Topologia-Pedro Jose Herrero Piñeyro

Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios Metricos e´ tricos Pedro Jos´ Jose´ Herrero Pineyro n˜ eyro

Murcia 2010

Hola

Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios Metricos e´ tricos Pedro Jos´ Jose´ Herrero Pineyro n˜ eyro

Murcia 2010

Foto de portada M obius con tanques y excavadoras en la calle Narodni de Praga ”. “ Banda de M ¨ ¨ Obtenida en http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Praha Narodni trida Moebiova paska s tanky a buldozery.jpg

Fotos de la secci on o´ n ”Algunos nombres propios de la Topolog´ Topolog ´ıa“ ıa“ Cap.-1 Obtenidas en The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ .mcs.st-and.ac.uk/

Foto de la secci on o´ n ” El problema de los puentes de K onigsberg “ Cap.-1 ¨ ¨ por Merian-Erben, a no ” Mapa de K onigsberg ¨ ¨ ˜ 1652” Obtenida en http://en.wikipedia.org/wiki/File:Image-Koenigsberg, Map by Merian-Erben 1652.jpg

´ Indice Indic e general

-1. Un poco de historia

9

0. Conjuntos, Conjuntos, aplicaciones aplicaciones y n´ nu´ meros

19

0.1. 0.1. Teor eor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 0.1.1. 0.1.1.

Operac Operacione ioness ba´ sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . 20

0.1.2.

Otras operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

0.1.3.

Familias de conjuntos

0.2. Aplicaciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26

0.2.1 2.1.

Tipos de apli plicacion iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 .29

0.2.2 0.2.2..

Comp Compos osic ici´ ión o n de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . .31

0.3. Conjunt untos finit nitos y nume umerables les . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 .32 0.3.1.

Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 .32

0.3.2.

Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

0.4. 0.4. Los Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36

1. Espa Espaci cios os me´ tricos

41

1.1. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 1.1.1. 1.1.1.

Subespa Subespacio cio me´ trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 50

1.2. Distancia a un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 1.3. Topolog opolog´´ıa ıa asociada a un espacio m e´ trico . . . . . . . . . . . . . . 56 56 1.3.1.

Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 .60

1.3.2 3.2.

Abie biertos tos en sub subespacios ios . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 .64

1.3.3.

Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

1.3.4 3.4.

Cerrados en subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 .68 5

´ INDICE GENERAL

6

1.4. Distancias equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 1.5. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 71

2. Subconjuntos destacados en la topolog´ topolog´ıa ıa m´ me´ trica

75

2.1. Entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 2.2. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 2.2.1.

Adherencia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

2.3. Puntos de acumulaci acumulación o´ n (o l´ l´ımit ı mite) e) y punt puntos os aisl aislad ados os . . . . . . . .82 .82 2.4. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 2.5. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 2.6. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 89 2.6. 2.6.1. 1.

Subc Subcon onjun junto toss dens densos os y espa espaci cios os sepa separa rabl bles es . . . . . . . .93 .93

3. Funciones continuas

97

3.1. 3.1. Aplica Aplicaci ció´ n continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 98 3.1.1.

Continuidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

3.1. 3.1.2. 2. Conti ontinu nuid idad ad y sube subesp spaacios cios . . . . . . . . . . . . . . . . .102 .102 3.2. 3.2. Hom Homeomo eomorfi rfism smos os y embe embebi bim mient ientos os . . . . . . . . . . . . . . . .103 .103 3.2. 3.2.1. 1. Apli Aplica caci cion ones es abie abiert rtas as y cerr cerrad adas as . . . . . . . . . . . . . .103 .103 3.2.2.

Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 .104

3.2.3.

Embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 .108

3.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 3.3. 3.3.1. 1.

Isom Isomet etrr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . 110

4. Espacios compactos

113

4.1. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 114 4.2. Subconjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 4.3. 4.3. Compa ompaci cida dad d y func funcio ione ness cont contin inua uass . . . . . . . . . . . . . . . . .118 .118 4.4. 4.4. Compac Compactos tos en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 .120 4.5. Compacidad secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 4.5. 4.5.1. 1. Conju onjunt ntos os tota totalm lmen ente te acot acotad ados os . . . . . . . . . . . . . . .124 .124 4.6. 4.6. Propi ropieedad dad de Bolza olzano no--Weier eierst stra rass ss . . . . . . . . . . . . . . . . .126 .126 4.7. 4.7. Compac Compactos tos en R

n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 .128

4.8. Propiedad Propiedad de la intersecci intersecció´ n finita . . . . . . . . . . . . . . . . .131 Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos

e´ Herrero Pineyro n˜ eyro

´ INDICE GENERAL

7

5. Espa Espaci cios os me´ tricos completos

135

5.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 5.2. 5.2. Espa Espaci cios os métricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 5.3. Comple pletitud tud y compacida idad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 .142 5.4. 5.4. Algu Alguno noss resul esulta tado doss inte intere resa sant ntes es . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 .144 5.5. Complet Completado ado de de un espac espacio io m´ me´ t r i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5

6. Espacios conexos

151

6.1. Conjuntos separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 .152 6.2. Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 153 6.2.1 2.1.

Subespac pacios conexos xos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 .154

6.2.2.

Conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

6.3. Conexo Conexoss en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 6.4. 6.4. Cone Conexi xió´ n y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 6.4.1.

Espacios producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

6.5. Componentes conexas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 .161

6.6. 6.6. Cone Conexi xió´ n por caminos (o arcos). s). . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 .162

A. Completar Completar un Espacio Espacio M´ Me´ trico

171

B. Construcci Construcción o´ n de los números reales.

175

OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos

˜ e´ Herrero Pineyro

8

Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos

´ INDICE GENERAL


-1 Un poco de historia La Topolog´ Topolog´ıa ı a es b´ basica a´ sica en la formaci on o´ n de cualquier matematico a´ tico actual; no en vano, vano, forma forma parte parte de las materi materias as tronca troncales les (funda (fundamen mental tales) es) de los primer primeros os cursos cursos de la titulaci´ titulacion o´ n en Matem´ Matematicas a´ ticas en cualquier facultad. La Topolog´ Topolog´ıa ıa se encuentra ´ presente en casi todas las areas a´ reas de las Matem aticas: a´ ticas: el Algebra, Algebra, la Geometr Geometr´´ıa, ıa, el Análisis, alisis, etc. (y estas, e´ stas, como no, también en en la Topolog´ opolog´ıa). ıa). Sus métodos etodos y sus resultados facilitan el tratamiento de numerosos problemas e incluso permiten abordar abordar otros que no tienen un origen estrictamente estrictamente topol´ topologico. o´ gico. La Topolog´ıa ıa ha alcanzado, digamos su madurez, recientemente. La mayor´ıa ıa de los estudiosos de la historia de las Matem´ Matematicas a´ ticas sit´ situan u´ an su puesta de largo en las primeras d´ decadas e´ cadas del s. XX , a partir de los trabajos de F. Hausdorff ( ), P. Alexandroff () y W. Sierpinski ( ). Cuando decimos madurez o puesta n˜ os, y despu´ despues e´ s de bastantes aproximade largo, queremos decir que es en esos a nos, ciones (como m´ mas a´ s adelante adelante veremos), cuando se fijan las definiciones definiciones fundamentales, cuando el perfil de su actuación, on, de los problemas de los que se ocupa, etc., quedan dibujados de manera suficientemente clara. A partir de ese momento, la Topolog´ Topolog´ıa ıa inicia (o continua) u´ a) un r´ rapido a´ pido desarrollo hasta convertirse en un area a´ rea imprescindible. Los inicios pueden situarse, sin embargo, un poco m´ mas a´ s lejos, retrocediendo al siglo XVIII . Hasta entonces los problemas matem´ matematicos a´ ticos hab´ hab´ıan ıan estado vinculados, en mayor o menor grado, a la idea de medida, magnitud o distancia, y en esa e´ poca se empiezan a plantear problemas en los que estos aspectos dejan de tener epoca importancia. Son problemas que no dependen de la distancia o el tamaño, no, sino del lugar, de las conexiones, etc. De hecho, los primeros matemáticos aticos que los abordan dan al estudio de estos problemas el nombre de Geometria Geometria situs o Analysis Analysis situs 9

10 cuya traduccion o´ n viene a ser Geometr ´ Analisis de la situaci´ situacion posicion ´ıa o An´ ´ ´ o de la posici´ ´ . Fue G. Leibniz (–) el primero que parece referirse a este tipo de problemas y con el nombre anterior Geometria situs, como atestigua L. Euler ( – ) en Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis publicado en , que constituye lo que podr´ podr´ıamos ıamos llamar el origen de la Topolog´ Topolog ´ıa ı a y en cuyo comienzo, Euler escribe lo siguiente.

Adem´ Ademas ´ de esta parte de la geometr ´ ´ıa que trata de las magnitudes y que desde siempre ha sido cultivada con mucho celo, existe otra completamente desconocida hasta nuestros d ´ ´ıas, de la que Leibniz habl´ hablo´ por primera vez y que llama “Geometria Situs”. Seg´ Segun ´ el, ´ esta parte de la geometr ´ posicion ´ıa se ocupa de determinar solamente la posici´ ´ y buscar las propiedades que resulten de esta posici´ posicion; ´ en este trabajo no es necesario considerar las magnitudes por s´ı mismas, mis mas, ni calcular; pero aun ´ no est´ a muy bien establecido cu´ ales son los problemas de este tipo que pertenecen a la “Geometria Situs” y cu´ cual ´ es el m´ metodo ´ que hay que utilizar para resolverlos; es por lo que, cuando recientemente se me present o´ parec´ ıa ligado a ´ un problema que parec´ la geometr ´ solucion ´ıa ordinaria, pero cuya soluci´ ´ no depend ´ ´ıa de la determinaci´ on de las magnitudes ni del c´ alculo de las cantidades, cantidades, no he dudado en relacionarl relacionarlo o con la “Geome“Geometria Situs”, tanto por las consideraciones de posici´ on que unicamente entran en la soluci´ solucion, calculo ´ ´ como porque el c´ ´ no interviene para nada. Por tanto, he cre´ cre´ ıdo util ´ expresar aqu´ aqu´ ı, como un ejemplo de la “Geometria Situs”, el m´ meto´ do que he encontrado para resolver los problemas de este g´ enero.

El problema problema al que se refier refieree Euler es . . .

El problema de los puentes de K ¨ K önigsberg onigsberg El r´ıo ıo Pregel atraviesa la ciudad de K onigsberg o¨ nigsberg formando una isla a partir de la cual el r´ r´ıo ıo continua con dos brazos brazos como se puede aprecia apreciarr en el plano de la ciudad en la epoca e´ poca de Euler. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos



11

Dicha isla est´ esta´ unida a la ciudad por siete puentes cuyo esquema puede verse de una manera m´ m as a´ s clara en el siguiente gr´ grafico: a´ fico:

El problema consist´ consist´ıa ıa en determinar si una persona que partiera de un lugar determina minado do de la ciud ciudad ad podr podr´´ıa ı a regr regres esar ar al punto punto de part partida ida tras tras cruz cruzar ar cada cada puente puente una una sola vez. Parece claro que en este problema problema son intrascenden intrascendentes tes las dimensiones; dimensiones; no importa la longitud de los puentes, la anchura del r´ r´ıo ıo o el tamano n˜ o de la isla o la ciudad; lo que realmente caracteriza el problema es la situaci´ on de los puentes, la ciudad y la isla. Euler demostró que el problema era equivalente (topológicamente ogicamente equivalente) a recorrer el siguiente gráfico afico con un lápiz apiz sin levantarlo del papel, de manera que se empiece en un punto y se regrese a el e´ l recorriendo cada camino una sola vez.



12 Podemo Podemoss reflexi reflexiona onarr sobre sobre este este problem problemaa durant durantee unos minuto minutos; s; no obstant obstante, e, puespuestos a jugar, jugar, y con el fin de comprender comprender mejor estos problemas, problemas, pensemos que una figura est´ esta´ dibujada en una superficie de goma que se puede deformar: estirar, retorcer, encorvar, etc., es decir, modificaciones que llevan consigo cambios del tamaño o de la forma de la figura original. No valen transformaciones como cortar, hacer agujeros, pegar otro trozo, etc. Las primeras son transformaciones que podemos podemos llamar continuas, continuas, son transformac transformaciones iones que no cambian la topolog´ topolog´ıa ıa de la figura y que dan lugar a la misma figura, topol ogicamente o´ gicamente hablando; las segundas no son continuas, llevan consigo alg´ algun u´ n tipo de ruptura, no son topologio´ gicas y, consecuentemente, no dan lugar a la misma figura desde el punto de vista topol´ topologico. o´ gico. Por ejemplo, dibuje un cuadrado cuadrado dividido en dos regiones A y B mediante un segmento como el de la figura:

A B

Podemos estirar o retorcer la superficie de goma, pero las dos regiones estar an a´ n separadas por una linea y las letras A y B no podr´ podran a´ n estar nunca en la misma región. El cuadrado anterior es topológicamente ogicamente equivalente a la figura siguiente:

A B

Sin embargo, no es topológicamente ogicamente equivalente a ninguna de las situaciones que se muestran en las tres figuras figuras siguientes:

B

A A


B

C

A

B


13


En la primera, la regi on o´ n B est´ esta´ contenida totalmente en la regi on o´ n A; en la segunda, las dos regiones no tienen un “lado” en com un u´ n sino solo o´ lo un punto, y en la tercera hemos hecho un agujero. (En el libro Aventuras venturas topol´ ogicas de J.L. Carlavilla y G. Fern´ Fernandez, a´ ndez, Ed. RUBES, 1994, se pueden encontrar numerosos e interesantes problemas problemas “topologicos”.) ´ Ahor Ahoraa es mas a´ s comp compre rens nsibl iblee por qu´ que´ Eule Eulerr conc concluy luyó´ que que el prob proble lema ma de los los puen puente tess de K onigsberg o¨ nigsberg era equivalente al del gr´ grafico a´ fico que propon´ propon´ıamos ıamos antes:

Para terminar de ilustrar estas ideas, digamos que en el cl asico a´ sico libro Topolo Topo log´ g´ıa ıa General (Ed. EUDEBA, 1975), el autor John L. Kelley escribe en una nota a pie de p´ pagina a´ gina lo siguiente: “un top´ ologo es un se˜ nor que no sabe la diferencia entre una rosca (bizcocho en forma de anillo) y una taza de cafe”. Si pensamos que el rosco est´ esta´ hecho de una masa el astica, a´ stica, por ejemplo plastilina, un h abil a´ bil modelador podr´ podr´ıa ıa efectuar una transformaci on o´ n topol´ topologica o´ gica para, sin hacer rupturas y respetando el agujero central de la rosca, llegar a la taza de caf ´ caf e´ haciendo que dicho agujero sea el del asa y viceversa.

Un poco mas a´ s de historia Antes de hacer un recorrido historico o´ rico m´ mas a´ s concreto, una nueva cita, esta vez del profesor J.M. Rodr´ Rodr´ıguez ıguez Amilibia en el prologo o´ logo del libro Introducci´ on a la Topolo Topo log´ g´ıa ıa (J. Margalef y E. Otourelo, Ed. Complutense, 1993): Cuando un top´ ologo es invitado a dar una conferencia, o a escribir escr ibir unas l´ıneas ıneas sobre el significado signi ficado de la Topolog´ıa, ıa, no es raro que comience hablando de toros y de tazas de caf e; de botellas ´ ´ de superficies y de bandas de M obius; ¨ ¨ de Klein y planos proyectivos; y tal vez coja una cuerda y comience comience a mostrarnos mostrarnos pr acticamente la teor ´ ´ ´ ´ıa de nudos. Pero el mismo top´ topologo, una vez en clase, no dir a´ ´ ´ nada de eso, eso, y part partie iend ndo o de un m´ etodo etodo axiom´ axiom´ atico, atico, fr´ fr´ıo ıo y duro duro como como un trozo de acero, acero, nos hablara´ de entornos, entornos, de abiertos, de espacios conexos, de compactificaciones, de redes, etc. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


14 Eso es, precisamente, lo que vamos a hacer aqu ´ı. ı. Las razones de esto vienen a coincidir con las que el propio profesor Rodr´ Rodr´ıguez ıguez Amilibia aduce en el citado pr´ prologo; o´ logo; hay que buscarlas en la evoluci on o´ n hist´ historica o´ rica de la Topolog´ Topolog´ıa ıa y en su vinculaci´ culacion o´ n con otras areas. a´ reas. Como indicaba Euler, podr´ podr´ıamos ıamos decir que la Topolog´ Topolog´ıa ıa surge como una hermana peque˜ pequena n˜ a de la Geometr´ Geometr´ıa, ıa, pero pronto se hace mayor y permite el estudio de nuevos problemas e incluso de problemas antiguos con perspectivas diferentes. Se vincula con otras ramas como el Análisis alisis interactuando interactuando mutuamente. mutuamente. Una de las consecuencias es que podemos pod emos dividir la Topolog´ıa ıa en dos d os grandes ramas que tienen desarrollos paralelos y cuya vinculacion o´ n no es demasiada: la Topolog´ Topolog´ıa ıa Algebraica y la Topolog´ Topolog´ıa ıa General (que estudia los conjuntos de puntos). Esta ultima u´ ltima es el objeto del presente curso y tiene sus primeras primeras aproximaciones aproximaciones en el s. XI X .

Un breve recorrido cronol´ cronologico o´ gico J.B. Listing (–) fue el primero en utilizar la palabra topolog´ topolog ´ıa ı a en un art´ art´ıculo ıculo cuyo t´ t´ıtulo ıtulo fue Vorstudien zur Topologie (Introducci´ (Introduccion o´ n al estudio de la Topolog´ opolog´ıa), ıa), aunque no se puede decir que este e´ ste fuera el comienzo de una rama consolidada consolidada como tal. Listing hace un trabajo, trabajo, digamos parcial, parcial, sobre la conexi conexión ´ de superficies. Lo cierto es que en el s. XI X hubo una gran preocupacion o´ n por la busqueda u´ squeda del rigor en las definiciones y conceptos (l´ (l´ımite, ımite, continuidad, continuidad, etc.), intentando abandonar las ideas m´ mas a´ s intuitivas que se hab´ hab´ıan ıan ido manejando hasta entonces; esto y, entre otras cosas, los trabajos de G. Cantor ( –) sobre conjuntos dan pie a plantearse la necesidad de extender conceptos, basados esencialmen esencialmente te en los numeros, u´ meros, a otros conjuntos cuyos elementos eran diferentes: funciones, curvas, etc. Se hacen esfuerzos en la elaboración on de una teor´ıa ıa de espacios abstractos que permita sistematizar todas estas ideas que son vislumbradas por algunos matem´ matematicos. a´ ticos. Hasta consolidar el tratamiento axiom´ axiomatico a´ tico definitivo, son numerosas las aproximaciones que se van haciendo y que resumimos a continuacion. o´ n. Alg´ Algun u´ n autor atribuye la paternidad de la Topolog´ Topolog´ıa ıa a B. Riemann ( –), aduciendo aduciendo que se acerca acerca a la noci on o´ n actual de espacio topologico o´ gico como una teor´ teor´ıa ıa aut´ autonoma o´ noma y que incluso concibe un programa de estudios al respecto; no obstante, sus ideas todav´ıa ıa quedaban q uedaban un poco po co lejos l ejos de lo l o que ser´ıa ıa la propia propi a Topolog´ıa. ıa. Tambi´ Tambien e´ n H. Poincar e´ (–) contribuye con su obra Analysis situs () haciendo haciendo un estudio muy riguroso sobre conexi´ conexión on vinculado a lo que actualmente se llama Topolog´ıa ıa Algebraica; alg´ algun ´ autor escribe que, de no ser por lo disperso de su quehacer matem atico a´ tico (Poincar (Poincaré´ estudi´ estudio´ de casi todo), suya habr´ habr´ıa ıa sido la sistematizaci´ sistematizacion o´ n a que nos venimos refiriendo; en todo caso, tambi en e´ n hay que decir que Poincar´ Poincare´ mostro´ poco inter´ interes e´ s sobre la Topolog´ Topolog´ıa ıa conjuntista, como muestra su intervenci´ intervencion o´ n en el Congreso Internacional de Matem aticas a´ ticas de , donde se Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


15


refiri´ refirio´ a la teor´ teor´ıa ıa de conjuntos de Cantor como una enfermedad de la que las generaciones posteriores estar´ estar´ıan ıan curadas. F. Riesz ( –) y M. Fr echet e´ chet (–) hacen importantes trabajos que suponen una nueva aproximacion; o´ n; de hecho, Fr´ Frechet e´ chet introduce los espacios m´ metrie´ tricos en su tesis doctoral ( ). Concluyamos diciendo que la primera definicion o´ n de espacio topol´ topologico o´ gico en t´ termie´ rminos de entornos fue dada en  por F. Hausdorff ( –), partiendo de los trabajos de Riesz, a nadiendo n˜ adiendo la propiedad de separaci on o´ n de puntos (que se conoce como propiedad T 2 o de Hausdorff), que m as a´ s adelante ser´ ser´ıa ıa eliminada de la definición. on. Las definiciones de espacios topológicos ogicos en términos erminos de abiertos son obra de P. Alexandroff ( –) en  y W. Sierpinski ( –) en . A part partir ir de ento entonc nces es la Topol opolog og´´ıa ı a ha ido ido evoluc volucion ionan ando do y reve revellandose a´ ndose,, como como dec´ dec´ıamos ıamos al comienzo, como una rama fundamental en la formaci on o´ n de cualquier matem´ matematico a´ tico actual.

Algunos nombres propios de la Topolog´ Topolog´ıa ıa

G. Leibniz (–) Aunque Aunque es una figura figura destac destacada ada dentro del Calculo, a´ lculo, fue el primero que se refiri o´ como (Geometr´ıa ı a de la posici on) o´ n) Geometria Situs (Geometr´ a probl problem emas as en los que no inter interve ven n´ıan ıan las magnitudes: magnitudes: estaba intentando resolver problemas combinatorios de posición. on. Se puede considerar como un precursor de la teor´ıa ıa de grafos y de la Topolog´ Topolog´ıa. ıa.

L. Euler (–) Publicó en  el primer trabajo sobre Geometr´ıa ıa de la posici pos icion, o´ n, con el problema de Los , donde se dio cuenta puentes de K onigsberg ¨ ¨ de que exist´ exist´ıa ıa un nuevo tipo de Geometr´ Geometr´ıa ıa donde la distancia no es relevante. En  enunci´ enuncio´ su conocido teorema que relaciona el numero u´ mero de caras C , de aristas A y de v´ vertices e´ rtices V de un poliedro: poliedro: C − A + V = 2. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


16

J.B. Listing (–) Es el primero en utilizar la palabra topolog´ıa ıa en su libro libro Vorstudien orstudien zur Topologie opologie, pero se trat trataa de un trab trabaj ajo o parc parcia ial. l. En  public´ publico´ Der Census Census raumli raumliche cherr Comple Complexe xe oder oder Verallg erallgeme emeine inerung rung des Euler’ Euler’sch schen en Satzes von den Polyedern en el que estudiaba diver diversas sas general generaliza izacio ciones nes de la fórmula ormula de Euler.

B. Riemann (–) En  Rieman Riemann n defend defendi´ ió su tesi tesiss doc doctoral, toral, que contie contiene ne importa importantes ntes ideas ideas tanto tanto topol´ topologic o´ gicaas como como anal anal´´ıtic ı ticaas, como omo por por ejem ejemplo plo las las super superfic ficie iess de Riem Rieman ann n y sus propiedades. propiedades. Concibi Concibio´ las ideas cercanas a lo que despu´ despues e´ s ser´ ser´ıa ıa la Topolog´ Topolog´ıa ıa como una teor´ teo r´ıa ıa aut a utonoma. o´ noma.

G. Cantor (–) En  public´ publico´ su prim primer er art art´ıculo ıculo sobre sobre teor´ıa ıa de conjuntos, donde describ´ıa ıa rigurosamente la noción o n de infinito y probaba el controvertido resultado de que casi todos los numeros u´ meros reales reales son trasce trascende ndente ntes. s. Con sus estu estudio dioss sobre sobre conj conjunt untos os dio pie a la forformulaci´ mulacion o´ n de ideas “topologicas”; o´ gicas”; el e´ l mismo proporcion´ proporciono´ las las prim primer eras as defin definic icio ione ness de conjunto conju nto derivado der ivado y punto pun to l´ımite. ımite. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


17


F. Hausdorff (–) Figura Figur a indiscuti ind iscutible ble de d e la topolog´ topol og´ıa ıa y la teor´ te or´ıa ıa de conjuntos, introdujo la idea de conjunto parcialmente parcialmente ordenando en . En  introdujo tipos especiales de ordinales en un intento de probar la hipotesis o´ tesis del continuo. En  public´ publico´ Grundz¨ uge der Mengen Mengen-donde presen presentto´ la prim primer eraa defin definic ici´ ión on lehre donde axiomática atica de espacio topológico. ogico.

M.R. Fr´ Frechet e´ chet (–) Intr Introdu odujo jo la idea idea de conju conjunto nto comp compac acto, to, aunque aunque actual actualmen mente te dicho dicho concep concepto to se denomina compaci compacidad dad por punto punto l´ ımite o de Tambien e´ n introdujo en  los acumulaci´ acumulacion ´ . Tambi´ espacios m´ metricos e´ tricos y probo´ que las ideas de Cantor Cantor de subcon subconjunt juntos os abiert abiertos os y cerrad cerrados os pod´ıan ıan extenderse extenderse de manera manera natural natural a los espacios métricos. etricos.

F. Riesz (–) Trabajó sobre las ideas de Fréchet echet expuestas en su tesi tesiss doct doctor oral al,, prop propor orci cion onan ando do un v´ınculo ınculo entre los trabajos trabajos de Lebesgue Lebesgue (sobre funciones funciones reales) reales) y Hilbert Hilbert (sobre ecuaciones ecuaciones integrales). Introdujo el concepto de convergencia gencia debil e´ bil de una una suces sucesiion o´ n de funcio funciones nes y realiz realizó´ una aproxim aproximaci ación o´ n a la definici on o´ n axiomática atica de espacio topológico. ogico. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


18

W. Sierpinski (–) Comenz´ Comenzo´ a inte nteresarse en la teor´ıa de conjunt conjuntos os en  y en 1912 1912 publ public´ icó su libro Outline of Set Theory. En los a nos n˜ os 20 ampli´ amplio´ su inte interre´ s a la topo topolo log g´ıa ıa general general,, realiz realizando ando contrib contribuci ucione oness import importante antess en el axio axioma ma de elec elecci ció´ n y la hipotesis o´ tesis del continuo. Particularmente famosa es la curva que llen llenaa todo todo el cuad cuadra rado do de Sierpin Sierpinski ski, que unidad.

P. Alexandroff (–) En  introdu introdujo, jo, junto junto con Uryshon Uryshon,, los espacios espacios numerableme numerablemente nte compactos, compactos, localmente mente compac compactos tos y compac compactos, tos, tal y como como se conocen conocen actual actualmen mente. te. En , estand estando o en la Universida Universidad d de Princeton, decidi´ decidio´ junto con Hopf publicar una obra, en 3 volumenes, u´ menes, sobre Topolog´ opolog´ıa, ı a, que no ver´ ver´ıa ı a la luz hasta ella,, pres presen entto´ la defin definic iciio´ n de . En ella espacio topológico ogico en términos erminos de conjuntos abiertos.



0 Conjuntos, aplicaciones y ´ numeros En este cap´ıtulo ıtulo presentamos los lo s conceptos fundamentales sobre la teor´ t eor´ıa ıa de con juntos que nos ser´ seran a´ n muy utiles u´ tiles en el desarrollo de la asignatura. En primer lugar recordamos las operaciones b asicas: a´ sicas: pertenecia, uni on, o´ n, interseccion o´ n y diferendiferencia. A continuacion o´ n introducimos el producto cartesiano de 2 o m as a´ s conjuntos y el conjunto potencia. Despu´ Despues e´ s recordamos el concepto de aplicaci on o´ n y sus diferentes tipos: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, as´ as´ı como la composici composición o´ n de aplicaciones. caciones. Dedicamos una sección on a los conjuntos finitos e infinitos, numerables numerables y no numerables, y finalizamos con una secci on o´ n dedicada a los n umeros u´ meros reales y sus principales propiedades.

0.1.Teor

´ıa ıa de conjuntos

A la hora de estudiar los conjuntos no se pretende elaborar una teor ´ıa ıa demasiado formalista y rigurosa que se aleje, a veces demasiado, de los objetivos de la asignatura. Por esto, nosotros adoptaremos un punto de vista, mayoritario por otra parte, simple: supondremos que todo el mundo sabe lo que es un conjunto, al menos una idea intuitiva bastante razonable. Para avanzar un poco tambi en e´ n supondremos conocidos algunos conceptos b´ basicos a´ sicos sobre los conjuntos. No obstante, recordaremos brevemente, y sin entrar en muchos detalles, las ideas necesarias para abordar un curso de introducci on o´ n a la Topolog´ Topolog´ıa ıa de Espacios M´ Metricos. e´ tricos. 19

20

0.1. Teor´ıa ıa de d e conjunto co njuntoss

asicas a´ sicas

0.1.1.Operaciones b

Como siempre, fijaremos una notaci on o´ n b´ basica a´ sica antes de empezar. La primera operaci´ cion o´ n que se define con un conjunto es la de pertenencia de sus elementos: si un elemento a pertenece pertenece a un conjunto A escribiremos

a

∈ A,  para indicar que el objeto a no es un mientras que utilizaremos el s´ s´ımbolo ımbolo ∈

elemento del conjunto A.

Utilizaremos Utilizaremos la notaci´ notacion o´ n A B para indicar que todos los elementos de A son tambi´ tambien e´ n elementos de B . Entonces se dir´ dira´ que A es un subconjunto de B . Si existe alg´ algun u´ n elemento de B que no est´ esta´ en A, entonces diremos que A es un representará´ como A  B . subconjunto propio de B , y se representar

⊂

Cuando se trabaja en alguna de las areas a´ reas de Matem aticas, a´ ticas, normalmente se tiene un conjunto de referencia que se suele llamar conjunto universal o conjunto toejemplo, en geometr geometr´´ıa ıa tal, y que nosotros denotaremos habitualmente por X . Por ejemplo, eucl´ eucl´ıdea ıdea plana este conjunto conjunto es el formado formado por todos los puntos del plano; en otras areas a´ reas de las matemáticas, aticas, este conjunto puede ser el formado por todos los numeros u´ meros reales, o por todas las funciones, etc. En Topolog´ Topolog´ıa ıa de Espacios M´ Metricos e´ tricos ser´ sera´ un espacio m etrico. e´ trico. Dado un conjunto cualquiera A X , definimos el complementario de A (en X ), ), c y lo denotaremos denotaremos por A o X A, como el conjunto conjunto

−

Ac = X

⊂

− A = {x ∈ X : x ∈ A}.

Es necesario recordar también en el concepto de conjunto vac´ vac´ ıo, que representaremos por ∅, y que es el conjunto que no tiene ningun u´ n elemento; lo consideraremos finito y supondremos que est´ esta´ contenido en cualquier otro conjunto. Adem as, a´ s, satisface las siguientes igualdades:

X

c

− X = X

=∅

y

X

c

−∅=∅

= X.

Dados dos conjuntos A y B , podemos definir tres operaciones elementales entre ellos: la unión, la intersección on y la diferencia. diferencia.

Uni´ Union o´ n de conjuntos La uni´ uni on ´ de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos, y se representa por

A

∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

Los elementos que son comunes a ambos conjuntos no se duplican. Por ejemplo, si A = 1, 2 y B = 2, 3 , entonces A B = 1, 2, 3 . V ease e´ ase la Figura 1.

{ }

{ }


∪

{

}


21

0. Conjuntos, Conjuntos, aplicaciones aplicaciones y numeros ´

B

B

B

A

A

A

A ∩ B

A ∪ B

A

−

B

´ interseccion ´ y diferencia de conjuntos. Figura 1 – Union,

Intersecci´ Interseccion o´ n de conjuntos La intersecci´ conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos intersecci on ´ de dos conjuntos que pertenecen simult´ simultaneamente a´ neamente a los conjuntos A y B , y se representa representa como

A

∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

La interseccion o´ n de dos conjuntos puede ser el conjunto vac´ vac´ıo. ıo. Por ejemplo, si e´ ase la Figura 1. A = 1, 2 y B = 3, 4 , entonces A B = ∅. V ease

{ }

{ }

∩

Diferencia de conjuntos La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen pertenecen a B , y se representa representa como

A

− B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

El conjunto conjunto A B se llama a veces el complemento o el complementario de B en A. V ease e´ ase la Figura 1.

−

Ejemplos (vease e´ ase la Figura 2)definidos como: Ej.0.1. Consideremos los conjuntos A y B (v´

{x ∈ R : (x − 1)2 < 4}, B = {x ∈ R : |x| > 2}. Observemos que A = (−1, 3) y que B = (−∞, −2) ∪ (2, (2, +∞). Vamos a determinar los conjuntos A ∪ B , A ∩ B y A − B (también en gráficamente). aficamente). En A =

primer lugar, anal´ıticamente, ıticamente, los conjuntos se pueden expresar como sigue:

A A A

∪ B = {x ∈ R : x < −2 o x > −1}. (2, 3). ∩ B = {x ∈ R : 2 < x < 3} = (2, − B = {x ∈ R : (x − 1)2 < 4 y |x| ≥ 2} = (−1, 2].

Gr´ Graficamente, a´ ficamente, dichos conjuntos est´ estan a´ n representados representados en la Figura 2.



22


A B: A:

( -3 -2 -1

) 0 1 2

3

) (

-3 -2 -1

0 1 2 3

-3 -2 -1

0 1 2 3

4

( )

A B:

B:

)

(

-3 -2 -1

0 1 2 3

4

4

A-B:

]

( -3 -2 -1

4

0 1 2 3

4

´ interseccion ´ y diferencia de dos conjuntos. Figura 2 – Union,

Algunos conjuntos de uso habitual. Recordemos la notacion o´ n habitual para referirnos a los conjuntos de n umeros: u´ meros: N (n´ (numeros u´ meros naturales o enteros enteros positivos), positivos), Z (n´ (numeros u´ meros enteros), Q (n´ (numeros u´ meros racionales), R (n´ (numeros u´ meros reales) y C (n´ (numeros u´ meros complejos).

Ejercicios y Problemas P.0.1 Pruebe que A

− B = A ∩ (X − B).

cuales a´ les de las siguientes afirmaciones son verdaderas. En caso de P.0.2 Estudie cu´ ser verdadera, demu estrela; e´ strela; y si es falsa, encuentre un contraejemplo. (a) A

⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∪ C . (b) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∩ C . (c) A ⊂ B o A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∪ C . (d) A ⊂ B y A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∩ C . 0.1.2.Otras operaciones El producto cartesiano

∪

∩

Ya hemos visto que la union o´ n ( ), la interseccion o´ n ( ) y la diferencia son operaciones que nos permiten obtener, a partir de dos conjuntos dados, un nuevo con junto. Pero tambi´ tambien e´ n podemos construir el conjunto formado por todas las parejas de elementos de ambos conjuntos. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


23


Mas a´ s precisamente, dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano A el conjunto definido por

A

× B es

× B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}.

Dado que la notación on (x, y), cuando estamos trabajando en el conjunto R de los numeros u´ meros reales, indica también en el intervalo abierto de extremos x e y, es posible tambi´ tambien e´ n utilizar la notacion o´ n x y para indicar el elemento del conjunto A B .

×

×

El conjunto potencia ¿Y qu´ que´ ocurre cuando los elementos de un conjunto A son, a su vez, conjuntos? Bueno, para evitar malentendidos y no caer en contradicciones, en este caso diremos que A es una colecci´ colecci on ´ de conjuntos o una familia de conjuntos. No obstante, como suele ser habitual, tambi´ tambien e´ n se utiliza el t´ termino e´ rmino conjunto de conjuntos. Utilizaremos letras caligráficas aficas para referirnos a las familias de conjuntos: , , etc.

A B

El ejemplo m´ mas a´ s inmediato es el siguiente. Dado un conjunto A, el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se denomina denomina conjunto potencia de A y se denota por (A). También en se suele decir que (A) es el conjunto de las partes de A.

P

P

Ejemplos Ej.0.2. Si A es el conjunto de tres elementos a,b,c , entonces el conjunto potencia de A, (A), es la colecci on o´ n de (¡todos!) los subconjuntos de A. As´ As´ı pues:

{

P

}

P (A) = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a,b,c}} Algunas propiedades. (pruebelas e´ belas como ejercicio) Leyes distributivas: Son dos: (pru´

A A

∩ (B ∪ C ) ∪ (B ∩ C )

= (A = (A

∩ B) ∪ (A ∩ C ) ∪ B) ∩ (A ∪ C ).

y

Tambien e´ n son dos: Leyes de De Morgan: Tambi´

A

− (B ∪ C ) A − (B ∩ C ) OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos

= (A =

− B) ∩ (A − C ) (A − B ) ∪ (A − C ).

y


24


Ejercicios y Problemas P.0.3 Sean X e Y dos conjuntos, A, C siguientes igualdades y contenidos:

⊂

X y B, D

⊂

Y . Demuestre las

(a) A

× (B ∩ D) = (A ∩ B) × (A ∩ D). (b) A × (B ∪ D) = (A ∪ B ) × (A ∪ D). (c) A × (Y − B ) = (A × Y ) Y ) − (A × B ). (d) (A × B ) ∩ (C × D) = (A ∩ C ) × (B ∩ D). (e) (A × B ) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C ) × (B ∪ D). Encuentre un ejemplo que muestre que la inclusión on puede ser estricta.

(f) (X

× Y ) Y ) − (A × B ) = (X × (Y − B )) ∪ ((X ((X − A) × Y ) Y ).

P.0.4 Demuestre las leyes de De Morgan. ales de las siguientes afirmaciones afirmaciones son verdaderas verdaderas.. DemuéstreestreP.0.5 Estudie cuáles las cuando lo sean y proporcione un contraejemplo en caso contrario. (a) A

⊂ C y B ⊂ D ⇒ (A × B) ⊂ (C × D). (b) (A × B ) ⊂ (C × D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D (c) (A × B ) ⊂ (C × D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D, suponiendo que A y B son no vac´ vac´ıos. ıos.

(d) (A

× B) ∪ (C × D) = (A ∪ C ) × (B ∪ D).

0.1.3.Familias de conjuntos Las operaciones unión on e intersección on que hemos definido para dos conjuntos se pueden extender sin ninguna dificultad a una familia arbitraria de conjuntos.

A

A

Sea una familia de conjuntos. Entonces la uni´ se uni on ´ de los elementos de define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de los conjuntos de y lo representaremos por

A

 A = {x : x ∈ A

para algún un A

A∈A

∈ A}.

A

De modo modo simila similarr, la intersecci´ elemen entos tos de se defin definee como como el conj conjunt unto o intersecci on ´ de los elem formado formado por los elementos que pertenecen pertenecen a todos los elementos elementos de , es decir,

 A = {x : x ∈ A

A∈A

para todo A

A

∈ A}.

Las leyes distributivas y de De Morgan que hemos visto anteriormente pueden extenderse sin excesiva dificultad al caso de familias arbitrarias de conjuntos. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


25


= Proposici´ Proposicion o´ n 0.1.1 (Leyes distributivas). Sea arbitraria arbitraria de conjuntos conjuntos y B un conjunto. Entonces:

A

{A

: i

i

∈ I } una familia

 A ) = (B ∪ A )   B ∩ ( A ) = (B ∩ A )

(1) B

∪(

i

i∈I

(2)

i

.

i

.

i∈I

i

i∈I

i∈I

´ . Solo D EMOSTRACI ON o´ lo demostraremos la propiedad (1), pues la otra se prueba de manera totalmente an aloga. a´ loga. Sea x

∈ B ∪ (∩ A ). Si x ∈ B, entonces entonces x ∈ (B ∪ A ) para todo i, por lo que x ∈ ∩ (B ∪ A ). En otro caso, x ∈ ∩ A , por lo que x ∈ A para todo i. Entonces x ∈ B ∪ A para todo i, por lo que estar´ estara´ en su intersecci´ interseccion. o´ n. Rec´ Rec´ıprocamente, ıprocamente, si x ∈ ∩ (B ∪ A ) entonces x ∈ B ∪ A para todo i; si x ∈ B entonces tambi´ tambien e´ n x ∈ B ∪ (∩ A ). En otro caso, x ∈ A para todo i, es decir, as´ı x ∈ B ∪ (∩ A ). x ∈ ∩ A , y as´ Proposici´ Proposicion o´ n 0.1.2 (Leyes de De Morgan) . Sea A = {A : i ∈ I } una familia i∈I

i∈I

i

i

i∈I

i

i

i

i

i∈I

i∈I

i

i

i∈I

i

i∈I

i

i

i

i

arbitraria arbitraria de subconjuntos subconjuntos de un conjunto dado X . Entonces:

 A ) = (X − A )   X − ( A ) = (X − A )

(1) X

−(

i

i∈I

(2)

.

i

.

i∈I

i

i∈I

i

i∈I

´ . Probaremos D EMOSTRACI ON Probaremos solo o´ lo el apartado (1), pues el (2) es totalmente an´ analogo. a´ logo. Si x X ( i∈I Ai ) entonces x Ai para todo i, de modo que x X Ai para todo i, luego x Rec´ıprocamente, ıprocamente, si x Ai ). Rec´ Ai ) i∈I (X i∈I (X entonces x Ai para todo i, por lo que x i∈I Ai ; entonces debe estar en su complementario.

∈ −∪ ∈

∈∩

−

∈

∈ ∪

∈ − ∈∩ −

Para finalizar finalizar esta secci on o´ n enunciamos el siguiente resultado acerca de la diferencia de conjuntos. conjuntos.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.1.3. Sean A y B dos subconjuntos de X . Entonces se verifica lo siguiente: (1) A

− (A − B) = A ∩ B. (2) A − (A ∩ B ) = A − B . OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


26

0.2. Aplicaciones

´ . La prueba es bastante sencilla y basta repetir las ideas expuesD EMOSTRACI ON tas en las demostraciones anteriores. Demostremos, por ejemplo, el apartado (1). Si x o´ n A (A B ) entonces x Ayx A B . Esta segunda condicion implica que x B . Entonces x A B . Rec´ Rec´ıprocamente, ıprocamente, si x A B entonces implica x A y x A B . Y as´ as´ı x A (A B ). x A y x B , que implica

∈ − − ∈ ∈ ∈

∈ ∈ − ∈ ∩ ∈ ∈ −

∈ ∩ ∈ − −

0.2.Aplicaciones En esta sección on nos proponemos recordar otro concepto igual de importante que el de conjunto: el concepto de aplicacion o´ n o funcion. o´ n. Grosso modo, una aplicaci aplicación o´ n entre dos conjuntos conjuntos A y B es una regla que asigna a cada elemento del conjunto conjunto B . A otro elemento del conjunto f f (( x ) = y f x

X Y ´ entre dos conjuntos X e Y . Figura 3 – Aplicaci on

(tambien Definici´ Definicion o´ n 0.2.1. Sean X e Y dos conjuntos. Una aplicaci on ´ (tambi´ ´ se le llama funci´ asignacion funci on ´ ) f entre X e Y es una correspondencia o regla de asignaci´ ´ entre ellos tal que a cada punto x de un subconjunto de X (dicho (dicho subconjunto subconjunto puede coincidir con X ), ), se le asocia un unico ´ punto y de Y , , denominado d enominado imagen de x y f (x). La denotaremos denotado denotado por f ( denotaremos por

f : X

−→ Y

o

X

f

−→ Y

X se llama el origen de f e Y se llama recorrido o rango de f . El subconjunto de X en el que est´ a definida f se denomina dominio y se denota por Dom(f ); el subconjunto subconjunto de Y formado por todas las im´ agenes de elementos del dominio se denomina conjunto imagen y se denota por Im(f ). Una funcion o´ n f : X Y puede ser considerada como un subconjunto del producto cartesiano X Y con la propiedad de que cada elemento de X aparece como la primera coordenada de, a lo sumo, un par ordenado. Podemos concebir f como el conjunto Γ(f Γ(f )) definido por

−→ ×

Γ(f Γ(f )) = (x, y )

{

∈ X × Y : x ∈ Dom(f ) f ), y = f ( f (x)}

y que denominaremos gr´ de f o grafo de f . gr afica ´ Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


27


funcion Y una funci´ X . El conjunto Definici´ Definicion o´ n 0.2.2. Sea f : X ´ y sea A imagen de A por f , , que denotaremos por f ( f (A) , es el subconjunto de Y formado por todas las im´ imagenes ´ de los elementos de A , es decir:

−→

⊂

f ( f (A) = y

f (x) para alg´ { ∈ Y : y = f ( un x ∈ A}.

restricci on La aplicacion ´ f restringida al subconjunto A se denomina la restricci´ ´ de f a A y se denota por f A .

|

Ejemplos aplicaciones f : R Ej.0.3. Sean las aplicaciones R, y g : R R+ , donde R+ denota los números reales no negativos definidas como f ( f (x) = x4 y g (x) = x4 . Es fácil acil ver que dichas aplicaciones son distintas, ya que aunque están an definidas de la misma manera y tienen el mismo origen, sin embargo el recorrido de ambas funciones es distinto.

−→

−→

funcion Y una funci´ Y . La imagen inversa Definici´ Definicion o´ n 0.2.3. Sea f : X ´ y sea B −1 de B por f , , que denotaremos por f (B ) , es el subconjunto de X formado por todos los elementos elementos cuya imagen pertenece a B , es decir:

−→

⊂

f −1 (B ) = x

f (x) ∈ B }. { ∈ X : f (

Si B es un conjunto unipuntual, por ejemplo B = f −1 (y ) para referirnos a f −1 ( y ).

{}

{y}, usaremos la notacion o´ n

Tambi´ Tambien e´ n es importante tener en cuenta que f −1 (B ) no es m´ mas a´ s que una notacion, o´ n, −1 y el s´ s´ımbolo ımbolo f no indica que exista una aplicaci on o´ n entre Y y X que sea inversa de f .

Y una aplicaci´ Proposici´ Proposicion o´ n 0.2.4. Sea f : X on y considerem consideremos os los subconY . Entonces se satisfacen: juntos A X y B satisfacen:

⊂ ⊂ (1) A ⊂ f 1 (f ( f (A)). (2) f ( f (f 1 (B )) ⊂ B .

−→

−

−

´ . La demostraci D EMOSTRACI ON demostración o´ n de ambas propiedades es inmediata y se le propone como ejercicio. Las inclusiones que aparecen en la proposici on o´ n anterior no son, en general, general, igualdades. dades. Pueden Pueden encont encontrar rarse se ejemplo ejemploss de funcione funcioness donde donde las inclusi inclusione oness son propia propias. s. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


28

0.2. Aplicaciones

Ejemplos continuacion o´ n mostramos dos ejemplos de funciones f en los que las Ej.0.4. A continuaci´ inclusiones de la Proposicion o´ n 0.2.4 son estrictas. (1)Consideremos f : R f (x) = x2 , y el conjunto A = [1, [1, R, f ( Entonces f ( f (A) = [1, [1, 2] y por tanto

−→

f −1 (f ( f (A)) = [

−

√

2, 1]

[1, − ∪ [1,

√ 2].

√

2]  A.

(2)Consideremos f : R f (x) = sen x, y el conjunto B = [ 2, 2]. R, f ( −1 Entonces f ([ 2, 2]) = R pero

−

−→

−

f ( f (f −1 (B )) = [ 1, 1]  B.

−

Veamos ahora algunas propiedades de las aplicaciones en relaci on o´ n con las inclusiones, las uniones, las intersecciones y las diferencias. Las demostraciones se le proponen, de nuevo, como ejercicio.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.2.5. Sea f : X

→ Y y sean B ⊂ Y para i = 1, 2. Entonces: (a) B1 ⊂ B2 ⇒ f 1 (B1 ) ⊂ f 1 (B2 ). (b) f 1 (B1 ∪ B2 ) = f 1 (B1 ) ∪ f 1 (B2 ). (c) f 1 (B1 ∩ B2 ) = f 1 (B1 ) ∩ f 1 (B2 ). (d) f 1 (B1 − B2 ) = f 1 (B1 ) − f 1 (B2 ). Proposici´ Proposicion o´ n 0.2.6. Sea f : X → Y y sean A ⊂ X para i = 1, 2. Entonces: (a) A1 ⊂ A2 ⇒ f ( f (A1 ) ⊂ f ( f (A2 ). f (A1 ∪ A2 ) = f ( f (A1 ) ∪ f ( f (A2 ). (b) f ( f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f ( f (A1 ) ∩ f ( f (A2 ). (c) f ( f (A1 − A2 ) ⊃ f ( f (A1 ) − f ( f (A2 ). (d) f ( −

i

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

i

La generalizaci generalizacion o´ n de los apartados (b) y (c) de la Proposición on 0.2.5 a un número umero arbitrario arbitrario de subconjuntos subconjuntos de Y se enuncia a continuaci continuación. o´ n. Haga, como ejercicio la demostracion. o´ n.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.2.7. Sea Bi Entonces se verifica:

{ ⊂ Y : i ∈ I } una familia de subconjuntos de Y .

(1) f −1 (

 B ) =  f

−1

i

i∈I

(Bi ).

i∈I



29


(2) f −1 (

 B ) =  f

−1

i

i∈I

(Bi ).

i∈I

A continuaci´ continuacion o´ n se generalizan los apartados (b) y (c) de la Proposici on o´ n 0.2.6 a un numero u´ mero arbitrario de subconjuntos de X . La demostracion, o´ n, como en el caso anterior, se deja como ejercicio.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.2.8. Sea Ai Entonces se verifica:

{ ⊂ X : i ∈ I } una familia de subconjuntos de X .

