SESIÓN N° 06: PROBABILIDADES RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I.
Noción de probabilidad. Antes de establecer una noción de probabilidad definiremos: experimento, espacio muestral y evento o suceso. a) Experimento Es todo proceso aleatorio (proceso de elección al azar), de modo que en su realización existe un conjunto de posibilidades en la ocurrencia del resultado. Por ejemplo, el lanzamiento de un dado, el lanzamiento de una moneda, etc. b) Espacio Muestral (Ω) Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento dado. Todo espacio muestral está asociado a un experimento, por tanto, hablaremos de espacio muestral asociado a un experimento, experimento, en vez de espacio muestral simplemente. Ejemplos: Lanzamiento de un dado. Lanzamiento de una moneda
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c) Evento o Suceso Es un subconjunto de un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, generalmente el evento o suceso estará formado por las posibilidades que se esperan que ocurran. Por ejemplo, en el experimento del lanzamiento de un dado, todas las posibilidades de que pueda salir un número par constituyen un evento. Los eventos se denotan con la letras mayúsculas del abecedario: A, B, C, D, etc. Ejemplos ilustrativos. Experimento: Rodamiento de un dado correcto y se observa el número que aparece en la cara superior. Espacio muestral: * Evento: Obtener número par. A= {2; 4; 6}
Experimento: Espacio muestral: Evento:
Arrojar
dos monedas y observar superior de la moneda.
la parte
* Obtener dos caras. B= {cc}
Probabilidad La palabra probabilidad indica la posibilidad cuantificada de que ocurra un evento o suceso considerado dentro de un espacio muestral. Es decir, que dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es y X es evento. Entonces la probabilidad de que ocurra el evento X está dado por:
Son aquellos cuya probabilidad que ocurra o no ocurran no está relacionada con ningún otro suceso. Cuando ocurren 2 ó más sucesos simples. Se clasifican en: Sucesos Mutuamente Excluyentes: Dos sucesos M y N son mutuamente excluyentes cuando no suceden a la mism mismaa vez vez,, es es dec deciir: M N= 1
Prof. Luis Miguel Ramos Villalobos
SESIÓN N° 06: PROBABILIDADES RAZONAMIENTO MATEMÁTICO M y N son mutuamente excluyentes si: P (M N )=P (M )+P(N ) *La probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado es un ejemplo de dos sucesos mutuamente excluyentes, pues al obtener el 2, el 5 no puede aparecer y viceversa. Propiedad. mutuamente excluyentes cuyas probabilidades son Dados “n” sucesosPropiedad:
… , donde M= … . Entonces la probabilidad de que ocurra M es: + + ⋯ +
Sucesos Independientes: Dos eventos M y N son independientes si la probabilidad de la ocurrencia de N no se ve afectada por la ocurrencia de M; es decir:
( ) Ejemplo: El obtener sello al tirar una moneda o un 3 al tirar un dado son sucesos independientes pues la ocurrencia de un 3 no es afectado por la aparición de cara o sello en la moneda. Propiedad: Sean “M” sucesos independientes con probabilidades … . La probabilidad P(M) que ocurra simultáneamente se representa por la fórmula: …
Sucesos dependientes: Un suceso compuesto es dependiente cuando la probabilidad de la ocurrencia de alguno de los sucesos afecta la ocurrencia de los otros. Ejemplo: Se tiene un depósito con 8 bolas de billar enumerados del 1 al 8,
la probabilidad de sacar una bola con número par se representa así: Si se intenta una segunda extracción, la probabilidad será:
Observamos que la segunda probabilidad depende de la primera extracción. Por lo tanto será:
Sea Ω el espacio muestral, M y N los sucesos. P(M): probabilidad de ocurrencia de M. Se cumple: 1. 2. 3. 4. Si
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Prof. Luis Miguel Ramos Villalobos
