46
Modulul 4 UNDE ELECTROMAGNETICE ELECTROMAGNETICE Con ţ inutul inutul modulului: 4.1 Sinteza legilor fenomenelor electrice şi magnetice: ecuaţ ecuaţiile lui Maxwell 4.2 Câmpul electromagnetic. Unde electromagnetice 4.3 Producerea, structura şi caracteristicile undelor 4.4 Energia undei electromagnetice 4.5 Impulsul şi presiunea undelor electromagnetice 4.6 Gama undelor electromagnetice
Evaluare: 1. Definirea mă m ărimilor fizice şi precizarea unităţ unităţilor ilor lor de mă m ăsură sură 2. Enunţ Enunţul şi formula legilor fizice studiate 3. R ăspunsuri la întrebă întrebările finale 4.1 Sinteza legilor fenomenelor electrice şi magnetice: ecuaţ ecuaţiile lui Maxwell Toate legile fenomenelor electrice şi magnetice studiate până acum (recomandăm cititorului interesat să revadă partea corespunzatoare din manualul de liceu sau alt manual) au fost reunite într-un grup de ecua ţii care poartă numele celui care a descoperit semnificaţia lor profund ă, reuşind să prevadă, pe baza lor, existen ţa undelor electromagnetice: J.C.Maxwell. Vom rescrie aceste ecua ţii pentru cazul vidului şi vom ar ăta cum se modific ă ele într-un material. r
r
Două dintre ecuaţiile lui Maxwell implică integralele lui E şi B calculate pe suprafe ţe închise. Prima este teorema lui Gauss pentru câmpul electric care afirmă că fluxul câmpului electric prin orice suprafaţă închisă este egal cu sarcina din interiorul suprafe ţei, împăr ţită la ε o :
∫ E d S = r
r
q ε o
(4.1)
Cea de a doua este o rela ţie analoagă pentru câmpul magnetic şi afirmă că fluxul câmpului magnetic prin orice suprafa ţă închisă este nul:
∫ Bd S = 0 r
r
(4.2)
Dacă prima ecuaţie arată că există sarcini electrice care creaz ă câmp electric, cea de a doua arat ă că nu există sarcini magnetice.
47 Cea de a treia ecua ţie, numită Maxwell-Ampere, stabileşte că sursele câmpului magnetic pot fi atât curentul de conduc ţie ic , cât şi curentul de deplasare,
d Φ e
ε0
(descoperit de c ătre Maxwell):
dt
∫
d Φ ⎞ ⎛ + ε 0 e ⎟ dt ⎠ ⎝
r
B¨d l = µ 0 ⎜ ic r
(4.3)
iar cea de a patra, ecua ţia Maxwell-Faraday, arată că un câmp electric poate fi creat şi prin induc ţie electomagnetică, de către un flux magnetic variabil: d Φ (4.4) ∫ E d l = − dt m Din ultima ecuaţie se vede c ă dacă există un flux magnetic r
r
r
variabil, circulaţia câmpului E de-a lungul unei curbe închise nu este zero, cum se întâmpl ă cu câmpul electrostatic, deci, spre deosebire de acela, câmpul electric creat prin induc ţie este neconservativ, liniile sale de câmp sunt linii închise. r
In general câmpul electric E într-un punct al spa ţiului poate fi r
superpoziţia câmpului electrostatic E c creat de sarcini şi a câmpului r
E = E c + E n . Partea electrostatică este r
indus, neelectrostatic, E n :
r
r
r
∫ E c d l = 0 . Această parte nu r
întotdeauna conservativă, astfel că
r
