TEMAS SELECTOS DE MATEMATICAS.pdf

INDICE INTRODUCCION…………………………………………………………………………………………………………………………..

3

SIGERENCIAS METODOLOGICAS …………………………………………………………………………………………..….

5

EVALUACION……………………………………………………………………………………………………………………………….

5

PROPOSITOS GENERALES……………………………………………………………………………………………….………….

8

BLOQUEI INTRODUCCION A LA ALGEBRA………………………………………………………………………………………………….

9

BLOQUE II POLINOMIOS CON VARIABLES……………………………………………………………………………….………………….

12

BLOQUE III ECUACIONES DE PRIMER GRADO…………………………………………………………………………………….……….

15

BLOQUE IV ECIACIONES DE SEGUNDO GRADO…………………………………………….…………………………………………….

19

MATERIAL DE APOYO BLOQUEI INTRODUCCION A LA ALGEBRA LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES……………………..………………………………………………….

23

¿QUE ES EL ALGEBRA? ……………………………………………………………………….…………………………………….

46

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES……………………………………………………………………………….

50

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE ALGEBRAICO……………………………………….…………………………….

53

SUCESIONES Y SERIES……………………………………………………………………….…………………………………….

68

SUCESIONES SUCESIONES ARITMETICAS……………………………………………………………………………….

78

MEDIAS ARITMETICAS………………………………………………………………………………..…………………………….

83

SUCESIONES GEOEMTRICAS ……………………………………………………………………………….………………….

87

BLOQUE II POLINOMIO DE UNA VARIABLE…………………………………………………………………………..……………………. ADICION Y SUSTRACCION DE POLINOMIOS ……………………………………………………………………………

99

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS…………………………………..………………………………….

106

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION………………………………………………..………………………….

111

BLOQUE III ESCUACIONES DE PRIMER GRADO APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES ………………………………………………………………………….

170

SISTEMAS DE ECUACION LINEAL……………………………………………………………..…………………..………….

177

BLOQUE IV ECUACION DE SEGUNDO GRADO METODO DE FACTORIZACION……………………………………………………………………………………..…………….

201

ECUACIONES Y DESIGUALDADES……………………………………………………………………………………..……….

203

ECUACIONES QUE SE TRANSFORMAN EN ECUACIONES CUADRATICAS………….………………………

214

ECUACIONES CON FRACCIONES.……………………………………………………………………………………………….

217

ECUACIONES CON RADICALES …………………………………………………………………………..…………………….

219

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS …………………………………….……………………………

223

2

INTRODUCCIÓN Íntimamente ligada a toda actividad humana desde el principio de los tiempos, las matemáticas, han sido, de alguna manera, el aglutinante, la herramienta fundamental y la base sobre la que se ha cimentado el avance de todas las ramas del conocimiento humano, incluso aquellas disciplinas aparentemente alejadas de planteamientos puramente científicos. El origen de su estudio se encuentra en la observación de la naturaleza y en su intento por modelar el comportamiento de la misma utilizando un lenguaje simbólico propio. Debido a la universalización de su enfoque, en tanto el tratamiento de los números naturales y su relación, poseen un alto grado de uso en otras ciencias del conocimiento, útiles en los negocios, la industria, la historia, la música, la política, el deporte, la medicina, la agricultura, la ingeniería, etcétera. La ciencia, en su generalización, le ofrece un amplio abanico de posibilidades, en tanto la relación histórica de su campo de estudio con otras ciencias del conocimiento, a la vez, ofrece un mundo de problemas interesantes para investigar, y éstas le brindan herramientas poderosas para el análisis de datos. Las Matemáticas y la tecnología, también han desarrollado una relación productiva mutua por el papel central que juega en la cultura moderna. Para lograr el éxito que se espera, hemos utilizado el Modelo de Aprendizaje Basado en Problema (ABP); las primeras ideas deben situarse en el hecho de que la matemática forma parte del quehacer científico, la comprensión de la naturaleza del pensamiento matemático y la familiarización con las ideas y habilidades de esta disciplina, por lo que el conocimiento matemático debe ser construido por los estudiantes mediado por los profesores encargados de llevar con éxito esta disciplina, cuyo propósito, sin duda alguna, se ubica en el desarrollo de un marco conceptual que permita que los estudiantes se apropien de los conocimientos demandados en el programa oficial. El enfoque, se conforma con contenidos referidos al pensamiento numérico, algebraico, geométrico y probabilístico, al mismo tiempo, posibilita el desarrollo de la capacidad para formular el razonamiento matemático a partir de la observación, generalización y formalización de patrones, de plantear, modelar y resolver problemas; por otra parte, el trabajo en pequeños grupos para la generación de discusiones y toma de decisiones sobre un determinado planteamiento ayuda a explicar las ideas previas que manejan los estudiantes acerca del tema a tratar y pone de relieve las diferentes formas de reconocer un problema por parte de los que integran el grupo de trabajo. Para lograr que los estudiantes se apropien del significado y concepto de número, como parte fundamental del pensamiento algebraico, este programa y material de apoyo para el estudio de los Temas Selectos de Matemáticas, congruente con el programa oficial, se ha dividido en cuatro unidades temáticas; en la primera unidad de trabajo, se abordan los principios básicos del álgebra, en el marco de la Introducción al Álgebra, el estudio inicia con la ubicación de esta rama de la matemática hasta llegar al estudio de las series y sucesiones aritméticas y geométricas, pasando,

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desde luego, por el campo de la proporcionalidad en el marco del reconocimiento de patrones y regularidades que ofrece el mundo de los números naturales y su relación. Otra de las regularidades que mantiene vivo el tratamiento de los números naturales y su relación, tiene que ver con las normas que regulan esta parte de la rama de estudio; la segunda unidad de trabajo lleva por nombre Polinomios con una Variable y analiza, en el marco del planteamiento de problemas geométricos y algebraicos, las leyes y normas que regulan la parte ejecutiva de la misma; en espera de que el análisis numérico de la rama de estudio permita descubrir en qué consiste lo notable de los productos notables y se avance en términos de profundidad; la unidad temática termina con el proceso de factorización para darle paso al tema de las ecuaciones que se analiza en el grupo de la tercera unidad temática. En el marco del segundo y tercer uso de la variable, es decir, el número como incógnita y como una relación funcional se aborda en la tercera unidad llamada Ecuaciones de primer grado, sintetiza el estudio de las ecuaciones revisadas desde la perspectiva de la incógnita y la serie numérica, al mismo tiempo, encadena éstas últimas cuando se habla de sistemas de ecuación con dos, tres o más literales, sin descuidar la representación gráfica en el plano y tercer uso de la variable, es decir, el análisis del número como una relación funcional, de este modo, la consecución de los contenidos abordados en esta unidad de trabajo, permite que se profundice en el estudio del segundo uso de la variable, es decir, el número como incógnita desde la perspectiva de relación cuadrática. Finalmente, la cuarta unidad temática, llamada Ecuaciones de Segundo Grado establece diferentes formas de añadir el cálculo de las raíces de la misma, sus huestes, refieren el tratamiento desde diferentes perspectivas, como métodos de solución; el propósito de este análisis, tiene que ver con la aplicación del segundo grado de la variable como incógnita como una respuesta de los problemas que se plantean para su resolución.

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SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Temas Selectos de Matemáticas, implica que los profesores estudiantes de la Licenciatura en Educación Secundaria en la especialidad de Matemáticas analicen y pongan en práctica la riqueza del trabajo colaborativo, razón por la cual el curso pretende que el profesor estudiante adquiera el compromiso de elaborar y aplicar estrategias de enseñanza encaminadas al desarrollo de las habilidades del pensamiento de sus alumnos en el área de las Matemáticas. Como puede advertirse, la sugerencia metodológica supone el desarrollo del curso bajo la dimensión del trabajo colaborativo para colegiar el contenido, para lo cual es importante que conceptualmente se comprenda el significado del mismo, de lo contrario, se sugiere que el asesor lleve al salón de clases situaciones didácticas que provoquen la discusión y toma de decisiones; consecuentemente, se obtengan las conclusiones correspondientes a cada uno de los contenidos que se proponen. El trabajo colaborativo, además, exige de los profesores estudiantes un alto grado de integración grupal, lo cual favorece la identidad del profesional en el marco de la educación, en el que colegian las situaciones didácticas, por otro lado, ofrece una excelente oportunidad para discutir los errores conceptuales que a menudo ocurren en el tratamiento de los contenidos de Matemáticas del nivel de secundaria asentados en el Plan y Programas de estudio de 1993, vigentes, no obstante la profundidad con que están planteados. Al final de las actividades que se proponen en el programa, habrá que plantear a los profesores estudiantes una evaluación general con el propósito de registrar los avances alcanzados durante la estancia y el trabajo colaborativo llevado a cabo; la evaluación parcelaria, por su parte, también forma parte de las sugerencias metodológicas para el estudio de los Temas Selectos de Matemáticas; en ese sentido, se sugiere que el asesor titular de la materia convenga con el grupo de profesores estudiantes los términos en que se dirige un taller en el marco del trabajo colaborativo y las formas alternativas de evaluar los resultados.

EVALUACIÓN Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro grandes categorías: a) El desempeño actitudinal del participante b) El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje c) El diseño del curso d) El desempeño del maestro estudiante durante las clases presénciales

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En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del maestro estudiante, como: a) la disposición hacia la integración como miembro del grupo, b) la apertura hacia compartir ideas y juicios; c)

apertura ante las tareas de aprendizaje;

d) tolerancia a las opiniones de los demás; e) su participación en actividades de trabajo colaborativo; f)

entre otras.

En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente programa de la enseñanza de las matemáticas en la zona conurbana, como; a) la capacidad de análisis y síntesis, b) las habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, c)

entre otras.

En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no solo del maestro estudiante, sino también del profesor responsable del despliegue de la disciplina, este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: a) la declaración de intenciones por parte del asesor, b) si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, c)

si presenta los propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento, habilidades y actitudes;

d) si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos implícitos y explícitos; e) si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, f)

y todos aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la reorientación y planificación de actividades que tengan mayor consistencia.

Finalmente, en el último aspecto sugerido para la evaluación, conviene incorporar reflexiones que tiendan a evaluar la asistencia y participación del profesor estudiante, como: a) si las tareas solicitadas se realizan en tiempo y forma; b) si el maestro alumno asiste a la clase presencial con los materiales analizados previamente; c)

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si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros;

d) si hace contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, e) si tiene dominio sobre la información que discute; f)

si sus aportaciones tienen el carácter de novedoso y relevante en las discusiones generadas;

g) si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica proposicional, h) entre otras. Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al docente como al maestro estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.

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PROPÓSITOS GENERALES CONCEPTUAL: Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes normalistas: 1.

Analicen un marco teórico referente a las habilidades del pensamiento y el enseñar a pensar en los tres usos de la variable, es decir, como número, como incógnita y como relación funcional, así mismo avancen en la concepción de los contenidos de la matemática

2.

Estudien procesos matemáticos avanzados en el marco del álgebra superior

3.

Apliquen herramientas para evaluar la labor educativa de la enseñanza de las matemáticas.

4.

Analicen el marco conceptual del desarrollo de las expresiones polinomiales y sus derivados

5.

Desarrollen nociones más avanzadas en el marco de las sucesiones aritméticas y geométricas

6.

Analicen el marco conceptual del segundo y tercer uso de la variable, el número como incógnita y como una relación funcional

7.

Recuperen las distintas formas de extraer las raíces de toda presentación de la ecuación cuadrática en el marco del segundo uso de la variable

PROCEDIMENTAL: 1.

Desarrollen habilidades de análisis de estrategias para procesar información en el marco del pensamiento algebraico

2.

Ejerciten habilidades de exploración sistemática y descripción verbal de las características de los contenidos de la matemática avanzada.

C) ACTITUDINAL: 1.

Valoren los elementos que intervienen en la construcción, análisis y reflexión para enriquecer la visión personal sobre la didáctica de la enseñanza de las Matemáticas

2.

Demuestren disposición al asumir el rol respectivo en la aplicación de la técnica del trabajo colaborativo.

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BLOQUE I

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA SUPERIOR PROPÓSITOS Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes normalistas: 1.

Buscar las relaciones de los números naturales

2.

Plantear la relación de los números naturales en términos del pensamiento algebraico en el marco del primer uso de la variable

3.

Analizar el soporte del primer uso de la variable para el ingreso al segundo y tercer uso de la variable, el número como incógnita y como una relación funcional.

4.

Derivar el comportamiento de las operaciones asociadas a la potenciación y radicación.

TEMAS: 1.

¿Qué es el Álgebra?

2.

Propiedades de los números reales

3.

El Álgebra como un lenguaje algebraico

4.

Sucesiones

5.

Sucesiones aritméticas

6.

Medias Aritméticas

7.

Sucesiones geométricas

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BIBLIOGRAFÍA Carpinteiro, V., Eduardo y Sánchez H. Rubén B. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Carrero Campos Ximena. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Cuellar José A. "Matemáticas para Bacillerato". México McGraw-Hill 2001 HOSTETLER. Robert P. y LARSON. Ronald E. Álgebra, Publicaciones Cultural. México 1996 Kaseberg Alice. "Álgebra Elemental " México, Ediciones Thomson Internacional, 2001 Smith, Stanley y Col. "Álgebra" Addison-Wesley Iberoamericana, 2001 SMITH. Stanley A.; CAHRLES.Rondall J.; DOSSEY. John A.; KEEDY. Marvin L. y BITTINGER. Marvin L. Álgebra. Adisson-Wesley Iberoamérica, Wilmington Delaware EUA, 1992 SWOKOWSKI. Earl W. y COLE. Jeffrey A. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. EUA, 1993 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Leithold, Luis. "Álgebra y trigonometría con Geometría analítica" México, Editorial Karla, 1994 Noreña, Francisco. "El develador de las incógnitas" México Pangea Editores, 1992 Peterson, John C. "Matemáticas Básicas" México, Editorial CECSA, 2001 Santos Trigo, L. M. "Proncipios y Métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas" México, Editorial Iberoamericana, 1997 Tahan, Malba. "El hombre que calculaba" México, Noriegfa Editores, 1992

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ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN 1.

Analicen los elementos que proporciona el material de apoyo para el estudio de la materia, así como el marco de trabajo que se sugiere, lleguen a conclusiones que dejen ver qué es una variable, cómo la rama del álgebra pone de relieve la generalización del concepto de número, etcétera

2.

Responda a los distintos planteamientos propuestos en este primer bloque de trabajo, discuta con sus compañeros de grupo las razones de plantear situaciones que permitan avanzar en el estudio de la materia.

3.

Proponga a sus compañeros un marco conceptual que defina al conjunto de números reales.

4.

Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo otras formas alternativas de obtener resultados a partir de situaciones problema, como el cálculo de diagonales de una figura geométrica y la forma de organizarla para llegar a respuestas menos abruptas.

5.

Establezca, junto con sus compañeros de grupo, normas que permitan apropiarse del lenguaje propio de esta disciplina.

6.

Señalen la importancia de relacionar la materia con otras disciplinas del conocimiento a partir de planteamiento de problemas relacionados con las demás ciencias del conocimiento, asimismo, analicen las formas metodológicas de resolverlo.

7.

Establezca, a partir de las respuestas de cada propuesta registrada en el material de apoyo para el estudio de la materia, como este tipo de problemas se puede resolver a través de una ecuación o el establecimiento de una sucesión aritmética.

8.

Proponga a sus compañeros de grupo alguna o algunas formas de llegar a la modelación matemática, tal que permita establecer modelos que den respuestas a sucesiones aritméticas, como sugerencia, consulte el material de apoyo para el estudio de la materia.

9.

Proponga a sus compañeros de grupo alguna o algunas formas de llegar a la modelación matemática, tal que permita establecer modelos que den respuestas a sucesiones geométricas, como sugerencia, consulte el material de apoyo para el estudio de la materia.

10. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo las respuestas de cada uno de los problemas de otras ciencias del conocimiento que se plantean en el material de apoyo, sobre todo, es recomendable que dichas respuestas estén en el marco de las sucesiones, tanto aritméticas, como geométricas.

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BLOQUE II

POLINOMIOS CON UNA VARIABLE PROPÓSITOS Al término de las actividades que se proponen el profesor estudiante será capaz de: 1.

Encontrar los patrones y regularidades para la resolución de problemas que impliquen el uso de las expresiones polinomiales desde la perspectiva de las operaciones algebraicas

2.

Explicar los patrones y regularidades que establece el producto notable en diferentes planteamientos

3.

Explica las regularidades que ofrece el producto notable para el proceso de factorización

4.

Asociar los patrones y regularidades encontrados a partir de los productos notables para el comportamiento del Binomio de Newton en tanto el cálculo de un Ni del mismo

5.

Encontrar las normas que regulan el proceso de factorial de expresiones, así como el establecimiento de las bases para operar con este tipo de expresión

TEMAS 1.

Adición y sustracción de polinomios

2.

Multiplicación y división de polinomios

3.

Productos notables y factorización a)

Factor común en un polinomio

b)

Cuadrado de un binomio

c)

Trinomio al cuadrado

d)

Factorización parcial de trinomios de segundo grado

e)

Cubo de un binomio

f)

Factorización de un cubo perfecto

g)

Producto de un binomio con término común

h) Factorización de trinomios de segundo grado i)

Producto de binomios conjugados

j)

Factorización de diferencia de cuadrados

k)

Factorización por agrupación de términos

l)

Factorización de una suma o diferencia de dos potencias iguales

m) Mínimo Común Múltiplo de dos o más polinomios n) Otros tipos de factorizaciones 4.

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Binomio de Newton

5.

Factorial

BIBLIOGRAFÍA Carpinteiro, V., Eduardo y Sánchez H. Rubén B. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Carrero Campos Ximena. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Cuellar José A. "Matemáticas para Bacillerato". México McGraw-Hill 2001 HOSTETLER. Robert P. y LARSON. Ronald E. Álgebra, Publicaciones Cultural. México 1996 Kaseberg Alice. "Álgebra Elemental " México, Ediciones Thomson Internacional, 2001 Smith, Stanley y Col. "Álgebra" Addison-Wesley Iberoamericana, 2001 SMITH. Stanley A.; CAHRLES.Rondall J.; DOSSEY. John A.; KEEDY. Marvin L. y BITTINGER. Marvin L. Álgebra. Adisson-Wesley Iberoamérica, Wilmington Delaware EUA, 1992 SWOKOWSKI. Earl W. y COLE. Jeffrey A. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. EUA, 1993 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Leithold, Luis. "Álgebra y trigonometría con Geometría analítica" México, Editorial Karla, 1994 Noreña, Francisco. "El develador de las incógnitas" México Pangea Editores, 1992 Peterson, John C. "Matemáticas Básicas" México, Editorial CECSA, 2001 Santos Trigo, L. M. "Principios y Métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas" México, Editorial Iberoamericana, 1997 Tahan, Malba. "El hombre que calculaba" México, Noriegfa Editores, 1992

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Discuta con sus compañeros de grupo la importancia que reviste la expresión polinomial par establecer los elementos que los diferencian, como: coeficiente, literal, exponente y signo de la expresión; asimismo, determine las formas más usuales de trabajar con este tipo de expresiones algebraicas y la importancia de organizarla de manera adecuada.

2.

Discuta con sus compañeros las formas que generalmente utilizan este tipo de expresiones, en tanto se pone de relieve las operaciones, tanto enteras, como fraccionarias.

3.

Discuta con sus compañeros de grupo las ciencias del conocimiento que utilizan este tipo de expresiones polinomiales para resolver los problemas que plantea cada una, se recomienda que se apoye esta reflexión con el material de apoyo para el estudio de la materia.

4.

Conviene que antes de iniciar las discusiones que permitan encontrar los patrones y regularidades que ofrece el producto notable, analice la propuesta del Lic. Juan Manuel Alvídrez Villarreal1 y discuta con sus compañeros de grupo la pertinencia de bajar esta modelación a los estudiantes de la escuela secundaria, asimismo, redacte un reporte de lectura que deje ver las conclusiones a las que hayan llegado, es conveniente que este reporte de lectura lo enriquezca con el punto de vista de cada uno de los integrantes.

5.

Discuta con sus compañeros la regularidad que ofrece los tres productos notables básicos, es decir: Cuadrado de un binomio, binomios conjugados y binomios con término común, y a partir de estas regularidades, establezca la asociación de llegar a otros de mayor profundidad, es recomendable que también esta parte se apoye con el material para el estudio de la materia

6.

A partir del comportamiento, mediado por los patrones y regularidades del producto notable, es conveniente que analice la forma de reconvertir la expresión polinomial para llegar a las formas de factorar las diferentes expresiones propuestas desde el enciclopedismo, asimismo, llegue a las conclusiones de que en ocasiones es necesario apoyarse en el cálculo del mínimo común múltiplo algebraico para dar respuesta a otros tipos de factorizaciones.

7.

Analice el comportamiento del producto notable y discuta con sus compañeros cómo éstos permiten resolver por la vía del Binomio de Newton, derivar en la propuesta de Blase Pascal, mejor conocida como el Triángulo de Pascal.

8.

Analice y discuta con sus compañeros de grupo el significado e implicaciones del término factorial, así mismo, cómo esta rama de la matemática permite llegar a respuestas con mayor facilidad, es recomendable que se apoye en el material para el estudio de la materia.

9.

Es recomendable que deje por escrito las recomendaciones metodológicas para conducir con grupos de adolescentes en edad de 12 a 14 años la pertinencia de este análisis, así como la conveniencia, de acuerdo con el programa oficial, de operarlo o dejarlo como parte del crecimiento profesional en el campo de la competencia didáctica de cada uno de los integrantes del grupo de trabajo.

1

Catedrático de la Normal Superior “Profr. José E. Medrano R.”

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Bloque III

ECUACIONES DE PRIMER GRADO PROPÓSITOS Al término de las actividades propuestas el profesor estudiante será capaz de: 1.

Analizar, como consecuencia del estudio del primer uso de la variable, como número, el segundo uso de la variable se refiere al número como incógnita

2.

Analizar las implicaciones del segundo uso de la variable permite el ingreso al tercer uso de la variable, el número como una relación funcional, sin sobresaltos.

3.

Analizar los diferentes formas de graficar una relación funcional

4.

Revisar las diferentes formas metodológicas de encontrar las sucesiones que determinan una relación funcional, así como la diversificación metodológica para la búsqueda de los valores de dos o más relaciones funcionales, comúnmente llamadas Sistemas de ecuación.

Temas 1.

Aplicación de las ecuaciones lineales

2.

Sistema de ecuación lineal a) Método de eliminación por suma y resta b) Método de sustitución c)

Método de igualación

d) Método determinante e) Método gráfico

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BIBLIOGRAFÍA Carpinteiro, V., Eduardo y Sánchez H. Rubén B. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Carrero Campos Ximena. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Cuellar José A. "Matemáticas para Bacillerato". México McGraw-Hill 2001 HOSTETLER. Robert P. y LARSON. Ronald E. Álgebra, Publicaciones Cultural. México 1996 Kaseberg Alice. "Álgebra Elemental " México, Ediciones Thomson Internacional, 2001 Smith, Stanley y Col. "Álgebra" Addison-Wesley Iberoamericana, 2001 SMITH. Stanley A.; CAHRLES.Rondall J.; DOSSEY. John A.; KEEDY. Marvin L. y BITTINGER. Marvin L. Álgebra. Adisson-Wesley Iberoamérica, Wilmington Delaware EUA, 1992 SWOKOWSKI. Earl W. y COLE. Jeffrey A. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. EUA, 1993 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Leithold, Luis. "Álgebra y trigonometría con Geometría analítica" México, Editorial Karla, 1994 Noreña, Francisco. "El develador de las incógnitas" México Pangea Editores, 1992 Peterson, John C. "Matemáticas Básicas" México, Editorial CECSA, 2001 Santos Trigo, L. M. "Proncipios y Métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas" México, Editorial Iberoamericana, 1997 Tahan,

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Malba.

"El

hombre

que

calculaba"

México,

Noriegfa

Editores,

1992


Analicen en el grupo de trabajo cuál es el campo de estudio del segundo uso de la variable, es decir, el número como incógnita y las implicación para la búsqueda del valor de la misma

2.

Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo otras formas de llegar a mejores respuestas, es decir, que no permita que los estudiantes en edad de 12 a 14 años operen este tipo de ecuaciones sin haberlas comprendido; en particular, es recomendable que analicen la siguiente propuesta, a partir de plantearlo como texto:

”se tienen tres números, A, B, y C; cuyos valores son 14, 28, y 32, respectivamente, encuentre la sumatoria y las relaciones que guardan entre sí”. Al observar las relaciones que están alrededor de los números de pasos en el recorrido por la escuela y teniendo como punto de partida un número como el 14, se observa que 28 es el doble del primero y el tercero es del doble del primero más 4 unidades, todos suman 74. Números

Sumatoria

14

28

32

74

Número

Doble del número

Doble del número más 4 unidades

Suman 74

Esta primera relación encontrada permite trasladar el concepto a la modelación matemática: Números

Sumatoria

14

28

32

74

Número

Doble del número

Doble del número más 4 unidades

Suman 72

2x

2x + 4

74

x 2

De donde resulta una primera ecuación, 5x + 4 = 74, que pertenece a la familia de ax + b = c Sin embargo, los estudiantes pueden sugerir otras relaciones, como: “Al tener como punto de partida el segundo número, se observa que el primero es la mitad del segundo y el tercero es el segundo más 4 unidades; todas suman 74” Números

Sumatoria

14

28

32

74

Mitad del número

Número

Número más cuatro unidades

Suman 74

Esta segunda relación encontrada permite trasladar el concepto a la modelación matemática

17

Números

Sumatoria

14

28

32

74

Mitad del número

Número

Número más 4 unidades

Suman 74

x

x+4

74

x 2

De donde resulta una segunda ecuación,

x + x + x + 4 = 74 , tal que: 2

x + 2x + 2x + 8 = 74 , de donde 2 x + 2x + 2x + 8 = (2)(74), luego 5x = 148 - 8, de donde 5x = 140 x=

140 5

y por lo tanto

x = 28, como se esperaba 3.

Una vez que ha sido analizada con el cuidado que merece, discuta con sus compañeros de grupo de trabajo la importancia que reviste llevar este tipo de análisis con grupos de estudiantes en edad de 12 a 14 años, sobre todo, destaque la importancia que tiene este tratamiento para plantear problemas de la vida real y encontrar respuestas con mayor certidumbre que las que se han venido planteando, en particular, es recomendable que se analice el material de apoyo para el estudio de la materia.

4.

Discuta con sus compañeros de grupo, la importancia que reviste este tratamiento para llegar a establecer el segundo uso de la variable, es decir, el número como una relación funcional, mejor conocida como la ecuación de primer grado con dos variables así como los distintos métodos de solución, es recomendable que ponga en la mesa de las discusiones los conocimientos previos que al respecto tienen cada uno de los integrantes a fin de que haga una propuesta que mejore este tratamiento con grupos de estudiantes en edad de 12 a 14 años.

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Bloque IV

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO PROPÓSITOS 1.

Identificar las expresiones polinomiales de segundo grado con una variable

2.

Identificar el método de extracción de las raíces de una expresión polionomial de segundo grado con una variable

TEMAS 1.

Método de factorización

2.

Ecuaciones y desigualdades a) Método por extracción de raíces b) Método por completación de cuadrados c)

Método por fórmula general

d) Usando la calculadora 3.

Transformación de ecuaciones cuadráticas

4.

Ecuaciones con fracción

5.

Ecuaciones con radicales

6.

Aplicación de las ecuaciones cuadráticas

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BIBLIOGRAFÍA Carpinteiro, V., Eduardo y Sánchez H. Rubén B. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Carrero Campos Ximena. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Cuellar José A. "Matemáticas para Bacillerato". México McGraw-Hill 2001 HOSTETLER. Robert P. y LARSON. Ronald E. Álgebra, Publicaciones Cultural. México 1996 Kaseberg Alice. "Álgebra Elemental " México, Ediciones Thomson Internacional, 2001 Smith, Stanley y Col. "Álgebra" Addison-Wesley Iberoamericana, 2001 SMITH. Stanley A.; CAHRLES.Rondall J.; DOSSEY. John A.; KEEDY. Marvin L. y BITTINGER. Marvin L. Álgebra. Adisson-Wesley Iberoamérica, Wilmington Delaware EUA, 1992 SWOKOWSKI. Earl W. y COLE. Jeffrey A. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. EUA, 1993 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Leithold, Luis. "Álgebra y trigonometría con Geometría analítica" México, Editorial Karla, 1994 Noreña, Francisco. "El develador de las incógnitas" México Pangea Editores, 1992 Peterson, John C. "Matemáticas Básicas" México, Editorial CECSA, 2001 Santos Trigo, L. M. "Proncipios y Métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas" México, Editorial Iberoamericana, 1997 Tahan, Malba. "El hombre que calculaba" México, Noriegfa Editores, 1992

20


Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo el campo de aplicación de la expresión polinomial de segundo grado con una variable y la forma que regularmente utiliza para la resolución de problemas

2.

Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo a qué se refiere este análisis cuando se habla de ecuaciones y desigualdades

3.

Sujete a discusión las diferentes formas de resolver una expresión polinomial de segundo grado con una variable partiendo de los conocimientos que al respecto tenga.

4.

Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo en qué consisten los tres métodos de solución para la búsqueda de las raíces de este tipo de expresiones polinomiales, es conveniente que se ayude el análisis y discusiones con el material de apoyo para el estudio de la materia y otras fuentes bibliográficas que las conclusiones.

5.

Proponga ante sus compañeros de grupo en general, las conclusiones a las que hayan llegado, además, deje por escrito en qué consiste su propuesta mejore los resultados que se han venido obteniendo con grupos de adolescentes de la escuela secundaria.

6.

Como parte del acervo cultural y profesional de la Licenciatura en educación secundaria en la especialidad de Matemáticas, conviene que analicen el tema de Transformación de ecuaciones cuadráticas y determinen en qué consiste, es conveniente que se enriquezca el análisis con el material de apoyo para el estudio de la materia.

7.

Lleve a discusión los temas ecuación cuadrática con fracciones y radicales para enriquecer el acervo cultural y crecer profesionalmente en el campo de la enseñanza de la matemáticas con estudiantes de la escuela secundaria.

8.

Finalmente, busque la aplicación de este tipo de expresiones polinomiales por la vía del planteamiento y resolución de problemas, es conveniente que se ayude el análisis con el Material de apoyo para el estudio de la materia.

21

ateriales de apoyo para el estudio

22

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________

BLOQUE I INTRODUCCION A LA ALGEBRA LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES1

D

esde la época más antigua de las matemáticas, es decir, de los pitagótricos, cuando apareció la sistematización del pensamiento en función de la literales, surgen las operaciones en función de las mismas, consecuentemente, dio origen al comportamiento

como resultado del análisis numérico de los números naturales y su relación, en palabras de Brunner (1976) representa la creación de los andamiajes cognitivos, de los cuales, el profesor es responsable de crear, según la postura del autor, lo que para Piaget, Biólogo Suizo, tiene lugar la reversibilidad del pensamiento como parte del proceso que alcanza el sujeto en la etapa de las operaciones formales, que de no tomar en cuenta, como pieza fundamental de las características biosicosociales de los adolescentes, continuaremos rompiendo el equilibrio de la lógica del pensamiento matemático de los mismos; en ese sentido, y dadas las nuevas tendencias metodológicas en la enseñanza de las matemáticas, en el segundo grado de la educación secundaria, los contenidos, asociados al pensamiento algebraico, y que sin duda tienen que ver con el estudio de la teoría de los números y su relación, remiten a ideas como las que describo en las siguientes líneas, tal es el caso del comportamiento de la suma abreviada de sumandos iguales representada como una multiplicación, consecuentemente, la sistematización del comportamiento multiplicativo reconocido como “producto notable” origina un planteamiento: ¿en qué consiste la parte notable? Y, ¿cuáles fueron las razones por las que los antiguos de las matemáticas le llamaron “notables”. Para darle cuerpo a la respuesta del planteamiento, y utilizando los recursos que le anteceden, es decir, los conocimientos previos en función de la multiplicación, mismos que utilizo para derivar la parte notable de los productos notables. Al respecto, observemos la siguiente multiplicación: (a + b)(a + b) =; que se puede representar en función de una representación potencial, es decir: (a + b)2 =; que resuelta mediante los recursos de la multiplicación tendríamos:

a+b a+b a2 + ab 2 ab + b 2 a + 2ab + b2 De esta forma de multiplicar podemos obtener algunas conclusiones, como:

23

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ 1.

El comportamiento sugiere tomar al primer término de la expresión polinomial como uno solo, que al multiplicarlo por sí mismo, resulta la expresión a2

2.

La segunda expresión polinomial se comporta en una suma, lo que supone como resultado la suma de ambos multiplicado por la primera de las literales utilizadas

3.

Finalmente el comportamiento sugiere multiplicar la segunda de las literales que se utilizan.

Se debe destacar que este comportamiento es único para otras variaciones que se puedan hacer con la misma expresión, como: (a + b)(a – b) =, o bien; (a + 5)(a – 8) =, De las cuales, si se aplican las observaciones hechas en el anterior análisis, podemos concluir que: (a + b)(a – b) = a2 + (b – b)a – b2; de donde: a2 – b2; En la tercera variación realizada, es decir, (a + 5)(a – 8) =, también ocurre el mismo comportamiento, de ahí que: (a + 5)(a – 8) = a2 + (5 – 8)a – 40; que significa a2 – 3a – 40, puesto que 5 – 8 = - 3. De este modo, podemos, plantear a los alumnos un comportamiento único para el tratamiento de los productos notables. Pero, ¿en qué consiste lo notable de los productos notables? La respuesta no tiene discusión, EN EL COMPORTAMIENTO DE LOS TÉRMINOS QUE SE UTILIZAN PARA EL ESTUDIO DE ESTE TIPO DE MULTIPLICACIONES Al respecto, muy a menudo, y en palabras de J. Vallejo (1735), hacer un tratamiento con base en la corriente pedagógica que demanda memorización y mecanización es afirmar lo que Durkeim (1875) reconoció como reproducción de esquemas acartonados, envejecidos y estériles; por si fuera poco, F. Díaz Barriga (2001), en su obra ·”estrategias para la enseñanza de las ciencias” afirma que: “los profesores somos capaces de demostrar a través de muchas estrategias grandes axiomas sin saber el significado de los mismos”. Estas y otras investigaciones, como las de la Dra. Sonia Ursini, o Teresa Rojano, entre otros, revelan que la enseñanza de las matemáticas no tienden al reproduccionismo estéril que por algunas décadas hemos venido realizando, más allá de los procesos que a lo largo de nuestra formación fuimos aprendiendo; por ejemplo, para la demostración del “binomio al cuadrado”, usualmente se utilizan los principios asociados a la geometría, lo que supone que puede demostrarse el axioma del

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ caso que planteo a través del cálculo de la superficie de un cuadrado y parcelarlo, como ocurre en el siguiente esquema:

a ab a

2

b b ab a

De donde, sumando todos los productos tenemos que: 2 2 a + ab + ab + b Y el resultado final: 2 2 a + 2ab + b

De inmediato, surge una nueva pregunta: ¿Dentro del cálculo de las áreas, cuándo se ha visto que para obtenerla se recurra a parcelarla?, podemos, en el mismo sentido, además replantear la pregunta en otros contextos, por ejemplo, en el caso de las personas que se dedican a instalar pisos en superficies cuadradas, o en el ambiente de la agricultura, el cálculo de los terrenos agrícolas o superficies por cubrir, solo se remite al producto de dos dimensiones, de ahí que, la reversibilidad del pensamiento, en palabras de J. Piaget, se ultraje, consecuentemente, al estudio se vuelve estéril y con ello ocurre lo que socialmente podríamos denominar “la anorexia y bulimia de las matemáticas”; por otro lado, también puedo hacer una crítica a quienes destinamos fuertes cargas horarias para el estudio de los productos notables, planteados en términos aislados, cargados de esterilidad, disociados y sin sentido alguno para quines nos dirigimos en aras de “enseñar matemáticas”, reconociendo, que este proceso se realiza con “muy buenas intenciones”, pues hasta los que se dedican a escribir obras de matemáticas recurren a estos procesos, baste ver cualquier libro de texto “gratuito”. La propuesta que planteo, recurre a un análisis numérico y recupera de manera muy clara el comportamiento de los números naturales y su relación, como lo demuestro en la siguiente tabla, en la que analizo las tres formas básicas de la multiplicación, razón por la cual se le asignó el nombre de “productos notables” y en ello implícito se encuentra el título de esta reflexión ”lo notable de los productos notables”. (a + b )2 =, de donde a

2

2

+ 2ab + b , puesto que:

b + b = 2b, y 2b

x

a

consecuentemente

=

(a + b )(a + b ), al igual que en (a + 6)(a + 8), de donde el caso de la izquierda:

a a + 14a + 48; puesto que:

a2 – b2, puesto que

6 + 8 = 14 y

2ab; +b – b = 0, consecuentemente; 2

2

a –b

6 x 8 = 48; consecuentemente a2 + 14a + 48

a 2 + 2ab + b2 Finalmente, sostengo, que a partir de estas reflexiones se pueden derivar otras con mayor grado de dificultad, la fortuna, para nosotros como formadores de adolescentes, es que no tenemos por qué avanzar en grado de dificultad, puesto que el Programa de matemáticas para la educación secundaria solamente plantea las tres formas básicas de “lo notable de los productos notables”

25

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Como derivado del análisis planteado en las líneas anteriores, podemos establecer otras relaciones de los números naturales, por ejemplo: A partir del exponente al que se desea elevar la expresión polinomial (binomio) y variarla, es decir, de cuadrado a cubo: (a + b )2, a otra potencia como (a + b )3, Se observa que en la expresión polinoimial: (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 El exponente “2”, al cual se va a elevar el binomio, es el mismo del primer término del resultado; además el coeficiente del segundo término también es el exponente del primer término del resultado; el comportamiento es el siguiente: (a + b )2 = a2 + 2ab Para obtener el coeficiente del segundo término del resultado, basta con hacer el siguiente cálculo:

2 *1 = 2 ; donde 2 es el exponente del primer término y 1, es el coeficiente del mismo y el divisor 1 1 representa el número de términos encontrados hasta este momento; el resultado de este cálculo es dos; consecuentemente “2” es el coeficiente del siguiente término del resultados, es decir: (a + b)2 = a2 + 2ab Lo cual significa que para el cálculo del exponente del siguiente término del resultado, basta disminuir el del primero y aumentar el del segundo; por cuanto al coeficiente, basta, también iterar el proceso del término que le antecede, es decir,

2 *1 = 1 , y por lo tanto, se obtiene el resultado 2

final, es decir: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Estos resultados, emanados del análisis del comportamiento, sugieren también una especie de triangulación en cuanto a los coeficientes; como se muestra en el siguiente esquema:

1 1 1

1 2

1

(a + b)0 (a + b)1 (a + b)2

De los cuales podemos iniciar con algunas conclusiones, como elevar al cubo la expresión polinomial con que se viene trabajando, es decir:

26

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ (a + b)3 = De acuerdo con las primeras conclusiones, podemos obtener el resultado, es decir: (a + b)3 = a3 … Luego el siguiente término, en función del exponente, basta disminuirlo y aumentar el siguiente, es decir: (a + b)3 = a3 +

a2b +

ab2 + b3

En cuanto a los coeficientes, realizamos el mismo cálculo que en el “binomio” y obtenemos, para el segundo término:

término:

3 *1 = 3 puesto que se ha calculado solamente un término; para el tercer 1

3*2 3 *1 = 3 , puesto que se han calculado dos términos y para el cuarto término: = 1, 2 3

puesto que se han calculado ya tres términos; de ahí que el resultado final tenga la expresión: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 En el caso del triángulo, también ocurre el mismo fenómeno, solo que este se asocia con la suma de los números de la serie anterior, como se puede apreciar en el siguiente esquema:

1 1 Que son los coeficientes d e la expresión polinomial resultante

1

1

1 + 2 +1 3 3 1

(a + (a + (a + (a +

b)0 b)1 b)2 b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3

Las conclusiones que se pueden obtener son: 1.

En todo binomio elevado a la “n” potencia, el exponente del primer término de la expresión disminuye, mientras que el exponente del segundo término aumenta.

2.

En todo binomio elevado a la “n” potencia, el primer término del resultado lleva el exponente al que se va elevar el binomio.

3.

En todo binomio elevado a la “n” potencia, para calcular el coeficiente de cada término, basta realizar la siguiente operación:

n*e = C , donde “n” es el coeficiente; “e” es el n i

exponente y ni es el número de términos calculados. 4.

En todo binomio elevado a la “n” potencia, si se trata de una suma, todos los términos resultantes son “positivos”

5.

En todo binomio elevado a la “n” potencia, si se trata de una diferencia de dos cantidades, los términos resultantes llevarán los signos “positivo y negativo” e forma alternada

27

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ De este modo, podemos calcular un binomio de la forma (a + b)n =, donde “n ≠, <, > 0, lo cual no necesariamente “n” debe ser positivo, pues el comportamiento es exactamente el mismo. Otro recurso del cual se puede echar mano es el triángulo descrito en las líneas anteriores, para el (a + b)n =, con “n ≠ 0,, como

cálculo de los coeficientes de la resultante de un binomio de la forma se aprecia en el siguiente esquema:

1 1 1 1 + 2 +1 1+ 3 + 3 +1 1 + 4 + 6 + 4 +1 1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1 1 + 6 + 15 + 20 +15 + 6 +1 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7+ 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

(a + (a + (a + (a + (a + (a + (a + (a + (a +

b)0 b)1 b)2 3 b) b)4 b)5 b)6 7 b) b)8

Además de las reflexiones planteadas en las líneas anteriores, el comportamiento, conocido como “Binomio de Newton” permite realizar algunas variaciones; por ejemplo: (5m + 3n)9 =; sabemos, por definición, como realizar tanto el cálculo de los exponentes como de los coeficientes, de modo que siguiendo el proceso tenemos: (5m + 3n)9 = (5m)9 + 9(5m)8(3n) + 36(5m)7(3n)2 + 84(5m)6(3n)3 + 126(5m)5(3n)4 + 126(5m)4(3n)5 + 84(5m)3(3n)6 + 36(5m)2(3n)7 + 9(5m)(3n)8 + (3n)9 Otra variación posible, está en el orden de los exponentes de as variables utilizadas, es decir: (5m3 + 3n2)9 = (5m3)9 + 9(5m3)8(3n2) + 36(5m3)7(3n2)2 + 84(5m3)6(3n2)3 + 126(5m3)5(3n2)4 + 126(5m3)4(3n2)5 + 84(5m3)3(3n2)6 + 36(5m3)2(3n2)7 + 9(5m3)( 3n2)8 + (3n2)9 Y a partir de desarrollar cada uno de los términos calcular cada uno de los mismos, lo cual significa, que cualquier binomio se puede realizar, bajo la dimensión de este comportamiento. Por otro lado, estudiar el Binomio de Newton sin hacer la asociación correspondiente con el triángulo realizado con los coeficientes de cada uno de los binomios, no tendría sentido si solo se utiliza para derivar los coeficientes de cada término, sea cual sea la potencia a la que se eleve, es decir, en el triángulo, conocido como “triángulo de Pascal” existe la serie de los números naturales elevados a la 0, 1, 2, 3, 4, … ,n potencia, como se observa en el siguiente esquema, para la serie de los números naturales elevados a la “0” potencia.

28


1 1 1 1

1 2

1 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1

3

1

4

3

6

El siguiente esquema muestra la serie de los números naturales elevados a la primera potencia:

1 1 1 1

1 2

1

3 1 6 4 1 1 5 1 0 10 5 1 1 6 1 5 20 15 6 1 1 7 2 1 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1

3

4

El siguiente esquema muestra la serie de los números naturales elevados a la segunda potencia:

1 1 1 1 1

1 2

3

1 3

1

6 4 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1

4

5

Así, podemos encontrar la serie de los números naturales elevados a la 0, 2, 3, 4, …, n potencia. Existen otro tipo de números dentro del triángulo de Pascal, conocidos como triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etcétera.

29

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Números triangulares

Números cuadrangulares

Números pentagonales

30

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Números hexagonales

A partir de estas reproducciones, podemos establecer el comportamiento de los mismos en una tabla y calcular los demás, hasta la figura plana que se desee, como se muestra en la siguiente tabla: Nombre

Serie

Triangulares

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

Cuadrangulares

1

4

9

16

25

36

48

64

81

100

Pentagonales

1

5

12

22

35

53

72

94

119

147

Hexagonales

1

6

15

28

45

66

91

120

153

190

Heptagonales

1

7

18

34

55

81

112

148

189

236

Octagonales

1

8

22

43

71

106

148

197

253

316

Nonagonales

1

9

25

49

81

121

169

225

289

361

Decagonales

1

10

28

55

91

136

190

253

335

416

Un decagonales

1

11

31

61

101

151

211

281

361

451

31

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Y a partir de estos, iniciar el análisis del comportamiento para establecer los patrones y regularidades que en el ocurren, como se muestra en la siguiente tabla Nombre

Serie

Triangulares

1

Diferencial en la primera posición

3

6

10

15

21

28

36

45

55

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Segunda posición Constante (k)

Cuadrangulares

1


4

9

16

25

36

48

64

81

100

3

5

7

9

11

13

15

17

19

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2


Pentagonales

1


5

12

22

35

53

72

94

119

147

4

7

10

13

16

19

22

25

28

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3


Hexagonales

1


6

15

28

45

66

91

120

153

190

5

9

13

17

21

25

29

33

37

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4


Heptagonales

1


7

18

34

55

81

112

148

189

236

6

11

16

21

26

31

36

41

47

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5


Octagonales

1


8

22

43

71

106

148

197

253

316

7

14

21

28

35

42

49

56

63

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7


Nonagonales Diferencial en la primera posición Segunda posición Constante (k)

32

1

9

25

49

81

121

169

225

289

361

8

16

24

32

40

48

56

64

72

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Decagonales

1


10

28

55

91

136

190

253

335

416

9

18

27

36

45

54

63

72

81

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9


Un decagonales

1


11

31

61

101

151

211

281

361

451

10

20

30

40

50

60

70

80

90

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10


Obsérvese que en la primera diferencial, ocurre que tiene como punto de partida la expresión “n – 1”, donde “n = al número de lados del polígono”; la diferencial de la segunda posición también tiene lugar la misma expresión, es decir, “n – 1”, donde “n = al número de lados del polígono”; en forma constante, e indica que se trata de cálculo de superficies; y dado que estas tiene una representación en segunda potencia, entonces la ecuación que la representa debe ser de “segundo grado”, es decir, cuadrática, como se puede apreciar en la siguiente tabla:

Para los números triangulares: 60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Para los números cuadrangulares: 120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Para los números pentagonales:

33

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Para los números hexagonales: 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1

Para los números heptagonales 250 200 150 100 50 0 1

34

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Para los números octagonales 350 300 250 200 150 100 50 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

Para los números nonagonales: 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1

Para los números decagonales: 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1

2

3

4

5

35

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Para los números un decagonales: 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Obsérvese que todas presentan la misma regularidad, es decir, la misma forma de la curva, lo que supone que se trata de una curva llamada “parábola cortada”, sin embargo, y por presentarse la regularidad de la constante de crecimiento en la segunda posición, nos hace suponer que se trata de una ecuación de segundo grado, es decir, “cuadrática”; consecuentemente, en un primer momento podemos decir que la forma que va a adquirir es la siguiente: y = x2 + x + c Ahora bien, de acuerdo con el comportamiento de cada una de ellas, como se observa en la siguiente tabla, podríamos establecer las condiciones de linealidad y constante de la ecuación, así, para el comportamiento de los números cuadrangulares, el modelo matemático sería: Nombre

Serie

Cuadrangulares

1

Ecuación

y = x2

4

9

16

25

36

49

64

81

100

Y a partir de este, establecer el modelo para el comportamiento de los números triangulares, como se puede apreciar en la siguiente tabla: Nombre

Serie

Triangulares 1 Ecuación Además

de

las

reflexiones

3

6

10 15

21

28

36

45

55

2

y=x + anteriores,

el

comportamiento

de

los

números

triangulares,

cuadrangulares, etcétera, ofrecen otras alternativas de análisis, como las que tienen que ver con la diferencial en la primera posición, como se puede apreciar en los siguientes gráficos: Para los números triangulares: Nombre

Serie

Triangulares

1 3

6

10 15

21

28

36

45

55

2

3

4

6

7

8

9

10


36

5

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Y su respectivo gráfico, como se aprecia en el siguiente esquema: 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Para los números cuadrangulares: Nombre

