Capítulo del libro "El laberinto de la soledad'' de Octavio PazDescripción completa
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Descrição: Fichamento de A Era dos Extremos, de Eric Hobsbawm.
Escala de Valores, los valoresDescripción completa
Descripción: Del Libro Robbins Coulter Administracion
TITULOS VALORES
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Descripción: Campaña de prevención primaria en valores para adolescentes
Pequeño trabajo sobre los títulos valores en El Salvador
VALORES EXTREMOS (Máximos-Mínimos) Una función f(x) tiene un máximo (mínimo) absoluto en el punto x0, si y sólo si
En tal caso f(x0) se llama máximo (mínimo) absoluto de f.
MÁXIMO-MÍNIMO RELATIVOS Diremos que f(x) tiene un máximo o mínimo relativo en x0 si f(x) tiene un máx. (min.) Absoluto en x0, x0, en algún entorno entorno de x0. NECESIDAD NECESIDAD PARA LA EXISTENCIA DE VALORES EXTREMOS. Sea f definida en [a, b] y sea f derivable en [a, b], excepto tal vez en un numero finito de puntos de [a, b]. Entonces si f(x) es un máximo relativo, x debe satisfacer una de las siguientes condiciones: 1. f'(x) = 0 2. f'(x) no existe en x 3. x es un punto extremo de [a, b] Esta Esta afirm afirmac ación ión no dice dice que que punto puntos s dan extre extremos mos relati relativos vos,, pero pero si da todos todos los los candidatos candidatos a extremos relativos. * Suficiencia para la Existencia de Valores Extremos. A. Criterio de la primera primera derivada. derivada. Sea f continua en [a, b] al cual pertenece el punto crítico x1, y es derivable en todos los puntos del mismo (a excepción, quizá del mismo punto x1). Si:
La función tiene un máximo en el punto x1, cuyo valor es f(x1).
La función tiene un mínimo en el punto x1, cuyo valor es f(x1). B. Criterio de la Segunda Derivada. Si f'(x) = 0, entonces en x = x1 la función tiene: un máximo relativo si f''(x1) < 0 y un mínimo relativo si f''(x1) > 0. * Para determinar los extremos relativos se calcula la segunda derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado tiene signo positivo se tiene un mínimo; si tiene signo negativo un máximo. Si el resultado sale cero no podemos afirmar nada y tendríamos que recurrir a la derivada tercera, si evaluando la derivada sale distinto de cero no es un extremo relativo, si por el contrario sale cero tendríamos que recurrir a la cuarta derivada y realizar el mismo proceso que con la segunda y así sucesivamente hasta que logremos clasificar ese punto.
LA ANTIDERIVADA O INTEGRAL La antiderivada o primitiva de la función f(x) es otra función F(x)+C donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x) es decir F´(x)= f(x) A la función F(x) se le llama una antiderivada la función f(x).
EJEMPLOS: El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente f(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas de f(x) que se pueden obtener variando la constante de integración C.
EJEMPLO ¿Qué se derivo para que la derivada sea f ' ( x ) = 4 ? Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se derivo es: F1 (x)= 4x pero también las funciones F (x)=4x+5 2 F (x)=4x-2 3 F (x)=4x-12 4 F (x)=4x+15 5 F (x)=4x+8 6 F(x) = 4x+C
EJEMPLO Hallar la antiderivada de f ( x) = 3x 2 La función que se derivó es F(x)= x 3 pero también F1 (x)=F (x)= x +93 F (x)= x -23 F (x)= x +332 F(x)= x +C3 Pues todas tienen pendientes 3x es decir se puede afirmar que 2 La función F(x)= x3 +C es la antiderivada de f ( x) = 3x con 2
NOTACION PARA ANTIDERIVADAS: La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:
REGLAS BASICAS DE INTEGRACION: Derivadas: Utilizamos las reglas de derivación para encontrar un valor de la pendiente de la recta tangente de una función F(x).
Integrales: Utilizamos las reglas de las integración para calcular el valor del área bajo la curva de una función F(x).