contribuie în integrala din ecua ţia (4.4), astfel c ă E din acea ecua ţie ă parte, termenul poate fi considerat câmpul total. Pe de alt r
neconservativ E n nu contribuie în integrala din teorema lui Gauss (4.1), fluxul s ău printr-o suprafa ţă închisă este întotdeauna nul (liniile r
sale de câmp sunt închise); astfel, şi în acea ecua ţie E reprezintă câmpul total. Simetria ecuaţiilor lui Maxwell devine şi mai puternică dacă ne referim la mediul lipsit de sarcini ( q = 0 ) şi de conductori ( ic = 0 ): r
∫ E d S = 0 r
r
r
∫ Bd l = ε o µ o r
r
∫ E d l = − r
r
∫ Bd S = 0
(4.1’)
d
d dt r
r
(4.2’)
r
∫ E d S
(4.3’)
r
∫ Bd S
(4.4’) dt In ultimele dou ă integrale, în membrul membrul drept, au fost exprimate exprimate fluxurile electric Φ e şi magnetic Φ m prin integralele de suprafa ţă extinse pe suprafe ţe delimitate de curbele curbele închise pe care se calculeaz ă integralele din membrul stâng. Cea mai mare importanţă a acestor ecuaţii este c ă ele arată că variaţia în timp a unui câmp genereaz ă în spaţiul înconjur ător pe celălalt. Toate relaţiile fundamentale între câmpuri şi sursele lor sunt conţinute în ecua ţiile lui Maxwell (din legea lui Gauss se poate ob ţine
48 legea lui Coulomb, din teorema lui Ampere se poate deduce legea r
r
Biot-Savart etc). Dac ă adăugăm ecuaţia care defineşte pe E şi B prin for ţele pe care le exercit ă asupra sarcinilor: (4.5) F = q( E + v × B ) atunci dispunem de toate legile fenomenelor electrice şi magnetice prezentate în paragrafele precedente. In sfâr şit, este de observat c ă ecuaţiile lui Maxwell ar dobândi o simetrie şi mai puternic ă dacă ar exista sarcini magnetice (monopoli magnetici). In cazul câmpurilor electrice şi magnetice în materiale, în ecuaţiile lui Maxwell se înlocuiesc permitivitatea electrică a vidului ε o r
r
r
r
şi
permeabilitatea
corespunzătoare
magnetică
mediului,
a
vidului
ε respectiv
µ .
µ o
prin
Dacă
mărimile
valorile
lui
ε şi µ ε şi µ
difer ă de la un punct la altul al spa ţiului de integrare, atunci trebuie trecuţi în partea stâng ă a ecuaţiilor (4.1) şi respectiv (4.3), sub integrale; de asemenea, în ecua ţia (4.3) ε trebuie trecut sub integrala de suprafa ţă corespunzătoare fluxului. Se pot eviden ţia, în r
r
acest caz, câmpurile magnetic H şi inducţia electrică D prin relaţiile de material: B = µ H , respectiv D r
r
r
= ε E . r
4.2 Câmpul electromagnetic. Unde electromagnetice Generalizarea legilor experimentale ale fenomenelor electrice şi magnetice, concretizată în ecuaţiile lui Maxwell, a eviden ţiat faptul că: - în jurul unui câmp magnetic variabil în timp ia na ştere un câmp electric ale cărui linii sunt închise; - în jurul unui câmp electric variabil în timp ia na ştere un câmp magnetic ale cărui linii sunt închise.
a)
b) Fig. 4.1
Aceste rezultate importante sunt exprimate, în vid, în lipsa sarcinilor electrice şi a conductorilor, de ecua ţiile (4.3’) şi (4.4’) şi sunt ilustrate de fig.4.1.
