R eie, |e(
°° si (0 — 2) eos 6 < 0. Por el teorema de Cauchy, *(0 - 2 )í
1
2m
R-*™ h ,
(s + 3 ) 2
ds = 0
si 0 < 2 .
Para 0 > 2, el teorema del residuo proporciona el resultado 1
Í7(0) = -----27r¿
lím
r
gto-zh
ds Jy2 (í + 3 ) 2 ,g(0 - 2 )í = Res_ (0 - 2 ) e ' 3(0“ 2). (s + 3 ) 2 Por tanto, u(0) = (0 — 2 ) e " 3^ - 2 ^ H(
y
(b) F ig u r a 6 .1 5 .
(a)
Cuando se invierte una transformada de Laplace u(s) que sea multivaluada, se debe tener especial cuidado para evitar cruzar cortes de ramifi cación.
Ej e m p l o 4 Encuéntrese la inversa de la transformada de Laplace u(s) = — »
Re s > 0.
6.7
•
2 53
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPACE
El teorema de Cauchy indica que ambas integrales
SOLUCIÓN:
ds = 0 ,
2iri J a v/j -
donde 7¡ y y2 son l°s contornos mostrados en la Figura 6.16. Puesto que | g ( * - i )<¡>] = eR Q cos 6 -> o, cuando R -*■ °° si 0 cos 6 < 0, la función U(
C orte d e ra m ific a c ió n
F ig u r a 6 . 1 6 .
Para 0 > 0, nótese que la integral se anula cuando R círculo grande de y 2 mientras que 1
1
ds
27TZ « ■jr 1= ■ r■ , / j
f 2
< _L_ I 2 tt Jo
tt
°° en el semi
cos 6 d d ^ 0,
cuando r -> 0 en el círculo pequeño de y 2 . Entonces, f/( 0 ) = l í m R-+~
„ = lím K—
r—0
1
2iri
fi+zfi
,
—— ds
J l V J T
í 1 I
f—r
(27TZ
\-R
—
1
etrl> dt —
2m
yf \ t \e ~ i
t<¡> dt f-r _____ j-R
y/\t
Si x = -t se tiene U{(¡>) = lím
1
—
CR e~x4> dx 1 f°° ------------ --------
* Jr
V 5"
*
e x(t> dx
J°
y con la definición de la función gamma del Ejercicio 14 de la Sección 4.5, se tiene n i) _ ■
m
i
)
ns/0-
v^r0
254
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Ej e m p l o 5 Resuélvase el problema de valor inicial U”{
+ 2 wU'(
SOLUCIÓN:
í/'(0 ) = ~
■
Con la propiedad de la derivación de la Sección 6.6,
£ { t / " ( 0 ) } =íJE {1T (0)} - i - = s 2 £{U(
- -L 2w
o sea, £ { í / ( 0 )} =
S
—
= ■■■ w s + iv
IV
2iü(í + iv)(s2 + w2)
Por el teorema de inversión para transformadas de Laplace, t/( 0 )=
Res JC{í/(0)} (í) es
2
s<
0
asi que U(<¡>) = ~ e~ W , 4> + — 2iv 4zv
4- e~ ÍW0 -
4zv2
cos w<¡) ~ e~ W0 2zv
Ej e m p l o 6 L a ecuación de difusión térmica en una varilla semi infinita es BU c d2 U ---- = 0 9 31 dx2
( 7)
donde 6 es el coeficiente de difusividad de calor en la varilla, x es la por ción sobre la varilla, t es el tiempo y U es la temperatura. Supóngase que se dan las siguientes condiciones inicial y de frontera: U(x, 0) = 0, U{0,t) = c¥=0, lím U(x, t) = 0,
X-K»
0< x< °°, t > 0,
(8 )
t > 0.
Encuéntrese la temperatura U en cualquier punto x a cualquier tiempo t.
6.7
•
255
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPACE
SOLUCIÓN:
Considérese a x como parámetro y defínase £ { U ( x , t)}(s) = j
e~st U(x, t) dt.
Por la propiedad de la derivación, la ecuación (7) se transforma en í £ {t /}- t /( * ,0 ) = J c j ^ } = 6
—
£{U },
Cuando se intercambian las operaciones de tomar la transformada de Laplace y la de derivar con respecto a x. Como este intercambio puede no ser válido, se debe comprobar la respuesta y verificar que solucione el problema. Si :w = £ { [ / } , la ecuación diferencial es d2 u
5 , , i = — u, (9) dx2 8 donde se considera a x como la variable independiente y s como un pará metro. Las condiciones de frontera en (8) pueden reescribirse en la forma ( 0 , s ) = £ {u (0 , f ) } =
lím u ( x , s ) =
d tt =- -C ~ cce-*' e~std
o
lím U(x, t)e
Jo
d t - 0,
(10)
(11)
siempre que el intercambio de la integral y el límite sea válido. La solu ción general de la ecuación (9) tiene la forma u -
,
así que c t = 0 por la ecuación (11) y c 2 = c/s por la (10). Por tanto, £ { u y = ce~'J*fix/s, y puede utilizarse el teorema de inversión para las transformadas de Laplace, o el Apéndice 2, para obtener U(x, t) = c ( 1 - — f * /2s/i7 e - " 2 dv) . s/T
(12)
Al comprobar que la ecuación (12) es efectivamente la solución, nótese r Jo
que
e
dv = - — 2
por medio del Ejemplo 3 de la Sección 2.2. De esta forma se satisfacen las condiciones inicial y de frontera (8). Además, _
y ‘
c
9^
yjñbt
a2 fI _
ex
3^
“ 2v^5
g —x 2 /45 1
e ' x 'l4St = W í 3/2
"
9í '
2 56
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
Ej e r c ic io s Encuentre las inversas de las transformadas de Laplace dadas en los Ejercicios 1-10. Suponga que cada transformada se define en el semiplano Re s > a y b es real. 1.
^ (s + a)
2.
3.
5-----{s2 + a 2 )2
1
+ a)
(s
4 . ------1---(s + a)4
5 .— i s(s2 + a 2 )
1 (s3 + a3 )
7 . — --------
6.
5 s3 + a3
o
e ~ bs (s + a)3
8.
P~bs
p-b s
9 .— s2 + a2
1 0 .— --------s(s2 + a2 )
Use los métodos de los Ejemplos 3 y 4 para invertir las transformadas de Laplace de los Ejercicios 11-18. Suponga a, b > 0. 1 1 .— ,
Re 5 > 0
13. Log
,
14. tan-1 —> s
1 2 .— , V^ Re s > máx(a, b)
Re s > 0
15.
Log ^1 + —— ^ >
16.
Re s > 0
e~a'fs~ 1 7 . ----------, y/T
Re s > 0
19.
Re 5 > 0
Re s > 0
i 1 8 .— L o g ( l + s 2 ), 25
Resuelva la ecuación l2 ■ U(<¡>) = <¡>+ | sen (4> — í) U(t) dt.
20.
Resuelva la ecuación UU) = e - * - 2 í0 Jo
21.
eos {<¡> - t) U(t) dt.
Resuelva la ecuación integrodiferencial U'{(¡))+ í0 Jo
U(t )dt = e - a* ,
(j)>0,
dado que [/(0) = c(Y=0). Use transformadas de Laplace.
Re s > 0
6.7
•
257
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPACE
22. Encuentre la solución de la ecuación diferencial con retraso í/" ( 0 ) = í/ ( 0 - 1 ) -
- 1)
dado que £7(0) = 1 para —1 ^ 0 ^ 0 . 23. Resuelva la ecuación de convolución £7(0) = 1 + J * ( 0 - t) U(t) dt. 24. Encuentre una solución de la ecuación, de onda Un ~ o, Uxx , con condiciones iniciales y de frontera U(x, 0) = 0,
Ut(x, 0) = 0,
£7(0, í) = sen — b
,
U(b, t) = 0,
donde a y b son constantes fijas 25. Busque una expresión para la solución de la ecuación de onda Uft ~ Q UXXy
X, t ^ 0 y
en una cuerda semi-infinita, dadas las condiciones iniciales y de frontera U (x,0)=f(x), Ut(x, 0) = 0,
x > 0, x>0,
U (0 , t) = 0,
t > 0,
lím U(x, t) = 0,
t > 0.
X-*^o
26. Una cuerda finita, sujeta a una función de forzamiento f { x, t), satisface la ecuación de movimiento Ux x
\ Utt = f( x, t). a
Las condiciones iniciales U(x,0)=g(x),
0
Ut(x, 0) = h(x),
0 < x < L,
son funciones dadas, y la cuerda tiene sus extremos fijos: £7(0, í) = U(L, t) = 0. Use transformadas de Laplace para obtener una expresión para la solución de este problema. 27. Resuelva la ecuación diferencial parcial Ut = 8Uxx + n U x ,
t > 0,
x > 0,
dadas las condiciones inicial y de frontera U(x, 0) = 0,
x >0,
£7(0, t) = c(=£ 0),
t > 0,
lím U(x, t) = lím Ux (x, t) = 0,
X-*^o
co
t > 0.
2 58
CAPÍTULO 6
•
PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES
NOTAS SECCIÓN 6.2 Puede encontrarse un análisis más completo del problema de Dirichlet en el plano complejo en [A. págs. 237-253]. El problema de Dirichlet en el espacio tridimensional se estudia en la teoría del potencial; un clásico en esta área es [Ke]. La hipótesis sobre C/(0) en el teorema de Poisson puede desarrollarse substancialmente [Hf, Capítulo 3, y H, Capítulo 19].
S e c c ió n 6 .3 Un tratamiento del perfil de Joukowski se encuentra en [R, págs. 115-121],
SECCIÓN 6 .4 Un ejemplo de una función continua cuya serie de Fourier diverge en los nú meros racionales de [0, 27t] se encuentra en [ J , pág. 546]. Un teorema de Y. Katznelson [Studia Math., 26 (1966), 301-304] muestra que para cualquier conjunto S de medida cero, existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en ese conjunto. Recíprocamente, por un resultado de L. Carleson [Acta M ath., 116 (1966), 135-157], la serie de Fourier de una función continua converge excepto en un conjunto de medida cero. Se puede encontrar un aná lisis comprensible del problema de la convergencia en [Hf]. La integración y la derivación término a término de una serie de Fourier se pueden realizar, para obtener una serie de Fourier de la integral indefinida o de la derivada, si las funciones involucradas son suaves por partes.
SECCIÓN 6 .5 Frecuentemente se encuentran definiciones alternativas de las transformadas de Fourier. Todas las definiciones son equivalentes hasta una rotación y la am plificación por y/2ñ.
SECCIÓN 6 .6 En muchos manuales matemáticos pueden encontrarse tablas de transforma das de Laplace, una de las cuales está en el Apéndice.
SECCIÓN 6 .7 Una prueba de unicidad de la transformada de Laplace para funciones conti nuas puede encontrarse en [M, pág. 412], El desarrollo de una fórmula de inversión para transformadas de Laplace de dos lados se dificulta por su no unicidad. Cualquier fórmula de inversión para la transformada de Laplace de dos lados debe considerar la región de convergencia.