Serie

Cuadrangulares

1 4

9

16 25

36

48

64

81

100

3

5

7

11

13

15

17

19


9

Y su respectivo gráfico como se aprecia en el siguiente esquema: 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

12 22 35

53

72

94

119 147

7

16

19

22

25

Para los números pentagonales: Nombre

Serie

Pentagonales

1 5


4

10 13

28

37

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Y su respectivo gráfico como se aprecia en el siguiente esquema: 30 25 20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Procesos algebraicos netamente, asociados al plano cartesiano y sus funciones pueden aportar otros elementos, como el establecimiento de las ecuaciones que describen la diferencial en la primera posición, además del análisis, en el mismo sentido, para las aportaciones de las pendientes, pendientes que señalan la derivada de la línea descrita en cada caso. Otras aportaciones que enriquecen el significado de los números, se asocia con el conteo de los puntos en la frontera de cada una de las figuras que describen los números triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etcétera, como se puede apreciar en el siguiente esquema:

Para los números triangulares

Obsérvese que el crecimiento ocurre en una constante de 3, que se asocia con el número de lados de la figura

38

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Para los números cuadrangulares

Obsérvese que el crecimiento ocurre en una constante de 4, que se asocia con el número de lados de la figura Para los números pentagonales

Obsérvese que el crecimiento ocurre en una constante de 5, que se asocia con el número de lados de la figura Para los números hexagonales:

Obsérvese que el crecimiento ocurre en una constante de 6, que se asocia con el número de lados de la figura

39

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________ Los cuales ofrecen también la posibilidad de recrear el comportamiento en función del tercer uso de la variable, es decir, forzar los elementos y expresarlos en una función relacional a partir del primero, segundo, etcétera puntos en la frontera, como se puede apreciar en la siguiente tabla: Triangulares

Cuadrangulares

Pentagonales

Hexagonales

X

y

x

y

x

y

x

y

1

3

1

4

1

5

1

6

2

6

2

8

2

10

2

12

3

9

3

12

3

15

3

18

4

12

4

16

4

20

4

24

5

15

5

20

5

25

5

30

6

18

6

24

6

30

6

36

7

21

7

30

7

35

7

40

8

24

8

34

8

40

8

46

9

27

9

36

9

45

9

52

Y = 3x

y = 4x

y = 5x

y = 6x

El triángulo de pascal, como derivado del comportamiento de los productos notables también ofrecen múltiples posibilidades de analizar el camino de los números naturales y sus relaciones, tal es el caso de las potencias de los mismos, como las potencias del dos, estas se pueden apreciar en cada una de las líneas del mismo, como puede apreciarse en el siguiente esquema:

1 1 1 1

1 2

1 4 1 1 5 1 0 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1

3

1

4

3

6

20 1 2 22 23 4 2 5 2 6 2 27 28

Los resultados del comportamiento se obtienen a partir de la suma de las cifras de cada línea, es decir: 20 = 1 21 = 1 + 1 = 2 22 = 1 + 2 + 1 = 4 23 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 24 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

40


25 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 26 = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 Etcétera Las potencias del “tres, también forman parte de las filas del “triángulo de Pascal, como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

30

1

3

1 1

32

1 1

1 2

1

1 4 1 1 5 1 0 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 33

1

3

4

3

6

En efecto 30 = 1 31 =

1 1+1=3

32 =

1 1+1 1+3+3+1=9

33 =

1 1+1 1+3+3+1

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 27

El análisis sugiere el encuentro de todas las potencias de los números naturales y su relación, es decir, las potencias del 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etcétera. También aparece el número 11 elevado a la serie de los números naturales expresados en potencia, como se muestra en el siguiente esquema:

41


1 1 1 1

1 2

1

1 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1

3

4

3

6

110 1 11 11 2 3 11 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8

Podría pensarse que a partir de la potencia “5” no existe concordancia, sin embargo, al desarrollar las potencias del resultado, comparadas con las expresadas en el “Triángulo de pascal” se da la regularidad. En efecto: 110 = 1 puesto que toda cantidad elevada a la cero potencia es uno 111 = 11, puesto que toda cantidad elevada a la uno potencia es la misma cantidad 112 = 121, puesto que 11 x 11 = 121 113 = 1 331, puesto que 11 x 11 x 11 = 1 331 114 = 14 641, puesto que 11 x 11 x 11 x 11 = 14 641 115 = 1 5 10 10 5 1, puesto que 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 161 051 116 = 1 6 15 20 15 6 1, puesto que 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 1 771 561 Etcétera. Presentado así, 115 = 1 5 10 10 5 1, puesto que 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 161 051 pareciera que no concuerda, no obstante, al realizar la notación desarrollada tenemos que: 115 = 1 5 10 10 5 1 = (1 x 105)+ (5 x 104)+ (10 x 103)+ (10 x 102)+ (5 x 10) + 1, que al calcular cada una, tenemos: (1 x 105) 4

(5 x 10 )

=

100 000

=

50 000

3

(10 x 10 ) =

10 000

2

1 000

(10 x 10 ) = (5 x 10)

=

1

50 1

Que en total suman 161 051 = 115 Como puede observarse, la riqueza que muestra el tratamiento de los “productos notables” radica en extraer todo el aprendizaje posible hasta aventurarse a recorrer los caminos señalados en estas pequeñas reflexiones.

42


Las potencias del "tres, también forman parte de las filas del "triangulo de Pascal, como se puede apreciar en el siguiente grafico:

El análisis sugiere el encuentro de todas las potencias de los números naturales y su relación, es decir, las potencias del 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etcétera. También aparece el número 11 elevado a la serie de los números naturales expresados en potencia, como se muestra en el siguiente esquema:

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Podría pensarse que a partir de la potencia "5" no existe concordancia, sin embargo, al desarrollar las potencies del resultado, comparadas con las expresadas en el "Triangulo de pascal" se da la regularidad.

En efecto:

44

Como puede observarse, la riqueza que muestra el tratamiento de los "productos notables" radica en extraer todo el aprendizaje posible hasta aventurarse a recorrer los caminos señalados en

estas

pequeñas

reflexiones

45

¿QUE ES EL ALGEBRA?____________________________________________________

¿QUE ES EL ALGEBRA?

¿"El álgebra es el lenguaje de las matemáticas" A pesar de que esta información no responde completamente a la pregunta clásica de los estudiantes de matemáticas. ¿PARA QUE SIRVEN LAS MATEMATICAS?

E

n muchas actividades las personas tienen un lenguaje propio y peculiar. Los usuarios de las matemáticas tienen el álgebra.

El lenguaje de las matemáticas es el álgebra y la matemática es un estudio de modelos o pautas, por lo tanto, utilizamos el álgebra para describir y analizar los modelos.

COMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE EN CUALQUIER CURSO DE MATEMATICAS.

S

igue estas cuatro reglas y lo lograras sin la mejor duda: 1. Haz hasta lo imposible por no ver y seguir las explicaciones del profesor en el salón de

clases.

2. No intentes dominar tus apuntes ni tu material de estudio en el libro de texto, es tiempo perdido. 3. No resuelvas las tareas ni hagas preguntas sobre los problemas planteados en la misa cuando te encuentres en tu salón de clases, seguro se burlaran de ti tus compañeros. 4. Estudia un día antes del examen, la noche es larga, el estudio sin organización y sin planes es una de las mejores técnicas, hacer ejercicios sin entenderlos nos asegura la nota reprobatoria. PERO SI ESTAS DISPUESTO A CORRER EL RIESGO Y ROMPER LA NORMA DE REPROBAR ESTA ASIGNATURA DEBES INVERTIR ESTAS REGLAS Y ADEMAS SEGUIRLAS COMO UN VERDADERO COMPROMISO.

¿QUE ES EL ALGEBRA?____________________________________________________ En el siguiente recuadro escribe cada una de las reglas invirtiendo el significado:

El propósito de esta sección es proporcionar un panorama general del Álgebra. Comenzaremos examinando algunos modelos que pueden ser descritos algebraicamente. En esta parte no se espera que el lector comprenda por completo todos los ejemplos; en los capítulos que siguen se desarrollaran y estudiaran en forma sistemática los modelos algebraicos. En los ejemplos, léase la pregunta y hallase una regla general para describir la respuesta. Resuelva los problemas antes de consultar las soluciones que los siguen. EJEMPLO 1 ¿Como describirías los números enteros que figuran en las sucesiones siguientes? Los enteros forman el conjunto que contiene a los números cabales (no fraccionarios positivos y negativos, y al cero).

SOLUCION

a

) Cada entero es un múltiplo de 5. Si n representa un entero, entonces en lenguaje algebraico, cada entero de la sucesión es de la forma 5 veces n, o sea, 5 (n); o bien, mas abreviado, 5n.

En este caso n se llama una variable. Si n se reemplaza por un entero cualquiera, 5n representa un elemento de la sucesión. Si n es 11, entonces 5n se transforma en 5 veces 11, o sea 55. En consecuencia, 55 es un elemento de la sucesión. Nótese que se no hay un signo de operación entre un numero y una variable, entonces la operación implicada es la multiplicación, como en 5n. Pero si la variable se sustituye por un numero especifico entonces para mayor claridad, la multiplicación se indica por medio de un paréntesis o por un punto, como en 5(11)

47

¿QUE ES EL ALGEBRA?____________________________________________________ SOLUCION

b

. Cada elemento de la sucesión es un múltiplo de 5, menos 2; o bien, cada elemento es un múltiplo de 5, más 3. En lenguaje algebraico, las dos respuestas mas comunes serian: "5 veces n mas 3" o "5 veces n menos 2". Mas preciso escribimos 5n + 3, o bien, 5n - 2.

Una vez mas, para cada entero n, la expresión 5n + 3 (o 5n - 2) representa un miembro de la sucesión. La variable en este caso es n. Por ejemplo, si n se reemplaza por 6, 5n + 3 es 5(6) + 3, o sea, 33, y 5n - 2 es 28. Tanto 28 como 33 están en la sucesión (adviértase que ambas sucesiones podrán ser descritas también por la expresión "sumar 5 al miembro anterior)

EJEMPLO 2 ¿Como se halla el área de un rectángulo? SOLUCION:

P

robablemente usted respondió que el área de un rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura, u otras palabras equivalentes. Estas palabras pueden resumirse en "área = longitud por anchura", o mas sencillo aun, A = I w, donde I representa Ia longitud, w representa la

anchura, A representa el área, y "por" esta implicada al escribir I y w juntos. Esta formula algebraica, A = I w, ilustra dos ventajas del lenguaje algebraico: 1. ES BREVE 2. ES GENERAL La brevedad es evidente por si misma. La generalidad significa en este case que A = I w es una afirmación acerca de todos los rectangulos. Describe todas las siguientes proposiciones e infinitamente muchas mas: El área de un rectángulo de longitud 6cm y anchura 4cm es de 24 cm2.

El área de un rectángulo de longitud 16.25cm y anchura 8.04 cm. es de 130.65 cm2. El área de un

48

¿QUE ES EL ALGEBRA?____________________________________________________ rectángulo de longitud 100 cm. y anchura 0.1 cm. es de 10 cm2. No podríamos describir todas las posibilidades aun cuando pasáramos el resto de nuestra vida tratándolo. EJEMPLO 3

S

i la empresa de alquiler de automóviles ACME cobra $16.95 por dia mas 17 centavos por kilometre por arrendar un automóvil, ¿cuanto costaría alquilarlo por un día? ¿De que depende el precio?

SOLUCION

E

l costo depende del número de kilómetros recorridos, que es la variable en este problema. Por ejemplo, si recorremos 100 kilómetros, entonces el costo es 16.95 + 0.17 (100) = 16.95 + 17 = $ 33.95. Si denotamos por m el número de kilómetros recorridos.

El costo esta definido por el cobro diario mas los 17 centavos multiplicados por la variable: 16.95 + 17m

49

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES____________________________________

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Definición de conceptos

E

l conjunto de los números reales resulta de la ampliación de otros conjuntos numéricos los cuales se elaboraran a continuación. •Conjunto de los números naturales (N) Esta formado por los números que sirven para

contar.

•Conjunto de los enteros no negativos. (Z*) •Conjunto de los enteros negativos. (Za) •Conjunto de los números enteros. (Z) •Conjunto de los números racionales. (Q) Todos los números de la forma p/q donde p y q son números enteros y q es diferente de cero •Conjunto de los números irracionales. (I) Esta formado por todos los números que no se pueden escribir como el cociente de dos enteros.

Los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales constituyen el conjunto de los números reales. (R) Existe un conjunto numérico más amplio que el de los números reales: Los Llamados "números complejos". Dios creo el mundo natural, todo los demás es obra del hombre. Kecnecker Ejercicio: Se desarrollara un diagrama o mapa conceptual en donde se interprete gráficamente los números reales.

50


En cada uno de los siguientes casos se muestra un patrón. Establecer una proposición algebraica para describirlo. , Considera usted que la proposición algebraica es siempre cierta? Es decir, se aplica el patrón a todos los números

51


De los ejemplos observamos que el lenguaje algebraico es una forma general y, breve de describir las leyes de la aritmética. Usted podrá recordar que el patrón en el primer ejemplo se llama la ley conmutativa de la adición. El álgebra puede considerarse como una forma generalizada de la aritmética.

52

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE

E

l principal use de las matemáticas, especialmente en álgebra, es resolver problemas. El procedimiento de resolución de problemas se muestra en la figura. Ya hemos examinado expresiones para muchas cantidades diferentes: área, perímetro,

volumen, razón promedio, tiempo, distancia, y muchas otras. Comenzaremos revisando algunas palabras claves que muestran como las cantidades están relacionadas unas con otras.

En esta sección estaremos trabajando en el paso 2 de la figura. Mas específicamente, comencemos viendo palabras que significan (+), la operación de adición y (-) la operación de sustracción. Algunas palabras comunes para adición son: "mas", "añadido a " "aumentado en", "mas que" y la "suma de". Z, Se le ocurre alguna otra? Estas palabras se sustituyen por + en la traducción de palabras a símbolos matemáticos. Traducciones comunes para - (sustracci6n) son: "sustraer", "menos", "diferencia", "menor que", "reducido en" y "disminuido en". ¿Cuantas diagonales tiene un polígono convexo?

53

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ SOLUCION

E

sta pregunta es mucho mas difícil de responder que las otras. Primero asegurémonos que entendemos bien la pregunta. Un polígono es una figura geométrica cuyos lados son segmentos de recta.

Los triángulos, rectángulos, pentágonos, hexágonos y octágonos son polígonos. Una diagonal es un segmento de recta que une dos vértices no adyacentes de un polígono. Los segmentos de recta en la siguiente ilustración son diagonales.

Existen dos formas de resolver este problema: METODO 1

L

a respuesta no es aun evidente, así que haremos algunos ejemplos y construiremos una tabla con los resultados.

Denotemos con n el numero de lados del polígono y d el numero de diagonales. Examinando los polígonos que se muestran a continuación, construiremos la Tabla (seria instructivo para usted que dibujara sus propias figuras y contara el numero de diagonales en cada caso).

54


Examinando Tabla anterior notamos que en cada caso el aumento en el número de diagonales es uno más que en el caso anterior (vedse la Tabla 1.2).

El patrón hasta alcanzar (n - 2), en general, paramos en (n - 2), ya que nos detuvimos en 3 para un polígono de 5 lados. Nos detenemos en 5 para un polígono de 7 lados y así sucesivamente.

55

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ METODO 2

S

56

i pensamos cuidadosamente como se dibujaron estas diagonales, entonces podríamos observar los siguientes aspectos:


EL

ALGEBRA

ES

UN

LENGUAJE

EFICAZ

QUE

SE

UTILIZA

PARA

DESCRIBIR

ARITMETICA, GEOMETR/A, CIENCIAS Y EL MUNDO A NUESTRO ALREDEDOR.

E

studiaremos "cómo traducir estos conceptos (dados en español) al lenguaje algebraico.

Palabras tales como "veces", "producto", "multiplicado por" y "de" (como en la mitad de un numero) indican multiplicación. La división esta implicada por palabras tales como "cociente", "dividido entre", "raz6n de" y "por".

57


ALGUNAS

VECES

LA

RELACION

ARITMETICA

ENTRE

CANTIDADES

NO

SE

ENUNCIA EXPLICITAMENTE PERO ESTA IMPLICADA POR LA NATURALEZA FISICA DE LA SITUACION 0 POR EL RECUERDO DE UN HECHO APRENDIDO PREVIAMENTE COMO EN LOS SIGUIENTES EJEMPLOS.

E

scribir una expresión para: La cantidad en x mililitros(ml)de una solución ácida al 10%.

SOLUCION

E

58

n este problema se supone que sabemos que es una solución ácida al 10%. En x mililitros de solución (agua mezclada con ácido), 10% de la mezcla es ácido y 90% es agua. La relación implicada es la multiplicación:


Por lo tanto la cantidad de ácido en x litros de una solución ácida al 10% es igual a 0.1 Ox ml. Existen problemas semejantes que se refieren a soluciones salinas (sal), soluciones glucosadas (para infusión intravenosa), grasa de mantequilla en la Leche, soluciones alcohólicas y fertilizantes que contienen 50% de fosfato. El perímetro de un triangulo equilátero cuyos lados tienen x cm. de longitud. Se supone que conocemos la definición de un perímetro y de un triangulo equilátero. Un perímetro es la distancia alrededor de una figura. En un triangulo equilátero, los tres lados son iguales en longitud. Por lo tanto, el perímetro de un triangulo equilátero con lados de longitud x cm. es igual a x + x + x o Bien 3x cm. El perímetro es igual a 3x. Podemos utilizar las técnicas de simplificación para expresiones algebraicas que acabamos de estudiar para ayudarnos a transcribir problemas mas complicados.

59


c. Si d es el numero de monedas de 10 centavos, entonces 1 000 - d debe ser el numero de monedas de 25 centavos, ya que hay un total de 1 000 monedas.

60

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ d. Sea m el número de millas recorridas en un día. El costo de alquilar un automóvil es 21.95 + 0.17m. RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

1

. Suponer que su salario consiste en x dólares al ano. En los siguientes dos anos usted espera

aumentos del 8% y 5%. Escriba una expresión algebraica que represente un salario al final del segundo año.

Para analizar un problema a menudo es conveniente primero hacer un ejemplo numérico. Soluciones

Podemos acortar el calculo de alguna manera si nos damos cuenta que aumento del 8% es equivalente a multiplicar por 1.08 Por lo tanto otra forma de representar el salario al final del segundo año es:

¿Habría alguna diferencia en el salario al final del segundo ano si el aumento del 5% fuese primero que el de 8%?

61

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ Si hacemos nuevamente el ejemplo de $10 000, vemos que su salario al final del primer ano es igual a 10 000 + 0.05(10 000) = 10 500. Su salario al final del segundo aft es igual a 10 500 + 0.08(10 500) = 11 340. Algebraicamente:

Por lo tanto, el orden de los aumentos no tiene repercusiones en el salario al final del segundo año, pero el aumento inicial de 8% origina un salario mayor al final del primer ano, de este modo usted ganara $ 300.00 mas que en el caso anterior al final del primer ano.

Simplificando el segundo miembro.

Obtenemos el primer miembro, lo cual significa que la proposición es siempre cierta.

62

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ EJEMPLO 7

a

. Elija un número. b. Multipliquelo por 3. c. Súmele 6.

d. Divídalo entre 3. e. Réstele el número elegido originalmente. ¿Cual es el resultado? SOLUCION

N

o importa que numero elija, el resultado siempre es 2. ,Magic? No, simplemente álgebra básica.

EJERCICIOS DE LA SECCION 2.5

1

-10. Cambie cada una de las siguientes frases en español a frases matemáticas. 1. Dos veces un numero. 2. Sume un número cualquiera y 5.

3. 3 veces la suma de un número cualquiera y 5. 4. Un número dividido entre 2. 5. El costo de seis libros, si cada uno cuesta x dólares. 6. La longitud de un rectángulo que es cinco veces su anchura. 7. La distancia que recorre un automóvil en seis horas si se desplaza a x millas por hors. 8. El tiempo que le toma a un avión cubrir 500 millas si vuela a x millas por hors. 9. La cantidad de ácido en una solución al 15% de x galones de ácido y agua. 10. El impuesto sobre venta de una estufa que cuesta x dólares si la tasa fiscal es 4%. 11-17. Cambie cada una de las siguientes frases en español a frases matemáticas. Simplifique las frases matemáticas, tanto como sea posible.

63

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ 11. La suma de dos números. El segundo número es igual a cuatro mas seis veces el primer numero n. 12. El perímetro de un rectángulo. La longitud es 4 pies mayor que la anchura w. 13. La ganancia obtenida en la venta de x plumas, cada pluma cuesta $4 y se vende a $6. 14. El interés ganado en un ano en dos cuentas de ahorros: Hay x dólares en la primera cuenta a 7.5% de interés anual y (1 000 - x) dólares en la segunda cuenta a 9% de interés anual. 15. El costo de alquilar un automóvil por un día, cundo la tarifa es $10 diarios mas 24 centavos la milla por [as primeras 50 millas y 15 centavos la milla que exceda de las 50. 16. La cantidad de dinero reunido mediante la venta de boletos para un concierto: Hubo x asientos reservados a $4 cada uno y (4 000 - x) asientos no reservados a $3 cada uno. 17. Dos trenes salen de una estación al mismo tiempo, uno hacia el este y el otro hacia el oeste. ¿Cual es la distancia entre los dos trenes después de t horas si la velocidad del primer tren es 60 millas por hora y la del segundo es 50 millas por hora?

18-25. En estos problemas cambie las frases en español a frases matemáticas que incluyan dos variables. Por ejemplo, suponga que queremos conocer el interés ganado en un ano por dos cuentas de ahorros si hay x dólares en la primera cuenta a una tasa de interés anual del 5% y dólares en la segunda a una tasa de interés anual del 6%. La solución será, 0.05x +.0.06y. 18. La suma de dos números (Líamelos x y y). 19. La suma de tres veces un numero mas cuatro veces otro numero. 20. El perímetro de un rectángulo de longitud I y anchura w. 21. El costo total de carne para un DIA de campo si compra x libras de salchichas a $1.60 la libra y de libras de hamburguesas a $1.85 la libra. 22. La cantidad total de dinero en centavos si usted tiene x monedas de 25 centavos y monedas de 10 centavos. 23. La cantidad de dinero recolectado por la venta de boletos para un concierto si hubo x asientos reservados a $4 cada uno y boletos no reservados a $3 cada uno. 24. Dos trenes salen de una estación al mismo tiempo, uno viaja hacia el este y el otro oeste. ¿Cual es la distancia entre los dos trenes al final de cinco horas si la velocidad del primer tren es x millas por hora y la del segundo es y millas por hora? 25. La ganancia obtenida por la venta de 1 000 plumas, si el costo de cada pluma es x dólares vendida a y dólares.

64

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ 26-38. Después de cada proposición en la columna del lado izquierdo coloque la expresión algebraica de la columna del lado derecho que mejor la represente. Las respuestas de la columna del lado derecho pueden utilizarse más de una vez. 26. Cuatro veces un numero 27. Diez veces IA suma de un numero mas 5. 28. La suma de un número y el cuadrado de ese numero. 29. Un número dividido entre 4. 30. La longitud de un rectángulo la cual es 10 veces la anchura, si la anchura es x + 5. 31. la distancia recorrida por un autom6vil en cuatro horas a una velocidad de x millas por hors. 32. La velocidad promedio de un automóvil que viaja x millas en 4 horas. 33. El perímetro de un cuadrado cuyo lado mide x pulgadas. 34. El costo total de x libros si cada uno cuesta $ 4. 35. El área de un rectángulo cuya longitud es x pies y cuya anchura es x + 1 pies. 36. Su contribución al alquiler de un departamento para cuatro personas cuyo costo es x dólares mensuales. 37. Veinticinco % de un número. 38. El numero de centavos en x monedas de 10 centavos y medio dólar. 39-43. Cambie cada una de las frases matemáticas a frases en español. Invente su propio problema de tal forma que se ajuste al modelo matemático.

44-47. Para cada problema, a) Escriba una expresión algebraica y simplifíquela tanto como sea posible. b) Responda las preguntas formuladas en los incisos b y c. 44. a) Halle la suma de tres enteros consecutivos. b) Halle la suma de tres enteros consecutivos si el entero mas pequeno es 129. 45. a) Halle su salario al final de un periodo de dos anos si su contrato establece que el aumento en el primer ano sera 9 % y el aumento del segundo ano sera 6 %. b) Si su salario al inicio del periodo de dos anos es $15 000, 6cual es al final el contrato?