 A ) =  f (f (A )   f (f (A ) f ( f ( A ) ⊂

(1) f ( f (

i

i∈I

(2)

.

i

.

i∈I

i

i∈I

i

i∈I

0.2.1.Tipos de aplicaciones aplicacion Y se dice que es inyectiva (o uno-aDefinici´ Definicion o´ n 0.2.9. Una aplicaci ´ f : X imagenes por f son distintas. distintas. uno) si para cada par de puntos distintos de X , , sus im´ ´ Se dice que es sobreyectiva (o que f aplica X sobre Y ) si cada elemento de Y es la imagen por la funci´ funcion algun ´ f de alg´ ´ elemento de X . Si f es a la vez inyectiva correspondencia uno-a y sobreyectiva, sobreyectiva, se dice que es biyectiva (o se llama una correspondencia uno).

→

Cuando f es biyectiva entonces existe una aplicaci on o´ n de Y en X , denominada −1 X , definida como f −1 (y ) = x, inversa de f , que se representa por f : Y donde x es el unico u´ nico elemento de X tal que f ( f (x) = y .

−→

Ejercicios y Problemas P.0.6 Conteste las siguientes preguntas, justificando las respuestas. (a)¿Cu al a´ l de las siguientes funciones funciones f : R

f ( f (x) = x3 ,

f (x) = x2 ,

(b)¿Cu al a´ l de las siguientes funciones funciones f : R

f ( f (x) = x3 ,

f (x) = x2 ,

(c)¿Cu al a´ l de las siguientes funciones funciones f : R

f ( f (x) = x4 , OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos

f ( f (x) = x7 ,

−→ R es inyectiva? f (x) = tan(x tan(x).

−→ R es sobreyectiva? f (x) = tan(x tan(x).

−→ R es biyectiva? f (x) = cos(x cos(x). ˜ e´ Herrero Pineyro

30

0.2. Aplicaciones

f ( f (x) = x2

f ( f (x) = x3

f ( f (x) = cos(x cos(x)

f ( f (x) = tan(x tan(x)

´ Figura 4 – Graficas de algunas funciones.

aplicacion Y una aplicaci´ Proposici´ Proposicion o´ n 0.2.10. Sea f : X ´ y consideremos los subconjuntos A X y B satisface: Y . Entonces se satisface:

⊂

⊂

−→

f (A)). (1)Si f es inyectiva entonces A = f −1 (f ( (2)Si f es sobreyectiva entonces f ( f (f −1 (B )) = B .

´ . La demostraci D EMOSTRACI ON demostración o´ n de ambas propiedades es inmediata y se le propone como ejercicio.

Para completar las propiedades indicadas en la Proposici on o´ n 0.2.6, presentamos el siguiente resultado.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.2.11. Sea f : X para i = 1, 2. Entonces:

→ Y una aplicaci´ on inyectiva y sean A ⊂ X i

(a) f ( f (A1

∩ A2) = f ( f (A1 ) ∩ f ( f (A2 ). f (A1 − A2 ) = f ( f (A1 ) − f ( f (A2 ). (b) f ( Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


31


on o´ n de aplicaciones

0.2.2.Composici

Para construir construir nuevas aplicaciones aplicaciones a partir de otras dadas, podemos restringir los conjuntos origen o modificar los rangos de las mismas, como ya hemos visto. Otro mecanismo para formar nuevas aplicaciones es componerlas. f f (( x ) = y f x g ( f f (( x x )) ) = g g (( y ) = z g X

Z Y

´ entre dos aplicaciones. Figura 5 – Composici on

Y y g : Y Definici´ Definicion o´ n 0.2.12. Sean las funciones f : X la composici on aplicacion ´ g f de f y g como la aplicaci´ ´ g f : X (g f )( f )(x x) = g (f ( f (x)).

−→

◦

◦

◦

−→ Z . Se define −→ Z dada por

Ejemplos on g Ej.0.5. La composición

es la funcion o´ n (g

◦ f de las aplicaciones siguientes f : R −→ R, f (x) = 3x3 + 7, 7, g : R −→ R, g (x) = 4x2 .

◦ f )( f )(x x) = 4(3x 4(3x3 + 7)2 .

Proposici´ Proposicion o´ n 0.2.13. Sean f : X (a)Si C

→ Y y g : Y → Z . Se verifica lo siguiente: −1

f ) ⊂ Z , entonces (g ◦ f )

(C ) = f −1 (g −1 (C )) )).

(b)Si f y g son inyectivas, entonces g

◦ f es inyectiva.

(c)Si g (d)Si (e)Si

◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva. f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva. g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.

´ . La demostraci D EMOSTRACI ON demostracion o´ n se le propone como ejercicio. ejercicio. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


32

0.3. Conjuntos finitos y numerables

0.3.Conjuntos finitos y numerables En esta ultima u´ ltima parte del cap´ cap´ıtulo ıtulo vamos a introducir algunos tipos destacados de conjuntos: finitos, infinitos, numerables y no numerables.

0.3.1.Conjuntos finitos Dediquemos Dediquemos unas palabras a los conjuntos conjuntos m´ mas a´ s sencillos: los finitos. umero natural Definici´ Definicion o´ n 0.3.1. Un conjunto X se dice que es finito si existe un n´ n y una aplicaci´ on biyectiva entre X y el conjunto 1, . . . , n . El n´ umero n se llama el cardinal de X . Si X = ∅ entonces entonces su cardinal cardinal es 0.

{

}

Algunas propiedades relativas a los conjuntos finitos son las siguientes.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.3.2. (1)Si X es finito, entonces no existe una aplicaci´ on biyectiva entre X y un subconjunto propio de X . (2)El cardinal de un conjunto finito X est a´ ´ un´ un´ ıvocamente ıvocamente determinado por el conjunto X . (3)Si A es un subconjunto de un conjunto finito X , entonces A es finito. Si A es un subconjunto propio, entonces el cardinal de A es menor que el cardinal de X .

´ . La demostracion D EMOSTRACI ON o´ n de estas propiedades no es nada trivial, en contra de lo que pudiera pensarse a primera vista. Las claves son las dos propiedades siguientes, que enunciamos sin demostracion: o´ n: (a)Sea n un entero positivo. Sean X un conjunto y x0 un elemento de X . Entonce Entoncess existe existe una aplica aplicaci´ ción on biyectiva biyectiva f entre entre el conjun conjunto to X y el conj conjunt unto o o´ lo si, existe una aplicacion o´ n biyectiva del conjunto 1, . . . , n + 1 si, y solo X x0 con 1, . . . , n .

{

} −{ } {

}

(b)Sea X un conjunto y supongamos que f : X 1, . . . , n es una aplicaci´ cacion o´ n biyectiva para alg un u´ n n N. Sea A un subconjunto propio de X . Entonces no existe biyección on alguna g : A 1, . . . n , y si B = ∅ entonces existe una aplicación on biyectiva h : A un 1, . . . , m para algún m < n.

∈

→{ →{ →{

}

}

}



Ejemplos Ej.0.6. El conjunto N de los n´ numeros u´ meros naturales no es finito ya que la funci on o´ n o´ n entre N y f : N 1 , definida por f ( f (n) = n + 1, es una biyeccion N

→ −{ }



33


un subconjunto propio de s´ s´ı mismo, lo que contradice el apartado (1) de la Proposici´ Proposicion o´ n 0.3.2.

vac´ ıo, son equivalentes: Proposici´ Proposicion o´ n 0.3.3. Si X es un conjunto no vac´ (1) X es finito. (2)Existe un n umero natural n y una aplicaci´ aplicacion ´ ´ f : breyectiva.

{1, . . . , n} −→ X so-

(3)Existe un n umero natural n y una aplicaci´ aplicacion ´ ´ f : X tiva.

−→ {1, . . . , n} inyec-

´ . Se le propone como ejercicio. D EMOSTRACI ON productos cartesianos finitos de conProposici´ Proposicion o´ n 0.3.4. Las uniones finitas y los productos juntos finitos son finitos.

´ . Lo veremos s olo D EMOSTRACI ON o´ lo para el caso de dos conjuntos. La demostraci´ cion o´ n en el caso general es análoga aloga y se realiza por inducción o n en el número umero de conjuntos. Demostraremos primero que si X e Y son conjuntos finitos, también lo es X Y . Si X o Y es vac´ vac´ıo ıo no hay nada nada que probar probar.. En caso caso contra contrario rio,, existi existir´ rán an biyecciones biyecciones f : 1, . . . , m X y g : 1, . . . , n Y para determinados m y n. Definimos entonces entonces una funcion o´ n h : 1, . . . , m + n X Y de la forma h(i) = f ( f (i) si a´ cil ver que h i = 1, 2, . . . , m y h(i) = g (i m) si i = m + 1, 1, . . . , m + n. Es f acil es sobreyectiva, de lo que se deduce que X Y es finito.

∪

{

}→

{ {

−

}→ }→ ∪ ∪

Veamos ahora que el producto cartesiano de dos conjuntos finitos X e Y tambi´ tambien e´ n es finito. Dado x X , el conjunto x Y es finito, pues tiene el mismo cardinal que Y . Pero X Y es la uni union o´ n de estos conjuntos, por lo que X Y es una unión on finita de conjuntos finitos, y por tanto finito.

×

∈

{ }×

×

0.3.2.Conjuntos numerables Definici´ Definicion o´ n 0.3.5. Todo conjunto X que no sea finito se dice que es infinito. Si X es un conjunto infinito que est a´ ´ en correspondencia biyectiva con N , entonces se dice que es infinito numerable . En otro caso X se dice que es infinito no numerable. Diremos que X es numerable si es finito o infinito numerable. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


34

0.3. Conjuntos finitos y numerables

Ejemplos numeros u´ meros naturales es numerable. SuponEj.0.7. Todo subconjunto A N de los n´ gamos que A es infinito. Vamos a construir una aplicaci on o´ n biyectiva f entre sera´ el menor elemento elemento de A y, entonces llamaremos A y N. f (1) f (1) ser´

⊂

A1 = A

− {f (1) f (1)};

sera´ el menor elemento elemento de A1 y ahora llamaremos f (2) f (2) ser´

A2 = A1

− {f (2) f (2)} = A − {f (1) f (1),, f (2) f (2)};

y as´ as´ı sucesivamente. En general, sea f ( f (m) el menor elemento de Am−1 y denotemos Am = Am−1 f ( f (m) . Como A no es finito, el proceso anterior no acaba y para cada m f (m) > f ( f (i), para i < m. N existe f ( Es fácil acil ver que f es una aplicación on biyectiva (observemos que f ( f (m) m para todo m).

−{

∈

}

≥

La siguiente propiedad propiedad es an´ analoga a´ loga a la Proposici Proposición o´ n 0.3.3, 0.3.3, pero en t erminos e´ rminos de los conjuntos numerables.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.3.6. Si X es un conjunto no vac´ vac´ ıo, entonces son equivalentes: (1) X es numerable. (2)Existe una aplicaci on ´ sobreyectiva f : N (3)Existe (3)Existe una aplicaci aplicaci on ´ inyectiva g : X

→ X .

→ N.

Hagamos Hagamos un inciso aqu´ı para referirnos referirnos a las aplicaciones aplicaciones f : N X . Este tipo de aplicaciones se denominan sucesiones y habitualmente se denotan como debemos confundir una sucesi´ sucesion o´ n con (xn )n∞=1 o xn n∞=1 , donde xn = f ( f (n). No debemos su conjunto imagen.

→

{ }

Proposici´ Proposicion o´ n 0.3.7. Si A es un subco subconj njunt unto o de un conj conjunt unto o numer numerabl ablee X , , entonces A es tambi´ tambien ´ numerable. ´ . Como X es numerable, existe una aplicación D EMOSTRACI ON on f : N X sobreyecti sobreyectiva. va. Definimos Definimos una aplicaci´ aplicación on g : X on g A = 1, A por la condición de modo que h = g f : N o´ n sobreyectiva, lo que implica A es una aplicacion que A es numerable.

◦

−→

−→

−→ |

Lema 0.3.8. El producto finito de copias de N es un conjunto numerable. ´ . Lo demostraremos para el producto N D EMOSTRACI ON hace por inducción on en el número umero de copias. Ordenemos el conjunto N

× N; el caso general se

siguiente forma: × N de la siguiente



35


... ... ... .. .

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ % ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ % ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ % ¨ ¨ ¨ ¨ %

(1,1 (1,1)) (1,2 (1,2)) (1,3 (1,3)) (2,1 (2,1)) (2,2 (2,2)) (2,3 (2,3)) (3,1 (3,1)) (3,2 (3,2)) (3,3 (3,3)) .. .. .. . . .

N N, representada por el gr afico Es f acil a´ cil ver que la aplicaci on o´ n f : N a´ fico anterior, es una aplicacion o´ n sobreyectiva. Expl´ Expl´ıcitamente, ıcitamente, la funci´ funcion o´ n f anterior puede definirse como sigue. Si ponemos f ( f (k) = (m(k), n(k)), entonces

−→ ×

− r(r 2− 1) r+1−m

m(k ) = k n(k ) =

donde r es el unico u´ nico numero ´ natural natural tal que

r (r

− 1) < k ≤ (r + 1)r 1)r .

2

2

Los conjuntos numerables satisfacen las siguientes propiedades.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.3.9. (1)La uni on ´ numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable. (2)El producto finito de conjuntos numerables es un conjunto numerable.

´ . (1) Sea X i i∈I una familia numerable de conjuntos numeraD EMOSTRACI ON bles y supongamos, sin p´ perdida e´ rdida de generalidad, que cada conjunto X i es no vac´ vac´ıo. ıo.

{ }

Como cada X i es numerable, para cada i existe una aplicacion o´ n f i : N X i sobreyectiva. Pero I tambi´ tambien e´ n es numerable, por lo que es posible encontrar otra aplicaci´ aplicacion o´ n sobreyectiva g : N I . Ahora definimos

→

→

h:N

× N → X =

 X

i

i∈I

mediante la ecuaci on o´ n

h(k, m) = f g(k) (m). Es f ´ f acil a´ cil ver que h es sobreyectiva. Como N N es numerable, podemos encontrar una aplicaci aplicacion o´ n sobreyectiva de N en X , lo que concluye la demostración. on.

×

(2) Supongamos X e Y dos conjuntos numerables no vac´ vac´ıos. ıos. Elegimos aplicaciones sobreyectivas f : N o´ n X y g : N Y . Entonces, la aplicacion on h(n, m) = (f ( h : N N X Y definida mediante la ecuación f (n), g(m)) es sobreyectiva y, por tanto, X Y es numerable.

× → ×

→ ×

→

La demostraci demostracion o´ n en el caso general se realiza por inducción on en el número umero de factores del producto. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


36

0.4. Los números umeros reales

Ejemplos conjunto Q de los numeros u´ meros racionales es numerable. Observemos que Ej.0.8. El conjunto el conjunto Z de los numeros u´ meros enteros es numerable, ya que es la uni on o´ n de tres conjuntos conjuntos numerables: numerables: Z = N ( N) 0 . Pero Pero Q se puede puede conside considerar rar incluido en Z Z, que es numerable, y por tanto es tambi en e´ n numerable.

∪ − ∪{ }

×

numerable. Por tanto, R tampoco es numer[0, 1] R no es numerable. Ej.0.9. El intervalo [0, able. En efecto, supongamos que [0, [0, 1] es numerable y consideremos una enumeracion o´ n del mismo: x1 , x2 , . . . , , es decir, supongamos que existe una funci´ funcion o´ n sobreyectiva f : N [0, [0, 1], xn = f ( f (n). Expresemos cada numero u´ mero xn en notacion o´ n decimal:

⊂

{

x1 x2

−→

= =

···

}

0 a11 a12

· · · a1 · · · 0 a21 a22 · · · a2 · · · 

n n

Podemos Podemos suponer que cada xn tiene infinitos decimales; decimales; en efecto, efecto, en caso contrario podemos considerar la expresi on o´ n alternativa consistente en una sucesión on infinita de 9. Por ejemplo, 1/2 = 0 5 se puede escribir como 0 499999 .

···

Definimos el numero u´ mero y = 0 b1 b2 mediante bi = aii y bi = 0. Es bn claro que y = xi para todo i, por lo que y [0, [0, 1], lo cual es absurdo.

··· ··· ∈







Ejercicios y Problemas Demuestre que el conjunto conjunto de los n umeros u´ meros irracionales no es numerable. P.0.7 Demuestre

P.0.8 Sea X ω el conjunto formado por todas las aplicaciones de N en 0, 1 , es decir: aplicación o´ n . X ω = f : N 0, 1 : f es una aplicaci

{ }

{

−→ { }

}

Siguiendo las mismas ideas del Ejemplo Ej.0.9., demuestre que el conjunto X ω no es numerable.

0.4.Los n

´ umeros reales

Para finalizar este cap´ cap ´ıtulo, ıtulo, recordemos algunas de las principales propiedades de los n´ numeros u´ meros reales. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


37


En el conjunto R de los numeros ´ reales podemos definir dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicaci on o´ n de orden + y , llamadas ´ , respectivamente, y una relaci on cumplen las siguientes siguientes propiedades: propiedades: < sobre R, tales que se cumplen

·

Propiedades algebraicas

(1) (x + y ) + z = x + (y (y + z ), (x y) z = x (y z ) para todo x,y,z en R.

· ·

· ·

(2) x + y = y + x, x y = y x para todo x, y en R.

·

·

(3)Existe (3)Existe un unico u´ nico elemento de R llamado cero, representado por 0, de forma que x + 0 = x para todo x R. Existe un unico u´ nico elemento de R llamado uno, distinto de 0 y representado representado por 1, tal que x 1 = x para todo x R.

∈

·

∈ (4)Para cada x ∈ R existe un unico u´ nico y ∈ R tal que x + y = 0. Para cada x ∈ R distinto de 0 existe un unico u´ nico y ∈ R tal que x · y = 1. (5) x · (y + z ) = (x · y ) + (x ( x · z ) para todo x,y,z ∈ R. Una propiedad mixta algebraica y de orden

(6)Si x > y, entonces x + z > y + z . Si x > y y z > 0, entonces x z > y z .

·

·

Otras propiedades

(7)La (7)La relaci relaci on o´ n de orden < verifica la propiedad del supremo. (8)Si x < y, existe un elemento elemento z tal que x < z y z < y . La “propiedad del supremo” se puede definir tambi en e´ n para un conjunto ordenado arbitrario. En primer primer lugar, lugar, necesitamos necesitamos algunas definiciones definiciones preliminares. preliminares. Supongamos Supongamos que X es un conjunto ordenado por la relaci on o´ n < y sea A un subconjunto de X . Decimos que un elemento b es el m aximo de A si b A y si ´ a´ cil ver que un conjunto tiene, a lo sumo, un m aximo. a´ ximo. x b para todo x A. Es f acil

≤

∈

∈

El subconjunto A de X est´ esta´ acotado superiormente superiormente si existe un elemento b de X tal que x b para todo x A; el elemento b se denomina una cota superior para A. Si el conjunto de todas las cotas superiores de A tiene un m´ m´ınimo, ınimo, ese elemento se denomina el extremo superior o supremo de A. Se representa por aximo de A. sup A y puede pertenecer o no a A. Si pertenece, es el máximo

≤

∈

Ahora ya podemos definir la propiedad del supremo. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


38


Definici´ Definicion o´ n 0.4.1. Un conjunto ordenado A se dice que tiene la propiedad del supremo si todo subconjunto no vac´ vac´ ıo A de X que est e´ ´ acotado superiormente tiene supremo. An´ Analogamente a´ logamente se pueden definir los conceptos de m´ m´ınimo, ınimo, conjunto acotado inferiormente, extremo inferior o ´ınfimo ınfimo y la propiedad propiedad del ´ınfimo. ınfimo. Un numero u´ mero real es positivo si x > 0, y negativo si x < 0. Los reales positivos se denotar denotaran a´ n por R+ . Las propiedades (1)-(5) implican que R es un cuerpo; y la propiedad propiedad (6) nos permite permite decir que es un cuerpo ordenado . Por otro lado, las propiedades (7) y (8) implican s olo o´ lo a la relacion o´ n de orden; por satisfacer estas propiedades, se dice que R es un continuo lineal . Otra propiedad interesante de los n umeros u´ meros reales es la propiedad arquimediana, de la que presentamos presentamos dos versiones. versiones.

Proposici´ Proposicion o´ n 0.4.2 (Propiedad arquimediana, v.1). Para cualquier n´ numero ´ real positivo  > 0 , existe un numero natural n tal que n > 1. ´ numero Proposici´ Proposicion o´ n 0.4.3 (Propiedad arquimediana, v.2). Para cualquier par de n´ ´ reales x < y , existe un numero racional q tal que x < q < y . ´

Ejercicios y Problemas o´ lo si, tiene la P.0.9 Demuestre que A tiene la propiedad del supremo si, y s olo propiedad propi edad del ´ınfimo. ınfimo.

P.0.10 Calcule los siguientes conjuntos: (a) (b) (c) (d)

   

−1, 1) Z (n − 1, n + 1) N (−n, n) N (−n, n)

n∈N (

n n

n∈ n∈ n∈

P.0.11 Calcule la diferencia A B en cada caso: (a) A = [0, (b) A = ( 1, 1] [0, 1] B = ( 1, 0) B = [ 1, 1].

−

−

− −

P.0.12 Dados los conjuntos A, B y C , exprese cada uno de los siguientes con juntos en t erminos e´ rminos de A, B y C , utilizan uti lizando do los lo s s´ımbolos ımbol os , y : D = x : x A y (x B o x C ) , E = x : (x A y x B ) o x C , F = x : x A y (x B x C ) .

{ { {

∈ ∈ ∈

∈ ∈ } ∈ ∈ } ∈ ⇒ ∈ }

∪∩ −

P.0.13 Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si se pueden poner en correspondencia biyectiva. Pruebe lo siguiente: Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


39


(1) R y el intervalo ( 1, 1) tienen el mismo cardinal.

−

(2)Dos intervalos abiertos acotados tienen el mismo cardinal. (3) R tiene el mismo cardinal que cualquier intervalo (a, b). umeros reales. Determine si cada uno de los P.0.14 Sea R el conjunto de los números siguientes subconjuntos de R R es igual al producto cartesiano de dos subconjuntos de R.

×

entero}. {(x, y) : x es un entero (b) {(x, y ) : 0 < y ≤ 1}. (c) {(x, y ) : y > x }. (d) {(x, y ) : x no es un entero e y es un entero}. (e) {(x, y ) : x2 + y 2 < 1}. o´ n f ( f (x) = x3 − x. Restringiendo adecuadamente P.0.15 Sea f : R → R la funcion (a)

el dominio y el rango de f , obtenga a partir de f una funcion o´ n biyectiva g . −1 Dibuje Dibuje las gr´ graficas a´ ficas de g y g (hay diferentes elecciones posibles para g ).

graficamente a´ ficamente los siguientes subconjuntos de R2 : P.0.16 Represente gr´ algun u´ n n Z A = (x, y) : x [n, n + 1], 1], y [n, n + 1] para alg´

{ ∈ ∈ ∈ } B = {(x, y) : 0 ≤ x − y ≤ 1} C = {(x, y) : 1 < x2 + y2 ≤ 4} D = {(x, y) : 1 < x2 ≤ 4} E = {(x, y) : (x + 2)2 + (y (y − 1)2 < 16; x ≤ y} F = {(x, y) : |xy| > 1} ∪ {(0, (0, 0)} f (x) = 2x + 1 y P.0.17 Considere las funciones f, g : R −→ R dadas por f ( 2 expl´ıcitamente ıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y g (x) = x − 2. Determine expl´ g ◦ f . P.0.18 Sea el intervalo A = [−1, 1] y considere las funciones f,g,h : A −→ A

definidas por f ( f (x) = sen x, g (x) = sen(πx sen(πx)) y h(x) = sen(πx/ sen(πx/2) 2). Estudie si estas funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

o´ n f : R P.0.19 Considere la funcion

−→ R definida por f ( f (x) = x2 . Calcule:

(a) f −1 (25) (b) f −1 ( x : x

{ ≥ 0}) (c) f 1 ({x : 4 ≤ x ≤ 25}) −

P.0.20 Calcule los siguientes conjuntos: (a) (b)

 

1

[0, n ] n∈N [0, 1

(0, n ] n∈N (0,



40


1

 

[0, n ) n∈N [0,

(c)

n∈N [n, +

(d)

∞)

P.0.21 ¿Son ciertas o falsas las siguientes igualdades? Razone la respuesta. ∞

∞

 0, 1 − 1  = [0[ 0, 1]  a − 1 , b + 1  = [a, b] n

n=1

n=1

n

n

P.0.22 Sea A un conjunto cualquiera y, para todo x A, sea Gx un subconjunto de A tal que x Gx A. Demuestre que A = x∈A Gx .

∈

⊂

∈ ∪ = {x

ultiplo de n , : x es múltiplo P.0.23 Considere las familias de conjuntos An Determine los siguientes siguientes conjuntos: n N, y Bm = [m, m + 1], m Z. Determine

∈

∈

(a) A3

 ∩ AA B ∩ BB  A ∩( 5

(b)

i∈P

i , donde

3

4

(c) (d) (e)

m∈Z

m

5

m≥7

}

u´ meros primos. P denota el conjunto de los numeros

Bm )

ˆ on asociada f −→ Y se define la aplicación P (X ) −→ P (Y ) Y ) como sigue: u´ n x ∈ A}. f ( f ˆ(A) = {y ∈ Y : y = f ( f (x) para algun

on f : X P.0.24 Para toda aplicación ˆ: entre los conjuntos potencia f

ˆ tambi´ Demuestre que si f es inyectiva entonces f tambien e´ n lo es. P.0.25 Sean f, g : R

−→ R las funciones definidas como:  2x − 5 si x > 2 y f ( f (x) = g (x) = 3x + 1. 1. x2 − 2|x| si x ≤ 2 Encuentre: (a) (g ◦ f )(1) f )(1), (b) (f ◦ g )(2), (c) (f ◦ f )(3) f )(3). ¿Puede determinar expl´ expl´ıcitamente ıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f ? funcion o´ n constante constante g (x) = x0 para todo x ∈ X . P.0.26 Sea g : X −→ X una funci´ Demuestre Demuestre que para cualquier funcion o´ n f : X −→ X la composici´ composicion o´ n g ◦ f es constante e igual a x0 . ¿Qu´ ¿Que´ puede decirse de f ◦ g ? o´ n f : X −→ Y es biyectiva si, y s olo o´ lo si, P.0.27 Demuestre que una aplicaci on f ( f (A ) = [f ( f (A)] para todo A ⊂ X . c

c

P.0.28 Demuestre que todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.



1 Espacios m´ metricos e´ tricos En este primer cap´ cap´ıtulo, ıtulo, se introduce la nocion o´ n de Espacio metrico e´ trico y de subespacio m´ metrico, e´ trico, estudiando numerosos ejemplos y propiedades b´ basicas. a´ sicas. Se introduce la nocion o´ n de topolog´ topolog´ıa ıa asociada a un espacio m etrico e´ trico introduciendo las bolas abiertas y a a partir de aqu´ aqu ´ı se estudian los conjuntos abiertos, los cerrados y sus propiedades. Se pretenden alcanzar las siguientes siguient es competencias espec´ıficas: ıficas: Utilizar Utilizar los conceptos conceptos b´ basicos a´ sicos asociados asociados a la noci´ nocion o´ n de espacio m´ metrico. e´ trico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ topolog´ıa ıa m etrica. e´ trica. Construir ejemplos de espacios m´ metricos e´ tricos usando las nociones de subespacio métrico etrico y espacio métrico etrico producto. Se desarrollar´ desarrollaran a´ n los contenidos siguientes: Distancia. Espacio m´ metrico. e´ trico. Distancias en R y Rn . Ejemplos Ejemplos de espacios espacios m etricos. e´ tricos. Subespacio Subespacio m etrico. e´ trico. Distancia Distancia a un conjunto y distancia distancia entre conjuntos. Bolas. Topolog´ Topolog´ıa ıa asociada a una m etrica. e´ trica. Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades. Producto Producto de espacios espacios m etricos. e´ tricos. 41

42

1.1. Distancias

1.1.Distancias Definici´ Definicion o´ n 1.1.1. Dado un conjunto X , , una distancia sobre X , , es una aplicaci apl icaci´ on ´ d : X X X le asocia un n´ R que a cada par de puntos x, y numero ´ real d(x, y) , que cumple las siguientes condiciones:

× −→

(1) d(x, y)

∈

≥ 0.

(2) d(x, y) = 0 si, y s´ olo si, x = y (separaci´ on). (3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y

∈ X (simetr ´ ´ıa). (4) d(x, y) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) para todo x,y,z ∈ X (desigualdad triangular). es un par (X, d) , donde X es un conjunto espacio metrico Definici´ Definicion o´ n 1.1.2. Un espacio ´ y d es una distancia definida en X .

Ejemplos umeros reales R podemos definir una distancia Ej.1.1. En el conjunto de los números tomando el valor absoluto de la diferencia, es decir, d : R R R definida como d(x, y) = x y . Las condiciones condiciones de distancia distancia se deducen deducen inmediatamente de las propiedades conocidas del valor absoluto. A esta distancia le llamaremos distancia usual de usual de R.

× →

| − |

vac´ıo ıo cualquiera; metrico discreto. discreto. Sea X un conjunto no vac´ Ej.1.2. El espacio m´ ´ definimos una distancia dD como sigue:

dD (x, y) =



0 si x = y 1 si x = y



Esta distancia se llama distancia discreta y verificar las condiciones de distancia se reduce a una mera comprobaci on. o´ n. Observemos adem´ ademas a´ s que cambiando el 1 por cualquier otro valor num´ numerico e´ rico obtenemos otra distancia, tambi´ tambien e´ n discreta.

Las dos siguientes desigualdades, serán an utiles u´ tiles en el desarrollo desarrollo de los dos pr oximos o´ ximos ejemplos que juegan un importante papel. numeros reales cualesquiera, Lema 1.1.3. Si a1 , a2 , . . . , an y b1 , b2 , . . . , bn son n´ ´ entonces, se cumplen: (a)(Desigualdad de Cauchy-Schwarz) 2

n

n

n

      ≤ ai2

ai bi

i=1


i=1

bi2 .

i=1


43

1. Espacios métricos etricos

(b)(Desigualdad de Minkowski) 1/2

n



2

(ai + bi )

i=1

1/2

n

n

     ≤ ai2

+

i=1

1/2

bi2

.

i=1

´ . Veamos D EMOSTRACI ON eamos en primer primer lugar lugar la desigua desigualda ldad d (a) de Cauchy Cauchy-Sc -Schwa hwarz. rz. n 2 Dado cualquier cualquier numero ´ x R se verifica que i=1 (ai x + bi ) 0. Si desarrolla2 mos el cuadrado y agrupamos tendremos que Ax + 2Bx + C 0, tomando n n n 2 2 A = i=1 ai , B = i=1 ai bi y C = i=1 bi .



∈







≥

≥

En estos t´ terminos, e´ rminos, lo que queremos probar es que B 2 AC . Si A = 0 entonces ai = 0 para todo i la desigualdad se verifica claramente. Si A = 0 podemos poner

0

2Bx + C = A ≤ Ax2 + 2Bx

≤

  x+

B A

 2 AC − B 2 + A

para todo x R. La ultima u´ ltima expresi expresión ´ es e s m´ınima ıni ma si si x = expresión obtenemos

∈

0 y, por tanto, B 2

≤ AC A− B

2

, lo cual implica AC

− BA y si sustituimos dicha

− B2 ≥ 0

≤ AC ; con lo que queda demostrada demostrada la desigualdad. desigualdad.

Por ultimo, u´ ltimo, observemos observemos que demostrar demostrar la desigualdad desigualdad de Minkowski, Minkowski, es equivaequivalente a demostrar la desigualdad n



n

(ai + bi )

i=1

2

n

1/2

n

n

      ≤ ai2

bi2

+

i=1

ai2

+2

i=1

1/2

bi2

i=1

i=1

Si desarrollamos desarrollamos el binomio de la izquierda izquierda n



n 2

(ai + bi ) =

i=1

n

n

   ai2

i=1

bi2

+

i=1

+2

ai bi r

i=1

Con lo cual, solo o´ lo queda simplificar y aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.1.3)(a) 1.1.3)(a) anterior. Sigamos Sigamos con mas a´ s ejemplos de distancias y, y, por tanto de espacios m´ metricos. e´ tricos.

Ejemplos Ej.1.3. Sea X = R2 . Para los puntos x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) se definen las aplicaciones:

d1 (x, y) = d2 (x, y) = d∞ (x, y) = OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos

|x1 − y1| + |x2 − y2|, (x1 − y1 )2 + (x (x2 − y2 )2 , max( a´x(|x1 − y1 |, |x2 − y2 |).




44

1.1. Distancias

Las tres aplicaciones son distancias en el plano (una demostraci on o´ n de esto la proporcionaremos en el siguiente ejemplo). Las funciones anteriores miden la distancia de una forma distinta, y en la siguiente Figura 1.1 se puede ver una representacion o´ n gr´ grafica a´ fica de cada una ellas: y

y

x

x

d1 (x, y )

d2 (x, y )

y y

x x

d∞ (x, y) con |x2 − y2 | > |x1 − y1 |

d∞(x, y ) con |x1 − y1 | > |x2 − y2 |

´ Figura 1.1 – Gr´ Graficos de d1 , d2 y d∞.

Las tres distancias son generalizaciones de la distancia usual que hemos definido definido en R y las tres tienen nombre propio: d1 se llama la distancia del taxi, taxi, d2 se llama la distancia dista ncia eucl´ıdea ıdea o usual y d∞ se llama la distancia maximo. a´ ximo. del ajedrez a jedrez o del m´ acilmente a Rn como Ej.1.4. El Ejemplo Ej.1.3. anterior se puede generalizar fácilmente sigue. Sean los puntos x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) de Rn . Se definen: n

d1 (x, y) =

| − |   − xi

yi ,

i=1

1/2

n

d2 (x, y) =

(xi

yi ) 2

,

i=1

d∞ (x, y) = max a´x xi

{| − yi|; i = 1,1 , . . . , n}.

La prueba de que d1 y d∞ son distancias es una mera comprobaci on. o´ n. En efecto, tal y como se han definido, las dos son no negativas; adem as a´ s como 2 o´ lo si, xi = yi se cumple la condici condicion o´ n xi yi = 0 y (xi yi ) = 0 si, y solo

| − |

−



45


(2) de distancia. Adem´ Ademas a´ s xi yi = yi xi y (xi yi )2 = (y ( yi xi )2 , con lo que obtenemos la condicion o´ n (3). Para la desigualdad triangular solo o´ lo hay que tener en cuenta la desigualdad triangular del valor absoluto para cada i

| − | | − |

−

−

|xi − yi| ≤ |xi − zi| + |zi − yi|, con lo que en el caso d1 tenemos: n

d1 (x, y) =

n

|

xi

i=1

n

( xi

i=1

− zi| + |zi − yi|) =

n

|

xi

i=1

y para d∞ :

− yi

 |≤ |

− zi | +

|

zi

i=1

− yi| = d1(x, z) + d1(z, y);

d∞ (x, y ) = m´ ax ax xi

{| − yi| : i = 1, . . . , n} ax{|xi − zi | + |zi − yi | : i = 1, . . . , n} ≤ ≤ máx ax{|xi − zi | : i = 1, . . . , n} + máx ax{|zi − yi | : i = 1, . . . , n} ≤ máx

= d∞ (x, z ) + d∞ (z, y ).

(1.1)

Lo mismo sucede con las propiedades (1), (2) y (3) para la distancia usual as´ı con la propiedad (4) en la que hay que utilizar la desigualdad de d2 ; no as´ Cauchy-Schwarz 1.1.3(a). 1.1.3(a). Sean x,y,z

∈ Rn y consideremos

 

1

n

(d2 (x, z ) + d2 (z, y ))2 =

(xi

i=1

=

n

n





2

(xi zi ) +

i=1

−

2

− zi)2

+

n

2

(zi yi ) + 2

−

i=1



(xi

i=1

− yi)2

n 2

− zi)



(zi

i=1

  2

(zi

i=1

2

1

n

 

2

− yi )



=

1 2

=( )

∗

Aplicando Aplicando la desigualdad desigualdad de Cauchy-Sch Cauchy-Schwarz warz 1.1.3(a) 1.1.3(a) al ultimo u´ ltimo sumando sumando de la expresion o´ n anterior: n

n

 ∗≥ 

( )

(xi

i=1

− zi )

2

+

n



(zi

i=1

2

− yi)

+2



(xi

i=1

)(zi − yi ) = − zi)(z

n

(xi

i=1

(zi − yi )2 + 2(x 2(xi − zi )(z )(zi − yi ) − zi)2 + (z




=


46

1.1. Distancias n

n

 −   [(x [(xi

zi ) + (z ( zi

i=1

2

− yi)]

i=1

− yi)2

(xi

i=1

1/2 2

n

(xi

=



 

− yi)2 =

= (d2 (x, y))2 ,

de donde se deduce la desigualdad triangular. umeros complejos es un espacio métrico etrico con la Ej.1.5. El conjunto C de los números distancia distancia dada por el m odulo o´ dulo de la diferencia: diferencia:

d(z1 , z2 ) = z1

| − z2|

con z1 , z2

∈ C.

Compruebe como ejercicio, que se verifican las condiciones de distancia. num ericos, e´ ricos, como el conEj.1.6. Se pueden considerar otros conjuntos que no son num´ junto de las l as funciones reales acotadas

([a, b], R) = ∞ ([a, ([a, b]) = {f : [a, b] → R : |f ( f (x)| ≤ M, M > 0}. A([a, Dadas dos funciones f, g ∈ X definimos d∞ (f, g ) = sup {|f ( f (x) − g (x)|}. X =

x [a,b] a,b]

∈

Puede comprobar, a partir de las propiedades del valor absoluto, que d∞ es una distancia, distancia, denominada la distancia del supremo; supremo; en la Figura 1.2 se representa la distancia del supremo entre dos funciones f y g .

Figura 1.2 – Distancia del supremo en el espacio

([a, b], R). A([a,

Tambien e´ n podemos considerar el conjunto ([a, ([a, b], R), de las funciones Ej.1.7. Tambi´ reales continuas sobre un intervalo cerrado [a, b]. La aplicaci aplicación o´ n d dada por

C

b

d(f, g ) =

 |

f ( f (x)

a


− g(x)|dx e´ Herrero Pineyro n˜ eyro

47


´ Figura 1.3 – La distancia es el area comprendida entre dos curvas.

es una distancia, que viene dada por el área area comprendida entre funciones funciones continuas. En la Figura 1.3 se representa tal distancia. Sabemos que si b tambien e´ n que f ( f (x) 0, entonces a f ( f (x)dx 0 para cada x [a, b] y tambi´

≥

b f (x)dx a f (





solo o´ lo si, f = 0 si, y s´

condiciones de distancia.

≥

∈

≡ 0; por tanto se cumplen las dos primeras

De la simetr´ simetr´ıa ıa del valor absoluto ( f ( f (x) g (x) = g (x) f ( f (x) ), se obtiene la tercera condici on; o´ n; y por ultimo, u´ ltimo, de la desigualdad triangular del valor valor absoluto, de la aditividad aditividad de la integral y de que f ( f (x) g (x) implica b b f (x)dx a f ( a g (x)dx, se deduce

|



  |

−

| |

− ≤

≤

b

d(f, g ) =

b

f ( f (x)

a

 | ≤ |  | −

− g(x) dx

b

=

 |

( f ( f (x)

a

− h(x)| + |h(x) − g(x)|)dx

b

f ( f (x)

a

|

− h(x)|dx +

h(x)

g (x) dx = d(f, h) + d(h, g ).

a

|

sucesiones reales acotadas acotadas Ej.1.8. O bien el conjunto de las sucesiones sucesion o´ n acotada con xn ∞ = (xn )∞ n=1 : sucesi´

{

= x:N

{

−→ R :

esta´ acotada x est´

}

∈ R}

(1.2)

∞ Dadas dos sucesiones (xn )∞ n=1 , (yn )n=1

∈ ∞, definamos d∞ ((x ((xn )n , (yn )n ) = sup{|xn − yn |}. n ∈N

Pruebe que d∞ es una distancia en ∞ .

Ej.1.9. Tambi´ Tambien e´ n se pueden construir espacios m etricos e´ tricos a partir de otros conoci dos. En efecto, sean (X 1 , d) y (X 2 , d ) dos espacios m´ metricos. e´ tricos. Para puntos OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


48

1.1. Distancias

x = (x1 , x2 ) e y = (y ( y1 , y2 ) de X 1

× X 2 se define:

d1 (x, y) = d(x1 , y1 ) + d (x2 , y2 ), d2 (x, y) = (d(x1 , y1 )2 + d (x2 , y2 )2 )1/2 , a´x d(x1 , y1 ), d (x2 , y2 ) . d∞ (x, y) = max

{

}

Entonces d1 , d2 y d∞ son distancias en el espacio espacio producto X 1

× X 2.

Verificar que d1 , d2 o d∞ son distancias es un proceso similar al del Ejemplo Ej.1.3. anterior y es recomendable que, como ejercicio, concrete los detalles. Este es un procedimiento, digamos estandar, para definir distancias en espacios que son el producto cartesiano de una colección on finita de espacios metricos. e´ tricos. As´ As´ı, ı, si (X 1 , d1 ) . . . (X n , dn ) son n espacios m´ metricos, e´ tricos, se pueden definir en X 1 X n las distancias:

×···×

ρ1 (x, y ) =

n

 

di (xi , yi ),

i=1

n

ρ2 (x, y ) =

i=1

2

di (x1 , y1 )



1/2

,

ρ∞ (x, y ) = max a´x di (xi , yi ) : i = 1, . . . , n ,

{

con x = (x ( x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )

}

∈ X 1 × · · · × X n.

La siguiente, es una propiedad que nos ser a´ util, u´ til, junto con el resultado que aparece en el Problema Problema P.1.2. metrico. Para todo x,y,z Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.4. Sea (X, d) un espacio m´ ´ verifica:

∈

X se

|d(x, z) − d(z, y)| ≤ d(x, y). ´ . Aplicando D EMOSTRACI ON Aplicando la desigualdad desigualdad triangular y la simetr´ simetr´ıa ıa de la distancia, tenemos

d(x, z )

≤ d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + d(z, y), por lo que d(x, z ) − d(z, y ) ≤ d(x, y). De forma an aloga a´ loga podemos poner d(z, y ) ≤ d(z, x) + d(x, y) = d(x, z ) + d(x, y) y tendremos que −d(x, y) ≤ d(x, z ) − d(z, y ). Usando estas dos desigualdades tenemos

−d(x, y) ≤ d(x, z) − d(z, y) ≤ d(x, y) lo que concluye concluye la demostraci demostración. o´ n. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


49


Estamos en condiciones de practicar y profundizar un poco por cuenta propia. De modo que puede trabajar con los ejercicios y problemas siguientes.

Ejercicios y Problemas R definida definida por d(m, n) = m2 P.1.1 Sea d : N N espacio m´ metrico? e´ trico? Justifique la respuesta. [I]

| − n2|. ¿Es (N, d) un

× −→

metrico. e´ trico. Demuestre que se cumple P.1.2 Sea (X, d) un espacio m´

|d(x, y) − d(z, t)| ≤ d(x, z) + d(y, t) para todo x,y,z,t ∈ X . [I] [R] o´ n d : X P.1.3 Sea X un conjunto. Demuestre que una aplicacion una distancia si, y solo o´ lo si, para x,y,z X , se verifican

∈

(a) d(x, y) = 0 (b) d(x, y)

× X −→ R es

⇔ x = y;

≤ d(x, z) + d(y, z). [I]

etrico. Se definen δ , y ρ y η como sigue: P.1.4 Sea (X, d) un espacio métrico.

δ (x, y) = kd( kd(x, y), k ρ(x, y) = m´ın 1, d(x, y)

{

η (x, y) = [d(x, y)]2

}

∈ R+

Demuestre que δ y ρ son distancias sobre X , pero que η no tiene por qu´ que´ ser necesariamente una distancia. [I] aplicación o´ n inyectiva. Demuestre P.1.5 Sea X un conjunto y f : X R una aplicaci que la aplicacion o´ n d(x, y) = f ( distancia sobre X . [I] f (x) f ( f (y ) es una distancia

−→ | −

|

P.1.6 Sea f : R

−→ R una funci´ funcion o´ n estrictamente creciente. Demuestre que distancia sobre R. [I] [R] d(x, y ) = |f ( f (x) − f ( f (y )| es una distancia ([0, 1]) de las funciones reales continuas en el P.1.7 Considere el conjunto C ([0, intervalo [0, [0, 1]. Sean f ( f (x) = x(1 − x) y g (x) = x. Calcule d∞ (f, g ) y segun u´ n las definiciones definiciones de los Ejemplos Ejemplos Ej.1.6. y Ej.1.7.. [I] d(f, g ) seg´



50

1.1. Distancias

1.1.1.Subespacio m

etrico e´ trico

El siguiente resultado nos permite definir un subespacio m´ metrico, e´ trico, simplemente simplemente como un subconjunto A X y la distancia distancia d restringida a A.

⊂

metrico y sea A subconjunto X un subconjunto Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.5. Sea (X, d) un espacio m´ ´ R definida por dA (x, y) = d(x, y ) , para de X . Sea la funci´ funcion ´ dA : A A cada x, y A. Entonces dA es una distancia sobre A , que se denomina denomi na distancia inducida por d. El par (A, dA ) se dice que es un subespacio m´ metrico de X . ´

⊂

× −→

∈

La demostracion o´ n se reduce a una mera comprobaci comprobación o´ n que puede realizar, sin dificultad, como ejercicio. Est´ Esta´ claro que cualquier subespacio m´ m etrico, e´ trico, considerado de forma aislada es un espacio m´ metrico e´ trico y, por supuesto, todo espacio m´ metrico e´ trico es un subespacio de s´ s ´ı mismo. Esta es una nueva forma de construir nuevos espacios m etricos, e´ tricos, a partir de otros conocidos. Se˜ Senalaremos n˜ alaremos que, si A Rn , cuando se hable de A como de un espacio m´ metrico, e´ trico, supondremos que su distancia es la distancia inducida por la distancia eucl´ eucl´ıdea ıdea de n , salvo que se diga lo contrario. R

⊂

Veamos algunos ejemplos de subespacios para afianzar este concepto.

Ejemplos [0, 1] con la distancia inducida por el valor absoluto es un subespacio Ej.1.10. [0, metrico e´ trico de R. ([a, b], R) de las funciones reales continuas en [a, b], con la Ej.1.11. El conjunto ([a, distancia inducida por d∞ , es subespacio m´ metrico e´ trico del conjunto ([a, ([a, b], R) de las funciones acotadas en dicho intervalo.

C

A

l ´ımite ımite 0 es un subespacio Ej.1.12. El espacio co de las sucesiones reales con l´ metrico e´ trico del espacio de las sucesiones acotadas ∞ , con la distancia del supremo.

Ej.1.13. Veamos las distancias que se inducen en algunos conjuntos. Podemos identificar desde el punto de vista conjuntista, la recta real R y el subcon junto de R2 , definido como R 0 = (x, 0) : x R , mediante la aplicaci´ aplicacion o´ n x o´ n ¿verdad?. (x, 0). Es evidente que se trata de una biyecci on Nos podemos plantear la cuestion o´ n siguiente. ¿Qu´ ¿Que´ relacion o´ n hay entre la distancia eucl´ eucl´ıdea, ıdea, d2 y la distancia distancia del valor valor absoluto en R?; ve´ veamoslo. a´ moslo.

→

×{ }

{

∈ }

Si calculamos la distancia entre dos puntos de (x, 0), 0), (y, 0) tenemos

d2 ((x, ((x, 0), 0), (y, 0)) = Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos

 − (x

y )2 = x

∈ R × {0},

| − y| = d(x, y),

(1.3)


51


y esta ultima u´ ltima es la distancia usual de R. Esto significa que, en cierto modo podemos considerar la recta real como un subespacio m etrico e´ trico del plano R2 . Observe que ocurre lo mismo con las distancias d1 y d∞ ; compru´ compruebelo e´ belo tal y como se le sugiere en el Problema P.1.8.

Podemos practicar un poco m´ mas, a´ s, de nuevo por nuestra cuenta.

Ejercicios y Problemas P.1.8 Estudie las distancias que, sobre R, inducen d1 y d∞ consideradas sobre R2 . ¿Y si considera las distancias d1 , d2 y d∞ sobre Rn e intenta calcular las que inducen, respectivamente, sobre Rn−k , con 1 < k < n? P.1.9 Sea A R2 definido como A = (x, y) R2 : y = x2 . Calcule expl´ expl´ıcitamente ıcitamente las distancias inducidas sobre A por d1 , d2 y d∞ .

⊂

{

∈

}

1.2.Distancia a un conjunto Nos planteamos planteamos ahora la posibilidad posibilidad de medir distancias distancias entre un punto y un con junto, o entre dos conjuntos, a partir d e la distancia definida en un espacio m etrico. e´ trico. Parece que de forma intuitiva podr´ podr ´ıamos ıamos pensar, por ejemplo, que la distancia entre un punto y un conjunto, ser´ıa ıa la distancia entre tal punto y el punto del conjunto más as cercano a aquel. Esto no es tan sencillo como puede parecer a primera vista. Veamos en esta secci on o´ n algunas de las cosas que podemos saber sobre estas ideas.

X un subconjunto de X y Definici´ Definicion o´ n 1.2.1. Sea (X, d) un espacio m´ etrico, A x0 un punto de X . La distancia de x0 al subconjunto A se define como

⊂

d(x0 , A) = ´ınf d(x0 , x) : x

{

∈ A}.