A 1 Tabla de mapeos CONFORMES
259
2 60
APÉNDICE 1
•
TABLA DE MAPEOS CONFORMES
Plan o z
Fu n ción del mapeo
P lan o w v / ■IS lS l:
1 - 2 1 + z
a
d ----- 1-----
. b -----1-----
v b
W w +
1\ _ ;Z ~ 1 1y z+ 1
w = Log /
*= I a | I w-a 1 ~a~ l 1 ~aw J
C
1
wmm \ a O 1
APÉNDICE í
•
261
TABLA DE MAPEOS CONFORMES
Plano z
Función del mapeo
Plano w
w= l
c
o
. b \
a
, = yr16 b
u
262
APÉNDICE 1
•
TABLA DE MAPEOS CONFORMES
Función del mapeo
Plano z
w = sen z Linea continua
y cosh/: J
y senh/: J
Línea discontinua
—■ l( sen j JY
“ (^ — eos;■V J
w — ez + 1 e2 - 1
ni
f
9
w0
—ni
d
b
a
Log
( N
Plano w
APÉNDICE 1
•
263
TABLA DE MAPEOS CONFORMES
Plano z
Función del mapeo
w= ni +z - Log z
mw- 2 V’1 +z +Log (l v i'TT7 +$
“ {y'z2- 1 +cosh *z]
Plano W
A 2 Tabla
de
TRANSFORMADAS DE Laplace
Dominio d e co n verg en cia
u(
e
z
sen z(j) eos z(p e wi^ sen z
sen2 z(p eos2 z
sen z
e
v
log (j) H(
r(z + i)/s'z+1 1 l(s - z) z/(s 2 + z 2 ). s/(s2 + z2 ) z l [ ( s - w ) 2 + z2 ] (s - w )/[(s - w ) 2 + z 2 ] 2s z/ ( s 2 + z 2 ) 2 (s2 - z 2 )l{s2 + z 2 )2 2 z 2/s(s2 + 4 z 2 ) (s2 + 2 z 2 )/s(s2 + 4 z 2 ) log[(s - w)l{s - z)\ tan z/s Í l o g ( l + 4 z2 /s 2 ) ¿y/ir/z es%^ [ \ — erf (s¡2 \ fz j ] (lo gs - y )/s, y = 0 .5 7 7 2 . . . e- “ /s
efl0( l - 2 a
\[w$> \pñ§
Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > Re s > e Re s > Re s >
0 Re z i Im z\ |Im z| Re w + |Im z| Re w + |Im z\ |Im z| |Im z\ 2 |Im z \ 2 |Im z\ máx j| Re z|, |Re tn|| |Im z| 2 |Im z| 0 0
Re s > 0
( s - a f 12 (2\ ^ )
e —a/s
R es > 0
v f 265
266
APÉNDICE 2
•
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
£ { w ( 0 ) } (í )
“ (0)
ea¡5
— -— cosh (2yfa)
Dominio d e co n ve rg e n cia
Reí > 0
y/T c ~a 2 /40
a
e -as/T
Reí > 0
------------s
Re s > 0
2\J-n2 9
1 — ------y /ir
;’a/2 y/ ■0
e
dv
Para una lista más extensa de transformadas de Laplace, ver [M, págs. 428434].
A 3 I ntegrales
de
LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN Las integrales de línea son una generalización natural del concepto de in tegral definida \b f ( x ) dx. (1 ) Ja En este apéndice se dará un breve desarrollo de las integrales de línea de fun ciones reales f( x, y) a lo largo de curvas spp en el plano Euclideano. El término integral de línea* es una designación desafortunada, ya que usualmente se evalúan las integrales a lo largo de curvas. Para entender lo que se mide con una integral de línea, recuérdese que la integral definida ( 1 ) se ob tiene al dividir el intervalo a < x < b en n subintervalos de longitudes Ax ¡ , A x 2 , . . Axn , luego se elige un punto x^ en cada subintervalo, y se evalúa el límite de la suma de Riemann 2 f ( x k ) Ax k k-\ cuando todas las longitudes Axk tienden a 0. Se puede llevar a cabo un proceso similar para una función real f( x, y) definida en una curva 7 suave del plano Euclideano: se divide 7 en n subarcos de longitudes de arco A s ¡ , As2 , . . As„ , se elige un punto (x/¡, yk ) en cada sub arco, y se evalúa el límite de la suma 2
k—\
f(xk,yk)&sk
(2 )
cuando todas las longitudes de arco A t i e n d e n a 0 (véase Figura A .l). * En inglés lin e integ ral, donde lin e sugiere siempre una línea recta. (N . de. T .)
267
2 68
APÉNDICE 3
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
f(x.Y)
FIGURA A . 1 .
Suma d e Riemann p a ra una Integral d e línea
De la misma manera en que la integral definida (1) puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f entre a y b, la integral de línea í f ( x , y) ds = J y
lím
2
m á x A s^-t-O
k
f { x k, y k ) A s k ,
(3)
puede interpretarse como el área bajo la gráfica d e / a lo largo de 7 . Puede mostrarse que si f es continua en la curva suave 7 , entonces el límite en (3) existe [B, pág. 301], De hecho, el límite (3) existe bajo hipótesis mucho más débiles (véase [S]). Las integrales de línea casi nunca se evalúan mediante la suma de Riemann de la ecuación (3). Los dos ejemplos siguientes muestran el procedimiento usual para determinar el valor de una integral de línea.
Ej e m p l o 1 Evalúe xyds Jy
donde 7 es el arco a lo largo de y = x 2 que va de ( 0 , 0 ) a ( 1 , 1 ).
SOLUCIÓN: Del teorema de Pitágoras (véase Figura A . 2 ), el cambio de
APÉNDICE 3
•
FIGURA A .2
269
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
L o n g itu d d e a rc o
la longitud de arco As que corresponde a un cambio en la variable inde pendiente de x a x + Ax es, aproximadamente, (A í )2 « { Ax) 2 + {Ay)2 . Si se dividen ambos lados por { Ax) 2 y se toma el límite cuando Ax tiende a 0 , se tiene
( £ ) ’ = '♦ (£ )’•
<4>
donde í(x) es la función longitud de arco que mide la longitud del arco a lo largo de la gráfica de y que va de (0, 0) a {x, x 2 ). Cambiando varia bles, se obtiene xyds = I y
xy y / l + {y'{x))2 dx
JO
Jo
1 y / l + 4 x 2 dx.
Al sustituir u - 1 + 4 % 2 y cambiar variables, se tiene 3
x 3\ / l + 4 % 2 dx = — {u — 1 )\ A du 32 -1! 1
u 5/2
Ti L
5
55/2 + 1 120
u 3/2 3
270
APÉNDICE 3
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
Si la curva 7 se describe en forma paramétrica se puede proceder como en el siguiente ejemplo.
E je m p l o 2 Calcular el valor de la integral de línea \fy~ds donde 7 es la curva paramétrica x = t — sen t ,y = 1 — eos t, 0 < t < 2 tt.
SOLUCIÓN:
Se reescribe la ecuación (4) en la forma ds \2 _ ( dx dt J
+ f dy x 2
\dt )
\dt
y se cambian todas las variables en la integral de línea a funciones de t para obtener y/y ds = í 7
-v /l — eos t yj{ 1 — eos t)2 + sen2 1 dt.
Jo
Al simplificar el segundo radical, se tiene 2 eos t + eos2 1 + sen2 1 = \ / 2 ~— 2 eos t.
Por tanto, al multiplicar los dos radicales, se obtiene ' y / y d s - y / z j * ' (1 — eos t) dt = y / Y ( t - sení)
= I sf ón .
El valor de la integral de línea fy f(x, y) ds para una curva 7 spp es in dependiente de la parametrización de la curva 7 . Cualquier cambio de pará metros en una curva suave está determinado por una función creciente t = t (T) con derivada continua que mapea al intervalo A < T < 5 en a < í < ¿>. Si se cambian variables y se utiliza la regla de la cadena, se tiene f f { x , y ) d s = I f ( x ( t ) , y ( t ) ) s'(t) dt
J7
Ja
f ^
=
¿/c
dt
f{x {T ),y {T ))^ ?L d T dt d T
= j A B f ( x ( T ) , y(T)) s'(T) d T.
APÉNDICE 3
•
271
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE OREEN
Ejemplo 3 Encuéntrese el valor de la integral de línea x 3 ds donde 7 es la mitad derecha del círculo unitario.
SOLUCIÓN: Para demostrar el hecho de que las integrales de línea son independientes de la parametrización, se usarán dos parametrizaciones diferentes de la mitad derecha del círculo unitario. Es importante que ambas parametrizaciones tengan la misma orientación a lo largo de 7 . (i)
Sea y = t y x = y/\ — t2 con —1 < í < 1. Entonces dy
dx dt
dt
.2
y /T 1
ds _
= 1.
dt
1
yj\ — t3
por lo cual I
Jy
x 3 ds = i
J —1
( 1 — t2 ) dt
l 3
(ii)
= 4
-1
3
Sean x = eos t, y = sen t con —7t/2 ^ t < 7t/2. Entonces ds
\/sen2 1 + eos2 1 = 1 ,
dt así que x 3 ds 7
í’ W2
, f sen 3■ ’A í eos t dt = sení —
J-n/2
ir/2 -ir/2
_
4 3
Hay otros dos tipos de integrales de línea de la función f(x, y ) a lo largo de 7 que pueden definirse. Si se reemplaza ASk por o Ayk en la ecuación (3), se obtienen las integrales de línea d e / a lo largo de 7 con respecto a x o y: I f{x ,y )d x = .'7
| f( x, y) dy =
.7
lím m áx A x ¿ -> 0
lím m áx A y ¿-> 0
2
k
f { x k, y k ) A x k,
2 f ( x k, yk ) Ayk . k
272
APÉNDICE 3
FIGURA
A.3 .
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
Proyecciones
Estas integrales de línea pueden verse como proyecciones de la integral de línea (3) sobre el plano xz o el plano yz, respectivamente (véase Figura A .3). La evaluación de estas integrales es similar a lo que se hizo anteriormente.
Ej e m p l o 4 Evalúe fy y (l — x) dy a lo largo de la porción y del círculo unitario en el primer cuadrante.
SOLUCIÓN: Al parametrizar a y como x = cos t, y = sen £, 0 < t < tt/2, se tiene f Jt
f77/ 2
y (l — x) dy = J
sen t ( 1 — cos t) cos t dt
o
1 — eos a t 3
1
2
eos 2 t
77/2 _
1
o
6
En las aplicaciones, a menudo aparecen integrales de línea en la combi nación í p(x, y) dy + I q(x, y) dx = | p(x, y) dy + q{x, y) dx, J7 Jy Jy
(5)
APÉNDICE 3
•
273
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
donde p y q son funciones continuas en una región D que contiene a la curva 7 . Cuando 7 es una curva cerrada simple y las funciones p y q tienen derivadas parciales continuas en D, existe una importante relación entre la integral de línea alrededor de 7 y la doble integral sobre la región G interior de 7 .
Te o r e m a de g r e e n Sea G la región interior de una curva 7 spp cerrada simple. Si p(x, y), q(x, y), 9p /9x, y dq/dy son continuas en todos los puntos de GU7 , en tonces , ap aq p dy + q dx = — ----- — dxdy,
h
j Je
\9x
9
yj
dado que la integral de línea se toma erí sentido positivo (contrario al de las manecillas del reloj) alrededor de 7 .
PRUEBA: Supóngase inicialmente que 7 tiene la propiedad de que cualquier recta paralela a algún eje coordenado intersecta a 7 en, a lo más, dos puntos. Se dibujan las rectas horizontales y verticales que circunscriben a 7 (véase Fi gura A .4). Entonces los arcos A B C y CDA a lo largo de 7 pueden definirse por medio de funciones de x, univaluadas, en el intervalo a Se denotan estas funciones por y = f i(x) y y = f 2 (x), respectivamente. Obsér vese que la integral de línea
Fig ura A .4 .
274
APÉNDICE 3
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
7
q dx =
J A BC
fb Ja
q dx +
JCDA
q dx
q(x,f,(x))d x-
[b Ja
q ( x , f 2 (x))dx,
ya que CDA se recorre de derecha a izquierda. Como la región G está delimitada por las curvas A B C y CDA, se tiene
G
9q — — dxdy =
b r/ 2 (x) 9 q
9 -y
a Jf,(x)
dy
q(x, y)
dy dx y=f7Íx )
dx
y=ft (*)_ "b
[ q { x , f i { x ) ) - q ( x , f 2 {x))\ dx.