65

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ c) Su salario inicial fue $15 000 y no recibe aumento el primer ano, pero recibe un aumento de 15 % el segundo año. ¿Como se compara su salario al final de dos anos con su salario en el inciso b? 46. a) Halle el costo total de un articulo si hay un 10 % de descuento cuando se paga al contado y un 4 % de impuesto sobre la venta (pagamos al contado). b) ,Hay alguna diferencia si primero se suma el impuesto sobre venta y luego se aplica el descuento de 10% o si el descuento se hace primero y luego se calcula el impuesto sobre venta? c) Compare los incisos a y b utilizando un articulo de $ 150. 47. a) Halle el costo de un articulo en tres anos si la tasa promedio de inflación es 12 % el primer ano, 13 el segundo ano y 4 % el tercero. b) ¿Como se afecta el costo en tres anos si Ia tasa de inflación es 10 %, 11 % y 8 %? c) Determine el costo de un automóvil en tres anos si hoy cuesta $ 6 500 según las condiciones de los incisos a y b. IV 48-51.a. Escriba una proposición algebraica para describir el modelo. b. 6Es verdadera su proposición?

66

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________ 54. Utilice el algebra para demostrar por que los siguientes trucos matematicos funcionan. a) Piense un número. Duplíquelo. Súmele 6. Divídalo entre 2. Reste el número que pensó. De el resultado. b) Piense un número. Súmele 4. Multipliquelo por 2. Réstele 6. Divídalo entre 2. Reste el número que pensó. De el resultado. c) Termine los pasos del siguiente problema de tal forma que resulte la misma respuesta, sin importar con cual número se comienza. Piense un número. Súmele 2. Triplique el resultado. 55. Usted es el ganador de un concurso y puede elegir cualquiera de los dos siguientes premios: $5 000 de contado o dinero que recibirá diariamente durante un año (365 días) como sigue: $ 1 el primer día, $ 2 el segundo día, $ 3 el tercer, ... $ 10 el décimo... $ 365 el 365avo día. ¿Cual premio elegiría? ¿Por que?

67

SUCESIONES Y SERIES_________________________________________________

SUCESIONES Y SERIES

C

onsecuentemente, podemos llegar a las siguientes conclusiones: 1. Hay n = 3 diagonales dibujadas a partir de cada vértice.

2. Hay n vértices en un polígono de n lados. 3. Cada diagonal puede dibujarse a partir de dos vértices, asi que debemos dividir entre 2 para que cada diagonal no sea contada dos veces. Por lo tanto.

Como un subproducto del análisis de este problema en dos formas distintas, hemos descubierto también la siguiente formula:

A partir de este ejemplo vemos que el lenguaje algebraico puede ser utilizado para describir conceptos geométricos. El álgebra es un lenguaje eficaz que se utiliza para describir aritmética, geometría, ciencias y el mundo a nuestro alrededor. En una sección posterior, estudiaremos "como" traducir estos conceptos (dados en Español) al lenguaje algebraico. EJERCICIOS DE L A SECCION 1.1

1

-4. Escriba una expresión algebraica o formula para describir los elementos de cada sucesión. La variable n en cada caso representa un elemento del conjunto de enteros.

SUCESIONES

D 68

e manera informal, es común pensar en una sucesión como una colección de números arreglados en un orden particular. Esto significa que hay un primer número, un segundo numero, un tercer numero, y así sucesivamente; cada número en la sucesión

SUCESIONES Y SERIES_________________________________________________ corresponde a un número natural, esto sugiere la siguiente definición formal. Sucesión infinita Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los numeros naturales. Como ejemplo, considérese la función definida por

Los tres puntos significan que el modelo continúa. En vez de utilizar la notación de funciones habitual, por lo regular se escribe

Cada número se denomina término de loa sucesión, y los términos se escriben en el orden en que crecen. Al término 2n se le llama término n-esimo o termino general. Nótese el use de los tres puntos después del termino general para indicar una sucesión infinita. En esta sección también se estudian las sucesiones finitas. SUCESIÓN FINITA.

U

na sucesión finita con m términos es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales de 1 a m.

Por ejemplo:

Indica una sucesión con cuatro términos y

69


Es una sucesión con n términos. Los tres puntos indican la presencia de los términos entre 9 y 3n. El ejemplo que se presenta a continuación ilustra el use de la notación para sucesiones. Encontrar los primeros cuatro términos y el séptimo término de cada sucesión. Supóngase que el dominio en cada caso es el conjunto de los números naturales.

La sucesión completa puede escribirse

70


71


SERIES

C

ada sucesión esta asociada con una serie, la cual es la suma indicada de los términos de la sucesión

Obsérvese que los términos de una sucesión se separan con comas, pero la palabra serie significa que los términos se suman. La letra griega E (sigma), denominada símbolo de sumatoria, se utiliza para abreviar una serie. Notación de sumatoria

72


Observar en el ejemplo 3 b que el límite inferior de la sumatoria es 2. En general, el límite inferior puede ser cualquier número entero no negativo menor o igual que el límite superior. Así:

Esto origina el siguiente teorema.

73

SUCESIONES Y SERIES_________________________________________________ SUMATORIA DE CONSTANTES

Por supuesto, es posible establecer otras propiedades que incluyen sumas de términos, diferencias de términos y productos de una constante por cada termino de una serie. PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

La prueba de este teorema involucra el use repetido de las leyes conmutativa y asociativa, así como de la ley distributiva. Por ejemplo,

74

SUCESIONES Y SERIES_________________________________________________ 12.2 EJERCICIOS

E

n los ejercicios 1-8 dar los primeros cinco, el octavo y el duodécimo

términos de cada

sucesión.

En los ejercicios

9-14 determinados

los términos segundo, tercero, cuarto y quinto de cada

sucesión.

Escribir en forma completa cada forma de ejercicio 15-20.

En los ejercicios 21-26 escribir cada serie utilizando la notación sigma de suma.

Evaluar cada serie de los ejercicios 27-38.

Compara las series en cada uno de los ejercicios 39-40.

75

SUCESIONES Y SERIES_________________________________________________ En los ejercicios 41 - 42 determinar el varo aproximado de a30 mediante el use repetido de la tecla de raíz cuadrada de una calculadora.

En los ejercicios 55-56 utilicese la sucesión definida por

Esta es una sucesión bien conocida en matemáticas; se le llama sucesión de Fibonacci. 55. Determinar los primeros ocho términos de la sucesión.

76


PARA REPASO

E

valuar los determinantes en los ejercicios 57-58.

77

SUCESIONES ARTIRMETICAS______________________________________________

SUCESIONES ARITMETICAS

H

ay varios tipos especiales de sucesiones que tienen una amplia gama de aplicaciones. El primero de los dos tipos considerados en esta obra se ilustra en la siguiente sucesión:

SUCESION ARITMETICA

U

na sucesión aritmética o progresión aritmética, es una sucesión en la que los términos consecutivos difieren por una constante d, llamada la diferencia común.

Para las sucesiones aritméticas es posible desarrollar una formula para a en términos de al, n y d . Considerar lo siguiente:

78


EJEMPLO 1

E

ncontrar los términos octavos y duodécimo de la sucesión aritmética 2,7,12,17,22,…se tiene a, =2 y d =5 ,así.

observese que la n en an es la misma que en n en (n-1). EJEMPLO 2

E

ncontrar x de modo que x + 3, 2x + 8, y 4x + 15 formen una sucesión aritmética de tres términos en el orden dado. Además, dar la sucesión.

Se una al hecho de que la diferencia entre los términos sucesivos es igual a la diferencia común d.

Por lo que la sucesión aritmética deseada es 1, 4, 7. FORMULAS PARA SN.

L

a suma de los primeros n términos en una sucesión aritmética también puede determinarse mediante una formula. Sea Sn la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética. Entonces se tiene la serie

79


80


EJEMPLO 4

S

uponer que el término decimoquinto de una sucesión aritmética es 71 y que el termino vigésima primero es 101. Encontrar al, de los primeros cinco términos y la suma de los primeros cinco términos.

Para encontrar a ,y y d, debe resolver el siguiente sistema.

81

SUCESIONES ARTIRMETICAS______________________________________________ Restar la primera ecuación de la segunda.

Sustituir luego este w valor para d en la primera ecuación.

Los primeros cinco términos son,1,6,11,21 y

82

MEDIDAS ARITMETICAS___________________________________________________

MEDIAS ARITMETICAS

C

onsideremos ahora una propiedad de las sucesiones aritméticas que es una generalización del promedio o

La medida aritmética de dos números obsérvese que al ser promedio

la posición media entre

los números a y b en una recta numérica.

Hay muchas aplicaciones de las sucesiones aritméticas. Considérese el siguiente problema de depreciación.

EJEMPLO 6 CONSTRUCCION

U

na maquina excavadora-se compra a 260 000 dólares. Suponer que se deprecia 7.0% el primer ano, 6.5% el segundo ano, 6.0% el tercer ano y continua de la misma manera durante diez anos. Si todas las depreciaciones se aplican al consto original, ¿cual será el valor de la

maquina excavadora en diez anos? Calculase la suma de las depreciaciones a trabes de diez anos con a1 = 7.0, a2 = 6.5, a3 = 6.0, ... y d = -0.5.

83

MEDIDAS ARITMETICAS___________________________________________________ Así el porcentaje total de depreciación en diez años es 47.5 %, to cual significa que el valor del equipo será entonces el 52.5 % de su valor original. 0.525(260 000) = 136 500 La maquina excavadora tendrá un valor de 136 500 dólares en diez años. 12.2 EJERCICIOS En los ejercicios 1 - 6 determinar si cada sucesión es o no aritmética. Si lo es, dar Ia diferencia común d.

84

MEDIDAS ARITMETICAS___________________________________________________ En los ejercicios 21-32 se proporcionan algunos de los números n, a,, an, d y Sn. Encontrar los números no indicados.

33. Insertar seis medias aritméticas entre 11 y 32. 34. Insertar ocho medias aritméticas entre 47 y 11. 35. ¿Cuantos enteros entre 39 y 146 son divisibles entre 5? 36. ¿Cuantos enteros entre -92 y 261 son divisibles entre 7? 37. Encontrar la suma de todos los enteros pares entre 1 y 201. 38. Encontrar la suma de todos los enteros divisibles entre 5 del 25 al 350. 39. Demostrar que la suma de la sucesión 2, 4, 6,..., 2n es n2 + n. 40. Demostrar que Ia suma de los primeros n números naturales impares es n2. RESOLVER.

4

1. Consumo. Un automóvil nuevo cuesta 8 400 dólares. Suponer que deprecia 2.1 % el primer año, 1.8% el segundo año, 1.5% el tercero continua de la misma manera durante 12 años. Si todas las depreciaciones se aplican al costo original, ¿cual sera el valor del automóvil

(redondeado a dólares) en 12 años? 42. Administración. Un hombre gano 3 500 dólares el primer año que trabajo. Si recibió un aumento

de 750 dólares al final de cada año durante 20 años, ¿cual fue su salario al año vigésimo primero de trabajo? lo cuanto ascendió su ingreso durante los primeros 21 años de trabajo? 43. Recreación. Un teatro tiene 40 filas con 20 butacas en la primera fila, 23 en la segunda fila, 26 en la tercera fila y asi sucesivamente. ¿Cuantas butacas hay en el teatro? 44. Monedas. Una colección de monedas de 5¢ esta ordenada en un arreglo triangular con 15 monedas en la fila de base, 14 en la siguiente, 13 en la siguiente y asi sucesivamente. Encontrar el valor de la colección. 45. Banca. Si una mujer deposita 1 dólar en un banco el primer día de septiembre, 2 dólares el segundo día de Septiembre 3 dólares el tercer día y así sucesivamente. ¿Cuanto dinero abra depositado al final del mes?

85

MEDIDAS ARITMETICAS___________________________________________________ 46. Selvicultura. Hay 190 troncos para ser apilados de tal manera que un tronco este en la parte más alta, dos en la segunda fila, tres en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuantos troncos deben ponerse en la fila de base de la pila? 47. Física. Una piedra se deja caer desde la cima de un alto risco y cae 16 pies en el primer segundo, 48 pies en el segundo, 80 pies en el tercero así sucesivamente. ¿Cuantos pies cae la piedra en el octavo segundo? (No se tome en cuenta la ficción.) 48. Demografía. La población de una ciudad esta disminuyendo a una tasa de 500 habitantes por ano. Si su población a principios de 1960 era de 20 135, ¿cuál era la población a principios de 1 970? PARA REPASO

E

n los ejercicios 49-50 determinar los términos cuarto y quinto de cada sucesión general.

86

SUCESIONES GEOMETRICAS________________________________________________

SUCESIONES GEOMÉTRICAS

E

l segundo tipo de sucesión especial considerado se ilustra mediante

Para esta sucesión

SUCESIÓN GEOMÉTRICA

U

na sucesión geométrica o progresión geométrica es una sucesión con la propiedad de que

para toda n, el número r se denomina razón común.

87


EJEMPLO 2

E

88

ncontrar x de modo que x-3,x-1,y 2x+1 formen una sucesión. Utilizar el hecho de que la razón de los términos sucesivos es iguala la razón común r.


EJEMPLO 3

E

ncontrar el noveno termino y la suma de los dos primeros nueve términos de la siguiente sucesión geométrica.

89

SUCESIONES GEOMETRICAS________________________________________________ El siguiente teorema resumen las formulas que se han derivado para la sucesiones geométricas.

Se obtiene dos soluciones diferentes ya que hay dos valores para r.

90


la suma en el primer caso, donde todos los signos son positivos, es mayor que la segunda suma ,la cual incluye términos negativos. Ahora resolverá el primer problema aplicado que se presenta en la introducción de este capítulo. EJEMPLO 5

B

anca gloria Ávila recibió un préstamo de 1000.00 dólares

al 12% de interés compuesto

anualmente. si reembolsa en su totalidad el préstamo al final de tres años ¿Cuánto paga?

Para obtener el siguiente término de la sucesión, se multiplica el termino precedente por 1.12.así,

Para encontrar n debe considerarse el monto recibido al préstamo como el primer término de la sucesión

Hay cuatro términos (n=4) en la sucesión para el periodo de tres años, Así,

Se debe pagar 1404.93 dólares al final de los tres años .

SUCESIONES INFINITAS Si la definición de la suma de una sucesión se generaliza, puede encontrarse la suma de ciertas sucesiones geométricas infinitas. Escríbase la formula para la suma como se indica:

91


Así, la suma de todos los términos de la sucesión infinita es exactamente 2.

92

SUCESIONES GEOMETRICAS________________________________________________ EJEMPLO 6

EJEMPLO 8

U

n bacón rebota 4/5 Parte de la longitud que recorre

al caer si el balón se deja caer

desde una altura de 40ft, ¿Que distancia recorre (hacia arriba y hacia abajo) antes de quedar en reposo?

Utilizar una serie geometría infinita para aproximar la distancia total viajada, hacer un dibujo que describe la situación (veasé figura1)

93


ya que existe dos de cada número después de la primera caída, simplemente duplicar la suma de las distancias recorridas hacia arriba e los rebotes, a partir de ese punto para obtener la suma de las distancias totales recorridas hacia arriba, en los rebotes, y hacia abajo, en las caídas posteriores, luego aplicar la formula sólo ala serie entre corchetes,

12.3 EJERCICIOS Encontrar los primeros seis términos de cada sucesión geométrica en los ejercicios 1-6

94


En los ejercicios 15-20 se proporcionan algunos de los números n,a1,an,r y sn, encontrara los números indicados

En los ejercicios 23-30 encontrar la suma de cada sucesión geométrica infinita.

En los ejercicios 31-38 convertir cada decimal a una fracción.

95


RESOLVER.

4

1. Consumo. Un automóvil nuevo que cuesta 6 400 dólares se deprecia 20% de su valor cada ano. ¿Cuanto valdrá el automóvil después de seis años? 42. Consumo. Un automóvil nuevo que cuesta 5 800 dólares se deprecia 25% de su valor cada

año. ¿Cuanto valdrá el automóvil después de cinco años? 43. Banca. Lorena Vázquez recibe un préstamo de 2 000.00 dólares al 11 % de interés compuesto anualmente. Si reembolsa el préstamo en su totalidad al final de cuatro años, ¿cuanto paga? 44. Banca. Rafael Méndez recibe un préstamo de 1000.00 dólares al 14% de interés compuesto anualmente. Si reembolsa el préstamo en su totalidad al final de cinco anos, ¿cuanto paga? 45. Economía. A Luis le ofrecieron un ejemplo durante el mes de junio (30 días) y le dijeron que le pagarían 1 ¢ al final del primer día, 2¢ el segundo, 4¢ el tercer dia y asi sucesivamente, duplicando el salario de cada día anterior. Sin embargo, Luis rechazo el empleo pensado que la paga era inferior. ¿Debió haber aceptado el empleo? ¿Por que? 46. Economía. Héctor Cano recibió 5 000 dólares el día de su nacimiento y en cada fecha de cumpleaños recibe partes del monto recibido el ano anterior. ¿Aproximadamente cuanto recibirá Héctor a lo largo de su vida, suponiendo una prolongada existencia? 47. Física. El extremo de un péndulo barre un arco de 20 cm. en su primer balanceo. Si en cada balaceo subsiguiente la distancia recorrida es de la longitud del balanceo precedente, ¿cual es la distancia recorrida por el extremo al final del cuarto arco? 48. Física. El extremo de un péndulo oscila de manera que barre un arco de 12 in de longitud y en cada balanceo subsiguiente la distancia recorrida es de la longitud del balanceo precedente. ¿Cual es la distancia total recorrida por el extremo del péndulo? 49. Física. Una pelota se deja caer desde una altura de 12.0 ft. Si en cada rebote se eleva a una altura de la distancia desde la cual cayo, ¿que distancia, hacia arriba y hacia abajo, habrá recorrido la pelota cuando golpee el suelo por octava vez? 50. Física. Un balón se deja caer desde una altura de 18.0 ft. Si en cada rebote se eleva a una altura de la distancia desde la cual cayo, ¿que distancia, hacia arriba y hacia abajo, habrá recorrido el balon cuando golpee el suelo por sexta vez?

96

SUCESIONES GEOMETRICAS________________________________________________ 51. Física. Una pelota se deja caer desde una altura de 15 m y siempre rebota de altura de la caída previa. ¿Que distancia recorre, hacia arriba y hacia abajo, antes de quedar en reposo? 52. Física. Una pelota de tenis de mesa se deja caer desde una altura de 32 ft y siempre rebota de la distancia de la caída previa. ¿Que distancia rebota la séptima vez? 53. Física. Un balon se deja caer desde una altura de 40 ft y siempre rebota de la longitud de la caída precedente. a) ¿Cual es la longitud del quinto rebote? b) ¿Cual es la distancia total recorrida, hacia arriba y hacia abajo, cuando el balon golpea el suelo por sexta vez? c) ¿Cual es la distancia total recorrida, hacia arriba y hacia abajo, si se deja que el balon continué rebotando hasta que quede en reposo? d) ¿Como podría aproximarse la distancia total recorrida cuando el balon golpea el suelo por centésima vez? 54. Recreación. Sobre un columpio, una niña atraviesa un arco de 22 ft. En cada vaivén subsiguiente, atraviesa un arco que es de la longitud del arco previo. ¿Que distancia recorre antes de quedar en reposo? 55. Demografía. La población de un pueblo aumenta a una tasa del 20% cada ano. Si su población actual es de 1 250 habitantes, ¿cual será su población dentro de siete años? 56. Geometría. Un cuadrado tiene un área de 64 in2 (cada lado mide 8 in). Un segundo cuadrado se construye al conectar en orden los puntos medios de los lados del primer cuadrado, un tercer cuadrado al unir en orden los puntos medios de los lados del segundo cuadrado y así sucesivamente. Calcular la suma de las áreas de todos estos cuadrados.

Para Repasar

E

n los ejercicios 57-58 encontrar los primeros cinco términos de la sucesión aritmética.

En los ejercicios 59-60 encontrar la suma de los primeros nueve términos de la sucesión aritmética.

97


61. insertar cuatro medidas aritmética entre 12 y-13. 62. Encontrar la suma de los enteros divisibles entre 12 colocados entre 111 y 25. 63. Recreación. Un teatro tiene 50 filas con 15 butacas en la primera fila, 17 en la segunda, 19 en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuantas butacas hay en el teatro? 64. Demografía. La población de un lugar aumenta a una tasa de 700 habitantes por año. Si su población actual es de 1 250, ¿Cual será su población dentro de siete años?

98

ADICCION Y SUSTRACCION DE NUMEROS_____________________________________

BLOQUE II "POLINOMIOS DE UNA VARIABLE" ADICCION Y SUSTRACCIÓN DE NUMEROS

EJEMPLO SIMPLIFICAR LA SIGUIENTE

SOLUCIONES

El siguiente ejemplo ilustra una aplicación que utiliza una expresión polinomial. EJEMPLO

S

uponer que recibe $1000 al ano de un fondo fiduciario durante cada uno de los cuatro anos que usted asiste a la escuela para obtener el grado de bachillerato. Usted decide invertirlo a un interés anual del 10%. Si no retira dinero de la cuenta ,cuanto tendrá al final de cuatro anos?

Suponer que recibe el dinero al principio de cada año.

99


SOLUCION

R

eacuérdese que la formula para hallar el interés es P(1 + I)n, donde P es el capitulo, I es el

interés y n es el tiempo.

Al final de cuatro anos tendrá $ 5 105.10 En general, si x es el factor escala 1. 10, entonces la cantidad de dinero al final de cuatro anos es igual a 1 000x4 + 1 000x3 + 1 000x2 + 1 OOOx Reconocemos esta expresión como un polinomio de grado 4, y evaluando esta expresión para x = 1.10, obtenemos la respuesta a la pregunta del ejemplo 5. EJERCICIOS 1

1

-8. a. ¿Cuales de las siguientes expresiones se escriben como un producto? b. Si es un producto, y es x + 2 un factor?

9-16. Utilice la propiedad distributiva para escribir cada una de las siguientes expresiones como una suma o una diferencia de términos.

17-23. Utilice la propiedad distributiva para escribir las siguientes sumas o diferencias como el producto de dos o mas factores.

100


24-33. Desarrolle las operaciones indicadas y simplifique tanto como sea posible.

II 34-37.desarrolle la siguientes operaciones y simplifique.

37. Reste - (2a - b) de (6a + b) y multiplique el resultado por el reciproco de 6a.

38-40. Demuestre como cada una de las siguientes figuras ilustra la propiedad distributiva, escribiendo el área como un producto y como una suma.

41.46. a. Diga cual es el grado de los siguientes polinomios. b. Decida si son monomios, binomios, trinomios o ninguno de estos.

47-50 inserte paréntesis en el mismo miembro del lado izquierdo de la igualdad para hacer cada proporción verdadera. Por ejemplo

101


51.a. Escriba el numero 12 como un producto con dos factores y con tres factores. b. Escriba 12 como una suma de dos y tres términos. c. Escriba 12 como un producto de dos factores que un factor sea la suma de dos términos.

53-56. Escriba en el cuadro un numero que haga cada proposición verdadera.

57-60. Para cada frase escriba dos expresiones, una como un producto y otra como una suma de términos. EJEMPLO: La cantidad total de dinero en x monedas de 10 centavos y monedas de veinticinco centavos. SOLUCION: Dinero en centavos:

57. La cantidad total de dinero en centavos en x monedas de 10 centavos y y monedas de cinco centavos. 58. La cantidad de dinero recaudada por la venta de x boletos el lunes, y boletos el martes y z boletos el miércoles si cada boleto fue vendido a $2.50. 59. El área de un rectángulo cuya anchura es x + 2 y cuya longitud es 60. El numero total de paginas mecanografiadas en dos horas por Maria y Samuel juntos si Maria mecanografía 20 paginas por hors y Samuel x paginas por hora.

61. En el rectángulo ABCD, halle el área de la parte sombreada si las áreas de los rectángulos más pequeños son

62. halle una expresión algebraica para el área de la parte sombreada en cada figura. el circulo y el

102

ADICCION Y SUSTRACCION DE NUMEROS_____________________________________ cuadro en cada caso tiene el mismo centro.

63 se indican

las formulas para hallar la superficie de varios sólidos. Calcule la superficie para los

valores dados.

