CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A N A S
MECANICA Y COMPORTAMIENTO DE CONCRETO ARMADO 1.- COMPORTAMIENTO DE UNA COLUMNA SOMETIDA A CARGA AXIAL: En la siguiente figura se muestra las curvas de esfuerzo-deformación esfuerzo-deformación para un concreto de f'c=175 kg/cm2 y un acero de fy=2800 fy=2800 kg/cm2. para los esfuerzos bajos alrededor alrededor de f'c/2 el concreto se comporta comporta +/- elásticamente, los esfuerzos y deformaciones son proporcionales.
σ
Ɛ Deformaciones Unitarias El concreto en rango elástico se extiende hasta una deformación unitaria:0.0007 El acero en cambio tiende su rango elástico hasta un punto de fluencia de 2800Kg/cm2. osea hasta una deformación unitaria de : 0.0014 siendo Ɛc = Ɛs
Ɛ c = f c E c fs
Es Ec
Ɛs= f s E s
fc n * fc
Donde:
Es
es conoc onociido como las relación Ec Ac: Area neta del concreto (At-As) Ag: Area Total As: Area ocupada del acero P: Carga axial.
n:
Entonces:
modular
P fc. Ac fs. As fc. Ac (n. fc.) As
P fc.( Ac n. As)
( Ac n. As) este término puede puede interpretarse como un área ficticia de concreto (área transformada) tal que cuando está sometido a un esfuerzo de concreto dado fc
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
corresponde a una carga axial P igual a la de la sección real en términos de área Total = Ag P fc. Ag (n 1). As
Problema 01: Una columna con sección transversal 40x50cm, y esta reforzada con 6 barras de 1" (As=30.6 cm2). Determinar la carga axial que corresponde a un esfuerzo en el concreto de 50 kg/cm2.
Solucion: Ag= 40x60 = 2000 cm2 Ec=15000. 175
n:
Es Ec
2 x10 6
2000000
15000. 175
198431.348
P fc. Ag (n 1). As
=>
10.079
P 50.2000 (10.079 1).30.6 113890.870kg
El concreto toma : P fc.( Ac As) => P 50.(2000 30.6) 98470.000kg = 86.46% El acero toma: P fs. As (n. fc). As (10.079 * 50).30.6 15420.87kg 13.54%
Ɛ c = 50 /(15000. 50 ) 0.00047
Ɛs = (n. fc ) / Es 0.00025
Chequeo por Rango Elástico:
Problema 02: Calcular la carga axial correspondiente a la deformación unitaria Ɛc = Ɛs=0.001 para la misma Columna del ejemplo anterior. fc=120 kg/cm2. 6 fs =Ɛ c . Es = 0.001* 2 x10 2000kg / cm 2 (elástico).
P fc. Ac fs. As 120.( 2000 30.6) ( 2000 * 30.6) P= 236328.00 + 61200.00 = 297528.00 kg 79.43% 20.57%
100%
Chequeo a la Rotura: En la figura indica que la columna carga hasta una deformación unitaria 0.0014 entonces el acero alcanza su máxima fluencia fy=2800 kg/cm2. y el esfuerzo del concreto es fc=150 kg/cm2. Calcular la carga axial P =?
P 150.2000 30.6 2800 * 30.6 381090.00kg 100% P= 77.52% + 22.48%
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
por tanto si la carga continua incrementándose se alcanzara el máximo esfuerzo en el concreto f'c=175 kg/cm2. Cuando la deformación unitaria sea del Orden 0.0022 se observa en la grafica que la deformación del acero sigue siendo igual f'y=2800kg/cm2. Calcular la carga axial correspondiente=P P 175.2000 30.6 2800 * 30.6 430325.00kg 100% P= P=
344645.00 + 85680.00 80.08% 19.92%
Nota: el aplastamiento del concreto se produce (0.003 - 0.004) a la cual el acero sigue en fluencia. experimentalmente se ha comprobado que la carga de rotura es menor que la calculada según el procedimiento anterior y que mejor aproximación a los esfuerzos experimentales se obtiene usando 0.85*f'c para la resistencia del concreto en la columna. entonces la resistencia a la rotura de una columna está dada por la siguiente expresión: P 0.85 f ' c. Ac fy. As
Reemplazado al ejemplo anterior
P 0.85(175 * ( 2000 30.6) 2800 * 30.6 378628.25kg
Problema Propuesto: Realizar el grafico de esfuerzo-deformación para f'c=210kg/cm2 f'y=4200 kg/cm2 y expresar los cálculos para su diferentes condiciones.
