_Temas Selectos - Funciones.pdf

FUNCIONES Autores

: César Fernando Velásquez Michue Arturo Ángel Fernández Salazar

©

Titular de la laobra : Asociació n Fondo de Investigadores y Editores Editores Editor

: Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Diseño gráfico gráfico

: Área de cómputo y publicaciones de la Asociación Asociación Fondo de Investigadores y Editores

© Asociación Fondo de investigadores v Editores Av. Av. Alfonso Ugarte Ugarte N.° 14 26 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 332-3786 Para su sello sello ed itorial Lumbreras Editores Página Página we b: www.elumbreras.com.pe Primera edición: febrero de 2012 Tiraje: 10 000 ejemplares ISBN: 978-612-307-093-9 Registr Registro o del proyecto editorial N.° 31501 0511 0086 2 "Hecho el depósito legal en ia Biblioteca Nacional del Perú" N.° 2012-00626 2012-00626 Prohibida su reproducción total o parcial Derechos reservados D. LEG. N.° 822 Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de febrero de 2012 Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú. Teléfono: 336-5889

índice . j *

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" » P R ES E S EEN N T A CI CIÓ N

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*M INTRODUCCIÓN

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"■ FUNCIONES Conocimientos previos Par ordenado Producto cartesiano Plano cartesiano Relaciones Funciones Definición de una función Dominio Dominio y rango rango de una fu n c ió n Regla de c o rre rr e s p o n d e n c ia..... ia ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .......... ....... Función Función real real de variable variable r e a l Cálculo del dominio y el rango de una función Gráfica Gráfica de de una fun ció n Funci Funcione oness e lem entales Func Funció iónn co ns tan te Función escalón esca lón unitario unit ario (|aQ) Función Función signo signo (sg n) *....... Func Función ión máximo máximo e n te ro Función identidad Funci Función ón valor ab solu to .................... Funci Función ón raíz raíz cua dra da Función inverso multiplicativo Funci Funcione oness po linom iales

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Funci Función ón lin e al Funci Función ón cua drá tica Función cúbica

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7 9

11 11 12 13 14 16 17 19 20 22 23 25 27 27 28 30 31 33 34 35 37 38 38 39 42

Propiedades sobre el trazado de grá ficas Por desplazamiento ho rizon tal

...................................................................................

................................................................................................

Por desplazam iento v e rti ca l....................................................................................................... Por doble desplazam iento Por reflexión Álgebra de funciones Igualdad de funciones Unión de fun cion es Adición de funciones Sustracción de fun cion es Multiplicación de fu ncio nes....................................................................................................... División de fu nc ion es Potenciación de fun cio ne s ¡ Composición de fun cio ne s Algunas funciones esp ecia les Función par Función im p ar Función periódic a.............................................................................................................................. Funciones mon ótona s Función inv e rsa Función inyectivaFunción suryectiva............................................................................................................................ Función biyectiva Inversa de una función Algunas funciones trasce nd ente s Función exponencial Función log arítmic a

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PROBLEMAS RESUELTOS Nivel básico Nivel interm ed io Nivel avanzado

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45 45 45 48 48 48 49 49 49 50 50 52 55 55 55 55 58 60 60 63 64 65 69 69 73

76 94 136

l i P RO B LE M A S P RO P UE ST O S Nivel básico Nivel intermedio Nivel avanzado

160 169 181

l l CLAVES

189

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BIBLIOGRAFÍA

h

44 44

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190

P r e s e n t a c i ó n

La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Funciones, pe rtenec iente a una nueva serie de tem as escogidos don de se realza el valor ana lítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. La nueva Colección Tema s Selectos se caracteriza por brindar a los alum nos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus co nocimientos en tem as específicos en ¡os cursos de m atemá ticas, ciencias na turales y razonam iento matem ático. De esta forma, Lumbreras Editores abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoq ue didáctico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profundización y an álisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu trida colección q ue permita m ante ner el recono cimiento y la confianza de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha signi ficado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales de prim er nivei, cuyo esfuerzo es un apoyo fundam ental a nuestro anhelo de una, educación científica y humanística integral, En este proceso, deseamos reconocer la labor de los profesores César Velásquez Michue y Arturo Fer nández Salazar, de la plana de Álgebra de las acade mias Adu ni y César Valle jo , por su la bor en la elabora ción del pre se nte m ate rial, gra cias a su valio sa trayectoria en la enseñanza preuniversitaria.

Asociación Fondo de Investigadores y Editores

FUNCIONES

lll CONOCIMIENTOS PREVIOS

Antes de iniciar el estudio de las funciones recordarem os brevem ente la definición de par ordenado, producto cartesiano, plano cartesiano y relación binarla. PAR ORDENADO El par ordenado es un conjunto que consta de dos elementos cualesquiera con un orden definido, los cuales son denominados componentes. Se denota de la siguiente manera.

primera comíiponente— '

I— segunda componente

Ejemplos De los pares ordenados (-2 ; 5); ( # ;

) y (Eva; José) se sabe lo siguiente:

•

Las primeras componentes son - 2 ; # y Eva.

•

Las segunda s com ponen tes son 5; -m. ^/ y José.

Teorema Igualdad de pares ordenados Dos pares orde nados son iguales si y solo si sus p rimeras y segundas com pone ntes son iguales entre sí, respectivamente. (a; b) = (c; d) a = c y b = d Ejemplos SI (2; 6) = (a; b) <-> o = 2 y b = 6. SI (- 1 ; m )= (n ; V 3 )

n=-l y 11

LUMBRERAS EDITORES

APLICACIÓN 1 Si los pares ordenados (5 ; x 2- 4 ) y (y + 1; 12) son iguales, calcule el me nor valor de x+ y . Resolución Por dato Í5 ; x 2- 4 ) = ( y + l ; 1 2 ) x=~4).

5 = y + l a x 2- 4 = 1 2

o

y = 4 a x 2 = 16 + + y = 4 a ( x = 4 v

Por lo tanto , el menor valor de x + y es cero. Teorema Sean a y b diferentes, la conmutatlvldad no se cumple con los pares ordenados, o sea (o; b ) * ( b ; a). PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano de los conjuñtos no vacíos A y B, denotados por A x B , e s el conjunto de to dos los pares ordenados, cuyas*primeras comp onentes pertenecen a A y las segundas comp onentes pertenecen a B. . ^ , Simbólicamente Dados

y Btfcfy: A x B = {( a ; b)/a e A y b e B}

Ejemplos Se tienen los conjuntos 4 = { - l; 0; 5} y B ~ { 2 ; 4}. I.

Para hallar A x B utilicemos el diagrama de Venn.

2. También hallemos 6 x 4 utilizando el diagra ma de Venn.

A x 8 = {( - 1; 2), {- 1 ; 4), (0; 2), (0; 4), {5; 2), (5; 4)}

/. 6 xA = {(2 ; -1 ), (2; 0), (2; 5), (4; -1 ), {4; 0), (4; 5)}

Nota

.........

-...... —

.................

—

-

-....... -...... ........

..... ............

De los ejem plos 1 y 2 podemos n otar q ue el producto cartes iano no es c on m ut ativ o, e s de cir A x S ^ S x A

.

FU NC ION I1.

APLICACIÓN 2 Dados los conjunto s A = {x e Z / - l< x < 2 } y B = { a ; b ; c } , halle A x B .

Resolución Por dato A tiene elem ent os enteros y es de la form a A = {0; 1}. Luego, utilizando el diagrama de Vciui se tien e lo siguiente.

A x B = { ( 0 ; a) , (0; b) , {0; c), (1; a) , (1; b), (1; c)} Se observa que A tiene 2 elementos, B tiene 3 ele mentos y A x B tiene 6 elementos.

Propiedades SI A y B son conjuntos no vacíos se cum ple lo siguiente

Observación

I. A x B ^ B x A II. A x B = B x A si y solo s ( a = b )

n{A): se lee número de elementos de A.

III. n{ A x B ) = n{A)^n(B)

PLANO CARTESIANO

El conjunto denotado por^R3>=R x R = {(x; y)/x..e R a y¿§_R}se denomina plano cartesiano, cuya

representación geométrica es Y Además yo

i 0

-- 1 p ii ii ii ii i xo

X

•

Y es el eje de orde nada s y X es el eje de abs cisas,

•

Los ejes X e Vse Interceptan perpendicularmnn te en el punto 0 = (0; 0): origen de coord enadas.

•

El punto P = (x Q; y0) tiene co orden adas de abscisa x a y- ordenada y0.

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APLICACIÓN 3

APLICACIÓN 4

D ad os lo s c o nju n to s A = { x e Z / - l < x < 2 } y

Dados los conjunto s

H -{x e Z / (x |< 3 }, halle gráficamente el pro ducto cartesiano ^ íxB)

A = {x e R / - 2 < x < 3 } y B = {y e R / 2 < y< 4} halle gráficamen te el producto cartesiano A x B.

Resolución Los conjuntos tienen elementos enteros y son finitos, pues x e Z. A = {0; 1} y B = { - 2; - 1 ; 0; 1; 2} Ahora ubicamos los elemen tos de A sobre el eje X y los elem entos de 8 sobre el eje Y.

Resolución Como los conjuntos A y 8 no son finitos, su producto cartesiano A x B tampoco es finito y para obtenerlo ubicamos los elementos de A sobre el eje X y los elementos de 8 sobre el eje Y.

Y 4 Jx;y)

-AxB 2

2

A x 8 = {( 0 ;- 2 ), (0; - 1 )}, (0; 0), (0; 1), (0; 2), ( 1 ; - 2 ) , ( 1 ; - 1 ) , ( 1; 0 ) , ( 1; 1), (1 ; 2 )}

3

X

Nótese que A x B es rectángulo incluido en R 2 y cuyos bordes son discontinuos debido a que x no llega a s e r- 2 , ni y llega a ser 4.

RELACIONES Dados dos conjuntos A y 8 no vacíos, se deno minará relación R de A en 8’ a todo subconjunto del producto cartes¡an o(¿4x ^

Simbólicamente R es una relación de A en 8

RaAxB

FUNCIONI

wT Ejemplos

APLICACIÓN 6

Dados los conjuntos A = {1; 3; 5 } y B = { 0; 2},

Halle la relación R con elementos de las com ponentes enteras no negativas, cuya suma Inferio r a cinco.

cuyo producto ca rtesiano es A x S = {( l; 0), (1; 2), (3; 0), (3; 2), (5; 0), (5; 2)} se tiene

Resolución

R l= {( l; 0), (1; 2), (3; 2)}

Según los datos se tiene

R2={(1; 2), (3; 0), (5; 0), (5; 2)} /?3= {(1 ; 0), (5 ; 2)}

R = {(x ; y) g Z + x Z + ¡ x + y < 5} 1 ! 1 1 1 2 2 3

fl4=
Son relaciones de A en B.

R={(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), {2; 2), (3; 1))

p c

Nota fi:A - )B v

1 2 3 1 2 1

A —^->6

Se lee relación R de A en B.

APLICACIÓN 7 Si A={2011; 2012}, cite todas las relaciones do A en A que presentan solo dos elementos.

APLICACIÓN 5

Resolución

Dados los conjuntos A = { 2; 3; 4} y B = { 3; 2; 7},

Hallemos A x A = A 2, m ediante el diagrama do Venn.

halle la re lación ft: A —>B, cuya suma de compo nentes de sus elementos sea par.

Resolución Utilicemos el diagrama.de Venn para relacionar los elementos de A con los elementos de B se

A 2 = {(2011 ; 2 011}, (2011; 2 012 ), (2012 ; 2011), ( 2 0 1 2 ;

gún la condición d ada.

2 0 1 2 ))

Luego, citemos las relaciones R: A —>A que tio lien solo dos elementos. R 2 ^ 3< 4 4

^ B l~ 3 >2 V 7

fí1={(2011; 2011), (2011; 2012)} fí2= {{ 2011; 2011), (2012; 2011)} /?3 = {( 2 0 1 1 ; 2 0 1 1 ), ( 2 0 1 2 ; 2 0 1 2 )} /?4 = { ( 2011 ; 2012 ), ( 2012 ; 2011 )}

F?5={(2011; 2012), (2012; 2012)}

R={(2; 2), (3; 3), (3; 7), (4; 2)}

Rg = {(2012; 2011), (2012; 2012)}

Lu m b r e r a s E d i t o r e s

(fii| FUNDONES ____________

_____________________________________________________________________________

Antes de plantear una definición formal de una función, veamos dos ejemplos de relaciones, que nos permitirán tener una ¡dea más clara de lo que son las funciones como un tipo de relaciones especiales.

Ejemplos 1.

Si A es un conjunto que tiene como elementos a tres apellidos paternos de personas y B es un conjunto que tiene por elem entos a cinco nombres de personas tal que

A = (Rojas, León, Ruiz} y 8 = {M ar ía, Lucía, Paolo, Mery, Alberto)

una de las formas de relacionar los elem entos de A con B m ediante el diagrama de Venn es

R

De donde R - {(Rojas; Paolo), (León; M aría), (León; Lucía), (León; M ery), (Ruiz; Alberto)}

En esta relación se observa que un elemento de A se puede relacionar con más de un eleme nto de 8, esto debido a que M aría, Lucía y Mery podrían se r herm ano s o tal vez primos o quizás sim plemente tienen el mismo apellido paterno.

Función i s 2.

Si A es un conjunto formado por cinco nombres y B es el conjunto formado por seis apellidos paternos tai que /4 ={L uis, Iván , J uan, Luz, Eva} y fi = {C ru z, Q uispe, Meza, Villa , Viza, Vargas} luego una forma de relacionar los elementos de A con B med iante el diagrama de Venn es

De donde H >={(Luis; Quispe), (Iván; Cruz), (Juan; Meza), (Luz; Viza), (Eva; Villa}}

I n esta relación se observa que a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo elemento ile B, ya que para cada nom bre de ,4 le corresponde un único apellido patern o de B. En este caso la i elación R de A en 8 se llamará función R á e A e n B.

tit FINICIÓN DE UNA FUNCIÓN I Mdos los conjuntos no vacíos A y B, la relación / de A en B es una función de A en B si para cada elemento x de A existe un único elemento y e B y (x; y) e /.

Notación

C

f : A —>6 o A —

>B

Además

Se lee :

• A es el conjunto de partida

f u n c i ó n / d e A en B

•

B e_s_e}conjunta rle.Ileg ad a


Ejemplos

1. Sean A = {- 2; 2; 3; 4} y fi= {0 ; 4; 5; 9; 16; 18}. Si le hacemos correspond er a cada eleme nto de A con su cuadrado que es elem ento de B mediante el diagrama de Venn se tiene

f e s funció n, ya que para cada elemento de A le correspon de un único elemento de B.

/ = { { - 2 ;4 ) , (2 ; 4), (3 ; 9), {4 ; 16)}

/ = {(4 ; 8), (5 ; 10), (7 ; 14)} es una función.

g = {[ 1; 6), (2; 7), (3; 7), (4; 7), (5 ; 8)}

es una función.

M ( 0 ; 2), (1; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 4)} es una relación pero no una función, pues para 2 e A le corresponde dos elem entos de B: el 3 y el 5.

FUNCIONI S

-......... -

...

...

-

-

-

......... ................................... ---- ----------

^ Nota

Toda fun ción es una relación, pero no toda relación es fun ción ,

j

Teorema La relación/: A —> B con (x; y) e / y (x; z) e f e s una función si y= z.

APLICACIÓN 8 SI el conjunto/={{3; 2), (x; 4), (3; x 2- 7 ) , (2; 5 )} es una función, calcule el valor de x.

Resolución Como (3; 2) e / , (3 ;x 2- 7 ) e / y f e s una función, entonces 2= x2- 7 —» x 2=9 de don dex= 3 v x=~ 3. S l x = 3 —> /= {(3 ; 2), (3 ; 4 ), (2 ; 5 )} no es un a fu nció n. S lx = - 3

—» /= {(3 ; 2), (-3 ; 4), (2; 5)} si es una función.

Por lo tanto, el valor de x e s - 3 .

DOMINIO Y RANG O DE UNA FUNCIÓN

Dominio de una función Ll dominio de una función/: A —» B es el conjunto formado por todas las primeras com ponentes de los pares que pertenecen aja función y se denota por Dom/o D¡. D o m / = {x e A/[x; y) e / y para cada x existe un único y e B}

Rango de una función Ll rango de u na función / : A —>B es el conjunto formado por todas las segundas comp onentes de los pares ordenado s que pertenec en a la función y se denota por Ran/ o-R j. R an /= {y e B/(x; y) e / y para cada y le corresponde al menos un x e A}

Lu m b r e r a s E ditores

Ejemplos

M { - 2; - 4 ), ( - 1 ;- 2 ), (0; 0), (1; 2), (2; 4)} D o m / = { - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2} R a n / = { - 4 ; - 2 ; 0; 2; 4 }

ff= {(2; 1), (1/2; 1), {0; 3), (- 1 ; 1), (5; 1)} Domg = {2; 1/2; 0; -1 ; 5} Rang={l;3}

REGLA DE CORRESPONDENCIA Está dada por un^fórmula matemática) la cual Indica la relación que existe entre los elementos del do m inio y el rango de la funcioné

En la función/: A —» B, si {x; y) e /, en tonces y= /(X)

Donde A\ conjunto de partida y Do m/= A B: c onjunto de llegada y R an /
rf

FUNCIONI s

..........

/¡emplos

El dominio de la función g son los valores d f x, es decir, Domg = {0; 1; 3; 4 ; 5} y para hallar

1. Para la fu n ció n /

el rango se evalúa los valore s del dominio rn la regla de correspondencia.

Como Q'(o)= 1 (0;l)eg S i x = l —> g (i) = 3 (1; 3 ) e g Si x = 3 -> g(3)=7

se observa que 1 l= / (o), l e s Imagen de 0 -» /(0) = ^ ^

—> (3; 7 | e g Si x = 4 -> g(4)=9

1/2=

1/2 es imagen de 1 —» ^{i)= Y ~ Y

—» (4; 9) e g Si x = 5 —^ 0 (5, = 11 (5; 11) g g

l/3=/(2); 1/3 es imagen de 2 -> /(2) = ^ ^ R an g = {l; 3; 7; 9; 11} y g=í(0; 1), (1; 3), (3; 7), {4; 9), (5; 11)}

l/4 = /(3 j; 1/4 es imagen de 3 ->

Observación

y - f(xy / e s im agen d e x

2.

f[x)=^^

Sea g una función cuya regla de correspon dencia es g(Xj = 2 x + l ; x e {0; 1; 3; 4; 5}

1. Toda func ión queda bien definida si.se cono cen su(gpm injj? y_su_regla de correspondencia. 2. No es lo m ism o /y /¡x,, p ue s/e s la función misma} mientras que/¡x, es la regla de correspondencia de/.

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FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Sea la función /: A —» B. Diremos que/es real de variable real gj.y solo,si todo elemento de A es nú mero real {A c ,R ). Así mismo, todo elemento de B es nú m ero real ( A c R ) , Ejemplos 1. La fu n ció n /: A —>B cuya regla de correspondencia e s/ (X)= x2 con A = {- 1 ; 0; 2; 3; 4} y 8 = {- 2 ; -1 /2 ; 0; 1; 4; 5; 9; 16; 17} es real de variable real, ya que A c R , B c R y para todo ele mento del dominio (A) su imagen está en B.

2. La función / : [2 ;+ «>)—» R j , tal que /(*) = V x - 2 es una función real de variable real, ya que D o m / = [ 2 ;+ o o ) c R

a R q c :R .

ü Observación 1. La siguiente represe ntació n de una función

x —> 2.

x-1 ------

x+1

Si la fu n ció n /tie n e por regla de corresponde ncia a /-^x); x e D o m / j /2 (x ); x e D o m / 2 entonces I. por ser función D o m /j/ n D om /2=(J) I!. D o m / = D o m / 1 u D o m / 2 III.

Ran /=Ra n/1 u Ran/2

(jcmplo L.i función f ^ = I negó (0 ; +=*) n

x2+ l; x> 0 2 x - l; x < - 2

equivale a

—2] = 4>.

Además Dom /=<-~ ; - 2 ] u <0; +°o}. '

i)

=

x 2 + lj x e { 0 ; + « ) 2 x -l; xe

-2]

Fu n c i o n a

APLICACIÓN 9 Sea la función h: R

R , t al q ue /i, , = J X

Nota

2x' X _ 1

' [ x+12; x < l

Calcule el v alo r de — — — . V4) Resolución De la regla de correspo nde ncia de h se tiene

La evaluación de los valore s de x s e realiza de acuerdo al doml nio de la func ión. Así por ejem  plo /?(_4) no se podría calcular reemplazando x= -4 en x2-2 x, ya que para este caso x> 1.

h{s) = 82- 2 x 8 = 4 8 ; h{2)= 22-2 x 2 = 0 ; h(_ 4)= —4H-12 = í , ^(8)+ ^(2) 4 8 + 0 l.uego ueeo — — — - -------- = 6 rt(-4)

CÁLCULO DEL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA FUNCIÓN En la fu n ció n /re al de variable real (/ : R —>R ), si (x; y), e f , su regla de corresp ond encia es y=f^y Luego tenemos que I.

Ha llar su dominio implica obten er todos los valore s reales de x para que la función esté bien definida en los reales. Ejemplos 1.

Qix ) = —~— 1"2, Q e xis te s ie m pre ( x —5 ) * 0 - + D o m g = { x e R / x - 5 1 x-5 o equivalentemente Domg = R - {5 }. •

0}= {x e R / x * 5}

2. SI/w = V x -2 ,/e xis te en R siempre q u e x -2 > 0 por el índice par del radical —» D o m / = { x e R / x - 2 > 0 } = { x e R /x > 2} o equivalentemente D om /=[2; +°°)

II. Halla r su rango Implica obten er todos los valores reales de y o /(xj a partir del dominio. Ejemplo Para hallar el rango de la fu n ció n /^ = 3 x- l; x e [-2 ; 2] Procedemos así -2 < x< 2

m u ltip lico p or 3

-6 < 3 x< 6

resto 1

-7<3x^l<5 ~ 7 < f [x) < 5 R a n / = [ - 7 ; 5]

Lu m b r e r a s Ed i t o r e s APLICACIÓN 10

Resolución

Se a/ una función real de variable real, tal que

3 5 Se parte del dominio, así - < x < - . 2

/(Xj = ^ 2 x - l + > /6 -3 x. In diq ue su dominio.

2

—» 3 < 2x < 5 —» 2< 2 x - l < 4 Resolución Como los índices de los radicales son pares, en tonces

1 1 ^ 1 „ 2 ^ 1 , .1 —>—> ^ — —>1 > > — —» 1 > Qfív-l - — 2 2 x-l 4 2 x —l 2 1X1 2 *(*)

/(x ) e R so lo si 2 x - l > 0 y 6 - 3 x > 0 -» x > l / 2 y 6 £ 3 x -> 2 > x > l / 2

Rang=

x > 1/2 y 2 > x

2

-> 1/2 < x < 2

D o m / = [ l / 2 ; 2]

APLICACION 13 Halle el rango de la función h que tiene por re

APLICACIÓN 11

gla de correspondencia a h ^ =

Halle el dominio de la función/: regla de correspondencia es

x+1

—» R , cuya

f[x) = V 6 + x - x 2 - \ l x 2 - 2 x - 5 0 1

Resolución •

Hallemo s el dom inio: Id función está defin i da solo s l x * 0.

fleso/uc/ón

—> Domh = { x e R / x * 0 } = R - {0 }

En este caso solo se tendrán en cuenta los radi cales de índice par, ya que si el índice es Impar la raíz existe en R cuand o el radicando es real (positivo, n egativo o cero). > / (xj e R si S + x - x ^ O —> x 2- x ~ 6 < 0

•

Hallemo s el rango a partir del dominio. C o m o x5*0 —> x < 0 v x > 0 1 „ 1 « — < 0 v —>0 X

X

> ( x~ 3 ) {x + 2 )< 0 - ¥ x e [-2; 3] 1 1 -> 1 + - < 1 V l + ~ >1 X

-2

D o m / = [ - 2 ; 3]

"(*)

X

hM

—> hi vi < 1 V V ) > 1

APLICACIÓN 12 Determine el rango de la función g, tal que 2

%

24

/3 5 ; x e (-; 2 x- l \2 2

: . Ran/i = ( - o o ; l) u ( l ;+ o o ) = R - { i } .

FUNCIONI

GRAFICA DE UNA FUNCION Una función f : A —> B real de variable real es un conjunto de pares ordenados de com ponen tes re.i les y puede por tanto considerarse como un conjunto de puntos en R 2, dichos puntos representan geo mé tricame nte a la fun ción . Luego, la gráfica de /d en o ta da por Gyes el conjunto de puntos de IR*' que representan a los pares ordenados (x, y) e /. Es decir

Ejemplos 1, La gráfica de la fu n ció n /= {(-3 ; - 2 ), ( - 1 ; 1), (2; 0), (4; 3), (5; 4)} es

2. Para graficar la func ión/, tal que /(X.j= 4 x -x ; x e (- 1 ; 4], cuyo dominio (D o m /= (-l; 4]) tiene infinitos eleme ntos, se debe tabu lar algunos valores de x e Do m / para obten er algunos puntos que nos den una pista de cómo será la gráfica d e/ .

X y = 4 x- x 2 puntos 0 0 (0; 0) 1 3 ( i ; 3) 2 4 (2; 4) 3 3 (3; 3) 4 0 (4; 0)

i#

4 3 2 1

ia gráfica de /de be pasar por los puntos ya ubicados en el plano

0 1 2 3 4 -1 2 -3 -4

X

tUMBRERAS EDITORES

Aho ra, al ubicar im aginariamen te todos los puntos que se obtendrían a partir del dom inio y u nir los, se obtendrá la gráfica aproximada d e / Así

Como D o m /= (- l; 4] el punto (- 1 ; -5 ) no pertenece a la gráfica y queda abierto,

teorema f.A

>B es una func ión real de variab le real si cua lqu ier recta vert ical corta a su gráfica

solo punto.

I jemplo s

g no es una función. {nótese que la recta vertical corta en tres puntos a Gg)

t Alculo del dominio y rango a partir de la gráfica •

I .) proyección de la gráfica de la fu nció n/sob re el eje X determina su dominio.

•

I .i proyección de la gráfica de la fu nció n/sob re el eje ^de term ina su rango.

en un

FUNCIONl S

I ¡emplos Y

I, En la gráfica de la fu n ció n / se observa que Dom/= [-3 ; 6) R a n /= [ - 4 ; 4 )

X

4

i , De la siguien te gráfica de la función g se observa que Domg' = [-8 ; 3) u-(3; + °°)= [-8 ; + °° )-{3 } i

Rang = [- 4 ; 0) U [1; +®=)

8

-4-

(V l FUNCIONES ELEMENTALES _________________

_____________________________________________________

Existen un conjunto de funciones que consideramos como elementales por las características que presentan, sin embargo, serán la base para poder estudiar muchas otras funciones.

FUNCIÓN CONSTANTE Una fun ció n/ : X —> / e s co nstante porque para toda preimagen se tiene una única imagen. Asi

/

•

Regla de corresp ond encia:/(x)=c; c e R ,

•

D o m / = {x 1; x 2; x 3; x 4; x „ } c : R y Ran/={c}

11 n

mui i>» I | n ii m i1

%

.

*

U M U ( i, •

l ; 3 U 0 ; 3 ) ,( l; 3 U 2 ; 3 ) , ( 5 ; 3 »

l.D , I; 2; 5} y Ran/={3}

• ii .(til rt

Y

-2-1

0 1 2

5

X

1 I n la función/cuya regla de correspondencia e s/(x)= 5 ;x e (- 5 ; 20] •

l )o m / ~ ( - 5 ; 2 0] y R a n / = { 5 }

•

Gráfica Y 5

»i i t

ii ii 20

-5

i

X

i n general, la función constante tiene las siguien tes carac terística s: •

Regla de corre spo nd en c¡a/(X) = c; c e R .

•

Do m /=R y Ran/={c}

•

Gráfica Y

Y c 0

c>0 0

I UNCIÓN ESCALÓN UNITARIO •

Regla de corres pon den cia JO; x < a A , i = m0 m = | 1. x S b ; « r

•

H om /

R y Ra n/= {0;1}

X

c< 0 C

X

Funciones

*

•

Gidíka Y 1

«------

—

a

X

tjemplo ln lo fun ción /, tal qu e/{X)= |i3(x) que equivale a ÍO; /(x)=l^ 3M = j 1.

x<3 x> 3 , su gráfica es

Y 1 3

X

APLICACIÓN 14 I *boce la gráfica de la fun ción /(Xj = | i1(x2) y de term ine su d ominio y rango. Hrsolución La función dada es / w = i V * 2 H ,

0;

x <1

1;

x¿ > i

y equ ivale a X

<

— 1

V

X

> 1

/ ( x ) = ^ t x 2 ) = | ° ; - 1 <

X

< 1

Ahora su grá fica es Y 1

----------- ---

^

-1

“

■

mm

1

11

'» X

También Dom/=R y Ran/={0; 1}. 29

umbreras

E ditores

*

FUNCIÓN SIGNO (sgn) •

Regla de correspo nden cia

f(x) - s§n(x) -

-1;

x<0

0;

x =0

1;

x> 0

*

Dom/=(-©® ; 0 ) w {0 } u ( 0 ; + ° ° > = R y R a n / = { - l ; 0 ; / }

•

Gráfica

Y 1 0

* X

■c>

Ejemplo La función /(xj=sg n(x+ 2) equ ivale a -1; / w = sg n(x+ 2) = 0; 1;

Aho ra, su gráfica es

x+ 2< 0 x+ 2 = 0 -> x + 2> 0

[- 1 ;

x< -2

/(xj= sg h (x + 2) = >0;

x = -2

1;

x> -2

FUNCION!'.

FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO Antes de estud iar a la función m áximo entero, primero repasaremos b revem ente el máximo entero de un número. SI x i IR., su máxim o ente ro den otad o por [[xj es el mayo r de los en tero s que es m eno r o igual a x. / Jc m plo

|2,5j = 2; [ 2 ,5 ]: se lee máximo entero de 2,5. Interpretación geomé trica Sea x=2,5 en la recta numérica real. -3 -2 -1

0 1 (2) 3

4

J o

| mayor entero que no supera a x

(jeom étricam ente , el máximo entero [ x j e s el núm ero entero ubicado a la izquierda más próximo tic x, o que coincide con este, en caso de ser x un n úm ero entero. I ¡omplos

•

[2,751 = 2

•

[01 = 0 '

• [ —41 =—4

• [> ^ ] = 1

•

[1,991 = 1

•

[5 ] = 5

• [ - 3 ,0 2 ]= - 4

• [~^ ]=-2

Propiedades Sean x e R y n e Z ; entonces I

[x l e Z

í [ x ] = x <-> x e Z I. [ x ] = /i n < x < n + 1 4

[x+n]=[x]+n M Í= M

APLICACIÓN 15 Resuelva la ecuación [x - 5 l= 4 . Resolución Se aplicarán las propiedades (4) y (3). Así [ x - 5 ] = 4 O [x +{—5 )1 =4 O [ xl + ( -5 ) = 4 O [x] = 9 O 9 < x < 9 + l

.. CS = [9; 10)

l UMURI7RAS E d i t o r e s

Ahora definimos la función máximo en tero así •

Regla de co rresp on den cia /jx) = [[x]

•

Dom /=R y Ran/=Z

•

Para hallar su gráfica partimo s de /M = Hx] = n

n < x < n + l ; n e Z .

Citando valores para n se tiene -3 ; -2 ; -1; f [ x)= í x í = 0; 1; 2; 3;

-3< x< -2 -2< x< -l - l< x < 0 0 < x< l l
Luego, su gráfica es de la forma 4 3 2 1

-5 -4-3-2-1

0 1

2

-1

3

4

-2

-3 -4

APLICACIÓN 16 x —2

Halle el dominio de la función/, tal que f M = r-^ — . • (X) [ x ] + 2 Resolución Se sabe que/(x) e R. i v r o [ x j + 2®0

flx] + 2 * 0 .

M = -2

- 2 < x < -2+ l

x g [ - 2; - l )

l n lo nc es [ x ] + 2 * 0 <-> x g [ - 2 ; - 1 ) ; o sea x < - 2 v x > - l . Hnm f * (-« >; - 2 ) u [ - 1 ; + ° °)

5 X

^

Funciones

I UNCIÓN IDEN TIDAD •

Rpgla de correspo nde ncia f(X)=x v y= x; lo que implica que sus eleme ntos son de la form-i ( 2 ; - 2 ) , ( - 1 ; - 1 ), ( 0 ; 0 ), ( 1 / 2 ; 1 / 2 ), (^ 2 ;

•

Dom /=R y Ran/= R

•

Gráfica

— .............