64. a) si una esfera y un cilindro tiene el mismo radio ¿cual de los dos tiene

menos

superficie mayor? b) ¿cual de los dos tien mayor volumen? ¿Porque? c) ¿que sucede si los radios y las alturas son iguales? 65. Una pelota es arrojada dentro de un cilindro. Después se llena con agua el cilindro. a) ¿Cuanta agua se requiere si el radio de la pelota es igual al radio del cilindro (ajuste perfecto)? b) Calcule el volumen de agua de la parte a si el radio es igual a 4cm y la altura es 8cm. a. Si un cono y un cilindro tienen el mismo radio y la altura del cilindro es igual a la altura inclinada del cono ¿cual de los dos tiene la superficie mayor? ¿Por cuanto? b. Repita el inciso a utilizando volúmenes. 66. Suponga que en su cumpleaños numero veintiuno usted hereda $2 000 anuales de por vida. Usted invierte este dinero al 11 %2 % de interés compuesto anualmente. ¿Cuanto dinero tendrá después de un año?, ¿de dos años?, ¿de tres años?, ¿de cuatro años?, ¿de cinco años?, ¿x años?.

103

ADICCION Y SUSTRACCION DE NUMEROS_____________________________________ 67. En el ejemplo 5, 6cuanto dinero habría en la cuenta al final de cuatro anos si la tasa de interés anual es 14 %2? 68. En el ejemplo 5, ¿cuanto dinero habría en la cuenta si su propiedad pagara $ 2 000 al principio de cada ano? Suponga que la tasa de interés anual es 10%. 69. Mientras estuvo asistiendo al bachillerato suponga que trabajo cada uno de los cuatro veranos. Al principio de cada ano usted deposito algunos ahorros en una cuenta que reditúa 13% de interés anual. Al principio de cada año usted ahorro $5 000, el segundo año $750 el tercer ano $1 100 y el cuarto año $1 700. Si no retiro dinero ¿cuanto tiene en la cuenta al final del cuarto año? IV 70. Rompecabezas de la caja: Considere un cuadro 3 X 3. a. Elija cuatro números digamos 2, 8 6 y 3 y escríbalos en la orilla como sigue:

b. Escriba el producto de los números de la orilla en los cuatro cuadros superiores:

c. Sume las filas y las columnas.

104


1. ¿Cual es la relación entre el numero que esta en el cuadro inferior derecho y los números en las orillas? 2. Haga nuevamente este rompecabezas eligiendo otra serie de cuatro números para la orilla. ¿Se mantiene la misma relación que encontró en la parte entre el número inferior derecho y los números en las

orillas?

3. Demuestre por que estas relación se cumple utilizando p, q, r y s para representar a los números en las orillas. 4. Ahora hagámoslo al revés. Halle los números en las orillas y llene los cuadros de tal forma que la suma en el cuadro inferior derecho sea 1 983.

105

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS________________________________

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

L

a propiedad distributiva se utiliza para multiplicar polinomios. Al principio de este capitulo multiplicamos monomios y polinomios por un monomio.

Por ejemplo

Ahora consideramos la multiplicación de dos binomios. EJEMPLO 1

M

ultiplicar los siguientes polinomios y simplificar el producto combinando términos semejantes.

II

106

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS________________________________ 47-50. Ilustre las siguientes multiplicaciones utilizando áreas de rectángulo, ejemplo:

51. El rectángulo ABCD esta dividido en dos rectángulos más pequeños. Se indica el área de cada rectángulo. La longitud AT de uno de los rectángulos también esta dada. a. Halle las dimensiones del rectángulo ABCD. b. ¿Cual es el perímetro del rectángulo ABCD?

52. desarrolle cada una de las siguientes expresiones.

III 53-60. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios. 53. Las formulas para hallar la superficie y el volumen se indican a continuación.

Para cada sólido halle la razón de la superficie respecto al volumen. simplifique las razones.

107

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS________________________________ 54 a. Dados los dos círculos con el mismo centro, halle una expresión algebraica, para el área de la parte sombreada. simplifique la expresión.

b. Utilice la expresión para hallar el área de la parte sombreada six=10.125

55.a. Demuestre que el área de la parte sombreada es igual a (A-B) .(A+B) b. Halle el área de la parte sombreada cuando = 15 cm. y B =12.4 cm. utilice

La cantidad de cemento que se necesita para hacer una tubería de concreto que tiene L pies de largo, un radio interior B y un radio exterior A es

a. factorice la expresión, sugerencias vease el ejercicio 55. b. halle la cantidad de cemento que se necesita para hacer 1000 metros de tubería (1000 metros de largo) con un diámetro exterior de 69.5 cm., utilice

57 .Uno de los procedimientos aprobados por el servicio de ingresos internos para depreciar propiedades comerciales está dada por la formula:

108


Donde v es el valor al final de n anos, C es el costo original y N es el numero total de anos por los cuales esta siendo depreciada. Si se va a depreciar una maquina de oficina por un periodo de 20 años (N) que originalmente costo $55 000 ©, ¿Cual sera el valor (v) al final de a. 5 años? b. 10 años? 58. En el ejercicio 57, ¿cual es el valor (v) al final de 20 años? ¿Tiene esto sentido? ¿Por club? 59. Al construir una carretera, los ingenieros utilizan las siguientes formulas para calcular la dilatación debida al cambio en la temperatura que puede permitirse:

Donde I es la dilatación a la temperatura T en grados Fahrenheit (°F), t es la temperatura a la cual fue construida la carretera (°F), y I es la longitud de la carretera en millas. Lo constante k = 0.00012 por °F se utiliza para carreteras de dos carriles. a. ¿Cuanta dilatación ocurrirla en un tramo de la carretera de una milla a 95°F si originalmente fue construida a 65°F? b. Para la misma carretera, cual es la expansión a 115 °F? 60. Para el ejercicio 59, calcule la dilatación a 0 °F. ¿Tiene esto sentido? ,Por que? IV 61. Eleve al cuadrado los siguientes números los cuales terminan en 5.

Factorizar y mostrar que cada expresión en los ejercicios 55-56 es un cuadro perfecto.

109


110

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

C

opia en una cartulina las siguientes regiones y construye las áreas que se te piden utilizando las mismas.

a) Elabora un cuadrado utilizando cuatro regiones: b) Forma una región donde se incremente una de sus dimensiones (la base o la altura) y la otra disminuya la misma cantidad de unidades. c) Un cuadrilátero donde disminuyan la misma cantidad las dos dimensiones. d) Tomando como base un cuadrado disminuye sus dos dimensiones en cantidades diferentes. e) Un cuadrado donde se incrementen las dos dimensiones en cantidades diferentes. f) Explica que representa la siguiente construcción, tomando como base el cuadrado marcado como X2:

a)

Dibuja un cuadrado de 8cm de lado como base y traza las regiones que se formarían al

incrementar 3cm cada una de sus dimensiones, toma en cuenta este cuadrilátero, al realizar las siguientes actividades:

111


5.2 factor común en un polinomio Obsérvalas siguientes expresión algebraica.

Como recordaras, en la unidad anterior estudiamos que los factores que tienen en cambio los términos de un polinomio lo podemos tomar como el primer factor de multiplicación cuyo producto dará como resultado el mismo polinomio, como se muestra en el siguiente ejemplo:

También debes recordar que a estos factores numéricos y/o variables comunes que encontramos en los términos de un polinomio, los llamamos factor común del polinomio, su obtención y la expresión del producto que origina al polinomio, implica el use de la ley distributiva y la propiedad de simetría de las igualdades. Al proceso de generar un producto para expresar un polinomio, se le llama factorizacion (recuerda que en toda multiplicación, los elementos que se multiplican se llaman factores).

Ejemplo

112


También mencionamos en la unidad anterior que el factor común de un número de un polinomio puede ser otro polinomio. Obbserce el siguiente ejemplo:

El factor común en esta expresión es 2x +3y y su factorización:

Si utilizamos las leyes de los exponentes para la simplificar este producto obtenemos:

Por lo que su factorización es:

Los polinomios como 2x + 3, como ya vimos, reciben el nombre de binomios, en nuestro ejemplo, como esta elevado a la segunda potencia, le damos el nombre de binomio al cuadrado. En esta Unidad veremos algunas expresiones algebraicas cuyos productos se pueden obtener mediante la aplicación de una regla general, sin la aplicaci6n del algoritmo de la multiplicación. Estas reglas generales las reconocemos con el nombre de productos notables, entre los que analizaremos estan:

113


5.3 cuadro de un binomio Calcula el área de cada una de las regiones en las que están divididos los siguientes cuadros, Así como su área total:

En las cuatro figuras se ha representado geométricamente el cuadrado de la suma de dos cantidades, en ellas podemos observar que en el mismo cuadrado hay dos regiones rectangulares que tienen la misma superficie y dos regiones que son también cuadrados. Este comportamiento lo podemos representar algebraicamente como:

114


Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta regla:

Esta regla no solo es útil algebraicamente, la podemos aplicar para facilitar el calculo mental de cuadrados de números de dos cifras, veamos dos ejemplos: EJEMPLO 1

115


Tomemos ahora un cuadrado de lado a unidades y hagamos una disminución de b unidades en cada uno de sus lados. ¿ cuál será el área resultante?

Prueba tu hipótesis en las siguientes construcciones

116


En estos ejemplos, puedes observar que el producto final de un binomio al cuadrado, esta formado por tres termino (trinomio), en el cual si sus términos están ordenados en forma decreciente, el primer termino y el tercero son la segunda potencia de cada uno de los términos del binomio dado, mientras que el segundo se obtiene multiplicando por dos el producto de los dos términos del binomio. Un trinomio con estas características recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Ejercicio 54 1.

Escribe únicamente el resultado de elevar cada binomio al cuadrado, sin desarrollar los

productos.

2.

Utilizando la regla del cuadrado de un binomio, calcula mentalmente los siguientes cuadrados.

117


3. Escribe el resultado de elevar al cuadrado los siguientes trinomios, para facilitar el procedimiento puedes utilizar la ley asociativa. Obtén una regla o algoritmo de desarrollo abreviado y escríbela en el espacio al final del ejercicio.

Trinomio al cuadrado 5.4. FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

F

actorizar es la forma de expresar un polinomio mediante un producto de dos o mas factores. Los polinomios factorizables se clasifican para su estudio en casos de acuerdo con sus características, en los que destacan nueve casos de factorizacion.

La factorizacion de trinomios cuadrados perfectos es uno de estos nueve casos, y la podemos obtener mediante el use de una regla o desde un punto de vista geométrico, analizando esta expresión como el área de un cuadrado del cual queremos saber las dimensiones de sus lados. Veamos ahora como podemos construir un cuadrado del cual conocemos la expresión algebraica que representa su área. Ejemplo 1

¿

Cuales son las dimensiones de un cuadrado cuya área es x2 +6x +9?

Dibujemos un cuadro dividido en cuatro regiones como el siguiente:

118


Podemos decir que la factorizacion del trinomio cuadrado perfecto de este ejemplo es: EJEMPLO 2

F

actoriza mediante un modelo geométrico el trinomio cuadrado perfecto 4y´2+20y +25.

a) construimos un cuadrado dividido en cuatro regiones :

b) distribuimos los términos del trinomio, considerando que las dos cantidades que son expresiones al cuadrado corresponden a regiones cuadradas, siendo el termino faltante la suma de las dos regiones rectangulares.

c) expresamos las dimensiones del cuadrado para que se cumpla las cuatro áreas parciales

119


d) la factorizacion buscada es.

Los modelos geométricos nos ayudan a mejorar nuestra comprensión sobre los objetos abstractos con los que trabajamos, pero en ocasiones no son prácticos, por lo que tenemos que recurrir a otros mecanismos más rápidos:

120


EJEMPLO 1

121


EJEMPLO 3

La descomposición en factores o factorizacion es:

EJERCICIO 55

1

. factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

2. Construye un modelo geométrico para factorizar lo siguientes trinomios cuadrados perfectos.

122


FACTORIZACION PARCIAL DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO

U

na herramienta algebraica que es de mucha utilidad para definir el valor de una variable en una expresión algebraica de segundo grado, es la factorizacion de expresiones completando un trinomio cuadrado perfecto, que como veremos en los siguientes ejemplos,

en algunos casos queda parcialmente factorizada. Veamos este proceso de factorizacion parcial.

Ejemplo 1

Asociados los tres términos que forman el trinomio cuadrado perfecto y reduciendo los términos constantes tenemos:

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto obtenemos una expresión equivalente a la dada:

123


La expresión (x+3)2- 19 no es una factorización del trinomio original ya que además del binomio al cuadrado, tiene un término que no esta expresado dentro del producto indicado: EJEMPLO 2

O

btener una factorizacion parcial de m2-3m +49 completando un trinomio cuadrado perfecto:

El doble producto de estas raíces debe ser:

14m es la cantidad con la que formaremos ahora un cero para sumar el trinomio dado.

En este caso podemos generar dos trinomios cuadrados perfectos con el fin de factorizar la expresión dada:

EJEMPLO 3

C

ompletando un trinomio cuadrado prefecto obtener una factorizacion de 4f2-12f-5.

124


EJERCICIO 56

1

. obtener una factorizacion parcial de cada uno de los siguiente polinomio, completando un trinomio cuadrado perfecto

5.5 CUBO DE UN BINOMIO

O

tro producto notable que es útil recordar es el cubo de un binomio podemos deducir su regla de desarrollo si empleamos el algoritmo normal de multiplicación con un binomio simple, por ejemplo a+b o a-b.

Obtenemos la potencia(a+b)3,por medio de la multiplicación de binomios

125


EJEMPLO 1

Esta misma regla se obtiene mediante un modelo geométrico, analizando el volumen de u cubo.

si a este cubo le incrementamos un número determinado de unidades en sus tres dimensiones (a+b),su volumen se incrementaría de la misma forma:

Partiendo de l cubo inicial con este incremento se forman ocho prismas en total. Localizalos en el siguiente diagrama y calcula el volumen de cada uno de ellos

126


Reduciendo terminos semejantes:

EJERCICIO 57

1

. Desarrollo cada uno de los siguientes cabos de binomios:

127


5.6. FACTORIZACION DE UN CUBO PERFECTO

O

bserva el siguiente polinomio:

El polinomio ordenado en forma descendente en relación con una de las variables, tiene como característica que en su primer termino y el ultimo los exponentes de las variables son múltiplos de tres, por lo que podemos afirmar que esas variables fueron elevadas a la tercera potencia, (an)3 = a3n donde. Para saber si todo el término representa un cubo, el coeficiente numérico del primer termino y del último deben tener raíz cúbica exacta. Para nuestro ejemplo:

Si el polinomio es un cubo perfecto, los términos intermedios deben cumplir con la regla del cubo de un binomio, por lo que necesitamos hacer una comprobación: Esta, cosiste en verificar que el segundo termino de la expresión se puede obtener multiplicando por tres el producto de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del ultimo termino, así como el tercer termino se obtiene multiplicando por tres el producto de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado de la raíz cúbica del ultimo termino.

128

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ Si esta comprobación se cumple satisfactoriamente. factorizamos el polinomio con las raíces obtenidas formando un binomio y elevándolo la tercera potencia.

EJEMPLO 2

Como el polinomio está ordenado, y los términos extremos tienen exponentes múltiplos de tres, verificamos si tiene raíz y comprobamos los términos intermedios:

Como si se trata de un cubo perfecto factorizamos:

EJERCICIO 58

1

. verifica si cada uno de los siguientes polinomios es un cubo perfecto y si los es, escribe su factorizacion.

129


5.7. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TERMINO COMÚN.

C

alcula el área de cada una de las regiones en las que están divididos los siguientes rectángulos, así como su área total.

En las cuatro figuras puedes observar que hay un elemento común en los tres productos con los que obtenemos las áreas de cada región, con las dimensiones de cada rectángulo podemos formar un binomio en lo que esta presente un mismo elemento. Este tipo de productos reciben el nombre de binomios con un término común: El cálculo de este tipo de productos lo podemos representar algebraicamente como:

Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta regla:

130

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ EJEMPLO 1

Esta regla también la podemos aplicar para facilitar el calculo mental de

algunos productos de

números de dos cifras, veamos dos ejemplo:

EJERCICIO 59 1. Escribe únicamente el resultado de las siguientes multiplicaciones, sin desarrollar los productos.

131


2. En cada uno de los siguientes incisos, utiliza la regla del producto de binomios con un término común para calcular la multiplicación indicada.

3. En cada uno de los siguientes incisos construye un rectángulo con las dimensiones necesarias para que su área corresponda al trinomio de segundo grado indicada:

5.8-FACTORIZACIÓN DE TRINÓMIOS DE SEGUNDO GRADO

P

ara estudiar la forma de factorizar los trinomios de segundo grado iniciaremos

con los

2

polinomios en una variable de la forma ax +bx+c, con en los cuales no podemos percatar

más fácilmente de las relaciones que hay entre sus términos, dividiendolos en dos casos:

Para factorizar un trinomio de segundo grado podemos pensar en el producto de dos binomios, pero como un proceso inverso, recordemos este método:

Caso en que el coeficiente de término cuadrático es 1: Tomemos como ejemplo la factorización de x2+6x +8.

132


Como

el

primer

termino

es

una

variable

podemos

intuir

fácilmente

el

producto

que

lo

2

originax =(x)(x),así:

Los coeficientes del segundo término y del ultimo son una combinación de dos números, que al multiplicarse dan como resultado 8 y cuya suma es 6. Estos números son 4 y 2. Para completar los binomios que se deben multiplicar para dar como resultado el trinomio x2 + 6x + 8 utilizamos los elementos que acabamos de encontrar, colocando el mayor de los dos números en el primer binomio:

EJEMPLO 2 Descomponer en los factores

133


por lo que:

por lo que

134


EJERCICIO 60 1.factoriza:

2. Encuentra todos los valores posibles de h para cada uno de los siguientes trinomios se pueda factorizar;

3. supongamos que la distancia que recorre un automóvil por (f2-9f-70)km cuando va a una velocidad constante de (f+5)km/h.¿en cuanto tiempo cubrirá esta distancia? 4. utilizando los diferentes métodos que hemos estudiado hasta aquí, haz la descripción en tres factores de los siguientes trinomios:

Caso en que el coeficiente del termino cuadratico es distinto de 1

Para factorizar los trinomios de segundo grado en los que

, podemos descomponer en dos factores

tanto el primero como el ultimo termino, de tal forma que al multiplicar esos elementos en forma cruzada se obtenga por suma el segundo termino: EJEMPLO 1

135


EJEMPLO 2 Factoriza 20x2+ x-1

EJEMPLO 3 Descomponer en dos factores el trinomio 9y2+37y+4

1. Factoriza cada uno de los siguientes trinomios:

136


2. Encuentra todos los posibles valores de h para que cada uno de los siguientes trinomios se pueda factorizar:

5.9 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS Encuentra el área de la región sombreada en la siguiente figura:

Observa atentamente la obtención del siguiente producto:

137


Los dos ejemplos vistos te pueden sugerir una regla para multiplicar la suma de dos cantidades por su diferencia. ¿cual es esta regla?

Esta producto también es útil en el cálculo mental de multiplicación como:

EJERCICIO 62 1. Encuentra el resultado del producto de los siguientes binomios conjugados.

138


2. Encuentra el resultado del producto de los siguientes trinomios utiliza la propiedad asociativa para darles La forma de binomios conjugados.

3.

Utilizando

la

regla

del

producto

de

la

suma

de

dos

números(o

terminos)

por

su

diferencia(binomios conjugados),calcula los siguientes productos.

5.10. FACTORIZACION DE DIFERENCIA DE CUADRADOS

C

omo vimos en la sección anterior, obtenemos una diferencia de cuadrados al multiplicar la suma de dos términos por su diferencia, es decir:

139


Hay expresiones en las que después de aplicar una determinada forma de factorizar, alguno de los factores puede ser nuevamente factorizado. Al proceso de seguir factorizando hasta que ya no es posible hacerlo mas le llamamos factorizacion completa.

EJEMPLO 3

EJERCICIO 63 1. FACTORIZA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES DIFERENCIAS DE CUADRADOS:

140

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ 2. FACTORIZA EN FORMA COMPLETA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES POLINOMIOS.

3. Escribe un polinomio de tres términos que tenga como factor a (x - 5): 4. Encuentra un binomio de tercer grado que tenga como factor (2f + 3): 5. Encuentra un polinomio de quinto grado que tenga tres factores siendo uno de ellos (2w3 - 3): 5.11 Factorizacion por agrupación de términos Observa atentamente el siguiente procedimiento de factorizacion, y en cada uno de los pasos escribe sobre la línea el nombre de la propiedad que se esta utilizando para it transformando el polinomio: EJEMPLO 1

Observa otro ejemplo de factorización por agrupación de términos.

EJEMPLO 2

En el siguiente ejemplo, se indica la propiedad aplicada en cada paso; completa escribiendo la transformacion que se obtiene al aplicar dicha propiedad.

141


Completa el siguiente proceso de factorizacion escribiendo la transformación de la expresión algebraica y/o Ia propiedad que justifica la transformación realizada, según sea el caso.

Los siguientes ejemplos de factorizacion son otra forma muy corm n de descomponer en dos factores un trinomio de la forma ax2 + bx + c analizala y escribe un pequeño resumen de como se llevo a cabo. EJEMPLO1 Factorización 9d2+18d+8

142


En el siguientes líneas resume el método empleado en estos ejemplos: Resumen del método empleado

Si conoces otra forma de factorizar este tipo de trinomios, diferente a las estudiadas hasta esta parte del libro, utilizala en el siguiente trinomio y compártela con tus compañeros:

EJERCICIO 64 1. Factoriza cada uno de los siguientes polinomios:

2. Factoriza cada uno de los siguientes trinomio9s aplicando la factoria por agrupación de términos:

3. Esboza un modelo geométrico que representa a cada uno de los siguientes trinomios:

143

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ 5.12 FACTORIZACION DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

C

omo introducción a la factorizacion de polinomios de este tipo de expresiones algebraicas realizamos las siguientes divisiones.

1.EJEMPLO

Como sabes, en toda división exacta, el producto del cociente por el divisor da como resultado el dividendo. Así sucede en nuestro ejemplo:

Ejemplo 2

Siendo el cociente de nuestra división :x4-x3+x2-x+1 un producto que da como resultado X5+1 es entonces:

EJEMPLO 3

144


Las tres divisiones que lo presentamos son ejemplos de sumas o diferencias de potencias iguales que son divisibles entre la suma o diferencia de las bases de las potencies involucradas. Por simplicidad nos referiremos a "las bases" para indicar que hablamos de las bases de [as potencias en una suma o diferencia de potencias iguales.

Veamos ahora coma factorizar una suma o diferencia de potencias iguales, aprovechando los ejemplos desarrollados anteriormente. EJEMPLO 1 Factorizar y5+1 Y5+1=y5+(1)5 como n es impar, la suma de potencia es divisible por la suma de sus bases que es y+1. Dividiendo la suma de potencias entre la suma de sus bases tenemos que: =Y4-Y3+Y2-Y+1 Por lo que la factorización se busca es:

EJEMPLO 2 FÁTORIZAR 8F6-125Hh3 8f6- 125h3 = (2f2)3 - (5h)3 como n es impar la diferencia de potencias es divisible por la diferencia de sus bases: Obtenemos como factorizacion:

145


EJEMPLO 3

k6 - 64p12 = k6 - (2p2)6 como n es par la diferencia de potencias es divisible por la suma de sus bases: Obtenemos como factorizacion:

EJEMPLO 65 1. FACTORIZA CADA UNA DELAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

5.13 MINIMO COMUN MULTIPLO DE DOS O MAS POLINOMIOS

E

l estudio de este tema, lo iniciaremos recordando como obtener el mcm de dos o mas números naturales, para poder aplicar este mismo procedimiento a expresiones algebraicas.

Obtener el mcm (24, 64, 160). Tanto en la Unidad 1, como en la Unidad 2, vimos dos formas alternativas de encontrar el mcm de dos o más cantidades, ahora emplearemos la factorizacion de cantidades por separado para obtenerlo. Factoricemos a 24, 64 y a 160 de esta manera.

146


Las tres cantidades están descompuestas en sus factores primos, entre los cuales puedes distinguir elementos de dos tipos, los factores comunes a las tres cantidades y los factores no comunes.

Por lo que el mcm (24,64,160)

Ejemplo 1 Obtener el mcm de 3x-6,x2-4,5x2+10x Factorizamos los tres polífonos:

¿Cuales son los factores comunes a los tres polinomios? ¿Cuales son los factores no comunes?