Recordemos que el ´ınfimo ınfimo de un conjunto de n umeros u´ meros reales acotado inferiormente siempre existe, de modo que la definici on o´ n es buena.

Definici´ Definicion o´ n 1.2.2. Sean A y B dos subconjuntos de X . La distancia del subcon junto A al subconjunto subconjunto B se define como

d(A, B ) = ´ınf ın f d(x, y) : x

∈ A, y ∈ B}.  ∅, d(A, B) = 0, Observemos que si a ∈ A, entonces d(a, A) = 0 o si A ∩ B = {

pero sin embargo ...



52

1.2. Distancia a un conjunto

Ejemplos (0, 1) y B = (1, (1, 2), en R con la Ej.1.14. Consideremos los conjuntos A = (0, distancia usual, tenemos que (0, A) = 0 y, sin embargo 0 / A; y 1. d(0, 2. d(A, B ) = 0 y A

∈

∩ B = ∅.

En efecto, el primer caso, supongamos que d(0, (0, A) = ε > 0, es claro que umero real entre 0 y ε, por ejemplo, ejemplo, ε/2 ε < 1; entonces existe un número ε/2, por lo que ε no ser´ se r´ıa ıa el ´ınfimo ın fimo.. Respecto al segundo caso, si suponemos que d(A, B ) = ε > 0 (tambi´ (tambien e´ n ha de ser ε < 1), tenemos que 1 ε/3 ε/3 A y 1 + ε/3 ε/3 B y

−

∈

∈ d(1 − ε/3 ε/3, 1 + 3ε 3 ε) = |1 − ε/3 ε/3 − (1 + 3ε 3ε)| = 2ε/3 ε/3 < ε,

en contra de que ε es el ´ınfimo. ınfimo. metrica e´ trica discreta sobre X , x X y A, B X . Entonces si Ej.1.15. Si d es la m´ entonces d(x, y) = 1 para x A, d(x, A) = 0; por el contrario, si x / A, entonces todo y A y, en consecuencia, d(x, A) = 1 . En resumen: resumen:

∈

∈ ∈

∈



d(x, A) =

1 0

⊂

si x / A si

∈ x∈A

Veamos qu´ que´ pasa con la distancia entre dos conjuntos A, B Tenemos X . Tenemos ın f d(x, y) : x A, y B ; entonces si existe x A B , que d(A, B ) = ´ınf d(A, B ) = d(x, x) = 0; pero si A B = ∅ entonces d(x, y) = 1 para todo x A y todo y B , con lo que d(A, B ) = 1. Por tanto:

{

∈

∈

∈

d(A, B ) =



∈ }

∩

1 0

⊂

∈ ∩

si A si

∩B =∅ A∩B = ∅

Ej.1.16. En (R2 , d2 ) consideremos los subconjuntos

{ ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} B = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2}.

A = (x, y )

Vamos a calcular la distancia d(A, B ). La Figura 1.4 siguiente ayuda a visualizar que la distancia que queremos calcular es la diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es 2, y el radio del c´ırculo ırculo A que es 1, por tanto, la distancia distancia buscada es d(A, B ) = 2 1.

√


√ −


53


Figura 1.4 – La distancia d(A, B ) es

√ 2.

espaci cio o metrico etr subconjuntos ntos A, B Proposici´ Proposicion o´ n 1.2.3. 1.2.3. Si (X, d) es un espa ´ ico y dos subconju se verifican:

⊂ X , ,

(a) d(x, A)

≤ d(x, y) + d(y, A) , para todo t odo x, y ∈ X (b) |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y ) , para todo x, y ∈ X y y (c) d(A, B ) ≤ d(x, A) + d(x, B ) , para todo x ∈ X ´ . Para demostrar la desigualdad (a), tenemos que, si x D EMOSTRACI ON X , para todo a A, entonces d(x, A) d(x, a) d(x, y) + d(y, a); y como esto es para todo a A, la desigualdad desigualdad (a) se cumple.

∈ ∈

≤

∈

≤

Respecto a la desigualdad (b), si en la desigualdad (a) intercambiamos los papeles de x e y , tenemos la desigualdad d(y, A) d(x, y ) + d(x, A) de donde se deduce que d(x, y ) d(x, A) d(y, A); mientras que de la desigualdad (a) de forma directa, directa, se obtiene d(x, A) d(y, A) u´ ltimas d(x, y) y combinando estas dos ultimas desigualdades obtenemos la buscada.

−

≤

−

≤

−

≤

Por ultimo, u´ ltimo, para ver la desigualdad (c), si alguno de los dos conjuntos A o B es no vac´ vac´ıo, ıo, el resultado es evidente. Supongamos, entonces que A y B son no vac´ vac´ıos. ıos. Sea ahora ε > 0, y A A de manera que d(x, a) d(x, A) + ε/2 ε/2 y b B tal que d(x, b) d(x, B ) + ε/2 ε/2. Entonces

≤

d(A, B )

∈

≤

∈

≤ d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ d(x, A) + d(x, B) + ε,

como como esto esto se pued puedee hace hacerr para para todo todo ε > 0, deduci deducimos mos la desigua desigualda ldad d buscad buscada. a. Un ultimo u´ ltimo concepto para terminar esta seccion. o´ n. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


54

1.2. Distancia a un conjunto

metrico y A X un subconjunto acotaDefinici´ Definicion o´ n 1.2.4. Sea (X, d) un espacio m´ ´ do. El di´ de A , representado representado por diam(A di ametro ´ diam(A) = δ (A) , se define como

⊂

diam(A diam(A) = δ (A) = sup d(x, y) : x, y

{

∈ A}.

Ejemplos diametros a´ metros de los subconjuntos [1, [1, 2], [1, [1, 2) y 0 Ej.1.17. Los di´ la distancia usual son, respectivamente, 1, 1 y 2.

[1, 2) de R con { } ∪ [1,

En efecto, en el caso de [1, [1, 2] no hay nada que probar pues 1 es precisamente, la longitud del intervalo. En el caso del intervalo [1, [1, 2), supongamos que δ ([1, ([1, 2)) = r < 1, entonces 1 + r [1, [1, 2), y existe ε > 0 tal que 1 + r + ε [1, [1, 2) con lo que

∈

∈

d(1, (1, 1 + r + ε) = 1 + r + ε

|

− 1| = r + ε > r,

en contra de que δ ([1, u´ ltimo caso. ([1, 2)) = r. De forma similar se prueba el ultimo Int´ Intentelo e´ ntelo como ejercicio.

[0, 1] [0, [0, 1] de R2 , es decir, el Ej.1.18. Consideremos el subconjunto A = [0, cuadrado unidad, y veamos su di´ diametro a´ metro para cada una de las distancias d1 , d2 y d∞ (es conveniente que repase el Ejemplo Ej.1.3.).

×

´ Figura Figura 1.5 – Diametro del cuadrado unidad para d1 , d2 y d∞ .

En el caso de d1 el di´ diametro a´ metro es

diam1 (A) = δ 1 (A) = 2, pues se trata del m aximo a´ ximo del las sumas de los valores absolutos de las diferencias entre las coordenadas, a saber, la suma de dos lados del cuadrado. En el caso d2 es la mayor distancia entre dos puntos del cuadrado, es decir la longitud de la diagonal diagonal

diam2 (A) = δ 2 (A) = Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos

√

2. e´ Herrero Pineyro n˜ eyro

55


Por ultimo, u´ ltimo, en el caso d∞ , se trata del mayor valor absoluto de la diferencia entre coordenadas coordenadas,, es decir la longitud de uno de los lados

diam∞ (A) = δ ∞ (A) = 1. Vea para cada caso, la Figura 1.5; 1.5; y adem´ ademas, a´ s, observe que el di´ diametro a´ metro de un conjunto, como era de esperar, depende de la distancia.

De nuevo podemos practicar de forma que profundicemos un poco.

Ejercicios y Problemas P.1.10 Consideremos R con la distancia usual d(x, y) = x y y el conjunto A = (1, (1, 2] R. Responda las siguientes cuestiones justificando las respuestas:

| − |

⊂

1.¿C 1.¿Cu u anto a´ nto vale d( 32 , A)? 0,

− 12 o 12 .

2.¿Cu anto a´ nto vale d(1, (1, A)? 12 , 0 o 14

3.¿Cu anto a´ nto vale d(0, (0, A)? 1, 12 o 0 metrico e´ trico y A, B P.1.11 Si (X, d) es un espacio m´

⊂ X no vac´ vac´ıos, ıos, demuestre que d(A, B ) = ´ınf ın f {d(y, A) : y ∈ B } = ´ınf ın f {d(x, B ) : x ∈ A}.

P.1.12 Considere R con la distancia usual y A = 1/n + ( 1)n : n Calcule d(1, (1, A) y d( 1, A). [I]

{

−

−

∈ N}.

metrico. e´ trico. En el Problema P.1.4 hemos visto que la P.1.13 Sea (X, d) un espacio m´ aplicaci´ aplicacion o´ n ρ : X X ın 1, d(x, y) , es R definida por ρ(x, y) = m´ın 2 una distancia. Considere el espacio (R , ρ) con ρ(x, y ) = m´ın 1, d2 (x, y) y el conjunto conjunto

× −→

A = (x, y)

{

{

}

{

}

∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Halle los puntos de R2 que verifican d(x, A) = 1.

P.1.14 Sea (R2 , d2 ) y A = (x, y) el di´ diametro a´ metro de A.

{


∈ R2 :

x + y < 1, x > 0, y > 0 . Calcule

}


56

1.3. Topolog´ıa ıa asoci ada a un espacio métrico etrico

´ıa ıa asociada a un espacio m´ metrico e´ trico

1.3.Topolog

A continuaci´ continuacion o´ n vamos a estudiar los subconjuntos, quiz´ quizas a´ s m as a´ s importantes, de un espacio m´ metrico: e´ trico: las bolas. Se trata de una generalizaci on o´ n del concepto conocido de intervalo intervalo abierto centrado en un punto de R. metrico, a X un punto y r > 0 un Definici´ Definicion o´ n 1.3.1. Sea (X, d) un espacio m´ ´ numero ´ real. La bola abierta en X con centro en a y de radio r es el conjunto

∈

B (a, r) = x

{ ∈ X :

d(x, a) < r .

B (a, r) = x

d(x, a)

}

Al conjunto

{ ∈ X :

≤ r},

se le llama bola cerrada. Si se necesita especificar con qu´ e distancia se est´ a trabajando, se representar´ a por Bd (a, r ).

Las bolas juegan un papel muy importante a lo largo del desarrollo del presente curso, de modo que vamos vamos a detenernos detenernos en estudiar algunas de ellas.

Ejemplos Ej.1.19. En (R, ) la bola abierta de centro a y radio r > 0 es el intervalo abierto de extremos a r y a + r :

||

−

B (a, r) = x

{ ∈ R : |x − a| < r} = (a − r, a + r)

justifica el nombre de bola. En (R2 , d2 ) tenemos que Ej.1.20. Este ejemplo justifica

B (a, r) = (x, y )

{

∈ R2 :

(x

(y − b)2 < r 2 }, − a)2 + (y

que es el interior del c´ırculo ırculo (es decir sin la circunferencia) de radio r centrado en el punto (a, b).

Figura 1.6 – Bola abierta para la distancia d2 .



57


En el espacio tridimensional (R3 , d2 ) se tiene

B (a, r) = (x,y,z) x,y,z)

{

∈ R3 :

(x

(y − b)2 + (z (z − c)2 < r 2 } − a)2 + (y

que es el interior de la bola sólida olida (sin la esfera) de radio r centrada en a = (a,b,c) a,b,c).

Ej.1.21. Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes y no tener la apariencia de una esfera, como se muestra en los siguientes casos. En (R2 , d∞ ) la bola B (0, interior del cuadrado cuadrado de centro centro 0 y (0, r) es el interior de lados paralelos paralelos a los ejes de coordenadas coordenadas y con longitud 2r. En este caso la bola es

∈ R2 :

B ((0, ((0, 0), 0), r) = (x, y)

{

d∞ ((0, ((0, 0), 0), (x, y)) < r ,

}

es decir, decir, los puntos del plano que verifican verifican m´ ax ax x , y < r. Por tanto ha de cumplirse que x < r e y < r; en definitiva, las coordenadas x e y han de estar en el intervalo ( r, r), de modo que la bola será

||

−

{| | | |}

||

B ((0, ((0, 0), 0), r) = ( r, r)

−

× (−r, r).

De la misma forma se obtiene que para cualquier punto (a, b) la Figura 1.7), 1.7),

B ((a, ((a, b), r) = (a

ease ∈ R2 (véase

− r, a + r) × (b − r, b + r).

´ Figura 1.7 – Las bolas m´ metricas en las distancias d∞ y d1 .

bola B (0, interior ior del del cuad cuadra rado do cent centra rado do en el punpun(0, r) es el inter Ej.1.22. En (R2 , d1 ) la bola (0, 0) y con v´ (0, r), (0, (0, r), (r, 0), 0), ( r, 0). Ahora to (0, vertices e´ rtices en los puntos (0, tenemos

−

B ((0, ((0, 0), 0), r) = (x, y)

{

∈ R2 :

−

d1 ((0, ((0, 0), 0), (x, y)) < r ,

}

es decir, los puntos del plano que verifican x + y < r. Si suponemos que x, y 0 se debe cumplir x + y < r , es decir, se trata de los puntos

≥


|| ||


58


del plano cuyas coordenadas son no negativas y verifican y < r x; en definitiva, definitiva, los puntos del primer cuadrante cuadrante que est´ estan a´ n por debajo de la recta y = r x. Razonando de la misma manera sobre los posibles signos de las coordenadas se obtiene el cuadrado a que nos refer ´ıamos ıamos antes (v´ (vease e´ ase la Figura 1.7). 1.7).

−

−

metrico e´ trico discreto (X, dD ). La bola B (a, r ) es el conjunto conjunto Ej.1.23. Sea un espacio m´

B (a, r) =

{} a X

si r 1 si r > 1

≤

[0, 1] R con la distancia dH inducida por la distancia d de R. Ej.1.24. Sea H = [0, Entonces Entonces en R con la distancia usual la bola Bd (1, (1, 1) es el intervalo (0, (0, 2) mientras que, para la distancia inducida en H , BdH (1, (1, 1) es el intervalo precisamente (0, (0, (0, 1], que es precisamente (0, 2) [0, [0, 1].

⊂

∩

o´ n f 0 Ej.1.25. Sea una funci on

([0, 1], 1], R), d∞ ). La bola B (f 0 , r) es el conjunto ∈ (C ([0,

B (f 0 , r) = f

([0, 1], 1], R) : sup{|f 0 (x) − f ( f (x)| ≤ r : x ∈ [0, [0, 1]} { ∈ (C ([0,

de todas las funciones continuas f en [0, afica se encuentra entre [0, 1] cuya gráfica las gr´ graficas a´ ficas de las funciones f 0 r y f 0 + r (v´ (vease e´ ase la Figura 1.8). 1.8).

−

´ ([0, 1], 1], R). Figura Figura 1.8 – Las bolas metricas en la distancia d∞ sobre ([0,

C

Otra vez, puede ser un buen momento momento para pensar por su cuenta. cuenta.

Ejercicios y Problemas Definimos la aplicaci´ aplicación on d : R2 P.1.15 Definimos

d[(x [(x1 , x2 ), (y1 , y2 )] = Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos



× R2 −→ R como sigue: |x2 − y2| si x1 = y1 |x2| + |x1 − y1| + |y2| si x1 = y1 e´ Herrero Pineyro n˜ eyro

59


Pruebe que d es una distancia sobre R2 . Determine y represente gr aficaa´ ficamente las bolas B ((0, ((0, 0), 0), 1), B ((1, ((1, 0), 0), 1), B ((0, ((0, 1), 1), 1) y B ((2, ((2, 3), 3), 1). [R]

P.1.16 Se define la parte entera de un n umero u´ mero real x R como [x] = el mayor o´ n ρ : R R R numero ´ entero menor o igual que x. Sea la aplicaci on definida como

∈

× −→

ρ(x, y) = [x]

| − [y]| + |(x − [x]) − (y − [y])|.

(a)Pruebe que ρ es una distancia en R. (b)Estudie (b)Estudie c omo o´ mo son las bolas Bρ (0, ¿Como o´ mo son las bolas (0, 1) y Bρ ( 32 , 1) ¿C´ abiertas? (c)Pruebe que ρ y la distancia d(x) = x y inducen la misma distancia en el conjunto conjunto Z de los números umeros enteros.

| −|

Pruebe que la aplicación on definida como P.1.17 Pruebe

d(x, y ) = m´ ax ax x1

{| − x2|, dD (y1, y2)},

con x = (x1 , y1 ), y = (x2 , y2 ),

es una distancia en R2 . Determine c omo o´ mo son las bolas.

P.1.18 Sea d : R

[R]

× R −→ R definida por d(x, y) =

2x y . 1+3 x y

| − | | − |

(0, r). [I] Compruebe Compruebe que es una distancia y determine la bola Bd (0, P.1.19 Sea d : R

× R −→ R la distancia definida por d(x, y) =



0 dD (x, 0) + dD (0, (0, y )

si x = y si x = y



siendo dD la distancia discreta. Determine anal´ anal´ıtica ıtica y geom´ geometricamente e´ tricamente las bolas Bd (x, r). [I] anal ´ıtica ıtica y gr´ graficaa´ fica([0, 2π ]) con la distancia del supremo. Describa anal´ P.1.20 Sea ([0, mente como o´ mo son las bolas de radio 1 y centro en las funciones f ( f (x) = sen x y g (x) = 2 + cos x, respectivamente.

C



60


1.3.1.Conjuntos abiertos metrico yA X . Diremos que A es un Definici´ Definicion o´ n 1.3.2. Sea (X, d) un espacio m´ ´ conjunto abierto , si para cada punto a A , existe una bola B (a, ra ) contenida en A. Entenderemos que ∅ es abierto.

⊂

∈

metrico, cada bola abierta es un conjunto Proposici´ Proposicion o´ n 1.3.3. En un espacio m´ ´ abierto.

´ . Sea D EMOSTRACI ON Sea la bola bola abie abiert rtaa B (a, r ) y veam veamos os que que si x δ > 0 tal que B (x, δ ) B (a, r). En efecto, tomemos δ = r comprobemos que si y B (x, δ ), entonces y B (a, r).

⊂ ∈

∈

existe te ∈ B(a, r), exis − d(x, a) > 0, y

Tenemos que d(x, y ) < δ y según un la desigualdad triangular

d(a, y )

≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + δ = r, lo que significa que y ∈ B (a, r) y por tanto que B (x, δ ) ⊂ B (a, r ) (véase ease la Figura 1.9). 1.9).

Figura 1.9 – Las bolas abiertas, son conjuntos abiertos.

etrico y dos Teorema 1.3.4 (Propiedad de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio m´ puntos distintos x, y X . Entonces existen rx , ry > 0 tales que

∈

B (x, rx )

∩ B(y, ry ) = ∅.

´ . Sea r = d(x, y ), entonces las bolas B (x,r/2) D EMOSTRACI ON x,r/2) y B (y,r/2) y,r/2) abiertas, tienen intersecci´ interseccion o´ n vac´ vac´ıa. ıa. En efecto, veamos que ningun u´ n punto de la primera primera puede estar en la segunda. segunda. Si z

x,r/2), entonces, por la desigualdad triangular ∈ B(x,r/2) d(z, y ) ≥ d(x, y) − d(z, x) = r − d(z, x) > r − r/2 r/2 = r/2 r/2, con lo que z ∈ / B (y,r/2) y,r/2). Para la otra bola se hace de la misma forma. Lema 1.3.5. La intersecci interseccion ´ de dos bolas abiertas en un espacio m´ etrico (X, d) , es un abierto. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


61


´ . Si la interseccion D EMOSTRACI ON o´ n de ambas bolas es vac´ vac ´ıa, ıa, no hay nada que probar. Supongamos entonces que x B (a, r ) B (b, s) y veamos que tal intersecci´ seccion o´ n es un entorno de x. Se cumple que d(x, a) < r y d(x, b) < s; tomemos comprobemo emoss que B (x, δ ) B (a, r) B (b, s) δ < m´ın r d(x, a), s d(x, b) y comprob (véase ease la Figura 1.10). 1.10). En efecto, si y B (x, δ ), entonces

∈

{−

−

}

∩

⊂

∈

∩

d(y, a)

δ + d(x, a) < r − d(x, a) + d(x, a) = r, ≤ d(y, x) + d(x, a) < δ + y por tanto y ∈ B (x, a). De la misma forma se prueba que B (x, δ ) ⊂ B (b, s). Con esto hemos probado que la intersecci on o´ n de las dos bolas contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos y, por lo tanto es un abierto.

´ de bolas abiertas es abierto. Figura 1.10 – La interseccion

El siguiente resultado es de gran trascendencia. espaci cio o metrico. etr Entoncess se cumple cumplen n las propie propiedade dadess Teorema eorema 1.3.6. Sea (X, d) un espa ´ ico. Entonce siguientes: (a) X y ∅ son abiertos. (b)La (b)La uni on ´ de una familia cualquiera de conjuntos abiertos, es abierto. (c)La intersecci on ´ de una colecci´ coleccion ´ finita de conjuntos abiertos, tambi´ tambien ´ es abierto.

´ . D EMOSTRACI ON (a) No hay nada que probar. (b) Sea Ai i∈I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos del espacio X ; si entonces x Ai0 para algun u´ n i0 x I . Como Ai0 ∈I es abierto, existe i∈I Ai , entonces u´ ltimo conjunto es r0 > 0 tal que B (x, r0 ) Ai0 i∈I Ai y por tanto este ultimo abierto abierto puesto que contiene contiene una bola centrada centrada en cada uno de sus puntos.

∈∪

{ }

∈ ⊂

⊂∪

∈

(c) Si la intersecci on o´ n es vac´ vac´ıa ıa no hay nada que probar. Supongamos entonces, que o´ n es no vac´ vac´ıa. ıa. Si x A1 A2 , A1 y A2 son dos conjuntos abiertos cuya intersecci on existen r1 , r2 > 0 de modo B (x, r1 ) u´ n el A1 y B (x, r2 ) A2 ; entonces segun

⊂


⊂

∈ ∩


62


Lema 1.3.5, hay una bola centrada en x contenida en la interseccion o´ n de ambas bolas, lo que implica que dicha bola tambi en e´ n est´ esta´ en A1 A2 y que este ultimo u´ ltimo conjunto es abierto. Mediante un sencillo proceso de inducci on o´ n se prueba que la intersecci´ interseccion o´ n de cualquier cualquier familia finita de abiertos es un abierto. abierto.

∩

A la familia de todos los conjuntos abiertos de un espacio m etrico e´ trico (X, d) se le llama topo designaremos mediante d , o simto polo log´ g´ıa ıa asociada a la distancia d y la designaremos plemente si no hay ambiguedad u¨ edad respecto respecto de la distancia. distancia. Como era de esperar, esperar, teniendo en cuenta el nombre de la asignatura, estas familias ser an a´ n las protagonistas de nuestro estudio.

T

T

En general, si tenemos un conjunto X , a cualquier familia de subconjuntos de X que verifica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 se le llama topolog´ topolog´ ıa sobre X . En este curso, nos limitaremos a estudiar topolog´ıas ıas asociadas a espacios m´ metricos e´ tricos aunque hay espacios topol´ topologicos o´ gicos que no son m´ metricos, e´ tricos, como se muestra en el Ejemplo Ej.1.26.

Ejemplos as de un punto, la familia formada formada por el conEj.1.26. Si X es un conjunto con más junto vac´ıo ıo y el propio X es una topolog´ıa ıa I pues veriveriI = ∅, X sobre X , pues fica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 f acilmente a´ cilmente y no proviene de una distancia pues no verifica la Propiedad de Hausdorff 1.3.4. 1.3.4. Esta topolog´ topolog´ıa ıa se llama topolog´ topolog´ıa ıa gruesa o indiscreta. indiscreta.

T {

}

Ej.1.27. Cualquier intervalo abierto de la recta real, acotado o no acotado, es un subconjunto abierto con la distancia usual. Tambi´ Tambien e´ n lo son las uniones de intervalos abiertos. Sin embargo, los intervalos [a, b], [a, b) y (a, b] no lo son. Realice, como ejercicio, los detalles. ı, el subEj.1.28. Un conjunto abierto no tiene por qué ser una bola abierta. As´ı, 2 conjunto de R :

A = (x, y)

{

∈ R2 : |x| < 1, |y| < 2}

no es una bola abierta de R2 para la distancia eucl´ eucl´ıdea ıdea y, sin embargo, s´ s´ı es un subconjunto abierto. abierto. Se ve f acilmente a´ cilmente que el conjunto A es el rectángulo angulo abierto (sin “bordes”) ( 1, 1) ease la Figura 1.11 (a)). Para ( 2, 2) (véase ver que es abierto, comprobemos que contiene una bola, de radio adecuado, centrada centrada en cada uno de sus puntos. Sea (a, b) A , es decir a ( 1, 1) y ((a, b), r) A. b ( 2, 2); si tomamos r < 1 a , 2 b se tiene que B ((a, 2 En efecto, si (x, y) B ((a, ((a, b), r) se tiene (x a) + (y ( y b)2 < r2 , de

−

∈−

∈


×−

∈ { −| | −| |} −

∈−

−

⊂


63


(a)

(b)

Figura 1.11 – No todo conjunto abierto es una bola.

donde se deduce que x

| − a| < r < 1 − |a| y, por tanto, −1 + |a| + a < x < 1 − |a| + a, de modo que si |a| = a (a ≥ 0) queda −1 + 2a 2 a < x < 1 y x ∈ (−1, 1); y si |a| = −a (a < 0) queda −1 < x < 1 + 2a, y tambi´ tambien e´ n es x ∈ (−1, 1). De forma similar se comprueba comprueba que y ∈ (−2, 2). Por el contrario, contrario, el conjunto conjunto siguiente no es abierto

∈ R2 : |x| < 1, |y| ≤ 2}. Ahora B es el rect´ rectangulo a´ ngulo (−1, 1) × [−2, 2]. Para comprobar que no es abierB = (x, y)

{

to basta con encontrar un punto de B tal que cualquier bola con centro en ese punto tenga puntos fuera de B . Tomemos el punto (0, (0, 2); entonces para todo r > 0 el punto (0, (0, 2 + r/2) r/2) / B y, sin embargo, está en la bola ease la Figura 1.11 (b)). B ((0, ((0, 2), 2), r) (véase

∈

metrico e´ trico discreto ( D es la topolog´ topolog´ıa ıa inducida Ej.1.29. Sea (X, D ) un espacio m´ por la distancia discreta). Entonces cualquier subconjunto es abierto como se deduce del Ejemplo Ej.1.23..

T

T

Ej.1.30. La interseccion o´ n arbitraria de abiertos no es, en general, un abierto. M as a´ s aun, u´ n, la interseccion o´ n no finita de bolas conc entricas, e´ ntricas, no es, necesariame necesariamente nte OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


64


una bola. Si consideramos la familia de abiertos ( n1 , n1 ) : n interseccion o´ n es (R, ), su intersecci´

{−

||

∞ −  1 1 , n n

n=1

∈ N} en

= 0 ,

{}

que no es abierto (por cierto ¿sabr´ ¿sabr ´ıa ıa demostrar que la intersecci intersección o´ n anterior es, precisamente 0 ?).

{}

condicion o´ n de ser abierto depende naturalmente de la distancia y del Ej.1.31. La condici espacio total. (a) El subconjunto 0 R es abierto para la distancia discreta, creta, pero no lo es para la distancia eucl´ eucl´ıdea. ıdea.

{ }⊂

Proposici´ Proposicion o´ n 1.3.7. En un espacio m´ etrico (X, d) , un conjunto es abierto si, y solo ´ si, se puede expresar como uni´ on de bolas abiertas. ´ . “ ” Si A X es un abierto, D EMOSTRACI ON abierto, para cada x A, existe rx > 0 tal que B (x, rx ) A, de modo que x∈A B (x, rx ) A, pero como cada punto de A está en una de estas bolas, también en se cumple A x∈A B (x, rx ), con lo que A es uni´ union o´ n de bolas abiertas. El rec´ rec´ıproco ıproco es evidente.

⊂

⇒

⊂

∪

⊂

∈

⊂∪

1.3.2.Abiertos en subespacios Vamos a ver ahora c omo o´ mo son los abiertos en los subespacios. Evidentemente, considerad siderados os como como espaci espacios os metri e´ trico coss en s´ı mism mismos, os, los abie abiert rtos os tiene tienen n las las propi propied edad ades es descritas en la secci on o´ n anterior anterior.. Pero nos planteamos planteamos estudiar su relaci relacion o´ n con los abiertos del espacio total. metrico y un subconjunto subconjunto H Proposici´ Proposicion o´ n 1.3.8. Sea (X, d) un espacio m´ ´

⊂ X .

(a)Las bolas abiertas del subespacio m etrico interseccion (H, dH ) son la intersecci´ ´ ´ de bolas abiertas en el espacio total, con el subconjunto; es decir, decir,

Bd (a, r) = Bd (a, r) H

∩ H.

(b)Un subconjunto de H es abierto en (H, dH ) si, y s´ olo si, es intersecci´ on de un abierto en X con H .

´ . D EMOSTRACI ON (a)Efectivamente, (a)Efectivamente, observemos

Bd (a, r) = x x H

{ ∈ H : dH (x, a) = d(x, a) < r } = { ∈ X : d(x, a) < r} ∩ H = Bd(x, r) ∩ H.


(1.4)


65


(b)Veamos la condici on o´ n directa. Supongamos que A H es abierto para la distancia inducida, entonces, segun u´ n la Proposici´ Proposicion o´ n 1.3.7 A es union o´ n de bolas abiertas en H , luego tenemos, aplicando el apartado (a)

⊂

A=



Bd (a, ra ) = H

a A

∈



(Bd (a, ra )

a A

  H ) =

(Bd (a, ra )

a A

∈



∈

H.

(1.5)

y queda demostrado. Para ver la condici on o´ n inversa solo o´ lo hay que invertir correctamente el razonamiento anterior.

Ejemplos Ej.1.32. Observemos que, aunque los abiertos en el subespacio, son intersecci´ cion o´ n de abiertos del espacio con el subconjunto en cuestión, on, los abiertos del subespacio no son necesariamente, abiertos en el espacio; en efecto, el intervalo [0, [0, 1) es abierto en ([0, ([0, 2], 2], d[0, [0,2] ), pues se puede expresar como o´ n del abierto ( 1, 1) en R con el subespacio), ( 1, 1) [0, [0, 2] (interseccion pero no lo es en R con la distancia distancia usual.

−

∩

−

Proposici´ Proposicion o´ n 1.3.9. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y un sunconjunto H Entonces son equivalentes:

⊂ X .

(a)Todo abierto en (H, dH ) es tambi´ en abierto en (X, d). (b) H es abierto en (X, d).

´ . D EMOSTRACI ON (b) ⇒(b) (b)⇒(a) (a)

(a)

Est Esta´ claro puesto que H es abierto en (H, dH ).

Seg´ Según un la Proposición on 1.3.8(b), 1.3.8(b), si A H es abierto en H , entonces un abierto B o n de dos A = B H para algún X ; entonces A es intersección abiertos en X y, por tanto tambi en e´ n es abierto (v´ (vease e´ ase el Teorema 1.3.6). 1.3.6).

∩

⊂

⊂

Hace demasiado tiempo que no pensamos en algunos problemas. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


66


Ejercicios y Problemas Justifique si son abiertos los siguientes siguientes conjuntos en (R2 , d2 ): P.1.21 Justifique

{(x, y) ∈ R2 : xy = 0} B= {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q} C = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1} D= {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1} {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 = 0} A=



[I]

Demuestre que el intervalo intervalo H = [a, b] es abierto en (H, dH ), pero que P.1.22 Demuestre no lo es en el espacio total R con la distancia distancia eucl´ eucl´ıdea. ıdea. etrico, a X y r > 0. Demuestre que el conP.1.23 Sea (X, d) un espacio métrico, junto x X : d(a, x) > r es abierto. [I] [R]

{ ∈

}

∈

1.3.3.Conjuntos cerrados Los que llamaremos conjuntos cerrados juegan, en los espacios m etricos, e´ tricos, o si queremos, en la topolog´ topolog´ıa ıa metrica, e´ trica, un papel tan importante como los conjuntos abiertos y, en cierto sentido dual. metrico y C X Definici´ Definicion o´ n 1.3.10 (Conjunto cerrado). Sea (X, d) un espacio m´ ´ un subconjunto; diremos que C es un conjunto (o subconjunto) cerrado si su complementario X C = C c es un abierto.

⊂

−

Esta claro, a partir de la definición on anterior, que tanto X como ∅ son cerrados. La siguiente Proposición on 1.3.11 ofrece una primera caracterización on de los conjuntos cerrados.

Proposici´ Proposicion o´ n 1.3.11. Un subconjunto C de un espacio m´ etrico (X, d) es cerrado si, y s´ solo ´ si, para todo x / C existe una bola abierta, de centro x y radio r > 0 tal que B (x, r) C = ∅.

∩

∈

´ . D EMOSTRACI ON

⇒ Si C ⊂ X es cerrado quiere decir que C c es abierto; por tanto, para todo x∈ / C (x ∈ C c ) existe r > 0 tal que B (x, r) ⊂ C c y por tanto se cumple que B (x, r) ∩ C = ∅. ⇐ Si para todo x ∈/ C (x ∈ C c) existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ C = ∅, entonces as ´ı C c es abierto, luego C es cerrado. B (x, r) ⊂ C c y as´ Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


67


Proposici´ Proposicion o´ n 1.3.12. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados. ´ . D EMOSTRACI ON Solo o´ lo hay que ver que su complementario es abierto; y esto es, precisamente lo que propone el Problema P.1.23 .

Ejemplos Ej.1.33. En R, con la distancia usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados (pru´ (pruebelo); e´ belo); tambi´ tambien e´ n lo son las semirrectas cerradas [a, + ) o (pruebelo e´ belo tambi´ tambien). e´ n). ( , b] (pru´

∞

−∞

No son cerrados, los intervalos de la forma [a, b), (a, b], pero observe que tampoco son abiertos (pru´ (pruebelo), e´ belo), lo que significa que hay conjuntos que no son ni abiertos abiertos ni cerrados. cerrados. Sin embargo, un intervalo (a, b) es abierto y no es cerrado.

2 no es Ej.1.34. En (R2 , d2 ), el conjunto A = (x, y ) R2 : x < 1, y 2 R : cerrado, pero B = (x, y) x 1, y 2 s´ı lo es, lo cual se puede comprobar razonando de forma similar al Ejemplo Ej.1.28..

{

∈

{

∈ || | |≤ } | |≤ | |≤ }

Ej.1.35. Cualquier recta en (R2 , d2 ) es un conjunto cerrado. Basta ver que su complementario es abierto. Si un punto est´ esta´ fuera de la recta, la bola de centro este punto y radio menor que la distancia de dicho punto a la recta est´ esta´ contenida en el complementario de la recta, lo que prueba que es abierto. conjuntos os unipuntu unipuntuale ales, s, tambi también e´ n son son cerr cerrad ados os en un espa espaci cio o metrico, e´ trico, Ej.1.36. Los conjunt basta aplicar la Propiedad de Hausdorff 1.3.4. 1.3.4. ¿Y los conjuntos finitos?

Los conjuntos cerrados juegan un papel sim´ simetrico e´ trico respecto de los abiertos, de hecho, observe el siguiente resultado y comp´ comparelo a´ relo con el Teorema 1.3.6. 1.3.6.

Teorema 1.3.13. Sea (X, d) un espacio m´ metrico. ´ Entonces se cumplen las propiedades siguientes: (a) X y ∅ son cerrados. (b)La intersecci intersecci on ´ de cualquier cualquier familia de conjuntos conjuntos cerrados, es cerrado. cerrado. (c)La uni on coleccion tambien ´ de una colecci´ ´ finita de conjuntos cerrados, tambi´ ´ es cerrado. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


68


´ . La propiedad (a) es evidente (ya lo hemos comentado antes). D EMOSTRACI ON Respecto a la propiedad (b), sea la familia de cerrados C i i∈I , Si la intersecci interseccion o´ n es vac´ vac´ıa ıa no hay nada que probar, de modo que supongamos i∈I C i = ∅. Veamos que el complementario es abierto, para esto aplicamos las leyes de De Morgan

{ } ∩

X

−

  C i =

i I

(X

i I

∈

∈



− C i),

como cada uno de los C i es cerrado, entonces X C i es abierto; lo que implica que la uni´ union o´ n de todos ellos lo es, lo que demuestra que la intersecci on o´ n i∈I C i es cerrado.

−

∩

Para finalizar veamos que la uni on o´ n finita de conjuntos de la familia en cuesti on, o´ n, n es cerrado. De nuevo veremos que su complementario es abierto. Sea i=1 C i la unión de una cantidad finita de conjuntos; entonces, aplicando las leyes de De Morgan otra vez

∪

n

X

n

  − C i =

i=1

(X

i=1

− C i)

y esta ultima u´ ltima interseccion o´ n es abierto por ser intersecci on o´ n finita de abiertos, con lo que concluye la prueba.

Ejemplos on arbitraria de cerrados no es, necesariamente, necesariamente, un cerrado. ConEj.1.37. La unión 1 sideremos la familia 0, 1 n : n N de intervalos cerrados en R; su uni´ union o´ n es el conjunto no cerrado



{



−



0, 1

n N

∈

∈ }

−



1 = [0, [0, 1). 1). n

Cualqui quier er subc subconj onjun unto to en la dista distanc ncia ia disc discre reta ta es cerr cerrad ado o y tamb tambiien e´ n abierabierEj.1.38. Cual to. Observe entonces que puede darse el caso de conjuntos que son, a la vez, abiertos y cerrados.

1.3.4.Cerrados en subespacios Al igual que hac´ hac´ıamos ıamos en la seccion o´ n 1.3.2, 1.3.2, nos planteamos estudiar como o´ mo son los cerrados cerrados en los subespacios, subespacios, y su relaci´ relacion o´ n con el espacio total.

Proposici´ Proposicion o´ n 1.3.14. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y sea H un subconjunto de X . Entonces: Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


69


(a)Las bolas cerradas del subespacio m etrico interseccion (H, dH ) son intersecci´ ´ ´ de bolas cerradas en el espacio total, con el subconjunto; es decir,

B d (x, r) = B d (x, r) H

∩ H.

(b)Un subconjunto de H es cerrado en (H, dH ) si, y s´ solo ´ si, es intersecci´ interseccion ´ de un cerrado en X con H .

´ . D EMOSTRACI ON (a). En efecto

B d (a, r) = x

{ ∈ H : dH (a, x) ≤ r} = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r} ∩ H = B(x, r) ∩ H. (b). Sea C ⊂ H un cerrado en (H, dH ), entonces H − C es abierto en H y según un la Proposici Proposicion o´ n 1.3.8 H − C = A ∩ H con A un abierto, esta vez en X ; pero como C ⊂ H , C ⊂ X − A (si c ∈ C ∩ A, c ∈ H luego c ∈ A ∩ H , en contra de que rec´ıproco ıproco es evidente. c ∈ H ) y por tanto (X − A) ∩ H = C . El rec´ H

Ejercicios y Problemas metrico, e´ trico, a X y r > 0. Demuestre que el conP.1.24 Sea (X, d) un espacio m´ junto x X : d(a, x) r es un conjunto cerrado.

{ ∈

∈

≥ }

etrico de las sucesiones reales acotadas (∞ , d∞ ). P.1.25 Considere el espacio métrico Pruebe que el conjunto A = (xn )∞ ∞ : l´ımn→∞ xn = 0 es n=1 cerrado. [I] [R]

{

∈

}

1.4.Distancias equivalentes equivalentes Nos planteamos en esta seccion o´ n la posibilidad de comparar las topolog´ topolog´ıas ıas que sobre un mismo conjunto, generan distancias diferentes, en el sentido de que sean, o no, iguales, iguales, es decir, decir, que tengan los mismos abiertos. distancias d y d sobre un mismo conjunto X son equivaDefinici´ Definicion o´ n 1.4.1. Dos distancias ıa metrica, ´ es decir, si d = d , es decir, decir, lentes si dan lugar a la misma topolog´ıa generan los mismos conjuntos abiertos.

T T



Proposici´ Proposicion o´ n 1.4.2. Sean d y d dos distancias definidas sobre un conjunto X . Entonces d y d son equivalentes si, y s´ solo ´ si, para todo x X y para todo r > 0 existe δ > 0 tal que

∈

Bd (x, δ ) OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos

⊂ Bd (x, r) 


70

1.4. Distancias equivalentes

y existe δ  > 0 tal que

Bd (x, δ  ) 

⊂ Bd(x, r).

´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que d y d son equivalentes. Dados x X y r > 0, Bd (x, r) es un abierto de d y, por tanto, también en está en d ; entonces existe δ > 0 tal que alogamente se demuestra la segunda afirmación. on. Bd (x, δ ) Bd (x, r). Análogamente

⇒

⊂



T

∈

T



⇐



Rec´ıprocamente, ıprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones, veamos que d y d son equivalentes. Sea A un abierto de d y sea x A. Entonces Entonces existe Aplicando la segunda segunda propiedad, propiedad, existir´ existira´ δ  > 0 tal r > 0 tal que Bd (x, r) A. Aplicando que Bd (x, δ  ) Bd (x, r), y, como esto es para todo x A, tenemos que A d y es, por tanto, abierto abierto en esta topolog´ topolog´ıa. ıa. De forma an´ an aloga a´ loga se demuestra que todo abierto abierto de d lo es también en de d .

⊂

⊂



T

T

∈

∈

∈ T



T



Teorema 1.4.3. Dos distancias d y d sobre un conjunto X son equivalentes si X se existen constantes m , M > 0 tales que para todo par de puntos x, y satisface

∈

m d(x, y)

≤ d(x, y) ≤ M d(x, y).

´ . Sean x D EMOSTRACI ON X y r > 0. Entonces tomando δ = r/M se tiene que d(x, y) δ implica que

∈

≤

d (x, y )

≤ M d(x, y) ≤ M δ = r,

con lo que Bd (x, δ ) a´ loga, tomando δ  = mr se tiene Bd (x, r). De forma an aloga, que Bd (x, δ  ) Bd (x, r). 

⊂

⊂



Ejemplos Ej.1.39. No todas las distancias definidas en un conjunto son equivalentes. Por ejemplo, ejemplo, la distancia distancia eucl´ eucl´ıdea ıdea y la distancia discreta sobre R2 no son equivalentes, ya que los puntos no son abiertos en la topolog´ topolog´ıa ıa usual (generada por la distancia eucl´ıdea) ıdea) y s´ı lo son en la topolog´ıa ıa discreta (generada por la distancia discreta).

Ejercicios y Problemas P.1.26 Demuestre que las tres distancias d1 , d2 y d∞ en Rn son equivalentes, de modo que generan la misma topolog´ topolog ´ıa ıa metrica e´ trica (que coincide con la topolog´ topolog´ıa ıa usual). En particular, en el caso n = 1, las tres distancias son iguales a la distancia distancia usual de R, que viene dada por el valor absoluto. absoluto. [I] Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


71


distancia del area: a´ rea: ([0, 1]) consideremos la distancia d∞ y la distancia P.1.27 En ([0,

C

1

d(f, g ) =

 | 0

f ( f (x)

− g(x)|dx.

Sea 0 < r

≤ 2 y consideremos las funciones f y g definidas por 4x − + 4 si 0 ≤ x ≤ 12 r f ( f (x) = 2 para todo x ∈ [0, [0, 1] y g (x) = r si 12 r ≤ x ≤ 1 2 Pruebe Pruebe que g ∈ Bd (f, r) pero g ∈ / B∞ (f, 1). Deduzca que d y d∞ no son



equivalentes.

1.5.Espacios normados Vamos a ver una clase de espacios métricos etricos interesantes e importantes en otras ramas ramas de las matemáticas. aticas.

Definici´ Definicion o´ n 1.5.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K (R o C). Una R , es una norma sobre V si verifica: aplicaci´ on . : V

  −→ (i) x ≥ 0. (ii) x = 0 si, y solo si, x = 0. (iii) λx = |λ|x. (iv) x + y  ≤ x + y . Diremos entonces, que (V, .) es un espacio vectorial normado. Proposici´ Proposicion o´ n 1.5.2. Un espacio normado (V, .) es un espacio m´ etrico, con la distancia d : V × V −→ R definida como d(x, y ) = x − y . ´ . Es una consecuencia directa de la definici on D EMOSTRACI ON o´ n de norma.

Ejemplos Ej.1.40. x = x es una norma sobre R (considerado R como espacio vectorial sobre s´ s´ı mismo).

 ||

Ej.1.41. Considerando Rn como espacio vectorial sobre R, las siguientes, son normas sobre Rn , con x = (x1 , . . . , xn ) Rn

∈



72

1.5. Espacios normados n

x1 =

| |   xi .

i=1

n

1/2

. xi2 x2 = i=1 ax{|xi | : i = 1, . . . , m}. x∞ = máx Observe Observe que estas tres normas dan lugar, respectivam respectivamente, ente, a las distancias d1 , d2 y d∞ que hemos estudiado con detalle.

Ejercicios y Problemas etrico. Definimos P.1.28 Sea (X, d) un espacio métrico.

δ (x, y ) =

d(x, y) 1 + d(x, y )

(a)Demuestr (a)Demuestree que se trata de una distancia. (b)Una distancia d es acotada, si existe M > 0 tal que d(x, y ) M para todo x, y. Demuestre que tanto δ como ρ(x, y) = m´ın 1, d(x, y ) (v´ (vease e´ ase el Problema P.1.4), son acotadas.

{

≤

}

(c)Demuestre que d, δ y ρ son equivalentes. (d)Si d es la distancia usual de R, determine las bolas en (R, ρ) y en (R, δ ).

P.1.29 Si X es un conjunto e (Y, d) es un espacio m etrico, e´ trico, sea (X, Y ) Y ) el con junto de las aplicaciones acotadas de X en Y , es decir f (X, Y ) Y ) si f ( f (X ) Y es un conjunto acotado. Demuestre que si definimos la aplicación d∞ : (X, Y ) Y ) (X, Y ) Y ) R, como

A

⊂

A

∈A

×A

−→ d∞ (f, g) = sup{d(f ( f (x), g(x)) :∈ X },

se trata de una distancia ( distancia ( distancia del supremo). supremo).

[0, + P.1.30 Sea f : [0, ficando:

on estrictamente creciente veri[0, +∞) una función ∞) −→ [0,

(a) f (0) f (0) = 0; (b)Si x, y

f (x + y) ≤ f ( f (x) + f ( f (y). ≥ 0 ⇒ f (

Si (X, d) es un espacio m´ metrico, e´ trico, pruebe que la aplicaci on o´ n d = f d, es decir, d (x, y) = f ( tambien e´ n una distancia distancia sobre X . [I] [R] f (d(x, y)), es tambi´

◦



73


P.1.31 Sea (R2 , d2 ) y consideremos el subconjunto A dado por

A = (x, y)

{

2

∈R

2

: (x 2) +y

−

2

 ≤ } { 2

(x, y )

∈ R2 :

(x+2)2 +y2

≤ 2}.

Determine en (A, d2 A ) la bola cerrada cerrada de centro (0, (0, 0) y radio 1.

|

topolog´ıa ıa usual, se verifican: P.1.32 De muestre que en R con la topolog´ ´ lo si, se puede expresar como uni on (a)Un conjunto es abierto, si y s o olo o´ n de intervalos abiertos. (a)M as a´ s aun, u´ n, un conjunto es abierto si, y solo o´ lo si, es union o´ n de una colecci on o´ n numerable de intervalos abiertos disjuntos.

P.1.33 Consideremos el conjunto 2

o´ n real :  = (an )n sucesion

{

∞

an2 es convergente .

}

n=1

Entonces

(an)n =

∞  n=1

|an|2

es una norma, y por tanto 2 es un espacio m etrico. e´ trico. o´ n de distancia, la condici on o´ n (2) se cambia por (2’) “si P.1.34 Si, en la definici on x X , , entonces d(x, x) = 0” (admitimos la posibilidad de la existencia de x, y X distintos con d(x, y ) = 0), entonces se dice que d es una . pseudom´ pseudometrica. etrica ´

∈

∈

Sea, entonces d una pseudom´ pseudometrica e´ trica sobre un conjunto X . Definimos la siguiente relacion: o´ n:

x

∼ y,

si, y s´ solo o´ lo si d(x, y) = 0

1.Demuestre 1.Demuestre que que se trata de de una relaci relaci on o ´ n de equivalencia. 2.Demuestre 2.Demuestre que la siguiente siguiente aplicaci aplicaci on o´ n es una distancia sobre el con junto cociente X/ = x equivalencia de ˆ : x X (x ˆ es la clase de equivalencia x); ρ(ˆ x, x, yˆ) = d(x, y). [I] [R]

∼ {


∈ }


74


1.5. Espacios normados


2 Subconjuntos destacados en la topolog´ topolog´ıa ıa metrica e´ trica En este cap´ıtulo, ıtulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a con juntos que por el importante papel que juegan en la topolog´ topolog´ıa ıa metrica, e´ trica, llamamos destacados; como son los entornos, la adherencia de un conjunto, los puntos aislados, dos, de acumul acumulaci ación, o´ n, interior interiores, es, exter exterior iores es y fronte frontera, ra, present presentand ando o relaci relacione oness entre entre ellos. Cuando entra en juego un subespacio, es necesario estudiar la adherencia, el interior y la frontera relativos. Finalizamos con una secci on o´ n dedicada a las sucesiones, ya que juegan un importante papel en los espacios métricos. etricos. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ espec´ıficas: ıficas: 1.Utilizar 1.Utilizar los conceptos conceptos b asicos a´ sicos asociados a la noción on de espacio métrico. etrico. 2.Reconocer 2.Reconocer y utilizar utilizar las propiedades sencillas sencillas de la topolog ´ıa ıa m etrica. e´ trica. 3.Saber calcular la adherencia, el interior y la frontera de subconjuntos de algunos espacios m´ metricos, e´ tricos, en particular, de los espacios eucl´ eucl ´ıdeos. ıdeos. 4.Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topol ogicos o´ gicos mediante el uso de sucesiones, particularmente la continuidad, la adherencia, los subconjuntos cerrados y los subconjuntos compactos. Los contenidos desarrollados son los siguientes: Adherencia, interior y frontera. 75

76

2.1. Entornos

Puntos aislados y de acumulaci acumulación. o´ n. Adherencia, interior y frontera relativos. Sucesiones. Convergencia. Convergencia. Caracterizaci´ Caracterizacion o´ n media mediante nte suce sucesi sione oness de los punto puntoss adhe adhere rente ntess y punto puntoss fron fron-tera. Conjuntos densos y espacios separables.