Por tanto, 7
q dx-
^ dxdy. dy
J jg
Similarmente, los arcos DAB y BCD pueden definirse por medio de funciones univaluadas x = g ¡ ( y ) y x = g 2 (y) en c < y < d, con p dy
el c
P{g 2 (y), y) dy -
*£■ d x d y =
G
dx
í “
Je
¡S' b )
Jg,(y)
*
fd Je
p { g x {y), y) dy
dxdy
dx
p(x, y)
x=ff2 (y) x=g , ( y ) _
Figura A .5
dy - J
p dy.
APÉNDICE 3
•
275
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
Esto establece el teorema de Green para las curvas especiales que se han consi derado. El teorema de Green puede extenderse a las curvas que no satisfacen esta propiedad especial dividiendo la región G en subregiones G¡, cuyas fronte ras 7 i sí tengan esta propiedad (véase figura A .5). Aunque esta afirmación es intuitivamente clara en los ejemplos como el de la Figura A .5, requiere una prueba difícil que sale de los objetivos de este libro. Si se aplica el teorema de Green a cada una de las subregiones G¡, y se suman, se nota que la integral de lí nea a lo largo de los subarcos de 7 i no son subarcos de 7 se cancelan por pares, ya que cada subarco se recorre dos veces en sentidos opuestos. Por tanto, se
,iene
rí
r
¿G \9x
9y )
i
Jjg,-.\9íc
3y
dxdy
pdy + qdx Ti pdy + qdx.
Ej e m p l o 5 Evalúese la integral de línea (jc — 2 y) dx + x dy, donde 7 es el círculo unitario. Utilice el teorema de Green.
SOLUCIÓN:
Aquí p{x, y) = x y q(x, y) = x — 2y, así que dp/ dx = 1, dq/by = —2 y el teorema de Green conduce a (jc — 2y) dx + x dy =ff JJx2+y2 < 1
[1 — (—2)] dxdy = 37t,
porque el círculo unitario tiene área igual a ir.
Ej e r c ic io s En los Ejercicios 1-8, evalúe la integral de línea dada a lo largo de la curva que se indica. 1 . f 7 x ds, donde 7 es la recta y = x, 0 < x < 2 . 2 . f y x ds, donde 7 es la curva y = x 2 , 0 < x < l .
3. f y y ds, donde 7 es la curva x 2 = y 3 , 0
< 1.
4 . fy x 2 y 2 ds, donde 7 es el círculo unitario. 5 . fy (x 2 — y 2 ) dx — 2xydy, donde 7 es la curva y = x 2, —1 < x < 1 .
276
APÉNDICE 3
•
INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
6 . La integral de línea de 5, donde y es el círculo unitario.
7. f y xy dx + x 2dy, para y definida por x = 3t — 1, y = 3 t 2 — 21, 1 < t < 2. y2
8 * fy — — 1 +x
dx + 2y tan- 1 x dy, donde y es la curva cerrada * 2 / 3 +y2/3 = 1 .
9. Use el teorema de Green para evaluar el Ejercicio 6 . 10. Use el teorema de Green para evaluar el Ejercicio 8 . 11. Muestre que el área delimitada por la curva y spp cerrada simple está dada por 1i
2
xdy — ydx.
12. Use el teorema de Green para evaluar la integral de línea 2xy dx + (x 2 + y 2 ) dy donde y es cualquier curva spp cerrada simple. 13. Muestre que
Jy
pdy + qdx = 0
para cualquier curva y spp cerrada simple si p, q, bp/bx = bq/by son continuas sobre 7 y en su interior. 14. Sean (3c, y) las coordenadas del centroide de una región G delimitada por una curva y spp cerrada simple. Pruebe que x =
2 i - 1 x Ldy, y = ---y 2A
2A
y 2 dx
donde A es el área de G. 15. Muestre, utilizando la notación del Ejercicio 14, que Ay = fy xy dy. ¿Puede expresarse / 7 xy dx en términos de 3c? 16. Con la notación del Ejercicio 14, pruebe que '
( b 2F
le U
? +
b2 F \
,
,
[d F J , ~in
donde d F /dn es la derivada direccional de F en la dirección de la normal exterior a y. 17. Pruebe que ' b f bg b f bg' dxdy = / dg. g \3x by by bx
Biblio g rafía
Ahlfors, L. V. Complex Analysis, 2a. ed. McGraw-Hill, Nueva York, 1966. [B] Buck, R .C . Advanced Calculus. McGraw-Hill, Nueva York, 1965. [CKP] Carrier, G. F ., Krook, M. y Pearson, C. E. Functions o f a Complex Variable. McGraw-Hill, Nueva York, 1966. [H] Hille, E. Analytic Function Theory, Vols. I y II. Ginn (Blaisdell), Bos ton, Mass., 1959. [Hf] Hoffman, K. Banach Spaces o f Analytic Functions. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J ., 1962. [Ho] Hormander, L. A n Introduction to Complex Analysis in Several Var iables. Van Nostrand-Reinhold, Princeton, N .J., 1966. Q] James, R. C. Advanced Calculus, Wadsworth, Belmont, Calif., 1966. Ke] Kellogg, O. D. Foundations o f Potential Theory, Dover, Nueva York, 1954. [A]
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Respuestas a PROBLEMAS IMPARES
C a p ít u l o
l
29
* l * iy i • * 2 + iy i x 2 + iy2
x 2 ± 7y2 7.7
Xix2 + y ¡ y 2
------ 5-------5—
1 . 2 + i; —2 + i; 2i; y7 3. 5. 7. 9 .
*2
1 + 27; 1 ; —1 + i', 1 — i 2 ; 27; 2 ;7 7 + 7; 3 - 7; 10 + 5í; 2 - 7 7 - 7; - 1 - 37; 14 - 57; 14 - yy7
11. 5 + 47; 3 + 67; 9 + 7; 13. - 2 7 15. - 3 - 47
^ + ■§ 7
L j. i l 11 7' ■ ■Ji o + io f 19. - 1 0 2 1 . iz = ix — y
23. Si z2 =£0, entonces z 2z 2 = (longitud de z 2)2 ¥=0, pero z l z 2z 2 = 0 , asi que dividiendo ambos lados por (lon gitud de z 2 )2 se obtiene z t = 0. 25. Im ¿ i = —Im z 2 así que Im z ¡ z 2 = I m z 2 . (R e ^ ! — R e z 2 ) = 0. Si Re z ! = Re z 2 , entonces Re z t z 2 > 0. Por tanto Im z 2 = 0. 2 7 . ( * , - x 2 ) - i(y! - y 2 ) = ( * i - * yi ) - (*2 - íyi)
+y2
. x 2y , — x , y 2
!-------- 7------7— -
SECCIÓN
*2
+ y2
3 1 . (A + B )3 = A 3 + B 3 + 3A B (A + £ ) = —b + 3 ABw A B = \ / — — D 2 = —— > así que 4 3 w3 + aw + b = (w — A — B)(w2 + (A + B)w +a + (A + B )2 ) = 0 con (A + B ) 2 - 4 [a + (A + B )2] = —3 (A - B ) 2 33. Use las leyes de conmutatividad, asociatividad y distributividad de los nú meros reales para verificar que la suma y la multiplicación complejas también satisfacen estas propieda des. Las leyes de la identidad y del inverso se mostraron en el texto. 35. Suponga que z l y z 2 son, ambos, inversos multiplicativos de z. Enton ces z |z = 1 = z z 2 y z 1 = z j (zz 2 ) = (z jz )z 2 = z 2.
279
280
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
(z, + z 3 ) (zi - z 3 ) + (z 1 + z 3)
SECCIÓN 12
1. 1 ; -
(¿l — • z3)= l-zll 2 — I-Z3I2 ZjZ 3 + Z3Zi + I Zi I2 - I z 3 I2 +
+ 2nk;
2
Z3Z 1 -
tt + 2nk^j + i sen^
eos
3 . s¡2\ - + 2 ir k ;\ /2 4
+ 2irkj
eos |— + 2tt£
3 3 . I z x ± z 2 l2 = (z 1 - z 2 ) (z¡ ± z 2 ) =
+ ¿ senl — + 2nk
I zX I2 + I z 2 I2 ± ( z j Z 2 + Z2 Z¡ ) =
u
5 . 5 , tan - 1 (-5 ) + 27T& ^ 0 .6 4 3 5 + 2nk-, 5 [cos(tan “ 1 (-|) + 2nk) + !sen (tan _1 (■§■) + 27T&)] 7 . V53"; tan - 1 ( 4 ) + 2ttA; « 1 .2 9 2 5 +
27r£; V5¥[cos(tan- 1 (4 ) + 27T&) + ! sen (tan - 1 (4 ) + 2nk)] 9. \ /2 9 ; tan - 1 ( 4 ) + 2irk « 0 .3 8 0 5 + 2nk-,\/29 [cos(tan —1 (4 ) + 2nk) + í sen (tan - 1 (4 ) + 2lfk)] 11. 2 5 6 (—1 + i)
1
r- (
Tn
V
/—/
2 1 . v 2 eos 1
sen
1 9 tt\ 12/
7T .
7T
—+ * sen — 9 9 7 7T ~9~
+0
+ 27T así que
zk1 -z n
=0
para cualquier raíz n-ésima de la uni dad z¿ ya que zfj1 = 1. Como las n primeras raíces n-ésimas de la unidad son todas diferentes (ver Ejercicio 39) y el polinomio 1 — z " tiene exacta mente n raíces, una de las cuales es 1 , 1 + z + . . . + zn —1 debe te ner a cada una de las otras raíces n-ésimas de la unidad como raíz.
7ir
1
2nk
n —1
12
^ 2 (eos t i
3 9 . Iz ln (cos n9 + i sen nd) = zn = 1 = eos 2irk + i sen 2irk así que Iz 1= 1 y 6 = 2?rk/n. Pero
7T
eos — + 1 sen — V 12 12
v r2 l eos 19?r + 3
37. P(z0 ) = p f o ) = ó = 0
sen —
4r / 9?r 9tt V 2 I eos — + ! sen 19. v 2
3 5 . I z — a I2 = I z I2 + Ia I2 — 2Re za; II - azi 2 = 1 + la í2 Iz I2 — 2R eza, y 0 < (1 - Iz l2 ) ( l - I a I2 ) = 1 - Izl 2 - la I2 + la I2 Iz I2
zk+n
15. 2 12'( - \ / 3 + 0 +
Izx I2 + lz 2 I2 ± 2 Re z ( z 2
2li(k + n)
13. —2 18
17. $ 2 (eos |
z lz 3 = 0
3 1 . I z , I — I z 2 I = l(z 1 - z 2 ) + z 2 I lz 2 l ^ LZ X — z 2 I + Iz 2 1— lz2 l = I z¡ — z 2 I. Similarmente I z 2 1 — I Z x I < Izj - z 2 I
43. 0 < 2*
7 7T
(| ak |2 -
2| akzk IX +
| z J 2 X2 ) = S ¿ | a j 2 -
1 3 tt 1 3 tt\ eos — + * sen — - J
ir
23.
1 + i .