COMPORTAMIENTO DE UNA VIGA DE CONCRETO ARMADO SOMETIDA A FLEXION
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
CASOS DE FLEXION EN SECCIONES RECTANGULARES CON ACERO EN TRACCION
VIGA SIN ARMADURA DE REFUERZO E-0.60 Concepto: Emplearemos una viga en discusión simplemente apoyada de 5m de luz, con sección transversal 0.30x0.60 fabricada con concreto 210kg/cm2. la solicitación externa proviene de una carga uniformemente distr ibuida aplicada sobre la viga, producto de su peso propio y de las cargas muertas y vivas. que analizaremos a continuación
Viga sin refuerzo: Es un ejercicio teórico, es raro encontrar vigas esbeltas como esta (la esbeltez geométrica es (5.0/0.60 = 8.3) construida de concreto simple es decir sin armadura de refuerzo.
Hipótesis: - Las secciones planas p ermanecen planas. - Comportamiento del concreto en tracción y compresión es lineal elástico hasta la falla de la sección en tracción (fc=E . Ɛc ft = E.Ɛt). El modulo de elasticidad en tracción y en comprensión es lo mismo. -No hay posibilidad de una falla por cortante, ni de pandeo lateral. -El modulo de rotura en tracción por flexión del concreto se puede estimar mediante la ecuación fr=2 fc' = 2 210 29kg / cm2 Si recordamos que la falla en tracción del concreto simple es frágil, con un diagrama esfuerzo-deformación y se puede idealizar como la figura siguiente tendremos q la viga colapsara cuando la fibra inferior de la sección central, la más solicitada, alcance el esfuerzo fr de tracción por flexión.
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Para la sección principal de la viga, donde ocurre el momento máximo, la resistencia nominal será: Mn
fr . Ig v
fr .S
S
b.h 2
6
30 x60 2
Mn 29 x18000 5200kg m
6
18000kg / cm3
resistencia nominal de la seccion
La carga que produciria la falla de la seccion central y en consecuencia el colapco de la viga sera: 5220 x8 u.l 2 Mn 1670.00kg / m max u Mu 8 25 La carga proveniente solamente del peso propio (estimado) de la viga representa cerca del 25% de la carga de falla: pp 2300kg / cm3 * 0.3 * 0.6 415kg / m 0.25 max
queda claro que no se considero coeficiente de seguridad. y se mensiono que la falla de este elemento sera fragil sin previo aviso por tanto el coeficiente de seguridad deberia ser alto. Para concreto simple el factor de reduccion de resistencia ( ɸ) que señala la Norma E-060 es de 0.65 y si suponemos que la carga que actua sobre la viga esta asociada casi toda con carga muerta, tendremos:
Mn Mu
0.65 Mn . 1.4 Mservicio
Por tanto la carga maxima, en condiciones d e servicio, que podremos aplicar a esta v iga 0.65 de manera "segura" sera: 1670.00. 775kg / cm2 es decir practicamente el peso 1.4 de la viga : pp = 415kg/m. El concreto simple, por la poca resistencia en tracción y por su falla frágil, se utiliza en elementos secundarios en los cuales las dimensiones del elemento son tales que los esfuerzos de tracción son bajos. Por tanto la Norma E-060 cap.22 establece que concreto simples sometidas a flexión, La resistencia Nominal, cuando controla la tracción viene dad a por: Mn fr .S
Mn 1.35. f ' c .S
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Mn 1.35. 210. x18000.00 3520.00kg m
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
1.- ESTADO ELÁSTICO NO AGRIETADO: SECCION SIN FISURAR
y fc1
fct
st
Deformaciones y esfuerzos en la s ección antes de la figuración
fct < fadm
fadm = fr = 2 fc' (módulo de rotura)
Condición esperada
fct = esfuerzo de tracción
Ɛ s = f s E s
= f c1 Ec
n
Es fs fc1 * Ec fct It
M . y
It b h3
12
Es
Ec
As b.d
fs nfct
Kg / cm 2
b h y h / 2 Asdc y 2
2
La hipótesis que haremos: -las secciones planas permaneces planas -El comportamiento del concreto, bajo cargas de servicio, en tracción y compresión es lineal elástico. Sabemos que esta suposición es razonable para esfuerzos de compresión hasta 0.4-0.5 de f'c. -No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral. -La resistencia (modulo de rotura) en tracción por flexión del concreto (fr) se puede estimar en fr 2. fc'kg / cm 2 -Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero.