2.1.Entornos metrico, diremos que un subconjunto Definici´ Definicion o´ n 2.1.1. Si (X, d) es un espacio m´ ´ U ⊂ X es entorno de un punto x ∈ X si verifica que x ∈ U y existe un abierto A ∈ T , tal que x ∈ A ⊂ U . A la familia de entornos de un punto x ∈ X la U x. denotaremos por U metrico, son equivalentes: Proposici´ Proposicion o´ n 2.1.2. Si (X, d) es un espacio m´ ´ (a) U ⊂ X es entorno de un punto x ∈ X . (b)Existe r > 0 , tal que B (x, r) ⊂ U .

´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)” Por ser U entorno de x, existe A abierto abierto con x ∈ A ⊂ U , luego para algún un r > 0, B (x, r) ⊂ A y por tanto B (x, r) ⊂ U . “(b)⇒(a)” Como B (x, r) es abierto, es consecuencia consecuencia de la definición. on.

Ejemplos Ej.2.1. En un espacio discreto, un subconjunto U es entorno de un punto x si, y solo o´ lo si, x ∈ U ; en particular un conjunto unipuntual es entorno del punto en cuesti´ cuestion, o´ n, pues seg´ segun u´ n hemos visto en el Ej.1.23., todos los subconjuntos de un espacio espacio discreto son abiertos (y tambi´ tambien e´ n cerrados). que?). e´ ?). [0, 2] es entorno del 1 (¿por qu´ Ej.2.2. En R con la distancia usual, el intervalo [0, En consecuencia un entorno no es necesariamente, un conjunto abierto. u´ n hemos visEj.2.3. Una bola abierta es entorno de todos sus puntos, pues segun to en la Proposici on o´ n 1.3.3, contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


77

2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa ıa metrica ´

metrico. Son equivalentes: Proposici´ Proposicion o´ n 2.1.3. Sea (X, d) un espacio m´ ´ (a) A ⊂ X es abierto. (b) A es entorno de todos sus puntos.

´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)” Si x ∈ A y A es abierto, entonces x ∈ A ⊆ A, es decir, A ∈ U x . “(a)⇒(b)“ Si A es entorno de cada uno de sus puntos, para cada uno de ellos, existe Ax ∈ T d abierto, tal que x ∈ Ax ⊂ A, lo que significa que A = ∪x∈A Ax que es abierto por ser union o´ n de conjuntos conjuntos abiertos.

Proposici´ Proposicion o´ n 2.1.4. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y un punto x ∈ X . La familia de entornos de x , U x verifica las siguientes propiedades: (1) Si U ∈ U x , entonces x ∈ U . (2) Si U ∈ U x y U ⊂ V , entonces V ∈ U x . (3) Si U, V ∈ U x , entonces U ∩ V ∈ U x . (4) Si U ∈ U x , existe V ∈ U x tal que x ∈ V ⊂ U y V ∈ U y para todo y ∈ V . ´ . D EMOSTRACI ON (1)Por la propia definici on o´ n de entorno. (2)Como U ∈ U x , entonces existe un abierto A de modo que x ∈ A ⊂ U , pero entonces x ∈ A ⊂ V ; por tanto, V ∈ U x . (3)Si U, V ∈ U x existen abiertos A, B , tales que x ∈ A ⊂ U y x ∈ B ⊂ V . Esto implica que x ∈ A ∩ B ⊂ U ∩ V , y como A ∩ B es abierto por ser intersecci´ interseccion o´ n de dos abiertos, tendremos tendremos que U ∩ V ∈ U x . (4)Como U ∈ U x , existe un abierto A ∈ T tal que x ∈ A ⊂ U ; basta tomar A = V , ya que al ser abierto es entorno de todos sus puntos.

La familia de todos los entornos es habitualmente muy grande y, con frecuencia, dif ´ıcil ıcil de manipular. Incluso en el caso de R, con la topolog´ topolog´ıa ıa usual, los entornos entornos pued pueden en no ser ser senc sencill illos, os, lo que se resu resuel elve ve trab trabaj ajan ando do con con los los inter interva valos los.. En el caso caso general introduciremos un concepto que facilitar´ facilitara´ el trabajo de forma semejante.

Definici´ Definicion o´ n 2.1.5. Sea (X, d) un espacio m´ etrico, un punto x ∈ X y una subfamilia B x ⊂ U x de la familia de entornos de x. B x es una base de entornos de x , o base local de x en (X, d) , si se verifica que para todo entorno U ∈ U x existe V ∈ B x tal que V ⊂ U . OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


78

2.1. Entornos

Ejemplos metrico, e´ trico, las bolas abiertas centradas en un punto son base Ej.2.4. En un espacio m´ de entornos de dicho punto, como consecuencia de la Proposici on o´ n 2.1.3 y de que todo abierto es union o´ n de bolas abiertas (Proposicion o´ n 1.3.7). En concreto, en R con la distancia usual, una base de entornos para cada punto x ∈ R es la familia familia formada por los intervalos intervalos abiertos de centro x y radio r > 0, es decir, {(x − r, x + r) : r > 0}. metrico e´ trico discreto, {x} es un entorno de x, para Ej.2.5. Si (X, dD ) es un espacio m´ todo x ∈ X . Entonces la familia formada s olo o´ lo por este entorno B x = {{x}} es claramente claramente una base de entornos de x. Estamos en condiciones de practicar y profundizar un poco por cuenta propia. De modo que puede trabajar con los ejercicios y problemas siguientes. Por otra parte, la parte correspondiente al estudio de los entornos en los subespacios presenta dos resultados b´ basicos a´ sicos que se enuncian enuncian en los Problemas Problemas P.2.1 y P.2.2, a los que debe prestar atencion. o´ n.

Ejercicios y Problemas metrico e´ trico y sea H ⊂ X . Dado x ∈ H , un subconjunP.2.1 Sea (X, d) un espacio m´ to V ⊂ H es un entorno relativo de x, es decir, en (H, dh ) ( V ∈ U xH ) si, y solo o´ lo si, existe U entorno de x en el espacio total ( U ∈ U x ) de forma que V = U ∩ H . [I] [R] metrico e´ trico y sea x ∈ H ⊂ X . Si B x es una base de P.2.2 Sea (X, d) un espacio m´ entornos entornos de x en (X, d), la familia B xH = {B ∩ H : B ∈ B x } es una base de entornos para la distancia relativa. [I] [R]

P.2.3 Demuestre que, en un espacio m etrico, e´ trico, todo punto tiene una base de entornos numerable. [I] topolog´ıa ıa (distancia) usual, estudie si los siguientes intervalos P.2.4 En R con la topolog´ son entornos de 0 o no lo son: − 12 , 12 ; (−1, 0]; 0, 12 ; (0, (0, 1].





 

etrico (R2 , d2 ). Estudie cuáles ales de los siguientes P.2.5 Considere el espacio métrico conjuntos son entornos del origen de coordenadas:

(− 12 , 12 ] × (− 14 , 14 ] (− 12 , 0] × (−1, 0] [0, [0, 12 ) × (0, (0, 14 ] (0, (0, 1] × (0, (0, 12 ].



79


2.2.Adherencia metrico y sea A un subconjunto de X . Se Definici´ Definicion o´ n 2.2.1. Sea (X, d) un espacio m´ ´ dice que x ∈ X es un punto adherente de A si todo entorno U de x cumple que U ∩ A =  ∅ , es decir, decir, no hay ningun ´ entorno de x totalmente contenido en X − A. El conjunto de puntos adherentes de A se llama la adherencia o la clausura de A y se representa por A.

Observaci´ Observacion o´ n 2.2.2. Tal y como hemos definido la adherencia de un conjunto A , es evidente que A ⊂ A. metrico y A ⊂ X un conjunto. EnProposici´ Proposicion o´ n 2.2.3. Sea (X, d) un espacio m´ ´  ∅. tonces, x ∈ X es x ∈ A si, si, solo ´ si, para todo r > 0 , se cumple cumpl e B (x, r) ∩ A =

´ . Es consecuencia inmediata de las definiciones de entorno y de D EMOSTRACI ON punto adherente. metrico y A ⊂ X . Entonces: Teorema 2.2.4. Sea (X, d) un espacio m´ ´ (a)El conjunto A es cerrado. (b) A es el menor cerrado que contiene a A , es decir, decir, si B es un conjunto cerrado cerrado tal que A ⊂ B , entonces A ⊂ B .

´ . D EMOSTRACI ON (a)Veamos que el complementario de A es abierto. Si x ∈ X − A, de acuerdo acuerdo con la Proposicion o´ n 2.2.3 existe r > 0 tal que B (x, r) ∩ A = ∅, lo que significa que B (x, r) ⊂ X − A; veamos que, adem as, a´ s, B (x, r) ⊂ X − A con lo que este ultimo u´ ltimo conjunto será abierto. En efecto, para todo y ∈ B (x, r), la bola B (x, r) es un entorno de y que no corta a A, luego y ∈ decir, / A. Es decir, B (x, r) ⊂ X − A, como deseabamos probar. (b)Razonaremos por reducci on o´ n al absurdo. Sea B un cerrado tal que A ⊂ B y supongamos que A ⊂  B , es decir, que existe un punto x ∈ A tal que x∈ / B . Entonces X − B es un abierto que contiene al punto x y como que A ⊂ B , se cumple que (X − B ) ∩ A = ∅. Por tanto, x no es un punto adherente de A, lo cual es una contradicci contradicción. o´ n.

Corolario 2.2.5. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y A ⊂ X . Se verifican: verifican: (a) A es el conjunto intersecci´ on de todos los conjuntos cerrados en X que contienen a A. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


80

2.2. Adherencia

(b) A es cerrado si, y s´ solo ´ si, A = A.

´ . Ambas son consecuencia inmediata del Teorema 2.2.4. D EMOSTRACI ON 2.2.4.

A y B subconjuntos de X . Proposici´ Proposicion o´ n 2.2.6. Sea (X, d) un espacio m´ metrico, ´ Entonces se cumplen las propiedades siguientes: sigui entes: (a)Si A ⊂ B entonces A ⊂ B . (b) A ∪ B = A ∪ B .

´ . D EMOSTRACI ON (a)Si x ∈ A, entonces para todo U ∈ U x se cumple que U ∩ A =  ∅. Como e´ n que U ∩ B = U ∩ A ⊂ U ∩ B , se cumple tambi en  ∅. Por tanto, x ∈ B . (b)“ ⊂” Tenemos que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B , luego por la propiedad (a) se cumple que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B . Por tanto A ∪ B ⊂ A ∪ B . “⊃” Para ver la inclusi on o´ n contraria, sea x ∈ A ∪ B . Si x no es adherente a A ni a B , existirán an dos entornos U 1 , U 2 ∈ U x tales que U 1 ∩ A = ∅ y U 2 ∩ B = ∅. Por otra parte, U 1 ∩ U 2 es entorno de x tal que (U 1 ∩ U 2 ) ∩ (A ∪ B ) = ∅; pero esto es contradictori contradictorio o con el hecho de que x ∈ A ∪ B pues todo entorno de deber´ıa ıa cortar a A ∪ B . x deber´

Veamos algunos ejemplos que ayuden a asimilar estos ultimos u´ ltimos resultados.

Ejemplos (0, 1] entonces A = [0 [ 0, 1], Ej.2.6. Consideremos R con la distancia usual. Si A = (0, ya que cada entorno del n umero u´ mero 0 interseca a A, mientras que cada punto fuera de [0, [0, 1] tiene un entorno disjunto con A. En efecto, si (−r, r), con entorno de 0, est´ esta´ claro que (−r, r) ∩ (0, r > 0, es un entorno (0, 1] =  ∅, con lo que o´ n 0 ∈ A y, por tanto, [0, [0, 1] ⊆ A. Para comprobar que la anterior inclusi on es una igualdad, supongamos que x ∈ A pero x ∈ / [0, [0, 1]; si x > 1 existe δ > 0 tal que 1 < x − δ , por lo que (x − δ, x + δ ) es un entorno de x que verifica (x − δ, x + δ ) ∩ A = ∅, en contra de que x es un punto adherente. An´ Analogamente a´ logamente se comprueba que si x < 0 entonces x ∈ / A. o´ lo Ej.2.7. En un espacio discreto, un punto x es adherente a un conjunto si, y s olo si, pertenece pertenece a dicho conjunto, conjunto, ya que los conjuntos unipuntuales unipuntuales son bolas abiertas. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


81


metrico y A ⊂ X un subconjunto. Proposici´ Proposicion o´ n 2.2.7. Sea (X, d) un espacio m´ ´ Entonces un punto x ∈ A si, y s´ solo ´ si, la distancia de x a A es d(x, A) = 0. En otras palabras A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}.

´ . D EMOSTRACI ON “⇒“ Supongamos que x ∈ A y que, sin embargo, d(x, A) = λ > 0; entonces B (x,λ/2) x,λ/2) ∩ A = ∅, ya que si y ∈ B (x,λ/2) x,λ/2) ∩ A, entonces d(x, y) < λ/ λ/22 < λ y λ no ser´ ser´ıa ıa el ´ınfimo. ınfimo. Esto contradice el hecho de que x es un punto adherente de A. “⇐“ Rec´ Rec´ıprocamente, ıprocamente, si 0 = d(x, A) = ´ınf ın f {d(x, y) : y ∈ A}, entonces para cualquier n ∈ N existe un punto y ∈ A tal que d(x, y ) < 1/n, de modo que  ∅. Por tanto, x ∈ A B (x, 1/n) /n) ∩ A = Practique por su cuenta.

Ejercicios y Problemas P.2.6 Determine la clausura de los siguientes subconjuntos de R, justificando adecuadamente su respuesta: (1) B = {1/n | n ∈ Z+ }. (2) C = {0} ∪ (1, (1, 2). (3) Q (el conjunto de los numeros u´ meros racionales). (4) N (el conjunto de los números umeros enteros). (5) R+ (el conjunto de los numeros u´ meros reales positivos). Demuestre tre que si A es un cerr cerrad ado o en un espa espaci cio o métric e trico oyx ∈ entoncess / A, entonce P.2.7 Demues d(x, A) > 0. [I] etrico, es la adherencia adherencia P.2.8 Demuestre que una bola cerrada, en un espacio métrico, de la correspondiente bola abierta. topolog´ıa ıa usual (o en R2 ), ejemplos de conjuntos P.2.9 Encuentre en R con la topolog´ manera que los conjuntos siguientes sean distitntos A y B , de manera

A ∩ B,

A ∩ B,

A∩B

y

A ∩ B.

espacio m´ metrico, e´ trico, demuestre que P.2.10 Si A y B son dos subconjuntos de un espacio

(A ∩ B ) ⊆ A ∩ B. El ejercicio P.2.9 anterior le habrá proporcionado un ejemplo que muestre que la inclusión on puede ser estricta.



82

2.3. Puntos de acumulación (o l´ımite) ımite) y puntos aislados

2.2.1.Adherencia relativa Veamos cual es el comportamiento de los subespacios con respecto a la adherencia. Si tenemos un espacio m´ metrico e´ trico (X, d) y un subconjunto H ⊂ X , se puede H

estudiar la adherencia de un subconjunto A ⊂ H , tanto en H , A , como en X , al es la relación on entre ambas? Vamos a estudiarla a continuación. on. A. ¿Cuál etrico y H ⊂ X . Consideremos el Proposici´ Proposicion o´ n 2.2.8. Sea (X, d) un espacio m´ subespacio m´ etrico (H, dH ) y sea A ⊂ H ⊂ X . Entonces H

A

= A ∩ H.

´ . D EMOSTRACI ON “⊂” Como A es cerrado en X , segun u´ n la Proposicion o´ n 1.3.14, el conjunto A ∩ H es cerrado en H . Adem´ Ademas, a´ s, como A ⊂ H , tenemos que A ⊂ A ∩ H y como la adherencia de A en H es el menor de los cerrados de H que contiene a A, tendremos que A

H

⊂ A ∩ H . H

“⊃” Rec´ıprocamente, ıproca mente, sea x ∈ A ∩ H . Para ver que x ∈ A , hay que ver que toda bola BH (x, r) tiene interseccion o´ n no vac´ vac´ıa ıa con A. En efecto, seg un u´ n la Proposici Proposición o´ n 1.3.8, BH (x, r) = B (x, r) ∩ H ; y como x ∈ A, tenemos que B (x, r) ∩ A =  ∅, y H

por tanto BH (x, r) ∩ A = B (x, r) ∩ H ∩ A =  ∅, lo que significa que x ∈ A .

Ejemplos u´ ltimo como sube(0, 1) en (0, (0, +∞) (considerado este ultimo Ej.2.8. La adherencia de (0, spacio topológico de R con la topolog´ıa ıa usual) es (0, (0, 1], ya que, aplicando la Proposición on 2.2.8 anterior (0,+∞)

(0, (0, 1)

= (0, (0, 1) ∩ (0, (0, +∞) = [0, [0, 1] ∩ (0, (0, +∞) = (0, (0, 1]. 1].

2.3.Puntos de acumulaci

on o´ n (o l´ l´ımite) ımite) y puntos aislados

topologico y A ⊂ X . Diremos que un Definici´ Definicion o´ n 2.3.1. Sea (X, d) un espacio topol´ ´ punto x ∈ X es un punto de acumulaci on ) de A si cualquier ´ ( o punto l ´ ´ımite entorno U de x contiene un punto de A distinto de x. Es decir, si

(U − {x}) ∩ A =  ∅. El conjunto conj unto de todos los l os puntos punt os de acumulacion ´ de A se llama conjunto derivado  de A , y se s e representa por A . Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


83


metrico y A ⊂ X un subconjunto. Proposici´ Proposicion o´ n 2.3.2. Sea (X, d) un espacio m´ ´ Entonces x ∈ X es un punto de acumulaci´ acumulacion solo ´ de A si, y s´ ´ si, para todo r > 0  ∅ se cumple que (B (x, r) − {x}) ∩ A =

´ . Se trata unicamente D EMOSTRACI ON u´ nicamente de aplicar la definicion o´ n de abierto en un espacio m´ metrico. e´ trico. Un concepto dual, en cierto sentido, es el de punto aislado.

Definici´ Definicion o´ n 2.3.3. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y A ⊂ X . Diremos que un punto x ∈ A ⊂ X es un punto aislado de A si existe un entorno U de x tal que U ∩ A = {x}. Proposici´ Proposicion o´ n 2.3.4. Sea (X, d) un espacio m´ metrico ´ y A ⊂ X un subconjunto. Entonces x ∈ X es un punto de aislado de A si, y s´ solo ´ si, existe r > 0 de modo que que B (x, r) ∩ A = {x} ´ . Se trata unicamente D EMOSTRACI ON u´ nicamente de aplicar la definición on de abierto en un espacio m´ metrico. e´ trico. El siguiente resultado proporciona una relaci´ relacion o´ n entre puntos adherentes, puntos de acumulacion o´ n y puntos aislados. aislados. topologico y A ⊂ X . Entonces: Proposici´ Proposicion o´ n 2.3.5. Sea (X, d) un espacio topol´ ´

(a) El conjunto de puntos aislados de A es A − A . (b) A = A ∪ A . ´ . D EMOSTRACI ON (a) Si x ∈ A es un punto aislado, también en es un punto adherente puesto que o´ n puesto que existe A ⊂ A, pero, sin embargo, no puede ser punto de acumulaci on r > 0 con B (x, r) ∩ A = {x}. Rec´ Rec´ıprocamente, ıprocamente, si x ∈ A − A , significa que toda bola centrada en x corta al conjunto A, pero como x ∈ / A , existe una bola B (x, r) − {x} = ∅, es decir B (x, r) ∩ A = {x}, luego x es un punto aislado de A. (b) “⊃” Si x ∈ A , cada bola de centro x interseca a A en un punto distinto de x, luego x ∈ A, luego A ⊂ A y, como A ⊂ A, se sigue que A ⊃ A ∪ A . “⊂” Supon Suponga gamo moss ahor ahoraa que x es un punt punto o de A. Si x ∈ A, es claro laro que que x ∈ A∪ A . Supongamos Supongamos que x ∈ / A; como x ∈ A, cada bola B (x, r) interseca a A, pero como x ∈ u´ n con A un punto distinto de x y, por tanto / A, dicha bola tener en comun   x ∈ A ; en definitiva, x ∈ A ∪ A . Veamos algunos ejemplos. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


84

2.3. Puntos de acumulación (o l´ımite) ımite) y puntos aislados

Ejemplos Ej.2.9. Consideremos la recta real R. on de A = (0, (0, 1] , puesto que toda (a) El punto 0 es un punto de acumulación bola B (0,  ∅. De hecho, cada punto (0, r) = (−r, r) cumple (−r, r) ∩ (0, (0, 1] = del intervalo [0, o´ n de A, pero ning´ ningun u´ n otro [0, 1] va a ser un punto de acumulaci on punto de R es un punto de acumulaci´ acumulacion o´ n de A. En efecto, si x < 0 entonces existe δ > 0 tal que x + δ < 0, de modo que (x − δ, x + δ ) ∩ A = ∅, por lo que x ∈ Analogamente a´ logamente se prueba que si x > 1 entonces x ∈ / A . An´ / A .

(b) El conjunto derivado de B = {1/n : n ∈ Z+ } es B  = {0}, pues 0 es un punto de acumulacion o´ n de B y cualquier otro punto x de R tiene un entorno que, o no llega a intersecar a B , o interseca a B solo o´ lo en el propio punto x. En efecto, efecto, 0 ∈ B  pues para todo r > 0, el intervalo (−r, r) es un entorno de 0 y existe m ∈ N tal que 1/m < r con lo que [(−r, r) − {0}] ∩ B =  ∅.  Para comprobar que ningún un otro número umero real está en B vamos a contemplar varios casos. Primero, Primero, supongamos que x = 1/m para para alg un u´ n m ∈ N; entonces si tomamos r < 1/m − 1/(m + 1) est´ esta´ claro que el intervalo u´ nico punto que es, precisamente, (1/m (1/m − r, 1/m + r ) corta a B en un unico 1/m; segundo, si x ∈ / B y x > 1 basta tomar r < x − 1 para que a´ loga se razona si x < 0. Por (x − r, x + r ) ∩ B = ∅; de forma analoga ultimo u´ ltimo si, para alg un u´ n m ∈ N es 1/(m + 1) < x < 1/m, tomamos tomamos entonces (x − r, x + r ) ∩ B = ∅. r < m´ın{x − 1/(m + 1), 1), 1/m − x} y entonces  Con esto queda probado que B = {0}. on es (1, 2), entonces C  es igual a [1, [1, 2]. La demostración (c) Si C = {0} ∪ (1, análoga aloga a la del apartado anterior. amos a determ determinar inar los conjunt conjuntos os deriv derivados ados de Q, N y R+ en (R, du ). En Ej.2.10. Vamos primer lugar, es f ´ f acil a´ cil ver que cada punto de R es un punto de acumulacion o´ n de Q, pues en cualquier intervalo abierto existen n umeros u´ meros racionales. En cuanto a N, ning´ ningun u´ n punto de R es un punto de acumulaci on o´ n de N. En efecto, si x ∈ u´ mero natural n tal que n < x < n+1 / N entonces existe un n umero n +1 . Sea δ < m´ın{x − n, n + 1 − x}. Entonces (x − δ, x + δ ) ∩ N = ∅, por lo que x ∈  N ). Pero si ahora suponemos que x ∈ N / N (y, por tanto, x ∈ entonces (x − 1, x + 1) ∩ N = {x}, por lo que x ∈  N . Finalmente, si R+ es el conjunto de los reales positivos, entonces cada punto de {0} ∪ R+ es un punto de acumulación on de R+ , y ningún un otro punto de on. El razonamiento es análogo alogo al Ej.2.9. (a). R es un punto de acumulación. topolog´ıa ıa usual, todo numero u´ mero natural n ∈ N es un punto Ej.2.11. En R con la topolog´ adherente de N pero no es de acumulaci acumulación; o´ n; es decir, los naturales son puntos aislados en (R, du ). En efecto, la bola (B (n, 1/2) − {n}) ∩ N = ∅. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


85


2.4.Interior de un conjunto metrico y A ⊂ X un subconjunto. DireDefinici´ Definicion o´ n 2.4.1. Sea (X, d) un espacio m´ ´ mos que x ∈ A es un punto interior de A , si A es un entorno de x. El conjunto ◦

de los puntos interiores de A se denomina el interior de A y se representa por A o Int A. Un punto x ∈ / A se dice que es exterior a A si x ∈ Int(X Int(X − A) , y el conjunto de puntos exteriores de A se denomina exterior de A y se representa por Ext A. satisface Observaci´ Observacion o´ n 2.4.2. Es obvio que para cualquier conjunto A ⊂ X se satisface ◦

A ⊂ A ⊂ A. ◦

Observaci´ Observacion o´ n 2.4.3. Si A es un subconjunto de un espacio m´ metrico, ´ entonces entonces A es, obviamente, un conjunto abierto.

Ejemplos topolog´ıa ıa usual, Int[0, Int[0, 1) = (0, (0, 1). En efecto, como (0, (0, 1) Ej.2.12. En R con la topolog´ es abierto, es entorno de todos sus puntos y, por tanto, se da la inclusi´ inclusion o´ n (0, (0, 1) ⊂ Int[0, Int[0, 1). Por otra parte, 0 ∈ / Int[0, Int[0, 1), pues para todo δ > 0, c se tiene claramente que (−δ, δ ) ∩ [0,  ∅, luego la inclusión on es una [0, 1) = igualdad. ◦

topolog´ıa ıa usual, Q = ∅ pues para todo q ∈ Q y todo Ej.2.13. En R con la topolog´ r > 0, el entorno (q − r, q + r ) contiene irracionales. De la misma manera se comprueba que el exterior de Q, es decir, el interior de R − Q (irracionales), tambi´ tambien e´ n es vac´ vac´ıo. ıo.

Proposici´ Proposicion o´ n 2.4.4. Sea (X, d) un espacio m´ metrico ´ y A ⊂ X , , entonces ◦

A = X − X − A. ´ . D EMOSTRACI ON ◦

Tenemos que x ∈ A, si, y solo o´ lo si, existe r > 0, tal que B (x, r) ⊂ A , es decir B (x, r) ∩ (X − A) = ∅, lo que es equivalente a que x ∈ / X − A. Una importante caracter´ caracter´ıstica ıstica del interior de un conjunto es que se trata del mayor abierto contenido en dicho conjunto. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


86

2.4. Interior de un conjunto

metrico (X, d) es abierto si, Proposici´ Proposicion o´ n 2.4.5. Un subconjunto A de un espacio m´ ´ ◦

y solo ´ si, A = A.

´ . D EMOSTRACI ON ◦

Como A ⊂ A, solo o´ lo hay que probar la inclusión on en sentido contrario. Si x ∈ A, ◦

como A es abierto, se tiene que el propio A es entorno de x, por tanto x ∈ A, de ◦

donde se deduce que A ⊂ A. Las propiedades que se recogen en los tres Problemas P.2.11, P.2.12 y P.2.13 siguientes son importantes y conviene que les preste atencion. o´ n.

Ejercicios y Problemas metrico e´ trico y A ⊂ X . Entonces un punto x ∈ A es P.2.11 Sea (X, d) un espacio m´ un punto interior de A si, y solo o´ lo si, d(x, X − A) > 0. [I] [R] siguientes propiedades, propiedades, que son duales de las correP.2.12 El interior posee las siguientes spondientes de la adherencia, probadas en la Proposici on o´ n 2.2.6. Sea (X, d) un espacio m´ metrico, e´ trico, y sean A1 y A2 subconjuntos de X . Entonces: ◦

◦

(a)Si A1 ⊂ A2 , entonces A1 ⊂ A2 ◦

◦

(b) A1 ∩ A2 = (A1 ∩ A2 )◦ . ◦

◦

(c) (A1 ∪ A2 )◦ ⊇ A1 ∪ A2 . Encuentre un ejemplo en el que se muestre que la inclusi´ inclusion o´ n puede ser estricta. estricta. [I] [R] metrico e´ trico y H ⊂ X . Consideremos el subespacio P.2.13 Sea (X, d) un espacio m´ metrico e´ trico (H, dH ) y sea A ⊂ H ⊂ X . Entonces Entonces ◦

IntH A ⊃ A ∩ H. [I]

[R]

on anterior anterior puede ser estricta estricta considerando considerando Q P.2.14 Compruebe que la inclusión como subespacio de R con la topolog´ topolog´ıa ıa usual; para ello compare compare el interior interior de Q en R y el interior de Q en el subespacio Q



87


2.5.Frontera de un conjunto Definici´ Definicion o´ n 2.5.1. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y A ⊂ X un subconjunto. Diremos que x ∈ X es un punto frontera de A si para todo entorno U de x se cumple  ∅ y U ∩ (X − A) =  ∅. El conjunto de los puntos frontera de A se que U ∩ A = denomina la frontera de A , y se representa representa por Fr(A tambien r(A) , o tambi´ ´ como ∂A . Como consecuencia de la definici on, o´ n, el siguiente siguiente resultado es obvio.

r(A) Proposici´ Proposicion o´ n 2.5.2. Si (X, d) es un espacio m´ metrico ´ y A ⊂ X , entonces x ∈ Fr(A  ∅ y B (x, r) ∩ (X − A) =  ∅. si, y s´ solo ´ si, para todo r > 0 , B (x, r) ∩ A = Adem´ Ademas a´ s se cumplen cumplen las dos propiedades propiedades recogidas recogidas en la siguiente proposici´ proposicion. o´ n. metrico y A ⊂ X un subconjunto. Proposici´ Proposicion o´ n 2.5.3. Sea (X, d) un espacio m´ ´ Entonces: (a) Fr(A r(A) = A ∩ X − A.

r(A) es cerrado. (b) Fr(A ´ . D EMOSTRACI ON El apartado (a) es una consecuencia inmediata de las definiciones de frontera y adherencia (asegurese u´ rese de que para usted es inmediato). El apartado (b) se deduce del (a), ya que la intersección on de dos cerrados es un cerrado. cerrado. Algunos ejemplos ejemplos nos ayudarán a ilustrar los ultimos u ´ ltimos conceptos y resultados.Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos (0, 1) en (R, du ) es el conjunto de dos elementos {0, 1}. Ej.2.14. La frontera de (0, En efecto, utilizando la Proposicion o´ n 2.5.3 se tiene Fr(0, Fr(0, 1) = (0, (0, 1) ∩ R − (0, (0, 1) = [0, [0, 1] ∩ {(−∞, 0] ∪ [1, [1, +∞)} = {0, 1}.

´ reales son puntos frontera de Q, es decir, Fr(Q) = R, Ej.2.15. Todos los numeros ya que si q ∈ Q entonces el entorno (q − r, q + q + r), para todo r > 0, contiene numeros u´ meros racionales e irracionales.



88

2.5. Frontera de un conjunto

metrico y H ⊂ X . Consideremos el Corolario 2.5.4. Sea (X, d) un espacio m´ ´ subespacio m´ metrico (H, dH ) y sea A ⊂ H ⊂ X . Entonces, si FrH (A) es la ´ frontera de A relativa a H ,

FrH (A) ⊂ Fr(A r(A) ∩ H. ´ . D EMOSTRACI ON La frontera de A en H está dada, según un la Proposición on 2.5.3, por H

FrH (A) = A ∩ H − A

H

= (A ( A ∩ H ) ∩ (H − A ∩ H )

= A ∩ H − A ∩ H ⊂ A ∩ X − A ∩ H = Fr(A Fr(A) ∩ H.

Ejemplos inclusion o´ n del Corolario 2.5.4 es estricta ya que Ej.2.16. En general, la inclusi´

FrQ Q = ∅ ⊂ Fr Q ∩ R = Q ∩ R = Q.

Para finalizar veamos una bonita relaci on o´ n entre los conjuntos interior, clausura y frontera.

Proposici´ Proposicion o´ n 2.5.5. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y A ⊂ X un subconjunto. ◦

Entonces Fr(A r(A) = A − A.

´ . D EMOSTRACI ON La Proposici´ Proposicion o´ n 2.5.3 implica que Fr(A r(A) = A ∩ X − A. Entonces usando la Proposicion o´ n 2.4.4 tenemos ◦

◦

A ∩ X − A = A ∩ (X − A) = A − A,

El Problema P.2.15 siguiente, corresponde, de nuevo, a una interesante propiedad a la que debe prestar atenci´ atencion. o´ n.

Ejercicios y Problemas P.2.15 Sea (X, d) un espacio topol´ topologico o´ gico y A ⊂ X . Entonces Entonces A es abierto si, y solo o´ lo si, Fr(A r(A) ∩ A = ∅. [I] [R] Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


89


P.2.16 En (R, du ) se consideran los subconjuntos

A = [0, [0, 1), 1), B = Q ∩ [1, [1, 2], 2], C = (2, (2, 3] ∪ {4}, D = A ∪ B ∪ C. D

Calcule las adherencias de A, B y C relativas a D, es decir A , B

D

D

y C .

P.2.17 En (R2 , d2 ) calcule el interior, el exterior y la frontera de los conjuntos siguientes: A = {(x, y) ∈ R2 : x = 1/n, n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1}, C = {(x, y) ∈ R2 : x = n, y = 1/n, 1 /n, n ∈ N} metrico. e´ trico. Demuestre que si A ⊂ B , entonces todo P.2.18 Sea (X, d) un espacio m´ punto de acumulaci on o´ n de A es un punto de acumulacion o´ n de B , es decir,   A ⊂B. e´ trico (X, d) si, P.2.19 Demuestre que un conjunto A es abierto en un espacio m etrico y solo o´ lo si, para todo M ⊂ X tal que A ∩ M = ∅, tambi´ tambien e´ n se cumple que M ∩ A = ∅. [I] [R]

2.6.Sucesiones En esta secci on o´ n vamos a estudiar el concepto de sucesi on o´ n en un espacio m etrico. e´ trico. Estos subconjuntos juegan un papel importante en la topolog´ topolog´ıa ıa de los espacios metricos. e´ tricos. metrico, una sucesi´ sucesi on Definici´ Definicion o´ n 2.6.1. Sea (X, d) un espacio m´ ´ ´ en X es un subconjunto conjunto de X definido definido mediante mediante una aplicaci aplicacion ´ x : N −→ X , , de tal modo que ∞ sucesion x(n) = xn ∈ X ; denotaremos a la sucesi´ ´ mediante (xn )n∈N , o (xn )n =1 o simplemente (xn )n ; y a los elementos de la sucesi´ sucesion erminos. ´ les llamaremos t´

Observaci´ Observacion o´ n 2.6.2. la aplicaci´ on que define la sucesi´ on no ha de ser necesariamente inyectiva, inyectiva, lo que significa que puede haber terminos ´ repetidos en una sucen si´ sion; sucesion ´ por ejemplo ((−1) )n es la sucesi´ ´ {−1, 1, −1, 1, . . . }. ∞ metrico y (xn )n sucesion Definici´ Definicion o´ n 2.6.3. Sea (X, d) un espacio m´ ´ ´ de pun=1 una sucesi´ ∞ tos de X . Diremos que (xn )n=1 converge a x en (X, d) , y lo denotaremos por xn → x o l´ımn xn = x , si

para todo ε > 0 , existe n0 ∈ N , tal que si n ≥ n0 , entonces d(xn , x) < ε. En otras palabras si OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


90

2.6. Sucesiones

para toda bola B (x, ε) , existe n0 ∈ N , tal que si n ≥ n0 , entonces xn ∈ B (x, ε). En este caso se dice que la sucesi´ sucesion ´ es convergente hacia el punto x , o que x es el l ´ de la sucesi´ sucesion. ´ ´ımite

Ejemplos ∞ o´ n (xn )n Ej.2.17. Si (X, dD ) es un espacio discreto una sucesion =1 converge a un punto x si, y s´ solo o´ lo si es constante igual a x a partir de un t´ termino e´ rmino (a estas sucesiones se les llama de cola constante, ya que las bolas de centro x y radio menor que 1 coinciden coinciden con el conjunto unipuntual {x}.

Ej.2.18. El concepto de convergencia que acabamos de definir coincide con el ya conocido de convergencia en R con el valor absoluto, es decir, en la ∞ topolog´ topolog´ıa ıa usual. Recordemos que una sucesi on o´ n (xn )n =1 x ⊂ R converge a x ∈ R si para todo ε > 0, existe n0 tal que si n > n0 , entonces |xn − x| < ε. Fij´ Fijemonos e´ monos que si |xn − x| < ε, entonces

−ε < xn − x < ε

y

x − ε < xn < x + ε,

lo que significa que xn ∈ (x − ε, x + ε) y tenemos la definicion o´ n en t´ terminos e´ rminos de bolas.

En los espacios m´ metricos, e´ tricos, en caso de existir, existir, el l´ımite ımite de una sucesi´ sucesion o´ n es unico. u´ nico. ∞ sucesion metrico Teorema 2.6.4. Si (xn )n ´ convergente en un espacio m´ ´ =1 es una sucesi´ (X, d) , su l´ımite ımite es unico. ´

∞ ´ . - Supongamos D EMOSTRACI ON Supongamos que (xn )n l´ımites ımites distintos distintos x =  y. =1 tiene dos l´ Seg´ Segun u´ n el Teorema 1.3.4, X es un espacio espacio de Haussdorff Haussdorff y, por tanto existe r > 0 tal que B (x, r) ∩ B (y, r ) = ∅. ∞ Por otra parte, como (xn )n =1 converge a x, tenemos que dado r > 0, existe n1 ∞ tal que si n ≥ n1 , entonces xn ∈ B (x, r); adem´ ademas a´ s como (xn )n =1 converge a y , dado r > 0, existe n2 tal que si n ≥ n2 , entonces xn ∈ B (y, r ); si tomamos n ≥ n1 y a la vez n ≥ n2 se verifican ambas condiciones a la vez y xn ∈ B (x, r) y xn ∈ B (y, r ), lo que contradice que la intersección on de estas dos d os bolas bo las es vac´ıa. ıa.

Ejercicios y Problemas P.2.20 Considere R con la distancia usual. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


91


(a)Demuestre que la sucesi on o´ n de numeros u´ meros reales (1/n (1/n))n, con la distancia usual, converge a cero. (b)Demuestre (b)Demuestre que si (xn )n es una sucesion o´ n de numeros u´ meros reales no negativos tal que xn ≤ 1/n para cada n ∈ N, entonces l´ımn xn = 0. sucesion o´ n convergente en un espacio m etrico e´ trico (X, d), es un conjunto P.2.21 Toda sucesi´ acotado. [I]

El siguiente resultado caracteriza la convergencia convergencia de sucesiones en en espacios metrie´ tricos, a trav´ traves e´ s de la convergencia de sucesiones de n umeros u´ meros reales no negativos del siguiente modo. ∞ Teorema 2.6.5. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y (xn )n on en X . =1 una sucesi´ ∞ ∞ Entonces (xn )n=1 converge a x si, y s´ olo si, la sucesi´ on (d(xn , x))n=1 de las distancias, converge a 0 en (R, | |).

´ . - Se trata de una consecuencia directa de la definici on D EMOSTRACI ON o´ n de sucesi´ sion o´ n convergente. La convergencia de sucesiones, en los espacios m etricos, e´ tricos, caracteriz caracterizaa algunos de los conjuntos destacados destacados que se han estudiado estudiado en las secciones anteriores, anteriores, as´ as´ı como otros conceptos topológicos. De ah´ı su importancia.

Proposici´ Proposicion o´ n 2.6.6. Sea (X, d) un espacio m´ metrico ´ y sea A ⊂ X . Entonces Entonces x ∈ A ∞ si, y s´ solo sucesion ´ si, existe una sucesi´ ´ (xn )n=1 ⊂ A tal que xn → x. ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que x ∈ A. Entonces tenemos que B (x, 1/n) /n) ∩ A =  ∅, para cada n ∈ N. Podemos construir entonces una sucesi on o´ n de la siguiente forma: Para n = 1 tomamos x1 ∈ B (x, 1) ∩ A. Para n = 2 tomamos x2 ∈ B (x, 1/2) ∩ A. Y as´ as ´ı sucesivamente: para cada n tomamos xn ∈ B (x, 1/n) /n) ∩ A. ∞ De esta manera manera obtenemos una sucesi´ sucesion o´ n (xn )n =1 de puntos de A que converge a u´ n hemos visto en x puesto que para cada n ∈ N es d(xn , x) < 1/n. Por tanto segun el Problema P.2.20, la sucesi´ sucesion o´ n (d(xn , x))n converge a cero lo que implica por el Teorema 2.6.5 que xn −→ x. ∞ “⇐” Si existe una sucesi on o´ n (xn )n =1 en A tal que l´ımn xn = x, entonces para todo  ∅. ε > 0, n0 tal que n > n0 implica que xn ∈ B (x, ε), es decir, B (x, ε) ∩ A = Por tanto, x ∈ A.



92

2.6. Sucesiones

◦

metrico, y A ⊂ X entonces x ∈ A si, Proposici´ Proposicion o´ n 2.6.7. Sea (X, d) un espacio m´ ´ ∞ y s olo sucesion ´ si dada una sucesi´ ´ (xn )n=1 en X tal que l´ımn xn = x , existe n0 ∈ N tal que si n > n 0 , entonces xn ∈ A.

´ . D EMOSTRACI ON ◦ ∞ “⇒” Si x ∈ A, existe r > 0 tal que B (x, r) ⊂ A; y si (xn )n o´ n =1 es una sucesion que converge a x, dado r > 0, existe n0 tal que si n ≥ n0 entonces se tiene que xn ∈ B (x, r) ⊂ A. ∞ “⇐” Rec´ Rec´ıprocamente ıprocamente,, si para cada sucesi´ sucesion o´ n (xn )n =1 que converge a x todos los terminos e´ rminos a partir de un xn0 est´ estan a´ n en A y, razonando por reducci on o´ n al absurdo, ◦

suponemos suponemos que x ∈ / A, significa que cualquier bola de centro x contiene puntos que no son de A. Podemos construir entonces una sucesion o´ n Para n = 1 tomamos x1 ∈ B (x, 1), x1 ∈ / A. Para n = 2 tomamos x2 ∈ B (x, 1/2), x2 ∈ / A. Sucesivamente, para n, tomamos xn ∈ B (x, 1/n) /n) y xn ∈ /A ∞ La sucesion o´ n (xn )n as´ı construida, converge a x puesto que d(x, xn ) < 1/n para =1 as´ cada n pero sin embargo no tiene ninguno de sus t´ t erminos e´ rminos en A, lo que nos lleva a una contradiccion. o´ n.

Como consecuencia consecuencia inmediata inmediata de los dos ultimos u´ ltimos resultados tenemos el siguiente corolario donde se caracterizan los abiertos y los cerrados. metrico. Se cumplen: Corolario 2.6.8. Sea (X, d) un espacio m´ ´ ∞ (a)Un subconjunto A ⊂ X es cerrado si, y s´ solo ´ si (xn )n =1 ⊂ A es una sucesi´ sucesion ´ convergente, entonces limn xn ∈ A. ∞ (b) A ⊂ X es abierto si, y s´ olo si para cada sucesi´ on (xn )n =1 en X que converge a un punto x ∈ A , existe n0 tal que n ≥ n0 implica que xn ∈ A.

Respecto Respecto a los puntos de acumulaci acumulación o´ n y los puntos frontera, los resultados correspondientes spondientes estan a´ n enunciados en los dos siguientes ejercicios, ejercicios, cuya demostración on debe hacer con detalle.

Ejercicios y Problemas metrico e´ trico y A ⊂ X . Un punto x ∈ X es x ∈ Fr A P.2.22 Sea (X, d) un espacio m´ ∞ ∞ si, y solo o´ lo si, existen sucesiones (xn )n =1 en A e (yn )n=1 en X − A tales que xn → x e yn → x. [I] Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


93


metrico e´ trico y A ⊂ X . Un punto x ∈ X es x ∈ A si, P.2.23 Sea (X, d) un espacio m´ ∞ y solo o´ lo si, existe una sucesi´ sucesion o´ n (xn )n e´ rminos distintos dos a dos =1 ⊂ A de terminos convergente convergente a x. [I] [R]

2.6.1.Subconjuntos densos y espacios separables Concluimos este cap´ cap´ıtulo ıtulo con la definici on o´ n de conjunto denso y el estudio de algunas de sus propiedades. Este tipo de conjuntos desempe nan n˜ an un papel importante en la topolog´ topolog´ıa ıa de los espacios m´ metricos e´ tricos y dan motivo para definir el concepto de espacio separable. metrico. Diremos que un subconjunto Definici´ Definicion o´ n 2.6.9. Sea (X, d) un espacio m´ ´ A ⊂ X es denso en X si A = X .

Los subconjuntos densos pueden ser caracterizados de la siguiente forma. metrico y A ⊂ X . Entonces A es Proposici´ Proposicion o´ n 2.6.10. Sea (X, d) un espacio m´ ´  ∅ para todo abierto B ∈ X . denso en (X, d) si, y s´ solo ´ si, B ∩ A =

´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que A ⊂ X es denso, es decir, A = X y sea B =  ∅ un abierto. Si x ∈ X , como x ∈ A = X y B es entorno de x se cumple, por la definición on de adherencia, que B ∩ A =  ∅. “⇐” Supongamos ahora que todo abierto B =  ∅ satisface B ∩ A =  ∅. En particular ocurre que para cada x ∈ X , cualquier bola abierta B (x, r) verifica  ∅, lo que signitica que x ∈ A; es decir A = X . B (x, r) ∩ A =

Ejemplos Ej.2.19. El conjunto de los racionales Q es denso en R con la distancia usual según la Proposición on 2.6.10, 2.6.10, pues cualquier intervalo i ntervalo abierto no vac´ıo ıo (a, b) contiene n´ numeros u´ meros racionales. Por tanto, R contiene un subconjunto numerable denso. Por la misma raz on o´ n los irracionales R − Q tambi´ tambien e´ n son un subconjunto denso en R.

(0, 1); el Ej.2.20. En R con la distancia usual, podemos considerar el subespacio (0, conjunto conjunto de los racionales racionales contenidos en (0, (0, 1), es decir Q ∩ (0, (0, 1), es denso en (0, u´ n la Proposici´ Proposicion o´ n 2.2.8, se obtiene el resultado (0, 1). En efecto, segun buscado puesto (0,1)

Q

= Q ∩ (0, (0, 1) = R ∩ (0, (0, 1) = (0, (0, 1). 1).



94

2.6. Sucesiones

Las sucesiones nos permiten caracterizar los subconjuntos denso de la siguiente manera. metrico y A ⊂ X un subconjunto. Proposici´ Proposicion o´ n 2.6.11. Sea (X, d) un espacio m´ ´ Entonces A es denso en X si, y s´ solo sucesion ´ si, para todo x ∈ X existe una sucesi´ ´ ∞ (xn )n=1 en A tal que xn → x.

´ . Simplemente hay que tener en cuenta la Definici on D EMOSTRACI ON o´ n 2.6.9 de conjunto conjunto denso y la Proposici´ Proposicion o´ n 2.6.6. Los subconjuntos numerables densos juegan en la topolog´ topol og´ıa ıa un papel p apel importante, de hecho los espacios que poseen un conjunto de este tipo reciben un nombre propio. metrico (X, d) es separable si contiene un subDefinici´ Definicion o´ n 2.6.12. Un espacio m´ ´ conjunto numerable denso.

Ejemplos Ej.2.21. La recta real R con la distancia usual es separable, puesto que Q es numerable y denso, como hemos visto.

Teorema 2.6.13. Sea (X, d) un espacio m´ etrico separable; entonces toda familia de abiertos disjuntos entre s´ s´ ı es numerable. ´ . Como el espacio es separable, existe un conjunto A ⊂ X nuD EMOSTRACI ON merable y denso. Si {Bi }i∈I es una familia de abiertos en X que son disjuntos entre s´ı, ı, se s e tiene ti ene que A ∩ Bi =  ∅ según un la Proposición on 2.6.10; 2.6.10; y además as A ∩ Bi es numerable. Por otra parte, para cada i, j ∈ I se tienen (A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ B j ) = ∅. Entonces, como A es numerable, tambi en e´ n lo es la familia {A ∩ Bi }i∈I y esta familia se puede poner, claramente en correspondencia biyectiva con {Bi }i∈I , lo que significa que tambi´ tambien e´ n esta ultima u´ ltima familia es numerable.