-

...............

— ■■

4 l ) ,

( 2 0 0 ; 2 0 0 ), ...

•

O bservación

Si una función /tiene por regla de correspondencia a f{X)=-x v y = - x , sus elementos serán de la forma (3; -3 ), (2; - 2 ), (y¡2; - V 2 ), (-1 ; 1), (-4 ; 4 ),... Por con siguiente, su gráfica es

Se observa que el D o m /= R y el Ran /= R.

i¡iií!

I IIMI1UI MAS I DltOKES

I UNCIÓN VALOR ABS OLUTO •

Hi'gl.i de corre spo nde ncia /{ w

|x| = J X; -x;

X"° x<0

•

Uom/ - R y R a n / = R ¿ = [ 0 ; + « > }

•

Gráfica C o m o y - | * l —» ( y = x ; x > 0 ) v ( y = - x ;x < 0 ) .

I ij í 'K o, la gráfica d e /s e obtiene uniendo las gráficas anteriores . Así

I ¡rmp lo 1n l.i función g, tal queg(x)= - |x |, se observa que el Domg = R y el Ra ng =R o= (~°°; 0], lo que implit .i que su gráfica sea la siguiente.

F unciones

m

APLICACIÓN 17 Rsboce la gráfica de la función g, tal q ue
x= 3 (abscisa de! vértice)

Luego g(X)= 13 —3 1—1 = —1 (orde nad a del v értic e) F.ntonces,, el vértice es V = [ 3 ; - 1 ) . Aho ra, para te n er una pista más clara de la gráfica, se tabu la par.i obtene r dos puntos cuyas abscisas estén a la izquierda y a la derecha de la abscisa del vértice.

X 2 5

y = |X “ 3 | - l 0 1

FUNCIÓN RAÍZ CUADRAD A • •• •

Regla de corresponden cia /(X)= V * D o m / = R g y R a n /= R g Gráfica

puntos (2; 0} (5; 1)


Consecuencias 1.

•

Regla de cor resp on de ncia h ^ = - y f x

•

D om h = R j = [ 0 ; +«>)

•

Ran/i: co m ox > 0

•

Gráfica

h

\/ x > 0

- V x < 0 <-» Ran/) = {-«=; 0]

h

Y \

2.

'v

/7

•

Regla de corresp ond encia g ^ )= 4 ~ x

•

D o m g = {x € R / - x > 0 } = { x e R / x < 0 }= {-c o; 0]

•

R an g:co m o x< 0 f-> - x > 0

•

Gráfica

V^x > 0

X

Rang=[0;+»=)

APLICACIÓN 18 Esb oce la gráfica de la funció n y , tal que'V|/(xj =

>/jxí.

Resolución Redeflnlendo la función y se tiene [n / x;

V M = 1[ vI— -x;

x> 0

x<0

I uego, su gráfica es Y También se observa que el Dom\|/= R y el Ran \}/=R o= [0; +=») X

FUNCIONf S

IUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO •

Regla de correspo nde ncia /(x}=~

•

Do m /=]R-{0} y Ran /=-{0}

•

Gráfica

X

APLICACIÓN 19 Dibuje la gráfica aproximada de ía función g, tal que g M =

x+ 1 ------

x

.

Resolución Se tien e x+ 1 g( x ) ~ ~

x 1 > f fw _ x + x ^

1 ffW - 1 + x

Ahora, para obtener la gráfica de g bastaría aumentarle una unidad a las imágenes de la función 1

f {x)=—; es decir, la gráfica d e /s e desplaza vertica lm en te una unidad hacia arriba. Así X

Y

i

2 y=1 i ■ ‘W — -1 \ 2 o i

_1\i -2

1

l *


( % | F U N C IO N E S P O U N O M IA L E S

Son aquellas funciones cuya regla de correspondencia está asociada a un polinomio. Entre las prin cipales tenemo s

FUNCIÓN LINEAL •

Regla de correspondencia/(x)=m x+ 6; m * 0

•

Dominio: D om /= R

•

Gráfica:

a

Rango: Ran/=R

Su gráfica G yes una recta o blicua a la derech a si m > 0, y es oblicua a la izquierda si m < 0.

m > 0

O7<0

Tenga en cuenta que en cualqu ier caso ta n 6= m . Adem ás, para dibujar la gráfica de una función lineal basta u bicar dos puntos en el plano cartesian o y po r allí trazar una recta.

Ejemplos 1.

f [ x ) = X + 2

2. g(x) = l- 2 x

FUNCIONI

■

FUNCIÓN CUADRÁTICA •

Regla de correspo ndenc ¡a/(x)=a x2 + bx+ c; a ^ 0

•

Dominio: D o m /= R

•

Gráfica

^

, L ■= “

Su gráfica Gyes una parábola simé trica respecto a una recta vertica l (llamada eje de sim etría) que* pasa por el vértice de la parábola. Si a > 0 , la parábola abre hacia arriba: \ J . Si a< 0, la parábola abre hacia abajo: A . A continuación se mu estran las gráficas de las fu nc ion es/ ¡X)= x2 y g ^ = - x 2

Es importante tener en cuenta que y=/¡x)=ax2+bx+c; o#0 puede escribirse y = a (x - h )2+k, donde

(h; k) es el vértice de la parábola

Ejemplo Para dibujar la gráfica d e/ jX) = l+ 4 x - x 2 procede

Veáse también que

mos así

En la gráfica de/(X)=o x2+ bx+ c; a*Q

y =-'X 2+ 4 x + l= - ( x 2- 4 x + 4 - 4 ) + l y--(x-2)2+5 luego el vértice es V=(ir,k) = ( 2 ; 5) Como o = - l < 0 , entonces la parábola abre hacia abajo. Luego, la gráfica es

se cumple que V=(h] k)

I UMBRERAS EDITORES

Tenga en cuenta , Ejemplo 1

3^

Para la func¡ón/(xj= x2- x + l

Luego V -

Se tiene

Gráficamente n

h _ xi + x2 _ 1 2

k ~ f fi \ =

2

1 1 -------

2' 4

f f

+ 1

3 4

k=~

1

i1 4 2

X

2

APLICACIÓN 20 Seo q ^ ~ x 2 + b x + c una función cuadrática cuya gráfica adjuntam os. Calcule el valor de M =

a

a+c ~b~

X

Hrsolución l)n Id gráfica observamos que g ^ = x 2 + b x + c tiene dos raíces iguales x 1= x 2= a, luego Además, g(0)=c= 16 . I nlonce s ( x - a ) 2 = x 2 + b x + c —> x 1- 2 a x + a 2= x 2+ b x + c; a > 0 >b

-2a

a

c = a 2 —» a 2 = 16 ; a > 0

a

b - - 2 a -» a=4

a

b=~8

(x-a)2.

FUNCIONI S

Análisis de la gráfica de la función cuadrática Sea/(xj = ox2 + bx+ c; o * 0, de raíces x 1(x2 y discriminante A = b 2- 4 a c . La gráfica d e / e s una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del co eflclcntr principal de /(xj, como se observa en los siguientes casos.

Ejemplo Para dib uja r la gráfica de la fun ci ó n /(x) = 2x 2+

- 2 procedemos así

Factorizamos la función. / m = (2 x - 1 ) ( x + 2 )

Luego, hallemos las raíces. x+ 2 = 0 —» x 1= -2 1 2 x - 1 = 0 —> X j = 1 2 Como o = 2> 0, la gráfica e s una parábola que

hacia arriba y corta al eje X en x = - 2 y x =


FUNCIÓN CÚBICA •

Regla de co rre sp on de nc ia/ (X¡ = ax 3 + bx2 + cx+c /; a * 0

•

Dominio: D om /= R a Rango: Ran/=R

•

Gráfica Su gráfica G f e s una curva que corta al eje X al m enos en un punto, y al eje K en el punto (0; d). A con tinuación se m uestran las gráficas de las funciones /(X)= * 3 V

m Tensa

en cuenta

=—x3.

................................................. ....................................................

Para dib ujarla gráfica de la funciónf M = a x 3 + b x 2 + c x + d , a * 0 es conveniente hace r un cambio de variab le que permita reducir el térm ino cuad rático. Dicho cambio es x = t — —, con lo cual/(x>se trans form a e n /(t¡ = o(t3+pt+q')/ llama3o da función cúbica re ducida, y la gráfica de esta depende, del coeficie nte a y de (

V

(

la expresión A = — I +[ — 3

n2

2

Ejemplo Sea/(X)= - x 3 + 3x + 2 una función cúbica reducida. F.ictoricemos /(xj= - (x + l) 2(x -2 ) y obtengamos las raíces x 1= x2= - l; x3 = 2. Además,/(0j=2; luego, su gráfica es

Nótese que en x 1= x2= - l (raíz doble) La gráfica es tangen te al eje X.

FUNCION! 4

Análisis de la gráfica de la función cúb ica reducida ’. im /[x)--o(x3+ p x+ q );

una función cúbica reducid a de raíces: x 1( x 2, x 3. La gráfica de /d ep en d e \2

lt* u y la expresión A = | ^ | + — | , tal como se observa en los siguien tes casos.

2J

Nótese lo siguiente: •

Si A < 0, las raíces x lf x 2 y x3 son reales y diferentes.

•

Si A = 0 , las raíces x 1, x 2 y x 3 son reales con x 2= x3 y

•

Si A > 0, las raíces x v x 2 y x 3 son tales qu e x x es real y x 2, x3 no son reales, son com plejas Imagi narias conjugadas.

APLICACION 21 \ \ f ^ = x,3 - a x + b es una fundón cúbica tal como se muestra en la gráfica, x2 .ilcule el valo r de la expresión M =

IU‘solución De la gráfica mostrada ten em os

\3

+l7


FUNCIÓN POTENCIAL •

Regla de corre spon den cia /(xj= Jfnj n e Z + a n > 2.

•

Dominio: D o m /= R

•

Gráfica

,

. /

'

n par

n impar

(% [ PROPIEDADES SOBRE EL TRAZADO DE GRÁFICAS

Sea/una función con regla de correspondencia y=/(X)- A partir de la gráfica de f , construiremos la gráfica de otras funciones.

POR DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL Sea k > 0, tal que g(x)=/(x_*.¡ y h^=f^x+ky La gráfica de g se obtiene desplazando horizontalmente a la derecha la gráfica de /, m ientras que la gráfica de h se ob tiene de splazand o a la izquierda la gráfica de /, k unidades en cada caso. Así

FUNCIONIS

POR D ESPLAZAMIENTO VERTICAL Sea k > 0, tal que g[x)= f(x) + k y h{X)=f(x)~k- La gráfica de g se obtiene desplazando verticalmenle hacia arriba la gráfica d e /, m ientras que la gráfica de h se obtiene desplazando hacia abajo la gráfica de/, k unidades en cada caso. Así

^ M +k / 4 )

x

POR DOBLE DESPLAZAMIENTO Sean h y k positivos, tene m os los siguientes casos: •

9 { x )= f (x - h) + k

*

9(x)=f(x+b}+k

•

9(x)=/( x -/7)-í<

* 9(x)=f(x+h)~k

En el caso de Q(x)= f( x-h) + k su gfáfica se obtiene desplazando la gráfica de/, horizontalmente a la | dere cha h unidades y verticalmen te hacia arriba k unidades. Así

POR REFLEXION •

Sean 9(x)=~f[x) y fyx)=/(-x) c*os funciones reales de variable real. La gráfica de g se obtiene por reflexión de la gráfica d e /so b re el eje X, mientras que la gráfica de h se obtiene por reflexión de la gráfica de /so br e el eje Y. A sí


Sea g una función, tal que donde

Com o g(x¡ = |/(Xj | > 0, e nton ce s la gráfica de g se ubica en el semiplano superior (y > 0) del plano R 2, y se obtiene repitiendo la gráfica d e /c u a n d o /(X) > 0 y reflejando sob re el eje X la gráfica de /c u a n d o /{x) < 0. Así

Sea h una función tal que h(x)~f(\x\y donde

*{x)-/(x)-

*< 0

La gráfica de h es simétrica respecto al eje Y por ser una función par.

1

/!(

Funcioni s

*

APLICACIÓN 22

4.° grafiquemos /(x) =||x2- 4 x |- l|

f'kboce la gráfica de/. y

; w = llx2 - 4 x l - a |

llrsolución h-nemos que f {x] = ||( x - 2 )2 —4 ¡—1|. 2

4

Hallemos G^paso a paso. I.ü grafiquemos y = (x -2 )2-4 . Y

APLICACION 2 Esboce la grá :a de/(xj= x2- ¡x |+ l. Resolución Nótese que f { - x ) = ( - ^ ) 2 -

I'- *

I+ 1

IX I+ 1 =/(*)

—> f e s una función par. Luego, hallemos G fp ara x> 0. i , ° grafiquem os y= | (x —2)2—4 1.

i. ° grafiquemos y= | (x—2) - 4 1-1.

x > 0 : /¡X)= x 2- x + l = x —

IT 3 + 2 4

Como/es par reflejamos esta curva respecto al eje Y.


[ % | Á L G E B R A D E F U N C IO N E S

Es el conjunto de relacion es y operacione s que se realizan en tre dos o más func iones bien definidas. Entre ellas tenemos la igualdad, unión, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y composición de funciones. IGUALDAD DE FUNCIONES D ad as/ y g dos funciones bien definidas, diremos q u e /y g son iguales si tienen el mismo dominio y la misma regla de correspondencia.

Esdecir

f= g o

D o m / = D o m g a / (x) = g{x)

APLICACIÓN 24 Afirmamos que las fun c¡on es /y g, t ale s qu e /¡x j = V l - x 2 y g¡x ) = V l T x - V l - x , so n ¡g uales. En efecto •

Dom/=Domg D om inio d e / : l - x 2> 0 —» x 2 < l —> | x | < l -> - 1 < x < 1

->

D o m / = [ - l ; 1]

Dominio de g: ( l+ x > 0 — » - 1 <

x

< 1

—>

a

1 -

x

>0)

—» ( x > - l

a

x
D o m g = [ - l;l]

J { 1 + x ) [ 1 - x ) = t J i g [x) = V r + x - V Í - x = t

x 2

= f [ x)

UNIÓN DE FUNCIONES Una fun ción /pu ed e considerarse como una unión de funciones: f y f v h ' —>fns' est^ definida por tramos. / 1(x);

xeD o m /i

/2(x);

xe D o m /2

Es decir f(x)=-h(*)>

xeDom f3

fn{x}'

x e D o m /„

48

FUNCIONPl

l'or ejemplo, la función /e s tá definida por tramo s.

f \ x ) :

l-2senx;

x<0

Vx-1;

0
x - x+ 1 ;

x> l

Tenga en cuenta u D o m / j n D o m /2 n D o m /3 n ... n Dom/„=< D o m /1u D o r n / 2o D o m / 3 U .. .u D o m / n=DQHí/

ADICIÓN DEFUNCIONES / + g = { ( x ; (/ + g )(x )) / x € D o m / n Dom g} es la fu nción suma. •

Dom (/+g) = D o m /n Domg

•

( / + 9 ) W = / ( x )+ 9 (x )

SUSTRACCIÓN DE FUNCIONES f - g = { ( x ; ( / - g ) , x , ) / x e D o m / n D o m g } e s la fu nc ió n dife re nc ia . •

D o m ( / - g ) = D o m / n Do mg

•

{ / - á ) (x ) = / ( x ) - 0 ( x }

MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES /•£ = { ( * ; (/ •9 ')(x})/ X € D o m / n Dom g} e s la f unció n produ cto •

Dom (/-g) = D o m /n Domg

•

(f-9\x)=f{x)-9(x)

Multiplicación de un real por una función oc/ = { ( x ; ( a / ) M ) / x e D o m / a a s R } •

Do m (a/) = Do m/

•

( a / ) ( x ) = a - / (x)

I IJMliHERAS EDITORES

DIVISIÓN DE FUNCIONES \ t í x ; í r / x e (D o m / n D o m g ) ( X ) , / •

a

Dom — |= ( D o m / n D o m g } - {x e D o m g / g ()()= 0 }

I 9 J(x)

9{x)

POTENCIACIÓN DE FUNCIONES í ¡

/■/

/ ’ /■/■/ nfactores

•

Do m /n = Do m /

•

/"«i- [ / ( * ) ] " ; " ^ z +

I jrm plo Dadas las funcion es { ( l; l ) , ( 2 ; 0 U - l ;2 ) , ( 0 ; 4 ) , ( - 2 ; 3 ) }

/

A

g = {(l ; 2), (2; 3), (-2 ; 0), (3; 1)}

Hallemos las fu n cio n e s/+ g ;/-g ; —; 3f - g 2. 9 Resolución •

Dominio D o m / = { l ; 2; - 1 ; 0 ; - 2 } ; D o m g = { l; 2; - 2 ; 3} > D o m / n D o m g = {l; 2 ;- 2 }

•

Cálculo de f + g (/ + 9 ) (i )" / (i) + ff (i) = 1 + 2 = 3 - » ( l ; 3 ) e / + g

í/+ 9) (2 )=/(2)+ 9(2) = 0 + 3 = 3 h> ( 2 ; 3 ) G / + g (/+9 )(-2)=/(-2) + 9(-2) = 3 + 0 ~ 3 Luego/+g = {( l; 3), (2; 3), (- 2 ; 3)}

(~2; 3) G /+ g

FUNCION! S

Análogamente calculamos f - g ' , f - g ' , 9 f - g = { (

( 2 ; - 3 ) , ( - 2 ; 3 )}

f - g = { [ 1; 2), (2; 0 ), { - 2 ; 0 )}

/ 9

l(

(2 ;

0)

/ ( - 2 ) = 3

Nótese que — no está definida en x = - 2 , pues 9 9(-2) •

0

Cálculo de 3 /- g 2 ( 3 / - g 2) (1) = 3-/(1)- g (21) = 3 - l - 2 2 — l

(l;-l)e 3 / -g 2

( 3 / - g 2) (2) = 3 ./ (2)- g (22) = 3 - 0 - 3 2 = - 9

( 2 ;- 9 ) e 3 / - g 2

( 3 / - g 2) (_ 2) = 3 -/ ^ 2)- g 2„ 2) = 3 - 3 - 0 2 = 9

-»

(- 2 ;9 )e 3 / -g 2

L uego 3 / - g 2 = { ( l ; - 1 ) , ( 2; - 9 ) , ( - 2 ; 9 ) }.

APLICACIÓN 25

'.r*an las fun cion es/(Xj= x 2- x + l y g = {( l; 5), (2; 0), (—1; 3), (3; 4)}. lalcule «• (/2- 3 g ) (3)

b.

(3g 2- 2 / )(_ 1)

Resolución Nótese que | )o m / = R y D o m g = { l; 2 ; - 1 ; 3} - » D o m / n Domg = { l ; 2 ; - 1 ; 3}

«

(/2-3 g ) (3)=/23 r 3g(3)

b. ( 3 g 2- 2/)(„ 1}= 3g (2L1}- 2/{_ 1}

►( /2 —3 g ) (3, = ( 3 2 - 3 + l ) 2 - 3 ( 4 )

- » ( 3 g2 - 2 / ) (_ 1j = 3 (3 ) 2 - 2 ( l + 1 + 1}

* ( /2 - 3 g ) (3)= 7 2- 1 2 = 37

- > t 3g 2 -2 / ) {_ 1, = 2 7 - 2 ( 3 ) - 2 1


COMPO SICIÓN DE FUNCIONES S e a n / y g dos funcion es tales que

Domg

g

Rang Dom/

/

Ran/

Nótese que existe (al menos) un elemento en el dominio de g (x de que g¡xj € Dom /, entonces

e

Domg) con la característica

existe. Si reunimos todos los valore s x con esa propiedad, ten

dremos que Rang n Do m /^ (j). Luego, podemos con struir una nueva función h, tal que h : S —>R a n /, co n S c D om g Además ty*)=/(B(x)) A S - D o m h ~ { x / x e D o m g A g ( x ) e D o m / } h se denomina la composición de/con g, es denotada por h = f o g , y es leída: "/co m pu esto con g".

Definición S e a n / y g dos funciones bien definidas tales que Dom f r\ Rang^4». La función / o g se define así

•

D o m ( /o g ) = { x / x e D om g A g ( x)e D o m / }

Ejemplo Dadas las funcione s / . { ( - 2; 0), (-1; 4), (3; 1), (5; 2), ( 1 ; - 1 ) }

ff - -{(“ 2; - 1 ) , (0; 3), (1; 3), (2; 0), (4; 5)} hallemos las fun cio ne s/o g y g o f . 52

Fu n c i o n a

ttesolución •

Veamos si e xist e /o g D om /={-2; -1 ; 3; 5; 1}

Rang = {- 1 ; 3; 0; 5}

a

D o m / n Ran g = { - 1 ; 3 ; 5 } ^

> f o g existe.

Nos interesan los pares ordenados de g que tengan como segundas componentes a —1; 3 y r», y los pares ordenados d e/ que tengan como primeras componentes a - 1 ; 3 y 5. Así ( - 2 ; - 1 ) e g

a

(- 1 ; 4) e /

(-2 ;4)e /o g

(0; 3) e

g

a

(3 ; 1) e /

(0 ; l ) e / o g

(1; 3) e

g

a

(3 ; 1) e /

(1; l ) e / o g

(4; 5) e

g a (5; 2) 6 /

—» (4; 2 ) s / o g

L u e g o / o g = { {- 2 ; 4), (0; 1), (1; 1), (4; 2)} Usando el diagrama sagital tenemos

f o g = {(—2; 4) , (0; 1), (1; 1}, (4; 2)}

•

Veam os si existe g o f . Domg = {- 2 ; 0; 1; 2; 4}

a

Ran/={0; 4; 1; 2}

Domg n Ran/={0; 1; 2; 4} Nos interesan los pares ordenados d e /q u e tengan como segundas compon entes a 0; 1; 2 y 4, y los pares ordenados de g que tengan como primeras com pone ntes a 0; 1; 2 y 4. Así (-2;0)e/ (3; l ) e /

a

a

( 0 ; 3 ) e g

(- 2 ; 3) e g o /

( l ; 3 ) e g -> (3; 3) e g o /

LUMBRERAS EDITORES

(5; 2) e /

(2; 0) e g —> ( 5 ; 0 ) e g o /

a

( - 1 ; 4 ) g /

a

( 4 ; 5 ) e g - »

{ - 1 ; 5 ) € g o f

Luego g o/={(-2; 3), (3; 3), (5; 0), (-1; 5)}.

Nótese qu e/ o g

¿ g

o f.

Luego, la composición de funciones no es conmutativa.

APLICACIÓN 26 Dadas las fun cion es /y g, h a l le / o g. f(x)=x2~ 2 x - l ; - 2 < x < 4 ; g(x) = \/x + l ; x > 0

Resolución •

Ha llem os el dom inio Sabemos que Do m (/o g)={*/x e Dom0 A 5 ( x ) e D o m ^ } Esdecir,xeRg —> x > 0

a

a

-2
x>0

V x + 1 < 4 —> x > 0

a

a

- 2 < V x + 1 <4

x<9

—» 0 < x< 9 —> Do m (/o g) = [0; 9]

•

Hallemos la regla de corres pon denc ia. ( / ° 9)(x)=f(g{x)) = / ( ^ +1) = ( V x + l ) - 2 ( V x + l ) - l ( / o 0}(x) = x +

-2 y í-x -2

if°g)(x)=x-2;xg[0;9]

Propiedades

^

Se an/; g y h funcione s bien definidas. •

En ge ne ral/o g * g o f .

•

Asociativa: (/ o g) o h = f o (g o h)

•

/ función ide ntid ad :/o 1=1 o f Además V n e Z +: ln o f = f r .

•

Distributiva ( f + g ) o h = f o /i + g o h (/■g) o /i= /o h+ g o h

^ )

( x

P*í - í OomCp^)

FUNCION! S

( í j ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN PAR S e a / u n a fu n c ió n , ta l q u e x e D o m / y { - x ) e D o m / . S i V x e D o m / : / {x)= /(_ x ), d ire m os q u e / e s iin .t función par.

Gráficamente

Nótese que y= /M =/(_ x). Además, la gráfica de/es simétr\a con respecto al eje Y.

Por ejemplo, la fun ción /, tal q u e/ (x)=x 2- x 4+ l es una función par. En efecto, el dominio d e /e s D om /= R . Luego, x e R

a

(-x)eR.

Además / ( - ,) = ( - x ) 2- ( - x ) 4 + 1 = * 2- * 4 + 1 = / m

Es decir, V x e Do m /:/(x)= /(_ x). A sí,/ e s una función par.

FUNCIÓN IMPAR Sea /un a función tal que: x e Do m/ y (-x) e Dom/. Si V x e D o m /:/ (_x)= -/(x) diremos qu e/ es una función impar.

Nótese quey=/(x)

a

- y = / (_ x).

~h *)=h- x) -> f{~x}= -Ax)

Ade m ás, la gráfica de / es simétrica con respecto al origen de coordenad as (0; 0).


Por ejemplo, la fun ción / tal que/(x)= ^ x - 2 x es una función impar. I n efecto, el dominio de /e s D o m /= R . Luego, si x e R

—> ( - x ) e R .

Además f(-x j = %f-x —2(—x ) = - ^ x + 2 x = - { ¥ x - 2 x ) = - / M Es decir, V x e Dom/: /(_x}= -/(x}. A sí,/ e s una función impar.

F U N C IÓ N P E R I Ó D I C A Sea/una función real. Si

V

x e Dom/: existe

7 V 0,

tal que

(x+T) e

Dom/

a f ( x + T ) - f { x ) '

diremos que

f e s una función periódica. El número 7 es llamad o periodo de /.

Gráficamente

Se ob serv a q u e /{x)= /(x+ r)= /(x+2T1 = ...

Toda función periódica con periodo 7 tiene su gráfica G p tal que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud 7 se repite horizontal y periód icam ente en el siguiente interva lo conse cutivo y an terior de longitud 7.

Observamos, además, que si 7 es un periodo d e/, entonces 27, 3 7 ,... tam bién son periodos de /. 11 me nor valor positivo de 7 se llama periodo m ínimo . ‘6

Fu n c i o n i APLICACION 27

s

Gf : Y

Pruebe que la función seno es una función peurtdica imp ar con period o mínim o 7=271.

1 ttrsoiución

-1

i

/ f

1 /

* Veam os que /¡X} = sen x es una función pe

X 1

riódica. Supongamos que existe 7 ^ 0 , tai que

Resolución

s e n (x + 7 ) = se nx; V x e R .

Nótese que

Tomemos en part¡cularx= 0:

V * ] =A i - l - * l ) =/ ( i - | x | ) = h (xr —> h es par

sen7=0 -4 T = 2k n ; k e Z . Luego T e R

a

(x+ 7) e R , entonces la fun

ción seno es periódica con periodo 7, Cuando k e Z + T = 2 n ; 471; 6ti; ...

Luego 7=2 te es el periodo mínimo.

•

Para d ibujar su gráfica convenientem ente trab a ja m os para x < 0 y la gráfica obtenida la re flej.i mos al eje Y. Si x < 0, ent on ces

=/{1+x).

Nótese qu e la gráfica de h resulta de trasladar la gráfica de/una unidad a la izquierda. Así

x< 0

Aho ra, veam os que/(x) = se nx es una función impar. SeaxeR

a

( - x ) e R , luego

/(_ *) = s e ñ (- x )= - s e n x = - / (X) —» /,_ *,= - / (x); V x e R . Así, la función seno es impar.

APLICACIÓN 28

Se a/u na función cuya gráfica se muestra. Esbo ce la gráfica de h.

Reflejamos y obten em os la gráfica de h.


FUNCIONES MONÓTONAS Una fun ció n /s e dice que es monótona si es cualquiera de las siguientes funciones.

Función creciente Una función f e s creciente

si

V x 1( x 2 f[x1) < f(x 2y

Función decreciente Una función f e s de creciente si V x y x 2 e Dom /: x 1 < x 2 —*• f( x1) > f{ x2y

Función no decreciente Una función f e s no decreciente si V x v x 2 € D o m / : x 1 < x 2

/^ < /^ .

Función no creciente Una fu nc ión /es no creciente si V x v x2 e D o m / : x 1 < x2 - * / { x ^ - f ^ y

Ejemplos 1, /|xj= V x es creciente.

2. 9{x)=—; x> 0, es decrecien te.

3. h es no creciente.

Regla práctica para calcular rangos de funcion es creciente s y decrecien tes Sea/una función cuyo dominio es [a; b] y cuya gráfica es una curva continua dibujada de un solo trazo (sin saltos bruscos verticale s). I uego •

S i/e s creciente, entonces Ranf-[f(a)>f(b)]

•

S i/ e s decreciente, entonces Ran /= [/(*,>;/ {o)],

'i8

F u n c i ó n »n

Gráficamente •

/cre cien te

•

/dec reciente y

Y

/(o)

Ab) -------f(a)

ii i a

\ a

b

x

Ran f={f(a)'>f(b)]

ii i b

x

R an /= [/(i);/ (0)]

-

.................................. .............

— — ....

(

-

Tenga en cuenta

............... ...............

Si ei dominio de una función /e s {a; b) y los valore s f(a)>f(b) existen en R , entonces •

/creciente —¥ R an /= {/( o )¡/(&))

• /de cre cien te —» Ranf=(f[b)> f{a))

Análogam ente, en los casos cuyos dominios sean (a; b] o [a; b).

APLICACIÓN 29 Sea /u n a función, tal que f ^ = 1 + V x ; x e {4; 9]. Halle su rango.

Resolución Como V x g (4; 9 ],/(X) = l + \/x es creciente y/ (4) = 3 existe, entonces R an / = (_/¡4¡; /(g)]=(3; 4]

Ran / = (3 ;4]

APLICACIÓN 30 Sea g una función, tal que g ^ = cosx; x e ^0; ~ j . Halle su rango.

Resolución gM = co sxe s decreciente V xe ^ O ;

y como g(0¡ = l a

Rang = ^ „ j g{0| = ( 0 ; l ) -> Rang = {0; l)

existen, entonces


n

F U N C IO N I N V E R S A

FUNCION INYECTIVA Conocida también como función univalente o uno a uno, se caracteriza porque cada elemento del rango es imagen de un único elemento del dominio. Ejemplos

f e s función inyectiva y el ran go podría coincidir o no con el conjunto de llegada Y.

g es función, pero no es inyec tiva ya que un elemento del rango es imagen de dos ele mentos del dominio.

Definición La función f : X -+ Ye s inyectiva. Si para ^

x2} c Dom /: Xj ^ x2 —> / (x ) ^ f { x i y

Equivalentemente f \ X •+ Ve s inyectiva. Si para {x1; x 2} c Do m /: f{xi)-f(x2) Está definición es la más usada. / je m plo I n la función /, tal q u e /(x)=100x+ 217; D om /= R sra {x: ; x2} c Do m / y /(X1}=/(X2) —> 100x2+217=100x2+217 > 100 x 2= 100 x 2 —^ x i =

x2

1° clue prueba que/es inyectiva.

xi ~ x 2

FUNCION! S

APLICACION 31 Determine si la función g tal que 9{x) = — - es inyectiva.

Resolución Domg = { x e R / x - 2 * 0 } = { x € R / x * 2 } = R - { 2 }

Además x

_ x-2+2

0M _ x ^ 2 _

x -2

Ahora, sea { x ¿ x2} c Domg 1+

2 Xi —2

=i 1+ -

1— - — = — - —

x1 - 2

x2 - 2

2 + x -2

a

g¡x j =9(Xly

2

x - ,- 2

-> x 1 - 2 = x 2 - 2

_> x 1=x2 Por lo tanto, g es una función inyectiva o univalente.

Interpretación geométrica G rá fica m e n te ,/e s una función inyectiva si cualquier recta horizontal corta a su gráfica en un solo punto. Así

/ e s in ye ctiva.

g no es inyectiva. 61

LUMBRERAS EDITORES

APLICACIÓN 32

En la función [ x 2; - 3 < x < 0 W

[ ^ ;0 < x < 9

determine si/es inyectiva y halle su rango. Resolución Esbocemos la gráfica de la función.

f e s inyectiva, ya que al trazar una recta horizontal, esta corta a la grá fica de / e n un solo punto.

R a n / = [ - 3 ; 0) u ( 0 ; 9) R a n / = [ - 3 ; 9 > \ {0 }

Teorema

Toda función creciente o decreciente es inyectiva. Ejemplo

f es creciente y es inyectiva, pues si se traza una recta horizontal corta a la gráfica d e / en un solo punto.

g es decrec iente y también es inyectiva.

