Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia de Estruturas EES 529 - Introdução à Dinâmica das Estruturas
Professor: Marco Antônio Vecci
EXEMPLOS DE APLICAÇÕES UTILIZANDO O SOFTWARE SAP2000 EXEMPLO 03- Absorvedor de vibrações não amortecido Deseja-se analisar o efeito de um absorvedor na resposta dinâmica de uma viga bi-apoiada com c om massa concentrada no meio do vão submetida a um carregamento cíclico, como indicado na figura a seguir: P 1 cos Ωt Z
u 1
m1
X L/2
L/2
=1000 kg =4m (Ω) =cos( =cos(Ωt)Ωt) N
Ω=51,4rads⁄ = 0,05
= 1,999 x 10 ⁄
Dimensões da seção transversal da viga (perfil S7x20):
3,794 x 10− m² 1,765 x 10− m 0,0980 m 0,1778 m
9,957 x 10-3 m 0,0114 m
A
Um conjunto massa mola é adicionado para reduzir a amplitude de vibração, como visto abaixo: P 1 cos Ωt Z
u 1
m1
X k 2 u 2
m2 L/2
= 100 100 kg
L/2
k =?nm⁄
Solução Analítica Frequência natural do primeiro modo de vibração do sistema sem absorvedor:
=√ 48 =51,4 ⁄ Deslocamento máximo em regime estático no meio do vão devido ao carregamento cíclico:
=
=5, 6 7 √ [ 1Ω ]+2 Ω | | = 48 =0,57
Onde o deslocamento estático equivalente devido ao módulo do carregamento cíclico:
É desejável que a frequência natural do absorvedor seja equivalente à frequência de excitação:
=Ω=51,4 ⁄ = =264 196 ⁄ Ω [1 ] = [1+ Ω ][1 Ω ] = [1+ Ω ][1 ] Ω =
Para tal, o coeficiente elástico da mola deve ser:
As amplitudes dos deslocamentos em regime permanente serão:
Sendo a razão das massas:
Observa-se que o deslocamento U 1 deve ser zero nestas condições.
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Solução Numérica via SAP2000
Modelagem Geométrica Crie um modelo de viga (Beam) no menu “New Model”, utilizando as unidades “N,m,C”. Defina os dados de entrada sendo “ Number of Spans” igual a 8 e “Span Length” igual a 0,5, desmarque a opção “Restraints” e clique “OK”.
Para o tipo de restrição, selecione o primeiro e o último nó, clique no menu ‘’Assign -> Joint - > Restraints’’ e restrinja todas as translações. Selecione os nós restantes e restrinja as translações 1 e 2 . No nó central, restrinja as translações 1 e 2 e todas as rotações. Crie o ponto inferior da mola ao selecionar o nó central e “Edit – Replicate”. Ponha ‘-1’ em dz e ok.
Clique “Define – Section Properties – Link/Support Properties – Add New Property”. Em ‘Link/Support Type’ deixe a opção ‘Hook’. Nomeie como Mola, selecione a direção ‘U1’ em ‘Directional Properties’ e clique “Modify/Show for U1”. Ponha 264196,4 em ‘Effective Stiffness” e clique ok .
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Selecione “Draw – Draw 2 Joint Link”, clique no nó central do vão e no nó criado abaixo. Aperte Esc.
Definição do material e seção transversal da viga Selecione “Define - Materials”. Clique “Add New Material Quick”. Escolha “Material Type - Steel” e “Specification - ASTM A36”. Selecione todos segmentos da viga e clique “Assign - Frame - Frame Section”. Clique “Add New Property - Import New Property”. Escolha o tipo de seção em “Frame Section Property Type –> Steel”. Caso não tenham sido importadas, procure “SECTIONS.PRO” em “C:\Program Files (x86)\Computers and Structures\SAP2000 14”. Escolha a seção S7X20 e clique “OK”. Escolha “A36” em ‘Material’ e clique ok novamente.
Definição das massas Defina a fonte de massa no sistema em “Define - Mass Source - From Element and Additional Masses ”. Selecione o nó central e o menu “Assign - Joints - Masses ”. Coloque 1000kg em “Local 1 Axis Direction” e clique “OK”. Repita o processo para a massa m 2.