147

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ El mcm es el producto de estos factores, así que:

EJEMPLO 2 Hallar el mcm de 8m2 - 10m - 3, 20m2 + 13m + 2, 10m2 - 11 n - 6 Factorizando cada trinomio obtenemos sus factores primos:

Factores comunes: no hay factor común en los tres polinomios Factores no comunes: (4m + 1), (5m + 2) y (2m - 3) Por lo que el mcm que buscamos es:

EJEMPLO 3

148


Factores comunes: (2 - a) el mayor exponente del factor común es 2 Factores no comunes: 4, a, (2 + a), (4 + 2a + a2) El mcm que buscamos es: mcm (12 - 3a2, 16 - 16a + 4a2, 8a - a4) = 4a(2 - a)2(2 + a)(4 + 2a + a2) EJERCICIO 66 1. Obten el mcm de cada una de las siguientes ternas de polinomios:

i) Encuentra el

mcm

de los polinomios propuestos en los incisos e, f y g utilizando el algoritmo de

Euclides, desarrolla estos ejercicios en lo cuaderno. 5.14 OTROS TIPOS DE FACTORIZACIONES

H

ay algunas expresiones algebraicas que para ser factorizadas requieren mas de uno de los métodos que hemos estudiado; veamos algunos ejemplos:

EJEMPLO 1

Trinomio cuadrado perfecto

Utilizando la propiedad asociativa en la expresión que obtuvimos de factorizar parcialmente el polinomio original, obtenemos

149


Por lo que la factorizacion del polinomio original es: x2+ 2 x y + y 2+x+y-6=(x+y+3)(x+y-2) EJEMPLO 2 Factoriza el polinomio m3 - n3- m2 + 2mn - n2 Utilizando Ia propiedad asociativa podemos separar la expresión en dos sumandos: M3- n3 – m2 + 2mn – n2 = (m3 – n3) - (m2 - 2mn + n2) Indica que tipo de expresión tenemos que factorizar en cada sumando: m3 - n3 - m2 + 2mn - n2 = (m3 - n3) - (m2 - 2mn + n2) Factorizando cada sumando: m3 - n3 - m2 + 2mn - n2 = (m3 - n3) - (m2 - 2mn + n2) =(m-n)(m2+mn+n2)-(m-n)2 La expresión que acabamos de obtener la podemos factorizar mediante el factor común: (m - n)(m2 + mn + n2) - (m - n)2 = (m-n)[(m2+mn+n2) - (m - n)] =(m-n)(m 2 +mn+n 2 -m+n) Siendo la factorizacion buscada: m 3 -n 3 -m 2 +2mn-n 2 =(m-n)(m 2 +mn+n 2 -m+n)

EJEMPLO 3 Factoriza a4 + b4 - 7a2b2 Ordenamos el trinomio:

150


a4 + b4 - 7a2b2 = a4 - 7a2b2 + b4

Las raíces del primer y último término del trinomio están presentes en el segundo término, por lo que podemos intentar factorizar este trinomio completando un trinomio cuadrado perfecto. a4 + b4 - 7a2b2 = a4 - 7a2b2 + b4 = a4 - 7a2b2 + b4 + 2a2b2 - 2a2b2 = (a4 + 2a2b2 + b4) + (-7a2b2 - 2a2b2) = (a2 + b2)2 - 9a2b2 Lo que tenemos ahora como expresión es una diferencia de cuadrados, al factorizarla obtenemos: (a2 + b2)2 - 9a2b2 = (a2 + b2 + 3ab)(a2 + b2 - 3ab) La factorizacion buscada es: a4 + b4 - 7a2b2 = (a2 + 3ab + b2) (a2 - 3ab + b2) EJEMPLO 4 Factoriza 8 – 8x2+x3-x5 Iniciemos factorizando par agrupación de términos: 8-8X2+ X3- X5 =(8-8X2)+(X3- x 5 ) = 8(1 - x2) + x3 (1 - x2) = (1 - X2) (8 + X3) Factorizamos ahora cada uno de los elementos del último producto obtenido: (1 –x 8 + x3) = (1 + x)(1 - x)(2 + x)(4 - 2x + x2) Por lo que la factorizacion de la expresión original es: 8-8 x2 + x3 - x5 = (1 + x)(1 - x)(2 + x)(4 - 2x + x2) La dificultad de este tipo de factorizaciones radica en el hecho de que debes identificar correctamente

los

diferentes

tipos

que

hemos

venido

estudiando.

En

esta

unidad

to

recomendamos que si no los ha hecho, detengas to avance y los repases nuevamente poniendo atención en sus características.

151


EJERCICIO 67 Factorización en forma completa cada uno de los siguientes polinomios:

5.15 BINOMIO DE NEWTON

P

ara obtener el desarrollo de una potencia cualquiera de un binomio se pueden utilizar diferentes métodos como son : la multiplicación directa de binomio por binomio, tantas veces como lo indique el exponente; los productos notables que ya hemos estudiado para

los cuadrados y cubos; calcular los coeficientes binómicos de cada termino de desarrollo de la potencia mediante un triangulo aritmético que denominamos Triangulo de Pascal (que como mencionamos en la reseña histórica de esta Unidad, Zhou Jijie presento este triangulo aritmético alrededor del ano 1 300 en China, 300 anos antes que Blas Pascal y que esta formado por los coeficientes de los términos de un binomio elevado a una potencia) y el Binomio de Newton, que es el método mas general y que puede ser aplicado a exponentes positivos, negativos o fraccionarios. En esta sección estudiaremos como desarrollar diferentes potencias de binomios utilizando dos métodos, el Triangulo de Pascal y el Binomio de Newton. Para desarrollar eI Triangulo de Pascal tomaremos las potencias sucesivas del binomio (f + h)n, las desarrollaremos por medio de los productos notables que conocemos y de la multiplicación directa para las potencias sucesivas y así:

152


Hay ciertas propiedades que cumplen los desarrollos de las potencias sucesivas de un binomio, contesta las siguientes preguntas para it descubriendo estas regularidades:

Formalicemos ahora las observaciones que acabamos de realizar las caracteristicas del desarrollo de (f+h)n donde nє n son:

Para formar el triangulo aritmetico que llamamos triangulo de Pascal, tomaremos los coeficientes de los desarrollos de las potencias sucesivas de (f + h) y los vamos a organizar en forma triangular:

153


EJEMPLO 1 Utilicemos el triangulo de Pascal para desarrollar (a + 2b)5. Para encontrar los coeficientes binomicos desarrollamos el triangulo de Pascal Ilegando una fila mas ally que la indicada por el exponente del binomio:

Los coeficientes binomios que vamos a utilizar son.1.6,15 y 20,..

154


Estos ejemplos que hemos desarrollado, nos permiten intuir que la forma de calcular potencias de binomios por medio del triangulo de Pascal, será cada vez mas complicada al it aumentando el valor del exponente que representa Ia potencia a la que se quiere elevar un binomio, por lo que en estos casos resulta poco practico. Para ejemplificar esto desarrolla en to cuaderno (a3-2f)20 Una expresión mas general para desarrollar expresiones binómicos elevadas a una potencia es el binomio de Newton o Teorema del binomio, que fue demostrado por Isaac Newton en el siglo XVI I I y que permite además poder encontrar cualquiera de los términos del desarrollo de una potencia. Para poder estudiar este método necesitamos introducir un concepto nuevo en nuestro estudio que es necesario para su aplicación, este concepto es el de factorial. FACTORIAL Hay procesos en matemáticas en los que es necesario multiplicar los n primeros ni meros enteros positivos, este tipo de producto recibe el nombre de factorial y representa como n! (que se lee n factorial). EJEMPLOS 5! = 5x4x3x2x1 = 120 12! = 12x11 x1 Ox9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 479 001 600 1!=1 Es importante antes de continuar definir que 0! = 1 Otra forma de definir un n factorial es n! = n(n - 1)! que es una forma recursiva de representar este tipo de producto. Esta forma es de gran utilidad cuando se realizan operaciones con factoriales o se quiere representar por medio de factoriales otros productos.

155


EJEMPLO 3 Expresar el producto de 8x5 mediante una operación con factoriales. En este caso podemos multiplicar cada factor de la operación por un uno conveniente expresado por medio de factoriales:

Si tomamos estas equivalencias de cada uno de los factores, el producto propuesto en este ejercicio se puede expresar como:

EJEMPLO 4 RESOLVER L AOPERACIÓN

156

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ Antes de ver el siguiente ejemplo, completa el siguiente cuadro, en el cual se desarrollan en forma recursiva algunos factoriales sucesivos:

Para simplificar esta expresión podemos utilizar la forma recursiva de definir(n+2)!,así

Resolviendo el producto del denominador:

Regresemos a analizar nuevamente uno de los binomios que ya desarrollamos, por ejemplo (f + h)5, cuyo desarrollo es:

Para calcular cualquier coeficiente después del primero, sin desarrollar nuevamente el triangulo de Pascal podemos utilizar la siguiente formula:

Desarrolla la potencia (f + h)10 y comprueba los coeficientes binómicos, desarrollando el triangulo de Pascal hasta la decimoprimer fila. Comprobamos esta formula para calcular tres de los coeficientes del desarrollo de (f + h)5. Calculamos el coeficiente de fh4, partiendo del termino anterior 10f2h3.

157

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ Calculamos el coeficiente de f4h, partiendo del termino anterior f5.

Calcula el coeficiente de f2h3, partiendo del termino anterior 10f3h2.

Observa que el calculo de los coeficientes que acabamos de realizar, por medio de la formula descrita, el numero que se obtiene en el denominador de cada uno de ellos (exponente de h) + 1 es equivalente a (numero de termino que se quiere calcular) - 1. Ejemplifiquemos esta afirmacion:

Para 5fh4 que es el 5to. Termino, partiendo de 10f2h3 (exponente de h) + 1 = (numero de termino que se quiere calcular) – 1

Para 5f4h que es el 2do. termino, partiendo de f5 (exponente de h) + 1 = (numero de termino que se quiere calcular) – 1

Para 10f2 h 3 que es el 4to. termino, partiendo de 10f5 h 2 : (exponente de h) + 1 = (numero de termino que se quiere calcular) – 1

Tomando en cuenta las ideas anteriores, obtengamos la expansión de (f + h)' calculando los coeficientes de cada término:

158


Cada uno de estos coeficientes se puede expresar por medio de operaciones con factoriales; veamos por ejemplo el calculo del coeficiente del cuarto termino 35f4h3

159

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ ¿Cuanto suman estos dos números sin considerar el símbolo de factorial?

Expresemos el coeficiente del sexto termino 21f2h3 por medio de operaciones con factoriales:

El coeficiente del segundo termino 7f6h por medio de operaciones con factoriales es: Expresa con factoriales como encontrar el coeficiente del quinto termino de este ejemplo

Como puedes notar, en cada uno de los cálculos que hemos realizado ara encontrar el coeficiente de un término, si sumamos los elementos numéricos del denominador el resultado es el exponente de la potencia que estamos desarrollando. En forma general, el coeficiente de frhn-I en el desarrollo o expansión de (f+ h)n se puede calcular mediante el cociente de factoriales:

Ejemplifiquemos ahora la utilización de este cociente en el desarrollo de la potencia de un binomio. EJEMPLO

160

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ El exponente (r) de m como decreto de término a término de 4 a 0 podemos predecirlo mediante la relación R=(n-el numero de término buscado)+1 Esta forma de desarrollar la potencia de un binomio, siempre que n Є N. es la generalizacion del triangulo de pascal y recibe el nombre de binomio de Newton o teorema del binomio. EJEMPLO 2. Desarrollar los cuatro primeros términos de (2x+3y)-6 Para desarrollar los cuatro términos pedidos utilizaremos:

Cuando se eleva un binomio a un exponente negativo hay que considerar que los exponentes del segundo término del binomio aumentan de uno en uno, por lo que el desarrollo de la potencia tiene un número de términos ilimitado, así que se desarrollan solamente algunos de los primeros términos de su expansión o desarrollo.

Donde t representa el numero de termino buscado, ( t - 1); el numero de factores que se van a multiplicar, y n el valor absoluto del exponente del binomio al cual se esta elevando este.

161

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________ EJEMPLO 3 Escriban el quinto termino de (2x + 3y2)10 El término que estamos buscando es el quinto, por lo que el exponente que le corresponde a 2 x en este termino es: r = n - el numero de termino buscado + 1 = 10 - 5 + 1 = 6 Y el quinto termino de (2x + 3y2)10 lo podemos calcular de la siguiente forma:

EJEMPLO 4 Obtén en el termino central de (b3 - 4d)16 Como la potencia de un binomio tiene un termino mas que el exponente al cual se esta elevando el binomio, podemos decir que el termino central sera el noveno termino del desarrollo, y que el exponente que en este termino Ie corresponde a b3 es: R=n-el numero de término buscado+1=16-9+1=8 El noveno termino de (b3-4d)16 lo podemos calcular de la siguiente forma:

162


EJEMPLO 5 Obtener el quinto termino de (2p2 - 5q3)-9 En este caso utilizaremos la formula

El binom. de Newton se acostumbra representar como:

163


EJEMPLO 6

164


EJERCICIO 68 1. Utilizando el triángulo de pascal obtén la expansión de cada ino de los siguientes binomios.

2. Desarrolla y calcula los siguientes factorales.

165


3. Escribe en términos de factoriales:

4.calcula:

5. escribe el desarrollo decada uno de los siguientes binomios de Newton:

6. Encuentra el término indicado en el desarrollo de cada uno de los siguientes binomios:

7.Busca los primeros cinco terminos de cada una de las siguientes raíces:

5.16 COMPRUEBA TU APRENDIZAJE

1 166

. Subraya cual de las siguientes operaciones es correcta, detecta el error cometido en las operaciones incorrectas y escribe la expresión que las haga verdaderas:


2. Una de las siguientes expresiones contiene un error, detecta cuál es y corregirlo:

3. Dibuja un modelo geométrico para calcular cada uno de los siguientes productos notables:

4. Sólo una de las siguientes factorizaciones es correcta, subraya cual es y corrige las otras expresiones indicando el error que se cometió:

167


5. Relaciona las dos columnas escribiendo la letra del inicio en la factorización que le corresponde a cada una de las siguientes expresiones:

6. Desarrolla cada uno de los siguientes binomios:

7. Encuentra el término que se indica en cada uno de los siguientes ejercicios.

168


8. Obtén los primeros cuatro términos de los desarrollos de cada una de las siguientes raíces.

169

APLICACIÓNES DE ECUACIONES LINEALES____________________________________

BLOQUE III “ECUACIONES DEL PRIMER GRADO” APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES.

1

. La edad de Pedro es el doble de la edad de Maria. Si en cinco anos mas la suma de sus edades será 43 anos, que edad tienen actualmente? En este tipo de problemas es adecuado hacer un cuadro en el tiempo.

En cinco años más susu edades sumarán 43 años:

Resolviendo la ecuación

Actualmente Maria tiene 11 años y Pedro tiene 22 anos. Los problemas de aplicación por lo general se expresan con palabras, no mediante símbolos matemáticos. En la resolución algebraica de tales problemas intervienen dos pasos: Primero: Deben traducirse las palabras del problema a símbolos, que luego se usan para escribir una ecuación algebraica que describa el problema. Segundo:

170

APLICACIÓNES DE ECUACIONES LINEALES____________________________________ Se resuelve la ecuación resultante. El valor de la incógnita puede representarse por una variable. A continuación se muestra una expresión típica y su traducci6n algebraica:

Es probable que esta oración provenga de un problema cómo este: Maria gana actualmente un salario de 12 600 dólares. Si recibió un aumento del 5% del año pasado, ¿cual era su salario anterior? Aunque en realidad no hay un método fijo que funcione en todos los problemas de aplicación, su resolución será mas facil si se siguen estos pasos: Paso 1. Se lee el problema para determinar que cantidad (o cantidades) se deben encontrar. Paso 2. Se representa el valor (o valores) de la(s) incógnita(s) simbólicamente con una letra, y se escribe "sea x = descripción de la incógnita". Paso 3. Se hace un bosquejo o diagrama cuando sea posible. Paso 4. Se determina que expresiones son iguales y se escribe una ecuación. Paso 5. Se resuelve la ecuación, y luego se enuncia la respuesta del problema. Paso 6. Se comprueba la respuesta, cerciorándose de que se hayan satisfecho las condiciones del problema original y de que la respuesta parezca razonable. Con el objeto de ilustrar las técnicas de resolución de problemas, se empezara presentando un ejemplo básico que comprende números. EJEMPLO La suma de tres enteros pares consecutivos es 72. ¿Cuales son estos enteros? Conviene recordar que los enteros pares consecutivos son enteros pares que aparecen escritos en forma consecutiva en un orden de conteo regular.

171


EJEMPLO ADMINISTRACION

¿

A cuanto ascendieron las ventas totales en las que Luis recibió una comisión de 692 dólares, si la tasa de comisión era del 8%?

La comisión recibida esta dada por Comisión = (tasa de comisión)(ventas totales). Sea x = ventas totales de Luis. Por consiguiente, debe resolverse

Así las ventas totales de luis ascendieron ,$8 650. EJEMPLO GEOMETRIA

E

l segundo ángulo de un triangulo es seis veces mas grande que el primer ángulo. Si el tercer ángulo es 45° mas grande que dos veces el primero, ¿cual es la medida de cada ángulo?

Se hace un bosquejo del triangulo como en la figura.

172


Considérese ahora el siguiente ejemplo. Jaime es capaz de hacer cierto trabajo en 3 horas y David puede hacer el mismo trabajo en 7 horas. ¿Cuanto tiempo les tomaría realizar el trabajo silo hicieran juntos? A este tipo de problema suele llamársele problema de trabajo, y deben recordarse tres principios importantes:

1. El tiempo requerido para hacer un trabajo cuado dos individuos trabajan untos debe sermenorque el tiempo requerido por el trabajado mas rápido para completar el trabajo solo. El tiempo requerido trabajando juntos no es el promedio de los dos tiempos. 2. Si un trabajo puede hacerse en t horas, en 1 hora puede completarse t del trabajo. Por ejemplo, puesto que Jaime puede hacer el trabajo en 3 horas, en 1 hora el1 podría hacer 1/3 del trabajo. 3. El trabajo hecho por Jaime en 1 hora mas e/ trabajo hecho por David en 1 hora es igual al trabajo hecho por ambos en 1 hora. Así, si t es el tiempo requerido para completar el trabajo trabajando juntos.

173


A las 5 horas el minutero esta en las 12 y el horario en las 5 y el ángulo que forman es de 150° (arco AB).

Se pide que el arco CD corresponda a un ángulo de 90°. Si llamamos o al centro del reloj, por cada minuto OA avanza 6° y OB avanza 0.5°; por lo tanto, por cada minuto el ángulo AOB se achica 5.5°. Sea x la cantidad de minutos que deben transcurrir para que el arco AB corresponda a un ángulo de 90°. Entonces podemos decir:

174


Luego, el ángulo formado por los punteros del reloj es de 900 alas 5 horas 10 min. El ángulo de 90° ocurrirá nuevamente después que el minutero haya pasado sobre el horario. Veamos primero a que hora el angulo se hard 0°.

MOVIMIENTO

D

os automóviles salen del mismo punto y viajan en direcciones opuestas. Es segundo auto viaja 15 Km/hr mas rápido que el primero, y después de 3 horas están apartados 465 km uno del otro. ¿A que velocidad esta viajando cada automovil?

175

APLICACIÓNES DE ECUACIONES LINEALES____________________________________ La distancia d que un objeto recorre en un tiempo t, dado a una velocidad constante o uniforme r, esta dada por la siguiente formula. Distancia = (velocidad)(tiempo) d=rt Sea d, = la distancia en km que el primer auto recorre, r = la velocidad en km/h del primer auto, d2 = la distancia en km que el segundo auto recorre, y r + 15 = la velocidad en km/h del segundo auto.

El primer automóvil está viajando a 70km/h, y el segundo a 85 km/h.

176

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

L

a ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas. A toda igualdad de la forma ax +by= c, donde a, b y c son constantes arbitrarias y

tanto a como b son diferentes de cero, se le llama ecuaci6n lineal o de primer grado con dos variables o incógnitas. Por ejemplo:

U

na ecuación de este tipo tiene un número infinito de soluciones; por ejemplo, la ecuación anterior se verifica para:

Así podríamos encontrar un conjunto infinito de valores para las inc6gnitas que satisfagan la ecuaci6n, por este motivo decimos que es indeterminada. Cada una de las soluciones de una ecuaci6n de este tipo se representa mediante un par ordenado de la forma (x, Y). Por ejemplo, en la ecuaci6n anterior los pares ordenados (0, 9), (1, 5), (2, 1) y (-3, 21) son soluciones de ella, pero recuerda que no son las únicas. Asimismo, observa que los pares ordenados (1, 5) y (5, 1) son diferentes

Es frecuente que al resolver un problema práctico donde en el modelo matemático aparezca una ecuación de este tipo se requiere obtener una única solución, la cual, obviamente, no puede determinarse con una sola ecuación; es decir; se requiere de dos o mas ecuaciones de este tipo, las cuales en su conjunto constituyen lo que se denomina:

177

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

U

n sistema de ecuaciones lineales con dos inc6gnitas es un conjunto de dos o mas ecuaciones de la forma:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Todo par ordenado (x, y) que satisface a ambas ecuaciones se llama solución común del sistema de ecuaciones, y en caso de que sea una solución común única, esta es el conjunto solución de dicho sistema de ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar su conjunto solución. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden presentar los siguientes tres casos: 1. Que el sistema tenga una solución única; en este caso decimos que el sistema es consistente independiente. 2. Que el sistema no tenga solución; es decir; que no existe al menor un par de valores, uno para cada incógnita, que satisfaga a ambas ecuaciones simultáneamente; en este caso decimos que el sistema es inconsistente. 3. Que el sistema tenga un conjunto infinito de soluciones; en este caso decimos que el sistema es consistente dependiente. METODOS

DE

SOLUCION

DE

UN

SISTEMA

DE

ECUACIONES

LINEALES

CON

DOS

INCOGNITAS.

E

n este capitulo aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando los siguientes métodos:

1. Método de eliminación (suma y resta). 2. Método de sustitución. 3. Método de igualación. 4. Método por determinantes o regla de Cramer. 5. Metodo grafico. Veamos a continuación en que consiste cada uno de ellos.

178


1. METODO DE ELIMINACION (SUMA Y RESTA)

E

ste método consiste en eliminar una de las incógnitas de tal forma que el sistema de ecuaciones se reduzca a una sola ecuación con una sola incógnita.

Lo anterior se puede lograr al aplicar la siguiente propiedad de Ia igualdad. "Si ambos miembros de una igualdad se le suman o restan los de otra igualdad, se obtiene otra igualdad" Ejemplo 1. Si tenemos los sistemas:

Al sumar algebraicamente miembro a miembro la ecuación anterior resulta:

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma o resta se requiere que los coeficientes numéricos de una de las incógnitas tengan el mismo valor absoluto; entonces, en caso de que se requiera, se debe multiplicar una o cada ecuación por un numero diferente de cero, de tal forma que al efectuar dichas operaciones resulte un sistema de ecuaciones equivalentes al original con estas características. Precisando, el proceso de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por este método consta de los pasos siguientes: 1. En caso de que se requiera, se escriben ambas ecuaciones en la forma ax + by = c. 2. En caso de que se requiera, multiplicar una o ambas ecuaciones por un número tal que resulten ecuaciones equivalentes a las originales, que contengan coeficientes con igual valor absoluto en una de las incógnitas y que al sumarlas o restarlas miembro a miembro resulte una ecuación con una incógnita.

179

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ 3. Resolver la ecuación con una incógnita que resulta de la suma o diferencia de ecuaciones, con lo que se obtiene el valor de una de las incógnitas. 4. Sustituir el valor determinado en el paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver esta ecuación para determinar el valor de la otra incógnita. 5. Comprobar la solución del problema. EJEMPLO 2. Resolver los siguientes sistemas de ecuación lineales por el método de eliminado (suma o resta):

Se observa que y+(-y)=0;por lo tanto, si se suman miembros a miembros las ecuaciones resulta:

Sustituyendo este valor en la ecuación 3x+y=10 resulta:

COMPROBACION.