Ejercicios y Problemas P.2.24 Demuestre que dos distancias d y d sobre un conjunto X son equivalentes si, y solo o´ lo si, se verifica la propiedad siguiente: ∞ Una sucesi´ on (xn )n olo si =1 x ⊂ X converge a x ∈ X en (X, d) si, y s´  converge converge a x en (X, d ). [I] [R]



95


P.2.25 Considere en R2 , con la distancia usual el conjunto

M = {(1/n,y (1/n,y)) ∈ R2 : n = 1, 2, . . . ; y ∈ [0, [0, 1]}. Calcule Calcule el interior interior y la adherencia de M (con la adecuada justificaci on). o´ n). cerrad ado o y acota acotado do con con la topo topolog log´´ıa ıa usual. usual. Entonc Entonces es C est´ esta´ conconP.2.26 Sea C ⊂ R cerr tenido en un intervalo [a, b] de manera que a, b ∈ C . [I] [R]

P.2.27 Considere el siguiente subconjunto de la recta real

A = [0 [ 0, 1) ∪ (1, (1, 3) ∪ {5}, con la topolog´ topolog´ıa ıa T A inducida inducida por la usual de R. (a)Estudie si {5} es abierto o cerrado cerrado en A. (b)Estudie si (1, cerrado en A. (1, 3) es abierto o cerrado (c)Calcule la adherencia de [0, [0, 1) en A. (d)Estudie si [0, [0, 1/2] es un entorno de 0 en A. etrico P.2.28 Sean A y B dos subconjuntos cerrados disjuntos en un espacio métrico (X, d). Entonces existen dos abiertos disjuntos G y H tales que A ⊂ G y B ⊂ H . [I] [R] etrico y A un subconjunto de X . Se dice que P.2.29 Sean (X, d) un espacio métrico ◦

r(A) y que A es raro cuando A = ∅. A es fronterizo cuando A ⊂ Fr(A ◦

(a)¿Es cierto que A es fronterizo si, y s olo o´ lo si, A = ∅? (b)¿Es cierto que A es fronterizo si, y sólo olo si, el complementario de A es denso en X ? (c)Encuentre en (R, du ) dos ejemplos de conjuntos fronterizos. (d)Encuentre en (R, du ) dos ejemplos de conjuntos raros. (e)¿Todo conjunto raro es fronterizo? (f)¿Todo conjunto fronterizo es raro? (g)¿ A abierto implica que Fr(A r(A) es raro? (h)¿Todo conjunto cerrado y raro es la frontera de un conjunto abierto? [I] etrico: P.2.30 Sea (X, d) un espacio métrico: (1)Demuestre (1)Demuestre que D ⊂ X es denso en X si, y solo o´ lo si, X − D tiene interior vac´ vac´ıo. ıo. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


96

2.6. Sucesiones

(2)Pruebe que un subconjunto A ⊂ R con la topolog´ topolog´ıa ıa usual es denso en R si, y solo o´ lo si, todo punto de R es l´ l´ımite ımite de una sucesion o´ n de puntos de A. (3)Sea (3)Sea la sucesi on o´ n (1/n (1/n))n∞=1 en R. Pruebe que R − {(1/n (1/n))n∞=1 } es denso en R y que la sucesi on o´ n no es densa en R. metricos e´ tricos y el producto X × Y dotado P.2.31 Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios m´   de la distancia d((x, ((x, y), (x , y )) = máx ax{d(x, x ), d (y, y  )}. Si (xn )n∞=1 ∞ y (yn )n =1 son dos sucesiones en X e Y respectivamente, demuestre que ∞ la condici´ condicion o´ n necesaria y suficiente para que la sucesi on o´ n (xn )n =1 conver∞ ja a x ∈ X y la sucesión on (yn )n=1 converja a y ∈ Y es que la sucesión on ∞ ∞ (zn )n=1 = (xn , yn )n=1 en X × Y , converja a z = (x, y ) ∈ X × Y .

P.2.32 Considere los siguientes subconjuntos de R y calcule su interior, exterior, frontera frontera y adherencia adherencia primero considerando considerando la distancia discreta y despu´ despues e´ s la distancia usual. n

(0, (0, 1), 1), [0, [0, 1], 1],


 (−1) n



:n∈N , Q


3 Funciones continuas De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios m etrico, e´ trico, las aplicaciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es fundamental no solo o´ lo en topolog´ topolog´ıa, ıa, sino tambi´ tambien e´ n en an´ analisis, a´ lisis, geometr´ geometr´ıa ıa diferencial y en general, general, en la mayor´ mayor´ıa ıa de ramas de las matem aticas. a´ ticas. En este cap´ cap´ıtulo ıtulo estudiamos la continuidad de funciones entre espacios m´ metricos. e´ tricos. Caracterizamos las continuidad a trav es e´ s de sucesiones, de conjuntos abiertos o de conjuntos cerrados, y presentamos las principales propiedades de las aplicaciones continuas. Estudiamos algunas aplicaciones especiales: abiertas, cerradas y homeomorfismos. Finalizamos estudiando la continuidad uniforme en espacios metricos. e´ tricos. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ espec´ıficas: ıficas: Utilizar Utilizar los conceptos conceptos basicos a´ sicos asociados a la noción on de espacio métrico. etrico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ topolog´ıa ıa m etrica. e´ trica. Determinar cu´ cuando a´ ndo una funcion o´ n entre espacios m etricos e´ tricos es continua y, en particular, cu´ cuando a´ ndo es un homeomorfismo. Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topológicos ogicos mediante el uso de sucesiones, particularmente la continuidad. Se desarrollar´ desarrollaran a´ n los contenidos siguientes: Continuidad Continuidad de funciones funciones entre espacios espacios metricos. e´ tricos. Continuidad en un punto. Continuidad global. 97

98

3.1. Aplicación on continua

Caracterizaci´ Caracterizacion o´ n de la continuidad mediante sucesiones. Principales propiedades de las aplicaciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Aplicaciones continuas en subespacios. Continuidad uniforme. Isomet Iso metr´ r´ıas. ıas .

3.1.Aplicaci

on o´ n continua

Definici´ Definicion o´ n 3.1.1. Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios m´ etricos y f : X aplicaci´ aplicacion. ´ Diremos que f es continua en a X , , si

∈

−→ Y una

f (x), f ( f (a)) < ε; ε; para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ, implica d (f ( en otras palabras palabras

f (a), ε), existe BX (a, δ ) tal que f ( f (BX (a, δ )) )) para cada BY (f (

f (a), ε). ⊂ BY (f (

Observaci´ Observacion o´ n 3.1.2. Logicamente, ´ coincide con la definici´ definicion, ´ ya conocida, de funci´ cion decir, f es continua en a si R continua en un punto a R , es decir, ´ f : R

−→

∈ para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que |x − a| < δ, implica |f ( f (x) − f ( f (a)| < ε;

que en t erminos ermino s de entornos (bolas) es: ´ ´ para cada ε > 0, existe (a δ, a+δ ) tal que f (( f ((a a δ, a+δ )) ))

−

−

f (a)−ε, f ( f (a)+ε )+ε). ⊂ (f (

Ejemplos o´ n constante entre dos espacios espacios m etricos e´ tricos (X, d) y (Y, d ) es Ej.3.1. Toda aplicacion continua. En efecto, si f ( f (x) = y0 para todo x X , es evidente que toda bola BY (y0 , r) contiene contiene a f ( definicion. o´ n. f (X ) = y0 y por tanto cumple la definici´

∈

{ } o´ n identidad 1X : (X, d) −→ (X, d), de un espacio en s´ s ´ı misEj.3.2. La aplicacion mo, es continua en cada punto x ∈ X , pues B (1X (x), r) = B (x, r). ¿Y si las distancias son diferentes, es decir, si ahora consideramos la aplicación on  d? 1X : (X, d) −→ (X, d ) con d = 



espaci cio o discr discret eto o e (Y, d) es un espa espaci cio o métrico etrico cualquiera, cualquiera, Ej.3.3. Si (X, dD ) es un espa entonces toda aplicacion o´ n f : X Y es continua en cada punto x X , ya que si consideramos una bola Bd (f ( f (x), r), basta con que tomemos la bola BdD (x, 1/2) = x para que f ( f (BdD (x, 1/2)) Bd (f ( f (x), r). ¿Ocurre lo mismo si la aplicaci aplicación o´ n es f : Y X ?

−→

{}


−→

∈

⊂


99


Ej.3.4. El concepto de continuidad es conocido en R, lo que nos proporciona numerosos e interesantes ejemplos de aplicaciones f : (R, ) (R, ) a continuas como son las funciones elementales x , sen(x sen(x), cos(x cos(x), ex y sus inversas en sus dominios de definici´ definicion. o´ n. De la misma forma sabemos que la suma y el producto de funciones continuas da como resultado una función on continua; as´ı como la inversa de una funci on o´ n continua no nula.

| | −→

||

Las sucesi sucesione oness caract caracteri erizan zan la continu continuida idad d en los espaci espacios os metricos, e´ tricos, convirti convirtiéndose e´ ndose as´ as´ı, ı, en una herramienta frecuentemente util. u´ til. Lo vemos en el siguiente Teorema. metricos (X, d) e (Y, d ) , f : X Teorema 3.1.3. Sean dos espacios m´ ´ aplicaci´ aplicacion ´ entre ellos y a X . Entonces son equivalentes:

∈

−→ Y una

(a) f es continua en a. ∞ (b) Si (xn )n f (xn ))n∞=1 es sucesion ´ en X con l´ l´ ımite a , entonces (f ( =1 es una sucesi´ convergente y su l´ l´ ımite es f ( f (a).

´ . D EMOSTRACI ON “ ” Supongamos que (f ( converge a f ( f (xn ))n∞=1 converge f (a) y f no es continua en a. Esto significa significa que existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 hay un punto xδ X tal que  d(xδ , a) < δ y d (f ( f (xδ ), f ( f (a) ε. Entonces:

⇒

∈

≥

Dado δ = 1 existe x1 con d(x1 , a) < 1 tal que d (f ( f (x1 ), f ( f (a))

≥ ε. Dado δ = 12 existe x2 con d(x2 , a) < 12 tal que d (f ( f (x2 ), f ( f (a)) ≥ ε. 

Y as´ as ´ı sucesivamente:

dado δ = n1 existe xn con d(xn , a) < n1 tal que d (f ( f (xn ), f ( f (a))

≥ ε.

∞ Hemos obtenido una sucesi´ sucesion o´ n (xn )n =1 en X que converge hacia a, puesto que ∞ la sucesi´ sucesion o´ n de t´ terminos e´ rminos positivos (d(xn , a))n =1 converge a 0; sin embargo, la ∞ sucesi´ sucesion o´ n (f ( f (xn ))n=1 no converge a f ( f (a), ya que siempre es d (f ( f (xn ), f ( f (a)) ε, para cada n N, con lo que llegamos a una contradicción. on.

≥

∈

“ ” Rec´ Rec´ıprocamente, ıprocamente, supongamos que f es continua en a X y que una suce∞ si´ sion ´ (xn )n a. Para demostrar que f ( f (xn ) f ( f (a), tenemos que probar =1 es xn que para todo ε > 0 existe n0 tal que si n > n0 entonces f ( f (xn ) BY (f ( f (a), ε). Como f es continua en a, dada BY (f ( f (a), ε), existe δ > 0 tal que

⇐

→

→

f ( f (BX (a, δ )) ))

∈

∈

⊂ BY (f ( f (a), ε).

∞ Por otra parte, como (xn )n =1 converge hacia a, dado BX (a, δ ), existe n0 tal que si n > n0 entonces xn BX (a, δ ), con lo que

∈

f ( f (xn )

f (BX (a, δ )) )) ⊂ BY (f ( f (a), ε), ∈ f (

que es lo que qu e quer´ıamos ıamos probar. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


100


Ejemplos o´ n f : R Ej.3.5. La funcion

−→ R, definida por f ( f (x) =



1 x−1

1

si x = 1 si x = 1



´ ´ f ( Figura Figura 3.1 – Gr´ Grafica de la funcion f (x) del Ejemplo Ej.3.5..

considerando considerando la distancia usual en ambos casos (vease e´ ase la Figura 3.1), 3.1), no es 1 continua en x = 1, pues la sucesión on xn = 1 + n tiene por l´ımite ımite 1 y, sin embargo,

l´ım f ( f (xn ) = l´ım n

n

1 n

1 +1

f (1).. − 1 = l´ınm n = f (1)

La composicion o´ n de aplicaciones continuas es tambi´ tambi en e´ n una aplicacion o´ n continua. Encontramos, por tanto, un interesante m´ metodo e´ todo para construir construir numerosas numerosas aplicaaplicaciones de este tipo. metricos, y sean Proposici´ Proposicion o´ n 3.1.4. Sean (X, d) , (Y, d ) y (Z, d ) tres espacios m´ ´ dos aplicaciones f : X Y y g : Y Z tales que f es continua en a X y g es continua en f ( f (a) Y . Entonces g f es continua en a.

−→ ∈

−→ ◦

∈

´ . D EMOSTRACI ON Sea ε > 0; como g es continua en f ( f (a), existe δ > 0 tal que si d (f ( f (a), y) < δ ,  entonces d (g (f ( f (a)), )), g(y )) < ε. Por otra parte, como f es continua en a, dado el δ > 0 anterior, anterior, existe η > 0 de modo que si d(x, a) < η , entonces  o´ lo hay que combinar las dos afird (f ( f (a), f ( f (x)) < δ . Para concluir la prueba s olo maciones anteriores. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


101


3.1.1.Continuidad global metricos (X, d) e (Y, d ) y sea f : X Definici´ Definicion o´ n 3.1.5. Sean dos espacios m´ ´ una aplicaci´ aplicacion. ´ Diremos que f es continua si lo es en todo punto de X .

−→ Y

La Proposici´ Proposicion o´ n siguiente una caracterizaci on o´ n de la continuidad global en t´ terminos e´ rminos de los conjuntos abiertos y de los conjuntos cerrados. Se trata de un importante resultado que, adem´ ademas a´ s ser´ sera´ de utilidad frecuente. metricos y f : X Proposici´ Proposicion o´ n 3.1.6. Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios m´ ´ una aplicaci´ aplicacion. ´ Entonces son equivalentes:

−→ Y

(a) f es continua.

⊂ Y , el conjunto f 1(A) es abierto en X . (b) Para todo cerrado F ⊂ Y , el conjunto f 1 (F ) F ) es cerrado en X . (b) Para todo abierto A

−

−

´ . D EMOSTRACI ON “(a) (b)” Supongamos que f es continua y que A Y es un abierto. Veamos −1 −1 que f (A) es abierto. Sea x f (A), entonces f ( f (x) A y como A es abierto, existe ε > 0 tal que BY (f ( f (x), ε) A. Por otra parte, como f es continua, para este ε > 0 existe δ > 0, tal que f ( f (BX (x, δ )) )) BY (f ( f (x), ε) A, lo que −1 −1 significa que BX (x, δ ) f (A). Como esto es para cada x f (A), tenemos que f −1 (A) es abierto en X .

⇒

⊂

∈

⊂

⊂

⊂

∈

⊂

∈

“(b) (c)” Si F Y es cerrado, entonces su complementario Y F es abierto y por tanto X f −1 (F ) F ) = f −1 (Y F ) F ) es abierto, de donde se deduce que f −1 (F ) F ) es cerrado en X .

⇒

−

⊂

−

−

“(c) (a)” Consideremos f ( f (x) Y y una bola abierta BY (f ( f (x), ε); entonces el conjunto Y BY (f ( f (x), ε) es cerrado en Y , por tanto

⇒

∈

−

X

f (x), ε)) = f 1 (Y − BY (f ( f (x), ε)) − f 1(BY (f ( −

−

es cerrado en X , lo que significa que f −1 (BY (f ( f (x), ε)) es abierto en X y entonces, para alg´ algun u´ n δ > 0 se tienen que BX (x, δ ) f −1 (BY (f ( f (x), ε)); de donde deducimos que f ( f (BX (x, δ )) )) BY (f ( f (x), ε) y f es continua en x.

⊂

⊂

Aunque las anti-im´ anti-imagenes, a´ genes, mediante una aplicaci on o´ n continua, de un abierto o de un cerrado, son a su vez, abierto o cerrado respectivamente, las im agenes a´ genes de abiertos o de cerrados no son, en general, abiertos o cerrados. Veamos un ejemplo.

Ejemplos R, dada por f ( o´ n f : R f (x) = sen x, es continua para Ej.3.6. La funcion la topolog´ topolog´ıa ıa usual y, sin embargo no transforma abiertos en abiertos pues f (( f (( 2π, 2π )) = [ 1, 1] no es un abierto en R.

−→

−

−



102


o´ n entre un espacio Ej.3.7. En el Ejemplo Ej.3.3., hemos visto que toda aplicaci on discreto y cualquier otro espacio m´ metrico e´ trico es siempre continua. En particular, la aplicaci aplicación o´ n identidad identidad 1X : (R, dD ) (R, ), es continua. Cualquier subconjunto subconjunto de R es cerrado para la topolog´ topolog´ıa ıa discreta, por ejemplo ejemplo (0, (0, 1); y sin embargo, 1X (0, cerrado en R con la l a topolog´ top olog´ıa ıa usual, us ual, (0, 1) = (0, (0, 1) no es cerrado de modo que esta aplicación on no transforma cerrados en cerrados.

−→

||

Ejercicios y Problemas etrico (X, d), demuestre que la P.3.1 Si A es un subespacio de un espacio métrico función on inclusi´ continua. [I] [R] inclusion (X, d) ( j( j (x) = x) es continua. ´ j : (A, dA )

−→

P.3.2 Sea f : (X, d)



−→ (Y, d ) una aplicacion. o´ n.

(a)Demuestre que f es continua en un punto a solo o´ lo si, para X si, y s´ −1 ◦ todo entorno U de f ( f (a) se cumple que a [f (U )] U )]

∈

∈

(b)Demuestre que f es continua en X si, y s´ solo o´ lo si, para todo conjunto B Y se cumple

⊂

[I]

◦

f −1 (B )

⊂ [f 1(B)] . −

◦

[R]

metrico e´ trico y x0 X un punto. Demuestre que la P.3.3 Sea (X, d) un espacio m´ aplicaci´ aplicacion o´ n f : (X, d) (R, ) definida como f ( f (x) = d(x, x0 ), es continua. [I]

−→

∈

||

etrico y A X un subconju sub conjunto nto no vac´ıo ıo determidet ermiP.3.4 Sea (X, d) un espacio métrico nado. nado. Demuest Demuestre re que g : (X, d) definida como como g (x) = d(x, A), (R, ) definida es continua. [I]

−→

⊂

||

metrico e´ trico y f 1 , . . . , fn : X o´ n de P.3.5 Sea (X, d) un espacio m´ R, una colecci on n funciones continuas (considerando R con la distancia usual). Entonces la función on f : X en con la distancia usual) definida como en Rn (Rn tambi´ f ( f (x) = (f 1 (x), . . . , fn (x)) continua.

−→

−→

3.1.2.Continuidad y subespacios (Y, d ) es continua y A es un subespacio de Proposici´ Proposicion o´ n 3.1.7. Si f : (X, d) X , , entonces la funcion (Y, d ) es continua. ´ restringida f A : (A, dA )

−→ |


−→


103


´ . D EMOSTRACI ON Como en el ejercicio (3.1) hemos visto que la inclusión on j es continua y la funcion f A se puede expresar como f A = f j , es composicion o´ n de aplicaciones continuas y, por tanto, f A es continua.

|

|

|

◦

aplicacion (Y, d ) una aplicaci´ Definici´ Definicion o´ n 3.1.8. Sea f : (X, d) ´ y A X un subcon junto. Diremos que f es continua en A si f A : (A, dA ) (Y, d ) es continua.

−→

|

−→

⊂

3.2.Homeomorfismos y embebimientos 3.2.1.Aplicaciones abiertas y cerradas Hemos visto que aunque la imagen inversa de un conjunto abierto, mediante una funci´ funcion o´ n continua, es un abierto (lo mismo ocurre para cerrados), las imagenes de abiertos o de cerrados cerrados no son, necesariamente necesariamente,, abiertos abiertos o cerrados cerrados respectivarespectivamente. Las aplicaciones que transforman abiertos en abiertos o cerrados en cerrados, juegan un papel importante. metricos (X, d) e (Y, d ) y f : X Y Definici´ Definicion o´ n 3.2.1. Sean dos espacios m´ ´ una aplicaci aplicacion. X , , f ( f (A) es ´ Diremos que f es abierta si para todo abierto A abierto en Y y diremos que f es cerrada si para todo C X cerrado, f ( f (C ) Y es cerrado.

⊂

⊂

−→ ⊂

Ejemplos topolog´ıa ıa usual y [0, [0, 1] con distancia inducida por Ej.3.8. Consideremos R con la topolog´ la usual de R. Entonces la aplicacion o´ n inclusi´ inclusion o´ n j : [0, [0, 1] R es cerrada puesto que al ser cerrado [0, e´ n [0, 1], todos los cerrados en este espacio tambi en son cerrados en R (vea la Proposición on 1.3.14) y, sin embargo no es abierta pues [0, e?) en [0, [0, 1/2) es abierto (¿por qué?) [0, 1] pero no en R.

−→

Ej.3.9. Las aplicaciones pueden ser abiertas y cerradas a la vez; en efecto la apliR (en ambos casos con la distancia usual), definida como caci´ cacion o´ n f : R cerrada. f ( f (x) = kx con k R, no nulo, es continua, es abierta y cerrada.

−→

∈

Ej.3.10. Las aplicaciones abiertas y/o cerradas no son, necesariamente, continuas. Consideremos el espacio X = a, b , formado por dos unicos u ´ nicos puntos con la distancia discreta dD ; y sea la aplicaci aplicacion o´ n f : (R, ) X , definida como a si x 0

{ }

f ( f (x) =




| | −→

≥

b si x < 0 ˜ e´ Herrero Pineyro

104

3.2. Homeomorfismos y embebimientos

Es f acil a´ cil (¿?) ver que es abierta abierta y cerrada. cerrada. Sin embargo no es continua, continua, pues −1 el conjunto a es abierto y cerrado en X y f ( a ) = [ 0, 0, ) no es abierto en R, con lo que la Proposici on o´ n 3.1.6 no se verifica.

{}

{}

proyecci ción o´ n π : (R2 , d2 ) Ej.3.11. La proyec

∞

−→ (R, du) del del plan plano o sobr sobree el eje eje de abci abcisa sas, s,

Figura 3.2 – Las proyecciones proyecciones son aplicaciones abiertas pero no cerradas. cerradas.

una apli aplica caci´ ción abie abiert rtaa pues puesto to que que la proy proyec ecci´ ción de cual cualqu quie ierr π (x, y) = x, es una bola abierta abierta B ((a, ((a, b), r) es un intervalo abierto (a r, a + r). Pero no es

−

cerrada, puesto que la proyecci on o´ n del conjunto cerrado

C = (x, y )

{

es el intervalo (0, (0, +

∈ R2 | x > 0, xy ≥ 1}

∞), que no es cerrado (v ease e´ ase la Figura 3.2). 3.2).

3.2.2.Homeomorfismos Vamos a estudiar ahora unas importantes aplicaciones continuas entre espacios métricos. etricos.

Definici´ Definicion o´ n 3.2.2. Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios m´ etricos. Un homeomorfis mo entre X e Y es una aplicaci´ Y tal que tanto f como on biyectiva f : X −1 su inversa f son continuas. Diremos que dos espacios espacios topol´ topologicos son homeo´ morfos si existe un homeomorfismo entre ellos.

→

Diremos que una propiedad en un espacio topol´ topologico es una propiedad topol ogi´ ´ ´ ca si es invariante por homeomorfismos.

La siguiente proposici´ proposicion o´ n proporciona una caracterizaci on o´ n de los homeomorfismos.

Proposici´ Proposicion o´ n 3.2.3. Sea f : X on biyectiva biyectiva entre dos espacios espacios Y una aplicaci´  m´ etricos (X, d) e (Y, d ). Son equivalentes:

→



105


(a) f es un homeomorfismo. (b) Un subconjunto A

⊂ X es abierto si, y s´ solo f (A) es abierto. ´ si, f ( (c) Un subconjunto C ⊂ X es cerrado si, y s´ solo f (C ) es cerrado. ´ si, f (

´ . D EMOSTRACI ON Es consecuencia consecuencia directa de la definici definicion o´ n y de la Proposición on 3.1.6. Veamos ejemplos de homeomorfismos entre espacios topol ogicos. o´ gicos. Algunos nos van a resultar utiles u´ tiles e incluso, quiz´ quizas, a´ s, hasta sorprendentes.

Ejemplos metricos e´ tricos discretos son homeomorfos si, y s olo o´ lo si, existe Ej.3.12. Dos espacios m´ una biyeccion o´ n entre ellos. aplicacion o´ n sen : (0, (0, π/2) π/2) (0, (0, 1) es un homeomorfismo, ya que resEj.3.13. La aplicaci tringida a estos intervalos es biyectiva, y tambi´ tambien e´ n es continua continua su aplicaci aplicación o´ n inversa arcsen : (0, (vease e´ ase la Figura 3.3). 3.3). (0, 1) (0, (0, π/2) π/2) (v´

→

→

Figura Figura 3.3 – El sen x es un homeomorfismo entre (0, (0, π/2) π/2) y (0, (0, 1).

on f : R f (x) = 3x + 1 es un homeomorfismo Ej.3.14. La función R dada por f ( (v´ (vease e´ ase la Figura 3.4). 3.4). Si definimos definimos g : R o´ n R mediante la ecuaci on

−→

→

1 g (y) = (y 3

− 1)

entonces se puede comprobar f acilmente a´ cilmente que, para todos los n umeros u´ meros reales x e y, f ( f (g (y)) = y y que g (f ( f (x)) = x. Se sigue que f es biyectiva y que −1 alisis. g = f ; la continuidad de f y g es un resultado conocido de análisis. o´ n f : ( 1, 1) Ej.3.15. La funcion

−

→ R definida por f ( f (x) =


x 1

− x2 ˜ e´ Herrero Pineyro

106


Figura 3.4 – Homeomorfismo en la recta real.

Figura 3.5 – Ejemplo de homeomorfismo entre un intervalo abierto y R.

es un homeomorfism homeomorfismo o (v ease e´ ase la Figura 3.5). 3.5). En primer lugar, observemos que f es una correspondencia biyectiva que conserva el orden; su inversa es la funci on o´ n g definida por

g (y) =

2y . 1 + (1 + 4y 4y2 )1/2

El hecho de que f sea un homeomorfismo se puede probar usando la continuidad de las funciones algebraicas y la función on ra´ız ız cuadrada. cu adrada. En efecto, efe cto, tanto f como g son continuas al ser composición on de funciones continuas. o´ gica. El intervalo Ej.3.16. El hecho de ser acotado no es una propiedad topol ogica. topologicamente o´ gicamente equivalentes (como se prueba en el Ejem( 1, 1) y R son topol´ plo (3) anterior) pero el primero de ellos está acotado y el segundo no.

−



107


o´ n biyectiva puede ser continua sin ser un homeomorfismo. Ej.3.17. Una funcion Denotemos por S 1 a la circunferencia unidad

S 1 = (x, y) : x2 + y2 = 1

{

}

considerado como subespacio del plano R2 , y sea

f : [0, [0, 1)

−→ S 1

la aplicacion o´ n definida por f ( f (t) = (cos2πt, (cos2πt, sen2πt sen2πt)). Entonces f es biyectiva y continua (v´ (vease e´ ase el Problema P.3.5), pero no es un homeomorfism homeomorfismo. o. El hecho de que f sea biyectiva y continua se sigue de propiedades familiares liares de las funciones funciones trigonométricas, etricas, que ya suponemos conocidas. Pero −1 la funcion o´ n f no es continua ya que, por ejemplo, la imagen mediante −1 −1 f = (f ) del conjunto abierto U = [0, [0, 14 ) del dominio no es abierta en u´ n conjunto abierto S 1 , puesto que el punto p = f (0) f (0) no pertenece a ningun 2 1 (vease e´ ase la Figura 3.6). 3.6). V de R tal que V S f ( f (U ) U ) (v´

∩ ⊂

´ biyectiva que no es homeomorfismo. Figura 3.6 – Ejemplo de aplicaci on

Ejercicios y Problemas o´ n f : (R, du ) P.3.6 Sea la aplicaci on

−→ (R, du) definida por

f ( f (x) =

− 1 +1 x2 .

¿Es abierta? ¿Es cerrada? Justif ´ıquelo. ıquelo. on “valor absoluto” P.3.7 Estudie la continuidad de la función tancia usual). ¿Es homeomorfismo?

| | : R −→ R (dis-

P.3.8 Encuentre un homeomorfismo entre el intervalo (a, b) de R y el propio R, con las topolog´ topolog´ıas ıas usuales. Idem para los intervalos [a, b] y [0, [0, 1]. [I] [R] OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


108


X Y . Demuestre que la “rebanada horizontal” X b es P.3.9 Sea (a, b) homeomorfa a X , y que la “rebanada vertical” a Y es homeomorfa homeomorfa a Y con la topolog´ topolog´ıa ıa usual definida para el producto de espacios (vea el Ejemplo Ej.1.9.).

∈ ×

×

×

etricos y f : X P.3.10 Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios métricos caci´ cacion. o´ n. Demuestre:

−→ y una apli-

(a) f es cerrada si, y s olo o´ lo si, f ( f (A)

⊂ f ( f (A) para todo A ⊂ X . (b) f es abierta si, y solo o´ lo si, f ( f (A) ⊂ [f ( f (A)] para todo A ⊂ X . [I] ◦

◦

[R]

topologicas: o´ gicas: (i) punto de acuP.3.11 Pruebe que las siguientes son propiedades topol´ mulación; on; (ii) interior; (iii) frontera; (iv) desidad y (v) entorno. [I] [R] metricos e´ tricos y dos funciones P.3.12 Sean (X, d), (Y, d ) y (Z, d ) tres espacios m´ continuas f : X Y y g : Y Z . Si g f : X Z es un homeomorfismo, demuestre:

−→

−→

◦

−→

(a)Si g es inyectiva, entonces f y g son homeomorfismos. (b)Si f es sobreyectiva, entonces f y g son homeomorfismos. [I]

[R]

3.2.3.Embebimientos Ahora supongamos que f : (X, d) o´ n continua e in(Y, d ) es una aplicacion ¯ yectiva. La f funci´ funcion o´ n f : X topolog´ıa ıa f ( f (X ), donde f ( f (X ) Y tiene la topolog´ ¯ es un inducida, obtenida al restringir el rango de f , es biyectiva. Si ocurre que f homeomorfismo de X con f ( o´ n f : X f (X ), decimos que la aplicaci on Y es un , o simplemente simplemente un embebimiento, embebimiento topol ´ topol ogico, ogico ´ embebimiento, de X en Y .

−→

−→

⊂

→

Ejemplos o´ n sen : (0, (0, π/2) π/2) Ej.3.18. La aplicacion

−→ R es claramente un embebimiento. on f : (0, (0, +∞) −→ R, dada por f ( f (x) = 1/x, es un embeEj.3.19. La aplicación ¯ : (0, bimiento, bimiento, ya que f (0, +∞) → (0, (0, +∞) es un homeomorfismo. [0, 1) −→ R2 obtenida a partir de la funEj.3.20. Consideremos la funcion o´ n g : [0,

ci´ cion o´ n f del Ejemplo Ej.3.17. al extender el recorrido. recorrido. La aplicaci aplicacion o´ n g es un ejemplo de una aplicacion o´ n continua e inyectiva que no es un embebimiento.



109


3.3.Continuidad 3.3.Continuidad uniforme uniforme En la Definicion o´ n 3.1.1 de continuidad que venimos manejando, el n´ numero u´ mero real δ depende depende de ε y, en general, también en depende del punto en el que estamos “estudiando” diando” la continuidad. continuidad. No obstante, hay casos en los que esto ultimo ´ no ocurre y o´ lo de pende de ε. Observemos los siguientes ejemplos. δ solo

Ejemplos Considerem remos os la conoci conocida da parábol a bola. a. Se trat trataa de una una func funci´ ión on f : R Ej.3.21. Conside R 2 (distancias usuales), definida como f ( f (x) = x . Sabemos que esta aplicaci´ cacion o´ n es continua y si tomamos ε = 10−2 y estudiamos la continuidad en a = 0, basta tomar x < 10−2 = 10−1 , para que x2 < ε = 10−2 . Sin embargo si pensamos en a = 3 y tomamos el mismo valor ε = 10−2 , tenemos que si x = 3 + 10−1 /2 = 3 + 1/ 1/20, entonces x 3 = 1/20 < 1/10 y, sin embargo,

−→

||

√

| | | − |

|x2−33| = |x2−9| = |x−3||x+3| = (1/ (1/20)(6+1/ 20)(6+1/20) = 121/ 121/400 > 10

2

−

.

Es decir el valor valor de δ tomado para a = 0 no es v´ valido a´ lido para el punto a = 3. on f ( f (x) = x +3 , y sea ε > 0 observemos Ej.3.22. Consideremos ahora la aplicación que para x = a, para que

|f ( f (x) − f ( f (a)| = |x + 3 − a − 3| = |x − a| < ε, basta tomar δ = ε, y esto es v alido a´ lido para cualquier punto x = a.

Las aplicaciones aplicaciones que tienen esta ultima, u´ ltima, digamos, “peculiaridad” reciben un nombre particular. on entre espacios m´ etricos f : (X, d) (Y, d ) Definici´ Definicion o´ n 3.3.1. Una aplicaci´ es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x, y X con d(x, y) < δ se verifica que d (f ( f (x), f ( f (y)) < ε.

→

∈

a´ cil probar que toda aplicaci´ aplicacion o´ n uniformemente continua Observaci´ Observacion o´ n 3.3.2. Es f acil es continua, pero el rec´ rec´ıproco ıproco no es cierto: cierto: basta considerar considerar la funci´ funcion o´ n f ( f (x) = x2 del ejemplo anterior. No obstante lo podemos hacer de forma m as a´ s general. En efecto, dado  > 0, para todo δ > 0 siempre siempre podemos encontrar dos numeros u´ meros x e 2 2 y en R tales que x y < δ y, sin embargo, x y > . Observemos que

| − |

| − |

x2

)(x + y). − y2 = (x − y)(x Dados  y δ , tomamos x e y tales que |x − y | = δ/2 δ/ 2 y |x + y | > 2/δ , entonces |x2 − y2| = |x − y| |x + y| > . OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


110

3.3. Continuidad uniforme

3.3.1.Isometr 3.3.1.Isometr

´ıas ıas

metricos (X, d) e (Y, d ) , diremos que una Definici´ Definicion o´ n 3.3.3. Dados dos espacios m´ ´ isometr´ ıa si conserva la distancia, es aplicaci´ on biyectiva f : X Y es una isometr´  f (x1 ), f ( f (x2 )) para todo x1 , x2 X . En este caso decimos decir, d(x1 , x2 ) = d (f (  isometricos que (X, d) e (Y, d ) son espacios isom´ . ´

→

∈

aplicacion Proposici´ Proposicion o´ n 3.3.4. Una isometr ´ ´ıa es una aplicaci´ ´ uniformemente continua.

´ . D EMOSTRACI ON Se trata de una consecuencia directa de la definici on. o´ n. metricos son isom´ isometricos, entonces tambi´ tambien Proposici´ Proposicion o´ n 3.3.5. Si dos espacios m´ ´ ´ ´ son homeomorfos.

´ . D EMOSTRACI ON De nuevo, no es más as que una consecuencia consecuencia de las definiciones definiciones de isometr´ isometr´ıa ıa y homeomorfismo.

Ejemplos rec´ıproco ıproco de la ultima u´ ltima proposici proposición o´ n no es cierto, en general; es decir Ej.3.23. El rec´ no todo homeomorfismo es isometr´ isometr´ıa. ıa. Si consideramos consideramos R con la distancia discreta dD y con la distancia

d˜(x, y ) =



2 0

si x = y



si x = y

entonces la aplicaci on o´ n identidad Id : (R, dD ) (R, d˜) es un homeomorfismo que no es isometr´ isometr´ıa, ıa, pues si x = y entonces dD (x, y) = 1 mientras que d˜(Id(x), Id(y)) = d˜(x, y ) = 2.



→

etrico con la distanEj.3.24. Vimos en el Ejemplo Ej.1.5., que C es un espacio métrico 2 cia d(z1 , z2 ) = z1 z2 . La aplicaci´ aplicación on f : (R , d2 ) (C, d) definida como f ( isometr´ıa ıa entre ambos espacios. Demostrarlo f (x, y ) = x + iy, es una isometr´ se reduce a una mera comprobaci on. o´ n.

| − |


−→


111


Ejercicios y Problemas o´ n f : (X, d) (Y, d ) es de Lipschitz si existe P.3.13 Se dice que una aplicaci on un n umero u´ mero real k > 0 tal quep, para todo x, y X ,

→

d (f ( f (x), f ( f (y))

∈

kd(x, y). ≤ kd(

Demuestre que una aplicaci on o´ n de Lipschitz es uniformemente continua.

(Y, d ) continua y sobreyectiva. Demuestre que si P.3.14 Sea f : (X, d) tambien e´ n es denso en Y . D X es un conjunto denso, entonces f ( f (D) tambi´

−→

⊂

(Y, d ) y a X . Demuestre que si f es continua en P.3.15 Sea f : (X, d) A y constante en A, entonces es constante en A. [I] [R]

−→

⊂

o´ n f : (0, (0, 1) f (x) = 1/x, es continua P.3.16 Demuestre que la aplicaci on R, f ( en (0, (0, 1] con la distancia usual relativa, pero no es uniformemente continua.

−→

metrico e´ trico y (R, du ). P.3.17 Sea (X, d) un espacio m´ (a)Si a X , demuestre demuestre que la aplicaci´ aplicacion o´ n f : X es uniformemente continua.

−→ R, f ( f (x) = d(a, x)

(b)Si A X , demuestre que la aplicacion o´ n g : X es uniformemente continua. [I]

−→ R, g(x) = d(A, x)

∈

⊂

metricos e´ tricos y f, g : X P.3.18 Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios m´ caci´ cacion o´ n continua. Demuestre:

−→ Y una apli-

f (x) = g (x)} es cerrado en X . {x ∈ X : f ( (b)El conjunto {x ∈ X : f ( f (x) = a}, con a ∈ Y fijo, es cerrado en X . (c)Si {x ∈ X : f ( f (x) = g (x)} es denso en X , entonces f = g . (a)El conjunto

etricos y una aplicación on P.3.19 Sean (Y 1 , ρ1 ), . . . , (Y n , ρn ) y (X, d) espacios métricos olo f : X Y 1 Y n . Demuestre que f es continua en a X si, y sólo si, f i = πi f : X Y i es continua en a X para cada i = 1, . . . , n. [I]

−→ × · ·· × ∈ ◦ −→ ∈ olo si, P.3.20 Sea f : (X, d) −→ (R, du ). Demuestre que f es continua si, y sólo para cada a ∈ R, son abiertos abiertos los conjuntos conjuntos Aa = {x ∈ X : f ( f (x) < a} y Ba = {x ∈ X : f ( f (x) > a}. o´ n f : R P.3.21 Sea la funcion

−→ R definida como x si x ≤ 2 f ( f (x) =




x2 si x > 2 ˜ e´ Herrero Pineyro

112

3.3. Continuidad uniforme

Si du es la distancia distancia usual, dD es la distancia distancia discreta y ρ(x, y ) = 2 x estudie la continuidad continuidad de la funci´ funcion o´ n en los siguientes casos

| − y|,

f : (R, du )

−→ (R, du), f : (R, dD ) −→ (R, ρ),

f : (R, du )

−→ (R, dD ), f : (R, ρ) −→ (R, du ). metrico e´ trico y A, B ⊂ X cerrados (o abiertos) tales P.3.22 Sea (X, d) un espacio m´ que X = A ∪ B . Sean f : A −→ Y y g : B −→ Y continuas. Demuestre que si f ( on f (x) = g (x) para cada x ∈ A ∩ B , entonces es continua la aplicación h : X −→ Y definida como f ( f (x) si x ∈ A h(x) = . g (x) si x ∈ B



Estudie Estudie la continu continuida idad d de las siguient siguientes es funcion funciones es de R en R con con la topol topolog og´´ıa ıa usual:

f ( f (x) =



x si x 0 x/2 x/2 si x 0

≤

≥

h(x) =


, g (x) =

−

−

x 2 si x x + 2 si x

x 2 si x < 0 x + 2 si x 0

≥

≤0 ≥0

,

.


4 Espacios compactos En este cap´ cap´ıtulo ıtulo introducimos los conceptos de espacio y subespacio compacto. Se estudian propiedades de los conjuntos compactos, as´ as´ı como relaci on o´ n entre la compacidad y las funciones continuas. Analizamos c´ como o´ mo son los subconjuntos n compactos compactos de la recta real y del espacio eucl´ eucl´ıdeo ıdeo R y, en general en los espacios métricos, etricos, la compacidad secuencial y la compacidad por punto l´ımite ımite o propiedad de Bolzano-Weierstrass, hasta el teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Finalizamos probando que la compacidad est´ esta´ caracterizada por la propiedad de la intersecci on o´ n finita. La estandarizaci on o´ n del concepto de compacidad tard o´ muchos anos n˜ os en producirse. Desde principios del siglo XX se fueron introduciendo distintas definiciones de compacidad, compacidad, que pretend pretend´ıan ıan extender a espacios topol ogicos o´ gicos arbitrarios arbitrarios algunas algunas propiedades conocidas de los intervalos cerrados y acotados [a, b] de la recta real, cruciales en la demostraci on o´ n de ciertos ciertos teoremas, tales como el teorema teorema del valor máximo aximo y el teorema de la continuidad uniforme. Surgieron as´ as´ı los distintos “tipos” de compacidad: compacidad: compacidad compacidad numerable, compacidad por punto l´ımite, ımite, compacidad secuencial, etc. Posteriormente, los matemáticos aticos asumieron que era posible encontrar una definición o n en términos erminos más as debiles e´ biles y generales; de hecho, en t erminos e´ rminos de recubrimientos del espacio por con juntos abiertos. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ espec´ıficas: ıficas: Utilizar Utilizar los conceptos conceptos b´ basicos a´ sicos asociados asociados a la noci´ nocion o´ n de espacio m´ metrico. e´ trico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ topolog´ıa ıa m etrica. e´ trica. 113

114

4.1. Compacidad

Identificar Identificar los subconjuntos subconjuntos compactos compactos de la recta real y, en general, general, de los espacios eucl´ eucl´ıdeos. ıdeos. Relacionar los conceptos de compacidad y continuidad en un espacio m´ metrie´ trico. Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topol ogicos o´ gicos mediante el uso de sucesiones, particularmente la continuidad, la adherencia, los subconjuntos cerrados y los subconjuntos compactos. Se desarrollar´ desarrollaran a´ n los contenidos siguientes: Espacio y subespacio compacto. Relación on entre la compacidad compacidad y las funciones continuas. continuas. Subconjuntos compactos de la recta real y del espacio eucl´ıdeo ıdeo Rn . Compacidad secuencial. Propiedad de Bolzano-Weierstrass. Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Propiedad de la interseccion o´ n finita.

4.1.Compacidad Definici´ Definicion o´ n 4.1.1. Sea X un conjunto y sea A ⊂ X . Un cubrimiento o recubri miento de A es una familia A = {Ai }i∈I de subconjuntos de X de manera que A ⊂ ∪i∈I Ai . Un subcubrimiento o subrecubrimiento es una subfamilia B ⊂ A que es tambi´ en un recubrimiento de A. Un recubrimiento es finito si est´ a formado por una cantidad finita fini ta de conjuntos. Cuando (X, d) es un espacio m´ etrico y cada Ai es un abierto de X , , se dice que A es un recubrimiento recubrimiento abierto de A.

Ejemplos Ej.4.1. Sea X = R, entonces la familia A = {[−n, n]}∞ n=1 constituye un recubrimiento de R, pero no es un recubrimiento abierto para la distancia usual. Un ejemplo de un subrecubrimiento de A es D = {[−2n, 2n]}∞ n=1 , pues s´ solo o´ lo contiene los intervalos intervalos cuyos extremos son numeros u´ meros pares. La familia {(−n, n)}∞ tambien e´ n es un recubrimiento, recubrimiento, esta vez abierto, de n=1 tambi´ R, pero no es un subrecubrimiento de A, pues estos intervalos intervalos son abiertos abiertos y aquellos aquellos son cerrados. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


115


metrico recubrimiento nto (X, d) es compacto si todo recubrimie Definici´ Definicion o´ n 4.1.2. Un espacio m´ ´ abierto de X admite un subrecubrimiento finito.

Ejemplos Ej.4.2. La recta real R no es compacta, pues el recubrimiento de R por intervalos abiertos A = {(n, n + 2) : n ∈ Z} no contiene ningún un subrecubrimiento de R. En efecto, si suponemos que la familia {(n, n + 2) : n ∈ H }, con H ⊂ Z finito, es un subrecubrimiento finito, entonces tomando n1 = m´ın{n : n ∈ H } y n2 = m´ ax ax{n : n ∈ H } tenemos que n∈H (n, n + 2) ⊂ (n1 , n2 + 2), que no coincide con R.



u´ mero finito de puntos es comEj.4.3. Cualquier espacio X que contenga a un numero pacto, pues de cualquier recubrimiento por abiertos de X se puede extraer claramente un subrecubrimiento finito. topolog´ıa ıa inducida inducida por la usual de R, no es (0, 1], con la topolog´ Ej.4.4. El intervalo (0, compacto; el recubrimiento abierto

A = {(1/n, (1/n, 1] : n ∈ N, n ≥ 2} no contiene ning´ ningun u´ n subrecubrimiento finito. En efecto, si suponemos que la colección on {(1/n, (1/n, 1] : n ∈ H, n ≥ 2}, con H ⊂ N finito, es un subrecubrimiento finito de (0, (0, 1], tomamos n0 = m´ ax ax{n : n ∈ H } de modo que

 (1/n, (1/n, 1] = (1/n (1/n , 1] 0

n∈H

que, evidentemente, no es (0, analogo a´ logo se de(0, 1]. Aplicando un argumento an´ muestra que tampoco es compacto el intervalo (0, t opolog´ g´ıa ıa usual u sual (0, 1) con la topolo inducida.

Ej.4.5. Cualquier conjunto infinito con la distancia discreta (X, dD ) no es compacto, puesto que {{x} : x ∈ X } es un recubrimiento abierto de X del que no se puede extraer extraer ningun u´ n subrecubrimiento finito.

4.2.Subconjuntos compactos etrico y K ⊂ X un subconjunto. DiDefinici´ Definicion o´ n 4.2.1. Sea (X, d) un espacio m´ remos que K es un conjunto compacto en (X, d) si (K, dK ) , con la topolog´ıa ıa relativa, es un espacio compacto. En este caso se dice que (K, dK ) es un subes pacio compacto. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


116

4.2. Subconjuntos compactos

Ejemplos Ej.4.6. El siguiente subespacio de R es compacto con la distancia usual inducida,

X = {0} ∪ {1/n : n ∈ N}. Esta claro que se trata de la sucesi on o´ n convergente {1/n}∞ n=1 junto a su l´ımit ım itee 0. Para todo recubrimiento abierto A de X , existe un elemento A0 de (0, ε); y como A que contiene al 0. Como A0 es abierto, contiene una bola B (0, entonces 1/n ∈ B (0, 1/n −→ 0, existe n0 tal que si n > n0 , entonces (0, ε) ⊂ A0 ; es decir, decir, el conjunto A0 contiene a todos los puntos de la forma 1/n excepto a un numero u´ mero finito de ellos; elijamos para cada uno de estos puntos que no est´ estan a´ n en A0 un elemento de A que lo contenga. La coleccion o´ n de estos elementos elementos de A, junto con el propio A0 , constituyen constituyen un subrecubrimie subrecubrimiento nto finito de X .

Proposici´ Proposicion o´ n 4.2.2. Sea K un subespacio de un espacio m´ etrico (X, d). Entonces K es compacto si, y s´ solo ´ si, para toda familia {Ai }i∈I de abiertos en X tal que K ⊂ ∪i∈I Ai , existe una subfamilia finita {Ai }in=1 tal que K ⊂ ∪in=1 Ai . ´ . D EMOSTRACI ON ”⇒”Supongamos que K es compacto y sea K ⊂ ∪i∈I Ai , donde {Ai }i∈I es una familia familia de abiertos abiertos de (X, d). Entonces, segun u´ n la definicion o´ n de topolog´ topolog´ıa ıa relativa, la familia {Ai ∩ K }i∈I es un recubrimiento de K por abiertos de (K, dK ). Como este subespacio es compacto, se puede extraer un subrecubrimiento finito de modo que

K = (Ai ∩ K ) ∪ · · · ∪ (Ain ∩ K ). 1

De aqu´ aqu´ı se deduce que K ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain . ”⇐”Veamos que (K, dK ) es compacto. Para ello, sea {Ai }i∈I una familia de abiertos abiertos de (K, dK ) que recubren K . Entonces cada abierto Ai se puede escribir de la forma Ai = Bi ∩ K , donde Bi es un abierto en (X, d) y as´ı se tiene que otesis, existirán an Bi1 , . . . , Bin tales que K ⊂ Bi1 ∪ · · · ∪ Bin K ⊂ ∪i∈I Bi . Por hipótesis, de forma que

K = (B ( Bi ∪ · · · ∪ Bin ) ∩ K = (Bi ∩ K ) ∪ · · · ∪ (Bin ∩ K ) = Ai ∪ · · · ∪ Ain 1

1

1

y, por tanto, K es compacto. A partir de este ultimo u´ ltimo resultado hablaremos de subconjuntos compactos en general, obviando obviando que se trata de la topolog´ topolog´ıa ıa relativa. Veamos a continuaci on o´ n algunas propiedades sobre subconjuntos compactos. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


117


Observaci´ Observacion o´ n 4.2.3. Observe que si d y d son distancias equivalentes (vea la Definici´ Definicion o´ n 1.4.1), (X, d) y (X, d ) tienen los mismos subconjuntos compactos, ya que la definicion o´ n de compacidad est´ esta´ dada en t erminos e´ rminos de los abiertos. metrico compacto (X, d) , todo subconjunto ceTeorema 4.2.4. En un espacio m´ ´ rrado C ⊂ X es compacto.