FUNCIONI'S

FUNCIÓN SURYECTIVA Conocida también como función sobreyectiva o epiyectiva, se caracteriza porque ei conjunto ilr llegada coincide con el rango. Ejemplos

f e s una función suryectiva , pues Ran /= Y.

g es una fun ción , pero no es suryectiva, pues Rang í Y

Definición La fu nc ión /: X —» Y es suryectiva si Ran/= Y Ejemplo Veamos que la fun ción /: [- 1 ; 5) -> (- 7 ; 5], tal que f ^ = 3 -2 x, es suryectiva. En efecto, D o m / = [- l; 5).y conjunto de llegada =<-7; 5] •

Calcu lem os el rango -l< x< 5 -í-> 2 > -2 x> -1 0

5 > 3 —2 x > —7 o

5 > / (x)> - 7

R an /= < -7 ;5 ]

Aho ra, se observa que R an /= (-7 ; 5]=co njun to de llegada. Por lo ta n to ,/e s suryectiva. APLICACIÓN 33 La función g: [2; 11] —» [0 ; 5 ), tal que g ^ = V x - 2 ¿g es suryectiva? Resolución Como Do m g= [2; 1 1]; conjunto de llegada = [0; 5) Hallando el rango 2 < x < 11

0 < x -2 < 9 O

0< V x -2 <3

0 < g (x)< 3

Rang = [ 0 ;3 ]

Ahora, se observa que Rang= [0; 3] ^ [0; 5) (conjunto de llegada) Por lo tanto, la función g no es suryectiva. i


APLICACIÓN 34 Dada la func ión h: A —>(- 9 ; 5], cuya regla de correspon dencia es ,

_ Í - x 2;- 3 < x <1

[x - 1 ; l< x < 6 determ ine si h es una función so breyectiva. Resolución Esbocem os el gráfico de h. Se observa que Ran/? = (- 9 ; 5] = conjun to de llegada Por lo tan to, h es función sobreyectiva.

Tenga en cuenta

m

¡

Si el conjunto de llegada de una función no se conoce se asume que la función es suryectiva.

FUNCION BIYECTIVA La func ión/ : X —> Y, es blyectiva si es a la vez inyectiva y suryectiva. Ejemplos

f e s iyectiva y sury ec tiva a la vez, lo que implica que f e s biyectiva.

g es función inyectiva, pero no su rye ctiva , lo que implica que g no es biyectiva.

Fu n c i o n a

h es función suryectiva, pero no invectiva, lo que implica que h no es biyectiva.

APLICACION 35 linda la función g: (0 ; 4] —» (- 1 ; 15], tal que g ^ ~ x 2- l , d eterm ine si g es biyectiva. Mfsolución I'.hocemos el gráfico de g.

Se observa que • g es creciente en todo su dom inio, lo que impli ca que g es inyectiva. •

Rant? = [-1 ; 15) = conju nto de llegada , lo que im plica que g es suryectiva.

Por lo tanto , g es biyectiva.

INVERSA DE UNA FUNCION Sr\» la función /={(x; y )/x e D o m / a y= /(x)} biyectiva. Su inversa denotada p o r/ * se obtiene al ¡nterlim blar los componentes en cada par ordenado de /. A sí/*= {(y; x )/ x € Dom/ a y=/(x)}I ¡rmplos

/ = {( 2 ;4 ), (3 ; 1), (5 ; 6), (7 ; 8)} Do m /={2; 3; 5; 7} y Ra n/= {4; 1; 6; 8} Si ff= { ( l; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4)}

D o m /*= {l; 4; 6; 8} y R an /*= {3; 2; 5; 7}

g *={(1 ; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16)} 65

Lu m b r e r a s Ed i t o r e s

Propiedades 1.

Toda función biye ctiva/tiene inve rsa /*, además Dom/*=Ran/y Ran/*=Dom/

2.

Si f e s una función biyectiva, se cumple que (/ * ) = f

3, Si y~f{X) es Ia re§la de co rrespon denc ia de la función / biyectiv a, ento nces para la regla de correspondencia d e / * despejamos x de la regla anterior y obtenemos x = / ^ y para hallar intercambiamos x por y. 4, Si / es la función identidad y / e s biyectiva, se cumple C / ° / * ) (x) = /(x) = x ; y x e D° m / *

( / * ° A * ) =/w = x ; V x e D o m /

5 . S i / y g son funciones biyectivas, tal q u e /o g existe, entonces (/ o g)* existe y (/ o g )* = g * o / * .

[jemplos 1. Dada la función/jxj = 3 x + l; x e ( - 3 ; +«>)

Resolución Como/es creciente, entonces es inyectiva. Luego Ran/=(/(_3); +°°)=(-8; +°°). Recuerde que cuando no se conoce el conjunto de llegada de una función se asume que esta es suryectiva. Co m o/e s inyectiva y suryectiva, entonces es biyectiva. Luego exis te /* .

Hallem os /(*). De y=/(x) = 3 x + l despejam osx.

Finalmente intercamb iamos x por y.

FUNCIONI'S

X —2

) . Dada la fun ción g(,\ = ------ ; x > l , halle g * si existe. w x +2 Resolución •

Hallem os el rango. x-2 x+ 2-4 „ Como g¡X) = ------ = ---------- ' = 1 1 ' ■ x + 2 x+ 2

4 ---------

x+ 2

Como x > l —> x + 2 > 3 -+ 0 <

.

1 1 4 4 < - -> -0 > --------- > — x +2 3 x+ 2 3

„ 4 1 1 / 1 1 > 1 -------- > — —> l> g ( , > — —> Raníai - ( — ; 1 x+2 3 W 3 i9) \ 3 h

•

Veam os si g es inyectiva, Sea { x ¿ x 2} c Dom g a Sf(X l)=ff(x2}—> X

4 xx +2

=X

4 x2 +2

4

4

—^ --------- ~ x: +2 •x2 +2

> Xi + 2 = x 7 + 2

-» x 1= x2, lo que implica que g es inyectiva. •

Como no se conoce el conjunto de llegada, g es su ryectiva.

•

Ha llam os gj,xj. *-2 , De y = g¡x) = despejamos x. ' x+2 x-2 -+ y = ------- -+ y x + 2y = x - 2 x +2

x (y -l) = -2(l+y)

—> y x - x = - 2 - 2 y

—( i —y)

Luego, intercamb iamos x por y. ♦ 2(x+l) SM = — : -

/ 1 „ -JA

i -y

*=

y

i- y

IUMBRERAS EDITORES

APLICACIÓN 36 Dada la función fyxp ^ + l; x> 0, halle h* si existe. Resolución Como no se conoce el conjunto de llegada, h es suryec tlva. Veamo s si h es inyectiva. Su gráfica es

De donde se observa que h es inyectiva V x > 0 y su Ran/i = [ l; + 00). Como h es suryec tiva e inyectiva, entonces h es biyectiva. Hallamos h ^ . De y= fyxj= x2+ l —> y= x2+ l —» y - l= x 2 —> - J y - 1 = |x |. Pero x > 0 - » x = y j y - 1 —» fy* ¡ =y[y~-1 (intercambiam os x por y). = V x-1 ; xe

rt Nótese que las gráficas de h y h * son simé tricas a la gráfica de y=x.

2 ---

FUNCION!»

Gráfica de la función inversa Sea ia función/biyectiva. La gráfica de/* se obtiene a partir de/, reflejando su gráfica a travós de Id recta y=-x. A sí Y f

y

/

y = x

S / - x w y )/

" / % /

x - / - - y / { y - , A x / y

x

Ejemplo f e s una función biyectiva, tal como se muestra en la gráfica.

ALGUN AS FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIÓN EXPONENCIAL Es aq ue lla cuya regla de co rresp on de ncia e s _/¡x) =£>*; 6 > 0 a 6 * 1 . Su dominio es el conjunto R y su rango R +. Por ejem plo, las siguientes funciones son expo nenciales.

A

2

' hM -

F(x) = 2* ; G(x 7M l= ex ; Hlx, ’(*) = J 2 * ; . . .

- I con e= 2 ,7182 818 ...;

umrreras

E ditores

Gráfica de una función expone ncial Como In base b es positiva y diferente de 1, tenemos dos casos. Caso l: 0 < b < 1 Veam os la gráfica de la func ión

=[ -

Tabulamos algunos valores.

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

flx)

8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

Ubicamo s los puntos (x; /¡x¡) en el plano R 2.

Nótese q u e /e s una función inyectiva (monótona dec reciente) en su dominio R . Su gráfica G¡ corta al eje Y en el punto (0; 1); es decir, (0; 1) e f. ( l Y A dem ás, V x e R : y = f (x¡ - - j > 0 . Luego, el rango de/es Ran/=R+=(0; +°°).

Caso II: b > 1 Veamos la gráfica de/(X)=2X. I.ibulnmos algunos valores.

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

/(x)

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

r

FUNCIONl'i ........................................................................................... .

Ubicamos los puntos (x ; f ) en el plano R 2.

Nótese que f e s una función ¡nyectiva (mo nóton a c reciente ) en su dom inio R . Su gráfica G^cort.i .>1 eje Y en el punto (0 ; 1); es decir, (0; 1) e f. Además, V x e R : y/ = /(x¡ = 2X > 0. Luego, el rango de/es Ran/=R+=(0; +«>).

I n general, la gráfica de una función exponencial/jx)=bx; b > 0

a

b ^ 1 tiene una de las siguientes

formas. Caso I: base b con 0 < b < 1 .

Caso II: base b con b > 1

Y i\

b* 1

1 1 'v

b*2 X 1

x2 Nótese que

Nótese que •

Dom/=R

Ran/=(0;+°»)

•

Dom/=R

•

S ix 1< x 2, entonces bxi > bx*.

•

Si x 1 < x 2, entonces bxi < bx 2.

a

Así, la función es decreciente.

a

Ran/={0;

Así, la función es creciente.

+°o)


Propiedades Se tiene la fun ción ex po ne nc ial/(X) = b*; b > 0 1.

V xs R :

a

b ¿ 1.

= bx > 0 ; es decir, la gráfica de / : Gêstá ubicada siemp re por encima del e jeX , y pasa

por el punto (0; 1). 2.

Sib > 1, en to nc e s/e s creciente en todo su dominio R , es decir, x 1 < x 2 o

3.

Si 0 < b < 1, entonces f e s de creciente en todo su dominio R , es decir, b* 2

4. /e s.inye ctiva en todo su dominio R . Luego b xi =

b*1 < b*2

x 1= x2

APLICACION 37

APLICACIÓN 38

Esboce la gráfica de la func ión /.

Resuelva la inecuación exponencial

A r 2^

2x+l

/2 \x+2

Resolución Tenemos que Resolución

> « {¡T Como la base es b = - < 1, enton ces f e s decre2

Resolvemos la inecuación así - Y_x+1 / _ \—x—2 ó ‘

> -

dente. Su gráfica se obtiene trasladando la grá fica de y = | — | una unidad a la dere cha . Así

Como la base b = —> l , entonces comparamos los exponentes sin que cambie el sentido de la desigualdad. A s í 2 x + l > - x - 2 3 x > - 3 o CS = [ - l ; + ~ )

x> -l

FUNCIONI > FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es aquella funció n cuya regla de corres pon den cia es /(X) = log¿x; ó > 0

a

b 9* 1.

Su dom inio es el conjunto R + y su rango R . Por ejem plo, las siguientes funcione s son logarítmicas. /{x )= lo g2x ; g(x )= lo g ^ x ; /i(x) = lo ge x con e = 2 ,7 182818...; F(x)= lo g iX ; 6 ( x )= l o g ^ x ; H(x) = log^x; ... 2

T

'
Gráfica de una función logarítmica Como la base b es positiva y diferen te de 1, tenem os dos casos. Caso I: 0 < b < 1 Ve am os la gráfica de ia funció n / |xj ^logj^ x . 2

Tabulamos algunos valores. X

8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

hx)

-3

-2

-1

0

1

2

3

Ubicamos los puntos (x ;/ jx)) en el plano R 2.

Nótese q u e /e s una función inyectiva (monótona de cre cien te) en su d om inio R +. Su gráfica G^ corta al eje X en el punto (1; 0 ); es decir, (1; 0 ) € / . A de m ás , V x e R +: y = / (x) = l o g1 x e R . 2

Luego, el rango de f e s R a n / = R .


Caso II: ¿? > 1 Veam os la gráfica de

= log2 x,

Tabulamos algunos valores X

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

f[x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

Nótese q u e /e s una función inyectiva (monótona crecie nte ) en su dom inio R +. Su gráfica Gf corta al eje X en el punto (1 ; 0); es decir, (1; 0) € / . Además, V x e R +: /(x) = log2xe R . Luego, el rango de/es Ran/=R.

En gen eral, la gráfica de una func ión log arítmica /¡xj =lo g¿,x; b > 0 A b ^ l tiene una de las siguientes formas: Caso I: base b con 0 < b < 1

Nótese que •

D om /=R += (0; +°°)

Caso II: base b con b < 1

Nótese que a

Ran/=R

• Si x 1 < x2, entonces log^Xj > logÂsi la función es decreciente.

•

Dom^R^ÍO;

+ °°> a

Ran/=R

• Si x 1 < x 2, e nto nce s l o g ^ < log¿,x2. Así la función es creciente.

HJN(

■ Propiedades Dada la fun ción logarítmica/ ^xj= lo g jbx ; b > 0 1. Su gráfica

a

í j

í

I.

pasa por el punto (1; 0).

2. SI b > 1, en to nc es /es creciente en todo su dominio R +. x 1 < x 2 o l o g bx 1 < log¿,x2

Es decir

i. Si 0 < b < 1, ent on ce s/e s de creciente en todo su dominio IRH x 1 < x2 <->logbx 1 >loglbx2

Es decir

4.

/ e s inyectiva en todo su dominio. Luego log¿x1= logbx2 <-»x1= x2

APLICACION 39

APLICACIÓN 40

Sea / (x) = logx( l - x 2) una func ión, halle su do

Resuelva la Inecuación logarítmica log ! (2 x —1) > log ! (x + l)

minio.

2

Resolución

Resolución

Resolvemos la inecuación así

Dominio d e / /(x)

2

6 R

lo g 1( 2 x - l ) > l o g 1 (x + l )

o

1 -x 2>0

a

x> 0

a

x* 1

2

2

<->2x-l>0

x+l>0

a

a

1

« - * x 2 < 1 a x > 0 a x ? í : 1 f )

X

>

-

A

X

>

— 1

A

X < 2

2 o

♦-»

|x ] < 1 a x > 0 a x * 1

x< 1

a

x

>

0

1 f-»

X

>

—

2

-
<- > 0 < x < 1 Dom / = (0;1)

A x< 2

,. cs=(-;2

2x-l
ioni

PROBLEMAS RESUELTOS

/ 1 = {( 2011 ; 2011 ), ( 2012 ; 2 0 1 1 )}

N ivel básico

/ 2 = {( 2 0 1 1 ; 2011 ), (2012 ; 2 0 1 2 )} /3 = {( 2 0 1 1 ; 2012 ), (2012 ; 2 0 1 1 )}

P R O B L E M A N .° I

/ 4 = {( 2011 ; 2012 ), (2012 ; 2 0 1 2 )}

Dado el conjunto A = {201 1; 201 2}, ¿cuántas funciones / : A —> A que presentan 2 elementos se pueden obtener?

Se observa que son 4 funcione s.

D) 5

P R O B L E M A N .° 2

E) 6

Resolución Hallemos A x A = A 2. A través del diagrama de Venn se tiene

Clave

(C

Si el siguiente co njun to/= {(2; 7), (3; 4), (2x; x), (x; 2x), (3; x 2- 5 )} representa a una función, cal cule la suma de elementos del dominio. / ) - 4

B) - 3

D) 4

C) 2 É) 14

Resolución Com o/es función, además (3; 4) e / y (3 ;x2—5) e / 4 = x2- 5 —» x 2 = 9

( x= 3 v x = - 3 )

Luego Si x= 3 —> /= {(2 ; 7), (3; 4), (6; 3), (3; 6)} no es función. A } •{(2011; 2011K (2011 ; 201 2), (2012; 2011), ( 2 0 1 2 ; 2 0 1 2 )}

Ahora, citaremos las funciones/: A —> A con 2 Hrmentos.

Si x = - 3 —> /={(2; 7), (3; 4), (-6 ;- 3 }, (- 3 ;- 6 }} es función Como Dom /={2; 3; - 6 ; -3 }, las sumas de sus elementos es 2 + 3 + (-6 ) + (- 3 )= -4 . Clave

(A )

F un c ItJNI



El dominio de la función g real de variab le real con

SI / y g son funcion es, tal que

s

regla de correspondencia g ^ = y f x está Incluido en el conjun to U = { - 4 ;—9 ;—1; 0; 1; 2; 4 ; 9; 10; 16}. SI los elem entos del rango son en teros, indique su mayor suma.

A) 4 B) 5

,C) 10

A) 12

D) 14

D)

B f 14

24

C) 15

/

E) 26

[) 16 Resolución Resolución

Del gráfico se observa que

Como g: Domg c: U -+ Z , entonces Dom g={0; 1; fl; 9; 16}.

/ (1)~ 6

/{2) = 5

/(3) = 7

/(4) = 6

Luego

Además nos interesa que g(x)= V x e Z . M =“^

Luego S lx- 0

+ / (3 r/ (4 )+ 9 (/p)) i

^

g (0)= VÓ = 0

y(0; 0) e g

M = | f ,+7- 6 + a 2 12

Si x = l

—»

g(1)= V I =1

y(1; l ) s 9

SIx=4

->

g (4)= V 4 = 2

y(4; 2) G g

Sí x = 9

'—»

g(9)= V 9 = 3

y ( 9 ;3 )e g

Si x=1 6 —> g{16j= V l6 = 4

y {16; 4)

g

-+ M = l + l + 12 = 14 Clave (B )

g P R O B L E M A N .° 5

Ahora g={(0; 0), (1; 1}, (4; 2), (9; 3), (16; 4)} y

Halle el rango dé la fun ció n/ , tal que / : {1 ; 2; 3; 4} —» B

Rang={0; 1; 2; 3; 4}.

x -> 3*'2 .. 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Clave ( c )

A)

{1; 3; 9; 27} B) {V 3 ; 1; 3; 9} C) {0 ; 1/3 ; 1; 3)

D)

{0; 1; 3; 9}

^ E} {1/ 3; 1; 3;

7/


Resolución

PRO BLEM A N.° 7

Del dato se obtien e que

Si/es una función constante, tal que

f {x] = 3 X~2; x e {1; 2; 3; 4}= D om /

SI X - l

3 /( i ni +

8

= 4 / ca lcu le/ (20i 2)-

/(12) —1

/ (1) = 3 - 1 = 1/3 ; (1; 1/3) e /

S¡ x = 2 —> /( 2) = 3 °= 1 ; (2; 1) e /

A)

Si X= 3 —» /(3) = 3 1= 3; (3; 3 ) G /

2012

B)

2011

C) 14 E) 8

y ( 12

S ix = 4 —> /¡4) = 32= 9; (4; 9) G /

Resolución

> / = {( !; 1/3), (2; 1), (3; 3), {4; 9)}

C om o /e s constante, su regla de corresponden cia será de la siguiente forma.

Ran/={l/3; 1; 3; 9} _C LA V E ( E )

/(x ) = c

/ ( io ) = c ;/ ( i2 ) = c v h 2012)= c

Reem placemos en el dato. 3c+ 8 c-1. P R O B L E M A N .° 6

=

4

3

c

+ 8

=

4

c

- 4

+ +

c

= 1 2

/(2012) = 12

¿Cuántos elementos enteros presenta el domi nio de la función real de variable real

C LA VE Í D ,

fw = yf x + l + ^ J l l - S x - x 2?


B) 4

A) 3

4

D) 6

5

La gráfica de la función g que tiene por regla de

E) 8

corresponden cia a

= ------- 1— 1= es

Resolución Hallemos el dominio de/ . / e R

A)

Y

B)

2'

++ x + 1 > 0 y l l - 3 x > 0 ++ X > - 1 A

11 ---

3

Y

X

X

>X C)

11 ++ - l < x < — 3

Y 2 r -2

D o m / = [ - l ; 11/3]

X

I liego, los elem ento s en teros son - 1 ; 0 ; 1; 2 y 3 (en total cinco) CLAVE

(C.

-2

FUNCION! %

Resolución

Resolución

\X \ x C o m o g ..= -— - + -— ;; Rang = ] •- {0 } U) x Ix

Por dato fyxj= x 3 + ¿.

Luego

X X - + x>0 x x 9{X)~ - X X — +— ; x< 0 x -x

6(_ 2) = {- 2 )3 + b= -7

b = 1

/j(4j = {4) + 6 = 0 —» o = 65

1 + 1; x > 0

-+

De! gráfico/7(_ 2) = - 7 y h ^ = a .

Tam bién del gráfico Ran6 = [- 7 ; o> = [-7 ; 65>.

—1 + (—1); x < 0

-+ ?(*)

2; x>0

Nota

-2; x<0

Cuando x se acerca a 4 por la izquierda su imagen se acerca a 65, pero si x * 4, entonces * 65. En forma práctica para saber el mayor extremo de! rango se puede calcular h ^ .

Su gráfica es

_C LA V E ( D )

P R O B L E M A N .° 10 CLAVE

S e a /( Xj = m x+ 6 una fun ción lineal. Si

2/(0j,

calcule

P R O B L E M A N .° 9 Indique el rango de la función h con regla de corresp ond encia 6 (x)=x 3 + 6 y cuya gráfica se m uestra a continuación.

A) -1

/B) 0

D) 2

C)

1

E)

1/2

Resolución Tenemos que/¡xj=mx+6

A) [- 7 ; 65]

f [ i ) = m + b A /(o r b

B) [- 7 ; 9)

C o m o /(1) = 2/{0) -+ m + b = 2 b - » m = b.

C) J - 7 ; 9]

Luego ,/ (x)=fax+6

j f [- 7 ; 65 ) E)

/(_1j " - 6 + 6 = 0

[- 7 ; 63) _ C LA V E ( B )

IUMBRERAS EDITORES .............................................................................................................

"h

P R O B L E M A N . ° 11

Resolución

Calcule el área de la región generada por la grá-

La gráfica d e /( Xj = 2x2- x es una parábola que

3

(lea de la función /(x )= - - x + 6 y los ejes coor

abre hacia arriba \ J , pues su coeficiente prin

denados.

cipal es positivo: 2, cuyo vértice es V=[h; k), d o nd e ft = X l ^ * 2 a k=f^hy

A) 18 u2

B) 15 u2

y ó , 12 u2

D) 9 u2

E) 6 u2

Calculamos las raícesx^ x2 de/(x). /(x) = l-) “ i* 2 x 2 - x ~ 0

Resolución

-> x{2x-l)=0

Esbocemos la gráfica de

= ~ -x + 6,

—» x = 0 v 2 x - l = 0 —> x x - 0 v x 2 = 1 /2

Tabulamos algunos valores.

Luego X /(*) 0 6 4

0

C LA V E ( D

El área de la región § es s =l ^

U2 -> § = 12u 2

2

P R O B L E M A N .° 13

-C lave (C)

Sea/{x)=x3-ox+¿i una función cúbica cuya grá fica se muestra. C alcule ab .

PROBLEMA N.° 12 Halle las coordenadas del vértice de la gráfica do la fun ción /w = 2x2- x .

y

' 3

: -O

F u n c i o n i ••

Rofolución

Resolución

í )<’ la gráfica d e / s e tiene

La gráfica de f e s una parábola que abre hacia arriba \ J , pues su coeficiente principal es posi tivo 1. Para hallar su vértice podemos complr tar cuadrados. Así

/(0) = 3

b =3

/(_3, = 0 - » - 2 7 + 3 o + 6 = 0

/ (x ) = x 2- 4 x + 3 = x 2- 4 x + 4 ~ 1

- » 3 a — 2 7 - b -» a=S o¿ = (8)(3) = 24 Clave

f{ x] =( x ~ 2 )2+Q ) i t h k

(A ,

Luego, el vértice es V={2; - 1 ) .

P R O B L E M A N .° 14 I '.boce la gráfica de la función / m = x 2 - 4 x + 3

~ Q t. ■

Para hallar los interceptos con los ejes procede mos así -1 . . V

X

•

Eje K n Gf. H a c e m o s x = 0 —> y ~ f ^ = 3

•

Eje X n Gf. Hacemos y = 0

y = /(x) = 0

- » x 2- 4 x + 3 = 0 —^ X j = l ; x 2 = 3

Luego, Gf es

Clave (A 81

LUMBRERAS EDITORES

PROBLEMA N.° 15

P R O B L E M A N . ° 16

SI la gráfica de/es

Esboce la gráfica de /jx)= |x 2- 2 x j.

A)

Y f

B)

V

Esboce la gráfica de g(x)= f{x - i ) + l A)

B) -1

1 /

X

y

\ - iN'

X D)

e)

y+

C)

Resolución

D)

Tenemos que g ^ ~ \ x ¿ - 2 x \ = \ x (x - 2 )\ . Luego, podemos esbozar la gráfica de g a partir de la g rá fic a d e / M = x ( x - 2 ) . Así

Resolución

De la gráfica de / obtene mo s la gráfica de g: Q{x)=f{x-i)+. 1- Así, la gráfica d e /s e traslada una unidad a la derecha, luego sube otra unidad. Gráfica de g:

Nótese que al tomarle valor absoluto a /(X) = x { x - 2), la parte gráfic a donde/¡X) < 0 se re fieja respecto al eje X. C lave

(C

/ Fu n c i o n a

PROBLEMA N.° 17

Resolución

Sea/ una función cuya gráfica se m uestra. Esbo-

De la gráfica de /jxj obtenemos la gráfica il«»

iü la gráfica de h {x)= f{1_ x) + 2.

f(x+ iy entonces G^se traslada una unidad a la izquierda.

Luego, cambiamos x p o r- x para obtener /(_x+1)= /(1_ x), ento nces la gráfica d e / ( x ( ] , u refleja con respecto al eje Y. A)

Y

8)'

Y ‘

Finalmente, sumamos 2 a /(i-*) para obt<*n<*i /(i _ x) + 2; ento nces toda la gráfica su be tln% unidades.


P R O B L E M A N . ° 19

P>

Sea la grá fica de /

Si

A) 12 u2

9 [ x ] ~ f { z - \ x \ y

A) 0 B) 10 u2

D) 6 u2

sQ

9 u2

calc ule ff(o) + 9(-z j-

B) 2

D) 6

E) 8

E) 4,5 u2 Resolución

tesolución a gráfica de /co rres po nd e a una función valor bsoluto, abre h acia abajo y se traslada 2 unidales a la derech a y sube m unidades, luego f(x)=m~ l * - 2 | —» 3 - \ x - n \= m - \ x - 2 \ > m =3 a n= 2

-*■

De la gráfica de/tenemos que /(o) = 1 A /(2) = 3 Como 9'(x)=/{2-| x |)' entonces 0 (O ) = / ( 2 - O ) = / ( 2 ) = 3 3 ( - 2 ) = / ( 2 - | - 2 | ) = !/(0) = 1

■ ■ ■ 0(0) + Sr(-2) = 3 + 1 = 4

;ntonces,/(X) = 3 - |x - 2 |. uego, la gráfica de f e s

Clave

P R O B L E M A N .° 20 Se tiene la gráfica de/

§

4

—— u - 9 u 2 Clave

CC

(C

FUNCIONIS

H *tB)

Y

Como h es par reflejam os esta curva con rosptn to al eje Y.

_CLAVE ( f )

P R O B L E M A N .° 21 S e a n / y g dos funciones, tales que / w = 2 x - l ; x e ( - 4 ; 6] y g = {( - 3; 0), (—2; 4), (1; 2), (4; -1 ), (6; 0)}. Calcule el valor de M. M = ( f - g ) w + ( f o g ) {_ 2] Resolución Nótese que h {. x ) = f {l_ x h í ) = f { l x h l ) = h {x]

A) -1 D)

$

0

3

C) 1 E) 4

Entonces, h es una función par. Luego hallamos ¡a gráfica de h para x > 0. x > 0 : / 7 m = / (x- d

Resolución Debemos calcular M. M = f(4)'9(4)+/(g(_ 2)) Tenemos que /(4}= 7; Q{ 4 )= _ 1 ; Sr(-2) = 4 Luego / W = {7 H - l)+ / (4)= - 7 + 7= 0 -> M=0 C l a v e ( j j V


*

P R O B L E M A N . ° 22

Hallemos la regla de correspondencia.

Dadas las fun cion es/y g, ta les q ue /(jr) = 2x 2 2 2 x 2 ——

2 /

x e (- 2 ; 2] y gw = 2 x + l; x e (-<»; 5), esboce la

J ' f i x ) (x) 0(x)

g

gráfica de — .

2¿\ V

j( x )

2x + l

_ 4 x 2 - 1 _ ( 2x + l ) ( 2 x —1) 2j í + 1

2X + 1

Como x e ( - 2 ; 2] - { - ^ ] '

entonces í — | = 2 x - l . 1 9 JW Y

C)

Esbocemos su gráfica.

3 X s -1/2 - 2 M>

x

-5 . A Y 3 -1/2

E) ~A -2

2

X

-1

Y

X

Clave (D

'''i--- - 5 Resolución

2/

Hallemos el dominio de — . 9

P R O B L E M A N . ° 23 Dadas las funciones

Dom ^

j = [D o m / n D o m g ]-{x /ff(x )= 0 }

/(X)= x 2- [ x ] + sg ní k l + 1) g(x) = 1 + [ x ] - sg n (x2 +1 )

Dom r 2 n = ( ( ^ ; 2 ] n H ; 5 ] ) - f i } v

calcule (/+g),_2)-

J

Dom ( y _

g

= \~2> 2 ] - < —

k'yS D) 0

B) 3

c) i E) - i

/ FUNCION»

P R O B L E M A N . ° 25

Resolución Nótese que Dom/=R

Halle el dominio d e /o g.

Domg=R

a

A de más s g n ( | x | + l ) = l

a

/ w = x 2- 3 ; x g [-2 ; 7)

sgn(x2 + l) = l

l.ntonces

g(x) = 2 x - l ; x G [ - 1 ; 5)

/( x)= x2“ M + 1 A Q(X) = ^ + h J ^ I uego

i*>

2

i f + q )[ x )= x 2 ~ M + i + M = * 2+ 1

■ i f + 9 ) h 2) - ( - 2 ) 2 + l - 5

D) C l a v e (A >

4

2

B) ( 4

C)

4

i ;4

E) { - ?

Resolución D o m ( /o g ) = { x / x € Dom g

a

g(X¡ e D o m / |

P R O B L E M A N .° 24

Es decir

Dadas las funciones

f

iM (3 ; 6), (4; 9), (6; 4), (7; 8}, (10; 5)}

—> - l < x < 5

a

- 2 < g (x)< 7

/i ={{3; 9), (4 ; 12), (7 ; 9), (6 ; 7)}

—» - 1 < x < 5

a

-2 < 2 x - l <7

SI h ~ f o g, halle la función/.

- ¥ - 1 < x < 5

a

- 1 < 2x < 8

-1 < x< 5

a

—

XG

- »

A) M < 6 ; 9 ) , ( 9 ; 1 2) , (8 ; 9 )}

[-1; 5)

a

g(x|e[-2.;7>

2

1 —» - - < x < 4 —» D o m (/o g ) =

0) /={<9 ; 12), (8; 9), (4; 7), (3; 6 » C) /= {(6 ; 8), (8; 9), (4; 7)}

2

4 Clave

(A )

D) /= {(6 ; 9), (9; 12), (8; 9) , (4; 7)} t) /= {(9 ; 12), (4; 7), (6; 8)} P R O B L E M A N .° 26

Resolución Co m o/i(x) = (/o g r)M luego

Dadas las funcion es

h ^ f ( m

/,x ) = x + 2 ; x g < 2;

^(31 'e>-'P(3)) '(9(4))

^(7)=^(g¡7))

9 _ /(6) ' 12 = / (9)

9 =^(S)

10)

a

g(x)= x 2 + l ; x G

h a lle/ o g (si existe).

(6; 9) e / (9; 12) € /

A) ( / o 0 ) M = x2; x e ( l ; 3 )

(8 ; 9) e /

} )

h(6) =^(ff(6)) 7=fW / = {( 6 ; 9), {9 ; 12), (8 ; 9), (4 ; 7)}

( / o g ) M = x 2 + 3 ; x G ( 1; 3)

C) (/o g)(x)=x2- 3 ; x g (1; 3] D) {/o g)(x)=x2+ 1; x Clave

(D í

E) (/ o g) no existe

g

<-1; 3)

(0;

12|


Resolución

P R O B L E M A N .° 28

Hallemos dominio d e /o g.