49
Ansamblul câmpurilor electric şi magnetic, variabile în timp, care se genereaz ă ă reciproc, constituie un câmp electromagnetic. Variaţiile câmpului electric produc în spa ţiul înconjur ător un câmp magnetic, care nu r ămâne constant deoarece variaz ă câmpul electric care l-a generat. Dar varia ţiile câmpului magnetic produc la rândul lor un câmp electric, de asemenea variabil, care , la rândul s ău generează un câmp magnetic etc, astfel câmpul electromagnetic este un proces oscilatoriu care se propagă din aproape în aproape, având o variaţie spaţio-temporală. Câmpul electromagnetic se propag ă ă în spa ţ iu iu sub forma undelor electromagnetice. 4.3 Producerea, structura şi caracteristicile undelor Se ştie că într-un circuit oscilant LC se produc oscila ţii electromagnetice dar în acest caz câmpul este practic localizat în elementele circuitului (bobină şi condensator), f ăr ă a se propaga în spaţiu. Pentru a ob ţine un câmp electromagnetic care se propag ă (unde), trebuie realizat un circuit oscilant deschis , care rezult ă prin îndepărtarea armăturilor condensatorului, una de alta, şi prin întinderea spirelor bobinei încât s ă se ajungă la un fir conductor. Când un astfel de fir este str ă bătut de un curent alternativ de înaltă frecvenţă, în spaţiul din jurul s ău se genereaz ă unde electromagnetice. Circuitul oscilant deschis se nume şte şi dipol oscilant sau anten ă. Sarcinile din dipol produc un câmp electric peste care se suprapune câmpul generat de variaţia în timp a câmpului magnetic produs de curentul din dipol. Prin suprapunerea acestor dou ă câmpuri rezultă, în momentul când curentul în conductor este zero, un câmp electric cu linii de câmp închise. Acest câmp electric se “desprinde” de dipol şi începe s ă se propage. In semiperioada următoare, procesul se repet ă, dar sensul câmpurilor electric şi magnetic este inversat. Distribu ţia spaţială a câmpurilor este destul de complicat ă dar la distanţe mari de surs ă r
r
vectorii E şi B sunt perpendiculari unul pe cel ălalt şi amândoi sunt perpendiculari pe direcţia de propagare a undei, care este direc ţia radială, cu centrul în surs ă. Prin urmare, în jurul unui punct la distan ţă mare de surs ă se poate spune c ă unda electromagnetic ă este plană. Să admitem o astfel de structur ă şi să cercetăm ce condiţii trebuie îndeplinite pentru a fi respectate legile câmpului electromagnetic. Fie frontul undei plane paralel cu planul yOz şi c r
r
viteza cu care unda se deplaseaz ă în lungul axei Ox, câmpurile E şi B fiind orientate dup ă Oy respectiv dup ă Oz (fig.4.2). Să consider ăm o suprafa ţă paralelipipedică având una din baze în planul frontului de und ă iar a doua în dreapta, unde unda înc ă nu a ajuns . Deoarece aceast ă suprafaţă este închisă, fluxurile câmpurilor r
r
E şi B trebuie să fie nule, conform ecua ţiilor (4.1’) şi (4.2’). Dacă aceste câmpuri ar avea component ă în lungul axei Ox, aceasta ar
50
Fig. 4.2 produce un flux nenul prin baza din stânga, contrar ecua ţiilor (4.1’) şi r
r
(4.2’); prin urmare câmpurile E şi B sunt sunt perp perpen endi dicu cula lare re pe dire direcc ţia de propagare, adic ă unda electromagnetică este o und ă ă transversal ă ă .
Fig. 4.3 Să consider ăm acum un contur dreptunghiular efgh aflat în planul xOy, având o latur ă, de lungime a , în planul frontului de und ă, iar cea paralelă cu ea fiind în dreapta frontului, la distan ţă egală cu spaţiul str ă bătut de undă într-un timp dt : dt : c ⋅ dt . Vom scrie ecua ţia (4.4’) pentru acest contur, parcurcându-l în sens orar, astfel încât normala la suprafa ţa delimitată de el este orientat ă în sensul negativ al axei Oz. Integrala pe conturul închis, din membrul stâng al ecua ţiei, se poate scrie ca sumă de integrale pe fiecare latur ă. Pe laturile paralele r