S

ustituyendo estos valores en la ecuación 2x-y=5 se tiene:

Asimismo, sustituyendo en la otra ecuación 3(3) + 1 = 10; o sea, 10 = 10. Entonces, la única solución del sistema es: x = 3, y = 1, la cual se suele representar en forma de un par ordenado de la forma (x, y); es decir, (3 , 1).

Primero se escribirán las ecuaciones en la forma ax+by=c.

180


Si se quieren eliminar los términos que contienen la incógnita y, entonces se pueden efectuar las siguientes operaciones: multiplicar por 5 ambos miembros de la ecuación 7x + 2y = 15 y multiplicar por 2 ambos miembros de la ecuación 6x + 5y = 3 y después restar una de las ecuaciones derivadas de la otra.

Si se le resta la ecuación 12x+10y=6 de la ecuación 34x+10y=75 resulta:

Sustituyendo este valor en la ecuación 6x+5y=3 se tiene que:

COMPROBACIÓN

S

ustituyendo estos valores en 7x+2y=15 se tiene:

Por lo tanto el conjunto solucion es (3 , -3).

181

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ En los ejemplos expuestos se han eliminado siempre los términos que contienen la incógnita y. Cabe aclarar que si es conveniente se pueden eliminar igualmente los términos que contiene la incógnita x.

I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta.

METODO DE SUSTITUCION.

E

ste método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema en caso de que sea necesario, y después sustituir su expresión equivalente en la otra.

Como resultado de la sustitución se obtiene una ecuación con una incógnita, la cual al resolverla se halla el valor de la misma. Por ultimo se sustituye el valor de la incógnita obtenida en la ecuación donde esta despejada la otra incógnita, y así hallamos el valor de esta última. EJEMPLO 3. a) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de sustitucion.

SOLUCION.

D

espejaremos x en la ecuación 3x + 2y = 5 Nota: Podemos despejarla en la otra ecuación, o y en cualquiera de [as ecuaciones del sistema.

Sustituyamos la expresión equivalente de x en la otra ecuación:

182


Multiplicaremos por 3 ambos miembros de la ecuación anterior para obtener otra equivalente a ella con coeficientes enteros:

Hallemos el valor de la incógnita x sustituyendo el valor obtenido de y en la ecuación donde x está despejada:

183


La solución del sistema es el par ordenado(3,5). EJERCICIO 2. Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de sustitución.

METODO DE IGUALACION.

E

ste método consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema, después igualar las expresiones equivalentes de ellas y resolver la ecuación obtenida con dicha igualación.

Al resolver la ecuación que resulta de la igualación de las expresiones equivalentes a la incógnita despejada, se obtiene el valor de la incógnita, contenida en ella. Para obtener el de la otra incógnita, se sustituye el valor obtenido de la ecuación anterior en cualquiera de las expresiones donde esta la incógnita despejada. EJEMPLO 4. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación.

Primero despejamos la incógnita x en ambas ecuaciones.

184


Igualamos las expresiones equivalentes a la incógnita x.

Multipliquemos ambos miembros de la ecuación anterior por el mínimo común denominador de los denominadores 7 y 8,o sea 56(7x8=56).

Al multiplicar por-1 ambos miembros de la ecuación anterior resulta:

Hallemos el valor de x:

Verifica que el conjunto solución del sistema es (4,5).

185


EJERCICIO 4. I. resuelve los siguientes sistemas de ecuación lineales por el método de igualación.

Método por determinantes (regla de Cramer) Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

Utilizando el método de suma t resta hallemos la expresión equivalente a la incógnita x en términos de las constantes a,b y c del sistema.

Restemos a continuación miembro a miembro la ecuación del sistema anterior que se encuentra en el renglón de debajo de la que esta en el de arriba.

De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicación:

por consiguiente, tenemos que:

186


Análogamente, podemos demostrar que:

Estas expresiones equivalentes a las incógnitas x y y nos servirán de referencia para mostrar en que consiste el método de determinantes para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, así que haremos referencia a ellas mas adelante. DETERMINANTE.

U

n determinante es un arreglo de números encerrados entre dos barras verticales. Ejemplos:

Un determinante esta constituido por columnas e hileras o renglones. Las columnas están formadas por los números que están en una misma línea vertical y las hileras o renglones por los que están colocados en una misma horizontal.

Cuando un determinante tiene el mismo numero de renglones que de columnas decimos que es un determinante cuadrado, y si un arreglo de este tipo tiene dos renglones y dos columnas decimos que es de segundo orden; por ejemplo:

Una determinante que tiene tres hileras y tres columnas es de tercer orden; por ejemplo:

187

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ Diagonal principal y secundaria de un determinante de segundo orden. La diagonal principal de un determinante de segundo orden es la línea de números de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, mientras que la diagonal secundaria es la línea de los elementos de la esquina inferior izquierda a la superior derecha; por ejemplo:

Evaluación de un determinante de segundo orden. Un determinante de segundo orden es el número que resulta al restar el producto de los números de la diagonal secundaria del producto de los de la principal; por ejemplo:

EJEMPLO 5. Encuentra el valor de los determinantes siguientes:

Veamos nuevamente las expresiones equivalentes de las incógnitas del sistema de ecuaciones mencionado al principio de este tema.

188


Observa que el denominador de ambas expresiones es el mismo número

el cual resulta

al evaluar el determinante

Si al evaluar el determinante D resulta que es igual a cero, la regla de Cramer no se puede aplicar, ya que la división entre dicho numero no esta definida. Si al evaluar Dx y Dy resulta que Dx = 0 y Dy = 0 cuando D= 0; entonces el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones y decimos que es dependiente. Si Dx o Dy no son cero cuando D = 0, el sistema no tiene soluciones y decimos que es inconsistente. Si D ? 0, entonces se dice que el sistema de ecuaciones es consistente e independiente. EJEMPLO 6.

189

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ Utiliza la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

De acuerdo con la regla de cramer.

Por lo tanto, el conjunto solución del sistema indica es (7.-9) Ejercicio 4.

190

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ METODO GRAFICO.

P

ara poder emprender como resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método grafico recordemos primero como localizar pares ordenados en un sistema de coordenadas cartesianas.

Coordenadas rectangulares. Sistema de coordenadas cartesianas.

C

onsidérese que en el piano se ha seleccionado un punto fijo 0 (origen de coordenadas) y un par de rectas perpendiculares que se cortan en 0 (ejes de coordenadas), uno de los cuales se selecciona como eje de abscisas y el otro como eje de ordenadas (vease la figura

10.1). Las coordenadas cartesianas de un punto P del piano respecto a este sistema de referencia son el par de números reales (x, y), en el que y representa la distancia dirigida de P al eje de ordenadas.

Para localizar un punto P(x, y) en un sistema de coordenadas cartesianas, se traza, a partir de dicho punto P, una Línea punteada perpendicular al eje de las x, y el numero que le corresponde al punto donde interseca dicho eje representa el valor de la abscisa, o sea, el valor de x del punto; de igual manera, a partir del punto P se traza una línea perpendicular al eje de la y, y el numero que corresponde a la lectura del punto donde se interseca dicho eje representa la ordenada, o sea, el valor de y.

191


EJEMPLO 7.

D

etermina las coordenadas de los puntos C, D, E, F, G, H e I en el siguiente sistema de coordenadas cartesianas.

En caso contrario, para marcar un punto cuyas coordenadas se conocen, se siguen los siguientes pasos: 1. Se marca en primer lugar su abscisa en el eje de las x. 2. Se traza una Línea punteada perpendicular al eje de las x por dicho punto. 3. Se marca su ordenada en el eje y y se traza una Línea perpendicular al eje y; el punto donde se intersecan estas línea punteadas es la representación geométrica del par ordenado. Recuerda: Hablamos de un par ordenado porque, por ejemplo, el punto (4, 7) no representa lo mismo que el punto (7, 4). Marca los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas. A (5, 3), es decir, x = 5; y = 3.

192


Solucion de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método grafico. La grafica de una ecuación de la forma ax + by = c es una recta; ahora resulta explicable por que se les llama ecuaciones lineales. Una recta queda determinada si se conocen dos de sus puntos; por lo tanto, para representar gráficamente una ecuación lineal con dos variables basta con encontrar dos de sus soluciones y trazar la recta que pasa por los puntos que las representan.. De acuerdo con lo anterior, si se quiere representar gráficamente una ecuación de la forma ax + by = c, se despeja, por ejemplo, la variable y, después se sustituye la variable x por dos valores diferentes y se encontraran dos valores correspondientes a la variable y. A continuación se marcan en un sistema de coordenadas los pares ordenados (x , y)obtenidos y se traza la recta que pasa por dichos puntos, y esa es la grafica de dicha ecuación. La solucion de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de los puntos comunes a las rectas que representan dichas ecuaciones. Si dos rectas paralelas, nunca se intersecaran; por lo tanto, el sistema formado por sus ecuaciones no tiene solucion y entonces forman un sistema de ecuaciones inconsistente.

193


Si dos ecuaciones lineales de la forma ax + by = c, son equivalentes entonces ambas representan una misma recta, por lo que cada punto (x, y) que forma parte de ella es solucion del sistema. En este caso el conjunto solucion es infinito y decimos que el sistema formado por sus ecuaciones es un sistema dependiente consistente. MOVIMIENTO

L

a velocidad de la corriente de un rió es 4 mi/h. un bote recorre 48 millas aguas arriba en el mismo tiempo en que recorre 72 millas aguas abajo. ¿Cual es la velocidad del bote en el agua tranquila?

194


Es transformarla en la ecuación de productos cruzados. Por ejemplo, ecuación de productos cruzados para

EJEMPLO

S

i un hombre cuya estatura es de 6 ft, a la luz del sol proyecta una sombra de 14 ft de largo, mientras que un poste proyecta una sombra de 35 ft de largo, ¿cual es la altura del poste?

Se hace un bosquejo, como en la figura.

195


PRECAUCION.

A

l resolver problemas de aplicación no es conveniente tomar atajos ni intentar retener en la memoria demasiada información, acerca del problema. Redactar con claridad y detalle las descripciones de las variables, como muestran los ejemplos, ahorrara tiempo a largo plazo

y proporcionara organización al trabajo.

EJEMPLO ECOLOGIA

U

n guardabosque desea estimar el numero de truchas que hay en un lago. Captura 200 peces, les marca una aleta y los regresa al lago. Después de un periodo durante el cual los peces marcados se mezclan con la población total, atrapa otra muestra de 200 peces y descubre

que tres de ellos tienen las marcas. Utilicese una proporción para estimar el numero de truchas que hay en el lago.

La clave para resolver este problema es la proporción:

sea x=el numero total de truchas en el lago, sustituyendo en la proporción de arriba se tiene:

Así, hay el aproximante 13 333 truchas en el lago. SOLUCION DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO GRAFICO. LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS COMO MODELOS AMTEMATICOS. SOLUCION DE UNA ECUACION LINEAL CON THE INCOGNITAS POR EL METODO CRAMER.

196

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ Ejercicios Resolver: 1. Si a cinco veces un numero se le quita siete, el resultado es 10 mas dos veces el numero. ¿Cual es el numero? 2. Si a dos veces la suma de un número y cinco se le agrega dos, el resultado es 26 veces el número. ¿Cual es el número? 3. La suma de tres entero impares consecutivos es cuatro veces el primero menos 29. ¿Cuales son los enteros? 4. La suma de cuatro enteros consecutivos es ocho mas tres veces el mas grande. ¿Cuales son los enteros? 5. Educación. Si Jorge Ortiz obtuvo 61, 89 y 86 en tres pruebas, ¿cuanto debe obtener en una cuarta prueba para tener un promedio de calificaciones de 80? 6. Deportes. Tres de los cuatro delanteros del equipo de fútbol del Estado de Arkansas pesan 256 lb, 240 lb y 242 lb. Si el peso promedio de la línea delantera es de 249,5 lb, ¿cuanto pesa el cuarto delantero? 7. Edad. Si Samuel tiene el doble de la edad de Humberto y la suma de sus edades mas 28 es cinco veces la edad de Humberto, ¿cual es la edad de cada uno? 8. Construcción. Una tabla mide 23 pies de largo. Se va a cortar en tres piezas de modo que la segunda pieza mida el doble que la primera y la tercera mida tres pies mcas que la segunda. 6Cual es la longitud de cada pieza?

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

9

. El numerador de una fracción es cinco unidades menor que el denominador. Si se les suman tres unidades tanto al numerador como al denominador, el resultado es igual a 2/3. ¿Cual era la fracción original?

10. El denominador de una fracción es seis unidades menor que el numerador. Si al denominador se le aumenta uno, el resultado es igual a %2. 6Cual era la fracción original? 11. Consumo. Si la tasa de impuesto en West, Texas, es del 4%, 6a cuanto asciende el impuesto en una compra de 52.50 dólares? 12. Deportes. Un mariscal de campo de fútbol completo 27 pases en 45 intentos. ¿Cual fue su porcentaje de pases completos? 13. Administración. Si Maria recibió un aumento del 12% y gana ahora 25 760 dólares anuales, ¿cual era su salario antes del aumento? 14. Menudeo. Un minorista compro un aparato estereofónico en 285 dólares y lo puso a la venta con un margen de ganancia bruta del 70%. ¿Cual fue el precio del aparato?

197

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ 15. Economía. El lunes un inversionista compro 100 acciones de capital comercial. El martes, el valor de las acciones subio 6%, y el miércoles del valor cayo 5%. 4Cuanto pago el inversionista por las 100 acciones el lunes, si las vendió el miércoles a 1460.15 dólares? 16. Demografía. La población de un pueblo aumento 4% durante un ano, y luego disminuyo 7% el ano siguiente. ¿Cual era la población original si había 2 418 habitantes en el pueblo al final de esos dos anos? 17. Geometría. El primer ángulo de un triangulo es 50 mayor que tres veces el segundo, y el tercer ángulo es 100 menor que el segundo. ¿Cual es la medida de cada ángulo? 18. Geometría. Si dos Angulo son suplementarios (sus medidas suman 180°), y el segundo es 30° menor que dos veces el primero, ¿cual es la medida de cada ángulo? 19. Agricultura. El perímetro de un campo de trigo rectangular es 1760 m. El largo mide 40 m más que el ancho. ,Cuales son las dimensiones del campo? 20. Geometría. Un triangulo isósceles tiene dos lados iguales Llamados catetos y un tercer lado llamado base. Si cada cateto de un triangulo isósceles es 2 m menor que tres veces la base, y el perímetro es 31 m, ,cual es la longitud de cada cateto y la longitud de la base? 21. Construcción. Jerónimo puede construir un cobertizo en 8 días, y Beltrán puede hacer el mismo trabajo en 9 días. Con una aproximación de décimas de día, ¿cuanto tiempo les tomaría construir el cobertizo si trabajaran juntos? 22. Manufactura. Si una maquina construida en 1975 es capaz de producir 100 unidades en 25 horas mientras que una maquina construida este ano puede producir 100 unidades en 20 horas, con una aproximación de décimas de día, ¿cuanto tiempo tomaría producir 100 unidades si las maquinas trabajara juntas? 23. Si Guillermo y Marco trabajan juntos pueden terminar una obra en 18 minutos, y si Guillermo requiere de 42 minutos trabajando solo, ¿cuanto tiempo le tomaría a Marco hacer el trabajo solo? 24. Deportes. Si Mike Nesbitt, preparador físico de la NAU, puede asegurar con cinta los tobillos de un equipo en 30 minutos, y con ayuda de un estudiante el trabajo toma 20 minutos, ¿cuanto tiempo le tomaría al estudiante hacer el trabajo solo? 25. Agricultura. Una Have de cuatro pulgadas (in) puede llenar una represa de riego en 25 días, una Have de seis pulgadas puede llenarla en 10 días y una Have de nueve pulgadas lo hace en cinco días. ¿Cuanto tiempo tomarla llenar la represa si las tres llaves estuvieran abiertas a la vez? (La respuesta debe darse y se redondea a un décimo de día). 26. Si Susana es capaz de hacer un trabajo en 12 horas, Lázaro puede hacer el mismo trabajo en 16 horas y Eva requiere de 20 horas para hacerlo, ¿cuanto tiempo les tomaría hacer el trabajo juntos? (La respuesta debe darse y se redondea a un décimo de hora). 27. Recreación. Una pequeña piscina puede Llenarse mediante una Have de entrada en dos horas. Y puede vaciarse por medio de una Have de desagüe en 10 horas. Si las dos (laves se abrieran simultáneamente, ¿en cuanto tiempo se llenarla la piscina vacía? 28. Agricultura. Un transportador de granos puede Llenar un silo en dos días. Si toma tres días vaciar el silo a carros de ferrocarril, ¿cuanto tiempo tomaría Llenar un silo vació si ambas compuertas se abrieran simultáneamente?

198

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________ 29. Aeronáutica. Dos aviones despegan al mismo tiempo de un aeropuerto; uno viaja hacia el este y el otro hacia el oeste. Uno vuela 50 mi/h mas rápido que el otro. Después de tres horas están alejados 3 030 millas uno del otro. ¿A que velocidad esta viajando cada avión? 30. Movimiento. Dos familias acuerdan encontrarse en Boise, Idazo, para una reunión. Ambas familias salen a las 8:00 a.m., una viaja 10 mi/h mas rápido que la otra, y se encuentran en Boise exactamente al mediodía. Si la distancia total que recorrieron fue de 480 millas, 6a que velocidad viajo cada familia? 31. Aeronáutica. Un avión vuela 480 mi con el viento a favor y 330 mi con el viento en contra en el mismo tiempo. Si la velocidad del avión sin viento es de 135 mi/h, ¿cual es la velocidad del viento? 32. Aeronáutica. Un avión vuela 1160 km con el viento a favor y 840 km con el viento en contra en el mismo tiempo. Si la velocidad del viento es de 40 km/h, ¿cual es la velocidad de un avión en aire sin viento? 33. Comunicaciones. Dos prensas imprimen 31500 volantes. Si sus tasas de producción difieren en 30 volantes por minuto, ¿cual es la tasa de cada una si ambas trabajan 210 minutos para completar el trabajo? 34. Manufactura. Una maquina construida en 1970 tiene una tasa de producción de 20 unidades por hors menos que una maquina hecha en 1985. Si ambas se conectan al mismo tiempo y producen 1 120 unidades en ocho horas, ¿cual es la tasa de producción de cada una? 35. Construcción. Si un rollo de 150 pies de cable eléctrico pesa 45 libras, ¿cuanto pesara un rollo de 270 pies del mismo cable? 36. Química Un químico desea hacer una solucion con ácido clorhídrico concentrado y agua destilada de modo que la razón del ácido con respecto al agua sea de 7:3. Si comienza con 21 litros de ácido, ¿que volumen de agua debería agregar al ácido? 37. Un muchacho con una estatura de 5 ft proyecta una sombra de 12 ft de largo al mismo tiempo que una torre proyecta una sombra de 252 ft de largo. ¿Cual es la altura de la torre? 38. Geometría. Dados dos triángulos semejantes, los lados de un miden 6 in, 7 in y 12 in. Si el lado mas corto del otro mide 18 in, 6cual es la medida de los otros dos lados? 39. ¿Cual es el medio proporcional entre 25 y9? 40. ¿Cual es el medio proporcional entre 36 y 4? 41. Al cuarto termino de una proporción se le llama cuarto proporcional con respecto al primero, segundo y tercer términos. ¿Cual es el cuarto proporcional con respecto a 20, -12 y -5? 42. ¿Que numero debe sumarse a cada uno de 20, 8, 32 y 14 para dar cuatro números que sean proporcionales en ese orden? 43. Educación. En una clase de 40 alumnos, la razón de niños con respecto a las niñas quedo en 7:5 ¿Cuantos niños desertaron? 44. Geometría. Si se traza una tangente PA y una secante PB en un circulo desde un punto externo, la longitud de la tangente es la media proporcional entre la longitud de la secante y su segmento externo PC. ¿Cual es la longitud de la tangente si la secante mide 49 cm. y su segmento externo mide 4cm?

199


45. Música. Las notas musicales en una cuerda mayor tienen frecuencias con la razón de 4 a 5 a 6. Si la primera nota de una cuerda tiene una frecuencia de 264 hertz (Hz), ¿cuales son las frecuencias de las otras dos notas? 46. Planimetría. Un poste esta clavado en el fondo de un lago. Las razones de la longitud del poste por encima del agua con respecto a la longitud dentro del agua con respecto a la longitud en la arena del fondo del lago son de 3 a 4 a 2. Si 40 pies del poste están bajo el agua, ¿que longitud esta fuera del agua y que longitud esta en la arena? 47. Inversión. Lucia Arnote invirtió 12 000 dólares en una cuenta que paga 12% de interés simple. ¿Cuanto dinero adicional debe invertirse en una cuenta que paga 15% de interés simple para que le rendimiento promedio de las dos inversiones sea el 13%? 48. Recreación. Con el fin de equilibrar un sube y baja, el peso del primer niño por su distancia de4sde el fulero (el punto de apoyo de la tabla) debe ser igual al peso del segundo niño por su distancia desde el fulero. Si un niño que pesa 85 libras esta a 6 ft del fulero, ¿que tan lejos del fulero debe estar el segundo niño para equilibrar el sube y baja, si pesa 51 libras? 49. Navegación. Un bote pequeño que viaja a 20 nudos (un nudo es igual una milla náutica por hora) esta a 15 millas náuticas de una isla cuando una lancha guardacostas inicia su persecución en el mismo curso, viajando a 30 nudos. 6Cuanto tiempo le tomara al guardacostas dar alcance al bote? 50. Geometría. La altura de un triangulo rectángulo apoyado sobre la hipotenusa es la media proporcional de las longitudes de los dos segmentos en que queda dividida la hipotenusa al trazar la altura. ¿Cual es la altura del triangulo rectángulo si tales segmentos de la hipotenusa miden 9 pulgadas y 16 pulgadas de longitud?

200

METODO DE FACTORIZACION_______________________________________________

BLOQUE IV "ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO" METODO DE FACTORIZACION

E

n el capitulo 1 se expuso una propiedad importante del sistema de los números reales que establece que si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0. Lo inverso de esta propiedad, enunciado en el siguiente teorema, también es verdadero.

SOLUCION POR FACTORIZACION

L

a regla del producto nulo puede aplicarse para resolver ecuaciones que, aunque no sean lineales, pueden reducirse a dos ecuaciones lineales. Por ejemplo, si

Entonces es posible igualar cada factor en el producto a cero, para luego proceder a resolver las ecuaciones resultantes.

Así las soluciones son 2 y -3.de haberse comenzado con la ecuación

Podría haberse proceder procedido a factorizar el lado izquierdo, obteniendo

201

METODO DE FACTORIZACION_______________________________________________ Y al continuar con el procedimiento apenas expuesto, se habría resuelto una ecuación que puede escribirse en la forma.

ECUACION CUADRATICA O ECUACION DE SEGUNDO GRADO.

S

i a = 0, se perdería el termino x2 y se tendría la ecuacion lineal bx + c = 0. A la expresión axe + bx + c = 0 se le denomina la forma general de la ecuación cuadrática y, por lo general, conviene escribir toda ecuación cuadrática en esta forma antes de intentar

resolverla. Los ejemplos siguientes ilustran la técnica de solución de una ecuación cuadrática por el método de factorización. EJEMPLO 1 RESOLVER

202


ECUACIONES Y DESIGUALDADES

L

a soluciones son 3 y -2.para comprobar se sustituyen en estos valores en la ecuación original.

PRECAUCION.

E

n el ejemplo 1, no debe dividirse entre x a ambos lados de la ecuación, o se perderá la solucion x = 0 Siempre que una ecuación cuadrática carezca del termino constante (c = 0), una solucion es 0.

EJEMPLO 2 Resolver.

203


Cuando las dos ecuaciones lineales obtenidas al usar la regla del producto nulo tiene la misma solucion, como ejemplo 2, a la solución se le llama raíz doble o doble raíz de multiplicidad dos. Solución por extracción de raíces Si en una ecuación cuadrática b=0,la ecuación no tiene término lineal y adquiere la forma:

Si ambos

lados d ela ecuación se resta c y luego

se divide entre a (recuerdase que a≠o ),se

obtiene

Puesto que|x|=x si x≥o y|x|=-x si x
Lo que con frecuencia se escribe de manera más compacta como:

Por consiguiente, las dos soluciones de la ecuación original son

Si d≥ 0, entonces las soluciones son números reales. Debe observarse que d ≥ 0 siempre que c y a, tengan signos opuestos. A este método, que se ilustra en el, ejemplo siguiente ,se le llama .Método de raíz cuadrada.