Si la función

Do m (/o g) = {x /x e Domg Es decir x e <0; 12]

gêDom/j

a

/ = { ( m + n ;

3 ) , (5 ; 3 / 7 7 + 2 /7), ( 2 m - n ;

3 ) , ( 5 ; 8) ,

g(x) e (2; 10)

a

(2; m 2 + n2)}

0 < x < 12

a

2 < g¡x) < 10

-> 0 < x< 12

a

2 < x2+ l < 10

-+ 0
a

1
A) 3

-» 0 < x < 12

a

1< |x| <3

D) 10

es inyectiva, calcule el valor de/(2). B) 4

Pf 5

E)

13

C o m o 0 < x < 1 2 —» |x |= x . 0

a

1 2

•+ l < x < 3

a

1 <

Resolución

< 3

x

Por ser/fun ción se cumple que 3m +2n = 8.

D o m ( /o g ) = ( l ; 3 )

Hallemos regla de correspondencia.

Por se r/Iny ec tiva se cumple que 2 m - n = m + n .

( / o g ) ( x r / ( ÍM ) = ffM + 2 = x 2 + l + 2

Luego m = 2/7 y 3m + 2 n = 8.

( f o g ) (x]^ + 3 ; x e (1; 3)

—¥ m = 2 y n = l /(2 ) - m 2+ n2= 22 + l z =5

Clave (B ,

_C LA V E ( C ) P R O B L E M A N .° 27 S e a n / y g dos funciones, ta les que / (x_ 1)- 2 x 2+ m x+ 5

P R O B L E M A N .° 29

g(x+1) = 5x + 6 .

a

SI (/ o g)(_^ = l-/7 7 , calcule el valor de m. A)

13

11

C) 7 E) -3

IJ) -9

Indique él valor de verdad de las siguientes pro posiciones. I.

La fu nc ió n /: ( - 1 ; 1) —>(-■»; 0), tal que x + 1 J{x) ~ — p es suryectiva.

Resolución II. La función h: [ - 1 ; +<»> —» [ - 2 ; +°o), tal que

Como g |_1) = 5 (-2 ) + 6 = -4

/iM = x2, es sury ectiva,

y / M , = 2 ( - 3 ) 2 -3 m + 5 = 2 3 - 3 m entonces ( / o g) (-1) >

1 -m

III. La fun ción g, tal que g ^ = — p r ; x e <-»l; 1), 1 Ixl f es inyectiva.

=/{-4) = 23 = 2 3 -3 m -+ 2 m = 22

m - 1 1 A) VFF Clave ( B , 8H

D) VVV

B) FFV

C) FVF VFV

/ Fu n i i o n i v

Resolución I,

Observación

Verdadero

< -1; 1> = ( -1 ; 0 ) u [ 0 ; 1)

Hallemo s el rango de/ . x+1 x - 1 + 2 „ 2 Como /(x) = ------ = ----------- = 1 + x-1 x-1 x-1

9 lM = í + í ; x e ^ 1; 9{x)~

02W = X -1 También D o m /= < -l; 1) —> —1 < x < 1 —> - 2 < x - 1 < 0 1 1 —» — > -a -1>x-1 2 x-1 ------

—> 0 > 1 H-------- —> f x\ < 0 x-1 w

^

j í e [ ° ; !>

Aho ra, para de cir que g es inyectiva, se dcbn cumplir que g 1 y g2 deben ser también In yectivas (Si al m enos una de estas funclonr". no es inyec tiva, entonce s tampoco lo será y), ade más Ra ng -Ln Ra ng2 = (|>. Veamos en g1ix\ =

1+ x

para {x-,; x2} c Domg. y

S i (*i r 9 i W Se tiene:

' i _ *2 1 + Xi 1 + x ,

f w —» Ranf = ( - ex>', 0) Como el conjunto de llegada = R a n /= {- « ’; 0) Por lo tan to, f e s función suryectiva. . Falso

Luego g x es función inyectiva (creciente). Además: Rang1=<-«»; 0) También en g2,„, =

Hallemo s el rango de h. h{x)=x*' Dom h = [ - l ; + ° ° ) C o m o x > - l —> ¿ S O 'tx) —> h ^ > 0 —» Ranft = [0;+°= ) Se nota que el conjunto de llegada de h es distinto de Ranh: [-2 ; +°°) ^ Rar\h. Por lo tanto, h no es función suryectiva. I.

Verdadero Com ° 9 M = T ^ w : x e <_1; :>

Xi1= x 2

Xl + & * 2 = X 2 + & *2

1 —x

para {xy x 2} c D o m g2 y

S2(x1)= S2(x2)-

Se tiene : X1 "

*1 _ *2 l - x 1 1—x2 —x 2 ~

~ > !x1=x2Í

Luego, g 2 es función inyectiva (creciente).

¿

Ad em ás: Rang 2 = (-°®; 0) Por lo tanto, g es función inyectiva puesto qu*« g 1 y g2 tam bién lo son y Ran gj n Ran g2 = (|>CLAVE (E)

umuhlras

E ditores

P R O B L E M A N .° 30

Resolución

M l.i (unción/: A —» [- 2 ; 12) tal qu e/(x¡ = 5 - 3 x , t". -.ob inye ctiva . Halle >4.

Si g es biyectiva, entonces es suryectiva y Domg = [ - l; 0] y Rang=[o;¿»]. Hallemos el rango de g.

! 7 3' 3

B)

( 1 ;-

II) < I ; 71

E)

Como - 1 < x < 0

z. z

C)

3' 3

<-> -2 01 2 < x 2 -20 12 < -2 0 11 - 2 0 1 2 < g ^ < - 2 0 1 1

(-r;

- H

Luego R a n s r = [ -2 0 1 2 ; - 2 0 1 1 ] = [ o ; b)

Resolución (.u.mdo la función es sobre o sury ectiva siem pre \t> cu mple que el conjunto de llegada = R an / > R .in / , -2

-» o=-2012 y 6=-2011 a2- b 2 = {a + b)(a -b ) = ( - 4 0 2 3 ) (- l) = 4 0 2 3 -4023

[ - 2 ; 1 2)

-1

Clave

(B .

/w <12

- -2 • 5 - 3 x < 12 >

Q<)^<1

P R O B L E M A N . ° 32

7* - 3 x < 7

Se a/ = {(5; 6), (6; 3), (2; 2), (- 1 ; 4)}. Halle (/+ /* ). (/ * es la inversa de /).

7>x>-Z i

Dom/

3

A)

{(2;2), (6; 3)}

7 7

9

í(2 ;4), (6; 8)}

3' 3

D)

{(2;4), (6; 9)}

_Clave

(A )

B) {(6 ; 5), (2; 4)} E) {(5 ; 9), (2; 4)}

Resolución Como f e s biyectiva -> / * = {(6; 5), (3; 6), (2; 2), ( 4 ; - l ) }

P R O B L E M A N . ° 31

Ahora D om /={5; 6; 2; —1 }y D o m /*= {6; 3; 2; 4}

C(ilrule ol valor de a 2 - b 1 si la función

Luego D o m / n D o m / * = { 6 ; 2 } = D o m ( / + / * )

U \ 1; 0J ) [o; b] , tal que £?(x)= x2- 2 0 1 2 es biyiM llv.i.

También (f + f* ){2)= f(2]+f ¡2]=2 + 2^4 í / + / * ) ( 6 ) = / ( 6) + / ( 6 ) = 3 + 5 = 8

A) H(MI» h) A M 2

Jíí 4023

C)

-4024

E)

-4023

/ + / * = í( 2 ; 4), (6 ; 8)} Clave

(C)

FUNCION!'.

P R O B L E M A N . ° 33

Intercambiamos y por x.

Dada la función/, tal que/(X)=3x+2012;

* x-2012 / M = ---- -— ; x e (2006; 2021)

xe (-2; 3), halle la inversa de/.

C LA VE ( D , A) f ¡ x ) = x - 2012 B) / {*x)= 3 x- 2 0 1 2

P R O B L E M A N .° 34

x+2012 C> / m =

Esboce la gráfica de

3 x-2012

Y

A)

# / w =

=

l 3X-2012 X Resolución Como / es lineal, es creciente y por lo tanto es Inyectiva. Además, es suryectiva porque no se conoce el conjunto de llegada. Hallem os el rango. Se sabe que -2
E)

- 6 < 3 x< 9

2006 < 3x + 2012 <2021 /(x) -4 Ran /={200 6; 2021) Hallemos la regla de correspondencia de/*.

Resolución

D e y = / (x) = 3 x + 2 01 2 o

Se observa que

y=3x+2012

Ixl

y - 2012 <-» ■----------- = x 3 *

** f{y)~

hx ) M

I 2

Ad em ás,/e s una función par, pues V xt W r xl

y -201 2 f t - x ) =

T

=1 j I = /(. ‘ II

tiJMBRERAS E d i t o r e s

liego, dibujarem os la gráfica de / para x > 0:

Mi

Resolución Escribimos la inecuación así

•Así /

— \2(x+ 2)

,l-2x

V2

<

ii 2

Y 2 ^x+2<

l-2x

\ 1 1 2 Como la base £>= - = — < 1, en ton ces 2 4

X

x+ 2

Y lo reflejamos sobre el eje Y.

/

\l-2x

-> x + 2 > l - 2 x

Así —> 3x > - i

x >— 3

1 CS = — ; +c« 3 Clave

(C .

P R O B L E M A N . ° 36 Clave

(E

Halle el rango de la fun ció n/.

P R O B L E M A N .° 35

A) <0; 4]

Resuelva la inecuación exponencial

D)

,

r— \ 2 x +4

. 2 I

.

'

U .

B) (0 ;4 ^ /2 ]

<0; S]

C} (0; 8) E) <0; 16]

i _ 2 x

Resolución Nótese que D om /= R.

A) |l/3;+°°> H) R ' O 1-1/3;+-) D) (3; + —) I) <~l/3;+oo)

Hallem os el rango.

^

Como |x| > 0, entonces —|x| < 0 —» 3 - |x | <3. - » 0 < 2 3 H x| < 2 3

0< /m <8

Ran/={0;8] Clave ®

FüNí ION!-*»

■ P R O B L E M A N . ° 37

Finalmente, lo reflejamos sobre el eje Y.

Esboce la gráfica d e/ .

Así

/w = ln |x |

P R O B L E M A N .° 38 Se tiene la gráfica de la función/.

Calcule log¿,2. Resolución Nótese q u e/ (X) = loge| x | ; 2 < e < 3. Además, f e s una función par, pues V ^ O : f {_ x) = log e | - x | = log e | x | =f(x). Luego, dibujaremos la gráfica d e/ p ara x> 0 : /w = iogex. Así

A) 8 D)

B) 4

2

*03 E) - 2

Resolución De la gráfica de /s e tiene /(2) = 0

a + log(,2 = 0 —> logf)2 = -o

(I)

/(4) = 3 —» o + logb4 = 3 —» a + \ogb22 -■3 (II) Reemplacemos (I) en (II) -l o g b2+ 2lo gfa2 = 3 logfe2 = 3 Clave

(C) •i i


P R O B L E M A N .° 39

Como S í A , entonces x 0=5.

Halle el dominio de la función/.

Hallemos B

/ ( ^ lO g jf íl- X 2)

x 2 - 2 5

B) <0; 1)

A) {- 1 ; 1)

,+

C)

D)
9 <*>=

>^5

-> 0{x)=X+5

Se sabe que x^ 5

2 2 '

Resolución

x+5 *10. &(*)

-4 g(x) * 10

Hallemos dominio d e/.

Luego, B = Rang = R - {1 0 }.

44 1 -x 2 > 0 a x > 0 a x * 1

/ M e R

-5

'{1}

1 1

E)

x

{x + 5)T*^ )

Como 10 e B, enton ces y0= 10.

- 4 ( l- x ) { l+ x ) > 0 a x > 0 a x=£l

Como x > 0, entonces (1+ x) > 0.

x0+y0=15

—> ( 1 - x ) ( I a ^ > 0 a x > 0 A X í l -4

1 -

x

- ) x < 1

> 0

a

x

> 0

a

x

Clave IB

^ 1

a x > 0 a x í ¿ 1

—> 0 < x < l

P R O B L E M A N .° 41

D o m / = ( 0 ;1 )

_C

lave

(5)

Halle el dominio de la función/, tal que

N i v e l in t e r m e d i o A) [- 4 ; 4]

P R O B L E M A N .° 40 x 2 —25

Sea la función g lx] = , tal que A = Domg y ' x-5 B = Rang. S ix0 £A a y0 g B, calcule el valor de

D)

B) <0; 1]

<9 [-4 ; 0 )u {0 ;4 ]

<-~ ;4>

E) <-4; 4)

----------

16 D om / : / {x) G R so lo si — - 1 > 0 y x * 0

*o+yoA) 18

Resolución

15

D) 12

C)

14

E)

5

Resolución Hallemos A g(x) e R <-4 x - 5 * 0 44 x * 5, I ucgo, A = Domg = R - { 5 } .

16

- 4 * y > l y x * 0 —> 16 > x

x¿

—> -Jx2 < >/l6 y x ^ O 4

,

y x^ 0

|x |< 4 y x ? ^

-4 - 4 < x < 4 y x * 0 - 4 D o m / = [ - 4 ; 4 ] - { 0 } = [ - 4 ; 0 ) u <0; 4] CLAVE

(C

P R O B L E M A N .° 42

Resolución

Determine ei rango de la función h

Hallemos el dominio.

.,

_ x 2- l ix)

A) <-oo;0) 0)

■Jxix2 ~ a ) > 0 <-+ V x ( x V 2 ) ( x - 2 ) > i

|x |+ l B) [0;+oo )

< -~ ;0]

C) [- 2 ; 0]

x>0 a (x+2)(x-2)>0

E) {-o o ;-2]

Resolución

Se trata de hallar los valore s de

|x| <1. „

„ w

-2

a partir de

0

2

—» D om /= {2; +° °)

x 2 - i lxl2- i 1x1+1 W + 1

( U l - i J J W f íí llx k íí

También del dato tenemos x f ( x ) ~ —

x-2 + 2 r -

x-2

Com o | x | < 1

lxl-1 < 0

/)W < 0

Ran/i = (-»o; 0]

x-2

„

2

“ 1 + —

T

x-2

/ {x )- 1+ x - 2

Hallemos el rango a partir del dominio. Clave ( D

Com ox>2 —» x- 2 > 0 . ^ - > 0 x-2’

P R O B L E M A N . ° 43 _ 2

Halle el rango de la func ión

x-2

x-2

>0

/ V x ( x 2 - 4 ) > o |

1 + —— > 1 -> /(X¡ > 1 x-2 f(x)

A)

Í - ; + ° ° ) B) ( 0 ; + - )

C) [ ! ;+ « ) Ran/= (1; +°°)

D)

1 2

(1; +o«)

Clave ( E

Lu m b r e r a s E d i t o r e s ..................

P R E G U N T A N .0 44

Nota

Halle el dominio de la función

En este prob lema no se considera el radicando (2 x - l) , porque el índice

= y jx 2 - 3 x - 1 5 + ^ /2 x - l— 1....... V16-X2

del radical es Impar y t f l x - l e R para todo valor real de x.

A) (-4;-3] B) [-3 ; 4) C) {- 4 ; 5]

P R E G U N T A N .° 45

D) [ - 3 ; 5 ] - { 4 } E)

Un carpintero puede producir libreros de una misma clase a un costo de S/.50 la unidad. SI los vende a S/.k cada uno, podrá vender aproxi madamente ( 1 2 0 - k ) libreros al mes. La utilidad mensual del carpintero depende del precio de venta de lo¿ libreros. Calcule el precio de venta si la utilidad es máxima.

- 3 ] u [5; +<*»)

Resolución Recuerde

Cuando se halla el dominio de una función Implica obtener todos ios valores de la variable Independien te x para que la función esté bien definida en R .

A) 75

B) 85

D) 95

C) 35 E) 105

Resolución

Como el costo de cada librero es S/.50 y lo ven de en S/.k, entonces la utilidad o ganancia por librero es (Ar—50).

En el problema g(x)e R si x 2- 3 x - 1 5 > 0 a 1 6 -x 2 > 0 o

( x - 5 ) ( x + 3 ) > 0 a x 2- 1 6 < 0

Pero al mes vende (120-k) libreros aproxima damente Utilidad: \/w = (k-5 0 )(12 0 -k ) l/(fe)= - k 2 + 17 0 k- 6 0 0 0 -> \/w = - ( k 2- 1 7 0 k + 8 5 2 - 8 5 2) - 6 0 0 0 -> i/(fc,= - (k - 8 5 )2 + 852-6 0 0 0

V--------------------—(p *"?

-4 -3

■

V(fc)= - (k - 8 5 )2+1225

4 5

Ahora, la utilidad es máxima si (k-85)2=0,

<>xc (-4;-3]

k - 8 5 = 0 - » k= 85 (precio de venta de cada librero)

Domg={-4;-3] _CLAVE

(A )

_ C lave e s )

Fu n c i o n a

P R E G U N T A N .0 47

P R E G U N T A N .e ✓ >- o

íea /u n a función, tal que W

r

2^

- 4 ^

)

^

4 .

C f ( s

Entonces D o m / n R a n / e s igual a A)

[0; +<»)

D)

[4;+ 00)

B) [l;+ °°>

/;

¿|f -

D eterm ine el dom inio dí ;

|£>

(

y Ran/={0; + 00)

'• /

C) (0 ;+ - )

A) ( - 4 ; 3 ) U < 5 ; + - )

E) <1 ;+—)

B) ( 3 ; + - )

■*-*-*

n ció n/sie nd o

UNI 2009-11

C) <-4;3)-{9^LL 6) <-4; 3 ) u < 5 ; + c ^ - { 0 ; 1}

^Resolución Notemos que hallar el dom inio de / implica hallar los valores de su variable independiente

E)

(x-2-s¡ x ) y hallar el rango implica obtener to

Resolución

dos los valores de 2 (x - 4 a / x ) a partir de x > 4 para am bos casos.

Com o Ran/=(Q; + —) -+ /(X)>0 .

¿ - 4 ; 3 >

u

< 5 ; + ~ > - { 1 }

Pero

x5-5x4+7x3-3x2

x - 2 V x = V x 2- 2 > / x + l -l = ( V x - l )

-1

x

2 -

x

- 2 0

x

2 + 7

>0

C o m o x > 4 <-» V x > 2 ++ V x - l > l ->

(V^-1)2>1

x

2 (x 3 - 5

( x - 5 ) ( x +

0

-0

4)

x 2 ( x - l ) 2 ( x - 3 ) > q (x-5 )(x + 4)

<-> x -2 -v /x > 0 Dom/=[0;+—)

Como x2(x - l) 2>0 para todoxÔ a x * l .

También 2 ( x - 4 " / x ) = 2 ( V x 2 - 4 V x + 4 - 4 ) = 2 (V x —2)2 - 8 Vx> 2

La inecuación equivalente a

x - 3 ----------------

( x - 5 ) ( x + 4)

>0;

x g {0; 1; - 4 ; 5}.

(> / x -2 )> 0 4- »

O

- 3 )

(V x - l)^ l> 0 x - 2 - J x

C om o x> 4 o

x

(Vx~2)2>0

2 ( V x - 2 ) 2 - 8 > -8 4-» 2 ( x - 4 V x ) > - 8 2(x-4-/x)

o

R a n / = [- 8 ; + —)

.’. D o m /n Ra n/= [0; +—) n [-8 ; +©o)=[0; +00) Clave ( a 5

->

x e

< - 4 ; 3 ) u <5; + ° ° ) - { 0 ; 1 }

.-. Dom/=<-4;3)u<5;+o°)-{0; 1} C lave

97

Lu m h u e r a s E d i t o r e s

P R E G U N T A N .0 48

Resolución

Oblonga el rango de la función h, tal que

Co m ox> 2 —> Do mg ={2;+co)

/il(l)

Hallemos el rango a p artir de su dom inio x> 2.

A)

%lx7 ~ 4 x + 3 6 + l . |1 ; 4-oo>

B) [ 2 ;+ » }

C) [1; 3]

I)) <3; l-~>

-+ ( x - 2 ) > 0 y

x - 2

>0

'

E) [ 3 ;+ - ) Luego por el teore m a: MA > MG se tiene

Revolución x-2 +

Nótese que existe en R para todo x e R (por ser Indice impar)

9 x - 2

> D o m / r-R x - 2 + ------ > 2 ^ 9 x - 2

Hallemos el rango a part ir de su dom inio. 4x+4 +32 + l +32 + 1

> />'(x) , ComoxeR

- >

(x - 2 ) g

x-2+ R

—

x-2

>6

> ( x - 2 ) 2> 0. x+

■ ( x - 2 ) 2+ 3 2 > 3 2

------

x-2

>:

9(X)

m

> \/32 > '/ (x - 2 )2 + 3 2 + l> 3

------

h[x)>3

hM

Por lo tanto, el Rang=[8; +°°) y su menor ele mento es 8.

Ronh =[3; +°°)

Clave Clave ( E

P R E G U N T A N .0 50 P R E G U N T A N .0 49

Halle el rango de la fun ción /

Diirin la función g, tal que si /(*) ü!*l X + J ~ i ‘ X > 2

x2+l x ¿ —X +1

indique el menor elemento del rango de g. /A) A) 11 l>)

O

B) 9

cy s E) 5

2

D) [2;+oo)

B) <0; 2]

C) (0 ; +oo) E)

1 ; +J

(C

FUNCJONtS

Resolución

Resolución

Hallemos el Dom/.

Hallemos el dominio.

D om / = { x g R / x 2- x + 1 ^ 0 ) l)e ro x 2- x + l > 0

x-2 01 2 > 0

V xg R (teorema del trinom io positivo)

» Do m /=R

Vx-2012-l?/o

a

x> 2012

a

x * 2013

Domg=[2012;+~)-{2013}

Se sabe que si (x; y) e / —> y= /|X) x 2+ l ; es decir, y > 0 -> y - 2 x -x +1

Ob tenem oTe hang o a partir del dominio. Pero

y x2 - y x + y = x 2 + 1 ^ (x) =

-» ( y - l ) x - y x + ( y - l ) = 0 Co m ox G R , entonces en la ecuación en x: A > 0 (tiene raices reales). Lue goA = ( - y ) 2- 4 ( y - l } 2 > 0 3y2~8y+4>0

x-2 01 3

_V x - 2 0 1 2 2 - l

V x - 2 0 1 2 —1

V x - 2 0 1 2 -1

_ ( V x - 2 O 1 2 + l ) ( V x - 2 0 I 2 - l )

- 3 y 2+ 8 y - 4 > 0

^X^20I2"-1

(3y-2)(y-2)<0 9¡x) = (V x —2012 + l)

2/3 ys

Comox>2012

a

x*2013

x-2012>0

a

x-2012^1

Vx-2012 >0 Ran/

a

V x - 2 0 1 2 =£1

2

Vx-2012 +1>1 Clave ( A

9(x)

—1 A

P R E G U N T A N .° 51

a

V x - 2 012 + 1 * 2 ff(x)

9 { X ) * 2

-> Rang=[l;+°°)-{2}

SI el rango de la función g, tal que x-2013

0(x) —

es [a;ib)
Luego [a; ó) u
calcule el valor de b 2 - a 2 . V - o2 =3 A) 0

C) 1

D) - 1

E) 4025

CLAVE ( B ) 0 'í

I UMBRERAS EDITORES

P R E G U N T A N .° 52

P R E G U N T A N .° 53

()p la fu nc ió n / = { ( l - 2 t ; t 2 - t ) / t > o }, halle su

Dadas las funciones / y g cuyas reglas de co rrespondencia so n/(X)= |x | y 9'(x) = 5, ¿c uá nto s puntos de coordenadas enteras pertenecen a la región interior limitada por las gráficas de / y g?

regla de correspondencia y su dominio.

A } / {X) = x 2 + l ; x > l B) /{Xj= x 2 - x + l ; x > l

A) 12 x2-l C) f w = — — ; x < l

B) 15

D) 19

C) 16 E) 20

Resolución

X ¿ - 1

E) / M = —

Esbocemos las gráficas d e /y g en un mism o pía no cartesiano. ;x < l

Resolución SI (x; y ) G / —> x = l - 2 f > f=

1 —X 2

a

a

y = t 2- t ; t > 0

2 y=r - t

Reem placemos (I) en (II) se tiene •> y =

1-xf

( l - x \ l- 2 x + x 2

( 2—2x

x2- l j . -x2- ! > y = ------- ; es decir, flx) = ------4 (x) 4

Nótese que los puntos de intersección de las gráficas se dan cuando sus imágenes son iguales o s e a f {K)=g {x) -» |x| = 5.

Hollemos el dom inio. Co mo t > 0

—> x= 5 o x = - 5 y estos valores son las absci sas de los puntos de intersección.

-2t< 0.

> l r -2t< l

Del gráfico se nota que los puntos de las coo rde nadas enteras que se encuentran en el interior de la región RP Q son los resaltad os y en total son 16.

x

X - 1 '■ ^ ) = —

D o m /= ( - o ° ;l) Clave

(C i

C l a v e (C)

Funcionts

g

P R E G U N T A N . ° 54

y

A)

Dada la siguiente gráfica.

~

i

1 -2

¿2 -1 °

Y ‘

B) 0

1

<1-2

Calcule el área de la región sombreada, s¡/¡xj=-\/x. A) 8 u D)

j é )

10 u2

12 u2

*

" ¿2 -1 °

X

y .

C)

^ J k 1 -2

C) 18 u'

12 -1 °

X

12 -1 °

X

E) 27 u" y

D) ,

Resolución

1-2

Del gráfico se nota que la base del rectán gulo es n -4 y su altura es m. Tam bién/(4)=m y /(n)=3 , p ero/(x)= V x. / ( 4 r V 4 = m y / (n)= V ñ = 3

i

Y . 1

E) 0

o“ 2

12 -1 0

X

+ m = 2 y n = 9 Resolución

Luego base = 9 - 4 = 5 y altura = 2

Redefiniendo la función se tiene

A a = 5 x 2 = 1 0u 2 1 ;— >0 x+ 2

C l a v e CB,

x-2 /(X) = s§n

0;

x+ 2

—

x+ 2

=

- l;^ < 0 x+2 P R E G U N T A N . ° 55 Señale la gráfica de la siguiente función. x - 2 /{x ) = s g n

x +2

l ; x < —2 v x >2 * * f(x) ~ 0; x = 2

-1 ; - 2 < x < 2

0

I UMHRERAS EDITORES

l'or lo tanto, la gráfica pedida es

Recuerde

Y - 1 X -2

S i D > 0 - 4 sg n(D ) = l

i

Así: s gn (25) = 1; sgn(>/2 )=1; s gn (x2+ 1 ) = 1 X2 -1 °

X Clave ( A ,

r— - x < - 1 v

/ ( * ) - lx|

x>l

1; - 1 < x < 1

P R E G U N T A N .° 56 I shoce la gráfica de la sigu iente función .

/( x)

X sgn(2012); |x|< l

/ l W = ¿ ¡ ;X < _ 1 V X > 1 [f2{x)= 1; - 1 < x < 1

Luego graficando por separado se tiene

Y

A)

1 _> ! -1

1

X

C)

Y

1

X •----1 A

l>)

Y1 i -1

E) -

t 1

Y

-1

1

•X

1 X

Ahora uniendo las gráficas se tiene 1

X

Y ‘

Resolución

-}

1.1 (unción equivale a ; ( x - l } ( x + l )> 0

-1

1

X

/<> 1; - 1 < x < 1

Clave

IB .

Funcioni

P R E G U N T A N .° 57

ahora de (I) y (II): [x] < x < l[x

(irafique la función g cuya regla de correspon-

—» [x ]= x , esto solo es p o sib l^ six e Z —> D o m g = Z

dencia e s g¡*) = V í x l - x + f l x ]

Luego g(X) W x - x + x ; x e Z \ ^ g (x j = x ; XfA))

Finalmente; la gráfica de g es

B)

y

/

S °

-3-2-1

X

Y\

A ,_1 2 3 X

/ T -

2

-3

C) _Clave

P R E G U N T A N . ° 58 Si f e s una función lineal, tal que {{ 3; 8 ), ( - 1 , 4 ) , (a ; 7 ) } c / D)

calcule el valor de a.

Y •— O

3 2 -3-2-1

1

•— 0 •— 0

•— C>

-2

0

-3

--

D) -1

1 2 3 4 X

9-^. •

A) 1

/>

C) 3 E) 0

Resolución f e s lineal : f^ = m x + b ; mÔ Tenemos que (3; 8) E / —¥ /(3j—8 —> 3m +b = 8

Resolución Se sabe que [x ] = /i o

n< x< n + l; n €

( - l ; 4 ) e / —» / (_ d = 4 - » - m + ib = 4

M < x< M + i

Luego 3 m + b - ( - m + b ) = 8 - 4

[ x ] < X

también Domg: [x ]]- x> 0 <-> [x ]> x

I

—> 3 m + b + m - b = A —> 4 m =4

i

—» m = l a - m + b = 4 —> ¿>=5

(C )


Entonces/(x)=x+5.

Resolución

Como {a; 7) e / -> f (a) = 7

f e s lineal

-> 0 + 5= 7 -+ o= 2.

—» Gês una recta.

Como/{_1) = 7

Clave (B

—> ( - l ; 7 ) e / .

T am b ié n/(2)= 1 —> ( 2 ; l ) e / . Ubiquemos estos pares ordenados en el plano R 2 y po r estos puntos trazamo s la recta. Así

P R E G U N T A N .° 59 Se a/u na fundón lineal, tal q ue /(_1j = 7 a / ( 2 ) = 1. Esbo ce su gráfica.-

_C

laVE

(D )

P R E G U N T A N .° 60 S ea n / y g dos funciones cuyas gráficas se muestran. f {x]= x + 3

a

g [x)= ^ x - 2 n

/

Calcule el producto de las pendientes de G f y Gg. A) 1 D) -3 /2

B) 3/2

C} - 1 E) -2/3

'

FUNdONIS

Resolución

Resolución

Calculemos la imagen de cero en ambas funciones.

Hallemos g ^ .

=f '/{*)) = 2 -/(x) +1 = 2(2 x + 1) +1

/{o>=3 A 9{ o ) = " 2 n En la gráfica se obs erva que 9(0) = 2 '/ ( o)

x

g[x)=4x+3

-2 n = 2(3) —> n = -3

Dibujemos la gráfica de g.

Luego f [x) = lx + 3 a g w = - | x + 6 Como las pendientes de las gráficas de funcio nes lineales coinciden con su coeficiente prin cipal, entonce s

X

sw

0

3

-3 4

0

y ) 3

/

X

- 3 / 4/

m f = 1 a m g = - ~

mc

Aho ra dibujemo s la gráfica de | g |.

— Clave

P R E G U N T A N .° 61 Sea /(X) = 2x + 1 una fu nción , tal que 9{x)~f{fwy Esboce la gráfica de |
P R E G U N T A N . ° 62 Sea/(x)= - x 2+ 6 x -5 una función, tal que el má ximo valor d e/(x) es b y f(a) = b. Calcule el producto ab .

B) 14

A) 2

C) 10 E) 7

OY 12 Resolución Calculemos b.

En/(X)= -x 2+ 6 x- 5 completamos cuadrados. Asi (x2-6x+9-9)-5

I UMBRERAS EDITORES

- / M = 9 - ( x 2- 6 x + 9 ) - 5 > /m * 4 - ( x - 3 ) 2

Nótese que/(x) es máximo cuando (x -3 )2= 0

x - 3 = 0 - 4 x= 3

I uego/|Xj máximo es 4 -» b=4 Calculemos o. D e/ (0) = b tene m os que / (0)= 4 - { q - 3}2= 4

E)

o = 3.

ob =(3 )(4) = 12 Clave (D ¡ -2

h l 4

2*

P R E G U N T A N .° 63 Esboce la gráfica de la función /. / w = x 2 - a x + 2 ; / {_ D = 0

Resolución C o m o / (_ 1j = 0 —> l - o { - l } + 2 = 0 —» o = - 3 —> /jx)= -^ + 3x + 2 Su gráfica es una parábola que abre hacia arri ba: V7, cuyo vértice es V - ( h ; k) + X2 con hu = ~Xl ---- (semisuma de raíces de /)

y k = f (h). Luego h=~

-> k = f^ 3

V = —3 ; —1 i: vértice 2 4 Por lo tanto, la gráfica d e /e s

C lave (C ,

F u n c i o n i *.

P R E G U N T A N .° 64

P R E G U N T A N .° 65

Sea/(X)=x2+fax+c una función cuadrática cuya

Sea g ( x p flca es:

gráfica se muestra.