´ . D EMOSTRACI ON Sea A = {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de C en (X, d). Entonces C c es abierto y A ∪ C c es un recubrimiento abierto de X , del cual se puede extraer un subrecubrimiento finito; si este subrecubrimiento finito no contiene a C c , estará formado unicamente u´ nicamente por una cantidad finita de conjuntos de A y como C ⊂ X ya estar´ estar´ıa ıa probado. Si C c est´ esta´ en el recubrimiento finito, dicho recubrimiento ser a´ de la forma {Ai1 , . . . , Ain , C c } y como C ⊂ X = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain ∪ C c , tenemos que C ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain .

Teorema 4.2.5. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y K ⊂ X un subconjunto com pacto. Entonces se verifican: (a) K es cerrado. (b) K es acotado.

´ . D EMOSTRACI ON (a) Probaremos que si K ⊂ X es compacto, su complementario K c es abierto demostrando que es entorno de todos sus puntos. Sea a ∈ / K ; si x ∈ K , x  = a, la propiedad de Hausdorff, que cumplen los espacios m´ m etricos, e´ tricos, nos asegura que existen bolas abiertas disjuntas B (a, rx ) y B (x, rx ). Entonc Entonces es la famili familiaa {B (x, rx )}x∈K obtenid obtenidas as de esta esta manera manera,, son un recubr recubrimi imienento abierto del compacto K , por tanto, se puede extraer un subrecubrimiento finito ciertos puntos x1 , . . . , xn ∈ K (recordemos que B (x1 , rx1 ),. . . ,B (xn , rxn ), para ciertos para cada i ∈ {1, . . . , n}, se cumple B (xi , rxi ) ∩ B (a, rxi ) = ∅). Entonces si tomamos ra = m´ın{rxi : i = 1, . . . , n}, la bola B (a, ra ) est´ esta´ contenida en cada n o´ n vac´ vac´ıa ıa con K = i=1 B (xi , rxi ), lo que significa B (a, rxi ) y tiene interseccion c que B (a, ra ) ⊂ K y, por tanto, que K c es entorno de a ∈ K . Como esto se puede hacer para todo a ∈ K c , entonces K c es abierto.



(b) Si a ∈ K la coleccion o´ n de bolas {B (a, n)}n∈N es un recubrimiento abierto de K que, como es compacto, admite un subrecubrimiento finito {B (a, ni )}ki=1 . Como se trata de bolas conc´ concetricas, e´ tricas, si m = m´ ax ax{n1 , . . . , nk } se tiene k

 B(a, n ) = B(a, m), K ⊂ i

i=1

por lo que K está acotado. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


118

4.3. Compacidad y funciones continuas

Ejercicios y Problemas metrico. e´ trico. Demuestre: P.4.1 Sea (X, d) un espacio m´ (a)La intersecci on o´ n de cualquier familia de subconjuntos compactos es un subconjunto compacto. (b)La uni on o´ n de una familia finita de subconjuntos compactos es un con junto compacto. ¿Y la uni on o´ n de una familia arbitraria?

P.4.2

(a)Pruebe que, en (R, | |), no son compactos los intervalos (a, b), [a, b), (a, +∞), [a, +∞). (b)Estos conjuntos le proporcionan contraejemplos del Teorema 4.2.4 4.2.4 (si (si el espacio no es compacto, compacto, un cerrado cerrado no es en general, general, compacto); compacto); del Teorema 4.2.5(b) 4.2.5(b) (un conjunto acotado, en general, no es compacto). Identif´ıquelos ıquelos con las explicaciones adecuadas.

4.3.Compacidad y funciones continuas Teorema 4.3.1. Si f : X → Y es una aplicaci´ on continua entre espacios m´ etrif (K ) es compacto en Y . cos y K ⊂ X es compacto, entonces f ( ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de f ( f (K ) en Y . Entonces

{f −1 (Ai )}i∈I es un recubrimiento abierto de K . Por la compacidad de K , existe un subrecubrimiento finito:

K ⊂ f −1 (A1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (An ) = f −1 (A1 ∪ · · · ∪ An ), lo que implica que {A1 , . . . , An } es un subrecubrimiento finito de f ( f (K ). compacto. Corolario 4.3.2. Sea f : (X, d) −→ (Y, d ) continua y X un espacio compacto. Entonces f es una aplicaci´ on cerrada.

´ . - Supongamos que C ⊂ X es cerrado, por el Teorema 4.2.4, D EMOSTRACI ON compacto, luego segun u´ n el Teorema anterior 4.3.1, 4.3.1, como f es continua, f ( C es compacto, f (C ) es compacto en Y , que es cerrado según un el Teorema 4.2.5. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


119


Ejemplos Ej.4.7. La compacidad del espacio de partida en el Corolario 4.3.2 anterior es imprescindible. En efecto, R, con la distancia usual no es compacto; la aplicación

f : R −→ R definida como f ( f (x) =

1 , 1 + x2

es continua y la imagen de [0, [0, +∞) (cerrado) es f ([0 f ([0,, +∞)) = (0, (0, 1], que no es cerrado cerrado (v ease e´ ase la Figura 4.1). 4.1).

Figura 4.1 – La imagen de un cerrado, en general no es cerrado.

Proposici´ Proposicion o´ n 4.3.3. Sea K ⊂ X un subconjunto compacto de un espacio m´ metrico ´  funcion continua f : (X, d) → (Y, d ) est a´ (X, d). Entonces toda funci´ ´ continua ´ acotada en K , es decir f ( f (K ) es un conjunto acotado en Y .. ´ . D EMOSTRACI ON Por el Teorema 4.3.1, f ( u´ n el Teorema Teorema 4.2.5 f (K ) es compacto en Y , luego es un segun o´ n f est´ esta´ acotada. f ( f (K ) conjunto acotado, lo que equivale a decir que la funci on

Corolario 4.3.4 (Teorema de Weierstrass ). Sea K ⊂ X un subconjunto com pacto de un espacio metrico funcion continua f : X → R (X, d). Entonces toda funci´ ´ ´ continua alcanza sus extremos en K . ´ . D EMOSTRACI ON Si K es compacto entonces f ( subconjunto compacto de R y, por tanto, f (K ) es un subconjunto es cerrado y acotado. Luego seg un u´ n el Problema P.2.26, f ( esta´ contenido en un f (K ) est´ intervalo [a, b] ⊂ R con a, b ∈ f ( existiran a´ n x, y ∈ K tales que f (K ), de modo que existir´ f ( f (x) = a y f ( f (y ) = b. aplicacion Proposici´ Proposicion o´ n 4.3.5. Toda aplicaci´ ´ continua f : (X, d) → (Y, d ) entre espacios m´ etricos, donde (X, dd ) es compacto, es uniformemente continua.

´ . D EMOSTRACI ON Como f es continua, dado x ∈ X y OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


120

4.4. Compactos en R.

dado ε > 0, existe δ x > 0 tal que si d(x, y ) < δ x entonces d (f ( f (x), f ( f (y)) < ε/2 ε/2. Fijado ε > 0, la colección on de bolas {B (x, δ x /2)}x∈X constituye un recubrimiento abierto de X que admite un subrecubrimie subrecubrimiento nto finito {B (xi , δ i /2)}in=1 ya que X es compacto. Tomemos δ = m´ın{δ i /2 : i = 1, 2, . . . , n}. Tomemos x, y ∈ X arbitrarios cumpliendo d(x, y) < δ ; tendremos que x ∈ B (xk , δ k /2) para algun u´ n Entonces k ∈ {1, . . . , n}. Entonces

d(y, xk ) ≤ d(y, x) + d(x, xk ) < δ + lo que implica que

δ k ≤ δ k , 2

ε d (f ( f (y), f ( f (xk )) < , 2

y entonces

d (f ( f (x), f ( f (y)) ≤ d (f ( f (x), f ( f (xk )) + d (f ( f (xk ), f ( f (y)) <

ε ε + = ε. 2 2

Por tanto, f es uniformemente continua. funcion Corolario 4.3.6. Toda funci´ ´ continua f : [a, b] → R , ambos espacios con la distancia usual, es uniformemente continua.

´ . Es una aplicacion D EMOSTRACI ON o´ n inmediata de la Proposici Proposición o´ n 4.3.5. 4.3.5. Los Problemas P.4.3 y P.4.4 son importantes resultados resultados y conviene conviene que les preste atenci´ atencion. o´ n.

Ejercicios y Problemas o´ n biyectiva y continua, con (X, d) P.4.3 Sea f : (X, d) −→ (Y, d ) una aplicacion compacto. Demuestre que f es un homeomorfismo. [I] [R] ogica. Es decir, deP.4.4 Demuestre que la compacidad es una propiedad topológica.  muestre que si f : (X, d) −→ (Y, d ) es un homeomorfism homeomorfismo. o. Entonces Entonces X es compacto si, y s olo o´ lo si, Y es compacto.

4.4.Compactos en

R.

Vamos a estudiar es esta secci on o´ n una clase de conjuntos compactos de R con la topolog´ topolog´ıa ıa usual, que juegan un importante papel: los intervalos cerrados y acotados [a, b]. Para esto veamos en primer primer lugar una caracteriz caracterizaci aci on o´ n de los intervalos de n umeros u´ meros reales reales que nos ser´ sera´ util. u´ til. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


121


subconjunto I ⊂ R. Son equivalentes: equivalentes: Lema 4.4.1. Sea (R, du ) y un subconjunto (a) I es un intervalo. intervalo. (b)Para (b)Para cada x, y ∈ I , , x ≤ y , se verifica que [x, y ] ⊂ I .

´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)” Se trata de una consecuencia consecuencia inmediata inmediata de la definicion o´ n de intervalo. “(b)⇒(a)” Supongamos que se satisface (b). Llamemos

a = ´ınf I

y

b = sup I ,

teniendo en cuenta que si I no est´ esta´ acotado acotado inferiormen inferiormente te entonces entonces a = −∞ y si I no est´ esta´ acotado superiormente entonces b = +∞. Vamos a ver que ha de ocurrir ocurrir que (a, b) ⊂ I ⊂ [a, b]. En los casos a = −∞ y/o b = +∞ estaremos cometiendo cometiendo un pequeno ˜ abuso de notación. on. Si z ∈ (a, b), tenemos que a < z y por la definici on o´ n de ´ınfimo, ınfimo, existe x ∈ I tal que on de supremo, x < z ; de la misma manera tenemos que z < b y por la definición existe y ∈ I tal que z < y . Entonces, como x < y con x, y ∈ I , por la hipótesis otesis (b), z ∈ [x, y] ⊂ I , luego (a, b) ⊂ I . El contenido I ⊂ [a, b] es por la propia definici´ definicion o´ n de a y de b, de donde se deduce que I es un intervalo.

Teorema 4.4.2 (Heine-Borel). Todo intervalo cerrado y acotado [a, b] en R con la topolog´ topolog´ ıa usual es compacto. ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de [a, b]. Vamos a ver que se puede extraer un subrecubrimiento finito. Consideremos el conjunto siguiente: subfamilia finita de {Ai }i∈I }. G = {x ∈ [a, b] : [a, x] se recubre con una subfamilia as existe δ > 0 tal que [a, a + δ ) ⊂ G. Paso 1. G  = ∅. Además En efecto, como a ∈ [a, b] ⊂ ∪i∈I Ai , existir´ existira´ un ´ındice ındice j ∈ I tal que a ∈ A j . Como A j es abierto, existe δ > 0 tal que (a − δ, a + δ ) ⊂ A j y, por tanto, [a, a + δ ) ⊂ A j . Esto implica que si x ∈ [a, a + δ ), [a, x] ⊂ [a, a + δ ) ⊂ A j , que es un subrecubrimiento finito. Por tanto, [a, a + δ ) ⊂ G. Paso 2. G es un intervalo. Si x, y ∈ G, entonces [x, y] ⊂ G ya que para todo z ∈ [x, y] se satisface

[a, z ] ⊂ [a, y ] ⊂ G. Aplicando el Lema 4.4.1, 4.4.1, G debe ser un intervalo. Paso 3. b ∈ G. Consideremos c = sup{G}, y veamos que c = b. Como a es cota inferior de G, OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


122

4.5. Compacidad secuencial

entonces a < c. Supongamos, razonando por reduccion o´ n al absurdo, que c < b. Como [a, b] ⊂ ∪i∈I Ai, entonces c ∈ Ak para algun u´ n k ∈ I . Ak es abierto, luego es entorno de c y, por tanto, existe ε > 0 tal que (c − ε, c + ε) ⊂ Ak . Pero como c = sup{G} entonces c − ε ∈ G. Por tanto, [a, c − ε] ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain , con lo cual tenemos que c + ε también en está en G, ya que [a, c + ε] tiene un subrecubrimiento finito de la forma

[a, c + ε] ⊂ Ai ∪ · · · ∪ Ain ∪ Ak , 1

y esto es una contradicci´ contradiccion o´ n con el hecho de que c = sup{G}. Por tanto, c = b ∈ G y [a, b] tiene un subrecubrimiento finito.

Proposici´ Proposicion o´ n 4.4.3. En(R, | |) un conjunto K es compacto si, y s´ olo si, es cerrado cerrado y acotado. ´ . Realice la demostraci on D EMOSTRACI ON o´ n como ejercicio.

Ejercicios y Problemas o´ n 4.4.3. [I] P.4.5 Demuestre la Proposicion

P.4.6 Sea [c, d] ⊂ R y x ∈ R. Demuestre que S = {x} × [c, d] es compacto en topolog´ıa ıa usual (v´ (vease e´ ase la Figura 4.2). 4.2). [I] R2 con la topolog´

Figura 4.2 – El conjunto S = {x} × [c, d] es compacto.

4.5.Compacidad secuencial Vamos a estudiar ahora un nuevo concepto de compacidad ligado a la idea de sucesi´ sucesion o´ n convergente. convergente. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


123


metrico y x : N −→ X , , una sucesi´ sucesion Definici´ Definicion o´ n 4.5.1. Sea (X, d) un espacio m´ ´ ´ ∞ aplicacion monotona estrictamente estrictamente cre(xn )n=1 ⊂ X y sea τ : N −→ N una aplicaci´ ´ mon´ ´ ciente. ciente. La aplicaci aplicacion ´ x ◦ τ : N −→ X es otra sucesi´ on contenida en la anterior y se dice que es una subsucesi on ´ ; que se denota (xnk )k∈N = (xτ (k) )k∈N .

Ejemplos Cualquier sucesion ´ es subsucesión on de s´ı misma mi sma.. Ej.4.8. Cualquier ∞ o´ n en un espacio espacio m etrico e´ trico (X, d), Ej.4.9. Si (xn )∞ n=1 = (x(n))n=1 es una sucesion entonces si tomamos τ : N −→ N definida como τ ( τ (n) = 2n, tenemos una aplicaci´ aplicacion o´ n estrictamente creciente y (x ◦ τ )( τ )(n n) = x(2n (2n) = x2n . De modo ∞ que hemos obtenido una subsucesion o´ n (x2n )n=1 , formada por los t´ terminos e´ rminos ∞ de (xn )n=1 que ocupan lugar par.

metrico y (xn )∞ sucesion. Teorema 4.5.2. Sea (X, d) un espacio m´ ´ ´ n=1 x ⊂ X una sucesi´ ∞ Entonces (xn )n=1 converge converge a x ∈ X si, y s´ solo subsucesion ´ si, cada subsucesi´ ´ (xnk )k∈N de ∞ (xn )n=1 , converge converge a x.

´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que xn → x, entonces para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n > n0 se cumple d(xn , x) < ε. Esto quiere decir que xn ∈ B (x, ε) y, por tanto, solo o´ lo hay una cantidad finita de t´ terminos e´ rminos de la sucesi on o´ n que no est´ estan a´ n en dicha bola. En consecuencia, ninguna subsucesión on (xnk )k puede tener infinitos términos erminos fuera de la bola, luego debe ser convergente a x. “⇐” Es evidente evidente puesto que cualquier sucesión on es subsucesión on de s´ı misma.

Ejemplos on no converge, no quiere decir que ninguna subsucesión on Ej.4.10. Si una sucesión n ∞ sea convergente. Por ejemplo, la sucesión on ((−1) )n=1 no es convergente pero tiene al menos dos subsucesiones convergentes: (1, (1, 1, . . . ) que converge a 1 y la de los t erminos e´ rminos impares (−1, −1, . . . ) que converge a −1. En general, una subsucesion o´ n arbitraria de ((−1)n )∞ sera´ convergente si, n=1 ser´ y solo o´ lo si, a partir de un cierto valor n0 todos los t´ terminos e´ rminos son iguales, es decir, es una sucesion o´ n de “cola constante”. on (n)n∈N en R con la distancia usual, no posee ninguna subEj.4.11. La sucesión sucesión on convergente.



124

4.5. Compacidad secuencial

metrico y K ⊂ X un subconjunto. DireDefinici´ Definicion o´ n 4.5.3. Sea (X, d) un espacio m´ ´ secuencialmente compacto si cada sucesi´ mos que K es secuencialmente sucesion ´ (xn )∞ n=1 en K posee una subsucesi´ on (xnk )k convergente a un punto de K .

Ejemplos e´ trico finito Ej.4.12. En el Ejemplo Ej.4.3. hemos visto que cualquier espacio metrico es compacto. Adem´ Ademas a´ s tambi´ tambien e´ n es secuencialmente compacto pues cualquier sucesión o n sólo olo puede tener una cantidad cantidad finita de t erminos e´ rminos distintos, luego la subsucesión constante, formada por los infinitos términos erminos iguales es convergente. intervalo abierto abierto (0, ıa inducida por la usual de R, (0, 1), con la topolog´ıa Ej.4.13. El intervalo no es secuencialmente compacto: la sucesi on o´ n (1/n converge a (1/n))∞ (0, 1) converge n=2 ⊂ (0, 0 en R y, por tanto, cualquier subsucesi´ subsucesion o´ n suya tambi´ tambien e´ n converge a 0; pero 0∈ / (0, (0, 1).

4.5.1.Conjuntos totalmente acotados metrico (X, d) y T ⊂ X un subconjunto, Definici´ Definicion o´ n 4.5.4. Dado un espacio m´ ´ diremos que T es totalmente acotado si para cada r > 0 existe un n´ numero finito ´ de puntos x1 , . . . , xn ∈ T tales que T ⊂ B (x1 , r) ∪ · · · ∪ B (xn , r). metrico y T ⊂ X . Se verifican: Proposici´ Proposicion o´ n 4.5.5. Sea (X, d) un espacio m´ ´

(a) Si T es compacto, entonces T es totalmente acotado. (b) Si T es totalmente acotado, T es acotado. ´ . D EMOSTRACI ON (a) Supongamos que T es compacto y sea r > 0. Entonces Entonces {B (x, r) : x ∈ T } es un recubrimiento abierto de T del que se puede extraer un subrecubrimiento finito T ⊂ B (x1 , r) ∪ · · · ∪ B (xn , r) con x1 , . . . , xn ∈ T , lo que significa que T es totalmente acotado. (b) Sea r > 0 y supongamos que T ⊂ B (x1 , r) ∪ · · · ∪ B (xn , r). Definamos

R = máx ax{d(x1 , xi ) : i = 2, 2 , . . . , n} Entonces T ⊂ B (x1 , R+r), lo que que sign signifi ifica ca que que est´ está acot acotad ado. o. En efec efecto to,, si x ∈ T , entonces x ∈ B (xi , r) para algun u´ n i = 1, 1 , . . . , n, de modo que

d(x, x1 ) ≤ d(x, xi ) + d(xi , x1 ) < r + R.



125


Los rec´ rec´ıprocos ıprocos de los dos apartados apartados de la Proposici´ Proposicion o´ n 4.5.5 no se cumplen, cumplen, como se pone de manifiesto manifiesto en el siguiente siguiente ejemplo.

Ejemplos (0, 1) ⊂ R, con la distancia usual, no Ej.4.14. Ya hemos visto que el intervalo (0, es ni compacto, ni secuencialmente compacto, sin embargo, es totalmente acotado. En efecto, si r ≥ 1, entonces (0, (0, 1) ⊂ (−r, r) y no hay nada que probar; si 0 < r < 1, sea n el menor número umero natural tal que nr ≥ 1, entonces la familia de bolas

 r − r, r + r , (r − r, r + r),  3r − r, 3r + r , . . . , (nr − r,nr + r) 2

2

2

2

contiene a (0, on de una cantidad finita de bolas de (0, 1), es decir, (0, (0, 1) es unión radio r.

(0, 2) = R, pero no es Ej.4.15. R con la distancia discreta es acotado pues B (0, totalmente totalmente acotado puesto que B (x, 1/2) = {x} y, por tanto, no se puede expresar como union o´ n de un numero u´ mero finito de bolas de radio 1/2.

Proposici´ Proposicion o´ n 4.5.6. Si (X, d) es un espacio m´ etrico y K ⊂ X es secuencialmente compacto, entonces K es totalmente acotado. ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que K es secuencialmente compacto y no es totalmente acotado. Existir´ Existira´ un numero u´ mero r > 0 de modo que K no se puede expresar como una uni on o´ n finita de bolas de radio r con centro en puntos de K . Vamos a construir una sucesi´ sion o´ n de la siguiente manera. Sea x1 ∈ K un punto arbitrario. Escogemos los puntos de la siguiente forma: ser´ıa ıa un x2 ∈ K tal que d(x1 , x2 ) ≥ r , que existe pues de lo contrario B (x1 , r) ser´ recubrimiento finito de K . Tomamos x3 ∈ K tal que d(x1 , x3 ) ≥ r y d(x2 , x3 ) ≥ r, que existe pues en caso contrario {B (x1 , r), B (x2 , r)} ser´ ser´ıa ıa un recubrimiento finito de K . Y as´ as´ı sucesivamente. Obtenemos una sucesion o´ n (xn )∞ =m n=1 en K que verifica que d(xn , xm ) ≥ r si n  y que no tiene ninguna subsucesi´ subsucesion o´ n convergente en K , pues si tuvi´ tuvieramos e´ ramos (xnk )k con l´ımk xnk = x ∈ K , dado r > 0 existir´ existir´ıa ıa kr ∈ N tal que si nk > nkr entonces tend r´ıamos ıamos que q ue si nk , nm > nkr distintos, d(xnk , x) < r/2 r/2, con lo que tendr´

d(xnk , xnm ) ≤ d(xnk , x) + d(x, xnm ) < OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos

r r + = r, 2 2 ˜ e´ Herrero Pineyro

126

4.6. Propiedad de Bolzano-Weierstrass

en contra de que d(xnk , xnm ) ≥ r. Entonces K no ser´ ser´ıa ıa secuencialm secuencialmente ente compacto. metrico, K ⊂ X un subLema 4.5.7 (de Lebesgue ). Sea (X, d) un espacio m´ ´ conjunto secuencialmente compacto y {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de K . Entonces existe r > 0 tal que para cada x ∈ K existe i ∈ I de modo que B (x, r) ⊂ Ai. Este n´ de Lebesgue del recubriumero r > 0 se llama numero ´ miento.

´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de K para el que no existe ning´ ningun u´ n numero u´ mero de Lebesgue. Entonces para cada n ∈ N existir´ existira´ xn ∈ K tal que esta´ contenida en ning un u´ n Ai para todo i ∈ I , y de esta manera B (xn , 1/n) /n) no est´ ∞ hemos construido una sucesion o´ n (xn )n=1 . Como K es secuencialmente compacto, ha de existir una subsucesi on o´ n (xnk )k convergente a un punto x ∈ K . Adem´ Ademas, a´ s, como {Ai }i∈I es un recubrimiento de K , entonces x ∈ A j para alg´ algun u´ n j ∈ I . Pero A j es abierto, luego existe n j ∈ N tal que B (x, 2/n j ) ⊂ A j . Como la subsucesi subsucesión o´ n anterior converge a x, dado n j > 0 existir´ existira´ r0 ∈ N tal que si nr ≥ nr0 entonces xnr ∈ B (x, 1/n j ). Tomemos ahora nr ≥ nr0 tal que tambi´ tambien e´ n sea nr ≥ n j . Entonces se verifica que tendr´ıamos ıamos B (xnr , 1/nr ) ⊂ B (x, 2/n j ) ya que si y ∈ B (xnr , 1/nr ) tendr´

d(x, y) ≤ d(x, xnr ) + d(xnr , y) <

1 1 2 + ≤ . n j nr n j

De aqu´ aqu´ı se deduce que B (xnr , 1/nr ) ⊂ A j , en contradiccion o´ n con la hipotesis. o´ tesis.

4.6.Propiedad de Bolzano-Weierstrass Bolzano-Weierstrass Existen otras formulaciones de compacidad equivalentes y que son frecuentemente utilizadas. En esta seccion o´ n introducimos la m´ mas a´ s debil, e´ bil, en general, aunque coincide coincide cuando se trata de espacios m´ metricos. e´ tricos.

Definici´ Definicion o´ n 4.6.1. Sea (X, d) un espacio m´ etrico; diremos que X tiene la propie dad de Bolzano-Weierstrass Bolzano-Weierstrass o que es compacto por punto l ´ o por punto de ´ımite acumulaci´ acumulaci on ´ si cada subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulaci´ acumulacion. ´ Veamo eamoss ahor ahoraa que que las las tres tres defin definic icio ione ness que que hemo hemoss dado dado de comp compac acida idad d son son equi equiva va-lentes en el caso de los espacios m etricos. e´ tricos.

Teorema 4.6.2 (de Heine-Borel-Lebesgue ). Sea (X, d) un espacio m´ etrico y un subconjunto K ⊂ X . Las siguientes condiciones son equivalentes: Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos



127

(a) K es compacto. (b) K tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass. (c) K es secuencialmente compacto.

´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)” Supongamos que A ⊂ K es un subconjunto infinito que no tiene ning´ ningun u´ n punto punto de acum acumul ulac aciion. o´ n. Enton Entonce cess para para cada cada x ∈ K exis existe te una bola bola B (x, rx ) que no corta a A o bien s´ solo o´ lo lo corta en el propio punto x. La familia {B (x, rx )}x∈K es un recubrimiento abierto del conjunto compacto K y, por tanto, admite un subrecubrimiento finito. Este subrecubrimiento finito también en recubre a A, con lo que A ser´ıa ıa finito, en contra de la hipotesis. o´ tesis. “(b)⇒(c)” Si (xn )∞ o´ n en K con un numero u´ mero finito de t erminos e´ rminos n=1 es una sucesion distintos, entonces a partir de un cierto término ermino es constante, por lo que converge a dicho término ermino y no hay nada que probar. probar. Supongamos entonces entonces que (xn )∞ n=1 es una sucesi´ sucesion o´ n en K con infinitos t´ terminos e´ rminos distintos. Seg´ Segun u´ n (b), dicha sucesi´ sucesion o´ n tiene un punto de acumulaci on o´ n x ∈ K y por la Proposicion o´ n 2.6.6 existe una subsucesi´ subsucesion o´ n ∞ de (xn )n=1 convergente convergente a x. Por tanto, K es secuencialmente compacto. “(c)⇒(a)” Supongamos que K es secuencialmente compacto y que {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de K . Por el Lema de Lebesgue 4.5.7 existe un n´ numero u´ mero de Lebesgue r > 0 para este recubrimiento. Por la Proposici on o´ n 4.5.6, K es totalmente acotado, de modo que existe un recubrimiento finito de X por bolas de radio r , {B (x1 , r), . . . , B( B(xn , r)}. Pero por el Lema de Lebesgue cada bola contenida en un abierto abierto A j del recubrimiento {Ai }i∈I , por lo B (xi , r) ha de estar contenida que {A1 , . . . , An } es un subrecubrimie subrecubrimiento nto finito de X .

Ejercicios y Problemas compacto de un espacio espacio m etrico e´ trico (X, d) y un punto P.4.7 Sea K un subconjunto compacto conjuntos abiertos abiertos A y B a ∈ X , a ∈ / K . De uestre que existen en X dos conjuntos tales que a ∈ A, K ⊂ B y A ∩ B = ∅. [I] [R] e´ trico (X, d). Demuestre P.4.8 Sea K un subconjunto compacto de un espacio m etrico que que si a ∈ X −K , enton entonce ces, s, exist existee un abie abiert rto o A tal tal que que a ∈ A ⊂ K c . Utilice Utilice este resultado resultado para demostrar demostrar que todo compacto compacto en un espacio m etrico, e´ trico, es cerrado. [I] metrico e´ trico (X, d). DeP.4.9 Sean K y H dos compactos disjuntos en un espacio m´ muestre que existen dos abiertos disjuntos A, B ⊂ X tales que K ⊂ A y H ⊂ B . [I] [R]



4.7. Compactos en Rn

128

4.7.Compactos en

Rn

Vamos a ver en esta secci on o´ n que los rect angulos, a´ ngulos, o primas, generalizados

[a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ], son compactos en Rn con la topolog´ top olog´ıa ıa usual (v ease eáse la Figura 4.3.

Figura 4.3 – Los prismas generalizados son compactos en Rn .

Haremos la prueba en R2 y con un procedimiento similar por inducci on o´ n se prueba n n en R . Adem´ Ademas, a´ s, como las tres distancias d1 , d2 y d∞ en R son equivalentes, por comodidad en el razonamiento utilizaremos d∞ , teniendo en cuenta tambi en e´ n que la topolog´ topolog´ıa ıa inducida por estas distancias distancias sobre R es la usual.

Lema 4.7.1. Sea un intervalo [c, d] ⊂ R , x ∈ R y {Ai }i∈I un recubrimiento abierto del conjunto {x} × [c, d] en R2 . Entonces existe r > 0 tal que el producto a recubierto por una cantidad finita de elementos de (x − r, x + r ) × [c, d] est´ {Ai }i∈I . ´ . D EMOSTRACI ON Sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de {x} × [c, d]. Por el Problema P.4.6 este conjunto conjunto es compacto, y por tanto, admite un subrecubrimie subrecubrimiento nto finito {A j } jn=1 . Para cada y ∈ [c, d], el punto (x, y) ∈ Ak para alg´ algun u´ n k ∈ {1, 2, . . . , n}; y como estos conjuntos son abiertos, existe ry > 0 tal que (recuerde como son las bolas para d∞ , Ejemplo Ej.1.21.)

(x, y ) ∈ B∞ ((x, ((x, y), ry ) = (x − ry , x + ry ) × (y − ry , y + ry ) ⊂ Ak . Entonces Entonces que {(y − ry , y + ry )}y∈[c,d] es un recubrimiento abierto de [c, d], que es compacto. Luego existe un subrecubrimiento finito {(y j − ryj , y j + ryj )} jm=1 . Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


129


Ahora tomamos r = m´ın{ryj : j = 1, 1 , . . . , m}, de modo que m

 (x − r (x − r, x + r ) =

yj , x

+ ryj ).

j =1

Se concluye entonces que m

 {(x − r, x + r) × (y − r (x − r, x + r) × [c, d] ⊂ j

yj , y j

+ ryj )} ⊂

j =1

m

n

 {(x − r ⊂

yj , x

+ ryj ) × (y − ryj , y + ryj

j =1

A , )} ⊂ k

k=1

obteniendo el subrecubrimiento finito buscado.

[a, b] × [c, d] ⊂ R2 es compacto. Proposici´ Proposicion o´ n 4.7.2. Un rect angulo ´ ´ ´ . D EMOSTRACI ON Si {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de [a, b] × [c, d], también en es un recubrimiento de {x} × [c, d], para cada x ∈ [a, b]. Por el Lema 4.7.1, para cada x existe rx > 0 tal que el conjunto (x − rx , x + rx) × [c, d] admite un subrecubrimiento finito. Pero {(x − rx , x + rx )}x∈[a,b] es un recubrimiento abierto de [a, b]. Por la compacidad de [a, b], dicho recubrimiento admite un subrecubrimiento finito {(xk − rxk , xk + rxk )}km=1 . Entonces tenemos que m

 {(x − r [a, b] × [c, d] ⊂ k

xk , xk

+ rxk ) × [c, d]}

k =1

y cada uno de los conjuntos (xk − rxk , xk + rxk ) × [c, d] est´ esta´ recubierto por un numero u´ mero finito de elementos de {Ai }i∈I . Luego el rect angulo a´ ngulo [a, b] × [c, d] est´ esta´ contenido en una union o´ n finita de elementos Ai . generalizados [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] Corolario 4.7.3. Los rect angulos ´ ´ n son compactos en R .

´ . D EMOSTRACI ON La demostracion o´ n es un proceso proceso de inducci induccion o´ n a partir de la Proposici´ Proposicion o´ n 4.7.2 anterior. topolog´ ıa usual. Teorema 4.7.4 (de Heine-Borel en Rn ). Sea K ⊂ Rn con la topolog´ Entonces K es compacto si, y s´ solo acotado. ´ si, K es cerrado y acotado. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


4.7. Compactos en Rn

130 ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Se trata del Teorema 4.2.5. 4.2.5.

“⇐” Si K está acotado, hay alguna bola cerrada tal que K ⊂ B ∞ (a, r), para algún un a ∈ Rn . Esta bola es un rectángulo angulo cerrado que, por el Corolario 4.7.3, es compacto. Como K es cerrado y est a´ contenido en un compacto, el Teorema 4.2.4 implica que K es compacto.

Ejemplos Ej.4.16. La esfera unidad S n−1 = {(x1 , . . . , xn ) : x21 + · · · + x2n = 1} y la bola cerrada unidad B n = {(x1 , . . . , xn ) : x21 + · · · + x2n ≤ 1} en Rn son compactos, pues son cerrados y acotados. Ej.4.17. El conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x, 1 ≤ y ≤ 2} es cerrado en R2 , pero no es compacto porque no est´ esta´ acotado (v´ (vease e´ ase la Figura 4.4(a)). 4.4(a)).

Figura 4.4 – Subconjunto de R2 no compacto: no acotado y cerrado.

(1/n,y)) )) : n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1} está acotado en R2 , Ej.4.18. El conjunto A = {(1/n,y pues A ⊂ [0, ease la Figura 4.5), 4.5), pero no es compacto porque [0, 1] × [0, [0, 1] (véase no es cerrado ya que (0, (0, 0) ∈ / A pero (0, (0, 0) ∈ A.

Figura 4.5 – Subconjunto de R2 no compacto: acotado pero no cerrado.



131


Despu´ Despues e´ s de los resultados que hemos demostrado demostrado en los espacios m´ metricos e´ tricos referidos a la compacidad, podemos completar el Teorema 4.7.4 de Heine-Borel.

Teorema 4.7.5 (Teorema de Heine-Borel-Lebesgue en Rn ). Sea K ⊂ Rn con la topolog´ topolog´ ıa usual. Las siguientes siguientes condiciones son equivalentes: equivalentes: (a) K es compacto. (b) K es cerrado y acotado. acotado. (c)Todo subconjunto S ⊂ K infinito tiene un punto l´ l´ ımite en K . (d) K es secuencialmente compacto.

Ejercicios y Problemas ¿Cuales a´ les de los siguientes subespacios de R y R2 son compactos? compactos? JustiP.4.10 ¿Cu´ fique la respuesta. 1. Q ∩ [0, [0, 1] 2. D = {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 } 3. E = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y | ≤ 1} 4. F = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} 5. G = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1/x} metrico e´ trico de los n umeros u´ meros reales con la distancia P.4.11 Sea (R, d) el espacio m´

d(x, y) =

|x − y| . 1 + |x − y |

Sea A = [1, [1, +∞). Estudie si A es cerrado, acotado o compacto en dicho espacio. angulo, incluidos incluidos sus lados, es compacto en R2 . [I] P.4.12 Demuestre que un triángulo, etrico, el conjunto formado por una P.4.13 Demuestre que, en un espacio métrico, sucesión on convergente junt o con su l´ımite, ımite, es compacto. [I] [R]

4.8.Propiedad de la intersecci

on o´ n finita

Definici´ Definicion o´ n 4.8.1. Sea F una familia de subconjuntos de un conjunto X . Se dice que F tiene la propiedad de la intersecci on interseccion ´ finita si la intersecci´ ´ de cualquier subfamilia subfamilia finita de F es no vac´ vac´ ıa. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


132

4.8. Propiedad Propiedad de la intersecci´ intersección finita

Ejemplos (0, 1/n) /n)}n∈N de subconjuntos de R tiene claramente la proEj.4.19. La familia {(0, piedad de la intersecci on o´ n finita. Ej.4.20. La familia {[n, n + 1] }n∈N de subconjuntos de R no tiene la propiedad de la interseccion o´ n finita, pues, por ejemplo, [2, [2, 3] ∩ [4, [4, 5] = ∅.

Proposici´ Proposicion o´ n 4.8.2. Sea X un espacio m´ metrico. ´ Entonces X es compacto si, y s´ solo ´ si, toda familia {F i }i∈I de cerrados en X que tiene la propiedad de la intersecci´ cion interseccion vac´ ıa. ´ finita tiene intersecci´ ´ no vac´ ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que X es compacto y que {F i }i∈I es una familia de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de la intersección on finita tal que ∩i∈I F i = ∅. Si tomamos complementarios tendremos que ∪i∈I F ic = X , luego obtenemos un recubrimiento recubrimiento abierto de X que, por ser compacto, admite un subrecubrimiento finito, F 1c ∪ · · · ∪ F nc = X . Tomando de nuevo complementarios F 1 ∩ · · · ∩ F n = ∅, en contra de que la familia {F i }i∈I tiene la propiedad de la interseccion o´ n finta. “⇐” Sea {Ai }i∈I un recubrimiento recubrimiento abierto de X ; entonces (∪i∈I Ai )c = ∅. Por tanto ∩i∈I Aic = ∅, con lo que tenemos una familia de cerrados {Aic }∈I que no tiene la propiedad de la intersecci on o´ n finita; luego debe existir una subfamilia finita c cuya intersección on es vac´ıa: ıa: Ai1 ∩ · · · ∩ Aicn = ∅. Tomando complementarios obtenemos que Ai1 ∪ · · · ∪ Ain = X y as´ı hemos obtenido un subrecubrimiento finito.

Ejemplos Ej.4.21. (R, du ) no es compacto, cosa que ya sabemos porque no es acotado. Pero esto mismo puede deducirse de otra forma. La familia de cerrados propiedad de la intersecci´ interseccion o´ n finita y, sin embargo, {[m, +∞)}m∈Z tiene la propiedad la intersecci interseccion o´ n de todos los elementos de esta familia es vac´ıa. ıa. Ahora basta aplicar aplicar la Proposici´ Proposición on 4.8.2. 4.8.2.

Ejercicios y Problemas ¿Cuales a´ les de las siguientes familias de subconjuntos de R satisfacen la P.4.14 ¿Cu´ propiedad de intersecci´ interseccion o´ n finita? Justifique la respuesta respuesta en cada caso. 1. {(n, n + 2)}n∈N Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


133


2.



n−1 n+1 , n n



n∈N

3. {(−n, n)}n∈N

metrico e´ trico (X, d) es compacto si, y s olo o´ lo si, para P.4.15 Demuestre que un espacio m´ toda familia de cerrados {C i }i∈I tales que i∈I C i = ∅, existe una subfamilia finita {C i1 , . . . , Ci k } que cumple C i1 ∩ · · · ∩ C ik = ∅.



metricos e´ tricos e Y es comP.4.16 Demuestre que si (X, d) e (Y, d ) son dos espacios m´ pacto, entonces la proyecci on o´ n π1 : X × Y → X es una aplicacion o´ n cerrada. etrico con la propiedad de Bolzano-Weierstrass. P.4.17 Sea (X, d) un espacio métrico (a)Si f : X → Y es continua, ¿Tiene f ( f (X ) la propiedad de BolzanoWeierstrass? (b)Si A es un subconjunto cerrado de X , ¿es A compacto por punto l´ımit ım ite? e? espacio (X, d) es numerablemente P.4.18 Un espacio numerablemente compacto si cada recubrimiento numerable de abiertos de X contiene una subcoleccion o´ n finita que recubre a e´ trico, la condici condicion o´ n numerablemente X . Demuestre que para un espacio m etrico, compacto equivale a la de compacto por punto l´ l ´ımite. ımite. [I] olo si, cada suceP.4.19 Demuestre que X es numerablemente compacto si, y sólo si´ sion ´ encajada C 1 ⊃ C 2 ⊃ · · · de conjuntos cerrados no vac´ıos ıos de X tiene intersecci´ interseccion o´ n no vac´ vac´ıa. ıa. metrico e´ trico (X, d), se dice que un subconjunto M ⊂ X es P.4.20 Dado un espacio m´ relativamente relativamente compacto si M es compacto. Pruebe: (a)Todo conjunto compacto es relativamente compacto. Busque un ejemplo en R con la topolog´ıa ıa usual que muestre que el rec´ıproco ıproco no es cierto en general. (b)Todo conjunto relativamente compacto y cerrado es compacto. (c)Todo conjunto relativamente compacto es acotado. (d)T (d)Todo conjunt conjunto o relati relativa vamen mente te compac compacto to es totalme totalmente nte acotad acotado. o. ¿Es ciercierto el rec´ıproco? ıproc o? (e)Todo subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativamente compacto. Deduzca que todo subconjunto de un conjunto compacto es relativamente compacto. etrico (X, d). Demuestre P.4.21 Sea K un conjunto compacto en un espacio métrico que para todo subconjunto B ⊂ X , existe un punto x0 ∈ K tal que d(x0 , B ) = d(K, B ). [I] [R]

P.4.22 Sea K un conjunto compacto compacto en un espacio m´ metrico e´ trico (X, d) y B ⊂ X un cerrado tal que K ∩ B = ∅. Demuestre que d(K, B ) > 0. [I] [R] OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


134

4.8. Propiedad Propiedad de la intersecci´ intersección finita

metrico e´ trico (X, d). DeP.4.23 Sea K y H dos conjuntos compactos en un espacio m´ muestre que existen x ∈ K e y ∈ H tales que d(x, y) = d(K, H ). [I] metrico e´ trico (X, d). Demuestre Demuestre P.4.24 Sea K un conjunto compacto en un espacio m´  el conjunto derivado K es compacto. [I] [R] o´ n {C n }n∈N decreciente (C n+1 ⊂ C n ) de ceP.4.25 Demuestre que toda sucesi on rrados no vac´ıos, ıos, contenidos conteni dos en un subconjunto subconj unto compacto K de un espacio espacio métrico, etrico, tiene intersecci interseccion ´ no vac´ıa. ıa. Demuestre el Teorema eorema de Bolzano-W Bolzano-Weierst eierstrass: rass: En R , toda sucesi´ sucesion acoP.4.26 Demuestre ´ acotada posee una subsucesi subsucesi´ on ´ convergente. [I]



5 Espacios m´ metricos e´ tricos completos completos Comenzamos Comenzamos introduciendo introduciendo las sucesiones de Cauchy Cauchy, que relacionamos relacionamos con las sucesiones convergentes. En el caso de que coincidan, se trata de un espacio métrietrin co completo. completo. Estudiamos Estudiamos los espacios espacios eucl´ eucl´ıdeos ıdeos R y relaci relaciona onamos mos la comple completitu titud d y la compacidad. Se estudian algunas interesantes propiedades como el teorema de encaje de Cantor y un teorema de Baire. El concepto de completitud completitud en R suele aparecer aparecer en los libros de textos de an´ analisis a´ lisis matem´ matematico: a´ tico: es un concepto b´ basico a´ sico para todos los aspectos del an´ analisis. a´ lisis. La completitud es una propiedad m´ m etrica, e´ trica, m´ mas a´ s que una propiedad topol´ topologica, o´ gica, pero muchos teoremas que implican a los espacios m etricos e´ tricos completos completos son de naturaleza naturaleza topol´ topologica. o´ gica. El ejemplo m´ mas a´ s familiar de espacio m etrico e´ trico completo es el espacio eucl´ eucl ´ıdeo ıdeo con cualquiera de sus distancias usuales. Con este cap´ cap´ıtulo ıtulo s´ solo o´ lo pretendemos introducir al lector en este tema. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ espec´ıficas: ıficas: Utilizar Utilizar los conceptos conceptos b´ basicos a´ sicos asociados asociados a la noci´ nocion o´ n de espacio m´ metrico. e´ trico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ topolog´ıa ıa m etrica. e´ trica. Conocer Conocer las propiedades propiedades más as sencillas de los espacios métricos etricos completos. Relacionar los conceptos de completitud y compacidad en los espacios métricos. etricos. Se desarrollar´ desarrollaran a´ n los contenidos siguientes: 135

136

5.1. Sucesiones de Cauchy

Sucesiones de Cauchy. Los espacios eucl´ eucl´ıdeos ıdeos (Rn ). Relaci´ Relacion o´ n entre la completitud y la compacidad. compacidad. Algunos resultados interesantes: teorema de encaje de Cantor, un teorema de Baire, teorema del punto fijo. Completado Completado de un espacio espacio m etrico. e´ trico.

5.1.Sucesiones de Cauchy ∞ etrico etrico y una sucesi´ sucesi´ on (xn )n Definici´ Definicion o´ n 5.1.1. Sea (X, d) un espacio m´ =1 ⊂ X . sucesi on Diremos que es una sucesi´ ´ de Cauchy si

dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que, si n, m ≥ n0 , entonces d(xn , xm ) < ε . definicion Observaci´ Observacion o´ n 5.1.2. Observe que lo que viene a decir la definici´ ´ es que, a partir de un t ermino, todos los dem´ demas, ´ ´ ´ est an ´ ´ tan cerca uno de otro, como se desee.

Ejemplos u´ nicas sucesiones de Cauchy en un espacio métrico etrico discreto X son Ej.5.1. Las unicas ∞ las de cola constante, es decir, aquellas sucesiones (xn )n =1 para las que existe un punto a ∈ X y un n´ numero u´ mero natural n0 de tal manera que xn = a para todo n ≥ n0 . En efecto, si la sucesi on o´ n es de cola constante, entonces ∞ es claramente de Cauchy. Rec´ Rec ´ıprocamente, ıprocamente, si (xn )n o´ n de =1 es una sucesion Cauchy en un espacio discreto, tenemos que para todo ε0 existe n0 tal que si n,m > n0 entonces dD (xn , xm ) < ε. Si tomamos ε < 1 se tiene que on es de cola xn = xm para todo n, m > n 0 , lo que implica que la sucesión constante. o´ n (1/n (1/n))n∞=2 es de Cauchy tanto en (R, | |) como en ((0, ((0, 1), 1), | |). Ej.5.2. La sucesion En efec efecto, to, dado dado ε > 0 existe n0 tal tal que 1/n < ε para para todo n ≥ n0 . Entonce Entoncess si n,m > n0 se verifica

 1 1   1 1   1 1  d , =  −  < m´ ax ax , < ε. n m n m n m ∞ o´ n (n)n Ej.5.3. La sucesion =1 no es de Cauchy en (R, | |). Observemos que para todo ε > 0 y todo numero u´ mero natural n0 siempre siempre existen existen numeros u´ meros n, m > n0 tales que |n − m| > ε.



137

5. Espacios métricos etricos completos

∞ sucesion Proposici´ Proposicion o´ n 5.1.3. Toda sucesi´ ´ de Cauchy (xn )n ´ =1 , en un espacio metrico acotada. (X, d) , est a´ ´ acotada.

´ . D EMOSTRACI ON ∞ Sea (xn )n sucesion o´ n de Cauchy Cauchy y consideremos consideremos ε = 1. Por la condicion o´ n de =1 una sucesi´ Cauchy existe n0 tal que si m, n > n0 se tiene que d(xn , xm ) < 1, de modo que si n > n 0 , entonces xn ∈ B (xn0 +1 , 1). S olo o´ lo quedan un numero u´ mero finito de t erminos e´ rminos que pueden estar fuera de esta bola. Sea

r = m´ ax ax{d(x1 , xn ), . . . , d( d(xn , xn 0

0

0

+1 )}.

Para todo n se cumple que d(xn , xn0 +1 ) ≤ r . As´ As ´ı deducimos

(xn )n∞=1 ⊂ B (xn

0

+1 , r

+ 1), 1),

como quer´ quer´ıamos. ıamos. sucesion metrico es una suceProposici´ Proposicion o´ n 5.1.4. Toda sucesi´ ´ convergente en un espacio m´ ´ si´ sion ´ de Cauchy.

´ . D EMOSTRACI ON ∞ En efecto, si (xn )n on on tal que xn → x, entonces para todo ε > 0 =1 es una sucesi´ existe n0 tal que si n > n0 se cumple que d(xn , x) < ε/2 ε/2. As´ı pues, para todo n, m > n0 se tiene

d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ) <

ε ε + = ε, 2 2

lo que concluye la demostracion. o´ n.

Ejemplos rec´ıproco ıproco de la Proposicion o´ n 5.1.4 no es cierto en general. La sucesi on o´ n Ej.5.4. El rec´ ∞ (1/n (1/n))n=2 es de Cauchy en ((0, ((0, 1), 1), | |) y, sin embargo, no converge. Esto justificará la introducción on de los espacios métricos etricos completos.

∞ metrico. Si (xn )n sucesion Proposici´ Proposicion o´ n 5.1.5. Sea (X, d) un espacio m´ ´ ´ =1 es una sucesi´ ∞ de Cauchy que contiene una subsucesi´ subsucesion ´ (xnk )k=1 que converge a x , entonces la ∞ sucesi´ on (xn )n=1 converge a x.

