Un fluido newtoniano e incompresible sale por la parte superior de un tubo, el cual se derrama y desciende por la pared exterior

Universidad de Guanajuato

División de Ciencias Naturales y Exactas Departamento de Ingeniería Química

Curso Dinámica de Fluidos IQ – 20309 Alumna : María Luisa Vázquez García Profesor: Agustín Ramón Uribe Parcial: 1 Tarea No. : 8

NUA

136642 Fecha de entrega: Miercoles 3 de Mayo de 2017

TAREA 8 Un fluido newtoniano e incompresible sale por la parte superior de un tubo de radio R, el cual se derrama y desciende por la pared exterior formando una película de espesor constante. Obtenga los perfiles de esfuerzo y de velocidad en la parte externa del tubo. El radio del cilindro es R=1cm, la longitud es L=10cm, el espesor de la película líquida es δ=1mm, la viscosidad del fluido es µ=1cP y la densidad es ρ=1 g/cm3, obtenga la velocidad media, la velocidad máxima y la fuerza en el cilindro interior. Represente los perfiles gráficamente.

NO hay Caída de Presión Transporte Viscoso:

𝜏𝑟𝑧 ∗ 𝑟∆𝜃∆𝑧

F. de Gravedad =𝜌𝑣𝑜𝑙𝑔 = 𝜌𝑟∆𝜃∆𝑟∆𝑧𝑔 Balance: 𝜏𝑟𝑧 ∗ 𝑟∆𝜃∆𝑧|𝑅 − 𝜏𝑟𝑧 ∗ 𝑟∆𝜃∆𝑧|𝑅+𝛿 + 𝜌𝑔𝑟∆𝜃∆𝑟∆𝑧 = 0

Dividimos entre el volumen (𝑟∆𝑟∆𝜃∆𝑧) : 𝜏𝑟𝑧 ∗𝑟∆𝜃∆𝑧|𝑟 −𝜏𝑟𝑧 ∗𝑟∆𝜃∆𝑧|𝑟+∆𝑟 + 𝜌𝑔𝑟∆𝜃∆𝑟∆𝑧=0 𝑟∆𝑟∆𝜃∆𝑧

Sacamos el limite cuando el volumen (𝑟∆𝑟∆𝜃∆𝑧) tienede a 0: 𝜏𝑟𝑧 ∗ 𝑟∆𝜃∆𝑧|𝑟 − 𝜏𝑟𝑧 ∗ 𝑟∆𝜃∆𝑧|𝑟+∆𝑟 + 𝜌𝑔 = 0 𝛥𝑟,𝛥𝜃,𝛥𝑧→0 𝑟∆𝑟∆𝜃∆𝑧 lim

Y nos da: 1 𝜕 𝜏𝑟𝑧(𝑟)

−𝑟

𝜕𝑟

− 𝜌𝑔 = 0

Despejamos para obtener una ec. dif. de variables separables: 𝜕 𝜏𝑟𝑧(𝑟) 𝜕𝑟

= −𝜌𝑔𝑟

Integramos de ambos lados: 𝜏𝑟𝑧 (𝑟) = −

𝜌𝑔𝑟 2 2

+ 𝐶1

Despejamos el esfuerzo:

𝜏𝑟𝑧 = −

𝜌𝑔𝑟 2 𝐶1 + → 𝑃𝐸𝑅𝐹𝐼𝐿 𝐷𝐸 𝐸𝑆𝐹𝑈𝐸𝑅𝑍𝑂𝑆 2 𝑟

Igualamos el perfil de esfuerzos a la ley de viscosidad de Newton: 𝜏𝑟𝑧 = −𝜇

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟

→Ley de viscosidad de Newton −𝜇

𝜕𝑣𝑧 𝜌𝑔𝑟 𝐶1 =− + 𝜕𝑟 2 𝑟

Dividimos entre µ : 𝜕𝑉𝑧 𝜌𝑔𝑟 𝐶1 =− + 𝜕𝑟 2𝜇 𝜇𝑟 Despejamos para formar Ec. Dif. De variables separables e Integrando respecto r se tiene: 𝜌𝑔𝑟 2 𝐶1𝑙𝑛𝑟 𝑉𝑧 = − + 𝐶2−→ 𝑃𝐸𝑅𝐹𝐼𝐿 𝐷𝐸 𝑉𝐸𝐿𝑂𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸𝑆 4𝜇 𝜇 Para encontrar las constantes C1 Y C2, tenemos las condiciones de velocidad: 1) Vz(𝜹 + R)=0 𝑉𝑧(𝛅 + 𝐑) = −