X

3 - o x + ¿ )

una fundón cúbica cuya

r

m

Calcule gf(1). Calcule el valor de M = x 2x 2+ x1x |.

A) 0

B) - 1

-2 / i ) 12

B) 8

D} 4

C) ~ E) - 3

C) 6 E) 10

Resolución

De la gráfica se observa que Resolución

•

Q(-1)=0

De la gráfica observamos que el vértice es

-> ( - l ) 3- q ( - l ) + 6 = 0 ;6 < 0

V = {3 ; - 7 ) , luego:

—> 6 = l - o

f [x) = 1 ( x -

3)2- 7

•

- a

Luego: o3- o 2 + l- o = 3

—> /jxj= x2-6 x+ 2

q3- q 2- o - 2 = 0: o > l

y tiene raíces x1( x2, tal que X i+ x 2

=6 a

g¡Q)=o3- a 2+6 = 3; o > l

-> ( q - 2 )( q 2 + o + l ) = 0 ; q > l + —> a - 2 = 0 —> o = 2 a 6 = - l

x 1x 2 = 2

Debemos hallar M. M = x 2x 2 + x : x | = x 1x 2{x x +x2)

E nto nc es , g ^ j= x 3- 2 x - l .

M =2 (6) = 12

ff(1) = l - 2 - l = - 2 CLAVE

(A)

_ C la v e Í D )

lUMBRERAS EDITORES P R E G U N T A N .0 66

P R E G U N T A N .0 67

Esboce la gráfica de la función h.

Esboce la gráfica de la fun ció n/ .

/i(Vj= 2x3-3x2- 3 x + 2

t - * 4

A)

B)

Z 1

X

Resolución Nótese que Dom / = R - {0 }, Luego •

A x S i x > 0 - » f(X)=— - = x 3 x

leñemos /7(x)= 2x3- 3 x 2-3 x + 2 ; fyo}=2.

•

SiX< 0 -> f M = — :

Fnctorizamos h^ = (x+ l ) (2 x - l) ( x - 2 ) .

Entonces

Resolución

1 I nlonces las raíces son -1 ; - y 2. 2

Ix ; x > 0

^ r | - x 3; x < 0

l uego, la gráfica es

La gráfica de f e s

CLAVE

(B,

Clave

(E

Fu n c i ó n »

P R E G U N T A N . ° 68

La gráfica d e /( |X|) se obtiene reflejando la gMIl ca de/sóbre el eje Y. Así

v a / u n a función/ tal que _ J U I- 2 ;

x< l ‘

[ s g n ( l- x ); x > l Esboce la gráfica de/^|X| Y*

A)

B)

2

X

1

X Clave (A )

Y —

Is

V \ / I

P R E G U N T A N . ° 69

X

Esboce la gráfica de la función f( x ) = V Íx Í - 1 .

D)

Y

1

Y

E) -----

-2 \

/ _____ X

c-

1

\ '

Y ‘

B)

Y

/B )

Y

X ^/

X

Resolución Nótese que S i x > l —> l r x < 0 Luego

—> s g n ( l- x ) = - l

Y

v _ ílx l- 2 ;

x< l

~~|- 1 ;

x >1

X

La gráfica d e /e s Y


Resolución

Y .

c)

Nótese que •

Dominio: D o m /= R

•

/(>-*) = V M - i = V ü

2 X

1 ~ f[x) f e s una función par.

Dibujemos la gráfica d e /p a ra x> 0. f{x) = V ^ - ly lo reflejaremos sobre el eje Y. Así

E) Luego, la gráfica de f e s Y / \ /

Resolución

X

Hallemos el dominio d e / C l a v e (E

/ (x)e R

<->■ 4 - 2 x > 0

x< 2

Luego Dom/=(-c«; 2], P R E G U N T A N .° 70 I sboce la gráfica de la función /. f{x) “ > /4-2x

Para dibujar la gráfica d e / escribimo s / |xj = - J - 2 ( x - 2 ) y nos damos cuenta que de y = V - 2 x obtene mos la gráfica de/, trasladándole a esta dos uni dades a la derecha. Así

Y 2 -2

^ X

^2 2 X

Clave

(C

*

flIN I IONI ....................................................................

P R E G U N T A N .0 71

Luego, la gráfica de /e s

Esboce la gráfica de la función /(X)= x 2- | x | + l ; x e R .

1 P R E G U N T A N 0 72 Sea/una función cuya gráfica es

Esboce la gráfica de

Resolución Escribimos la fun ción así: x 2 —x + 1; x > 0 x2 + x + l; x< 0

Completamos cuadrados en cada caso.

=|/(X_i ) - 2 j


R es olu ció n

P R E G U N T A N . ° 73

Dibujemo s la gráfica de h en 3 paso s, a pa rtir de l«i gráfica de/.

Sea g una función cuya gráfica es

ID ib u je m o s y=/(X_ i) trasladando una unidad a la derecha la gráfica d e /w . Así

Esboce la gráfica d e /^ p g ^ . |X|

2.° Dibujemos la gráfica de y= /(x_ i¡ - 2 despla zando dos unidades hacia abajo la gráfica anterior. Así

1." Ahora para obtener la gráfica de /i(Xj = l/(x- i) ~ 2 | re fleja m os re sp ecto al e je X ' la gráfica de y=/ ¡x_ i) - 2 donde y< 0. Así

CLAVE

(A ;

F u n *

Resolución

Y

B)

Y

Nótese que /{_ x)=g (1_ |_ x|)= g{1_ |x|)=/M —> f e s una función par.

X

X

Luego hallemos la gráfica de/para x<0. x<0: /M=g(1+xJ Tras lad em os la gráfica de Izquierda.

una unidad a la

D)

Y

v E > 2 x

1 X

Resolución C o m o/ es par reflejamos esta curva con respec to al eje Y. A sí

Escribimos /¡ x )= \ - J - ( x - l ) - 2 \ . Luego dibujemos la gráfica d e /e n 3 pasos:

1.° Para obtener la gráfica de y = y j - ( x - l ) tras ladamos la gráfica d e y = V ^ x una unidad .i la derecha.

Y y=V=x Clave (B

X

P R E G U N T A N .0 74 Esboce la gráfica de la función/, / , „ = k / I ^ - 2 1 l


2,° Desplazamos la gráfica de y - - J - x + í dos

/ )•

unidades hacia abajo y obtenemos la gráfica de y = V - x + 1 - 2. Así -2

C) ,

2

X

Y

D)

3.° Ahora para obtener la gráfica de / w = l^ - x + l- 2 | reflejamos respecto al eje X la gráfica de y = V - x + "l - 2 , donde y<0 . Así

Resolución Escr¡b¡mos/(x) = l + ( |x| —l) (| x |- 3 ) y notamos que/es par:/(xj=/(_x). -3

X

Luego, dibujamos la gráfica de / cuando x> 0: /(xj= l+ ( x - l) ( x - 3 ) y lo-reflejam os sobre el eje Y. Así Gráfica de/cuan do x> 0.

C l a v e (E

Nótese qu e/jx¡ = 1 + ( x - l ) ( x - 3) = ( x - 2)¿

P R E G U N T A N . 0 75 I sboce la gráfica de la función /. /{*)1 1 —(1 —lx l) ( lx | - 3 )

2

X

t

1-UNClONtN

Resolución

Luego, la gráfica de f e s

Dibujemos la gráfica de h en dos pasos:

Y

1.° Esbocemos la gráfica de/j|X|), reflejando so bre el eje Y la la gráfica de/cuando/jx)£0. Asi

-2

Clave (A ,

P R E G U N T A N .° . ° 76 76 Sea/una función cuya gráfica se muestra. 2 ° Ahora, reflejamos sobre el el eje X la gráfi gráfica ca dr para/(|X|)<0, así obtenemos la gráfica de ft{x)= ft{x)= |/(|x|)|-

Y

^

|

V ; V \ / V i V

t Esboce Esb oce la grá fica de /i(x) /i(x) = |/(|

2

-2

A)

B)

Y

\ÍT\ o r J

X

Y

• x

1

/ —^ X V \ /

C l a v e (JE)

____

C)

l ' \A A

a a

)

X

P R E G U N T A N . ° 77 77 Indique el número de soluciones reales de la

D)

ecuación x 2 - 4

Y

x

+3

= VM + 2. 2.

1 A

' i \A A

/ X

a a

)

X

A) 0

g) g ) 2

D) 3

E) 4 ir


Resolución

Resolución

Sea / w = x 2 - 4 x + 3 = ( x - 2 ) 2 - 1 y g [x)= ^ \x \+ 2 . Entonces, el número de soluciones reales de la ec u ac ió n/ (xj= g (x) esta dada por ía cantidad de puntos puntos de corte entre las las gráficas gráficas d e / y g.

De la gráfica se observa que las raíces de la fun ción /d e grad grado o n mínimo son

Grafiquemos las las funcion es.

x 1= -3

(raí (raízz simple) simple)

x 2= l

(raíz (raíz simple)

x 3= 0

(raíz sim ple)

4 = x 5 = 2

x

x6=x7=4

(multiplicidad 2) (multiplicidad 2)

Nótese que en x=2; x=4 la gráfica es tangente al eje X, X, luego estas raíces son de mutiplicidad dos, pues n es mínimo. I L ue u e g o, o , / (x (x, = ( x + 3 ) ( x - l ) x ( x - 2 ) 2( 2( x - 4 ) \ i —> el grad grado o de /e s n - 7 Nótese que hay dos puntos de corte entre G ¡ y Gg; luego, hay dos solucion es: x 1 y x y x 2 reales. _C

lave

(

c

'■ hn)=f( 7) = (1 0)(6 ){7 )(5)2(3)2 = 94 500 Clave

)

P R E G U N T A N . ° 79 Dadas las las funcione s

P R E G U N T A N . 0 78 Sea / (x)= (x)= xn + a 1x '," '1+ 02Xn-2 + ... .. . + on una función pollnomial cuya gráfica gráfica es

_ |2 x +l; ^

“ [3 ;

9 (X)- V x ;

0
l< x< 4

calcule calcule M = (/ 2 + 3g){1j 3g){1j + (/ ' g )(4 )(4). 18 D)

B) 12

9

C) 10 E) 6

Resolución SI n es mínimo, calcule el valor de/¡n).

Tenemos que M = f {1) {21) + 3 ■ g {1) {1) +/ + / [4) [4) ■g (4). Como

A) 10 500 D) 94 500

B) 2 1 0 0 0

C) 63 000

•

/ (1) = 2(1) 2( 1) + 1 = 3 a / (4) = 3

E) 105 000

•

g (1 (1j = V T = l a g(4)=V4=2

(5)

FUNCION!

P R E G U N T A N .° . ° 81 81

Entonces

Halle el rango de la fun ción —. , ' g /(X /( X) = |x | + 1 ; - 3 < x < 5

/W=3 /W =322 + 3 - ( l ) + 3(2 3 (2 ) / W= W = 9+3 + 6 = 18 .

g ^ = x 2 - |x| +1; - 2 < x < 7 Clave A)

[0; 3)

D)

[1; 9]

B) <2; 9]

C) [1; 20) 0

[1; 6]

P R E G U N T A N . ° 80 Resolución

Dadas las funciones / (x)= (x) = x 2- x + l ; x € R +

Escribimos f ^ ~ | x | 3 + l ; - 3 < x < 5 y

g = {(

9 (x )= lx lx l 2 - | x | + l ; - 2 < x < 7 .

(2; 3), (3; 0), (5; 1), (0; 2)}

calcule la suma de los elementos de rango

Notem os que g|X g|X)^ 0; V x g ( - 2 ; 7 ).).

de ( f + g ) .

Luego •

A) 32 D)

35

42

C) 4 0

El dom inio de — se calcula así 9 Dom — | = D o m / n D o m g = (( - 3; 3 ; 5 ] n { - 2 ; 7) 7) 9

E} 48

Resolución Dominio ( f + g ) La regla de correspondencia es

Como D om /= R.+ a D om g= {l; 2; 3; 5; 5; 0} 0}

_/(*)_

y D o m { /+ /+ g ) = D o m / n D om om g

(X) 9{x)

—> Dom (/+g) = { l; 2; 3; 5} 5} Luego, Luego, calcu le las imágenes.

lx|3+l lx¡2lx¡2- |x | + l

-f =1x1 + 1 U Jw

(/+ 9)( 9)(U =/(i)+9( =/(i)+9 (1) = 1 + -1 = 0 (/+9)(2)=/{2) (/+9)(2)=/{2) + 9(2) 9(2) = 3 + 3 = 6

•

El rango rango se calcula a pa rtir del dom inio -2
(/ + ff)(3 ff)(3)) =/(s) =/(s)+9(3) +9(3) = 7 + 0 = 7 (/+0)(5) =/(5 =/(5)+9(5 )+9(5)) = 21 + 1 = 22

-+ 0< lxl <5

-+ Ran/={0; 6; 6; 7; 22}

Por lo tanto, la suma de los los eleme ntos del rango rango es es

~¥ 1 < l x l + 1 < 6 - + 1 < | 9

0 + 6 + 7 + 22 = 35. 35.

Ran T Clave (

b

)

<6 (X)

= [1; 6] _C

lave

(JE)


P R E G U N T A N . ° 82

P R E G U N T A N .° 83

Considere las funciones reales 1 / w = x 2 + l y 9(x) = ~-

Dadas las funciones reales V 9 ( x )= V 4 ^ 7 halle el dominio d e /o g.

Halle el rango d e /-g . A) R \ ( - l ; 1)

A) [- 2 ; 2]

B) R \ { —n/2; y j l )

B) [ - 2 ; - V 3 > u { V 3 ; 2 ]

C) [- 2 ; 2]

C) [-- s/3; V 3 ]

\ R \ < - 2 ; 2 ) E)

D) ( -2 ; - V 3 ) u ( V 3 ; 2)

R \ [ - 2 ; 2]

^

Resolución

[- 2 ; - V 3 ] u [ V 3 ;2 ]

Resolución

Tenemos que

Hallemos^ l dominio de /.

Dom/=R y Domg=R\{0}

/ (xj € R

Luego

l-x > 0

<-» x < l

Luego Dom/=(-°°; 1].

Dom(/-g) = R \{0 }

Hallemos el dominio de g.

Además

g ^ E R (/• g)(x)=/(x) •9 ( x ) = Of2 + 1) •-

4 - x2>0

o

x 2< 4

- » |x | < 2 - > - 2 < x < 2

X

Luego Domg = [ - 2 ; 2 ].

(/■Gf){x)= x + —; X

Hallemos el dominio de {/ o g) .

Gráficamente

D o m ( /o g ) = { x / x g Domg

a

gêDom/}

Es decir xe[-2;2]

1]

a

-2
a

V 4 -x2 < 1

-> - 2 < x < 2

a

4 - x 2< 1

0
a

-> 3
x2>3

V3<|x|<2

y ¡ 3 < - x < 2 v V 3 < X < 2

Nótese que:

-> - 2 < x < - V 3

H . in (/ -g } = ( - ° ° ; - 2 ] u [2 ; + ° ° ) = R \ ( - 2 ; 2 ) _CLAVE (b

v V 3 < x< 2

D o m (/o g ) = [ - 2 ; —> / I ]u [ V i ; 2 ] _C

lave

(F )

Fu n c i o n i s P R E G U N T A N .0 84

P R E G U N T A N .° 85

Dadas las funciones

Dadas las func iones

f { x ) = ' l x - * 2 v g {x)= x - i

/= 4f l;

halle la función h = f o g .

2), ( - 2 ; 3 ) ,

(3 ;- 2),

(-1;

4 ) , ( 0;

1} }

s v r 2* - 1; 1*1£ 2 calcule la suma de los elementos del rango dt»

A)

la función g o f .

= V x - l;x > l

B} h{x] =-\¡4—x ; 0 < x < 2 B)

A) 4

p f h[ x)= y l - x 2 + 3 x - 2 ; l < x < 2

D)

-3

C) 2 E) 0

-1

D) h(x) - \ j x 2 + 4 x; 0 < x < l E) / jw = V x ^ - 3 x + 2 ; ~ 2 < x < - 1

Resolución Hallemos el dominio de g o f .

Resolución

Dom(g o /)= {x/x g Dom /

a

f ^ e Domg}

Hallemos el dominio de /. / w e R

o

x - x 2> 0 o

x 2- x < 0

Es decir

-> x ( x - l ) < 0 -> 0 < x < l Luego Dom/=[0; 1], El dom inio de g es R .

gê Dom/}

a

Es decir xe R

a

g(xj s [0; 1]

- » XG

R

A

0 < X - 1 < 1

->

R

A

1 < X < 2

— >

XG

l < x < 2

- 4

-1 ; 0} a

- 4

x

g

a

)/M J < 2 - 2 < / (x }< 2

x e { l ; 3 ; 0}

{1; 3; 0}

(s ° / )( i) = S ( / i1j) = ff(2) = 3

(1; 3) e

(f foA B ) = % ,) = 9 ( - 2 i =- 5 -> t3; - 5 ) 1

(g o/)(o)=fif(f(0))=fl(i)=1

Domh = [ l ; 2 ]

( x - l ) 2 =

V - x 2 +

í°;!)€

Luego g o / = { ( l ; 3 ), ( 3 ; - 5 ) , ( 0; 1)}

f yx ) - ( / 0 ff) (x ) “ / ( f f( x ) ) - V 9 ¡ x ) —9'2(x)

J ( x - 1 ) -

x e {1; -2 ; 3

a

Hallemos g o f

Regla de correspondencia de h

/•,. =

- l ; 0 }

-> XG {1; - 2 ; 3 —1; 0 }

Hallemos el dom inio de h - f o g . Domh = {x /x e Domg

x e {1 ; - 2 ; 3

3 x -

—> Ran(g o / ) = { 3 ; - 5 ; 1 }

2

Por lo tanto, la suma de los eleme ntos d el rango /)(x ) = V -

x

2 + 3

x

- 2 ;

1 <

x

e s3 + - 5 +l = - l .

< 2

Clave ( C

Clave f u )

l u m u re r a s E d i t o r e s

P R E G U N T A N .° 86

ft i 3

Snan las funcione s

D) 4

B) 2

C) 1 E) 5

/(ir 11)= *2; * e < - i ; 7] U{M. ^ = 2 x - l ; x e [l;+°°>

Resolución

Si [g o /) jmj= 9; calcule Q[m).

Tenemos que

A)

3

B) 7

!)) 5

C) 6

•

(/O ff)M « /(flM)= 2-g M + 3= 2(m x+ 6)+ 3

•

( g o f ix} = g (f {x))= m - f M + 6 = m { 2 x + 3 ) + 6

E) 10 Entonces 2 {m x+ 6 ) + 3 = /77(2x+3) + 6

Resolución

—> 2 f f t x + 1 2 + 3 = 2 f r í x + 3 m + 6

Tenemos que

—> 1 5= 3m + 6 —» 3m = 9 —¥ m = 3. Como g(x_ 1( = 2 x - l ; x e [1; +«>),

(|) Clave (A Í

rntonces si x= 5: g(4)= 2 (5 )~ l= 9 . Luego 9 (4) = 9, ent on ces f {m] = 4. S ie n d o /(x+1)= x 2; x G < - l ; 7]

P R E G U N T A N .° 88

/ (m)= { m - l ) 2= 4 ; ( m - l ) G (- 1 ; 7] ■ -* m-~l = 2 —»

Sean las funcion es /(*) = [ x | + 2 ; x e < - l ; 0)

m = 3

/ TC K gw = s e n x ;x e ( - - ; -

\ n (I) hacemos x= 4 y obtenemos

H alle /o g si existe.

9'fm ) = S ,(3) = 2 ( 4 ) _ 1 = 7

'■ 9{m) = 7 A) { / o g ) (x) = s e n x + 2 ; x G ( - - ; 0 Clave ( B f) C)

( / o 9)(x)= |senx| + 2; x g ( - —>0 ( / o g){x)=

|senx|

-2;

x

g

P R E G U N T A N .0 87 v . m / y g dos f un c io n es , t a le s q u e / (x) = 2 x + 3 a

D) { / o g ) (x)= s e n x - 2 ; x G ^ —j ; 0

Ü(„l mx + 6 ;m * 0 . SI V x i R : ( fo 9)(x)=(9 of)^xy calcule el valor de m.

E) No exis te ( f o g).

; 0

FlJNCIONI S Resolución

P R E G U N T A N . ° 89

•

Sean las funciones

Veamos Veamos si ex iste /o g. Com o D o m / = ( - l ; 0 ) y

/( / ( x p X 2 - l ; x e ( - 3 ; 1)

n n Rang:—
y

2

(i) (i )

2

—> - l < s e n x < l —> - l < g ( x ) < l —» R an g = {-1 ; 1)

g [x [x)= | x | | + 1 ; x G < - 1 ; 0 ) H alle /o g si si exist existe. e.

A ) ( / o g ) (x) = x 2; 2; - l < x < 0

Luego

B ) ( / o g ) w = x2 x 2+ 2 x ; - ll< < x< 0

D om f n R a n g = ( -1 -1 ;

C} ( / o g ) M = x2 x 2- 2 | x | ; x e { 0 ; l }

—> E x i st s t e / o g

D)

( / o g){x g){x) = ( | x | +1)2; +1)2; x e {- 1 ; 0 } No ex iste/o g.

Hallemos el dominio de/o g. D o m ( / o g ) = { x / x e D om om g a g¡x) e Dom/} Es decir

Resolución

xe

— ■> —

n

2 1Z

2

a

<

x

k

< —

2

a

Veamos si existe existe / o g. g.

senxe (-1 ; 0)

Dom/=<-3;l)

„ . -l
71 < X < — A

71

2

2

R a n g : - l< l< x < 0 —> —> 0 < | x j < l -» l < | x |+ l < 2

_

- » l < g w <2

—> R a n g = ( ll,, 2 }

Luego Dom{/o g

Luego )

0 ).

D o m /n Rang Rang = (- 3 ; 1) o (1; 2 ) = i[>

Hallemos la regla de correspondencia.

Por lo tanto, tanto, no ex ist e /o g,

(/ o ff)( ff)(x) x)=/ =/(g (gM M)= l9(x)l + 2= Isen xl +2 Luego ( / o 9r)(x)= )(x)= |sen x| + 2

Otra forma Otra manera de determ inar la existencia existencia de / n y

Finalmente ( / o 9){X)= Isenx| +2; x e

°

es hallando el dom inio, si este es vacío / o y no existe. Veamos

CLAVE ( b )

D o m { /o / o g ) = { x / x e D om o m g a g (x} e Do m /}

IIJMBRERAS EDITORES

s decir xe (-1;0)

a

P R E G U N T A N .° . ° 91

g(x g( x )e <—3 ; 1)

> - l< x < 0

a

—3< |x | + 1<1

S e a /(Xj= /(Xj= x2+ x + 1 una función función respecto respecto a las

>-l
a

-4<|x|<0

funciones reales.

absurdo —» - 1 < X < 0

a

g(x)=/(x)+/(-x) A ^{x)=/(x)-/(-x)

X 6 <(>

x e (|)

Indique Indique el enu nciado correcto.

Como Como no hay hay dominio, entonces no exis te /o g. Clave ( E )

A ) g es g es Impa r y h es par. B) g y h son son pares. pares.

P R E G U N T A N .° . ° 90

C) g y g y h son impares.

Dadas las las funcione s

R ) g es g es p ar y/? es impar.

'

.2

| x ¿ + x , x e { 0 ; 10 10 )

f{x)~

ff|X|

E) g y g y h son impares.

l 2 x - l ; x e { - 5 ; 0) 0) I x + s í x ; ; x e (0; 5)

Resolución

[x 2;

Analicemos g.

x e (-1 0 ; 0)

calcule el valor de M ,

C o m o / (x (x) = x 2 + x + l

M J ¿ 0 g-2)(4)

/ (- 1)= x 2- x + l

i) g(x)= /(x)+/(-x) /(x)+/(-x) = 2x + 2 Luego g(x)= g(x) = 2x +2

B) 8

A) 6 D) 16

E) 20

M = 2x +2

a

g(x)=g(-x)

9 es par

Resolución

Analicemos h.

Tenemos que

Como Como /{ /{ X)=x 2+ x+ l

( /o / o g ~ 2 ) (4 (4j - ( / o g )( )(4)- 2 - / ^ ( í | ) - 2 =/(6 =/(6)- 2 = 62 62 + 6 -2 = 4 0 (^' ^}(i) = /(i) ‘ 9(i) =

/ ( - X )= )= x 2 ~ x + 1

Luego

2-2=4

Como

—> hVM) = 2 x

M _ ( / ° g ) |4 |4 ) “ 2 : 40

a

V x ) = - fy fyx)

h,_xj=-2x h es impar

Por lo tanto, g es g es par y h es Impar.

M = 10 Clave

122 12 2

=

(C

Clave (D ,

FUNCIONIt

P R E G U N T A N .° . ° 92 92

Demuestre que el producto de dos funciones impares es una función par.

L ue go í e R a (x + 7") g R , entonces la la fundón fundón coseno es periódica con periodo T. Cuando k e Z +: 7= 2j t; 4t i; 6tc 6tc;; ... ... Luego, Luego, T = 2ti es el periodo m ínimo.

Demostración

Sea h = f - g con Domft Domft = D om / n Domg Domg

Ahora Ahora veamos q ue /w =co sx es es una funci función ón p.i p.ir. Se axe R

- » (- x )

g

Ry

Luego d o n d e / y g y g son son funciones impares.

f { —x ) = co s(—x s(—x ) =

Luego Luego,, V x; - x e Dom/j Dom/j..

f(x) =/ ( - x ) i V x e R .

f ( - x ) = f { x ) A

- * / (- x ) ■

Así, la función coseno es par.

9 { - x ) = 9[ x)

= /w ■ g {x]; {x]; X e Domfi

-> (/■g)(-x)=(/,9}(x)iXG Domh —>

C O S X —/ —/ j x )

P R E G U N T A N . ° 94 94

Se a/ : (- 1 ; 2] —» —» R una función, tal que que

x e Do m h

Por lo tan to, h es una función par.

/(X /( X) = a

3

2

H alle su rango.

A) Ra n/= (-co; 22] 22] P R E G U N T A N . ° 93

Pruebe que la función coseno es una función

B) Ran/=(-°°;7]

periódica par con periodo m ínimo T=27t. T=27t. C) R a n / = / ~ ; + °° °° Demostración

Veam os que /(xj=c /(xj=c o sx es una una función función periódica.

Ran/=(

y

Supongamos que existe existe 7V 0 , tal que E) Ran/=(-7;+°°) c o s ( x + r ) = c os o s x; x; V x e R x Tomemos en part¡cularx=~ part¡ cularx=~ . ( ti ) n _ „ eos —+ t t = co s— —> - s e n l = 0 U ) 2 - > s e n f = 0 - ¥ T= T= 2 k n- ,

k e 1.

Resolución

Podemos escribir ( - i ; 2] 2] íi M

-A Ü f2(x)

I UMBRERAS EDITORES

Como /1(x,

Y h{x) -

" li

X "• j -

son

crecientes

A) [-2;4]

C)

D) [- 4 ; 2]

E) [- 2 ; 2]

V x c ( - 1 ; 2] (nótese en la gráfica) entonces / (j(p X 3+ —

Resolución Como g es sobrey ectiva, enton ces Rang = [ l ; 10]

es cre cie nte V x e <-1 ; 2],

l< g (x)< 10

l< x - 2 x + 2 < 1 0 0
^

0 < { x - 1 ) 2 < 9 -> 0
-> 0 < | x - l | < 3 -> | x —1 ] < 3

1 2 -1

-5* - 2 < x < 4

D o m g = [ - 2 ; 4 ]= A

-1 -1

- 3 < x - l< 3

1 2 X

C lavé

Recuerde La suma de funciones crecientes es creciente.

P R E G U N T A N .° 96 Dadas las funciones / = {(3 ; 5), (2 ; 3 ), ( 5 ;- 3 ) , ( - 2 ; 5)1

Luego

g = {{-2 ; 2), (2; 3), (3; 5}}

/|x ,-=x3+ — -j- tie ne dom in io : D o m / = {- l; 2]. ( mon ees, su rango es Ran

h alle g * o / * . A) {(3; - 2 ), (2; 5), (-3 ; 3)}

Nótese que en la gráfica de /2, / 2(_i ) tiende al-«> . ( om o/w = /1M+ /2(xl, entonces

B) {(3; - 2 ), (5; 2), (-3 ; 3)} C) {(- 2 ; 3), {2; 5), (3 ;-3 )} D) {{2; 5), (3 ;- 3 ), (5; 2)}

/ [_ 1) = ( - l ) 3 + ¡ -o o) = ~ o o

E) {(3 ;-2 ), (5; 2), {-3 ; 3), (-2 ; 5)} f

- 2 3 + ” 2 - 22

fw -2 +T - J

, Resolución

Han/={ -oo; ^

Se sabe que g * o / * = ( / o g) * = ? Clave

(D ,

Ahora hallamos/o g. 9

f

P R E G U N T A N . ° 95 SI la función g\ A —> [1; 10 ] con regla de com-.pondencia g(xj=x 2-2 x + 2 es sobreyectiva, hrtlle A.

fo g

I UNÍ lONt *»

/ o g = {{~ 2 ; 3), (2; 5), (3 ;-3 )}

1 2 5 - > - + ---------- > - 1 —» - !< /( > 4 3 3(3 x + 2)

( f o g e s biyectiva)

/(*)

(/ o cj)* = {(3; -2 ), (5; 2), (- 3 ; 3)} C lave CB.

R a n / = ( - l ; - } = D o m f *

Nota P R E G U N T A N .0 97 Halle el dominio de la inversa de la siguiente

Todas las funcion es con reglas de correspon dencia de la form a 2x + 3

fu nció n / , , = 2- t 3. ; x e { - 2 ; - l ) . {x] 3x + 2

f ( x ) —

3x+2

son inyectivas.

Pues si { x2; x 2} c Domf a f {Xi) = f(Xf) A) ("1 ; 1)

2Xi + 3 2 x 2 + 3 —» — ± ¿ ---3 x1 + 2 3x2 + 2

c) K E)

D> < - i: -

<—i ; —2>

Resolución

6 ^ x ^ + 9 x 2 + 4 x 1+ 6 =6 ^ 1x 2 + 9 x x4 4 x 2-l-6 —» 5x 2 = 5x1 —> x 2= x 1

Piden Do m /*, pero Ran/=D om /*.

lo que implica que/es Inyectiva,

Hallemos el rango. Pero 2 x+ 3 /(*) =

2x+3 =

3x+2

3

_C LA V E ( C )

2

2 6x + 9 -6 x- 4 2 + - = 3(3x+2) + 3 3

3x+2

P R E G U N T A N .° 98

3(3x + 2)

Dada la función g, tal q ue Como

5x + 3 = - — - ; x > 1, h .illt

su inversa.

-2
- » - 6 < 3 x < - 3 —> - 4 < 3 x + 2 < - l A >

S ( x ) :

' x —3

nl * 2 x-5 B) 9'x>= i 7 - l

-12<3(3x+2)<-3 1

—» —»

12 2 3

>

1 3(3x+ 2)

1 >

3

5

5 »

2 5 >—| > 12 3 3(3 x + 2) ------------

5

5 >— > 12 3{3x+ 2) 3 -----------

5

2 1— 3 3

------

_> * 2x c) 9 w = I ^ 3-x

D) 9|”x|= 3 ^ 5

x-3

E) 9

i iiMm tERAs E d i t o r e s

Kriolución Inyectiva por la form a de su regla de co rrespondencia y también es suryec tiva, pues no conoce el conjunto de llegada; entonces g es biyectiva. q

Se nota que / es inyectiva V x 3] v V x e [3; +°°). Pero por dato Dom/=[£>; +<*>), entonces [b ; +°°) cz [3; + ■»}, es decir, b > 3. Por lo tanto, el m eno r valor de b es 3. _C

I Inllemos la inve rsa de g. De r = 0 (x) =

3x + l

> x {3 y - 5 ) = 3 - y

Si la fu n c ió n /:[ 4 ; 7] —> [n + l ; m ] , 2 x n tal que f (x) = ------- , 6>r> es sobreyectiva, halle x-3 la longitud de su rango.

3-y 9{y)~ 3 y - 5

3-y 3y-5

PREGUNTA N.° 100

3 -x 9(y)

(¥ )

5x + 3

5x + 3 •> y = ------- -> 3 x y + y = 5 x + 3 3x+l

+ x=-

lave

A) 3

3x-5 C lave

D)

B) 4

C) 3,5

5

E) 2

Resolución Por d a to /e s sobreyectiva, entonces P R E G U N T A N . ° 99 ( .ilcule el men or valor de b para que la función /:(/ ;; -h») —>R , tal que/(xj= x2-6 x+ 6 sea inyectiva.