cu Ox, aceste integrale sunt nule deoarece E ⊥d l şi produsul lor scalar este zero; integrala pe latura din dreapta este de asemenea zero, r
r
deoarece câmpul E este nul (în acel loc unda nu a ajuns înc ă); pe r
r
latura din stânga, E este paralel cu d l şi constant, încât iese de sub r
∫ E d l = Ea . Fluxul inducţiei magnetice prin r
integrală. Se obţine
conturul ales cre şte în timpul dt de la zero la valoarea
− B ⋅ a ⋅ c ⋅ dt
r
( B este orientat în sens opus normalei la suprafa ţă), astfel că variaţia sa în unitatea de timp, luat ă cu semn schimbat (adic ă membrul drept al
51 ecuaţiei (4.4’)) este: B ⋅ a ⋅ c , iar ecuaţia (4.4’) devine: Ea = Bac , din care se ob ţine: E = Bc (4.6) Să consider ăm acum acelaşi contur dreptunghiular situat în planul xOz şi să aplicăm ecuaţia (4.3’). Cu ra ţionamente asemănătoare cazului precedent se ob ţine: Ba = ε o µ o Eac . Pentru ca aceast ă relaţie să fie compatibilă cu (4.6) trebuie ca viteza de propagare a undei în vid să fie: 1 (4.7) c= ε o µ o Inlocuind valorile permitivit ăţii electrice şi permeabilităţii magnetice, rezultă c ≅ 3 ⋅ 10 8 m / s = 300 000 km / s , adică viteza de propagare a luminii în vid, aceasta fiind una dintre dovezile privind natura electromagnetică a luminii. Dacă unda electromagnetic ă se propag ă într-un mediu cu constantele ε şi µ , viteza de propagare a undei este:
v=
1
(4.8)
ε µ
iar indicele de refrac ţ ie ie al mediului se defineşte prin: c (4.9) n = = ε r µ r v Câmpurile electric şi magnetic dintr-o und ă electromagnetică variază în fază şi, pentru o und ă sinusoidală plană, se pot descrie prin ecuaţiile : x E = E o sin ω (t − ) = E o sin(ω t − kx) (4.10) v x (4.11) B = Bo sin ω (t − ) = Bo sin(ω t − kx) v unde : ω = 2π f = 2π /T . (4.12) In ultima relaţie ω este pulsa ţ ia ă ) a ia (frecven ţ a unghiular ă undei, f este frecven ţ a undei, iar T este perioada. Mărimea: r
r
r
r
r
r
k =
2π
=
2π
(4.13) vT λ este modulul vectorului de und ă iar λ este ă (numit şi numă r de und ă ă ) , iar λ ă (distan ţ a parcursă de und ă ă într-o perioad ă ă ) . lungimea de und ă 4.4 Energia undei electromagnetice Se ştie (vezi cursul de fizic ă din liceu) c ă în spaţiul în care există câmp electric, unit ăţii de volum îi revine energia dat ă de 1 we = ε o E 2 , iar în câmpul magnetic densitatea de energie este dat ă 2 1 de wm = B 2 . Intr-un domeniu în care se propag ă o undă 2µ o electromagnetică, în fiecare punct din spa ţiu există atât câmp electric
52 cât şi câmp magnetic, astfel că densitatea totală de energie datorat ă undei este: 1 1 w = ε o E 2 + B 2 . 2 2µ o Dacă se ţine seama de rela ţiile (4.6) şi (4.7) se poate vedea u şor că componenta electrică a energiei este egal ă cu componenta magnetică, atsfel că se poate scrie: 2
w = ε o E
(4.14)
Dacă unda electromagnetic ă se propag ă într-un material, în locul permitivităţii electrice a vidului intervine permitivitatea materialului ε . In relaţia (4.14), E este valoarea momentan ă a intensităţii câmpului electric al undei, variabilă în timp şi spaţiu, propagându-se conform ecuaţiei (4.10); prin urmare şi densitatea de energie variază în timp şi de la un punct la altul, adic ă unda electromagnetică transportă energie. Vom descrie transferul de energie de c ătre unda electromagnetică prin mărimea S egal S egală cu energia transmisă în ă pe direc ţ ia unitatea de timp prin unitatea de suprafa ţă , perpendicular ă ia de propagare a undei. Să consider ăm o undă electromagnetică plană care se propag ă într-un mediu, în lungul axei Ox (frontul undei este paralel cu planul yOz). In timpul dt , frontul undei se deplaseaz ă în vdt , astfel că printr-o arie sensul axei Ox cu distan ţa vdt , normală pe direcţia de propagare, din planul în care