Diagramas Esfuerzo - Deformación para el Acero y Concreto
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Problemas de verificación: Problema N° 01 Para la sección de viga que se muestra a continuación determinar los esfuerzos producidos por un momento M = 5 t-m.
60
dc = 5 cm. f’c = 280 Kg/cm 2. 2 fy = 4200 Kg/cm .
55
fr = 2 fc' (módulo de rotura)
3 Ø 1”
25 cm.
Solución:
As 3 * 5.1 15.3cm 2
n
Ec
2 106 15000 280
b.d
15.3 25 x55
0.0111
Ec 15000 210 217370.651
fr 2 280 33.47kg / cm 2
Es
As
7.97 8 n 8
Suponiendo que la sección esta sin agrietar:
n 1 As 8 1 15.30 107.1 cm 2
Atr 25 x 60 107.1 1607.1cm
2
comprobación: y
b h h / 2 As dc b h As
31.67 cm.
Cálculo del eje neutro y
55
E.N.
y
25 60 30 107.1 55 25 60 107.1
31.67 cm.
107.1 cm2
25 cm. El valor de Itr calculado presenta un 3 b h 2 2 b h y h / 2 Asdc y It 12 25 60 3 2 2 It 25 60 31.67 30 107.155 31.67 12 It = 512,476.69 cm
4
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Esfuerzo de tracción: fct
My
It
5 10 5 28.33 512,476.69
27.64 Kg / cm 2
fct 27.64 Kg / cm 2 2 fc' 33.47 Kg / cm 2
Por lo tanto la sección no está Agrietada Esfuerzos de compresión: Los esfuerzos en el concreto y en el acero, en instante antes de alcanzar el momento de agrietamiento, será: fc1
M y It
Para el concreto fc: 5 M y 5 x10 x31.67 30.90kg / cm2 f ' c 280kg / cm 2 fc1 512476.67 It Esfuerzo de tracción en el acero: fct
fct
My
M dc y
It
My It
It
5 105 23.33 512,476.69
22.76 Kg / cm 2
fs n. fct 8 22.76 182.08 Kg / cm 2
0.05 * fy 0.05 * 4200 210kg / cm 2
Momento flector que ocasiona agrietamiento por tracción: M .v ft It El Momento de agrietamiento de la sección Mcr = ? Mcr
ft * It
33.47 x512476.69
605456.929kg cm 6054.569kg m 60 31.67 v Por encima de este valor se espera que el concreto en tracción se agriete. 2 b.h 25 x60 2 fr . Ig fr .S Mn S 15000kg / cm3 v 6 6 Mn fr .S 33.47 *15000 502050.00kg cm 5020.50kg m
(6054.57 vs 5020.5-m) incremento 20.59% fc Ec La curvatura de agrietamiento (φcr=Ɛc/C=(fc/Ec)/ cr y y 30.09 217370.651 0.0001384 0.437 x10 31 / m cr 0.3167 0.3167
c
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
1.- ESTADO ELÁSTICO AGRIETADO: SECCION FISURADA fct > Modulo de rotura fcc < 1/2*f'c fs < fy
Problema N° 02
Para la sección de la viga del ejemplo anterior, el momento se incrementa a M = 12 t-m. encontrar los esfuerzos máximos de compresión en el concreto y de tracción en el acero, así como el momento de inercia.
Solución: 2
M = 12 t-m It = 512,476.69 cm 4 (sin agrietar) 2 fr = 33.47 Kg/cm .
f’c = 280 Kg/cm ., b = 25 cm. fy = 4200 Kg/cm 2. h = 60 cm. d = 55 cm.