R a n / = [ n + l ; m] . Hallemos el rango. Pe ro^ ) =

A) 16 l)| 2

-2

C) - 3 E) 3

Resolución Se llene que/(X)=x2-6 x + 6 = (x -3 )2-3 . ' /(„) =U-3)2-3.

-> /(*)

2 x - n x-3

6-n

x-3

„ 2x-n-2x+6 „ 2 + 2 = ---------------------- + 2 x-3

+2

T am bién 6 > n —> 6 - n > 0 . Ahora 4 < x < 7 —> l< x - 3 < 4 . 1 •> i -> 1>x-3 4 —» 6 - n > - —- > - — x-3 4

(6 —n > 0)

- .8 - n > ^ +2 > ^ +2

L

*

P R E G U N T A N .0 102

14-n

—> R a n / = -»

14-n

14-n

FUNCION! N

Si la fu n ci ó n /: [0; 3] —» [2 ; 11] q ue tie ne p or n> gla de correspondencia a f ^ ~ a x + b es creclon teysu ryec tiva. Halle el valor (/* o f * ) ^ y

i - n = [n + l ; m]

—> 10= 5n y 8~n =m —> n = 2 y m = 6 Luego Ra n/= [n + l ; n?]=(3; 6]

C) - 4

B) -2/3

A) 4/3

=n + 1 y 8 -n = m

D) 2/3

E) 3

Resolución

L o n g (R a n /) = 6 - 3 = 3

Por ser/ cre cie nte y suryectiva se cumple que Clave (A ,

P R E G U N T A N . 0 101

—» o -0 + b = 2 y 3 a + b = l l i -+ b = 2 y 3o + 2 = l l o=3

Luego /(x) = 3 x+ 2 .

Calcule el valo r de a2+ b2 si la función g-.[a; 2] —> [2; 6], tal que

/(0) = 2 y / (3) = l l

Hallemos la inversa d e /a partir de y= /¡x) = 3x i 2

| x —1 [ +2

y —2 -+ y = 3 x + 2 - » x = - ----

es inversible. B) 10

A) 2

f* Ju. (y )

C) 5 E) 34

D) 13

V-2 .. x-2 ^( y ) r “ 3 c a m b lo v p o rx : h * ) = —

Resolución Como la func ión es Inve rsible, entonces es biyec tiva, o sea es sobreyectiva e inyectiva a la vez. •

Por se r sob reyectiva Rang = [2; b]

«

Por ser inyectiva es creciente o decreciente, es decir, (g{o)=2 a g{2)=b) o [g{a]=b a g(2}=2). -+ (|o-l|+ 2 = 2

a

|2-11 + 2 = b)

(|a-l| +2=b

a

12 —1 1 + 2 = 2)

— > ( | a — 1 1 = 0

a

( | a - 1 1+2 = b

3 =b )

h / ¿v = V -

_C

lave

*

(c)

PREGUNTA N.° 103 Dada la función/definida por la regla de corres ponden cia /w =

Esta opción es incorrecta. a

--2

v

absurdo

-+ (0=1

( r ° n {ir r { Q = f '

4 -2

v

3 = 2)

a

Finalmente

calcule el valo r de o3-:

para que se cumpla que Dom /-1= R - {4 } y /= / 1.

b = 3) -

o2+Jb2= l 2+ 32 = 10

A) 4 C lave

D) 8

B) 8/7

C) 1/4 E) 7 1 7 /

I UMHURRAS EDITORES

Revolución I' di ddto / = / _1 ( / “ 1: es otra notación de la in versa de / ) , entonces la inversa de /e xis te y lo hallaremos a partir de y

,, . ax + 7 ax + 7 / ( * ) = — - - » y = - — 2 x - b 2 x - b —» 2 x y ~ b y = a x + 7

■

- t í - S

s s

. l-2 x +Vx2-4 c) 9{x)= --------- 1--------- ;

/

. -4]

D)

* 2 x-V 4 -x / , S(*) = ----; ^ e(-co; -4 ]

E)

* 2 x - l +V l-4 x / i --------fif(x)= -------- 1 ; xe(-co; -6]

Resolución Veamo s si g adm ite inve rsa; es decir, g debe ser biyectiva. Como no se conoce el conjunto de llegada g es suryectiva*

•ero c om o D o m / 1= R - { 4 } y / = / 1. > R - ||J = R - { 4 } y

Para ve r si g es inyectiva esbozarem os su gráfica.

ox + 7 _ bx + 7 2x-b

A ho ra c o m p a r e m o s - = 4

a

2x-g

Si

- x ; g2(x) - - V - x

a=b. 9{X)= gi( X)+g 2¡x)’ X ^ - 4

-» o=8

L u c r o

° 3

- -

b

=

83

—

8

=

a

b = 8

Y .

o

8.

Clave

4

(D )

X -2 i ------- - 4

V

P R E G U N T A N . 0 104 ’ii'ii I.) función g, tal que g ^ = x - 4 - x ) x e <-«>;-4].

-6 g

Determ ine su inversa si existe. .. . A)
2 x - l- V l- 4 x

, , ; x e (- o o ; - 6 ]

lt. . l- 2 x +V l-4 x 2 “) W (x) ; ---------- ; x < 6

Se observa que g es creciente en su dominio lo que Implica que es inyectiva. Como g es surye ctiva e inyectiva existe su inversa. A d em á s , R a n g = ( - °o ; - 6 ] .

FU NC IO N!1»

Hallemos

Ahora hallemos g * x y De y = x - V - x

—» 4 - x = x - y -+ - x = ( x - y ) 2

- x = x 2- 2 x y + y 2

De y W x 2 - x + 2

y2=x2- x +2

x 2+ ( l - 2 y ) x + y 2 = 0 -> x 2- x + ( 2 - y 2)= 0

_ - ( l - 2 y ) ± V ( l - 2 y ) 2 - 4 ( l) (y :

- ( - l ) + 7 ( - l ) 2 1- 4 ( l) ( 2 - y 2 2y-l+Vl-4y 2

_ l+ ^ l- 8 + 4y2

* 2 y - l± V l- 4 y ff(y) —----- ^

2

De cam biar y por x se tiene

Como

2x-l±Vl-4x ; como g(_ g)= -4 ^(X) —*

2x —1 + V l - 4 x

••• f f ( x ) = ----------- 1

p.

*

/

x > 0 -> x -

-----------

1+ J4y2 7 » /(y)- —

c -\

;D o m g * = ( - ~ ; - 6 ]

Clave

l+ J4 y 2-7

(E.

Cambiemos y po rx.

1+V4 x 2 - 7

1+J4I x2- -' 1

/(x ) --------- 1-------

l+ 2 j x 2 P R E G U N T A N .° 105 Si la inversa de la función / :[ l;+ « > ) - »

[o; +<“ ), tal q u e /(x) = V x 2 - x + 2

es la función f ^ ~ b + ^ x 2 + c , calcule el valor

de o2+ 2ó-4 c. A)

10

D)

11

1 >C*)“ 2 + f

2

7 -4

Pero por dato /(*) = b + V x2 + c. B)

C) - 4

9

E) 12

-+■ ~ + J x 2 - ~ = b+ y/x 2 + c 2 V 4 7 C om p are mo s: o.. = -1 y c - - —.

Resolución Por d a to / * existe, e n to n ce s/ es biyectiva, lúe; r / , r v . .. go Dom /= [1; +=») y Ra n/= [a; + 00) esto implica q u e /e s creciente en todo su dominio —»/(i)=o . - * V i 2 —1 + 2 = a

o = V2

•> <-2 „ 1 „ o + 2¿ -4 c = -v 2 + 2 x — 4 x 2

=

10

_CLAVE

(A ) 32‘>

I UMHRERAS EDITORES

PREGUNTA N.° 106

Cambiemos y p o r x .

SI la regla de correspon dencia de la fu n ció n /e s f{X)M^/x~ l + l 1esboce su gráfica.

A)

Y

/ J , = (x - 1 ) 3 + 1 Esbocemos su gráfica.

B)

1

r

/

1

/

X

Como pedían la gráfica d e /q u e es la inversa de / * se obtu vo por r eflexión a la re cta y = x re sp ec to a la gráfica de/*. Clave ( B

P R E G U N T A N . 0 107 Calcule la suma de las solu cione s de la ecuación exponencial ..-i 2x+l

A) 2

B) -1

C) 1

D) 0

E) -2

Resolución

Resolución

L«i función / e s suryectiva. Ahora v eam os si es Inyectiva para {x2; x2} c: D om / a

Resolvemos la ecuación así 2x+l sÍ2

+l =

+l

x + 2

a

= > / 2 x ; x * - 2

x * 0

^ X i —x 2 v

2 x + l =

ontonces/es inyectiva.

x

I l.illemos su Inversa.

+

2

1 ^ - ; x g

-> ( y - i ) 3 = x - i

/ J j = ( y - 1 ) 3+ 1

->

x 2 = l

. { - 2 ;

.. 0}

x

2 x 2 + x = x + 2

I)t> y * 3 / x - 1 + 1 -¥ y - l = y / x - l

x i (y - l)3+ l

i

—>

- 4

( x = - l

2x 2 =

V

x

2

=

1)

.'. X i+ x2= —1 + 1 = 0 Clave

ÍD ,

I IJNl IO N I*.

P R E G U N T A N . 0 108

Resolución

Halle el dom inio de la fun ción /.

Escribimos la inecuación así JX| _1

f { x ) = y ¡ e * - e x ; e= 2,7182818...

!=\X I

< v2

V I 2 lxl_2< ^ ,xl A) Dom/=[0;1]

Como la base £>=V2>1, entonces

B) Dom /= [-1 ; 1]

V ? u|- 2 < V 2 lxl _> 2 W - 2 < W

C) D o m / - [ - l ; 0]

—» |x| <2 -> - 2 < x< 2

D) Dom/=[-e;e]

••• CS = {- 2 ; 2)

E) D o m / = R - < - l;l )

C lave ( E Resolución

Dominio de/ / w e R

e *-e *: >0

P R E G U N T A N . 0 110

-> ex2
Esboce la gráfica de la función g.

—» x 2< x —> x 2 - x < 0

>=

9 [ x ) :

2 W -1

- » x ( x - 1 )< 0 - » 0 < x < l ;.

y

A)

Dom/=[0;1]

1

B)

C l a v e (A# X

P R E G U N T A N . 0 109

í

x

C)

Resuelva la inecuación exponencial 2 l* l- 1< V 2 N . X A) [O; 2) B) < -V 2; V2>

D)

Y

C) <0; 1)

D} R - < - 2; 2 ) E) (~ 2; 2)

X I i

I UMBRERAS EDITORES

li

Resolución

Resolución

N ót ót e s e q u e V x e R .

Nótese que la base b - |x |+ l es positi positiva va mayor o igual que 1. Es decir decir ¿> = |x|+l> l.

« M l = 2 ll-- ’"’" - l = 2 l 'l' l - l = g M

Adem ás, en la inecuación inecuación

> g es g es una función par.

( | x | + 1 )2 ) 2^ 2 “ ^ > ( | x | + 1)x+2

Dibujemos la gráfica de g para x > 0.

xÔ (pues no verifica ia inecuación)

x S 0 : gM gM = 2x - l . A sí

Lueg Luego o |x |+ l > 1.

Y *

Escribimos la inecuación así blx¿blx ¿- 2x>b 2x>bxx +2 ) b > l X

finalm en te, lo reflejamos reflejamos sobre el eje Y, a s í

-> 2 x 2- 2 x > x + 2 - > 2 x 2 - 3 x - 2 > 0

- » (2 ( 2 x + l ))(( x - 2 ) >0 >0 Por el m étodo de puntos críticos críticos tenem tenem os

CS= (—< (—<»; —- )u (2 ; +« + «> } Clave

P R E G U N T A N .° I I I

P R E G U N T A N . ° I 12

Ki*suelva la inecuación

Halle el el rango de la la fu n ció n /. Si

= V 2

3senx-l

(|x | i-l)2( i-l)2(x2- x)> (|xj + l) x+2 A) CS —

U) CS = ^—

A)

Ran/= i ; 4 .2

C)

Ran/=

-~û(2; +°°)

——^ u { 2 ; + 00)

i ;

4

B)

Ran /= [0; 2]

2

D) Ra n/= ( 0; ^ l ) C S - ^ -° -° o ;

E) Ra n/ = ( —; 2

+“ Resolución

D)

CS ; { - o o ; - 2 ) u ^ ; + <

Nótes Nótesee que Do m /= R S abem os que V x e R : - l < s e n x < l .

I) CS i<-oo; i<-oo; 2)

(B ,

—> - 3 < 3 s e n x < 3 —> - 4 < 3 s e n x - l < 2

Fu n c i o n i '• P R E G U N T A N . 0 114

Dada Dada la función función

jl+ lo g iX , halle halle su dominio dominio..

* * 4 * / ( * ) £ 2 B) Do m /=(0; 1)

Ran/ = i ; 2 4

Clave ÍC ' D) Dom/=(0; - ) PREGUNTA N.° 113

Resolución

Halle el el cardina l del conjunto S. 5 =

f x e

z / l o g i

E) Do m /=(0; 2]

Dominio de/

(x 2 - 4 ) > - l l

sIR

1+logiXÔ 2

A) 0 D)

B) 1

3

C) 2 E) 4

X>0

A

lo g i X ^ - l 2

—» x > 0

a

log1x>log12 2

Resolución

-> x>0

Hallemo s el conjun to 5.

a

x<2

2

0
Dom/=(0;2]

x e Z : l o g 1 (x (x 2 - 4 ) > - l

CLAVE CLAVE ( D —

¥

x 2 - 4

—> x >4 x

2 > 4

a

> 0

log1(x2-4)>log15

a

x -4<5

a

x

4 < x 2 < 9

PREGUNTA N.° I 15

Calcule el área de la región sombreada.

2 < 9

-> 2< |x | <3

2<-x<3 v 2
D) 24 u'

E) 30 u“

IIJMBRERAS IIJMBRER AS EDITO EDITORES RES Resolución

Resolución

De la gráfica se tiene lo siguiente:

Hallemos el dominio dominio de /.

•

(7; (7 ; 1 ) e f

f {7) {7) = 1

logü5 logü5 = l -> b —5

Luego Luego / (x] = log5 log5(x - 2 ) •

Dibujemos Dibujemos la gráfica gráfica d e /

(o; 0) e / —> / (o)=0

log5 og5(a - 2 ) = 0 -> o -2 = l

•

l - x > 0 - » x < l —> D om om /= /= ( - © o; o; 1 )

o=3

De la gráfica de y=log3x obtenemos la gráfica de y=log3(y=log3(- x ). Así

(c; (c; 2) e / —> /(c)= /(c)= 2 —> log5 og5(c - 2 ) = 2 c-2=25

c=27

Luego, el área pedida es A = ¿ t p _ a ) u2 = (27 (2 7 —3) u2=24

u

2

í

Clave (D .

Luego para para / [x) =4og =4og33( l - x ) = ¡og ¡og3[3[- ( x - 1)] 1)] tenemos que trasladar la gráfica anterior una unidad a la derecha. Así

P R E G U N T A N . ° 11 1 16

Y

Esboce la gráfica de la función /

/i(xj /i(xj = log3< l - x ) .

1

B)

X

) C la v e .

P R E G U N T A N . ° I 17

S e a /: (-8 ; 2] 2] —» R una función, función, tal que que / w = log lo g 1 { | x | + 8 ) .

l>) l>)

E)

y \ \

Halle su rango. A) Ran/=(-4;-3]

B) Ra n/= [0; 4]

C) R an /= (-4; 3] D) R an /= [0; 4)

E) Ra n/= [3; 4]

(D

F unc ioNr%

Resolución

—» (log 2 3 - l ) l o g 2 x < 0 ; x > 0

Nótese que D o m /= (-8; 2]

+

- » - 8 < x < 2 -> - 8 < x < 8

—» log2x< 0 ;x> /0 - » log2x< log 2l ; x> 0

—> 0 < | x | < 8 —» 8 < | x | + 8 < 16

—> x < l a x ¿ 0

lo g i 8 > logj ( | x | +8) > log i 16 2

2

/. 0 < x < l -U CS = <0; 1)

2

\ CLAVE CU)

_ 3 - / (x )> _ 4

Ran/=<-4; -3 ] _Clave

(A )

PREGUNTA N.° I 19 La cantidad de cierta sustancia en el Instante t está dada por •2 kt, donde t es el tlcm

P R E G U N T A N .° 118 Resuelva la inecuación logarítmica log1x > lo g 1x. 2

A) (0; 1)

B) (0 ; -

c) (o ; D) (1; + °°)

3

po transcurrido, k es constante y C0 es la canti dad de sustancia en el instante t=0. Determino el tiempo que debe transcurrir para que la can tidad inicial se reduzca a la cuarta parte.

A» \

c ) !

D) k E)

E)

2k

(log32j+co) Resolución

Resolución

Si t es el tiempo que debe transcurrir para quo:

Escribimos la inecuación así

c C(tp 4 '

•log2x - :l >log3x ‘' 1; x> 0 —> -lo g 2x> -log 3x; x> 0 —» log2x< log 3x ;x > 0 ilog2x< lo§2x ; x > 0 log23 ( lo g 2 3 )l o g2x < l o g 2x ; x > 0

ento nce s Cn •2~kt= — . ' 0 4 2 , - k t =

► 2 -”k t =2, - 2

- k t = - 2 -> kt= 2

t=C lave

(B )

i iiMHHi: ras E ditores

N

ivel a v a n z a d o

+-> 16 > 8+ 2^ /-{x —2)2+ 16 >8 '

P R O B L E M A N .° 120

?

16 > y2 > 8 ++ ^ £ > ^ > ^ ¡ 8

D.hI.i Id función/: S - * R , tal que /,„)

A)

| V2 ; 2 ]

B) [V 2 ; 4 ]

C) [ 2 V 2 ; 4 ]

15) |2 ;6 1

E) [2; 4]

Dom/:x+2>0 >

x

s

- 2

a

C om o y = V x + 2 + - v / 6 - x —> y > 0 . ++ 4 > y > 2 ^ 2 R a n / = [ 2 V 2 ; 4]

Resolución

•

++ 4>|y|> 2-s/2

6

a >

6 - x > 0 x

+ +

- 2

Otra forma < X

<

6

Se tiene -

< ► D o m / » [ - 2 ; 6] H.illemos el rango d e/ . Pero si (x; y) e / -+ y= f(Xy > y

> / x + 2 + y ¡ 6 - x - +

y 2 = ( V x + 2 + V 6 - - x )

> y 7 ■8 + 2 y j(x+ 2 )(6 —x)

8 + 2 i / 4 x - x 2 + 1 2

> y 1

8 + 2 V - ( x 2 - 4 x + 4 - 4 ) + 1 2

> y J

8 + 2 V - ( x

- 2 ) 2 + 1 6

- 4 < x - 2 < 4.

• > 0 - ( x - 2 ) 2 <, 16 <

>

0 . * - (

«

>

I b

•

x

+

C o m o - 2 < x < 6 -> 0 < x + 2 < 8 a 8 > 6 - x £ 0 .

{X+2]+2 l6- X )>4TXT2 )i6 - X) -+ 8>2V(->f + 2)( 6- x’ )> 0 -+ 16>8+2V(x+2)(6-x)>8 '

1 6

?

’

-+ 16 > y 2 > 8, pero y > 0

- 2 ) 2 £ - 1 6

-(x -2 )2

-+ y 2 = 8 + 2 V ( x + 2 ) ( 6 - x )

Luego por el teorem a: MA > MG se tiene

‘ y J

( orno - 2 á x ^ 6 o

y = V x + 2 + V 6 - x ; D o m / = [ -2 ; 6]; y > 0

>

0

-+ A > y > 2 s¡2

< > V i 6 2 V “ <*—2>2 +1 6 > 0 Ran/=[2V2;4] <

► 4 , ‘V

«

» H ■' 2 ^ - ' ( x - 2 ) 2 + 1 6

t tí.

.(x - 2 ) 2 + 1 6 > 0

> 0

_C LA V E ( í )

(UNI 11>N| •, PROBLEMA N.° 121

C o m o x < - 2 —> x - 2 < 0

Se definen las funciones/y g, tal que

- » g(x )= ^ R x + 2 )+^/x+ 2 - x —>

; x > 3 y

=-^1x^2 +_>/•*+■2 - x

g¡x) = \ j( x + 2)2 +%/x+ 2 - x ; x < - 2

ff(x)= - x ! Ahora de x< - 2 se tiene ^x >2 —> g^ > 2

Calcule el número de elementos de R a n /n Rang.

—> Rang = <2;+oa).

»(x)

Luego A)

0

D)

3

B)

C) 2

1

R a n /n Ran g= {0; 1; 2; 3}n < 2 ; +<*•)={3} un solo elemento,

E) 4

Clave ( B ) Resolución Por dato Dom/=(3; +<*=}, ahora hallaremos su rango. Como x> 3

P R O B L E M A N . ° 122 Sean las funciones/y g cuyas reglas de corres

x-2 > l

x2 pondencias son f¡x\=— 5— y g[X)= x 2- 2 x - i A. SI x¿+l '

1 4 0 < ------ <1 —> 0< -------- < 4 x -2 x -2

Ran/=D om g, halle Rang. A) [0; 1)

Luego se sabe lo siguiente:

B) <- 00; 4]

C) (0 ; 4]

D) (3 ; 41 S¡ o <

•

•

x-2

<1 -»

Si 1 < ------ <2 x-2 Si 2 < ------ <3 x-2 S i3 < — <4 x-2

/(x )_ 0

x-2 4 x-2 4 x-2

E} [3; 4)

Resolución =1 -» /(x)

Hallemos el dominio d e/. D o m / = { x e R / x 2 + 1 * 0 } = R Ahora, haliemos el rango de /.

=2 -> /(*)=2

„ 4 =3 ILx-2

P e ro /w =

x +1

x2+l

x í + l

/(x)=3

Es decir, Ran/={0; 1; 2; 3}.

/ ( x ) - 1— r r w x2+l C o m o x E R - » x 2 > 0.

También Domg=<-=«; - 2 ), hallamos su rango, pero 9(x) = É x + 2 \ + 3 / x + 2 - x .

-» x +1>1

0<

x2+l

<1

II

I IJMHIII l(A‘. I IHIUKI s

» o

£ -1

-4

x2 +l

>0

1> 1 -

_x^ + l

Resolución Domh:

l +

2x>0

a

1 - a / i + 2 x ^ 0

f( x ) a

2x+9-

(x2+l)2-(x2-l?3

£0

(l- V l+ 2 x ) 2 l’oi diito Ran/=D om g Do m g= [0; 1), o sea 0 . x < 1. Hallemos el rango de g.

Resolviendo por partes tenemos lo siguiente:

P t'ro g {X) = x 2~ 2 x + 4 = ( x - l ) 2 + 3.

•

l + 2 x > 0 44 2 x > - l -4 x > - -

•

l-> /l + 2x * 0 44 l * J l + 2 x

(S,)

2

1negó como 0 < x < 1 —> - l < x - K 0 , * 0 < (x - 1 )2 < 1

4 4 1 * 1 + 2x O

> 3 < { x + l )2 + 3< 4

..

2x + 9 -

Rang={3;4]

x *0

(x 2+ i ) 2- ( x 2- i r

(S-.

>0

( l- V Í + 2 x ) 2 Clave ( f f i 4 x 2x ( l + V T + 2 x )'

44 2x+9--

•>0

{ l —y f l+ 2 x ) x { l + - J l+ 2 x ) PROBLEMA N.° 123 Halle el dominio de la función h si

44

2x + 9

- Í ™

^

M

±

^

>

0

[ ( l- V l+ 2 x ) (l+ V l+ 2 x ) J j> ? | 2 x + 9 -

( x2 + l ) 2 —( x 2 - ! ) 2 (l- V l+ 2 x ) 2 «-4 2 x + 9 -

1, 45

A)

2

'

8

i

>0

- { 0} 4 4

„ „ 2 + 2 x + 2->/l + 2 x . _ 2 x + 9 ----------------------------------> 0

O

7 -2 vT+ 2x >0

10 l - i ; 8] O

4 ^ ( l + 2 V l + 2 x + l + 2 x)

; 0 u ( 0 ; 4 5]

44 7 > 2 V l + 2 x 1. ñ l -{0}

M

2' 2

44 4 9 > 4 ( l + 2 x)

l

45 <-4 45 > 8x 44 — > x

;0

(53)

FUNCIONIl,

Pero h allar el dom inio implica obtene r todos ln\ valores de x para que A > 0 y así/(*) 6 IR, como

Luego Dom^=51 n S2 n 5 3 =

1 45 2' 8

-{0}

4 >0 Vx e R, —> D o m / - R

(

Por lo tanto, el com plem ento del dom inio es i|>. 1 2

o

45

+<

_C

lave

(E )

Clave (A P R O B L E M A N .° 125

Si g es una función real de variable real, tal qur P R O B L E M A N .° 124

Señale el complemento del dominio de la fun ció n/, tal que

2ffjx) +9f(-x) -^■(s;í + 5_ x ), halle D om g-R an r;

A) [1 ;+ °°)

/(*)= W x 6 + x 4 + x 2+ 6 ) - ( x 5 + x 3 + x + 2 ) .

D) < -~ ; 1)

A) [0;+oo>

Resolución

B) (- 1 ; 1)

D) R

C) {-oo; 0>

B) [0; +°°)

C) (-<»; 0) E) (1)

Hallem os g(x) a p ar tir de

E)
2Q{ x ) + 9{- x ) = ~( 5 X + 5 * )

Resolución

^

Sea A = {x 6+ x 4+ x 2 + 6 ) - ( x 5 + x 3 + x + 2 ) = x 6 - x 5 ' a a , + x —x + x —x + 4 -» 2/4 = 2x6 - 2x5 + 2x4 - 2x3 + 2x2 - 2 x +8

„

.

I i . ..

Cambiemos x p o r - x , luego multipliquemos pur

2 en (I). Así 29 i- x) + 9(x ) = ^ s ' X + s *

(completando cuadrados) 4 g M + 2 g (_x} =3(.5x + 5 - x) 2 A= x 6 - 2 x 5 +x 4+ x 6- 2 x 3 + l + x4+ x2 + x 2- 2 x + l + 6 3g(x)^ 3Í 5* +5 ^ — ( s ^ + S * ) 2A = (x3- x 2)2 +

(x3- ! ) 2 + x4+ x2 + ( x - 1 ) 2 + 6 / 9 m = ¿ ( 5 * + 5 - )

, (x3 -x 2)% (x 3- l) +X 4+X2+(X -l ) 2+6 n -> A >0: -----------------------------------------------

Vxe R

^

Sl( x ) - - í 5X + 5 * )

I

i uMURERAS E ditores Resolución

I ut'Ko D o m g= R , ahora hallemos el rango. Y (( > 1110 x 6 R 5 *> 0 a — > 0. 5*

Del dato se tiene (STW = 3 x - 2 g M ; x > 1) v (g (xp x g (x)~ x + l ; x < 1) -> (3 gw = 3 x ; x > 1 ) v (g M ( l \ x ) = l \ x ; * < 1)

_ 2 _ ff(x)

-> (g M = x ; x > l ) v (g M = l ; x < l ) fx ; x > l

> R .ing = [l; +©°)

~ {l; x < l

Intímente

Su gráfica es

Dom g-Rang = R .- [ l; +co)=(-oo; i)

Clave (D,j

PROBLEMA N.° 126 Uboce la gráfica de la siguiente función. 3 x~ 2g M ; x > l

P R O B L E M A N . ° 127

Q(*\* x g ^ - x + 1 ; x < l

Si la gráfica de la funció n/ tal que / íx i= sgn( 0x 2 + x + o ) es

A) . y-

B)

Y

/ : 1

X

X ()

y-

V¡

l)}

y

Halle todos los valor es de a. X

A) C)

E)

1

140

X

B)

;+ . -oo*

1 ----

D) ( _ I ; 1 2 2

2 E) (l;+oa)

FUNCION! •,

Resolución

Resolución

De los datos se observa que sgn(ax2+ x+ a) = l , lo cual es posible solo si a x2 + x + a > 0; V x e R

Para esbozar la gráfica de la función, primoro tratarem os de reducir en su regla de correspo n dencia.

- > A = l 2- 4 { o ) (o ) < 0 a o >0 (por teorem a del trinomio positivo). —> l - 4 o < 0 A CT> 0 -> ( 2 a - l ) (2 a + l ) > 0

a

Se sabe que ¡x ]= n

n < x< n + 1; n s Z . [x ]< x < M + l

o>0

0 < x -|x ] < 1

©—» 2 a - l > 0

a

o>0

Fx-ITxlílUo

O> — A O>0

2

IX IX Luego en h: h,x , = x 5 '0 + — = — . K1 x x

os (

\2 C lave f Á ;

P R O B L E M A N . ° 128

|x| -> hM - T

. [l;x> 0 ^ ) - _1:x<0

Por lo tanto , su grá fica es

Esboce la gráfica de la siguiente función.

Yl

h(x )= x 5 [ x - I I x ] i l+ W 1< B)

l-l

V

X

1< ,-1

C lave ( B

X

PROBLEMA N.° 129 Sea /(xj= 3 x - 2 una función lineal, tal qu« {(m; 7), (n; 1), (8; m + n + p )} c :/ . Calcule el valor

E)

D)

- 3 - 2 - 1

)-l

X

t-O 1«—o

' | T' 1 2 x i «—ó o -i

é-ó

-2

de-W A) 18 D) 72

B) 16

C) 52 E) 42

l UMUHI-.KAS E d i t o r e s Resolución

P R O B L E M A N . ° 131

Se observa que

Se a/(xj = ox2+fa x+ c una fun ción cuadrática cuy.i gráfica se muestra.

(m ; 7 ) 6 / - > / (m)= 7 > 3 m - 2 = 7 —» m = 3 (n; 1) e / —> /(„ )= ! > 3o -2 = 1

n=1

(8 ; m + n + p ) e / > /(gj = m + n+ p

—^ 3(8)—2 = 3 + l+ p

* 22= 4+ p —> p = 18 Calcule el valor de k.

> f{p) =/(is) = 3(18) - 2

4 » = 52

A) - i Clave

(C ,

2

B) J 2

- f

D) _ £

E) - -

4

P R O B L E M A N . ° 130 Se a/: R —» R una función lineal, tal que/ (3^=10. 1 Calcule el va lor de /(2)

Resolución De la gráfica se observa que / { o r 5;/ { - i ) = 2 ;/ (- 2 )= °

A) 10

B)

5

C)

4

E)

1

D) 2

Co m o/(X) = ox2+ bx + c, entonces

CONAMAT 2009

/(o ¡-5 —> c= 5 / (_ 1j = 2 —> a - b + 5 = 2 —> o —ó —3

Resolución

/(_ 2j = 0 - » 4 o - 2 b + 5 = 0 -► 4 o - 2 b = - 5

C o m o/ es lineal, entonces f ^ = A x + B , además, /j jj 3<4+ S = 10;/(2)= 24 + B a

f^ = A

+B .

Nótese q u e /[3) = 2 - / ( 2 )- / (1) = 10,

- » 2b = 7

p u e s 3 A + B = 2 ( 2 A + B ) - (A + B ).

2

2^(1)=5 Clave

m

;

t .z 2

Como o = b -3 —> o = —- 3

’ 2/(2)- /(i) = 1° Aj )

Luego 4 ( b - 3 ) - 2 b = - 5 -> 2 b - 1 2 = - 5 .

1 2 7 E nto n ce s/,„) = - x + - x + 5 w 2 2

o=-,

2

I UN( IONI

Como h =

X-,

+ X->

Resolución

7 , = - - a k = f y j.

Debem os ha llar la func ión S¡x) que re pré sen le H área de la región sombreada y luego gmflc . k I. i Nó tese del gráfico que 5 M = 2 x y = 2 x ( 4 - x 2); 0 < x < 2

, 49 49 r k = ---------- +5 8 4

- » S (x, = 2 x ( 2 + x ) ( 2 - x ) ; 0 < x < 2 —> S (x)= - 2 x ( x + 2 ) ( x - 2 ) ; 0 < x < 2

k = — CLAVE ( D

Por lo tanto, la gráfica de S(x¡ es Y

P R O B L E M A N .° 132

J‘r \ KJ 0 2

Del gráfico m ostrado

, W X

Yy=4-x

C l a v ee ( B -2/

x \2

esboce la gráfica de la función, que representa al área de la región somb reada. Y*

A) -2

B)

Y

PROBLEMA N.° 133 Sea / una función p olinomial de m eno r grado posible cuya gráfica se muestra.