—1 + » \/2
1 —i V2
1 —i '
2 5 . Iz - ¡1+ Iz - l l = 2 ; 3 x 2 + 2xy + 3 y 2 - 4x + 4y = 0 2 7 . IIz — a l — Iz — 5 II = c 2 9 . I z , - z 2 l2 - I z , - z 3 l2 = [ I Zj I2 + I z 2 I2 - Z! Z2 - Z2Zj ] — [ I z 2 I2 + lz 3 I2 — Z2Z3 —z 3z 2 ] = - z 2 (z , - z 3 ) - z 2 ( I , - z 3 ) =
+ ( 2 * |z¿|2 ) ( V - -?*- 1****1 V ’ V Xk \zk \2 ) y haga X = Z k \akzk \/ Z k \zk \2
45 . |(1 - z) P(z) | > a0 - [(a0 - « i) | z| + (ai' - a 2 ) | z |2 + . . . + (an_ ! - a„) I z\n + an |z |n - 1 ] con igualdad si y sólo si z ^ 0 (véase ejercicio 36). R (l) ¥= 0 y |(1 — z ) ■ P(z)\ > 0 para los puntos restantes en |z |^ 1 .
281
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
SECCION 13
1 . abierto; acotado; simplemente cone xo 3. abierto; no acotado; no conexo 5. cerrado; no acotado; simplemente conexo 7. cerrado; no acotado; conexo, pero no simplemente conexo 9. abierto; acotado; conexo, pero no simplemente conexo 11. círculo Iz + 3 I = 2; rectas Im z = ± 1; parábola I2 I = Re z + 2; elipse I z + 1 ¡ + I z + ¿ 1 = 2 ; elipses I 2 — 1 1 + lz + l l = 3 y l . z — ll + Iz + ll = 2\¡2 13. Sean S i, . . ., Sn conjuntos cerra dos, entonces 6 — Sfc es abierto. Pero Sk) = - Ok Sk es abierto. 15. Si z e Ua Sa con cada Sa abierto, entonces z es un punto interior de al gún Sa . Por ende, una e- vecindad de z está contenida en Sa y, por tan to, en U^Sq,. 17. Suponga que la cerradura S es no cone xa. Entonces, existen conjuntos abiertos G y H tales que S C. G O H, G O H es vacía, y G O S y H O S son no va cías. Como S es conexo, está contenido en alguno de los conjuntos, digamos G. Entonces S está contenido en el conjunto cerrado 6 —H, así que S TT H es vacía, una contradicción, una contradicción:
n¿(e-
e
I22 + 2 — 2 1= 1(2 — l )2 + 3(2 — 1) [ < 5 (5 + 3). Sea 5 < 1 y elija 6 = 45. 11. I Re 2 — Re a I = I Re (z — a) I < 12 — a I< 5 = e así que lím. Re 2 = Re a z-^a 1 3 . l l — a l = l 2 — a l < 5 = e así que lím 2 = a. z-*a 15. lím Re f ( z ) = Re(lím f ( z ) ) = 2 ->a 2 ->a Re f(a ) 17. ll/( 2 ) l - l / ( B) l l < l / ( 2 ) - / ( B) l < e
23. f ( z ) =
25.
27.
1 . I 22 - 2 1 = 2 1 2 - 1 1 < 25 así que haga e = 25 3 . 12 + ¿ I< 5 así que haga e = 5 5 . 1(22 3) ( - 1 + 2¿) I = 122 - 2 - 2* I = 2 12 - (1 + t)l < 2 5 =e 2 -2
- 4
9.
czw +
dw = az + basí que
z = ^~ cw — a w a/c.
para 2
¥= —d/c y
42 + 41
-
3
I P(z) I > I a 0 I — [ I«i Ia„ ll ^ 0 en 12 I< 1
1. — i f y = ex (eos y + i sen y) = f x 3 . —i f y = eos x coshy — i sen x senhy
= fx
5. 5 4 2 2 - ^ + 4
32 + 2 1 ll
I +.
SECCIÓN 7.5
Iz - 2 1
2 —2 1 < 5 = e z3 - 1
es continua en
El punto —d/c se mapea en 00 y °° se mapea en a/c.
SECCIÓN 7.4
22 - 4
x2 +y2
6 — { o | por ser el cociente de funciones continuas con denomina dor no nulo, lím f(z) no existe por2 ->0 . que obtenemos 1 si nos acercamos sobre el eje real y —1 sobre el eje imaginario. Por tanto la función puede hacerse continua en z = 0.
19. 2 = 0 2 1 . 2 = °°. No.
7.
+2 + 1
23 - 1
lím lím ►±1 2 - 1 2- ± l 2 +1 4 , si z = 1 ; indefinido, si z = —1 2 1 . f ( z ) = z para 2 0 así que es con tinua en C — { 01 por el ejercicio 13. Como lím 1 = 0 defina^O) = 0 z *0 para hacerla continua en 6 .
19.
7.
(2
-
l)2
. . +
282
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
9.
If ( z + h) ± g ( z + fe)] - |f ( z ) ± g (z )] _
(y2 — x 2 ) + 2ixy 7. -ify =
h f(z + h ) - f ( z )
cosh
h
x 2 + y2
11- (P / Q)' = (QP' - PQ') / Q2
2xy + i (y
13. f x = lp e ro - i f y = 0
(x
ify
z ¥= 0,
y
_- -— -iy-
Iz I
> para
senh
lím ------ no existe, ya
real negativo. 17. f x = 2x pero —ify = 0 , así que tiene derivadas solamente sobre el eje imaginario porque
lím z- 0
(Re z )2
—x ) 2 \2
+ y 2)
—-------
x
+y
x 2 + y2 x 2 + y2
= f x se cumple
para z ¥= 0 , lo cual implica condi ciones suficientes para analiticidad en z ¥= 0.
z->0 z que tiende a 1 cuando z -> 0 sobre el eje real positivo y a — 1 sobre el eje
/'(iy ) = lím z-*-0
2 \2
+y )
g(z + h )-g (z )
h
15- fx =
(x
m
_ i * ' 2 tiene valor 1 sobre
el eje real y -1 sobre el eje imagina rio, entonces no tiene derivada en
f ( z + iy) - / ( i y ) z = 0. Pero u =
0 , ya que
I Re z l
y 3 — Sx2 y . v = - — -------- ^satisfacen
Iz I
l z l < 5 = e.
así que el teorema de la derivada nu la implica que / + / = 2 R e / e s cons tante y, por tanto, / es constante. 13. Las ecuaciones de Cauchy- Riemann conducen al sistema
21. Use la regla de la cadena del ejercicio 20
2 UUX + Uy = 0 Ux — 2UUy = 0 Sil + 4u 2 0 , entonces u* = uy = 015. Im / = 0 , aá que aplique el teorema de la derivada nula.
23. rvr = r(vx x T + vy yr ) = xvx + yvy = —x u y + y u x = —u g , yaque x g = - y y ye = x - similarmente para la otra identidad.
1. Ver la solución del ejercicio 1 de la Sección 1.4, y aplique el teorema sobre condiciones suficientes para analiticidad. 3. Ver la solución del ejercicio 3 de la Sección 1.4, y aplique el teorema sobre condiciones ^suficientes para analiticidad. 5 . —ify = 2 [ x cos(x 2 —_y2 ) cosh 2xy + y sen(x 2 — y 2 ) senh 2xy] + 2¡[ y co s(x 2 — y 2 ) cosh 2xy — x sen(x 2 — y 2 ) senh 2xy] = f x y aplique el teorema sobre condiciones suficientes para analiticidad.
ux = 1
- Vy, Uy = 0 = —vx en z = 0 . 1 1 . I m (/ + / ) = 0 y / + / es analítica,
19- fx ~ y pero —ify = 2y - ix, así que sólo puede tener derivada en z = 0 , en donde (, , zlmz = 0. / ( 0) = lím -----z ->0 z
SECCIÓN 1.6
3xy
17.
Si f
= f x = x , entonces/ =
g(y), pero / ' = - i f y = - i g
— + no es
una función de x.
SECCIÓN 1.7 1. - 1
e- 1 3- — y/2
(1+0
5 . —i 7. - i 9 . 2uk - i log 2 , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
2 83
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
La última identidad se sigue de la de finición de tan 2z. ' 21. Use las identidades eos z = eos x cosh y — i sen x senh y, cosh 2 y — senh2y = 1. 23. (ez + e~z )2 - (ez - e~z )2 = 4 , las dos últimas se siguen de la defini ción. 2 5 . (e2! + e ~z ¡ ) (ez 2 + e- 2 * ) + (e2i — e _2i )(e2 2 — e 2 ) = 2 (e2 > éz 2 + e z ‘ e z 2 )
1 1 . ±l,±¿ 13. —2 14 (1 + ») 15. —2 18 17. 2 1S¿ 19. —2 13 (1 + V 3 ¡) 21. Use la identidad de la solución del ejercicio 41 de la sección 1.2 para ob tener (n + 1 )x nx x sen ------------ eos — / sen — • 2 2 2 nx / sen —
-
'• (n + l)x 23. sen sen —
x
27. Use los ejercicios 20, 21 y 26. 29. Use la fórmula del cociente para de rivadas y el ejercicio 2,8. 31. Use el ejercicio 26 y la localización de los ceros de sen z y eos z. 33. Sume las definiciones de eos z y de i sen z. 35. El segmento de recta t '+ iy, I íl < 77/2 se mapea en la mitad supe rior de la elipse
25. Use el ejercicio 21 de la sección 1.5. 27. { e ~ n
=
oj-
29. f ( z ) = e2lrz
SECCIÓN 1.8
1 . i(e — e - 1 )/2
cosh 2 y
( e + e - 1) ( e - e - 1) 3. ---------------eos 1 + x -------------- sen 1 2
El segmento de recta x + it, t > 0 se mapea en la mitad superior de la hipérbola
2
(e + e_ 1 ) (e ) 5 . ---------— eos 1 — i -------------- sen 1 2
2
sen2 jc
7. ( e - 1 - e ) / 2 9. e2iz = i, así que z =
0.
15. e',z+ e~~*z = e~*z + e*z e*zi + e ~ ‘zi e*zi + e~*zi 17. ----------------------------------2
e‘z ¡
+
2
— e~a '
e izi
— e~'z*
2i
SECCIÓN 1.9
2i
e>zt é~*zi + e *zi „2 lZ
19.
e
— e
(el z + e ~ lz) 2 iz .
1 . i arg * = 2"^77 + ^7T&J
—2 IZ
2i
2
2i + e~
5 . *~arg¿ = e —irl2+2irk' * = 0> ±1>
„ —l Z \
\e
e
— e
)
2
—ÍZ\ 2
/ iz
= 0, ± 1 ,
±2 , . . . 3 . i arg(—1) = ¿(77 + 277/e), k = 0 , ±1, ±2 , . . .
ijz
=
1 cos2 ;c
que esté en el mismo cuadrante que el segmento de recta. 37. Use el mismo procedimiento que en los ejercicios 34-36 para mostrar que la franja 0 < x < 77, y > 0 se m a pea en el semiplano inferior. Enton ces considere la acción sobre la otra mitad de esta franja.
— + irk, k = 0, 4
± 1 , ± 2, . 1 1 . e2 = 2±V"3^ así que 2 = log I 2 ±\/3~l + 27Tki,k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . 13. No, porque ez
1 , for y > 0.
sénh2 y
-iz . o
±2 , . . .
284
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
9. e ~ n l 2 11. Para a real, no negativo, con/(O) = 1 si a = 0, y f(0 ) = 0 en otro caso. Entera para a = 0 , a T? 1.
S E C C IÓ N 1.10
tLog i•--
m’ pero tLog — 2
Log(—1 + i) = lo g V iF +
Er
s2 A
Re -J e íu,í
-1 - * ----------i
z —i 425. Si z = cosh w :±Í0W+ en . 2 . /2 donde tonces = z + (z¿ — li\l ) í/¿ la raíz cuadrada es bivaluada.