204

METODO DE FACTORIZACION_______________________________________________ EJEMPLO 3. Resolver:4y2- 5=0

SOLUCION POR COMPLECION DE CUADRADOS

F

actorizar y sacar raíces son los métodos mas fáciles y mejores para resolver muchas ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, como no es posible resolver algunas ecuaciones cuadráticas con estas técnicas, deben encontrarse métodos alternativos.

Considerese la ecuacion

si se extiende el método por extracción de raíces y se saca raíz cuadrada a ambos lados,

Esto origina dos soluciones: Ahora, si suponemos

que el termino elevado al cuadrado se escribe

en el lado izquierdo de la

ecuación original, entonces ponemos el resultado en la forma general de la ecuación cuadrática:

Si se hubiera empezado con esta ecuación cuadrática, que procedimiento podría seguirse para llegar a la ecuación considerada previamente, (x + 2)2 = 3, y lego obtener las dos soluciones? El procedimiento a seguir, Llamado método para completar el cuadrado, se ilustra a continuación.

205


Generalizando lo anterior, considérese la ecuación

En la expresión x22dx+d2, el coeficiente de x es 2d,si sólo se tiene x2+2dx, puede completarse el

cuadro tomando la mitad de l coeficiente de, 2

x +2dx.considérense los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 4

Compárese este resultado con el presentado a continuación.

206

elevándola al cuadrado y sumándola a


Las soluciones son 3 y -5, las mismas que se obtuvieron al utilizar el método por factorizacion. Si en una ecuación cuadrática el coeficiente de x2 no es 1, no es posible completar el cuadrado tomando simplemente la mitad del coeficiente de x y elevándola al cuadrado. Por ejemplo, (2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9.

EJEMPLO 5.

207


SOLUCION POR LA FORMULA CUADRATICA En vez de continuar resolviendo ecuaciones cuadráticas particulares por el método de completar el cuadrado, se puede usar esta otra técnica para resolver una ecuación cuadrática general y, en el proceso, deducir la formula cuadrática. Recuerdese la forma general de una ecuación cuadrática. axe+bx+c=0

Nótese que 2a es el denominador de la expresión entera A esta formula se le llama formula cuadrática y debe memorizarse. Para resolver una ecuación cuadrática, se identifican las constantes a, b y c, se les sustituye en la formula cuadrática y se simplifica la expresión numérica. EJEMPLO 6 Resolución de ecuaciones utilizando la formula cuadrática. x2-6x+8=0

208

METODO DE FACTORIZACION_______________________________________________ La ecuación esta en la forma general mas simple y, por consiguiente a =1, b = - 6 y c = 8.

a)X2-2X=-½ Se escribe la ecuación en la forma general y se elimina la fracción.

209


Los métodos por factorizacion y por extracción de la raíz cuadrada son los más fáciles para resolver ecuaciones cuadráticas. Siestas técnicas no son apropiadas se prefiere, por lo general, ir directamente a la formula cuadrática en lugar de completar el cuadrado. APROXIMACION DE SOLUCIONES

P

ara aproximar las soluciones para las ecuaciones cuadráticas utilizando una calculadora, se calcula

y se almacena este valor en la memoria. Entonces se suma este valor

a -b y se divide entre 2a para obtener la primera solucion. Luego, se resta este valor a -b y se divide entre 2a para obtener la segunda solucion. EJEMPLO 7 Resolver:3.5x2-81.6x+2.8=0 Las soluciones son 1. Secuencia de pasos para calcular

En este punto la pantalla mostrara 81.359449, y este valor tambien tiene que almacenarse en la memoria. No debe borrarse la pantalla pues el numero se utiliza en el siguiente paso. 2. Secuencia de pasos para calcular la primera solucion:

210


3. Secuencia de pasos para calcular la segunda solucion:

Ejercicios En los ejercicios 1-10 resuelvase cada ecuación por el método por factorizacion.

En los ejercicios11-16 resuelve cada ecuación por el método por extracción de la raíz cuadrada.

¿que cantidad debe sumarse para completar el cuadrado en cada expresión en, los ejercicios 17-20?

En los ejercicios 21-24 resuelve cada ecuación por el método de completar el cuadrado.

211

METODO DE FACTORIZACION_______________________________________________ En los ejercicios 25-30 resuelvase cada ecuación utilizando la formula cuadrática.

Resolver cada ecuación en los ejercicios 31-42. (primero factorización o sacando raíces, y estos métodos faltan entonces con la formula cuadrática.)

Determinamos los valores de x,y o z en los ejercicios 43-48. supóngase que a y b son constantes positivas

En los ejercicios 49-52, para encontrar las soluciones aproximadas de las siguientes ecuaciones cuadráticas, empléese una calculadora. las respuestas han de darse con una exactitud de centésimas de unidad.

PARA REPASO Resolver:

5

3. Educación. Si el promedio de Enrique en cuatro exámenes es de 76, y tres de sus calificaciones son 82, 63 y 92, ¿cuanto obtuvo en el otro examen? 54. Economía ¿Que cantidad de dinero invertido al 4% de interés simple aumentara a 1 248

dólares después de un año? 55. Movimiento. Maria maneja 12 mi/h mas rápido que su madre. Si Maria recorre 310 mi en el mismo tiempo que su madre recorre 250 mi, ¿cual es la velocidad de cada una? 56. Si 3/4 de pulgada en una mapa representan 20 millas, ¿a cuantas millas corresponde una distancia de 12 pulgadas?

212

METODO DE FACTORIZACION_______________________________________________ 57. Recreación. Si la rapidez de una corriente es de 8 Km./h, y un bote puede viajar 105 Km. rió abajo en el mismo tiempo que recorre 49 Km. rió arriba, 6cual es la velocidad del bote en aguas tranquilas? 58.¿que número se necesita restar a 12,22,3 y 4 para que los números

resultantes sean

proporcionales, que en ese orden?

213

ECUACIONES QUE SE TRANSFORMAN EN ECUACIONES CUADRATICAS_______________

ECUACIONES QUE SE TRANSFORMAN EN ECUACIONES CUADRATICAS

Ecuaciones cuadráticas en forma

C

on frecuencia, una ecuación no es cuadrática en una variable particular, sino mas bien cuadrática en una expresión que contiene la variable. A ecuaciones como esta se les denomina cuadráticas en forma. Por ejemplo,

No es una ecuación cuadrática, sin embargo, si se sustituye a x2 por u,x4-5x2+4=0 se transforma en

La cual es cuadrática en la variable u. la ecuación original es cuadrática en forma, esto es ,cuadrático en la expresión x2,de manera similar,

Se comprueba con 2 (y por supuesto - 2). Se comprueban con 1 (y con -1, también) Las soluciones son 2, - 2, 1 y - 1.

214

ECUACIONES QUE SE TRANSFORMAN EN ECUACIONES CUADRATICAS_______________

PRECAUCION. No debe darse 4 y I como soluciones de la ecuación original porque, si se recuerda, 4 y 1 son soluciones de la ecuación en la variable u pero no con respecto a la variable x. En otras palabras no debe olvidarse sustituir y encontrar soluciones de la ecuación original al utilizar el método de sustitución por u.

EJEMPLO 2

215

ECUACIONES QUE SE TRANSFORMAN EN ECUACIONES CUADRATICAS_______________ Ejemplo 3

216

ECUACIONES CON FRACCIONES____________________________________________

ECUACIONES CON FRACCIONES

S

e resolvieron ecuaciones con fracciones que se convirtieron en ecuaciones lineales al transformar las fracciones. Recuerdese que el proceso de transformación de fracciones incluye multiplicar por el MCD de todas las fracciones en ambos lados de la ecuación. La

transformación de algunas ecuaciones con fracciones da por resultado ecuaciones cuadráticas, como se muestra en los dos ejemplos siguientes. Hay que tener en mente que las soluciones potenciales para una ecuación con fracciones siempre deben comprobarse en la ecuación original a fin de asegurarse que no hacen que alguno de los denominadores sea igual a cero. EJEMPLO 4

Las soluciones son -1 y 4,se comprueban éstas para verificar que ninguna de ellas hace que alguno de los denominadores originales sea igual a cero.

217

ECUACIONES CON FRACCIONES____________________________________________

El ejemplo 5 ilustra la razón principal de comprobar todas las soluciones posibles. La multiplicación por el MCD en ambos lados de la ecuación puede introducir raíces extrañas que no son soluciones del problema original.

218

ECUACIONES CON RADICALES______________________________________________

ECUACIONES CON RADICALES

A

lgunas ecuaciones con radicales se vuelven ecuaciones cuadráticas al eliminar los radicales elevando a una potencia en ambos lados de la ecuación. Es necesario comprobar siempre los resultados ya que el use del teorema sobre potencias puede introducir raíces extrañas.

219


220


221

ECUACIONES CON RADICALES______________________________________________ En los ejercicios 43-46 se emplea una calculadora para aproximar las soluciones de las ecuaciones siguientes las respuestas se darán con una precisión de centésimas de unidad.

PARA REPASO resolver

222

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS_____________________________

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS

M

uchos problemas de aplicación se convierten en ecuaciones cuadráticas. En este punto conviene revisar los pasos para resolver este tipo de problemas; recordar que las descripciones de las variables deben escribirse en forma completa y detallada, y cerciorarse

siempre de que las respuestas sean razonables. EJEMPLO 1 La cuarta parte del producto de dos enteros pares positivos consecutivos es 56. ¿Cuales son estos enteros? Sea

Al trabajar con el ejemplo presentado a continuación es preciso recordar el teorema de Pitágoras, el cual afirma que: La suma de los cuadrados de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.

223

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS_____________________________ GEOMETRIA Una escalera de 13 ft de largo esta recargada contra un muro. Si la base de la escalera se encuentra a 5 ft de este, ,que distancia tendría que retirase del muro el extremo inferior de la escalera para que el extremo superior descendiera Ia misma distancia? La figura 1 muestra la escalera en su posición inicial. Se utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar y, la distancia del suelo a la parte mas alta de la escalera.

Sea x = la distancia que debe retirarse del muro el extremo inferior de la escalera; entonces x es también la distancia que desciende el extremo superior de la escalera. La figura 2 muestra la nueva posición de la escalera; la línea punteada muestra la posición inicial. En el triangulo ABC, AB = 13 (la hipotenusa), AC = x + 5, y BC = 12 - x. Empleando el teorema de Pitágoras otra vez:

224


Si al base de las escaleras se retira 7ft, el extremo superior desciende la misma distancia.

INVERSION

L

a cantidad de dinero A que resultara de invertir un principal P a un interés porcentual r, compuesto anualmente por dos anos, esta dada por A = P(1 + r)2. Utilizando esta formula, ¿cual es la tasa de interés si 5 000 dólares crece a 6 272 dólares en dos años?

Sea r = la tasa de interés. La sustitución de A por 6 272 y P por 5 000 en la formula del interés da la ecuación:

CONSUMO

L

os miembros de un grupo iban a cooperar equitativamente para pagar 210 dólares, el costo de pintar un edificio. A última hora, dos de ellos decidieron no tomar parte, lo cual elevo 28 dólares la cuota de cada uno de los miembros restantes. ¿Cuantos miembros integraban al

grupo, al principio? En un problema de costos como este, la identidad fundamental esta dada por: Costo total = (costo por miembro)(numero de miembros).

225


Puesto que se desea conocer el número de miembros, es necesaria una ecuación en n. Se procede a resolver cada una de las ecuaciones de arriba para c y al igualar los resultados.

Al principio el grupo estaba integrado por cinco miembros. Conviene recordar, que en un problema de trabajo, cuando A y B trabajan juntos para completar una tarea, la ecuación que se utiliza para resolver el problema es: (Cantidad hecha por A en 1 unidad de tiempo) + (Cantidad hecha por B en 1 unidad de tiempo) = (Cantidad hecha por ambos en 1 unidad de tiempo)

226


Cuando cada uno trabaja, solo Samuel puede hacer un trabajo en tres horas menos que Anastasio. Cuando ambos trabajan juntos, les toma dos horas completar la tarea. 6Cuanto tiempo le toma a cada uno hacer el trabajo solo?

Debe resolverse la ecuación siguiente:

Pero puesto que t - 3 seria negativo si t = 1, se descarta 1 como solucion posible. Por lo tanto, Anastasio puede hacer el trabajo en 6 horas y Samuel puede hacerlo en 3 horas. MOVIMIENTO

D

os excursionistas salen del mismo campamento a la misma hora, uno camina hacia el norte y otro hacia el este. Si uno avanza 1 mi/h mas rápido que el otro, y si después de 3 horas hay una distancia de 15 millas entre ambos.: a que velocidad va caminado cada uno?

Puesto que ambos caminan durante 3 horas,

227


Se hace un bosquejo que describe el problema, como en la figura, puesto que se trata de un triángulo rectángulo, puede emplearse el teorema de Pitágoras para escribir la ecuación que m contiene a x.

Puede descartarse-4 como solucion ya que la velocidad no puede ser negativa; por lo tanto ,3mi/h y 4 mi/h son las velocidades buscadas. Otros problemas de movimiento se refieren a la determinación de la altura a la cual se halla un objeto sobre el nivel del suelo, en un tiempo determinado, después de haberlo dejado caer, lanzado hacia arriba o hacia abajo. Sea h la altura, medida en ft, de un objeto sobre el nivel del suelo. Sea t el tiempo en segundos a partir de un tiempo inicial t = 0. Sea vo la velocidad inicial del objeto, medida en ft por segundo, donde vo es positiva si el objeto sigue una trayectoria ascendente y negativa si sigue una trayectoria descendente en el tiempo t = 0. Y sea ho la altura inicial del objeto con respecto al suelo en el tiempo t = 0. Entonces la ecuacion:

Da la altura en términos del tiempo > 0. Nótese que si se conocen las constantes vo y vo, y si esta dada una altura particular h, se tiene una ecuación cuadrática en la variable t.

228


MOVIMIENTO

U

na roca se deja caer desde un despeñadero a una altura de 420 ft sobre la superficie de un rió que se encuentra en la base de dicho despeñadero (vease la figura 7). ¿Cuanto tiempo le tomaría a la roca Llegar al agua? La respuesta debe darse con una aproximación de

décimas de segundo.

Puesto que t debe ser positiva, se descarta - 5.1. Por lo tanto, la roca llegara al agua en aproximadamente 5.1 segundos. NOTA. Con frecuencia la ecuación matemática utilizada como modelo para un problema físico tendrá mas soluciones de la que en realidad son aplicables. Por ejemplo, aunque t = -5.1 es una solucion matemática de la ecuación en el ejemplo 7, no es una solucion para el problema de aplicación en virtud de que el tiempo negativo no tiene sentido en este caso. Siempre hay que comprobar el trabajo y cerciorarse de que las respuestas tengan sentido.

EJERCICIOS RESOLVER: 1. Un tercio del producto de dos enteros impares positivos consecutivos es 65. 6Cuales son estos

229

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS_____________________________ enteros? 2. El cuadrado de un numero mas 2 es lo mismo que 10 veces ese numero menos 4. ¿Cuales son todos los números que satisfacen esta condición? 3. La raíz cuadrada principal de un numero mas 4 es lo mismo que el numero menos 8. ¿Cual es este número? 4. Si a un número se le resta 2 es igual a la raíz cuadrada principal de 4 mas el numero. Encontrar el número. 5. La suma de un numero y su recíproco es 5/2 . ¿que numero es este? 6. ¿Que números tienen la propiedad de que su suma es 15 y su producto 50? 7. Geometría. Si el largo de un rectángulo es 11 pulgadas mayor que el ancho y el área es de 80 pulgadas cuadradas, ¿cuales son sus dimensiones? 8. Geometría. Una ventana tiene forma de triangulo equilátero, y su altura es de 12 ft. ¿Cuanto miden los lados del triangulo? La respuesta debe darse en décimas de ft. 9. Una escalera de 20 ft de largo esta apoyada contra un muro. Si la base de la escalera se encuentra a 12 ft de este, ¿que distancia tiene que retirarse del muro el extremo inferior de la escalera para que el extremo superior descienda la misma distancia? 10. Geometría. Si los lados de un cuadrado se alargan 5 yd, el área del cuadrado será de 256 yd cuadradas. Encontrar el largo de cada lado. 11. Manufactura. A partir de una hoja cuadrada de cartón se va a fabricar una caja con base cuadrada sin tapa; el procedimiento consiste en recortar un cuadrado de cuatro pulgadas por lado en cada esquina de la hoja y, luego, doblar los lados. Si la caja debe contener 400 in3, ¿cuanto debe medir cada lado de la hoja de cartón original? Vease la figura.

12. Agricultura. Se planea que un jardín rectangular, con dimensiones de 18 por 24 yd, tenga una vereda de anchura uniforme que rodee y delimite por completo al jardín rectangular restante, de modo que el área del jardín restante sea de 216 yd2. ¿Cuanto mide el acho de la vereda? 13. Una pieza de alambre de 100 in de largo se corta en dos piezas. Si cada pieza se dobla en forma de cuadrado y el área combinada de los dos cuadrados es de 337 in2, ¿cuanto mide de largo cada pieza de alambre? 14. Agricultura. Un granjero desea cercar una zona de pastoreo rectangular que limita con un rió, y decide que tenga una longitud paralela al rió igual al doble del ancho; por su puesto, no es necesario

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS_____________________________ cercar el lado delimitado por el rió. El área encerrada debe tener 39 200 yd2, ¿Cuantas yardas de cerca son necesarias?

15. Economía. Empleando la formula A = P (1 + r)2 encontrar la tasa de interés necesaria para que 10 000 dólares aumenten a 12 321 dólares en dos anos, si la composición de intereses se realiza anualmente. 16. Economía. Empléese la misma formula del ejercicio 15 para calcular la tasa de interés se 8 000 dólares aumentan a 10 305.80 dólares en dos anos. 17. Un grupo de mujeres plantea dividirse por igual el gasto de los 180 dólares necesarios para organizar una fiesta. A último minuto, tres mujeres deben ausentarse del poblado, lo que eleva 10 dólares la cooperación de cada una de las mujeres restantes. ¿Cuantas mujeres integraban al grupo al principio? 18. Menudeo. El propietario de un almacén gana 2 000.00 dólares cada semana por concepto de ventas de un tipo particular de juguete de novedad. El bajarle 2.00 dólares al precio por juguete puede estimular sus ventas y vender 50 juguetes mas por semana, pero sus ganancias permanecen inalteradas en 2000.00 dólares. ¿A que precio vendía cada juguete originalmente? 19. Manufactura. Un industrial ha descubierto que el costo mensual total c, por operar su planta, esta dado por c = 10x2 - 100x - 2 000, donde x es el numero de productos fabricados por mes. ¿Cuantos productos se manufacturaron durante un mes en que los costos totales ascendieron a 10 000 dólares? 20. Manufactura. El costo semanal c de producir x bienes esta dado por la ecuación c = 2x2 + 50x - 30. 6Que cantidad de bienes se produjo en una semana en la que el costo de producción fue de 270 dólares? 21. Economía. El costo indirecto de vender un producto es de 165 dólares por día. Afín de vender x mercancías en un día, el precio por mercancía debe ajustarse a 26 - x dólares. Para no ganar ni perder en un día determinado, el propietario del almacén debe vender mercancías suficientes para pagar sus costos indirectos. ¿Cuales son los puntos de equilibrio en esta situación cuando no gana ni pierde? 22. Administración. Un mayorista vende suéteres a un club distribuidor a una tasa de 25 dólares por

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS_____________________________ suéter par todas las órdenes de 250 o menos. Si la orden es mayor de 250 (hasta 300), el precio por suéter se reduce a una tasa de 5 centavos de dólar por el número total ordenado. Si se le expide al club una factura de 3 080 dólares por una orden, ¿cuantos suéteres se compraron? 23. A Juan le toma nueve horas más que a su padre hacer un trabajo. Si ambos trabajan juntos, la tarea puede hacerse en 20 horas. 6Cuanto tiempo le tomaría a cada uno hacer dicha tarea si trabajara solo? 24. Recreación. Cuando de dos válvulas se abre una por separado, la mayor puede llenar una piscina en tres horas menos que la pequeña. Si se abren simultáneamente, solo toma dos horas llenarla. ¿Cuanto tiempo tarda cada válvula en llenar la piscina cuando la otra esta cerrada? 25. Comunicaciones. Dos prensas pueden imprimir rótulos de sobres para un grupo de ex alumnos en 10 horas. Si la prensa mas nueva puede hacerlo en cinco horas menos que la mas antigua, ¿cuantas horas tardaría la prensa mas antigua en imprimir los rótulos si tuviera que mandarse a reparar la mas nueva? (La respuesta debe redondearse a décimas). 26. Construcción. A Juan le toma ocho días más que a su padre construir una plataforma de madera de secoya. Si juntos pueden construirla en 14 días, ¿Cuanto tiempo le tomaría al padre de Juan construirla solo? (La respuesta debe redondearse a décimas). 27. Movimiento. Dos automóviles salen de la misma ciudad al mismo tiempo viajando en ángulo recto uno con respecto al otro. Si el primero maneja 10 mi/h mas rápido que el segundo, y si después de dos horas la distancia que los separa es de 100 millas, ¿cual es la velocidad de cada automóvil? 28. Navegación. Dos botes parten de una isla al mediodía, uno viaja hacia el sur y el otro hacia el oeste. Si ambos navegan a 30 nudos haga una aproximación hasta décimas y diga cuantas millas náuticas los separaran después de dos horas. 29. Movimiento. Gaspar Ramos manejo 400 millas a determinada velocidad en cierto tiempo. De haber conducido 10 mi/h, el tiempo del viaje habría sido dos horas mas breve. ¿A que velocidad viajo? 30. Movimiento. Margarita manejo de Cleveland a Boston, una distancia de 660 millas. Condujo a una velocidad de 6 mi/h mas rápido en el viaje de regreso, reduciendo una hors el trayecto. ¿A que velocidad manejo de Boston a Cleveland? 31. Movimiento. Un niño deja caer una moneda desde la parte mas alta de un rascacielos de Nueva York a una altura de 1 472 ft. Si se hace una aproximación hasta décimas de segundo, ¿cuanto tiempo le tomara a la moneda llegar al suelo? 32. Movimiento. Un cohete es lanzado hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 352 ft/s. ¿Cuantos segundo pasaran antes de que regrese al suelo? 33. Movimiento. Un niño parado en un puente a 200 ft sobre el nivel de un No arroja una piedra hacia abajo con una velocidad inicial de 20 ft/s. 6Cuanto tiempo tardara la piedra en llegar al agua? (La respuesta debe redondearse a centésimas de segundo). 34. Movimiento. Con una aproximación de centésimas de segundo, 6cuanto tiempo le tomaría a la piedra llegar al agua si el niño en el puente del ejercicio 33 arrojara la piedra hacia arriba con una velocidad inicial de 20 ft/s? (¿Parecen razonables las respuestas de los ejercicio 33 y 34?) 35. Movimiento. Un hombre dispara una pistola desde el suelo a un helicoptero que se encuentra a

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS_____________________________ 3 000 ft directamente por encima de el. Si la bala sale con una velocidad inicial de 2 400 ft/s, digs con una aproximación de centésimas de segundo, ¿cuanto tiempo tardara la bala en alcanzar al helicóptero? 36. Movimiento. Un hombre deja caer un objeto de un globo desde una altura de 256 ft. Si el globo va en ascenso vertical a una velocidad de 16 ft/s, ¿cuanto tiempo le tomara al objeto llegar al suelo? (La respuesta debe redondearse a centésimas de segundo).

Bibliografía Básica Carpintero, V., Eduardo y Sánchez H. Rubén B. 'Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Carrero Campos Ximena. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003 Cuellar José A. "Matemáticas para Bachillerato". México McGraw-Hill 2001 Kaseberg Alice. "Álgebra Elemental " México, Ediciones Thomson Internacional, 2001 Smith, Stanley y Col. 'Álgebra "Addison-Wesley Iberoamericana, 2001 Bibliografía Complementaria Leithold, Luis. Álgebra y trigonometría con Geometría analítica” México, Editorial Karla, 1994 Norena, Francisco. "El develador de las incógnitas" México Pangea Editores, 1992 Peterson, John C. "Matemáticas Básicas" México, Editorial CECSA, 2001 Santos Trigo, L. M. "Proncipios y Métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas" México, Editorial iberoamericana, 1997

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Tahan, Malba. "El hombre que calculaba" México, Noriega Editores, 1992

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