se afl ă frontul undei la momentul t , trece vdt : toată energia conţinută în cilindrul cu baza A şi lungimea vdt : wAvdt . wAvdt . Atunci, ţinând seamă de (4.14), (4.6) şi (4.8) pentru medii materiale, se obţine: wAvdt EB (4.15) = wv = ε vE 2 = S = µ Adt Definim vectorul Poynting : 1 (4.16) S = E × B µ care este un vector având direc ţ ia ia şi sensul de propagare a undei (energiei) şi m ă rimea rimea egal ă ă cu energia transferat ă ă în unitatea de timp prin unitatea de arie normal ă ă la direc ţ ia ia de propagare. Pentru unde sinusoidale descrise de ecua ţiile (4.10) şi (4.11), mărimea vectorului Poynting (4.15) se scrie: E B S = o o sin 2 (ω t − kx) µ Se vede că modulul vectorului Poynting variaz ă în timp şi spaţiu. Valoarea medie a modulului vectorului Poynting într-un punct se nume şte intensitate a undei în acel punct, I . Se ştie că valoarea r
r
r
medie a lui sin 2 (ω t − kx) într-un punct ( x ( x fixat) este ½. Atunci:
I = S med =
E o Bo 2µ
2
=
E o
2vµ
=
1 2
ε E o2 v = wmed v
(4.17)
53 în care wmed este valoarea medie a densit ăţii de energie a undei. Din ultima egalitate a relaţiei (4.17) se vede c ă intensitatea undei ă energia medie care str ă ă bate reprezint ă bate în unitatea de timp unitatea de ă la direc ţ ia arie dintr-o suprafa ţă normal ă ia de propagare a undei. In SI, 2 2 intensitatea undei se măsoar ă în J/s.m =W/m . 4.5 Impulsul şi presiunea undelor electromagnetice Undele electromagnetice transport ă impuls. Acest impuls este o proprietate a câmpului, el nu este asociat unei mase în mi şcare, ca în cazurile uzuale din mecanic ă. Să consider ăm cazul particular al unei unde electromagnetice plane care se propagă în lungul lungul axei Ox, în sensul pozitiv, care care întâlneşte o foaie dintr-un material cu rezistivitate destul de mare. Un electron din aceast ă foaie este supus ac ţiunii câmpurilor electric şi magnetic ale undei (fig. 4.4). Sub ac ţiunea câmpului electric, electronul, supus şi altor interacţiuni în foaie, va dobândi dobândi o vitez ă de antrenare (drift), v d , în sens opus câmpului electric. Electronul care se mişcă cu viteza v d în câmpul magnetic al undei, va fi supus for ţei Lorentz , în direc ţia Ox:
F x
= evd B
. Conform legii a doua a lui
Newton, impulsul impulsul transferat transferat electronului electronului în unitatea de timp, pe direcţia Ox, din partea câmpului va fi: dp e = F x = evd B (4.18) dt Energia cedată în unitatea de timp (puterea) unui electron din foaie de către undă, prin acţiunea câmpului electric, este: dW e = F e v d = eEvd (4.19) dt Impăr ţind (4.18) la (4.19) şi ţinând seamă de (4.6), , între impulsul şi energia transferate de und ă în unitatea de timp se stabileşte relaţia: dp e 1 dW e dt
=
c dt
sau, dup ă integrare:
pe
1
= W e
c Dacă se înmul ţesc ultimele două relaţii cu numărul de electroni din foaie, se ob ţin relaţiile dintre impulsul şi energia tranferate foii de către undă în unitatea de timp, respectiv într-un timp oarecare: dp 1 dW = (4.20) dt c dt 1 (4.21) p = W c Presiunea p rad exercitată de undă (radiaţie) asupra foii cu aria A este egală cu for ţa medie care ac ţionează normal pe unitatea de suprafaţă; aplicând (4.20) pentru valori medii, se ob ţine:
54
Fig. 4.4 p rad
=
1 ⎛ dp ⎞
1 dW ⎞ I = ⎛ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎝ dt ⎠ med c ⎝ Adt ⎠ med c
(4.22)