31. Seaz = cosh w, entonces 1
1 —J
A
eos
wt
(1 —r 2 ) A eos (wt — (3) r \¡\ + A ~ 2 r 2 eos Ct Entonces escriba cos(ieí — ¡3) = co: wt eos (3 + sen wt sen (3 y póngale en la forma A * eos (wt — y) eli giendo cot y = [( 2r — 1 ) \ /l + r4 — 2r 2 eos a + (1 — r 2 ) eos ¡3]
(1 — r2 ) sen (3 3.
1
d2E dx2
- f ( c t
d2E
+ X) = S J S
dw ~dz
C
dz
' 2 , dw (1 + tan w ) . dz
1 + — £ transmitida
2j
2 —
z + í
29. Siz = tan w; entonces 1 = sec w
* \
^
23. Sea z = cot w = i{eiw + e~iw)¡ (e’w — e~ iw), entonces
(1 —sen w) 1/2 dw
2 n=0
3m
27. Si z = sen w, entonces 1 = eos w
(1 — ——| E r d
.. así que T-Teílejada
>
19. log za = log(eal° s z ) = a logz ya que la exponencial y el logaritmo son funciones inversas. 21. Sea z = eos w = (e + e~^w)¡2, entonces e 2zw_ — 2ze*w + 1 = 0 tiene raíces e*w = z + (z2 — 1 )V 2 donde la raíz cuadrada mapea [ e —{o}] 2 e n e - { o } .
2 iw
= r A
Er
13. log lz x I + i arg z i + log lz 2 I + 1 arg z 2 = log \z1z 2 ¡ + i arg(z1z 2 ) 1 5 . a lo g z + b logz = (a + 5 ) l o g z 17. Log(—1 — i) = log \¡2
R e e iw\ = r s 2 A Re = r 3 s 2 A Re e ^ wt- 2^ .......... = r 2n- 1 52 4 Re
1. E r
a p ít u l o
2
dw dz
S E C C I O
N
2.1
1 . x = a eos t, y = b sen í =
dw , dw senh w — = (cosh w — 1 ) < — dz dz 33. zk¡ 2 mapea a [ 6 — { o } ] 2 en [ 6 — |ü |] ^ t para k — 1, 3 así que los espacios del contradominio son diferentes para z 1/ 2 y z 3^2 . Por tan to ( - 1)1/2 =É ( - 1 )3/2.
3. Por ejemplo, C t, o < í < i z(f) = j 2 - t + i(t - 1 ), 1 < f < 2 * í(3 - t ) , 2 < f < 3 2 + e»ír(í+2 ) 5. z(í) = i —í, —1 < í < 1 L—2 + zr(t+ 1 ) ^ j ^ ¿ ^ 3 7. (1 — 0 / 2 ; (* — l ) / 2 ; 1 9. iR2 i t ; - R 2 n ; 2 m R 2
285
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
11.
Haga z = e!í, 0 < t < — , en tonces ^ r -rr/2 y dz = i sen í ezí di =
—7r
z
T
"2
2?r
z '(í ) dt
2 tt
_
Use el rectángulo del Ejemplo 3 y la función f(z ) = e ikzJ { \ + z ). 13. Integre f{ z ) = sobre la fronte ra del rectángulo 0 AL x AL a, 0 AL y Aj b , y haga a -*■ °°. 15. Muestre que Ri
13. / ( z ) = y no es la derivada de una función analítica. 15. e{ - e 17. é - e 19. (cos a — cosh a)¡a 21.
11.
f rr/8
0 7r/8
R
g- R í cos2i
dt
o,
0
cuando R
00.
di
V (*'(*))*
j0
2 3 . 2 — rn; 2 + ni
SECCION 2.3 SECCIÓN 2.2 1. Haga z = etí para obtener-
t dt = 0.
ParaO AL arg z < 27T obtenemos—2 Ti 3.
BG
— dxdy
y dx + iy dy
15.
= -A ex
5. 0 . ai
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13.
Jo .
e
aeü
e
it
dx +
-Ia ¡y , dt — 1 e y dy,
Jo
donde e = e os t + 1 sen t, y con sidere la parte imaginaria de las dos últimas integrales. 7. Senz = sen* cosh y + zcosxsenhy, donde* = at, y y = bt, 0 ^ i AL T a
dz
9. 0 =
7
dy
0 (1 + a2 - y 2 ) + 2iay 0
dy (1 + o2 -
y 2) -
2iay
dx -a (l + x
21. 23.
dx
—a 1 + X2
1 + z*
rb
17. 19.
0 2 ni¡{b — a) 2ni cos 1 2ni sen 1 —2ni sen 1 —ni sen 1 Rompa la parametrización de 71 + 72 en dos partes. Use la desigualdad del triángulo y la propiedad (iy). Use I 1 + elt\= y / 2 ( l + cos i) Aplique la estimación de Cauchy a / y minimice el con M - (1 — resultado para todo 0 Aj r Ai 1 . Sea z = e*6 , 0 < 9 < 2'/T e iguale los términos imaginarios. La fundón es analítica en cada disco D, y la analiticidad es una propie dad local.
— ¿>2 ) + 2ibx
Multiplique numerador y denomina dor de la última integral por el com plejo conjugado y tome el límite cuando a °°,
SECCION 2.4 1. Muestre que es constante. 3. Aplique el principio del máximo a la F[z) definida en el ejercicio 2. Enton ces IF I Aj 1 en Iz I = 1 . La igualdad hace que F sea constante. 5. Sea f(z) = z y sea G el disco unitario abierto. 7. I/I=A 0 en la frontera de G, y si/ no tiene ceros en G, los principios del máximo y el mínimo implican que/ es constante en G.
286
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
3. Sea f { z ) - sen 2. Entonces f ^ n\Q) =
9. Por el teorema de Cauchy
ao IzKR zP(z)
0 , / (4n+1 )(0 ) = 1 , / (4n+2 )(0 ) = 0 , /< 4b+s)( 0 ) = - 1 .
dz = 2m.
5. Si f(z ) = senh z, entonces / ^ ^ ( 0 ) = 0 , / (4 n + l)(o) = 1( ^4*1+2) (0 ) = 0 ;
Cuando R -+ °° tenemos
/ (4n+3)(0) = 1 _
P(z)
"
lím R-*°°
= 1 así que para R grande,
anzn
I P(z) I
I anz n 1/2. Entonces 277 = üq
dz
IzKR zP(z)
47T|flc I
ün I R
— que con-
7. Use la serie geométrica del Ejemplo 2. 1 +
9. 1
—
8
—
(Z
—
1
t)
duce a una contradicción cuando R ■+ °°
SECCION 2.5
3. J rR
eztf( z ) dz
2 sup If(z ) I r* Jo
tR eos e n ,Q . \ „ c e R dd si a > 0. Sea
g (6 ) = eos 0 — (1 — 2 0 / 7t). En tonces g ( 0) = g(TT¡2) = 0 yg" < 0. Use eos 0 > 1 — 20 /tt para aco tar la integral y muestre que la cota tiende a cero cuando R "+ 5. Suponga que la trayectoria poligonal y — y' en la prueba del teorema de la antiderivada evita los puntos z j , . . zn . Si un número finito de los puntos excepcionales están dentro de cualquier subrectángulo formado por las curvas y — 7 ', aplique el ejercicio 4. Entonces aplique el teo rema Fundamental.
1-8
11.
£
88 = 0
13. — 2
(-ir
, \Z — 1\
—
sS
n=l
(2n) (i)n
iíL
1
n
<1
15. log I 2I+ 377Í-
00 / S ^ n=l
« 3 7T¿\n — í-, 2%
Iz - 2 e 3m I< 2 17. 19. 21. 23.
10
6 No f ( z ) = (2 — z )~1
25. /(z ) = 0 y g(z) = sen z son ambas enteras. 27. Desarrolle ea ^og(l+z) en una ser¡e de Maclaurin.
SECCIÓN 3.2
C A P ÍT U L O 3
SECCIÓN 3.1
13. [(1 - z ) - 1 ] ” =
+ . . . y cada grupo entre paréntesis excede a 14.
+
1. 3. 5. 7. 9. 11.
1- 1+\ +(t +7 )+(i +i +4+i)
8
2
+ íiz i'i
1 - i
1. Use el teorema de Cauchy para deri vadas.
—
0 1 1/3 /? /T R
£
(n + 1 ) (n + 2 ) z " , /? = 1
78 = 0
15. Integre la serie de Maclaurin de sen z/z para obtener
287
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
Í_ 1 \n r2n+1 — -— ---------------- . R = °° (2n + l ) ! ( 2n + 1 )
2 n =0
2
[Z ~
1 )”
17. f { z ) = a0 e o s z + ai sen 2 2 (—1 )nz2n / 2 2n (n !)2 n =0 21. Use las series de Taylor def(z) y g(z) centradas en 20para obtenerf(z)/g(z) 19. a0
2 -1 11.
9 n=0
r \™ —Z\
-
2
3
n=l
2
.
—n
+ Z
f ' ( z 0 )(z - z 0 ) + f " ( z 0 )(z - z 0)2 l 2 + . . g'( 20)(2 - z 0 ) + g ' ( z 0 )(z - Z 0 )2 12 + . . . Entonces divida numerador y deno minador por z — Zq y tome el límite cuando z -*■z 0 . 2 3 . \/E (1 - z ) / 2 (1 - z 3) 25. La serie de potencias para ezt es-en tera, así que aplique el teorema de Weierstrass. 27. Derive dentro del signo de integra ción ya que la serie converge unifor memente. 29.
— =
1 - zt
2
n=0
tg {t) 0
dt.
z + 2
cn zn , donde cn = c _ n y
2
2
cn =
-l
[&!(« + &)!]
¿=0 17.
2
n=0
c 2n+i (z 2n+1 + 2 2^ 1 ), donde
n+A
c 2n+l “
19.
2
\n=0
( - 1)
fc=0 k ! ( 2n + 1 + ft) !
(1 - z ) n
£ ( _ 1 )"( 2 - 1 )—(2M+1 ) n =0 ( 2n + 1 ) ! 2
(l-2 í)2
+ 2 n=1 (2 + 2)n+1
oo
15.
zn tn g(t) converge
uniformemente en 0 < t < 1 para Iz K 1. Aplique el teorema de Weierstrass y derive término a térmi no para obtener
/'(*) =
13.
( - l )n+1 c„(z - 1 )" donde
(-ir
SECCION 3.3 1 2
1. -
-
q - 0 , para n > —1 ,
l + 2 - 22 + 23 - . . . =
2 (—1 ) 2 n~ 0 3.
-
1
5.
2
n =0
-
21. 2
n~ 0
( 1 - 2 )
- ( n+1)
Cti
23. an
2 2 - 2" - 1 n-1
J_
4
c n(2 — 1 )
(2 [n/2 ] + 1 ) !
(!-,)» \
—^ 2m f*
f W - U S ) d$ n+l li-1=1 f’
eí(z s e n o - « 0 ) ^ 0
27T J _ w
£ n - —1
, donde
(_l)(n/2 ]
/ 1 - 2 \"
- 2 2 n =0 V 2
7, i
(2k + 1 ) !
k=q
2
y la parte imaginaria de esta integral es cero.
2 88
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
2
[z +
25.
n —0 2 ni
2 m—1 f7T
lzl= l
z
m—2n
1/2 y
7.
I sen
7t2 ( z - 1)2
(z + z - 1 )”1 dz _ jn+1
e m eos771 (6 ) dO. Por tanto
7T J - 7 T - ,m — l
eos (m — 2 ra)0 eosm 9 dd -
7T J —ti mN
8
i
( - l ) n (n + 2 )! (z - l)n
n=0
ra!
f ( z ) = -%• z3
1.
z = 0 , 00 son removibles, z = ±t son polos simples. 3. z = 0 es una singularidad esencial, z = o° es un polo simple. 5. z = 0 es una singularidad esencial, z = 00 es removible. 7 , (z + 1 ) e 1Hz- 1>l(z* + z 3 ) es un ejemplo.