Suponiendo que la sección no esta agrietada: fct
My I
12 105 28.33 512,476.69
66.34 Kg / cm 2 33.47 Kg / cm 2
la sec ción esta agrietada(sec cion _ fisurada) k
As bd
n 2 2 n n
15.30 25 55
0.0111 k
k 0.342
0.0111 82 2 0.0111 8 0.0111 8
j 1
y
0.342 1 0.886 j 0.886 3 3
k
Esfuerzo máximo de compresión: 2 M 2 12 10 5 kd M Cjd fc b jd fc 2 2 kjbd 0.342 0.886 25 55 2 2 fcadm. fc 104.73 Kg / cm Esfuerzo de tracción: M Asfsjd fs 2 fs 1609.51 Kg / cm
M Asjd
12 10 5 15.30 0.886 55
1609.51 Kg / cm 2
fs adm.
Momento de inercia de la sección agrietada. It b
kd 3 3
As.nd kd 25
It 215,769.92 cm
2
0.342 553 3
8 15.3055 0.342 55
2
4
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Problema N° 03 Para la viga que se muestra a continuación, determinar los esfuerzos 2
2
máximos en el concreto y en el acero, si f’c = 210 Kg/cm . y fy = 4200 Kg/cm , la carga incluye el peso propio de la viga. w = 2.2 t/m
4.50 m.
Estribos Ø 3/8” 2 As = 4 Ø ¾” = 11.36 cm r.e.e = 4 cm.
50 4 Ø ¾”
30 cm.
Solución: dc r .e.e. Ø est
ØL
4.0 0.95
1.91
5.90 dc 5.90 2 2 d = h – dc = 50-5.9 =44.1 → d = 44.10 cm. 6 Es 2 10 9 .2 9 n 9 n Ec 15000 210 Suponiendo que la sección esta sin agrietar transformada 44.1 2 (n-1) As = (9-1)11.36= 90.88 cm 90.88cm2
y
30 cm. Calculo del eje neutro y
30 50 25 90.88 44.1
26.09 cm. y 26.09 cm. 30 50 90.88 30 50 3 30 50 26.09 252 90.8844.1 26.09 2 It 12 It = 343,760.00 cm 4 Esfuerzo de tracción: fct
5.57 10 5 23.91
fct
My
M 23.91
I t
343,760.00
, M
wl 2
8
2.2 4.5 2 8
5.57 t .m.
38.74 Kg / cm 2 , fr 2 fc ' 2 210 28.98 Kg / cm 2
343,760.00 2 2 fct = 38.74 Kg./cm . > fr = 28.98 Kg./cm . → La sección esta agrietada.
k
As
n 2 2 n n 11.36
30 44.1
bd
0.0086 k
k = 0.324 , fc fs
2 M 2
kjbd M
Asjd
j 1
k
3
1
2 5.57 10 5 0.324 0.892 30 44.1
2
5.57 10 5 11.36 0.892 44.10
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
0.0086 92 2 0.0086 9 0.0086 9 0.324 3
0.892 j 0.892
fc 66.06 Kg / cm 2
1246.44 fs 1246.44 Kg / cm 2
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Problema N° 04: Para la viga del ejemplo anterior, calcular el momento máximo permisible. 2 As = 11.36 cm . d = 44.10 cm.
2
f’c = 210 Kg./cm . fy = 4200 Kg./cm2.
b = 30 cm. h = 50 cm.
k = 0.324 j = 0.892
Solución: fcadm = 0.45 f’c = 94.5 Kg./cm 2. fsadm = 0.50 fy = 2100 Kg./cm2. Mc
fcadm kj
2
bd 2
94.5 0.324 0.892
30 49.10 2 7.97 t m.
2 Mt Asfs adm jd 11.36 2100 0.892 44.10 9.38 t m.
M permisible = 7.97 t - m.
Problema N° 05.- Una viga de concreto doblemente reforzada, tiene una sección transversal rectangular de b = 40 cm. y h = 80 cm. Calcular los esfuerzos en el concreto y en el acero cuando actúa un momento de M = 25 t-m.
2
f’c = 210 Kg/cm = 4200 Kg/cm 2. fy Estribos= Ø 3/8” = 5 Ø 1” (25.50 cm 2) As 2 As’ = 3 Ø 1” (15.30 cm ) r.e.e. = 4.0 cm
3 Ø 1” 80 5 Ø 1” 40 cm.
Solución: n
Es Ec
1 Ct
,
Ct = 0 Al momento del desencofrado. Ct = 1 Después de 5 años.