Padrões de carregamento Crie o padrão de carregamento no menu “Define -> Load Pattern”. Defina o padrão do tipo “ LIVE” em “Add New Load Pattern” com o nome ‘Dinamico’. Desconsidere o peso próprio dos elementos ao definir o “Self Weigth Multiplier” como zero . Clique “OK. Selecione o nó central e “Assign - Joint Loads - Forces”. Escolha “Load Pattern Name - Dinamico” e adicione a força de 1500 N em “Force Global X”.
Função Time History Selecione “Define - Functions - Time History”. Em ‘ Choose Function Type to Add’, coloque ‘Cosine’ e clique em “Add New Function”. Coloque o período em ‘Period’ igual a 0,1232 s e peça para realizar 100 ciclos em ‘Number of Cycles’, com 50 passos por ciclo em ‘Number of Steps per Cycle’ . Nomeie como “Cosseno” em ‘Function Name’. Em “Define -> Load Cases”. O caso ‘D inamico’ foi criado automaticamente, junto com “MODAL”. Selecione ‘Dinamico’ e ‘Modify/Show Load Case’. Selecione o tipo de carregamento (Load Case Type) como ‘Time History’. Em ‘Loads Applied’, selecione ‘Dinamico’ em “Load Name” e ‘Cosseno’ no campo ‘Function’. Clique ‘Add’. Defina 2000 passos de tempo em “Number of Output Time Steps” e coloque cada passo de tempo com duração de 0,005 segundos. Nomeie o caso como ‘TH’ em ‘Load Case Name’. Mantenha o amortecimento default como “Modal Damping” igual “Constant at 0,05”. Clique “OK”
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Função Steady State Para o regime permanente, selecione “Define - Functions - Steady State”. Clique em “Add New Function” e adicione as frequências 0 e 1, “Value” igual a 1. Renomeie como Steady State e clique “OK”. Defina o caso do carregamento em “Define - Load Cases - Add New Load Case”. Em “Load Case Type”, escolha “Steady State”. Em “Loads Applied” insira o carregamento com ‘Load Name’ ‘Dinamico’ e função ‘SteadyState’. Clique Add. E m ‘Frequency Step Data’ escolha ‘First Frequency’ como 0 e ‘Last Frequency’ como 20 e ‘ Number of increments ’ igual a 20. Nomeie o caso como ‘SS’. Em “Other Parameters”, clique em “Modify/Show” e defina o “Stiffness Proportional Coefficient” como 0,1 e Clique em “OK” três vezes.
Análise No menu “Analyse - Set Analysis Options”, clique em “Plane Frame” para que só se considere as deformações no plano XZ. Clique em “OK”.
No menu “Analyze - Run Analysis”, rode os casos ‘Modal’, ‘SS’ e ‘TH’ clicando em “Run/Do Not Run Case”. Selecione a opção “Analysis Monitor Options -> Always Show”. Clique “Run Now”
Pós processamento Confira na janela da análise caso haja algum aviso. Para ver os resultados gráficos dos modos de vibração, clique no menu “ Display - Show Deformed Shape - Case/Combo Name - Modal - OK” e em “Start Animation” na parte inferior direita. Transite entre os modos com as setas ao lado de “Start Animation”. No menu “Display – Show Tables”, veja as frequências naturais com “Analysis Results, Structure Outputs, Modal information, Table: Modal Periods And Frequencies – OK”.
Para o resultado do Time History, selecione o nó central e clique “Display-> Show Plot Functions”. Selecione o nó em “List of Functions”, “Add” e “Define Plot Functions”. Selecione-o novamente e clique “Modify/Show Plot Function – UZ – OK”. Clique “Display” para ver o gráfico do deslocamento no tempo .
Pode-se repetir o mesmo procedimento para o nó inferior. Para o resultado do ‘Steady State’, selecione o nó central e clique “Display-> Show Plot Functions”. Marque ‘SS’ em ‘Load Case (Multi-stepped Cases) e ‘Magnitude’ logo abaixo . Selecione o nó em ‘List of Functions’, ‘Add’ e ‘Define Plot Functions’ . Selecione-o novamente e clique “Modify/Show Plot Functio n – UZ – OK”. Clique “Display” para ver o gráfico do deslocamento por frequência.
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Pode-se refinar o resultado do ‘Steady State’ repetindo a análise com um número maior de frequências analisadas. Em “Define - Load Cases – SS – Modify/Show Load Case ”. Em ‘Frequency Step Data’ escolha ‘First Frequency’ como 4 e ‘Last Frequency’ como 14 e ‘ Number of increments’ igual a 200. Repita a análise e o novo gráfico de deslocamento por frequência será:
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