13. Defina F (z ) = f f ( z ) en G + U 7 . 1 7 ( 5 ) en G - .
Entonces F(z)es continua en G = G + U 7 UG—. En G—tenemos F (z ) = u(z) —¿y(z) en donde f = u + iv. Entonces —iFy = vy (z) + (z) = (z) — ivx (z) = F x así que F es analítica en G - . Para cualquier z 0 dentro de 7 considere Iz - z 0 I < p interior a G. Divida los círculos en dos semicírculos y muestre por continuidad que
n _1n 2 n=l
2n (2ra)!
Ti+l n
2 ( - 1 ):
L(z) =
4!
9. Sea f = g27rI^/^ para cualesquiera enteros positivos p y q, y observe que / W ) 00 cuando í -*■ 1 .
SECCION 3.4
11.
8
2!
No.
n.
9 . C(z) =
71* ( z - 1 )*
F(z)
71=1
13. Sea k el orden del polo en 00 (k = 0 si oo es una singularidad removible), y aplique el teorema de Liouville a z — / ( ? ) . Singularidades esen ciales. 15. z = 00 no es una singularidad esen cial, ni puede ser polo de orden k ¡3= 1 , ya que entonces / ( z ) = zk (z), con fk analítica en 311, / no se omite el cero.
15. Si I zl = 1 entonces 71= 1 OO
-
( - 1 )” (2n - 3 )! (z - l ) n
7i=2
2 2("- l ) (ti - 2 )! ti!
Iz - 1 1< 1. No.
1
2
-4
71=1
71 *
1
OO
< 1 +
+ (4 - t ) +
1
2 7i = 2
71
ti(n — 1)
(3 - 3 ) +
■ • •=
2
así que siempre converge. Sin em bargo, derivando término a término se tiene O O Jtl 1 2 = _ i Log (1 - z) n- 1
SECCIÓN 3.5 1. Considere —L og(l — z). R = 1/2 3. Use —Iog(l — z). 5 . z 1/2 = 1 + y(z - 1) -
dz = 0.
Iz-z 0l=p z - z 0
que diverge en z = 1 .
C
a p ít u l o
4
SECCIÓN 4.1 1 . Res¿ / (z) =
—i
2
. R e s _ í / ( z ) = — í-
2
289
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
3. Res 0 f ( z ) = 1
z dz (a2 - b2) z 4 + 2 (a 2 + b 2 ) z 2 + (a2 - b2 )
5. Res 0 f ( z ) = —
2
—4 i sJl — o U2 a
7. Res 0 f ( z ) = — 2
z dz
9. Reskm f( z ) = ( ~ l ) k km 11. Resk n f ( z ) = 1 13. - 2 7 rí 15. 0. (Use el teorema del interior y el exterior.) 17. —2iri [Res_j-/(z), = m n 19. 0, ya que Res 0 f ( z ) = 0. 21. 7ri 23. 27T¿ [ R e s ^ tan z + Res_ Jr/2 tanz] = —4 ttí 25. Quite todos los factores comunes de P y Q. Entonces
a- b ) \
(* - »■)“ Qi \'
i
(z - r )\0+l
(z - r f \ Q j
(— aP\ así que Resr Í — P \' = \QiJ
\QJ
da f í P \' aP lím — - i (z- r) { ---- ) -------z - r dza 1 \ Q j Qi y, por inducción di a~ k r
= lím z -r
dz
5. t
Iz 1=1 (az — l)(z — a)
[(a — ib )z 2 + (a + ib)\n dz
n+1
Iz 1=1
y calcule el residuo en z = 0. 9. Use cos ib = cosh b y sentó = t'senh b.
SECCION 4.3 1. Haga a = 0 en el teorema de esta sección y evalúe el residuo de z/(z 2 + 2z + 2)2 en —1 + i.
(¿+l) ( P \
x 2 dx 3-
dza~ R (.
a+ b
y la — ó I
P
p
1zl=l
T
(x2 + a )
VQj
( k - a ) ^( —P \ik) ) ) = 0.
1 Re /27T¿ Res™
(z 2 + a 2 )2
5 . Re |27T¿ Res¿ (z 2 + 1)— 7. Im <27T¿ Res¿¿,
1
9.
SECCION 4.2 1.
i 4
Im j 2ttí
ze Res(l+¿)fe/V2 - 4— 4 z +0
+ Res (-i+i)b/s/2
f2w
Jo
-2
(z 2 + ó 2)2
z 4 + ó4
a +sen z dz
' JI lzl=l (z2 - l )2 - 4 az2 y Iy/a — yja + 1 1< 1 3 . —4 í
lzl=l
SECCIÓN 4.4 1. Use los residuos en x = ±1/2 3. Residuos en x ¡= 0 , 1/2, y escriba el numerador como \ sen 27tx
290
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
5. Residuos en x = 0 y x - bi de f ( z ) = e iz/ z ( z 2 + b 2 ) 7. Use f ( z ) = {e™ -
elbz)¡z2 sobre
el contomo de la Figura 4.5. 9. Use la identidad eos (A — B) — eos (A + B) = 2 sen A sen B e integre la función f(z ) = {e^A~ B'> 2 (z - a ) (z - b)
-
e i{-A +B))l
en donde A = m ( z - a ) , B = n(z - b) alrededor de un semicírculo de ra dio R al que se le añaden semicírcu los de radio r en a y b.
7. 3. Sea f(z ) = (z2 - 1) • (z 4 — 5z 2 + 5) y note que Iz 2 — 1 1 > Iz I sobre el semicírculo Iz I = R > 2 , x > 0 , y sobre el seg mento de recta z = iy, Iy K R. 9. 0. Multiplique la ecuación por z 2 + 2. 11. Aplique el principio del argumento a g(z) = / ( * ) 13. Elija cualquier punto z 0 interior a G. Por el ejercicio 12, / ( z 0 ) es inte rior a J{G) ya que todo punto en un disco suficientemente pequeño, cen trado en f ( z 0 ) tiene su preimagen en G. Ningún punto interior de G puede tener valor absoluto máximo ya que todos son interiores a f(G ).
SECCIÓN 4.5 1. Use el método del ejemplo 1. Para a = 0 resuleva directamente e in terprete la respuesta como un límite cuando a ->■ 0. 3. Vea la respuesta del ejercicio 1. 5. Resuelva directamente para a = 0, 1, 2. Interprete la respuesta para a = 1 como un límite. 7. Use el método del ejemplo 2. 9. Use f(z ) = za\og z /( z2 + b 2 ) e n la Figura 4.6. 11. Use f(z) = eíaz /senh z sobre un contomo rectangular j z : I x I < R, 0 < y ^ 2m } al que se le quitan semicírculos en 0 y 2m. Polo en 7Tt con residuo —i senh Tía. 13. Üse f(z) = e^/ c osh 7Tz sobre el contomo rectangular { z : I x I ^ a , 0 < y < l } . Polo en i 12 con residuo cos(a/2)/7T!. 15. Sustituya a u = x a y aplique el ejerci cio 14. 1). Sustituya x = b tan0 y haga 5 = 1. Esta sustitución cambia la segunda integral en la del ejemplo 2 .
C
a p ít u l o
5
SECCIÓN 5.1 i. e 3. z¥= 0 5. Cuadmplica el ángulo a 2 tt radianes. 7. Duplica el ángulo. 9. Haga z = r (1 + e i e ) y eleve al cuadrado n
d (“ . v) = b (x,y )
“ x uy vx vy
y aplique
las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 13. Mire el teorema de Liouville. 15.Existe un valor 6 y un e > 0 tales que Re ( e ^ f ’(z)) > 0 para todo z en Iz — z 0 K e.
SECCIÓN 5.2 SECCIÓN 4.6 1. 0 3. 0 5. (i) 5, (ii) f), (iii) 5, (iv) 6
1. ü<0 3 . 1zw — (1 + Í ) I 2 \ > \ ¡ 2 I 2 , Itu - (1 - t ‘) / 2 l > V 2/2 5. 3. La sustitución del Ejemplo 5 con duce a 16 (zw4 + 8tf 3 + 3w2 - 2 w + 1) = 0.
291
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
7. Sea w = exp(2íriz/(z — 2)). 9. Sea w = sen" 1 (iz2 ).
i y/z — 1 + y/2 w = ---------------------------y¡2 — 2 — i \Jz — 1
SECCIÓN 5.3
1. w = 3.
i- 1
2 —w uj
z + 1
2
z - 1- i
1 +í
- 4
1 +z
2
1+t-jz
5. No. No es analítica 7. ( 3 + 4 í ) / 2 5 9. (2 + 5 0 / 3 11. a; = ( - 2 + 4 0 (2 + 1)¡(5iz + 2 + 0 13. 2 - V 3 15. El
. z — (a — R) w - i ------------ -----' z — (a + R)
mapeo
mapea al círculo en el eje real. Así,
11. Suponga que fl y v son puntos rama de la superficie de Riemann de la transformación. Haciendo w = f ( z ) , entonces f ( z) = ( 2/( z ) - f l — v)¡ (fl — v) mapea al plano z en una su perficie de Riemann con dos hojas, y puntos de ramificación en ± 1. Escri biendo f(z) como una serie de L aurent, vemos que Z(z) = f (z) + V f 2 (*) - 1 es analítica en ±1 y es analítica o tiene polos simples en los polos de f(z ). Además, Z(z) de be tener al menos un polo simple ya que de otra forma sería constante, así que Z(z) es una función racional. Finalmente, muestre que Z(z) es de primer grado, de lo cual se sigue la respuesta. La segunda alternativa surge cuando v =
z-(a-R) z - (a + R)_
b
+a
(a — R)
+a
- (a+ R )
—a
lo cual implica que z * = (R2 /(z — á)) + a.
SECCIÓN 5.4
_ 2i 1 . w = — log 7T
3. w
1 + u) ------1 —w
1 +zJ
5. Vea el Ejercicio 9 de la Sección 5.1. Dentro de la cardioide. 7. La mapea en si misma invirtiendo la orientación 9. Primero recórrala hacia la izquierda 1 unidad y considere la raíz cuadrada con corte rama sobre el eje real posi tivo. Finalmente
SECCIÓN 5.5 1. Im (/4z4/ 3 ) = A Im (z4/ 3 ) = constante. El origen es un punto de estancamiento. 3. lm (A z* ) = constante o x 3 y — x y 3 = constante. El origen es un punto de estancamiento. 5 . V = w ' = 1 - 3 z 2 , así que \V\ = 1, 2, 4 en 0, 1 , i, respectivamente. w' = 0 cuando z = ± (3 )—1^2 . 7. V = 3 + 2iz, así que I V\ = 3 , V Í 3 , 1 en 0, 1, i, respectivamente, w = 0 cuando z = —Si/2. 9. y + Sx2 y — y 3 = constante; y + 2 ( x 2 — y 2 ) = constante; 3y — (x 2 — y 2 ) = constante; eos x senh y - constante.
1 1 . e w = (z ± s f z 2 — a2 )¡o así que arg [(z ± y /z2 — a2 )¡a] = cons tante 13. Las líneas de corriente son hipérbo las confocales
e o s 2
V
a 2 sen 2
1,
2 92
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
v = constante. Para v = 0 , 7T ob tenga el flujo en los bordes de la abertura, pero este flujo no es reali-
dx 0 \ 4 (i - * 2)
, _ . 1 dz zable físicamente porque — = ------ = V dw a senh w - a \lcosh 2 w — 1 a2 , así que I V I es infinito en z = 15.