Relaţia (4.22) s-a ob ţinut în ipoteza c ă unda este absorbit ă complet de c ătre foaie; dacă unda este reflectat ă în totalitate, atunci : 2 I (4.23) p rad = c Discuţiile privind propagarea undelor electromagnetice în materiale s-au referit în principal la materiale diel ectrice. In materialele conductoare undele electromagnetice se propag ă doar pe distan ţe foarte mici. Intr-un conductor, câmpul electric trebuie s ă fie nul; când o undă electromagnetică este incident ă pe un astfel de material ea este total reflectată. Conductorii reali, cu rezistivitate finit ă, permit pătrunderea undei pe o anumit ă adâncime şi unda este par ţial reflectată. 4.6 Gama undelor electromagnetice Undele electromagnetice acoper ă un spectru foarte larg de frecvenţe sau de lungimi de und ă ( λ = c / f ). Cea mai uzual ă împăr ţire a radiaţiilor electromagnetice se face dup ă lungimea de und ă în vid sau frecvenţă. Oscilaţiile electromagnetice cu frecvenţa de 50 Hz (60Hz) corespund curentului alternativ. Undele radio se întind în domeniul de frecven ţă de la zeci de hertzi până la un GHz. Se utilizeaz ă în transmisiile radio şi TV. După lungimea de und ă se subîmpart în unde lungi (30 km - 750 m), unde medii (750-50 m), unde scurte (50-10 m) şi unde ultrascurte (10 m 30cm). Microundele sunt generate ca şi undele radio de instala ţii electronice, au lungimea de und ă între 30cm - 1mm. Se folosesc în
55
Lungimea de undă (m)
Frecvenţa (Hz)
Domeniul
3× _10-15
_1023
_
_
_
_
-12 10 _ 10
20 10 _ 10
_
_
_
_
-9 10 _ 10
17 10 _ 10
_
_
_
_
-6 10 1 µ _ 10
Radiaţii γ
Radiaţii X
Ultraviolet
14 10 _ 10
_
_
_
-3 10 1 mm _ 10
11 10 _ 10
_
_
_
_ 0
Regiunea
VIZIBIL
_
ă
Infraroşu
Microunde 1 GHz 8
10 1 m _ 10
10 _ 10
Ultrascurte
_
_
Unde scurte
Unde
_
_
Unde medii
radio
3 10 1 km _ 10
5 10 _ 10
_
_
_
_
6 10 _ 10
_
1 MHz
Unde hertziene
Unde lungi
1 kHz
2 10 _ 10
10 _ 10
C.alternativ
sistemele de telecomunicaţii, în radar, în cercetarea ştiinţifică, la încălzire. Radia ţ ia ia infraro şie cuprinde domeniul de lungimi de und ă -3 -7 situat între 10 m - 7,8.10 m. Sunt produse de corpurile înc ălzite, dar în ultimul timp sau realizat şi instalaţii electronice care genereaz ă
optic
56 infraroşii. Sunt folosite la fotografia în întuneric, instala ţii militare, cercetare. Radia ţ ia ia vizibil ă ă este cuprinsă în domeniul lungimilor de und ă -6 -6 aproximativ de la 7,5.10 m până la 4.10 m, reprezentând o por ţiune foarte îngust ă a spectrului undelor electromagnetice, care pot impresiona retina ochiului uman. Radia ţiile cu diferite lungimi de und ă crează senzaţia unor culori specifice:
λ (µm)
Culoare
> 0,61 0,59 - 0,61 0,57 - 0,59 0,5 - 0,57 0,45 - 0,5 < 0,45
Roşu Orange Galben Verde Albastru Violet
Radia ţ ia ia ultraviolet ă ă este situat ă în domeniul lungimilor de -7 -10 undă cuprinse între 3,8.10 m şi 6.10 m. Este generat ă în Soare, lămpile cu vapori de mercur, etc. Ca şi lumina vizibilă, radiaţiile ultraviolete sunt emise în urma tranzi ţiilor electronilor periferici din atomi. Radia ţ iile iile X (Roentgen) sunt produse ca urmare a tranzi ţiilor electronilor din straturile profunde ale atomilor sau prin frânarea particulelor încărcate cu sarcini electrice. Sunt folosite pentru studiul structurii substan ţelor, în medicină, etc. Radia ţ ia ia γ ocupă regiunea superioar ă a spectrului undelor 18 electromagnetice ( frecven ţa >3.10 Hz) şi provine în urma proceselor nucleare. In diagrama de mai sus sunt prezentate sintetic sintetic aceste domenii, cu indicarea aproximativă a limitelor dintre ele.
Întrebări pentru verificarea cuno ştin ţ elor elor prezentate şi evaluare: 1. Scrieţ Scrieţi expresiile pentru fluxul câmpului electric şi fluxul câmpului magnetic. 2. Care sunt sursele câmpului electric?. 3. Care sunt sursele câmpului magnetic?. 4. Scrieţ Scrieţi expresia forţ forţei cu care câmpul electric, respectiv magnetic acţ ac ţionează ionează asupra unei sarcini. 5. Ce este câmpul electromagnetic? 6. Ce structură structură are o undă undă electromagnetică electromagnetică? 7. Ce se înţ înţelege prin intensitate a undei electromagnetice? Unitate de mă m ăsură sură. 8. Prezentaţ Prezentaţi gama undelor electromagnetice.