Para nuestro ejemplo de verificación Ct = 0 , ya que el flujo plástico se manifiesta a largo plazo. k
d '2 n 2 2n ' ' n ' ;
d = 80-6.22 = 73.78 cm.
'
As bd As' bd
25.50 40 73.78 15.30
d
d’ = 6.22 cm.
n
dc 4 0.95 Es Ec
2.54
2 10 5 15000 210
2
6.22 cm.
9.2 9 n 9
0.0086
40 73.78
0.0052
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
0.0086 0.0052'2 9 2 2 9 0.0086 0.0052
k
k 0.298 j 1
k
3
1
0.298 3
kd = 0.298 x 73.78 = 21.99 cm. ,
Mc
fc 0 . 298 0 . 901
2
6.22
90.0086 0.0052
73.78
0.901 j 0.901
Mc
fcjk
2
bd As ' fs ' d d ' 2
M actuante
40 73 .78 2 15 . 30 fs ' 73 . 78 6 .22 25 10 5
Mc 29 , 231 . 31 fc 1, 033 . 67 fs ' 25 10 5 .......... .......... .......( 1)
Sabe que: fs '
nfc kd d ' kd
9 fc
21.99 6.22 21.99
6.45 fc
(2) en (1): 5 29,231.31 fc + 1,033.67 x 6.45 fc = 25 x 10
fc = 69.64 Kg./cm 2.
f’s = 6.45 fc = 6.45 x 69.64 = 449.18 Kg./cm . 2
fs
nfc1 k k
9 69.64
fs = 1476.46 Kg./cm 2.
1 0.298 0.298
f’s = 6.45 fc ..... (2)
< fcadm.
2
f’s = 449.18 Kg./cm . < fsadm. .
1476.46 Kg . / cm 2
< fsadm..
Comprobación: La fuerza de compresión Fuerza de tracción. ≈
T = As.fs = 25.50 x 1476.46 = 37.65 tn. fckd 69.64 0.298 73.78 40 30.62 tn. Cc b 2 2 Cs As' fs ' 15.30 449.18 6.87 tn. C = 37.49 tn
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
≈
T = 37.65 tn
C = 37.49 tn. ...... OK.
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Problema N° 06.- En el problema anterior (prob. 05), calcular el momento máximo que puede tomar la viga para que el esfuerzo en el concreto sea igual a fc = 94.5 2 Kg./cm . y que esfuerzo se generan en los aceros.
Solución: n = 9, k = 0.298, ρ = 0.0086, ρ’ = 0.0052, Cálculo de los esfuerzos: 1 0.298 nfc1 k 9 94.5 2003.53 Kg. / cm 2 fs 0.298 k 2
fs = 2003.53 Kg./cm . fs '
nfc kd d ' kd
< fsadm.
9 94.5 2
fs’ = 609.93 Kg./cm .
j = 0.901
21.99 6.22 21.99
609.93 Kg . / cm 2
< fs’adm.
Cálculo del momento: Mc M
fcjk
2 bd As ' fs ' d d '
2 94 . 5 0 . 298 0 . 901
2 M max 33 .93 t m .
40 73 .78 2 15 . 30 609 . 93 73 . 78 6 . 22
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Problemas de diseño. Problema N° 01.- Diseñar el área de acero para una sección de b = 25 cm., h = 50 cm., f’c = 280 Kg./cm 2., fy = 4200 Kg./cm 2.; cuando actúa un momento M = 8.5 t-m., la sección será simplemente reforzada.
Solución: Esfuerzos admisibles: 2
fcadm = 0.45 f’c = 126 Kg./cm . fsadm = 0.50 fy = 2100 Kg./cm2. n
Es Ec
j 1
k
3
2 10 6 15000 280
1
0.324 3
k
7.97 8 n 8 ,
1
1 fs nfc
1
1 0.324 2100 8 126
0.892 j 0.892
Considerando Ø = 1” y estrib = Ø 3/8”, tenemos: dc r . e.e estrib
Mr
L 2
4 0.95
2.54 2
6.22 d 43.78 cm.
fcjk 2 126 0.324 0.892 25 43.782 8.72 t m. bd 2 2 Mr = 8.72 t-m.