V - w = .4(1 que, para z
a /z ) así
= ae'^ obtenemos I V (ae*®) I = -2i6 \i _ 2A I sen 6 I. Pero A(1 2v42sen2 0 P
dt
’i
r(-í) r(T)
0 í 3/4 V i - f
2 r (3/4)
5. tu = (1 — 2¿:) \¡z — z 2 — (sen- 1 (2z - l ) ) / 2 - tt/4 7. Use las identidades r(-g-) T(3/4) = 7lV íF y r ( - j )2 = 7T. Entonces tu =
"2 (z - 1)3/4 dz 0
VT (x - 1 )3/4 dx
P
lo cual implica que - 3 /4 r ( f ) r ( 7 / 4 )
= t ^ + y > [ l - 4 s e n 20 ] . P
m P
2 p (c
Si A 2 >
A
y
6 = +7T/2,
3p
( - 1 )“
T(9/4)
1 2 ttV ^
5r(T )2 9. Haga s = (z - a)¡z y considere el mapeo
hay cavitación.
\/-t —a
dz.
V-zfc - 1 )
SECCION 5.6 1. Im \/¡ü 2 + 1 = constante, son las líneas de corriente en el plano w. 3. Claramente mapea al semiplano su perior en un cuadrado, ya que
J°
i
v 4 (x 2 -
fl
r
J 0
1 1°
dx
—=
y x { \ —x 2 )
—1 0
1)
dx \/x{\ — x 2 ) d ( —x)
%/(-*) (x2 - 1 )
Haga x 2 = t, use la integral del Ejem plo 4 y T (x) T(1 — x) = 7r/sen 7rx para obtener
SECCIÓN 5.7 1 . f = (z - V 3 ) / ( z + V 3 )
mapea la región en el anillo (\/3 — 1)1 (y/3 + 1) < I f I < 1. Las líneas equipotenciales en el plano f son círculos I f I = constante, así que las líneas equipotenciales en el plano z satisfacen I z — y/3 I / I z + %/3l = constante.
3. u = y -
-
7r
Re (sen- 1 ez )
1 1 + sen(7K/2) 5. u = — Arg -------------------7T 1 —sen(7K/2) 7. Sea z = cosh f y w = A (cosh f — ¿a). El primer mapeo genera una fa milia de elipses confocales y una familia de hipérbolas confocales.
293
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
SECCION 6.2
SECCION 5.8
Integre ambos lados del teorema del Valor Medio de la Sección 6.1 obte-
1. V es real sobre los bordes del recipien te, la rapidez es igual a ± 1 , pero en direcciones opuestas, y es constan te en las líneas de corriente libres. Cuando V (0 ) es puramente imagi nario obtenemos la hodógrafa
W ( + 1)
0
niendo w(f) =
'R
2“R (f) 2
fR f27T u(¡¡ + re ) rdrdd Ti 77/?“ JO JO 1
W(-1)
grad u = / ' , en donde / = u + ¿y con v cualquier armónica conjugada de u. Use g(z) = (z 2 - z 02 )/(z 2 - z 02 ).
W( o
Entonces u(z) = -----2772
con W = A / V = A/w (z): Enton ces, considere la sucesión de mapeos z i = 2 Log W + Í7r z 2 = sen(z'z1 / 2 ) f = -
7T
1. 0 = Re(e2 ). Verifique que se satis face la ecuación de Laplace 3. 0 = Re(z3 ). Verifique que se satis face la ecuación de Laplace 5. f ( z ) = sen z; entera 7. No. 9. v = tan "’1 (y/se) + constante. 1 1 . zs = —y l[ (x — l )2 + y 2 ] + constan te 13. Considere la parte real de log /(z ).
1
-> — 277
2rr 0
27r 0
f27r
/
log Jo
+ 2r eos 9 Id6 6\
2 eos — ) d6 y V 2/
0
log eos — dd = 2 d ri< logsen —e¡0 = 2 logsen 0 e¡0 2 Jo
u (tí)
u(t)
t2 + z 2 |2
lt 2 - z 2 | 2
dt
uA eie) = o.= u ieie) y uA reie) a ^ u(rel®) por el principio del máximo. Por tanto, por el ejercicio 8, para r < k
log I 1 + relS I dd =
1 f 2 7r — log 11 + r 477 J 0
(í 2 - ¿2:
Si u(z), U{z) son dos soluciones del problema de Dirichlet, que son con tinuas en G , entonces U(z) — u(z) es armónica en la región G simple mente conexa y continua en G. El principio del máximo implica que U — u alcanza su máximo y su míni mo en 9G. Pero U — u = 0 en 9G, así que u es única.
SECCIÓN 6.1
f Jo
u(f)
■d f =
(f2
Log z 2 - i.
I J 3G
4scy
2 f(¿
C a p ít u l o 6
15. — 277
rdr
11
0
r
cuando r -> 0+. Puesto que k puede hacerse arbitrariamente pe queña, u no es continua en 0. Use la fórmula integral de Cauchy para /(z ) y la identidad 1
2 tt
277 J 0
e¡0 = 0 . z - f
13. Sume y reste 1
“ (0 ) = —
f 2 tt
2772 J o
¿t u(f)^f
294
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
y aplique las técnicas del teorema de Poisson. d(t — x)
1 15. u(z) = -
77 J - 1
1 —77
arg
para 0
(í - x ) 2 + y 2
-------\z + 1
arg z <
/
-- -1 arg
77
z-1 z + 1
77.
5. Fuentes en ±¡, sumideros en 0, °°, todos de intensidad Q, y puntos de estancamiento en ±1 y °°. Las líneas equipotenciales están dadas por I z + 1 /z I = constante, las líneas de corriente por arg(z + 1 /z) = cons tante. 7. Sumideros de intensidad 277 en ± 1, ±i, y fuentes de intensidad 477 en 0 y ±(1 ± í) y o° son puntos de es tancamiento. Las líneas equipoten ciales satisfacen 1
constante, mientras
SECCIÓN 6.3 1 . u(z) 2
-
77
Arg
3 . w(z) -
(«o + Mi ) + («0 -
que las líneas de corriente están da das por arg (22_ i / 2 2 ) = constante.
M i) •
(i-z -----\ l
+
Z
— log -----277 Z
• Familia de
9 . Sea w = ------ log 277n -P
círculos que pasan por i y 0.
27771
z r ^ lr 1+ —
( log
V
rn
11.
iv = W2
w= z- 2 z + 2
p la n o
z
p la n o
iv
~P
1
295
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES A /_,
SECCION 6.4 1 . c0
2 kj)en^
/ z"x 2 Re I í 2 — j = \ n= 1 n /
7T+
SECCIÓN 6.5
7T + 2 Re [ —¿L og(l — z)] =
1 . (tt/ 2)i/2 e_blíl
77 + 2 Arg (1 — 2 ).
3. 5. 7. 9.
3 . u(re'®) = — +
2 r2”+^ (2 n + 1)0 n =0 2n + 1
2
5. Sea /(z ) entera y acotada por M. Por la identidad de Parseval
0
(?r/2)1/2 (1 - b I fl) e ~ b u '¡2b e“ í,/4A/yTft -í(7T/2 )1'2 tanh (ttí/2) u(f) = (1 —í signof)/2 lfl1//2. Haga t = s2 y compare con el ejercicio 15 de la sección 2 .2 .
1 1 . — !—
í
£ - “ <*>
U(tp)V(tp) dtp =
V27T 1
277 2 r 2 n \cn ¡2 = 71= 0
f*277
n i _ i , k i ..........
( ni, . .
*/=o
= 7r, cn = i/n así que u(z) =
V(tp)'
\/2n 7 1
I/(re*0 ) I2 dtp < 27TM2 ,
u(t) e *í0 <¿f ) dtp =
V27T *
por tanto, I cn I ’í M /rn -*■ 0 cuan do r -*■ Entonces cn = 0 para n > 0 y f ( z ) = 2 „ c „ z " = c 0 , una constante. 7. Sea /(re*0 ) = 0 2 - 2770 en la identidad de Parseval, obteniendo c0 = —27T2 /3, c„ = 2/n 2 para n > 0 9. c 0 = = . . . = c „ _ i = 1 , las otras cn - 0 así que de la identidad de Parseval se tiene
2
2 ti
r2A = í
o
renit> - 1
Jo
re*0 — 1
L | - . „ { v 277 J-°°
F(0)
■
t
e ‘ (t—x)4> d(j) j
1 u(t) v(t — x ) dt. \ /2 t7 Entonces haga * = 0. Para la segun da parte sea V = U.
SECCIÓN 6.6
2
dtp.
1.
cosh ztp e ~ 50 dtp =
Haga r = 1 para obtener 277
27771 = 0
e7ii*>/2 _
[e-(*-*)'#> + e-(r**) 0 ] d(¡) =
e -n ¡4 ,¡2
e*0/2 _ e—*0/2
1
2
•2 - /sen n0 / 2 \ 2 ri0 dtp = Al 2 0 \ sen 0/2 / 11.
Sea A = A i • A 2 ' . . . • Ay, k = k i N 2 • . . . • Ay + k 2N 3 • . . . ' Nj + . . . + k j , y n = nyAy_! • . . . • A i + . . . + n 1 , entonces defina en forma recurrente c<'> ( « i , « 2 ........ n [ ,k [ + 1 l
n ekl+iNl+i- ■■Nj nmNm -i-
771 =
1
kj) =
Ls — z
1 + ----s +z
con Re s >
Re z, —Re z 3 . --- jC | s e n z 0 }= ------ (z(s2 + z 2 ) *) ds ds por la ecuación (3). 5. ---- £ {senh ztp\ = ds
■ -A ,
ds
(z(s2 - z 2 ) - ' )
296
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
7. Por el primer teorema del corrimien to £{-ly 0 sen z
X U (t){^X 1 V {s )W ( x - t - s ) d s )d t U *(V *W ) haciendo s =
,2
£{sen z>| = £-[>2 sen z(p}
9. — ds
por la ecuación (3).
1 1 . cos 2z
cuentre £ { ( 1 + eos 2z
£{#(> - a) cost al = e ~ as £ { c o s z (0 +ay> y co s z(<¡> + a) = cos z) =sen(/> + (0sen (/>—>2 cos 0 ) / 4 17. £ { [ / } = 1/(0+) (r 2 + 1)- 1 / 2 , que es la transformada de U - U (0+) J 0 ((/>), con J 0 la función de Bessel de or den cero. 1 9 . U(
I £ { [/ }!
M I e~ s(p I d<¡) +
N
d<¡> -
(Rer—a)í>
1
+ N
M
Re s
1 .
\/Sa
cos
\/3s
V3a
/3a2
9 . sena(<¡> — b) H((¡) — b)/a
11.
2/3 /r(l/3)
13. (e 60 - ea4,)/
2 1. {[a
+ c{a + 1 )] cos
Re s
d 2a x-
0 , cuando s ■+ 00
s- w
a2
Usando el método de variación de parámetros de las ecuaciones dife renciales obtenemos
23. -sep
u(x,
s) = Clesx/a + c 2 e~sx/a x ñ y )sen h ± ^ y } 0 a
U'{
dy
con condiciones en la frontera U'(4>)\ lím e 50 0 U ^ 0+
; lím
{/(>)
25. Como las integrales son operadores lineales obtenemos el resultado. 2 7 . (U *V )*W = C4>
« ( 0 ,s ) = 0,
(p~*oo
U(t)V((¡) — t)dt\ W{x — <¡)) d(j)
V {6 - t)W{x -
lím u(x, s) = 0 . Por tanto, c 1 = c 2 - 0 , así que '
U(x, t) =
£ —1 í — 1 T / ( y ) senh a JO
27.
d2u d x2
¡l du s —+ — — — — u - 0 tiene la S
dx
S
297
RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES
solución
l + 4 y dy
u = Ci g(-M+\/MJ+4i6x)/26 +
(13)5/2 _ 4
C2 e ( - n - \ f ¡ j ^ + ^ s í x ) ¡ 2 5
(13)3/2 -
A.