A X

2 X Calcule el valor de m h i). D)

Y -2

A) 10 2 X

D) 25

B) 5

C)

1

E)

100

l u m b r e r a s Ed i t o r e s Resolución

Resolución

/ (de menor grado posible) tiene raíces

Sea /{x)= ox 2-2 a x + 3 una función cuadrática de

X|»-l

a

raíces

x 2= x 3 = 2 (raíz doble).

ax

2.

Luego se tiene lo siguiente : Luego f [x) = o(x + l) ( x - 2)2; /(0) = 2.

•

Si a > O la gráfica d e /e s

■> /(o)=4o = 2 -> o = -

. > m = -(4 + l){4- 2 )

Nótese que

/ ji)= - a ¿ - 3 < O —>■a > 3

- » m = 10

A = ( - 2 o ) 2 - 4 o ( 3 ) > 0 ; a > 0 Además, f {1] = - ( l + l ) ( l - 2 ) 2 = 1.

4o2- 4 ' 3o > O -> 4 o (o -3 ) > O positivo

\ m /m = 1 0 1= 10

C o m o o > 0 a o > 3 —> a >3 Clave (A ,

•

(I)

Si a < O la gráfica de f e s Nótese que A > O a /¡ i) > O

P R O B L E M A N .° 134 Sim /{x)=ox2~2ox+3 una función real de raíces a x2, tal que x l < l < x 2.

I liille los valo res d e a.

A) o 5

3)

positivo

o <- ( - 3 ; 3)

11) o i < - « ; 0) U (3; +°o) D u •-

A = (-2 o )2-4o (3) > 0; o < O 4 o 2- 4 - 3 o > 0 —» A a ( a - 3 ) > 0

0 i (3 ; 0

/ ( ij= - o + 3 > 0 —» o < 3

2] U {3 }

Como o < O

a o

< 3 —» o<0.

De (I) y 0 0 tene m os o < O o e {-<»; 0) u (3; +oo)

v

a > 3.

F u n c i o n i •. Otra form a

B)

A)

r

1

Una manera más fácil y rápida de resolver este problema es la siguiente. Como las raíces d e/(X) = ox2-2 o x+ 3 ; a

Y

-1

X k

x

0. C)

Se cumple que x 1 < l < x 2. —» x x- í < 0

A

x 2- l > 0

—> ( x1- l } ( x 2- l ) < 0 x 1x 2- ( x 1+ x 2) + l < 0

E)

D)

Como x1+x2=2

a

x 1x 2 = ~ ; a * 0. o

—2

—- 2 + l< 0 -+ 1——>0; oÔ o

a

Resolución Nótese que

^->0 -> cr(o-3)>0

\x\ x f¡x) = x | x |+ -— -+ :— ■existe si x # 0, 1

Por el m étodo de los puntos críticos tenem os

ag

o) u (3 ; +<»)

X

Ix I

Luego se tiene lo siguiente: •

X X o S i x > 0 “ > /(x) = x •XH— + — = x + 2 x x

•

S i x < 0 —> fix\ = x(—x)h +— =-x - ) v' x -x

”

X

X

3

-----

x + 2; x > 0 Clave

(D ,

f{x) -

[-(x2+2); x < 0

La gráfica de/es P R O B L E M A N .° 135 Esboce la gráfica de la siguiente función . / w

= x lx l+ “

1+ r j¡

-2

_CLAVE

{O)

i j m ti r e r a s E d i t o r e s PROBLEMA N.° 136

Luego Gfes

D.ida la función x+ 1; - 5 < x < 0 h*)

x - 2 1- 1 ; 0 < x < 5 -l

esboce la gráfica de 3(X)= l/(X)_ l | • Juntem os am bas gráficas.

A)

Z.X C)

Z

.

Y*

Ahora, dibujemos la gráfica de Y = f ^ ~ l , des plazando hacia ab ajo la G¡ una unidad. Así D)

Y

NA a /

E)

Kf

/

X

Resolución

I sbocem os la gráfica d e/ . SI -5 < x< 0 > / w = x + 1

Finalmente, para dibujar la gráfica de 9{x)~ l/(x)- 1 l reflejamos sobre el eje X la gráfica de y = f ^ - l cuando y < 0. Así

lue go 6^ es

SI 0 £x <5 —>/(xj = |x—21—1

Clave ÍB ,

[ UNC IONI s

P R O B L E M A N .° 137 Si la función /(x) = o - V - x + b está representa

Para dibujar la gráfica de g debemos tr¿i‘.l.»
da por la gráfica adjunta. y *

Y

-3

Esbo ce la gráfica de 9(x)=/(x+o) + b + l-

P R O B L E M A N . ° «38 Indique la gráfica de la función/definida por

B)

A)

V't

/ [x)= |* + 2 | + | x - 4 | .

- 2

-2

A)

B)

Y

y

C) 6 x

-3

D)

c)

Y

E)

Y

-2

y-. 6

-3 -3

X

X

2

4

X

Resolución De la gráfica mostrada tenemos

/(_2) = 1 —^ o —V2 + b —1

0=1

/(_3) = 0 —> O — yj S + b = 0

£>=-2

Luego / jxj = ! - V —x - 2

a

g(x) = / x +d - 1 • 1 4 /

I umureras Editores Resolución

PROBLEMA N.° 139

Dibujemos la gráfica de /m e d ia n te un proce dim iento práctico. Como / (x) = |x —2 | + [x —4 1,

Se a/ (X|=x 4+/r7X3-i-/?x2+ p x -h l una fu nción cuyii gráfica se muestra.

x ■ IR es la suma de dos valores absolutos, en tonces su gráfica tendrá dos vértices, V1 y V2, que serán determ inados así Igualemos a cero cada valor absoluto. •

\x-2\ =0 >x=2 f{ 2) = 2 -» i/i=(2;2)

•

Calcule el m en or v alor de (o + 26 + c).

| x —4 1=0

A) 2

-> x = 4

D)

B) 4

C) 6

S

E) 12

/(4|-2

-> V2= (4 ; 2) Luego, en el plano cartesiano unimos estos vér tices me diante un segmento horizontal. Ubicamos dos puntos más de la gráfica d e /(u n o á la izquierda de V1 y otro a la derecha de V2). Así SI x = 0 —> /j^Qj = 6 —* (0; 6) e Gf.

Resolución De la gráfica se o bserva que la función /(Xj= x 4+ m x3+ n x 2+ p x + l tiene raíces po sitiva s: xx=o;

x

2 = x 3 = £ j;

x

4 = c,

tal qu e x1+x 2+ x3-l-X4 =o + 2ib + c a * i * 2x 3x 4 = a b 2c = l Aplicamos

SI x - 6 - > / (6) = 6 -> (6; 6) 6 Gf .

media aritm ética > media geométrica

A pa rtir de los vértices trazam os segm entos que p.isen por estos puntos. Así

-> Xl + X2 + X3 + X4 >

^

-> £ ± ^ ± £ > * / í 4 —» a + 2 b + c t 4 (a + 2b+c) m ínim o=4

^

FUNCIONI s P R O B L E M A N .° 140

P R O B L E M A N . ° 141

Determ ine la gráfica que co rresponde a la fun  ción /.

S i / y g son dos funciones, tales que / = {(x ; | 2 x - l ¡ )

G

ZxZ/-2
g = { (x \ l ; | x | G R x R / - l £ x < 4) halle Domh n Ranh. Considere que h- f 1 - u. A) {- 1 ; 0; 1}

B) {0}

D) {0; 1}

KC) {1 } E) {0; - 1 :

Resolución Hallem os el dominio y la regla funcion al de h. D)

y

/ (x)= | 2 x - l | ; - 2 < x < 6 a x e Z

E)

Sf(x-i)= | x l ; - l < x < 4

-2 4

X

- 2 -1 '

—> g ^ - | x + l | ; - 2 < x < 3 Como Domh = Do m / n Domg

Resolución Si /^=(x+2)(x+l)3(x-2)4(x-4)5 es una función polínomiaf de grado 13, en tonces tiene trec e raíces x x= -2 (raíz simple)

Además h ( x ) - i f 2 ~ 9 ) { x ) = f (x) ” 9 ( x)

X2 = x 3 = x 4 = - 1 (raíz triple) x5=x5=x7=x8=2

D o m / i = { - 2 ; - l ; 0 ; 1; 2}

—> h(x}= \ 2 x ~ l \ 2 - \ x - h l \

(multiplicidad cuatro)

x 9= x 10= x u = x 12= xi3 = 4 (multiplicidad cinco) Calculemos las imágenes. Así Recuerde

h(-2)= | 2 ( - 2 ) - l ) 2- | - 2 + l |= 2 4

Cuan do la multiplicidad es par hay punto de tangencia con el eje X, y cuando es impar hay punto de inflexión. Co m o/(0)= (2 )(l)( -2 )4(- 4 )5 < 0, entonces la grá fica de /e s

hr -1) !V= |2 (- 1 )- 1 |2- 1-1 + 11 =9 ’(0): 12(0) —1 1 —|0 + 1| =0 ^(1}= I 2(1)~11

11 + 1 1” “ 1

h(2)= | 2 ( 2 ) - l | 2- | 2 + l |= 6 —> Ranh= {24; 9; 0; - 1 ; 6} Finalmente Domh n Ranh = {0; - 1 }

CLAVE

ÍD j

Clave

CE

t u m i ' ui

ra s

E ditores

P R O B L E M A N .° 142

Hallemos regla funcional d e /o g.

•ítMii las funciones reales ( f ° 9 h ) = f(g íx)r ^

::é )

J a - x 2 y fl(X) = V l - x .

/(.

/ o 0 si existe.

-» (/°0 )M W

a

-V í^

x

2

-> (/og)(X)=-V4Hi^xj

A) ( / O 0 ) w = 3 + x ; x € [ -3 ; 1]

( / o g ) M = V 3 + x ; x e [ - 3 ; 1] I') ( f o g ) {K) = ^ 3 ~ x ; x e [ - 3 ; l ] C l a v e (C

O ( / o g ) w = V 3 ? x ; x e [ - 3 ; 1] I>) ( / og )(x) = V l + 3x ; x e I)

1 3

• -f- oo

No existe

P R O B L E M A N . ° 143 Sean las funciones / (x ) = x + l ; 0 < x < 4

Resolución

f2 x —3; - 5 < x < 3

Hallemos el dominio de / y g. Dominio de / A - x 2 £ 0 -> ^ < 4 -> | x | < 2 > - 2 á x á 2 - » D o m / = [- 2 ;2 ]

9{X)

{ - x 2; 3 < x < 1 0

Si h = f + g , halle Domh n Ranh. A) <0;4)

B) [0; 4]

D) 10; 4)

Dom inio de g l - x ¿ 0 —> x< 1 -> Domg = (-o«; 19]

C)

(Ó; 4]

E)

Resolución Hallemos h = f + g . Así

I Inllem os el dominio d e /o g. D o m ( /o g ) = { x s / x e Domg a g(xje Dom /} I ■.decir, x á 1 a - 2 < g¡x) < 2. * X *. 1 a - 2 < V T r x < 2 >

»

X -

X -

1

A

1 A

S e a n / (x)= x + l ; 0 < x < 4 íg 2(x¡ = 2 x - 3 ; - 5 < x < 3 Y?(x)=1 ? [s 2(x)= - x ; 3 < x < 1 0 Luego

0 £ l - x < 4

\ ( f + Q2\x)> * e 0 2 -

1

<

-

x

<

3

> X- 1 A - 3 < x < 1 > 1 • x<, 1 —¡> D om (/o g) = [- 3 ; 1]

Donde D - ^ D o m / n D om g1= { 0 ; 3 ) D 2= D o m / n D om g2 = [ 3 ; 4 )

F u n c i o n i*. PROBLEMA N.° 144

Entonces

Sean / y g funciones, tales que

x + l+ 2 x - 3 ; 0 < x < 3 h{x)

^

/

x + l - x 2; 3 < x < 4

w

= 2 x 2 -

x

- 1 ;

x s

( - 5 ; 3]

g (xí= 2 x - 2 ; x € R 3x-2; 0
2 / Esboce la gráf ica d e — . 9

hW ~ \ _ x 2 + x + 1 . 3 < x < 4

Y*

A)

Nótese que

B) /

Dom /r=(0; 3) u [3; 4)=<0; 4) Hallemos el rango de h = f + g . Si 0 < x < 3, en tonces bíx) = 3 x - 2 . C)

Luego 0 < x < 3 —> 0 < 3 x < 9 . —> - 2 < 3 x - 2 < 7 —> - 2 < /?(x) < 7 Si 3 < x< 4, entonces hu > = -x 2+ x + l . Com o /i(x) = - - [ x 2 - x + 1 a - f x - i 2 4, 4 l 4 l

D)

V

Ento nce s, de 3 < x < 4 se tien e

1

5 .

—< X

4

17

25

(

IT

22

4

l

2

< ------> — < X

E)

X

2

X

49

Resolución 49

( l Y 25 <- x— < -----4 l 2 4

Hallemos el dominio de — . 9 Do m (2/)=D om /={-5; 3]; Domg = R

-> —11< ——f x ~ ~ I

Luego

-> - l l < h ^ < - 5

Dom^— j= (Dom(2/) n Domg) - {x / g (Xj

0]

Lu eg o- 2 < h(xj < 7 v - 1 1 < /i(x¡ < - 5 . Ranh=(-ll;-5]u<-2;7)

2 /

—> Dom

= (-5 ; 3 ] n R - { l }

v

Finalmente D o m h n Ran/5 = {0; 4)

—» Dom Clave (Á ) I

i u m iini

ras E d i t o r e s

Hallemo s el rango de h po r el método gráfico.

I Lillrm os l.i regla funcional de — . g (

\

- 2 ' f M _ 2 ( 2 x 2 -

1 0 j v) , f

x ~ i

Esbocemos las gráficas d e /y g en el plano IR2 y luego sumemos las imágenes respectivas de to^ dos los elem ento s del dom inio: x € [2; 6], punto a punto. Así

)

2 x —2

g ix)

_ 2 {2 x + l ) ( ^ <

1\

O JW

í

)

= 2x + l; xe (-5; 3 ]- { l}

l « Jw

I ‘.hocemos su gráfica. Se observa que Ranh = [2 ; 2 ^/ 2 ] . _C LA V E ( A )

P R O B L E M A N . ° 146

C iA v r ( D )

Sean las funciones reales / M = 3 - 2 x ;x e [0 ; 4) g(x) =

1 - x + 2 x 2; x g

(-1; 10]

H a l l e / o g (si existe).

P R O B L E M A N .° 145

l l.illc e l rango de la func ión h. /l|„| •

A)

A) ( /o g } (x )= l + x - 4 x 2; x e ^ - 1 ;

s¡X —2 + y ¡6 —X

[ 2; 2 V 2 ]

B) [V 2 ; 2V 2 ] C ) [ V 2 ; 2 ]

i>) [2; 4]

B) [ f o g \ x ) ^ l + x - 2 x 2 ;

E) [ 2 V 2 ; 4 ] C) ( / o g )(Xj = l + 2 x - 4 x 2; x e ^ -1 ;

Knioluclón

+ 0|.|“

donde f {x] = J x - 2 y

-x.

D) ( f ° g \ x ) = 1 + 4 x - 2 x 2; x e ^ -1; ' - j

I iingu |)om/) = D om / n Domg. * Do m fi- [2 ;+ °o )n (-©o; 6] —> Domfi = [2;6]

E) ( / o g ) w ^ l - 2 x + 4 x 2; x e ^ - 1 ;

F u n c i o n i *.

Resolución

P R O B L E M A N . ° 147

Veamos si existe/o g.

Demuestre que la fun ción /, tal que

Recuerde f o g existe si D o m /n Rang & (¡)

/(*) = ^ x | x | - —j s e n x 2 es una fu nción im pa i.

Como Dom /= [0; 4), entonces 1 € Dom /.

Demostración

Además, existe 0 e D o m g = (-l; 10], tal que gr(0) = l , enton ces l e Rang.

Si / [x) = ^ x | x | - ~ js e n x 2 -> ^ V 0

Luego 1 e Dom/ a l e Rang. D o m / n R an g * (¡) —> / o g existe . Hallemos el dominio d e /o g. D o m ( f o g } = { x / x e D om g

Luego, D o m / = R \ { 0 } . Nótese que

a

g^j e Dom/} si x G Dom/ —> —x G Dom /; y

Es decir x g <-1; 10] - 1 < x < 10

a A

g{x )e [0; 4)

/{_ X) = ^ -x| - x \ - ~ j s e n ( - x ) 2

0 < l-x + 2 x 2 < 4

Nótese que 1 - x + 2 x 2 = x 2 - x + 1 + x 2 positivo no negativo

—» ( l- x + 2 x 2) siempre es positivo

-> /(-x)=-/(x)- A sí/ e s impar.

Luego, solo resolvemos - 1 < x < 10

a

l-x + 2 x 2 < 4

—» - l < x < 1 0

a

2x2- x - 3 < 0

- 4 - 1 < x < 10

a

(2x -3 )(x+ l) <0

a

—1 < x < —

- 1

< x < 10

3

- l< x < -

PROBLEMA N.° 148

2

/

3

Sea/una función cuyo dominio es el intervalo [-m; m], donde m > 0. Pruebe que/puedc ex presarse co m o /(x,= /1(xj+ /2(xj, donde f l es una función par y f 2 una función impar.

D om (/o g) = ( - l ; -

Demostración Hallemos la regia de correspondencia. (/ o g)M =/^Mj = 3 - 2 ■ g {x) = 3 - 2 (1 - x + 2x2)

Como f [x) =~ (f{x) + f{-x ))+'-( f{x )- f[- x) ) Entonces hacemo s

■ ■ ■ ( /o g ) ,xp l + 2 x - 4 x 2; x e / - l ; ¿ C l a v e (C,

1 1 fl(x)=-(f{x)+f(-x)) A fnx)=-(f{x)+f{

I uMHM h a s E d i t o r e s

Ve.unos (|u o /j, es una función par.

Resolución

Si x i l)om / = [- ¿ ;¿ ] —» - x e Dom/.

Tenemos f (x]= x 2- 2 x + 2

I ui'K<)

f M ~ { x - l ) 2 + l ; x e <1; 2)

1 *»' t\\x)

A( *\ * /|| x)

entonces Veamos su gráfica.

l ¿ ( / (- x i + / w ) = A w /i(x)

A es una fun ción par.

Ve.unos que/2 es una función impar. SIx> Domf = [ - L ; L ] —> - x e D om /. I vit’KO sl

Se observa q ue es inyectiva, ade má s, es crecien  te, entonce s tiene inversa.

l / 2{X) = - ( / w ' / ( - x ) ) í entonces 1

1

* fi\-x)r'~f\ 2 {x)

A es una función impar

f {x ) 7 i ( x ) + / 2 ( x )

I decir, / puede escribirse como la suma de dos fui ic Iones, una de las cuales es par y la otra impar.

y = ( x - l) 2+ l y - l =( x - l) 2

P R O B L E M A N . ° 149 O.h I. i In función/( x)= x 2- 2 x + 2 ; x g (1; 2),

—» /(X) = 1 + V x - l x e <1; 2) también creciente

determine el rango de [f(x)+f\x))A) (1 ,4 )

B) (0; 4)

-» 1 + ^ y - l =x

C) <2; 6)

Como / a / * so n cre cie ntes, ento nces (/+ /*) también es creciente. Ran (/+/*) = (2; 4)

5 9

FUNt IONI S PROBLEMA N.° 150

V i —"ib = — -» 4 - b = — 2 4

Sean las funcione s inyectivas /(x )= W x - x ; x e [0 ; l ]

- 4 4„ - 9_ = i.b - » -7 = b«. 4 4

% ) = (2 - % / 4 -x ) ; x e [ 0 ;3 ] Determine f p j + g , ^ 4

A) — —4-V2 4

- -lín

31 B) — - V 2 2

C) V 2 r 1(2)+5'~1f - V 6 - 4 V 2 + - = — - 4 Í 2 ^4 J 4 4

D) 1

E) f

- J i

C laví ( A

Resolución Sea f ( 2 ¡ = a. 2=Aa)

PROBLEMA N.° 151

2 = 4-Vo - o

Encuentre una func ión/ : R —» R , tal que

2 + o = 4>/a

/(x5+ x )< x < / 5(x)+/(x)

-> (2 + o )2=16 o —> 4 + 4 o + o 2 = 16 o -> o2-12a+4=0

0 =

12+VÍ28

—> a = 6 ± 4 V 2 , p ero co mo o s [0; 1] -> o = 6~ 4v^ / (2í1 = 6 - 4 ^ Seag-î)=i».

-=SW —= ( 2 —V i —b )2 4 ± —= 2 - V i - b - » V 4 ^ b = 2 ± 2 2 2 V i - b = 2 - - ya que b e [0; 3]

A) /{*|=x5+x B) f i ^ + x V 1 C) /¡X)= g-1 (x); donde g(x)=x5+ x; g" 1 es la Inversa D) ffr)~9~Hx), d on degw =x3+x5; g _1 es la lnvi*i*<.i E) No ex iste /. Resolución Como g(X)=x5+x, es inyectiva y creciente, rn tonces existe g-1 que también es inyectiva 1 creciente. f ( x 5 + x ) < x < f {5x )+ f {x) f ( g (x]) < x < g ( f {x)) A h o r a / (g (x)) < x a x < g ( / (x)) .

i i í m h h t r a s E ditores Se».» x o g 1(x).

Veamos si/ e s inyectiva para (a; b }c : {1; 2).

/ ( f f ( 9 _ 1 ( x ) ) ) < g “ 1 (x) / w á f l'V )

a

ftoíg'Hx)

a

a

Si f ( a ) = f ( b )

x < g ( f lx))

g-1(x)))

-^ -1 o -l

J - L - i U -l

g -1 ( x ) s / (x) ^

> /lx lí g _1W < / w

o -l 1

» /ix rff'V ) Clave

fa-1 1

1

a=b

ComooG(l;2>

(x-1)2

b-l~

—> f e s inyectiva o univalente

P R O B L E M A N .° 152 1

conxe (1; 2).

l
a

1 <

a

b e (l;2 )

b< 2

Indique el enunciado correcto.

0
A) /e s periódica.

— >1 o-l

H)

L_ b -1

1 _

o - l ” b -1 V o - l

(C

a-/L-b-/í

x-3 i e a / (* )= — +•

v _ ± o -l

/ es impar.

->

i ) / no tiene inversa.

A

— >1 b-l

l l „ + >2 o -l b-l

contradicción con (*)

Este caso no se puede dar.

D) /n o es inyectiva,

Como/¡x) ^ ~f(-x)>. ento nc es/ no es impar, tam

E) /e s univalente.

poco es periódica puesto que f e s inyectiva.

Ki’tolución Clave ( | )

Irnrmos x-3

1 (x-1)'

-

,

1

x -1 -2

PROBLEMA N.° 153 X2 - 4 Sea f\ A~r> B, tal que f,x) =■ x + 5x+ 6

1 | 2 h * ) *( :x-- 1~ )22 + zx -h1 +1 \2

x-1

—1

Determine A - B s i/e s suryectiva.

A) {1} D) (1; - 2 }

B) {1; - 4 }

C) {-2 ; -3 } E) {1; 3}

FUN( IONI

Resolución ,

Resolución

Jx-2)(x+ 2 )

,

x-2

Hallemos el rango de/.

_ {x + 2)(x-t-3) _

Tenem os

^

/M = ^

+1

,

/—3 s e n x - l

=V 2

;x e R

C o m o - l < s e n x á l , ento nces

Veamos su gráfica

-3<3senx<3 -> -4<3senx-l£2 ,— 4

-4 V 2 ^ < V 2

3sen x-l

2

/-

< V 2 ;f) = V 2 > l

->2 2
—;2 4

Luego, f . = î. b ' -'min Hallemos el rango de g.

D o m / =A = R —{ - 3 ; - 2 } R a n / = 6 = R —{1 ; - 4 }

\3sen2 x -1

Tenemos g ^ = j —

; x¡= R

A —B = { 1 ; - 4 } Clave (B

Como - 1 < senx < 1, entonces 0 < sen2x < 1 -> - l < 3 s e n 2x - l á 2

P R O B L E M A N . ° 154

3sen x-1

>|i

S e a n / y g dos funciones definidas por .2.

/W = ('/ 2 )

3s en x—1

y gM =

3sen x-1

; V xe R -;2

La sum a del valor m ínimo d e/ co n el valor míni mo de g es igual a

A | D,

-1

Luego, 0m(n = T • B, - I

c )3 E) 1 UNMSM 2010-11

fmin +9mfn C lAV I I A

IUMI1HI MA'i I I>1[ORfcS 1*1(0111 I.M A N .u 155 Hollé el conjunto solución

P R O B L E M A N .° 156 e la inec uació n

/(x )- lo g 2j'|o g i ( l - x )

• " * ( } * 4 -1) < 2K—16.

halle su dominio.

A) U ; 16) M) ( 0 ; 16)

A) D o m / - R +

f) «);4> O)

Dada la fun ción

S)

(7; 8)

Dom/={0; 1)

C) D o m / = ( - l; 0 )

I ) <4; (j4>

D) Dom/=Runmsm

z o ii- ii

E) D o m / = ( - l ; l) Resolución

Kmoludón l

Dominio d e /

Hbimo s la inecu ación así

Recuerde que el logaritmo solo se aplica a núm eros positivos. Como

2’'* - 2 * 14 < 2*-1 6

= log2 l o g i ( l - x ) 2

entonces

» 2 JW—24 •2X—2x- f l6 < 0

l - x > 0 A lo g 1 ( l- x ) > 0 2

* 22* - 17(2 *) + 16 <0

-» Xl0g1l 2

X<1

» (2 * - l)( 2 * -1 6 ) < 0

A

2

1 —X < 1

(x < 1 a x > 0 ) - » 0 < X < 1

.'. Do m /=(0; 1) Snrt 2* t.

Clave ( B ,

* (( - l)(t~ 16 )< 0 » 1 < t < 16 PROBLEMA N.° 157

» 1■2*< 16 » 2(1<2*<24

Determine la cantidad de soluciones reales de la siguiente ecuación logarítmica.

> ()
|log3|x|| + x 2 = 4

( S - (0 ; 4 ) A} O Clave ( c ) .H

&) 4

B} 2

C) 3 e) 5

Funcioni s Resolución

Como hay cua tro puntos de corte e ntre las gráfl cas, entonces hay 4 soluciones reales.

Escribimos la ecuación así

_ C l a v e (D )

||og3[x||= 4 - x 2 /(x)

Ax)

Luego, analicemos gráficamente esbozando las gráficas d e /y g.

P R O B L E M A N . ° 158 Resuelva ja inecuación logarítmica

/w - | |og3lx|| y g{x )= 4 - x 2

x
\

Gráfica de/ A)

Grafiquem os y= log3 |x |. Nótese que tiene dominio R - {0 }. Además es una función par. Luego

CS=<0;1)

B) CS=<2;+~)

C) CS=<1;-H»> D) CS={0; 2 )—{1 }

0

CS=(1; 2)

Resolución Escribimos la inecuación así log2x > x - l a x > 0 Resolvemos la inecuación gráficamente. Así Grafiquemos /¡x>=|log3|x||. Así

log2 x > x —1 a x > 0 f(x) > 9(x) a x > 0 Esbocemos las gráficas d e /y g.

Grafiquemos g(Xj= 4 - x 2. Así

Se observa que Y

V I 1

k

CS=<1; 2) \

\9

* y

c la v i ( T ) r

i PROBLEMAS PROPUESTOS

N

1

3.

ivel básico

Sea R: S —» S una relación binaria definida según el diagrama sagital,

I n el plano cartesiano se ubica el punto P (3 g -1 ; o + l) tal como se muestra.

X Calcule el área de la región que se forma al unir los puntos de la gráfica de R ubicados en el plano R 2. Cnlcule el valor en tero de a. A) 8 u2 A) - 2

B) - 1

<’ ) 1

C) 0

B) 12 u2

D) 6 u2

C) 16 u2 E} 10 u2

E} 2 4. Sea /?: S —» Z una relación defin ida por

S im o los conjuntos A

R= { (x + 1 ; 2 x - 1}/ x

{4; 6; 9} y 8= {a ; I b ) 3c}

g

<-1; 1)}

Halle su rango.

SI/ xf i -B xA , calcule el mayor valor de a+b+c. Considere que o; ó y c enteros.

A) R a n R = { 0 } B) R a n R = { - l 0}

A) 8 0

B) 13

10

0) 11

C) R a n R = { - 2 - 1 } D) R a n R = { - 2

E) 14

E) Ran/?={-2 - i ; 0}

Fu n c i o n a

rf. 5.

Si el pun to Q = (m -8 ; 4m -2 ) pertenece a la gráfica de ia función /(x)= - x , indique la al

A) R2 y R3

B) solo R 2

D) R2, R 4 yR 5

Q R2, R 3 y R 4 E) todas

ternativa correcta. 9. A) Q está en el 2 .° cua dran te B) Q está en el 4 .a cua dran te

Dada la siguie nte func ión /= {( 5 ; 20 - 5 ), (r; 2), (o; 2r), ( 6 ; r 2+ l) , (S; o t l )| determ ine su rango.

C) m es un número negativo

6.

D) m + 2 < 0

A) { 6 ; 1}

E) m - 2 > 0

D) { l - , 2 ; 5 } '

Sea T\ R 2 -+ R una relación definida por y)= x2 + ( y - l ) 2. Si existe (a; b) en el do minio de T, tal que r (o. ^ = 0 , calcule el valor

D) 1

D) 5

g

C) - 2 E) 2

7. La relación R: Z + - » Z + está definid a por {x, y) e/? si y solo si 3x + 2 y= 21 . Dé el núm e ro de elementos de R.

A} 1

E) {2; 7}

/

B) - 1

C) {1; 2; 5; 6 }

10. Sean las funciones / y g cuyos diagramas muestran a continuación.

de o + 6. A) 0

B) {1; 5; 6 }

B) 2

C) 3 E) 6

8. Se tien en losconjuntos A = {1 ; 2; 3; 4; 5} y B = {2; 3; 4 ; 7 } de las siguientes relaciones de A en B.

Calcule el valor de

A} - 1 D)

7

B) - 3

C) 3 E) 2

11. Si el conjunto /= {(—2; 3), (2; 7), (m~5; n), (-2; n+1), (2, m- I )) representa a una función , halle D o m /- R.tn f

* ! = { ( 1; 2), (2; 2), (3; 3), (4; 3}, (3; 4)} R2= {(2; 2), (3; 3}, (4; 4), (5; 7)}

A)

R3= {(2 ; 3), (2; 4), (3; 4), (4; 4), (5; 7)}

9) (3; 7; 2}

R4= {(1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2), (5; 2)}

¿) í-2 ; 7}

« 5= {{i; 2)' (2; 3)' (3; 2 )> í4 ; 3 ). ( 5 ; 4 )í ¿Cuáles son funciones?

D) {-2}

{-2 ; 2; 3}

E) <|> II

iiiMiiiM h as E d i t o r e s

Vi si l.i función g real de variab le real tiene por fio correspondencia a

I

A} f m = 30 B) /{5) = 5

2x-8; 4
C) /(2) = 2

- x+ 3 ; - 2 < x < 3

0)

/(i,= 19

4;

E)

/(20)=10

x<-3

.tlculo 9 (- 3) + 0 { o ) “

A) -2

0 ( 5)-

B) 0

D) 4

16.

¿Cu ál de las sigu iente s gráficas represen ta una función real de variable real?

C) 3 &

5

tí. tn la fun ción/i real de variable re al, cuya regla do correspondencia es

= V 6 4 - x 2 +1,

determ ine Dom(/?) n Ran(h).

A) [1; 8] ÍJ) [1;7]

B) [0; 9]

@) [1 ; 9]

c)

v x= 2

E} [1; 9)

Ifl. Sean las fun cion es/ y g, tales que /(X)= V 9 -x 2

X

y ojxj= x 2h-9. Si Do m /=D om g, determine el r.tngo de g. m A)

(0; 9]

II)

10; 9]

®) [9; 18] l>) [0; 18) I)

<-oo;18]

di Soii la fun ción

17. Si (o -1 2 ; 4 a -2 7 ) es un elemento de la fun ción h, tal que h = {(x; x)/x e R }, calcule el v alo r de o2 - o + l .

/ : IN -> N , ta l q u e /(x)= |x —10] + 10. «'( uál de las afirmaciones siguientes es ver

A) 26

dadera?

D) 7

B) 21

C) 13 E) 5

I UNCION!'. 20. La func ión rea!