´ . D EMOSTRACI ON ∞ Como (xn )n on on de Cauchy, dado ε > 0 existe n1 tal que para todo =1 es una sucesi´ n, m > n1 se cumple que

ε d(xn , xm ) < . 2



138

5.2. Espacios Espacios m etricos e´ tricos completos

Por otra parte, la subsucesi on o´ n (xnk )k es convergente a x, luego existe k0 tal que si nk > nk0 se cumple que

ε d(xnk , x) < . 2 Consideremos n0 = m´ ax ax{n1 , nk } y tomemos n > n0 y k tal que nk > n0 , 0

entonces

d(xn , x) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x) <

ε ε + = ε, 2 2

∞ de modo que la sucesi on o´ n (xn )n converge a x. =1 converge

Ejercicios y Problemas ∞ ∞ P.5.1 Demuestre que, si (xn )n =1 e (yn )n=1 son dos sucesiones de Cauchy en ∞ ∞ (topolog´ıa ıa usual), entonces las sucesiones (xn + yn )n R (topolog´ =1 y (xn yn )n=1 también en son de Cauchy. [I] [R] ∞ metrico e´ trico y (xn )n sucesion o´ n de Cauchy P.5.2 Sea (X, d) un espacio m´ =1 ⊂ X una sucesi´ que posee un punto de acumulacion o´ n x; entonces la sucesion o´ n converge a x.

[I]

[R]

P.5.3 Sean d y d dos distancias definidas sobre un mismo conjunto X . Demuestre que si d y d son equivale equivalentes, ntes, entonces entonces toda sucesi´ sucesion o´ n de Cauchy  en (X, d) es tambi´ tambien e´ n de Cauchy en (X, d ) y viceversa. [I] [R] o´ n es de Cauchy Cauchy si, P.5.4 Demuestre que, en R con la distancia usual, una sucesi on y s olo o´ lo si, es convergente. [I]

5.2.Espacios m

etricos e´ tricos completos

Definici´ Definicion o´ n 5.2.1. Un espacio m´ etrico (X, d) es completo si toda sucesi´ on de Cauchy en X es convergente.

Ejemplos despu es e´ s del Problema P.5.4 anterior. Ej.5.5. R con la distancia usual es completo despu´

e´ trico discreto discreto es completo, como se deduce del Ejemplo Ej.5.6. Todo espacio m etrico Ej.5.1.. completo con la distancia usual (v´ (vease e´ ase el Ejemplo Ej.5.4.). (0, 1) no es completo Ej.5.7. (0, Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


139


Ej.5.8. Si (X, d) es completo, entonces X es completo con la distancia acotada

d¯(x, y) = m´ın{d(x, y), 1}, ∞ y rec´ rec´ıprocamente, ıprocamente, dado que una sucesi on o´ n (xn )n =1 es de Cauchy para la ¯ distancia d si, y s´ solo o´ lo si, es una sucesion o´ n de Cauchy para la distancia d (v´ (vease e´ ase ¯ el Problema P.5.3). Y una sucesion o´ n converge en la distancia d si, y s´ solo o´ lo si, converge en la distancia d.

Ej.5.9. (Q, | |) no es un espacio completo. En efecto, vamos a construir una sucesi´ sion o´ n de Cauchy de numeros u´ meros racionales que no es convergente en Q. Para cada n ∈ N sea kn el mayor natural tal que kn2 ≤ 22n+1 . Definimos, para cada n ∈ N, la sucesion o´ n

xn =

kn , 2n

que es una sucesi on o´ n de n umeros u´ meros racionales y verifica las afirmaciones siguientes: ∞ (A) La sucesi´ sucesion ´ (xn )n =1 verifica que xm ≤ xn si m ≤ n.

En efecto, por definicion o´ n de kn se tiene 2(n+1)+1 (2k (2kn )2 ≤ 22 22n+1 = 2 2(n , 2(n+1)+1 , se deduce y como kn+1 es el mayor natural que verifica kn2 +1 ≤ 22(n que 2kn ≤ kn+1 . Por tanto

xn =

kn kn+1 ≤ = xn+1 , n 2 2 · 2n

y de aqu´ı se obtiene de forma inmediata la l a afirmaci on o ´ n (A).

(B) Para todo m ≤ n se verifican 2 xm

≤2<



1 xn + n 2

2



1

y xn ≤ xm < x n + n . 2

Observemos que se cumple

xn2

kn2 22n+1 = 2 ≤ = 2 para todo n ∈ N. 2 n 2n

(5.1)

Por otra parte, por la definición on de kn tenemos que (kn + 1) 2 > 22n+1 , de donde se obtiene que para todo m, n ∈ N se cumple



1 xn + n 2

2

 k =

n 2n


1 + n 2

2



=

(kn + 1)2 22n+1 > = 2. 22n 22n

(5.2)


140

5.2. Espacios Espacios m etricos e´ tricos completos

Combinando las desigualdades (5.1 (5.1)) y (5.2) 5.2) se deduce 2 xm

≤2<



1 xn + n 2

2



, para todo m, n ∈ N.

∞ Teniendo en cuenta que (xn )n on de racionales positivos, se on =1 es una sucesi´ obtiene

1 2n

xm < xn + y, por tanto, se cumple

xn ≤ xm < xn +

1 si m ≥ n. 2n

∞ (C) La sucesi´ on (xn )n =1 es de Cauchy en (Q, | |).

En efecto, dados n ∈ N, p ≥ n y q ≥ n, tendremos, segun u´ n (B):

xn ≤ x p < xn +

1 1 ≤ y x x < x + , n q n 2n 2n

de modo que, por un lado, tenemos

x p − xq < xn +

1 1 1 + = − ≤ − x x x , q n n 2n 2n 2n

y, por otra parte,

1 1 = − n. n 2 2

x p − xq > x p − xn −

Combinando las dos desigualdades anteriores, llegamos a

|x p − xq | ≤

1 . 2n

A partir de aqu´ aqu´ı es f acil a´ cil deducir que la sucesion o´ n es de Cauchy, pues dado 1 o´ n ε > 0 racional, existe n0 tal que 2n0 < ε ya que ( 21n )n∞=1 es una sucesion de racionales que converge claramente a 0. Por tanto, basta tomar p, q ≥ n0 para obtener

|x p − xq | ≤

1 < ε. 2n 0

∞ sucesion (D) La sucesi´ ´ (xn )n =1 no es convergente en Q.

Para demostrar esta ultima u´ ltima afirmacion, o´ n, supongamos que l´ımn xn = x, con 1 ∞ o´ n { 2n }n=1 converge a cero tenemos x ∈ Q. Como la sucesion

l´ım xn2 n



1 = x = l´ım xn + n n 2


2

2



, e´ Herrero Pineyro n˜ eyro

141


pero en (B) hemos visto que

xn2

≤2<



1 xn + n 2



2

para todo n ∈ N,

lo que nos lleva a que

x2 ≤ 2 ≤ x2 . Por tanto, x2 = 2, pero esto no es posible ya que no hay ning un u´ n racional racional cuyo cuadrado cuadrado sea 2.

Proposici´ Proposicion o´ n 5.2.2. Sea (X, d) un espacio m´ etrico completo y A ⊂ X un subcon junto cerrado. Entonces E ntonces A es completo. ´ . D EMOSTRACI ON Toda sucesi´ sucesion o´ n de Cauchy en A tambi´ tambien e´ n es una sucesi on o´ n de Cauchy en X y, por tanto, converge en X . Como A es cerrado en X , el l´ l´ımite ımite de la sucesion o´ n pertenece al conjunto A. Como consecuencia inmediata de la Proposici on o´ n 5.1.5 tenemos el siguiente Corolario.

Corolario 5.2.3. Un espacio m´ etrico X es completo si toda sucesi´ on de Cauchy tiene una subsucesi´ on convergente. convergente. topolog´ ıa usual, es un espacio completo . Teorema 5.2.4. Rm , con la topolog´

´ . D EMOSTRACI ON ∞ Sea (x(n))n sucesion o´ n de Cauchy en Rm . En((x1 (n), . . . , xm (n)))n∞=1 una sucesi´ =1 = ((x tonces cada coordenada es una sucesi on o´ n de Cauchy en R, puesto que

  d (x (n), x (k)) = |x (n) − x (k)| ≤  (x (n) − x (k))  m

u

j

j

j

j

j

j

2

1/2

.

j=1 j =1

∞ Lo que significa que (véase ease el Ejemplo Ejemplo Ej.5.5.) que cada sucesión on (x j (n))n =1 es convergente a un x j ∈ R para cada j = 1, . . . , m. Por tanto, (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm ∞ es l´ l ´ımite ımite de la sucesi´ sucesion o´ n (x(n))n =1 .



142

5.3. Completitud y compacidad

Ejemplos Ej.5.10. El intervalo abierto (−1, 1) de R con la distancia d(x, y ) = |x − y | no ∞ es completo. En este espacio, la sucesion o´ n (xn )n =1 definida por

xn = 1 −

1 n

es una sucesion o´ n de Cauchy ya que en R converge a 1; y sin embargo, no converge a ningun u´ n punto del intervalo (−1, 1). Lo que demuestra que la completitud no es una propiedad topologica, o´ gica, es decir, no se conserva por homeomorfismos, ya que el intervalo (−1, 1) es homeomorfo a la recta real R (ambos con la distancia usual) que es completo.

metrico es cerrado. Proposici´ Proposicion o´ n 5.2.5. Todo subespacio completo de un espacio m´ ´

´ . D EMOSTRACI ON Sea (X, d) un espacio m´ metrico e´ trico y sea H ⊂ X tal que (H, dH ) es completo. Veamos que H es cerrado comprobando que H = H . Si x ∈ H , entonces existe una ∞ sucesi´ sucesion o´ n (xn )n =1 en H que converge a x y, por tanto, es de Cauchy, tanto en X ∞ como en H . Como (H, dH ) es completo la sucesi on o´ n (xn )n =1 converge en H a un  punto x . Pero (X, d) es un espacio m´ metrico e´ trico y, por tanto, de Hausdorff, de modo  que x = x . Es decir, x ∈ H , de donde se deduce que H = H .

5.3.Completitud y compacidad metrico compacto es completo. Proposici´ Proposicion o´ n 5.3.1. Todo espacio m´ ´

´ . D EMOSTRACI ON ∞ Sea (X, d) un espacio m´ metrico e´ trico compacto y sea (xn )n sucesion o´ n de Cauchy =1 una sucesi´ en X . Como X es compacto, tambi´ tambien e´ n es secuencialmente compacto, luego exis∞ ∞ te una subsucesi subsucesión o´ n (xnk )k=1 de (xn )n =1 , convergente. Como consecuencia de la ∞ Proposicion o´ n 5.1.5 la sucesion o´ n inicial (xn )n tambien e´ n es convergente. =1 tambi´

La implicación on rec´ıproca ıproca no es cierta, en general, como muestra el hecho de que qu e obstante, s´ı se cumple si se R es completo, y sin embargo, no es compacto. No obstante, considera una hipotesis o´ tesis adicional, la de ser totalmente acotado. El siguiente resultado, que sirve de puente entre los espacios completos y los compactos, justifica que los espacios m´ metricos e´ tricos totalmente acotados reciban tambi en e´ n el nombre de precompactos. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


143


metrico completo y totalmente acotado es seProposici´ Proposicion o´ n 5.3.2. Todo espacio m´ ´ cuencialmente compacto.

´ . D EMOSTRACI ON ∞ Sea (X, d) un espacio m´ metrico e´ trico completo y totalmente acotado y sea (xn )n =1 una sucesi´ sucesion o´ n en X . Vamos a construir una subsucesion o´ n de Cauchy que, por ser X completo, ser´ sera´ convergente y por tanto, X ser´ sera´ secuencialmente compacto.

En efecto, si la sucesi´ sucesion o´ n s olo o´ lo tiene un numero u´ mero finito de t´ t erminos e´ rminos distintos, no hay nada que probar, pues a partir de un determinado n0 todos los t´ terminos e´ rminos ser´ seran a´ n iguales y ya tenemos la subsucesion o´ n convergente. Supongamos entonces que la ∞ sucesión on S = (xn )n=1 tiene infinitos términos erminos distintos. distintos. Como X es totalmente totalmente acotado y S ⊂ X , S también en es totalmente acotado. Por tanto, dado 1/2 existe un numero u´ mero finito de bolas con este radio que recubren S . Como S es infinito, una de estas bolas contendr´ contendra´ infinitos puntos de la sucesi´ sucesion o´ n S ; llamemos a esta bola B1 . Consideremos ahora B1 ∩ S . Este conjunto es tambi en e´ n totalmente acotado, de mo2 do que si consideramos 1/2 , entonces B1 ∩ S estar´ estara´ recubierto por un n umero u´ mero 2 finito de bolas de radio 1/2 . De entre todas ellas habr a´ al menos una, que llamaremos B2 , que contendr contendrá´ una cantidad infinita de t´ terminos e´ rminos de la sucesion. o´ n. As´ As´ı sucesivamente vamos construyendo una sucesi on o´ n de bolas Bk de radio 1/2k , cada una de las cuales tiene infinitos t erminos e´ rminos de la sucesi on o´ n y que, segun u´ n se han construido, construido, dos a dos tienen intersecci intersección o´ n no vac´ vac´ıa. ıa. Vamos a construir la subsucesi´ subsucesion o´ n de la siguiente manera. manera. El primer t´ t ermino e´ rmino ser´ sera´ un t´ termino e´ rmino arbitrario de la sucesion o´ n que est´ este´ en B1 y le llamamos xn1 . Como en B2 hay infinitos t´ terminos e´ rminos de la sucesi´ sucesion, o´ n, existe un t´ termino e´ rmino de la suce sucesi sión o´ n xn2  procediendo de esta esta manera manera construimos construimos = xn1 y con n2 > n1 ; procediendo una subsucesi´ subsucesion o´ n (xnk )k , tal que cada xnk ∈ Bk . Veamos que esta subsucesi on o´ n es de Cauchy. Sean p, q ∈ N con p < q . Como B p ∩ Bq  = ∅, si y ∈ B p ∩ Bq tendremos que

d(xnp , xnq ) ≤ d(xnp , y) + d(y, xnq ) ≤

1 1 1 1 1 + q < p + p = p−1 . p 2 2 2 2 2

Por tanto, dado ε > 0 existe m tal que 1/2m−1 < ε , y si p,q > m (con p > q por ejemplo), entonces

d(xnp , xnq ) <

1 2 p−1

<

1 2m−1

< ε,

lo que prueba que la subsucesi´ subsucesion o´ n es de Cauchy. Teniendo en cuenta que todo espacio m´ metrico e´ trico es compacto si, y solo o´ lo si, es secuencialmente compacto, podemos expresar los dos resultados anteriores en el siguiente teorema. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


144

5.4. Algunos resultados interesantes

metrico solo (X, d) es compacto si, y s´ Teorema 5.3.3. Un espacio m´ ´ ´ si, (X, d) es completo y totalmente acotado.

5.4.Algunos resultados interesantes Teorema 5.4.1 (Teorema de encaje de Cantor ). Sea (X, d) un espacio m´ metrico ´ ∞ completo completo y sea {C n }n=1 una sucesi´ sucesion vac´ ıos y ´ decreciente de cerrados en X , , no vac´ ∞ tales que la sucesi´ sucesion diametros converge a 0. Entonces Entonces ∩n=1 C n es exacta´ de sus di´ ´ mente un punto. ´ . D EMOSTRACI ON Que la sucesion o´ n de cerrados sea decreciente quiere decir que

C 1 ⊃ C 2 ⊃ · · · ⊃ C n ⊃ · · · . ∞ Sea (xn )n sucesión o´ n en X de mane manera ra que xn ∈ C n para para cada cada n ∈ N. Veamos =1 una sucesi que esta sucesión on es de Cauchy. ∞ Como los di´ diametros a´ metros de {C n }n o´ n que tiende a 0, tendremos =1 forman una sucesi on que dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que si n > n0 , entonces diam(C diam(C n ) < ε. Por tanto, tanto, como la sucesi´ sucesión on de cerrados es decreciente, si n,m > n0 , con m > n, tenemos que xn , xm ∈ C n . Entonces Entonces d(xn , xm ) < diam(C o´ n diam(C m ) < ε y la sucesion es de Cauchy. ∞ Como X es completo, la sucesi on o´ n (xn )n =1 es convergente a un punto x ∈ X . Veamos que x ∈ ∩n∈N C n .

Supongamos que no fuera as´ as ´ı. ı. Entonces existir´ existir´ıa ıa k ∈ N tal que x ∈ / C k ; como C k es cerrado, tenemos que d(x, C k ) = r > 0, con lo que la bola B (x,r/2) x,r/2) y C k no tienen puntos comunes. Pero si n > k , entonces xn ∈ C k (pues la sucesion o´ n de cerrados es decreciente), lo que implica que xn ∈ imposible / B (x,r/2) x,r/2), lo cual es imposible puesto que xn → x. Veamos, finalmente, que este punto es el unico u´ nico en la intersecci on. o´ n. Supongamos Supongamos que existe otro punto y ∈ ∩n∈N C n , entonces d(x, y) ≤ diam(C diam(C n ) para todo n ∈ N y como l´ımn diam(C diam(C n ) = 0 ha de ser d(x, y) ≤ 0. Pero d es una distancia, luego d(x, y ) = 0. Por tanto, x = y .

Teorema 5.4.2 (Teorema de Baire ). Sea (X, d) un espacio m´ etrico completo y ∞ sea {An }n=1 una sucesi´ sucesion ´ de abiertos de X tales que An es denso en X para ∞ cada n ∈ N. Entonces se cumple que ∩n =1 An es denso en X. ´ . D EMOSTRACI ON ∞ Es suficiente probar que todo abierto no vac´ vac´ıo ıo de X corta a ∩n =1 An . Sea A ⊂ X un abierto. Como A1 es denso, A ∩ A1 es no vac´ vac´ıo ıo y, por tanto, x1 ∈ A ∩ A1 . Como A ∩ A1 es abierto, existe r1 < 1 tal que la bola cerrada B (x1 , r1 ) ⊂ A ∩ A1 .



145


La bola B (x1 , r1 ) es abierta no vac´ vac´ıa ıa y A2 es denso, luego B (x1 , r1 ) ∩ A2 es no vac´ vac´ıo. ıo. Por tanto, existe x2 ∈ B (x1 , r1 ) ∩ A2 ; esta interseccion o´ n es abierta, luego existe r2 < 1/2 tal que

B (x2 , r2 ) ⊂ B (x1 , r1 ) ∩ A2 ⊂ A ∩ A1 ∩ A2 . ∞ As´ As´ı, ı , por induc inducci ción, o´ n, se pued puedee cons constr truir uir una suces sucesiion o´ n de bola bolass {B (xn , rn )}n =1 tales que rn < 1/n para cada n ∈ N y B (xn , rn ) ⊂ A ∩ A1 ∩ · · · ∩ An . ∞ Si consid considera eramos mos las bolas bolas cerrad cerradas, as, la familia familia {B (xn , rn )}n cumple le la hip hipotesis o´ tesis =1 cump del Teorema 5.4.1 de encaje de Cantor y, por tanto, su intersecci on o´ n es un unico u´ nico punto:

∩n∞=1 B (xn , rn ) = {x},

x ∈ X.

∞ ∞ En consecuencia, x ∈ A ∩ (∩n =1 An ) por lo que ∩n=1 An es denso.

5.5.Completado de un espacio m

etrico e´ trico

ˆ , ρ) es un completado de metrico (X Definici´ Definicion o´ n 5.5.1. Diremos que un espacio m´ ´ ˆ es completo y X es isom´ un espacio m´ metrico isometrico a un subconjunto (X, d) , si X ´ ´ ˆ denso de X Ejemplos completado de Q, puesto R es completo y Ej.5.11. R con la distancia usual es un completado Q es denso en R.

Teorema 5.5.2. Sea (Y, d) un espacio m´ etrico y X un conjunto. Entonces son equivalentes: (a) (Y, d) es completo. (b) El espacio de las funciones acotadas (A(X, Y ) (vease el Y ), d∞ ) es completo (v´ ´ Problema P.1.29) . ´ . D EMOSTRACI ON ∞ “(a)⇒(b)“ Sea (f n )n on on de Cauchy en (A(X, Y ) Y ), d∞ ). Entonces =1 una sucesi´ ∞ para cada x ∈ X la sucesi´ sucesion o´ n (f n (x))n=1 es una sucesi´ sucesion o´ n de Cauchy Cauchy en (Y, d); en ∞ efecto, dado ε > 0, como (f n )n=1 es una sucesi´ sucesion o´ n de Cauchy en A(X, Y ) Y ), existe n0 tal que si n, m ≥ n0 , entonces d∞ (f n , f m ) < ε y por tanto, para todo x ∈ X , tenemos d(f n (x), f m (x)) < ε .



146

5.5. Completado de un espacio métrico etrico

∞ Como (Y, d) es completo, para cada x ∈ X la sucesi´ sucesion o´ n (f n (x))n =1 converge a un punto en Y que llamaremos f ( l´ımites ımites definimos la funcion o´ n f (x). A partir de estos l´ l ´ımite ımite de la sucesi on o´ n f : X → Y tal que a cada x ∈ X le hace corresponder el l´ ∞ (f n (x))n=1 . ∞ Veamos que la sucesi on o´ n (f n )n o´ n es de Cauchy, =1 converge a f . Como la sucesion para todo ε > 0, existe n0 tal que si m,n > n0 entonces d∞ (f n , f m ) < ε. En particular, si tomamos n > n0 fijo y p ∈ N, tendremos que d∞ (f n , f n+ p ) < ε. Entonces para todo x ∈ X se cumple que

d(f n (x), f n+ p (x)) < ε. Si ahora ahor a tomamos tomamo s l´ımites ımites cuando p → ∞, para todo x ∈ X se tiene

d(f n (x), f n+ p (x)) → d(f n (x), f ( f (x)), )), lo que implica que d(f n (x), f ( f (x)) < ε. Concluimos que si n > n0 entonces converge a f . d∞ (f n , f ) f ) < ε , lo que implica que (f n )n∞=1 converge Lo anterior también en implica que f ∈ A(X, Y ) Y ), es decir, está acotada. En efecto, ∞ como (f n )n=1 es de Cauchy tambi en e´ n est´ esta´ acotada (v ease e´ ase la Proposicion o´ n 5.1.3), 5.1.3), ∞ luego existe M > 0 de manera que (f n )n=1 ⊂ B∞ (g, M ) o´ n M ) para alguna funcion ∞ g ∈ A(X, Y ) Y ), es decir, d∞ (g, f n ) < M para todo n ∈ N. Como (f n )n=1 converge a f , existe un n1 tal que si n > n1 , entonces d∞ (f n , f ) f ) < 1. Por tanto,

d∞ (g, f ) f ) ≤ d∞ (g, f n ) + d∞ (f n , f ) f ) < M + 1, 1, si n > n1 , de modo que f ∈ A(X, Y ) Y ). ”(b)⇒(a)” Supongamos que (Y, d) no es completo. Por tanto, existe una sucesi on o´ n ∞ o´ n de (yn )n=1 en Y que es de Cauchy pero no converge. Consideremos la sucesi on funciones constantes f n : X → Y definidas como f n (x) = yn para cada x ∈ X y ∞ cada n ∈ N; claramente (f n )n as, es de Cauchy; Cauchy; en efecto, efecto, Y ) y, además, =1 ⊂ A(X, Y ) dados n, m ∈ N tenemos

d∞ (f n , f m ) = d(yn , ym ). ∞ La sucesión on (yn )n =1 es de Cauchy, por tanto, para todo ε > 0 existe n0 tal que si n, m ≥ n0 entonces d(yn , ym ) < ε y as´ as´ı, ı, tambi´ tambien e´ n d∞ (f n , f m ) < ε. ∞ Como A(X, Y ) o´ tesis, (f n )n=1 converge a cierta funci on o´ n Y ) es completo por hipotesis, ∞ ∞ o´ n (f n (x))n=1 = (y converge a ( yn )n=1 converge f ∈ A(X, Y ) Y ), lo que significa que la sucesion f ( f (x) en Y , para cada x ∈ X , lo cual es imposible.

Corolario 5.5.3. El espacio de las funciones reales acotadas A(X, R) es com pleto para cualquier conjunto X . ´ . Es una consecuencia inmediata del teorema anterior, ya que R D EMOSTRACI ON es un espacio completo. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


147


Veamos ahora un resultado cl´ clasico, a´ sico, el cual afirma que todo espacio m etrico e´ trico se puede embeber isom´ isometricamente e´ tricamente en un espacio m etrico e´ trico completo, es decir, todo espacio m´ metrico e´ trico “se puede completar”.

Teorema 5.5.4. Sea (X, d) un espacio m´ metrico. ´ Existe un embebimiento isom´ isometri´ co de X en un espacio m´ metrico completo. ´ ´ . D EMOSTRACI ON Sea A(X, R) el conjunto de todas las funciones acotadas de X en R. Sea x0 un punto fijo de X . Dado a ∈ X , definamos φa : X → R mediante la ecuaci on o´ n

φa (x) = d(x, a) − d(x, x0 ). Aseguramos que φa est´ esta´ acotada. Efectivamente, de las desigualdades

d(x, a) ≤ d(x, b) + d(a, b), d(x, b) ≤ d(x, a) + d(a, b), se deduce que

|d(x, a) − d(x, b)| ≤ d(a, b). Poniendo b = x0 , concluimos que |φa (x)| ≤ d(a, x0 ), para todo x. Definamos Φ : X → A(X, R) por

Φ(a Φ(a) = φa . Vamos a probar que Φ es un embebimiento isométrico etrico de (X, d) en el espacio metrico e´ trico completo (A(X, R), d∞ ). Es decir, vamos a probar que, para todo par de puntos a, b ∈ X ,

d∞ (φa , φb ) = d(a, b). Por definición, on,

d∞ (φa , φb ) = sup{|φa (x) − φb (x)| : x ∈ X } = sup{|d(x, a) − d(x, b)| : x ∈ X }. Por tanto, concluimos que

d∞ (φa , φb ) ≤ d(a, b). Por otro lado, esta desigualdad no puede ser estricta, ya que si x = a entonces

|d(x, a) − d(x, b)| = d(a, b), y as´ı concluye con cluye la prueba. pr ueba. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


148


Ejercicios y Problemas on de Cauchy en un espacio métrico etrico es totalP.5.5 Demuestre que toda sucesión mente acotada. [R] o´ tesis: P.5.6 El teorema de encaje de Cantor necesita de todas las hipotesis: (a) El espacio m´ metrico ha de ser completo. El espacio (0, (0, 1) con la dis´ tancia inducida inducida por la usual de R no es un espacio espacio completo y adem´ ademas a´ s ∞ {(0, o´ tesis (0, 1/n] /n]}n=2 es una familia de cerrados que verifican las hip otesis del teorema cuya intersecci on o´ n es vac´ vac´ıa. ıa. (b) Los conjuntos han de ser cerrados. Demuestre que {(0, (0, n1 )}n∞=1 es una familia familia de conjunt conjuntos os “no cerrad cerrados” os” en R (que (que es comp comple leto) to) que que veri verific ficaa el resto de las hipótesis otesis del teorema y, sin embargo, su intersección on es vac´ vac´ıa. ıa. ∞ (c) La sucesi´ on de los di´ ametros ha de ser convergente a 0. {[n, ∞)}n =1 es una familia decreciente de conjuntos cerrados en R cuya sucesion o´ n de di´ diametros a´ metros no converge a 0 y tiene intersecci on o´ n vac´ vac´ıa. ıa.

metrico, e´ trico, una P.5.7 (Teorema del punto fijo de Banach) Si (X, d) es un espacio m´ aplicación f : X → X se dice que es una contracci´ existe un numero ´ contracci on ´ si existe α < 1 tal que

d(f ( f (x), f ( f (y )) ≤ αd( αd(x, y), para todos x, y ∈ X . Demuestre que si f es una contracción on de un espacio metrico e´ trico completo, entonces existe un unico u´ nico punto x ∈ X tal que f ( f (x) = x. [I] [R] ∞ sucesion o´ n de Cauchy en un espacio m etrico e´ trico (X, d) y sea P.5.8 Sea (xn )n =1 una sucesi´ ∞ sucesion o´ n tal que d(xn , yn ) < 1/n para todo n ∈ N. De(yn )n=1 una sucesi´ muestre: ∞ (a) (yn )n tambien e´ n una sucesion o´ n de Cauchy. =1 es tambi´ ∞ ∞ (b) (yn )n o´ lo si, (xn )n converge al =1 converge a un punto y ∈ X si, y solo =1 converge punto y . [R]

metricos; e´ tricos; considere considere el espacio espacio X × Y P.5.9 Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios m´ con cualquiera de las distancias del Ejemplo Ej.1.9. (d∞ sin ir m´ mas a´ s lejos). Demuestre: ∞ (a)Una sucesi on o´ n (xn , yn )n solo o´ lo si, las =1 es de Cauchy en X × Y si, y s´ ∞ ∞ sucesiones (xn )n=1 y (yn )n=1 son de Cauchy en X e Y respectivamente.

(b) X e Y son completos si, y sólo olo si, X × Y es completo. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos



149

metrico e´ trico en el que toda bola cerrada es compacta. P.5.10 Sea (X, d) un espacio m´ Demuestre que X es completo y que los subconjuntos compactos de X son los cerrados y acotados. [R]



150




6 Espacios Espacios conexos En este cap´ cap´ıtulo ıtulo estudiamos los espacios conexos y su relaci on o´ n con otras propiedades ya estudiadas. estudiadas. Despu´ Despues e´ s de presentar presentar unos resultados de los espacios espacios conexos, estudiamos los subespacios conexos de la recta real. A continuaci on o´ n relacionamos conexi´ conexion o´ n y continuidad y estudiamos la conexi´ conexion o´ n de los productos cartesianos. Estudiamos Estudiamos las componentes componentes conexas y finalizamos finalizamos el cap´ıtulo ıtulo con la conexi conexion ´ por caminos, que implica la conexión on ordinaria. La definición on de conexión on para un espacio métrico etrico es muy natural. As´ı, ı, se s e dice que un espacio puede ser “separado” (no conexo), si es posible “dividirlo” en dos conjuntos abiertos abiertos con intersecci intersección o´ n vac´ vac´ıa. ıa. En caso contrario, diremos que el espacio es conexo. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ espec´ıficas: ıficas: Utilizar Utilizar los conceptos conceptos b´ basicos a´ sicos asociados asociados a la noci´ nocion o´ n de espacio m´ metrico. e´ trico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ topolog´ıa ıa m etrica. e´ trica. Identificar los subconjuntos conexos de la recta real y, en general, de los espacios eucl´ eucl´ıdeos. ıdeos. Relacionar los conceptos de conexion o´ n y continuidad continuidad en un espacio espacio m´ metrico. e´ trico. Se desarrollarán an los contenidos siguientes: Espacios m´ metricos e´ tricos conexos. Propiedades. 151

152

6.1. Conjuntos separados

Los subespacios conexos de la recta real. Conexi´ Conexion o´ n y continuidad. continuidad. Componentes conexas. Conexión on por caminos. caminos.

6.1.Conjuntos separados metrico (X, d) y dos subconjuntos A, B ⊂ X , , Definici´ Definicion o´ n 6.1.1. Dado un espacio m´ ´ diremos que A y B est an ´ ´ separados si A ∩ B = A ∩ B = ∅.

Es evidente que si A y B est´ estan a´ n separados, entonces son disjuntos. Sin embargo, el rec´ rec´ıproco ıproco no es cierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos. ejemplos.

Ejemplos topolog´ıa ıa usual, los intervalos (0, estan a´ n separados, (0, 1) y (1, (1, 2) est´ Ej.6.1. En R con la topolog´ pero los intervalos intervalos (0, estan, a´ n, a pesar de que son disjuntos, (0, 1) y [1, [1, 2) no lo est´ pues (0, (0, 1) = [0, [0, 1] y [0, [0, 1] ∩ [1, [1, 2] = {1}.

Ej.6.2. En (R2 , d2 ) el exterior de la bola abierta de centro el origen de coordenadas y radio 1

Ext B ((0, ((0, 0), 0), 1) = {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1} y la propia bola abierta

((0, 0), 0), 1) y B ((0, ((0, 0), 0), 1) estan ´ separados. Figura 6.1 – Ext B ((0,

B ((0, ((0, 0), 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} están an separados puesto que

Ext B ((0, ((0, 0), 0), 1) = {(x, y ) : x2 + y2 ≥ 1} y Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


153

6. Espacios conexos

B ((0, ((0, 0), 0), 1) = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} y es evidente evidente que que

Ext B ((0, ((0, 0), 0), 1) ∩ B ((0, ((0, 0), 0), 1) = Ext B ((0, ((0, 0), 0), 1) ∩ B ((0, ((0, 0), 0), 1) = ∅ (v´ (vease e´ ase la Figura 6.1). 6.1). topolog´ıa ıa usual, los conjuntos Q y R − Q no est´ estan a´ n separados, Ej.6.3. En R con la topolog´ pues Q = R ⊃ R − Q.

(0, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1} y Ej.6.4. Los conjuntos A = {(0, B = {(1/n,y (1/n,y)) )) : n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1} no están an separados, pues todos los puntos de A son adherentes a B (véase ease la Figura 6.2). 6.2).

Figura 6.2 – Subconjuntos de R2 no separados. separados.

6.2.Espacios conexos metrico (X, d) es conexo si X no es Definici´ Definicion o´ n 6.2.1. Diremos que un espacio m´ ´ uni´ union vac´ ıos y separados. En caso contrario diremos que ´ de dos subconjuntos no vac´ X es no conexo. metrico y A, B ⊂ X dos subconjuntos Proposici´ Proposicion o´ n 6.2.2. Sea (X, d) un espacio m´ ´ disjuntos disjuntos tales que X = A ∪ B . Son equivalentes: equivalentes:

(a) X es no conexo (A y B est´ an separados). (b) A y B son cerrados. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


154

6.2. Espacios conexos

(c) A y B son abiertos. abiertos. ´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)“ Supongamos que los conjutos A y B est´ estan a´ n separados, es decir, que A ∩ B = A ∩ B = ∅ y veamos que A es cerrado. Podemos poner

A = A ∩ X = A ∩ (A ∪ B ) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B ) = A ∪ ∅ = A. Por tanto, A es cerrado. Análogamente alogamente se prueba que B también en es cerrado. ”(b)⇒(c)” Suponemos ahora que A y B son cerrados. Como A ∪ B = X y A ∩ B = ∅ entonces A = B c y B = Ac . Por tanto, A y B son abiertos (pues son complementarios de cerrados). “(c)⇒(a)“ Supongamos que A y B son abiertos disjuntos tales que A ∪ B = X . Procediendo como en la implicaci on o´ n anterior podemos probar que A y B son cerrados (pues son complementarios de abiertos). Entonces A ∩ B = A ∩ B = ∅ y A ∩ B = A ∩ B = ∅, luego A y B est´ estan a´ n separados. La conexion o´ n se puede formular de otro modo, como muestra el siguiente corolario cuya demostracion o´ n es consecuencia consecuencia de la Proposici Proposición o´ n 6.2.2. 6.2.2.

(X, d) es conexo si, y s´ Corolario Corolario 6.2.3. Un espacio m´ metrico ´ solo ´ si, los unicos ´ subconjuntos que son, a la vez, abiertos y cerrados son X y ∅. ´ . D EMOSTRACI ON Si A ⊂ X , A  abierto y cerrado, cerrado, entonces Ac también en es abierto y cerrado, = X , abierto c y X = A ∪ A , con lo que X ser´ıa ıa no n o conexo co nexo.. La Proposici´ Proposicion o´ n 6.2.2 nos permite introducir un nuevo concepto. metrico. Una separaci´ on de X es un par Definici´ Definicion o´ n 6.2.4. Sea X un espacio m´ ´ cerrados) disjuntos no triviales triviales de X cuya uni´ on es X . A, B de abiertos (o cerrados)

6.2.1.Subespacios conexos. metrico (X, d) y un subconjunto S ⊂ X . DiDefinici´ Definicion o´ n 6.2.5. Sea un espacio m´ ´ remos que S es un subespacio subespacio conexo o un subconjunto conexo si (S, dS ) es conexo.

Proposici´ Proposicion o´ n 6.2.6. Un subconjunto S de un espacio m´ etrico (X, d) es conexo si, y s olo ´ si, no existen dos subconjuntos A, B ⊂ X separados tales que A ∪ B = S . ´ . Es una consecuencia inmediata de la definición D EMOSTRACI ON on de topolog´ topol og´ıa ıa relativa relativa y la Proposición on 6.2.2. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


155

6. Espacios conexos

Ejemplos (0, 1] de la recta real R. Los conjuntos Ej.6.5. Sea Y el subespacio [−1, 0) ∪ (0, vac´ıos ıos y abiertos en Y (aunque (aunque no en R); de esta for[−1, 0) y (0, (0, 1] son no vac´ ma, constituyen una separacion o´ n de Y . Por otra parte, obs´ observese e´ rvese que ninguno de estos conjuntos contiene puntos de acumulacion o´ n del otro. (0, 1] Ej.6.6. Sea X el subespacio [−1, 1] de la recta real. Los conjuntos [−1, 0] y (0, son disjuntos y no vac´ vac´ıos ıos pero no forman una separaci on o´ n de X ya que el primer primer conjunto no es abierto en X . Por otro lado, obs´ observese e´ rvese que el primer conjunto contiene un punto de acumulaci´ acumulacion, o´ n, el 0, del segundo. De hecho, probaremos enseguida que no existe una separación on del espacio espacio [−1, 1]. u´ meros racionales Q no es conexo. Es m as, a´ s, los unicos u´ nicos Ej.6.7. El conjunto de los numeros subespacios conexos de Q son los conjuntos unipuntuales: si Y es un subespacio de Q conteniendo dos puntos p y q , es posible elegir un número umero irracional a entre p y q y escribir Y como la union o´ n de los abiertos

Y ∩ (−∞, a) e Y ∩ (a, +∞).

Ejercicios y Problemas subconjuntos de un espacio m´ metrico. e´ trico. Demuestre: P.6.1 Sean A, B y C tres subconjuntos (a)Si A y B est´ estan a´ n separados y C ⊂ A, entonces C y B est´ estan a´ n separados. (b)Si C y A están an separados y C y B también en están an separados, entonces estan a´ n separados. C y A ∩ B est´ (c)Si A y B est´ estan a´ n separados, entonces A ∩ C y B ∩ C est´ estan a´ n separados. [I] [R] Demuestre que un espacio espacio discreto con mas a´ s de un punto, es no conexo. P.6.2 Demuestre

P.6.3 Demuestre que si A y B son dos subconjuntos disjuntos de un espacio metrico e´ trico y ambos son abiertos abiertos o ambos son cerrados, entonces entonces est´ estan a´ n separados. [I] [R] P.6.4 Sea (X, d) un espacio m´ metrico e´ trico y A, B ⊂ X separados. Pruebe: (a)Si A ∪ B es abierto, entonces A y B son abiertos. (b)Si A ∪ B es cerrado, entonces A y B son cerrados. [I]

[R]

P.6.5 Demuestre que si A es un subconjunto conexo de un espacio m etrico, e´ trico, entonces A es infinito. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


156

6.2. Espacios conexos

o´ n de dos subconjuntos conexos? En caso afirmaP.6.6 ¿Es conexa la intersecci on tivo demu´ demuestrelo e´ strelo y en caso negativo encuentre un contraejemplo.

6.2.2.Conjuntos conexos. metrico y sea S ⊂ X un subconjunto conexo. Lema 6.2.7. Sea (X, d) un espacio m´ ´ Si A, B ⊂ X son una separaci´ on de X , entonces bien S ⊂ A , bien S ⊂ B .

´ . D EMOSTRACI ON Supongamos, Supongamos, por reducci reduccion ´ al absurdo, que S ∩ A  = ∅ y S ∩ B  = ∅; entonces, como A ∪ B = X , tenemos

S = (S ∩ A) ∪ (S ∩ B ). Por tanto S ∩ A y S ∩ B son abiertos disjuntos en S , no vac´ vac´ıos ıos y verificando

(S ∩ A) ∩ (S ∩ B ) = ∅, con lo cual ambos conjuntos constituyen una separaci on o´ n de S , en contra de que S es conexo. on de una colecci´ on de subespacios conexos de X que Teorema 6.2.8. La uni´ tienen un punto en com´ un es conexa. conexa.

´ . D EMOSTRACI ON Sea {Ai }i∈I una colección on de subespacios conexos de un espacio X y sea p un punto de i∈I Ai . Probemos que el espacio Y = i∈I Ai es conexo. Supongamos que Y = C ∪ D es una separaci separación o´ n de Y . El punto p est´ esta, a´ , o bien en C , o bien en supongamos que p ∈ C . Como cada Ai es conexo y p ∈ C , D, pero no en ambos; supongamos seg´ segun u´ n el Lema 6.2.7 anterior, Ai ⊂ C . Por tanto, i∈I Ai ⊂ C , contradiciendo el hecho de que D era no vac´ vac´ıo. ıo.



 

Teorema 6.2.9. La uni´ on de una colecci´ on de subespacios conexos de X tales que no est an ´ ´ separados dos a dos es conexa. ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos Supongamos que {Ai }i∈I es una familia de subconjuntos conexos de X no separados dos a dos, y supongamos que su union o´ n A = ∪i∈I Ai es no conexo; entonces seg´ segun u´ n el Corolario 6.2.3, existe B  A no vac´ vac´ıo ıo que es abierto y cerrado en (A, dA ).

= ∅, existe x ∈ B ⊂ A y como B  = A, existe y ∈ A, y ∈ Como B  / B. Por tanto, para ciertos ´ındices ındices ix , iy ∈ I tenemos x ∈ Ai e y ∈ Ai . Entonces x


y


157

6. Espacios conexos

o´ tesis, luego B ∩ Ai  = ∅ es abierto y cerrado en (Ai , di ) que es conexo por hip otesis, B ∩ Ai = Ai lo que implica que Ai ⊂ B . x

x

x

x

x

x

De la misma forma (A − B ) ∩ Ai  cerrado en (Ai , di ), luego = ∅ es abierto y cerrado (A − B ) ∩ Ai = Ai , lo que implica que Ai ⊂ B − A. y

y

y

y

y

y

Pero A y A − B est´ estan a´ n separados en (A, dA ), pues son dos abiertos y cerrados no vac´ vac´ıos ıos cuya union o´ n es A, lo que lleva consigo que Ai y Ai tambi´ tambien e´ n est´ estan a´ n separados, en contra de la hipotesis, o´ tesis, lo que concluye concluye la prueba. prueba. x

y

La demostracion o´ n del siguiente corolario es consecuencia del Teorema 6.2.9 y se le propone como ejercicio. metrico y {Ai }i∈I una familia de subCorolario 6.2.10. Sea (X, d) un espacio m´ ´ conjuntos conexos no vac´ vac´ ıos de X tales que Ai ∩ A j  = ∅ para cada par i, j ∈ I . Entonces A = ∪i∈I Ai es conexo.

Teorema 6.2.11. Sea (X, d) un espacio m´ metrico. ´ Entonces se verifican: (a) Si H ⊂ X es un subconjunto conexo y S ⊂ X tal que H ⊂ S ⊂ H , , entonces S es conexo. (b) Si S es un subconjunto subconjunto conexo de X , , entonces S es conexo. ´ . D EMOSTRACI ON entonces H ∪ {x} es conexo puesto que H y {x} son conexos no (a) Si x ∈ H , entonces separados (H ∩ {x} = {x}). Entonces podemos poner S = x∈S (H ∪ {x}) y, teniendo teniendo en cuenta que H ⊂ S ⊂ H , S es unión on de conexos no disjuntos, lo que implica que S es conexo.



(b) Es una consecuencia inmediata de (a).

Ejercicios y Problemas sucesion o´ n de subespacios conexos de X que verifican verifican P.6.7 Sea {An }n∈N una sucesi´ An ∩ An+1  = ∅ para cada n. Demuestre que n∈N An es conexo. [I] [R]



o´ n de subespacios conexos de X y A un subP.6.8 Sean {Aα }α∈J una coleccion espacio conexo de X . Demuestre que si A ∩ Aα  = ∅ para todo α, entonces A ∪ α∈J Aα es conexo.

 

metrico e´ trico y A, B ⊂ X una separacion o´ n de X , es decir P.6.9 Sea (X, d) un espacio m´ estan a´ n separados. Demuestre que si S ⊂ X es conexo, X = A ∪ B y A y B est´ entonces est´ esta´ contenido unicamente, u´ nicamente, o bien en A, o bien en B .



158

6.3. Conexos en R.

6.3.Conexos en

R.

Teorema 6.3.1. Un subconjunto subconjunto S  R , con la distancia usual, es conexo si, y solo ´ si, es un intervalo o un conjunto unitario. ´ . D EMOSTRACI ON ”⇒” Supongamos que S es conexo. Si S es unitario no hay nada que probar. Supongamos entonces que ni es unitario ni es un intervalo; entonces seg un u´ n el Lema 4.4.1 existen x, y ∈ S tales que [x, y ] no est´ esta´ contenido en S , es decir, existe z ∈ (x, y) tal que z ∈ Consideremos los conjuntos conjuntos / S . Consideremos

A = (−∞, z ) ∩ S

y

B = (z, ( z, +∞) ∩ S.

Entonces A y B están an separados y S = A ∪ B , en contra de que S es conexo. ”⇐” Si S es unitario no hay nada que probar. probar. Supongamos Supongamos entonces que S es un intervalo y que es no conexo. Esto quiere decir que existen A, B ⊂ R no vac´ıos ıo s y separados separados tales que S = A ∪ B . Sean x ∈ A, y ∈ B y supongamos que x < y. Como S es un intervalo, intervalo, el Lema 4.4.1 implica [x, y] ⊂ S . Consideremos el conjunto C = [x, y] ∩ A, que es no vac´ vac´ıo ıo ( x ∈ A) y est´ esta´ acotado superiormente por y ; por tanto, existe α = sup C . Tenemos entonces que x ≤ α ≤ y, es decir, α ∈ [x, y] ⊂ S . Luego, o bien α ∈ A, o bien α ∈ B , pero no a los dos. Supongamos que α ∈ A, esto implica que α < y . Como A es abierto en S , por definicion o´ n de topolog´ topolog´ıa ıa relativa existir´ existira´ G abierto en R tal que A = G ∩ S . Luego α ∈ G, de modo que existe ε > 0 tal que Ademas, a´ s, α < y , de modo que podemos tomar ε > 0 tal que (α − ε, α + ε) ⊂ G. Adem´ α + ε < y, luego α + ε ∈ S y, por tanto, α + ε ∈ G ∩ S = A, en contra de que α es supremo. De forma análoga aloga se ve que α no puede estar en B .

Corolario 6.3.2. R con la topolog´ıa ıa usual usua l es un espacio conexo. ´ . Es una aplicación D EMOSTRACI ON on directa del Teorema 6.3.1 anterior.

Ejemplos hab´ıamos ıamos visto que Q Ej.6.8. Q no es conexo puesto que no es un intervalo. Ya hab´ es no conexo en el Ejemplo Ej.6.7. utilizando otros argumentos. u´ nicos conEj.6.9. A partir del Corolario 6.3.2, concluimos que en (R, | |), los unicos juntos abiertos y cerrados a la vez son R y ∅.



159

6. Espacios conexos

6.4.Conexi

on o´ n y continuidad.

Teorema 6.4.1. Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios m´ etricos, f : X → Y una f (S ) es aplicaci´ on continua y S ⊂ X un subconjunto conexo en X . Entonces f ( conexo en Y . ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que f ( ıos y f (S ) es no conexo, entonces existen A, B ⊂ Y no vac´ıos separados separados tales que f ( f (S ) = A ∪ B . Como f : S → f ( f (S ) es continua y A y B son abiertos y cerrados en f ( topolog´ıa ıa relativa, tendremos que f −1 (A) y f (S ) con la topolog´ seran a´ n abiertos y cerrados en S con la distancia dS inducida por d. Adem´ Ademas a´ s f −1 (B ) ser´ son no vac´ vac´ıos, ıos, disjuntos y cumplen cumplen

S = f −1 (f ( f (S )) )) = f −1 (A ∪ B ) = f −1 (A) ∪ f −1 (B ), con lo que S ser´ıa ıa no conexo, en contra cont ra de la hipotesis. o´ tesis. La conexion o´ n es una propiedad topol´ topologica. o´ gica.

Corolario 6.4.2. Sean (X, d) y (Y, d ) dos espacios m´ etricos homeomorfos. homeomorfos. Entonces X es conexo si, y s´ olo si, Y es conexo. ´ . Se trata de una aplicación D EMOSTRACI ON on directa del Teorema 6.4.1 anterior.

Los dos Problemas siguientes P.6.10 y P.6.11 corresponden a dos importantes propos proposicio iciones nes a las que debe debe presta prestarr especia especiall atenci atención o´ n y cuya cuya senc sencil illa la demo demostr strac aciion, o´ n, a partir del Teorema 6.4.1, se le propone como ejercicio.

Ejercicios y Problemas metrico e´ trico (X, d) es conexo si, y solo o´ lo si, cualquier aplicacion o´ n P.6.10 Un espacio m´ continua entre X y el espacio discreto {0, 1} es constante, es decir, o bien f ( f (x) = 0 para todo x ∈ X , o bien f ( f (x) = 1 para todo x ∈ X . metrico e´ trico no conexo, entonces existe una apliP.6.11 Si (X, d) es un espacio m´ caci´ cacion o´ n f : X → { 0, 1} continua continua y no constante. Demuestre que si (X, d) es conexo y f : (X, d) → (R, du ) es una apliP.6.12 Demuestre caci´ cacion o´ n continua, entonces f ( f (X ) es un intervalo.



160

6.4. Conexión on y continuidad.

metrico (X, d) es conexo si, y Teorema 6.4.3 (del valor intermedio). Un espacio m´ ´ solo aplicacion ´ si, cada aplicaci´ ´ continua f : X → R cumple que si x, y ∈ X y c ∈ R es tal que f ( f (x) ≤ c ≤ f ( f (y) , entonces existe z ∈ X tal que f ( f (z) = c.