𝜌𝑔(𝛅 + 𝐑)2 𝐶1ln(𝛅 + 𝐑) − + 𝐶2 = 0 4𝜇 𝜇

Podemos sacar C2 𝐶2 =

𝐶1ln(𝑅 + 𝛿) 𝜌𝑔(𝑅 + 𝛿)2 − 𝜇 4𝜇

2) Vz(R)= Vmax 𝜌𝑔( 𝐑)2 𝐶1 ln( 𝐑) 𝑉𝑧( 𝐑) = − − + 𝐶2 = 0 4𝜇 𝜇

3) 𝝉𝒓𝒛 (𝑹) = 𝟎 𝜏𝑟𝑧 (𝑅) = −

𝜌𝑔𝑅 𝐶1 + 2 𝑅

Despejando C1: C1=

𝜌𝑔𝑅 2 2

Sustituyendo C1 y C2 e Vz: Velocidad máxima : 𝜌𝑔𝑅 2 𝜌𝑔𝑅 2 ln( 𝐑) ln(𝑅 + 𝛿) 𝜌𝑔(𝑅 + 𝛿)2 𝜌𝑔( 𝐑) 2 2 𝑉𝑧( 𝐑) = − − + − =0 4𝜇 𝜇 𝜇 4𝜇 2

Velocidad Media : 2𝜋

𝑅+𝛿

0

𝑅

𝑄 𝑉𝐴 ∫0 ∫𝑅 𝑉𝑧 𝑟∆𝑟∆𝜃 〈𝑉〉 = = = 2𝜋 𝑅+𝛿 𝐴 𝐴 𝑟∆𝑟∆𝜃 ∫ ∫

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴

2𝜋

𝑟 2 𝑅+𝛿 | 𝑅 𝑟

𝑅+𝛿

= 2𝜋

𝑅2 𝑅

− 2𝜋 𝑅+𝛿

2𝜋 ∫ 𝑉𝑧 (𝑟)𝑑𝑟 = 2𝜋 ∫

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄

𝑅

𝑟

𝑅

Para integrar ∫ 𝐼𝑛 (𝑅) 𝑟𝑑𝑟 usando ∫ 𝜀𝐼𝑛𝜀 𝑑𝜀 =

𝑅+𝛿 2 𝑅+𝛿

𝜌𝑔 3 𝑎 𝑟 [𝑟 − 𝑅 2 (𝑟)] − [𝐼𝑛 ] 𝑟𝑑𝑟 4𝜇 𝐼𝑛𝑘 𝑅

𝜀2 2

1

(𝐼𝑛𝜀 − 2)

𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 2 𝑟 1 𝑅 2 ∫ 𝐼𝑛 ( ) = (𝐼𝑛 − ) 𝑅 𝑅 𝑅 2 𝑅 2

Fuerzas en las Paredes: 𝐿

2𝜋

𝐹 = 𝜏𝐴 = ∫ ∫ 𝜏𝑧𝑟 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 0

0

Fuerza en la pared interior: 𝐿

2𝜋

𝐹(𝑅) = ∫ ∫ 𝜏𝑧𝑟 |𝑘𝑅 (𝑅)𝑑𝜃𝑑𝑧 0

0

𝝆𝒈𝑹𝟐 𝝁 𝑭|𝑹 = 𝟐𝝅𝑳 [− + ] 𝟐 𝑹 𝑰𝒏𝑹

Fuerza en la pared exterior: 𝐿

2𝜋

𝐹(𝑅 + 𝛿) = ∫ ∫ 𝜏𝑧𝑟 |𝑅+𝛿 (𝑅 + 𝛿)𝑑𝜃𝑑𝑧 0

0

𝝆𝒈(𝑹 + 𝜹)𝟐 𝝁 𝑭|𝑹 = 𝟐𝝅𝑳 [− + ] 𝟐 (𝑹 + 𝜹) 𝑰𝒏(𝑹 + 𝜹)