18. Sean las gráficas de las fu nc ion es /y g.

g={(2; 6), (0; 2n), (3; m), (m; 11)) tiene por regla de correspondencia a g(X)= { n - 2 ) x s + x+ 2 n Determine el valor de m + n.

B) 4

M 3

E) 10

D) 9

Calcule el valor d e /,a , - g (9(3))

21. Se a/u na función real cuya gráfica se m u r.lM r(3))'

A) 1

C)

-1

D) 0

E)

6

19. Dada la fundón f, tal que f ^ =

x + y J x

esboce su gráfica.

A)

A _J / / t/ B)

Y ‘

Y\

X

H alle S = D o m / n R an /.

'

£)

A) 5 = [-2 ; 2)

Y

B) S -

1- 1 2 2 '

X

O) 5 = A D)

E)

Y

/

J /

2

2

Y

X

■

C) 7

) S * ( - 2 ; 2 ]

uimüreras

11

Ed i t o r e s

I sboce la gráfica de (a fun ción 13

; -2 < x< l

,Jt)' j x + 2 ; x > l

V

/

B)

Y

3 1 1

X

/ 1

X fe) - 3

Y

cl\

3

24. Esboce la gráfica de la funció n g. g(x) = l + 2 x - x 2

-1

X

y

E)

y

\

0 X

X

Ti . Sc*a la fun ción /, tal que /(Xp G X + b , cuya gráfícii se mue stra a con tinua ción . ^

Calcule el valor de -• a l ii/|

I*UN< IOIMI 1

25. En el plano se muestra la gráfica de la fun

A )\

Y-

B)

ción /.

\ / 1

e)

y

\

„ m

S i Xl = l 1

3

Y x 7= 2

X

. m-f l 2 .a d e m a s 3

> c

f ^ = x * ~ a x + b , calcule el valor de a. D)

E)

Y

A) 5 B) 3 C) 2

X

D) -1 E) -2 28. Se a/u n a fun ción real cuya gráfica se m un1.!».» 26.

Ca lcule el área de la región que se gene ra al unir los puntos de intersección entre la grá fica de la func ión /;/(X) = 9 - { x - l) 2 y los ejes coordenados.

A) 8 u2 B) 18 u2 C) 24 u2 D) 36 u2

Si g es otra funció n, tal que

E) 48 u2

calcu le e! valo r de M = g(1j + g¡0),

27. Esbo ce la gráfica de la fun ció n/ . / M = (*+ 2 ) ( x - l } { l - x í

A) 1 D) 4

B) 2

=

C) 3 B) S

1

I UMHRERAS EDITORES /I». I n el plan o se m uest ra la gráfica de una fun ción pollnomlal.

31. Esbo ce la gráfica de la func ión /. /(* ) = 3 - M 2 | x | - l |

Indique el valo r de verd ad (V ) o falsedad (F) en las siguientes proposiciones. I.

El mínimo grado de la fu n ció n /e s tres.

II. Su térm ino independ iente de f e s positivo. III. La función polinom ial tien e por lo menos tres rajeesnegativas. A) FFF

B) VV V

D). VV F

C) VFV E} FFV

30, Sea la gráfica de la fu nc ió n/ .

32. Se tienen las funciones/y g. f[x)=4x

a

gw = x - 3

Si la función h: h[x] = a - f m posee como gráfica al conjunto de puntos

SI g¡x)= x + / {i_ x), calcule el valor de M

HL ff{3)

A H

B, |

0

|

calcule el valor de ob. A) 12 D) 6

B) 10

C) 8 E) 3

I UNriONt-. A) 8

33. Esbo ce la gráfica de la fun ción /. / (x ) =

2x-l X +

C) 9

D )\/5

E) 10

1

35. A)

B) 12

Esboce la gráfica de la fu n ció n /,

Y

1/

X

A)

Y

B)

Y\

2

r

6)

“ 2V

2 '

X

c)

" V

J

-2

2 *

-2

2

y2

^

C) 2

2

,

X

1 \ V

D)

Y 2

*

E)

-2 \

k

* 36.

E,

Si las fu ncio ne s /m = x ( x + 2 ) ; - 2 < x < 7

J 2

= 3>+4; - 4 < x < 0 halle el dominio d e /o g.

X -

-% A) Dom(/o g) = [~2 ; 0] B) Dom(/o g) = [~2-, 2)

Dadas las f jn cio n es ^ °~ 2x + l

V

A 0(x+l)

evalúe ( f 2 -- 29)(-l) ■

2x •Jx + 3

C) D o m (/o p) = í—2; 1) D) D o m { f o g ) = [ - 2 ; - l ] E) No ex iste /o g.

X

luMHHtHAs E ditores 1/ Drtd.is las func ion es

C) CS = <-2 ; 2]

/( ,)*' {(2; 1), (1 ; 0), (3 ; 2), (5 ; - 5 ) , {4 ; 6)} U |,|

D ) C S - [ - 3 ; ~2) E) CS=[0;+°o>

Vx + 2; xe (-2; + ~ )

( / i Q2)(m)=f{ 2 ) 'f( 3 }>calcule el valor de m. 41. Si /: 5 —> es { A) 1

B) 2

D) 4

C)

3

E)

5

5

es una función su rye cti

va, tal qu e /(Xy=51 - ^ , halle el conjunto S.

A) CS= [0; 2) -til S r.i / una fun ción , tal que h* 2

B) C S= {-2; 0]

x£9

C) CS = <- 1; 1)

M.ille Domf n Rang.

D) CS= <-2; 2) E) CS = (- 2 ; 2) —{0}

A)

[4; +<*>)

B) [9 ; +°°>

lí ) <5; 9)

C) [2; +°°) E) [2;+co)

42. Resuelva la inecuación logarítmica

.ni I).idas las fun do nes '* + 3 V gw = x - l lulle la función h = f o g.

A) CS={3;+~) B) CS=[10;+°o)

A) hM -W 4 x —x 2; - 2 £ x < 2 U) /)(v, = V 4 x - x 2 ; 0 < x < 4 l)

1< x <4

D) / K ) = V x 2 + 4 x ; 0 < x <1

C} CS=<3; 10] D) C5-[5;+oo> E) CS = R +

43. Halle el domin io de la func ión g.

- V x - x¿ +l; -1< X< 1

I) /i,

9 M = l °g>

2x x2- l

+ A/X

I» Resuelva la inecuación expon encial o

A) D o m g = R +- { l } B) Domg = <0;+ 1) C) D o m g = ( l; + 2 )

A) C S* [-3 ; 2]

D) D o m g = (l; + °o)

») LS * [-2 ; 3]

E) Domg = R +-( 0 ; +1)

I UN( IIINI

44. H alle el rango de la func ión h. fyx)= , o g i ( V x

+

3);

x

e

aV

B, - i

4

C)

fl;25]

E)

01 I

A} Ranb = [-3 ;2> B) Ran/i = l- 3 ;- 2 ]

no existo

48. Sean las funcione s

C) Ranb = [2; 3] / w

D) Ranf) = {2 ; 3] E) Ran/) = [- 2 ; 3)

a

= m x + 6

g (x) =

3 x - 5

s¡ s ' V M r v ca,cu,e 81 valor de 9
45. Dad as las func iones B) 4

A) 3

/ = {( 3 ; 1), {2 ; 3), {5 ; 2), (7 ; 4)}

D) 2

g = {(3 ;2 ), (7; 5), (5; 7), (11; 0)}

C)

5

E)

1

calcule el valor de f o g)¡m). N

M = [(/o g) o / * ][2)+ (g* o /) [5) C) 3

B) 5

A) 7

i v e l in t e r m e d io

49. Sea f : A —» R una fun ción , tal que

E) 0

D) 2

/w = -> / l- V x . In dique la long itu d del con 46. Indiqu e el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I.

f: R “

[1;

ta>due

ju n to A .

es

B) 1

A ,i

inyectiva. II. g: R _ —» [1; +°°), tal que g(x)=x 2+ l, es

E) 2V2

suryectiva. III. h: (2; 5) -»

3 ^ tal que h{x) = ~ ~ ,

- i

50. Si el dom inio de la fun ció n /, tal que

es biyectiva. 9 -W A)

FVF

D)

VVF

B)

VFF

C) FFV E) VVV

47. S e a / : [- 1 ; 2] —> R una función cuya regla funcional e s/ ¡x) = 2 |x + l|+ 2 . Calcule f * ^ si existe.

f(x)

Ixl

2 + - es [o; b ] ~ { c } x

calcule b - a + c .

A) 0 D) -3

Bj

C) 6 E) -1

lutvmui ha s E d i t o r e s ni Una com pañía ha enco ntrad o que su utilidad eslá dada por )= -x 2+ 16 x-1 5, donde x

55. Dada la fu nc ión / : R —>

lepresenta el número de unidades vendidas. C.ildtk» la máxima utilidad y la cantidad de unidades vendidas para que ello ocurra.

A) 49 ; 8

B) 54; 6

D) 49 ; 7

función/.

A) < 0 ; -

B)

E) 48; 8 D)

1)7. I n la fun ció n /re al de variab le real, cuya re gla de correspondencia es 56.

B} 1

l>) 5

3

.3

C)

< -o ;5

I ; 3

E) <0; 3]

Sea la fun ció n/ . / = {( 1 - t ; (t 2+ 2 t ) / t e R +)}

determine el cardinal del rango.

A) 0

X —X + l

determine el conjunto de imágenes de la

C) 4 8 ;9

/(x> Vx3-x“3-Vx~3- 1

x +x+ 1 ^ 5--------

x

Halle Dq ¡n/ n Ran/.

C) 2

A) <0; 1)

E) 10

D) [0; 1]

h;i. I Inlle el me no r va lor de la fun ción g si

E) <0;+co)

57. Esbo ce la gráfica de la func ión h, tal que

U> (1; + °°) —>R

C) (1;

B) [0;1>

= rm n{|x|; y¡9}.

.2

x —x + 9 X-> x —1 A) 5 D)

4

B)

6

A)

Y

B)

C) 8

X

Y 3

(/

E} 7

M Dete rmin e el dominio de la función h, tal

C) \

Y

que h(4x_ x2) = V 3 x - x 2 + ^ 2 + x - x 2 . X A) |0; 4] MI 12; 3]

D) _____

Y 3

E)

<) IQ;21 D) [ 8 ;+oo) I) |0;+oo)

-3

3

X

Y t

X

A)

58. Sea / u n a función cons tante cuya gráfica se mu estra en el plano R 2 y f ^ ~ 5 k + 2 .

15

H) 12

D )''-6

Y

60.

C) I)

l 12

Determ ine el área de la reglón (o m p rn i dida entre las gráficas de las limclunr /(*)= 5 y gM = a | x - l | + 6 | x - 2 | i c \ x - t|, con {o;

; -10

b; c } c Z +

- 6.

X A)

6 u2

D) — ll2 3 Calcule

y

B) 8 u2

C)

E)

19 •• u'

i 5 u' 3

/(2011) + 2 /(2012) + 3/(201B) 61.

3/(V 2 )"2 /C^

Sea /{X)= o x + b x + c una función cu.idiálh cuya gráfica es

A) 0

B)

-1

D) 3

59.

C) 1 E)

6

Sean las gráficas de las fu nc ion e s/y g cuyas reglas de correspondencia son f [x)=ax 2 + bx +c y gw « | x - 3 | - 3 .

Calcu le la ma yor sup erficie § de In rogii triangu lar mostrada bajo la gráfica de /,

A) 4 u2 B) Su2 C) 9 u2 D) 12 u2 Calcule el valor de a b + c .

E) 16 u2

IIJMIIKERAS EDITORES .....................................................................

OA S(m /(Xj * ( o - 2 ) x 2+ o x + o una función cuya gráfica se m uestra.

64. S ea /{X)= x2 + V -x + l una función cuyo do minio es S = {- 9 ; 0]. Halle su rango.

A) Ra n/= [1; 85) B) R a n / = [ - l ; 8 5) C) Ra n/= [2; 80) D) R a n / = ( - l ; 1) E) Ra n/= (1; 85} Calcule el valor de (3o + x0). A)

2

D)

8

B) 4

65. Sea f{jf)=~ 2~ ~ una función, tal que debajo C )6 E) 10

de su gráfica se ubica un rectángulo. Si uno de sus lados se ubica sobre el eje X y dos de sus vértices en la gráfica de/, calcule

l.

Esboce la gráfica de la siguiente func ión.

la mayo r área de la región rectangular.

/ = { ( l + 2t; t 2 - 2 t ) / t > o } A) l u 2 B) V2 u2 C) 2 u2 D) 2V 2 u2

E) 4 u2

0

Y

66. Se tien e ia fun ció n/ . / ( x ) = V x ~ W

/

Indique el enun ciado correcto.

A A) f e s creciente 10

\ v

B) f e s impar

\í

C) f e s decreciente D) f e s periódica

4

E) f e s pa r

FUNCIONI S

67. La gráfica de la función l¡n ea l/(x)M > r+ 5 cor ta a los ejes coordenados formando-en el segundo cuadrante una reglón triangular de área 3 u 2. Si/(3}=4 , calcule el vale r de 1 - f { - \ y A,

Cdícule la raíz cuadra da de que P{b^~.20.

A) 4

C) 8

B) 5

D) 10

C)

sabiendo

E) 12

70. Sea la gráfica de la función/.

D) -3

- I CONAMAT2010

68. Sea / una función pollnomial de me nor grado cuya gráfica es 1 -1

3

Esboce la gráfica de h con b(*)=/(x- 2) ” !•

B)

V

E)

Y-

Si (2; o) e f , ¿cu ánto es el valor de a? A ) 12 D) 4

• B) 9 ■

C) 8 E) 3 C)

Y

D)

Y'

69. Sea / una función polinom ial cúbica cuya gráfica es

1

r

-1

1

3x

-1

I umiiki

ha s

E ditores

/I '«cM f una fundón cuya gráfica es

A) / m = | x - 1 | - 2 B) / M = 2 | x - l | - 2 C) f [x) = 2 \x \- 2 D) f [x)= | 2 x - l | - 2 E} f(x)= | x + l | - 2

73.

Se tien e la gráfica d e /.

I sboce la gráfica de g ^ = - f^ _xy

A)

Y

-2

C)

2 X

-2

2 X

Y -2

Esboce la gráfica de h(x)= l~ f( x-i )-

A) D) ’ - 2

Y

E)

-2 II.

Y

C)

Indique la regla de correspondencia de la lunclón cuya gráfica se muestra.

í

D)

\

Y

Y -1

1

\

,

X

L ± J

I X

-2

2 X

74.

Y Y

S i/(XÍ= ^ x, esboce la gráfica de A)

y

X C)

"— \u — —

Y

Y

A 1 "

X

Y

x u

Y

\J m * X

76. Calcule el área de la región encerrad.i p las gráficas de las fu n cio n es /y g. D)

Y

E}

Y

/ ( * p | x - 31- 1; g(x}= 4 - | x | A) 8 u2

B) 6 u 2

C) 4 u 7 E) 9 u'

D) 12 u'

75. Esboce la gráfica de la fun ció n/ .

77. Dada la función /(Xj= x 3- 3 x 2 + 3 x '-1, i‘sln la gráfica de la función g. 9 ( x )= l1 - /(l+x)l

B)

Y A

r .

-1

1

Y

X

Y \

y

X

Y

\

D)

Y

E)

y

. V

K / 1

X

i uMHWRAs E ditores / ii '•i m i i las funciones !

82.

{(1; 2), (3; 4), (2; 6}, (5; 7}}

Dad as las fun cion es /■ [3 ;+ ° ° } —>R ; / (X) =

Q í(2; 3), (4; 1), (3; 6), (5; 9}}

2x + l

h{^:'-x+2 ; x e < - 2 ; 2 )

9'.

Calcule la suma de los elementos del rango do ( f + g ) o h.

halle g o /.

A) 16

A) ( g o / ) w = x;

D)

B) 18

20

C) 19

x-2

x g [3;

4}

E} 21 B) (go/)M=x+l;

/II SI ge s la función iden tidad y f ^ = | x + l | , ha lle el com plemen to del rango de la función —. g A) <0; 1]

x g [4;

5]

C) ( g o / ) M = x - l ; x e [2; 3] D) (ff ° / ) w = ^ 4 /

t2 ; 4 ^

E) ( f f o / ) M = ~ ; X G [3 ; 4]

») H ; i ]

c) R-<-i;i) D)

83. Dada la fu n ció n /: [0 ; 2) —» R ,

<-l;l>u<2;+~>

halle la intersección de los dominios de/(2x2)

C)

V /(x+2)-

mi. Dadas las funcion es

A)

B) [1; 2]

C) (0 ; 1)

/ i f l M H ; 0), (4 ; 2), (7 ; 8), (3; 21)} -■2 x + 1; x ^ —1

D) [0; 1)

mlcule la suma de los elementos del rango do g. A)

-7

D)

7

B) 0

C) 1 E)

14

84. Sean las funciones f { x ; y ) = (x + 2 ' y ~ 1 )

II H.ille el rango de lafunción f + g . A) (2; -1 )

9w ='ia +2 -x

B) (~ 1; —2) C) (- 1 ; 2)

A)

(2; 2 V 2 ] B) <1; 2]

D) I V2 ; 2 ]

C) [V 2 ; 2 )

D) (1;-1)

E)

E) (-1 ; 3)

[-V 2 ;2V 2 >

A

9 (x ; y ) = ( - y ; x ) -

Si existe (o; b) , tal que (g o f) (a. b)=(o; b) , determine (a; b).

/(,]

E) (- 1 ; 0)

I UNI li INI

85.

C) Es par.

S e a / : ( - 2 ; 3 ) —> R , t al q u e / M = 2 x + 3 .

D) Es impar.

Halle el dominio d e /o /o /.

E) Es periód ica. A)

(-2; - 88. Luego de reso lve r la desigualdad

B)

(-1; - -

,o85( i x2~3x+^ r )<0

C)

<-2;0)

determíne la suma de todos los núnifin-. enteros que la satisfacen. \

D)

(" i; o

A) 2 B) 4

E)

C) 6

(-2 ; - -

D) 8 86.

E) 10

Indiqu e el valor de verdad de las siguientes

UNI

proposiciones. I.

S í / y g son funciones decrecientes, en t o n c e s / o g es decreciente.

89. Indique cuántas soluciones reales tln ir L

II. Si / y g son funciones crecientes, enton

ecuación 2* +1 =2 2 - x |

c e s / o g es creciente. III. Si/es creciente y g decreciente, enton c e s / o g es creciente.

A)

VVV

D)

FFF

B)

VVF

A)

5

D)

2

B) 4

C) 3 E) 1

C} VFF E) FVF

98.

Halle el con jun to 5. S={xeR/6'4*+l<2*+2+2*}

87.

Resp ecto a la fun ción / m = 2 + (- 1 ) M indique el enunciado correcto.

A ) 5 “ ( - l Gg 23; - 1 ) B} S = ( l ; log23) C) S = (- lo g 2 3; —log32)

A) Es creciente. B) Es decre ciente.

D) S = { - l o g 23 ; l ) E) 5 = (-«>; -! o g 23)

l umiwi

has

Editores

D.idci la función g: <2; 4) —>R , i.il que g¡x) = e

Y o o

iog,| - hi

1 ,

lu lle su rango.

2

---

'

-2 A) [e 2; e3] 0)

B) (e2; e3)

C)

2

X

Y

E) [e2; e 3>

0 0

"ñ

_2 ( \i ii ~2 2

II?. Il.ille el dom inio de la func ión

A)

X

<4; + °° )

B} <2; 3) C) R - [ - 2 ;2 ] D) [-4;-3)u(3;4] E) [- 4 ;- 2 ) U <2; 4J 95.

Esbo ce la gráfica de la fu nc ió n/ .

IIJ. Sea ta gráfica de la fun ción /.

,* 2 - i

/M = l i

A)

Y

Y 3 X

A) 3

B) 3/2

D) 3/4

C) 4/3 E) 6/5

I '.boce la gráfica de la función g. -.2|,,- 1|+' ; x e [ - 2 ; 2>

E) V

Y

96.

99.

Si !a inecu ación expon encial 3

2* < —x-t-1 tien e C S= [o; b) , 2

/{x) = , 0 § z J í + ^ o g ^ - l j x e ( 1 ; + “ )

calcule el valor de b° .

A) 1

B)

2

D) 8

Halle el rango de l^ fun tión

C)

4

E)

16

A)

< l ;+ ~ >

D)

[ 3 ;+oo)

B) (2 ;+ - )

C) (2; 4) E) (4; s ^>|

tOO.Resuelva la inec uació n logarítm ica 97.

Sea /:< 1; +°°) JR una fun ción , tal que / (x) = l + logx1 0. Halle su rango.

x 2 + lo g1 ( l - x ) < 0 2 A) C S = ( - ~ ; i )

A ) R a n / = [ l ;+ ° ° )

B ) R a n / = ( 0 ; 1)

B)

CS-- (

C) CS={-1;1)

C) Ran/= <1; 5) D) R an /= {2 ; +<*=> 98.

E) R a n / = (1 ;+«>)

Se tien e la gráfica de /. /(x) = l° g t M + c )

D) CS = [- 1 ; 0]

101.Esboce la gráfica de la función /. / w =sg n{lo gx )

A)

'Y \

B)

iA~o - 1 - -o-

c)

K

Indique lo correcto.

A} b e (0; 1) B) b € (1; 2)

D)

E)

C) /( x) = '°E 4X D) / w = log2(x+ 2 í

xz E) E x is te x 0 e D o m /, tal q u e / ^ = — .

-1

, I

u m h h i has

E ditores

IDI.Swm/ y g dos funcion es definidas por 0|*|

A) 10

B.) - 8

C) 6

D) -4

2 * A / (x )- [0 (3 )]

H.illo el conjunto S = {x e R ¡ f*x) > o }

E) 2

106.Sea/: R —¥ R una función, tal que

A) S —<0; + 00)

/ W = w í l - S ,0 = l

H) S- < 0; 1)

C alc ule { / + / * ) {0)+ ( / - / * ) ( _ 0).

c.) S = R B) 1

A )i

0) S=<1; +°°)

C) 0

D) 2

lOS.Dada la función f ^ = 3 - 2 x

x>0.

E) 4

107.Sea/una función cuya gráfica se muestra.

Halle su inversa/* si existe.

A) / * w = log2(3x) H) / * (x) = log2(3 -2 x ) C) / * w = log2(6- 2 x) D) / * w = log2(6 + 2x)

Esboce la gráfica de |/ * | .

E) No ex iste /*.

/ / / A \ V y

lt)4.Sea/ una función , tal que [- 2

;x = l

b)

y

X

1 |lo g 2( x - l ) + 3; x > 2 Calcule /{5 )+ / [l2)-

X

y

B) 6

A) 8 D) 4

C) 5 E) 3

1llli S r tienen las func iones reales .

2-3x

.3

A

D)

y

E)- ^

y

9m~2~ l

SI (/ * o g *)(x0y = -r , calcule x 0.

X

I WNMOW-1

I08.Esboce la gráfica de la función inversa de A) <0; 21 t

B) ( 0 ; -

x + -*D)
A)

B)

Y

E) [2; I - )

Y 111. 111.Esboc Esboc e !a gráfica de la fun ción g si g si

2 2

C)

S'íx) = m áá** { V W ; V ? }

X

Y

A)

V

B)

Y"

E)

Y

2

D)

Y

£)

1

yt i

2

X

2

X

N ivel avanzado

109.Sea la función/: [1; +«>)-» g, tal que . U 2 - l ) 2 + ( x2 - l ) ( X ).

(x3+l)3-V ?

Si su rango es de la forma [o; b] , calcule el v a lo rd e o 2012 + 6b. A) 1 D)

B) 2013

7

C) 2 E) 9

llfl.Halle el rango de la función/si f _

C) |ü;2)

1 4* 4*

M - x2 +4 +V 7 7 i 7 7 4 y Dom/=[0;+=o)

X

JMIIM «AS EDITORES

1 1.1 Itmc.ión h, tal que

=sgn

x -1

114 .Sea/un a función cuya gráfi gráfica ca se mue stra.

x —5 x + 6

llt'iit’ por gráfica a A)

Y

B)

Y

Q—Q 0 v X Q—

, -O—0-0 --

íi >—1•

¿ i - i1 ¿ i* * -1

---

O

Y

a) !4

rí

D)

E) 0 - 1 —0 o—o •-1

b} f2

c) I4

3

E) 2

115.Esboce 115.Esboce la la gráfica gráfica de la fun ció n/ ,

^ X X- o—o - O—

/( / ( X ) "

x x-2

r 2 ;3 x -1

-1

A)

Y

x 2 + m x - 4 { m ;n } c Z +

1

ilus fundones cuyas gráficas se muestran. ( .ilculo .ilculo la suma de las las coord enad as del del punto P, C)

k

;

"

7 ■ . 2 X

k

y- . 2

X

Y ‘ 2 ¡ r s i -

D) ....

A)

8

l>) -12

B) -10

C)-6 E)-5

Y 2

7 2

X

Y ...2

' X

. . k

-

2

X

I U N Í l( 1N!• 1N!•*

118.Se tiene la gr la gráf áfic icaa de la/función la/función /, /,

116-Esboc 116-Esbocee la gráfica de la función g. fi'M = | v U + 4 l - l | A)

Y

-4 C)

Esbo ce la gráfica de tyx)=/ {x - |x - i| ■#i)i)-

y

y

A} 4 D)

X

yt

E)

-4

"

y

4

X

" V

V “

X

117.Si la gráfica adjunta representa a y = f ( X), ¿cuál de los gr los gr áf i co s representa a y = /(_ /(_ xj? YX

A)

v yt

c)

y

X

C)

*

B)

y

/ d)

*y

“

7

E)

Y

2 -2

X

S iiMitiu r a s E d i to r e s

lin II.ille el rango de la fu nc ¡ón /+ g. / ( „ -|[ x + 3 ] + | 2 x | ; x g < - ! ; ! >

122.Sea

M

ax + fa

o> 0, una fun ción invo-

lutiva. Calcule el valor de b.

x+6

;xe (-2; 0)

[fes involutiva si/ o /= /: Identidad]

x 2 +I1x | ; x g [ 0 ; l ) A) 2 A) <0; 4]

B) {0; 6)

M;6)

c) <3; 6]

C) 3

B)

D) -2

E) 1

E} (4; 6) 123.Se tienen las funciones

7U v . m / y g dos funciones, tales que /(«)

h - * 2 A 9(x)=x2

51 h f - g , halle su rango.

f{x)= | x 2- 6 x | - 5 x ; X G ( 0 ; 3] g M = x | x | - s g n ( x ) ; x e < -2; 4] Esboce la gráfica de —. 9

A) R a n M 0 ; 3 ] H) R.in/)*[-9;3]

A)

Kt

f ) Ran/i = [- 9 ; 0] D)

R .in/i:-[-3 ; 3 ]

3

I) R.inh»[-9;-3]

X

i\ Se.m las fun cione s reales /■ IR1 >R ; g ^ = |x - 2 | - x y / iw

3 x 2- 5

x

C)

Kt

+1

SI h f o g, halle su rango.

- X

I IJNl H INI

124 .Sea/un a fund ón cuya gráfica se muestra

Además 9i¡X)= ~ > X

Esboce la gráfica de g o f . 125.lndique la secue ncia correc ta despuó s i h • 11. terminar sí (a proposición es verdadera (’ o falsa (F). X

1 i I_ -

L 3

l A

1

I.

La compo sición de una función p.ir u una función impar es una función p«ir

II.

El producto de dos funciones Imp.Uf’v una fun ción impar.

X

III. La sum a de dos funciones pares í»%u función par. A) VFV

B) VVV

D) FFV

C) FVV E) VFF uní ;o i

1Z6.Sea / : JR. —> [1; +°°) una función, tal c f ^ = a x 2 + b x + c ; o ^ 0. Si f e s suryrollv b2 / (01 = 2, ea lcule el valo r d e — , ' ; 4 ac A) 2

B) 1

C)

l iiMMiii « as E ditores I J I X 011 resp ecto a la función fin I

X

4

A)

1

+.

B)

-r— + — r-; 1
-i 4

+oo

-------

C) [1;+®=) determine el valor de verdad de las siguienlos proposiciones. I.

D)

f tiene Inversa.

E)

130.Sea/: R. -» R una función, tal que

II. Su Inversa es/,*) = 1 ^ —1 .

(x)

i. i 4' 2

Vx- 1

f {x) = 2-(0, 3 )o sen x+ íra con o y 6 reales.

III. f e screciente.

Calcule el producto del mayor y menor ele mento del rango.

A) PFV

B) VV F

D} V IT

C) VFV E) FFF

A)

4 x 3 ° Í+62

B) 1 I2H.Sp
(- 2 ; 2) una función definida por

x /(*) 5— p-r. Halle la regla de corresp onden1+ 2 cía de la inversa de/.

D) 4 E) 3 a2+b2

131.Indique cuántas soluciones reales tiene la

x A) / V

C) 2 2o2+b2

f*

—

- e “ lx l = i o - 2 x 2.

A) O

B)

2x

j M " 2 - j x í

1-x

ecuación

D) 3

1

C) 2 E) 4

c) r * = Ú i 132.Resuelva la inecuación exponencial

u»

E> / * M =

2 —|xl

o2x+i _(a2+ Cf- 2)ox+i + o<0; 0>1 A ) C S = ( - 1 ; 1)

1211 'km / • |(x ; y j y = x - a x + l ; x > — un.i función real de variable real, tal que /|i¡

\ Halle el rango de/*.

B) CS=<-2;2) C) CS-R D) C5 = {—2; 0 ) E) CS = (0; 2)

13 3.Se a/:R +-> R una función, tal que

A)

f ^ = e*2~x. H alle /*, si existe.

A) /J,) = l n V x + l ; x > e -1 &)

/(’ ) = Vln x + l ; x > e _1

C)

f (x) = ^ ] H * + 1); * > e 1

B)

D) / (*j - V l n x + l ; x > e E) No existe

134.Halle el rango de la función/. /(x )= lo g (% / x ^ 4 + V 6 - x )

C)

A) Ran / = log^; !ogV2

B) Ra n/ = -lo g 2; log2 4 D) C) R an / = i | o g V 2 ; l o g 2

D) R an / =

:log2; log4

E) Ra n/ = -log2; log2 E)

135.Esboce la gráfica de la función /( x)= l o g i l x - 2 l - l 2

i uMi'iu

E ditores

has

.ni I sbocft la gráfica de la función «M

c)

y

|eU-2l-3|. 2 1

A) Y

; 1

X

V 2

X

3 2

1 1 1 1

1

2

X

2

X

X

138.Dada la función iogaritmica f M = log 2 ( y f ^ í +V 9 ^ ) ; 1 < x < 5

:i/.¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde 2

halle su inversa (si existe).

1'? Considere que 0 < b < l. ^ 6 4 - (4 * - 8 ? 3 ; —< x < 2 A) /(!)= 5— 2

A)

B) /¿,=

1

X

C) /¿,=

H) D) f{l) =

-1

1

X

4 -8

\2

4x+8 / v. \2 4 -8

-9; —
-9 ; V2
^ 6 4 - t4 x - 8 ) 2 3 E) / ¿ ) = 5 + f " ’2 ;^ < x < 2

Claues 1

C

24

C

47

B

70

B

93

C

116

D

2

B

25

A

48

B

71

D

94

D

117

B

3

A

26

C

49

B

72

B

95

C

118

C

4

E

27

c

50

C

73

C

96

A

119

D

5

A

28

E

51

A

74

B

97

E

120

B

6

D

29

B

52

B

75

A

98

E

121

E

7

C

30

D

53

E

76

A

99

D i

122

D

8

D

31

E

54

A

77

E

100

D

123

C

9

E

32

A

55

B

78

C

101

B

124

C

10

A

33

B

56

A

- 79

A

102

B

125

A

11

D

34

C

57

D

80

C

103

C

126

C

12

E

35

B

58

E

81

D

104

B

127

C

13

A

36

A

59

D

82

A

105

A

128

B

14

C

37

E

60

C

83

E

106

e

129

B

15

D

38

A

61

B

84

C

107

E

130

D

16 • D

39

B

62

C

85

A

108

C

131

C

17

B

40

A

63

D

86

E

109

A ;

132

B

18

B

41

D

64

A

87

E

110

C

133

C

19

C

42

C

65

C

88

C

111

D

134

E

20

D

43

D

66

D

89

C

112

A !

135

D

*" Ntv»'

21

C

. 44

B

67

E

90

A

113

A !

136

D

|i

22

A

45

D

68

D

91

B

114

C

137

D

23

E

46

E

69

D

92

D

115

A

138

A

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