As
M fsjd
>
M = 8.5 t-m. → Es una sección simplemente reforzada.
8.5 10 5 2100 0.892 43.78
2
As = 10.36 cm .
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
10.36 cm 2
<>
2
2 Ø 3/4” + 1 Ø 1” (10.78 cm )
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Problema N° 02.- Para la viga en voladizo, que se muestra a continuación, diseñar el área de acero; para que la sección sea simplemente reforzada. w D= 2.0 t/m. w L= 1.0 t/m.
P D= 1 Tn.
2
f’c = 280 Kg./cm . fy = 4200 Kg./cm 2.
50 2.50 m. 30
Solución: M
wl
3 2.5 2
2
Pl
2
1.0 2.5 11.88 t .m. 2 fcadm = 0.45 f’c = 126 Kg./cm2. fsadm = 0.50 fy = 2100 Kg./cm2.
dc r . e.e estrib
L 2
4 0.95
2.54 2
6.22 para Ø L = 1” , Estrib= Ø3/8” si dc = 6.22 cm. → d = 43.78 cm.
n = 8; k
Mr
fcjk
2
nfc nfc fs
8 126 8 126 2100
126 0 .324 0 . 892
2 bd
2
0.324 k 0.324 y j 0.892
30 43 .78 2 10 . 47 t m .
Mr = 10.47 t-m. M = 11.88 t-m. ; como hay que diseñar una sección < simplemente reforzada, entonces aumentamos el peralte de la secc ión. Mr
fcjk
2
bd M
2
d
2 M fckjb
2 11 . 88 10 5 126 0 .324 0 . 892 30
d = 46.64 cm. → h = d + dc = 46.64 + 6.22 = 52.86 cm
As
M fsjd
11.88 10 5 2100 0.892 48.78 2
As = 13.00 cm .
→ h = 55 cm. d = 48.78 cm.
13.00 cm 2 2
<> 2 Ø 1” + 1 Ø 3/4” (13.04 cm ) b x h = 30 x 55 cm.
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
Año:2017
CURSO: PRACTICA CONCRETO I
UN IV ERSIDA D A LA S PERU A NA S
Problema N° 03.- Diseñar el área de acero necesario, para la siguiente sección de viga. M = 30 t-m. 2 f’c = 210 Kg. /cm . fy = 4200 Kg. /cm 2.
80
35
Solución: 2
fcadm = 0.45 f’c = 94.5 Kg./cm . fsadm = 0.50 fy = 2100 Kg./cm 2. ; n k
nfc nfc fs
Mr
fcjk
Mr
fcjk
2
2
9 94.5
9 94.5 2100
Es Ec
9.2 n 9
0.288 , j 1
k
3
1
0.288 3
0.904 j 0.904
2 bd ; Considerando Ø L =1”, Estribos = Ø3/8” → dc = 6.22cm., d = 73.78 cm.
2 bd
94 . 5 0 . 288 0 . 904 2
35 73 .78 2 23 . 44 t m .
Mr = 23.44 t-m. < M = 30t-m., Entonces hay que diseñar una sección dob lemente reforzada. Mr 2 = M 2 = M – Mr 1 = 30 -23.44 = 6.56 t-m. → M 2 = 6.56 t-m.
As1 As 2
fsjd
M 2 fs d d '
As 2
fs '
M 1
23.44 10 5 2100 0.904 73.78
As1 16.74 cm 2
; considerando d’ = 6.22 cm. para: ØL = 1” y Øestrib= 3/8”
6.25 10 5 2100 73.78 6.22
2 nfckd d '
As'
16.74 cm 2
kd M 2 fs ' d d '
4.62 cm 2
2 9 94.5
As 2 4.62 cm 2
0.288 73.78 6.22 0.288 73.78
6.56 10 5 1203.08 73.78 6.22
1203.08 Kg . / cm2
8.07 cm 2
As ' 8.07 cm 2
As As1 As 2 16.74 4.62 21.36 cm 2 . 2
As = 21.36 cm . 2
As’= 8.07 cm .
SOLUCIONARIO: PRACTICAS DE CONCRETO ARMADO I
CATEDRATICO: Ing. Denis Chino Chambilla
<> <>
2
3 Ø 1” + 2 Ø 3/4” (20.98 cm ) 3 Ø 3/4” (8.52
Año:2017