´ . D EMOSTRACI ON ”⇒” Si X es conexo, entonces f ( f (X ) es conexo en R y, por tanto, es un intervalo, de modo que contiene todos los puntos intermedios. intermedios. ”⇐” Supongamos que X es no conexo, entonces X = A ∪ B con A y B no vac´ vac´ıos ıos y separados. Consideramos una funcion o´ n g : X → {0, 1} continua tal y como la proporciona el Problema P.6.11 y tal que g (A) = {0} y g (B ) = {1}. Sea la inclusion o´ n i : {0, 1} −→ R, que es continua (observe que la distancia usual de R induce sobre {0, 1} la distancia discreta y revise el Problema P.3.1), y consideremos la composici´ composicion o´ n h = i ◦ g : X −→ R que, al ser composici on o´ n de funciones continuas, también en es continua. continua. Entonces h no cumple las hipótesis, otesis, pues 0 < 1/2 < 1 y, sin embargo, no hay ningún un punto de X cuya imagen por h sea distinta de 0 o de 1, en contra de la hip otesis. o´ tesis.

6.4.1.Espacios producto. metricos conexos. Entonces el Teorema 6.4.4. Sean (X, d) e (Y, d ) dos espacios m´ ´ producto X × Y es conexo. (Con cualquiera de las distancias d1 , d2 o d∞ del Ejemplo Ej.1.9.).

´ . D EMOSTRACI ON Tomemos un punto (a, b) ∈ X × Y . La “rebanada horizontal” X × {b} es conexa, ya que es homeomorfa a X , y tambi´ tambien e´ n lo es cada “rebanada vertical” {x} × Y para cada x ∈ X ya que estas e´ stas son homeomorfas a Y (v´ (vease e´ ase el Problema P.3.9). Por Por otra otra part parte, e, para para cada cada x ∈ X la intersecci intersección o´ n de los los conju conjunt ntos os X ×{ ×{ b} y {x}× Y es no vac´ vac´ıa, ıa, en concreto es precisamente (X × {b}) ∩ ({x} × Y ) Y ) = {(x, b)}. Por tanto, el conjunto (X × {b}) ∪ ({x} × Y ) on de conexos no Y ) es conexo por ser unión disjuntos (véase ease la Figura 6.3). 6.3). Entonces la unión on



Y )} {(X × {b}) ∪ ({x} × Y )

x∈X

de todos estos conjuntos es precisamente X × Y y es conexo conexo pues todos tienen en común un al conjunto conjunto X × {b} (véase ease de nuevo la Figura 6.3). 6.3).

metriCorolario 6.4.5. El producto cartesiano de una cantidad finita de espacios m´ ´ cos conexos, es un espacio conexo. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


161

6. Espacios conexos

´ en el espacio producto. Figura Figura 6.3 – Cone Conexi xión

´ . La prueba para cualquier colección D EMOSTRACI ON on finita de espacios conexos puede realizarse por inducción, on, utilizando el hecho (¿fácilmente acilmente demostrable?) de que X 1 × · · · × X n es homeomorfo a (X 1 × · · · × X n−1 ) × X n .

Ejemplos Ej.6.10. Rn con cualquiera de las distancias d1 , d2 o d∞ es conexo.

6.5.Componentes conexas Definici´ Definicion o´ n 6.5.1. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y C ⊂ X un subconjunto, diremos que C es una componente conexa de X si C es conexo y no hay ning´ ningun ´ subconjunto conexo y propio de X que contenga a C . Observaci´ Observacion o´ n 6.5.2. (a)Obviamente si X es conexo, tiene una unica componente conexa conexa que coin´ cide con todo el espacio. (b)Cualquier espacio, conexo o no, tiene t iene componentes conexas no vac ´ıas. ıas. metrico. Se llama componente conexa Definici´ Definicion o´ n 6.5.3. Sea (X, d) un espacio m´ ´ on de todos los subconjuntos conexos de X que C (x) de un punto x ∈ X a la uni´ contienen contienen al punto x.

Observaci´ Observacion o´ n 6.5.4. Es obvio que C (x) es el mayor conjunto conexo que contiene a x y que C (x) es la componente conexa de X que contiene a dicho punto. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


162

6.6. Conexión on por caminos (o arcos).

metrico. Entonces las componentes conexas Teorema eorema 6.5.5. Sea (X, d) un espacio m´ ´ de X constituyen una partici´ particion s´ ı y la uni´ union ´ de X , es decir son disjuntas entre s´ ´ de todas ellas es X .

´ . - Sean x, y ∈ X veamos que si C (x) y C (y ) son sus comD EMOSTRACI ON ponentes conexas respectivas, entonces o bien coinciden , C (x) = C (y ), o bien C (x) ∩ C (y) = ∅. En efecto, supongamos que C (x) ∩ C (y )  = ∅, entonces se trata de dos conjuntos conjuntos conexos no separados, lo que significa significa que C (x) ∪ C (y ) es conexo, pero la componente conexa es el mayor conexo que contiene al punto, de modo que C (x) = C (x) ∪ C (y ) = C (y ). Por otra parte, es evidente que la unión on de todas las componentes componentes conexas conexas es todo X . Como en ocasiones anteriores, los Problemas siguientes recogen importantes resultados sobre componentes conexas, cuya demostracion o´ n se le propone como ejercicio. Debe prestarles la necesaria atención. on.

Ejercicios y Problemas metrico. e´ trico. Demuestre que cada subconjunto conexo P.6.13 Sea (X, d) un espacio m´ de X est´ esta´ contenido en una unica u´ nica componente conexa. metrico e´ trico que es a la vez abierto P.6.14 Cada subconjunto conexo de un espacio m´ y cerrado, es una componente conexa. componente conexa de un espacio espacio m etrico e´ trico es un cerrado. P.6.15 Cada componente

P.6.16 Considere en (R, | |), el conjunto C = {0} ∪ {1/n : n ∈ N} con la distancia inducida inducida por la usual. Pruebe que {0} es una componente componente conexa de C y concluya que las componentes conexas no son, necesariamente abiertos.

6.6.Conexi

´ n por caminos (o arcos). on o

La conexion o´ n de los intervalos en R nos conduce a la condicion o´ n de que cualquier par de puntos de X pueda unirse mediante un camino o un arco en X . Y esto nos lleva a la conexion o´ n por caminos caminos (tambi´ (tambien e´ n llamada conexion o´ n por arcos). metrico y dos puntos x, y ∈ X : Definici´ Definicion o´ n 6.6.1. Sea (X, d) un espacio m´ ´ Un camino o un arco en X , , que une el punto x con el punto y , es una aplicaci´ on continua f : [a, b] −→ X , , donde [a, b] ⊂ R es intervalo cerrado f (a) = x y f ( f (b) = y. con la distancia usual, tal que f ( Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


163

6. Espacios conexos

Un espacio X se dice que es conexo por caminos o conexo por arcos si cada par de puntos de X se pueden unir mediante un camino en X . cualquier intervalo intervalo cerrado cerrado [a, b] es homeomorfo homeomorfo Observaci´ Observacion o´ n 6.6.2. Dado que cualquier al intervalo [0, ease el Problema P.3.8). Por composici´ on, la definici´ on de [0, 1] (v´ camino se puede establecer diciendo que la aplicaci´ on continua est´ a definida en [0, 1]; de hecho el intervalo [0, hecho en numerosas numerosas ocasiones, y por comodidad, as´ı lo haremos.

Ejemplos [0, 1] −→ (X, d) es un camino que une x e y, entonces La apliEj.6.11. Si f : [0, ˆ caci´ cacion o´ n f : [0, [0, 1] −→ (X, d) definida como f ( f ˆ(t) = f (1 f (1 − t), es un camino que une y con x (digamos, que cambia el sentido del camino). [0, 1] −→ (X, d) es un camino que va del punto x al punto y y Ej.6.12. Si f : [0, o´ n g : [0, [0, 1] −→ (X, d) es un camino que une y con z , definimos la aplicaci on (f ∗ g )(t )(t) =



f (2 f (2tt) si 0 ≤ t ≤ 1/2 g (2t (2t − 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1

.

f ∗ g es un camino (es continua) que une x con z siguiendo el camino que va de x a y y, a continuacion o´ n de forma continua, continua, el que une y con z . El camino recibe el nombre de yuxtaposici´ f ∗ g recibe on de f y g . Ej.6.13. La bola cerrada de radio unidad, centrada en cualquier punto de Rn , es decir B n = B (x, 1) = {x ∈ Rn : x2 ≤ 1}, 2 )1/2 es la norma eucl´ donde x2 = (x1 , . . . , xn )2 = (x21 + · · · + xn eucl´ıdea ıdea (v´ (vease e´ ase el Ejemplo Ej.1.41.), es conexa por caminos. En efecto, dados dos puntos x, y ∈ B n , el segmento segmento f : [0, [0, 1] → Rn definido por

f ( f (t) = (1 − t)x + ty es continuo y est´ esta´ contenido en B n ya que

f (t)2 = (1 − t)x + ty2 ≤ (1 − t)x2 + ty 2 ≤ 1. f (

distancia usual es conexo por caminos. caminos. Ej.6.14. Rn con la distancia

metrico conexo conexo por caminos caminos es tambi´ tambien Teorema 6.6.3. Todo espacio m´ ´ ´ conexo. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


164


´ . D EMOSTRACI ON Supongamos Supongamos que X un espacio conexo por caminos pero no conexo. Por tanto existen dos conjuntos no vac´ vac´ıos ıos {A, B ⊂ X } que constituyen es una separaci´ separacion o´ n de X , es decir X = A ∪ B y A y B est´ estan a´ n separados. Sea f : [0, [0, 1] → X un camino [0, 1] es conexo y f es continua, por el Teorema 6.4.1, en X . Como [0, 6.4.1, el conjunto f ([0 f ([0,, 1]) es conexo y, en consecuencia, debe estar contenido enteramente o bien en A, o bien en B (v´ (vease e´ ase el Problema P.6.9). Por tanto, no existen caminos en X que unan puntos de A con puntos de B lo cual es contrario con el hecho de que X sea conexo por caminos. metrico conexo por caminos, e (Y, d ) un Teorema 6.6.4. Sea (X, d) un espacio m´ ´ espacio m´ metrico. Si f : X −→ Y es una aplicaci´ aplicacion continua, entonces entonces f ( f (X ) es ´ ´ continua, conexo por caminos.

´ . - Si y1 , y2 ∈ f ( D EMOSTRACI ON entonces f −1 (y1 ), f −1 (y2 ) ∈ X y como f (X ), entonces continua tal que g (0) = f −1 (y1 ) X es conexo por caminos, existe g [0, [0, 1] −→ X continua y g (1) = f −1 (y2 ). Entonces f ◦ g es un camino camino que conecta conecta y1 con y2 . El rec´ rec´ıproco ıproco del Teorema eorema 6.6.3 ante anteri rior or no es cier cierto to en gene genera ral, l, es deci decirr, un espa espaci cio o conexo conexo no es necesariame necesariamente nte conexo conexo por caminos; caminos; as´ı lo muestra muestra el siguiente siguiente ejemplo.

Ejemplos Ej.6.15. Sean los subconjuntos de R2 siguientes:

1 A = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}, Bn = {( , y) : 0 ≤ y ≤ 1} para cada n ∈ N. n Consideremos el punto P (0 P (0,, 1) y el conjunto

C = A ∪ (∪n∈N Bn ) ∪ { p} dotado con la topolog´ topolog´ıa ıa inducida por la usual de R2 y cuya representaci on o´ n gr´ grafica a´ fica puede ver el la Figura 6.4. Entonces X es conexo pero no es conexo conexo por caminos. (1) X es conexo. En efecto, tanto A como cada uno de los Bn es conexo por caminos puesto que se trata segmentos y, por tanto seg un u´ n el Teorema 6.6.3 también en son conexos. Además, as, para cada n ∈ N, A ∩ Bn = {(1/n, (1/n, 0)}, lo que implica que el conjunto A ∪ (∪n∈N Bn ) es unión on de conexos no separados, y por tanto es conexo. Por ultimo u´ ltimo P es un punto adherente a A ∪ (∪n∈N Bn ) ya que para todo ε > 0 existe n ∈ N con 1/n < ε por (1/n, 1) ∈ B (P, ε), entonces, segun lo que, (1/n, u´ n el Teorema 6.2.11 (a), C es conexo. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


165

6. Espacios conexos

Figura 6.4 – El Conjunto C es conexo pero no es conexo por caminos.

(2) C es no conexo por caminos. Para demostrar esto vamos a comprobar que cualquier camino f : [a, b] → C que comience en P , cumple que u´ n camino que f ( f (t) = P para todo t ∈ [a, b] y, por tanto, no existe ning un una P con otro punto de C . Esto ultimo u´ ltimo ser´ sera´ consecuencia, a su vez, de que −1 cerrado en [a, b] que es conexo, conexo, con lo cual tendremos tendremos f (P ) P ) es abierto y cerrado −1 que f (P ) P ) = [a, b]. Como f es una aplicaci aplicación o´ n continua y {P } es un conjunto cerrado, f −1 (P ) P ) −1 es cerrado. Vamos a ver que f (P ) en es abierto. Consideremos una P ) también bola abierta centrada en P en el subespacio C . Esta bola será la intersección on 2 de una bola en R con C , B (P, r) ∩ C ; y tomemos tomemos r < 1, de manera que no corte al eje de abscisas. Sea un punto x0 ∈ f −1 (B (P, r) ∩ C ), entonces como consecuencia de la continuidad de f , existe, en [a, b], una bola centrada en x0 , B (x0 , δ ) = (x0 − δ, x0 + δ ), tal que f ( f (B (x0 , δ )) )) ⊂ (B (P, r) ∩ C ). Como B (x0 , δ ) es un intervalo, es conexo y, por tanto, f ( f (B (x0 , δ )) )) también en lo es, por lo que no puede contener ningún un punto distinto de P . De lo contrario, si existe (1/m,s (1/m,s)) ∈ (B (P, r) ∩ C ) (0 < s ≤ 1), tomamos α ∈ R tal que se cumpla 1/(m + 1) < α < 1/m con lo que tenemos que

(−∞, α) × R y (α, +∞) × R son dos abiertos disjuntos en R2 , por lo que

[(−∞, α) × R] ∩ (B (P, r) ∩ C ) y [(α, [(α, +∞) × R] ∩ (B (P, r) ∩ C ) constituyen una separaci´ separacion o´ n de (B (P, r) ∩ C . Como f ( f (B (x0 , δ )) )) es conexo y contiene a P , se tiene que

f ( f (B (x0 , δ )) )) ⊂ [(−∞, α) × R] ∩ (B (P, r) ∩ C ), OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


166


por lo que no contiene a

(

1 , s) ∈ [(α, [(α, +∞) × R] ∩ (B (P, r) ∩ C ) m

y, por tanto, f ( f (B (x0 , δ )) )) = {P } lo que significa B (x0 , δ ) ⊂ f −1 (P ) P ) y −1 quer´ıamos ıamos demostrar. f (P ) P ) es abierto, que es lo que quer´

Ej.6.16. El espacio espaci o eucl´ıdeo ıdeo agujere a gujereado ado es Rn − {0}, con la distancia usual inducida; ducida; donde 0 es el origen en Rn . Si n > 1, este espacio es conexo por caminos (y por tanto conexo): dados x, y ∈ Rn − {0} , podemos unir x e y mediante mediante el segmento segmento que ambos determinan, determinan, si este segmento segmento no pasa por el origen. En caso de que as´ as ´ı ocurriera, podemos elegir otro punto z que no est´ este´ contenido en la recta que determinan x e y y a continuacion o´ n considerar el “segmento “segmento quebrado” quebrado” que determinan determinan x, z e y y ya tenemos un camino que une los puntos x e y . Sin embargo, si n = 1, entonces R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0, (0, +∞) no es conexo, pues esta union o´ n es una separaci separacion o´ n de R − {0}.

Ej.6.17. A partir del Ejemplo Ej.6.16. anterior, podemos concluir que R y R2 , con las distancias usuales, no son homeomorfos. En efecto si existiera un homeomorfismo f : R2 −→ R; y f (0 restricción o´ n de f f (0,, 0) = a; entonces la restricci 2 a R − {(0, ser´ıa ıa un homeomorfismo entre este conjunto y R − {a}, (0, 0)}, ser´ 2 pero R − {(0, (0, 0)} es conexo y, sin embargo R − {a} no lo es, en contra del Corolario 6.4.2. 6.4.2. Ej.6.18. La esfera unidad S n−1 en Rn , o (n − 1)-esfera es la frontera de la bola de centro el origen y radio 1

S n−1 = {x ∈ Rn : x = 1}. Si n > 1, la (n − 1)-esfera S n−1 es conexa por caminos ya que la aplicaci´ cacion o´ n g : (Rn − {0}) −→ S n−1 definida por g (x) = x/x es continua y sobreyectiva; y segun u´ n el Teorema 6.6.4, 6.6.4, conexo por caminos.

Ejercicios y Problemas P.6.17 Estudie si son homeomorfos la recta real y la circunferencia, con la distancia usual. [I] P.6.18 Sean An = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, , y = x/n} para cada n ∈ N; y B = {(x, 0) ∈ R2 : 1/2 ≤ x ≤ 1}. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


6. Espacios conexos

167

(a)Haga una representaci on o´ n gr´ grafica a´ fica del conjunto A = ∪n∈N An y estudie si es conexo conexo por caminos caminos y/o conexo. conexo. (b)Idem para el conjunto A ∪ B . [I] metrico, e´ trico, M ⊂ X un subconjunto conexo y una P.6.19 Sea (X, d) un espacio m´ aplicaci´ aplicacion o´ n continua f : M → R. (a)Pruebe que si a ∈ M y α ∈ R es tal que f ( f (a) < α entonces existe U ∈ U a tal que f ( f (x) < α para todo x ∈ M ∩ U . (b)Sup (b)Supong ongamo amoss que para para todo entorn entorno o U ∈ U a existen x, y ∈ U ∩M tales que f ( demuestre que f ( f (x) y f ( f (y) son de signos opuestos; demuestre f (a) = 0 . (c)Pruebe que si para a, b ∈ M , f ( f (a) y f ( f (b) tienen signos opuestos, existe c ∈ M tal que f ( f (c) = 0. [I] [R] metrico e´ trico y A ⊂ X un subconjunto. Demuestre que todo P.6.20 Sea X un espacio m´ subconjunto conexo P ⊂ X que corte a A y Ac , tambi´ tambien e´ n corta a la frontera de A. [I] [R] etrico, A, B ⊂ X dos cerrados tales que A ∩ B y P.6.21 Sea X un espacio métrico, A ∪ B son conexos. Pruebe que, entonces, A y B son conexos. Busque un contraejemplo en R, con la topolog´ topolog´ıa ıa usual, mostrando que la exigencia de que A y B sean cerrados es necesaria. [I] [R]

P.6.22 Sean A un subconjunto propio de X y B un subconjunto propio de Y . Si X e Y son conexos, demuestre demuestre que el conjunto conjunto (X × Y ) Y ) − (A × B ) es conexo. [I] [R] metrico e´ trico (X, d) es totalmente disconexo si para cada par de P.6.23 Un espacio m´ puntos distintos distintos x, y ∈ X existen dos subconjuntos G, H ⊂ X separados, tales que x ∈ G e y ∈ H . (a)Demuestre que el conjunto Q de los numeros u´ meros racionales con la distancia inducida por la usual de R, es totalmente disconexo. (b)Dem (b)Demuest uestre re que las compone componentes ntes conexas conexas de un espaci espacio o totalme totalmente nte disconexo conexo son los conjuntos conjuntos unipuntuales. unipuntuales. aplicación o´ n con[0, 1] −→ [0, [0, 1] una aplicaci P.6.24 (Teorema del punto fijo). Sea f : [0, tinua. Demuestre que existe x0 ∈ [0, [0, 1] tal que f ( f (x0 ) = x0 . [R]

P.6.25 (Teorema de Bolzano) Sea f : [a, b] −→ R continua, de manera que f ( f (a) · f ( f (b) < 0. demuestre que existe c ∈ (a, b) tal que f ( f (c) = 0. P.6.26 Si (X, d) es un espacio m´ metrico, e´ trico, demuestre demuestre que X es conexo si, y solo o´ lo si, para todo A  X no vac´ vac´ıo, ıo, se cumple que Fr(A r(A)  = ∅. [I] OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


168


P.6.27 Sea (R2 , du ) y consideremos el conjunto

A = ((0, ((0, 1) × (0, (0, 1)) ∪ {(0, (0, q ) : q ∈ Q, 0 ≤ q ≤ 1}. ¿Es A conexo? Justifique la respuesta.



Ap´ Apendices e´ ndices

169

170




A Completar un Espacio M´ Metrico e´ trico Un procedimiento, digamos estandar, permite “completar” un espacio métrico etrico cualquiera. En este ap´ apendice e´ ndice vamos a desarrollar dicho procedimiento. Sea (X, d) un espa espaci cio o métri e trico co.. En el conj conjun unto to C de toda todass las las suce sucesi sione oness de Cauc Cauchy hy en X , definimos la siguiente relaci´ relacion: o´ n:

(x )∞=1 ∼ (y )∞=1 n

n

n

n

l´ım d(x , y ) = 0.

si

n

n

n

relacion relacion Lema A.0.5. La relaci´ ´ “∼” es una relaci´ ´ de equivalencia.

´ . D EMOSTRACION La rela relaci´ ción on es, claram clarament ente, e, reflexi reflexiva va;; es sim´ etrica como consecuenci consecuenciaa de la simetr´ simetr´ıa ıa de la distancia; y se comprueba, fácilmente, acilmente, que es transitiva aplicando la desigualdad triangular. En efecto, si (x )∞=1 ∼ (y )∞=1 e (y )∞=1 ∼ (z )∞=1, se tiene l´ım d(x , y ) = l´ım d(y , z ) = 0; aplicando la desigualdad triangular n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

d(x , z ) ≤ d(x , y ) + d(y , z ), para todo n ∈ N. n

n

n

n

n

n

Como los t´ terminos e´ rminos que forman las sucesiones de las distancias son positivos, se tiene l´ım d(x , z ) = 0, lo que implica que (x )∞=1 ∼ (z )∞=1 y, en consecuencia, la relacion o´ n es transitiva. n

n

n

n

n

n

n

ˆ = C /∼, cuyos elementos denotaremos por Consideremos el conjunto cociente X [x ], indicando la clase de equivalencia de la sucesi´ sucesion o´ n (x )∞=1; y definamos la ˆ × X ˆ −→ R mediante aplicación ρ : X × X n

n

ρ([x ([x ], [y ]) = l´ım d(x , y ). n

n

n

n

171

n

n

172

ˆ. aplicacion Lema A.0.6. La aplicaci´ ´ ρ est a´ ´ bien definida y es una distancia sobre X ´ . D EMOSTRACION En primer lugar, lugar, senalemos ˜ que este l´ımite ımite siempre existe, puesto que dado ε > 0, ∞ ∞ como (x ) =1 e (y ) =1 son de Cauchy, Cauchy, existe n0 (podemos tomar el mismo para las dos sucesiones) tal que si m, n ≥ n0 se tiene n

n

n

n

d(x , x ) ≤ n

m

ε 2

ε d(y , y ) ≤ . 2

y

n

m

Por tanto, si tomamos n, m ≥ n0 y aplicamos una propiedad conocida de la distancia, se tiene

ε ε + = ε, 2 2

|d(x , y ) − d(x , y )| ≤ d(x , x ) + d(y , y ) < n

n

m

m

n

m

n

m

lo que nos permite concluir concluir que (d(x , y ))∞=1 es una sucesion o´ n de Cauchy en R. La completitud de R nos garantiza que dicha sucesion o´ n es convergente. n

n

n

Para terminar de comprobar que la definición on es consistente, queda demostrar que no depende de los representantes elegidos. Supongamos que [x ] = [x ], [y ] = [y  ] y veamos que l´ım d(x , y ) = l´ım d(x , y ). Podemos poner n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

d(x , y ) ≤ d(x , x ) + d(x , y ) + d(y , y ), n

n

n

n

n

n

n

n

y como l´ım d(x , x ) = l´ım d(y , y  ) = 0 tenemos que n

n

n

n

n

n

l´ım d(x , y ) ≤ l´ım d(x , y  ). n

n

n

n

n

n

De la misma forma

d(x , y ) ≤ d(x , x ) + d(x , y ) + d(y , y  ), n

n

n

n

n

n

n

n

lo nos lleva a que

l´ım d(x , y ) ≤ l´ım d(x , y ). n

n

n

n

n

n

De las dos desigualdades podemos concluir que

l´ım d(x , y ) = l´ım d(x , y ). n

n

n

n

n

n

Por ultimo, u´ ltimo, tal y como se ha definido ρ, es claro que ρ es una funci´ funcion o´ n no negativa ([x ], [y ]) ≥ 0 y ρ([x ([x ], [y ]) = ρ([y ([y ], [x ]). La desigualdad y sim´ simetrica: e´ trica: ρ([x triangular es una mera comprobación on a partir de la desigualdad triangular de la distancia d. n

n

n

n

n

n

ˆ , ρ). Proposici´ Proposicion o´ n A.0.7. (X, d) es isom´ etrico a un subespacio Y de (X Topolog´ıa ıa de Espacios MétricosP etricosPedro Jos

e´ Herrero Piñeyro neyro

173

A. Completar un Espacio Métrico etrico

ˆ formado por los ele´ . - Tomemos Y como el subconjunto de X D EMOSTRACION mentos que tienen por representante una sucesión on constante y definimos la aplicaci´ cacion o´ n f : X −→ Y como f ( f (x) = [x], donde [x] denota la clase de equivalencia que tiene por representante la sucesion o´ n constante cuyos t´ terminos e´ rminos son iguales a x. f es claramente una biyecci´ biyeccion o´ n y la siguiente igualdad igualdad ([x], [y]) = l´ım ım d(x, y) = d(x, y ) ρ([x n

implica implica que también es una u na isometr´ isomet r´ıa. ıa.

Observaci´ Observacion o´ n A.0.8. A partir par tir de aqu´ı podemos identificar X con Y . Proposici´ Proposicion o´ n A.0.9. Se verifican:

ˆ y su l´ımite (a) Toda sucesi´ on (x )∞=1 de Cauchy en X es convergente en X ımi te es, e s, precisamente, x = [x ] , , es decir, decir, la clase de equivalencia determinada por ∞ (x ) =1 . n

n

n

n

n

ˆ. (b) X es denso en X ´ . D EMOSTRACION

ˆ , donde (a) Podemos identificar la sucesión (x )∞=1 con la sucesión on (x ˆ )∞=1 en X cada x on constante cuyos cuyos t´ terminos e´ rminos son todos iguales a x . Si probaˆ es la sucesión mos que para todo ε > 0, existe n0 tal que si n > n0 entonces ρ(x ˆ , x) < ε, ∞ ˆ y, mediante la habremos probado que la sucesión (ˆ x ) =1 converge a x en X identificaci´ identificacion o´ n de la Observaci´ Observacion o´ n A.0.8 anterior, habremos probado (a). n

n

n

n

n

n

n

n

n

En efecto, como (x )∞=1 es de Cauchy en X , existe n0 tal que si m, n ≥ n0 entonces d(x , x ) < ε/2 Tengamos en cuenta que, tal y como se ha definido la ε/2. Tengamos relaci´ relacion, o´ n, la clas clasee de equi equiva vale lenc ncia ia de (x )∞=1 es la mism mismaa que que la suce sucesi sión o´ n (x )∞= que resulta de suprimir los m − 1 primeros primeros terminos. e´ rminos. Por tanto, fijado n ≥ n0 , tenemos n

n

n

m

n

ρ(x ˆ , x) = l´ım d(x , x ) ≤ n

n

m

m

n

n

ε < ε, 2

para todo

n

m

n ≥ n0 ,

luego (ˆ converge a x. x )∞=1 converge n

n

ˆ , la sucesión (b) Según un el apartado (a) anterior, para todo x = [x ] ∈ X on (x )∞=1 es de Cauchy en X y converge a x. Entonces Entonces x es un punto adherente a X y, por ˆ tanto, X es denso (X = X ). ). n

n

n

ˆ , ρ) es un espacio m´ Teorema A.0.10. (X etrico completo. ´ . D EMOSTRACION

ˆ es convergente en X ˆ. Tenemos que demostrar que toda sucesi´ sucesion o´ n de Cauchy en X ˆ , de modo que para todo ε > 0 existe x )∞=1 una sucesi´ Sea (ˆ sucesion o´ n de Cauchy en X n

n

OCW-Universidad OCW -Universidad de Murcia MurciaP Pedro Jos


174

n0 tal que si n, m ≥ n0 , se tiene que ρ(ˆ x ,x ˆ ) < ε/3 ε/3. Observemos que podemos tomar n0 > 3/ε para que se cumpla n

1 ε < n 3

m

1 ε < . m 3

y

ˆ , para cada x ˆ existe un elemento x ∈ X tal que Como X es denso en X 1 as, con la clase de equivalencia deρ(ˆ x , x ) < (identificando x , una vez más, terminada por la sucesión on constante cuyos términos erminos son todos iguales a x ). De ∞ este modo obtenemos una sucesión on (x ) =1 en X que es de Cauchy; en efecto, si n, m ≥ n0 tenemos n

n

n

n

n

n

n

n

n

d(x , x ) = ρ(x , x ) ≤ ρ(x , x ˆ )+ρ )+ρ(ˆ x ,x ˆ )+ρ )+ρ(ˆ x ,x ) ≤ n

m

n

m

n

n

n

m

m

m

1 ε 1 + + < ε. n 3 m

ˆ que es precisamente x = [x ]. Entonces (x )∞=1 converge a un punto x ∈ X Veamos que l´ım x ˆ = x, con lo que habrá terminado la demostración. Como ∞ (x ) =1 converge a x, existe m0 , que podemos tomar mayor o igual que n0 , tal ε/3. Entonces tomando n, m ≥ m0 tendremos que si n ≥ m0 se tiene ρ(x , x) < ε/3 n

n

n

n

n

n

n

n

ρ(ˆ x , x) ≤ ρ(ˆ x , x ) + ρ(x , x ) + ρ(x , x) < n

n

n

n

m

m

1 ε ε ε ε ε + + < + + = ε, n 3 3 3 3 3

con lo que l´ım x demostracion. o´ n. ˆ = x, concluyendo la demostraci´ n

n

ˆ , ρ) el completado de X . Teorema A.0.11. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y (X ˆ. Entonces cualquier otro espacio (Y, δ ) completado de X es isom´ etrico a X ´ . D EMOSTRACION Podemos contemplar X como un subespacio de Y , X = Y , luego para todo y ∈ Y existe existe una sucesi sucesion o´ n (x )∞=1 ⊂ X convergente a y que es, por tanto, de ˆ como f ( f (y) = [x ], Cauchy. Definimos entonces la aplicaci´ aplicacion o´ n f : Y −→ X ∞ la clase de equivalencia determinada por la sucesi´ sucesion o´ n (x ) =1. La aplicacion o´ n f ∞ está bien definida pues si (z ) =1 es otra sucesión on en X que converge a y , se tiene l´ım d(x , z ) = 0 por lo que [x ] = [z [ z ]. n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

ˆ , entonces (z )∞ es una sucePor otra parte, f es sobreyectiva pues si [z ] ∈ X =1 si´ sion o´ n de Cauchy en X ⊂ Y que, por la completitud de Y , converge a algún punto u´ ltimo, veamos que f es una isometr´ıa. ıa. z ∈ Y , de modo que f ( f (z ) = [z ]. Por ultimo, ∞ ∞ Sean y, z ∈ Y , que ser´ seran a´ n l´ımites ımites de dos sucesiones en X , (y ) =1 y (z ) =1 respectivamente; entonces n

n

n

n

n

n

n

n

ρ(f ( f (y), f ( f (z )) = ρ([y ([y ], [z ]) = l´ım ım d(x , y ) = l´ım δ (y , z ) n

n

n

n

n

n

n

n

= δ (l´ım y , l´ım z ) = δ (y, z ), n

n

n

n

con lo que concluye la prueba.

Topolog´ıa ıa de Espacios MétricosP etricosPedro Jos


B ´ Construcci´ Construccion o´ n de los numeros reales. En el conjunto conjunto C de las sucesiones de Cauchy de números umeros racionales definimos la ∞ ∞ relaci´ relacion o´ n siguiente: si (xn )n=1 e (yn )n=1 son dos sucesiones sucesiones de C entonces

(xn )n∞=1 ∼ (yn )n∞=1, si l´ım(xn − yn ) = 0. 0. n

Esta relacion o´ n es de equivalencia. En efecto, claramente es reflexiva y sim etrica. e´ trica. ∞ ∞ ∞ ∞ Tambi´ Tambien e´ n es transitiva pues si (xn )n=1 ∼ (yn )n=1 y (yn )n=1 ∼ (zn )n=1 tenemos

l´ım(xn − yn ) = l´ım(yn − zn ) = 0, 0, n

n

y aplicando propiedades conocidas de las sucesiones:

l´ım(xn − zn ) = l´ım(xn − yn + yn − zn ) = l´ım(xn − yn ) + l´ım(yn − zn ) = 0, 0, n

n

n

m

∞ lo que implica que (xn )n ∼ (zn )n∞=1. =1

El conjunto cociente C / ∼ será denotado por R. Si x ∈ R es una clase de equiva∞ lencia y (xn )n es un representante de dicha clase, escribiremos x = [xn ]. =1 Vamos a ver que R es un cuerpo ordenado, arquimediano y completo. En primer lugar establezcamos establezcamos un resultado resultado “t ecnico” e´ cnico” que utilizaremos utilizaremos más as adelante. ∞ es una sucesi´ on de Cauchy de n´ umeros racionales que Lema B.0.12. Si (xn )n =1 no converge a 0 entonces existe un racional ε0 > 0 y n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 se cumple que |xn | > ε0 .

175

176 ´ . D EMOSTRACI ON ∞ Como (xn )n no converge a 0, existe un número umero racional ε0 > 0 tal que para =1 todo n ∈ N se puede encontrar un n umero u´ mero m ≥ n tal que |xm | > 2ε0 . Por otra ∞ parte, (xn )n=1 es una sucesion o´ n de Cauchy Cauchy, luego para dicho ε0 existe n0 ∈ N tal que si n, m ≥ n0 se tiene |xn − xm | < ε0 , es decir

xm − ε0 < xn < x m + ε0 . Tomemos m ≥ n0 de tal modo que |xm | > 2ε0 , lo cual implica que o bien posibilidad, tenemos xm > 2ε0 , o bien xm < −2ε0 . Si n ≥ n0 y se da la primera posibilidad,

ε0 = 2ε0 − ε0 < x m − ε0 < xn ; por el contrario, si ocurre lo segundo, segundo, nos queda

xn < xm + ε0 < −2ε0 + ε0 = −ε0 , ´ ltimas desigualdades se deduce que |xm | > ε0 . y de las dos u ultimas

Suma y producto Dados dos elementos x = [xn ], y = [yn ] ∈ R, definimos las siguientes operaciones:

· Suma: x + y = [xn + yn ] [ xn yn ] · Producto: xy = [x  Veamos que las definiciones son consistentes. En efecto, si [xn ] e [yn ] son otros  representantes de x e y respectivamente, comprobemos que [xn + yn ] define la  misma clase de equivalenc equivalencia ia que [xn + yn ]. Como [xn ] = [xn ] e [yn ] = [yn ] se cumple

l´ım(xn − xn ) = l´ım(yn − yn ) = 0, 0, n

n

luego

l´ım(xn + yn − (xn + yn )) = l´ım(xn − xn ) + l´ım(yn − yn ) = 0, n

n

n

 lo que implica que x + y = [xn + yn ] = [xn + yn ].

De forma similar para el producto producto podemos poner

xn yn − xn yn = xn yn − xn yn + xn yn − xn yn = xn (yn − yn ) + xn (yn − yn ) y como toda sucesion o´ n de Cauchy es acotada y el producto de una sucesi on o´ n converconver  gente a 0 por otra acotada, converge a 0, tenemos que l´ımn (xn yn − xn yn ) = 0, con lo que xy = [x [ xn yn ] = [xn yn ]. Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


177

B. Construcción o n de los números reales.

Proposici´ Proposicion o´ n B.0.13. R con las operaciones suma y producto es un cuerpo. ´ . D EMOSTRACI ON Es fácil acil comprobar que R con la suma es un grupo abeliano aditivo cuyo elemento neutro es 0 = [0], la clase de equivalencia de la sucesión on constante con todos sus terminos e´ rminos iguales a 0. Tampoco ofrece dificultad probar que R con el producto es un grupo abeliano multiplicativo cuyo elemento neutro es 1 = [1], la clase de equivalencia de la sucesi on o´ n constante cuyos t´ terminos e´ rminos son iguales a 1. S olo o´ lo veremos que todo elemento x ∈ R distinto de 0, tiene un inverso que denotaremos ∞ por x−1 . Si x = [xn ] la sucesi´ sucesion o´ n (xn )n es de Cauchy y no converge a 0; seg un u´ n =1 el Lema B.0.12 existe un número umero racional ε0 > 0 y un número umero n0 ∈ N tales que si  0, de tal modo que para todo n ≥ n0 entonces |xn | > ε0 , es decir, xn = n ≥ n0 , entonces −1 ∞ existe xn = 1/x o´ n (xn )n 1 /xn . Definimos entonces la sucesi on y como =1

yn

 = x

−1

n

Esta sucesi´ sucesion o´ n verifica:

0

si n < n0

1 = xn

si n ≥ n0

∞ (A) (yn )n es una sucesi´ sucesion ´ de Cauchy. =1 ∞ En efecto, dado un numero u´ mero racional ε > 0, por ser (xn )n una sucesi´ sucesion o´ n de =1 Cauchy, Cauchy, existe m0 ∈ N, que podemos podemos tomar m0 ≥ n0 , tal que |x p − xq | < ε20ε si p, q ≥ m0 ; por tanto, podemos escribir

2 0 2 0

 1 1  |x − x | |x − x | ε ε = ε. |y − y | =  −  = < < |x ||x | x y ε ε p

p

q

q

p

q

p

q

p

q

2 0

(B) [yn ] es el inverso de [xn ]. Para probar que [xn yn ] = [1] vamos a demostrar que l´ımn (xn yn − 1) = 0. Si n ≥ n0 tenemos que xn yn − 1 = xn xn−1 − 1 = 0, es decir, (xn yn )n∞=1 es la sucesi´ sucesion o´ n constante 1 a partir del t ermino e´ rmino n0 . El resto de propiedades propiedades de cuerpo son de comprobaci´ comprobación on inmediata. Diremos que un elemento x = [xn ] ∈ R es positivo si existe un racional ε0 > 0 y un n´ numero u´ mero n0 ∈ N tales que si n ≥ n0 se verifica xn > ε0 ; en este caso escribiremos x > 0. Esta definicion o´ n no depende del representante elegido; en  efecto, si [xn ] = x es otro representant representantee de x y consideramos ε0 > 0, existe m0 ,  que podemos tomar m0 > n0 , tal que si n > m0 entonces |xn − xn | < ε0 /2, de donde se deduce que

xn = xn − (xn − xn ) > ε0 −

ε0 = ε0 , 2

con lo que queda clara la independencia del representante elegido. OCW-Universidad de MurciaPedro MurciaPedro Jos


178

Proposici´ Proposicion o´ n B.0.14. R es un cuerpo totalmente ordenado. ´ . D EMOSTRACI ON Dados x, y ∈ R, definimos la siguiente siguiente relaci´ relacion: o´ n:

x≤y

si, y solo o´ lo si,

x − y ≥ 0,

entendiendo entendiendo que “x − y ≥ 0” si x − y es positivo positivo o 0. Veamos que es una relación on de orden total. En primer lugar, es claramente reflexiva. En cuanto a la antisimetr´ıa, ıa, si x ≤ y e y ≤ x, podemos suponer que habr´ıa ıa x − y > 0, pues si x − y = 0, entonces x = y (por ser R un cuerpo) y no habr´ nada que probar. probar. Entonces Entonces existe existe ε0 > 0 y n0 tales que si n ≥ n0 , se tiene que Analogamente, a´ logamente, si suponemos y − x > 0, existe ε0 > 0 racional y xn − yn > ε0 . An´ tomamos ε0 = m´ın{ε0 , ε0 } n0 tales que si n ≥ n0 se tiene que yn − xn > ε0 . Si tomamos y n ≥ m´ verifican ambas desigualdades desigualdades a la vez, es decir ax ax{n0 , n0 }, se verifican

xn − yn > ε0

e

yn − xn > ε0 ,

y la segunda desigualdad es equivalente a xn − yn < −ε0 , lo cual es una contradicci´ tradiccion, o´ n, con lo que tendremos tendremos x = y . Tambi´ Tambien e´ n satisface la propiedad transitiva; supongamos x ≤ y e y ≤ z . Si x = y no hay nada que probar y lo mismo sucede si y = z , de modo que supongamos que y − x > 0 y que z − y > 0. Entonces existen ε0 > 0 racional y n0 tales que n ≥ n0 implica yn − xn > ε 0

y

existen ε0 > 0 racional y n0 tales que n ≥ n0 implica zn − yn > ε 0 ; si, como en el caso anterior tomamos ε0 /2 = m´ın{ε0 , ε0 } y n ≥ m´ ax ax{n0 , n0 } se verifican ambas desigualdades a la vez y tendremos

zn − xn = zn − yn + yn − xn >

ε0 ε0 + = ε0 , 2 2

con lo que z − y > 0 y por tanto x ≤ z . Solo o´ lo nos resta demostrar que el orden es total, es decir, que si x, y ∈ R entonces bien x ≤ y , bien y ≤ x. Si uno de ellos es 0 o son iguales, no hay nada que probar. Supongamos entonces que x e y son distintos y ninguno de ellos es 0. Si  [0] y (xn − yn )n∞=1 es una sucesion o´ n x = [xn ] e y = [yn ], se tiene que [yn − xn ] = de Cauchy que no converge a 0. Por el Lema B.0.12 se tiene que bien x ≤ y, bien termina la demostraci demostración o´ n de la proposici´ proposicion. o´ n. y ≤ x. Con lo que termina numeros racionales es isomorProposici´ Proposicion o´ n B.0.15. El cuerpo ordenado Q de los n´ ´ fo a un subcuerpo de R. Es decir, existe un subcuerpo R ⊂ R y una aplicaci´ on f : Q −→ R que verifica: Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


179


(a) f es biyectiva. (b) f ( f ( p + q ) = f ( f ( p) p) + f ( f (q ) para todo p, q ∈ Q. (b) f ( f ( pq ) = f ( f ( p) p)f ( f (q ) para todo p, q ∈ Q. (d) Si p ≤ q , entonces f ( f (q ) ≤ f ( f (q ). ´ . D EMOSTRACI ON Si tomamos R el subconjunto de R formado por los elementos que tienen por representan representantes tes a sucesiones sucesiones constantes, es f acil a´ cil ver que es un subcuerpo. De modo que definimos f : Q −→ R como f ( on constante p; es f ( p) p) = ( p) p) la sucesión inmediato probar que f es biyectiva. La demostracion o´ n del resto de propiedades propiedades se reduce a una mera comprobaci on. o´ n. Veamos, por ejemplo, la propiedad (d). Si p ≤ q tenemos que bien p = q , y no hay nada que probar, probar, bien q − p es positivo; en este caso, las sucesi´ sucesion o´ n constante constante f ( tambien e´ n es positiva, lo que implica que f (q ) − f ( f ( p) p) tambi´ f ( f ( p) p) ≤ f ( f (q ). A partir de aqu´ aqu´ı podemos identificar Q con el subcuerpo R. Tambi´ Tambien e´ n podemos definir el valor absoluto como

|x| =



x −x

si x ≥ 0 si x < 0

Se comprueban, también en fácilmente, acilmente, las propiedades conocidas del valor absoluto y que (R, | |) es un espacio métrico. etrico. Antes de demostrar que se trata de un espacio metrico e´ trico completo, veamos dos resultados interesantes.

Proposici´ Proposicion o´ n B.0.16. B.0.16. Sean x, y ∈ R tales que x < y. Entonces existe q ∈ Q de manera que x < q < y . ´ . D EMOSTRACI ON Sean x = [xn ] e y = [yn ]. Como x < y , existen un racional ε > 0 y un natural natural n0 tales que si n ≥ n0 se cumple que yn − xn > ε . ∞ ∞ Por otra parte, las sucesiones (xn )n e (yn )n son de Cauchy, por lo que existe =1 =1 m0 ≥ n0 (que podemos tomar el mismo para las dos), tal que si m, n ≥ m0 , se cumplen las desigualdades:

ε 4

y

ε |yn − ym | < , 4

ε ε < xn < xm + 4 4

y

ym −

|xn − xm | < 0

0

que es equivalente a

xm − 0

0


0

ε ε < y n < ym + . 4 4 0


180 Tomemos q = 12 xm0 +ym0 y veam veamos os que que este este raci raciona onall veri verific ficaa la tesis tesis del del teor teorem ema. a. Si n ≥ m0 se verifica

1 1 ε q − xn = xm + ym − xn > xm + ym − xm − 2 2 4 0

0

0

0

0

1 ε ε ε ε = (ym − xm ) − > − = , 2 4 2 4 4 lo que significa que [xn ] < [q ]. De forma análoga aloga se comprueba que si n ≥ m0 entonces yn − q > ε/4 ε/4, con lo que [q ] < [yn ]. 0

0

Proposici´ Proposicion o´ n B.0.17. Se verifican: ∞ (a) Toda sucesi´ on (xn )n de Cauchy en Q es convergente en R y su l´ımite ımite es =1 precisamente x = [xn ] , , es decir, decir, la clase de equivalencia determinada por ∞ (xn )n=1.

(b) Q es denso en R. ´ . D EMOSTRACI ON (a) Tenemos que demostrar que para todo número umero real ε > 0 existe n0 tal que si n ≥ n0 , entonces |xn − x| < ε. Según la Proposición on B.0.16, existe un racional ε > 0 cumpliendo 0 < 2ε < ε. ∞ Como (xn )n es de Cauchy en Q, existe n0 tal que si m, n ≥ n0 se cumple =1 |xn − xm | < ε , lo que es equivalente a que −ε < xn − xm < ε para todo n, m ≥ n0 . Tomemos k ≥ n0 fijo. Entonces si m ≥ n0 podemos escribir

2ε − (xk − xm ) > 2ε − ε = ε , lo que significa que los numeros u´ meros reales [xk − xm ] = [xk ] − [xm ] y [2ε [2ε ] cumplen (se entie entiende nde que, que, al habe haberr fijad fijado o k , (xk ) representa [xk −xm ] = [xk ] − [xm ] < [2ε [2ε ] (se la sucesi´ sucesion o´ n constante con todos sus t´ terminos e´ rminos iguales a xk y [xm ] es la clase de ∞ ∞ equivalencia de (xn )n=1, ya que (xm ) representa la sucesi on o´ n (xn )n a partir del =1 termino e´ rmino n0 ). Por tanto, [xk − xm ] = [xk ] − [xm ] es un representante del n umero u´ mero  real xk − x, y as´ı tenemos xk − x < 2ε . Teniendo en cuenta que esto se puede hacer para todo k ≥ n0 concluimos que

xn − x < 2ε < ε, para todo n ≥ n0 . De nuevo fijando k ≥ n0 y tomando m ≥ n0 obtenemos que

2ε − (xm − xk ) > 2ε − ε = ε , y con un razonamiento razonamiento similar al anterior se concluye que

x − xn < 2ε < ε, para todo n ≥ n0 , Topolog´ıa Topolog´ ıa de Espacios M´ MetricosPedro e´ tricosPedro Jos


181


lo que significa que

|xn − x| < ε para todo n ≥ n0 , y concluye la demostración. on. ∞ (b) Segun u´ n el apartado (a) anterior, para todo x = [xn ] ∈ R, la sucesion o´ n (xn )n es =1 de Cauchy en Q y converge a x, con lo que tenemos que x es un punto adherente adherente a Q. Por tanto, Q es denso (Q = R).

metrico completo. Teorema B.0.18. (R, | |) es un espacio m´ ´

´ . D EMOSTRACI ON ∞ Sea (xn )n una sucesi´ sucesion o´ n de Cauchy en R. Entonces para todo real ε > 0, existe =1 n0 tal que si n, m ≥ n0 se tiene que |xn − xm | < ε/3 ε/3. Observemos que podemos tomar n0 > 3/ε para que se cumpla 1/n < ε/3 ε/3 y 1/m < ε/3 ε/3.

Por otra parte, para cada n ∈ N se tiene xn < xn + 1/n un la 1 /n de modo que, según Proposición B.0.16, existe un racional q n tal que xn < q n < xn + 1/n, con lo ∞ que tenemos definida una sucesi on o´ n (xn )n q que es de Cauchy en Q. En efecto, =1 si n, m ≥ n0 tenemos

|q n − q m | ≤ |q n − xm | + |xm − xn | + |xn − q n | <

1 ε 1 ε ε ε + + < + + = ε. m 3 n 3 3 3

∞ Entonces Entonces la Proposici´ Proposición on B.0.17 asegura que (xn )n on de Cauchy q es una sucesión =1 ∞ en R que converge a x = [q n ]. Vamos a probar que la sucesión on (xn )n también en =1  tiene por l´ l´ımite ımite a x. Como l´ımn q n = x, para todo ε > 0 real existe m0 (de nuevo lo podemos tomar m0 > 2/ε ) tal que si n > m0 se cumple que |q n − x| < ε /2. Entonces tomando n > m0 podemos poner

1 ε ε ε |xn − x| ≤ |xn − q n | + |q n − x| < + < + = ε , n 2 2 2 y, por tanto, l´ımn xn = x.



182



Topologia-Pedro Jose Herrero Piñeyro

Recommend Documents