81
con las condiciones en la frontera
5 .-1
m(0 ,s) = - , lím u(x, s) = 0 . Por tanto, cj ce
20
7. 148. 75 9. 0
= 0 , c2 = —c/s y
-IJx/28
11. Por el teorema de Green
(- x ¡ s / Z )\/s + ¡A /46 jcdy —y<¿>c =
así que por el teorema de convolución y el primer teorema del corri miento
-H L U - ( - l ) ) d j c d y = ¿ 13. Por el teorema de Green
ce-nx/26 £ { ! } £
pdy + qdx = 2
g- ( M 2 í + x 2/ f ) / 4 6 ip x -
Entonces, u (jc,
í) =
9y)
=
ce- W 2« 15.
t - 3 / s e - ( M 2f + x 2/ í ) / 4 6
-4
y 2d x = A y Jy
in
=-ÍL
xdxdy =
A P É N D IC E A.3
1. 2 \/2
—1 J
x 2 dy = —A x
11
ÍNDICE
Con el número que se anota en cada término se indica la página en que éste se define. Abel, teorema de, 111 Abierto, conjunto, 21 Absoluto, valor, 9 Acotado, conjunto, 21 Acumulación, punto de, 20 Aditiva(o) identidad, 2 inverso, 2 Aislada(os), 105 singularidad, 121 Amplificación, transformación de, 167 Amplitud, 54 Analítica continuación, 125, 127 función, 32 global, función, 129 Antiderivada de una función analítica en un disco, 92 teorema de la, 94 Apolonio, círculos de, 224 Arco de Jordán, 62 longitud de, 78 simple, 62 suave por partes (spp), 62 suave, 62
Argumento, 10 principio del, 156 Armónica, funciones, 207 Asociativas, leyes, 2 Bemoulli, teorema de, 185 Bessel, función de, 121 Bidimensional, 178 Bilineales, transformaciones, 205 Binomial, teorema, 8, 108 Biyección, 25 Cadena, regla de la, 33 Calor, flujo de, 194 Campo, axiomas de, 2 Cardano, 1 Cargas, sistema de, 196 Carleson, L ., 258 Cauchy convergencia de, 146 estimación de, 86 fórmula integral de, 80 teorema de, 72, 96 teorema de, para derivadas, 82, 97 valor principal de, 146 Cauchy-Goursat, teorema de, 90
299
3 00
ÍNDICE
Cauchy-Riemann, ecuaciones diferenciales de, 34 Cavitación, 185 Cerrado(a) conjunto, 21 curva, 62 Cerradura (de un conjunto), 24 Circulación (del campo), 179, 196 Compleja, exponencial, 4 Complejo(s) conjugado (véase Conjugado, complejo) números, 2 plano, 5 potencial (del flujo), 180, 194, 196 Complemento, de un conjunto, 20 Condensador, 201 Conductividad térmica, coeficiente de, 194 Conductor (contornos), 197 Conexo(a) conjunto, 21 múltiplemente (región), 79 simplemente, 23 Conforme, mapeos, 161 Conjugada(o) armónica, 208 complejo, 6 Conmutativas, leyes, 2 Continua, función, 27 Converge (una serie), 101 Convergencia radio de, 110 semiplano de, 241 uniforme (de series), 108 Convergente, absolutamente, 101 Convexa, región, 166 Convolución (de funciones), 246 Corriente función, 180 líneas de, 180, 195 Corrientes libres, líneas de, 202 Corrimiento primer teorema de, 243 segundo teorema de, 243 Coseno, función, 44 Cruzada, razón, 172 Chorro, flujo de, 204 De Moivre, teorema de, 13 Derivación de Laplace, propiedad de, 245 de la transformada, 245 Derivada de una función compleja, 32 por un lado, 232
Derivada (Continuación) nula, teorema de la, 38 Dipolo, 225 momento del, 225 Directriz, 16 Dirichlet el problema de, 212 integral de, 77 Distributivas, leyes, 2 Diverge (una serie), 101 Doblete (puntual), 224 Dominio, 21 Duhamel, fórmulas de, 247 Electrostático, campo, 196 Elementos, 125 Elipse, 15 Enestrom-Kakeya, teorema de, 19 Entera, función, 32 6 -vecindad, 19 Equipotenciales, líneas, 180, 196 Esenciales, singularidades, 122 Estacionario, 178 Estancamiento, puntos de, 181 Estela (en un flujo de fluidos), 202 Estereográfica, proyección, 23 Exponencial compleja (véase Compleja, exponencial) orden, 241 Exterior ángulo, 187 conjunto, 20 de la curva (región), 63 Extremos (de una curva), 62
Fase, corrimiento de, 54 Fijos, puntos, 170 Fluidos, flujo de, 178 incompresible, 178 Flujo como chorro, 204 de calor, 194 estacionario, 178 irrotacional, 179 Foco, 16 Fourier coeficiente de, 229 ley de, 195 serie de, 229 teorema integral de, 237 transformada de, 237 par de la, 237
301
ÍNDICE
Fraccional lineal, transformación, 166 Frecuencia, 54 Fresnel, integrales de, 77 Frontera (de un conjunto), 20 Fuentes (o sumideros), de potencia, 221 de una región, 179, 221 Fuerza, función (véase Función fuerza) líneas de, 190 Función analítica, 32 analítica global, 128 armónica, 207 compleja, 24 continua, 27 corriente, 180 de Bessel, 121 de Heaviside, 240 de transferencia, 247 entera, 32 fuerza, 196 gamma, 131 hiperbólica, 46 holomorfa, 32, 59 impulso, 150 meromorfa, 122 multivaluada, 48 potencia, 50 potencial, 180 regular, 59 Funciones trigonométricas complejas, 44 Fundamental, teorema, 95
Imaginaria (Continuación) parte, 5 unidad, 5 Impulso, función (véase Función impulso) Incompresible, 178 Infinito, 23 punto al, 23 Intensidad (de una fuente vórtice), 222 Interferencia efectos de, 54 franjas de, 54 Interior, 20 de la curva (región), 63 y del exterior, teorema del, 136 Inversión fórmula de (para transformada de Laplace), 250 transformación de, 167, 237 Inyecciones, 25 Irrotacional, flujo (véase Flujo irrotacional) Isotermas, 195 Jacobiano, 165 Jordán arco de, 62 curva de, 62 teorema de la, 63 Joukowsky, perfil de, 22 Katznelson Y ., teorema de, 258
Hadamard, fórmula de, 110 Harnack, desigualdad de, 218 Heaviside, función de (véase Función de Heaviside) Hipérbola, 17 Hiperbólicas complejas, funciones, 46 Hodógrafa, región, 203 Holomorfa, función (véase Función holomorfa)
Lagrange, identidad de, 19 Laguerre, polinomios de, 98 Laplace ecuación de, 207 transformada de, 241 de dos lados, 240 Laurent serie de, 116 teorema de, 116 Legendre, polinomio de, 85 Lemniscatas, líneas, 223 L ’Hospital, teorema de, 114 Límites, 27 por un lado, 232 reglas de, 28 Línea, integral de, 64, 267 Liouville, teorema de, 87 Logaritmo, 47 Looman-Menchoff, teorema de, 59
Imagen, conjunto, 25 Imaginaria, 5
Maclaurin, serie de, 104 Magnitud (véase Módulo)
Gamma, función, 131, 155 Gauss, 1 ley de, 196 teorema de, del valor medio, 86 Geométrica, serie, 102 Gradiente, 195 Green, teorema de, 71, 273
ÍNDICE
Mapeo(s), 25 conformes, 161 Máximo, principio del, 87, 210 Maxwell, ecuaciones de, 58 Menchoff, 35 Meromórfica, función, 122 Mínimo, principio del, 88 Mittag-Leffler, teorema de, 131 Mobius, transformaciones de, 205 Módulo (o magnitud), 9 Monodromía, teorema de la, 128, 131 Monogénica, función, 59 Morera, teorema de, 83 Múltiplemente, conexa (véase Conexa, múltiplemente) Multiplete (puntual, o multipolo), 228 orden de un (véase Orden de un multiplete) Multiplicativa(o) identidad, 2 inverso, 2 Multivaluadas, funciones, 150 Multivaluado, argumento, 48 Natural, frontera, 130 No acotado, conjunto, 21 Noshiro-Warshawski, teorema de, 166 Números complejos, 2 reales, 2 Onda ecuación de, 54 longitud de, 56 Orden de un multiplete, 228 de un polo, 121 del cero, 105 exponencial, 241 punto de ramificación de, 130 Origen (del sistema coordenado), 5 Parábola, 16 Paralelogramo, ley del (para la suma vectorial), 3 Parseval, identidad de, 231, 240 Picard, teorema de, 123, 131 Plano complejo extendido, 23 Poisson fórmula integral de, 214 núcleo de, 72 teorema de, 215 Polar, representación, 11
Polos, 121 Por un lado, límites (véase Límites por un lado) Positivo, sentido, 63 Potencia, función, 50 Potencial, función, 180, 196 campo de, 196 Principal, rama, 49 valor, 10, 49, 146 Pringsheim, teorema de, 131 Punto, 20 Puntual fuente (o sumidero), 221 vórtice, 222 Ramificación, 43 cortes de, 43 logaritmo, 47 principal (rama o ramificación), 49 puntos de, 43, 130 Rápida de Fourier, transformada, 235 Rapidez, 184 Razón, prueba de la, 115 Real, parte, 5 Reales, números, 1 Reglas de límites (véase Límites, reglas de) Regulares, puntos, 129 Removibles, singularidades, 121 Residuo, teorema del, 133 Riemann del mapeo, teorema de, 164 esfera de, 23 superficie de, 43 teorema de, 96 Rotación, transformación de, 167 Rouche, teorema de, 157 Schwarz fórmula de, 219 principio de reflexión de, 131 tema de, 89 Schwarz-Cristoffel fórmula de, 187 transformación de, 187 Seno, función, 44 Serie(s), 101 de Fourier, 229 de Maclaurin, 104 de Laurent, 116 de Taylor, 102 geométrica, 56, 102 Simetría, principio de, 173
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ÍNDICE
Simple, arco (véase Jordán, arco de) Simplemente conexa, región, 23 Singularidades (aisladas), 121, 129 Sinusoidales, ondas, 54 Snell, ley de, 58 Sobre, función, 25 spp (suave por partes) (véase Arco, suave por partes) Suave arco, 62 por partes, arco (o función), 62, 232 Suma (de la serie), 102 Sumideros (véase Fuentes) Suryecciones, 25 Tartaglia, método de, 8 Taylor serie de, 102 teorema de, 103 Temperatura, 195 Teorema fundamental del álgebra, 1, 88, 90 del cálculo, 61, 66, 95 Transferencia, función de, 247 Traslación, transformación de, 167 Tres círculos, teorema de los, 89
Triángulo, desigualdad del, 10 Unidad, raiz de la, 19 Univaluado, argumento, 48 Uno a uno, función, 25 localmente (mapeo), 163 Valor, 10, 49, 146 Valor medio del área, teorema del, 218 teorema del, 210 Valores en la frontera, problema con, 211 Variable compleja, 24 Variación (del argumento), 156 Vector, 3 Velocidad, vector, 179 Vórtice(s), campo plano de, 222 fuente, 222 Wallis, fórmula de, 98 Weierstrass, teorema de, 108, 131 Weierstrass-Casorati, teorema de, 123 Zhukovski, (véase Joukowski)
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